§ 1 მთელი და წილადი რაციონალური განტოლებები

ამ გაკვეთილზე ჩვენ გავაანალიზებთ ისეთ ცნებებს, როგორიცაა რაციონალური განტოლება, რაციონალური გამოხატულება, მთელი რიცხვი, წილადური გამოსახულება. განვიხილოთ რაციონალური განტოლებების ამოხსნა.

რაციონალური განტოლება არის განტოლება, რომელშიც მარცხენა და მარჯვენა მხარეები რაციონალური გამონათქვამებია.

რაციონალური გამონათქვამებია:

წილადი.

მთელი რიცხვი შედგება რიცხვებისგან, ცვლადებისაგან, მთელი ძალებისგან შეკრების, გამოკლების, გამრავლებისა და ნულის გარდა სხვა რიცხვზე მოქმედებების გამოყენებით.

Მაგალითად:

წილადობრივ გამოსახულებებში არის დაყოფა ცვლადზე ან გამოხატულება ცვლადით. Მაგალითად:

ფრაქციულ გამოხატვას აზრი არ აქვს მასში შემავალი ცვლადების ყველა მნიშვნელობისთვის. მაგალითად, გამოხატულება

x = -9-ზე აზრი არ აქვს, რადგან x = -9-ზე მნიშვნელი მიდის ნულზე.

ეს ნიშნავს, რომ რაციონალური განტოლება შეიძლება იყოს მთელი და წილადი.

მთელი რაციონალური განტოლება არის რაციონალური განტოლება, რომელშიც მარცხენა და მარჯვენა მხარეები არიან მთელი რიცხვები.

Მაგალითად:

წილადი რაციონალური განტოლება არის რაციონალური განტოლება, რომელშიც მარცხენა ან მარჯვენა მხარე არის წილადი გამოსახულებები.

Მაგალითად:

§ 2 მთელი რაციონალური განტოლების ამოხსნა

განვიხილოთ მთელი რაციონალური განტოლების ამონახსნი.

Მაგალითად:

გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე მასში შემავალი წილადების მნიშვნელების უმცირეს საერთო მნიშვნელზე.

Ამისთვის:

1. იპოვნეთ საერთო მნიშვნელი 2, 3, 6 მნიშვნელებისთვის. ის უდრის 6-ს;

2. იპოვეთ დამატებითი კოეფიციენტი თითოეული წილადისთვის. ამისათვის გაყავით საერთო მნიშვნელი 6 თითოეულ მნიშვნელზე

დამატებითი მამრავლი წილადისთვის

დამატებითი მამრავლი წილადისთვის

3. წილადების მრიცხველების გამრავლება მათ შესაბამის დამატებით ფაქტორებზე. ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ განტოლებას

რომელიც ამ განტოლების ტოლფასია

მარცხნივ გახსენით ფრჩხილები, გადაიტანეთ მარჯვენა მხარე მარცხნივ, შეცვალეთ ტერმინის ნიშანი საპირისპიროზე გადატანისას.

ჩვენ ვაძლევთ მრავალწევრის მსგავს წევრებს და ვიღებთ

ჩვენ ვხედავთ, რომ განტოლება წრფივია.

მისი ამოხსნით ვხვდებით, რომ x = 0.5.

§ 3 წილადი რაციონალური განტოლების ამოხსნა

განვიხილოთ წილადი რაციონალური განტოლების ამონახსნი.

Მაგალითად:

1. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე მასში შემავალი რაციონალური წილადების მნიშვნელების უმცირეს საერთო მნიშვნელზე.

იპოვეთ საერთო მნიშვნელი x + 7 და x - 1 მნიშვნელებისთვის.

უდრის მათ ნამრავლს (x + 7)(x - 1).

2. თითოეული რაციონალური წილადისთვის ვიპოვოთ დამატებითი ფაქტორი.

ამისათვის ჩვენ ვყოფთ საერთო მნიშვნელს (x + 7) (x - 1) თითოეულ მნიშვნელზე. დამატებითი მამრავლი წილადებისთვის

უდრის x - 1,

დამატებითი მამრავლი წილადისთვის

უდრის x+7.

3. წილადების მრიცხველების გამრავლება მათ შესაბამის დამატებით ფაქტორებზე.

ჩვენ ვიღებთ განტოლებას (2x - 1) (x - 1) \u003d (3x + 4) (x + 7), რომელიც უდრის ამ განტოლებას

4.მარცხნივ და მარჯვნივ გაამრავლეთ ორობითი ორობით და მიიღეთ შემდეგი განტოლება

5. მარჯვენა ნაწილს გადავიტანთ მარცხნივ, საპირისპიროზე გადატანისას ყოველი ტერმინის ნიშანს ვცვლით:

6. წარმოგიდგენთ მრავალწევრის მსგავს წევრებს:

7. შეგიძლიათ ორივე ნაწილი გაყოთ -1-ზე. ჩვენ ვიღებთ კვადრატულ განტოლებას:

8. მისი ამოხსნის შემდეგ ვიპოვით ფესვებს

ვინაიდან განტოლებაში

მარცხენა და მარჯვენა ნაწილები წილადური გამოსახულებებია, ხოლო წილადის გამოსახულებებში, ცვლადების ზოგიერთი მნიშვნელობისთვის, მნიშვნელი შეიძლება გაქრეს, შემდეგ აუცილებელია შეამოწმოთ, არ ქრება თუ არა საერთო მნიშვნელი x1 და x2-ის პოვნისას.

x = -27-ზე საერთო მნიშვნელი (x + 7) (x - 1) არ ქრება, x = -1-ზე საერთო მნიშვნელი ასევე არ არის ნულოვანი.

ამრიგად, ორივე ფესვი -27 და -1 არის განტოლების ფესვები.

წილადი რაციონალური განტოლების ამოხსნისას უმჯობესია დაუყოვნებლივ მიუთითოთ დასაშვები მნიშვნელობების ფართობი. ამოიღეთ ის მნიშვნელობები, რომლებზეც საერთო მნიშვნელი მიდის ნულამდე.

განვიხილოთ წილადი რაციონალური განტოლების ამოხსნის კიდევ ერთი მაგალითი.

მაგალითად, გადავწყვიტოთ განტოლება

განტოლების მარჯვენა მხარეს მყოფი წილადის მნიშვნელს ვყოფთ ფაქტორებად

ჩვენ ვიღებთ განტოლებას

იპოვეთ საერთო მნიშვნელი მნიშვნელებისთვის (x - 5), x, x (x - 5).

ეს იქნება გამოხატულება x (x - 5).

ახლა ვიპოვოთ განტოლების დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონი

ამისათვის ჩვენ გავატოლებთ საერთო მნიშვნელს ნულთან x (x - 5) \u003d 0.

ჩვენ ვიღებთ განტოლებას, რომლის ამოხსნით ვხვდებით, რომ x \u003d 0-ზე ან x \u003d 5-ზე, საერთო მნიშვნელი ქრება.

ასე რომ, x = 0 ან x = 5 არ შეიძლება იყოს ჩვენი განტოლების ფესვები.

ახლა თქვენ შეგიძლიათ იპოვოთ დამატებითი მულტიპლიკატორები.

რაციონალური წილადების დამატებითი გამრავლება

დამატებითი მამრავლი წილადებისთვის

იქნება (x - 5),

და წილადის დამატებითი ფაქტორი

მრიცხველებს ვამრავლებთ შესაბამის დამატებით ფაქტორებზე.

ვიღებთ განტოლებას x(x - 3) + 1(x - 5) = 1(x + 5).

გავხსნათ ფრჩხილები მარცხნივ და მარჯვნივ, x2 - 3x + x - 5 = x + 5.

მოდით გადავიტანოთ ტერმინები მარჯვნიდან მარცხნივ გადასატანი ტერმინების ნიშნის შეცვლით:

X2 - 3x + x - 5 - x - 5 = 0

და მსგავსი ტერმინების მოყვანის შემდეგ ვიღებთ კვადრატულ განტოლებას x2 - 3x - 10 \u003d 0. მისი ამოხსნის შემდეგ ვპოულობთ ფესვებს x1 \u003d -2; x2 = 5.

მაგრამ ჩვენ უკვე გავარკვიეთ, რომ x = 5-ზე საერთო მნიშვნელი x(x - 5) ქრება. მაშასადამე, ჩვენი განტოლების ფესვი

იქნება x = -2.

§ 4 გაკვეთილის შეჯამება

მნიშვნელოვანია გახსოვდეთ:

წილადი რაციონალური განტოლებების ამოხსნისას თქვენ უნდა გააკეთოთ შემდეგი:

1. იპოვეთ განტოლებაში შემავალი წილადების საერთო მნიშვნელი. უფრო მეტიც, თუ წილადების მნიშვნელები შეიძლება დაიშალა ფაქტორებად, მაშინ დაშალეთ ისინი ფაქტორებად და შემდეგ იპოვნეთ საერთო მნიშვნელი.

2. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე საერთო მნიშვნელზე: იპოვეთ დამატებითი ფაქტორები, გაამრავლეთ მრიცხველები დამატებით ფაქტორებზე.

3. ამოხსენით მიღებული მთლიანი განტოლება.

4. გამორიცხეთ მისი ძირებიდან ის, ვინც საერთო მნიშვნელს ნულს აქცევს.

გამოყენებული ლიტერატურის სია:

1. მაკარიჩევი იუ.ნ., ნ.გ.მინდიუკი, ნეშკოვი კ.ი., სუვოროვა ს.ბ. / თელიაკოვსკის ს.ა.-ს რედაქტორობით. ალგებრა: სახელმძღვანელო. 8 უჯრედისთვის. ზოგადი განათლება ინსტიტუტები. - მ.: განათლება, 2013 წ.
2. მორდკოვიჩი ა.გ. Ალგებრა. კლასი 8: ორ ნაწილად. ნაწილი 1: პროკ. ზოგადი განათლებისთვის ინსტიტუტები. - მ.: მნემოსინე.
3. რურუკინი ა.ნ. გაკვეთილის განვითარება ალგებრაში: კლასი 8. - M .: VAKO, 2010 წ.
4. ალგებრა მე-8 კლასი: გაკვეთილის გეგმები სახელმძღვანელოს მიხედვით Yu.N. მაკარიჩევა, ნ.გ. მინდიუკი, კ.ი. ნეშკოვა, ს.ბ. სუვოროვა / Auth.-comp. თ.ლ. აფანასიევი, ლ.ა. ტაპილინა. - ვოლგოგრადი: მასწავლებელი, 2005 წ.

მარტივად რომ ვთქვათ, ეს არის განტოლებები, რომლებშიც არის მინიმუმ ერთი ცვლადით მნიშვნელში.

Მაგალითად:

\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(=0\)
\(\frac(1)(2x)+\frac(x)(x+1)=\frac(1)(2)\)
\(\frac(6)(x+1)=\frac(x^2-5x)(x+1)\)

მაგალითი არაწილადი რაციონალური განტოლებები:

\(\frac(9x^2-1)(3)\) \(=0\)
\(\frac(x)(2)\) \(+8x^2=6\)

როგორ წყდება წილადი რაციონალური განტოლებები?

მთავარი რაც უნდა გვახსოვდეს წილადი რაციონალური განტოლებების შესახებ არის ის, რომ თქვენ უნდა დაწეროთ მათში. და ფესვების პოვნის შემდეგ, დარწმუნდით, რომ შეამოწმეთ ისინი დასაშვებად. წინააღმდეგ შემთხვევაში, შეიძლება გამოჩნდეს ზედმეტი ფესვები და მთელი გამოსავალი ჩაითვლება არასწორად.

წილადი რაციონალური განტოლების ამოხსნის ალგორითმი:

ჩაწერეთ და „გადაჭრით“ ODZ.

გაამრავლეთ განტოლების თითოეული წევრი საერთო მნიშვნელით და შეამცირეთ მიღებული წილადები. მნიშვნელები გაქრება.

დაწერეთ განტოლება ფრჩხილების გახსნის გარეშე.

ამოხსენით მიღებული განტოლება.

შეამოწმეთ ნაპოვნი ფესვები ODZ-ით.

პასუხად ჩაწერეთ ფესვები, რომლებმაც გაიარეს ტესტი მე-7 საფეხურზე.

