ალგებრა და მათემატიკური ანალიზის დასაწყისი

ექსპონენციალური და ლოგარითმული ფუნქციის დიფერენციაცია

შედგენილი:

მათემატიკის მასწავლებელი მემორანდუმის №203 საშუალო სკოლა CHETs

ქალაქი ნოვოსიბირსკი

ვიდუტოვა ტ.ვ.

ნომერი ე.ფუნქცია y=e x, მისი თვისებები, გრაფიკი, დიფერენციაცია

1. ავაშენოთ გრაფიკები სხვადასხვა საფუძვლებისთვის a: 1. y = 2 x 3. y = 10 x 2. y = 3 x (ვარიანტი 2) (ვარიანტი 1) "width="640"

განვიხილოთ ექსპონენციალური ფუნქცია y = a x, სადაც 1.

ავაშენოთ სხვადასხვა ბაზებისთვის ა სქემები:

1. y=2 x

3. y=10 x

2. y=3 x

(ვარიანტი 2)

(1 ვარიანტი)

1) ყველა გრაფიკი გადის წერტილში (0; 1);

2) ყველა გრაფიკს აქვს ჰორიზონტალური ასიმპტოტი y = 0

ზე X  ∞;

3) ყველა მათგანი ამობურცულია ქვემოთ;

4) ყველა მათგანს აქვს ტანგენტები ყველა წერტილში.

დახაზეთ ტანგენსი ფუნქციის გრაფიკზე y=2 x წერტილში X= 0 და გაზომეთ ღერძის ტანგენტის მიერ წარმოქმნილი კუთხე X

გრაფიკებზე ტანგენტების ზუსტი კონსტრუქციების დახმარებით ჩანს, რომ თუ ფუძე აექსპონენციალური ფუნქცია y = a xფუძე თანდათან იზრდება 2-დან 10-მდე, შემდეგ კუთხე ფუნქციის გრაფიკის ტანგენტს შორის წერტილში X= 0 და x-ღერძი თანდათან იზრდება 35'-დან 66,5'-მდე.

აქედან გამომდინარე, არსებობს საფუძველი ა, რომლის შესაბამისი კუთხე არის 45'. და ეს მნიშვნელობა ადადებული 2-დან 3-მდე, რადგან ზე ა= 2 კუთხე არის 35', თან ა= 3 უდრის 48'-ს.

მათემატიკური ანალიზის დროს მტკიცდება, რომ ეს ბაზა არსებობს, ის ჩვეულებრივ აღინიშნება ასოებით. ე.

დაადგინა რომ ე - ირაციონალური რიცხვი, ანუ ეს არის უსასრულო არაპერიოდული ათობითი წილადი:

e = 2.7182818284590… ;

პრაქტიკაში, როგორც წესი, ვარაუდობენ, რომ ე ≈ 2,7.

გრაფიკისა და ფუნქციის თვისებები y = e x :

1) D(f) = (- ∞; + ∞);

3) იზრდება;

4) არ შემოიფარგლება ზემოდან, შემოიფარგლება ქვემოდან

5) არ აქვს არც ყველაზე დიდი და არც ყველაზე პატარა

ღირებულებები;

6) უწყვეტი;

7) E(f) = (0; + ∞);

8) ამოზნექილი ქვემოთ;

9) დიფერენცირებადია.

ფუნქცია y = e x დაურეკა გამოფენის .

მათემატიკური ანალიზის დროს დადასტურდა, რომ ფუნქცია y = e x აქვს წარმოებული ნებისმიერ წერტილში X :

(ე x ) = ე x

(ე 5x )" = 5e 5x

(ე x-3 )" = ე x-3

(ე -4x+1 )" = -4e -4x-1

მაგალითი 1 . დახაზეთ ტანგენსი ფუნქციის გრაფიკზე x=1 წერტილში.

2) f()=f(1)=e

4) y=e+e(x-1); y = ყოფილი

პასუხი:

მაგალითი 2 .

x = 3.

მაგალითი 3 .

