როდესაც ვფიქრობთ კონკრეტული პრობლემის გადაჭრაზე, აუცილებელია ყურადღება მივაქციოთ რა რაოდენობითაა მასში გამოყენებული. მთლიანი თუ წილადი? დადებითი თუ უარყოფითი? ყოველივე ამის შემდეგ, უმნიშვნელო დეტალი ხელს უწყობს არა მხოლოდ შეცდომის აღმოფხვრას კონკრეტული პრობლემის გადაჭრაში, არამედ თავად გამოსავლის პოვნაში. მოდით შევხედოთ ამას მაგალითით.
მიეცით მიშას (წინასწარ ბოდიშს ვიხდი, თუ საიტის სტუმარია მიხაილი) ხუთ-რუბლიანი და, ვთქვათ, რვა-რუბლიანი მონეტები. სულ ოცდაცხრამეტი მანეთია. რამდენი ხუთ-რუბლიანი და რამდენი რვა-რუბლიანი მონეტა აქვს მიშას.
როგორც ჩანს, აქ არ არის საკმარისი მონაცემები, თუ, მაგალითად, x აღნიშნავს 5-რუბლიანი მონეტების რაოდენობას, ხოლო y - 8-რუბლის მონეტებს, მაშინ თავად პრობლემის მდგომარეობა საშუალებას გვაძლევს დავწეროთ ერთი განტოლება:
ამ და სხვა განტოლებებს და მათ სისტემებს, რომლებშიც უცნობის რაოდენობა აღემატება განტოლებათა რაოდენობას, ეწოდება განუსაზღვრელი.
ეს ჩანს იმ პირობიდან, რომ მონეტების რაოდენობა არ შეიძლება გაიზომოს არა მთელი ან უარყოფითი რიცხვებით. ასე რომ, თუ x არის არაუარყოფითი მთელი რიცხვი, მაშინ:
უნდა იყოს არაუარყოფითი და მთელი რიცხვი. ეს ნიშნავს, რომ გამონათქვამი 39 - 5x ნაშთის გარეშე უნდა გაიყოს 8-ზე. შერჩევის დახმარებით შეგიძლიათ დარწმუნდეთ, რომ ეს შესაძლებელია x = 3-ით. აქედან გამომდინარე, y = 3.
ვარიანტების ჩამოთვლა არ არის მოსახერხებელი, როდესაც ვმუშაობთ დიდი რაოდენობით. ბევრად უკეთესია გამოვიყენოთ გაფანტვის მეთოდი ან დაღმართის მეთოდი, რომელიც გამოიგონეს ძველმა ინდოელმა მათემატიკოსებმა. დაღმართის მეთოდი ქვემოთ იქნება განხილული.
(მასალა აღებულია ავანტა+ ენციკლოპედიიდან "მათემატიკა")მოდით გავაგრძელოთ ფორმის განუსაზღვრელი განტოლების განხილვა:
სადაც a, b, c არის ცნობილი მთელი რიცხვების კოეფიციენტები.
მოდით შევხედოთ ამას ნაცნობი მაგალითით:
ჩვენ ვირჩევთ უცნობს უმცირესი კოეფიციენტით და გამოვხატავთ მას სხვა უცნობის მიხედვით:
ახლა ავირჩიოთ მთელი ნაწილი:
მთელი რიცხვი იქნება მთელი რიცხვი, თუ მნიშვნელობა (4 - 3y) / 5 აღმოჩნდება მთელი რიცხვი. ეს შესაძლებელია მხოლოდ მაშინ, როცა რიცხვი (4 - 3y) იყოფა 5-ზე ნაშთის გარეშე. დამატებითი მთელი რიცხვი z ცვლადის შემოღებით, ბოლო პირობას ვწერთ ფორმაში.
ჩვენ მივედით იმავე ტიპის განტოლებამდე, როგორც ორიგინალი, მაგრამ უფრო მცირე კოეფიციენტებით. ახლა თქვენ უნდა ამოხსნათ ის y და z ცვლადების მიმართ.
ჩვენ ვაგრძელებთ მოქმედებას იგივე პრინციპით:
იმისათვის, რომ y აღმოჩნდეს მთელი რიცხვი, აუცილებელია, რომ რიცხვი 1 - 2z იყოფა 3-ზე ნარჩენების გარეშე: 1 - 2z = 3u (ისევ შემოვიდა დამატებითი ცვლადი u, რომელიც იღებს მხოლოდ მთელ რიცხვებს) . აქედან უკვე შემუშავებული სქემის მიხედვით ვიღებთ:
გავაგრძელოთ... რიცხვი z იქნება მთელი რიცხვი, თუ რიცხვი 1 - u იყოფა 2-ზე ნაშთის გარეშე: 1 - u = 2v, სადაც v არის თვითნებური მთელი რიცხვი. აქედან გამომდინარე u =1 - 2v. გასროლაც აღარ არის, დაღმართი დასრულდა.
ახლა ის რჩება უსაფრთხოდ "ადგომა". მოდით გამოვხატოთ v ცვლადის მიხედვით ჯერ z, შემდეგ y და ბოლოს x:
ფორმულები x = 3 + 8v, y = 3 - 5v წარმოადგენს საწყისი განტოლების ზოგად ამოხსნას მთელი რიცხვებით. და თუ ჩვენ გვაინტერესებს მხოლოდ არაუარყოფითი მთელი რიცხვები, მაშინ ყველა რიცხვის ამონახსნებს შორის უნდა ავირჩიოთ ის, რისთვისაც
ამ განტოლების ამოხსნა ნიშნავს:
1) განსაზღვრავს უცნობის დასაშვებ მნიშვნელობებს და პარამეტრებს;
2) პარამეტრის მნიშვნელობების თითოეული დასაშვები სისტემისთვის იპოვეთ განტოლებების ამონახსნების შესაბამისი ნაკრები.
პირველი ხარისხის უმარტივეს განტოლებას ერთი უცნობი აქვს ფორმა ax-b=0.
როდესაც განტოლებას აქვს უნიკალური ამონახსნი, რომელიც იქნება: დადებითი, თუ ან; null თუ; უარყოფითი თუ ან.
თუ a=0, მაშინ არის უსასრულო რაოდენობის ამონახსნები b=0-სთვის და არ არის ამონახსნები b0-სთვის.
მაგალითი 1. a-ს თითოეული მნიშვნელობისთვის ამოხსენით განტოლება; იპოვეთ რომელი და ფესვები ნულზე მეტია.
ეს განტოლება არ არის წრფივი განტოლება (ანუ ის არის წილადი), მაგრამ x-1 და x0-ისთვის მცირდება: ან a-1-x=0.
ჩვენ უკვე დავადგინეთ x-ის დასაშვები მნიშვნელობები (x-1 და x0), ახლა გამოვავლენთ პარამეტრის დასაშვებ მნიშვნელობებს:
a-1-x=0 a=x+1
აქედან ჩანს, რომ x0 a1-ზე და x-1 a0-ზე.
ამრიგად, a1-სთვის და a0-სთვის x=a-1 და ეს ფესვი ნულზე მეტია a>1-ისთვის.
პასუხი: ა<0 х=а-1; при решений нет, а при a>1 ფესვი დადებითია.
მაგალითი 2. ამოხსენით განტოლება (1).
k და x-ის სწორი მნიშვნელობები იქნება მნიშვნელობები, რომლებისთვისაც.
მოდით მივიყვანოთ განტოლება მის უმარტივეს ფორმამდე:
(9 - k)x =3k-12 (2)
ვიპოვოთ k, რომლის თავდაპირველ განტოლებას აზრი არ აქვს:
ჩანაცვლებით (2) , მივიღებთ:
თუ ჩავანაცვლებთ, იგივეს მივიღებთ.
ამგვარად, ზე, განტოლებას (1) არ აქვს რიცხვითი მნიშვნელობა, ე.ი. არის k პარამეტრის არასწორი მნიშვნელობები (1). ზე, ჩვენ შეგვიძლია მხოლოდ (2) განტოლების ამოხსნა.