არ დაიმახსოვროთ ალგორითმი, 3-5 ამოხსნილი განტოლება - და ის თავისთავად დაიმახსოვრება.

მაგალითი . ამოხსენით წილადი რაციონალური განტოლება \(\frac(x)(x-2) - \frac(7)(x+2)=\frac(8)(x^2-4)\)

გადაწყვეტილება:

პასუხი: \(3\).

მაგალითი . იპოვეთ წილადი რაციონალური განტოლების ფესვები \(=0\)

გადაწყვეტილება:

\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)(x^2+7x+10)\)\(=0\) ODZ: \(x+2≠0⇔x≠-2\) \(x+5≠0 ⇔x≠-5\) \(x^2+7x+10≠0\) \(D=49-4 \cdot 10=9\) \(x_1≠\frac(-7+3)(2)=-2\) \(x_2≠\frac(-7-3)(2)=-5\)		ვწერთ და „ვაგვარებთ“ ODZ-ს. გააფართოვეთ \(x^2+7x+10\) ფორმულაში: \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\). საბედნიეროდ \(x_1\) და \(x_2\) ჩვენ უკვე ვიპოვეთ.
\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)((x+2)(x+5))\)\(=0\)		ცხადია, წილადების საერთო მნიშვნელი: \((x+2)(x+5)\). ჩვენ მასზე ვამრავლებთ მთელ განტოლებას.
\(\frac(x(x+2)(x+5))(x+2) + \frac((x+1)(x+2)(x+5))(x+5)-\) \(-\frac((7-x)(x+2)(x+5))((x+2)(x+5))\)\(=0\)		ჩვენ ვამცირებთ წილადებს
\(x(x+5)+(x+1)(x+2)-7+x=0\)		ფრჩხილების გახსნა
\(x^2+5x+x^2+3x+2-7+x=0\)		ჩვენ ვაძლევთ მსგავს პირობებს
\(2x^2+9x-5=0\)		განტოლების ფესვების პოვნა
\(x_1=-5;\) \(x_2=\frac(1)(2).\)		ერთ-ერთი ფესვი არ ჯდება ODZ-ის ქვეშ, ამიტომ საპასუხოდ ვწერთ მხოლოდ მეორე ფესვს.

პასუხი: \(\frac(1)(2)\).

ზემოთ განტოლება შემოვიღეთ § 7-ში. პირველ რიგში, გავიხსენებთ რა არის რაციონალური გამოხატულება. ეს არის ალგებრული გამონათქვამი, რომელიც შედგება რიცხვებისგან და x ცვლადისაგან, რომელიც იყენებს შეკრების, გამოკლების, გამრავლების, გაყოფისა და გამრავლების ოპერაციებს ბუნებრივი მაჩვენებლით.

თუ r(x) რაციონალური გამოხატულებაა, მაშინ განტოლებას r(x) = 0 ეწოდება რაციონალური განტოლება.

თუმცა, პრაქტიკაში უფრო მოსახერხებელია ტერმინის "რაციონალური განტოლების" უფრო ფართო ინტერპრეტაციის გამოყენება: ეს არის h(x) = q(x) ფორმის განტოლება, სადაც არის h(x) და q(x). რაციონალური გამონათქვამები.

აქამდე ვერც ერთი რაციონალური განტოლება ვერ ამოგვეხსნა, რომელიც სხვადასხვა გარდაქმნებისა და მსჯელობის შედეგად დაყვანილ იქნა წრფივი განტოლება. ახლა ჩვენი შესაძლებლობები გაცილებით დიდია: ჩვენ შევძლებთ ამოხსნათ რაციონალური განტოლება, რომელიც დაყვანს არა მხოლოდ წრფივზე
mu, არამედ კვადრატულ განტოლებამდე.

გავიხსენოთ, როგორ გადავწყვიტეთ ადრე რაციონალური განტოლებები და შევეცადოთ ჩამოვაყალიბოთ ამოხსნის ალგორითმი.

მაგალითი 1განტოლების ამოხსნა

გადაწყვეტილება. განტოლებას ვწერთ ფორმაში

ამ შემთხვევაში, ჩვეულებისამებრ, ჩვენ ვიყენებთ იმ ფაქტს, რომ ტოლობები A \u003d B და A - B \u003d 0 გამოხატავს ერთსა და იმავე ურთიერთობას A და B-ს შორის. ამან მოგვცა საშუალება გადაგვეტანა ტერმინი განტოლების მარცხენა მხარეს. საპირისპირო ნიშანი.

შევასრულოთ განტოლების მარცხენა მხარის გარდაქმნები. Ჩვენ გვაქვს

გავიხსენოთ თანასწორობის პირობები წილადებინული: თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ორი მიმართება ერთდროულად დაკმაყოფილებულია:

1) წილადის მრიცხველი არის ნული (a = 0); 2) წილადის მნიშვნელი განსხვავდება ნულისაგან).
(1 განტოლების მარცხენა მხარეს) წილადის მრიცხველის ნულის ტოლფასი, მივიღებთ

რჩება ზემოაღნიშნული მეორე პირობის შესრულების შემოწმება. თანაფარდობა ნიშნავს (1) განტოლებას, რომ . მნიშვნელობები x 1 = 2 და x 2 = 0.6 აკმაყოფილებს მითითებულ ურთიერთობებს და, შესაბამისად, ემსახურება (1) განტოლების ფესვებს, და ამავე დროს მოცემული განტოლების ფესვებს.

1) გადავიყვანოთ განტოლება ფორმაში

2) შევასრულოთ ამ განტოლების მარცხენა მხარის გარდაქმნები:

(ერთდროულად შეცვალა ნიშნები მრიცხველში და
წილადები).
ამრიგად, მოცემული განტოლება იღებს ფორმას

3) ამოხსენით განტოლება x 2 - 6x + 8 = 0. იპოვეთ

4) ნაპოვნი მნიშვნელობებისთვის შეამოწმეთ მდგომარეობა . ნომერი 4 აკმაყოფილებს ამ პირობას, მაგრამ ნომერი 2 არა. ასე რომ, 4 არის მოცემული განტოლების ფესვი, ხოლო 2 არის უცხო ფესვი.
პასუხი: 4.

2. რაციონალური განტოლებების ამოხსნა ახალი ცვლადის შემოტანით

ახალი ცვლადის დანერგვის მეთოდი თქვენთვის ნაცნობია, ის არაერთხელ გამოგვიყენებია. მოდით მაგალითებით ვაჩვენოთ, თუ როგორ გამოიყენება იგი რაციონალური განტოლებების ამოხსნისას.

მაგალითი 3ამოხსენით განტოლება x 4 + x 2 - 20 = 0.

გადაწყვეტილება. ჩვენ წარმოგიდგენთ ახალ ცვლადს y \u003d x 2. ვინაიდან x 4 \u003d (x 2) 2 \u003d y 2, მაშინ მოცემული განტოლება შეიძლება გადაიწეროს სახით

y 2 + y - 20 = 0.

ეს არის კვადრატული განტოლება, რომლის ფესვებს ვიპოვით ცნობილის გამოყენებით ფორმულები; ვიღებთ y 1 = 4, y 2 = - 5.
მაგრამ y \u003d x 2, რაც ნიშნავს, რომ პრობლემა შემცირდა ორი განტოლების ამოხსნამდე:
x2=4; x 2 \u003d -5.

პირველი განტოლებიდან ვხვდებით, რომ მეორე განტოლებას ფესვები არ აქვს.
პასუხი:.
ax 4 + bx 2 + c \u003d 0 ფორმის განტოლებას ეწოდება ბიკვადრატული განტოლება ("bi" - ორი, ანუ, როგორც ეს იყო, "ორჯერ კვადრატული" განტოლება). ახლახან ამოხსნილი განტოლება იყო ზუსტად ბიკვადრატული. ნებისმიერი ბიკვადრატული განტოლება წყდება ისევე, როგორც განტოლება მე-3 მაგალითიდან: შემოღებულია ახალი ცვლადი y \u003d x 2, შედეგად მიღებული კვადრატული განტოლება წყდება y ცვლადის მიმართ და შემდეგ ბრუნდება x ცვლადში.

მაგალითი 4განტოლების ამოხსნა

გადაწყვეტილება. გაითვალისწინეთ, რომ იგივე გამოხატულება x 2 + 3x აქ ორჯერ გვხვდება. აქედან გამომდინარე, აზრი აქვს შემოვიტანოთ ახალი ცვლადი y = x 2 + Zx. ეს საშუალებას მოგვცემს გადავიწეროთ განტოლება უფრო მარტივი და სასიამოვნო ფორმით (რაც, ფაქტობრივად, არის ახლის შემოღების მიზანი ცვლადი- და ჩაწერა უფრო ადვილია
და განტოლების სტრუქტურა უფრო ნათელი ხდება):

და ახლა ჩვენ გამოვიყენებთ ალგორითმს რაციონალური განტოლების ამოსახსნელად.

1) გადავიტანოთ განტოლების ყველა პირობა ერთ ნაწილად:

= 0
2) გადავცვალოთ განტოლების მარცხენა მხარე

ასე რომ, ჩვენ გადავაქციეთ მოცემული განტოლება ფორმაში

3) განტოლებიდან - 7y 2 + 29y -4 = 0 ვპოულობთ (ჩვენ უკვე გადავჭრით საკმაოდ ბევრი კვადრატული განტოლება, ამიტომ, ალბათ, არ ღირს ყოველთვის დეტალური გამოთვლების მიცემა სახელმძღვანელოში).

4) შევამოწმოთ ნაპოვნი ფესვები 5 პირობით (y - 3) (y + 1). ორივე ფესვი აკმაყოფილებს ამ მდგომარეობას.
ასე რომ, ახალი y ცვლადის კვადრატული განტოლება ამოხსნილია:
ვინაიდან y \u003d x 2 + Zx, და y, როგორც დავადგინეთ, იღებს ორ მნიშვნელობას: 4 და, - ჩვენ ჯერ კიდევ უნდა გადავწყვიტოთ ორი განტოლება: x 2 + Zx \u003d 4; x 2 + Zx \u003d. პირველი განტოლების ფესვები არის რიცხვები 1 და - 4, მეორე განტოლების ფესვები არის რიცხვები.

განხილულ მაგალითებში ახალი ცვლადის შემოტანის მეთოდი, როგორც მათემატიკოსები ამბობენ, სიტუაციის ადეკვატური იყო, ანუ კარგად შეესაბამებოდა მას. რატომ? დიახ, რადგან ერთი და იგივე გამოთქმა გარკვევით შეგვხვდა განტოლების ჩანაწერში რამდენჯერმე და მიზანშეწონილი იყო ამ გამოთქმის ახალი ასოებით აღნიშვნა. მაგრამ ეს ყოველთვის ასე არ არის, ზოგჯერ ახალი ცვლადი მხოლოდ გარდაქმნების პროცესში „ჩნდება“. ეს არის ზუსტად ის, რაც მოხდება შემდეგ მაგალითში.

მაგალითი 5განტოლების ამოხსნა
x(x-1)(x-2)(x-3) = 24.
გადაწყვეტილება. Ჩვენ გვაქვს
x (x - 3) \u003d x 2 - 3x;
(x - 1) (x - 2) \u003d x 2 -3x + 2.

ასე რომ მოცემული განტოლება შეიძლება გადაიწეროს როგორც

(x 2 - 3x) (x 2 + 3x + 2) = 24

ახლა ახალი ცვლადი "გამოჩნდა": y = x 2 - Zx.

მისი დახმარებით, განტოლება შეიძლება გადაიწეროს სახით y (y + 2) \u003d 24 და შემდეგ y 2 + 2y - 24 \u003d 0. ამ განტოლების ფესვებია რიცხვები 4 და -6.

თავდაპირველ x ცვლადს რომ დავუბრუნდეთ, ვიღებთ ორ განტოლებას x 2 - Zx \u003d 4 და x 2 - Zx \u003d - 6. პირველი განტოლებიდან ვპოულობთ x 1 \u003d 4, x 2 \u003d - 1; მეორე განტოლებას ფესვები არ აქვს.

პასუხი: 4, - 1.

