ამ გაკვეთილზე ჩვენ შევისწავლით წრისა და სწორი ხაზის ურთიერთქმედების სხვადასხვა ვარიანტს. ჩვენ ვიხსენებთ ამ შემთხვევაში ფართოდ გამოყენებულ განმარტებებს. სწორი ხაზი არის განუსაზღვრელი აქსიომატური გეომეტრიული ფიგურა, რომელიც არის სწორი სწორი ხაზი დასაწყისისა და დასასრულის გარეშე. წრე არის წერტილების ერთობლიობა, რომელიც თანაბარი მანძილით არის დაშორებული საერთო ცენტრისგან (წრის ცენტრიდან), რომელიც დაკავშირებულია საერთო მრუდით. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, წრე არის რეგულარული დახურული მრუდი, რომელიც ასახავს მაქსიმალურ შესაძლო ფართობს.

მკაცრად რომ ვთქვათ, არსებობს წრის და ხაზის შედარებითი პოზიციის სამი ვარიანტი. პირველ შემთხვევაში, სწორი ხაზი მთლიანად დევს მოცემულ წრის გარეთ, არც კვეთს მას და არც სადმე ეხება. თუ წრფე ეხება წრის სიმრავლიდან ზუსტად ერთ გარკვეულ წერტილს, მაშინ ამ წრფეს ეწოდება ტანგენსი მოცემულ წრის მიმართ.

ტანგენტს აქვს ერთი მნიშვნელოვანი თვისება. შეხების წერტილამდე მიყვანილი რადიუსი თავად ხაზის პერპენდიკულარულია. ვიდეოში ნაჩვენებია წრე O ცენტრით, A წრფე და K წერტილის ტანგენტი. ვინაიდან ეს წერტილი მხოლობით რიცხვშია, A წრფე არის ამ წრეზე ტანგენსი. და კუთხე K-ზე, რომელიც წარმოიქმნება რადიუსით და ხაზის ნებისმიერი ნაწილით, მართია - უდრის 90 გრადუსს. ასევე აღსანიშნავია მნიშვნელოვანი მახასიათებელი - ტანგენტს მხოლოდ ერთი შეხების წერტილი აქვს. შეუძლებელია სწორი ხაზის დახატვა ისე, რომ იგი შეეხოს წრის ტანგენტს ორ წერტილს.
თუ ჩვენი ხაზი A გადის მთელ წრეზე და გავლენას ახდენს მის შიდა რეგიონზე, მაშინ ეს უკვე მესამე განსაკუთრებული შემთხვევაა ამ ფიგურების ურთიერთქმედების. ამ შემთხვევაში სწორი ხაზი გადის მკაცრად ორ წერტილს წრეზე - ვთქვათ, B და C. მას წრის სეკანტი ეწოდება. სეკანტი ყოველთვის გადის მრუდის სიმრავლიდან მხოლოდ რომელიმე ორ წერტილში. იმის გამო, რომ წრეში ბევრი წერტილია, შესაძლებელია მოცემულ წრეზე უსასრულო რაოდენობის სეკანტების (ასევე ტანგენტების) დახატვა.

სკანტური ხაზის შიდა ნაწილი, ფაქტობრივად, BC სეგმენტი, არის წრის აკორდი. თუ სეკანტი გადის წრის ცენტრში, მაშინ მისი შიდა ნაწილი წარმოდგენილია ყველაზე დიდი აკორდით - დიამეტრით. ამ შემთხვევაში გადაკვეთის წერტილები B და C არიან ყველაზე დიდ მანძილზე ერთმანეთისგან (დიამეტრის თვისების მიხედვით). ადვილი გასაგებია, რომ საპირისპირო განსაკუთრებული შემთხვევა არის სეკანტი, რომელიც ქმნის უსასრულო მნიშვნელობის აკორდს, ფაქტობრივად, ეს უკვე ტანგენტია.

პრობლემებში ხშირად გვხვდება P სეგმენტი - ის აკავშირებს უმოკლეს გზას სწორი ხაზის შესაფერის წერტილთან და თავად წრის ცენტრთან. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, P არის TO სეგმენტი, სადაც T არის წერტილი BC წრფეზე. ეს სეგმენტი არის წრფის პერპენდიკულარული, მისი გაგრძელება თავად წრისკენ არის მისი რადიუსი. ამ სეგმენტის წრფივი მნიშვნელობა შეიძლება გამოითვალოს კუთხის კოსინუსის მეშვეობით, რომელიც წარმოიქმნება რადიუსით და სეკანტური ხაზით, წვეროთი კვეთის წერტილში.

გავიხსენოთ მნიშვნელოვანი განმარტება - წრის განმარტება]

განმარტება:

წრე, რომელიც ორიენტირებულია O წერტილზე და R რადიუსზე, არის სიბრტყის ყველა წერტილის სიმრავლე, რომლებიც მდებარეობს O წერტილიდან R მანძილზე.

მივაქციოთ ყურადღება, რომ კომპლექტს წრე ეწოდება. ყველაპუნქტები, რომლებიც აკმაყოფილებენ აღწერილ პირობას. განვიხილოთ მაგალითი:

კვადრატის A, B, C, D წერტილები თანაბრად არის დაშორებული E წერტილიდან, მაგრამ ისინი არ არიან წრე (ნახ. 1).

