ან სფერო. ნებისმიერი სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს ბურთის ცენტრს სფერულ ზედაპირზე არსებულ წერტილთან, ეწოდება რადიუსი. ხაზის სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს ორ წერტილს სფერულ ზედაპირზე და გადის სფეროს ცენტრში, ეწოდება დიამეტრი. ნებისმიერი დიამეტრის ბოლოებს ბურთის დიამეტრულად საპირისპირო წერტილებს უწოდებენ.არაფერი სფეროს განყოფილებაარის თვითმფრინავი წრე. ამ წრის ცენტრი არის ცენტრიდან ჭრის სიბრტყემდე ჩამოშვებული პერპენდიკულარულის საფუძველი.სფეროს ცენტრში გამავალ სიბრტყეს ე.წ დიამეტრული სიბრტყე. ბურთის კვეთა დიამეტრული სიბრტყით ე.წ დიდი წრედა სფეროს მონაკვეთი - დიდი წრე. ბურთის ნებისმიერი დიამეტრული სიბრტყე არის მისი სიმეტრიის სიბრტყე. ბურთის ცენტრია სიმეტრიის ცენტრი. სიბრტყეს, რომელიც გადის სფერულ ზედაპირზე არსებულ წერტილში და პერპენდიკულარულია ამ წერტილთან მიზიდულ რადიუსზე, ეწოდება ტანგენტური სიბრტყე. ამ პუნქტს ე.წ შეხების წერტილი. ტანგენტის სიბრტყეს აქვს მხოლოდ ერთი საერთო წერტილი ბურთთან - შეხების წერტილი.სწორ ხაზს, რომელიც გადის სფერული ზედაპირის მოცემულ წერტილში, რომელიც პერპენდიკულარულია ამ წერტილამდე მიყვანილ რადიუსზე, ეწოდება ტანგენსი. სფერული ზედაპირის ნებისმიერ წერტილში უსასრულოდ ბევრი ტანგენტია და ყველა მათგანი დევს ბურთის ტანგენტურ სიბრტყეში.ბურთის სეგმენტიმოუწოდა ბურთის მისგან თვითმფრინავით მოწყვეტილ ნაწილს.ბურთის ფენაეწოდება ბურთის ნაწილს, რომელიც მდებარეობს ორ პარალელურ სიბრტყეს შორის, რომლებიც კვეთენ ბურთს.ბურთის სექტორიმიიღება სფერული სეგმენტიდან და კონუსიდან.თუ სფერული სეგმენტი ნახევარსფეროზე ნაკლებია, მაშინ სფერულ სეგმენტს ავსებს კონუსი, რომლის წვერო არის ბურთის ცენტრში და რომლის ფუძე არის სეგმენტის საფუძველი.თუ სეგმენტი უფრო დიდია ვიდრე ნახევარსფერო, მაშინ მითითებული კონუსი ამოღებულია მისგან. ძირითადი ფორმულები ბურთი (R = OB - რადიუსი):S b \u003d 4πR 2; V = 4πR 3/3.ბურთის სეგმენტი (R = OB - ბურთის რადიუსი, h = SK - სეგმენტის სიმაღლე, r = KV - სეგმენტის ბაზის რადიუსი):V სეგმ \u003d πh 2 (R - სთ / 3)ან V სეგმ \u003d πh (h 2 + 3r 2) / 6; S სეგმენტი = 2πRh.სფერული სექტორი (R = OB - ბურთის რადიუსი, h = SK - სეგმენტის სიმაღლე):V \u003d V სეგმ ± V კონ, "+"- თუ სეგმენტი ნაკლებია, "-" - თუ სეგმენტი ნახევარსფეროზე მეტია.ან V \u003d V segm + V con \u003d πh 2 (R - h / 3) + πr 2 (R - h) / 3. სფერული ფენა (R 1 და R 2 - სფერული ფენის ფუძეების რადიუსი; h \u003d SC - სფერული ფენის სიმაღლე ან მანძილი ფუძეებს შორის):V w/sl \u003d πh 3 / 6 + πh (R 1 2 + R 2 2 ) / 2; S w/sl = 2πRh.მაგალითი 1ბურთის მოცულობაა 288 π სმ 3. იპოვნეთ ბურთის დიამეტრი.გამოსავალიV = πd 3/6288π = πd 3/6πd 3 = 1728πd3 = 1728d = 12 სმ.პასუხი: 12.მაგალითი 2r რადიუსის სამი თანაბარი სფერო ერთმანეთს და რაღაც სიბრტყეს ეხება. დაადგინეთ მეოთხე სფეროს რადიუსი, რომელიც tangentა სამ მოცემულ მონაცემზე და მოცემულ სიბრტყეზე.გამოსავალი მოდით O 1 , O 2 , O 3 იყოს ამ სფეროების ცენტრები და O იყოს მეოთხე სფეროს ცენტრი, რომელიც ეხება სამ მონაცემს და მოცემულ სიბრტყეს. ვთქვათ A, B, C, T სფეროების შეხების წერტილები მოცემულ სიბრტყესთან. აქედან გამომდინარე, ორი სფეროს შეხების წერტილები დევს ამ სფეროების ცენტრების ხაზზე O 1 O 2 \u003d O 2 O 3 \u003d O 3 O 1 \u003d 2r. წერტილები თანაბარი მანძილითაა დაშორებული ABC სიბრტყისგან, ასე რომ AVO 2 O 1, AVO 2 O 3, AVO 3 O 1ტოლი ოთხკუთხედებია, შესაბამისად, ∆АВС ტოლგვერდაა 2r გვერდით.დაე x არის მეოთხე სფეროს სასურველი რადიუსი. მაშინ OT = x. ამიტომ, მსგავსი ასე რომ T არის ტოლგვერდა სამკუთხედის ცენტრი. ამიტომ აქედანპასუხი: r/3. სფერო ჩაწერილი პირამიდაშისფერო შეიძლება ჩაიწეროს ყველა ჩვეულებრივ პირამიდაში. სფეროს ცენტრი მდგომარეობს პირამიდის სიმაღლეზე, მისი გადაკვეთის წერტილში წრფივი კუთხის ბისექტორთან პირამიდის ფუძის კიდეზე.კომენტარი. თუ სფერო შეიძლება ჩაიწეროს პირამიდაში, რომელიც სულაც არ არის რეგულარული, მაშინ ამ სფეროს r რადიუსი შეიძლება გამოითვალოს ფორმულით r \u003d 3V / S pp, სადაც V არის პირამიდის მოცულობა, S pp არის მისი. მთლიანი ზედაპირის ფართობი.მაგალითი 3კონუსური ძაბრი ბაზის რადიუსით R და სიმაღლით H ივსება წყლით. მძიმე ბურთი ჩავარდა ძაბრში. როგორი უნდა იყოს ბურთის რადიუსი, რომ ბურთის ჩაძირული ნაწილის მიერ ძაბრიდან გადაადგილებული წყლის მოცულობა მაქსიმალური იყოს?გამოსავალიდახაზეთ მონაკვეთი კონუსის ცენტრში. ეს განყოფილება ქმნის ტოლფერდა სამკუთხედს. თუ ძაბრში არის ბურთი, მაშინ მისი რადიუსის მაქსიმალური ზომა ტოლი იქნება მიღებული ტოლფერდა სამკუთხედში ჩაწერილი წრის რადიუსის.სამკუთხედში ჩაწერილი წრის რადიუსი არის:r = S / p, სადაც S არის სამკუთხედის ფართობი, p არის მისი ნახევარპერიმეტრი.ტოლფერდა სამკუთხედის ფართობი უდრის სიმაღლის ნახევარს (H = SO) გამრავლებული ფუძეზე. მაგრამ რადგან ბაზა ორჯერ აღემატება კონუსის რადიუსს, მაშინ S = RH.ნახევრად პერიმეტრი არის p = 1/2 (2R + 2m) = R + m.m არის ტოლფერდა სამკუთხედის თითოეული ტოლი გვერდის სიგრძე;R არის წრის რადიუსი, რომელიც ქმნის კონუსის ფუძეს.იპოვეთ m პითაგორას თეორემის გამოყენებით: , სადმოკლედ ასე გამოიყურება: პასუხი: მაგალითი 4რეგულარულ სამკუთხა პირამიდაში, რომლის ფუძეზე ორკუთხა კუთხეა ტოლი α-ს, არის ორი ბურთი. პირველი ბურთი ეხება პირამიდის ყველა სახეს, ხოლო მეორე ბურთი ეხება პირამიდის ყველა მხარეს და პირველ ბურთს. იპოვეთ პირველი ბურთის რადიუსის შეფარდება მეორე ბურთის რადიუსთან, თუ tgα = 24/7.გამოსავალი
