ერთეულის აქციები და წარმოდგენილია როგორც \frac(a)(b).

წილადის მრიცხველი (a)- რიცხვი წილადის ხაზის ზემოთ და აჩვენებს აქციების რაოდენობას, რომლებშიც დაყოფილი იყო ერთეული.

წილადის მნიშვნელი (ბ)- რიცხვი წილადის წრფის ქვეშ და გვიჩვენებს, რამდენი აქცია გაიყო ერთეული.

ჩვენების დამალვა

წილადის ძირითადი თვისება

თუ ad=bc, მაშინ ორი წილადი \frac(a)(b)და \frac(c)(d)განიხილება თანაბარი. მაგალითად, წილადები ტოლი იქნება \frac35და \frac(9)(15), ვინაიდან 3 \cdot 15 = 15 \cdot 9 , \frac(12)(7)და \frac(24)(14), ვინაიდან 12 \cdot 14 = 7 \cdot 24 .

წილადების ტოლობის განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ წილადები ტოლი იქნება \frac(a)(b)და \frac(am)(bm), ვინაიდან a(bm)=b(am) არის ნატურალური რიცხვების გამრავლების ასოციაციური და კომუტაციური თვისებების მოქმედებაში გამოყენების ნათელი მაგალითი.

ნიშნავს \frac(a)(b) = \frac(am)(bm)- ასე გამოიყურება წილადის ძირითადი თვისება.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მივიღებთ მოცემულის ტოლ წილადს საწყისი წილადის მრიცხველისა და მნიშვნელის იმავე ნატურალურ რიცხვზე გამრავლებით ან გაყოფით.

ფრაქციების შემცირებაარის წილადის ჩანაცვლების პროცესი, რომელშიც ახალი წილადი ორიგინალის ტოლია, მაგრამ უფრო მცირე მრიცხველით და მნიშვნელით.

ჩვეულებრივია წილადების შემცირება წილადის ძირითადი თვისების მიხედვით.

Მაგალითად, \frac(45)(60)=\frac(15)(20)(მრიცხველი და მნიშვნელი იყოფა 3 რიცხვზე); მიღებული წილადი კვლავ შეიძლება შემცირდეს 5-ზე გაყოფით, ე.ი. \frac(15)(20)=\frac 34.

შეუქცევადი წილადიფორმის წილადია ფრაქცია 34, სადაც მრიცხველი და მნიშვნელი შედარებით მარტივი რიცხვებია. წილადის შემცირების მთავარი მიზანია წილადის შეუქცევადი გახადოს.

წილადების მიყვანა საერთო მნიშვნელთან

მაგალითისთვის ავიღოთ ორი წილადი: \frac(2)(3)და \frac(5)(8)სხვადასხვა მნიშვნელებით 3 და 8 . იმისათვის რომ ეს წილადები მივიყვანოთ საერთო მნიშვნელთან და ჯერ გავამრავლოთ წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი \frac(2)(3) 8-ით. ჩვენ ვიღებთ შემდეგ შედეგს: \frac(2 \cdot 8)(3 \cdot 8) = \frac(16)(24). შემდეგ გავამრავლოთ წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი \frac(5)(8) 3-ით. შედეგად ვიღებთ: \frac(5 \cdot 3)(8 \cdot 3) = \frac(15)(24). ამრიგად, თავდაპირველი წილადები მცირდება საერთო მნიშვნელამდე 24.

არითმეტიკული მოქმედებები ჩვეულებრივ წილადებზე

ჩვეულებრივი წილადების შეკრება

ა) იგივე მნიშვნელებით პირველი წილადის მრიცხველი ემატება მეორე წილადის მრიცხველს და მნიშვნელი იგივე რჩება. როგორც მაგალითში ჩანს:

\frac(a)(b)+\frac(c)(b)=\frac(a+c)(b);

ბ) სხვადასხვა მნიშვნელით წილადები ჯერ მცირდება საერთო მნიშვნელზე, შემდეგ კი მრიცხველები ემატება a წესით):

\frac(7)(3)+\frac(1)(4)=\frac(7 \cdot 4)(3)+\frac(1 \cdot 3)(4)=\frac(28)(12) +\frac(3)(12)=\frac(31)(12).

