ალბათობათა შეკრებისა და გამრავლების თეორემები.

ორი მოვლენის ალბათობების შეკრების თეორემა. ორი მოვლენის ჯამის ალბათობა უდრის ამ მოვლენების ალბათობების ჯამს მათი ერთობლივი დადგომის ალბათობის გარეშე.:

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).

ორი შეუთავსებელი მოვლენის ალბათობების შეკრების თეორემა. ორი შეუთავსებელი მოვლენის ჯამის ალბათობა უდრის მათ ალბათობათა ჯამს:

P(A+B)=P(A)+P(B).

მაგალითი 2.16.მსროლელი ისვრის 3 უბანზე დაყოფილ სამიზნეს. პირველ ზონაში დარტყმის ალბათობა 0,45-ია, მეორეში - 0,35. იპოვეთ ალბათობა, რომ მსროლელი ერთი გასროლით მოხვდება ან პირველ ან მეორე ზონაში.

გადაწყვეტილება.

Ივენთი მაგრამ- „მსროლელმა პირველ უბანს დაარტყა“ და AT- „მსროლელმა დაარტყა მეორე უბანს“ - არათანმიმდევრულია (ერთ უბანში დარტყმა გამორიცხავს მეორეში მოხვედრას), ამიტომ დამატების თეორემა გამოიყენება.

სასურველი ალბათობა უდრის:

P(A+B)=P(A)+P(B)= 0,45+ 0,35 = 0,8.

მიმატების თეორემა პშეუთავსებელი მოვლენები. n შეუთავსებელი მოვლენის ჯამის ალბათობა უდრის ამათი ალბათობების ჯამს:

P (A 1 + A 2 + ... + A p) \u003d P (A 1) + P (A 2) + ... + P (A p).

საპირისპირო მოვლენების ალბათობების ჯამი უდრის ერთს:

მოვლენის ალბათობა ATვარაუდობენ, რომ მოვლენა მოხდა მაგრამ, ეწოდება მოვლენის პირობითი ალბათობა ATდა აღინიშნება ასე: P(B/A),ან R A (B).

. ორი მოვლენის ნამრავლის ალბათობა უდრის ერთი მათგანის ალბათობის ნამრავლს მეორის პირობითი ალბათობით, იმ პირობით, რომ პირველი მოვლენა მოხდა:

P(AB)=P(A)P A(B).

ღონისძიება ATარ არის დამოკიდებული მოვლენაზე მაგრამ, თუ

P A (B) \u003d P (B),

იმათ. მოვლენის ალბათობა ATარ არის დამოკიდებული იმაზე, მოხდა თუ არა მოვლენა მაგრამ.

ორი დამოუკიდებელი მოვლენის ალბათობების გამრავლების თეორემა.ორი დამოუკიდებელი მოვლენის ნამრავლის ალბათობა უდრის მათი ალბათობების ნამრავლს:

P(AB)=P(A)P(B).

მაგალითი 2.17.პირველი და მეორე იარაღის სროლისას მიზანში დარტყმის ალბათობა შესაბამისად თანაბარია: გვ 1 = 0,7; გვ 2= 0.8. იპოვნეთ ალბათობა, რომ ერთი თოფით მაინც მოხვდეს ერთი თოფით (ორივე იარაღიდან).

გადაწყვეტილება.

თითოეული იარაღის მიერ მიზანში დარტყმის ალბათობა არ არის დამოკიდებული მეორე იარაღიდან სროლის შედეგზე, ამიტომ მოვლენები მაგრამ- "პირველი იარაღი დაარტყა" და AT– „მეორე იარაღის დარტყმა“ დამოუკიდებელია.

მოვლენის ალბათობა AB- "ორივე იარაღი მოხვდა":

სასურველი ალბათობა

P (A + B) \u003d P (A) + P (B) - P (AB)= 0,7 + 0,8 – 0,56 = 0,94.

ალბათობის გამრავლების თეორემა პივენთი.n მოვლენის ნამრავლის ალბათობა უდრის ერთი მათგანის ნამრავლს ყველა დანარჩენის პირობითი ალბათობით, გამოთვლილი იმ ვარაუდით, რომ ყველა წინა მოვლენა მოხდა:

მაგალითი 2.18. ურნა შეიცავს 5 თეთრ, 4 შავ და 3 ლურჯ ბურთს. თითოეული ტესტი შედგება იმაში, რომ ერთი ბურთი იშლება შემთხვევით, უკან დაბრუნების გარეშე. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ თეთრი ბურთი გამოჩნდება პირველ ცდაზე (მოვლენა A), შავი ბურთი მეორე ცდაზე (მოვლენა B) და ლურჯი ბურთი მესამე ცდაზე (მოვლენა C).

გადაწყვეტილება.

პირველ საცდელში თეთრი ბურთის გამოჩენის ალბათობა:

მეორე ცდაში შავი ბურთის გამოჩენის ალბათობა, გამოითვლება იმ ვარაუდით, რომ თეთრი ბურთი გამოჩნდა პირველ საცდელში, ანუ პირობითი ალბათობა:

მესამე საცდელში ლურჯი ბურთის გამოჩენის ალბათობა, გამოითვლება იმ ვარაუდით, რომ თეთრი ბურთი გამოჩნდა პირველ ცდაში, ხოლო შავი ბურთი მეორეში, ანუ პირობითი ალბათობა:

სასურველი ალბათობა უდრის:

ალბათობის გამრავლების თეორემა პდამოუკიდებელი ღონისძიებები.n დამოუკიდებელი მოვლენების ნამრავლის ალბათობა უდრის მათი ალბათობების ნამრავლს:

P (A 1 A 2 ... A p) \u003d P (A 1) P (A 2) ... P (A p).

ალბათობა იმისა, რომ ერთ-ერთი მოვლენა მაინც მოხდება. A 1 , A 2 , ..., A p მოვლენის მინიმუმ ერთის დადგომის ალბათობა აგრეგატში დამოუკიდებელი, უდრის განსხვავებას ერთიანობასა და საპირისპირო მოვლენების ალბათობის ნამრავლს შორის.:

.

მაგალითი 2.19.სამი იარაღიდან სროლისას მიზანზე დარტყმის ალბათობა შემდეგია: გვ 1 = 0,8; გვ 2 = 0,7;გვ 3= 0.9. იპოვეთ მინიმუმ ერთი დარტყმის ალბათობა (მოვლენა მაგრამ) ყველა იარაღიდან ერთი სალვოთი.

გადაწყვეტილება.

თითოეული იარაღის მიერ მიზანში დარტყმის ალბათობა არ არის დამოკიდებული სხვა იარაღიდან სროლის შედეგებზე, ამიტომ განსახილველი მოვლენები A 1(პირველი იარაღით მოხვდა), A 2(მოხვდა მეორე თოფით) და A 3(მესამე იარაღის დარტყმა) მთლიანობაში დამოუკიდებელია.

მოვლენების საპირისპირო მოვლენების ალბათობა A 1, A 2და A 3(ანუ გამოტოვების ალბათობები), შესაბამისად, უდრის:

, , .

სასურველი ალბათობა უდრის:

თუ დამოუკიდებელი მოვლენები A 1, A 2, ..., A გვაქვთ იგივე ალბათობა რ, მაშინ ამ მოვლენებიდან ერთის დადგომის ალბათობა გამოიხატება ფორმულით:

Р(А)= 1 – q n,

სადაც q=1-p

2.7. საერთო ალბათობის ფორმულა. ბეიზის ფორმულა.

დაე, ღონისძიება მაგრამშეიძლება მოხდეს, თუ მოხდება ერთ-ერთი შეუთავსებელი მოვლენა N 1, N 2, ..., N გვ, ქმნიან მოვლენათა სრულ ჯგუფს. ვინაიდან წინასწარ არ არის ცნობილი ამ მოვლენებიდან რომელი მოხდება, ისინი ე.წ ჰიპოთეზები.

მოვლენის დადგომის ალბათობა მაგრამგამოითვლება საერთო ალბათობის ფორმულა:

P (A) \u003d P (N 1) P (A / N 1) + P (N 2) P (A / N 2) + ... + P (N p) P (A / N p).

დავუშვათ, რომ ჩატარდა ექსპერიმენტი, რის შედეგადაც მოხდა მოვლენა მაგრამმოხდა. პირობითი მოვლენის ალბათობა N 1, N 2, ..., N გვმოვლენასთან დაკავშირებით მაგრამგანსაზღვრული ბეისის ფორმულები:

,

მაგალითი 2.20. გამოცდაზე მოსულ 20 მოსწავლის ჯგუფში 6 წარჩინებულია, 8 კარგი, 4 დამაკმაყოფილებელი და 2 ცუდად მომზადებული. საგამოცდო ფურცლებში 30 კითხვაა. კარგად მომზადებულ მოსწავლეს შეუძლია უპასუხოს 30-ვე შეკითხვას, კარგად მომზადებულს შეუძლია უპასუხოს 24-ს, დამაკმაყოფილებელ მოსწავლეს შეუძლია უპასუხოს 15-ს, ხოლო ცუდ მოსწავლეს შეუძლია უპასუხოს 7-ს.

შემთხვევით შერჩეულმა მოსწავლემ უპასუხა სამ შემთხვევით კითხვას. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ ეს მოსწავლე მომზადებულია: ა) შესანიშნავი; ბ) ცუდი.

გადაწყვეტილება.

ჰიპოთეზები – „მოსწავლე კარგად არის მომზადებული“;

– „მოსწავლე კარგად არის მომზადებული“;

– „სტუდენტი მომზადებულია დამაკმაყოფილებლად“;

- "სტუდენტი ცუდად არის მომზადებული".

