მოცემული იყოს გადანომრილი რიცხვების x 1 , x 2 ,..., x n ,... . რიგითობა, რომელსაც აღვნიშნავთ მოკლედ ან (x n ) . ეს თანმიმდევრობა შეიძლება დაიწეროს n რიცხვის ფუნქციად: x n =f(n) , ან x 1 =f(1) , x 2 =f(2),.. ., x n =f(n),.. ..

ნებისმიერი თანმიმდევრობა დაზუსტდება, თუ მითითებულია მისი წევრების ფორმირების წესი. მიმდევრობა ჩვეულებრივ მოცემულია ფორმულებით, როგორიცაა x n =f(n) ან x n =f(x n-1), x n =f(x n-1, x n-2) და ა.შ., სადაც .

მაგალითი.მიმდევრობა 2, 4, 8, 16, .. . მოცემულია ფორმულით x n =2 n; გეომეტრიული პროგრესია a 1 , a 2 ,..., a n , .. . შეიძლება განისაზღვროს ფორმულით a n =a 1 q n-1 ან a n =a n-1 q ; ფიბონაჩის რიცხვები 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... . განისაზღვრება ფორმულებით x n =x n-1 +x n-2 , n=3, 4, .. ., x 1 =1 , x 2 =1 .

რიცხვების მიმდევრობის გრაფიკი(x n ) წარმოიქმნება nOx სიბრტყეზე M n (n;f(n)) წერტილების სიმრავლით, ე.ი. რიცხვების თანმიმდევრობის სქემაშედგება დისკრეტული წერტილებისგან.

თანმიმდევრობას (x n ) ეწოდება მზარდი, თუ ფორმის პირობა დაკმაყოფილებულია.

თანმიმდევრობას (x n ) ეწოდება კლებადი, თუ ფორმის პირობა დაკმაყოფილებულია.

თანმიმდევრობას (x n ) ეწოდება არამზარდი, თუ ფორმის პირობა დაკმაყოფილებულია.

თანმიმდევრობას ( x n ) ეწოდება შეუმცირებელი, თუ დაკმაყოფილებულია შემდეგი პირობა: .

ასეთ თანმიმდევრობას მონოტონური ეწოდება. დარჩენილი თანმიმდევრობები არ არის მონოტონური.

შემდეგი ჰქვია გაუთავებელი თანმიმდევრობაიგივე ბუნების ნებისმიერი ობიექტი.

მაგალითი.რიცხვთა სერია – რიცხვთა სერიები. ზოგიერთი ფუნქცია - ფუნქციური დიაპაზონი.

სერიის ელემენტების თანმიმდევრობა მნიშვნელოვანია. თანმიმდევრობის შეცვლით, იგივე ელემენტებიდან ვიღებთ მეორე რიგს.

ჩვენ აქ გვაინტერესებს მხოლოდ რიცხვითი სერიები და მისი ჯამი, რომელიც ჯერ კიდევ ფორმალურად იწერება (არა კონსტრუქციულად, არაფორმალური), ანუ უსასრულო რიცხვების მიმდევრობის ყველა წევრის ჯამი u 1 , u 2 ,..., u n. ,.. ., ან u 1 + u 2 +...+u n +.. .. ეს სერია შეიძლება დაიწეროს კომპაქტურად, როგორც

ნიშანი - ნიშანი "სიგმა" ან ჯამის ნიშანი, ყველა u n ელემენტის თანმიმდევრული ჯამი ქვედა ზღვრიდან n=1 (მითითებულია ბოლოში, შეიძლება იყოს სასრული ან უარყოფითი უსასრულობა) ზედა ზღვარამდე (მითითებულია ზევით, შეიძლება იყოს ნებისმიერი რიცხვი, დიდი ან ტოლი ქვედა ზღვარზე, ასევე დადებითი უსასრულობა).

რიცხვებს u n (n=1, 2, .. .) ეწოდება რიგის წევრები, ხოლო u n არის რიგის საერთო წევრი.

მაგალითი.სასკოლო მათემატიკის კურსში გეომეტრიული უსასრულოდ კლებადი პროგრესია მოცემულია a=aq+aq 2 +...+aq n-1 +.. ., |q|<1 , u 1 =a , u 2 =aq, .. ., u n = aq n-1 . Сумма этого ряда (прогрессии), как известно из школьного курса, равна S=a/(1-q) .