1. თუ, მაშინ განტოლებას (2) და მასთან ერთად განტოლებას (1) აქვს უნიკალური ამონახსნი, რომელიც იქნება:
ა) დადებითი, თუ 4-ზე ბ) ნული თუ; გ) უარყოფითი if და k>9 გათვალისწინებით Ჩვენ მივიღეთ. 2. თუ, მაშინ განტოლებას (2) არ აქვს ამონახსნები. პასუხი: ა) for and, და x>0 for; x=0 k=4-ისთვის; x<0 при; ბ) ზე, განტოლებას არ აქვს ამონახსნები. დასაწყისისთვის, უნდა გვახსოვდეს, რა არის რიცხვის მოდული. ასე რომ, რიცხვის აბსოლუტური მნიშვნელობა ან მოდული არის თავად x რიცხვი, თუ x დადებითია, რიცხვი (-x), თუ x უარყოფითია, ან ნული, თუ x=0. მოდულის მნიშვნელობა შეიძლება იყოს მხოლოდ დადებითი. მოდულის ნიშნის შემცველი პარამეტრული განტოლებების ამოხსნის გასაგებად უმჯობესია ამონახსნის ვიზუალურად დემონსტრირება, ე.ი. მიეცი მაგალითები: მაგალითი 1. ამოხსენით განტოლება |x-2|=b. ვინაიდან, მოდულის განმარტებით, |x-2|, მაშინ ბ<0 данное уравнение решений не имеет. Если b=0, то уравнение имеет решение х=2. თუ b>0, მაშინ განტოლების ამონახსნები არის რიცხვები x=2+b და x=2-b. პასუხი: ბ<0 решений нет, при b=0 х=2, при b>0 x=2+b და x=2-b. მაგალითი 2. ამოხსენით განტოლება |x-a|=|x-4|. ყველაზე მოსახერხებელია ამ განტოლების ამოხსნა ინტერვალის მეთოდით, ორი შემთხვევისთვის: 1. პირველი ინტერვალი: მეორე ინტერვალი: იმათ. თუ<4, то. მესამე ინტერვალი: a=4, ე.ი. თუ a=4, მაშინ. 2. პირველი ინტერვალი: მეორე ინტერვალი: a>4, ე.ი. თუ 4<а, то მესამე ინტერვალი: პასუხი: \u003d 4 x-ნებისმიერი;, a<4 . მაგალითი 3. a პარამეტრის თითოეული მნიშვნელობისთვის იპოვეთ x-ის ყველა მნიშვნელობა, რომელიც აკმაყოფილებს განტოლებას |x+3|- a| x - 1| =4. განვიხილოთ 3 ინტერვალი: 1), 2), 3) და ამოხსენით თავდაპირველი განტოლება თითოეულ ინტერვალზე. a=1-ისთვის განტოლებას არ აქვს ამონახსნები, მაგრამ a1-ისთვის განტოლებას აქვს ფესვი. ახლა ჩვენ უნდა გავარკვიოთ, რისთვის ეცემა x ინტერვალზე x< - 3, т.е. , . Следовательно, исходное уравнение на x< - 3 имеет один корень при, а на остальных а корней не имеет. როდესაც a = - 1, განტოლების ამონახსნი არის ნებისმიერი x; მაგრამ ჩვენ გადავწყვეტთ მათ შორის. თუ a1, მაშინ განტოლებას აქვს ერთი ფესვი x=1. a=1-ისთვის გამოსავალი არის ნებისმიერი რიცხვი, მაგრამ ჩვენ ვწყვეტთ. თუ a1, მაშინ x=1. პასუხი: at; a= - 1-ზე და a1 x=1-ზე; a=1-სთვის და a1-ისთვის x=1. დასაწყისისთვის, შეგახსენებთ, რომ კვადრატული განტოლება არის ფორმის განტოლება, სადაც a, b და c არის რიცხვები, უფრო მეტიც, a0. პარამეტრული კვადრატული განტოლებების პირობები შეიძლება იყოს განსხვავებული, მაგრამ ყველა მათგანის ამონახსნებისთვის აუცილებელია ჩვეულებრივი კვადრატული განტოლების თვისებების გამოყენება: ა) თუ D>0, a>0, მაშინ განტოლებას აქვს ორი რეალური განსხვავებული ფესვი, რომლის ნიშნები c>0-სთვის იგივეა და საპირისპიროა b კოეფიციენტის ნიშნით, ხოლო c-სთვის.<0, причем по абсолютной величине больше тот, знак которого противоположен коэффициенту b. ბ) თუ D=0, a>0, მაშინ განტოლებას აქვს ორი რეალური და ტოლი ფესვი, რომლის ნიშანი საპირისპიროა b კოეფიციენტის ნიშნის. გ) თუ დ<0, а>0, მაშინ განტოლებას არ აქვს რეალური ფესვები. ანალოგიურად, შეიძლება წარმოვადგინოთ ფესვების თვისებები a<0. Кроме того, в квадратных уравнениях справедливы следующие утверждения: 1. თუ შეცვლით a და c კოეფიციენტებს, მაშინ მიღებული კვადრატული განტოლების ფესვები შებრუნებული იქნება ამ განტოლების ფესვებთან. 2. თუ შეცვლით b კოეფიციენტის ნიშანს, მიღებული კვადრატული განტოლების ფესვები იქნება ამ ერთის ფესვების საპირისპირო. 3. თუ a და c კოეფიციენტებს განსხვავებული ნიშნები აქვთ, მაშინ განტოლებას რეალური ფესვები აქვს. მაგალითი 1. იპოვეთ a პარამეტრის ყველა მნიშვნელობა, რომლის კვადრატულ განტოლებას: ა) აქვს ორი განსხვავებული ფესვი; ბ) არ აქვს ფესვები; გ) აქვს ორი თანაბარი ფესვი. ეს განტოლება პირობითად კვადრატულია, ამიტომ a-1. განვიხილოთ ამ განტოლების დისკრიმინანტი: a>-1-ისთვის განტოლებას ორი განსხვავებული ფესვი აქვს, ვინაიდან D>0, ა<-1 уравнение корней не имеет, т.к. D<0, а двух одинаковых корней это уравнение иметь не может, т.к. D=0 при а=-1, а это противоречит условию задачи. მაგალითი 2. განტოლების ამოხსნა a=0-სთვის განტოლება არის წრფივი 2x+1=0, რომელსაც აქვს უნიკალური ამონახსნი x=-0.5. ხოლო a0-ზე განტოლება კვადრატულია და მისი დისკრიმინანტია D=4-4a. 1 დ-ისთვის<0 поэтому уравнение корней не имеет. При а=1 D=0, поэтому уравнение имеет два совпадающих корня =-1. Თვის<1, но а0, D>0 და ამ განტოლებას ორი განსხვავებული ფესვი აქვს პასუხი: და ა<1, но а0; х=-0.5 при а=0; =-1 при а=1. მაგალითი 3. განტოლების ფესვები ისეთია, რომ. იპოვე ა. ვიეტას თეორემის მიხედვით და. პირველი ტოლობის ორივე ნაწილის კვადრატში გამოვყოთ: . იმის გათვალისწინებით, რომ ა, ვიღებთ: ან, . შემოწმება აჩვენებს, რომ ყველა მნიშვნელობა აკმაყოფილებს პირობას. დენის ფორმულებიგამოიყენება რთული გამონათქვამების შემცირებისა და გამარტივების პროცესში, განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნისას. ნომერი გარის ნ- რიცხვის ხარისხში აროდესაც: ოპერაციები უფლებამოსილებით. 1. გრადუსების გამრავლება ერთიდაიგივე ფუძით, მათი მაჩვენებლები ჯამდება: ვარa n = a m + n. 2. იმავე ფუძის მქონე გრადუსების დაყოფისას მათ მაჩვენებლებს აკლებენ: 3. 2 ან მეტი ფაქტორის ნამრავლის ხარისხი უდრის ამ ფაქტორების ხარისხების ნამრავლს: (abc…) n = a n b n c n… 4. წილადის ხარისხი დივიდენდისა და გამყოფის ხარისხების თანაფარდობის ტოლია: (a/b) n = a n / b n . 5. სიმძლავრის ხარისხზე აწევით, მაჩვენებლები მრავლდება: (am) n = a m n . თითოეული ზემოთ მოყვანილი ფორმულა სწორია მარცხნიდან მარჯვნივ და პირიქით. მაგალითად. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4. ოპერაციები ფესვებით. 1. რამდენიმე ფაქტორის ნამრავლის ფესვი უდრის ამ ფაქტორების ფესვების ნამრავლს: 2. თანაფარდობის ფესვი უდრის დივიდენდის და ფესვების გამყოფის შეფარდებას: 3. ფესვის ხარისხზე აყვანისას საკმარისია ძირის რიცხვის ამ ხარისხზე აყვანა: 4. თუ ფესვის ხარისხს გავზრდით ში ნერთხელ და ამავე დროს ამაღლება ნ th ძალა არის ძირეული რიცხვი, მაშინ ფესვის მნიშვნელობა არ შეიცვლება: 5. თუ დავაკლებთ ფესვის ხარისხს ში ნ root ამავე დროს ნრადიკალური რიცხვიდან th ხარისხი, მაშინ ფესვის მნიშვნელობა არ შეიცვლება: ხარისხი უარყოფითი მაჩვენებლით.გარკვეული რიცხვის ხარისხი არაპოზიტიური (მთლიანი) მაჩვენებლით განისაზღვრება, როგორც ერთი გაყოფილი იმავე რიცხვის ხარისხზე, რომელსაც ტოლია არაპოზიტიური მაჩვენებლის აბსოლუტური მნიშვნელობა: ფორმულა ვარ:a n = a m - nშეიძლება გამოყენებულ იქნას არა მხოლოდ მ> ნ, არამედ ზე მ< ნ. მაგალითად. ა4:a 7 = a 4 - 7 = a -3. ფორმულამდე ვარ:a n = a m - nსამართლიანი გახდა m=n, თქვენ გჭირდებათ ნულოვანი ხარისხის არსებობა. ხარისხი ნულოვანი მაჩვენებლით.ნებისმიერი არანულოვანი რიცხვის სიმძლავრე ნულოვანი მაჩვენებლით უდრის ერთს. მაგალითად. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.
