მე-7 კლასი

„იდენტობები. გამონათქვამების იდენტობის ტრანსფორმაცია“.

აბდულკერიმოვა ხადიჟატ მახმუდოვნა,

მათემატიკის მასწავლებელი

გაკვეთილის მიზნები

„იდენტური თანაბარი გამონათქვამების“, „იდენტურობის“, „იდენტური გარდაქმნების“ ცნებების გაცნობა და თავიდან კონსოლიდაცია;

განიხილოს ვინაობის დადასტურების გზები, ხელი შეუწყოს იდენტობის დადასტურების უნარების განვითარებას;

შეამოწმოს მოსწავლეთა მიერ გაშუქებული მასალის ათვისება, ჩამოუყალიბოს შესწავლილის გამოყენების უნარები ახლის აღქმაში.

გაკვეთილის ტიპი: ახალი მასალის სწავლა

აღჭურვილობა : დაფა, სახელმძღვანელო, სამუშაო წიგნი.

პ ლან გაკვეთილი

ორგანიზების დრო

საშინაო დავალების შემოწმება

ცოდნის განახლება

ახალი მასალის შესწავლა („იდენტობის“, „იდენტური გარდაქმნების“ ცნებების შესავალი და პირველადი კონსოლიდაცია).

სასწავლო სავარჯიშოები („იდენტობის“, „იდენტური გარდაქმნების“ ცნებების ფორმირება).

გაკვეთილის რეფლექსია (გაკვეთილზე მიღებული თეორიული ინფორმაციის შეჯამება).

საშინაო დავალების შეტყობინება (განმარტეთ საშინაო დავალების შინაარსი)

გაკვეთილების დროს

I. საორგანიზაციო მომენტი.

II . საშინაო დავალების შემოწმება. (წინა)

III . ცოდნის განახლება.

მიეცით რიცხვითი გამოხატვისა და ცვლადებით გამოხატვის მაგალითი

შეადარეთ x+3 და 3x გამონათქვამების მნიშვნელობები x=-4-ზე; 1.5; 5

რა რიცხვზე არ შეიძლება დაიყოს? (0)

გამრავლების შედეგი? (სამუშაო)

ყველაზე დიდი ორნიშნა რიცხვი? (99)

რა არის პროდუქტი -200-დან 200-მდე? (0)

გამოკლების შედეგი. (განსხვავება)

რამდენი გრამია კილოგრამში? (1000)

მიმატების კომუტაციური თვისება. (ვადების ადგილების გადალაგებიდან თანხა არ იცვლება)

გამრავლების კომუტაციური თვისება. (პროდუქტი არ იცვლება ფაქტორების ადგილების პერმუტაციიდან)

დამატების ასოციაციური თვისება. (ორი რიცხვის ჯამს რომ დაუმატოთ რიცხვი, შეგიძლიათ პირველ რიცხვს დაუმატოთ მეორე და მესამეს ჯამი)

გამრავლების ასოციაციური თვისება. (ორი რიცხვის ნამრავლის მესამე რიცხვზე გასამრავლებლად, შეგიძლიათ გაამრავლოთ პირველი რიცხვი მეორე და მესამეს ნამრავლზე)

სადისტრიბუციო ქონება. (რათა გავამრავლოთ რიცხვი ორი რიცხვის ჯამზე, შეგიძლიათ ეს რიცხვი გაამრავლოთ თითოეულ წევრზე და დაამატოთ შედეგები)

IV. ახალი თემის ახსნა:

იპოვეთ გამონათქვამების მნიშვნელობა x=5 და y=4

3(x+y)=3(5+4)=3*9=27

3x+3y=3*5+3*4=27

იგივე შედეგი მივიღეთ. გამანაწილებელი თვისებიდან გამომდინარეობს, რომ ზოგადად, ცვლადის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის, 3(x + y) და 3x + 3y გამონათქვამების მნიშვნელობები ტოლია.

ახლა განვიხილოთ გამონათქვამები 2x + y და 2xy. x=1-ისთვის და y=2-ისთვის ისინი იღებენ ტოლ მნიშვნელობებს:

2x+y=2*1+2=4

2xy=2*1*2=4

თუმცა, შეგიძლიათ მიუთითოთ x და y მნიშვნელობები ისე, რომ ამ გამონათქვამების მნიშვნელობები არ იყოს ტოლი. მაგალითად, თუ x=3, y=4, მაშინ

2x+y=2*3+4=10

2xy=2*3*4=24

განმარტება: ორი გამონათქვამი, რომელთა მნიშვნელობები ტოლია ცვლადის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის, ამბობენ, რომ იდენტური ტოლია.

გამოსახულებები 3(x+y) და 3x+3y იდენტურად ტოლია, მაგრამ გამოსახულებები 2x+y და 2xy იდენტურად ტოლი არ არის.

ტოლობა 3(x + y) და 3x + 3y მართალია x და y-ის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის. ასეთ თანასწორობას იდენტობა ეწოდება.

განმარტება: თანასწორობას, რომელიც მართალია ცვლადის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის, ეწოდება იდენტობა.

ჭეშმარიტი რიცხვითი ტოლობები ასევე განიხილება იდენტობად. ჩვენ უკვე შევხვდით ვინაობას. იდენტობები არის ტოლობები, რომლებიც გამოხატავს რიცხვებზე მოქმედებების ძირითად თვისებებს (მოსწავლეები კომენტარს აკეთებენ თითოეულ თვისებაზე მისი გამოთქმით).

a + b = b + a აბ=ბა (a + b) + c = a + (b + c) (ab)c = a(bc) a(b + c) = ab + ac

იდენტურობის სხვა მაგალითების მოყვანა შეიძლება (მოსწავლეები კომენტარს აკეთებენ თითოეულ თვისებაზე, გამოთქმით).

a + 0 = a

a * 1 = a

a + (-a) = 0

a * (- ბ ) = - აბ

ა - ბ = ა + (- ბ )

(- ა ) * (- ბ ) = აბ

განმარტება: ერთი გამონათქვამის შეცვლას მეორით, მისი იდენტურად ტოლი, ეწოდება იდენტური ტრანსფორმაცია ან უბრალოდ გამოხატვის გარდაქმნა.