მაგალითი. რიცხვების ჰარმონიული სერია- ფორმის სერია: . ქვემოთ მას უფრო დეტალურად განვიხილავთ.

რიცხვთა სერია ჩაითვლება მინიჭებულად, ანუ მისი თითოეული ელემენტი ცალსახად იქნება განსაზღვრული, თუ მითითებულია მისი საერთო წევრის პოვნის წესი ან ზოგიერთი რიცხვითი ფუნქციაბუნებრივი არგუმენტი , ან u n =f(n) .

მაგალითი.თუ , მაშინ სერია მოცემულია , ან კომპაქტური აღნიშვნით:

თუ მიცემულია რიცხვების ჰარმონიული სერია, მაშინ მისი საერთო ტერმინი შეიძლება დაიწეროს როგორც , ხოლო თავად სერია შეიძლება დაიწეროს როგორც

მოდით მივცეთ სერიების სასრული ჯამის განმარტება და ასეთი სასრული ჯამების მიმდევრობა.

სერიის n პირველი წევრის საბოლოო ჯამს ეწოდება მისი n-ე ნაწილობრივი ჯამი და აღინიშნება S n-ით:

ეს ჯამი გვხვდება რიცხვების შეჯამების ჩვეულებრივი წესების მიხედვით. ასეთი ჯამები უსასრულოდ ბევრია, ანუ ყოველი სერიისთვის შეიძლება განვიხილოთ ნაწილობრივი ჯამებისგან შემდგარი სერია: S 1 , S 2 ,... , S n , .. . ან ამ სერიისთვის აგებული ნაწილობრივი ჯამების თანმიმდევრობა: .

თანმიმდევრობა შემოსაზღვრულია ზემოდან, თუ არის ისეთი საერთო რიცხვი M მიმდევრობის ყველა წევრისთვის, რომელსაც არ აღემატება მიმდევრობის ყველა წევრი, ანუ თუ დაკმაყოფილებულია შემდეგი პირობა:

რიცხვთა თანმიმდევრობა შემოსაზღვრულია ქვემოდან, თუ არის ასეთი საერთო რიცხვი m მიმდევრობის ყველა წევრისთვის, რომელიც აღემატება მიმდევრობის ყველა წევრს, ანუ თუ პირობა დაკმაყოფილებულია:

რიცხვების თანმიმდევრობა შეზღუდულია, თუ არის m და M რიცხვები, რომლებიც საერთოა მიმდევრობის ყველა წევრისთვის და აკმაყოფილებს პირობას:

ნომერი ა იწოდება რიცხვითი მიმდევრობის ზღვარი(x n) , თუ არის ისეთი მცირე რიცხვი, რომ მიმდევრობის ყველა წევრი, გარდა პირველი წევრების გარკვეული სასრული რიცხვისა, მოხვდება a რიცხვის - მეზობლად, ანუ საბოლოოდ ისინი კონდენსირდება ირგვლივ. წერტილი ა. ამრიგად, ყველა წერტილი x i , i=N 0 , N 0 +1 , N 0 +2, .. უნდა მოხვდეს ინტერვალში. თანმიმდევრობები. ამ შემთხვევაში რიცხვი N 0 დამოკიდებულია არჩეულ რიცხვზე, ანუ (ნახ. 7.1) .

ბრინჯი. 7.1.

მათემატიკურად, მიმდევრობის ლიმიტის არსებობა შეიძლება დაიწეროს როგორც:

ეს ფაქტი დაწერილია მოკლედ როგორც ან , და თქვით, რომ ის ემთხვევა a რიცხვს. თუ თანმიმდევრობას არ აქვს ლიმიტი, მაშინ მას უწოდებენ დივერგენტს.

ეს პირდაპირ გამომდინარეობს ლიმიტის განსაზღვრებიდან: თუ ჩვენ გავაუქმებთ, დავამატებთ ან შევცვლით მიმდევრობის წევრთა სასრულ რაოდენობას, მაშინ კონვერგენცია არ ირღვევა (ანუ თუ თავდაპირველი მიმდევრობა იყრის თავს, მაშინ შეცვლილი მიმდევრობა იყრის თავს) და ორიგინალური და მიღებული თანმიმდევრობების საზღვრები თანაბარი იქნება.