გამოცდილებამდე:

; ; ; ;

7. რას ჰქვია მოვლენათა სრული ჯგუფი?

8. რომელ მოვლენებს ეწოდება თანაბრად სავარაუდო? მიეცით ასეთი მოვლენების მაგალითები.

9. რას ეწოდება ელემენტარული შედეგი?

10. რა შედეგებს ვუწოდებ ამ მოვლენისთვის ხელსაყრელ შედეგებს?

11. რა ოპერაციების ჩატარება შეიძლება მოვლენებზე? მიეცით მათ განმარტებები. როგორ არის დანიშნული? მიეცით მაგალითები.

12. რას ჰქვია ალბათობა?

13. რა არის გარკვეული მოვლენის ალბათობა?

14. რა არის შეუძლებელი მოვლენის ალბათობა?

15. რა არის ალბათობის საზღვრები?

16. როგორ განისაზღვრება გეომეტრიული ალბათობა სიბრტყეზე?

17. როგორ განისაზღვრება ალბათობა სივრცეში?

18. როგორ დგინდება ალბათობა სწორ ხაზზე?

19. რა არის ორი მოვლენის ჯამის ალბათობა?

20. რა არის ორი შეუთავსებელი მოვლენის ჯამის ალბათობა?

21. რა არის n შეუთავსებელი მოვლენის ჯამის ალბათობა?

22. რა არის პირობითი ალბათობა? მიეცი მაგალითი.

23. ჩამოაყალიბეთ ალბათობების გამრავლების თეორემა.

24. როგორ გამოვავლინოთ ერთ-ერთი მოვლენის მაინც დადგომის ალბათობა?

25. რა მოვლენებს ჰქვია ჰიპოთეზა?

26. როდის გამოიყენება საერთო ალბათობის ფორმულა და ბეიზის ფორმულები?

მიმატების თეორემა

განვიხილოთ შეუთავსებელი შემთხვევითი მოვლენები.

ცნობილია, რომ $A$ და $B$ შეუთავსებელ შემთხვევით მოვლენებს იმავე საცდელში აქვთ ალბათობა $P\left(A\right)$ და $P\left(B\right)$ შესაბამისად. მოდით ვიპოვოთ ამ მოვლენების $A+B$ ჯამის ალბათობა, ანუ მინიმუმ ერთი მათგანის დადგომის ალბათობა.

დავუშვათ, რომ ამ ტესტში ყველა თანაბრად შესაძლო ელემენტარული მოვლენის რაოდენობაა $n$. აქედან $A$ და $B$ მოვლენებს უპირატესობას ანიჭებენ $m_(A)$ და $m_(B)$, შესაბამისად, ელემენტარული მოვლენები. ვინაიდან $A$ და $B$ მოვლენები შეუთავსებელია, მოვლენა $A+B$ უპირატესობას ანიჭებს $m_(A) +m_(B)$ ელემენტარულ მოვლენებს. გვაქვს $P\left(A+B\right)=\frac(m_(A) +m_(B) )(n) =\frac(m_(A) )(n) +\frac(m_(B) ) (n) =P\left(A\right)+P\left(B\right)$.

თეორემა 1

ორი შეუთავსებელი მოვლენის ჯამის ალბათობა მათი ალბათობების ჯამის ტოლია.

შენიშვნა 1

შედეგი 1.ნებისმიერი რაოდენობის შეუთავსებელი მოვლენების ჯამის ალბათობა უდრის ამ მოვლენების ალბათობების ჯამს.

შედეგი 2.შეუთავსებელი მოვლენების სრული ჯგუფის (ყველა ელემენტარული მოვლენის ალბათობათა ჯამი) ალბათობის ჯამი უდრის ერთს.

შედეგი 3.საპირისპირო მოვლენების ალბათობების ჯამი უდრის ერთს, რადგან ისინი ქმნიან შეუთავსებელი მოვლენების სრულ ჯგუფს.

მაგალითი 1

ალბათობა იმისა, რომ ქალაქში არასდროს წვიმს გარკვეული დროის განმავლობაში არის $p=0.7$. იპოვეთ ალბათობა $q$, რომ ამავე დროს ქალაქში ერთხელ მაინც წვიმს.

საპირისპიროა მოვლენები „რაღაც ხანი ქალაქში არ წვიმდა“ და „რაღაც ხანი ერთხელ მაინც წვიმდა ქალაქში“. ამიტომ $p+q=1$, საიდანაც $q=1-p=1-0.7=0.3$.

განვიხილოთ ერთობლივი შემთხვევითი მოვლენები.

ცნობილია, რომ ერთობლივი შემთხვევითი მოვლენები $A$ და $B$ იმავე საცდელში აქვთ ალბათობა $P\left(A\right)$ და $P\left(B\right)$ შესაბამისად. მოდით ვიპოვოთ ამ მოვლენების $A+B$ ჯამის ალბათობა, ანუ მინიმუმ ერთი მათგანის დადგომის ალბათობა.

დავუშვათ, რომ ამ ტესტში ყველა თანაბრად შესაძლო ელემენტარული მოვლენის რაოდენობაა $n$. აქედან $A$ და $B$ მოვლენებს უპირატესობას ანიჭებენ $m_(A)$ და $m_(B)$, შესაბამისად, ელემენტარული მოვლენები. ვინაიდან $A$ და $B$ მოვლენები ერთობლივია, მაშინ $m_(A) +m_(B) $ ელემენტარული მოვლენების საერთო რიცხვიდან, გარკვეული რიცხვი $m_(AB) $ ხელს უწყობს ორივე მოვლენას $A$ და მოვლენა $B$, ანუ მათი ერთობლივი მოვლენა ($A\cdot B$ მოვლენების პროდუქტი). ამ რაოდენობამ $m_(AB)$ შეიყვანა $m_(A)$ და $m_(B)$. ასე რომ, მოვლენა $A+B$ უპირატესობას ანიჭებს $m_(A) +m_(B) -m_(AB) $ ელემენტარული მოვლენები. გვაქვს: $P\left(A+B\right)=\frac(m_(A) +m_(B) -m_(AB) )(n) =\frac(m_(A) )(n) +\ frac (m_(B) )(n) -\frac(m_(AB) )(n) =P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cdot B\ მარჯვენა) $.

თეორემა 2

ორი ერთობლივი მოვლენის ჯამის ალბათობა უდრის ამ მოვლენების ალბათობების ჯამს, გამოკლებული მათი ნამრავლის ალბათობა.

კომენტარი. თუ მოვლენები $A$ და $B$ შეუთავსებელია, მაშინ მათი პროდუქტი $A\cdot B$ არის შეუძლებელი მოვლენა, რომლის ალბათობაა $P\left(A\cdot B\right)=0$. მაშასადამე, შეუთავსებელი მოვლენების ალბათობების დამატების ფორმულა არის ერთობლივი მოვლენების ალბათობების დამატების ფორმულის განსაკუთრებული შემთხვევა.

მაგალითი 2

იპოვნეთ ალბათობა, რომ როდესაც ორი კამათელი ერთდროულად ისროლება, რიცხვი 5 ერთხელ მაინც გამოვა.

ორი კამათლის ერთდროულად სროლისას, ყველა თანაბრად შესაძლო ელემენტარული მოვლენის რაოდენობა უდრის $n=36$-ს, ვინაიდან მეორე კამათლის ექვსი ციფრი შეიძლება დაეცეს პირველი კამათლის თითოეულ ციფრს. მათგან მოვლენა $A$ - რიცხვი 5 შემოვიდა პირველ კვერზე - ხდება 6-ჯერ, მოვლენა $B$ - რიცხვი 5 შემოვიდა მეორე კვერზე - ასევე 6-ჯერ. თორმეტივე ჯერიდან რიცხვი 5 ჩნდება ერთხელ ორივე კამათელზე. ასე რომ, $P\left(A+B\right)=\frac(6)(36) +\frac(6)(36) -\frac(1)(36) =\frac(11)(36) $.

ალბათობის გამრავლების თეორემა

განიხილეთ დამოუკიდებელი მოვლენები.

$A$ და $B$ მოვლენებს, რომლებიც ხდება ორ თანმიმდევრულ საცდელში, ეწოდება დამოუკიდებელი, თუ $B$ მოვლენის დადგომის ალბათობა არ არის დამოკიდებული იმაზე, მოხდა თუ არა მოვლენა $A$.

მაგალითად, დავუშვათ, რომ ურნაში არის 2 თეთრი და 2 შავი ბურთი. ტესტი არის ბურთის ამოღება. ღონისძიება $A$ არის "თეთრი ბურთი გათამაშებულია პირველ საცდელში". ალბათობა $P\left(A\right)=\frac(1)(2) $. პირველი გამოცდის შემდეგ ბურთი უკან დააბრუნეს და მეორე ტესტი ჩაატარეს. ღონისძიება $B$ -- ``თეთრი ბურთის გათამაშება მეორე საცდელში''. ალბათობა $P\left(B\right)=\frac(1)(2) $. $P\left(B\right)$ ალბათობა არ არის დამოკიდებული იმაზე, მოხდა თუ არა მოვლენა $A$, ამიტომ მოვლენები $A$ და $B$ დამოუკიდებელია.

ცნობილია, რომ $A$ და $B$ დამოუკიდებელ შემთხვევით მოვლენებს ორი ზედიზედ ცდის დროს აქვთ $P\left(A\right)$ და $P\left(B\right)$ შესაბამისად. მოდით ვიპოვოთ ამ მოვლენების $A\cdot B$ ნამრავლის ალბათობა, ანუ მათი ერთობლივი წარმოშობის ალბათობა.

