დღეს ჩვენ ვისაუბრებთ ლოგარითმის ფორმულებიდა დემონსტრირება გადაწყვეტის მაგალითები.

თავისთავად, ისინი გულისხმობენ ამოხსნის ნიმუშებს ლოგარითმების ძირითადი თვისებების მიხედვით. გამოსავალზე ლოგარითმის ფორმულების გამოყენებამდე, ჩვენ გავიხსენებთ, პირველ რიგში, ყველა თვისებას:

ახლა, ამ ფორმულების (თვისებების) საფუძველზე ჩვენ ვაჩვენებთ ლოგარითმების ამოხსნის მაგალითები.

ფორმულების საფუძველზე ლოგარითმების ამოხსნის მაგალითები.

ლოგარითმიდადებითი რიცხვი b a ბაზაში (აღნიშნულია log a b) არის მაჩვენებელი, რომელზეც a უნდა გაიზარდოს, რომ მივიღოთ b, b > 0, a > 0 და 1.

განმარტების მიხედვით log a b = x, რომელიც უდრის x = b-ს, ამიტომ log a x = x.

ლოგარითმები, მაგალითები:

ჟურნალი 2 8 = 3, რადგან 2 3 = 8

ჟურნალი 7 49 = 2 იმიტომ 7 2 = 49

ჟურნალი 5 1/5 = -1, რადგან 5 -1 = 1/5

ათწილადი ლოგარითმიჩვეულებრივი ლოგარითმია, რომლის ფუძეა 10. აღინიშნება lg.

ჟურნალი 10 100 = 2 რადგან 10 2 = 100

ბუნებრივი ლოგარითმი- ასევე ჩვეულებრივი ლოგარითმის ლოგარითმი, მაგრამ ე ფუძით (e \u003d 2.71828 ... - ირაციონალური რიცხვი). მოხსენიებულია როგორც ln.

სასურველია გავიხსენოთ ლოგარითმების ფორმულები ან თვისებები, რადგან ისინი მოგვიანებით დაგვჭირდება ლოგარითმების, ლოგარითმული განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნისას. მოდით ვიმუშაოთ თითოეულ ფორმულაზე ისევ მაგალითებით.

• ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა
  ჟურნალი a b = b

  8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

• ნამრავლის ლოგარითმი ლოგარითმების ჯამის ტოლია
  log a (bc) = log a b + log a c

  ჟურნალი 3 8.1 + ჟურნალი 3 10 = ჟურნალი 3 (8.1*10) = ჟურნალი 3 81 = 4

• კოეფიციენტის ლოგარითმი ლოგარითმების სხვაობის ტოლია
  log a (b/c) = log a b - log a c

  9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81

• ლოგარითმირებადი რიცხვისა და ლოგარითმის ფუძის ხარისხის თვისებები

  ლოგარითმის რიცხვის მაჩვენებელი log a b m = mlog a b

  ლოგარითმის ფუძის მაჩვენებელი log a n b =1/n*log a b

  log a n b m = m/n*log a b,

  თუ m = n, მივიღებთ log a n b n = log a b

  ჟურნალი 4 9 = ჟურნალი 2 2 3 2 = ჟურნალი 2 3

• ახალ საძირკველზე გადასვლა
  log a b = log c b / log c a,

  თუ c = b, მივიღებთ log b b = 1

  შემდეგ log a b = 1/log b a

  log 0.8 3*log 3 1.25 = log 0.8 3*log 0.8 1.25/log 0.8 3 = log 0.8 1.25 = log 4/5 5/4 = -1

როგორც ხედავთ, ლოგარითმის ფორმულები არც ისე რთულია, როგორც ჩანს. ახლა, ლოგარითმების ამოხსნის მაგალითების განხილვის შემდეგ, შეგვიძლია გადავიდეთ ლოგარითმულ განტოლებაზე. ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნის მაგალითებს უფრო დეტალურად განვიხილავთ სტატიაში: "". Არ გამოტოვოთ!

თუ ჯერ კიდევ გაქვთ შეკითხვები გადაწყვეტის შესახებ, დაწერეთ ისინი სტატიის კომენტარებში.

შენიშვნა: გადავწყვიტე სხვა კლასში სწავლა საზღვარგარეთ, როგორც ვარიანტი.