ხარისხი წილადის მაჩვენებლით.რეალური რიცხვის ასამაღლებლად ახარისხით მ/ნ, თქვენ უნდა ამოიღოთ ფესვი ნე ხარისხი მამ რიცხვის ე ძალა ა. 137. ამოცანა. გამოცდილებიდან გაირკვა, რომ 148 კგ წონის ვერცხლის და სპილენძის ღვეზელი წყალში კარგავს 14 2/3 კგ. დაადგინეთ რამდენი ვერცხლი და რამდენი სპილენძია მასში, თუ ცნობილია, რომ 21 კგ ვერცხლი წყალში კარგავს 2 კგ-ს, ხოლო 9 კგ სპილენძს 1 კგ-ს. დავუშვათ, რომ ეს ღვეზელი შეიცავს ვერცხლს X
კგ და სპილენძი ზე
კგ. მაშინ ერთი განტოლება იქნება: x + y
=148
. სხვა განტოლების შესაქმნელად გავითვალისწინოთ, რომ თუ 21 კგ ვერცხლი წყალში კარგავს 2 კგ წონას, მაშინ ეს ნიშნავს, რომ 1 კგ ვერცხლი წყალში კარგავს 2/21 კგ. მერე X
კგ უნდა დაიკარგოს წყალში 2/21 X
კგ წონა. ანალოგიურად, თუ 9 კგ სპილენძი კარგავს 1 კგ წყალში, ეს ნიშნავს, რომ 1 კგ სპილენძი კარგავს 1/9 კგ; აქედან გამომდინარე, ზე
კგ სპილენძი კარგავს 1/9 ზე
კგ. ასე რომ, მეორე განტოლება იქნება: 2/21 X
+ 1 / 9 ზე
= 14 2 / 3 ამგვარად მივიღეთ ორი განტოლება 2 უცნობით: x + y
=148
და 2
/ 21 X + 1 / 9 ზე = 14 2 /
3
= 44 /
3
მეორე განტოლება შეიძლება გამარტივდეს წილადებისგან გათავისუფლებით. ამისათვის ჩვენ ვამცირებთ ყველა წილადს ერთ მნიშვნელზე: 6
/ 63 X + 7 / 63 ზე = 924 /
63
ახლა გავამრავლოთ განტოლების ორივე მხარე 63-ზე; ვიღებთ ეკვივალენტურ განტოლებას: x + y
= 924
ახლა გვაქვს ორი განტოლება: x + y
=148
და 6x + 7წ
= 924
ამ ორი განტოლების ამოხსნა შეგვიძლია რამდენიმე გზით. მაგალითად, შემდეგნაირად: პირველი განტოლებიდან განვსაზღვრავთ X
დამოკიდებულია ზე
(სხვა სიტყვებით, განსაზღვრეთ X
როგორც ფუნქცია ზე
): x = 148 - y.
ვინაიდან მეორე განტოლებაში ასოები X
და ზე
ვგულისხმობთ იგივე რიცხვებს, როგორც პირველ განტოლებაში, მაშინ შეგვიძლია ჩავანაცვლოთ მეორე განტოლებაში ნაცვლად X
განსხვავება 148 - ზე
. 6 (148 - y) + 7y
= 924
მოდით გადავჭრათ ეს განტოლება ერთი უცნობით: 888 - 6y + 7y \u003d 924; y \u003d 924 - 888 \u003d 36.
მერე x \u003d 148 - 36 \u003d 112.
ამრიგად, ეს ინგოტი შეიცავს 112
კგ ვერცხლი და 36
კგ სპილენძი. 138. პირველი ხარისხის განტოლების ნორმალური ფორმა ორი უცნობით.აიღეთ განტოლების მაგალითი 2 უცნობით: 2 (2x + 3y - 5) = 5 / 8 (x + 3) + 3 / 4 (y - 4).
ამ განტოლების გასამარტივებლად ჩვენ მასში გავაკეთებთ გარდაქმნების იგივე სერიას, რაც ადრე იყო მითითებული 1 უცნობის მქონე განტოლებისთვის, კერძოდ. 1) გააფართოვეთ ფრჩხილები: 4x + 6y - 10 = 5 / 8 x + 15 / 8 + 3 / 4 y - 3
2) მოიშორეთ მნიშვნელები ყველა ტერმინის გამრავლებით 8
: 32x + 48 წ - 80 = 5x + 15 + 6 წ - 24
3) უცნობ წევრებს გადავიტანთ განტოლების ერთ ნაწილზე, ხოლო ცნობილებს მეორეზე: 32x + 48y -5x - 6y = 15 - 24 + 80
4) გავაკეთოთ მსგავსი წევრების შემცირება: 27x + 42y = 71.
ამრიგად, ეს განტოლება, მითითებული გარდაქმნების შემდეგ, აღმოჩნდება ისეთი ფორმის, რომელშიც განტოლების მარცხენა მხარეს არის მხოლოდ ორი ტერმინი: ერთი უცნობით. X
(პირველ ხარისხში) და მეორე უცნობი ზე
(პირველი ხარისხით), განტოლების მარჯვენა მხარე შედგება მხოლოდ ერთი ტერმინისგან, რომელიც არ შეიცავს უცნობებს. კოეფიციენტები ზე X
და ზე
შეიძლება იყოს ორივე დადებითი (როგორც ჩვენ ავიღეთ მაგალითი), ან ორივე უარყოფითი (ამ შემთხვევაში, თუმცა, შეიძლება წინაზე შემცირდეს განტოლების ყველა წევრის - 1-ზე გამრავლებით), ან ერთი დადებითი და მეორე უარყოფითია; ტერმინი მარჯვენა მხარეს შეიძლება იყოს დადებითი რიცხვი (როგორც წინამდებარე მაგალითში), ან უარყოფითი და თუნდაც ნული. კოეფიციენტების აღნიშვნა ზე X
და ზე
წერილები ა
და ბ
და ტერმინი, რომელიც არ შეიცავს უცნობებს, ასოსთან ერთად თან
, ჩვენ შეგვიძლია ზოგადად წარმოვადგინოთ განტოლება 1-ლი ხარისხის 2 უცნობით შემდეგნაირად: ცული + by = გ.