გაკვეთილის შინაარსი გაკვეთილის შეჯამებამხარდაჭერა ჩარჩო გაკვეთილის პრეზენტაცია ამაჩქარებელი მეთოდები ინტერაქტიული ტექნოლოგიები ივარჯიშე ამოცანები და სავარჯიშოები თვითშემოწმების სემინარები, ტრენინგები, შემთხვევები, კვესტები საშინაო დავალების განხილვის კითხვები რიტორიკული კითხვები სტუდენტებისგან ილუსტრაციები აუდიო, ვიდეო კლიპები და მულტიმედიაფოტოები, სურათები გრაფიკა, ცხრილები, სქემები იუმორი, ანეგდოტები, ხუმრობები, კომიქსების იგავ-არაკები, გამონათქვამები, კროსვორდები, ციტატები დანამატები რეფერატებისტატიების ჩიპები ცნობისმოყვარე საწოლებისთვის სახელმძღვანელოები ძირითადი და დამატებითი ტერმინების ლექსიკონი სხვა სახელმძღვანელოების და გაკვეთილების გაუმჯობესებასახელმძღვანელოში არსებული შეცდომების გასწორებასახელმძღვანელოში ფრაგმენტის განახლება გაკვეთილზე ინოვაციის ელემენტების მოძველებული ცოდნის ახლით ჩანაცვლება მხოლოდ მასწავლებლებისთვის სრულყოფილი გაკვეთილებისადისკუსიო პროგრამის წლის მეთოდოლოგიური რეკომენდაციები კალენდარული გეგმა ინტეგრირებული გაკვეთილები

გავეცნოთ რაციონალურ და წილად რაციონალურ განტოლებებს, მივცეთ მათი განმარტება, მოვიყვანოთ მაგალითები და ასევე გავაანალიზოთ ამოცანების ყველაზე გავრცელებული ტიპები.

Yandex.RTB R-A-339285-1

რაციონალური განტოლება: განმარტება და მაგალითები

რაციონალური გამონათქვამების გაცნობა იწყება სკოლის მე-8 კლასში. ამ დროს, ალგებრის გაკვეთილებზე მოსწავლეები სულ უფრო ხშირად იწყებენ ამოცანების შესრულებას განტოლებებით, რომლებიც შენიშვნებში რაციონალურ გამონათქვამებს შეიცავს. მოდით განვაახლოთ ჩვენი მეხსიერება იმის შესახებ, თუ რა არის ეს.

განმარტება 1

რაციონალური განტოლებაარის განტოლება, რომელშიც ორივე მხარე შეიცავს რაციონალურ გამონათქვამებს.

სხვადასხვა სახელმძღვანელოებში შეგიძლიათ იპოვოთ სხვა ფორმულირება.

განმარტება 2

რაციონალური განტოლება- ეს არის განტოლება, რომლის მარცხენა მხარის ჩანაწერი შეიცავს რაციონალურ გამოხატულებას, ხოლო მარჯვენა შეიცავს ნულს.

ჩვენ მიერ რაციონალური განტოლებების განმარტებები ექვივალენტურია, რადგან ისინი ერთსა და იმავეს ნიშნავს. ჩვენი სიტყვების სისწორეს ადასტურებს ის ფაქტი, რომ ნებისმიერი რაციონალური გამოთქმისთვის პდა ქგანტოლებები P=Qდა P - Q = 0იქნება ეკვივალენტური გამონათქვამები.

ახლა მოდით მივმართოთ მაგალითებს.

მაგალითი 1

რაციონალური განტოლებები:

x = 1, 2 x − 12 x 2 y z 3 = 0, x x 2 + 3 x - 1 = 2 + 2 7 x - a (x + 2) , 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3.

რაციონალური განტოლებები, ისევე როგორც სხვა ტიპის განტოლებები, შეიძლება შეიცავდეს ცვლადების ნებისმიერ რაოდენობას 1-დან რამდენიმემდე. დასაწყისისთვის, ჩვენ განვიხილავთ მარტივ მაგალითებს, რომლებშიც განტოლებები შეიცავს მხოლოდ ერთ ცვლადს. შემდეგ კი ჩვენ ვიწყებთ დავალების თანდათანობით გართულებას.

რაციონალური განტოლებები იყოფა ორ დიდ ჯგუფად: მთელი და წილადი. ვნახოთ, რომელი განტოლებები გავრცელდება თითოეულ ჯგუფზე.

განმარტება 3

რაციონალური განტოლება იქნება მთელი რიცხვი, თუ მისი მარცხენა და მარჯვენა ნაწილების ჩანაწერი შეიცავს მთელ რაციონალურ გამონათქვამებს.

განმარტება 4

რაციონალური განტოლება წილადი იქნება, თუ მისი ერთი ან ორივე ნაწილი შეიცავს წილადს.

წილადი რაციონალური განტოლებები აუცილებლად შეიცავს გაყოფას ცვლადზე, ან ცვლადი იმყოფება მნიშვნელში. მთელი რიცხვების განტოლებების ჩაწერისას ასეთი დაყოფა არ არსებობს.

მაგალითი 2

3 x + 2 = 0და (x + y) (3 x 2 − 1) + x = − y + 0 , 5არის მთელი რაციონალური განტოლებები. აქ განტოლების ორივე ნაწილი წარმოდგენილია მთელი რიცხვებით.

1 x - 1 = x 3 და x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x − 1) : 5არის წილადი რაციონალური განტოლებები.

მთელი რაციონალური განტოლებები მოიცავს წრფივ და კვადრატულ განტოლებებს.

მთელი რიცხვების განტოლებების ამოხსნა

ასეთი განტოლებების ამოხსნა ჩვეულებრივ მცირდება მათ გარდაქმნამდე ეკვივალენტურ ალგებრულ განტოლებად. ამის მიღწევა შესაძლებელია განტოლებების ექვივალენტური ტრანსფორმაციების განხორციელებით შემდეგი ალგორითმის მიხედვით:

• ჯერ ვიღებთ ნულს განტოლების მარჯვენა მხარეს, ამისათვის საჭიროა განტოლების მარჯვენა მხარეს მდებარე გამოსახულება გადავიტანოთ მის მარცხენა მხარეს და შევცვალოთ ნიშანი;
• შემდეგ განტოლების მარცხენა მხარეს გამოსახულებას ვცვლით სტანდარტული ფორმის მრავალწევრად.

უნდა მივიღოთ ალგებრული განტოლება. ეს განტოლება ექვივალენტური იქნება თავდაპირველი განტოლების მიმართ. მარტივი შემთხვევები საშუალებას გვაძლევს გადავჭრათ პრობლემა მთელი განტოლების წრფივ ან კვადრატულზე შემცირებით. ზოგად შემთხვევაში, ჩვენ ვხსნით ხარისხის ალგებრულ განტოლებას ნ.

მაგალითი 3

აუცილებელია ვიპოვოთ მთელი განტოლების ფესვები 3 (x + 1) (x − 3) = x (2 x − 1) − 3.

გადაწყვეტილება

მოდით გადავიტანოთ ორიგინალური გამონათქვამი, რათა მივიღოთ მისი ექვივალენტური ალგებრული განტოლება. ამისათვის ჩვენ გადავიტანთ განტოლების მარჯვენა მხარეს მოცემულ გამოსახულებას მარცხენა მხარეს და შევცვლით ნიშანს საპირისპიროდ. შედეგად, ჩვენ ვიღებთ: 3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = 0.

ახლა ჩვენ მარცხენა მხარეს გამოსახულებას გადავცემთ სტანდარტული ფორმის მრავალწევრად და ვასრულებთ საჭირო მოქმედებებს ამ პოლინომით:

3 (x + 1) (x - 3) - x (2 x - 1) + 3 = (3 x + 3) (x - 3) - 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 - 9 x + 3 x - 9 - 2 x 2 + x + 3 = x 2 - 5 x - 6

ჩვენ მოვახერხეთ თავდაპირველი განტოლების ამონახსნის გადაწყვეტა ფორმის კვადრატული განტოლების ამოხსნამდე x 2 − 5 x − 6 = 0. ამ განტოლების დისკრიმინანტი დადებითია: D = (− 5) 2 − 4 1 (− 6) = 25 + 24 = 49 .ეს ნიშნავს, რომ იქნება ორი რეალური ფესვი. მოდი ვიპოვოთ ისინი კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულის გამოყენებით:

x \u003d - - 5 ± 49 2 1,

x 1 \u003d 5 + 7 2 ან x 2 \u003d 5 - 7 2,

x 1 = 6 ან x 2 = - 1

მოდით შევამოწმოთ ამოხსნის პროცესში აღმოჩენილი განტოლების ფესვების სისწორე. ამ რიცხვისთვის, რომელიც მივიღეთ, ჩვენ ვცვლით თავდაპირველ განტოლებას: 3 (6 + 1) (6 − 3) = 6 (2 6 − 1) − 3და 3 (− 1 + 1) (− 1 − 3) = (− 1) (2 (− 1) − 1) − 3. პირველ შემთხვევაში 63 = 63 , მეორეში 0 = 0 . Ფესვები x=6და x = − 1მართლაც არის მაგალითის პირობით მოცემული განტოლების ფესვები.

პასუხი: 6 , − 1 .

ვნახოთ, რას ნიშნავს „მთელი განტოლების ძალა“. ამ ტერმინს ხშირად შევხვდებით იმ შემთხვევებში, როდესაც მთელი განტოლება უნდა წარმოვადგინოთ ალგებრულის სახით. მოდით განვსაზღვროთ კონცეფცია.

განმარტება 5

მთელი რიცხვის განტოლების ხარისხიარის ალგებრული განტოლების ხარისხი, რომელიც ექვივალენტურია თავდაპირველი მთლიანი განტოლებისა.

თუ ზემოთ მოყვანილი მაგალითიდან გადახედავთ განტოლებებს, შეგიძლიათ დაადგინოთ: მთელი ამ განტოლების ხარისხი არის მეორე.

თუ ჩვენი კურსი შემოიფარგლებოდა მეორე ხარისხის განტოლებების ამოხსნით, მაშინ თემის განხილვა შეიძლება დასრულდეს აქ. მაგრამ ყველაფერი არც ისე მარტივია. მესამე ხარისხის განტოლებების ამოხსნა სავსეა სირთულეებით. ხოლო მეოთხე ხარისხის ზემოთ განტოლებისთვის, საერთოდ არ არსებობს ფესვების ზოგადი ფორმულები. ამასთან დაკავშირებით, მესამე, მეოთხე და სხვა ხარისხების მთელი განტოლებების ამოხსნა მოითხოვს არაერთი სხვა ტექნიკისა და მეთოდის გამოყენებას.

ყველაზე ხშირად გამოყენებული მიდგომა მთელი რაციონალური განტოლებების ამოხსნისას ემყარება ფაქტორიზაციის მეთოდს. ამ შემთხვევაში მოქმედებების ალგორითმი შემდეგია:

• გამონათქვამს გადავიტანთ მარჯვენა მხრიდან მარცხენა მხარეს ისე, რომ ნული დარჩეს ჩანაწერის მარჯვენა მხარეს;
• ჩვენ წარმოვადგენთ მარცხენა მხარეს გამოსახულებას, როგორც ფაქტორების ნამრავლს და შემდეგ გადავდივართ რამდენიმე მარტივი განტოლების სიმრავლეზე.

მაგალითი 4

იპოვეთ (x 2 − 1) განტოლების ამონახსნი (x 2 − 10 x + 13) = 2 x (x 2 − 10 x + 13) .

გადაწყვეტილება

გამონათქვამს გადავიტანთ ჩანაწერის მარჯვენა მხრიდან მარცხენა მხარეს საპირისპირო ნიშნით: (x 2 − 1) (x 2 − 10 x + 13) − 2 x (x 2 − 10 x + 13) = 0. მარცხენა მხარის სტანდარტული ფორმის პოლინომად გადაქცევა არაპრაქტიკულია იმის გამო, რომ ეს მოგვცემს მეოთხე ხარისხის ალგებრულ განტოლებას: x 4 − 12 x 3 + 32 x 2 − 16 x − 13 = 0. ტრანსფორმაციის სიმარტივე არ ამართლებს ყველა სირთულეს ასეთი განტოლების ამოხსნისას.