ჩვეულებრივი წილადების გამოკლება

ა) იგივე მნიშვნელებით გამოვაკლოთ მეორე წილადის მრიცხველი პირველი წილადის მრიცხველს და მნიშვნელი იგივე დარჩეს:

\frac(a)(b)-\frac(c)(b)=\frac(a-c)(b);

ბ) თუ წილადების მნიშვნელები განსხვავებულია, მაშინ ჯერ წილადები მცირდება საერთო მნიშვნელამდე, შემდეგ კი გაიმეორეთ ნაბიჯები, როგორც ა პუნქტში).

ჩვეულებრივი წილადების გამრავლება

წილადების გამრავლება ემორჩილება შემდეგ წესს:

\frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d)=\frac(a \cdot c)(b \cdot d),

ანუ ცალ-ცალკე გავამრავლოთ მრიცხველები და მნიშვნელები.

Მაგალითად:

\frac(3)(5) \cdot \frac(4)(8) = \frac(3 \cdot 4)(5 \cdot 8)=\frac(12)(40).

ჩვეულებრივი წილადების დაყოფა

წილადები იყოფა შემდეგნაირად:

\frac(a)(b) : \frac(c)(d)= \frac(ad)(bc),

ეს არის წილადი \frac(a)(b)გამრავლებული წილადზე \frac(d)(c).

მაგალითი: \frac(7)(2) : \frac(1)(8)=\frac(7)(2) \cdot \frac(8)(1)=\frac(7 \cdot 8)(2 \cdot 1 )=\frac(56)(2).

საპასუხო ნომრები

თუ ab=1, მაშინ რიცხვი b არის საპირისპირო ნომერინომრისთვის .

მაგალითი: 9 რიცხვისთვის საპირისპიროა \frac(1)(9), იმიტომ 9 \cdot \frac(1)(9)=1 5 ნომრისთვის - \frac(1)(5), იმიტომ 5 \cdot \frac(1)(5)=1.

ათწილადები

ათწილადიარის სწორი წილადი, რომლის მნიშვნელი არის 10, 1000, 10\,000, ..., 10^n.

Მაგალითად: \frac(6)(10)=0.6;\enspace \frac(44)(1000)=0.044.

ანალოგიურად იწერება არასწორი რიცხვები 10 ^ n მნიშვნელით ან შერეული რიცხვებით.

Მაგალითად: 5\frac(1)(10)=5.1;\enspace \frac(763)(100)=7\frac(63)(100)=7.63.

ათობითი წილადის სახით წარმოდგენილია ნებისმიერი ჩვეულებრივი წილადი მნიშვნელით, რომელიც არის 10 რიცხვის გარკვეული სიძლიერის გამყოფი.

მაგალითი: 5 არის 100-ის წილადის გამყოფი \frac(1)(5)=\frac(1 \cdot 20)(5 \cdot 20)=\frac(20)(100)=0.2.

არითმეტიკული მოქმედებები ათობითი წილადებზე

ათწილადების დამატება

ორი ათობითი წილადის დასამატებლად, თქვენ უნდა დაალაგოთ ისინი ისე, რომ ერთი და იგივე ციფრები და მძიმის ქვეშ მყოფი მძიმით გამოჩნდეს ერთმანეთის ქვეშ, შემდეგ კი დაამატოთ წილადები ჩვეულებრივ რიცხვებად.

ათწილადების გამოკლება

იგი მუშაობს ისევე, როგორც დამატება.

ათწილადი გამრავლება

ათწილადი რიცხვების გამრავლებისას საკმარისია მოცემული რიცხვების გამრავლება მძიმეების (როგორც ნატურალური რიცხვების) უგულებელყოფით, ხოლო მიღებულ პასუხში მარჯვნივ მძიმით გამოყოფს იმდენ ციფრს, რამდენიც არის ათწილადის შემდეგ ჯამში ორივე ფაქტორში. .

გავაკეთოთ 2,7-ის გამრავლება 1,3-ზე. გვაქვს 27 \cdot 13=351 . მარჯვნიდან მძიმით გამოვყოფთ ორ ციფრს (პირველ და მეორე რიცხვს ათწილადის შემდეგ ერთი ციფრი აქვს; 1+1=2). შედეგად ვიღებთ 2.7 \cdot 1.3=3.51 .