მასწავლებელი:

ცვლადებთან გამონათქვამების იდენტური გარდაქმნები შესრულებულია რიცხვებზე მოქმედებების თვისებებზე დაყრდნობით.

გამონათქვამების იდენტობის გარდაქმნები ფართოდ გამოიყენება გამონათქვამების მნიშვნელობების გამოთვლასა და სხვა პრობლემების გადაჭრისას. თქვენ უკვე მოგიწიათ რამდენიმე იდენტური ტრანსფორმაციის განხორციელება, მაგალითად, მსგავსი ტერმინების შემცირება, ფრჩხილების გაფართოება. გაიხსენეთ ამ გარდაქმნების წესები:

სტუდენტები:

მსგავსი ტერმინების მოსაყვანად აუცილებელია მათი კოეფიციენტების დამატება და შედეგის გამრავლება საერთო ასო ნაწილზე;

თუ ფრჩხილების წინ არის პლუსის ნიშანი, მაშინ ფრჩხილები შეიძლება გამოტოვოთ, შეინარჩუნოთ ფრჩხილებში ჩასმული თითოეული ტერმინის ნიშანი;

თუ ფრჩხილების წინ არის მინუს ნიშანი, მაშინ ფრჩხილების გამოტოვება შესაძლებელია ფრჩხილებში ჩასმული თითოეული ტერმინის ნიშნის შეცვლით.

მასწავლებელი:

მაგალითი 1. წარმოგიდგენთ მსგავს ტერმინებს

5x + 2x-3x=x(5+2-3)=4x

რა წესი გამოვიყენეთ?

Სტუდენტი:

ჩვენ გამოვიყენეთ მსგავსი ტერმინების შემცირების წესი. ეს ტრანსფორმაცია ემყარება გამრავლების გამანაწილებელ თვისებას.

მასწავლებელი:

მაგალითი 2. გააფართოვეთ ფრჩხილები გამოსახულებაში 2a + (ბ-3 გ) = 2 ა + ბ – 3 გ

ჩვენ გამოვიყენეთ ფრჩხილების გახსნის წესი, რომელსაც წინ უძღვის პლუს ნიშანი.

Სტუდენტი:

შესრულებული ტრანსფორმაცია ემყარება დამატების ასოციაციურ თვისებას.

მასწავლებელი:

მაგალითი 3. გავხსნათ ფრჩხილები გამონათქვამში a - (4ბ- გ) =ა – 4 ბ + გ

გამოვიყენეთ ფრჩხილების გახსნის წესი, რომელსაც წინ უძღვის მინუს ნიშანი.

რა თვისებას ეფუძნება ეს ტრანსფორმაცია?

Სტუდენტი:

შესრულებული ტრანსფორმაცია ეფუძნება გამრავლების გამანაწილებელ თვისებას და შეკრების ასოციაციურ თვისებას.

ვ . ვარჯიშების კეთება.

№85 ზეპირად

№86 ზეპირად

№88 ზეპირად

№93

№94

№90 ავ

№96

№97

VI . გაკვეთილის რეფლექსია .

მასწავლებელი სვამს კითხვებს, მოსწავლეები პასუხობენ მათ როგორც სურთ.

რომელ ორ გამონათქვამს ეწოდება იდენტური თანაბარი? მიეცით მაგალითები.

რა თანასწორობას ჰქვია იდენტობა? მიეცი მაგალითი.

რა იდენტური გარდაქმნები იცით?

VII . Საშინაო დავალება . გვ.5, No. 95, 98,100 (a, c)

გაკვეთილის შინაარსი

ბინომის ძლიერებამდე აყვანა

ბინომი არის მრავალწევრი, რომელსაც აქვს ორი წევრი. წინა გაკვეთილებზე, ჩვენ ავწიეთ ბინომი მეორე და მესამე ხარისხებამდე, რითაც მივიღეთ გამრავლების შემოკლებული ფორმულები:

(a+b) 2 = ა 2 + 2აბ + ბ 2

(ა + ბ) 3 = ა 3 + 3ა 2 ბ + 3აბ 2 + ბ 3

მაგრამ ბინომი შეიძლება გაიზარდოს არა მხოლოდ მეორე და მესამე ხარისხებამდე, არამედ მეოთხე, მეხუთე ან უფრო მაღალ ხარისხებამდე.

მაგალითად, ავაშენოთ ბინომი a+bმეოთხე ხარისხამდე:

(a+b) 4

ჩვენ წარმოვადგენთ ამ გამონათქვამს, როგორც ბინომის ნამრავლს a+bდა იგივე ბინომის კუბი

(a+b)(ა+ბ) 3

ფაქტორი ( a+b) 3 შეიძლება შეიცვალოს ორი გამონათქვამის ჯამის კუბის ფორმულის მარჯვენა მხარით. შემდეგ მივიღებთ:

(a+b)(ა 3 + 3ა 2 ბ + 3აბ 2 + ბ 3)

და ეს არის მრავალწევრების ჩვეულებრივი გამრავლება. მოდით შევასრულოთ:

ანუ ბინომის აგებისას a+bმრავალწევრი მეოთხე ხარისხამდე ა 4 + 4ა 3 ბ + 6ა 2 ბ 2 + 4აბ 3 + ბ 4

(a+b) 4 = ა 4 + 4ა 3 ბ + 6ა 2 ბ 2 + 4აბ 3 + ბ 4

ბინომის აგება a+bმეოთხე ხარისხში, თქვენ ასევე შეგიძლიათ გააკეთოთ ეს: წარმოადგინეთ გამოხატულება ( a+b) 4 როგორც ძალაუფლების პროდუქტი (a+b) 2 (a+b) 2

(a+b) 2 (a+b) 2

მაგრამ გამოთქმა ( a+b) 2 უდრის ა 2 + 2აბ + ბ 2 . გამოთქმაში შევცვალოთ (a+b) 2 (a+b) 2 მრავალწევრი ჯამის კვადრატები ა 2 + 2აბ + ბ 2

(ა 2 + 2აბ + ბ 2)(ა 2 + 2აბ + ბ 2)

და ეს ისევ მრავალწევრების ჩვეულებრივი გამრავლებაა. მოდით აღვასრულოთ. ჩვენ მივიღებთ იგივე შედეგს, როგორც ადრე:

ტრინომის ძლიერებამდე აყვანა

ტრინომი არის მრავალწევრი, რომელსაც აქვს სამი წევრი. მაგალითად, გამოხატულება a+b+cარის ტრინომიალი.