ბევრად უფრო ადვილია სხვა გზით წასვლა: ჩვენ ვიღებთ საერთო ფაქტორს x 2 − 10 x + 13 .ამრიგად, ჩვენ მივდივართ ფორმის განტოლებამდე (x 2 − 10 x + 13) (x 2 − 2 x − 1) = 0. ახლა ჩვენ ვცვლით მიღებულ განტოლებას ორი კვადრატული განტოლების სიმრავლით x 2 − 10 x + 13 = 0და x 2 − 2 x − 1 = 0და იპოვეთ მათი ფესვები დისკრიმინანტის საშუალებით: 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 .

პასუხი: 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 .

ანალოგიურად, ჩვენ შეგვიძლია გამოვიყენოთ ახალი ცვლადის შემოღების მეთოდი. ეს მეთოდი საშუალებას გვაძლევს გადავიდეთ ეკვივალენტურ განტოლებებზე, რომელთა სიმძლავრეები უფრო დაბალია, ვიდრე თავდაპირველი მთლიანი განტოლება.

მაგალითი 5

აქვს თუ არა განტოლებას ფესვები? (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = − 2 (x 2 + 3 x − 4)?

გადაწყვეტილება

თუ ახლა ვცდილობთ მთლიანი რაციონალური განტოლების შემცირებას ალგებრულ განტოლებამდე მივიღებთ მე-4 ხარისხის განტოლებას, რომელსაც რაციონალური ფესვები არ აქვს. აქედან გამომდინარე, გაგვიადვილდება სხვა გზით წასვლა: შემოვიღოთ ახალი ცვლადი y, რომელიც ჩაანაცვლებს განტოლებაში გამოსახულებას. x 2 + 3 x.

ახლა ჩვენ ვიმუშავებთ მთელ განტოლებაზე (y + 1) 2 + 10 = − 2 (y − 4). განტოლების მარჯვენა მხარეს საპირისპირო ნიშნით გადავიტანთ მარცხენა მხარეს და ვახორციელებთ საჭირო გარდაქმნებს. ჩვენ ვიღებთ: y 2 + 4 y + 3 = 0. ვიპოვოთ კვადრატული განტოლების ფესვები: y = − 1და y = − 3.

ახლა გავაკეთოთ საპირისპირო ჩანაცვლება. ჩვენ ვიღებთ ორ განტოლებას x 2 + 3 x = − 1და x 2 + 3 x = - 3 .მოდით გადავიწეროთ ისინი x 2 + 3 x + 1 = 0 და x 2 + 3 x + 3 = 0. მიღებული პირველი განტოლების ფესვების საპოვნელად ვიყენებთ კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულას: - 3 ± 5 2 . მეორე განტოლების დისკრიმინანტი უარყოფითია. ეს ნიშნავს, რომ მეორე განტოლებას არ აქვს რეალური ფესვები.

პასუხი:- 3 ± 5 2

მაღალი ხარისხის მთელი რიცხვითი განტოლებები საკმაოდ ხშირად გვხვდება ამოცანებში. არ არის საჭირო მათი შიში. თქვენ მზად უნდა იყოთ მათი გადაჭრის არასტანდარტული მეთოდის გამოსაყენებლად, მათ შორის არაერთი ხელოვნური ტრანსფორმაციისთვის.

წილადი რაციონალური განტოლებების ამოხსნა

ამ ქვეთემის განხილვას ვიწყებთ p (x) q (x) = 0 ფორმის წილადი რაციონალური განტოლებების ამოხსნის ალგორითმით, სადაც p(x)და q(x)არის მთელი რაციონალური გამონათქვამები. სხვა წილადი რაციონალური განტოლებების ამოხსნა ყოველთვის შეიძლება შემცირდეს მითითებული ფორმის განტოლებამდე.

p (x) q (x) = 0 განტოლებების ამოხსნის ყველაზე ხშირად გამოყენებული მეთოდი ეფუძნება შემდეგ დებულებას: რიცხვითი წილადი u v, სად ვარის რიცხვი, რომელიც განსხვავდება ნულისაგან, ნულის ტოლია მხოლოდ იმ შემთხვევებში, როდესაც წილადის მრიცხველი ნულის ტოლია. ზემოაღნიშნული განცხადების ლოგიკის მიხედვით, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ განტოლების ამონახსნი p (x) q (x) = 0 შეიძლება შემცირდეს ორი პირობის შესრულებამდე: p(x)=0და q(x) ≠ 0. ამაზე აგებულია p (x) q (x) = 0 ფორმის წილადი რაციონალური განტოლებების ამოხსნის ალგორითმი:

• ვპოულობთ მთელი რაციონალური განტოლების ამოხსნას p(x)=0;
• ვამოწმებთ, დაკმაყოფილებულია თუ არა ხსნარის დროს აღმოჩენილი ფესვების მდგომარეობა q(x) ≠ 0.

თუ ეს პირობა დაკმაყოფილებულია, მაშინ ნაპოვნი ფესვი, თუ არა, მაშინ ფესვი არ არის პრობლემის გადაწყვეტა.

მაგალითი 6

იპოვეთ განტოლების ფესვები 3 · x - 2 5 · x 2 - 2 = 0.

გადაწყვეტილება

საქმე გვაქვს p (x) q (x) = 0 ფორმის წილად რაციონალურ განტოლებასთან, რომელშიც p (x) = 3 · x − 2 , q (x) = 5 · x 2 − 2 = 0 . დავიწყოთ წრფივი განტოლების ამოხსნა 3 x - 2 = 0. ამ განტოლების ფესვი იქნება x = 2 3.

შევამოწმოთ ნაპოვნი ფესვი, აკმაყოფილებს თუ არა ის პირობას 5 x 2 - 2 ≠ 0. ამისათვის ჩაანაცვლეთ რიცხვითი მნიშვნელობა გამოსახულებაში. ჩვენ ვიღებთ: 5 2 3 2 - 2 \u003d 5 4 9 - 2 \u003d 20 9 - 2 \u003d 2 9 ≠ 0.

პირობა შესრულებულია. Ეს ნიშნავს, რომ x = 2 3არის საწყისი განტოლების ფესვი.

პასუხი: 2 3 .

არსებობს წილადი რაციონალური განტოლებების ამოხსნის კიდევ ერთი ვარიანტი p (x) q (x) = 0 . შეგახსენებთ, რომ ეს განტოლება მთლიანი განტოლების ტოლია p(x)=0საწყისი განტოლების x ცვლადის დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონზე. ეს გვაძლევს საშუალებას გამოვიყენოთ შემდეგი ალგორითმი p(x) q(x) = 0 განტოლებების ამოხსნისას:

• განტოლების ამოხსნა p(x)=0;
• იპოვნეთ მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონი x ცვლადისთვის;
• ჩვენ ვიღებთ ფესვებს, რომლებიც მდებარეობს x ცვლადის დასაშვები მნიშვნელობების რეგიონში, როგორც ორიგინალური წილადი რაციონალური განტოლების სასურველი ფესვები.

მაგალითი 7

ამოხსენით განტოლება x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0.

გადაწყვეტილება

პირველ რიგში, მოდით ამოხსნათ კვადრატული განტოლება x 2 − 2 x − 11 = 0. მისი ფესვების გამოსათვლელად ვიყენებთ ფესვის ფორმულას ლუწი მეორე კოეფიციენტისთვის. ვიღებთ D 1 = (− 1) 2 − 1 (− 11) = 12და x = 1 ± 2 3 .

ახლა ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ x-ის ODV საწყისი განტოლებისთვის. ეს ყველაფერი ის რიცხვებია, რისთვისაც x 2 + 3 x ≠ 0. იგივეა რაც x (x + 3) ≠ 0, საიდანაც x ≠ 0 , x ≠ − 3 .

ახლა შევამოწმოთ, არის თუ არა ამოხსნის პირველ ეტაპზე მიღებული ფესვები x = 1 ± 2 3 x ცვლადის მისაღები მნიშვნელობების ფარგლებში. ჩვენ ვხედავთ, რაც შემოდის. ეს ნიშნავს, რომ თავდაპირველ წილადობრივ რაციონალურ განტოლებას აქვს ორი ფესვი x = 1 ± 2 3.

პასუხი: x = 1 ± 2 3

ამოხსნის მეორე მეთოდი, რომელიც აღწერილია, უფრო მარტივია, ვიდრე პირველი, იმ შემთხვევებში, როდესაც ადვილად მოიძებნება x ცვლადის დასაშვები მნიშვნელობების ფართობი და განტოლების ფესვები. p(x)=0ირაციონალური. მაგალითად, 7 ± 4 26 9 . ფესვები შეიძლება იყოს რაციონალური, მაგრამ დიდი მრიცხველით ან მნიშვნელით. Მაგალითად, 127 1101 და − 31 59 . ეს დაზოგავს დროს მდგომარეობის შესამოწმებლად. q(x) ≠ 0: ბევრად უფრო ადვილია გამორიცხოთ ფესვები, რომლებიც არ ჯდება, ODZ-ის მიხედვით.

როდესაც განტოლების ფესვები p(x)=0არიან მთელი რიცხვები, უფრო მიზანშეწონილია გამოვიყენოთ აღწერილი ალგორითმებიდან პირველი p (x) q (x) = 0 ფორმის განტოლებების ამოსახსნელად. მთელი განტოლების ფესვების უფრო სწრაფად პოვნა p(x)=0, და შემდეგ შეამოწმეთ არის თუ არა მათთვის პირობა დაკმაყოფილებული q(x) ≠ 0, და არ იპოვო ODZ და შემდეგ ამოხსნას განტოლება p(x)=0ამ ODZ-ზე. ეს გამოწვეულია იმით, რომ ასეთ შემთხვევებში ჩვეულებრივ უფრო ადვილია შემოწმების გაკეთება, ვიდრე ODZ-ის პოვნა.

მაგალითი 8

იპოვეთ განტოლების ფესვები (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 = 0.

გადაწყვეტილება

ჩვენ ვიწყებთ მთელი განტოლების გათვალისწინებით (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) = 0და მისი ფესვების პოვნა. ამისათვის ჩვენ ვიყენებთ განტოლებების ამოხსნის მეთოდს ფაქტორიზაციის გზით. გამოდის, რომ თავდაპირველი განტოლება უდრის ოთხი განტოლების სიმრავლეს 2 x - 1 = 0, x - 6 = 0, x 2 - 5 x + 14 = 0, x + 1 = 0, რომელთაგან სამი არის წრფივი და ერთი არის კვადრატი. ვპოულობთ ფესვებს: პირველი განტოლებიდან x = 1 2, მეორედან x=6, მესამედან - x \u003d 7, x \u003d - 2, მეოთხედან - x = − 1.

გადავამოწმოთ მიღებული ფესვები. განსაზღვრეთ OHS in ამ საქმესჩვენთვის რთულია, რადგან ამისთვის მეხუთე ხარისხის ალგებრული განტოლების ამოხსნა მოგვიწევს. უფრო ადვილი იქნება იმ პირობის შემოწმება, რომლის მიხედვითაც განტოლების მარცხენა მხარეს მყოფი წილადის მნიშვნელი არ უნდა გაქრეს.

თავის მხრივ, გამოსახულებაში ჩაანაცვლეთ ფესვები x ცვლადის ნაცვლად x 5 − 15 x 4 + 57 x 3 − 13 x 2 + 26 x + 112და გამოთვალეთ მისი ღირებულება:

1 2 5 - 15 1 2 4 + 57 1 2 3 - 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 - 15 16 + 57 8 - 13 4 + 13 + 112 = 122 + 1 32;

6 5 − 15 6 4 + 57 6 3 − 13 6 2 + 26 6 + 112 = 448 ≠ 0;

7 5 − 15 7 4 + 57 7 3 − 13 7 2 + 26 7 + 112 = 0;

(− 2) 5 − 15 (− 2) 4 + 57 (− 2) 3 − 13 (− 2) 2 + 26 (− 2) + 112 = − 720 ≠ 0 ;

(− 1) 5 − 15 (− 1) 4 + 57 (− 1) 3 − 13 (− 1) 2 + 26 (− 1) + 112 = 0 .