დავუშვათ, რომ პირველ საცდელში ყველა თანაბრად შესაძლო ელემენტარული მოვლენის რაოდენობაა $n_(1) $. მათგან $A$ უპირატესობას ანიჭებს $m_(1)$ ელემენტარულ მოვლენებს. ასევე დავუშვათ, რომ მეორე ტესტში ყველა თანაბრად შესაძლო ელემენტარული მოვლენის რაოდენობაა $n_(2) $. ამათგან $B$ მოვლენას ხელს უწყობს $m_(2)$ ელემენტარული მოვლენები. ახლა განიხილეთ ახალი ელემენტარული მოვლენა, რომელიც შედგება პირველი და მეორე გამოცდის მოვლენების თანმიმდევრული წარმოშობისგან. ასეთი თანაბრად სავარაუდო ელემენტარული მოვლენების საერთო რაოდენობა უდრის $n_(1) \cdot n_(2) $. ვინაიდან $A$ და $B$ მოვლენები დამოუკიდებელნი არიან, ამ რიცხვიდან მოვლენის $A$ და $B$ მოვლენის ერთობლივი წარმოშობა ($A\cdot B$ მოვლენის პროდუქტები) უპირატესობას ანიჭებს $m_( 1) \cdot m_(2) $ მოვლენები . გვაქვს: $P\left(A\cdot B\right)=\frac(m_(1) \cdot m_(2) )(n_(1) \cdot n_(2) ) =\frac(m_(1) ) (n_(1) ) \cdot \frac(m_(2) )(n_(2) ) =P\left(A\right)\cdot P\left(B\right)$.

თეორემა 3

ორი დამოუკიდებელი მოვლენის ნამრავლის ალბათობა ტოლია ამ მოვლენების ალბათობების ნამრავლის.

განიხილეთ დამოკიდებული მოვლენები.

ორ ზედიზედ საცდელში ხდება მოვლენები $A$ და $B$. მოვლენა $B$ არის დამოკიდებული $A$ მოვლენაზე, თუ $B$ მოვლენის დადგომის ალბათობა დამოკიდებულია იმაზე, მოხდა თუ არა მოვლენა $A$. შემდეგ $B$ მოვლენის ალბათობას, რომელიც გამოითვლება იმ პირობით, რომ მოხდა $A$ მოვლენა, ეწოდება $B$ მოვლენის პირობითი ალბათობა $A$ პირობით და აღინიშნება $P\მარცხნივ. (B/A\მარჯვნივ)$.

მაგალითად, დავუშვათ, რომ ურნაში არის 2 თეთრი და 2 შავი ბურთი. ტესტი არის ბურთის ამოღება. ღონისძიება $A$ არის "თეთრი ბურთი გათამაშებულია პირველ საცდელში". ალბათობა $P\left(A\right)=\frac(1)(2) $. პირველი გამოცდის შემდეგ ბურთი უკან არ აბრუნებენ და კეთდება მეორე ტესტი. ღონისძიება $B$ -- ``თეთრი ბურთის გათამაშება მეორე საცდელში''. თუ თეთრი ბურთი გათამაშდა პირველ საცდელში, მაშინ ალბათობა არის $P\left(B/A\right)=\frac(1)(3) $. თუ პირველ საცდელში შავი ბურთი გათამაშდა, მაშინ ალბათობაა $P\left(B/\overline(A)\right)=\frac(2)(3) $. ამრიგად, $B$ მოვლენის ალბათობა დამოკიდებულია იმაზე, მოხდა თუ არა მოვლენა $A$, შესაბამისად, მოვლენა $B$ დამოკიდებულია მოვლენაზე $A$.

დავუშვათ, რომ $A$ და $B$ მოვლენები ხდება ორ ზედიზედ ცდაში. ცნობილია, რომ $A$ მოვლენას აქვს $P\left(A\right)$ დადგომის ალბათობა. ასევე ცნობილია, რომ მოვლენა $B$ არის დამოკიდებული $A$ მოვლენაზე და მისი პირობითი ალბათობა $A$ პირობით უდრის $P\left(B/A\right)$.

თეორემა 4

$A$ მოვლენის ნამრავლის ალბათობა და მასზე დამოკიდებული მოვლენის $B$, ანუ მათი ერთობლივი წარმოშობის ალბათობა, შეიძლება ვიპოვოთ $P\left(A\cdot B\right)= ფორმულით. P\left(A\right)\cdot P\left(B/A\right)$.

ასევე მოქმედებს სიმეტრიული ფორმულა $P\left(A\cdot B\right)=P\left(B\right)\cdot P\left(A/B\right)$, სადაც მოვლენა $A$ ვარაუდობს იყოს დამოკიდებული მოვლენაზე $ B$.

ბოლო მაგალითის პირობებისთვის, ჩვენ ვპოულობთ ალბათობას, რომ თეთრი ბურთი გათამაშდება ორივე ცდაში. ასეთი ღონისძიება არის $A$ და $B$ მოვლენების პროდუქტი. მისი ალბათობაა $P\left(A\cdot B\right)=P\left(A\right)\cdot P\left(B/A\right)=\frac(1)(2) \cdot \frac( 1)(3) =\frac(1)(6) $.

საგანმანათლებლო დაწესებულება „ბელორუსის სახელმწიფო

სოფლის მეურნეობის აკადემია"

უმაღლესი მათემატიკის კათედრა

ალბათობათა მიმატება და გამრავლება. განმეორებითი დამოუკიდებელი ტესტები

ლექცია მიწის მენეჯმენტის ფაკულტეტის სტუდენტებისთვის

დისტანციური სწავლება

გორკი, 2012 წ

ალბათობათა შეკრება და გამრავლება. გაიმეორა

დამოუკიდებელი ტესტები

ალბათობების დამატება

ორი ერთობლივი მოვლენის ჯამი მაგრამდა ATმოვლენას უწოდებენ თან, რომელიც შედგება მინიმუმ ერთი მოვლენის დადგომაში მაგრამან AT. ანალოგიურად, რამდენიმე ერთობლივი მოვლენის ჯამი არის მოვლენა, რომელიც შედგება ამ მოვლენებიდან მინიმუმ ერთის დადგომაში.

ორი არაერთგვაროვანი მოვლენის ჯამი მაგრამდა ATმოვლენას უწოდებენ თან, რომელიც შედგება შემთხვევისგან ან მოვლენისგან მაგრამ, ან მოვლენები AT. ანალოგიურად, რამდენიმე შეუთავსებელი მოვლენის ჯამი არის მოვლენა, რომელიც შედგება რომელიმე ამ მოვლენის დადგომაში.

მართებულია შეუთავსებელი მოვლენების ალბათობების დამატების თეორემა: ორი შეუთავსებელი მოვლენის ჯამის ალბათობა უდრის ამ მოვლენების ალბათობების ჯამს , ე.ი. . ეს თეორემა შეიძლება გავრცელდეს შეუთავსებელი მოვლენების ნებისმიერ სასრულ რაოდენობაზე.

ამ თეორემიდან გამომდინარეობს:

სრული ჯგუფის შემქმნელი მოვლენების ალბათობების ჯამი უდრის ერთს;

საპირისპირო მოვლენების ალბათობათა ჯამი უდრის ერთს, ე.ი.
.

მაგალითი 1 . ყუთში არის 2 თეთრი, 3 წითელი და 5 ლურჯი ბურთი. ბურთები აურიეთ და ერთი შემთხვევით იხატება. რა არის ალბათობა იმისა, რომ ბურთი ფერადია?

გადაწყვეტილება . ავღნიშნოთ მოვლენები:

ა=(ფერადი ბურთი ამოღებულია);

ბ=(დახატული თეთრი ბურთი);

C=(წითელი ბურთი გათამაშებულია);

დ=(ცისფერი ბურთი ამოღებულია).

მერე ა= C+ დ. მოვლენებიდან მოყოლებული C, დშეუთავსებელია, მაშინ ვიყენებთ შეუთავსებელი მოვლენების ალბათობების შეკრების თეორემას: .

მაგალითი 2 . ურნა შეიცავს 4 თეთრ და 6 შავ ბურთულას. ურნიდან შემთხვევით იშლება 3 ბურთი. რა არის იმის ალბათობა, რომ ისინი ყველა ერთნაირი ფერისაა?

გადაწყვეტილება . ავღნიშნოთ მოვლენები:

ა\u003d (იგივე ფერის ბურთები ამოღებულია);

ბ\u003d (თეთრი ბურთები ამოღებულია);

C= (შავი ბურთები ამოღებულია).

როგორც ა= ბ+ Cდა მოვლენები ATდა თანშეუთავსებელია, შემდეგ შეუთავსებელი მოვლენების ალბათობების მიმატების თეორემით
. მოვლენის ალბათობა ATუდრის
, სად
4,

. შემცვლელი კდა ნფორმულაში და მიიღეთ
ანალოგიურად, ჩვენ ვპოულობთ მოვლენის ალბათობას თან:
, სად
,
, ე.ი.
. მერე
.

მაგალითი 3 . 36 ბანქოსგან შემდგარი გემბანიდან, შემთხვევით იშლება 4 კარტი. იპოვეთ ალბათობა, რომ მათ შორის იქნება მინიმუმ სამი ტუზი.