დაე RABC არის რეგულარული პირამიდა და წერტილი H არის მისი ფუძის ABC ცენტრი. დავუშვათ, რომ M იყოს BC კიდის შუა წერტილი. შემდეგ - დიედრული კუთხის წრფივი კუთხე, რომელიც პირობით უდრის α და α< 90° . Центр первого шара, касающегося всех граней пирамиды, лежит на отрезке РН в точке его пересечения с биссектрисой . დაე HH 1 არის პირველი ბურთის დიამეტრი და სიბრტყე, რომელიც გადის H 1 წერტილში პერპენდიკულარულად PH სწორ ხაზზე კვეთს გვერდითი კიდეებს RA, RV, PC, შესაბამისად, A 1 , B 1 , C 1 წერტილებში. მაშინ H 1 იქნება სწორი ∆A 1 B 1 C 1 ცენტრი, ხოლო პირამიდა RA 1 B 1 C 1 მსგავსი იქნება პირამიდის RABC მსგავსების კოეფიციენტით k = PH 1 / PH. გაითვალისწინეთ, რომ მეორე ბურთი, ცენტრით O 1 წერტილში, ჩაწერილია პირამიდაში RA 1 B 1 C 1 და, შესაბამისად, ჩაწერილი ბურთების რადიუსების თანაფარდობა ტოლია მსგავსების კოეფიციენტის: OH / OH 1 = PH / PH. 1. tgα = 24/7 ტოლობიდან ვპოულობთ:დაე AB = x. მერეაქედან გამომდინარე, სასურველი თანაფარდობა OH / O 1 H 1 = 16/9.პასუხი: 16/9. პრიზმაში ჩაწერილი სფეროდიამეტრი პრიზმაში ჩაწერილი სფეროს D უდრის პრიზმის H სიმაღლეს: D = 2R = H.რადიუსი პრიზმაში ჩაწერილი სფეროს R უდრის პრიზმის პერპენდიკულარულ მონაკვეთში ჩაწერილი წრის რადიუსს.თუ სფერო ჩაწერილია მარჯვენა პრიზმაში, მაშინ წრე შეიძლება ჩაიწეროს ამ პრიზმის ფუძეში.რადიუსი სწორ პრიზმაში ჩაწერილი სფეროს R უდრის პრიზმის ფუძეში ჩაწერილი წრის რადიუსს.თეორემა 1სწორი პრიზმის ძირში ჩაიწეროს წრე და პრიზმის H სიმაღლე ტოლი იყოს ამ წრის D დიამეტრის. მაშინ ამ პრიზმაში შეიძლება ჩაიწეროს D დიამეტრის სფერო. ამ ჩაწერილი სფეროს ცენტრი ემთხვევა პრიზმის ფუძეებში ჩაწერილი წრეების ცენტრების დამაკავშირებელი სეგმენტის შუას.მტკიცებულება მოდით ABC ... A 1 B 1 C 1 ... - პირდაპირი პრიზმა და O - წრის ცენტრი, რომელიც ჩაწერილია მის ფუძეში ABC. მაშინ O წერტილი თანაბარი მანძილია ABC ფუძის ყველა მხრიდან. მოდით O 1 იყოს O წერტილის ორთოგონალური პროექცია A 1 B 1 C 1 ფუძეზე. მაშინ O 1 თანაბარი მანძილია A 1 B 1 C 1 ფუძის ყველა მხრიდან და OO 1 || AA 1. აქედან გამომდინარეობს, რომ სწორი ხაზი OO 1 პარალელურია პრიზმის გვერდითი სახის თითოეული სიბრტყის, ხოლო OO 1 სეგმენტის სიგრძე უდრის პრიზმის სიმაღლეს და, პირობით, წრის დიამეტრს, რომელიც ჩაწერილია. პრიზმის საფუძველი. ეს ნიშნავს, რომ OO 1 სეგმენტის წერტილები თანაბარი მანძილითაა დაშორებული პრიზმის გვერდითი გვერდებიდან, ხოლო OO 1 სეგმენტის შუა F, რომელიც თანაბრად არის დაშორებული პრიზმის ფუძეების სიბრტყეებიდან, იქნება თანაბარი მანძილი პრიზმის ყველა სახისგან. პრიზმა. ანუ F არის პრიზმაში ჩაწერილი სფეროს ცენტრი და ამ სფეროს დიამეტრი უდრის პრიზმის ძირში ჩაწერილი წრის დიამეტრს. თეორემა დადასტურდა.თეორემა 2დახრილი პრიზმის პერპენდიკულარულ მონაკვეთში წრე ჩაიწეროს და პრიზმის სიმაღლე იყოს ამ წრის დიამეტრის ტოლი. მაშინ სფერო შეიძლება ჩაიწეროს ამ დახრილ პრიზმაში. ამ სფეროს ცენტრი ორად ყოფს პერპენდიკულარულ მონაკვეთში ჩაწერილი წრის ცენტრში გამავალ სიმაღლეს.მტკიცებულება
მოდით АВС…А 1 В 1 С 1 … იყოს დახრილი პრიზმა და F იყოს წრეწირის ცენტრი FK რადიუსით ჩაწერილი მის პერპენდიკულარულ მონაკვეთში. ვინაიდან პრიზმის პერპენდიკულარული მონაკვეთი პერპენდიკულარულია მისი გვერდითი სახის თითოეული სიბრტყის მიმართ, პერპენდიკულარულ მონაკვეთში ჩაწერილი წრის რადიუსი, რომელიც დახატულია ამ მონაკვეთის გვერდებზე, პერპენდიკულარულია პრიზმის გვერდითა გვერდებზე. აქედან გამომდინარე, წერტილი F არის თანაბარი მანძილი ყველა გვერდიდან.მოდით გავავლოთ სწორი ხაზი OO 1 F წერტილში, პერპენდიკულარული პრიზმის ფუძეების სიბრტყეზე, რომელიც კვეთს ამ ფუძეებს O და O 1 წერტილებში. მაშინ OO 1 არის პრიზმის სიმაღლე. ვინაიდან OO 1 = 2FK პირობის მიხედვით, მაშინ F არის OO 1 სეგმენტის შუა წერტილი:FK \u003d OO 1 / 2 \u003d F0 \u003d F0 1, ე.ი. წერტილი F არის თანაბარი მანძილი პრიზმის ყველა სახის სიბრტყისგან გამონაკლისის გარეშე. ეს ნიშნავს, რომ მოცემულ პრიზმაში შეიძლება ჩაიწეროს სფერო, რომლის ცენტრი ემთხვევა F წერტილს - პრიზმის იმ პერპენდიკულარულ მონაკვეთში ჩაწერილი წრის ცენტრი, რომელიც ყოფს F წერტილში გამავალი პრიზმის სიმაღლეს ნახევრად. . თეორემა დადასტურდა.მაგალითი 5მართკუთხა პარალელეპიპედში ჩაწერილია 1 რადიუსის ბურთი. იპოვეთ პარალელეპიპედის მოცულობა.გამოსავალი დახაზეთ ზედა ხედი. ან გვერდზე. ან წინ. იგივეს ნახავთ - ოთხკუთხედში ჩაწერილ წრეს. ცხადია, ეს მართკუთხედი იქნება კვადრატი, ყუთი კი კუბი. ამ კუბის სიგრძე, სიგანე და სიმაღლე ორჯერ აღემატება სფეროს რადიუსს.AB \u003d 2 და, შესაბამისად, კუბის მოცულობა არის 8.პასუხი: 8.მაგალითი 6რეგულარულ სამკუთხა პრიზმაში, რომლის ფუძის გვერდი ტოლია, არის ორი ბურთი. პირველი ბურთი პრიზმაშია ჩაწერილი, ხოლო მეორე ბურთი ეხება პრიზმის ერთ ფუძეს, მის ორ მხარეს და პირველ ბურთულას. იპოვეთ მეორე ბურთის რადიუსი.გამოსავალი
მოდით ABCA 1 B 1 C 1 იყოს რეგულარული პრიზმა და P და P 1 წერტილები იყოს მისი ფუძეების ცენტრები. მაშინ ამ პრიზმაში ჩაწერილი ბურთის ცენტრი არის PP 1 სეგმენტის შუა წერტილი. განვიხილოთ თვითმფრინავი РВВ 1 . ვინაიდან პრიზმა სწორია, მაშინ РВ დევს BN სეგმენტზე, რომელიც არის ბისექტორი და სიმაღლე ΔАВС. მაშასადამე, სიბრტყე და არის დიედრული კუთხის ბისექტრული სიბრტყე გვერდით კიდეზე BB 1 . მაშასადამე, ამ სიბრტყის ნებისმიერი წერტილი თანაბარი მანძილით არის დაშორებული AA 1 BB 1 და SS 1 B 1 B გვერდითი მხარეებისგან. კერძოდ, პერპენდიკულარული OK, რომელიც ჩამოვარდა O წერტილიდან ACC 1 A 1 სახეზე, დევს RVV 1 სიბრტყეში და უდრის OR სეგმენტს.გაითვალისწინეთ, რომ KNPO არის კვადრატი, რომლის გვერდი უდრის მოცემულ პრიზმაში ჩაწერილი სფეროს რადიუსს.დაე დაახლოებით 1 - ბურთის ცენტრი, რომელიც ეხება ჩაწერილ ბურთს O ცენტრით და გვერდითი მიმართულებაა პრიზმის AA 1 BB 1 და CC 1 B 1 B. შემდეგ წერტილი O 1 დევს RVV 1 სიბრტყეზე და მისი პროექცია P 2 ABC სიბრტყეზე დევს RV სეგმენტზე.პირობის მიხედვით ფუძის გვერდი უდრის