განხორციელებული შემოწმება საშუალებას გვაძლევს დავადგინოთ, რომ თავდაპირველი წილადი რაციონალური განტოლების ფესვები არის 1 2, 6 და − 2 .

პასუხი: 1 2 , 6 , - 2

მაგალითი 9

იპოვეთ წილადი რაციონალური განტოლების ფესვები 5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0 .

გადაწყვეტილება

დავიწყოთ განტოლებით (5 x 2 - 7 x - 1) (x - 2) = 0. მოდი ვიპოვოთ მისი ფესვები. ჩვენთვის უფრო ადვილია ამ განტოლების წარმოდგენა, როგორც კვადრატული და წრფივი განტოლებების კომბინაცია 5 x 2 - 7 x - 1 = 0და x − 2 = 0.

ფესვების საპოვნელად ვიყენებთ კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულას. ვიღებთ ორ ფესვს x = 7 ± 69 10 პირველი განტოლებიდან, ხოლო მეორედან x=2.

პირობების შესამოწმებლად ფესვების მნიშვნელობის პირვანდელ განტოლებაში ჩანაცვლება საკმაოდ რთული იქნება ჩვენთვის. უფრო ადვილი იქნება x ცვლადის LPV-ის დადგენა. ამ შემთხვევაში, x ცვლადის DPV არის ყველა რიცხვი, გარდა იმ რიცხვებისა, რისთვისაც პირობა დაკმაყოფილებულია. x 2 + 5 x − 14 = 0. ვიღებთ: x ∈ - ∞ , - 7 ∪ - 7 , 2 ∪ 2 , + ∞ .

ახლა შევამოწმოთ, ეკუთვნის თუ არა ჩვენს მიერ ნაპოვნი ფესვები x ცვლადის მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონს.

ფესვები x = 7 ± 69 10 - ეკუთვნის, შესაბამისად, ისინი თავდაპირველი განტოლების ფესვებია და x=2- არ ეკუთვნის, მაშასადამე, ის უცხო ფესვია.

პასუხი: x = 7 ± 69 10 .

ცალ-ცალკე განვიხილოთ შემთხვევები, როდესაც p (x) q (x) = 0 ფორმის წილადი რაციონალური განტოლების მრიცხველი შეიცავს რიცხვს. ასეთ შემთხვევებში, თუ მრიცხველი შეიცავს ნულის გარდა სხვა რიცხვს, მაშინ განტოლებას ფესვები არ ექნება. თუ ეს რიცხვი ნულის ტოლია, მაშინ განტოლების ფესვი იქნება ნებისმიერი რიცხვი ODZ-დან.

მაგალითი 10

ამოხსენით წილადი რაციონალური განტოლება - 3 , 2 x 3 + 27 = 0 .

გადაწყვეტილება

ამ განტოლებას არ ექნება ფესვები, რადგან განტოლების მარცხენა მხრიდან წილადის მრიცხველი შეიცავს არანულოვან რიცხვს. ეს ნიშნავს, რომ x-ის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის პრობლემის მდგომარეობაში მოცემული წილადის მნიშვნელობა არ იქნება ნულის ტოლი.

პასუხი:ფესვების გარეშე.

მაგალითი 11

ამოხსენით განტოლება 0 x 4 + 5 x 3 = 0.

გადაწყვეტილება

ვინაიდან წილადის მრიცხველი არის ნული, განტოლების ამონახსნი იქნება x-ის ნებისმიერი მნიშვნელობა ODZ x ცვლადიდან.

ახლა განვსაზღვროთ ODZ. იგი მოიცავს ყველა x მნიშვნელობას, რომლისთვისაც x 4 + 5 x 3 ≠ 0. განტოლების ამონახსნები x 4 + 5 x 3 = 0არიან 0 და − 5 , ვინაიდან ეს განტოლება განტოლების ტოლფასია x 3 (x + 5) = 0და ის, თავის მხრივ, უდრის ორი განტოლების სიმრავლეს x 3 = 0 და x + 5 = 0სადაც ეს ფესვები ჩანს. მივდივართ დასკვნამდე, რომ მისაღები მნიშვნელობების სასურველი დიაპაზონი არის ნებისმიერი x, გარდა x=0და x = -5.

გამოდის, რომ წილადის რაციონალურ განტოლებას 0 x 4 + 5 x 3 = 0 აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა, რომელიც არის ნებისმიერი რიცხვი, გარდა ნულისა და - 5-ისა.

პასუხი: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞

ახლა მოდით ვისაუბროთ თვითნებური ფორმის წილადი რაციონალურ განტოლებებზე და მათი ამოხსნის მეთოდებზე. ისინი შეიძლება დაიწეროს როგორც r(x) = s(x), სად r(x)და s(x)რაციონალური გამონათქვამებია და მათგან ერთი მაინც წილადია. ასეთი განტოლებების ამოხსნა მცირდება p (x) q (x) = 0 ფორმის განტოლებათა ამოხსნამდე.

ჩვენ უკვე ვიცით, რომ ჩვენ შეგვიძლია მივიღოთ ეკვივალენტური განტოლება განტოლების მარჯვენა მხრიდან გამოსახულების საპირისპირო ნიშნით მარცხენა მხარეს გადატანით. ეს ნიშნავს, რომ განტოლება r(x) = s(x)განტოლების ტოლფასია r (x) − s (x) = 0. ჩვენ ასევე უკვე განვიხილეთ, თუ როგორ გადავიყვანოთ რაციონალური გამოხატულება რაციონალურ წილადად. ამის წყალობით, ჩვენ შეგვიძლია მარტივად გარდავქმნათ განტოლება r (x) − s (x) = 0მის იდენტურ რაციონალურ წილადში p (x) q (x) .

ასე რომ, ჩვენ გადავდივართ თავდაპირველი წილადი რაციონალური განტოლებიდან r(x) = s(x) p (x) q (x) = 0 ფორმის განტოლებამდე, რომლის ამოხსნა უკვე ვისწავლეთ.

უნდა აღინიშნოს, რომ გადასვლების განხორციელებისას r (x) − s (x) = 0 p (x) q (x) = 0-მდე და შემდეგ -მდე p(x)=0შეიძლება არ გავითვალისწინოთ x ცვლადის მოქმედი მნიშვნელობების დიაპაზონის გაფართოება.

საკმაოდ რეალურია, რომ ორიგინალური განტოლება r(x) = s(x)და განტოლება p(x)=0გარდაქმნების შედეგად ისინი შეწყვეტენ ეკვივალენტობას. შემდეგ განტოლების ამოხსნა p(x)=0შეუძლია მოგვცეს ფესვები, რომლებიც უცხო იქნება r(x) = s(x). ამასთან დაკავშირებით, თითოეულ შემთხვევაში აუცილებელია შემოწმების ჩატარება ზემოთ აღწერილი რომელიმე მეთოდით.

იმისათვის, რომ გაგიადვილოთ თემის შესწავლა, ჩვენ განვაზოგადეთ ყველა ინფორმაცია ფორმის წილადი რაციონალური განტოლების ამოხსნის ალგორითმში. r(x) = s(x):

• გამონათქვამს მარჯვენა მხრიდან საპირისპირო ნიშნით გადავიტანთ და მარჯვნივ მივიღებთ ნულს;
• თავდაპირველ გამოსახულებას ვცვლით რაციონალურ წილადად p (x) q (x) წილადებთან და მრავალწევრებთან მოქმედებების თანმიმდევრული შესრულებით;
• განტოლების ამოხსნა p(x)=0;
• ჩვენ გამოვავლენთ გარე ფესვებს ODZ-თან მათი კუთვნილების შემოწმებით ან თავდაპირველ განტოლებაში ჩანაცვლებით.

ვიზუალურად, მოქმედებების ჯაჭვი ასე გამოიყურება:

r (x) = s (x) → r (x) - s (x) = 0 → p (x) q (x) = 0 → p (x) = 0 → მიტოვება r o n d e r o o n s

მაგალითი 12

ამოხსენით წილადი რაციონალური განტოლება x x + 1 = 1 x + 1 .

გადაწყვეტილება

გადავიდეთ განტოლებაზე x x + 1 - 1 x + 1 = 0 . გადავიყვანოთ განტოლების მარცხენა მხარეს წილადი რაციონალური გამოხატულება p (x) q (x) ფორმაში.

ამისთვის, რაციონალური წილადები უნდა შევიყვანოთ საერთო მნიშვნელამდე და გავამარტივოთ გამოთქმა:

x x + 1 - 1 x - 1 = x x - 1 (x + 1) - 1 x (x + 1) x (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - x x (x + 1) = - 2 x - 1 x (x + 1)

იმისათვის, რომ ვიპოვოთ განტოლების ფესვები - 2 x - 1 x (x + 1) = 0, უნდა ამოხსნათ განტოლება − 2 x − 1 = 0. ჩვენ ვიღებთ ერთ ფესვს x = - 1 2.

ჩვენთვის რჩება შემოწმება რომელიმე მეთოდით. განვიხილოთ ორივე.

შეცვალეთ მიღებული მნიშვნელობა თავდაპირველ განტოლებაში. ვიღებთ - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1 . ჩვენ მივედით სწორ რიცხვობრივ ტოლობამდე − 1 = − 1 . Ეს ნიშნავს, რომ x = − 1 2არის საწყისი განტოლების ფესვი.

ახლა ჩვენ შევამოწმებთ ODZ-ს მეშვეობით. მოდით განვსაზღვროთ მისაღები მნიშვნელობების ფართობი x ცვლადისთვის. ეს იქნება რიცხვების მთელი ნაკრები, გარდა − 1-ისა და 0-ისა (როცა x = − 1 და x = 0, წილადების მნიშვნელები ქრება). ფესვი მივიღეთ x = − 1 2ეკუთვნის ODZ-ს. ეს ნიშნავს, რომ ეს არის საწყისი განტოლების ფესვი.

პასუხი: − 1 2 .

მაგალითი 13

იპოვეთ x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 x განტოლების ფესვები.

გადაწყვეტილება

საქმე გვაქვს წილადის რაციონალურ განტოლებასთან. ამიტომ, ჩვენ ვიმოქმედებთ ალგორითმის მიხედვით.

გადავიტანოთ გამონათქვამი მარჯვენა მხრიდან მარცხენა მხარეს საპირისპირო ნიშნით: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = 0

განვახორციელოთ საჭირო გარდაქმნები: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = x 3 + 2 x 3 = 3 x 3 = x.

მივდივართ განტოლებამდე x=0. ამ განტოლების ფესვი არის ნული.

მოდით შევამოწმოთ ეს ფესვი უცხოა თუ არა ორიგინალური განტოლებისთვის. ჩაანაცვლეთ მნიშვნელობა თავდაპირველ განტოლებაში: 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 0 . როგორც ხედავთ, მიღებულ განტოლებას აზრი არ აქვს. ეს ნიშნავს, რომ 0 არის უცხო ფესვი, ხოლო თავდაპირველ წილადობრივ რაციონალურ განტოლებას ფესვები არ აქვს.

პასუხი:ფესვების გარეშე.

თუ ალგორითმში სხვა ეკვივალენტური გარდაქმნები არ ჩავრთეთ, ეს საერთოდ არ ნიშნავს, რომ მათი გამოყენება შეუძლებელია. ალგორითმი უნივერსალურია, მაგრამ ის შექმნილია დასახმარებლად და არა შეზღუდვისთვის.

მაგალითი 14

ამოხსენით განტოლება 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24

გადაწყვეტილება

უმარტივესი გზაა მოცემული წილადი რაციონალური განტოლების ალგორითმის მიხედვით ამოხსნა. მაგრამ არსებობს სხვა გზა. განვიხილოთ.

გამოვაკლოთ მარჯვენა და მარცხენა ნაწილებს 7, მივიღებთ: 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 24.

აქედან შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ მარცხენა მხარის მნიშვნელში გამოხატული უნდა იყოს ტოლი რიცხვის საპასუხო რიცხვის მარჯვენა მხრიდან, ანუ 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7 .