ბრინჯი. 1. ილუსტრაცია მაგალითად

ამ შემთხვევაში, ფიგურა არის წრე, რადგან ეს არის ცენტრიდან თანაბარი დაშორებული წერტილების ნაკრები.

თუ წრის რომელიმე ორ წერტილს შევაერთებთ, მივიღებთ აკორდს. ცენტრში გამავალ აკორდს დიამეტრი ეწოდება.

MB - აკორდი; AB - დიამეტრი; MnB - რკალი, მას იკუმშება აკორდი MB;

კუთხეს ცენტრალური ეწოდება.

წერტილი O არის წრის ცენტრი.

ბრინჯი. 2. ილუსტრაცია მაგალითად

ამრიგად, ჩვენ გავიხსენეთ რა არის წრე და მისი ძირითადი ელემენტები. ახლა მოდით გადავიდეთ წრისა და წრფის ფარდობითი პოზიციის გათვალისწინებაზე.

მოცემულია წრე O ცენტრით და r რადიუსით. ხაზი P, მანძილი ცენტრიდან ხაზამდე, ანუ პერპენდიკულარული OM, უდრის d-ს.

ჩვენ ვვარაუდობთ, რომ წერტილი O არ დევს P წრფეზე.

წრისა და სწორი ხაზის გათვალისწინებით, უნდა ვიპოვოთ საერთო წერტილების რაოდენობა.

შემთხვევა 1 - მანძილი წრის ცენტრიდან სწორ ხაზამდე ნაკლებია წრის რადიუსზე:

პირველ შემთხვევაში, როდესაც მანძილი d ნაკლებია r წრის რადიუსზე, წერტილი M დევს წრის შიგნით. ამ მომენტიდან ჩვენ გამოვყოფთ ორ სეგმენტს - MA და MB, რომელთა სიგრძე იქნება. ჩვენ ვიცით r და d-ის მნიშვნელობები, d არის r-ზე ნაკლები, რაც ნიშნავს, რომ გამოხატულება არსებობს და A და B წერტილები არსებობს. ეს ორი წერტილი დგას სწორ ხაზზე კონსტრუქციით. მოდით შევამოწმოთ წრეზე წევენ თუ არა. გამოთვალეთ მანძილი OA-სა და OB-ს შორის პითაგორას თეორემის გამოყენებით:

ბრინჯი. 3. საქმე 1 ილუსტრაცია

ცენტრიდან ორ წერტილამდე მანძილი წრის რადიუსის ტოლია, ამიტომ დავამტკიცეთ, რომ A და B წერტილები წრეს ეკუთვნის.

მაშ ასე, A და B წერტილები აგებით წრფეს მიეკუთვნება, ისინი წრეს მიეკუთვნებიან იმით, რაც დადასტურდა - წრეს და წრფეს ორი საერთო წერტილი აქვთ. დავამტკიცოთ, რომ სხვა პუნქტები არ არსებობს (სურ. 4).

ბრინჯი. 4. ილუსტრაცია დასამტკიცებლად

ამისათვის აიღეთ თვითნებური წერტილი C სწორ ხაზზე და ჩათვალეთ, რომ ის დევს წრეზე - მანძილი OS = r. ამ შემთხვევაში სამკუთხედი ტოლფერდაა და მისი მედიანა ON, რომელიც არ ემთხვევა OM სეგმენტს, არის სიმაღლე. ჩვენ მივიღეთ წინააღმდეგობა: O წერტილიდან წრფეზე ჩამოშვებულია ორი პერპენდიკულარი.

ამრიგად, P წრფეზე არ არის სხვა საერთო წერტილები წრესთან. ჩვენ დავამტკიცეთ, რომ იმ შემთხვევაში, როდესაც d მანძილი წრის r რადიუსზე ნაკლებია, წრფესა და წრეს მხოლოდ ორი საერთო წერტილი აქვთ.

საქმე მეორე - მანძილი წრის ცენტრიდან სწორ ხაზამდე უდრის წრის რადიუსს (ნახ. 5):

ბრინჯი. 5. საქმე 2 ილუსტრაცია

შეგახსენებთ, რომ მანძილი წერტილიდან ხაზამდე არის პერპენდიკულარულის სიგრძე, ამ შემთხვევაში OH არის პერპენდიკულარული. ვინაიდან, პირობით, სიგრძე OH უდრის წრის რადიუსს, H წერტილი მიეკუთვნება წრეს, ამიტომ H წერტილი საერთოა წრფესა და წრეზე.

მოდით დავამტკიცოთ, რომ სხვა საერთო წერტილები არ არსებობს. პირიქით: დავუშვათ, რომ წერტილი C წრფეზე ეკუთვნის წრეს. ამ შემთხვევაში მანძილი OC არის r და შემდეგ OC არის OH. მაგრამ მართკუთხა სამკუთხედში ჰიპოტენუზა OS უფრო დიდია ვიდრე ფეხი OH. ჩვენ მივიღეთ წინააღმდეგობა. ამრიგად, ვარაუდი მცდარია და არ არსებობს სხვა წერტილი, გარდა H, რომელიც საერთოა წრფესა და წრეში. ჩვენ დავამტკიცეთ, რომ ამ შემთხვევაში საერთო წერტილი უნიკალურია.