თუ შედეგი ნაკლები ციფრია, ვიდრე საჭიროა მძიმით გამოყოფა, მაშინ წინ გამოტოვებული ნულები იწერება, მაგალითად:

10-ზე, 100-ზე, 1000-ზე გასამრავლებლად აუცილებელია ათწილადის 1, 2, 3 ციფრი მარჯვნივ გადაიტანოთ ათწილადში (საჭიროების შემთხვევაში მარჯვნივ ენიჭება ნულების გარკვეული რაოდენობა).

მაგალითად: 1.47 \cdot 10\,000 = 14,700.

ათწილადი დაყოფა

ათობითი წილადის ნატურალურ რიცხვზე გაყოფა ხდება ისევე, როგორც ნატურალური რიცხვის ნატურალურ რიცხვზე გაყოფა. მძიმით კერძოში იდება მთელი რიცხვის ნაწილის გაყოფის დასრულების შემდეგ.

თუ დივიდენდის მთელი რიცხვი გამყოფზე ნაკლებია, მაშინ პასუხი არის ნულოვანი მთელი რიცხვები, მაგალითად:

განვიხილოთ ათწილადის გაყოფა ათწილადზე. ვთქვათ, უნდა გავყოთ 2.576 1.12-ზე. უპირველეს ყოვლისა, ჩვენ ვამრავლებთ წილადის დივიდენდს და გამყოფს 100-ზე, ანუ მძიმით გადავიყვანთ მარჯვნივ დივიდენდში და გამყოფში იმდენი სიმბოლოთი, რამდენიც არის გამყოფში ათობითი წერტილის შემდეგ (ამ მაგალითში , ორი). შემდეგ თქვენ უნდა გაყოთ წილადი 257.6 ბუნებრივ რიცხვზე 112, ანუ პრობლემა დაყვანილია უკვე განხილულ შემთხვევამდე:

ეს ხდება, რომ საბოლოო ათობითი წილადი ყოველთვის არ მიიღება ერთი რიცხვის მეორეზე გაყოფისას. შედეგი არის უსასრულო ათწილადი. ასეთ შემთხვევებში გადადით ჩვეულებრივ წილადებზე.

2.8: 0.09= \frac(28)(10) : \frac (9)(100)= \frac(28 \cdot 100)(10 \cdot 9)=\frac(280)(9)= 31 \frac( 1) (9).

ფლობდეს წილადის ძირითადი თვისება:

შენიშვნა 1

თუ წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი გამრავლებულია ან იყოფა იმავე ნატურალურ რიცხვზე, მაშინ მივიღებთ თავდაპირველის ტოლ წილადს:

$\frac(a\cdot n)(b\cdot n)=\frac(a)(b)$

$\frac(a\div n)(b\div n)=\frac(a)(b)$

მაგალითი 1

მიეცით $4$ ტოლ ნაწილებად დაყოფილი კვადრატი. თუ $2$ of $4$ ნაწილები დაჩრდილულია, მივიღებთ დაჩრდილულ $\frac(2)(4)$-ს მთელი კვადრატის. ამ კვადრატს თუ დააკვირდებით, აშკარაა, რომ ზუსტად ნახევარი დაჩრდილულია, ე.ი. $(1)(2)$. ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ $\frac(2)(4)=\frac(1)(2)$. მოდით გავამრავლოთ რიცხვები $2$ და $4$:

ჩაანაცვლეთ ეს გაფართოებები ტოლობით:

$\frac(1)(2)=\frac(2)(4)$,

$\frac(1)(2)=\frac(1\cdot 2)(2\cdot 2)$,

$\frac(1)(2)=\frac(2\div 2)(4\div 2)$.

მაგალითი 2

შესაძლებელია თუ არა ტოლი წილადის მიღება, თუ მოცემული წილადის მრიცხველიც და მნიშვნელიც გამრავლდება $18$-ზე და შემდეგ იყოფა $3$-ზე?

გამოსავალი.

მოყვანილი იყოს ჩვეულებრივი წილადი $\frac(a)(b)$. პირობით, ამ წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი გამრავლდა 18$-ზე, მივიღეთ:

$\frac(a\cdot 18)(b\cdot 18)$

$\frac(a\cdot 18)(b\cdot 18)=\frac(a)(b)$

$\frac(a\div 3)(b\div 3)$

წილადის ძირითადი თვისების მიხედვით:

$\frac(a\div 3)(b\div 3)=\frac(a)(b)$

ამრიგად, მიღებული ფრაქცია ორიგინალის ტოლია.