გადაწყვეტილება . ავღნიშნოთ მოვლენები:

ა\u003d (გათამაშებულ ბარათებს შორის არის მინიმუმ სამი ტუზი);

ბ\u003d (გათამაშებულ ბარათებს შორის არის სამი ტუზი);

C= (გაღებულ კარტებს შორის არის ოთხი ტუზი).

როგორც ა= ბ+ Cდა მოვლენები ATდა თანარათანმიმდევრული, მაშინ
. მოდი მოვძებნოთ მოვლენების ალბათობა ATდა თან:

,
. მაშასადამე, ალბათობა იმისა, რომ გათამაშებულ კარტებს შორის არის მინიმუმ სამი ტუზი ტოლია

0.0022.

ალბათობის გამრავლება

მუშაობა ორი მოვლენა მაგრამდა ATმოვლენას უწოდებენ თან, რომელიც შედგება ამ მოვლენების ერთობლივი წარმოშობისგან:
. ეს განმარტება ვრცელდება ნებისმიერი სასრული რაოდენობის მოვლენაზე.

ორ მოვლენას ე.წ დამოუკიდებელი თუ ერთი მათგანის დადგომის ალბათობა არ არის დამოკიდებული იმაზე, მოხდა თუ არა მეორე მოვლენა. Ივენთი ,, … ,დაურეკა კოლექტიურად დამოუკიდებელი , თუ თითოეული მათგანის დადგომის ალბათობა არ არის დამოკიდებული იმაზე, მოხდა თუ არა სხვა მოვლენები.

მაგალითი 4 . ორი ისარი ისვრის მიზანს. ავღნიშნოთ მოვლენები:

ა=(პირველი მსროლელი დაარტყა მიზანს);

ბ= (მეორე მსროლელმა მიზანს დაარტყა).

ცხადია, პირველი მსროლელის მიერ მიზანში მოხვედრის ალბათობა არ არის დამოკიდებული იმაზე, მოხვდა თუ გაუშვა მეორე მსროლელმა და პირიქით. ამიტომ მოვლენები მაგრამდა ATდამოუკიდებელი.

მოქმედებს დამოუკიდებელი მოვლენების ალბათობების გამრავლების თეორემა: ორი დამოუკიდებელი მოვლენის ნამრავლის ალბათობა უდრის ამ მოვლენების ალბათობების ნამრავლს : .

ეს თეორემა ასევე მოქმედებს ნმოვლენები, რომლებიც მთლიანობაში დამოუკიდებელია: .

მაგალითი 5 . ორი მსროლელი ისვრის ერთსა და იმავე მიზანს. პირველ მსროლელზე დარტყმის ალბათობა არის 0,9, ხოლო მეორე 0,7. ორივე მსროლელი თითო გასროლას ისვრის ერთდროულად. დაადგინეთ ალბათობა იმისა, რომ მიზანზე ორი დარტყმა იქნება.

გადაწყვეტილება . ავღნიშნოთ მოვლენები:

ა

ბ

C=(ორივე ისარი მიზანში მოხვდება).

როგორც
და მოვლენები მაგრამდა ATდამოუკიდებელი, მაშინ
, ე.ი.

Ივენთი მაგრამდა ATდაურეკა დამოკიდებული თუ ერთი მათგანის დადგომის ალბათობა დამოკიდებულია იმაზე, მოხდა თუ არა მეორე მოვლენა. მოვლენის ალბათობა მაგრამიმ პირობით, რომ ღონისძიება ATუკვე აქ არის, ჰქვია პირობითი ალბათობა და აღნიშნა
ან
.

მაგალითი 6 . ურნა შეიცავს 4 თეთრ და 7 შავ ბურთულას. ურნადან ბურთებს იღებენ. ავღნიშნოთ მოვლენები:

ა=(თეთრი ბურთი ამოღებულია) ;

ბ=(შავი ბურთი ამოღებულია).

სანამ ურნადან ბურთების დახატვას დაიწყებთ
. ურნადან ერთი ბურთი ამოღებულია და ის შავია. მაშინ მოვლენის ალბათობა მაგრამღონისძიების შემდეგ ATიქნება განსხვავებული, თანაბარი . ეს ნიშნავს, რომ მოვლენის ალბათობა მაგრამმოვლენაზე დამოკიდებული AT, ე.ი. ეს მოვლენები დამოკიდებული იქნება.

მართებულია დამოკიდებული მოვლენების ალბათობების გამრავლების თეორემა: ორი დამოკიდებული მოვლენის ნამრავლის ალბათობა უდრის ერთი მათგანის ალბათობის ნამრავლს მეორის პირობითი ალბათობით, გამოითვლება იმ ვარაუდით, რომ პირველი მოვლენა უკვე მოხდა., ე.ი. ან.

მაგალითი 7 . ურნა შეიცავს 4 თეთრ და 8 წითელ ბურთულას. მისგან შემთხვევით იშლება ორი ბურთი. იპოვეთ ალბათობა, რომ ორივე ბურთი შავია.

გადაწყვეტილება . ავღნიშნოთ მოვლენები:

ა=(პირველი გათამაშებულია შავი ბურთი);

ბ=(შავი ბურთი დახატულია მეორე).

Ივენთი მაგრამდა ATდამოკიდებული იმიტომ
, ა
. მერე
.

მაგალითი 8 . სამი ისარი ერთმანეთისგან დამოუკიდებლად ისვრის სამიზნეს. სამიზნეზე დარტყმის ალბათობა პირველი მსროლელისთვის არის 0,5, მეორესთვის - 0,6 და მესამესთვის - 0,8. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ ორი დარტყმა მოხდება, თუ თითოეული მსროლელი გაისროლს ერთ გასროლას.

გადაწყვეტილება . ავღნიშნოთ მოვლენები:

ა=(მიზანზე ორი დარტყმა იქნება);

ბ=(პირველი მსროლელი ხვდება მიზანს);

C=(მეორე მსროლელი მოხვდება მიზანში);

დ=(მესამე მსროლელი მოხვდება მიზანში);

=(პირველი მსროლელი არ მოხვდება მიზანში);

=(მეორე მსროლელი არ მოხვდება მიზანში);

=(მესამე მსროლელი არ მოხვდება მიზანში).

მაგალითის მიხედვით
,
,
,

,
,
. ვინაიდან შეუთავსებელი მოვლენების ალბათობის დამატების თეორემის და დამოუკიდებელი მოვლენების ალბათობების გამრავლების თეორემის გამოყენებით, მივიღებთ:

ნება მოვლენებს
შექმენით რაიმე სასამართლო პროცესისა და მოვლენების სრული ჯგუფი მაგრამშეიძლება მოხდეს მხოლოდ ერთი ამ მოვლენით. თუ ცნობილია მოვლენის ალბათობა და პირობითი ალბათობა მაგრამ, მაშინ A მოვლენის ალბათობა გამოითვლება ფორმულით:

ან
. ამ ფორმულას ე.წ საერთო ალბათობის ფორმულა და მოვლენები
ჰიპოთეზები .

მაგალითი 9 . ასამბლეის ხაზი იღებს 700 ნაწილს პირველი მანქანიდან და 300 ნაწილს მეორედან. პირველი მანქანა იძლევა 0,5% უარყოფას, ხოლო მეორე - 0,7%. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ აღებული ნივთი დეფექტურია.

გადაწყვეტილება . ავღნიშნოთ მოვლენები:

ა=(აღებული ნივთი იქნება დეფექტური);

= (ნაწილი მზადდება პირველ მანქანაზე);

= (ნაწილი დამზადებულია მეორე მანქანაზე).

ალბათობა იმისა, რომ ნაწილი დამზადდა პირველ მანქანაზე არის
. მეორე მანქანისთვის
. პირობით, პირველ მანქანაზე დამზადებული დეფექტური ნაწილის მიღების ალბათობა უდრის
. მეორე მანქანისთვის ეს ალბათობა უდრის
. შემდეგ ალბათობა იმისა, რომ აღებული ნაწილი დეფექტური იქნება, გამოითვლება საერთო ალბათობის ფორმულით

თუ ცნობილია, რომ მოვლენა მოხდა ტესტის შედეგად მაგრამ, მაშინ ალბათობა იმისა, რომ ეს მოვლენა მოხდა ჰიპოთეზასთან ერთად
, უდრის
, სად
- მოვლენის მთლიანი ალბათობა მაგრამ. ამ ფორმულას ე.წ ბეიზის ფორმულა და საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ მოვლენების ალბათობა
მას შემდეგ რაც ცნობილი გახდა, რომ ღონისძიება მაგრამუკვე ჩამოვიდა.

მაგალითი 10 . მანქანებისთვის იგივე ტიპის ნაწილები იწარმოება ორ ქარხანაში და მიდის მაღაზიაში. პირველი ქარხანა აწარმოებს ნაწილების მთლიანი რაოდენობის 80%-ს, ხოლო მეორე - 20%-ს. პირველი ქარხნის წარმოება შეიცავს სტანდარტული ნაწილების 90%-ს, ხოლო მეორის 95%-ს. მყიდველმა იყიდა ერთი ნაწილი და აღმოჩნდა სტანდარტული. იპოვეთ ალბათობა, რომ ეს ნაწილი მეორე ქარხანაშია დამზადებული.

გადაწყვეტილება . ავღნიშნოთ მოვლენები:

ა=(შეიძინა სტანდარტული ნაწილი);

= (ნაწილი მზადდება პირველ ქარხანაში);

= (ნაწილი მზადდება მეორე ქარხანაში).