საზოგადოების განვითარებასთან, წარმოების სირთულესთან ერთად განვითარდა მათემატიკაც. მოძრაობა მარტივიდან რთულამდე. შეკრებისა და გამოკლების ჩვეულებრივი აღრიცხვის მეთოდიდან, მათი განმეორებითი გამეორებით, ისინი მივიდნენ გამრავლებისა და გაყოფის ცნებამდე. გამრავლების განმეორებითი მოქმედების შემცირება გახდა ექსპონენტაციის კონცეფცია. რიცხვების დამოკიდებულების პირველი ცხრილები ფუძეზე და გაძლიერების რიცხვზე შეადგინა ჯერ კიდევ VIII საუკუნეში ინდოელმა მათემატიკოსმა ვარასენამ. მათგან შეგიძლიათ დაითვალოთ ლოგარითმების გაჩენის დრო.

ისტორიული მონახაზი

მე-16 საუკუნეში ევროპის აღორძინებამ ასევე ხელი შეუწყო მექანიკის განვითარებას. თ მოითხოვდა დიდი რაოდენობის გამოთვლასასოცირდება მრავალნიშნა რიცხვების გამრავლებასთან და გაყოფასთან. ძველმა სუფრებმა დიდი სამსახური გასწიეს. მათ შესაძლებელი გახადეს რთული ოპერაციების ჩანაცვლება უფრო მარტივი - შეკრება და გამოკლება. დიდი წინგადადგმული ნაბიჯი იყო მათემატიკოს მაიკლ შტიფელის ნაშრომი, რომელიც გამოქვეყნდა 1544 წელს, რომელშიც მან გააცნობიერა მრავალი მათემატიკოსის იდეა. ამან შესაძლებელი გახადა ცხრილების გამოყენება არა მხოლოდ გრადუსებისთვის მარტივი რიცხვების სახით, არამედ თვითნებური რაციონალურიც.

1614 წელს შოტლანდიელმა ჯონ ნაპიერმა, ამ იდეების შემუშავებით, პირველად შემოიტანა ახალი ტერმინი „რიცხვის ლოგარითმი“. შედგენილია ახალი რთული ცხრილები სინუსების და კოსინუსების ლოგარითმების, ასევე ტანგენტების გამოსათვლელად. ამან მნიშვნელოვნად შეამცირა ასტრონომების მუშაობა.

დაიწყო ახალი ცხრილების გამოჩენა, რომლებსაც წარმატებით იყენებდნენ მეცნიერები სამი საუკუნის განმავლობაში. ბევრი დრო გავიდა, სანამ ალგებრაში ახალმა ოპერაციამ დასრულებული ფორმა შეიძინა. განისაზღვრა ლოგარითმი და შეისწავლა მისი თვისებები.

მხოლოდ მე-20 საუკუნეში, კალკულატორისა და კომპიუტერის მოსვლასთან ერთად, კაცობრიობამ მიატოვა უძველესი ცხრილები, რომლებიც წარმატებით მოქმედებდნენ მე-13 საუკუნეში.

დღეს b-ის ლოგარითმს ვუწოდებთ a-ს რიცხვს x, რომელიც არის a-ს სიმძლავრე, რომ მივიღოთ b რიცხვი. ეს იწერება ფორმულის სახით: x = log a(b).

მაგალითად, log 3(9) იქნება 2-ის ტოლი. ეს აშკარაა, თუ დაიცავთ განმარტებას. თუ 3-ს ავწევთ 2-ის ხარისხზე, მივიღებთ 9-ს.

ამრიგად, ჩამოყალიბებული განმარტება აყენებს მხოლოდ ერთ შეზღუდვას, რიცხვები a და b უნდა იყოს რეალური.

ლოგარითმების ჯიშები

კლასიკურ განმარტებას ეწოდება რეალური ლოგარითმი და რეალურად არის ამონახსნი a x = b განტოლებისა. ვარიანტი a = 1 არის მოსაზღვრე და არ არის საინტერესო. შენიშვნა: 1 ნებისმიერი სიმძლავრის მიმართ არის 1.

ლოგარითმის რეალური მნიშვნელობაგანისაზღვრება მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ფუძე და არგუმენტი მეტია 0-ზე და ფუძე არ უნდა იყოს 1-ის ტოლი.

განსაკუთრებული ადგილი მათემატიკის დარგშიითამაშეთ ლოგარითმები, რომლებიც დასახელდება მათი ბაზის მნიშვნელობიდან გამომდინარე:

წესები და შეზღუდვები

ლოგარითმების ფუნდამენტური თვისებაა წესი: ნამრავლის ლოგარითმი ტოლია ლოგარითმული ჯამის. log abp = log a(b) + log a(p).