უპასუხე: შეგიძლიათ მიიღოთ ორიგინალის ტოლი წილადი.

წილადის ძირითადი თვისების გამოყენება

წილადის ძირითადი თვისება ყველაზე ხშირად გამოიყენება:

• წილადების ახალ მნიშვნელად გადაქცევა:
• ფრაქციების აბრევიატურები.

წილადის ახალ მნიშვნელზე მიყვანა- მოცემული წილადის ჩანაცვლება წილადით, რომელიც იქნება მისი ტოლი, მაგრამ აქვს უფრო დიდი მრიცხველი და უფრო დიდი მნიშვნელი. ამისათვის წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი მრავლდება იმავე ნატურალურ რიცხვზე, რის შედეგადაც, წილადის ძირითადი თვისების მიხედვით, მიიღება წილადი, რომელიც ტოლია თავდაპირველის, მაგრამ უფრო დიდი. მრიცხველი და მნიშვნელი.

ფრაქციების შემცირება- მოცემული წილადის ჩანაცვლება წილადით, რომელიც იქნება მისი ტოლი, მაგრამ აქვს უფრო მცირე მრიცხველი და უფრო მცირე მნიშვნელი. ამისათვის წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი იყოფა მრიცხველისა და მნიშვნელის დადებითი საერთო გამყოფით, რომელიც განსხვავდება ნულისაგან, რის შედეგადაც, წილადის ძირითადი თვისების მიხედვით, მიიღება წილადი, რომელიც უდრის ორიგინალს, მაგრამ უფრო მცირე მრიცხველით და მნიშვნელით.

თუ მრიცხველს და მნიშვნელს გავყოფთ (ვამცირებთ) მათ GCD-ზე, მაშინ მივიღებთ საწყისი წილადის შეუქცევადი ფორმა.

ფრაქციების შემცირება

მოგეხსენებათ, ჩვეულებრივი წილადები იყოფა შეკუმშვადიდა შეუმცირებელი.

წილადის შესამცირებლად, თქვენ უნდა გაყოთ წილადის მრიცხველიც და მნიშვნელიც მათ დადებით საერთო გამყოფზე, რომელიც არ არის ნულის ტოლი. წილადის შემცირებისას მიიღება ახალი წილადი უფრო მცირე მრიცხველით და მნიშვნელით, რომელიც, წილადის ძირითადი თვისების მიხედვით, ორიგინალის ტოლია.

მაგალითი 3

შეამცირეთ წილადი $\frac(15)(25)$.

გამოსავალი.

წილადის შემცირება $5$-ით (გაყავით მისი მრიცხველი და მნიშვნელი $5$-ზე):

$\frac(15)(25)=\frac(15\div 5)(25\div 5)=\frac(3)(5)$

უპასუხე: $\frac(15)(25)=\frac(3)(5)$.

შეუქცევადი წილადის მიღება

ყველაზე ხშირად, წილადი მცირდება, რათა მივიღოთ შეუქცევადი წილადი, რომელიც ტოლია თავდაპირველი შემცირებითი წილადისა. ამ შედეგის მიღწევა შესაძლებელია ორიგინალური წილადის მრიცხველისა და მნიშვნელის გაყოფით მათ GCD-ზე.

$\frac(a\div gcd (a,b))(b\div gcd (a,b))$ არის შეუქცევადი წილადი, რადგან GCD-ის თვისებების მიხედვით, მოცემული წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი არის თანაპირდაპირი რიცხვები.

GCD(a,b) არის უდიდესი რიცხვი, რომლითაც შეიძლება დაიყოს $\frac(a)(b)$ წილადის მრიცხველიც და მნიშვნელიც. ამრიგად, წილადის შეუქცევად ფორმამდე დასაყვანად აუცილებელია მისი მრიცხველი და მნიშვნელი გავყოთ მათ gcd-ზე.

შენიშვნა 2

წილადის შემცირების წესი: 1. იპოვეთ წილადის მრიცხველში და მნიშვნელში მყოფი ორი რიცხვის GCD. 2. შეასრულეთ წილადის მრიცხველისა და მნიშვნელის გაყოფა ნაპოვნი გკდ-ზე.

მაგალითი 4

შეამცირეთ წილადი $6/36$ შეუმცირებელ ფორმამდე.

გამოსავალი.