1. ბურთის გამოსახულება.დაე ფ 0 არის ბურთი. ჩვენ ვირჩევთ პროექციის მიმართულებას და განვიხილავთ ბურთის ტანგენტს, რომელიც ეკუთვნის არჩეულ მიმართულებას. ეს ტანგენტები ქმნიან ცილინდრულ ზედაპირს და გადიან ბურთის დიდი წრის წერტილებს, რომელთა სიბრტყე პერპენდიკულარულია დიზაინის მიმართულებაზე.

მოდით ავირჩიოთ გამოსახულების სიბრტყე. ზოგადად, ცილინდრული ზედაპირი გადაკვეთს ამ სიბრტყეს ელიფსად და პროექციას ფ 1 ბურთი ფ 0 იქნება ამ ელიფსით შემოსაზღვრული თვითმფრინავის ნაწილი. ბურთის ასეთი გამოსახულება არ არის ვიზუალური (სურ. 59). თუ გამოსახულების სიბრტყე არჩეულია დიზაინის მიმართულების პერპენდიკულურად, მაშინ ბურთის გამოსახულება იქნება წრე ფ. წრე, რა თქმა უნდა, იძლევა ბურთის უფრო ვიზუალურ წარმოდგენას, მაგრამ მისი ტოლი წრეც და ცილინდრიც შეიძლება იყოს პროექცია წრეში (თუ პროექცია ხორციელდება მისი გენერატორების პარალელურად).

