შესავალი

მათემატიკაში და მის გამოყენებაში ბუნებისმეტყველებასა და ტექნოლოგიაში ექსპონენციალური ფუნქციები ფართოდ გამოიყენება. ეს, კერძოდ, აიხსნება იმით, რომ საბუნებისმეტყველო მეცნიერებაში შესწავლილი მრავალი ფენომენი არის ორგანული ზრდის ეგრეთ წოდებული პროცესები, რომლებშიც მათში მონაწილე ფუნქციების ცვლილების ტემპები პროპორციულია ფუნქციების მნიშვნელობებთან. საკუთარ თავს.

თუ აღინიშნება ფუნქციით და არგუმენტით, მაშინ ორგანული ზრდის პროცესის დიფერენციალური კანონი შეიძლება დაიწეროს იმ ფორმით, სადაც არის პროპორციულობის მუდმივი კოეფიციენტი.

ამ განტოლების ინტეგრაცია იწვევს ზოგად ამოხსნას ექსპონენციალური ფუნქციის სახით

თუ თქვენ დააყენებთ საწყის მდგომარეობას, მაშინ შეგიძლიათ განსაზღვროთ თვითნებური მუდმივი და, ამრიგად, იპოვოთ კონკრეტული გამოსავალი, რომელიც განსახილველი პროცესის განუყოფელი კანონია.

ორგანული ზრდის პროცესები, ზოგიერთი გამარტივებული ვარაუდით, მოიცავს ისეთ მოვლენებს, როგორიცაა, მაგალითად, ატმოსფერული წნევის ცვლილება დედამიწის ზედაპირზე მაღლა დგას, რადიოაქტიური დაშლა, სხეულის გაციება ან გათბობა მუდმივი ტემპერატურის გარემოში. უმოლეკულური ქიმიური რეაქცია (მაგალითად, ნივთიერების დაშლა წყალში), რომელშიც ხდება მასის მოქმედების კანონი (რეაქციის სიჩქარე პროპორციულია არსებული რეაქტიული ნივთიერების რაოდენობისა), მიკროორგანიზმების რეპროდუქცია და მრავალი სხვა.

მასზე ნაერთი პროცენტის (პროცენტის პროცენტის) დარიცხვის გამო ფულის ოდენობის ზრდა ასევე ორგანული ზრდის პროცესია.

ამ მაგალითების გაგრძელება შეიძლება.

მათემატიკაში ცალკეულ ექსპონენციალურ ფუნქციებთან და მის გამოყენებასთან ერთად გამოიყენება ექსპონენციალური ფუნქციების სხვადასხვა კომბინაცია, რომელთა შორის განსაკუთრებული მნიშვნელობა აქვს ფუნქციების გარკვეულ წრფივ და წრფივ-ფრაქციულ კომბინაციას და ეგრეთ წოდებულ ჰიპერბოლურ ფუნქციებს. ამ ფუნქციებიდან ექვსია, მათთვის შემოღებულია შემდეგი სპეციალური სახელები და აღნიშვნები:

(ჰიპერბოლური სინუსი),

(ჰიპერბოლური კოსინუსი),

(ჰიპერბოლური ტანგენსი),

(ჰიპერბოლური კოტანგენსი),

(ჰიპერბოლური სეკანტი),

(ჰიპერბოლური სეკანტი).

ჩნდება კითხვა, რატომ არის ზუსტად ასეთი სახელები და აქ არის ჰიპერბოლა და ტრიგონომეტრიიდან ცნობილი ფუნქციების სახელები: სინუსი, კოსინუსი და ა.შ.? გამოდის, რომ ტრიგონომეტრიული ფუნქციების დამაკავშირებელი მიმართებები ერთეული რადიუსის წრის წერტილების კოორდინატებთან მსგავსია ჰიპერბოლური ფუნქციების დამაკავშირებელი მიმართებებისა ტოლგვერდა ჰიპერბოლის წერტილების კოორდინატებთან ერთეული ნახევარღერძით. ეს ამართლებს ჰიპერბოლური ფუნქციების სახელს.

ჰიპერბოლური ფუნქციები

ფორმულებით მოცემულ ფუნქციებს, შესაბამისად, ჰიპერბოლური კოსინუსი და ჰიპერბოლური სინუსი ეწოდება.

ეს ფუნქციები განსაზღვრულია და უწყვეტია, არის ლუწი ფუნქცია და არის კენტი ფუნქცია.