როგორც ამ განცხადების ვარიანტი, ეს იქნება: log c (b / p) \u003d log c (b) - log c (p), კოეფიციენტის ფუნქცია უდრის ფუნქციების სხვაობას.

წინა ორი წესიდან ადვილი შესამჩნევია, რომ: log a(b p) = p * log a(b).

სხვა თვისებები მოიცავს:

კომენტარი. არ დაუშვათ საერთო შეცდომა - ჯამის ლოგარითმი არ არის ლოგარითმების ჯამის ტოლი.

მრავალი საუკუნის განმავლობაში, ლოგარითმის პოვნის ოპერაცია საკმაოდ შრომატევადი ამოცანა იყო. მათემატიკოსებმა გამოიყენეს პოლინომად გაფართოების ლოგარითმული თეორიის ცნობილი ფორმულა:

ln (1 + x) = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 + ... + ((-1)^(n + 1))* (( x^n)/n), სადაც n არის 1-ზე მეტი ნატურალური რიცხვი, რომელიც განსაზღვრავს გამოთვლის სიზუსტეს.

სხვა საფუძვლებით ლოგარითმები გამოითვალეს ერთი ფუძიდან მეორეზე გადასვლის თეორემისა და პროდუქტის ლოგარითმის თვისების გამოყენებით.

ვინაიდან ეს მეთოდი ძალიან შრომატევადი და პრაქტიკული პრობლემების გადაჭრისასრთული განსახორციელებელი, ისინი იყენებდნენ ლოგარითმების წინასწარ შედგენილ ცხრილებს, რამაც მნიშვნელოვნად დააჩქარა მთელი სამუშაო.

ზოგიერთ შემთხვევაში გამოიყენებოდა ლოგარითმების სპეციალურად შედგენილი გრაფიკები, რომლებიც ნაკლებ სიზუსტეს აძლევდნენ, მაგრამ საგრძნობლად აჩქარებდნენ სასურველი მნიშვნელობის ძიებას. ფუნქციის y = log a(x) მრუდი, რომელიც აგებულია რამდენიმე წერტილზე, საშუალებას გაძლევთ გამოიყენოთ ჩვეულებრივი მმართველი, იპოვოთ ფუნქციის მნიშვნელობები ნებისმიერ სხვა წერტილში. დიდი ხნის განმავლობაში ინჟინრები ამ მიზნებისთვის იყენებდნენ ე.წ.

მე-17 საუკუნეში გაჩნდა პირველი დამხმარე ანალოგური გამოთვლითი პირობები, რომლებმაც მე-19 საუკუნისთვის მზა ფორმა შეიძინეს. ყველაზე წარმატებულ მოწყობილობას ეწოდა სლაიდის წესი. მიუხედავად მოწყობილობის სიმარტივისა, მისმა გარეგნობამ საგრძნობლად დააჩქარა ყველა საინჟინრო გამოთვლების პროცესი და ძნელია ამის გადაჭარბება. ამჟამად, ცოტა ადამიანი იცნობს ამ მოწყობილობას.

კალკულატორებისა და კომპიუტერების გამოჩენამ უაზრო გახადა სხვა მოწყობილობების გამოყენება.

განტოლებები და უტოლობა

შემდეგი ფორმულები გამოიყენება ლოგარითმების გამოყენებით სხვადასხვა განტოლებისა და უტოლობების ამოსახსნელად:

• ერთი ბაზიდან მეორეზე გადასვლა: log a(b) = log c(b) / log c(a);
• წინა ვერსიის შედეგად: log a(b) = 1 / log b(a).

უტოლობების გადასაჭრელად სასარგებლოა ვიცოდეთ:

• ლოგარითმის მნიშვნელობა მხოლოდ დადებითი იქნება, თუ ბაზაც და არგუმენტიც ერთზე მეტი ან ნაკლებია; თუ ერთი პირობა მაინც დაირღვა, ლოგარითმის მნიშვნელობა უარყოფითი იქნება.
• თუ ლოგარითმის ფუნქცია გამოიყენება უტოლობის მარჯვენა და მარცხენა მხარეს, ხოლო ლოგარითმის ფუძე ერთზე მეტია, მაშინ უტოლობის ნიშანი შენარჩუნებულია; წინააღმდეგ შემთხვევაში, ის იცვლება.