სანამ გავაგრძელებთ საუბარს იმაზე, თუ როგორ გავხადოთ ბურთის გამოსახულება ვიზუალური, გავიხსენოთ სკოლიდან ცნობილი ბურთთან დაკავშირებული ცნებები. სფეროს მონაკვეთს სფეროს ცენტრში გამავალი სიბრტყით ეწოდება დიდი წრედა მისი გარშემოწერილობა არის ეკვატორი.ეკვატორის სიბრტყის პერპენდიკულარული ბურთის ზედაპირთან სწორი ხაზის გადაკვეთის წერტილები ე.წ. ბოძები,შეესაბამება ამ ეკვატორს და მათი დამაკავშირებელი დიამეტრი არის პოლარული ღერძი.

თუ ბურთის საპროექციო ნახატზე რომელიმე ეკვატორი და შესაბამისი პოლუსებია გამოსახული, მაშინ გამოსახულებას ექნება სამგანზომილებიანი. ხილული გახდება.

რომელი ეკვატორის წარმოდგენა? პირველ რიგში, სასურველია, რომ პოლუსების გამოსახულებების დამაკავშირებელი სეგმენტი ნახაზში იყოს ვერტიკალური. ეს სურვილი შესრულდება, თუ გამოსახულების თვითმფრინავი გვვერტიკალური იქნება და თვითმფრინავი აბოძების გავლით ნ 0 ,ს 0 ბურთი, - მასზე პერპენდიკულარული და ასევე ვერტიკალური. (შეგახსენებთ, რომ ჩვენ შევთანხმდით ორთოგონალური პროექციის გამოყენებაზე.) უფრო მეტიც, შეგვიძლია ვივარაუდოთ, რომ გამოსახულების სიბრტყე გვგადის ბურთის ცენტრში და, შესაბამისად, კვეთს მას დიდი წრის გარშემოწერილობის გასწვრივ. ამ წრეს ჩვეულებრივ უწოდებენ ესებურთის გარშემოწერილობა.

სწორი ხაზის ბურთის ზედაპირთან გადაკვეთის წერტილები ასოებით აღვნიშნოთ პ 0 და ქ 0 . თუ ეკვატორული სიბრტყე ასევე არჩეულია სიბრტყის პერპენდიკულურად გვ, მაშინ ეკვატორი და პოლუსების დამაკავშირებელი დიამეტრი გამოსახული იქნება წრის პერპენდიკულარული დიამეტრით (სურ. 60) და ბურთის გამოსახულება უფრო მკაფიო არ გახდება. ამიტომ, ეკვატორული სიბრტყე არ უნდა იყოს გამოსახულების სიბრტყის პერპენდიკულარული. ნახ. 61 მოცემულია თვითმფრინავის მიერ ბურთის მონაკვეთი ა. Ამ სურათზე პ 0 ქ 0 - სიბრტყეების გადაკვეთის ხაზი ადა გვ; C 0 დ 0 - კვეთა ადა ეკვატორული წრე ნ 0 ს 0 არის ბოძების დამაკავშირებელი დიამეტრი. თვითმფრინავზე დაპროექტებისას გვბოძები ნ 0 და ს 0 დაპროექტებულია წერტილებად ნდა სშესაბამისად დიამეტრი C 0 დ 0 ეკვატორი - ამ ეკვატორის გამოსახული ელიფსის მცირე ღერძში.

ელიფსის მთავარი ღერძი (სურ. 62) იქნება ეკვატორის დიამეტრის პროექცია, დიამეტრზე პერპენდიკულარული და, შესაბამისად, სიბრტყის პარალელურად.

ბოძების პოზიციის აღსანიშნავად, დავუბრუნდეთ ნახ. 61. მართკუთხა სამკუთხედები და ამ ფიგურაში ტოლია ჰიპოტენუზაში და მახვილ კუთხეში (კუთხეები შესაბამისად პერპენდიკულარული გვერდებით). Ამიტომაც . მაგრამ, თავის მხრივ, სად არის ელიფსის ტანგენტის სეგმენტი, რომელიც წარმოადგენს ეკვატორს (სურ. 62).

ასე რომ, ბურთის ვიზუალური გამოსახულება შეიძლება აშენდეს შემდეგნაირად:

1) ვაშენებთ ელიფსს, რომელსაც ვიღებთ ეკვატორისა და მისი ცულების გამოსახულებად.

2) ვხატავთ წრეს ელიფსის ცენტრში, რომლის რადიუსი უდრის ელიფსის ძირითად ნახევარღერძს.

3) ვაშენებთ ელიფსის ტანგენსის სეგმენტს, მისი ძირითადი ღერძის პარალელურად, შემდეგ კი პოლუსების გამოსახულებებს.

ნახ. 63 გვიჩვენებს საკმაოდ ტიპურ შეცდომას, როდესაც ბოძები გამოსახულია ესკიზის წრეზე, ხოლო ეკვატორი გამოსახულია ელიფსის სახით.

2. პარალელების და მერიდიანების გამოსახულება.განვიხილოთ სფეროს პოლუსებისა და მერიდიანების გამოსახულება, რომელიც წარმოადგენს ბურთის ზედაპირს. შეგახსენებთ, რომ სფეროს პარალელები არის მისი მონაკვეთები ეკვატორის სიბრტყის პარალელურად. სფეროს მონაკვეთებს პოლარული ღერძზე გამავალი სიბრტყეებით მერიდიანები ეწოდება.

სფეროს თითოეულ წერტილში, პოლუსის გარდა, გადის ზუსტად ერთი მერიდიანი და ერთი პარალელი. თითოეული მერიდიანი გადის ორივე პოლუსზე.

პარალელები და მერიდიანები წრეებია, ამიტომ ისინი ასევე გამოსახულია როგორც ელიფსები.

დავიწყოთ პარალელების გავლით. პარალელი განისაზღვრება წერტილის მითითებით, სადაც მისი სიბრტყე კვეთს პოლარულ ღერძს. ვინაიდან პარალელის სიბრტყე პარალელურია ეკვატორის სიბრტყის პარალელურად, პარალელის გამოსახულება იქნება ელიფსი, ეკვატორის გამოსახული ელიფსის მსგავსი.

