თუ ფუნქცია f(x)აქვს რაღაც ინტერვალზე, რომელიც შეიცავს წერტილს ა, ყველა შეკვეთის წარმოებულები, მაშინ მასზე შეიძლება გამოყენებულ იქნას ტეილორის ფორმულა:

სადაც rn- ეგრეთ წოდებული ნარჩენი ვადა ან სერიის დარჩენილი ნაწილი, ის შეიძლება შეფასდეს ლაგრანგის ფორმულის გამოყენებით:

, სადაც რიცხვი x არის ჩასმული შორის Xდა ა.

თუ რაიმე ღირებულებისთვის x r n®0 ზე ნ®¥, შემდეგ ლიმიტში ამ მნიშვნელობის ტეილორის ფორმულა გადაიქცევა კონვერგენტურ ფორმულად ტეილორის სერია:

ასე რომ ფუნქცია f(x)განხილულ წერტილში შეიძლება გაფართოვდეს ტეილორის სერიაში X, თუ:

1) მას აქვს ყველა ორდერის წარმოებულები;

2) აწყობილი სერია იყრის თავს ამ მომენტში.

ზე ა=0 მივიღებთ სერიას, რომელსაც ეწოდება მაკლარინთან ახლოს:

მაგალითი 1 f(x)= 2x.

გამოსავალი. მოდით ვიპოვოთ ფუნქციის და მისი წარმოებულების მნიშვნელობები X=0

f(x) = 2x, ვ( 0) = 2 0 =1;

f¢ (x) = 2x ln2, ვ¢( 0) = 2 0 ln2=ln2;

f¢¢ (x) = 2x 2 2-ში, f¢¢( 0) = 2 0 ჟურნალი 2 2= ჟურნალი 2 2;

f(n)(x) = 2xლნ ნ 2, f(n)( 0) = 2 0 ლნ ნ 2=ln ნ 2.

წარმოებულების მიღებული მნიშვნელობების ტეილორის სერიის ფორმულაში ჩანაცვლებით, მივიღებთ:

ამ სერიის კონვერგენციის რადიუსი უდრის უსასრულობას, ამიტომ ეს გაფართოება მოქმედებს -¥<x<+¥.

მაგალითი 2 X+4) ფუნქციისთვის f(x)=ე x.

გამოსავალი. ე ფუნქციის წარმოებულების მოძიება xდა მათი ღირებულებები წერტილში X=-4.

f(x)= ე x, ვ(-4) = ე -4 ;

f¢ (x)= ე x, ვ¢(-4) = ე -4 ;

f¢¢ (x)= ე x, f¢¢(-4) = ე -4 ;

f(n)(x)= ე x, f(n)( -4) = ე -4 .

ამრიგად, ფუნქციის სასურველ ტეილორის სერიას აქვს ფორმა:

ეს დაშლა ასევე მოქმედებს -¥-ისთვის<x<+¥.

მაგალითი 3 . ფუნქციის გაფართოება f(x)= ლნ xსერიებში გრადუსით ( X- 1),

(ანუ ტეილორის სერიაში წერტილის სიახლოვეს X=1).

გამოსავალი. ჩვენ ვპოულობთ ამ ფუნქციის წარმოებულებს.

ამ მნიშვნელობების ფორმულაში ჩანაცვლებით, მივიღებთ სასურველ ტეილორის სერიას:

დ'ალმბერის ტესტის დახმარებით შეიძლება გადავამოწმოთ, რომ სერია ერთმანეთს ემთხვევა, როცა

½ X- 1½<1. Действительно,

სერია იყრის თავს, თუ ½ X- 1½<1, т.е. при 0<x<2. При X=2 ვიღებთ ალტერნატიულ სერიას, რომელიც აკმაყოფილებს ლაიბნიცის ტესტის პირობებს. ზე X=0 ფუნქცია არ არის განსაზღვრული. ამრიგად, ტეილორის სერიის კონვერგენციის რეგიონი არის ნახევრად ღია ინტერვალი (0;2].

წარმოვადგინოთ ამ გზით მიღებული გაფართოებები მაკლარინის სერიაში (ანუ წერტილის მიმდებარედ X=0) ზოგიერთი ელემენტარული ფუნქციისთვის:

(2) ,

(3) ,

(ბოლო გაფართოება ეწოდება ბინომალური სერია)

მაგალითი 4 . გააფართოვეთ ფუნქცია ძალაუფლების სერიაში

გამოსავალი. დაშლისას (1), ჩვენ ვცვლით Xზე - X 2, ჩვენ ვიღებთ:

მაგალითი 5 . გააფართოვეთ ფუნქცია მაკლარინის სერიებში

გამოსავალი. Ჩვენ გვაქვს

ფორმულის გამოყენებით (4) შეგვიძლია დავწეროთ:

ჩანაცვლება ნაცვლად Xფორმულაში -X, ვიღებთ:

აქედან ვხვდებით:

ფრჩხილების გაფართოება, სერიის ტერმინების გადაწყობა და მსგავსი ტერმინების შემცირება, მივიღებთ

ეს სერია ერთმანეთს ემთხვევა ინტერვალში

(-1;1) ვინაიდან იგი მიღებულია ორი სერიიდან, რომელთაგან თითოეული ერთდება ამ ინტერვალში.

კომენტარი .

ფორმულები (1)-(5) ასევე შეიძლება გამოყენებულ იქნას ტეილორის სერიის შესაბამისი ფუნქციების გაფართოებისთვის, ე.ი. ფუნქციების გაფართოებისთვის დადებით მთელ რიცხვებში ( ჰა). ამისათვის აუცილებელია მოცემულ ფუნქციაზე ისეთი იდენტური გარდაქმნების შესრულება, რათა მივიღოთ ერთ-ერთი ფუნქცია (1) - (5), რომელშიც ნაცვლად Xღირს k( ჰა) m, სადაც k არის მუდმივი რიცხვი, m არის დადებითი მთელი რიცხვი. ხშირად მოსახერხებელია ცვლადის შეცვლა ტ=ჰადა გააფართოვეთ მიღებული ფუნქცია t-ის მიმართ მაკლარინის სერიაში.