სურათი 1.1 - ფუნქციების გრაფიკები

ჰიპერბოლური ფუნქციების განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ:

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ანალოგიით ჰიპერბოლური ტანგენსი და კოტანგენსი განისაზღვრება, შესაბამისად, ფორმულებით.

ფუნქცია არის განსაზღვრული და უწყვეტი ჩართული, ხოლო ფუნქცია განსაზღვრულია და უწყვეტი პუნქცია წერტილით ნაკრებზე; ორივე ფუნქცია კენტია, მათი გრაფიკები ნაჩვენებია ქვემოთ მოცემულ ფიგურებში.

სურათი 1.2 - ფუნქციის გრაფიკი

სურათი 1.3 - ფუნქციის გრაფიკი

შეიძლება ნაჩვენები იყოს, რომ ფუნქციები და მკაცრად იზრდება, ხოლო ფუნქცია მკაცრად მცირდება. ამიტომ, ეს ფუნქციები შექცევადია. აღნიშნეთ მათზე შებრუნებული ფუნქციები, შესაბამისად.

განვიხილოთ ფუნქცია ფუნქციის შებრუნებული, ე.ი. ფუნქცია. ჩვენ გამოვხატავთ ელემენტარულ ჭრილში. განტოლების ამოხსნით მივიღებთ მას შემდეგ, საიდან

ჩანაცვლებით და ერთად, ჩვენ ვპოულობთ ჰიპერბოლური სინუსისთვის შებრუნებული ფუნქციის ფორმულას.

ტრიგონომეტრიულ და ექსპონენციალურ ფუნქციებს შორის კავშირთან ერთად, რომელიც აღმოვაჩინეთ კომპლექსურ დომენში (ეილერის ფორმულები)

კომპლექსურ დომენში არის ძალიან მარტივი კავშირი ტრიგონომეტრიულ და ჰიპერბოლურ ფუნქციებს შორის.

შეგახსენებთ, რომ განმარტების მიხედვით:

თუ იდენტურობაში (3) შევცვლით, მაშინ მარჯვენა მხარეს მივიღებთ იგივე გამონათქვამს, რომელიც არის იდენტობის მარჯვენა მხარეს, საიდანაც მოჰყვება მარცხენა მხარეების თანასწორობა. იგივე ეხება იდენტობებს (4) და (2).

იდენტურობის (6) ორივე ნაწილის (5) იდენტობის შესაბამის ნაწილებად დაყოფით და პირიქით (5) (6-ზე), მივიღებთ:

მსგავსი ჩანაცვლება იდენტობებში (1) და (2) და შედარება იდენტობებთან (3) და (4) იძლევა:

საბოლოოდ, იდენტობებიდან (9) და (10) ვპოულობთ:

თუ ჩავსვამთ იდენტობებს (5) - (12), სადაც x არის რეალური რიცხვი, ანუ არგუმენტი განვიხილავთ მხოლოდ წარმოსახვით, მაშინ მივიღებთ კიდევ რვა იდენტობას წმინდა წარმოსახვითი არგუმენტის ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებსა და უძრავის შესაბამის ჰიპერბოლურ ფუნქციებს შორის. არგუმენტი, ისევე როგორც წმინდა წარმოსახვითი არგუმენტის ჰიპერბოლურ ფუნქციებსა და რეალური არგუმენტის შესაბამის ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს შორის:

მიღებული მიმართებები შესაძლებელს ხდის ტრიგონომეტრიული ფუნქციებიდან ჰიპერბოლურზე გადასვლას და დან

ჰიპერბოლური ფუნქციები ტრიგონომეტრიულთან, წარმოსახვითი არგუმენტის რეალურით ჩანაცვლებით. ისინი შეიძლება ჩამოყალიბდეს შემდეგი წესით:

წარმოსახვითი არგუმენტის ტრიგონომეტრიული ფუნქციებიდან ჰიპერბოლურზე გადასასვლელად ან, პირიქით, წარმოსახვითი არგუმენტის ჰიპერბოლური ფუნქციებიდან ტრიგონომეტრიულზე გადასასვლელად, უნდა ამოიღოთ წარმოსახვითი ერთეული სინუსისა და ტანგენტის ფუნქციის ნიშნიდან და საერთოდ გაუქმდეს. კოსინუსისთვის.