მაგალითის მიხედვით
,
,
და
. გამოთვალეთ მოვლენის მთლიანი ალბათობა მაგრამ: 0.91. ალბათობა იმისა, რომ ნაწილი დამზადებულია მეორე ქარხანაში, გამოითვლება ბეიზის ფორმულით:

.

ამოცანები დამოუკიდებელი მუშაობისთვის

სამიზნეზე დარტყმის ალბათობა პირველი მსროლელისთვის არის 0,8, მეორესთვის - 0,7 და მესამესთვის - 0,9. მსროლელებმა ერთი გასროლა გაისროლეს. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ მიზანზე მინიმუმ ორი დარტყმაა.

სარემონტო მაღაზიამ მიიღო 15 ტრაქტორი. ცნობილია, რომ 6 მათგანს ძრავის გამოცვლა სჭირდება, დანარჩენს კი ცალკეული კომპონენტების შეცვლა. შემთხვევით შერჩეულია სამი ტრაქტორი. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ არაუმეტეს ორ შერჩეულ ტრაქტორს სჭირდება ძრავის გამოცვლა.

ბეტონის ქარხანა აწარმოებს პანელებს, რომელთა 80% უმაღლესი ხარისხისაა. იპოვეთ ალბათობა, რომ სამი შემთხვევით შერჩეული პანელიდან მინიმუმ ორი იყოს უმაღლესი კლასის.

სამი მუშა აწყობს საკისრებს. ალბათობა იმისა, რომ პირველი მუშის მიერ აწყობილი საკისარი იყოს უმაღლესი ხარისხის არის 0,7, მეორე - 0,8, ხოლო მესამე - 0,6. კონტროლისთვის, ერთი საკისარი შემთხვევით იქნა აღებული თითოეული მუშის მიერ აწყობილი საკისრებისგან. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ მინიმუმ ორი მათგანი უმაღლესი ხარისხისაა.

პირველი ნომრის ლატარიის ბილეთზე მოგების ალბათობაა 0,2, მეორეს - 0,3 და მესამეზე - 0,25. თითოეული ნომრისთვის არის ერთი ბილეთი. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ მინიმუმ ორი ბილეთი მოიგოს.

ბუღალტერი ახორციელებს გამოთვლებს სამი საცნობარო წიგნის გამოყენებით. ალბათობა იმისა, რომ მისთვის საინტერესო მონაცემები პირველ დირექტორიაშია 0,6, მეორეში - 0,7, ხოლო მესამეში - 0,8. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ ბუღალტრისთვის საინტერესო მონაცემები შეიცავს არაუმეტეს ორ დირექტორიაში.

სამი მანქანა ამზადებს ნაწილებს. პირველი ავტომატი აწარმოებს უმაღლესი ხარისხის ნაწილს 0,9 ალბათობით, მეორე 0,7 და მესამე 0,6 ალბათობით. თითოეული მანქანიდან შემთხვევით იღება ერთი ელემენტი. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ მინიმუმ ორი მათგანი უმაღლესი ხარისხისაა.

იგივე ტიპის ნაწილები მუშავდება ორ მანქანაზე. პირველი მანქანისთვის არასტანდარტული ნაწილის დამზადების ალბათობაა 0.03, მეორის - 0.02. დამუშავებული ნაწილები ერთ ადგილზეა დაწყობილი. მათ შორის 67% პირველი მანქანიდანაა, დანარჩენი კი მეორედან. შემთხვევით მიღებული მონაწილეობა სტანდარტული აღმოჩნდა. იპოვნეთ ალბათობა, რომ ის შეიქმნა პირველ მანქანაზე.

სახელოსნომ მიიღო იგივე ტიპის კონდენსატორების ორი ყუთი. პირველ ყუთში იყო 20 კონდენსატორი, საიდანაც 2 დეფექტური იყო. მეორე ყუთში არის 10 კონდენსატორი, რომელთაგან 3 გაუმართავია. კონდენსატორები გადაიტანეს ერთ ყუთში. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ ყუთიდან შემთხვევით აღებული კონდენსატორი კარგია.

სამ მანქანაზე მზადდება ერთი და იგივე ტიპის ნაწილები, რომლებიც მიეწოდება საერთო კონვეიერს. ყველა დეტალს შორის, 20% პირველი მანქანიდან, 30% მეორედან და 505 მესამედან. პირველ მანქანაზე სტანდარტული ნაწილის დამზადების ალბათობა არის 0.8, მეორეზე - 0.6 და მესამეზე - 0.7. მიღებული ნაწილი იყო სტანდარტული. იპოვეთ ალბათობა, რომ ეს ნაწილი მზადდება მესამე მანქანაზე.

ამომრჩეველი იღებს ნაწილების 40%-ს ქარხნიდან ასაწყობად მაგრამ, ხოლო დანარჩენი - ქარხნიდან AT. ალბათობა იმისა, რომ ნაწილი ქარხნიდან მაგრამ- უმაღლესი ხარისხის 0,8-ის ტოლი და ქარხნულიდან AT– 0.9. ამომრჩეველმა შემთხვევით აიღო ერთი ნაწილი და ის არ იყო უმაღლესი ხარისხის. იპოვეთ ალბათობა, რომ ეს ნაწილი ქარხნულიდან არის AT.

მოსწავლეთა სპორტულ შეჯიბრებებში მონაწილეობის მისაღებად პირველი ჯგუფიდან 10 მოსწავლე და მეორედან 8 მოსწავლე შეირჩა. ალბათობა იმისა, რომ პირველი ჯგუფიდან სტუდენტი მოხვდება აკადემიის ეროვნულ ნაკრებში არის 0,8, ხოლო მეორედან - 0,7. ეროვნული ნაკრებისთვის შემთხვევით შერჩეული მოსწავლე შეირჩა. იპოვეთ ალბათობა, რომ ის არის პირველი ჯგუფიდან.

ბერნულის ფორმულა

ტესტები ე.წ დამოუკიდებელი , თუ თითოეული მათგანისთვის ღონისძიება მაგრამხდება იგივე ალბათობით
, მიუხედავად იმისა, გამოჩნდა თუ არა ეს მოვლენა სხვა სასამართლო პროცესებში. საპირისპირო მოვლენის ალბათობა ამ შემთხვევაში უდრის
.

მაგალითი 11 . კამათლის სროლა ნერთხელ. აღნიშნე მოვლენა ა= (სამი ქულის დაცემა). მოვლენის ალბათობა მაგრამთითოეულ კვლევაში ტოლია და არ არის დამოკიდებული იმაზე, მოხდა თუ არა ეს მოვლენა სხვა ცდებში. ამიტომ, ეს ტესტები დამოუკიდებელია. საპირისპირო მოვლენის ალბათობა
(სამი ქულის არა მოძრავი) უდრის
.

ალბათობა იმისა, რომ ში ნდამოუკიდებელი ცდები, რომელთაგან თითოეულში მოვლენის დადგომის ალბათობა მაგრამუდრის გვ, მოვლენა ზუსტად მოხდება კჯერ (არ აქვს მნიშვნელობა რა თანმიმდევრობით), გამოითვლება ფორმულით
, სად
. ამ ფორმულას ე.წ ბერნულის ფორმულა და მოსახერხებელია, თუ ცდების რაოდენობა n არ არის ძალიან დიდი.

მაგალითი 12 . ლატენტური ფორმით დაავადებით ინფიცირებული ნაყოფის წილი 25%-ია. შემთხვევით შერჩეულია 6 ხილი. იპოვეთ ალბათობა, რომ რჩეულთა შორის იქნება: ა) ზუსტად 3 ინფიცირებული ნაყოფი; ბ) არაუმეტეს ორი ინფიცირებული ხილისა.

გადაწყვეტილება . მაგალითის მიხედვით.

ა) ბერნულის ფორმულის მიხედვით, ალბათობა იმისა, რომ ექვსი შერჩეული ხილიდან ზუსტად სამი დაინფიცირდება, უდრის

0.132.

ბ) აღნიშნეთ მოვლენა ა=(დაინფიცირებული იქნება არაუმეტეს ორი ნაყოფი). მაშინ . ბერნულის ფორმულის მიხედვით:

0.297.

აქედან გამომდინარე,
0.178+0.356+0.297=0.831.

ლაპლასისა და პუასონის თეორემები

ბერნულის ფორმულა გამოიყენება მოვლენის ალბათობის დასადგენად მაგრამმოვა კერთხელ ნდამოუკიდებელი ცდები და ყოველ ცდაში მოვლენის ალბათობა მაგრამმუდმივი. n-ის დიდი მნიშვნელობებისთვის, ბერნულის ფორმულის გამოყენებით გამოთვლები შრომატევადი ხდება. ამ შემთხვევაში მოვლენის ალბათობის გამოთვლა მაგრამუმჯობესია გამოიყენოთ სხვა ფორმულა.

ლოკალური ლაპლასის თეორემა . დაე, ალბათობა გვღონისძიება მაგრამთითოეულ ტესტში არის მუდმივი და განსხვავდება ნულიდან და ერთიდან. მაშინ ალბათობა იმისა, რომ მოვლენა მაგრამმოდის ზუსტად კჯერ საკმარისად დიდი რაოდენობის n ტესტისთვის, გამოითვლება ფორმულით

, სად
და ფუნქციის მნიშვნელობები
მოცემულია ცხრილში.

ფუნქციის ძირითადი თვისებები
არიან:

ფუნქცია
არის განსაზღვრული და უწყვეტი ინტერვალში
.

ფუნქცია
დადებითია, ე.ი.
>0.

ფუნქცია
თუნდაც, ე.ი.
.