ხანდახან პრობლემა შეიძლება წარმოიშვას ტრინომის ძალამდე აყვანაში. მაგალითად, ტრინომილის კვადრატში გავავლოთ a+b+c

(a+b+c) 2

ფრჩხილებში ჩასმული ორი ტერმინი შეიძლება იყოს ფრჩხილებში. მაგალითად, დავასკვნათ ჯამი ა+ ბფრჩხილებში:

((a+b) + გ) 2

ამ შემთხვევაში თანხა a+bგანიხილება როგორც ერთი წევრი. შემდეგ გამოდის, რომ ჩვენ კვადრატში ვაყენებთ არა ტრინომს, არამედ ორწევრს. ჯამი a+bიქნება პირველი წევრი და წევრი გ- მეორე წევრი. და ჩვენ უკვე ვიცით, თუ როგორ უნდა კვადრატული გავხადოთ ბინომი. ამისათვის შეგიძლიათ გამოიყენოთ ფორმულა ორი გამონათქვამის ჯამის კვადრატისთვის:

(a+b) 2 = ა 2 + 2აბ + ბ 2

მოდით გამოვიყენოთ ეს ფორმულა ჩვენს მაგალითზე:

ანალოგიურად, შეგიძლიათ ოთხ ან მეტი წევრისაგან შემდგარი მრავალწევრი. მაგალითად, გავამრავლოთ მრავალწევრი a+b+c+d

(a+b+c+d) 2

ჩვენ წარმოვადგენთ მრავალწევრს, როგორც ორი გამონათქვამის ჯამი: a+bდა გ + დ. ამისათვის ჩადეთ ისინი ფრჩხილებში:

((a+b) + (გ + დ)) 2

ახლა ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას ორი გამონათქვამის ჯამის კვადრატისთვის:

სრული კვადრატის შერჩევა კვადრატული ტრინომიდან

იდენტობის კიდევ ერთი ტრანსფორმაცია, რომელიც შეიძლება სასარგებლო იყოს პრობლემების გადასაჭრელად, არის სრული კვადრატის შერჩევა კვადრატული ტრინომიდან.

კვადრატული ტრინომი არის მეორე ხარისხის ტრინომი. მაგალითად, შემდეგი ტრინომები კვადრატულია:

ასეთი ტრინომებიდან სრული კვადრატის ამოღების იდეა არის ორიგინალური კვადრატული ტრინომის გამოსახვა, როგორც გამოხატულება ( a+b) 2 + გ, სად ( a+b) 2 სრული კვადრატი და გ-ზოგიერთი რიცხვითი ან პირდაპირი გამოთქმა.

მაგალითად, ტრინომიდან ვირჩევთ სრულ კვადრატს 4x 2 + 16x+ 19 .

ჯერ უნდა ააწყოთ ფორმის გამოხატულება ა 2 + 2აბ+ ბ 2 . ჩვენ ავაშენებთ მას ტრინომიდან 4x 2 + 16x+ 19 . ჯერ გადავწყვიტოთ, რომელი წევრები შეასრულებენ ცვლადის როლს ადა ბ

ცვლადის როლი ადიკი ითამაშებს 2-ს x, ტრინომის პირველი წევრიდან 4x 2 + 16x+ 19 , კერძოდ 4 x 2 მიიღება თუ 2 xკვადრატი:

(2x) 2 = 4x 2

ასე რომ, ცვლადი აუდრის 2 x

ა = 2x

ახლა ჩვენ ვუბრუნდებით თავდაპირველ ტრინომს და დაუყოვნებლივ ვაქცევთ ყურადღებას გამოთქმას 16 x. ეს გამოთქმა ორჯერ არის პირველი გამონათქვამის პროდუქტი ა(ჩვენს შემთხვევაში ეს არის 2 x) და მეორე ჯერ უცნობი გამოთქმა ბ.მის ადგილას დროებით დადეთ კითხვის ნიშანი:

2×2 x × ? = 16x

ყურადღებით დავაკვირდებით 2 × 2 გამოსახულებას x × ? = 16x , ინტუიციურად ცხადი ხდება, რომ წევრი ბამ სიტუაციაში არის რიცხვი 4, რადგან გამოხატულება 2 × 2 xუდრის 4 xდა 16-ის მისაღებად xსაჭიროა 4-ის გამრავლება x 4-ით.

2×2 x × 4 = 16x

აქედან ვასკვნით, რომ ცვლადი ბუდრის 4

ბ = 4

ასე რომ, ჩვენი სრული კვადრატი იქნება გამოხატულება (2x) 2 + 2 × 2 x× 4 + 4 2

ახლა ჩვენ ყველანი მზად ვართ გამოვყოთ სრული კვადრატი ტრინომიდან 4x 2 + 16x+ 19 .