ამ ტიპის განტოლებას უწოდებენ 1 ხარისხის განტოლების ნორმალურ ფორმას 2 უცნობით. 139. ერთი განტოლების განუსაზღვრელობა 2 უცნობით.
2 უცნობის მქონე ერთ განტოლებას აქვს ფესვების უსასრულო რაოდენობა. მართლაც, თუ რომელიმე უცნობიდან ერთს მივანიჭებთ თვითნებურ რიცხვს და ჩავანაცვლებთ ამ რიცხვს განტოლებაში, მაშინ მივიღებთ განტოლებას მხოლოდ ერთი სხვა უცნობით; ამ განტოლებიდან შეგიძლიათ იპოვოთ ეს სხვა უცნობი. ასე რომ, თუ განტოლებაში 3x-2y=-6
ჩვენ ამას მივიღებთ y = 2
, მაშინ განტოლება იქნება 3x - 4 = -6
საიდანაც ვპოულობთ: 3x = - 2
და x
= -
2
/
3
. ასე რომ, თუ y = 2
, მაშინ x
= -
2
/
3
. ახლა დაავალეთ ამისთვის ზე
სხვა ნომერი, მაგალითად, y = 1
. შემდეგ მივიღებთ 3x-2=-6
, 3x
= - 4
, X
= -1
1
/
3
. ასე რომ, თუ y = 1
, მაშინ. X
= -1
1
/
3
. ამრიგად, ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ ამონახსნების იმდენი წყვილი, რამდენიც გვსურს და, შესაბამისად, განტოლება იქნება განუსაზღვრელი. ეს ასევე შეიძლება იყოს ნაჩვენები გრაფიკულად. განტოლებიდან: 3x-2y=-6
(1) განსაზღვრა ზე
როგორც ფუნქცია X
: აუცილებელია მოცემული განტოლებიდან სწრაფად და ზუსტად გამოვიყენოთ ერთი უცნობი მეორე უცნობის ფუნქციად. ასე რომ, იმისათვის, რომ განვსაზღვროთ ჩვენი განტოლებიდან ზე
როგორც ფუნქცია X
აუცილებელია ტერმინის გონებრივად გადატანა - 2 წ
მარჯვნივ და წევრი - 6
მარცხნივ, შემდეგ გადააწყვეთ განტოლების ნაწილები და გაყავით ისინი 2
; ამ გარდაქმნების შედეგი პირდაპირ უნდა დაიწეროს. ეს ფუნქცია არის 1-ლი ხარისხის ბინომი და ასეთი ბინომი გამოსახულია კოორდინატთა ღერძებში სწორი ხაზის სახით, რომელიც შეგვიძლია ავაგოთ ორი წერტილიდან (ნაწილი 3 § 118), მაგალითად. ამგვარად: ამ წრფის თითოეული წერტილის კოორდინატები აკმაყოფილებს (2) განტოლებას და, შესაბამისად, ასევე (1) განტოლებას; და რადგან ხაზზე უსასრულო რაოდენობაა, განტოლებას (1) აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა. 140. განტოლებათა სისტემა.ჩვეულებრივად უნდა ითქვას, რომ რამდენიმე განტოლება ქმნის სისტემას, თუ ყველა ამ განტოლებაში თითოეული ასო x, y,
. . ნიშნავს ერთსა და იმავე რიცხვს ყველა განტოლებისთვის. თუ, მაგალითად, ორი განტოლება: ითვლება იმ პირობით, რომ წერილი X
ნიშნავს ერთსა და იმავე რიცხვს ორივე განტოლებაში, ასევე ასოც ზე
, მაშინ ასეთი განტოლებები ქმნიან სისტემას. ეს ხდება მაშინ, როდესაც განტოლებები შედგება ერთი და იგივე პრობლემის პირობებისგან. ჩვენ მივუთითებთ სამ გზას 1-ლი ხარისხის 2 განტოლების სისტემის ამოხსნის 2 უცნობით. 141. ჩანაცვლების მეთოდი.ჩვენ უკვე გამოვიყენეთ ეს მეთოდი1 ადრე, როდესაც მოვაგვარეთ ვერცხლის და სპილენძის ზინგის პრობლემა (). ახლა ავიღოთ უფრო რთული მაგალითი: 8x - 5y = - 16; 10x + 3y = 17
(ორივე განტოლება დაყვანილია ნორმალურ ფორმამდე). ერთი განტოლებიდან, მაგალითად, პირველიდან, ჩვენ განვსაზღვრავთ ერთ უცნობს, მაგალითად, X
, როგორც სხვა უცნობის ფუნქცია: ვინაიდან მეორე განტოლება უნდა აკმაყოფილებდეს იმავე მნიშვნელობებს, რაც პირველი, ჩვენ შეგვიძლია ჩავანაცვლოთ მასში X
ნაპოვნი გამოხატულება, საიდანაც ვიღებთ განტოლებას ერთი უცნობით ზე
: მოდით ამოვხსნათ ეს განტოლება: ჩვენ შეგვიძლია განვსაზღვროთ ერთი განტოლებიდან ზე
როგორც ფუნქცია X
და შეცვალეთ მიღებული გამონათქვამი ზე
სხვა განტოლებაში; მაშინ მივიღებთ განტოლებას უცნობისთან X
. ეს მეთოდი განსაკუთრებით მოსახერხებელია, როდესაც კოეფიციენტი ზოგიერთი უცნობისთვის არის 1;მაშინ უმჯობესია ეს უცნობი განვსაზღვროთ, როგორც სხვა უცნობის ფუნქცია (არ არის საჭირო ფაქტორზე გაყოფა) და ა.შ. მეორე განტოლებიდან ვხვდებით: y \u003d 22-4x.
მაშინ პირველი განტოლება იძლევა: 3x - 2 (22 - 4x) = 11; 3x -44 + 8x = 11; 11x = 44+ 11 = 55.
x \u003d 55 / 11 \u003d 5; y = 22 - 4 5 = 2.
წესი. ჩანაცვლების მეთოდით ორი განტოლების სისტემის ამოსახსნელად 2 უცნობით, საჭიროა რომელიმე განტოლებიდან ერთი უცნობის დადგენა მეორე უცნობის ფუნქციით და მიღებული გამოხატვის ჩანაცვლება სხვა განტოლებით; ეს იწვევს განტოლებას ერთი უცნობით. გადაჭრის შემდეგ მათ ეს უცნობი აღმოჩნდნენ. ნაპოვნი რიცხვის ჩანაცვლებით გამოსახულებაში ადრე მიღებული პირველი უცნობი, ეს სხვა უცნობიც გვხვდება.
142. შეკრების ან გამოკლების მეთოდი.ჯერ დავუშვათ, რომ განტოლებათა მოცემულ სისტემაში (ადრე ნორმალურ ფორმამდე დაყვანილი), კოეფიციენტები ზოგიერთი უცნობისთვის, მაგალითად, ზე
, იგივე იქნება. ამ შემთხვევაში შეიძლება წარმოიშვას ორი შემთხვევა: 1) ასეთი კოეფიციენტების წინ ნიშნები განსხვავებულია და 2) ნიშნები იგივეა. განვიხილოთ ეს ორი შემთხვევა პარალელურად. მოდით, მაგალითად, ორი სისტემა იყოს მოცემული: თუ ვამატებთ ტერმინს პირველი სისტემის განტოლებებს და ვაკლებთ ტერმინს მეორე სისტემის განტოლებებს, მაშინ უცნობი y აღმოიფხვრება: სად: x=5 x=3
ჩანაცვლება ერთ-ერთ ამ განტოლებაში ნაცვლად X
მისთვის ნაპოვნი ნომერი, ჩვენ ვიპოვით ზე
: ახლა ავიღოთ სისტემა, რომელშიც კოეფიციენტები განსხვავებულია, მაგალითად. ამგვარად: ჩვენ შეგვიძლია წინასწარ გავათანაბროთ კოეფიციენტები რომელიმე უცნობისთვის, მაგალითად, for X
. ამისათვის ჩვენ ვიპოვით კოეფიციენტების 7 და 5 (ეს იქნება 35) ჯერადად (ყველაზე საუკეთესო, ყველაზე პატარა) და გავამრავლებთ თითოეული განტოლების ორივე მხარეს შესაბამის დამატებით კოეფიციენტზე (როგორც ეს ხდება წილადების საერთოზე დაყვანისას. მნიშვნელი): ამის შემდეგ რჩება მხოლოდ გარდაქმნილი განტოლებების დამატება ან გამოკლება. ჩვენს მაგალითში, ნიშნები კოეფიციენტების წინ X
სხვადასხვა; ამიტომ განტოლებები უნდა დაემატოს: ახლა პირველი განტოლება იძლევა: 7x + 6 2 1 / 2 = 29; 7x + 15 = 29; 7x = 14; x = 2.