ეს მეთოდი ასახავს თეორემას სიმძლავრის სერიაში ფუნქციის გაფართოების უნიკალურობის შესახებ. ამ თეორემის არსი იმაში მდგომარეობს, რომ ერთი და იმავე წერტილის სიახლოვეს ვერ მიიღება ორი განსხვავებული სიმძლავრის სერია, რომელიც გადაიყრება ერთსა და იმავე ფუნქციას, მიუხედავად იმისა, თუ როგორ განხორციელდება მისი გაფართოება.

მაგალითი 6 . გააფართოვეთ ფუნქცია ტეილორის სერიაში წერტილის სამეზობლოში X=3.

გამოსავალი. ეს პრობლემა შეიძლება მოგვარდეს, როგორც ადრე, ტეილორის სერიის განმარტების გამოყენებით, რისთვისაც აუცილებელია ფუნქციების წარმოებულების და მათი მნიშვნელობების პოვნა. X=3. თუმცა, უფრო ადვილი იქნება არსებული დაშლის გამოყენება (5):

შედეგად მიღებული სერია იყრის თავს ან -3<x- 3<3, 0<x< 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.

მაგალითი 7 . დაწერეთ ტეილორის სერია ძალაში ( X-1) თვისებები .

გამოსავალი.

სერია იყრის თავს , ან 2< x 5 ფუნტი.

16.1. ელემენტარული ფუნქციების გაფართოება ტეილორის სერიებში და

მაკლორინი

ვაჩვენოთ, რომ თუ კომპლექტზე არის განსაზღვრული თვითნებური ფუნქცია
, წერტილის მიმდებარედ
აქვს მრავალი წარმოებული და არის სიმძლავრის სერიის ჯამი:

შემდეგ შეგიძლიათ იპოვოთ ამ სერიის კოეფიციენტები.

ჩანაცვლება დენის სერიაში
. მერე
.

იპოვეთ ფუნქციის პირველი წარმოებული
:

ზე
:
.

მეორე წარმოებულისთვის ვიღებთ:

ზე
:
.

ამ პროცედურის გაგრძელება ნერთხელ მივიღებთ:
.

ამრიგად, მივიღეთ ფორმის სიმძლავრის სერია:

,

რომელსაც ქვია ტეილორთან ახლოსფუნქციისთვის
წერტილის ირგვლივ
.

ტეილორის სერიის განსაკუთრებული შემთხვევაა მაკლარინის სერიაზე
:

ტეილორის (მაკლაურინის) სერიის დარჩენილი ნაწილი მიიღება ძირითადი სერიის გადაგდებით ნპირველი ტერმინები და აღინიშნება როგორც
. შემდეგ ფუნქცია
შეიძლება დაიწეროს ჯამის სახით ნსერიის პირველი წევრები
და დანარჩენი
:,

.

დანარჩენი ჩვეულებრივ
გამოხატულია სხვადასხვა ფორმულებში.

ერთ-ერთი მათგანი ლაგრანგის ფორმაშია:

, სად
.
.

გაითვალისწინეთ, რომ პრაქტიკაში მაკლარინის სერია უფრო ხშირად გამოიყენება. ამრიგად, ფუნქციის ჩასაწერად
სიმძლავრის სერიის ჯამის სახით აუცილებელია:

1) იპოვეთ მაკლარინის (ტეილორის) სერიის კოეფიციენტები;

2) იპოვნეთ მიღებული სიმძლავრის სერიის კონვერგენციის რეგიონი;

3) დაამტკიცეთ, რომ მოცემული სერიები უხდება ფუნქციას
.

თეორემა1 (მაკლაურინის სერიის კონვერგენციის აუცილებელი და საკმარისი პირობა). მოდით სერიის კონვერგენციის რადიუსი
. იმისათვის, რომ ეს სერიები გადაიზარდოს ინტერვალში
ფუნქციონირებს
, აუცილებელია და საკმარისია შემდეგი პირობის დაკმაყოფილება:
მითითებულ ინტერვალში.

თეორემა 2.თუ ფუნქციის რომელიმე რიგის წარმოებულები
რაღაც ინტერვალში
აბსოლუტური მნიშვნელობით შემოიფარგლება იმავე რიცხვით მ, ანუ
, შემდეგ ამ ინტერვალში ფუნქცია
შეიძლება გაფართოვდეს Maclaurin სერიაში.

მაგალითი1 . გააფართოვეთ ტეილორის სერიაში წერტილის გარშემო
ფუნქცია.

გამოსავალი.

.

,;

,
;

,
;

,

.......................................................................................................................................

,
;

კონვერგენციის არეალი
.

მაგალითი2 . ფუნქციის გაფართოება ტეილორის სერიაში წერტილის გარშემო
.

გამოსავალი:

ჩვენ ვპოულობთ ფუნქციის და მისი წარმოებულების მნიშვნელობას
.

,
;

,
;

...........……………………………

,
.

შეცვალეთ ეს მნიშვნელობები ზედიზედ. ჩვენ ვიღებთ:

ან
.

მოდით ვიპოვოთ ამ სერიის კონვერგენციის რეგიონი. დ'ალმბერის ტესტის მიხედვით, სერია ერთმანეთს ემთხვევა თუ

.

ამიტომ, ნებისმიერი ეს ზღვარი 1-ზე ნაკლებია და, შესაბამისად, სერიის კონვერგენციის არე იქნება:
.

მოდით განვიხილოთ მაკლარინის ძირითადი ელემენტარული ფუნქციების გაფართოების რამდენიმე მაგალითი. შეგახსენებთ, რომ მაკლარინის სერია:

.

ემთხვევა ინტერვალს
ფუნქციონირებს
.

გაითვალისწინეთ, რომ ფუნქციის სერიებად გაფართოებისთვის აუცილებელია:

ა) იპოვეთ მაკლარინის სერიის კოეფიციენტები მოცემული ფუნქციისთვის;

ბ) გამოვთვალოთ კონვერგენციის რადიუსი მიღებული სერიებისთვის;

გ) დავამტკიცოთ, რომ მიღებული სერიები თავსდება ფუნქციასთან
.

მაგალითი 3განიხილეთ ფუნქცია
.

გამოსავალი.

მოდით გამოვთვალოთ ფუნქციისა და მისი წარმოებულების მნიშვნელობა
.