მაგალითი.დავარაუდოთ, რომ , სად , ანუ , . ეს ფაქტი ადვილად დასაბუთებულია, მაგრამ ახლა ჩვენ ამას დადასტურებულ ფაქტად ვიღებთ. შემდეგ,: . იპოვნეთ რიცხვის მნიშვნელობა (თუ ასეთი რიცხვი არსებობს). განიხილეთ . შემდეგი კავშირი მართალია:

ასე რომ, თუ ავიღებთ რიცხვს , მაშინ უთანასწორობა დაკმაყოფილდება. მაგალითად, მნიშვნელობით ვიღებთ რიცხვს N 0 =99 , ანუ |x n -1|<0,01 . Чем меньше значение - тем больше значение N 0 . Например, если , то N 0 =999 .

ახლა ვაძლევთ ფუნქციის ლიმიტის ორ ეკვივალენტურ განმარტებას: მიმდევრობის ლიმიტის გამოყენება და არგუმენტის მცირე უბნების შესაბამისობის და ფუნქციის მნიშვნელობის გამოყენება. ერთი განმარტების მართებულობა გულისხმობს მეორის მართებულობას. განისაზღვროს ფუნქცია y=f(x). , გარდა შესაძლოა x=x 0 წერტილისა, რომელიც არის D(f)-ის ზღვრული წერტილი. ამ ეტაპზე, ფუნქცია შეიძლება იყოს განუსაზღვრელი (განუსაზღვრელი) ან შეიძლება ჰქონდეს შესვენება.

თუ თანმიმდევრობა ნულამდე გადადის:

მაშინ მას უსასრულოდ მცირე მიმდევრობა ეწოდება. ასევე ნათქვამია, რომ მისი საერთო ვადა არის უსასრულოდ მცირე რაოდენობით. მიმდევრობები (84.3) და (84.4) უსასრულოდ მცირეა.

თუ ზღვრის ცნების ფორმულირებას გამოვიყენებთ უსასრულო მიმდევრობის შემთხვევისთვის, ანუ იმ შემთხვევისთვის, როდესაც ზღვარი არის ნული, მაშინ მივიღებთ უსასრულოდ მცირე მიმდევრობის შემდეგ განმარტებას (ზემოთ მოცემულის ტოლფასი): მიმდევრობას უსასრულო მცირე ეწოდება, თუ რომელიმე მოცემულისთვის არის ისეთი რიცხვი N, რომ ყველასთვის იქნება უტოლობა

მოდით ჩამოვაყალიბოთ რამდენიმე სასარგებლო თეორემა უსასრულო მიმდევრობების შესახებ (და დავამტკიცოთ პირველი მათგანი, როგორც მაგალითი).

თეორემა 1. ორი ან მეტი უსასრულო მიმდევრობის ჯამი არის უსასრულოდ მცირე მიმდევრობა.

ჩვენ ვახორციელებთ მტკიცებულებას ორი მიმდევრობის შეჯამების შემთხვევისთვის. დაე, თანმიმდევრობა იყოს უსასრულოდ მცირე. თუ მიმდევრობა მიღებულია მათი შეკრებით, მაშინ ის ასევე უსასრულოდ მცირე იქნება. მართლაც, მიეცეს თვითნებური დადებითი რიცხვი e. იმის გამო, რომ ის უსასრულოდ მცირეა, არის რიცხვი N ისეთი, რომ ის ნაკლები იქნება რიცხვზე . ანალოგიურად, მეორე მიმდევრობისთვის, შეიძლება მიუთითოთ (ზოგადად, განსხვავებული) რიცხვი, რომ გვაქვს Now, თუ რიცხვებიდან უდიდესზე დიდია, მაშინ ერთდროულად

მაგრამ შემდეგ, თვისებით "ჯამის მოდული არ აღემატება მოდულების ჯამს" (პუნქტი 74, თვისება 13), ვხვდებით

რომელიც ადასტურებს საჭირო მტკიცებას: უსასრულოდ მცირე მიმდევრობა იკითხება როგორც „უფრო დიდი N და .

თეორემა 2. შემოსაზღვრული მიმდევრობისა და ნულთან დაახლოებული მიმდევრობის ნამრავლი არის ნულთან დაახლოებული მიმდევრობა.