გამოიკვლიეთ ფუნქცია ექსტრემისთვის

x=0 და x=-2

X= -2 - მაქსიმალური ქულა

X= 0 – მინიმალური ქულა

თუ ლოგარითმის საფუძველი რიცხვია ე, მაშინ ამბობენ, რომ მოცემული ბუნებრივი ლოგარითმი . ბუნებრივი ლოგარითმებისთვის შემოღებულ იქნა სპეციალური აღნიშვნა ლნ (l - ლოგარითმი, n - ბუნებრივი).

y = ln x ფუნქციის გრაფიკი და თვისებები

ფუნქციის თვისებები y = lnx:

1) D(f) = (0; + ∞);

2) არც ლუწია და არც კენტი;

3) იზრდება (0; + ∞);

4) არ არის შეზღუდული;

5) არ აქვს არც ყველაზე დიდი და არც უმცირესი მნიშვნელობები;

6) უწყვეტი;

7) E (f) = (- ∞; + ∞);

8) ამოზნექილი ზედა;

9) დიფერენცირებადია.

0 დიფერენციაციის ფორმულა "width="640" მოქმედებს

მათემატიკური ანალიზის დროს დადასტურდა, რომ ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის x0დიფერენციაციის ფორმულა მოქმედებს

მაგალითი 4:

გამოთვალეთ ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობა წერტილში x = -1.

Მაგალითად:

ინტერნეტ რესურსები:

• http://egemaximum.ru/pokazatelnaya-funktsiya/
• http://or-gr2005.narod.ru/grafik/sod/gr-3.html
• http://en.wikipedia.org/wiki/
• http://900igr.net/prezentatsii
• http://ppt4web.ru/algebra/proizvodnaja-pokazatelnojj-funkcii.html

გაკვეთილის თემა: „ექსპონენციალური და ლოგარითმული ფუნქციების დიფერენციაცია. ექსპონენციალური ფუნქციის ანტიდერივატივი "UNT-ის ამოცანები

სამიზნე : მოსწავლეებს განუვითაროს თეორიული ცოდნის გამოყენების უნარ-ჩვევები თემაზე „ექსპონენციალური და ლოგარითმული ფუნქციების დიფერენციაცია. ექსპონენციალური ფუნქციის ანტიდერივატი” UNT ამოცანების გადასაჭრელად.

Დავალებები

საგანმანათლებლო: მოსწავლეთა თეორიული ცოდნის სისტემატიზაცია, ამ თემაზე პრობლემების გადაჭრის უნარების კონსოლიდაცია.

განვითარება:განუვითარდებათ მეხსიერება, დაკვირვება, ლოგიკური აზროვნება, მოსწავლეთა მათემატიკური მეტყველება, ყურადღება, თვითშეფასება და თვითკონტროლის უნარი.

საგანმანათლებლო:ხელი შეუწყოს:

მოსწავლეებში სწავლისადმი პასუხისმგებელი დამოკიდებულების ჩამოყალიბება;

მათემატიკისადმი მდგრადი ინტერესის განვითარება;

პოზიტიური შინაგანი მოტივაციის შექმნა მათემატიკის შესასწავლად.

სწავლების მეთოდები: ვერბალური, ვიზუალური, პრაქტიკული.

მუშაობის ფორმები:ინდივიდუალური, ფრონტალური, წყვილებში.

გაკვეთილების დროს

ეპიგრაფი: "გონება შედგება არა მხოლოდ ცოდნაში, არამედ ცოდნის პრაქტიკაში გამოყენების უნარში" არისტოტელე (სლაიდი 2)

I. საორგანიზაციო მომენტი.

II. კროსვორდის ამოხსნა. (სლაიდი 3-21)

მე-17 საუკუნის ფრანგმა მათემატიკოსმა პიერ ფერმამ ეს ხაზი განსაზღვრა, როგორც „სწორი ხაზი მრუდთან ყველაზე ახლოს წერტილის პატარა სამეზობლოში“.

ტანგენტი

ფუნქცია, რომელიც მოცემულია ფორმულით y = log ა x.

ლოგარითმული

ფუნქცია, რომელიც მოცემულია ფორმულით y = ა X.

დემონსტრაცია

მათემატიკაში ეს ცნება გამოიყენება მატერიალური წერტილის სიჩქარისა და მოცემულ წერტილში ფუნქციის გრაფიკზე ტანგენსის დახრის პოვნისას.

წარმოებული

რა ჰქვია F (x) ფუნქციას f (x) ფუნქციისთვის, თუ პირობა F "(x) \u003d f (x) დაკმაყოფილებულია ნებისმიერი წერტილისთვის I ინტერვალიდან.