შემდეგ სერიის რიცხვითი კოეფიციენტები აქვს ფორმა:

ვინმესთვის ნ.ჩვენ ვცვლით ნაპოვნი კოეფიციენტებს მაკლარინის სერიაში და ვიღებთ:

იპოვეთ მიღებული სერიის კონვერგენციის რადიუსი, კერძოდ:

.

მაშასადამე, სერია ერთმანეთს ემთხვევა ინტერვალზე
.

ეს სერია აერთიანებს ფუნქციას ნებისმიერი ღირებულებისთვის , რადგან ნებისმიერ ინტერვალზე
ფუნქცია და მისი აბსოლუტური მნიშვნელობის წარმოებულები შეზღუდულია რიცხვით .

მაგალითი4 . განიხილეთ ფუნქცია
.

გამოსავალი.

:

ადვილი მისახვედრია, რომ ლუწი რიგის წარმოებულები
და კენტი რიგის წარმოებულები. ჩვენ ვცვლით ნაპოვნი კოეფიციენტებს მაკლარინის სერიაში და ვიღებთ გაფართოებას:

მოდი ვიპოვოთ ამ სერიის კონვერგენციის ინტერვალი. დ'ალბერტის მიხედვით:

ვინმესთვის . მაშასადამე, სერია ერთმანეთს ემთხვევა ინტერვალზე
.

ეს სერია აერთიანებს ფუნქციას
, რადგან მისი ყველა წარმოებული შემოიფარგლება ერთით.

მაგალითი5 .
.

გამოსავალი.

მოდით ვიპოვოთ ფუნქციისა და მისი წარმოებულების მნიშვნელობა
:

ამრიგად, ამ სერიის კოეფიციენტები:
და
, შესაბამისად:

წინა სერიის მსგავსად, კონვერგენციის არე
. სერია აერთიანებს ფუნქციას
, რადგან მისი ყველა წარმოებული შემოიფარგლება ერთით.

გაითვალისწინეთ, რომ ფუნქცია
კენტი და სერიების გაფართოება კენტ სიმძლავრეებში, ფუნქცია
– თანაბარი და გაფართოება სერიებში თანაბარ ძალებში.

მაგალითი6 . ბინომალური სერია:
.

გამოსავალი.

მოდით ვიპოვოთ ფუნქციისა და მისი წარმოებულების მნიშვნელობა
:

ეს აჩვენებს, რომ:

ჩვენ ვანაცვლებთ კოეფიციენტების ამ მნიშვნელობებს მაკლარინის სერიაში და ვიღებთ ამ ფუნქციის გაფართოებას სიმძლავრის სერიაში:

ვიპოვოთ ამ სერიის კონვერგენციის რადიუსი:

მაშასადამე, სერია ერთმანეთს ემთხვევა ინტერვალზე
. ზღვრულ წერტილებზე ზე
და
სერიები შეიძლება იყოს ან არ ემთხვეოდეს მაჩვენებლის მიხედვით
.

შესწავლილი სერია ერთმანეთს ემთხვევა ინტერვალს
ფუნქციონირებს
, ანუ სერიის ჯამი
ზე
.

მაგალითი7 . მოდით გავაფართოვოთ ფუნქცია მაკლარინის სერიაში
.

გამოსავალი.

ამ ფუნქციის სერიებად გასავრცელებლად, ჩვენ ვიყენებთ ბინომიალურ სერიას
. ჩვენ ვიღებთ:

სიმძლავრის სერიების თვისებიდან გამომდინარე (ძალების სერია შეიძლება იყოს ინტეგრირებული მისი კონვერგენციის რეგიონში), ჩვენ ვპოულობთ ამ სერიის მარცხენა და მარჯვენა ნაწილების ინტეგრალს:

იპოვეთ ამ სერიის კონვერგენციის არე:
,

ანუ ამ სერიის კონვერგენციის რეგიონი არის ინტერვალი
. მოდით განვსაზღვროთ სერიების კონვერგენცია ინტერვალის ბოლოებში. ზე

. ეს სერია არის ჰარმონიული სერია, ანუ ის განსხვავდება. ზე
ვიღებთ რიცხვთა სერიას საერთო ტერმინით
.

ლაიბნიცის სერიები იყრის თავს. ამრიგად, ამ სერიის კონვერგენციის რეგიონი არის ინტერვალი
.

16.2. სიმძლავრეების სერიის გამოყენება სავარაუდო გამოთვლებში

დენის სერიები უაღრესად მნიშვნელოვან როლს თამაშობს სავარაუდო გამოთვლებში. მათი დახმარებით შედგენილია ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ცხრილები, ლოგარითმების ცხრილები, სხვა ფუნქციების მნიშვნელობების ცხრილები, რომლებიც გამოიყენება ცოდნის სხვადასხვა სფეროში, მაგალითად, ალბათობის თეორიასა და მათემატიკურ სტატისტიკაში. გარდა ამისა, ძალაუფლების სერიაში ფუნქციების გაფართოება სასარგებლოა მათი თეორიული შესწავლისთვის. მიახლოებით გამოთვლებში სიმძლავრის სერიის გამოყენებისას მთავარი საკითხია შეცდომის შეფასების საკითხი სერიის ჯამის პირველის ჯამით ჩანაცვლებისას. ნწევრები.

განვიხილოთ ორი შემთხვევა:

ფუნქცია გაფართოებულია ალტერნატიულ სერიაში;

ფუნქცია გაფართოვდა მუდმივი ნიშნის სერიაში.

გაანგარიშება ალტერნატიული სერიების გამოყენებით

დაუშვით ფუნქცია
გაფართოვდა ალტერნატიული სიმძლავრის სერიაში. შემდეგ, ამ ფუნქციის გაანგარიშებისას კონკრეტული მნიშვნელობისთვის ვიღებთ რიცხვთა სერიას, რომელზეც შეგვიძლია გამოვიყენოთ ლაიბნიცის ტესტი. ამ კრიტერიუმის შესაბამისად, თუ სერიის ჯამი შეიცვლება მისი პირველის ჯამით ნწევრები, მაშინ აბსოლუტური შეცდომა არ აღემატება ამ სერიის დარჩენილი ნაწილის პირველ წევრს, ანუ:
.

მაგალითი8 . გამოთვალეთ
0.0001 სიზუსტით.