კერძოდ, ამ თეორემიდან გამომდინარეობს, რომ უსასრულო სიდიდის მუდმივი მნიშვნელობის ნამრავლი, ისევე როგორც რამდენიმე უსასრულო მცირეს ნამრავლი ერთმანეთის მიერ, არის უსასრულო სიდიდე. მართლაც, მუდმივი მნიშვნელობა ყოველთვის შეზღუდული მნიშვნელობაა. იგივე ეხება უსასრულოდ მცირეს. ამიტომ, მაგალითად, ორი უსასრულო მცირეს ნამრავლი შეიძლება განიმარტოს, როგორც უსასრულო მცირეს ნამრავლი შეზღუდულზე.

თეორემა 3. ნულთან შეკრებილი მიმდევრობის გაყოფის კოეფიციენტი იმ მიმდევრობაზე, რომელსაც აქვს არანულოვანი ზღვარი, არის მიმდევრობა, რომელიც გადადის ნულამდე.

შემდეგი თეორემა ნებადართულია უსასრულოდ მცირე ზომის გამოყენება ზღვრებზე თეორემების მტკიცებულებებში (თეორემები 6-8).

თეორემა 4. მიმდევრობის საერთო წევრი, რომელსაც აქვს ზღვარი, შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც ამ ზღვრის ჯამი და უსასრულო სიდიდე.

მტკიცებულება. დაე იყოს ისეთი თანმიმდევრობა, რომ

ლიმიტის განმარტებიდან შემდეგია:

ყველა, ვინც აკმაყოფილებს უტოლობას, აღნიშნეთ და შემდეგ მივიღებთ, რომ მითითებული მნიშვნელობებისთვის ეს იქნება

ანუ, რომ არსებობს უსასრულოდ მცირე რაოდენობა. მაგრამ

და ეს ადასტურებს ჩვენს თეორემას.

ვერნა და უკუღმა

თეორემა 5. თუ მიმდევრობის საერთო წევრი განსხვავდება ზოგიერთი მუდმივი მნიშვნელობისაგან უსასრულო მნიშვნელობით, მაშინ ეს მუდმივი არის ამ მიმდევრობის ზღვარი.

ახლა განვიხილავთ შემდეგ სამ თეორემაში ჩამოყალიბებულ ზღვარზე გადასვლის წესებს.

თეორემა 6. ორი ან მეტი მიმდევრობის ჯამის ზღვარი, რომლებსაც აქვთ ზღვარი, უდრის ამ ლიმიტების ჯამს:

მტკიცებულება. დაე იყოს ისეთი თანმიმდევრობები, რომ

შემდეგ, მე-4 თეორემაზე დაყრდნობით, შეგვიძლია დავწეროთ:

სადაც არის უსასრულოდ მცირე თანმიმდევრობა. დავამატოთ ბოლო ორი ტოლობა:

ორი a და b მუდმივების ჯამის მნიშვნელობა მუდმივია, ხოლო როგორც ორი უსასრულო მცირე მიმდევრობის ჯამი, თეორემა 1-ის მიხედვით, არის უსასრულოდ მცირე მიმდევრობა. აქედან და მე-5 თეორემადან ვასკვნით, რომ

და ეს დასამტკიცებელი იყო.

ჩვენ მიერ გაკეთებული მტკიცებულება ადვილად განზოგადდება მოცემული მიმდევრობის ნებისმიერი რაოდენობის ალგებრული ჯამის შემთხვევაში.