დავალების მაგალითები

განვიხილოთ ლოგარითმების და მათი თვისებების გამოყენების რამდენიმე ვარიანტი. მაგალითები განტოლებების ამოხსნით:

განვიხილოთ ლოგარითმის ხარისხში განთავსების ვარიანტი:

• დავალება 3. გამოთვალეთ 25^log 5(3). ამოხსნა: პრობლემის პირობებში აღნიშვნა მსგავსია (5^2)^log5(3) ან 5^(2 * log 5(3)). მოდით სხვანაირად ჩავწეროთ: 5^log 5(3*2), ან რიცხვის კვადრატი, როგორც ფუნქციის არგუმენტი, შეიძლება დაიწეროს როგორც თავად ფუნქციის კვადრატი (5^log 5(3))^2. ლოგარითმების თვისებების გამოყენებით, ეს გამოხატულება არის 3^2. პასუხი: გაანგარიშების შედეგად ვიღებთ 9-ს.

პრაქტიკული გამოყენება

როგორც წმინდა მათემატიკური ინსტრუმენტი, როგორც ჩანს, შორს არის რეალური ცხოვრებისგან, რომ ლოგარითმი მოულოდნელად გახდა დიდი მნიშვნელობა რეალურ სამყაროში ობიექტების აღწერისას. ძნელია იპოვოთ მეცნიერება, სადაც ის არ გამოიყენება. ეს სრულად ეხება არა მხოლოდ ბუნებრივ, არამედ ჰუმანიტარულ ცოდნის სფეროებსაც.

ლოგარითმული დამოკიდებულებები

აქ მოცემულია რიცხვითი დამოკიდებულების რამდენიმე მაგალითი:

მექანიკა და ფიზიკა

ისტორიულად, მექანიკა და ფიზიკა ყოველთვის ვითარდებოდა მათემატიკური კვლევის მეთოდების გამოყენებით და ამავე დროს ემსახურებოდა მათემატიკის, ლოგარითმების ჩათვლით, განვითარების სტიმულს. ფიზიკის კანონების უმეტესობის თეორია დაწერილია მათემატიკის ენაზე. ლოგარითმის გამოყენებით ფიზიკური კანონების აღწერის მხოლოდ ორ მაგალითს ვაძლევთ.

შესაძლებელია ისეთი რთული სიდიდის გამოთვლის პრობლემის გადაჭრა, როგორიც არის რაკეტის სიჩქარე ციოლკოვსკის ფორმულის გამოყენებით, რომელმაც საფუძველი ჩაუყარა კოსმოსის კვლევის თეორიას:

V = I * ln(M1/M2), სადაც

• V არის თვითმფრინავის საბოლოო სიჩქარე.
• მე ვარ ძრავის სპეციფიკური იმპულსი.
• M 1 არის რაკეტის საწყისი მასა.
• M 2 - საბოლოო მასა.

კიდევ ერთი მნიშვნელოვანი მაგალითი- ეს არის გამოყენება სხვა დიდი მეცნიერის, მაქს პლანკის ფორმულაში, რომელიც ემსახურება თერმოდინამიკაში წონასწორობის მდგომარეობის შეფასებას.

S = k * ln (Ω), სადაც

• S არის თერმოდინამიკური თვისება.
• k არის ბოლცმანის მუდმივი.
• Ω არის სხვადასხვა მდგომარეობის სტატისტიკური წონა.

Ქიმია

ნაკლებად აშკარა იქნება ფორმულების გამოყენება ქიმიაში, რომლებიც შეიცავს ლოგარითმების თანაფარდობას. აქ არის მხოლოდ ორი მაგალითი:

• ნერნსტის განტოლება, გარემოს რედოქსული პოტენციალის მდგომარეობა ნივთიერებების აქტივობასთან და წონასწორობის მუდმივთან მიმართებაში.
• ისეთი მუდმივების გამოთვლა, როგორიცაა ავტოპროლიზის ინდექსი და ხსნარის მჟავიანობა, ასევე არ არის სრულყოფილი ჩვენი ფუნქციის გარეშე.

ფსიქოლოგია და ბიოლოგია

და სრულიად გაუგებარია, რა შუაშია ფსიქოლოგია. გამოდის, რომ შეგრძნების სიძლიერე კარგად არის აღწერილი ამ ფუნქციით, როგორც სტიმულის ინტენსივობის მნიშვნელობის შებრუნებული თანაფარდობა ქვედა ინტენსივობის მნიშვნელობასთან.

ზემოთ მოყვანილი მაგალითების შემდეგ, გასაკვირი აღარ არის, რომ ლოგარითმების თემა ბიოლოგიაშიც ფართოდ გამოიყენება. მთელი ტომები შეიძლება დაიწეროს ლოგარითმული სპირალების შესაბამისი ბიოლოგიური ფორმების შესახებ.