გამოსავალი.

ჩვენ გამოვიყენებთ მაკლარინის სერიებს
კუთხის მნიშვნელობის ჩანაცვლება რადიანებში:

თუ მოცემული სიზუსტით შევადარებთ სერიის პირველ და მეორე წევრებს, მაშინ: .

გაფართოების მესამე ვადა:

მითითებულ გაანგარიშების სიზუსტეზე ნაკლები. ამიტომ, გამოთვლა
საკმარისია სერიალის ორი ტერმინის დატოვება, ე.ი.

.

Ამგვარად
.

მაგალითი9 . გამოთვალეთ
0,001 სიზუსტით.

გამოსავალი.

ჩვენ გამოვიყენებთ ბინომიალური სერიის ფორმულას. ამისათვის ჩვენ ვწერთ
როგორც:
.

ამ გამოთქმაში
,

მოდით შევადაროთ სერიის თითოეული ტერმინი მოცემული სიზუსტით. გასაგებია რომ
. ამიტომ, გამოთვლა
საკმარისია სერიალის სამი წევრის დატოვება.

ან
.

გაანგარიშება ნიშან-დადებითი სერიების გამოყენებით

მაგალითი10 . გამოთვალეთ ნომერი 0,001 სიზუსტით.

გამოსავალი.

ზედიზედ ფუნქციისთვის
შემცვლელი
. ჩვენ ვიღებთ:

მოდით შევაფასოთ შეცდომა, რომელიც წარმოიქმნება, როდესაც სერიის ჯამი იცვლება პირველის ჯამით წევრები. მოდით ჩამოვწეროთ აშკარა უტოლობა:

ანუ 2<<3. Используем формулу остаточного члена ряда в форме Лагранжа:
,
.

პრობლემის მდგომარეობიდან გამომდინარე, თქვენ უნდა იპოვოთ ნისეთი, რომ მოქმედებს შემდეგი უტოლობა:
ან
.

ამის შემოწმება ადვილია როდის ნ= 6:
.

შესაბამისად,
.

მაგალითი11 . გამოთვალეთ
0.0001 სიზუსტით.

გამოსავალი.

გაითვალისწინეთ, რომ ლოგარითმების გამოსათვლელად, შეიძლება გამოვიყენოთ სერიები ფუნქციისთვის
, მაგრამ ეს სერია ძალიან ნელა იყრის თავს და 9999 ტერმინი უნდა იქნას მიღებული მოცემული სიზუსტის მისაღწევად! ამიტომ, ლოგარითმების გამოსათვლელად, როგორც წესი, გამოიყენება ფუნქციის სერია
, რომელიც გადადის ინტერვალზე
.

გამოთვლა
ამ რიგით. დაე
, მაშინ .

შესაბამისად,
,

იმისათვის რომ გამოვთვალოთ
მოცემული სიზუსტით აიღეთ პირველი ოთხი წევრის ჯამი:
.

რიგის დანარჩენი ნაწილი
გაუქმება. მოდით შევაფასოთ შეცდომა. აშკარაა რომ

ან
.

ამგვარად, სერიაში, რომელიც გამოიყენებოდა გამოთვლებისთვის, საკმარისი იყო ფუნქციისთვის სერიის 9999-ის ნაცვლად მხოლოდ პირველი ოთხი წევრის აღება.
.

კითხვები თვითდიაგნოსტიკისთვის

1. რა არის ტეილორის სერია?

2. როგორი სერია ჰქონდა მაკლარინს?

3. ჩამოაყალიბეთ თეორემა ტეილორის სერიაში ფუნქციის გაფართოების შესახებ.

4. დაწერეთ გაფართოება მაკლარინის ძირითადი ფუნქციების სერიაში.

5. მიუთითეთ განხილული რიგის დაახლოების არეები.

6. როგორ შევაფასოთ შეცდომა სავარაუდო გამოთვლებში სიმძლავრის სერიების გამოყენებით?

უმაღლესი მათემატიკის სტუდენტებმა უნდა იცოდნენ, რომ გარკვეული სიმძლავრის რიგის ჯამი, რომელიც მიეკუთვნება ჩვენთვის მოცემული რიგის კონვერგენციის ინტერვალს, გამოდის უწყვეტი და შეუზღუდავი რაოდენობის ჯერ დიფერენცირებული ფუნქცია. ჩნდება კითხვა: შესაძლებელია თუ არა იმის მტკიცება, რომ მოცემული თვითნებური ფუნქცია f(x) არის ზოგიერთი სიმძლავრის რიგის ჯამი? ანუ რა პირობებში შეიძლება f(x) ფუნქცია წარმოდგენილი იყოს სიმძლავრის სერიით? ამ კითხვის მნიშვნელობა მდგომარეობს იმაში, რომ შესაძლებელია f(x) ფუნქციის დაახლოებით ჩანაცვლება სიმძლავრის რიგის პირველი რამდენიმე წევრის ჯამით, ანუ მრავალწევრით. ფუნქციის ასეთი ჩანაცვლება საკმაოდ მარტივი გამოსახულებით - მრავალწევრით - ასევე მოსახერხებელია ზოგიერთი ამოცანის ამოხსნისას, კერძოდ: ინტეგრალების ამოხსნისას, გამოთვლისას და ა.შ.

დადასტურებულია, რომ ზოგიერთი f(x) ფუნქციისთვის, რომელშიც წარმოებულები (n + 1) რიგითობამდე, უკანასკნელის ჩათვლით, შეიძლება გამოითვალოს ზოგიერთის (α - R; x 0 + R) სიახლოვეს. წერტილი x = α ფორმულა:

ამ ფორმულას ეწოდა ცნობილი მეცნიერის ბრუკ ტეილორის სახელი. სერიას, რომელიც მიღებულია წინადან, ეწოდება მაკლარინის სერია:

წესი, რომელიც შესაძლებელს ხდის გაფართოებას მაკლარინის სერიაში:

1. დაადგინეთ პირველი, მეორე, მესამე ... ბრძანებების წარმოებულები.
2. გამოთვალეთ რა არის წარმოებულები x=0-ზე.
3. ჩაწერეთ მაკლარინის სერია ამ ფუნქციისთვის და შემდეგ დაადგინეთ მისი კონვერგენციის ინტერვალი.
4. განსაზღვრეთ ინტერვალი (-R;R), სადაც რჩება მაკლარინის ფორმულის დარჩენილი ნაწილი

R n (x) -> 0 n -> უსასრულობა. თუ ასეთი არსებობს, მასში ფუნქცია f(x) უნდა ემთხვეოდეს მაკლარინის სერიის ჯამს.