გამოვაკლოთ ორივე ნაწილი 3: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7 . ანალოგიით 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 3, საიდანაც 1 5 - x 2 \u003d 1 3 და შემდგომ 5 - x 2 \u003d 3, x 2 \u003d 2, x \u003d ± 2

მოდით შევამოწმოთ, რათა დავადგინოთ არის თუ არა ნაპოვნი ფესვები საწყისი განტოლების ფესვები.

პასუხი: x = ± 2

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

ჩვენ ვაგრძელებთ საუბარს განტოლებების ამოხსნა. ამ სტატიაში ჩვენ ყურადღებას გავამახვილებთ რაციონალური განტოლებებიდა რაციონალური განტოლებების ერთი ცვლადით ამოხსნის პრინციპები. ჯერ გავარკვიოთ, რა სახის განტოლებებს ეწოდება რაციონალური, მივცეთ მთელი რაციონალური და წილადი რაციონალური განტოლებების განმარტება და მოვიყვანოთ მაგალითები. გარდა ამისა, ჩვენ მივიღებთ რაციონალური განტოლებების ამოხსნის ალგორითმებს და, რა თქმა უნდა, განვიხილავთ ტიპიური მაგალითების ამონახსნებს ყველა საჭირო განმარტებით.

გვერდის ნავიგაცია.

გაჟღერებულ განმარტებებზე დაყრდნობით, რაციონალური განტოლებების რამდენიმე მაგალითს ვაძლევთ. მაგალითად, x=1, 2 x−12 x 2 y z 3 =0, , ყველა რაციონალური განტოლებაა.

ნაჩვენები მაგალითებიდან ჩანს, რომ რაციონალური განტოლებები, ისევე როგორც სხვა ტიპის განტოლებები, შეიძლება იყოს ან ერთი ცვლადით, ან ორი, სამი და ა.შ. ცვლადები. შემდეგ აბზაცებში ვისაუბრებთ რაციონალური განტოლებების ერთ ცვლადში ამოხსნაზე. განტოლებების ამოხსნა ორი ცვლადითდა მათი დიდი რაოდენობა განსაკუთრებულ ყურადღებას იმსახურებს.

გარდა იმისა, რომ რაციონალური განტოლებები იყოფა უცნობი ცვლადების რაოდენობაზე, ისინი ასევე იყოფა მთელ რიცხვებად და წილადებად. მოდით მივცეთ შესაბამისი განმარტებები.

განმარტება.

რაციონალური განტოლება ე.წ მთლიანითუ მისი მარცხენა და მარჯვენა ნაწილები მთელი რაციონალური გამონათქვამებია.

განმარტება.

თუ რაციონალური განტოლების ერთი ნაწილი მაინც არის წილადი, მაშინ ასეთი განტოლება ე.წ. ფრაქციულად რაციონალური(ან წილადი რაციონალური).

ნათელია, რომ მთელი რიცხვები არ შეიცავს გაყოფას ცვლადზე, პირიქით, წილადი რაციონალური განტოლებები აუცილებლად შეიცავს გაყოფას ცვლადზე (ან ცვლადზე მნიშვნელში). ანუ 3 x+2=0 და (x+y) (3 x 2 −1)+x=−y+0.5არის მთელი რაციონალური განტოლებები, მათი ორივე ნაწილი არის მთელი რიცხვი. A და x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 არის წილადი რაციონალური განტოლებების მაგალითები.

ამ აბზაცის დასასრულს, ყურადღება მივაქციოთ იმ ფაქტს, რომ ამ მომენტისთვის ცნობილი წრფივი განტოლებები და კვადრატული განტოლებები მთლიანი რაციონალური განტოლებებია.

მთელი რიცხვების განტოლებების ამოხსნა

მთლიანი განტოლებების ამოხსნის ერთ-ერთი მთავარი მიდგომაა მათი შემცირება ეკვივალენტამდე ალგებრული განტოლებები. ეს ყოველთვის შეიძლება გაკეთდეს განტოლების შემდეგი ეკვივალენტური გარდაქმნების შესრულებით:

• პირველი, გამონათქვამი საწყისი მთელი რიცხვის განტოლების მარჯვენა მხრიდან გადაეცემა მარცხენა მხარეს საპირისპირო ნიშნით, რათა მიიღოთ ნული მარჯვენა მხარეს;
• ამის შემდეგ, განტოლების მარცხენა მხარეს, მიღებული სტანდარტული ფორმა.

შედეგი არის ალგებრული განტოლება, რომელიც უდრის თავდაპირველ მთლიან განტოლებას. ასე რომ, უმარტივეს შემთხვევებში, მთელი განტოლებების ამონახვა მცირდება წრფივი ან კვადრატული განტოლებების ამოხსნამდე, ხოლო ზოგად შემთხვევაში - n ხარისხის ალგებრული განტოლების ამოხსნამდე. სიცხადისთვის, მოდით გავაანალიზოთ მაგალითის ამოხსნა.

მაგალითი.

იპოვეთ მთელი განტოლების ფესვები 3 (x+1) (x−3)=x (2 x−1)−3.

გადაწყვეტილება.

მთელი ამ განტოლების ამონახვა შევამციროთ ეკვივალენტური ალგებრული განტოლების ამოხსნამდე. ამისათვის, პირველ რიგში, ჩვენ გადავიტანთ გამონათქვამს მარჯვენა მხრიდან მარცხნივ, რის შედეგადაც მივდივართ განტოლებამდე 3 (x+1) (x−3)−x (2 x−1)+3=0. და მეორეც, მარცხენა მხარეს წარმოქმნილ გამოსახულებას ვაქცევთ სტანდარტული ფორმის პოლინომად საჭიროების გაკეთებით: 3 (x+1) (x−3)−x (2 x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 −9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 −5 x−6. ამრიგად, თავდაპირველი მთელი განტოლების ამონახსნი მცირდება x 2 −5·x−6=0 კვადრატული განტოლების ამოხსნამდე.

გამოთვალეთ მისი დისკრიმინანტი D=(−5) 2 −4 1 (−6)=25+24=49, ის დადებითია, რაც ნიშნავს, რომ განტოლებას აქვს ორი რეალური ფესვი, რომელსაც ვპოულობთ კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულით:

სრულიად დარწმუნებული რომ ვიყოთ, მოდით გავაკეთოთ განტოლების ნაპოვნი ფესვების შემოწმება. პირველ რიგში, ჩვენ ვამოწმებთ ფესვს 6, ვცვლით მას ცვლადის x-ის ნაცვლად თავდაპირველ მთელ რიცხვში განტოლებაში: 3 (6+1) (6−3)=6 (2 6−1)−3, რაც იგივეა, 63=63 . ეს არის სწორი რიცხვითი განტოლება, ამიტომ x=6 ნამდვილად არის განტოლების ფესვი. ახლა ვამოწმებთ ფესვს −1 , გვაქვს 3 (−1+1) (−1−3)=(−1) (2 (−1)−1)−3, საიდანაც, 0=0 . x=−1-ისთვის თავდაპირველი განტოლება ასევე გადაიქცა ნამდვილ რიცხვობრივ ტოლობაში, შესაბამისად, x=−1 ასევე განტოლების ფესვია.

პასუხი:

6 , −1 .

აქვე უნდა აღინიშნოს, რომ ტერმინი „მთელი განტოლების ძალა“ ასოცირდება მთელი განტოლების წარმოდგენასთან ალგებრული განტოლების სახით. ჩვენ ვაძლევთ შესაბამის განმარტებას:

განმარტება.

მთელი განტოლების ხარისხივუწოდოთ მისი ექვივალენტური ალგებრული განტოლების ხარისხი.

ამ განმარტების მიხედვით, წინა მაგალითის მთელ განტოლებას მეორე ხარისხი აქვს.

ამაზე შეიძლება დასრულდეს მთელი რაციონალური განტოლების ამოხსნით, რომ არა ერთი, არამედ .... როგორც ცნობილია, მეორეზე მაღალი ხარისხის ალგებრული განტოლებების ამოხსნა დაკავშირებულია მნიშვნელოვან სირთულეებთან, ხოლო მეოთხეზე მაღალი ხარისხის განტოლებისთვის, ფესვების ზოგადი ფორმულები საერთოდ არ არსებობს. ამიტომ, მესამე, მეოთხე და უფრო მაღალი ხარისხის განტოლებების ამოსახსნელად, ხშირად უნდა მიმართოთ ამოხსნის სხვა მეთოდებს.

ასეთ შემთხვევებში, ზოგჯერ მიდგომა გადაჭრის მთელი რაციონალური განტოლებების საფუძველზე ფაქტორიზაციის მეთოდი. ამავე დროს, გამოიყენება შემდეგი ალგორითმი:

• პირველ რიგში ისინი ეძებენ ნულის ქონას განტოლების მარჯვენა მხარეს, ამისთვის ისინი გამოხატავენ მთელი განტოლების მარჯვენა მხრიდან მარცხნივ;
• შემდეგ, მარცხენა მხარეს მიღებული გამოხატულება წარმოდგენილია, როგორც რამდენიმე ფაქტორის პროდუქტი, რაც საშუალებას გაძლევთ გადახვიდეთ რამდენიმე მარტივი განტოლების სიმრავლეზე.

ზემოაღნიშნული ალგორითმი მთელი განტოლების ფაქტორიზაციით ამოხსნისთვის მოითხოვს დეტალურ ახსნას მაგალითის გამოყენებით.

მაგალითი.

ამოხსენით მთელი განტოლება (x 2 −1) (x 2 −10 x+13)= 2 x (x 2 −10 x+13) .

გადაწყვეტილება.

პირველ რიგში, ჩვეულებისამებრ, ჩვენ გადავიტანთ გამონათქვამს მარჯვენა მხრიდან განტოლების მარცხენა მხარეს, არ დაგვავიწყდეს ნიშნის შეცვლა, მივიღებთ (x 2 −1) (x 2 −10 x+13) − 2 x (x 2 −10 x+13)=0. აქ აშკარაა, რომ არ არის მიზანშეწონილი მიღებული განტოლების მარცხენა მხარის გადაქცევა სტანდარტული ფორმის მრავალწევრად, რადგან ეს მისცემს ფორმის მეოთხე ხარისხის ალგებრულ განტოლებას. x 4 −12 x 3 +32 x 2 −16 x−13=0, რომლის გადაწყვეტა რთულია.

მეორეს მხრივ, აშკარაა, რომ x 2 −10·x+13 შეიძლება მოიძებნოს მიღებული განტოლების მარცხენა მხარეს, რითაც წარმოადგენს მას ნამრავლად. Ჩვენ გვაქვს (x 2 −10 x+13) (x 2 −2 x−1)=0. მიღებული განტოლება თავდაპირველი მთლიანი განტოლების ტოლია და ის, თავის მხრივ, შეიძლება შეიცვალოს ორი კვადრატული განტოლების სიმრავლით x 2 −10·x+13=0 და x 2 −2·x−1=0 . მათი ფესვების პოვნა ცნობილი ფესვების ფორმულების გამოყენებით დისკრიმინანტის საშუალებით არ არის რთული, ფესვები თანაბარია. ისინი ორიგინალური განტოლების სასურველი ფესვებია.

პასუხი:

ის ასევე სასარგებლოა მთელი რაციონალური განტოლებების ამოსახსნელად. ახალი ცვლადის დანერგვის მეთოდი. ზოგიერთ შემთხვევაში, ის საშუალებას აძლევს ადამიანს გადავიდეს განტოლებებზე, რომელთა ხარისხი უფრო დაბალია, ვიდრე ორიგინალური მთელი განტოლების ხარისხი.

მაგალითი.

იპოვეთ რაციონალური განტოლების ნამდვილი ფესვები (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).

გადაწყვეტილება.

მთელი ამ რაციონალური განტოლების ალგებრულ განტოლებამდე დაყვანა, რბილად რომ ვთქვათ, არც თუ ისე კარგი იდეაა, რადგან ამ შემთხვევაში მივალთ მეოთხე ხარისხის განტოლების ამოხსნის საჭიროებამდე, რომელსაც რაციონალური ფესვები არ აქვს. ამიტომ, თქვენ მოგიწევთ სხვა გამოსავლის ძებნა.