სხვა სფეროები

როგორც ჩანს, სამყაროს არსებობა შეუძლებელია ამ ფუნქციასთან კავშირის გარეშე და ის მართავს ყველა კანონს. განსაკუთრებით მაშინ, როდესაც ბუნების კანონები დაკავშირებულია გეომეტრიულ პროგრესირებასთან. ღირს MatProfi ვებსაიტის მითითება და ასეთი მაგალითები ბევრია საქმიანობის შემდეგ სფეროებში:

სია შეიძლება იყოს უსასრულო. ამ ფუნქციის ძირითადი კანონების დაუფლების შემდეგ, შეგიძლიათ ჩაძიროთ უსასრულო სიბრძნის სამყაროში.

თქვენი კონფიდენციალურობა ჩვენთვის მნიშვნელოვანია. ამ მიზეზით, ჩვენ შევიმუშავეთ კონფიდენციალურობის პოლიტიკა, რომელიც აღწერს, თუ როგორ ვიყენებთ და ვინახავთ თქვენს ინფორმაციას. გთხოვთ, წაიკითხოთ ჩვენი კონფიდენციალურობის პოლიტიკა და შეგვატყობინოთ, თუ თქვენ გაქვთ რაიმე შეკითხვები.

პირადი ინფორმაციის შეგროვება და გამოყენება

პერსონალური ინფორმაცია ეხება მონაცემებს, რომლებიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას კონკრეტული პირის იდენტიფიცირებისთვის ან დასაკავშირებლად.

თქვენ შეიძლება მოგეთხოვოთ თქვენი პირადი ინფორმაციის მიწოდება ნებისმიერ დროს, როცა დაგვიკავშირდებით.

ქვემოთ მოცემულია პერსონალური ინფორმაციის ტიპების მაგალითები, რომლებიც შეიძლება შევაგროვოთ და როგორ გამოვიყენოთ ასეთი ინფორმაცია.

რა პერსონალურ ინფორმაციას ვაგროვებთ:

• როდესაც განაცხადებს წარადგენთ საიტზე, ჩვენ შეიძლება შევაგროვოთ სხვადასხვა ინფორმაცია, მათ შორის თქვენი სახელი, ტელეფონის ნომერი, ელექტრონული ფოსტის მისამართი და ა.შ.

როგორ ვიყენებთ თქვენს პირად ინფორმაციას:

• ჩვენ მიერ შეგროვებული პერსონალური ინფორმაცია საშუალებას გვაძლევს დაგიკავშირდეთ და გაცნობოთ უნიკალური შეთავაზებების, აქციების და სხვა ღონისძიებებისა და მომავალი ღონისძიებების შესახებ.
• დროდადრო, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენი პირადი ინფორმაცია მნიშვნელოვანი შეტყობინებებისა და შეტყობინებების გამოსაგზავნად.
• ჩვენ ასევე შეიძლება გამოვიყენოთ პერსონალური ინფორმაცია შიდა მიზნებისთვის, როგორიცაა აუდიტის ჩატარება, მონაცემთა ანალიზი და სხვადასხვა კვლევა, რათა გავაუმჯობესოთ ჩვენს მიერ მოწოდებული სერვისები და მოგაწოდოთ რეკომენდაციები ჩვენს სერვისებთან დაკავშირებით.
• თუ თქვენ მონაწილეობთ საპრიზო გათამაშებაში, კონკურსში ან მსგავს წახალისებაში, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენ მიერ მოწოდებული ინფორმაცია ასეთი პროგრამების ადმინისტრირებისთვის.

გამჟღავნება მესამე პირებისთვის

ჩვენ არ ვუმხელთ თქვენგან მიღებულ ინფორმაციას მესამე პირებს.

გამონაკლისები:

• იმ შემთხვევაში, თუ ეს აუცილებელია - კანონის, სასამართლო ბრძანების შესაბამისად, სასამართლო პროცესებში და/ან საჯარო მოთხოვნის ან რუსეთის ფედერაციის სახელმწიფო ორგანოების მოთხოვნის საფუძველზე - გაამჟღავნეთ თქვენი პირადი ინფორმაცია. ჩვენ ასევე შეიძლება გავამჟღავნოთ ინფორმაცია თქვენს შესახებ, თუ დავადგენთ, რომ ასეთი გამჟღავნება აუცილებელია ან მიზანშეწონილია უსაფრთხოების, კანონის აღსრულების ან სხვა საზოგადოებრივი ინტერესების მიზნებისთვის.
• რეორგანიზაციის, შერწყმის ან გაყიდვის შემთხვევაში, ჩვენ შეგვიძლია გადავცეთ ჩვენს მიერ შეგროვებული პერსონალური ინფორმაცია შესაბამის მესამე მხარის მემკვიდრეს.