ახლა განვიხილოთ Maclaurin-ის სერია ინდივიდუალური ფუნქციებისთვის.

1. ასე რომ, პირველი იქნება f(x) = e x. რა თქმა უნდა, მისი მახასიათებლების მიხედვით, ასეთ ფუნქციას აქვს ძალიან განსხვავებული რიგის წარმოებულები და f (k) (x) \u003d e x, სადაც k უდრის ყველაფერს. მოდით ჩავანაცვლოთ x \u003d 0. ვიღებთ f (k) (0) \u003d e 0 \u003d 1, k \u003d 1.2 ... ზემოაღნიშნულიდან გამომდინარე, სერია e x ასე გამოიყურება:

2. მაკლორინის სერია f(x) = sin x ფუნქციისთვის. მოდით დაუყოვნებლივ განვმარტოთ, რომ ფუნქციას ყველა უცნობისთვის ექნება წარმოებულები, გარდა f "(x) \u003d cos x \u003d sin (x + n / 2), f "" (x) \u003d -sin x \u003d sin ( x +2*n/2)..., f(k)(x)=sin(x+k*n/2), სადაც k უდრის ნებისმიერ ნატურალურ რიცხვს.ანუ მარტივი გამოთვლებით შეგვიძლია დაასკვნათ, რომ სერია f(x) = sin x ასე გამოიყურება:

3. ახლა ვცადოთ, განვიხილოთ ფუნქცია f(x) = cos x. მას აქვს თვითნებური რიგის წარმოებულები ყველა უცნობისთვის და |f (k) (x)| = |cos(x+k*n/2)|<=1, k=1,2... Снова-таки, произведя определенные расчеты, получим, что ряд для f(х) = cos х будет выглядеть так:

ამრიგად, ჩვენ ჩამოვთვალეთ ყველაზე მნიშვნელოვანი ფუნქციები, რომლებიც შეიძლება გაფართოვდეს მაკლარინის სერიებში, მაგრამ მათ ავსებს ტეილორის სერიები ზოგიერთი ფუნქციისთვის. ახლა ჩვენ ჩამოვთვლით მათ. ასევე აღსანიშნავია, რომ ტეილორისა და მაკლორინის სერიები უმაღლეს მათემატიკაში სერიების ამოხსნის პრაქტიკის მნიშვნელოვანი ნაწილია. ასე რომ, ტეილორის სერია.

1. პირველი იქნება მწკრივი f-ii f (x) = ln (1 + x). როგორც წინა მაგალითებში, მოცემული ჩვენთვის f (x) = ln (1 + x), ჩვენ შეგვიძლია დავამატოთ სერია მაკლარინის სერიის ზოგადი ფორმის გამოყენებით. თუმცა, ამ ფუნქციისთვის მაკლარინის სერიის მიღება ბევრად უფრო მარტივად შეიძლება. გარკვეული გეომეტრიული სერიის ინტეგრაციის შემდეგ, ვიღებთ სერიას f (x) = ln (1 + x) ასეთი ნიმუშისთვის:

2. და მეორე, რომელიც საბოლოო იქნება ჩვენს სტატიაში, იქნება სერია f (x) \u003d arctg x. x-ისთვის, რომელიც ეკუთვნის ინტერვალს [-1; 1], გაფართოება მოქმედებს:

Სულ ეს არის. ამ სტატიაში განხილული იყო ტეილორისა და მაკლორინის ყველაზე ხშირად გამოყენებული სერიები უმაღლეს მათემატიკაში, კერძოდ, ეკონომიკურ და ტექნიკურ უნივერსიტეტებში.

თუ ფუნქცია f(x) აქვს ყველა ბრძანების წარმოებულები გარკვეულ ინტერვალზე, რომელიც შეიცავს a წერტილს, მაშინ მასზე შეიძლება გამოყენებულ იქნას ტეილორის ფორმულა:
,
სადაც rn- ეგრეთ წოდებული ნარჩენი ვადა ან სერიის დარჩენილი ნაწილი, ის შეიძლება შეფასდეს ლაგრანგის ფორმულის გამოყენებით:
, სადაც რიცხვი x მდებარეობს x-სა და a-ს შორის.

f(x)=

წერტილში x 0 = რიგის ელემენტების რაოდენობა 3 4 5 6 7

გამოიყენეთ ელემენტარული ფუნქციების გაფართოება e x , cos(x), sin(x), ln(1+x), (1+x) m

ფუნქციის შესვლის წესები:

თუ რაიმე ღირებულებისთვის X rn→0 საათზე ნ→∞, შემდეგ ლიმიტში ტეილორის ფორმულა გადაიქცევა ამ მნიშვნელობის კონვერგენტში ტეილორის სერია:
,
ამრიგად, ფუნქცია f(x) შეიძლება გაფართოვდეს ტეილორის სერიად განხილულ x წერტილში, თუ:
1) მას აქვს ყველა ორდერის წარმოებულები;
2) აწყობილი სერია იყრის თავს ამ მომენტში.

a = 0-სთვის მივიღებთ სერიას, რომელსაც ეწოდება მაკლარინთან ახლოს:
,
მაკლარინის სერიის უმარტივესი (ელემენტარული) ფუნქციების გაფართოება:
ექსპონენციალური ფუნქციები
, R=∞
ტრიგონომეტრიული ფუნქციები
, R=∞
, R=∞
, (-π/2< x < π/2), R=π/2
ფუნქცია actgx არ ფართოვდება x-ის ხარისხებში, რადგან ctg0=∞
ჰიპერბოლური ფუნქციები


ლოგარითმული ფუნქციები
, -1
ბინომალური სერია
.