ამ ელიფსის ასაგებად განვიხილოთ სფეროს (ბურთის) მონაკვეთი სიბრტყით, რომელიც გადის გამოსახულების სიბრტყის პერპენდიკულარულ პოლარულ ღერძზე (ნახ. 64-ის მარჯვენა მხარე). აგებული დამხმარე მონაკვეთი აადვილებს ელიფსის მცირე ღერძის პოვნას, რომელიც წარმოადგენს ეკვატორს და შესაბამისი პოლუსების გამოსახულებებს.

მოდით, პარალელი მიეცეს წერტილით, მაშინ პარალელის სიბრტყე კვეთს ბურთს ღერძის პერპენდიკულარული სეგმენტის გასწვრივ. ეს სეგმენტი უდრის ელიფსის ძირითად ღერძს, რომელიც არის პარალელის გამოსახულება. მცირე ღერძი გვხვდება სწორ ხაზზე წერტილების პროექციის გზით. ბოლოს, სწორი ხაზის დახმარებით, აღმოჩენილია წერტილები, რომლებიც ეხებიან პარალელის გამოსახულებას მოხაზულ წრესთან. წერტილები გამოყოფს პარალელური გამოსახულების ხილულ და უხილავ ნაწილებს.

ელიფსის აგებისას, რომელიც არის პარალელის გამოსახულება, სულაც არ არის საჭირო ელიფსის აგება, რომელიც არის ეკვატორის გამოსახულება, რომელსაც ის ჰგავს. უფრო მეტიც, შესაძლებელია ცალკე არ შესრულდეს დამხმარე მონაკვეთის აგება (სურ. 65).

როგორც ჩანს ნახ. 66, თითოეულ ნახევარსფეროში შესაძლებელია ელიფს-პარალელის აგება, რომელიც ეხება მოხაზულ წრეს მხოლოდ ერთ წერტილში. ზედა ნახევარსფეროში, ასეთი პარალელის ჩრდილოეთით მდებარე პარალელების გამოსახულებები სრულიად შესამჩნევი იქნება, ხოლო ქვედა ნახევარსფეროში, ასეთი პარალელის სამხრეთით მდებარე პარალელების გამოსახულებები სრულიად უხილავი.

Დავალება.ააგეთ სფეროში ჩაწერილი ცილინდრის გამოსახულება, თუ ცილინდრის სიმაღლე სფეროს რადიუსის ტოლია.

გამოსავალი.ავაშენოთ ბურთის კონტური წრის გამოსახულება და მის ვერტიკალურ დიამეტრზე მოვნიშნოთ ბოძების გამოსახულებები (სურ. 67).

იმავე დიამეტრზე ვაშენებთ ცილინდრის ცენტრებისა და ბაზების სურათებს. ამოცანის მდგომარეობიდან, სად არის ბურთის რადიუსი, ტოლი კონტურის წრის რადიუსის. Ამიტომაც . ეს ადგენს პარალელების პოზიციას. განხილული წესების შესაბამისად ვაშენებთ ზედა ბაზის ელიფს-გამოსახულებას. ქვედა ფუძის გამოსახული ელიფსი შეიძლება მივიღოთ ვექტორის მიერ პარალელური ტრანსლაციის გამოყენებით.

დასასრულს, მოდით განვიხილოთ, თუ როგორ აგებულია მერიდიანების გამოსახულება, თუ მოცემულია სფეროს გამოსახულება, მისი ეკვატორი და მისი შესაბამისი პოლუსები.

მიეცეს იმ წერტილის გამოსახულება, რომლითაც გადის გამოსახული ეკვატორი (სურ. 68). ორიგინალში, დიამეტრი პერპენდიკულარულია პოლარული ღერძის მიმართ, ამიტომ სეგმენტები არის ელიფსის კონიუგატური დიამეტრი, რომელიც წარმოადგენს მერიდიანს. ეს ნიშნავს, რომ ელიფსი - მერიდიანის გამოსახულება - შეიძლება აშენდეს ამ კონიუგატური დიამეტრიდან.

მერიდიანის „ხელით“ აგებისას ისინი, როგორც წესი, დამატებით ეძებენ წერტილებს, ეხებიან ელიფსს მოხაზულ წრეზე (სურ. 68). ელიფსის კონტურის წრის დიამეტრი იქნება მთავარი ღერძი და , რაც ნიშნავს, რომ სფეროს დიამეტრი პროექციის სიბრტყის პარალელურია.

პუნქტები და შეგიძლიათ იხილოთ შემდეგი მოსაზრებებიდან. მოდით ავაშენოთ ელიფს-ეკვატორის კონიუგატის დიამეტრი დიამეტრთან. თავდაპირველში, , , ასე რომ, დიამეტრი განხილული მერიდიანის სიბრტყის პერპენდიკულარულია. ეს ნიშნავს, რომ , მაგრამ შემდეგ და (პროექცია ორთოგონალურია). მიუთითებს და გამოყოფს მერიდიანის გამოსახულების ხილულ და უხილავ ნაწილებს.

ჩრდილების გამოსახულება

ზოგჯერ ჩრდილებს იყენებენ, რათა ნახატი უფრო თვალსაჩინო გახდეს. გარდა ამისა, ჩრდილების აგება საინტერესო გეომეტრიული პრობლემაა, რომელიც ხელს უწყობს სივრცითი აზროვნების განვითარებას, რომლის არსი ასეთია.

მოდით სინათლის სხივები გავრცელდეს მანათობელი წერტილიდან ყველა მიმართულებით სწორი ხაზით. თუ სხივი გზად ხვდება გაუმჭვირვალე სხეულს, ის ჩერდება მასზე და არ აღწევს გარკვეულ ეკრანს. ამავე დროს, ამ უკანასკნელზე ყალიბდება ბნელი რეგიონი, რომელსაც ე.წ დაცემა ჩრდილისხეულიდან (სურ. 69).

თავად სხეული ასევე იყოფა ორ ნაწილად: განათებული და ბნელი (გაუნათებელი). სხეულის ბნელ ნაწილს მას ეძახიან საკუთარი ჩრდილი.

ჩამოვარდნილი ჩრდილის საზღვარი იქმნება გადაკვეთის წერტილებით სხივების ეკრანთან, რომელიც ეხება სხეულის ზედაპირს და ქმნის მსუბუქი კონუსიზედა წერტილით. ხაზი, რომლის გასწვრივაც ეს სხივები ეხება სხეულის ზედაპირს, ეწოდება ხაზის გაყოფასინათლე და ჩრდილი.