აქ ადვილი მისახვედრია, რომ შეგიძლიათ შემოიტანოთ ახალი ცვლადი y და შეცვალოთ გამოხატვა x 2 +3 x მასთან. ასეთი ჩანაცვლება მიგვიყვანს მთელ განტოლებამდე (y+1) 2 +10=−2 (y−4) , რომელიც −2 (y−4) გამოხატვის მარცხენა მხარეს გადატანისა და გამოსახულების შემდგომი ტრანსფორმაციის შემდეგ წარმოიქმნება. იქ, მცირდება განტოლებამდე y 2 +4 y+3=0 . ამ განტოლების y=−1 და y=−3 ფესვების პოვნა ადვილია, მაგალითად, მათი პოვნა შესაძლებელია ვიეტას თეორემის შებრუნებული თეორემის საფუძველზე.

ახლა გადავიდეთ ახალი ცვლადის შემოღების მეთოდის მეორე ნაწილზე, ანუ საპირისპირო ჩანაცვლებაზე. საპირისპირო ჩანაცვლების შესრულების შემდეგ ვიღებთ ორ განტოლებას x 2 +3 x=−1 და x 2 +3 x=−3 , რომელიც შეიძლება გადაიწეროს x 2 +3 x+1=0 და x 2 +3 x+3. =0. კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულის მიხედვით ვპოულობთ პირველი განტოლების ფესვებს. ხოლო მეორე კვადრატულ განტოლებას არ აქვს რეალური ფესვები, ვინაიდან მისი დისკრიმინანტი უარყოფითია (D=3 2 −4 3=9−12=−3 ).

პასუხი:

ზოგადად, როდესაც საქმე გვაქვს მაღალი ხარისხის მთელ განტოლებებთან, ყოველთვის მზად უნდა ვიყოთ მათი ამოხსნის არასტანდარტული მეთოდის ან ხელოვნური ტექნიკის მოსაძებნად.

წილადი რაციონალური განტოლებების ამოხსნა

პირველ რიგში, სასარგებლო იქნება იმის გაგება, თუ როგორ უნდა ამოხსნათ ფორმის წილადი რაციონალური განტოლებები, სადაც p(x) და q(x) რაციონალური მთელი რიცხვი გამოსახულებებია. შემდეგ კი ჩვენ ვაჩვენებთ, თუ როგორ უნდა შევიყვანოთ დარჩენილი წილადი რაციონალური განტოლებების ამოხსნა მითითებული ფორმის განტოლებამდე.

განტოლების ამოხსნის ერთ-ერთი მიდგომა ემყარება შემდეგ დებულებას: რიცხვითი წილადი u/v, სადაც v არის არანულოვანი რიცხვი (წინააღმდეგ შემთხვევაში შევხვდებით , რომელიც არ არის განსაზღვრული), არის ნული, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ მისი მრიცხველი არის ნული, მაშინ არის, თუ და მხოლოდ თუ u=0 . ამ დებულების მიხედვით, განტოლების ამონახსნები მცირდება ორი პირობის შესრულებამდე p(x)=0 და q(x)≠0 .

ეს დასკვნა შეესაბამება შემდეგს წილადი რაციონალური განტოლების ამოხსნის ალგორითმი. ფორმის წილადი რაციონალური განტოლების ამოხსნა

• ამოხსენით მთელი რაციონალური განტოლება p(x)=0 ;
• და შეამოწმეთ დაკმაყოფილებულია თუ არა პირობა q(x)≠0 თითოეული ნაპოვნი ფესვისთვის, ხოლო
• თუ მართალია, მაშინ ეს ფესვი არის საწყისი განტოლების ფესვი;
• თუ არა, მაშინ ეს ფესვი ზედმეტია, ანუ ის არ არის საწყისი განტოლების ფესვი.

გავაანალიზოთ გახმოვანებული ალგორითმის გამოყენების მაგალითი წილადი რაციონალური განტოლების ამოხსნისას.

მაგალითი.

იპოვეთ განტოლების ფესვები.

გადაწყვეტილება.

ეს არის ფორმის წილადი რაციონალური განტოლება, სადაც p(x)=3 x−2, q(x)=5 x 2 −2=0.

ამ ტიპის წილადი რაციონალური განტოლებების ამოხსნის ალგორითმის მიხედვით, ჯერ უნდა ამოხსნათ განტოლება 3·x−2=0. ეს არის წრფივი განტოლება, რომლის ფესვი არის x=2/3.

რჩება ამ ფესვის შემოწმება, ანუ შევამოწმოთ, აკმაყოფილებს თუ არა ის პირობას 5·x 2 −2≠0 . ჩვენ ვცვლით რიცხვს 2/3 x-ის ნაცვლად გამოსახულებაში 5 x 2 −2, მივიღებთ . პირობა დაკმაყოფილებულია, ამიტომ x=2/3 არის საწყისი განტოლების ფესვი.

პასუხი:

2/3 .

წილადი რაციონალური განტოლების ამოხსნას შეიძლება მივუდგეთ ოდნავ განსხვავებული პოზიციიდან. ეს განტოლება უდრის მთლიანი განტოლების p(x)=0 საწყისი განტოლების x ცვლადზე. ანუ შეგიძლია მიჰყვე ამას წილადი რაციონალური განტოლების ამოხსნის ალგორითმი :

• ამოხსენით განტოლება p(x)=0 ;
• იპოვეთ ODZ ცვლადი x ;
• აიღეთ დასაშვები მნიშვნელობების რეგიონის კუთვნილი ფესვები - ისინი ორიგინალური წილადი რაციონალური განტოლების სასურველი ფესვებია.

მაგალითად, ამ ალგორითმის გამოყენებით ამოვხსნათ წილადი რაციონალური განტოლება.

მაგალითი.

ამოხსენით განტოლება.

გადაწყვეტილება.

ჯერ ვხსნით კვადრატულ განტოლებას x 2 −2·x−11=0 . მისი ფესვები შეიძლება გამოითვალოს ფესვის ფორმულის გამოყენებით თუნდაც მეორე კოეფიციენტისთვის, ჩვენ გვაქვს D 1 =(−1) 2 −1 (−11)=12, და .

მეორეც, ჩვენ ვპოულობთ x ცვლადის ODZ-ს საწყისი განტოლებისთვის. იგი შედგება ყველა რიცხვისაგან, რომლებისთვისაც x 2 +3 x≠0 , რაც იგივეა x (x+3)≠0 , საიდანაც x≠0 , x≠−3 .

რჩება იმის შემოწმება, შედის თუ არა პირველ ეტაპზე ნაპოვნი ფესვები ODZ-ში. ცხადია, დიახ. მაშასადამე, თავდაპირველ წილადობრივად რაციონალურ განტოლებას ორი ფესვი აქვს.

პასუხი:

გაითვალისწინეთ, რომ ეს მიდგომა უფრო მომგებიანია, ვიდრე პირველი, თუ ODZ ადვილად მოიძებნება, და განსაკუთრებით მომგებიანია, თუ განტოლების p(x)=0 ფესვები არის ირაციონალური, მაგალითად, ან რაციონალური, მაგრამ საკმაოდ დიდი. მრიცხველი და/ან მნიშვნელი, მაგალითად, 127/1101 და -31/59. ეს იმის გამო ხდება, რომ ასეთ შემთხვევებში q(x)≠0 პირობის შემოწმება დასჭირდება მნიშვნელოვან გამოთვლით ძალისხმევას და უფრო ადვილია ODZ-დან გარე ფესვების გამორიცხვა.

სხვა შემთხვევებში, განტოლების ამოხსნისას, განსაკუთრებით მაშინ, როდესაც განტოლების ძირები p(x)=0 არის მთელი რიცხვები, უფრო ხელსაყრელია ზემოთ ჩამოთვლილი ალგორითმებიდან პირველის გამოყენება. ანუ მიზანშეწონილია დაუყოვნებლივ იპოვოთ მთელი განტოლების ფესვები p(x)=0 , და შემდეგ შეამოწმოთ არის თუ არა პირობა q(x)≠0 მათთვის და არ იპოვოთ ODZ და შემდეგ ამოხსნათ განტოლება. p(x)=0 ამ ODZ-ზე. ეს გამოწვეულია იმით, რომ ასეთ შემთხვევებში ჩვეულებრივ უფრო ადვილია შემოწმების გაკეთება, ვიდრე ODZ-ის პოვნა.

განვიხილოთ ორი მაგალითის ამოხსნა გათვალისწინებული ნიუანსების საილუსტრაციოდ.

მაგალითი.

იპოვეთ განტოლების ფესვები.

გადაწყვეტილება.

ჯერ ვპოულობთ მთელი განტოლების ფესვებს (2 x−1) (x−6) (x 2 −5 x+14) (x+1)=0, შედგენილი წილადის მრიცხველის გამოყენებით. ამ განტოლების მარცხენა მხარე არის ნამრავლი, ხოლო მარჯვენა მხარე არის ნული, შესაბამისად, განტოლებების ფაქტორიზაციის გზით ამოხსნის მეთოდის მიხედვით, ეს განტოლება უდრის ოთხი განტოლების სიმრავლეს 2 x−1=0 , x−6= 0 , x 2 −5 x+ 14=0 , x+1=0 . ამ განტოლებიდან სამი წრფივია და ერთი კვადრატული, ჩვენ შეგვიძლია მათი ამოხსნა. პირველი განტოლებიდან ვხვდებით x=1/2, მეორიდან - x=6, მესამედან - x=7, x=−2, მეოთხედან - x=−1.

აღმოჩენილი ფესვებით, მათი შემოწმება საკმაოდ მარტივია იმის დასანახად, არ ქრება თუ არა თავდაპირველი განტოლების მარცხენა მხარეს მყოფი წილადის მნიშვნელი, და არც ისე ადვილია ODZ-ის დადგენა, რადგან მას მოუწევს ამოხსნას მეხუთე ხარისხის ალგებრული განტოლება. ამიტომ, ჩვენ უარს ვიტყვით ODZ-ის პოვნაზე ფესვების შემოწმების სასარგებლოდ. ამისათვის ჩვენ მათ რიგრიგობით ვცვლით გამოხატულებაში x ცვლადის ნაცვლად x 5 −15 x 4 +57 x 3 −13 x 2 +26 x+112, მიღებული ჩანაცვლების შემდეგ და შეადარეთ ისინი ნულთან: (1/2) 5 −15 (1/2) 4 + 57 (1/2) 3 −13 (1/2) 2 +26 (1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15 6 4 +57 6 3 −13 6 2 +26 6+112= 448≠0 ;
7 5 −15 7 4 +57 7 3 −13 7 2 +26 7+112=0;
(−2) 5 −15 (−2) 4 +57 (−2) 3 −13 (−2) 2 + 26 (−2)+112=−720≠0;
(−1) 5 −15 (−1) 4 +57 (−1) 3 −13 (−1) 2 + 26·(−1)+112=0 .

ამრიგად, 1/2, 6 და −2 არის თავდაპირველი წილადობრივად რაციონალური განტოლების სასურველი ფესვები, ხოლო 7 და −1 არის უცხო ფესვები.

პასუხი:

1/2 , 6 , −2 .

მაგალითი.

იპოვეთ წილადი რაციონალური განტოლების ფესვები.

გადაწყვეტილება.

ჯერ ვპოულობთ განტოლების ფესვებს (5x2 −7x−1)(x−2)=0. ეს განტოლება უდრის ორი განტოლების სიმრავლეს: კვადრატი 5·x 2 −7·x−1=0 და წრფივი x−2=0 . კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულის მიხედვით ვპოულობთ ორ ფესვს, ხოლო მეორე განტოლებიდან გვაქვს x=2.

იმის შემოწმება, რომ მნიშვნელი არ ქრება x-ის აღმოჩენილ მნიშვნელობებზე, საკმაოდ უსიამოვნოა. და ცვლადის x მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონის დადგენა თავდაპირველ განტოლებაში საკმაოდ მარტივია. ამიტომ, ჩვენ ვიმოქმედებთ ODZ-ის მეშვეობით.

ჩვენს შემთხვევაში, თავდაპირველი წილადი რაციონალური განტოლების x ცვლადის ODZ შედგება ყველა რიცხვისგან, გარდა იმ რიცხვებისა, რომელთათვისაც დაკმაყოფილებულია პირობა x 2 +5·x−14=0. ამ კვადრატული განტოლების ფესვებია x=−7 და x=2, საიდანაც დავასკვნით ODZ-ის შესახებ: იგი შედგება ყველა x-ისგან ისეთი, რომ .