ანტიდერივატი

რა ჰქვია X-სა და Y-ს შორის ურთიერთობას, რომელშიც X-ის თითოეული ელემენტი ასოცირდება Y-ის ერთ ელემენტთან.

გადაადგილების წარმოებული

სიჩქარე

ფუნქცია, რომელიც მოცემულია ფორმულით y \u003d e x.

გამოფენა

თუ ფუნქცია f(x) შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც f(x)=g(t(x)), მაშინ ამ ფუნქციას ეწოდება…

III. მათემატიკური კარნახი (სლაიდი 22)

1. ჩაწერეთ ექსპონენციალური ფუნქციის წარმოებულის ფორმულა. ( ა x)" = ა x ln ა

2. ჩამოწერეთ მაჩვენებლის წარმოებულის ფორმულა. (e x)" = e x

3. ჩამოწერეთ ბუნებრივი ლოგარითმის წარმოებულის ფორმულა. (lnx)" =

4. ჩაწერეთ ლოგარითმული ფუნქციის წარმოებულის ფორმულა. (ლოგი ა x)" =

5. ჩამოწერეთ ანტიწარმოებულების ზოგადი ფორმა f(x) = ფუნქციისთვის ა X. F(x)=

6. ჩამოწერეთ ანტიწარმოებულების ზოგადი ფორმა f(x) =, x≠0 ფუნქციისთვის. F(x)=ln|x|+C

შეამოწმეთ ნამუშევარი (პასუხები 23 სლაიდზე).

IV. პრობლემის გადაჭრა UNT (სიმულატორი)

ა) No1,2,3,6,10,36 დაფაზე და რვეულში (სლაიდი 24)

ბ) მუშაობა წყვილებში No19.28 (სიმულატორი) (სლაიდი 25-26)

V. 1. იპოვეთ შეცდომები: (სლაიდი 27)

1) f (x) \u003d 5 e - 3x, f "(x) \u003d - 3 e - 3x

2) f (x) \u003d 17 2x, f "(x) \u003d 17 2x ln17

3) f(x)= ჟურნალი 5 (7x+1),f"(x)=

4) f (x) \u003d ln (9 - 4x), f "(x) \u003d
.

VI. სტუდენტური პრეზენტაცია.

ეპიგრაფი: „ცოდნა ისეთი ძვირფასია, რომ არ არის სამარცხვინო მისი მიღება ნებისმიერი წყაროდან“ თომა აკვინელი (სლაიდი 28)

VII. საშინაო დავალება No19,20 გვ.116

VIII. ტესტი (სარეზერვო დავალება) (სლაიდი 29-32)

IX. გაკვეთილის შეჯამება.

”თუ გსურთ მონაწილეობა მიიღოთ დიდ ცხოვრებაში, შეავსეთ თქვენი თავი მათემატიკით, სანამ შეგიძლიათ. შემდეგ ის დიდ დახმარებას გაგიწევთ მთელი ცხოვრების მანძილზე ”მ. კალინინი (სლაიდი 33)

დაე
(1)
არის x-ის დიფერენცირებადი ფუნქცია. პირველ რიგში, განვიხილავთ მას x მნიშვნელობების სიმრავლეზე, რომლისთვისაც y იღებს დადებით მნიშვნელობებს: . შემდეგში ჩვენ ვაჩვენებთ, რომ ყველა მიღებული შედეგი ასევე გამოიყენება უარყოფითი მნიშვნელობებისთვის.

ზოგიერთ შემთხვევაში, ფუნქციის (1) წარმოებულის მოსაძებნად, მოსახერხებელია წინასწარ აიღოთ ლოგარითმი.
,
და შემდეგ გამოთვალეთ წარმოებული. შემდეგ, რთული ფუნქციის დიფერენციაციის წესის მიხედვით,
.
აქედან
(2) .

ფუნქციის ლოგარითმის წარმოებულს ლოგარითმული წარმოებული ეწოდება:
.

y = ფუნქციის ლოგარითმული წარმოებული f(x) არის ამ ფუნქციის ბუნებრივი ლოგარითმის წარმოებული: (log f(x))′.