ნახ. 69, განათება ე.წ ჩირაღდანი, შესაბამის ჩრდილს იგივე სახელი აქვს. ასეთი განათება ხდება ხელოვნური განათების წყაროების გამოყენებისას: ელექტრო ნათურა ოთახში, ქუჩის ნათურა, სანთლის ალი და ა.შ.

შეგვიძლია ვივარაუდოთ, რომ ბუნებრივი წყაროები (მზე, მთვარე) უსასრულობაშია და მათგან სხივები პარალელურია. ამიტომ პარალელური სხივების სხივით წარმოქმნილ განათებას მზის ეწოდება. მზის განათება ნაჩვენებია ნახ. 70.

იმისათვის, რომ გავაგრძელოთ ჩრდილების აგების ამოცანები, შევთანხმდებით იმაზე, თუ როგორ დავაყენოთ სინათლის სხივები საპროექციო ნახაზში. მზის შუქის ქვეშ, ასეთი სინათლის სხივი შეიძლება დადგეს სწორი ხაზით და მისი პროექცია მთავარ სიბრტყეზე (ნახ. 71). დაე, საჭირო გახდეს ჩამოვარდნილი ჩრდილის აგება ძირითადი სიბრტყის (ეკრანის) წერტილიდან. იმისთვის, რომ წერტილი თავად განისაზღვროს, აუცილებელია მისი პროექციის მითითება მთავარ სიბრტყეზე. ჩრდილის კონსტრუქცია მცირდება იმ წრფის გადაკვეთის წერტილის პოვნამდე, რომელიც გადის წერტილის პარალელურად და პარალელურ წერტილში გამავალი წრფე. გაითვალისწინეთ, რომ ამ შემთხვევაში სეგმენტი არის სეგმენტის ჩამოვარდნილი ჩრდილი.

საპროექციო ნახაზზე ჩირაღდნის განათებით, თქვენ უნდა მიუთითოთ წერტილი, რომელიც არის სინათლის წყარო. იგი განისაზღვრება წერტილით და მისი პროექციით მთავარ სიბრტყეზე (სურ. 72). აქ წერტილის დაცემის ჩრდილი არის ხაზების გადაკვეთის წერტილი და.
ნათელია, რომ ეკრანად არა მხოლოდ მთავარი თვითმფრინავის არჩევა შეიძლება. ჩრდილების აგების ყველაზე საინტერესო შემთხვევები ხდება ზუსტად მაშინ, როცა სხვა სიბრტყეებზე უნდა ააგოთ ჩამოვარდნილი ჩრდილები. (მაგალითად, ერთი პოლიედრონის დაცემა ჩრდილი მეორის ზედაპირზე.)

ამოცანა 1. ნახ. 73 გვიჩვენებს სამკუთხა პირამიდას, მის სიმაღლეს და პარალელეპიპედს. შექმენით საკუთარი და ჩამოაგდეთ ამ გაუმჭვირვალე ფორმების ჩრდილები მოცემული განათების ქვეშ.

გამოსავალი.საქმე გვაქვს მზის განათებასთან. პირველ რიგში, ვიპოვოთ პარალელეპიპედის ჩამოვარდნილი ჩრდილი მთავარ სიბრტყეზე. კიდის წვეთი ჩრდილი არის სეგმენტი , სადაც , . ანალოგიურად, არის დაცემა ჩრდილები, კიდეები, შესაბამისად. აქედან გამომდინარეობს, რომ არის სახის წვეთი ჩრდილი და არის სახის ჩრდილი (ნაწილობრივ დაფარულია პარალელეპიპედის გამოსახულებით). გარდა ამისა, ჩვენ აღვნიშნავთ, რომ ეს არის პარალელეპიპედის საკუთარი ჩრდილი.

პარალელეპიპედის სახეებზე პირამიდის ჩამოვარდნილი ჩრდილების საპოვნელად, პირველ რიგში ვიპოვით მის ჩამოვარდნილ ჩრდილს მთავარ სიბრტყეზე. ეს არის სამკუთხედი ( , ), სამკუთხედი იქნება პირამიდის საკუთარი ჩრდილი. სწორი ხაზის პროექციული სიბრტყე კვეთს პარალელეპიპედის სახეს სეგმენტის გასწვრივ. სწორი ხაზის პარალელურად ვხაზავთ, ვპოულობთ წვეროს ჩამოვარდნილ ჩრდილს პარალელეპიპედის ზედა ფუძეზე. ხაზები , , რომლებიც გადიან ხაზების პარალელურ წერტილში , შესაბამისად, განსაზღვრავენ პირამიდის ჩამოვარდნილ ჩრდილს პარალელეპიპედის ზედა ფუძეზე.

რჩება ჩრდილის პოვნა პარალელეპიპედის გვერდით სახეზე. ამისათვის გაითვალისწინეთ, რომ არის თვითმფრინავის კვალი მთავარ სიბრტყეზე. სახე კვეთს კვალს წერტილში , წერტილი კი სიბრტყეებს ეკუთვნის და . აქედან ვასკვნით, რომ სიბრტყე კვეთს პარალელეპიპედის გვერდით კიდეს წერტილში და პირამიდის ჩამოვარდნილ ჩრდილს ვაშენებთ სახეზე.

წარმოადგენს სიბრტყე მრუდს - წრეს, რომელიც ეკუთვნის ჭრის სიბრტყეს.
აშენება სფეროს მონაკვეთი თვითმფრინავითზოგადი პოზიცია β

ვინაიდან საჭრელი სიბრტყე ზოგად მდგომარეობაშია, ეს წრე პროექციის სიბრტყეებზე ელიფსების სახით არის დაპროექტებული. ელიფსის ასაგებად, თქვენ უნდა იცოდეთ ელიფსის ზომები მისი ძირითადი და მცირე ღერძების გასწვრივ.
რევოლუციის სხეულებისთვის, რომლებიც მოიცავს ცილინდრს, კონუსს და სფეროს, მონაკვეთის ხაზი შეიძლება აშენდეს მრუდის დამახასიათებელი წერტილებით, რომლებიც მოიცავს:
- წერტილები, რომლებზეც იცვლება ხილვადობის ნიშანი;
- წერტილები, რომლებშიც მისი კოორდინატები იღებენ მაქსიმალურ და მინიმალურ მნიშვნელობებს:
- x max; x წთ;
- y max ; y წთ;
- z max; z min ;
დამახასიათებელი წერტილების გამოყენება საშუალებას გაძლევთ შეასრულოთ რევოლუციის ზედაპირისა და სიბრტყის გადაკვეთის ხაზის უფრო ზუსტი კონსტრუქცია.