შემთხვევა 3 - მანძილი წრის ცენტრიდან სწორ ხაზამდე მეტია წრის რადიუსზე:

მანძილი წერტილიდან ხაზამდე არის პერპენდიკულარულის სიგრძე. ვხატავთ პერპენდიკულარს O წერტილიდან P სწორ ხაზამდე, ვიღებთ H წერტილს, რომელიც არ დევს წრეზე, ვინაიდან OH, პირობითად, მეტია წრის რადიუსზე. მოდით დავამტკიცოთ, რომ წრფის ნებისმიერი სხვა წერტილი არ დევს წრეზე. ეს აშკარად ჩანს მართკუთხა სამკუთხედიდან, რომლის ჰიპოტენუზა OM მეტია OH-ზე და, შესაბამისად, წრის რადიუსზე მეტი, ამიტომ წერტილი M არ მიეკუთვნება წრეს, ისევე როგორც წრფის სხვა წერტილი. ჩვენ დავამტკიცეთ, რომ ამ შემთხვევაში წრესა და წრფეს არ აქვთ საერთო წერტილები (სურ. 6).

ბრინჯი. 6. საქმე 3 ილუსტრაცია

განიხილეთ თეორემა . დავუშვათ, რომ AB წრფეს აქვს ორი საერთო წერტილი წრესთან (სურ. 7).

ბრინჯი. 7. ილუსტრაცია თეორემისთვის

ჩვენ გვაქვს აკორდი AB. წერტილი H, პირობის მიხედვით, არის AB აკორდის შუა და დევს დიამეტრი CD-ზე.

საჭიროა იმის დამტკიცება, რომ ამ შემთხვევაში დიმეტრი აკორდის პერპენდიკულარულია.

მტკიცებულება:

განვიხილოთ ტოლფერდა სამკუთხედი OAB, ის არის ტოლფერდა, ვინაიდან .

წერტილი H, პირობით, არის აკორდის შუა, რაც ნიშნავს ტოლფერდა სამკუთხედის შუა AB-ს შუას. ჩვენ ვიცით, რომ ტოლფერდა სამკუთხედის მედიანა პერპენდიკულარულია მის ფუძესთან, რაც ნიშნავს, რომ ის არის სიმაღლე: ამრიგად, დადასტურდა, რომ აკორდის შუაზე გამავალი დიამეტრი მის პერპენდიკულარულია.

სამართლიანი და საუბრის თეორემა : თუ დიამეტრი აკორდის პერპენდიკულარულია, მაშინ ის გადის მის შუა წერტილში.

მოცემულია წრე O ცენტრით, მისი დიამეტრი CD და აკორდი AB. ცნობილია, რომ დიამეტრი აკორდის პერპენდიკულარულია, საჭიროა იმის დამტკიცება, რომ იგი გადის მის შუაზე (სურ. 8).

ბრინჯი. 8. ილუსტრაცია თეორემისთვის

მტკიცებულება:

განვიხილოთ ტოლფერდა სამკუთხედი OAB, ის არის ტოლფერდა, ვინაიდან . OH, პირობით, არის სამკუთხედის სიმაღლე, რადგან დიამეტრი აკორდის პერპენდიკულარულია. ტოლფერდა სამკუთხედში სიმაღლე ასევე არის მედიანა, ამიტომ AH = HB, რაც ნიშნავს, რომ H წერტილი არის AB აკორდის შუა წერტილი, რაც ნიშნავს, რომ დადასტურებულია, რომ აკორდის პერპენდიკულარული დიამეტრი გადის მის შუა წერტილში.

პირდაპირი და შებრუნებული თეორემა შეიძლება განზოგადდეს შემდეგნაირად.

თეორემა:

დიამეტრი აკორდის პერპენდიკულარულია, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ის გადის მის შუა წერტილში.

ასე რომ, ჩვენ განვიხილეთ სწორი ხაზისა და წრის ურთიერთმოწყობის ყველა შემთხვევა. შემდეგ გაკვეთილზე განვიხილავთ წრის ტანგენტს.

ბიბლიოგრაფია

1. ალექსანდროვი ა.დ. და ა.შ გეომეტრია მე-8 კლასი. - მ.: განათლება, 2006 წ.
2. ბუტუზოვი V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. გეომეტრია 8. - მ.: განმანათლებლობა, 2011 წ.
3. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. გეომეტრია მე-8 კლასი. - M.: VENTANA-GRAF, 2009 წ.

1. edu.glavsprav.ru ().
2. Webmath.exponenta.ru().
3. Fmclass.ru ().

Საშინაო დავალება

ამოცანა 1. იპოვეთ აკორდის ორი სეგმენტის სიგრძე, რომლებშიც წრის დიამეტრი ყოფს მას, თუ აკორდის სიგრძე 16 სმ-ია, დიამეტრი კი მასზე პერპენდიკულარულია.

დავალება 2. მიუთითეთ სწორი წრფისა და წრის საერთო წერტილების რაოდენობა, თუ:

ა) მანძილი სწორი ხაზიდან წრის ცენტრამდე 6 სმ, ხოლო წრის რადიუსი 6,05 სმ;

ბ) მანძილი სწორი ხაზიდან წრის ცენტრამდე 6,05 სმ, ხოლო წრის რადიუსი 6 სმ;

გ) მანძილი სწორი ხაზიდან წრის ცენტრამდე 8 სმ, წრის რადიუსი კი 16 სმ.

ამოცანა 3. იპოვეთ აკორდის სიგრძე, თუ დიამეტრი მასზე პერპენდიკულარულია, ხოლო მისგან დიამეტრით მოწყვეტილი ერთ-ერთი სეგმენტი არის 2 სმ.

წრე- გეომეტრიული ფიგურა, რომელიც შედგება სიბრტყის ყველა წერტილისგან, რომელიც მდებარეობს მოცემული წერტილიდან მოცემულ მანძილზე.

ამ წერტილს (O) ეწოდება წრის ცენტრი.
წრის რადიუსიარის ხაზის სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს ცენტრს წრის წერტილთან. ყველა რადიუსს აქვს იგივე სიგრძე (განმარტებით).
აკორდიხაზის სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს წრეზე ორ წერტილს. წრის ცენტრში გამავალ აკორდს ე.წ დიამეტრი. წრის ცენტრი არის ნებისმიერი დიამეტრის შუა წერტილი.
წრეზე ნებისმიერი ორი წერტილი ყოფს მას ორ ნაწილად. თითოეულ ამ ნაწილს ე.წ წრიული რკალი. რკალი ე.წ ნახევარწრიულითუ მისი ბოლოების დამაკავშირებელი სეგმენტი არის დიამეტრი.
ერთეული ნახევარწრის სიგრძე აღინიშნება π .
საერთო ბოლოებით ორი წრიული რკალის ხარისხის ზომების ჯამი არის 360º.
სიბრტყის წრით შემოსაზღვრული ნაწილი ეწოდება ირგვლივ.
წრიული სექტორი- წრის ნაწილი, რომელიც შემოსაზღვრულია რკალით და ორი რადიუსით, რომელიც აკავშირებს რკალის ბოლოებს წრის ცენტრთან. რკალი, რომელიც ზღუდავს სექტორს, ეწოდება სექტორის რკალი.
ორ წრეს, რომლებსაც აქვთ საერთო ცენტრი, ეწოდება კონცენტრული.
ორ წრეს, რომლებიც იკვეთება სწორი კუთხით, ეწოდება ორთოგონალური.

სწორი ხაზისა და წრის ურთიერთგანლაგება

1. თუ მანძილი წრის ცენტრიდან სწორ ხაზამდე ნაკლებია წრის რადიუსზე ( დ), მაშინ წრფესა და წრეს ორი საერთო წერტილი აქვთ. ამ შემთხვევაში, ხაზი ეწოდება სეკანტიწრესთან მიმართებაში.
2. თუ მანძილი წრის ცენტრიდან წრფემდე უდრის წრის რადიუსს, მაშინ წრფესა და წრეს მხოლოდ ერთი საერთო წერტილი აქვთ. ასეთ ხაზს ე.წ წრის ტანგენტი, და მათი საერთო წერტილი ე.წ ხაზსა და წრეს შორის შეხების წერტილი.
3. თუ მანძილი წრის ცენტრიდან ხაზამდე მეტია წრის რადიუსზე, მაშინ ხაზი და წრე არ აქვთ საერთო წერტილები
.

ცენტრალური და ჩაწერილი კუთხეები

ცენტრალური კუთხეარის კუთხე წრის ცენტრში მდებარე წვეროსთან.
ჩაწერილი კუთხეკუთხე, რომლის წვერო დევს წრეზე და რომლის გვერდები კვეთს წრეს.

ჩაწერილი კუთხის თეორემა

ჩაწერილი კუთხე იზომება რკალის ნახევარით, რომელსაც ის კვეთს.

• შედეგი 1.
  ერთიდაიგივე რკალის ქვეშ მყოფი ჩაწერილი კუთხეები ტოლია.


• შედეგი 2.
  ჩაწერილი კუთხე, რომელიც კვეთს ნახევარწრეს, არის მართი კუთხე.

თეორემა გადამკვეთი აკორდების სეგმენტების ნამრავლის შესახებ.

თუ წრის ორი აკორდი იკვეთება, მაშინ ერთი აკორდის სეგმენტების ნამრავლი უდრის მეორე აკორდის სეგმენტების ნამრავლს.

ძირითადი ფორმულები

• გარშემოწერილობა:

C = 2∙π∙R

• რკალის სიგრძე:

R \u003d C / (2 ∙ π) \u003d D / 2

• დიამეტრი:

D = C/π = 2∙R

• რკალის სიგრძე:

l = (π∙R) / 180∙α,
სადაც α - წრის რკალის სიგრძის ხარისხიანი ზომა)

• წრის ფართობი:

S = π∙R2

• წრიული სექტორის ფართობი:

S = ((π∙R 2) / 360)∙α

წრის განტოლება

• მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში რადიუსის წრის განტოლება რწერტილზე ორიენტირებული C(x o; y o) აქვს ფორმა:

(x - x o) 2 + (y - y o) 2 \u003d r 2

• საწყისზე ორიენტირებული r რადიუსის წრის განტოლება არის:

x 2 + y 2 = r 2

დიდაქტიკური მიზანი:ახალი ცოდნის ფორმირება.

გაკვეთილის მიზნები.

გაკვეთილები:

• მათემატიკური ცნებების ჩამოყალიბება: წრის ტანგენსი, სწორი ხაზისა და წრის ფარდობითი პოზიცია, პრაქტიკული კვლევითი სამუშაოს განხორციელების გზით ამ ცნებების სტუდენტების მიერ ამ ცნებების გაგებისა და რეპროდუქციის მიღწევა.

ჯანმრთელობის დაზოგვა:

• კლასში ხელსაყრელი ფსიქოლოგიური კლიმატის შექმნა;

განვითარება:

• მოსწავლეებს განუვითაროს შემეცნებითი ინტერესი, ახსნის, შედეგების განზოგადება, შედარება, შედარება, დასკვნების გამოტანა.

საგანმანათლებლო:

• განათლება პიროვნების კულტურის მათემატიკის საშუალებით.

სწავლის ფორმები:

• შინაარსი - საუბარი, პრაქტიკული მუშაობა;
• საქმიანობის ორგანიზებაზე - ინდივიდუალური, ფრონტალური.

Გაკვეთილის გეგმა

ბლოკები	გაკვეთილის ეტაპები
1 ბლოკი	ორგანიზების დრო. ახალი მასალის შესასწავლად მომზადება გამეორებით და საბაზისო ცოდნის განახლებით.
2 ბლოკი	მიზნის დასახვა.
3 ბლოკი	გაცნობა ახალ მასალაში. პრაქტიკული კვლევითი სამუშაო.
4 ბლოკი	ახალი მასალის კონსოლიდაცია პრობლემის გადაჭრის გზით
5 ბლოკი	ანარეკლი. სამუშაოს შესრულება დასრულებული ნახაზის მიხედვით.
6 ბლოკი	გაკვეთილის შეჯამება. საშინაო დავალების დაყენება.

აღჭურვილობა:

• კომპიუტერი, ეკრანი, პროექტორი;
• დარიგება.

საგანმანათლებლო რესურსები:

1. მათემატიკა. სახელმძღვანელო მე-6 კლასის საგანმანათლებლო დაწესებულებებისთვის; / გ.ვ.დოროფეევი, მ., განმანათლებლობა, 2009 წ

2. მარკოვა ვ.ი. გეომეტრიის სწავლების თავისებურებები სახელმწიფო საგანმანათლებლო სტანდარტის განხორციელების კონტექსტში: გაიდლაინები, კიროვი, 2010 წ.

3. ათანასიანი ლ.ს. სახელმძღვანელო „გეომეტრია 7-9“.

გაკვეთილების დროს

1. საორგანიზაციო მომენტი. ახალი მასალის შესასწავლად მომზადება გამეორებით და საბაზისო ცოდნის განახლებით.	მივესალმო სტუდენტებს. უთითებს გაკვეთილის თემას. გაარკვია, რა ასოციაციები წარმოიქმნება სიტყვა "წრესთან"	ჩაწერეთ გაკვეთილის თარიღი და თემა ბლოკნოტში. უპასუხეთ მასწავლებლის კითხვას.
2. გაკვეთილის მიზნის დასახვა	აჯამებს მოსწავლეების მიერ ჩამოყალიბებულ მიზნებს, ადგენს გაკვეთილის მიზნებს	ჩამოაყალიბეთ გაკვეთილის მიზნები.
3. ახალი მასალის გაცნობა.	აწყობს საუბარს, სთხოვს მოდელებს აჩვენონ, როგორ შეიძლება განთავსდეს წრე და სწორი ხაზი. პრაქტიკული სამუშაოს ორგანიზება. აწყობს სახელმძღვანელოსთან მუშაობას.	უპასუხეთ მასწავლებლის კითხვებს. პრაქტიკული სამუშაოს შესრულება, დასკვნის გამოტანა. მუშაობენ სახელმძღვანელოსთან, პოულობენ დასკვნას და ადარებენ საკუთარს.
4. პირველადი გააზრება, კონსოლიდაცია პრობლემის გადაჭრის გზით.	აწყობს მუშაობას მზა ნახაზების მიხედვით. სახელმძღვანელოსთან მუშაობა: გვ. 103 No498, No499. Პრობლემის გადაჭრა	ზეპირად გადაჭრით პრობლემები და გააკეთეთ კომენტარი გამოსავალზე. შეასრულეთ პრობლემის გადაჭრა და კომენტარი.
5. რეფლექსია. სამუშაოს შესრულება დასრულებული ნახაზის მიხედვით	ავალებს სამუშაოს შესრულებას.	დაასრულეთ დავალება დამოუკიდებლად. Საკუთარი თავის გამოცდა. შეჯამება.
6. შეჯამება. საშინაო დავალების დაყენება	მოსწავლეებს ეპატიჟებიან გაკვეთილის დასაწყისში შედგენილი კლასტერის გაანალიზება, მიღებული ცოდნის გათვალისწინებით დახვეწა.	შეჯამება. მოსწავლეები მიმართავენ დასახულ მიზნებს, აანალიზებენ შედეგებს: რა ისწავლეს ახალი, რა ისწავლეს გაკვეთილზე

1. საორგანიზაციო მომენტი. ცოდნის განახლება.

მასწავლებელი უყვება გაკვეთილის თემას. აღმოაჩენს რა ასოციაციები წარმოიქმნება სიტყვა "წრესთან".

რა არის წრის დიამეტრი, თუ რადიუსი არის 2,4 სმ?

რა არის რადიუსი, თუ დიამეტრი არის 6,8 სმ?

2. მიზნის დასახვა.

მოსწავლეები ადგენენ გაკვეთილის მიზნებს, მასწავლებელი აჯამებს მათ და ადგენს გაკვეთილის მიზნებს.

შედგენილია გაკვეთილზე აქტივობების პროგრამა.

3. ახალი მასალის გაცნობა.

1) მოდელებთან მუშაობა: „მოდელებზე აჩვენე, როგორ შეიძლება იყოს სწორი ხაზი და წრე სიბრტყეზე“.

რამდენი საერთო წერტილი აქვთ მათ?

2) პრაქტიკული კვლევითი სამუშაოების განხორციელება.

სამიზნე. დააყენეთ წრფის და წრის ფარდობითი პოზიციის თვისება.

აღჭურვილობა: ფურცელზე დახატული წრე და ჯოხი, როგორც სწორი ხაზი, სახაზავი.

1. ფიგურაში (ქაღალდის ფურცელზე) დააყენეთ წრის და სწორი ხაზის შედარებითი პოზიცია.
2. გაზომეთ R წრის რადიუსი და მანძილი წრის ცენტრიდან დ სწორ ხაზამდე.
3. ჩაწერეთ კვლევის შედეგები ცხრილში.

Სურათი	ურთიერთშეთანხმება	საერთო წერტილების რაოდენობა	წრის რადიუსი R	მანძილი წრის ცენტრიდან დ ხაზამდე	შეადარეთ რ და დ

4. სწორი ხაზისა და წრის ფარდობითი პოზიციის შესახებ დასკვნა R და d-ის შეფარდების მიხედვით.

დასკვნა: თუ მანძილი წრის ცენტრიდან წრფემდე უდრის რადიუსს, მაშინ წრფე ეხება წრეს და აქვს ერთი საერთო წერტილი წრესთან. თუ მანძილი წრის ცენტრიდან წრფემდე რადიუსზე მეტია, მაშინ წრესა და ხაზს საერთო წერტილები არ აქვთ. თუ მანძილი წრის ცენტრიდან წრფემდე რადიუსზე ნაკლებია, წრფე კვეთს წრეს და აქვს მასთან ორი საერთო წერტილი.

5. პირველადი გააზრება, კონსოლიდაცია პრობლემის გადაჭრის გზით.

1)სახელმძღვანელო დავალებები: No498, No499.

2) განსაზღვრეთ წრფისა და წრის ფარდობითი პოზიცია, თუ:

• 1. R=16cm, d=12cm
• 2. R=5სმ, d=4.2სმ
• 3. R=7.2dm, d=3.7dm
• 4. R=8 სმ, d=1.2dm
• 5. R=5cm, d=50mm

ა) წრფესა და წრეს არ აქვთ საერთო წერტილები;

ბ) წრფე არის წრეზე ტანგენსი;

გ) წრფე კვეთს წრეს.

• d არის მანძილი წრის ცენტრიდან სწორ ხაზამდე, R არის წრის რადიუსი.

3) რა შეიძლება ითქვას წრფისა და წრის ფარდობით პოზიციაზე, თუ წრის დიამეტრი არის 10,3 სმ, ხოლო მანძილი წრის ცენტრიდან ხაზამდე 4,15 სმ; 2 დმ; 103 მმ; 5,15 სმ, 1 დმ 3 სმ.

4) მოცემულია წრე O ცენტრით და A წერტილით. სად არის A წერტილი, თუ წრის რადიუსი არის 7 სმ, ხოლო OA მონაკვეთის სიგრძე: ა) 4 სმ; ბ) 10 სმ; გ) 70 მმ.

6. რეფლექსია

რა ისწავლეთ გაკვეთილზე?

რა წესია დადგენილი?

შეასრულეთ შემდეგი დავალებები ბარათებზე:

გაავლეთ ხაზი ყოველ ორ წერტილში. რამდენი საერთო წერტილი აქვს თითოეულ წრფეს წრესთან.

წრფეს ______ და წრეს არ აქვთ საერთო წერტილები.

წრფეს ______ და წრეს აქვს მხოლოდ ერთი ___________ წერტილი.

წრფეებს ______, _______, ________, _______ და წრეს აქვთ ორი საერთო წერტილი.

7. შეჯამება. საშინაო დავალების დაყენება:

1) გაკვეთილის დასაწყისში შედგენილი მტევნის ანალიზი, მიღებული ცოდნის გათვალისწინებით დახვეწა;

2) სახელმძღვანელო: No500;

3) შეავსეთ ცხრილი (ბარათებზე).

წრის რადიუსი	4 სმ	6.2 სმ	3.5 სმ	1.8 სმ
მანძილი წრის ცენტრიდან ხაზამდე	7 სმ	5.12 სმ	3.5 სმ		9.3 სმ	8,25 მ
დასკვნა წრის და წრფის ფარდობითი პოზიციის შესახებ				პირდაპირ კვეთს წრეს	პირდაპირ წრეს ეხება	პირდაპირ არ კვეთს წრეს

გავიხსენოთ მნიშვნელოვანი განმარტება - წრის განმარტება]

განმარტება:

წრე, რომელიც ორიენტირებულია O წერტილზე და R რადიუსზე, არის სიბრტყის ყველა წერტილის სიმრავლე, რომლებიც მდებარეობს O წერტილიდან R მანძილზე.

მივაქციოთ ყურადღება, რომ კომპლექტს წრე ეწოდება. ყველაპუნქტები, რომლებიც აკმაყოფილებენ აღწერილ პირობას. განვიხილოთ მაგალითი:

კვადრატის A, B, C, D წერტილები თანაბრად არის დაშორებული E წერტილიდან, მაგრამ ისინი არ არიან წრე (ნახ. 1).

ბრინჯი. 1. ილუსტრაცია მაგალითად

ამ შემთხვევაში, ფიგურა არის წრე, რადგან ეს არის ცენტრიდან თანაბარი დაშორებული წერტილების ნაკრები.

თუ წრის რომელიმე ორ წერტილს შევაერთებთ, მივიღებთ აკორდს. ცენტრში გამავალ აკორდს დიამეტრი ეწოდება.

MB - აკორდი; AB - დიამეტრი; MnB - რკალი, მას იკუმშება აკორდი MB;

კუთხეს ცენტრალური ეწოდება.

წერტილი O არის წრის ცენტრი.

ბრინჯი. 2. ილუსტრაცია მაგალითად

ამრიგად, ჩვენ გავიხსენეთ რა არის წრე და მისი ძირითადი ელემენტები. ახლა მოდით გადავიდეთ წრისა და წრფის ფარდობითი პოზიციის გათვალისწინებაზე.

მოცემულია წრე O ცენტრით და r რადიუსით. ხაზი P, მანძილი ცენტრიდან ხაზამდე, ანუ პერპენდიკულარული OM, უდრის d-ს.

ჩვენ ვვარაუდობთ, რომ წერტილი O არ დევს P წრფეზე.

წრისა და სწორი ხაზის გათვალისწინებით, უნდა ვიპოვოთ საერთო წერტილების რაოდენობა.

შემთხვევა 1 - მანძილი წრის ცენტრიდან სწორ ხაზამდე ნაკლებია წრის რადიუსზე:

პირველ შემთხვევაში, როდესაც მანძილი d ნაკლებია r წრის რადიუსზე, წერტილი M დევს წრის შიგნით. ამ მომენტიდან ჩვენ გამოვყოფთ ორ სეგმენტს - MA და MB, რომელთა სიგრძე იქნება. ჩვენ ვიცით r და d-ის მნიშვნელობები, d არის r-ზე ნაკლები, რაც ნიშნავს, რომ გამოხატულება არსებობს და A და B წერტილები არსებობს. ეს ორი წერტილი დგას სწორ ხაზზე კონსტრუქციით. მოდით შევამოწმოთ წრეზე წევენ თუ არა. გამოთვალეთ მანძილი OA-სა და OB-ს შორის პითაგორას თეორემის გამოყენებით:

ბრინჯი. 3. საქმე 1 ილუსტრაცია

ცენტრიდან ორ წერტილამდე მანძილი წრის რადიუსის ტოლია, ამიტომ დავამტკიცეთ, რომ A და B წერტილები წრეს ეკუთვნის.

მაშ ასე, A და B წერტილები აგებით წრფეს მიეკუთვნება, ისინი წრეს მიეკუთვნებიან იმით, რაც დადასტურდა - წრეს და წრფეს ორი საერთო წერტილი აქვთ. დავამტკიცოთ, რომ სხვა პუნქტები არ არსებობს (სურ. 4).

ბრინჯი. 4. ილუსტრაცია დასამტკიცებლად

ამისათვის აიღეთ თვითნებური წერტილი C სწორ ხაზზე და ჩათვალეთ, რომ ის დევს წრეზე - მანძილი OS = r. ამ შემთხვევაში სამკუთხედი ტოლფერდაა და მისი მედიანა ON, რომელიც არ ემთხვევა OM სეგმენტს, არის სიმაღლე. ჩვენ მივიღეთ წინააღმდეგობა: O წერტილიდან წრფეზე ჩამოშვებულია ორი პერპენდიკულარი.

ამრიგად, P წრფეზე არ არის სხვა საერთო წერტილები წრესთან. ჩვენ დავამტკიცეთ, რომ იმ შემთხვევაში, როდესაც d მანძილი წრის r რადიუსზე ნაკლებია, წრფესა და წრეს მხოლოდ ორი საერთო წერტილი აქვთ.

საქმე მეორე - მანძილი წრის ცენტრიდან სწორ ხაზამდე უდრის წრის რადიუსს (ნახ. 5):

ბრინჯი. 5. საქმე 2 ილუსტრაცია

შეგახსენებთ, რომ მანძილი წერტილიდან ხაზამდე არის პერპენდიკულარულის სიგრძე, ამ შემთხვევაში OH არის პერპენდიკულარული. ვინაიდან, პირობით, სიგრძე OH უდრის წრის რადიუსს, H წერტილი მიეკუთვნება წრეს, ამიტომ H წერტილი საერთოა წრფესა და წრეზე.

მოდით დავამტკიცოთ, რომ სხვა საერთო წერტილები არ არსებობს. პირიქით: დავუშვათ, რომ წერტილი C წრფეზე ეკუთვნის წრეს. ამ შემთხვევაში მანძილი OC არის r და შემდეგ OC არის OH. მაგრამ მართკუთხა სამკუთხედში ჰიპოტენუზა OS უფრო დიდია ვიდრე ფეხი OH. ჩვენ მივიღეთ წინააღმდეგობა. ამრიგად, ვარაუდი მცდარია და არ არსებობს სხვა წერტილი, გარდა H, რომელიც საერთოა წრფესა და წრეში. ჩვენ დავამტკიცეთ, რომ ამ შემთხვევაში საერთო წერტილი უნიკალურია.