უარყოფითი y მნიშვნელობების შემთხვევა

ახლა განვიხილოთ შემთხვევა, როდესაც ცვლადს შეუძლია მიიღოს როგორც დადებითი, ასევე უარყოფითი მნიშვნელობები. ამ შემთხვევაში, აიღეთ მოდულის ლოგარითმი და იპოვეთ მისი წარმოებული:
.
აქედან
(3) .
ანუ, ზოგად შემთხვევაში, თქვენ უნდა იპოვოთ ფუნქციის მოდულის ლოგარითმის წარმოებული.

თუ შევადარებთ (2) და (3) გვაქვს:
.
ანუ, ლოგარითმული წარმოებულის გამოთვლის ფორმალური შედეგი არ არის დამოკიდებული იმაზე, ავიღეთ თუ არა მოდულო. მაშასადამე, ლოგარითმული წარმოებულის გამოთვლისას არ უნდა ვიფიქროთ იმაზე, თუ რა ნიშანი აქვს ფუნქციას.

ამ სიტუაციის გარკვევა შესაძლებელია რთული რიცხვების დახმარებით. მოდით, x-ის ზოგიერთი მნიშვნელობისთვის იყოს უარყოფითი: . თუ განვიხილავთ მხოლოდ რეალურ რიცხვებს, მაშინ ფუნქცია არ არის განსაზღვრული. თუმცა, თუ კომპლექსურ რიცხვებს გავითვალისწინებთ, მივიღებთ შემდეგს:
.
ანუ ფუნქციები და განსხვავდება რთული მუდმივით:
.
ვინაიდან მუდმივის წარმოებული არის ნული, მაშინ
.

ლოგარითმული წარმოებულის თვისება

ასეთი განხილვიდან გამომდინარეობს, რომ ლოგარითმული წარმოებული არ იცვლება, თუ ფუნქცია მრავლდება თვითნებურ მუდმივზე :
.
მართლაც, მიმართვა ლოგარითმის თვისებები, ფორმულები წარმოებული ჯამიდა მუდმივის წარმოებული, ჩვენ გვაქვს:

.

ლოგარითმული წარმოებულის გამოყენება

მოსახერხებელია ლოგარითმული წარმოებულის გამოყენება იმ შემთხვევებში, როდესაც თავდაპირველი ფუნქცია შედგება სიმძლავრის ან ექსპონენციალური ფუნქციების პროდუქტისგან. ამ შემთხვევაში, ლოგარითმის ოპერაცია აქცევს ფუნქციების ნამრავლს მათ ჯამად. ეს ამარტივებს წარმოებულის გამოთვლას.

მაგალითი 1

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული:
.

გამოსავალი

ჩვენ ვიღებთ ორიგინალური ფუნქციის ლოგარითმს:
.

დიფერენცირება x-ის მიმართ.
წარმოებულების ცხრილში ვხვდებით:
.
ჩვენ ვიყენებთ რთული ფუნქციის დიფერენციაციის წესს.
;
;
;
;
(P1.1) .
გავამრავლოთ:

.

ასე რომ, ჩვენ ვიპოვეთ ლოგარითმული წარმოებული:
.
აქედან ვპოულობთ ორიგინალური ფუნქციის წარმოებულს:
.

შენიშვნა

თუ გვინდა გამოვიყენოთ მხოლოდ რეალური რიცხვები, მაშინ უნდა ავიღოთ ორიგინალური ფუნქციის მოდულის ლოგარითმი:
.
მერე
;
.
და მივიღეთ ფორმულა (A1.1). ამიტომ შედეგი არ შეცვლილა.

უპასუხე

მაგალითი 2

ლოგარითმული წარმოებულის გამოყენებით იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული
.

გამოსავალი

ლოგარითმი:
(P2.1) .
დიფერენცირება x-ის მიმართ:
;
;

;
;
;
.

გავამრავლოთ:
.
აქედან ვიღებთ ლოგარითმულ წარმოებულს:
.

ორიგინალური ფუნქციის წარმოებული:
.

შენიშვნა

აქ ორიგინალური ფუნქცია არაუარყოფითია: . იგი განისაზღვრება . თუ არ ვივარაუდებთ, რომ ლოგარითმი შეიძლება განისაზღვროს არგუმენტის უარყოფითი მნიშვნელობებისთვის, მაშინ ფორმულა (A2.1) უნდა დაიწეროს შემდეგნაირად:
.
Იმიტომ რომ

და
,
ეს არ იმოქმედებს საბოლოო შედეგზე.