ფუნქციიდან გამომდინარე
არის ლუწი, მაშინ ცხრილი აჩვენებს მის მნიშვნელობებს მხოლოდ დადებითი მნიშვნელობებისთვის X.

მაგალითი 13 . ხორბლის თესლის გაღივება შეადგენს 80%-ს. ექსპერიმენტისთვის შერჩეულია 100 თესლი. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ შერჩეული თესლიდან ზუსტად 90 აღმოჩნდება.

გადაწყვეტილება . მაგალითის მიხედვით ნ=100, კ=90, გვ=0.8, ქ=1-0.8=0.2. მერე
. ცხრილის მიხედვით ვპოულობთ ფუნქციის მნიშვნელობას
:
. ალბათობა იმისა, რომ შერჩეული თესლიდან ზუსტად 90 აღმოჩნდება, არის
0.0044.

პრაქტიკული პრობლემების გადაჭრისას საჭირო ხდება მოვლენის დადგომის ალბათობის პოვნა მაგრამზე ნდამოუკიდებელი ტესტები მაინც ერთხელ და მეტი არა ერთხელ. ეს პრობლემა მოგვარებულია დახმარებით ლაპლასის ინტეგრალური თეორემა : მოდით ალბათობა გვღონისძიება მაგრამთითოეულში ნდამოუკიდებელი ტესტები მუდმივია და განსხვავდება ნულისაგან და ერთიანისგან. მაშინ ალბათობა იმისა, რომ მოვლენა მოხდება, არის მინიმუმ ერთხელ და მეტი არა ჯერ საკმარისად დიდი რაოდენობის ტესტებისთვის, გამოითვლება ფორმულით

სად
,
.

ფუნქცია
დაურეკა ლაპლასის ფუნქცია და არ არის გამოხატული ელემენტარული ფუნქციებით. ამ ფუნქციის მნიშვნელობები მოცემულია სპეციალურ ცხრილებში.

ფუნქციის ძირითადი თვისებები
არიან:

.

ფუნქცია
იზრდება ინტერვალში
.

ზე
.

ფუნქცია
კენტი, ე.ი.
.

მაგალითი 14 . კომპანია აწარმოებს პროდუქტებს, რომელთა 13% არ არის უმაღლესი ხარისხის. დაადგინეთ ალბათობა იმისა, რომ 150 ერთეული უმაღლესი ხარისხის პროდუქტის შეუმოწმებელ პარტიაში იქნება მინიმუმ 125 და მაქსიმუმ 135.

გადაწყვეტილება . აღვნიშნოთ. გამოთვლა
,

განიხილება ექსპერიმენტი ე. ვარაუდობენ, რომ ეს შეიძლება განმეორდეს. ექსპერიმენტის შედეგად შეიძლება გამოჩნდეს სხვადასხვა მოვლენა, რომლებიც ქმნიან გარკვეულ კომპლექტს ფ. დაკვირვებული მოვლენები იყოფა სამ ტიპად: საიმედო, შეუძლებელი, შემთხვევითი.

სანდო მოვლენას ეწოდება მოვლენა, რომელიც აუცილებლად მოხდება ექსპერიმენტის შედეგად. ე. აღინიშნება Ω.

შეუძლებელია მოვლენას ეწოდება მოვლენა, რომელიც არ არის ცნობილი ექსპერიმენტის შედეგად. ე. დანიშნულია .

შემთხვევითი მოვლენას, რომელიც შეიძლება მოხდეს ან არ მოხდეს ექსპერიმენტის შედეგად, ეწოდება ე.

დამატებითი (საპირისპირო) ღონისძიება მაგრამეწოდება მოვლენას, აღინიშნება , რომელიც ხდება მაშინ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მოვლენა არ მოხდება მაგრამ.

ჯამი (კომბინაცია) მოვლენები არის მოვლენა, რომელიც ხდება მაშინ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ამ მოვლენათაგან ერთი მაინც მოხდება (სურათი 3.1). აღნიშვნები .

სურათი 3.1

პროდუქტი (კვეთა) მოვლენებს ეწოდება მოვლენა, რომელიც ხდება მაშინ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ყველა ეს მოვლენა მოხდება ერთად (ერთდროულად) (სურათი 3.2). აღნიშვნები . ცხადია, მოვლენები A და B შეუთავსებელი , თუ .

სურათი 3.2

მოვლენების სრული ჯგუფი მოვლენათა ერთობლიობას უწოდებენ, რომელთა ჯამი არის გარკვეული მოვლენა:

ღონისძიება ATდაურეკა მოვლენის განსაკუთრებული შემთხვევა მაგრამ, თუ მოვლენის გამოჩენასთან ერთად ATჩნდება მოვლენა მაგრამ. ასევე ნათქვამია, რომ ღონისძიება ATიწვევს მოვლენას მაგრამ(სურათი 3.3). Დანიშნულება .

სურათი 3.3

Ივენთი მაგრამდა ATდაურეკა ექვივალენტი თუ ისინი წარმოიქმნება ან არ ხდება ერთად ექსპერიმენტის დროს ე. Დანიშნულება . ცხადია, თუ

რთული მოვლენა ეწოდება დაკვირვებულ მოვლენას, რომელიც გამოხატულია იმავე ექსპერიმენტში დაფიქსირებული სხვა მოვლენებით ალგებრული მოქმედებების გამოყენებით.

კონკრეტული რთული მოვლენის განხორციელების ალბათობა გამოითვლება ალბათობათა შეკრებისა და გამრავლების ფორმულების გამოყენებით.

მიმატების თეორემა

შედეგები:

1) მოვლენების შემთხვევაში მაგრამდა ATარათანმიმდევრულია, მიმატების თეორემა იღებს ფორმას:

2) სამი წევრის შემთხვევაში, მიმატების თეორემა შეიძლება დაიწეროს როგორც

3) ურთიერთსაპირისპირო მოვლენების ალბათობების ჯამი უდრის 1-ს:

მოვლენათა ერთობლიობა ,, ..., ე.წ მოვლენების სრული ჯგუფი , თუ

სრული ჯგუფის შემქმნელი მოვლენების ალბათობების ჯამი უდრის 1-ს:

მოვლენის დადგომის ალბათობა მაგრამიმ პირობით, რომ ღონისძიება ATმოხდა, დაურეკა პირობითი ალბათობა და აღვნიშნავთ ან.

მაგრამდა AT – დამოკიდებული მოვლენები , თუ .

მაგრამდა AT – დამოუკიდებელი ღონისძიებები , თუ .

ალბათობის გამრავლების თეორემა

შედეგები:

1) დამოუკიდებელი ღონისძიებებისთვის მაგრამდა AT

2) ზოგად შემთხვევაში, სამი მოვლენის ნამრავლისთვის, ალბათობის გამრავლების თეორემა აქვს ფორმა:

პრობლემის გადაჭრის ნიმუშები

მაგალითი1 - სამი ელემენტი სერიულად არის დაკავშირებული ელექტრულ წრეში, რომლებიც მუშაობენ ერთმანეთისგან დამოუკიდებლად. პირველი, მეორე და მესამე ელემენტების წარუმატებლობის ალბათობა შესაბამისად უდრის ,,-ს. იპოვეთ ალბათობა, რომ წრეში დენი არ იყოს.

გადაწყვეტილება

პირველი გზა.

დავნიშნოთ მოვლენები: - წრეში იყო პირველი, მეორე და მესამე ელემენტების მარცხი, შესაბამისად.

ღონისძიება მაგრამ- წრეში არ იქნება დენი (ერთ-ერთი ელემენტი მაინც ჩავარდება, რადგან ისინი სერიულად არის დაკავშირებული).

მოვლენა - დენი წრეში (მუშაობს სამი ელემენტი), . საპირისპირო მოვლენების ალბათობა დაკავშირებულია ფორმულით (3.4). მოვლენა არის სამი მოვლენის პროდუქტი, რომლებიც წყვილში დამოუკიდებელია. დამოუკიდებელი მოვლენების ალბათობის გამრავლების თეორემით ვიღებთ

მაშინ სასურველი მოვლენის ალბათობა არის .

მეორე გზა.

ადრე მიღებული აღნიშვნის გათვალისწინებით ვწერთ სასურველ მოვლენას მაგრამ- მინიმუმ ერთი ელემენტი ვერ იქნება:

ვინაიდან ჯამში შემავალი ტერმინები თავსებადია, ჩვენ უნდა გამოვიყენოთ ალბათობის დამატების თეორემა ზოგადი ფორმით სამი ტერმინის შემთხვევისთვის (3.3):

პასუხი: 0,388.

ამოცანები დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის

1 სამკითხველო ოთახში ალბათობის თეორიის ექვსი სახელმძღვანელოა, რომელთაგან სამი აკინძულია. ბიბლიოთეკარმა შემთხვევით აიღო ორი სახელმძღვანელო. იპოვნეთ ალბათობა იმისა, რომ ორივე სახელმძღვანელო დაკვრის.

2 ტომარაში შერეულია ძაფები, რომელთაგან 30% თეთრია, დანარჩენი კი წითელი. დაადგინეთ ალბათობა იმისა, რომ შემთხვევით შედგენილი ორი ძაფი იქნება: ერთი და იგივე ფერის; სხვადასხვა ფერები.

3 მოწყობილობა შედგება სამი ელემენტისგან, რომლებიც დამოუკიდებლად მუშაობენ. პირველი, მეორე და მესამე ელემენტების გარკვეული პერიოდის განმავლობაში უპრობლემოდ მუშაობის ალბათობა არის 0,6; 0.7; 0.8. იპოვეთ ალბათობა, რომ ამ დროის განმავლობაში უშეცდომოდ იმუშავებს: მხოლოდ ერთი ელემენტი; მხოლოდ ორი ელემენტი; სამივე ელემენტი; მინიმუმ ორი ელემენტი.