ასე რომ, დავუბრუნდეთ თავდაპირველ ტრინომს 4x 2 + 16x+ 19 და შეეცადეთ ყურადღებით ჩავდოთ მასში მიღებული სრული კვადრატი (2x) 2 + 2 × 2 x× 4 + 4 2

4x 2 + 16x+ 19 =

4-ის ნაცვლად x 2 ჩაწერეთ (2 x) 2

4x 2 + 16x+ 19 = (2x) 2

4x 2 + 16x+ 19 = (2x) 2 + 2 × 2 x×4

4x 2 + 16x+ 19 = (2x) 2 + 2 × 2 x× 4 + 4 2

და ამ დროისთვის, ჩვენ გადავიწერთ მე-19 წევრს, როგორც არის:

4x 2 + 16x + 19 = (2x) 2 + 2 × 2 x× 4 + 4 2 + 19

ახლა მივაქციოთ ყურადღება, რომ ჩვენ მივიღეთ მრავალწევრი (2x) 2 + 2 × 2 x× 4 + 4 2 + 19არ არის ორიგინალური ტრინომის იდენტური 4x 2 + 16x+ 19 . ამის გადამოწმება შეგიძლიათ პოლინომის მოყვანით (2x) 2 + 2 × 2 x× 4 + 4 2 + 19სტანდარტული ხედით:

(2x) 2 + 2 × 2 x× 4 + 4 2 + 19 = 4 x 2 + 16x + 4 2 + 19

ჩვენ ვხედავთ, რომ მივიღებთ მრავალწევრს 4x 2 + 16x+ 4 2 + 19 , მაგრამ უნდა გამოსულიყო 4x 2 + 16x+ 19 . ეს გამოწვეულია იმით, რომ ტერმინი 4 2 ხელოვნურად შევიდა თავდაპირველ ტრინომში, რათა მოეწყო სრული კვადრატი ტრინომიდან. 4x 2 + 16x+ 19 .

4x 2 + 16x + 19 = (2x) 2 + 2 × 2 x× 4 + 4 2 − 4 2 + 19

ახლა გამოთქმა (2x) 2 + 2 × 2 x× 4 + 4 2შეიძლება დაიშალოს, ანუ ჩაიწეროს ფორმაში ( a+b) 2 . ჩვენს შემთხვევაში ვიღებთ გამოთქმას (2 x+ 4) 2

4x 2 + 16x + 19 = (2x) 2 + 2 × 2 x× 4 + 4 2 − 4 2 + 19 = (2x + 4) 2 − 4 2 + 19

დარჩენილი ტერმინები −4 2 და 19 შეიძლება დაემატოს. −4 2 არის −16, შესაბამისად −16 + 19 = 3

4x 2 + 16x + 19 = (2x) 2 + 2 × 2 x× 4 + 4 2 − 4 2 + 19 = (2x + 4) 2 − 4 2 + 19 = (2x+ 4) 2 + 3

ნიშნავს, 4x 2 + 16x+ 19 = (2x + 4) 2 + 3

მაგალითი 2. აირჩიეთ სრული კვადრატი კვადრატული ტრინომიდან x 2 + 2x+ 2

პირველი, ჩვენ ვაშენებთ ფორმის გამოხატვას ა 2 + 2 აბ+ბ 2. ცვლადის როლი აამ შემთხვევაში x თამაშობს იმიტომ x 2 = x 2 .

ორიგინალური ტრინომალური 2-ის შემდეგი წევრი xგადაწერეთ პირველი გამონათქვამის ორმაგი პროდუქტის სახით (ეს არის ჩვენი x) და მეორე გამოთქმა ბ(ეს იქნება 1).

2× x× 1 = 2 x

Თუ ბ= 1, მაშინ გამოხატულება იქნება სრულყოფილი კვადრატი x 2 + 2x+ 1 2 .

ახლა დავუბრუნდეთ თავდაპირველ კვადრატულ ტრინომს და ჩავსვათ მასში სრული კვადრატი x 2 + 2x+ 1 2

x 2 + 2x+ 2 = x 2 + 2x+ 1 2 − 1 2 + 2 = (x+ 1) 2 + 1

როგორც წინა მაგალითში, წევრი ბ(ამ მაგალითში ეს არის 1) დაუყონებლივ გამოაკლოთ მიმატების შემდეგ, რათა შენარჩუნდეს საწყისი ტრინომის მნიშვნელობა.

განვიხილოთ შემდეგი რიცხვითი გამონათქვამი:

9 + 6 + 2

ამ გამოთქმის მნიშვნელობა არის 17

9 + 6 + 2 = 17

შევეცადოთ ამ ციფრულ გამოსახულებაში შევარჩიოთ სრული კვადრატი. ამისათვის ჩვენ ჯერ ვაშენებთ ფორმის გამოხატულებას ა 2 + 2აბ+ ბ 2 . ცვლადის როლი აამ შემთხვევაში რიცხვი 3 თამაშობს, ვინაიდან 9 + 6 + 2 გამოთქმის პირველი წევრი, კერძოდ 9, შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც 3 2 .

ჩვენ წარმოვადგენთ მეორე წევრ 6-ს, როგორც პირველი წევრის 3 და მეორე 1-ის ორმაგ ნამრავლს

2 x 3 x 1 = 6

ეს არის ცვლადი ბერთის ტოლი იქნება. მაშინ გამონათქვამი 3 2 + 2 × 3 × 1 + 1 2 იქნება სრულყოფილი კვადრატი. მოდით განვახორციელოთ იგი ორიგინალურ გამონათქვამში:

− 1 2 + 2

ვაყრით სრულ კვადრატს და ვამატებთ −1 2 და 2 ტერმინებს:

3 2 + 6 + 2 = 3 2 + 2 × 3 × 1 + 1 2 − 1 2 + 2 = (3 + 1) 2 + 1

შედეგი არის (3 + 1) 2 + 2, რაც მაინც არის 17

(3 + 1) 2 +1 = 4 2 + 1 = 17

ვთქვათ, გვაქვს კვადრატი და ორი მართკუთხედი. კვადრატი 3 სმ გვერდით, მართკუთხედი გვერდებით 2 სმ და 3 სმ და მართკუთხედი გვერდებით 1 სმ და 2 სმ.

გამოთვალეთ თითოეული ფიგურის ფართობი. კვადრატის ფართობი იქნება 3 2 = 9 სმ 2, ვარდისფერი მართკუთხედის ფართობი იქნება 2 × 3 = 6 სმ 2, იასამნისფერის ფართობი იქნება 1 × 2 = 2 სმ. 2

დაწერეთ ამ მართკუთხედების ფართობების ჯამი:

9 + 6 + 2

ეს გამოთქმა შეიძლება გავიგოთ, როგორც კვადრატისა და ორი მართკუთხედის გაერთიანება ერთ ფიგურად:

შემდეგ მიიღება ფიგურა, რომლის ფართობია 17 სმ 2. მართლაც, წარმოდგენილი ფიგურა შეიცავს 17 კვადრატს 1 სმ გვერდით.