მოდით ზოგიერთი აქტივის ფასი დროის მიმდინარე მომენტში r იყოს S(T) . ქოლ-ოფციონის განხორციელების ფასი ამ აქტივზე ვადის გასვლის დროით T უდრის K-ს. მოდით გამოვთვალოთ ამ ოფციონის ფასი t დროს. დროის ინტერვალი [r, T] გავყოთ n პერიოდზე იმავე სიგრძის (T - t)/n. ქოლ ოფციონის ფასის გაანგარიშება ხორციელდება n-პერიოდის ორობითი ოფციონის ფასწარმოქმნის მოდელის ფარგლებში და შემდეგ მისი ლიმიტი გვხვდება n -> oo-ზე.
ასე რომ, ოფციონის ფასი n-პერიოდის ბინომიურ მოდელში განისაზღვრება ფორმულით (3.12). განმარტების მიხედვით, jo მიდრეკილია In [K/(S(t)dn))/ ln(m/d) როგორც m i —» oo. მოივრე-ლაპლასის ინტეგრალური ფორმულის მიხედვით
b&j0,n,p) - 1 -F (, b&j0,n,p") -
y/npq J \ l/np"q
სადაც Ф(х) = ^ dt - ნორმალური განაწილების ფუნქცია.
რიცხვებისა და რეკლამის განმარტების (3.16) გამოყენებით, მივიღებთ, რომ როგორც η -> oo
c \u003d S (r) Ф (гіі) - Ke-r ^-T4 (d2), (3.17)
სადაც
\ii(S(t)/K) + (r + a2/2)(T - m)
d\
ალ/ტ - ტ
ალ/ტ - ტ
მოძიებულ ფორმულას (3.17) ქოლ-ოფციონის ფასისთვის ეწოდება Black-Scholes-ის ფორმულა.
ფორმულის მტკიცებულება (3.17) იყენებს მაჩვენებლის გაფართოებას სერიაში
ex = 1 + x+^+.... (3.18)
და და d-ის (3.17) ფორმულიდან ტოლობით (3.8) ჩანაცვლებით, რომელიც განსაზღვრავს р id რიცხვებს, მივიღებთ:
erAt - შეჭამა/შ-
რ
ექსპონენციალების სერიაში გაფართოება ფორმულის მიხედვით (3.18) და ტერმინების უგულებელყოფა, რომლებიც მცირეა At-თან შედარებით, მივიღებთ
al / At + (g - a212) At al / At - (g - a212) At
P ~ t= 1 I ~ t=
2ალ/მ 2ალ/მ
თუ არ არის საბაზრო ფასის გაურკვევლობა, მაშინ აქტივის ფასი S აკმაყოფილებს განტოლებას
AS = fiSAt, (2.1)
სადაც At საკმარისად პატარაა. როგორც At -> 0 განტოლება (2.1) ხდება დიფერენციალური
S" = / J.S.
მისი გამოსავალი S(T) = S(0)emT განსაზღვრავს აქტივის S(T) ფასს T მომენტში.
თუმცა, პრაქტიკაში ყოველთვის არის გაურკვევლობა აქტივის ფასთან დაკავშირებით. გაურკვევლობის აღსაწერად განიხილება დროის ფუნქციები, რომლებიც შემთხვევითი ცვლადებია არგუმენტის თითოეული მნიშვნელობისთვის. ეს თვისება განსაზღვრავს შემთხვევით პროცესს.
შემთხვევით პროცესს w(t) ეწოდება Wiener, თუ r(0) = 0 და შემთხვევით ცვლადებს w(t\ + s) - w(t\) და w(t2 + s) - w(t2) აქვთ ნორმალური განაწილება. ნულოვანი მოლოდინით და s-ის ტოლი დისპერსიით და დამოუკიდებლები არიან ნებისმიერი t\, t2, s-ისთვის, რომლებიც ქმნიან გადახურვის ინტერვალებს (ti,ti + s) და (t2,t2 + s).
ვინერის პროცესის გრაფიკი შეიძლება მივიღოთ, მაგალითად, შემდეგნაირად. ჩვენ ვაფიქსირებთ ზოგიერთ რიცხვს h > 0 და განვსაზღვრავთ შემთხვევითი ცვლადების ოჯახს Wh(t) დროს t = 0, h, 2h,.... დააყენეთ Wh(0) = 0. სხვაობა AWh = Wh((k+l) თ) - Wh(kh) შემთხვევითი ცვლადია და მოცემულია ცხრილით: AWh -6 6 P 1/2 1/2 მონეტა. მაშინ შემთხვევითი ცვლადის AWh მათემატიკური მოლოდინი არის M(AI//1) = 0, ხოლო ვარიაცია D(AWh) = S2. რიცხვი d დაყენებულია Vh-ის ტოლი ისე, რომ დისპერსიული ~D(AWh) უდრის h-ს.
გამოდის, რომ Wiener პროცესი w(t) მიღებულია Wh(t) შემთხვევითი ცვლადების ოჯახიდან, როგორც h -> 0. ლიმიტამდე გადასვლა საკმაოდ რთულია და აქ არ განიხილება. ამიტომ, Wh (t) ოჯახის გრაფიკი მცირე h-სთვის არის ვინერის პროცესის კარგი მიახლოება. მაგალითად, სეგმენტზე ვინერის პროცესის ვიზუალური წარმოდგენისთვის საკმარისია h = 0.01.
უმარტივეს შემთხვევაში, როდესაც /x = 0, ანუ საფონდო ბაზარი არ იზრდება და არ იკლებს საშუალოდ, ვარაუდობენ, რომ
AS = aS Aw,
სადაც w(t) არის ვინერის პროცესი და > 0 არის რაღაც დადებითი რიცხვი. ის ფაქტი, რომ აქტივების ფასის ზრდა ფასის პროპორციულია, გამოხატავს ბუნებრივ დაშვებას, რომ გამოხატვის (S(t + At) - S(t))/S(t) გაურკვევლობა არ არის დამოკიდებული S-ზე. ეს ნიშნავს, რომ ინვესტორი არის თანაბრად დარწმუნებულები ხართ, თუ რომელ წილს მიიღებთ მოგებაში აქტივის ფასით $20 და აქტივის ფასით $100.
აქტივების ფასის ქცევის მოდელი ზოგადად განისაზღვრება განტოლებით
A S(t) = /j,S(t)At + aS(t)Aw, (2.2)
კოეფიციენტს a, რომელიც არის განუსაზღვრელობის ერთეული, ეწოდება არასტაბილურობა.
2.2.