მაგალითი #1. გააფართოვეთ ფუნქცია ძალაუფლების სერიაში f(x)= 2x.
გამოსავალი. მოდით ვიპოვოთ ფუნქციის და მისი წარმოებულების მნიშვნელობები X=0
f(x) = 2x, ვ( 0) = 2 0 =1;
f"(x) = 2x ln2, ვ"( 0) = 2 0 ln2=ln2;
ვ""(x) = 2x 2 2-ში, ვ""( 0) = 2 0 ჟურნალი 2 2= ჟურნალი 2 2;
…
f(n)(x) = 2xლნ ნ 2, f(n)( 0) = 2 0 ლნ ნ 2=ln ნ 2.
წარმოებულების მიღებული მნიშვნელობების ტეილორის სერიის ფორმულაში ჩანაცვლებით, მივიღებთ:

ამ სერიის კონვერგენციის რადიუსი უდრის უსასრულობას, ამიტომ ეს გაფართოება მოქმედებს -∞<x<+∞.

მაგალითი #2. დაწერეთ ტეილორის სერია ძალაში ( X+4) ფუნქციისთვის f(x)=ე x.
გამოსავალი. ე ფუნქციის წარმოებულების მოძიება xდა მათი ღირებულებები წერტილში X=-4.
f(x)= ე x, ვ(-4) = ე -4 ;
f"(x)= ე x, ვ"(-4) = ე -4 ;
ვ""(x)= ე x, ვ""(-4) = ე -4 ;
…
f(n)(x)= ე x, f(n)( -4) = ე -4 .
ამრიგად, ფუნქციის სასურველ ტეილორის სერიას აქვს ფორმა:

ეს გაფართოება ასევე მოქმედებს -∞-ისთვის<x<+∞.

მაგალითი #3. ფუნქციის გაფართოება f(x)= ლნ xსერიებში გრადუსით ( X- 1),
(ანუ ტეილორის სერიაში წერტილის სიახლოვეს X=1).
გამოსავალი. ჩვენ ვპოულობთ ამ ფუნქციის წარმოებულებს.
f(x)=lnx, , , ,

f(1)=ln1=0, f"(1)=1, f""(1)=-1, f"""(1)=1*2,..., f(n)=(- 1) n-1 (n-1)!
ამ მნიშვნელობების ფორმულაში ჩანაცვლებით, მივიღებთ სასურველ ტეილორის სერიას:

დ'ალმბერის ტესტის დახმარებით შეიძლება გადავამოწმოთ, რომ სერია ერთმანეთს ემთხვევა ½x-1½<1 . Действительно,

სერია იყრის თავს, თუ ½ X- 1½<1, т.е. при 0<x<2. При X=2 ვიღებთ ალტერნატიულ სერიას, რომელიც აკმაყოფილებს ლაიბნიცის ტესტის პირობებს. x=0-სთვის ფუნქცია არ არის განსაზღვრული. ამრიგად, ტეილორის სერიის კონვერგენციის რეგიონი არის ნახევრად ღია ინტერვალი (0;2].

მაგალითი #4. გააფართოვეთ ფუნქცია სიმძლავრის სერიაში.
გამოსავალი. დაშლისას (1) ჩვენ ვცვლით x -x 2-ით, მივიღებთ:
, -∞

მაგალითი ნომერი 5. გააფართოვეთ ფუნქცია მაკლარინის სერიებში .
გამოსავალი. Ჩვენ გვაქვს
ფორმულის გამოყენებით (4) შეგვიძლია დავწეროთ:

ჩანაცვლებით x-ის ნაცვლად ფორმულაში -x, მივიღებთ:

აქედან ვპოულობთ: ln(1+x)-ln(1-x) = -
ფრჩხილების გაფართოება, სერიის ტერმინების გადაწყობა და მსგავსი ტერმინების შემცირება, მივიღებთ
. ეს სერია იყრის თავს (-1;1) ინტერვალში, რადგან მიიღება ორი სერიიდან, რომელთაგან თითოეული ამ ინტერვალში იყრის თავს.

კომენტარი .
ფორმულები (1)-(5) ასევე შეიძლება გამოყენებულ იქნას ტეილორის სერიის შესაბამისი ფუნქციების გაფართოებისთვის, ე.ი. ფუნქციების გაფართოებისთვის დადებით მთელ რიცხვებში ( ჰა). ამისათვის აუცილებელია მოცემულ ფუნქციაზე ისეთი იდენტური გარდაქმნების შესრულება, რათა მივიღოთ ერთ-ერთი ფუნქცია (1) - (5), რომელშიც ნაცვლად Xღირს k( ჰა) m, სადაც k არის მუდმივი რიცხვი, m არის დადებითი მთელი რიცხვი. ხშირად მოსახერხებელია ცვლადის შეცვლა ტ=ჰადა გააფართოვეთ მიღებული ფუნქცია t-ის მიმართ მაკლარინის სერიაში.

ეს მეთოდი ეფუძნება თეორემას სიმძლავრის სერიაში ფუნქციის გაფართოების უნიკალურობის შესახებ. ამ თეორემის არსი იმაში მდგომარეობს, რომ ერთი და იმავე წერტილის სიახლოვეს ვერ მიიღება ორი განსხვავებული სიმძლავრის სერია, რომელიც გადაიყრება ერთსა და იმავე ფუნქციას, მიუხედავად იმისა, თუ როგორ განხორციელდება მისი გაფართოება.

მაგალითი No5a. გააფართოვეთ ფუნქცია მაკლარინის სერიაში, მიუთითეთ კონვერგენციის არე.
გამოსავალი. ჯერ ვპოულობთ 1-x-6x 2 =(1-3x)(1+2x) , .
ელემენტარამდე:

წილადი 3/(1-3x) შეიძლება ჩაითვალოს, როგორც უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის ჯამი 3x მნიშვნელით, თუ |3x|< 1. Аналогично, дробь 2/(1+2x) как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем -2x, если |-2x| < 1. В результате получим разложение в степенной ряд

კონვერგენციის რეგიონით |x|< 1/3.

მაგალითი ნომერი 6. გააფართოვეთ ფუნქცია ტეილორის სერიაში x = 3 წერტილის სიახლოვეს.
გამოსავალი. ეს პრობლემა შეიძლება მოგვარდეს, როგორც ადრე, ტეილორის სერიის განმარტების გამოყენებით, რისთვისაც აუცილებელია ფუნქციების წარმოებულების და მათი მნიშვნელობების პოვნა. X=3. თუმცა, უფრო ადვილი იქნება არსებული დაშლის გამოყენება (5):
=
შედეგად მიღებული სერიები ემთხვევა ან -3-ს

მაგალითი ნომერი 7. დაწერეთ ტეილორის სერია ln(x+2) ფუნქციის სიმძლავრეებში (x -1).
გამოსავალი.