ვცადოთ არსებული ფიგურიდან კვადრატის ჩამოყალიბება. და ყველაზე დიდი კვადრატი. ამისათვის ჩვენ გამოვიყენებთ ნაწილებს ვარდისფერი და იასამნისფერი მართკუთხედიდან.

არსებული ფორმისგან ყველაზე დიდი შესაძლო კვადრატის შესაქმნელად, შეგიძლიათ დატოვოთ ყვითელი კვადრატი უცვლელი და მიამაგროთ ვარდისფერი მართკუთხედის ნახევარი ყვითელი კვადრატის ბოლოში:

ვხედავთ, რომ სრული კვადრატის ფორმირებამდე კიდევ ერთი კვადრატული სანტიმეტრი აკლია. შეგვიძლია ავიღოთ იასამნისფერი მართკუთხედიდან. ასე რომ, ავიღოთ ერთი კვადრატი იასამნისფერი მართკუთხედიდან და მივამაგროთ ჩამოყალიბებულ დიდ კვადრატს:

ახლა მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ რა მივედით. კერძოდ, ფიგურის ყვითელ ნაწილზე და ვარდისფერ ნაწილზე, რამაც არსებითად გაზარდა წინა ყვითელი კვადრატი. ეს არ ნიშნავს იმას, რომ კვადრატის გვერდი იყო 3 სმ-ის ტოლი და ეს მხარე გაიზარდა 1 სმ-ით, რამაც საბოლოოდ ფართობის ზრდა გამოიწვია?

(3 + 1) 2

გამოთქმა (3 + 1) 2 არის 16, რადგან 3 + 1 = 4 და 4 2 = 16 . იგივე შედეგი შეიძლება მივიღოთ ორი გამონათქვამის ჯამის კვადრატის ფორმულის გამოყენებით:

(3 + 1) 2 = 3 2 + 6 + 1 = 9 + 6 + 1 = 16

მართლაც, შედეგად კვადრატი შეიცავს 16 კვადრატს.

იასამნისფერი მართკუთხედიდან დარჩენილი ერთი კვადრატი შეიძლება დაერთოს მიღებულ დიდ კვადრატს. ყოველივე ამის შემდეგ, თავდაპირველად საუბარი იყო ერთ ფიგურაზე:

(3 + 1) 2 + 1

არსებულ დიდ კვადრატზე პატარა კვადრატის მიმაგრება აღწერილია გამოხატულებით (3 + 1) 2 + 1 . და ეს არის სრული კვადრატის შერჩევა გამოსახულებიდან 9 + 6 + 2

9 + 6 + 2 = 3 2 + 6 + 2 = 3 2 + 2 × 3 × 1 + 1 2 − 1 2 + 2 = (3 + 1) 2 + 1

გამოხატულება (3 + 1) 2 + 1 , ისევე როგორც 9 + 6 + 2 , უდრის 17-ს. მართლაც, მიღებული ფიგურის ფართობია 17 სმ 2.

მაგალითი 4. შევასრულოთ სრული კვადრატის შერჩევა კვადრატული ტრინომიდან x 2 + 6x + 8

x 2 + 6x + 8 = x 2+2× x× 3 + 3 2 − 3 2 + 8 = ( x + 3) 2 − 1

ზოგიერთ მაგალითში გამოხატვის აგებისას ა 2 + 2აბ+ ბ 2 შეუძლებელია ცვლადების მნიშვნელობების დაუყოვნებლივ დადგენა ადა ბ .

მაგალითად, შევასრულოთ სრული კვადრატის ამოღება კვადრატული ტრინომიდან x 2 + 3x+ 2

ცვლადი აშეესაბამება x. მეორე წევრი 3 xარ შეიძლება წარმოდგენილი იყოს პირველი და მეორის ორმაგი ნამრავლის სახით. ამ შემთხვევაში მეორე წევრი უნდა გავამრავლოთ 2-ზე და ისე, რომ თავდაპირველი მრავალწევრის მნიშვნელობა არ შეიცვალოს, მაშინვე გავყოთ 2-ზე. ეს ასე გამოიყურება.

ორი ალგებრული გამოთქმა იყოს მოცემული:

მოდით გავაკეთოთ ცხრილი თითოეული ამ გამონათქვამის მნიშვნელობების ასოს x-ის სხვადასხვა რიცხვითი მნიშვნელობებისთვის.

ჩვენ ვხედავთ, რომ ყველა იმ მნიშვნელობისთვის, რომელიც მიენიჭა ასო x-ს, ორივე გამონათქვამის მნიშვნელობები ტოლი აღმოჩნდა. იგივე იქნება x-ის ნებისმიერ სხვა მნიშვნელობაზე.

ამის შესამოწმებლად, ჩვენ გარდაქმნით პირველ გამონათქვამს. განაწილების კანონის საფუძველზე, ჩვენ ვწერთ:

ნომრებზე მითითებული ოპერაციების შესრულების შემდეგ ვიღებთ:

ასე რომ, პირველი გამოთქმა, მისი გამარტივების შემდეგ, ზუსტად იგივე აღმოჩნდა, რაც მეორე გამოთქმა.

ახლა გასაგებია, რომ x-ის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის, ორივე გამონათქვამის მნიშვნელობები ტოლია.

გამონათქვამები, რომელთა მნიშვნელობები ტოლია მათში შეტანილი ასოების ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის, ეწოდება იდენტურად თანაბარი ან იდენტური.

აქედან გამომდინარე, ისინი იდენტური გამონათქვამებია.