მეტი ლიმიტის გადასვლის თემაზე:

1. საბაზრო ეკონომიკაზე გადასვლა დაკავშირებულია თანამედროვე მენეჯმენტის სისტემაზე გადასვლასთან, რომლის მთავარი ობიექტია ორგანიზაცია (საწარმო), ხოლო მის ფარგლებში - მუშაკი, მუშა.
2. შეზღუდვის ღირებულება (ეკონომიკური ინდიკატორის შეზღუდვის მნიშვნელობა)

კვანტური მექანიკა შეიცავს კლასიკას, როგორც შემზღუდველ შემთხვევას. ჩნდება კითხვა, როგორ ხორციელდება ეს გადასასვლელი ლიმიტამდე.

კვანტურ მექანიკაში ელექტრონი აღწერილია ტალღური ფუნქციით, რომელიც განსაზღვრავს მისი კოორდინატის სხვადასხვა მნიშვნელობებს; ერთადერთი, რაც ჯერჯერობით ვიცით ამ ფუნქციის შესახებ, არის ის, რომ ის არის ზოგიერთი წრფივი ნაწილობრივი დიფერენციალური განტოლების ამოხსნა. თუმცა, კლასიკურ მექანიკაში ელექტრონი განიხილება, როგორც მატერიალური ნაწილაკი, რომელიც მოძრაობს ტრაექტორიის გასწვრივ, რომელიც მთლიანად განისაზღვრება მოძრაობის განტოლებებით. კვანტურ და კლასიკურ მექანიკას შორის ურთიერთობის ანალოგიური ურთიერთობა ხდება ელექტროდინამიკაში ტალღასა და გეომეტრიულ ოპტიკას შორის. ტალღურ ოპტიკაში ელექტრომაგნიტური ტალღები აღწერილია ელექტრული და მაგნიტური ველების ვექტორებით, რომლებიც აკმაყოფილებენ წრფივი დიფერენციალური განტოლებების გარკვეულ სისტემას (მაქსველის განტოლებები). გეომეტრიულ ოპტიკაში განიხილება სინათლის გავრცელება გარკვეული ტრაექტორიების გასწვრივ - სხივები.

ასეთი ანალოგია საშუალებას გვაძლევს დავასკვნათ, რომ კვანტური მექანიკიდან კლასიკურ მექანიკაზე ზღვარზე გადასვლა ხდება ტალღიდან გეომეტრიულ ოპტიკაზე გადასვლის მსგავსად.

გავიხსენოთ, როგორ ხდება ეს უკანასკნელი გადასვლა მათემატიკურად (იხ. II, § 53). მოდით და იყოს ველის ერთ-ერთი კომპონენტი ელექტრომაგნიტურ ტალღაში. ის შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც და - რეალური ამპლიტუდით a და ფაზით (ამ უკანასკნელს გეომეტრიულ ოპტიკაში ეიკონალი ეწოდება). გეომეტრიული ოპტიკის შემზღუდველი შემთხვევა შეესაბამება მცირე ტალღის სიგრძეებს, რაც მათემატიკურად გამოიხატება მცირე დისტანციებზე დიდი ცვლილებით; ეს ნიშნავს, კერძოდ, რომ ფაზა შეიძლება ჩაითვალოს დიდი მისი აბსოლუტური მნიშვნელობით.