წესი. შეკრების ან გამოკლების მეთოდის გამოყენებით ორი განტოლების სისტემის ამოსახსნელად 2 უცნობით, ჯერ უნდა გაათანაბროთ კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში რომელიმე უცნობისთვის და შემდეგ დაამატეთ ორივე განტოლება, თუ ამ კოეფიციენტების წინ ნიშნები განსხვავებულია, ან გამოკლოთ განტოლებები, თუ ნიშნები ერთნაირია.
143. გრაფიკული ამოხსნა.მიეცით სისტემა: 8x - 5y \u003d - 16; 10x + 3y = 17.
თითოეული განტოლებიდან ჩვენ განვსაზღვრავთ ზე
როგორც ფუნქცია X
: ამ ფუნქციების გრაფიკები უნდა იყოს სწორი ხაზები. მოდით ავაშენოთ ერთი ნახატი, თითოეული მათგანი ორი წერტილით, მაგალითად, შემდეგი: განტოლებიდან...... y = 1 3 / 5 x + 3 1 /
5
: განტოლებიდან...... y \u003d 5 2 / 3 - 3 1 / 3 x:
ნახაზზე ჩანს, რომ ორი წრფე იკვეთება წერტილში, რომლის აბსციზა ტოლია 1
/
2
, და ორდინატი 4
. ეს ღირებულებები X
და ზე
, რომელიც აკმაყოფილებს ორივე განტოლებას და იქნება ამ სისტემის ამონახსნები. შენიშვნები . 1) თუ მოხდა ისე, რომ ამ განტოლებების გამომხატველი წრფეები აღმოჩნდეს პარალელური და, შესაბამისად, არ იქნებოდა მათი გადაკვეთის წერტილი, მაშინ ეს ნიშნავს, რომ განტოლებებს არ აქვთ ფესვები. 2) ხანდახან შეიძლება მოხდეს, რომ 2 ხაზი გაერთიანდეს ერთში; მაშინ ამ წრფის რომელიმე წერტილის კოორდინატები აკმაყოფილებს მოცემულ განტოლებებს და, შესაბამისად, სისტემა განუსაზღვრელია. 3) ამ წიგნის მე-2 ნაწილის ბოლოს მოცემულია ორი განტოლების სისტემის ამოხსნის ზოგადი ფორმულები პირველი ხარისხის 2 უცნობით (§ 396 და შემდგომ). თავი მეორე. სამი განტოლების სისტემა სამი უცნობით.
144. პირველი ხარისხის განტოლების ნორმალური ფორმა სამი უცნობით.თუ 1 ხარისხის განტოლებაში 3 უცნობი x, y
და ზ
გავაკეთეთ იგივე გარდაქმნები, რომლებიც ადრე აღვნიშნეთ 1 და 2 უცნობის მქონე განტოლებისთვის, შემდეგ განტოლებას მივიღებთ ისეთ ფორმამდე (ე.წ. ნორმალურად), რომელშიც განტოლების მარცხენა მხარეს არის მხოლოდ სამი წევრი: ერთი X
, სხვასთან ერთად ზე
და მესამესთან ერთად ზ
, და მარჯვენა მხარეს იქნება ერთი ტერმინი, რომელიც არ შეიცავს უცნობებს. მაგალითად, ეს არის განტოლება: 5x - 3y - 4z = -12.
მისი ზოგადი გარეგნობა შემდეგია: ax + by + cz = d,
სადაც ა, ბ, გ
და დ
ზოგიერთი შედარებითი რიცხვი. 145. ორი და ერთი განტოლების განუსაზღვრელობა სამი უცნობით.დავუშვათ, რომ გვეძლევა 2 განტოლების სისტემა 3 უცნობით: 5x-3y + z = 2; 2x + y-z = 6.
მიანიჭეთ ერთი უცნობი, მაგ. ზ
, ზოგიერთი თვითნებური რიცხვი, ჩადეთ 1 და ჩაანაცვლეთ ეს რიცხვი ადგილზე ზ
: ამგვარად მივიღეთ 2 განტოლების სისტემა 2 უცნობით. მისი რაიმე გზით გადაჭრით, ჩვენ ვპოულობთ: x=2, y=3
; მაშასადამე, ეს სისტემა 3 უცნობით დაკმაყოფილებულია x = 2
, y = 3
და z=1
. მოდით ახლა მივცეთ უცნობი z-ს სხვა მნიშვნელობა, მაგალითად. z = 0
და ჩაანაცვლეთ ეს მნიშვნელობა ამ განტოლებით: 5x-3y = 2; 2x + y = 6.
ჩვენ კვლავ ვიღებთ 2 განტოლების სისტემას 2 უცნობით. მისი რაიმე გზით გადაჭრით, ჩვენ ვპოულობთ: x
= 20
/
11
= 1
9
/
11
წ
= 2
4
/
11
ეს ნიშნავს, რომ ეს სისტემა დაკმაყოფილებულია, როდესაც x
= 1
9
/
11
წ
= 2
4
/
11
და z = 0
. დანიშვნა ზ
სხვა (მესამე) მნიშვნელობა, ჩვენ კვლავ ვიღებთ 2 განტოლების სისტემას 2 უცნობით, საიდანაც ვპოულობთ ახალ მნიშვნელობებს X
და ზე
. ვინაიდან ამისთვის ზ
შეგვიძლია მივანიშნოთ იმდენი განსხვავებული რიცხვი, რამდენიც გვსურს, შემდეგ for X
და ზე
ჩვენ შეგვიძლია მივიღოთ ნებისმიერი რაოდენობის მნიშვნელობა (შეესაბამება აღებულ მნიშვნელობებს ზ
). აქედან გამომდინარე, 2 განტოლება 3 უცნობით აღიარებს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობას; სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ასეთი სისტემა განუსაზღვრელია. კიდევ უფრო დიდი გაურკვევლობა იქნება, თუ არის მხოლოდ 1 განტოლება 3 უცნობით. მაშინ შესაძლებელი იქნება 2 უცნობისთვის თვითნებური ნომრების მინიჭება; მესამე უცნობი შეიძლება მოიძებნოს ამ განტოლებიდან, თუ მასში ჩავანაცვლებთ თვითნებურად აღებულ მნიშვნელობებს ორი უცნობისთვის. 146. 3 განტოლების სისტემა 3 უცნობით.იმისათვის, რომ შეძლოთ სამი უცნობის განსაზღვრული რიცხვითი მნიშვნელობების პოვნა x, y
და ზ
, აუცილებელია 3 განტოლების სისტემა იყოს მოცემული. ასეთი სისტემის ამოხსნა შესაძლებელია როგორც ჩანაცვლების მეთოდით, ასევე განტოლებების შეკრების ან გამოკლების მეთოდით. ჩვენ ვაჩვენებთ ამ მეთოდების გამოყენებას შემდეგ მაგალითში (თითოეული განტოლება ადრე გადაყვანილია ნორმალურ ფორმამდე): 147. ჩანაცვლების მეთოდი.ზოგიერთი განტოლებიდან, მაგალითად, პირველიდან, ჩვენ განვსაზღვრავთ ერთ უცნობს, მაგალითად, X,
როგორც დანარჩენი ორი უცნობის ფუნქცია: ვინაიდან ყველა განტოლებაში X
ნიშნავს იგივე რიცხვს, შემდეგ ჩვენ შეგვიძლია შევცვალოთ ნაპოვნი გამოხატულება ადგილზე X
დანარჩენ განტოლებამდე: ამრიგად მივდივართ 2 განტოლების სისტემამდე 2 უცნობით ზე
და ზ
. ამ სისტემის გადაჭრის შემდეგ, ადრე მითითებული რომელიმე მეთოდით, ჩვენ ვიპოვით ციფრულ მნიშვნელობებს ზე
და გ
. ჩვენს მაგალითში ეს იქნება მნიშვნელობები: y=3, z=2
; ამ რიცხვების ჩანაცვლება ჩვენ მიერ გამოტანილი გამოსახულებით X
მოდი ვიპოვოთ ეს უცნობი: ამრიგად, შემოთავაზებულ სისტემას აქვს გამოსავალი x=1, y=3, z=2
(რისი დამოწმება შესაძლებელია გადამოწმებით). 148. შეკრების ან გამოკლების მეთოდი. 3 მოცემული განტოლებიდან, მაგალითად, ჩვენ ვიღებთ ორს. 1-ლი და მე-2, და მათში კოეფიციენტების გათანაბრება ერთი უცნობის წინაშე, მაგალითად, ადრე ზ
, მათგან გამოვრიცხავთ ამ უცნობს შეკრების ან გამოკლების მეთოდით; აქედან ვიღებთ ერთ განტოლებას 2 უცნობით X
და ზე
. შემდეგ, მაგალითად, ავიღოთ კიდევ ორი განტოლება 3 მონაცემიდან. 1-ლი და მე-3 (ანუ მე-2 და მე-3), და ასევე გამოვრიცხავთ მათგან ერთსა და იმავე უცნობს, ე.ი. ზ
; აქედან ვიღებთ სხვა განტოლებას X
და ზე
: ჩვენ ვხსნით მიღებულ ორ განტოლებას: x=1, y=3
. ჩვენ ჩავსვით ეს რიცხვები სამი მოცემული განტოლებიდან ერთ-ერთში, მაგალითად, პირველში: 3 1 - 2 3 + 5z = 7; 5z = 7 -3 + 6 = 10; z=2.