რჩება იმის შემოწმება, ეკუთვნის თუ არა ნაპოვნი ფესვები და x=2 დასაშვები მნიშვნელობების რეგიონს. ფესვები - ეკუთვნის, მაშასადამე, ისინი თავდაპირველი განტოლების ფესვებია, ხოლო x=2 არ ეკუთვნის, მაშასადამე, ის უცხო ფესვია.

პასუხი:

ასევე სასარგებლო იქნება ცალკე ვისაუბროთ შემთხვევებზე, როდესაც რიცხვი არის მრიცხველში ფორმის წილადი რაციონალური განტოლებით, ანუ, როდესაც p (x) წარმოდგენილია გარკვეული რიცხვით. სადაც

• თუ ეს რიცხვი განსხვავდება ნულისაგან, მაშინ განტოლებას არ აქვს ფესვები, რადგან წილადი არის ნული, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ მისი მრიცხველი არის ნული;
• თუ ეს რიცხვი არის ნული, მაშინ განტოლების ფესვი არის ნებისმიერი რიცხვი ODZ-დან.

მაგალითი.

გადაწყვეტილება.

ვინაიდან განტოლების მარცხენა მხარეს წილადის მრიცხველში არის არანულოვანი რიცხვი, არც ერთი x-ისთვის არ შეიძლება ამ წილადის მნიშვნელობა ნულის ტოლი იყოს. ამრიგად, ამ განტოლებას არ აქვს ფესვები.

პასუხი:

ფესვების გარეშე.

მაგალითი.

ამოხსენით განტოლება.

გადაწყვეტილება.

ამ წილადი რაციონალური განტოლების მარცხენა მხარეს მდებარე წილადის მრიცხველი არის ნული, ამიტომ ამ წილადის მნიშვნელობა არის ნული ნებისმიერი x-ისთვის, რომლისთვისაც აზრი აქვს. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ამ განტოლების ამონახსნი არის x-ის ნებისმიერი მნიშვნელობა ამ ცვლადის DPV-დან.

რჩება მისაღები მნიშვნელობების ამ დიაპაზონის განსაზღვრა. იგი მოიცავს ყველა ასეთ მნიშვნელობას x, რომლისთვისაც x 4 +5 x 3 ≠0. x 4 +5 x 3 \u003d 0 განტოლების ამონახსნები არის 0 და −5, რადგან ეს განტოლება უდრის x 3 (x + 5) \u003d 0 განტოლებას და ის, თავის მხრივ, უდრის კომბინაციას ორი განტოლების x 3 \u003d 0 და x +5=0 , საიდანაც ჩანს ეს ფესვები. ამიტომ, მისაღები მნიშვნელობების სასურველი დიაპაზონი არის ნებისმიერი x, გარდა x=0 და x=−5.

ამრიგად, წილადობრივად რაციონალურ განტოლებას აქვს უსასრულოდ ბევრი ამონახსნი, რომელიც არის ნებისმიერი რიცხვი, გარდა ნულისა და მინუს ხუთისა.

პასუხი:

დაბოლოს, დროა ვისაუბროთ თვითნებური წილადი რაციონალური განტოლებების ამოხსნაზე. ისინი შეიძლება დაიწეროს როგორც r(x)=s(x) , სადაც r(x) და s(x) რაციონალური გამონათქვამებია და ერთი მათგანი მაინც არის წილადი. წინ რომ ვუყურებთ, ჩვენ ვამბობთ, რომ მათი ამოხსნა მცირდება ჩვენთვის უკვე ნაცნობი ფორმის განტოლებების ამოხსნით.

ცნობილია, რომ ტერმინის გადატანა განტოლების ერთი ნაწილიდან მეორეში საპირისპირო ნიშნით იწვევს ეკვივალენტურ განტოლებას, ამიტომ განტოლება r(x)=s(x) უდრის განტოლებას r(x)−s. (x)=0 .

ჩვენ ასევე ვიცით, რომ ნებისმიერი შეიძლება იდენტურად იყოს ამ გამოთქმის ტოლი. ამრიგად, ჩვენ ყოველთვის შეგვიძლია გადავიტანოთ რაციონალური გამოხატულება განტოლების მარცხენა მხარეს r(x)−s(x)=0 ფორმის იდენტურად თანაბარ რაციონალურ წილადად.

ასე რომ, ჩვენ გადავდივართ საწყისი წილადი რაციონალური განტოლებიდან r(x)=s(x) განტოლებამდე და მისი ამოხსნა, როგორც ზემოთ გავარკვიეთ, მცირდება განტოლების p(x)=0 ამოხსნამდე.

მაგრამ აქ გასათვალისწინებელია ის ფაქტი, რომ r(x)−s(x)=0-ით ჩანაცვლებისას და შემდეგ p(x)=0-ით, x ცვლადის დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონი შეიძლება გაფართოვდეს. .

მაშასადამე, თავდაპირველი განტოლება r(x)=s(x) და განტოლება p(x)=0, რომელზეც მივედით, შეიძლება არ იყოს ეკვივალენტური და განტოლების p(x)=0 ამოხსნით მივიღოთ ფესვები. ეს იქნება საწყისი განტოლების უცხო ფესვები r(x)=s(x) . შესაძლებელია ამოიცნოთ და არ შევიტანოთ პასუხში ზედმეტი ფესვები, ან შემოწმებით, ან მათი კუთვნილების შემოწმებით თავდაპირველი განტოლების ODZ-თან.

ჩვენ ვაჯამებთ ამ ინფორმაციას წილადი რაციონალური განტოლების ამოხსნის ალგორითმი r(x)=s(x). წილადი რაციონალური განტოლების ამოსახსნელად r(x)=s(x) უნდა

• მიიღეთ ნული მარჯვნივ გამოხატვის მარჯვენა მხრიდან საპირისპირო ნიშნით გადაადგილებით.
• შეასრულეთ მოქმედებები წილადებთან და მრავალწევრებთან განტოლების მარცხენა მხარეს, რითაც გადააქციეთ იგი ფორმის რაციონალურ წილადად.
• ამოხსენით განტოლება p(x)=0 .
• უცხო ფესვების იდენტიფიცირება და გამორიცხვა, რაც ხდება მათი საწყის განტოლებაში ჩანაცვლებით ან თავდაპირველი განტოლების ODZ-თან მათი კუთვნილების შემოწმებით.

მეტი სიცხადისთვის, ჩვენ ვაჩვენებთ წილადი რაციონალური განტოლებების ამოხსნის მთელ ჯაჭვს:
.

გადავიდეთ რამდენიმე მაგალითის ამონახსნები ამოხსნის დეტალური ახსნით, რათა დავაზუსტოთ ინფორმაციის მოცემული ბლოკი.

მაგალითი.

ამოხსენით წილადი რაციონალური განტოლება.

გადაწყვეტილება.

ჩვენ ვიმოქმედებთ ახლახან მიღებული ამოხსნის ალგორითმის შესაბამისად. და ჯერ ტერმინებს გადავიტანთ განტოლების მარჯვენა მხრიდან მარცხენა მხარეს, შედეგად გადავდივართ განტოლებაზე.

მეორე საფეხურზე, მიღებული განტოლების მარცხენა მხარეს წილადი რაციონალური გამოხატულება უნდა გადავიყვანოთ წილადის სახით. ამისთვის ვასრულებთ რაციონალური წილადების შემცირებას საერთო მნიშვნელამდე და ვამარტივებთ მიღებულ გამოსახულებას: . ასე რომ მივედით განტოლებამდე.

შემდეგ ეტაპზე უნდა ამოხსნათ განტოლება −2·x−1=0 . იპოვეთ x=−1/2 .

რჩება იმის შემოწმება, არის თუ არა ნაპოვნი რიცხვი −1/2 საწყისი განტოლების უცხო ფესვი. ამისათვის შეგიძლიათ შეამოწმოთ ან იპოვოთ ორიგინალური განტოლების ODZ ცვლადი x. მოდით ვაჩვენოთ ორივე მიდგომა.

დავიწყოთ შემოწმებით. x ცვლადის ნაცვლად რიცხვს −1/2 ვცვლით თავდაპირველ განტოლებაში, ვიღებთ −1=−1, რომელიც იგივეა. ჩანაცვლება იძლევა სწორ რიცხვობრივ ტოლობას, შესაბამისად, x=−1/2 არის საწყისი განტოლების ფესვი.

ახლა ჩვენ ვაჩვენებთ, თუ როგორ ხორციელდება ალგორითმის ბოლო ნაბიჯი ODZ-ის მეშვეობით. საწყისი განტოლების დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონი არის ყველა რიცხვის სიმრავლე, გარდა −1 და 0 (როდესაც x=−1 და x=0, წილადების მნიშვნელები ქრება). წინა საფეხურზე ნაპოვნი ფესვი x=−1/2 ეკუთვნის ODZ-ს, შესაბამისად, x=−1/2 არის საწყისი განტოლების ფესვი.

პასუხი:

−1/2 .

განვიხილოთ კიდევ ერთი მაგალითი.

მაგალითი.

იპოვეთ განტოლების ფესვები.

გადაწყვეტილება.

ჩვენ უნდა გადავწყვიტოთ წილადი რაციონალური განტოლება, მოდით გავიაროთ ალგორითმის ყველა საფეხური.

ჯერ ტერმინს გადავიტანთ მარჯვენა მხრიდან მარცხნივ, მივიღებთ .

მეორეც, ჩვენ გარდაქმნით მარცხენა მხარეს წარმოქმნილ გამონათქვამს: . შედეგად მივდივართ განტოლებამდე x=0.

მისი ფესვი აშკარაა - ის ნულია.

მეოთხე საფეხურზე რჩება იმის გარკვევა, არის თუ არა ნაპოვნი ფესვი გარედან ორიგინალური წილადი რაციონალური განტოლებისთვის. როდესაც იგი ჩანაცვლებულია თავდაპირველ განტოლებაში, მიიღება გამოხატულება. ცხადია, აზრი არ აქვს, რადგან შეიცავს ნულზე გაყოფას. საიდანაც დავასკვნათ, რომ 0 არის უცხო ფესვი. ამრიგად, თავდაპირველ განტოლებას არ აქვს ფესვები.

7 , რომელიც მივყავართ განტოლებამდე . აქედან შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ მარცხენა მხარის მნიშვნელში გამოხატული უნდა იყოს ტოლი მარჯვენა მხრიდან, ანუ . ახლა გამოვაკლებთ სამეულის ორივე ნაწილს: . ანალოგიით, საიდან და შემდგომ.

შემოწმება აჩვენებს, რომ ორივე ნაპოვნი ფესვი არის თავდაპირველი წილადი რაციონალური განტოლების ფესვები.

პასუხი:

ბიბლიოგრაფია.

• Ალგებრა:სახელმძღვანელო 8 უჯრედისთვის. ზოგადი განათლება ინსტიტუტები / [იუ. ნ. მაკარიჩევი, ნ.გ.მინდიუკი, კ.ი.ნეშკოვი, ს.ბ.სუვოროვა]; რედ. S.A. თელიაკოვსკი. - მე-16 გამოცემა. - მ. : განათლება, 2008. - 271გვ. : ავად. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• მორდკოვიჩი ა.გ.Ალგებრა. მე-8 კლასი. 14 საათზე, ნაწილი 1. სახელმძღვანელო საგანმანათლებლო დაწესებულებების სტუდენტებისთვის / A. G. Mordkovich. - მე-11 გამოცემა, წაშლილია. - მ.: მნემოზინა, 2009. - 215გვ.: ილ. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Ალგებრა:მე-9 კლასი: სახელმძღვანელო. ზოგადი განათლებისთვის დაწესებულებები / [იუ. ნ. მაკარიჩევი, ნ.გ.მინდიუკი, კ.ი.ნეშკოვი, ს.ბ.სუვოროვა]; რედ. S.A. თელიაკოვსკი. - მე-16 გამოცემა. - მ. : განათლება, 2009. - 271გვ. : ავად. - ISBN 978-5-09-021134-5.