პირადი ინფორმაციის დაცვა

ჩვენ ვიღებთ სიფრთხილის ზომებს - მათ შორის ადმინისტრაციულ, ტექნიკურ და ფიზიკურ - თქვენი პირადი ინფორმაციის დაკარგვის, ქურდობისა და ბოროტად გამოყენებისგან დასაცავად, ასევე არაავტორიზებული წვდომისგან, გამჟღავნების, ცვლილებისა და განადგურებისგან.

თქვენი კონფიდენციალურობის შენარჩუნება კომპანიის დონეზე

იმის უზრუნველსაყოფად, რომ თქვენი პერსონალური ინფორმაცია დაცულია, ჩვენ ვუზიარებთ კონფიდენციალურობისა და უსაფრთხოების პრაქტიკას ჩვენს თანამშრომლებს და მკაცრად ვიცავთ კონფიდენციალურობის პრაქტიკას.

რა არის ლოგარითმი?

ყურადღება!
არის დამატებითი
მასალა 555-ე სპეციალურ ნაწილში.
მათთვის, ვინც მტკიცედ "არა ძალიან ..."
და მათთვის, ვინც "ძალიან...")

რა არის ლოგარითმი? როგორ ამოხსნათ ლოგარითმები? ეს კითხვები ბევრ კურსდამთავრებულს აბნევს. ტრადიციულად, ლოგარითმების თემა განიხილება რთული, გაუგებარი და საშინელი. განსაკუთრებით - განტოლებები ლოგარითმებით.

ეს აბსოლუტურად არ შეესაბამება სიმართლეს. აბსოლუტურად! არ გჯერა? კარგი. ახლა, დაახლოებით 10-20 წუთის განმავლობაში თქვენ:

1. გაიგე რა არის ლოგარითმი.

2. ისწავლეთ ექსპონენციალური განტოლებების მთელი კლასის ამოხსნა. მაშინაც კი, თუ მათ შესახებ არ გსმენიათ.

3. ისწავლეთ მარტივი ლოგარითმების გამოთვლა.

უფრო მეტიც, ამისათვის თქვენ მხოლოდ უნდა იცოდეთ გამრავლების ცხრილი და როგორ ხდება რიცხვი ხარისხამდე ...

ვგრძნობ, რომ ეჭვი გეპარებათ... აბა, დაიცავით დრო! წადი!

ჯერ გონებაში ამოხსენით შემდეგი განტოლება:

თუ მოგწონთ ეს საიტი...

სხვათა შორის, მე მაქვს კიდევ რამდენიმე საინტერესო საიტი თქვენთვის.)

შეგიძლიათ ივარჯიშოთ მაგალითების ამოხსნაში და გაიგოთ თქვენი დონე. ტესტირება მყისიერი გადამოწმებით. სწავლა - ინტერესით!)

შეგიძლიათ გაეცნოთ ფუნქციებს და წარმოებულებს.

დავიწყოთ იმით ერთიანობის ლოგარითმის თვისებები. მისი ფორმულირება ასეთია: ერთიანობის ლოგარითმი ნულის ტოლია, ანუ შესვლა a 1=0ნებისმიერი a>0, a≠1. მტკიცებულება მარტივია: ვინაიდან a 0 =1 ნებისმიერი a-სთვის, რომელიც აკმაყოფილებს ზემოაღნიშნულ პირობებს a>0 და a≠1, მაშინ დადასტურებული ტოლობის ჟურნალი a 1=0 დაუყოვნებლივ გამომდინარეობს ლოგარითმის განმარტებიდან.

მოვიყვანოთ განხილული თვისების გამოყენების მაგალითები: log 3 1=0 , lg1=0 და .

გადავიდეთ შემდეგ ქონებაზე: ფუძის ტოლი რიცხვის ლოგარითმი ერთის ტოლია, ანუ შესვლა a=1 a>0, a≠1-ისთვის. მართლაც, ვინაიდან a 1 =a ნებისმიერი a-სთვის, მაშინ ლოგარითმის განმარტებით log a=1.

ლოგარითმების ამ თვისების გამოყენების მაგალითებია log 5 5=1 , log 5.6 5.6 და lne=1 .