პრობლემის გადაჭრაზე სფეროს მონაკვეთი თვითმფრინავითმნიშვნელოვნად გამარტივებულია, თუ ჭრის თვითმფრინავი იკავებს საპროექციო პოზიციას.

საპროექციო სიბრტყეების შეცვლის მეთოდის გამოყენებით, ჩვენ ვთარგმნით თვითმფრინავს β ზოგადი პოზიციიდან კონკრეტულზე – ფრონტალურად პროექცია. შუბლის პროექციის სიბრტყეზე V 1ააშენეთ თვითმფრინავის კვალი β და ბურთის პროექცია. თვითმფრინავის ბილიკზე β Vმიიღეთ თვითნებური წერტილი 3" გაზომეთ მისი მანძილი საპროექციო სიბრტყიდან ჰდა გადადო საკომუნიკაციო ხაზის გასწვრივ უკვე თვითმფრინავში V 1ქულის მიღება 3" 1 . მასში კვალი გაივლის. ბურთის მონაკვეთის ხაზი - ქულები A" 1, ბ" 1აქ ემთხვევა თვითმფრინავის კვალს. შემდგომში შუბლის პროექციის სიბრტყეზე V 1ააგეთ მონაკვეთის წრის ცენტრი - წერტილი C" 1რომელსაც ვიღებთ ბურთის ცენტრიდან პერპენდიკულარულის აღდგენით (წერტილი 0" 1 ) -მდე [ A" 1 ბ" 1] მათ კვეთაზე. შემდეგი, ჩართეთ უკანა პროექცია: წერტილების გავლით A" 1, ბ" 1და C" 1დახაზეთ ჰორიზონტალური ხაზები თთვითმფრინავს ეკუთვნის β და პროექციის სიბრტყეზე ჰბურთის ცენტრის მეშვეობით ჩვენ ვხატავთ დამხმარე ჰორიზონტალურად გამოსახულ სიბრტყეს γ 1. ჰორიზონტალური სიბრტყის კვალი γ 1შეაჩერებს ჰორიზონტალურ პროექციას თდა განსაზღვრეთ წერტილი ამ ეტაპზე გ`- განყოფილების გარშემოწერილობის ცენტრი. Ჰორიზონტალური თ`კვეთს ბურთის პროექციას წერტილებში დ`და ე`, რითაც განისაზღვრება სეგმენტის რეალური მნიშვნელობა [ DE] - ელიფსის ძირითადი ღერძი. ქულები აგებულია იმავე გზით. ა`და ბ`სეგმენტის მნიშვნელობის განსაზღვრა [ A`B`] - ელიფსის მცირე ღერძი.

ელიფსის ძირითადი და მცირე ღერძების პროგნოზები ჰორიზონტალურ პროექციის სიბრტყეზე ჰნაპოვნია, რაც ნიშნავს, რომ ელიფსი არის მონაკვეთის წრის პროექცია ჰშეიძლება აშენდეს, იხილეთ სტატია: წრე

გაიმეორეთ იგივე ნაბიჯები შუბლის პროექციის სიბრტყისთვის ვდა ააგეთ კიდევ ერთი ელიფსი - მონაკვეთის წრის პროექცია ვ.

მონაკვეთის წრის ჰორიზონტალური პროექციის ხილვადობის საზღვრების აღმნიშვნელი წერტილების პოვნა

ჩვენ ვხატავთ წინა პროექციულ თვითმფრინავს ბურთის ცენტრში γ 2 ⊥ ვ β ჰორიზონტალურად h(h`, h"). ხაზი თ`კვეთს მონაკვეთის წრის ჰორიზონტალურ პროექციას წერტილებით 5,6 ხილვადობის ლიმიტის მითითებით. განყოფილების წრის წერტილები, რომლებიც მდებარეობს ფრონტალურ პროექციაზე, სიბრტყის კვალის ქვემოთ γ 2, ჰორიზონტალურ პროექციის სიბრტყეზე ჰ 5`, 6` ] - და უხილავი იქნება მასზე.

მონაკვეთის წრის შუბლის პროექციის ხილვადობის საზღვრების მითითების წერტილების საპოვნელად. ჩვენ ვხატავთ ჰორიზონტალურად გამოსახულ სიბრტყეს ბურთის ცენტრში γ 1 ⊥ ჰ, რომელიც კვეთს სიბრტყეს β ფრონტალური f(f`, f"). ხაზი ვ"კვეთს მონაკვეთის წრის შუბლის პროექციას წერტილებით 7", 8" ხილვადობის ლიმიტის მითითებით. კვეთის წრის წერტილები, რომლებიც მდებარეობს ჰორიზონტალურ პროექციაზე, სიბრტყის კვალის ზემოთ γ 1, შუბლის პროექციის სიბრტყეზე ვგანთავსდება სეგმენტის მარცხნივ [ 7", 8" ] - და უხილავი იქნება მასზე.

შესავალი

ბურთი არის სხეული, რომელიც შედგება სივრცის ყველა წერტილისგან, რომლებიც არ არის აღემატება მოცემული წერტილიდან მოცემულ მანძილზე. ამ წერტილს ბურთის ცენტრი ეწოდება, ხოლო ამ მანძილს ბურთის რადიუსი.

სფეროს საზღვარს სფერულ ზედაპირს ან სფეროს უწოდებენ. ამრიგად, სფეროს წერტილები არის ბურთის ყველა წერტილი, რომელიც მდებარეობს ცენტრიდან რადიუსის ტოლ მანძილზე. ნებისმიერი ხაზის სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს ბურთის ცენტრს ბურთის ზედაპირზე არსებულ წერტილთან, რომელსაც ასევე უწოდებენ რადიუსს.

სფერული ზედაპირის ორი წერტილის დამაკავშირებელ სეგმენტს, რომელიც გადის ბურთის ცენტრში, ეწოდება დიამეტრი. ნებისმიერი დიამეტრის ბოლოებს ბურთის დიამეტრულად საპირისპირო წერტილებს უწოდებენ.

ბურთი, ცილინდრისა და კონუსის მსგავსად, რევოლუციის სხეულია. იგი მიიღება ღერძის სახით მისი დიამეტრის გარშემო ნახევარწრიულის ბრუნვით.