შევამციროთ ეს წილადი GCD$(6,36)=6$-ით, რადგან $36\div 6=6$. ჩვენ ვიღებთ:

$\frac(6)(36)=\frac(6\div 6)(36\div 6)=\frac(1)(6)$

უპასუხე: $\frac(6)(36)=\frac(1)(6)$.

პრაქტიკაში, ფრაზა "მცირე წილადი" გულისხმობს, რომ თქვენ უნდა შეამციროთ წილადი შეუქცევად ფორმამდე.

ჩვეულებრივი წილადების შესწავლისას ვხვდებით წილადის ძირითადი თვისების ცნებებს. ჩვეულებრივი წილადებით მაგალითების ამოხსნისთვის საჭიროა გამარტივებული ფორმა. ეს სტატია გულისხმობს ალგებრული წილადების განხილვას და მათზე ძირითადი თვისების გამოყენებას, რომელიც ჩამოყალიბდება მისი გამოყენების მაგალითებით.

ფორმულირება და დასაბუთება

წილადის ძირითად თვისებას აქვს ფორმის ფორმულირება:

განმარტება 1

მრიცხველისა და მნიშვნელის ერთსა და იმავე რიცხვზე გამრავლების ან გაყოფისას, წილადის მნიშვნელობა უცვლელი რჩება.

ანუ მივიღებთ, რომ a · m b · m = a b და a: m b: m = a b ეკვივალენტურია, სადაც a b = a · m b · m და a b = a: m b: m ითვლება მართებულად. მნიშვნელობები a, b, m არის რამდენიმე ნატურალური რიცხვი.

მრიცხველისა და მნიშვნელის რიცხვზე გაყოფა შეიძლება იყოს · m b · m = a b . ეს მსგავსია 8 მაგალითის ამოხსნის 12 = 8: 4 12: 4 = 2 3 . გაყოფისას გამოიყენება a ფორმის ტოლობა: m b: m \u003d a b, შემდეგ 8 12 \u003d 2 4 2 4 \u003d 2 3. ის ასევე შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც m b m \u003d a b, ანუ 8 12 \u003d 2 4 3 4 \u003d 2 3.

ანუ a · m b · m = a b და a b = a · m b · m წილადის ძირითადი თვისება დეტალურად იქნება განხილული a: m b: m = a b და a b = a: m b: m .

თუ მრიცხველი და მნიშვნელი შეიცავს რეალურ რიცხვებს, მაშინ თვისება მოქმედებს. ჯერ უნდა დავამტკიცოთ დაწერილი უტოლობის მართებულობა ყველა რიცხვისთვის. ანუ, დაამტკიცეთ a · m b · m = a b ყველა რეალური a , b , m , სადაც b და m არის არანულოვანი მნიშვნელობები, რათა თავიდან აიცილოთ გაყოფა ნულზე.

მტკიცებულება 1

დაე, a b ფორმის წილადი ჩაითვალოს z ჩანაწერის ნაწილად, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, a b = z, მაშინ აუცილებელია დავამტკიცოთ, რომ a · m b · m შეესაბამება z-ს, ანუ დავამტკიცოთ a · m b · m = ზ. მაშინ ეს მოგვცემს საშუალებას დავამტკიცოთ a · m b · m = a b ტოლობის არსებობა.

წილადის ზოლი ნიშნავს გაყოფის ნიშანს. გამრავლებისა და გაყოფის მიმართების გამოყენებისას მივიღებთ, რომ a b = z-დან ტრანსფორმაციის შემდეგ მივიღებთ a = b · z . რიცხვითი უტოლობების თვისებების მიხედვით, უტოლობის ორივე ნაწილი უნდა გავამრავლოთ ნულის გარდა სხვა რიცხვზე. შემდეგ გავამრავლებთ m რიცხვზე, მივიღებთ, რომ a · m = (b · z) · m . საკუთრების მიხედვით ჩვენ გვაქვს უფლება დავწეროთ გამონათქვამი a · m = (b · m) · z . აქედან გამომდინარე, განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ a b = z. სულ ეს არის a · m b · m = a b გამოთქმის დასტური.

a · m b · m = a b და a b = a · m b · m ფორმის ტოლობებს აქვს აზრი, როდესაც a , b , m-ის ნაცვლად არის მრავალწევრები, ხოლო b და m-ის ნაცვლად ისინი ნულოვანია.