მაგალითად, log 2 2 7 =7 , log10 -4 =-4 და .

ორი დადებითი რიცხვის ნამრავლის ლოგარითმი x და y ტოლია ამ რიცხვების ლოგარითმების ნამრავლის: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 . მოდით დავამტკიცოთ პროდუქტის ლოგარითმის თვისება. ხარისხის თვისებებიდან გამომდინარე a log a x+log a y =a log a x a log a yდა რადგან მთავარი ლოგარითმული იდენტობით log a x =x და log a y =y, მაშინ log a x a log a y =x y. ამრიგად, log a x+log a y =x y, საიდანაც საჭირო ტოლობა მოჰყვება ლოგარითმის განმარტებას.

ვაჩვენოთ ნამრავლის ლოგარითმის თვისების გამოყენების მაგალითები: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 და .

ნამრავლის ლოგარითმის თვისება შეიძლება განზოგადდეს x 1 , x 2 , ..., x n დადებითი რიცხვების სასრული რიცხვის n ნამრავლზე, როგორც log a (x 1 x 2 ... x n)= log a x 1 + log a x 2 +…+ log a x n . ეს თანასწორობა ადვილად დასტურდება.

მაგალითად, პროდუქტის ბუნებრივი ლოგარითმი შეიძლება შეიცვალოს 4, e და ნომრების სამი ბუნებრივი ლოგარითმის ჯამით.

ორი დადებითი რიცხვის კოეფიციენტის ლოგარითმი x და y უდრის სხვაობას ამ რიცხვების ლოგარითმებს შორის. კოეფიციენტის ლოგარითმის თვისება შეესაბამება ფორმის ფორმულას, სადაც a>0, a≠1, x და y არის რამდენიმე დადებითი რიცხვი. ამ ფორმულის მართებულობა დადასტურებულია, როგორც პროდუქტის ლოგარითმის ფორმულა: ვინაიდან , შემდეგ ლოგარითმის განმარტებით .

აქ მოცემულია ლოგარითმის ამ თვისების გამოყენების მაგალითი: .

მოდით გადავიდეთ ხარისხის ლოგარითმის თვისება. გრადუსის ლოგარითმი ტოლია ამ ხარისხის მაჩვენებლისა და ამ ხარისხის ფუძის მოდულის ნამრავლის. ჩვენ ვწერთ ხარისხის ლოგარითმის ამ თვისებას ფორმულის სახით: log a b p =p log a |b|, სადაც a>0, a≠1, b და p ისეთი რიცხვებია, რომ b p-ის ხარისხი აქვს აზრი და b p >0.

ჩვენ ჯერ ვამტკიცებთ ამ თვისებას დადებითი b-ისთვის. ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა გვაძლევს საშუალებას გამოვსახოთ რიცხვი b, როგორც log a b , შემდეგ b p =(a log a b) p , და მიღებული გამოხატულება, ძალაუფლების თვისების გამო, უდრის p log a b . ასე რომ მივდივართ ტოლობამდე b p =a p log a b , საიდანაც ლოგარითმის განმარტებით ვასკვნით, რომ log a b p =p log a b .

რჩება ამ თვისების დამტკიცება უარყოფითი b-ისთვის. აქვე აღვნიშნავთ, რომ გამოთქმა log a b p უარყოფითი b-ისთვის აზრი აქვს მხოლოდ p ლუწი მაჩვენებლებს (რადგან b ხარისხის b p მნიშვნელობა უნდა იყოს ნულზე მეტი, წინააღმდეგ შემთხვევაში ლოგარითმი აზრი არ ექნება) და ამ შემთხვევაში b p =|b| გვ . მერე b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p log a |b|, საიდანაც log a b p =p log a |b| .

Მაგალითად, და ln(-3) 4 =4 ln|-3|=4 ln3.

ეს გამომდინარეობს წინა საკუთრებიდან ლოგარითმის თვისება ფესვიდან: n-ე ხარისხის ფესვის ლოგარითმი ტოლია წილადის 1/n ნამრავლისა და ძირეული გამოხატვის ლოგარითმის, ანუ, , სადაც a>0 , a≠1 , n არის ერთზე მეტი ნატურალური რიცხვი, b>0 .

მტკიცებულება ემყარება ტოლობას (იხ.), რომელიც მოქმედებს ნებისმიერი დადებითი b , და ხარისხის ლოგარითმის თვისებაზე: .

აქ მოცემულია ამ ქონების გამოყენების მაგალითი: .