შესაბამისად, ჩვენ გამოვდივართ იმ დაშვებიდან, რომ კლასიკური მექანიკის შემზღუდველი შემთხვევა კვანტურ მექანიკაში შეესაბამება ფორმის ტალღურ ფუნქციებს, სადაც a არის ნელა ცვალებადი ფუნქცია და იღებს დიდ მნიშვნელობებს. როგორც ცნობილია, მექანიკაში ნაწილაკების ტრაექტორია შეიძლება განისაზღვროს ვარიაციული პრინციპიდან, რომლის მიხედვითაც მექანიკური სისტემის ეგრეთ წოდებული მოქმედება 5 უნდა იყოს მინიმალური (უმცირესი მოქმედების პრინციპი). გეომეტრიულ ოპტიკაში სხივების გზა განისაზღვრება ე.წ. უნდა იყოს მინიმალური.

ამ ანალოგიის საფუძველზე შეგვიძლია განვაცხადოთ, რომ ტალღის ფუნქციის ფაზა კლასიკურ შემზღუდველ შემთხვევაში უნდა იყოს განხილული ფიზიკური სისტემის მექანიკური მოქმედების S პროპორციული, ანუ უნდა იყოს . პროპორციულობის კოეფიციენტს ეწოდება მცენარეთა მუდმივი და აღინიშნება ასოებით. მას აქვს მოქმედების განზომილება (რადგან უგანზომილებიანია) და ტოლია

ამრიგად, "თითქმის კლასიკური" (ან, როგორც ამბობენ, ნახევარკლასიკური) ფიზიკური სისტემის ტალღურ ფუნქციას აქვს ფორმა

პლანკის მუდმივი ფუნდამენტურ როლს თამაშობს ყველა კვანტურ მოვლენაში. მისი ფარდობითი მნიშვნელობა (იგივე განზომილების სხვა სიდიდეებთან შედარებით) განსაზღვრავს ამა თუ იმ ფიზიკური სისტემის „კვანტურობის ხარისხს“. კვანტურიდან კლასიკურ მექანიკაზე გადასვლა შეესაბამება დიდ ფაზას და ფორმალურად შეიძლება შეფასდეს, როგორც გადასვლა ზღვარზე (ისევე, როგორც ტალღიდან გეომეტრიულ ოპტიკაზე გადასვლა შეესაბამება ნულოვანი ტალღის სიგრძის ზღვარზე გადასვლას,

ჩვენ განვმარტეთ ტალღის ფუნქციის შემზღუდველი ფორმა, მაგრამ კვლავ რჩება კითხვა, თუ როგორ არის ის დაკავშირებული კლასიკურ მოძრაობასთან ტრაექტორიის გასწვრივ. ზოგადად, ტალღის ფუნქციით აღწერილი მოძრაობა საერთოდ არ გადაიქცევა მოძრაობად გარკვეული ტრაექტორიის გასწვრივ. მისი კავშირი კლასიკურ მოძრაობასთან მდგომარეობს იმაში, რომ თუ რაიმე საწყის მომენტში მოცემულია ტალღის ფუნქცია და მასთან ერთად კოორდინატების ალბათობის განაწილება, მაშინ მომავალში ეს განაწილება "იმოძრავებს", როგორც ეს უნდა იყოს კანონების მიხედვით. კლასიკური მექანიკა (დამატებითი ინფორმაციისთვის იხილეთ § 17 ბოლო).

გარკვეული ტრაექტორიის გასწვრივ მოძრაობის მისაღებად, აუცილებელია დაიწყოთ სპეციალური ფორმის ტალღური ფუნქციიდან, რომელიც შესამჩნევად განსხვავდება ნულიდან მხოლოდ სივრცის ძალიან მცირე მონაკვეთში (ე.წ. ტალღის პაკეტი), ამ მონაკვეთის ზომები. შეუძლია ნულისკენ მიდრეკილება d-თან ერთად. შემდეგ შეიძლება ითქვას, რომ ნახევრად კლასიკურ შემთხვევაში ტალღის პაკეტი სივრცეში გადაადგილდება ნაწილაკების კლასიკური ტრაექტორიის გასწვრივ.