4 სამი კამათელი იყრება. იპოვნეთ შემდეგი მოვლენების ალბათობა:

ა) გამოტოვებულთა თითოეულ მხარეს გამოჩნდება ხუთი ქულა;

ბ) ყველა დავარდნილ სახეზე ქულების ერთნაირი რაოდენობა გამოჩნდება;

გ) ორ დავარდნილ სახეზე გამოჩნდება ერთი წერტილი, ხოლო მესამეზე - ქულების სხვა რაოდენობა;

დ) ქულების განსხვავებული რაოდენობა გამოჩნდება ყველა დავარდნილ სახეზე.

5 მსროლელის ერთი გასროლით მიზანში მოხვედრის ალბათობა არის 0,8. რამდენი გასროლა უნდა გაისროლოს მსროლელმა ისე, რომ 0,4-ზე ნაკლები ალბათობით, მოსალოდნელია, რომ გაშვება არ იქნება?

6 1, 2, 3, 4, 5 რიცხვებიდან ჯერ ირჩევა ერთი, შემდეგ კი დარჩენილი ოთხიდან - მეორე ციფრი. 20-ვე შესაძლო შედეგი ითვლება თანაბრად სავარაუდო. იპოვეთ კენტი ციფრის არჩევის ალბათობა: პირველად; მეორედ; ორივე ჯერ.

7 ალბათობა იმისა, რომ მაღაზიის მამაკაცის ფეხსაცმლის განყოფილებაში ისევ გაიყიდება 46 ზომის ფეხსაცმლის წყვილი არის 0,01. რამდენი წყვილი ფეხსაცმელი უნდა გაიყიდოს მაღაზიაში, რომ მინიმუმ 0,9-ის ალბათობით შეიძლება მოელოდეს მინიმუმ ერთი წყვილი 46 ზომის ფეხსაცმლის გაყიდვას?

8 ყუთში არის 10 ნაწილი, მათ შორის ორი არასტანდარტული. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ ექვს შემთხვევით შერჩეულ ნაწილში იქნება მაქსიმუმ ერთი არასტანდარტული.

9 ტექნიკური კონტროლის განყოფილება ამოწმებს პროდუქტებს სტანდარტისთვის. ალბათობა იმისა, რომ პროდუქტი არასტანდარტულია არის 0.1. იპოვეთ ალბათობა, რომ:

ა) შემოწმებული სამი პროდუქტიდან მხოლოდ ორი იქნება არასტანდარტული;

ბ) მხოლოდ რიგით მეოთხე შემოწმებული პროდუქტი იქნება არასტანდარტული.

10 გაყოფილი ანბანის ბარათებზე რუსული ანბანის 32 ასოა დაწერილი:

ა) სამი კარტი დგება შემთხვევით, ერთმანეთის მიყოლებით და იდება მაგიდაზე იმ თანმიმდევრობით, როგორც ჩანს. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ სიტყვა „სამყარო“ აღმოჩნდეს;

ბ) გათამაშებული სამი კარტი შეიძლება თვითნებურად შეიცვალოს. რა არის ალბათობა იმისა, რომ მათ შეუძლიათ შექმნან სიტყვა "სამყარო"?

11 მებრძოლი თავს ესხმის ბომბდამშენს და ისვრის ორ დამოუკიდებელ აფეთქებას. პირველი აფეთქებით ბომბდამშენის ჩამოგდების ალბათობა არის 0,2, ხოლო მეორე 0,3. თუ ბომბდამშენი არ ჩამოაგდეს, ის ესვრის მებრძოლს მკაცრი თოფებიდან და ჩამოაგდებს მას 0,25 ალბათობით. იპოვეთ ალბათობა, რომ ბომბდამშენი ან გამანადგურებელი ჩამოაგდეს საჰაერო ბრძოლის შედეგად.

Საშინაო დავალება

1 საერთო ალბათობის ფორმულა. ბეიზის ფორმულა.

2 პობლემების მოგვარება

დავალება1 . მუშა ინახავს სამ მანქანას, რომლებიც ერთმანეთისგან დამოუკიდებლად მუშაობენ. ალბათობა იმისა, რომ პირველი მანქანა არ საჭიროებს მუშის ყურადღებას ერთი საათის განმავლობაში არის 0,9, მეორე - 0,8, მესამე - 0,85. იპოვეთ ალბათობა, რომ ერთ საათში მინიმუმ ერთი მანქანა მოითხოვს მუშის ყურადღებას.

დავალება2 . კომპიუტერულ ცენტრს, რომელიც მუდმივად უნდა ამუშავებდეს შემოსულ ინფორმაციას, აქვს ორი გამოთვლითი მოწყობილობა. ცნობილია, რომ თითოეულ მათგანს აქვს გარკვეული დროის განმავლობაში წარუმატებლობის ალბათობა 0,2-ის ტოლი. ალბათობის დასადგენად საჭიროა:

ა) ის ფაქტი, რომ ერთ-ერთი მოწყობილობა გაფუჭდება, ხოლო მეორე კარგ მდგომარეობაში იქნება;

ბ) თითოეული მოწყობილობის უპრობლემოდ მუშაობა.

დავალება3 . ოთხი მონადირე დათანხმდა თამაშში სროლაზე გარკვეული თანმიმდევრობით: შემდეგი მონადირე ისვრის მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ წინა აცდენს. პირველი მონადირის დარტყმის ალბათობა არის 0,6, მეორესთვის - 0,7, მესამესთვის - 0,8. იპოვნეთ გასროლის ალბათობა:

დ) ოთხი.

დავალება4 . ნაწილი გადის ოთხი დამუშავების ოპერაციას. პირველ ოპერაციაზე დაქორწინების ალბათობა არის 0,01, მეორეზე - 0,02, მესამეზე - 0,03, მეოთხეზე - 0,04. იპოვეთ ნაწილის მიღების ალბათობა დეფექტების გარეშე ოთხი ოპერაციის შემდეგ, იმ ვარაუდით, რომ ცალკეულ ოპერაციებში დეფექტების მიღების მოვლენები დამოუკიდებელია.

ალბათობებზე მოქმედებების საჭიროება ჩნდება მაშინ, როდესაც ცნობილია ზოგიერთი მოვლენის ალბათობა და უნდა გამოითვალოს სხვა მოვლენების ალბათობა, რომლებიც დაკავშირებულია ამ მოვლენებთან.

ალბათობის დამატება გამოიყენება მაშინ, როდესაც აუცილებელია გამოთვალოთ ალბათობა კომბინაციის ან შემთხვევითი მოვლენების ლოგიკური ჯამის.

მოვლენების ჯამი ადა ბდანიშნოს ა + ბან ა ∪ ბ. ორი მოვლენის ჯამი არის მოვლენა, რომელიც ხდება მაშინ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მოხდება ერთ-ერთი მოვლენა მაინც. Ეს ნიშნავს, რომ ა + ბ- მოვლენა, რომელიც ხდება თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მოვლენა ხდება დაკვირვების დროს აან მოვლენა ბ, ან ამავე დროს ადა ბ.

თუ მოვლენები ადა ბერთმანეთის შეუსაბამობაა და მოცემულია მათი ალბათობა, ალბათობა იმისა, რომ ერთ-ერთი ეს მოვლენა მოხდეს ერთი ცდის შედეგად, გამოითვლება ალბათობების დამატებით.

ალბათობათა შეკრების თეორემა.ალბათობა იმისა, რომ მოხდეს ორი ურთიერთშეთავსებადი მოვლენიდან ერთი, უდრის ამ მოვლენების ალბათობების ჯამს:

მაგალითად, ნადირობისას ორი გასროლა მოხდა. ღონისძიება მაგრამ– იხვის დარტყმა პირველი გასროლიდან, მოვლენა AT– დარტყმა მეორე გასროლიდან, მოვლენა ( მაგრამ+ AT) - დარტყმა პირველი ან მეორე გასროლიდან ან ორი გასროლიდან. ასე რომ, თუ ორი მოვლენა მაგრამდა ATშეუთავსებელი მოვლენებია, მაშინ მაგრამ+ AT- ამ მოვლენებიდან მინიმუმ ერთი ან ორი მოვლენის დადგომა.

მაგალითი 1ყუთი შეიცავს იმავე ზომის 30 ბურთულას: 10 წითელი, 5 ლურჯი და 15 თეთრი. გამოთვალეთ ალბათობა იმისა, რომ ფერადი (არა თეთრი) ბურთი აიღეს შეხედვის გარეშე.

გადაწყვეტილება. დავუშვათ, რომ მოვლენა მაგრამ– „წითელი ბურთი აღებულია“ და ღონისძიება AT- "ლურჯი ბურთი აღებულია." შემდეგ ღონისძიება არის "ფერადი (არა თეთრი) ბურთის აღება". იპოვნეთ მოვლენის ალბათობა მაგრამ:

და მოვლენები AT:

Ივენთი მაგრამდა AT- ურთიერთ შეუთავსებელია, რადგან თუ ერთი ბურთი აიღეთ, მაშინ სხვადასხვა ფერის ბურთების აღება შეუძლებელია. ამიტომ, ჩვენ ვიყენებთ ალბათობების დამატებას:

რამდენიმე შეუთავსებელი მოვლენისთვის ალბათობების დამატების თეორემა.თუ მოვლენები ქმნიან მოვლენათა სრულ სიმრავლეს, მაშინ მათი ალბათობების ჯამი უდრის 1-ს:

საპირისპირო მოვლენების ალბათობების ჯამი ასევე უდრის 1-ს:

საპირისპირო მოვლენები ქმნიან მოვლენების სრულ კრებულს, ხოლო მოვლენების სრული ნაკრების ალბათობა არის 1.