უპასუხე

მაგალითი 3

იპოვეთ წარმოებული
.

გამოსავალი

დიფერენციაცია ხორციელდება ლოგარითმული წარმოებულის გამოყენებით. ლოგარითმი, იმის გათვალისწინებით, რომ:
(P3.1) .

დიფერენცირებით ვიღებთ ლოგარითმულ წარმოებულს.
;
;
;
(P3.2) .

Მას შემდეგ

.

შენიშვნა

მოდით გავაკეთოთ გამოთვლები იმის დაშვების გარეშე, რომ ლოგარითმი შეიძლება განისაზღვროს არგუმენტის უარყოფითი მნიშვნელობებისთვის. ამისათვის აიღეთ ორიგინალური ფუნქციის მოდულის ლოგარითმი:
.
შემდეგ (A3.1) ნაცვლად გვაქვს:
;

.
(A3.2)-თან შედარებით, ჩვენ ვხედავთ, რომ შედეგი არ შეცვლილა.

ექსპონენციური სიმძლავრის ფუნქციის ან რთული წილადი გამონათქვამების დიფერენცირებისას მოსახერხებელია ლოგარითმული წარმოებულის გამოყენება. ამ სტატიაში განვიხილავთ მისი გამოყენების მაგალითებს დეტალური გადაწყვეტილებებით.

შემდგომი პრეზენტაცია გულისხმობს წარმოებულთა ცხრილის, დიფერენციაციის წესების და რთული ფუნქციის წარმოებულის ფორმულის ცოდნის უნარს.

ლოგარითმული წარმოებულის ფორმულის წარმოშობა.

ჯერ ლოგარითმს ვიღებთ e-ზე, ვამარტივებთ ფუნქციის ფორმას ლოგარითმის თვისებების გამოყენებით და შემდეგ ვპოულობთ იმპლიციტურად მოცემული ფუნქციის წარმოებულს:

მაგალითად, ვიპოვოთ x-ის ექსპონენციალური სიმძლავრის ფუნქციის წარმოებული x-ის ხარისხზე.

ლოგარითმი იძლევა. ლოგარითმის თვისებების მიხედვით. თანასწორობის ორივე ნაწილის დიფერენცირება იწვევს შედეგს:

პასუხი: .

იგივე მაგალითის ამოხსნა შესაძლებელია ლოგარითმული წარმოებულის გამოყენების გარეშე. შეგიძლიათ გააკეთოთ გარკვეული ტრანსფორმაციები და გადახვიდეთ ექსპონენციალური სიმძლავრის ფუნქციის დიფერენცირებიდან რთული ფუნქციის წარმოებულის პოვნამდე:

მაგალითი.

იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული .

გამოსავალი.

ამ მაგალითში ფუნქცია არის წილადი და მისი წარმოებული შეიძლება მოიძებნოს დიფერენცირების წესების გამოყენებით. მაგრამ რთული გამოხატვის გამო, ამას ბევრი ტრანსფორმაცია დასჭირდება. ასეთ შემთხვევებში უფრო გონივრული იქნება ლოგარითმული წარმოებულის ფორმულის გამოყენება . რატომ? ახლავე გაიგებთ.

ჯერ მოვძებნოთ. გარდაქმნებისას გამოვიყენებთ ლოგარითმის თვისებებს (წილადის ლოგარითმი ტოლია ლოგარითმების სხვაობის, ხოლო ნამრავლის ლოგარითმი ტოლია ლოგარითმების ჯამის და გამოხატვის ხარისხი ლოგარითმის ნიშანი ასევე შეიძლება ამოღებულ იქნას როგორც კოეფიციენტი ლოგარითმის წინ):

ამ გარდაქმნებმა მიგვიყვანა საკმაოდ მარტივ გამონათქვამებამდე, რომლის წარმოებულიც ადვილი მოსაძებნია:

მიღებულ შედეგს ვცვლით ლოგარითმული წარმოებულის ფორმულაში და ვიღებთ პასუხს:

მასალის გასამყარებლად, ჩვენ ვაძლევთ კიდევ რამდენიმე მაგალითს დეტალური ახსნა-განმარტების გარეშე.

მაგალითი.

იპოვეთ ექსპონენციალური სიმძლავრის ფუნქციის წარმოებული