სფეროს მონაკვეთი სიბრტყით

სფეროს ნებისმიერი მონაკვეთი სიბრტყით არის წრე. ამ წრის ცენტრი არის ბურთის ცენტრიდან ჭრის სიბრტყემდე ჩამოშვებული პერპენდიკულარულის საფუძველი.

დადასტურება: მოდით იყოს საჭრელი სიბრტყე და O - ბურთის ცენტრი (ნახ. 1) მოდით, ბურთის ცენტრიდან სიბრტყეზე პერპენდიკულარი ჩამოვუშვათ და ამ პერპენდიკულურის ფუძე აღვნიშნოთ O-ით.

მოდით X იყოს სიბრტყის კუთვნილი ბურთის თვითნებური წერტილი. პითაგორას თეორემის მიხედვით, OX2 \u003d OO "2 + O" X2. ვინაიდან OX არ არის მეტი ბურთის R რადიუსზე, მაშინ O "X?, ანუ სიბრტყით ბურთის მონაკვეთის ნებისმიერი წერტილი არის O წერტილიდან არაუმეტეს მანძილიდან, ამიტომ ის მიეკუთვნება წრეს. ცენტრით O "და რადიუსით. პირიქით: ამ წრის ნებისმიერი X წერტილი ეკუთვნის ბურთს, რაც ნიშნავს, რომ ბურთის მონაკვეთი სიბრტყით არის წრე, რომელიც ორიენტირებულია O წერტილში". თეორემა დადასტურდა.

სფეროს ცენტრში გამავალ უბანს დიამეტრული სიბრტყე ეწოდება. დიამეტრული სიბრტყის მქონე ბურთის კვეთას დიდი წრე ეწოდება, ხოლო სფეროს განივი მონაკვეთს - დიდი წრე.

ნახ. 11 გვიჩვენებს ზოგიერთი წერტილის პროგნოზების აგებას.

პროგნოზები C" და დ" აგებულია რადიუსის პარალელის ჰორიზონტალურ პროექციაზე 0"1", აშენდა

პროექტირება 1 ".პროექცია C"" და დ"" აგებულია პროექციების მეშვეობით სფეროზე დახატული წრის პროფილის პროექციაზე C"(დ") ისე, რომ წრის სიბრტყე პარალელურად იყოს პროექციების სიბრტყის.

Პროექტირება E"არის ელიფსის ტანგენტური წერტილი (ნაჭერი წრის ჰორიზონტალური პროექცია) და სფეროს ეკვატორი. იგი აგებულია საპროექციო კავშირში ეკვატორის ჰორიზონტალურ პროექციაზე შუბლის პროექციაზე E".

ჰორიზონტალური პროექცია M"ჭრის ხაზზე თვითნებური წერტილი აგებულია რადიუსის პარალელურად "2"-ის შესახებ, რომლის შუბლის პროექცია გადის პროექციებში მ"და 2 " . Პროექტირება ფ „არის ელიფსის შეხების წერტილი (მოჭრილი წრის პროფილის პროექცია) და სფეროს მოხაზულობის პროფილის პროექცია.

თუ სფეროს გადაკვეთის სიბრტყე არის სიბრტყე ზოგად მდგომარეობაში, მაშინ პრობლემა წყდება პროექციის სიბრტყეების შეცვლით. დამატებითი პროექციის სიბრტყე არჩეულია ისე, რომ უზრუნველყოფილი იყოს მისი პერპენდიკულარული ჭრის სიბრტყეზე. ის საშუალებას გაძლევთ გაამარტივოთ კვეთის ხაზის მშენებლობა.

12. ტორუსის მონაკვეთების მშენებლობა

მაგალითში ნახ. 12 გვიჩვენებს დამხმარე სიბრტყეების γ 1 (γ 1") და γ 2 (γ 2"), ტორუსის ღერძის პერპენდიკულარული გამოყენება, გადაკვეთის ხაზისა და ზედაპირის მონაკვეთის ფიგურის ბუნებრივი ფორმის ასაგებად. ტორუსი სიბრტყით α (α ""). ნახაზი 12-ის ტორს აქვს ორი გამოსახულება - შუბლის პროექცია და ნახევარპროფილის პროექცია.

ნახევარწრიული რადიუსი რ 2 (დამხმარე მოწყობილობის ტორუსის გადაკვეთის ხაზის პროფილის პროექცია

თვითმფრინავი γ 2 ) ეხება α სიბრტყის პროექციას (კვალი α ""). ეს განსაზღვრავს პროფილის პროექციას 3"" და მის გასწვრივ ფრონტალური პროექცია 3"" სასურველი გადაკვეთის ხაზის ერთ-ერთი საპროექციო წერტილი. ნახევარწრიული რადიუსი რ 1 - დამხმარე სიბრტყით ტორუსის გადაკვეთის ხაზის პროფილის პროექცია γ 1 . ის კვეთს α სიბრტყის პროფილის პროექციას (α კვალი "") ორ წერტილში 5"" და 7"" - გადაკვეთის ხაზის წერტილების პროფილის პროგნოზები. მსგავსი კონსტრუქციების განხორციელებისას, შეგიძლიათ მიიღოთ საჭირო რაოდენობის წერტილოვანი პროგნოზები სასურველი გადაკვეთის ხაზისთვის. აღმოჩენილ წერტილებს ვიყენებთ სექციური ფიგურის ბუნებრივი ხედვის შესაქმნელად. ტორუსის მონაკვეთის ფიგურას მისი ღერძის პარალელურად სიბრტყით აქვს ღერძი და სიმეტრიის ცენტრი. მისი აგებისას, 5 0, 7 0 და 3 0 წერტილების გამოსათვლელად გამოყენებული იქნა მანძილი l 1 და l 2 ფრონტალურ პროექციაზე.

წერტილები 6 0 , 8 0 და 4 0 აგებულია სიმეტრიულად. ტორუსის ზედაპირის სიბრტყით გადაკვეთის აგებული მრუდი გამოიხატება მე-4 რიგის ალგებრული განტოლებით.

ღერძის პარალელური სიბრტყით ტორუსის გადაკვეთის მრუდები ნაჩვენებია ნახ. 12 ქვემოთ. მათ აქვთ საერთო სახელი - Perseus curves. (პერსევსი- ძველი საბერძნეთის გეომეტრი). ეს არის მეოთხე რიგის მრუდები. მოსახვევების ფორმა დამოკიდებულია დაშორებაზე სეკანტური სიბრტყიდან ტორუსის ღერძამდე.