დამყარებული კავშირი აღსანიშნავია, განსაკუთრებით იმით, რომ შესაძლებელს ხდის ჰიპერბოლურ ფუნქციებს შორის ყველა მიმართების მიღებას ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს შორის ცნობილი ურთიერთობებიდან ამ უკანასკნელის ჰიპერბოლური ფუნქციებით ჩანაცვლებით.

ვაჩვენოთ როგორ არის. კეთდება.

ავიღოთ მაგალითად ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტობა

და ჩადეთ იქ სადაც x არის რეალური რიცხვი; ჩვენ ვიღებთ:

თუ ამ იდენტურობაში ჩვენ შევცვლით სინუსს და კოსინუსს ჰიპერბოლური სინუსით და კოსინუსით ფორმულების მიხედვით, მაშინ მივიღებთ ან და ეს არის ძირითადი იდენტობა ადრე მიღებული სხვაგვარად.

ანალოგიურად, თქვენ შეგიძლიათ მიიღოთ ყველა სხვა ფორმულა, მათ შორის არგუმენტების ჯამისა და სხვაობის ჰიპერბოლური ფუნქციების ფორმულები, ორმაგი და ნახევარი არგუმენტები და ა.შ., ამრიგად, ჩვეულებრივი ტრიგონომეტრიიდან მიიღეთ "ჰიპერბოლური ტრიგონომეტრია".

ჰიპერბოლური ფუნქციები- ჰიპერბოლური სინუსი (sh x) და კოსინუსი (ch x) განისაზღვრება შემდეგი ტოლობებით:

ჰიპერბოლური ტანგენსი და კოტანგენსი განისაზღვრება ტრიგონომეტრიული ტანგენტისა და კოტანგენტის ანალოგიით:

ჰიპერბოლური სეკანტი და კოსეკანტი განისაზღვრება ანალოგიურად:

არსებობს ფორმულები:

ჰიპერბოლური ფუნქციების თვისებები მრავალი თვალსაზრისით მსგავსია თვისებების (იხ.). განტოლებები x=cos t, y=sin t განსაზღვრავს წრეს x²+y² = 1; განტოლებები x=сh t, y=sh t განსაზღვრავენ ჰიპერბოლას x² - y²=1. როგორც ტრიგონომეტრიული ფუნქციები განისაზღვრება ერთეული რადიუსის წრიდან, ასევე ჰიპერბოლური ფუნქციები განისაზღვრება ტოლფერდა ჰიპერბოლიდან x² - y² = 1. არგუმენტი t არის დაჩრდილული მრუდი სამკუთხედის OME ორმაგი ფართობი (ნახ. 48), ისევე როგორც ის, რომ წრიული (ტრიგონომეტრიული) ფუნქციებისთვის არგუმენტი t რიცხობრივად უდრის OKE მრუდი სამკუთხედის ფართობის ორჯერ ( სურ. 49):

წრისთვის

ჰიპერბოლისთვის

ჰიპერბოლური ფუნქციების დამატების თეორემები მსგავსია ტრიგონომეტრიული ფუნქციების შეკრების თეორემებისა:

ეს ანალოგიები ადვილად ჩანს, თუ კომპლექსური ცვლადი r მიღებული იქნება არგუმენტად x. ჰიპერბოლური ფუნქციები დაკავშირებულია ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებთან შემდეგი ფორმულებით: sh x \u003d - i sin ix, ch x \u003d cos ix, სადაც i არის ერთ-ერთი. ფესვის მნიშვნელობები √-1. ჰიპერბოლურ ფუნქციებს sh x, ისევე როგორც ch x: შეუძლია მიიღოს ნებისმიერი რაოდენობის დიდი მნიშვნელობები (აქედან, რა თქმა უნდა, დიდი ერთეულები), განსხვავებით ტრიგონომეტრიული ფუნქციებისგან sin x, cos x, რომლებიც რეალური მნიშვნელობებისთვის არ შეიძლება იყოს ერთზე მეტი აბსოლუტური მნიშვნელობით.
ჰიპერბოლური ფუნქციები თამაშობენ როლს ლობაჩევსკის გეომეტრიაში (იხ.), გამოიყენება მასალების წინააღმდეგობის შესწავლაში, ელექტროტექნიკაში და ცოდნის სხვა დარგებში. ლიტერატურაში ასევე არის ჰიპერბოლური ფუნქციების აღნიშვნები, როგორიცაა sinh x; cosh x; tghx.