კომენტარი. იმავე ორი გზით, ჩვენ შეგვიძლია შევამციროთ 4 განტოლებისგან შემდგარი სისტემა 4 უცნობით 3 განტოლების სისტემაზე 3 უცნობით (და ეს სისტემა - 2 განტოლების სისტემამდე 2 უცნობით და ა.შ.). ზოგადი სისტემა მ
განტოლებები მ
უცნობი ჩვენ შეგვიძლია მივიყვანოთ სისტემაში მ
- 1
განტოლებები მ
- 1
უცნობია (და ეს სისტემა სისტემას მ
-
2
განტოლებები მ
- 2
უცნობი და ა.შ.). თავი მესამე. განტოლებათა სისტემების ზოგიერთი განსაკუთრებული შემთხვევა.
149. შემთხვევა, როდესაც ყველა უცნობი არ არის ჩართული თითოეულ მოცემულ განტოლებაში; მაგალითად: ამ შემთხვევაში, სისტემა ჩვეულებრივზე უფრო სწრაფად წყდება, რადგან გარკვეული უცნობები უკვე აღმოიფხვრა ზოგიერთ განტოლებაში. საჭიროა მხოლოდ იმის გარკვევა, თუ რომელი უცნობი და რომელი განტოლებიდან უნდა გამოირიცხოს, რათა რაც შეიძლება მალე მივაღწიოთ ერთ განტოლებას ერთ უცნობთან. ჩვენს მაგალითში, გამოკლებით ზ
1-ლი და მე-3 განტოლებიდან და ვ
მე-2 და 1-დან ვიღებთ 2 განტოლებას X
და ზე
: ამ განტოლებების ამოხსნისას ვპოულობთ: x = 0, y = 1/3.
ახლა ამ რიცხვებს ჩავსვამთ მე-2 და მე-3 განტოლებებში; შემდეგ მივიღებთ: ვ
= 3/2; ზ
= 16 / 9
= 1 7 / 9
150. შემთხვევა, როცა უცნობიები წილადების სახით შედიან: 1/x x" = 2, y" = 1 / 2, z" = 5;
1/x=2, 1/y=1/2, 1/z=5
x = 1/2, y = 2, z = 1/5;
151. შემთხვევა, როდესაც სასარგებლოა ყველა ამ განტოლების დამატება. დავუშვათ, გვაქვს, მაგალითად, სისტემა: სამივე განტოლების მიმატებით ვპოულობთ: ბოლო განტოლებიდან თითოეული მონაცემის გამოკლებით, მივიღებთ: ___________________
ყურადღება! Რა ექსპონენციალური განტოლება? ეს არის განტოლება, რომელშიც არის უცნობი (x) და გამოსახულებები მათთან ერთად ინდიკატორებირამდენიმე გრადუსი. და მხოლოდ იქ! Ეს არის მნიშვნელოვანი. აი შენ ხარ ექსპონენციალური განტოლებების მაგალითები: 3 x 2 x = 8 x + 3 Შენიშვნა! გრადუსების საფუძვლებში (ქვემოთ) - მხოლოდ ნომრები. AT ინდიკატორებიგრადუსი (ზემოთ) - გამოთქმების მრავალფეროვნება x-ით. თუ უეცრად x ჩნდება განტოლებაში ინდიკატორის გარდა სხვაგან, მაგალითად: ეს იქნება შერეული ტიპის განტოლება. ასეთ განტოლებებს არ გააჩნია ამოხსნის მკაფიო წესები. ჩვენ მათ ჯერ არ განვიხილავთ. აქ ჩვენ შევეხებით ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნამისი სუფთა სახით. სინამდვილეში, სუფთა ექსპონენციალური განტოლებებიც კი ყოველთვის არ არის მკაფიოდ ამოხსნილი. მაგრამ არსებობს გარკვეული ტიპის ექსპონენციალური განტოლებები, რომლებიც შეიძლება და უნდა გადაწყდეს. ეს ის ტიპებია, რომლებსაც ჩვენ განვიხილავთ. დავიწყოთ რაღაც ძალიან ძირითადით. Მაგალითად: ყოველგვარი თეორიის გარეშეც კი, მარტივი შერჩევით ცხადია, რომ x = 2. მეტი არაფერი, არა!? სხვა x მნიშვნელობის რულონები არ არის. ახლა კი მოდით შევხედოთ ამ რთული ექსპონენციალური განტოლების ამოხსნას: რა გავაკეთეთ? ჩვენ, ფაქტობრივად, უბრალოდ გამოვყარეთ იგივე ფსკერები (სამები). მთლად ამოგდებული. და, რაც გსიამოვნებს, დააფიქსირე! მართლაც, თუ ექსპონენციალურ განტოლებაში მარცხნივ და მარჯვნივ არიან იგივერიცხვები ნებისმიერი ხარისხით, ეს რიცხვები შეიძლება ამოღებულ იქნას და თანაბარი მაჩვენებლები იყოს. მათემატიკა იძლევა საშუალებას. რჩება გაცილებით მარტივი განტოლების ამოხსნა. კარგია, არა?) თუმცა, ირონიულად გავიხსენოთ: თქვენ შეგიძლიათ ამოიღოთ ბაზები მხოლოდ მაშინ, როდესაც მარცხნივ და მარჯვნივ ბაზის ნომრები ბრწყინვალე იზოლაციაშია!ყოველგვარი მეზობლებისა და კოეფიციენტების გარეშე. განტოლებებში ვთქვათ: 2 x +2 x + 1 = 2 3, ან ორმაგს ვერ მოხსნი! ისე, ჩვენ ავითვისეთ ყველაზე მნიშვნელოვანი. როგორ გადავიდეთ ბოროტი ექსპონენციალური გამონათქვამებიდან მარტივ განტოლებამდე. "აი ის დრო!" - შენ ამბობ. „ვინ მისცემს ასეთ პრიმიტივას კონტროლსა და გამოცდებზე!? აიძულეს დათანხმდეს. არავინ გააკეთებს. მაგრამ ახლა თქვენ იცით, სად უნდა წახვიდეთ დამაბნეველი მაგალითების ამოხსნისას. აუცილებელია გავიხსენოთ ის, როდესაც ერთი და იგივე საბაზისო ნომერია მარცხნივ - მარჯვნივ. მაშინ ყველაფერი უფრო ადვილი იქნება. სინამდვილეში, ეს მათემატიკის კლასიკაა. ჩვენ ვიღებთ ორიგინალურ მაგალითს და გარდაქმნით მას სასურველზე ჩვენგონება. რა თქმა უნდა, მათემატიკის წესების მიხედვით. განვიხილოთ მაგალითები, რომლებიც საჭიროებენ დამატებით ძალისხმევას, რათა მათ უმარტივესამდე მივიყვანოთ. მოდით დავურეკოთ მათ მარტივი ექსპონენციალური განტოლებები. ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნისას ძირითადი წესებია მოქმედებები უფლებამოსილებით.ამ ქმედებების ცოდნის გარეშე, არაფერი იმუშავებს. ხარისხების მქონე მოქმედებებს უნდა დაემატოს პირადი დაკვირვება და გამომგონებლობა. გვჭირდება იგივე საბაზისო ნომრები? ასე რომ, ჩვენ ვეძებთ მათ მაგალითში აშკარა ან დაშიფრული ფორმით. ვნახოთ, როგორ კეთდება ეს პრაქტიკაში? მოვიყვანოთ მაგალითი: 2 2x - 8 x+1 = 0 პირველი შეხედვით საფუძველი.ისინი... განსხვავებულები არიან! ორი და რვა. მაგრამ ძალიან ადრეა იმედგაცრუება. დროა გავიხსენოთ ეს ორი და რვა ხარისხით ნათესავები არიან.) სავსებით შესაძლებელია ჩავწეროთ: 8 x+1 = (2 3) x+1 თუ გავიხსენებთ ფორმულას ძალაუფლების მქონე მოქმედებებიდან: (a n) m = a nm, ზოგადად მშვენივრად მუშაობს: 8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1) ორიგინალური მაგალითი ასე გამოიყურება: 2 2x - 2 3(x+1) = 0 გადავიტანთ 2 3 (x+1)მარჯვნივ (არავინ გააუქმა მათემატიკის ელემენტარული მოქმედებები!), ვიღებთ: 2 2x \u003d 2 3 (x + 1) ეს პრაქტიკულად ყველაფერია. ბაზების ამოღება: ჩვენ ამ ურჩხულს მოვაგვარებთ და ვიღებთ ეს არის სწორი პასუხი. ამ მაგალითში ორი ძალის ცოდნა დაგვეხმარა. ჩვენ იდენტიფიცირებულირვაში, დაშიფრული დუისი. ეს ტექნიკა (საერთო ფუძეების დაშიფვრა სხვადასხვა რიცხვებში) ძალიან პოპულარული ხრიკია ექსპონენციალურ განტოლებებში! დიახ, თუნდაც ლოგარითმებში. ადამიანს უნდა შეეძლოს სხვა რიცხვების ძალაუფლების ამოცნობა რიცხვებში. ეს ძალზე მნიშვნელოვანია ექსპონენციალური განტოლებების ამოსახსნელად. ფაქტია, რომ ნებისმიერი რიცხვის ნებისმიერ ძალაზე აყვანა პრობლემა არ არის. გაამრავლე, თუნდაც ფურცელზე და ეს ყველაფერი. მაგალითად, ყველას შეუძლია აწიოს 3 მეხუთე ხარისხზე. 243 გამოვა, თუ თქვენ იცით გამრავლების ცხრილი.) მაგრამ ექსპონენციალურ განტოლებებში ბევრად უფრო ხშირად საჭიროა არა სიმძლავრის აწევა, არამედ პირიქით ... რა რიცხვი რამდენადიმალება 243 ნომრის მიღმა, ან, ვთქვათ, 343... აქ არც ერთი კალკულატორი არ დაგეხმარება. თქვენ უნდა იცოდეთ ზოგიერთი რიცხვის ძალა მხედველობით, დიახ... ვივარჯიშოთ? დაადგინეთ რა ძალა და რა რიცხვია რიცხვები: 2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024. პასუხები (არეულად, რა თქმა უნდა!): 5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 . თუ კარგად დააკვირდებით, უცნაურ ფაქტს შეამჩნევთ. უფრო მეტი პასუხია, ვიდრე კითხვა! ისე, ეს ხდება... მაგალითად, 2 6, 4 3, 8 2 არის სულ 64. დავუშვათ, რომ თქვენ გაითვალისწინეთ ინფორმაცია რიცხვების გაცნობის შესახებ.) ასევე შეგახსენებთ, რომ ექსპონენციალური განტოლებების ამოსახსნელად ვიყენებთ მთელიმათემატიკური ცოდნის მარაგი. მათ შორის დაბალი და საშუალო კლასებიდან. პირდაპირ საშუალო სკოლაში არ წახვედი, არა? მაგალითად, ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნისას, საერთო ფაქტორის ფრჩხილებიდან ამოღება ძალიან ხშირად გვეხმარება (გამარჯობა მე-7 კლასს!). ვნახოთ მაგალითი: 3 2x+4 -11 9 x = 210 და ისევ, პირველი შეხედვა - ნიადაგზე! გრადუსების საფუძვლები განსხვავებულია... სამი და ცხრა. და ჩვენ გვინდა, რომ ისინი იყვნენ იგივე. ისე, ამ შემთხვევაში, სურვილი სავსებით შესაძლებელია!) რადგან: 9 x = (3 2) x = 3 2x იგივე წესების მიხედვით მოქმედებების ხარისხით: 3 2x+4 = 3 2x 3 4 მშვენიერია, შეგიძლიათ დაწეროთ: 3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210 იგივე მიზეზების გამო მოვიყვანეთ მაგალითი. მაშ, რა არის შემდეგი!? სამების ამოგდება არ შეიძლება... ჩიხი? Არაფერს. გავიხსენოთ ყველაზე უნივერსალური და ძლიერი გადაწყვეტილების წესი ყველამათემატიკური ამოცანები: თუ არ იცი რა გააკეთო, გააკეთე რაც შეგიძლია!