სერიები იყრის თავს ან -2-ზე< x < 5.

მაგალითი ნომერი 8. გააფართოვეთ ფუნქცია f(x)=sin(πx/4) ტეილორის სერიაში x =2 წერტილის გარშემო.
გამოსავალი. მოდით გავაკეთოთ ჩანაცვლება t=x-2:

გაფართოების (3) გამოყენებით, რომელშიც ჩვენ ვცვლით π / 4 ტ x-ს, მივიღებთ:

მიღებული სერიები კონვერგირდება მოცემულ ფუნქციასთან -∞-ზე< π / 4 t<+∞, т.е. при (-∞Ამგვარად,
, (-∞

სავარაუდო გამოთვლები დენის სერიის გამოყენებით

სიმძლავრის სერიები ფართოდ გამოიყენება სავარაუდო გამოთვლებში. მათი დახმარებით, მოცემული სიზუსტით, შეგიძლიათ გამოთვალოთ ფესვების მნიშვნელობები, ტრიგონომეტრიული ფუნქციები, რიცხვების ლოგარითმები, განსაზღვრული ინტეგრალები. სერიები ასევე გამოიყენება დიფერენციალური განტოლებების ინტეგრაციისას.
განვიხილოთ ფუნქციის გაფართოება სიმძლავრის სერიაში:

მოცემულ წერტილში ფუნქციის სავარაუდო მნიშვნელობის გამოთვლა X, რომელიც მიეკუთვნება მითითებული სერიის კონვერგენციის რეგიონს, პირველი ნწევრები ( ნარის სასრული რიცხვი), ხოლო დარჩენილი ტერმინები უგულებელყოფილია:

მიღებული მიახლოებითი მნიშვნელობის ცდომილების შესაფასებლად საჭიროა გამორიცხული ნარჩენი r n (x) . ამისათვის გამოიყენება შემდეგი მეთოდები:

• თუ მიღებული სერია არის სიმბოლოების მონაცვლეობა, მაშინ გამოიყენება შემდეგი თვისება: ალტერნატიული სერიებისთვის, რომელიც აკმაყოფილებს ლაიბნიცის პირობებს, სერიის დარჩენილი ნაწილის აბსოლუტური მნიშვნელობა არ აღემატება პირველ გაუქმებულ წევრს..
• თუ მოცემული სერია არის მუდმივი ნიშნის, მაშინ გადაყრილი ტერმინებისგან შემდგარი სერია შედარებულია უსასრულოდ კლებად გეომეტრიულ პროგრესიასთან.
• ზოგადად, ტეილორის სერიის დარჩენილი ნაწილის შესაფასებლად, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ლაგრანგის ფორმულა: ა x ).

მაგალითი #1. გამოთვალეთ ln(3) 0.01-ის ფარგლებში.
გამოსავალი. გამოვიყენოთ დაშლა, სადაც x=1/2 (იხ. მაგალითი 5 წინა თემაში):

მოდით შევამოწმოთ, შეგვიძლია თუ არა დარჩენილი ნაწილის გაუქმება გაფართოების პირველი სამი წევრის შემდეგ, ამისათვის ჩვენ ვაფასებთ მას უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის ჯამის გამოყენებით:

ასე რომ, ჩვენ შეგვიძლია გადავაგდოთ ეს ნარჩენი და მივიღოთ

მაგალითი #2. გამოთვალეთ 0.0001-მდე.
გამოსავალი. გამოვიყენოთ ბინომიალური სერია. ვინაიდან 5 3 არის 130-თან უახლოესი მთელი რიცხვის კუბი, მიზანშეწონილია რიცხვი 130 წარმოვიდგინოთ როგორც 130=5 3 +5.



ვინაიდან მიღებული ნიშნის ალტერნატიული სერიის მეოთხე წევრი, რომელიც აკმაყოფილებს ლაიბნიცის ტესტს, უკვე საჭირო სიზუსტეზე ნაკლებია:
ასე რომ, ის და მისი შემდგომი პირობები შეიძლება გაუქმდეს.
ბევრი პრაქტიკულად აუცილებელი განსაზღვრული ან არასწორი ინტეგრალი არ შეიძლება გამოითვალოს ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულით, რადგან მისი გამოყენება დაკავშირებულია ანტიწარმოებულის პოვნასთან, რომელსაც ხშირად არ აქვს გამოხატულება ელემენტარულ ფუნქციებში. ასევე ხდება, რომ ანტიდერივატის პოვნა შესაძლებელია, მაგრამ ზედმეტად შრომატევადი. თუმცა, თუ ინტეგრანდი გაფართოვდა სიმძლავრის სერიაში და ინტეგრაციის საზღვრები ეკუთვნის ამ სერიის კონვერგენციის ინტერვალს, მაშინ შესაძლებელია ინტეგრალის სავარაუდო გამოთვლა წინასწარ განსაზღვრული სიზუსტით.

მაგალითი #3. გამოთვალეთ ინტეგრალი ∫ 0 1 4 sin (x) x 10 -5-ის ფარგლებში.
გამოსავალი. შესაბამისი განუსაზღვრელი ინტეგრალი ელემენტარულ ფუნქციებში ვერ გამოისახება, ე.ი. არის „შეუძლებელი ინტეგრალი“. ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულა აქ არ გამოიყენება. მოდით გამოვთვალოთ ინტეგრალი დაახლოებით.
ცოდვის სერიების ტერმინებით დაყოფა xზე x, ვიღებთ:

ამ სერიის ტერმინებით ინტეგრირება (ეს შესაძლებელია, რადგან ინტეგრაციის საზღვრები ეკუთვნის ამ სერიის კონვერგენციის ინტერვალს), მივიღებთ:

ვინაიდან მიღებული სერია აკმაყოფილებს ლაიბნიცის პირობებს და საკმარისია ავიღოთ პირველი ორი წევრის ჯამი, რათა მივიღოთ სასურველი მნიშვნელობა მოცემული სიზუსტით.
ამრიგად, ჩვენ ვპოულობთ
.