ერთი მნიშვნელოვანი შენიშვნა გავაკეთოთ. ავიღოთ გამონათქვამები:

წინა ცხრილის მსგავსი ცხრილის შედგენის შემდეგ, ჩვენ დავრწმუნდებით, რომ ორივე გამონათქვამს, x-ის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის, გარდა იმისა, აქვს თანაბარი რიცხვითი მნიშვნელობები. მხოლოდ მაშინ, როდესაც მეორე გამოხატულება უდრის 6-ს ​​და პირველი კარგავს თავის მნიშვნელობას, რადგან მნიშვნელი არის ნული. (შეგახსენებთ, რომ ნულზე ვერ გაყოფთ.) შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ეს გამონათქვამები იდენტურია?

ადრე შევთანხმდით, რომ თითოეული გამოთქმა განიხილება მხოლოდ ასოების დასაშვებ მნიშვნელობებზე, ანუ იმ მნიშვნელობებზე, რომლებისთვისაც გამოთქმა არ კარგავს თავის მნიშვნელობას. ეს ნიშნავს, რომ აქ, ორი გამონათქვამის შედარებისას, მხედველობაში მივიღებთ მხოლოდ ასოების მნიშვნელობებს, რომლებიც მოქმედებს ორივე გამონათქვამისთვის. ამიტომ, ჩვენ უნდა გამოვრიცხოთ ღირებულება. და რადგან x-ის ყველა სხვა მნიშვნელობებისთვის ორივე გამონათქვამს აქვს ერთი და იგივე რიცხვითი მნიშვნელობა, ჩვენ გვაქვს უფლება მივიჩნიოთ ისინი იდენტურად.

ნათქვამიდან გამომდინარე, ჩვენ ვაძლევთ იდენტური გამონათქვამების შემდეგ განმარტებას:

1. გამონათქვამები იდენტურია, თუ მათში შეტანილი ასოების ყველა დასაშვები მნიშვნელობისთვის აქვთ იგივე რიცხვითი მნიშვნელობები.

თუ ორ იდენტურ გამონათქვამს დავაკავშირებთ ტოლობის ნიშნით, მაშინ მივიღებთ იდენტობას. ნიშნავს:

2. იდენტურობა არის თანასწორობა, რომელიც ჭეშმარიტია მასში შემავალი ასოების ყველა დასაშვები მნიშვნელობისთვის.

ჩვენ უკვე შეგვხვდა ვინაობა. ასე, მაგალითად, ყველა თანასწორობა არის იდენტობა, რომლითაც ჩვენ გამოვთქვით შეკრების და გამრავლების ძირითადი კანონები.

მაგალითად, ტოლობები, რომლებიც გამოხატავს მიმატების შემცვლელ კანონს

და გამრავლების ასოციაციური კანონი

მოქმედებს ასოების ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის. მაშასადამე, ეს თანასწორობები იდენტობებია.

ყველა ჭეშმარიტი არითმეტიკული თანასწორობა ასევე განიხილება იდენტობად, მაგალითად:

ალგებრაში ხშირად უწევთ გამონათქვამის შეცვლა სხვათ, რომელიც მისი იდენტურია. მოდით, მაგალითად, საჭიროა გამოთქმის მნიშვნელობის პოვნა

ჩვენ მნიშვნელოვნად გავამარტივებთ გამოთვლებს, თუ მოცემულ გამონათქვამს შევცვლით მის იდენტური გამონათქვამით. განაწილების კანონის საფუძველზე შეგვიძლია დავწეროთ:

მაგრამ ფრჩხილებში რიცხვები 100-მდეა. ასე რომ, ჩვენ გვაქვს იდენტურობა:

მარჯვენა მხარეს a-ის ნაცვლად 6.53-ის ჩანაცვლებით, ჩვენ მაშინვე (გონებაში) ვპოულობთ ამ გამოხატვის რიცხვით მნიშვნელობას (653).

ერთი გამონათქვამის შეცვლა მეორით, მისი იდენტურია, ამ გამონათქვამის იდენტური ტრანსფორმაცია ეწოდება.

შეგახსენებთ, რომ ნებისმიერი ალგებრული გამოხატულება ასოების ნებისმიერი დასაშვები მნიშვნელობისთვის არის გარკვეული

ნომერი. აქედან გამომდინარეობს, რომ არითმეტიკული მოქმედებების ყველა კანონი და თვისება, რომლებიც მოცემულია წინა თავში, გამოიყენება ალგებრული გამონათქვამებისთვის. ასე რომ, არითმეტიკული მოქმედებების კანონებისა და თვისებების გამოყენება აქცევს მოცემულ ალგებრულ გამოსახულებას მის იდენტურ გამოსახულებად.

ალგებრის შესწავლისას ჩვენ წავაწყდით მრავალწევრის (მაგალითად ($y-x$ ,$\ 2x^2-2x$ და ასე შემდეგ) და ალგებრული წილადის (მაგალითად $\frac(x+5)(x) ცნებებს. )$ , $\frac(2x ^2)(2x^2-2x)$,$\ \frac(x-y)(y-x)$ და ა.შ.) ამ ცნებების მსგავსება ისაა, რომ როგორც მრავალწევრებში, ასევე ალგებრულ წილადებში არსებობს ცვლადები და რიცხვითი მნიშვნელობები, არითმეტიკული მოქმედებები: შეკრება, გამოკლება, გამრავლება, გაძლიერება ამ ცნებებს შორის განსხვავება ისაა, რომ ცვლადზე დაყოფა არ ხდება მრავალწევრებში, ხოლო ცვლადზე დაყოფა შეიძლება შესრულდეს ალგებრულ წილადებში.

როგორც მრავალწევრებს, ასევე ალგებრულ წილადებს მათემატიკაში რაციონალურ ალგებრულ გამონათქვამებს უწოდებენ. მაგრამ პოლინომები არის მთელი რაციონალური გამოსახულებები, ხოლო ალგებრული წილადი გამოსახულებები წილადი რაციონალური გამოსახულებებია.