უყურებ, ყველაფერი ჩამოყალიბებულია). რა არის ამ ექსპონენციალურ განტოლებაში შეუძლიაკეთება? დიახ, მარცხენა მხარე პირდაპირ ითხოვს ფრჩხილებს! საერთო კოეფიციენტი 3 2x აშკარად მიანიშნებს ამაზე. ვცადოთ და მერე ვნახოთ: 3 2x (3 4 - 11) = 210 3 4 - 11 = 81 - 11 = 70 მაგალითი სულ უფრო და უფრო უმჯობესდება! შეგახსენებთ, რომ საფუძვლების აღმოსაფხვრელად საჭიროა სუფთა ხარისხი, ყოველგვარი კოეფიციენტების გარეშე. რიცხვი 70 გვაწუხებს. ასე რომ, ჩვენ ვყოფთ განტოლების ორივე მხარეს 70-ზე, მივიღებთ: ოპ-პა! ყველაფერი კარგად იყო! ეს არის საბოლოო პასუხი. თუმცა ხდება ისე, რომ იმავე საფუძვლით ტაქსაცია მიიღება, მაგრამ მათი ლიკვიდაცია არა. ეს ხდება სხვა ტიპის ექსპონენციალურ განტოლებებში. მოდით მივიღოთ ეს ტიპი. მოდით ამოხსნათ განტოლება: 4 x - 3 2 x +2 = 0 პირველი - როგორც ყოველთვის. მოდით გადავიდეთ ბაზაზე. დუისს. 4 x = (2 2) x = 2 2x ჩვენ ვიღებთ განტოლებას: 2 2x - 3 2 x +2 = 0 და აქ ჩვენ დავკიდებთ. წინა ილეთები არ იმუშავებს, როგორც არ უნდა მოატრიალოთ იგი. ჩვენ უნდა მივიღოთ კიდევ ერთი ძლიერი და მრავალმხრივი მეთოდი არსენალიდან. ჰქვია ცვლადი ჩანაცვლება. მეთოდის არსი საოცრად მარტივია. ერთი რთული ხატის ნაცვლად (ჩვენს შემთხვევაში, 2 x), ჩვენ ვწერთ მეორეს, უფრო მარტივს (მაგალითად, t). ასეთი ერთი შეხედვით უაზრო ჩანაცვლება იწვევს საოცარ შედეგებს!) ყველაფერი უბრალოდ ნათელი და გასაგები ხდება! ასე რომ მოდით შემდეგ 2 2x \u003d 2 x2 \u003d (2 x) 2 \u003d t 2 ჩვენ განტოლებაში ვცვლით ყველა ძალას x-ებით t-ით: აბა, გათენდება?) ჯერ არ დაგავიწყდათ კვადრატული განტოლებები? ჩვენ ვხსნით დისკრიმინანტის საშუალებით, ვიღებთ: აქ მთავარია არ გავჩერდეთ, როგორც ხდება... ეს ჯერ არ არის პასუხი, x გვჭირდება და არა t. ვუბრუნდებით Xs-ს, ე.ი. ჩანაცვლების გაკეთება. პირველი t 1-ისთვის: ანუ ნაპოვნია ერთი ფესვი. ჩვენ ვეძებთ მეორეს, t 2-დან: ჰმ... მარცხნივ 2 x, მარჯვნივ 1... შეფერხება? დიახ, საერთოდ არა! საკმარისია გვახსოვდეს (ხარისხიანი მოქმედებებიდან, დიახ ...) რომ ერთიანობაა ნებისმიერირიცხვი ნულამდე. ნებისმიერი. რაც დაგჭირდებათ, ჩვენ დავდებთ. ჩვენ გვჭირდება ორი. ნიშნავს: ახლა სულ ესაა. აქვს 2 ფესვი: ეს არის პასუხი. ზე ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნაბოლოს ზოგჯერ რაღაც უხერხული გამოხატულება მიიღება. ტიპი: შვიდიდან, უბრალო ხარისხში გადასასვლელი არ მუშაობს. ნათესავები არ არიან... აქ როგორ ვიყო? ვიღაც შეიძლება დაბნეული იყოს ... მაგრამ ადამიანი, ვინც წაიკითხა ამ საიტზე თემა "რა არის ლოგარითმი?" მხოლოდ ზომიერად გაიღიმე და მტკიცე ხელით ჩაწერე აბსოლუტურად სწორი პასუხი: გამოცდაზე "B" ამოცანებში ასეთი პასუხი არ შეიძლება იყოს. საჭიროა კონკრეტული ნომერი. მაგრამ ამოცანებში "C" - მარტივად. ამ გაკვეთილზე მოცემულია ყველაზე გავრცელებული ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნის მაგალითები. გამოვყოთ მთავარი. პრაქტიკული რჩევები: 1. პირველ რიგში ვუყურებთ საფუძველიგრადუსი. ვნახოთ, თუ ისინი არ შეიძლება გაკეთდეს იგივე.შევეცადოთ ამის გაკეთება აქტიური გამოყენებით მოქმედებები უფლებამოსილებით.არ დაგავიწყდეთ, რომ x-ის გარეშე რიცხვები ასევე შეიძლება გადაიზარდოს ძალებად! 2. ვცდილობთ ექსპონენციალური განტოლება მივიყვანოთ იმ ფორმამდე, როდესაც მარცხენა და მარჯვენა არის იგივერიცხვები ნებისმიერი ხარისხით. Ჩვენ ვიყენებთ მოქმედებები უფლებამოსილებითდა ფაქტორიზაცია.რა შეიძლება დაითვალოს რიცხვებში - ჩვენ ვითვლით. 3. თუ მეორე რჩევამ არ გაამართლა, ვცდილობთ გამოვიყენოთ ცვლადის ჩანაცვლება. შედეგი შეიძლება იყოს განტოლება, რომელიც ადვილად ამოსახსნელია. ყველაზე ხშირად - კვადრატი. ან წილადი, რომელიც ასევე მცირდება კვადრატამდე. 4. ექსპონენციალური განტოლებების წარმატებით ამოსახსნელად საჭიროა იცოდეთ ზოგიერთი რიცხვის ხარისხები „მხედველობით“. ჩვეულებისამებრ, გაკვეთილის ბოლოს გიწვევთ პატარას ამოსახსნელად.) საკუთარი. მარტივიდან რთულამდე. ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნა: Უფრო რთული: 2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x \u003d 48 9 x - 8 3 x = 9 2 x - 2 0.5 x + 1 - 8 = 0 იპოვნეთ ფესვების პროდუქტი: 2 3-x + 2 x = 9 მოხდა? კარგად, მაშინ ყველაზე რთული მაგალითი (ის მოგვარებულია, თუმცა, გონებაში ...): 7 0.13x + 13 0.7x+1 + 2 0.5x+1 = -3 რა არის უფრო საინტერესო? მაშინ აქ არის ცუდი მაგალითი თქვენთვის. საკმაოდ გაზრდილი სირთულე. მინიშნებით, რომ ამ მაგალითში ზოგავს გამომგონებლობა და ყველა მათემატიკური ამოცანის ამოხსნის ყველაზე უნივერსალური წესი.) 2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x მაგალითი უფრო მარტივია, დასვენებისთვის): 9 2 x - 4 3 x = 0 და დესერტად. იპოვეთ განტოლების ფესვების ჯამი: x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0 Დიახ დიახ! ეს შერეული ტიპის განტოლებაა! რაც ამ გაკვეთილზე არ გავითვალისწინეთ. და რა უნდა ჩაითვალოს, ისინი უნდა ამოხსნან!) ეს გაკვეთილი სავსებით საკმარისია განტოლების ამოსახსნელად. ჰოდა, გამომგონებლობაა საჭირო... დიახ, მეშვიდე კლასი დაგეხმარება (ეს მინიშნებაა!). პასუხები (არეულად, გამოყოფილი მძიმით): ერთი; 2; 3; 4; არ არსებობს გადაწყვეტილებები; 2; -2; -5; 4; 0. ყველაფერი წარმატებულია? ჯარიმა. Პრობლემაა? Არაა პრობლემა! სპეციალურ განყოფილებაში 555, ყველა ეს ექსპონენციალური განტოლება ამოხსნილია დეტალური განმარტებებით. რა, რატომ და რატომ. და, რა თქმა უნდა, არის დამატებითი ღირებული ინფორმაცია ყველა სახის ექსპონენციალურ განტოლებასთან მუშაობის შესახებ. არა მარტო ამათ.) გასათვალისწინებელია ბოლო სახალისო კითხვა. ამ გაკვეთილზე ვიმუშავეთ ექსპონენციალური განტოლებებით. რატომ არ ვთქვი სიტყვა აქ ODZ-ზე?განტოლებებში ეს ძალიან მნიშვნელოვანი რამაა, სხვათა შორის... სხვათა შორის, მე მაქვს კიდევ რამდენიმე საინტერესო საიტი თქვენთვის.) შეგიძლიათ ივარჯიშოთ მაგალითების ამოხსნაში და გაიგოთ თქვენი დონე. ტესტირება მყისიერი გადამოწმებით. სწავლა - ინტერესით!) შეგიძლიათ გაეცნოთ ფუნქციებს და წარმოებულებს.წრფივი განტოლებების ამოხსნა მოდულით
კვადრატული განტოლებების ამოხსნა პარამეტრით
ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნა. მაგალითები.
არის დამატებითი
მასალა 555-ე სპეციალურ ნაწილში.
მათთვის, ვინც მტკიცედ "არა ძალიან ..."
და მათთვის, ვინც "ძალიან...")უმარტივესი ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნა.
მარტივი ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნა. მაგალითები.
ცვლადის ცვლილება ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნისას. მაგალითები.
თუ მოგწონთ ეს საიტი...