ალგებრული წილადის მთავარი თვისება: როდესაც მრიცხველს და მნიშვნელს ერთდროულად ვამრავლებთ ერთსა და იმავე რიცხვზე, მივიღებთ ორიგინალური გამოსახულების იდენტურ ტოლს.

საკუთრება ითვლება სამართლიანად, ვინაიდან მოქმედებები მრავალწევრებთან შეესაბამება რიცხვებთან მოქმედებებს.

მაგალითი 1

განვიხილოთ წილადის მაგალითი 3 · x x 2 - x y + 4 · y 3 . შესაძლებელია გადაიყვანოთ ფორმაში 3 x (x 2 + 2 x y) (x 2 - x y + 4 y 3) (x 2 + 2 x y).

შესრულდა x 2 + 2 · x · y მრავალწევრზე გამრავლება. ანალოგიურად, ძირითადი თვისება გვეხმარება x 2-ის მოშორებაში, რომელიც იმყოფება პირობით მოცემული ფორმის 5 x 2 (x + 1) x 2 (x 3 + 3) წილადში, 5 ფორმამდე. x + 5 x 3 + 3. ამას ჰქვია გამარტივება.

ძირითადი თვისება შეიძლება დაიწეროს გამონათქვამების სახით a · m b · m = a b და a b = a · m b · m , როდესაც a , b , m არის მრავალწევრები ან ჩვეულებრივი ცვლადები და b და m არ უნდა იყოს ნულოვანი.

ალგებრული წილადის ძირითადი თვისების გამოყენების სფერო

ძირითადი ქონების გამოყენება რელევანტურია ახალ მნიშვნელზე შესამცირებლად ან წილადის შემცირებისას.

განმარტება 2

საერთო მნიშვნელამდე შემცირება არის მრიცხველისა და მნიშვნელის გამრავლება მსგავს მრავალწევრზე ახლის მისაღებად. მიღებული წილადი ორიგინალის ტოლია.

ანუ x + y x 2 + 1 (x + 1) x 2 + 1 ფორმის წილადი, როდესაც გავამრავლებთ x 2 + 1-ზე და შევამცირებთ საერთო მნიშვნელზე (x + 1) (x 2 + 1) მივიღებთ ფორმა x 3 + x + x 2 y + y x 3 + x + x 2 + 1.

მრავალწევრებით მოქმედებების შესრულების შემდეგ მივიღებთ, რომ ალგებრული წილადი გარდაიქმნება x 3 + x + x 2 y + y x 3 + x + x 2 + 1.

საერთო მნიშვნელამდე შემცირება ასევე ხორციელდება წილადების შეკრების ან გამოკლებისას. თუ მოცემულია წილადი კოეფიციენტები, მაშინ ჯერ საჭიროა გამარტივება, რომელიც გაამარტივებს ფორმას და თავად საერთო მნიშვნელის პოვნას. მაგალითად, 2 5 x y - 2 x + 1 2 = 10 2 5 x y - 2 10 x + 1 2 = 4 x y - 20 10 x + 5.

წილადების შემცირებისას თვისების გამოყენება ხდება 2 ეტაპად: მრიცხველისა და მნიშვნელის ფაქტორებად დაშლა საერთო m-ის საპოვნელად, შემდეგ გადასვლა a b წილადის ფორმაზე a · m b · ფორმის ტოლობის საფუძველზე. m = a b.

თუ 4 x 3 - x y 16 x 4 - y 2 ფორმის წილადი დაშლის შემდეგ გარდაიქმნება x (4 x 2 - y) 4 x 2 - y 4 x 2 + y, აშკარაა, რომ ზოგადი გამრავლება არის მრავალწევრი 4 · x 2 − y . მაშინ შესაძლებელი იქნება წილადის შემცირება მისი ძირითადი თვისების მიხედვით. ჩვენ ამას მივიღებთ

x (4 x 2 - y) 4 x 2 - y 4 x 2 + y = x 4 x 2 + y. ფრაქცია გამარტივებულია, მაშინ მნიშვნელობების ჩანაცვლებისას საჭირო იქნება გაცილებით ნაკლები მოქმედებების შესრულება, ვიდრე ორიგინალში ჩანაცვლებისას.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

სასკოლო სასწავლო გეგმის ალგებრის კურსიდან გადავდივართ სპეციფიკაზე. ამ სტატიაში ჩვენ დეტალურად შევისწავლით რაციონალურ გამონათქვამებს − რაციონალური წილადებიდა ასევე გაანალიზეთ რა მახასიათებელია იდენტური რაციონალური წილადების გარდაქმნებიგაიმართება.