და ბოლოს, ლიმიტში მყოფი კვანტური მექანიკური ოპერატორები უბრალოდ უნდა შემცირდეს შესაბამის ფიზიკურ რაოდენობაზე გამრავლებამდე.

ზოგიერთი f ფუნქცია მიისწრაფვის A რიცხვისკენ, რადგან x მიისწრაფვის x0 წერტილისკენ, როდესაც განსხვავება f(x) - A თვითნებურად მცირეა. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, გამოთქმა |f(x) –A| ხდება ნებისმიერი წინასწარ დანიშნულ ფიქსირებულ რიცხვზე ნაკლები h > 0, რადგან არგუმენტის გაზრდის მოდული |∆x| მცირდება.

გადასვლის შეზღუდვა

F ფუნქციიდან A ამ რიცხვის პოვნა ეწოდება ზღვარზე გადასვლა. სკოლის კურსში ლიმიტზე გადასვლა ორ ძირითად შემთხვევაში მოხდება.

1. ლიმიტის გავლა ∆f/∆x-ის მიმართ წარმოებულის პოვნისას.

2. ფუნქციის უწყვეტობის დადგენისას.

ფუნქციის უწყვეტობა

ფუნქციას უწოდებენ უწყვეტს x0-ზე, თუ f(x) მიდრეკილია f(x0-მდე), როგორც x მიდრეკილია x0-ზე. ამ შემთხვევაში: f(x) – A = f(x) – f(x0) = ∆f.
ეს ნიშნავს, რომ |∆f| პატარა იქნება პატარა |∆x|. სიტყვებით, არგუმენტის მცირე ცვლილებები შეესაბამება ფუნქციის მნიშვნელობის მცირე ცვლილებებს.

ფუნქციები, რომლებიც გვხვდება სასკოლო მათემატიკის კურსში, მაგალითად, წრფივი ფუნქცია, კვადრატული ფუნქცია, სიმძლავრის ფუნქცია და სხვა, უწყვეტია იმ ტერიტორიის ყველა წერტილში, რომელზეც ისინი განისაზღვრება. ამ ფუნქციებისთვის, გრაფიკები გამოსახულია უწყვეტი მრუდი ხაზების სახით.

ეს ფაქტი ეფუძნება ფუნქციის გრაფიკის აგების მეთოდს „პუნქტებით“, რომელსაც ჩვენ ჩვეულებრივ ვიყენებთ. მაგრამ მის გამოყენებამდე აუცილებელია გაირკვეს, არის თუ არა განხილული ფუნქცია მართლაც უწყვეტი. მარტივი შემთხვევებისთვის, ეს შეიძლება გაკეთდეს უწყვეტობის განმარტების საფუძველზე, რომელიც ზემოთ მოვიყვანეთ.

მაგალითად: ჩვენ დავამტკიცებთ, რომ წრფივი ფუნქცია უწყვეტია ჭეშმარიტი წრფის ყველა წერტილში y = k*x + b.

განმარტებით, ჩვენ უნდა ვაჩვენოთ, რომ |∆f| ხდება ნებისმიერი წინასწარ მინიჭებული რიცხვი h>0 ნაკლები, მცირე |∆x|-ისთვის

|∆f| = |f(x0 +∆x) – f(x0)| = |(k*(x0+ ∆x) +b) – (k*x0+ b)| =|k|*|∆x|.

თუ ავიღებთ |∆x| >თ/|კ| k-ისთვის ნულის ტოლი არ არის, მაშინ |∆f| იქნება ნებისმიერი h>0-ზე ნაკლები, რაც დასამტკიცებელი იყო.

შეზღუდვის წესები

ლიმიტის გადასვლის ოპერაციის გამოყენებისას უნდა იხელმძღვანელოთ შემდეგი წესებით.

1. თუ ფუნქცია f უწყვეტია x0 წერტილში, მაშინ ∆f იხრება ნულისკენ, როგორც ∆x ნულისკენ.

2. თუ f ფუნქციას აქვს წარმოებული x0 წერტილში, მაშინ ∆f/∆x მიდრეკილია f’(x0)-ზე, რადგან ∆x იხრება ნულისკენ.

3. მოდით f(x) მიდრეკილება A-სკენ, g(x) მიდრეკილია B-ისკენ, როგორც x მიდრეკილია x0-ზე. შემდეგ:

f(x) + g(x) მიდრეკილია A + B-მდე;