იდენტური ტრანსფორმაციის გამოყენებით წილადი რაციონალური გამოსახულებიდან შეიძლება მივიღოთ მთლიანი ალგებრული გამოხატულება, რომელიც ამ შემთხვევაში იქნება წილადის მთავარი თვისება - წილადების შემცირება. მოდით შევამოწმოთ პრაქტიკაში:

მაგალითი 1

ტრანსფორმაცია:$\ \frac(x^2-4x+4)(x-2)$

გადაწყვეტილება:ეს წილად-რაციონალური განტოლება შეიძლება გარდაიქმნას წილადის გაუქმების ძირითადი თვისების გამოყენებით, ე.ი. მრიცხველისა და მნიშვნელის გაყოფა იმავე რიცხვზე ან გამონათქვამზე, გარდა $0$-ისა.

ამ წილადის დაუყოვნებლივ შემცირება შეუძლებელია, საჭიროა მრიცხველის გადაყვანა.

ჩვენ გამოვხატავთ გამონათქვამს წილადის მრიცხველში, ამისთვის ვიყენებთ სხვაობის კვადრატის ფორმულას: $a^2-2ab+b^2=((a-b))^2$

წილადს აქვს ფორმა

\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\მარცხნივ(x-2\მარჯვნივ)(x-2))(x-2)\]

ახლა ჩვენ ვხედავთ, რომ მრიცხველსა და მნიშვნელში არის საერთო კოეფიციენტი - ეს არის გამონათქვამი $x-2$, რომელზეც ჩვენ შევამცირებთ წილადს.

\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\მარცხნივ(x-2\მარჯვნივ)(x-2))(x-2)=x-2\]

შემცირების შემდეგ მივიღეთ, რომ თავდაპირველი წილადი რაციონალური გამოხატულება $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ გახდა პოლინომი $x-2$, ე.ი. მთელი რაციონალური.

ახლა ყურადღება მივაქციოთ იმ ფაქტს, რომ გამონათქვამები $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ და $x-2\ $ შეიძლება ჩაითვალოს იდენტურად არა ცვლადის ყველა მნიშვნელობისთვის, რადგან იმისათვის, რომ არსებობდეს წილად-რაციონალური გამოხატულება და შესაძლებელი იყოს $x-2$ მრავალწევრებით შემცირება, წილადის მნიშვნელი არ უნდა იყოს $0$-ის ტოლი (ისევე ის ფაქტორი, რომლითაც ვამცირებთ. ამ მაგალითში, მნიშვნელი და ფაქტორი ერთი და იგივეა, მაგრამ ეს ყოველთვის ასე არ არის).

ცვლად მნიშვნელობებს, რომლებისთვისაც იარსებებს ალგებრული ფრაქცია, ეწოდება მოქმედი ცვლადი მნიშვნელობები.

წილადის მნიშვნელზე ვსვამთ პირობას: $x-2≠0$, შემდეგ $x≠2$.

ასე რომ, გამონათქვამები $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ და $x-2$ იდენტურია ცვლადის ყველა მნიშვნელობისთვის, გარდა $2$-ისა.

განმარტება 1

იდენტური თანაბარიგამონათქვამები არის ის, რაც ტოლია ცვლადის ყველა შესაძლო მნიშვნელობისთვის.

იდენტური ტრანსფორმაცია არის ორიგინალური გამოხატვის ნებისმიერი ჩანაცვლება იდენტურად ტოლით.ასეთი გარდაქმნები მოიცავს მოქმედებების შესრულებას: შეკრება, გამოკლება, გამრავლება, საერთო კოეფიციენტის ამოღება ფრჩხილიდან, ალგებრული წილადების საერთო მნიშვნელთან მიტანა, ალგებრული წილადების შემცირება, მოყვანა. როგორიცაა ტერმინები და ა.შ. გასათვალისწინებელია, რომ არაერთ ტრანსფორმაციას, როგორიცაა შემცირება, მსგავსი ტერმინების შემცირება, შეუძლია შეცვალოს ცვლადის დასაშვები მნიშვნელობები.

იდენტურობის დასამტკიცებლად გამოყენებული ტექნიკა

გადააკეთეთ პირადობის მარცხენა მხარე მარჯვენა მხარეს ან პირიქით, იდენტურობის ტრანსფორმაციების გამოყენებით

ორივე ნაწილის შემცირება ერთ გამოსახულებამდე იდენტური გარდაქმნების გამოყენებით

გადაიტანეთ გამოხატვის ერთი ნაწილის გამონათქვამები მეორეზე და დაამტკიცეთ, რომ მიღებული სხვაობა $0$-ის ტოლია

ზემოთ ჩამოთვლილი მეთოდებიდან რომელი უნდა გამოვიყენოთ მოცემული იდენტობის დასამტკიცებლად, დამოკიდებულია ორიგინალურ იდენტურობაზე.

მაგალითი 2

დაამტკიცეთ ვინაობა $((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=a^2+b^2+c^2$

გადაწყვეტილება:ამ იდენტობის დასამტკიცებლად ვიყენებთ ზემოაღნიშნული მეთოდებიდან პირველს, კერძოდ, გარდაქმნის იდენტობის მარცხენა მხარეს, სანამ არ გაუტოლდება მარჯვენა მხარეს.

განვიხილოთ იდენტობის მარცხენა მხარე: $\ ((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)$- ეს არის ორი მრავალწევრის სხვაობა. ამ შემთხვევაში პირველი პოლინომი არის სამი წევრის ჯამის კვადრატი, რამდენიმე წევრის ჯამის კვადრატში ვიყენებთ ფორმულას:

\[((a+b+c))^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\]

ამისათვის ჩვენ უნდა გავამრავლოთ რიცხვი მრავალწევრზე, შეგახსენებთ, რომ ამისათვის ფრჩხილების გარეთ საერთო კოეფიციენტი უნდა გავამრავლოთ ფრჩხილებში მრავალწევრის თითოეულ წევრზე. შემდეგ მივიღებთ:

$2(ab+ac+bc)=2ab+2ac+2bc$

ახლა დავუბრუნდეთ თავდაპირველ მრავალწევრს, ის მიიღებს ფორმას:

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)$

გაითვალისწინეთ, რომ ფრჩხილის წინ არის "-" ნიშანი, რაც ნიშნავს, რომ როდესაც ფრჩხილები იხსნება, ყველა ნიშანი, რომელიც იყო ფრჩხილებში, უკუღმა ხდება.