ჩვენ დაუყოვნებლივ აღვნიშნავთ, რომ რაციონალურ წილადებს იმ გაგებით, რომლითაც ჩვენ განვსაზღვრავთ ქვემოთ, ალგებრის ზოგიერთ სახელმძღვანელოში ალგებრულ წილადებს უწოდებენ. ანუ ამ სტატიაში ჩვენ გავიგებთ იგივეს რაციონალურ და ალგებრულ წილადებში.

როგორც ყოველთვის, ვიწყებთ განმარტებით და მაგალითებით. შემდეგ ვისაუბროთ რაციონალური წილადის ახალ მნიშვნელზე მიყვანაზე და წილადის წევრების ნიშნების შეცვლაზე. ამის შემდეგ გავაანალიზებთ, თუ როგორ ხდება წილადების შემცირება. და ბოლოს, მოდით ვისაუბროთ რაციონალური წილადის წარმოდგენაზე რამდენიმე წილადის ჯამის სახით. ყველა ინფორმაცია მოწოდებული იქნება მაგალითებით გადაწყვეტილებების დეტალური აღწერილობით.

გვერდის ნავიგაცია.

რაციონალური წილადების განმარტება და მაგალითები

რაციონალური წილადები მე-8 კლასში ალგებრის გაკვეთილებზე ისწავლება. ჩვენ გამოვიყენებთ რაციონალური წილადის განმარტებას, რომელიც მოცემულია მე-8 კლასის ალგებრის სახელმძღვანელოში იუ.ნ. მაკარიჩევის და სხვების მიერ.

ეს განსაზღვრება არ აკონკრეტებს, რაციონალური წილადის მრიცხველში და მნიშვნელში პოლინომები უნდა იყოს სტანდარტული ფორმის მრავალწევრები თუ არა. ამიტომ, ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ რაციონალური წილადები შეიძლება შეიცავდეს როგორც სტანდარტულ, ასევე არასტანდარტულ მრავალწევრებს.

აქ არის რამდენიმე რაციონალური წილადების მაგალითები. ასე რომ, x/8 და - რაციონალური წილადები. და წილადები და არ ერგება რაციონალური წილადის გაჟღერებულ განმარტებას, ვინაიდან პირველში მრიცხველი არ არის მრავალწევრი, ხოლო მეორეში მრიცხველიც და მნიშვნელიც შეიცავს გამონათქვამებს, რომლებიც არ არიან მრავალწევრები.

რაციონალური წილადის მრიცხველისა და მნიშვნელის გადაქცევა

ნებისმიერი წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი არის თვითკმარი მათემატიკური გამონათქვამები, რაციონალური წილადების შემთხვევაში ისინი მრავალწევრია, კონკრეტულ შემთხვევაში მონომები და რიცხვები. მაშასადამე, რაციონალური წილადის მრიცხველით და მნიშვნელით, როგორც ნებისმიერი გამონათქვამის შემთხვევაში, შეიძლება განხორციელდეს იდენტური გარდაქმნები. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, რაციონალური წილადის მრიცხველში გამოსახვა შეიძლება შეიცვალოს გამოსახულებით, რომელიც მისი ტოლფასია, ისევე როგორც მნიშვნელი.

რაციონალური წილადის მრიცხველსა და მნიშვნელში შეიძლება შესრულდეს იდენტური გარდაქმნები. მაგალითად, მრიცხველში შეგიძლიათ დააჯგუფოთ და შეამციროთ მსგავსი ტერმინები, ხოლო მნიშვნელში რამდენიმე რიცხვის ნამრავლი შეიძლება შეიცვალოს მისი მნიშვნელობით. და რადგან რაციონალური წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი მრავალწევრია, შესაძლებელია მათთან მრავალწევრებისთვის დამახასიათებელი გარდაქმნების შესრულება, მაგალითად, სტანდარტულ ფორმამდე დაყვანა ან ნამრავლის სახით წარმოდგენა.

სიცხადისთვის, განიხილეთ რამდენიმე მაგალითის გადაწყვეტილებები.

მაგალითი.

რაციონალური წილადის გადაქცევა ისე, რომ მრიცხველი არის სტანდარტული ფორმის მრავალწევრი, ხოლო მნიშვნელი მრავალწევრების ნამრავლი.