მაგალითი #4. გამოთვალეთ ∫ 0 1 4 e x 2 ინტეგრალი 0.001-ის ფარგლებში.
გამოსავალი.
. მოდით შევამოწმოთ, შეგვიძლია თუ არა დარჩენილი ნაწილის გადაგდება მიღებული სერიის მეორე წევრის შემდეგ.
0.0001<0.001. Следовательно, .

როგორ ჩავსვათ მათემატიკური ფორმულები საიტზე?

თუ ოდესმე დაგჭირდებათ ვებ გვერდზე ერთი ან ორი მათემატიკური ფორმულის დამატება, მაშინ ამის გაკეთების უმარტივესი გზაა სტატიაში აღწერილი: მათემატიკური ფორმულები ადვილად ჩასმულია საიტზე სურათების სახით, რომლებსაც Wolfram Alpha ავტომატურად ქმნის. გარდა სიმარტივისა, ეს უნივერსალური მეთოდი ხელს შეუწყობს საიტის ხილვადობის გაუმჯობესებას საძიებო სისტემებში. უკვე დიდი ხანია მუშაობს (და მგონი სამუდამოდ იმუშავებს), მაგრამ მორალურად მოძველებულია.

თუ თქვენ მუდმივად იყენებთ მათემატიკურ ფორმულებს თქვენს საიტზე, მაშინ გირჩევთ გამოიყენოთ MathJax, სპეციალური JavaScript ბიბლიოთეკა, რომელიც აჩვენებს მათემატიკურ აღნიშვნას ვებ ბრაუზერებში MathML, LaTeX ან ASCIIMathML მარკირების გამოყენებით.

MathJax–ის გამოყენების დასაწყებად ორი გზა არსებობს: (1) მარტივი კოდის გამოყენებით, შეგიძლიათ სწრაფად დააკავშიროთ MathJax სკრიპტი თქვენს საიტზე, რომელიც ავტომატურად ჩაიტვირთება დისტანციური სერვერიდან საჭირო დროს (სერვერების სია); (2) ატვირთეთ MathJax სკრიპტი დისტანციური სერვერიდან თქვენს სერვერზე და დააკავშირეთ იგი თქვენი საიტის ყველა გვერდზე. მეორე მეთოდი უფრო რთული და შრომატევადია და საშუალებას მოგცემთ დააჩქაროთ თქვენი საიტის გვერდების ჩატვირთვა და თუ მშობელი MathJax სერვერი რაიმე მიზეზით დროებით მიუწვდომელი გახდება, ეს არანაირად არ იმოქმედებს თქვენს საიტზე. მიუხედავად ამ უპირატესობებისა, მე ავირჩიე პირველი მეთოდი, რადგან ის უფრო მარტივია, უფრო სწრაფი და არ საჭიროებს ტექნიკურ უნარებს. მიჰყევით ჩემს მაგალითს და 5 წუთში შეძლებთ გამოიყენოთ MathJax-ის ყველა ფუნქცია თქვენს ვებსაიტზე.

შეგიძლიათ დააკავშიროთ MathJax ბიბლიოთეკის სკრიპტი დისტანციური სერვერიდან კოდის ორი ვარიანტის გამოყენებით, რომელიც აღებულია MathJax-ის მთავარი ვებსაიტიდან ან დოკუმენტაციის გვერდიდან:

კოდის ერთ-ერთი ვარიანტი უნდა იყოს კოპირებული და ჩასმული თქვენი ვებ გვერდის კოდში, სასურველია ტეგებს შორის დაან უშუალოდ ტეგის შემდეგ . პირველი ვარიანტის მიხედვით MathJax უფრო სწრაფად იტვირთება და ნაკლებად ანელებს გვერდს. მაგრამ მეორე ვარიანტი ავტომატურად აკონტროლებს და ატვირთავს MathJax-ის უახლეს ვერსიებს. თუ პირველ კოდს ჩასვამთ, მაშინ ის პერიოდულად უნდა განახლდეს. თუ მეორე კოდს ჩასვით, მაშინ გვერდები უფრო ნელა იტვირთება, მაგრამ არ დაგჭირდებათ MathJax-ის განახლებების მუდმივი მონიტორინგი.

MathJax-ის დასაკავშირებლად ყველაზე მარტივი გზაა Blogger-ში ან WordPress-ში: საიტის მართვის პანელში დაამატეთ ვიჯეტი, რომელიც შექმნილია მესამე მხარის JavaScript კოდის ჩასართავად, დააკოპირეთ მასში ზემოთ წარმოდგენილი დატვირთვის კოდის პირველი ან მეორე ვერსია და მოათავსეთ ვიჯეტი უფრო ახლოს. შაბლონის დასაწყისამდე (სხვათა შორის, ეს საერთოდ არ არის საჭირო, რადგან MathJax სკრიპტი ასინქრონულად იტვირთება). Სულ ეს არის. ახლა ისწავლეთ MathML, LaTeX და ASCIIMathML მარკირების სინტაქსი და მზად ხართ მათემატიკის ფორმულების ჩასართავად თქვენს ვებ გვერდებში.

ნებისმიერი ფრაქტალი აგებულია გარკვეული წესის მიხედვით, რომელიც თანმიმდევრულად გამოიყენება შეუზღუდავი რაოდენობით. ყოველ ასეთ დროს გამეორებას უწოდებენ.

მენგერის ღრუბლის აგების განმეორებითი ალგორითმი საკმაოდ მარტივია: ორიგინალური კუბი 1-ლი გვერდით იყოფა მისი სახეების პარალელურად 27 ტოლ კუბად. მისგან ამოღებულია ერთი ცენტრალური კუბი და მის მიმდებარე 6 კუბი სახეების გასწვრივ. გამოდის ნაკრები, რომელიც შედგება 20 დარჩენილი პატარა კუბისაგან. იგივეს ვაკეთებთ თითოეულ ამ კუბით, მივიღებთ კომპლექტს, რომელიც შედგება 400 პატარა კუბისაგან. ამ პროცესის განუსაზღვრელი ვადით გაგრძელებით, ვიღებთ მენგერის სპონგს.