ახლა დავამტკიცოთ კონვერტაციის ფორმულა ლოგარითმის ახალ ბაზაზეკეთილი . ამისათვის საკმარისია დავამტკიცოთ ტოლობის log c b=log a b log c a . ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა გვაძლევს საშუალებას გამოვსახოთ რიცხვი b როგორც log a b , შემდეგ log c b=log c a log a b . რჩება ხარისხის ლოგარითმის თვისების გამოყენება: log c a log a b = log a b log c a. ამრიგად, დადასტურებულია ტოლობის log c b=log a b log c a, რაც ნიშნავს, რომ ასევე დადასტურებულია ლოგარითმის ახალ ბაზაზე გადასვლის ფორმულა.

მოდით ვაჩვენოთ ლოგარითმების ამ თვისების გამოყენების რამდენიმე მაგალითი: და .

ახალ ბაზაზე გადასვლის ფორმულა საშუალებას გაძლევთ გადახვიდეთ ლოგარითმებთან მუშაობაზე, რომლებსაც აქვთ "მოხერხებული" ბაზა. მაგალითად, ის შეიძლება გამოყენებულ იქნას ბუნებრივ ან ათობითი ლოგარითმებზე გადასასვლელად, რათა ლოგარითმის მნიშვნელობა გამოთვალოთ ლოგარითმების ცხრილიდან. ლოგარითმის ახალ ბაზაზე გადასვლის ფორმულა ასევე საშუალებას იძლევა ზოგიერთ შემთხვევაში იპოვოთ მოცემული ლოგარითმის მნიშვნელობა, როდესაც ცნობილია ზოგიერთი ლოგარითმის მნიშვნელობები სხვა ბაზებთან.

ხშირად გამოიყენება ფორმულის სპეციალური შემთხვევა ლოგარითმის ახალ ბაზაზე გადასვლისთვის ფორმის c=b . ეს აჩვენებს, რომ log a b და log b a – . Მაგალითად, .

ასევე ხშირად გამოიყენება ფორმულა , რომელიც სასარგებლოა ლოგარითმის მნიშვნელობების მოსაძებნად. ჩვენი სიტყვების დასადასტურებლად, ჩვენ ვაჩვენებთ, თუ როგორ გამოითვლება ფორმის ლოგარითმის მნიშვნელობა მისი გამოყენებით. Ჩვენ გვაქვს . ფორმულის დასამტკიცებლად საკმარისია გამოვიყენოთ გადასვლის ფორმულა ლოგარითმის ახალ ბაზაზე a: .

რჩება ლოგარითმების შედარების თვისებების დამტკიცება.

დავამტკიცოთ, რომ ნებისმიერი დადებითი რიცხვისთვის b 1 და b 2 , b 1 log a b 2, ხოლო a>1-სთვის, უტოლობა log a b 1

და ბოლოს, რჩება ლოგარითმების ჩამოთვლილი თვისებებიდან ბოლო დასამტკიცებლად. ჩვენ შემოვიფარგლებით მისი პირველი ნაწილის დამტკიცებით, ანუ ვამტკიცებთ, რომ თუ a 1 >1 , a 2 >1 და a 1 1 მართალია log a 1 b>log a 2 b . ლოგარითმების ამ თვისების დარჩენილი დებულებები დასტურდება მსგავსი პრინციპით.

გამოვიყენოთ საპირისპირო მეთოდი. დავუშვათ, რომ 1 >1, 2 >1 და 1-ისთვის 1 log a 1 b≤log a 2 b მართალია. ლოგარითმების თვისებების მიხედვით, ეს უტოლობები შეიძლება გადაიწეროს როგორც და შესაბამისად, და მათგან გამომდინარეობს, რომ log b a 1 ≤log b a 2 და log b a 1 ≥log b a 2, შესაბამისად. შემდეგ, იგივე საფუძვლების მქონე ხარისხების თვისებების მიხედვით, ტოლობები b log b a 1 ≥b log b a 2 და b log b a 1 ≥b log b a 2 უნდა დაკმაყოფილდეს, ანუ a 1 ≥a 2 . ამრიგად, ჩვენ მივედით წინააღმდეგობაში a 1 პირობასთან

ბიბლიოგრაფია.

• კოლმოგოროვი A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. და სხვა.ალგებრა და ანალიზის დასაწყისი: სახელმძღვანელო ზოგადსაგანმანათლებლო დაწესებულებების 10-11 კლასებისთვის.
• გუსევი V.A., Mordkovich A.G. მათემატიკა (სახელმძღვანელო ტექნიკური სასწავლებლების მსურველთათვის).