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc$

თუ მოვიყვანთ მსგავს ტერმინებს, მაშინ მივიღებთ, რომ მონომები $2ab$, $2ac$,$\ 2bc$ და $-2ab$,$-2ac$, $-2bc$ ერთმანეთს აუქმებენ, ე.ი. მათი ჯამი 0$-ის ტოლია.

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc=a^2+b^2+c^2$

ასე რომ, იდენტური გარდაქმნებით, ჩვენ მივიღეთ ორიგინალური იდენტურობის მარცხენა მხარეს იდენტური გამოხატულება

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2$

გაითვალისწინეთ, რომ მიღებული გამოხატულება აჩვენებს, რომ ორიგინალური იდენტურობა მართალია.

გაითვალისწინეთ, რომ ორიგინალურ იდენტურობაში დაშვებულია ცვლადის ყველა მნიშვნელობა, რაც ნიშნავს, რომ ჩვენ დავამტკიცეთ იდენტობა იდენტური ტრანსფორმაციების გამოყენებით და ეს მართალია ცვლადის ყველა დაშვებული მნიშვნელობისთვის.

პრეზენტაციების წინასწარი გადახედვის გამოსაყენებლად შექმენით Google ანგარიში (ანგარიში) და შედით: https://accounts.google.com

სლაიდების წარწერები:

იდენტობები. გამონათქვამების იდენტობის გარდაქმნები. მე-7 კლასი.

იპოვეთ გამონათქვამების მნიშვნელობა x=5 და y=4 3(x+y)= 3(5+4)=3*9=27 3x+3y= 3*5+3*4=27 იპოვეთ მნიშვნელობა გამოსახულებები x=6 და y=5 3(x+y)= 3(6+5)=3*11=33 3x+3y= 3*6+3*5=33

დასკვნა: ჩვენ იგივე შედეგი მივიღეთ. გამანაწილებელი თვისებიდან გამომდინარეობს, რომ ზოგადად, ცვლადის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის, 3(x + y) და 3x + 3y გამონათქვამების მნიშვნელობები ტოლია. 3(x+y) = 3x+3y

ახლა განვიხილოთ გამონათქვამები 2x + y და 2xy. x=1-სთვის და y=2-ისთვის ისინი იღებენ ტოლ მნიშვნელობებს: 2x+y=2*1+2=4 2x=2*1*2=4 x=3-სთვის, y=4 გამოხატვის მნიშვნელობები განსხვავებულია 2x+y =2* 3+4=10 2xy=2*3*4=24

დასკვნა: გამოსახულებები 3(x+y) და 3x+3y იდენტურად ტოლია, მაგრამ გამოსახულებები 2x+y და 2xy არ არის იდენტურად ტოლი. განმარტება: ორი გამონათქვამი, რომელთა მნიშვნელობები ტოლია ცვლადის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის, ამბობენ, რომ იდენტური ტოლია.

იდენტურობა 3(x+y) და 3x+3y ტოლობა მართალია x და y-ის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის. ასეთ თანასწორობას იდენტობა ეწოდება. განმარტება: თანასწორობას, რომელიც მართალია ცვლადის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის, ეწოდება იდენტობა. ჭეშმარიტი რიცხვითი ტოლობები ასევე განიხილება იდენტობად. ჩვენ უკვე შევხვდით ვინაობას.

იდენტობები არის ტოლობები, რომლებიც გამოხატავს რიცხვებზე მოქმედებების ძირითად თვისებებს. a + b = b + a ab = ba (a + b) + c = a + (b + c) (ab)c = a (bc) a(b + c) = ab + ac

იდენტურობის სხვა მაგალითების მოყვანა შეიძლება: a + 0 = a * 1 = a + (-a) = 0 a * (- b) = - ab a- b = a + (- b) (-a) * ( - ბ) = აბ ერთი გამონათქვამის შეცვლას სხვა გამონათქვამით, რომელიც იდენტურად ტოლია, ეწოდება იდენტობის ტრანსფორმაცია ან უბრალოდ გამოხატვის ტრანსფორმაცია.

მსგავსი ტერმინების მოსატანად, თქვენ უნდა დაამატოთ მათი კოეფიციენტები და გაამრავლოთ შედეგი საერთო ასოების ნაწილზე. მაგალითი 1. ვაძლევთ მსგავს ტერმინებს 5x + 2x-3x \u003d x (5 + 2-3) \u003d 4x

თუ ფრჩხილების წინ არის პლუსის ნიშანი, მაშინ ფრჩხილები შეიძლება გამოტოვოთ, ფრჩხილებში ჩასმული ყოველი ტერმინის ნიშნის შენარჩუნებით. მაგალითი 2. გააფართოვეთ ფრჩხილები გამოსახულებაში 2a + (b -3 c) = 2 a + b - 3 c

თუ ფრჩხილების წინ არის მინუს ნიშანი, მაშინ ფრჩხილების გამოტოვება შესაძლებელია ფრჩხილებში ჩასმული თითოეული ტერმინის ნიშნის შეცვლით. მაგალითი 3. გავხსნათ ფრჩხილები გამონათქვამში a - (4 b - c) \u003d a - 4 b + c

საშინაო დავალება: გვ 5, No 91, 97, 99 გმადლობთ გაკვეთილისთვის!

თემაზე: მეთოდოლოგიური განვითარება, პრეზენტაციები და შენიშვნები

სტუდენტების გამოცდისთვის მომზადების მეთოდები განყოფილებაში "გამოთქმა და გამონათქვამების ტრანსფორმაცია"

ეს პროექტი შემუშავდა იმ მიზნით, რომ მოემზადოს სტუდენტები სახელმწიფო გამოცდებისთვის მე-9 კლასში, შემდეგ კი მე-11 კლასში ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის....