მისი განმარტებიდან გამომდინარე. ასე რომ, რიცხვის ლოგარითმი ბმიზეზით აგანისაზღვრება, როგორც მაჩვენებლით, რომელზეც რიცხვი უნდა გაიზარდოს ანომრის მისაღებად ბ(ლოგარითმი არსებობს მხოლოდ დადებითი რიცხვებისთვის).

ამ ფორმულირებიდან გამომდინარეობს, რომ გაანგარიშება x=log a b, უდრის განტოლების ამოხსნას ცული=ბ.Მაგალითად, ჟურნალი 2 8 = 3რადგან 8 = 2 3 . ლოგარითმის ფორმულირება იძლევა იმის დასაბუთებას, რომ თუ b=a გ, შემდეგ რიცხვის ლოგარითმი ბმიზეზით აუდრის თან. ასევე ცხადია, რომ ლოგარითმის თემა მჭიდროდ არის დაკავშირებული რიცხვის სიმძლავრის თემასთან.

ლოგარითმებით, ისევე როგორც ნებისმიერი რიცხვით, შეგიძლიათ შეასრულოთ შეკრების, გამოკლების ოპერაციებიდა გარდაიქმნება ყველა შესაძლო გზით. მაგრამ იმის გათვალისწინებით, რომ ლოგარითმები არ არის საკმაოდ ჩვეულებრივი რიცხვები, აქ მოქმედებს მათი სპეციალური წესები, რომლებიც ე.წ. ძირითადი თვისებები.

ლოგარითმების შეკრება და გამოკლება.

აიღეთ ორი ლოგარითმი ერთი და იგივე ფუძით: ჟურნალი xდა შესვლა y. შემდეგ ამოღება შესაძლებელია შეკრების და გამოკლების ოპერაციების შესრულება:

log a x+ log a y= log a (x y);

log a x - log a y = log a (x:y).

ჟურნალი ა(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = ჟურნალი x 1 + ჟურნალი x 2 + ჟურნალი x 3 + ... + log a x k.

დან კოეფიციენტის ლოგარითმის თეორემებიშეიძლება მივიღოთ ლოგარითმის კიდევ ერთი თვისება. ცნობილია, რომ ჟურნალი ა 1 = 0, შესაბამისად,

ჟურნალი ა 1 /ბ= ჟურნალი ა 1 - ჟურნალი ბ= -ლოგი ბ.

ასე რომ, არის თანასწორობა:

log a 1 / b = - log a b.

ორი ურთიერთშებრუნებული რიცხვის ლოგარითმებიიმავე საფუძველზე ერთმანეთისგან მხოლოდ ნიშნით განსხვავდებიან. Ისე:

ჟურნალი 3 9= - ჟურნალი 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.

რა არის ლოგარითმი?

ყურადღება!
არის დამატებითი
მასალა 555-ე სპეციალურ ნაწილში.
მათთვის, ვინც მტკიცედ "არა ძალიან ..."
და მათთვის, ვინც "ძალიან...")

რა არის ლოგარითმი? როგორ ამოხსნათ ლოგარითმები? ეს კითხვები ბევრ კურსდამთავრებულს აბნევს. ტრადიციულად, ლოგარითმების თემა განიხილება რთული, გაუგებარი და საშინელი. განსაკუთრებით - განტოლებები ლოგარითმებით.

ეს აბსოლუტურად არ შეესაბამება სიმართლეს. აბსოლუტურად! არ გჯერა? კარგი. ახლა, დაახლოებით 10-20 წუთის განმავლობაში თქვენ:

1. გაიგე რა არის ლოგარითმი.

2. ისწავლეთ ექსპონენციალური განტოლებების მთელი კლასის ამოხსნა. მაშინაც კი, თუ მათ შესახებ არ გსმენიათ.

3. ისწავლეთ მარტივი ლოგარითმების გამოთვლა.

უფრო მეტიც, ამისათვის თქვენ მხოლოდ უნდა იცოდეთ გამრავლების ცხრილი და როგორ ხდება რიცხვი ხარისხამდე ...

ვგრძნობ, რომ ეჭვი გეპარებათ... აბა, დაიცავით დრო! წადი!

ჯერ გონებაში ამოხსენით შემდეგი განტოლება:

თუ მოგწონთ ეს საიტი...

სხვათა შორის, მე მაქვს კიდევ რამდენიმე საინტერესო საიტი თქვენთვის.)

შეგიძლიათ ივარჯიშოთ მაგალითების ამოხსნაში და გაიგოთ თქვენი დონე. ტესტირება მყისიერი გადამოწმებით. სწავლა - ინტერესით!)

შეგიძლიათ გაეცნოთ ფუნქციებს და წარმოებულებს.

ამ სტატიის ყურადღება გამახვილებულია ლოგარითმი. აქ მივცემთ ლოგარითმის განმარტებას, ვაჩვენებთ მიღებულ აღნიშვნას, მოვიყვანთ ლოგარითმების მაგალითებს და ვისაუბრებთ ბუნებრივ და ათობითი ლოგარითმებზე. ამის შემდეგ განიხილეთ ძირითადი ლოგარითმული იდენტობა.

გვერდის ნავიგაცია.

ლოგარითმის განმარტება

ლოგარითმის კონცეფცია წარმოიქმნება პრობლემის გადაჭრისას გარკვეული გაგებით ინვერსიულად, როდესაც თქვენ გჭირდებათ მაჩვენებლის პოვნა ხარისხის ცნობილი მნიშვნელობიდან და ცნობილი ფუძიდან.

მაგრამ საკმარისი პრეამბულა, დროა ვუპასუხოთ კითხვას "რა არის ლოგარითმი"? მოდით მივცეთ შესაბამისი განმარტება.

განმარტება.

b-ის ლოგარითმი a ფუძემდე, სადაც a>0 , a≠1 და b>0 არის მაჩვენებელი, რომელზედაც თქვენ უნდა აწიოთ რიცხვი a რომ მიიღოთ b შედეგად.

ამ ეტაპზე ჩვენ აღვნიშნავთ, რომ წარმოთქმულმა სიტყვამ „ლოგარითმი“ დაუყოვნებლივ უნდა წამოჭრას ორი შემდეგი კითხვა: „რა რიცხვი“ და „რის საფუძველზე“. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, უბრალოდ არ არსებობს ლოგარითმი, მაგრამ არის მხოლოდ რიცხვის ლოგარითმი ზოგიერთ ბაზაში.

ჩვენ დაუყოვნებლივ გავაცნობთ ლოგარითმის აღნიშვნა: b რიცხვის ლოგარითმი a ფუძემდე ჩვეულებრივ აღინიშნება როგორც log a b . b რიცხვის ლოგარითმს e ფუძეზე და ლოგარითმს 10 ფუძესთან აქვთ საკუთარი სპეციალური აღნიშვნები, შესაბამისად, lnb და lgb, ანუ წერენ არა log e b, არამედ lnb და არა log 10 b, არამედ lgb.

ახლა თქვენ შეგიძლიათ მოიტანოთ: .
და ჩანაწერები აზრი არ აქვს, რადგან პირველში არის უარყოფითი რიცხვი ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ, მეორეში - უარყოფითი რიცხვი ფუძეში, ხოლო მესამეში - ორივე უარყოფითი რიცხვი ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ და ერთეული ბაზაში.

ახლა მოდით ვისაუბროთ ლოგარითმების წაკითხვის წესები. ჩანაწერი a b იკითხება როგორც "b-ის ლოგარითმი a ფუძემდე". მაგალითად, log 2 3 არის ლოგარითმი სამიდან 2 ფუძემდე, და არის ლოგარითმი ორი მთელი რიცხვის ორი ფუძის მესამედის კვადრატული ფესვის ხუთიდან. ლოგარითმი e-ს ბაზაზე ეწოდება ბუნებრივი ლოგარითმი, ხოლო აღნიშვნა lnb იკითხება როგორც "ბ-ის ბუნებრივი ლოგარითმი". მაგალითად, ln7 არის შვიდის ბუნებრივი ლოგარითმი და ჩვენ მას წავიკითხავთ, როგორც pi-ს ბუნებრივ ლოგარითმს. 10-ე ბაზის ლოგარითმს ასევე აქვს სპეციალური სახელი - ათობითი ლოგარითმი, ხოლო აღნიშვნა lgb იკითხება როგორც "ათწილადი ლოგარითმი b". მაგალითად, lg1 არის ერთის ათობითი ლოგარითმი, ხოლო lg2.75 არის ორი წერტილის სამოცდათხუთმეტი მეასედის ათობითი ლოგარითმი.

ცალკე ღირს შეჩერება a>0, a≠1 და b>0 პირობებზე, რომლებშიც მოცემულია ლოგარითმის განმარტება. მოდით განვმარტოთ, საიდან მოდის ეს შეზღუდვები. ამაში დაგვეხმარება ფორმის ტოლობა, რომელსაც ეწოდება , რომელიც პირდაპირ გამომდინარეობს ზემოთ მოცემული ლოგარითმის განმარტებიდან.

დავიწყოთ a≠1-ით. ვინაიდან ერთი უდრის ერთს ნებისმიერი სიმძლავრის, ტოლობა შეიძლება იყოს ჭეშმარიტი მხოლოდ b=1-ისთვის, მაგრამ log 1 1 შეიძლება იყოს ნებისმიერი რეალური რიცხვი. ამ გაურკვევლობის თავიდან ასაცილებლად, მიღებულია a≠1.

დავამტკიცოთ a>0 პირობის მიზანშეწონილობა. a=0-ით, ლოგარითმის განმარტებით, გვექნებოდა ტოლობა, რაც შესაძლებელია მხოლოდ b=0-ით. მაგრამ მაშინ log 0 0 შეიძლება იყოს ნებისმიერი არანულოვანი რეალური რიცხვი, ვინაიდან ნული ნებისმიერ არანულოვან სიმძლავრემდე არის ნული. ამ გაურკვევლობის თავიდან აცილება შესაძლებელია a≠0 პირობით. და ამისთვის ა<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

და ბოლოს, პირობა b>0 გამომდინარეობს უტოლობიდან a>0 , ვინაიდან , და a დადებითი ფუძის მქონე ხარისხის მნიშვნელობა ყოველთვის დადებითია.

ამ პუნქტის დასასრულს, ჩვენ ვამბობთ, რომ ლოგარითმის გაჟღერებული განმარტება საშუალებას გაძლევთ დაუყოვნებლივ მიუთითოთ ლოგარითმის მნიშვნელობა, როდესაც ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ რიცხვი არის ბაზის გარკვეული ხარისხი. მართლაც, ლოგარითმის განმარტება გვაძლევს იმის მტკიცებას, რომ თუ b=a p, მაშინ b რიცხვის ლოგარითმი a ფუძემდე უდრის p. ანუ, ტოლობის ჟურნალი a a p =p არის ჭეშმარიტი. მაგალითად, ჩვენ ვიცით, რომ 2 3 =8, შემდეგ log 2 8=3. ამის შესახებ დაწვრილებით სტატიაში ვისაუბრებთ.

დღეს ჩვენ ვისაუბრებთ ლოგარითმის ფორმულებიდა დემონსტრირება გადაწყვეტის მაგალითები.

თავისთავად, ისინი გულისხმობენ ამოხსნის ნიმუშებს ლოგარითმების ძირითადი თვისებების მიხედვით. გამოსავალზე ლოგარითმის ფორმულების გამოყენებამდე, ჩვენ გავიხსენებთ, პირველ რიგში, ყველა თვისებას:

ახლა, ამ ფორმულების (თვისებების) საფუძველზე ჩვენ ვაჩვენებთ ლოგარითმების ამოხსნის მაგალითები.

ფორმულების საფუძველზე ლოგარითმების ამოხსნის მაგალითები.

ლოგარითმიდადებითი რიცხვი b a ბაზაში (აღნიშნულია log a b) არის მაჩვენებელი, რომელზეც a უნდა გაიზარდოს, რომ მივიღოთ b, b > 0, a > 0 და 1.

განმარტების მიხედვით log a b = x, რომელიც უდრის x = b-ს, ამიტომ log a x = x.

ლოგარითმები, მაგალითები:

ჟურნალი 2 8 = 3, რადგან 2 3 = 8

ჟურნალი 7 49 = 2 იმიტომ 7 2 = 49

ჟურნალი 5 1/5 = -1, რადგან 5 -1 = 1/5

ათწილადი ლოგარითმიჩვეულებრივი ლოგარითმია, რომლის ფუძეა 10. აღინიშნება lg.

ჟურნალი 10 100 = 2 რადგან 10 2 = 100

ბუნებრივი ლოგარითმი- ასევე ჩვეულებრივი ლოგარითმის ლოგარითმი, მაგრამ ე ფუძით (e \u003d 2.71828 ... - ირაციონალური რიცხვი). მოხსენიებულია როგორც ln.

სასურველია გავიხსენოთ ლოგარითმების ფორმულები ან თვისებები, რადგან ისინი მოგვიანებით დაგვჭირდება ლოგარითმების, ლოგარითმული განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნისას. მოდით ვიმუშაოთ თითოეულ ფორმულაზე ისევ მაგალითებით.

• ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა
  ჟურნალი a b = b

  8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

• ნამრავლის ლოგარითმი ლოგარითმების ჯამის ტოლია
  log a (bc) = log a b + log a c

  ჟურნალი 3 8.1 + ჟურნალი 3 10 = ჟურნალი 3 (8.1*10) = ჟურნალი 3 81 = 4

• კოეფიციენტის ლოგარითმი ლოგარითმების სხვაობის ტოლია
  log a (b/c) = log a b - log a c

  9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81

• ლოგარითმირებადი რიცხვისა და ლოგარითმის ფუძის ხარისხის თვისებები

  ლოგარითმის რიცხვის მაჩვენებელი log a b m = mlog a b

  ლოგარითმის ფუძის მაჩვენებელი log a n b =1/n*log a b

  log a n b m = m/n*log a b,

  თუ m = n, მივიღებთ log a n b n = log a b

  ჟურნალი 4 9 = ჟურნალი 2 2 3 2 = ჟურნალი 2 3

• ახალ საძირკველზე გადასვლა
  log a b = log c b / log c a,

  თუ c = b, მივიღებთ log b b = 1

  შემდეგ log a b = 1/log b a

  log 0.8 3*log 3 1.25 = log 0.8 3*log 0.8 1.25/log 0.8 3 = log 0.8 1.25 = log 4/5 5/4 = -1

როგორც ხედავთ, ლოგარითმის ფორმულები არც ისე რთულია, როგორც ჩანს. ახლა, ლოგარითმების ამოხსნის მაგალითების განხილვის შემდეგ, შეგვიძლია გადავიდეთ ლოგარითმულ განტოლებაზე. ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნის მაგალითებს უფრო დეტალურად განვიხილავთ სტატიაში: "". Არ გამოტოვოთ!

თუ ჯერ კიდევ გაქვთ შეკითხვები გადაწყვეტის შესახებ, დაწერეთ ისინი სტატიის კომენტარებში.

შენიშვნა: გადავწყვიტე სხვა კლასში სწავლა საზღვარგარეთ, როგორც ვარიანტი.

ჩვენ ვაგრძელებთ ლოგარითმების შესწავლას. ამ სტატიაში ვისაუბრებთ ლოგარითმების გამოთვლა, ამ პროცესს ე.წ ლოგარითმი. პირველ რიგში, ჩვენ განვიხილავთ ლოგარითმების გამოთვლას განმარტებით. შემდეგი, განიხილეთ, თუ როგორ არის ნაპოვნი ლოგარითმების მნიშვნელობები მათი თვისებების გამოყენებით. ამის შემდეგ, ჩვენ ვისაუბრებთ ლოგარითმების გამოთვლაზე სხვა ლოგარითმების თავდაპირველად მოცემული მნიშვნელობებით. და ბოლოს, მოდით ვისწავლოთ ლოგარითმების ცხრილების გამოყენება. მთელი თეორია მოცემულია მაგალითებით დეტალური გადაწყვეტილებებით.

გვერდის ნავიგაცია.

ლოგარითმების გამოთვლა განმარტებით

უმარტივეს შემთხვევებში შესაძლებელია სწრაფად და მარტივად შესრულება ლოგარითმის პოვნა განსაზღვრებით. მოდით უფრო დეტალურად განვიხილოთ, თუ როგორ ხდება ეს პროცესი.

მისი არსი არის b რიცხვის წარმოდგენა a c სახით, საიდანაც, ლოგარითმის განმარტებით, რიცხვი c არის ლოგარითმის მნიშვნელობა. ანუ, განმარტებით, ლოგარითმის პოვნა შეესაბამება ტოლობების შემდეგ ჯაჭვს: log a b=log a a c =c .

ასე რომ, ლოგარითმის გამოთვლა, განსაზღვრებით, მიდის ისეთი c რიცხვის პოვნამდე, რომ a c \u003d b და თავად რიცხვი c არის ლოგარითმის სასურველი მნიშვნელობა.

წინა აბზაცების ინფორმაციის გათვალისწინებით, როდესაც ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ რიცხვი მოცემულია ლოგარითმის ფუძის გარკვეული ხარისხით, მაშინვე შეგიძლიათ მიუთითოთ რის ტოლია ლოგარითმი - ის უდრის მაჩვენებელს. ვაჩვენოთ მაგალითები.

მაგალითი.

იპოვეთ log 2 2 −3 და ასევე გამოთვალეთ e 5.3-ის ბუნებრივი ლოგარითმი.

გადაწყვეტილება.

ლოგარითმის განმარტება საშუალებას გვაძლევს დაუყოვნებლივ ვთქვათ, რომ log 2 2 −3 = −3. მართლაც, რიცხვი ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ უდრის ფუძე 2-ს -3 ხარისხს.

ანალოგიურად, ჩვენ ვპოულობთ მეორე ლოგარითმს: lne 5.3 =5.3.

პასუხი:

log 2 2 −3 = −3 და lne 5.3 =5.3.

თუ რიცხვი b ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ არ არის მოცემული, როგორც ლოგარითმის ფუძის ძალა, მაშინ საჭიროა გულდასმით განიხილოთ შესაძლებელია თუ არა B რიცხვის წარმოდგენა a c სახით. ხშირად ეს წარმოდგენა საკმაოდ აშკარაა, განსაკუთრებით მაშინ, როდესაც რიცხვი ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ უდრის ფუძის ხარისხს 1, ან 2, ან 3, ...

მაგალითი.

გამოთვალეთ ლოგარითმები log 5 25 და .

გადაწყვეტილება.

ადვილი მისახვედრია, რომ 25=5 2, ეს საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ პირველი ლოგარითმი: log 5 25=log 5 5 2 =2.

ჩვენ ვაგრძელებთ მეორე ლოგარითმის გამოთვლას. რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს 7-ის ხარისხად: (იხილეთ საჭიროების შემთხვევაში). აქედან გამომდინარე, .

გადავიწეროთ მესამე ლოგარითმი შემდეგი ფორმით. ახლა თქვენ ხედავთ ამას , საიდანაც ვასკვნით, რომ . მაშასადამე, ლოგარითმის განმარტებით .

მოკლედ, გამოსავალი შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:

პასუხი:

ჟურნალი 5 25=2, და .

როდესაც საკმარისად დიდი ნატურალური რიცხვი ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ იმყოფება, არ ავნებს მის პირველ ფაქტორებად დაშლას. ხშირად გვეხმარება ისეთი რიცხვის წარმოდგენაში, როგორიც არის ლოგარითმის ფუძის გარკვეული სიმძლავრე და, შესაბამისად, ამ ლოგარითმის განსაზღვრებით გამოთვლა.

მაგალითი.

იპოვეთ ლოგარითმის მნიშვნელობა.

გადაწყვეტილება.

ლოგარითმების ზოგიერთი თვისება საშუალებას გაძლევთ დაუყოვნებლივ მიუთითოთ ლოგარითმების მნიშვნელობა. ეს თვისებები მოიცავს ერთის ლოგარითმის თვისებას და ფუძის ტოლი რიცხვის ლოგარითმის თვისებას: log 1 1=log a a 0 =0 და log a=log a 1 =1 . ანუ, როდესაც რიცხვი 1 ან რიცხვი a არის ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ, ლოგარითმის ფუძის ტოლი, მაშინ ამ შემთხვევებში ლოგარითმები შესაბამისად არის 0 და 1.

მაგალითი.

რა არის ლოგარითმები და lg10?

გადაწყვეტილება.

ვინაიდან , ეს გამომდინარეობს ლოგარითმის განმარტებიდან .

მეორე მაგალითში რიცხვი 10 ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ ემთხვევა მის ფუძეს, ამიტომ ათეული ლოგარითმი უდრის ერთს, ანუ lg10=lg10 1 =1 .

პასუხი:

და lg10=1.

გაითვალისწინეთ, რომ ლოგარითმების გამოთვლა განმარტებით (რაზეც წინა აბზაცში ვისაუბრეთ) გულისხმობს ტოლობის log a a p =p , რომელიც ლოგარითმების ერთ-ერთი თვისებაა.

პრაქტიკაში, როდესაც რიცხვი ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ და ლოგარითმის ფუძე ადვილად არის წარმოდგენილი, როგორც ზოგიერთი რიცხვის სიმძლავრე, ძალიან მოსახერხებელია ფორმულის გამოყენება. , რომელიც შეესაბამება ლოგარითმების ერთ-ერთ თვისებას. განვიხილოთ ლოგარითმის პოვნის მაგალითი, რომელიც ასახავს ამ ფორმულის გამოყენებას.

მაგალითი.

გამოთვალეთ ლოგარითმი .

გადაწყვეტილება.

პასუხი:

.

გამოთვლაში ასევე გამოყენებულია ლოგარითმების თვისებები, რომლებიც ზემოთ არ არის ნახსენები, მაგრამ ამაზე შემდეგ აბზაცებში ვისაუბრებთ.

ლოგარითმების პოვნა სხვა ცნობილი ლოგარითმების მიხედვით

ამ პარაგრაფში მოცემული ინფორმაცია აგრძელებს ლოგარითმების თვისებების გამოთვლაში გამოყენების თემას. მაგრამ აქ მთავარი განსხვავება ისაა, რომ ლოგარითმების თვისებები გამოიყენება ორიგინალური ლოგარითმის გამოსახატავად სხვა ლოგარითმით, რომლის მნიშვნელობა ცნობილია. ახსნა-განმარტებისთვის ავიღოთ მაგალითი. ვთქვათ, ვიცით, რომ log 2 3≈1.584963 , შემდეგ შეგვიძლია ვიპოვოთ, მაგალითად, log 2 6 მცირე ტრანსფორმაციის განხორციელებით ლოგარითმის თვისებების გამოყენებით: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

ზემოთ მოყვანილ მაგალითში საკმარისი იყო გამოგვეყენებინა პროდუქტის ლოგარითმის თვისება. თუმცა, ბევრად უფრო ხშირად თქვენ უნდა გამოიყენოთ ლოგარითმების თვისებების უფრო ფართო არსენალი, რათა გამოთვალოთ ორიგინალური ლოგარითმი მოცემულების მიხედვით.

მაგალითი.

გამოთვალეთ 27-ის ლოგარითმი 60-ის საფუძვლამდე, თუ ცნობილია, რომ log 60 2=a და log 60 5=b.

გადაწყვეტილება.

ასე რომ, ჩვენ უნდა ვიპოვოთ ჟურნალი 60 27. ადვილი მისახვედრია, რომ 27=3 3, ხოლო ორიგინალური ლოგარითმი, ხარისხის ლოგარითმის თვისების გამო, შეიძლება გადაიწეროს როგორც 3·log 60 3.

ახლა ვნახოთ, როგორ შეიძლება გამოისახოს log 60 3 ცნობილი ლოგარითმების მიხედვით. ფუძის ტოლი რიცხვის ლოგარითმის თვისება საშუალებას გაძლევთ დაწეროთ ტოლობის ჟურნალი 60 60=1. მეორეს მხრივ, log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2 ლოგი 60 2+ლოგი 60 3+ლოგი 60 5 . ამრიგად, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. აქედან გამომდინარე, log 60 3=1−2 log 60 2−log 60 5=1−2 a−b.

და ბოლოს, ჩვენ ვიანგარიშებთ თავდაპირველ ლოგარითმს: log 60 27=3 log 60 3= 3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 ბ.

პასუხი:

log 60 27=3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 ბ.

ცალკე, აღსანიშნავია ფორმის ლოგარითმის ახალ ბაზაზე გადასვლის ფორმულის მნიშვნელობა. . ის საშუალებას გაძლევთ გადახვიდეთ ლოგარითმებიდან ნებისმიერი ფუძით ლოგარითმებზე კონკრეტული ფუძის მქონე ლოგარითმებზე, რომელთა მნიშვნელობები ცნობილია ან შესაძლებელია მათი პოვნა. ჩვეულებრივ, ორიგინალური ლოგარითმიდან, გარდამავალი ფორმულის მიხედვით, ისინი გადადიან ლოგარითმებზე ერთ-ერთ 2, e ან 10 ფუძეზე, რადგან ამ ბაზებისთვის არის ლოგარითმების ცხრილები, რომლებიც საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ მათი მნიშვნელობები გარკვეული ხარისხით. სიზუსტის. შემდეგ ნაწილში ჩვენ გაჩვენებთ, თუ როგორ კეთდება ეს.

ლოგარითმების ცხრილები, მათი გამოყენება

ლოგარითმების მნიშვნელობების სავარაუდო გაანგარიშებისთვის შეგიძლიათ გამოიყენოთ ლოგარითმის ცხრილები. ყველაზე ხშირად გამოიყენება ბაზის 2 ლოგარითმის ცხრილი, ბუნებრივი ლოგარითმის ცხრილი და ათობითი ლოგარითმის ცხრილი. ათობითი რიცხვების სისტემაში მუშაობისას მოსახერხებელია ლოგარითმების ცხრილის გამოყენება ათამდე. მისი დახმარებით ჩვენ ვისწავლით ლოგარითმების მნიშვნელობების პოვნას.

წარმოდგენილი ცხრილი საშუალებას გაძლევთ, ათიათასიანი სიზუსტით, იპოვოთ რიცხვების ათობითი ლოგარითმების მნიშვნელობები 1.000-დან 9.999-მდე (სამი ათობითი ადგილით). ჩვენ გავაანალიზებთ ლოგარითმის მნიშვნელობის პოვნის პრინციპს ათობითი ლოგარითმების ცხრილის გამოყენებით კონკრეტული მაგალითის გამოყენებით - ეს უფრო ნათელია. მოდი ვიპოვოთ lg1,256.

ათობითი ლოგარითმების ცხრილის მარცხენა სვეტში ვპოულობთ 1.256 რიცხვის პირველ ორ ციფრს, ანუ ვპოულობთ 1.2-ს (სიცხადისთვის ეს რიცხვი შემოხაზულია ლურჯად). 1.256 რიცხვის მესამე ციფრი (ნომერი 5) გვხვდება ორმაგი ხაზის მარცხნივ პირველ ან ბოლო სტრიქონში (ეს რიცხვი შემოხაზულია წითლად). ორიგინალური ნომრის 1.256 მეოთხე ციფრი (ნომერი 6) გვხვდება ორმაგი ხაზის მარჯვნივ პირველ ან ბოლო სტრიქონში (ეს რიცხვი შემოხაზულია მწვანეში). ახლა ჩვენ ვპოულობთ რიცხვებს ლოგარითმების ცხრილის უჯრედებში მონიშნული მწკრივისა და მონიშნული სვეტების გადაკვეთაზე (ეს რიცხვები მონიშნულია ნარინჯისფრად). მონიშნული რიცხვების ჯამი იძლევა ათობითი ლოგარითმის სასურველ მნიშვნელობას მეოთხე ათწილადამდე, ანუ, log1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.

შესაძლებელია თუ არა ზემოთ მოყვანილი ცხრილის გამოყენებით ვიპოვოთ რიცხვების ათობითი ლოგარითმების მნიშვნელობები, რომლებსაც აქვთ სამზე მეტი ციფრი ათწილადის წერტილის შემდეგ და ასევე სცილდებიან საზღვრებს 1-დან 9.999-მდე? Დიახ, შეგიძლია. მოდით აჩვენოთ, თუ როგორ კეთდება ეს მაგალითით.

გამოვთვალოთ lg102.76332. ჯერ უნდა დაწერო ნომერი სტანდარტული ფორმით: 102.76332=1.0276332 10 2 . ამის შემდეგ მანტისა უნდა დამრგვალდეს მესამე ათწილადამდე, გვაქვს 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2, მაშინ როცა თავდაპირველი ათობითი ლოგარითმი დაახლოებით უდრის მიღებული რიცხვის ლოგარითმს, ანუ ვიღებთ lg102.76332≈lg1.028·10 2 . ახლა გამოიყენეთ ლოგარითმის თვისებები: lg1.028 10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. ბოლოს, lg1.028 ლოგარითმის მნიშვნელობას ვპოულობთ ათობითი ლოგარითმების ცხრილის მიხედვით lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. შედეგად, ლოგარითმის გამოთვლის მთელი პროცესი ასე გამოიყურება: lg102.76332=lg1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2≈0.012+2=2.012.

დასასრულს, აღსანიშნავია, რომ ათობითი ლოგარითმების ცხრილის გამოყენებით, შეგიძლიათ გამოთვალოთ ნებისმიერი ლოგარითმის სავარაუდო მნიშვნელობა. ამისათვის საკმარისია გამოიყენოთ გარდამავალი ფორმულა, რომ გადავიდეთ ათობითი ლოგარითმებზე, იპოვოთ მათი მნიშვნელობები ცხრილში და შეასრულოთ დარჩენილი გამოთვლები.

მაგალითად, გამოვთვალოთ ჟურნალი 2 3 . ლოგარითმის ახალ ბაზაზე გადასვლის ფორმულის მიხედვით გვაქვს . ათობითი ლოგარითმების ცხრილიდან ვხვდებით lg3≈0.4771 და lg2≈0.3010. ამრიგად, .

ბიბლიოგრაფია.

• კოლმოგოროვი A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. და სხვა.ალგებრა და ანალიზის დასაწყისი: სახელმძღვანელო ზოგადსაგანმანათლებლო დაწესებულებების 10-11 კლასებისთვის.
• გუსევი V.A., Mordkovich A.G. მათემატიკა (სახელმძღვანელო ტექნიკური სასწავლებლების მსურველთათვის).