საპირისპირო მოვლენების ალბათობა ჩვეულებრივ აღინიშნება მცირე ასოებით. გვდა ქ. Კერძოდ,

საიდანაც გამომდინარეობს საპირისპირო მოვლენების ალბათობის შემდეგი ფორმულები:

მაგალითი 2სამიზნე ტირეში იყოფა 3 ზონად. იმის ალბათობა, რომ გარკვეულმა მსროლელმა პირველ ზონაში ისროლოს სამიზნე არის 0,15, მეორე ზონაში - 0,23, მესამე ზონაში - 0,17. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ მსროლელმა მიზანს დაარტყა და ალბათობა იმისა, რომ მსროლელმა მიზანს გაუშვა.

გამოსავალი: იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ მსროლელმა მიზანში მოხვდა:

იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ მსროლელმა მიზანს გაუშვა:

უფრო რთული ამოცანები, რომლებშიც თქვენ უნდა გამოიყენოთ როგორც შეკრება, ასევე ალბათობების გამრავლება - გვერდზე "სხვადასხვა დავალებები ალბათობის შეკრებისა და გამრავლებისთვის" .

ორმხრივი ერთობლივი მოვლენების ალბათობების დამატება

ორი შემთხვევითი მოვლენა ერთობლივად ითვლება, თუ ერთი მოვლენის დადგომა არ გამორიცხავს მეორე მოვლენის დადგომას იმავე დაკვირვებაში. მაგალითად, კამათლის სროლისას მოვლენა მაგრამითვლება მე-4 რიცხვის და მოვლენად AT- ლუწი რიცხვის ჩამოგდება. ვინაიდან რიცხვი 4 არის ლუწი რიცხვი, ეს ორი მოვლენა თავსებადია. პრაქტიკაში, არსებობს დავალებები ერთ-ერთი ერთობლივი მოვლენის დადგომის ალბათობის გამოსათვლელად.

ერთობლივი მოვლენების ალბათობების დამატების თეორემა.ალბათობა, რომ მოხდეს ერთ-ერთი ერთობლივი მოვლენა, უდრის ამ მოვლენების ალბათობების ჯამს, საიდანაც გამოკლებულია ორივე მოვლენის საერთო დადგომის ალბათობა, ანუ ალბათობების ნამრავლი. ერთობლივი მოვლენების ალბათობის ფორმულა ასეთია:

რადგან მოვლენები მაგრამდა ATთავსებადი, მოვლენა მაგრამ+ ATხდება თუ სამი შესაძლო მოვლენადან ერთ-ერთი მოხდება: ან AB. შეუთავსებელი მოვლენების დამატების თეორემის მიხედვით ვიანგარიშებთ შემდეგნაირად:

ღონისძიება მაგრამხდება, თუ მოხდება ორი შეუთავსებელი მოვლენადან ერთი: ან AB. თუმცა, ერთი მოვლენის დადგომის ალბათობა რამდენიმე შეუთავსებელი მოვლენიდან უდრის ყველა ამ მოვლენის ალბათობის ჯამს:

ანალოგიურად:

გამონათქვამების (6) და (7) ჩანაცვლებით გამოსახულებით (5), ჩვენ ვიღებთ ერთობლივი მოვლენების ალბათობის ფორმულას:

ფორმულის (8) გამოყენებისას გასათვალისწინებელია, რომ მოვლენები მაგრამდა ATშეიძლება იყოს:

• ორმხრივად დამოუკიდებელი;
• ორმხრივად დამოკიდებული.

ორმხრივად დამოუკიდებელი მოვლენების ალბათობის ფორმულა:

ორმხრივად დამოკიდებული მოვლენების ალბათობის ფორმულა:

თუ მოვლენები მაგრამდა ATარათანმიმდევრულია, მაშინ მათი დამთხვევა შეუძლებელი შემთხვევაა და, ამრიგად, პ(AB) = 0. შეუთავსებელი მოვლენების მეოთხე ალბათობის ფორმულა ასეთია:

მაგალითი 3ავტორბოლაში, პირველი მანქანით მართვისას, გამარჯვების ალბათობა, მეორე მანქანით მართვისას. Პოვნა:

• ორივე მანქანის მოგების ალბათობა;
• ალბათობა იმისა, რომ მინიმუმ ერთი მანქანა მოიგოს;

1) პირველი მანქანის მოგების ალბათობა არ არის დამოკიდებული მეორე მანქანის შედეგზე, ამიტომ მოვლენები მაგრამ(პირველი მანქანა იგებს) და AT(მეორე მანქანა იგებს) - დამოუკიდებელი ღონისძიებები. იპოვეთ ორივე მანქანის მოგების ალბათობა:

2) იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ ორი მანქანიდან ერთ-ერთი მოიგოს:

უფრო რთული ამოცანები, რომლებშიც თქვენ უნდა გამოიყენოთ როგორც შეკრება, ასევე ალბათობების გამრავლება - გვერდზე "სხვადასხვა დავალებები ალბათობის შეკრებისა და გამრავლებისთვის" .

თავად გადაჭრით ალბათობების დამატების პრობლემა და შემდეგ გადახედეთ გამოსავალს

მაგალითი 4ორი მონეტა იყრება. ღონისძიება ა- გერბის დაკარგვა პირველ მონეტაზე. ღონისძიება ბ- გერბის დაკარგვა მეორე მონეტაზე. იპოვნეთ მოვლენის ალბათობა C = ა + ბ .

ალბათობის გამრავლება

ალბათობათა გამრავლება გამოიყენება, როდესაც უნდა გამოითვალოს მოვლენათა ლოგიკური ნამრავლის ალბათობა.

ამ შემთხვევაში, შემთხვევითი მოვლენები დამოუკიდებელი უნდა იყოს. ორი მოვლენა ითვლება ურთიერთდამოუკიდებელად, თუ ერთი მოვლენის დადგომა გავლენას არ ახდენს მეორე მოვლენის დადგომის ალბათობაზე.

ალბათობის გამრავლების თეორემა დამოუკიდებელი მოვლენებისთვის.ორი დამოუკიდებელი მოვლენის ერთდროული წარმოშობის ალბათობა მაგრამდა ATუდრის ამ მოვლენების ალბათობების ნამრავლს და გამოითვლება ფორმულით:

მაგალითი 5მონეტა ზედიზედ სამჯერ ისროლება. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ გერბი სამჯერ ამოვარდეს.

გადაწყვეტილება. ალბათობა იმისა, რომ გერბი დაეცემა მონეტის პირველ გადაგდებაზე, მეორედ და მესამედ. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ გერბი სამჯერ ამოვარდეს:

თავად გადაჭრით პრობლემები ალბათობების გასამრავლებლად და შემდეგ გადახედეთ გამოსავალს

მაგალითი 6არის ყუთი ჩოგბურთის ცხრა ახალი ბურთით. სამი ბურთი იღებენ თამაშს, თამაშის შემდეგ უკან აბრუნებენ. ბურთების არჩევისას არ განასხვავებენ დათამაშებულ და უთამაშებელ ბურთებს. რა არის იმის ალბათობა, რომ სამი თამაშის შემდეგ ყუთში არ იყოს უთამაშებელი ბურთი?

მაგალითი 7ამოჭრილ ანბანურ ბარათებზე რუსული ანბანის 32 ასოა დაწერილი. ხუთი კარტი დგება შემთხვევით, ერთმანეთის მიყოლებით და მაგიდაზე განთავსებული თანმიმდევრობით. იპოვნეთ ალბათობა იმისა, რომ ასოები წარმოადგენენ სიტყვას "ბოლო".

მაგალითი 8კარტების სრული დასტადან (52 ფურცელი) ამოღებულია ოთხი კარტი ერთდროულად. იპოვეთ ალბათობა, რომ ოთხივე კარტი ერთნაირია.

მაგალითი 9იგივე პრობლემა, როგორც მე-8 მაგალითში, მაგრამ თითოეული კარტი ბრუნდება გემბანზე გათამაშების შემდეგ.

უფრო რთული ამოცანები, რომლებშიც თქვენ უნდა გამოიყენოთ როგორც შეკრება, ასევე ალბათობების გამრავლება, ასევე გამოთვალოთ რამდენიმე მოვლენის პროდუქტი, გვერდზე "სხვადასხვა დავალებები ალბათობის შეკრებისა და გამრავლებისთვის".

ალბათობა იმისა, რომ მოხდება სულ მცირე ერთი ურთიერთდამოუკიდებელი მოვლენა, შეიძლება გამოითვალოს საპირისპირო მოვლენების ალბათობების ნამრავლის გამოკლებით 1-დან, ანუ ფორმულით:

მაგალითი 10ტვირთების მიწოდება ხდება სამი სახის ტრანსპორტით: მდინარის, სარკინიგზო და საავტომობილო ტრანსპორტით. მდინარის ტრანსპორტით ტვირთის მიწოდების ალბათობაა 0,82, რკინიგზით 0,87, საავტომობილო გზით 0,90. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ საქონელი მიწოდებული იქნება ტრანსპორტის სამი რეჟიმიდან მინიმუმ ერთით.