შემთხვევა 3 - მანძილი წრის ცენტრიდან სწორ ხაზამდე მეტია წრის რადიუსზე:

მანძილი წერტილიდან ხაზამდე არის პერპენდიკულარულის სიგრძე. ვხატავთ პერპენდიკულარს O წერტილიდან P სწორ ხაზამდე, ვიღებთ H წერტილს, რომელიც არ დევს წრეზე, ვინაიდან OH, პირობითად, მეტია წრის რადიუსზე. მოდით დავამტკიცოთ, რომ წრფის ნებისმიერი სხვა წერტილი არ დევს წრეზე. ეს აშკარად ჩანს მართკუთხა სამკუთხედიდან, რომლის ჰიპოტენუზა OM მეტია OH-ზე და, შესაბამისად, წრის რადიუსზე მეტი, ამიტომ წერტილი M არ მიეკუთვნება წრეს, ისევე როგორც წრფის სხვა წერტილი. ჩვენ დავამტკიცეთ, რომ ამ შემთხვევაში წრესა და წრფეს არ აქვთ საერთო წერტილები (სურ. 6).

ბრინჯი. 6. საქმე 3 ილუსტრაცია

განიხილეთ თეორემა . დავუშვათ, რომ AB წრფეს აქვს ორი საერთო წერტილი წრესთან (სურ. 7).

ბრინჯი. 7. ილუსტრაცია თეორემისთვის

ჩვენ გვაქვს აკორდი AB. წერტილი H, პირობის მიხედვით, არის AB აკორდის შუა და დევს დიამეტრი CD-ზე.

საჭიროა იმის დამტკიცება, რომ ამ შემთხვევაში დიმეტრი აკორდის პერპენდიკულარულია.

მტკიცებულება:

განვიხილოთ ტოლფერდა სამკუთხედი OAB, ის არის ტოლფერდა, ვინაიდან .

წერტილი H, პირობით, არის აკორდის შუა, რაც ნიშნავს ტოლფერდა სამკუთხედის შუა AB-ს შუას. ჩვენ ვიცით, რომ ტოლფერდა სამკუთხედის მედიანა პერპენდიკულარულია მის ფუძესთან, რაც ნიშნავს, რომ ის არის სიმაღლე: ამრიგად, დადასტურდა, რომ აკორდის შუაზე გამავალი დიამეტრი მის პერპენდიკულარულია.

სამართლიანი და საუბრის თეორემა : თუ დიამეტრი აკორდის პერპენდიკულარულია, მაშინ ის გადის მის შუა წერტილში.

მოცემულია წრე O ცენტრით, მისი დიამეტრი CD და აკორდი AB. ცნობილია, რომ დიამეტრი აკორდის პერპენდიკულარულია, საჭიროა იმის დამტკიცება, რომ იგი გადის მის შუაზე (სურ. 8).

ბრინჯი. 8. ილუსტრაცია თეორემისთვის

მტკიცებულება:

განვიხილოთ ტოლფერდა სამკუთხედი OAB, ის არის ტოლფერდა, ვინაიდან . OH, პირობით, არის სამკუთხედის სიმაღლე, რადგან დიამეტრი აკორდის პერპენდიკულარულია. ტოლფერდა სამკუთხედში სიმაღლე ასევე არის მედიანა, ამიტომ AH = HB, რაც ნიშნავს, რომ H წერტილი არის AB აკორდის შუა წერტილი, რაც ნიშნავს, რომ დადასტურებულია, რომ აკორდის პერპენდიკულარული დიამეტრი გადის მის შუა წერტილში.

პირდაპირი და შებრუნებული თეორემა შეიძლება განზოგადდეს შემდეგნაირად.

თეორემა:

დიამეტრი აკორდის პერპენდიკულარულია, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ის გადის მის შუა წერტილში.

ასე რომ, ჩვენ განვიხილეთ სწორი ხაზისა და წრის ურთიერთმოწყობის ყველა შემთხვევა. შემდეგ გაკვეთილზე განვიხილავთ წრის ტანგენტს.

ბიბლიოგრაფია

1. ალექსანდროვი ა.დ. და ა.შ გეომეტრია მე-8 კლასი. - მ.: განათლება, 2006 წ.
2. ბუტუზოვი V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. გეომეტრია 8. - მ.: განმანათლებლობა, 2011 წ.
3. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. გეომეტრია მე-8 კლასი. - M.: VENTANA-GRAF, 2009 წ.

1. edu.glavsprav.ru ().
2. Webmath.exponenta.ru().
3. Fmclass.ru ().

Საშინაო დავალება

ამოცანა 1. იპოვეთ აკორდის ორი სეგმენტის სიგრძე, რომლებშიც წრის დიამეტრი ყოფს მას, თუ აკორდის სიგრძე 16 სმ-ია, დიამეტრი კი მასზე პერპენდიკულარულია.

დავალება 2. მიუთითეთ სწორი წრფისა და წრის საერთო წერტილების რაოდენობა, თუ:

ა) მანძილი სწორი ხაზიდან წრის ცენტრამდე 6 სმ, ხოლო წრის რადიუსი 6,05 სმ;

ბ) მანძილი სწორი ხაზიდან წრის ცენტრამდე 6,05 სმ, ხოლო წრის რადიუსი 6 სმ;

გ) მანძილი სწორი ხაზიდან წრის ცენტრამდე 8 სმ, წრის რადიუსი კი 16 სმ.

ამოცანა 3. იპოვეთ აკორდის სიგრძე, თუ დიამეტრი მასზე პერპენდიკულარულია, ხოლო მისგან დიამეტრით მოწყვეტილი ერთ-ერთი სეგმენტი არის 2 სმ.