გამოსავალი.

რაციონალური წილადების ახალ მნიშვნელამდე შემცირება ძირითადად გამოიყენება რაციონალური წილადების შეკრებისა და გამოკლებისას.

ნიშნების შეცვლა წილადის წინ, ასევე მისი მრიცხველისა და მნიშვნელის

წილადის ძირითადი თვისება შეიძლება გამოყენებულ იქნას წილადის ტერმინების ნიშნების შესაცვლელად. მართლაც, რაციონალური წილადის მრიცხველისა და მნიშვნელის -1-ზე გამრავლება მათი ნიშნების შეცვლის ტოლფასია და შედეგი არის წილადი, რომელიც იდენტურად უდრის მოცემულს. ასეთი ტრანსფორმაცია საკმაოდ ხშირად უნდა იქნას გამოყენებული რაციონალურ წილადებთან მუშაობისას.

ამრიგად, თუ ერთდროულად შეცვლით წილადის მრიცხველისა და მნიშვნელის ნიშნებს, მიიღებთ ორიგინალის ტოლ წილადს. ეს განცხადება შეესაბამება თანასწორობას.

ავიღოთ მაგალითი. რაციონალური წილადი შეიძლება შეიცვალოს იდენტურად ტოლი წილადით, ფორმის მრიცხველისა და მნიშვნელის შებრუნებული ნიშნებით.

წილადებით შეიძლება განხორციელდეს კიდევ ერთი იდენტური ტრანსფორმაცია, რომელშიც ნიშანი იცვლება მრიცხველში ან მნიშვნელში. მოდით გადავიდეთ შესაბამის წესზე. თუ წილადის ნიშანს ჩაანაცვლებთ მრიცხველის ან მნიშვნელის ნიშანთან ერთად, მიიღებთ წილადს, რომელიც ტოლია ორიგინალის იდენტურად. წერილობითი განცხადება შეესაბამება თანასწორობას და .

ამ თანასწორობის დამტკიცება არ არის რთული. მტკიცებულება ეფუძნება რიცხვების გამრავლების თვისებებს. დავამტკიცოთ პირველი მათგანი: . მსგავსი გარდაქმნების დახმარებით თანასწორობაც მტკიცდება.

მაგალითად, წილადი შეიძლება შეიცვალოს გამოსახულებით ან .

ამ ქვეგანყოფილების დასასრულებლად წარმოგიდგენთ კიდევ ორ სასარგებლო თანასწორობას და . ანუ თუ თქვენ შეცვლით მხოლოდ მრიცხველის ან მხოლოდ მნიშვნელის ნიშანს, მაშინ წილადი ცვლის თავის ნიშანს. Მაგალითად, და .

განხილული გარდაქმნები, რომლებიც წილადის ტერმინების ნიშნის შეცვლის საშუალებას იძლევა, ხშირად გამოიყენება წილადი რაციონალური გამონათქვამების გარდაქმნისას.

რაციონალური წილადების შემცირება

რაციონალური წილადების შემდეგი ტრანსფორმაცია, რომელსაც რაციონალური წილადების შემცირება ეწოდება, ემყარება წილადის იმავე ძირითად თვისებას. ეს ტრანსფორმაცია შეესაბამება ტოლობას, სადაც a , b და c არის რამდენიმე მრავალწევრი, ხოლო b და c არ არის ნულოვანი.

ზემოაღნიშნული თანასწორობიდან ირკვევა, რომ რაციონალური წილადის შემცირება გულისხმობს მის მრიცხველსა და მნიშვნელში არსებული საერთო ფაქტორის მოშორებას.

მაგალითი.

შეამცირეთ რაციონალური წილადი.

გამოსავალი.

საერთო ფაქტორი 2 მაშინვე ჩანს, შევამციროთ (წერისას მოსახერხებელია იმ საერთო ფაქტორების გადაკვეთა, რომლითაც ხდება შემცირება). Ჩვენ გვაქვს . ვინაიდან x 2 \u003d x x და y 7 \u003d y 3 y 4 (იხ. საჭიროების შემთხვევაში), ცხადია, რომ x არის მიღებული წილადის მრიცხველისა და მნიშვნელის საერთო კოეფიციენტი, როგორიცაა y 3 . მოდით შევამციროთ ამ ფაქტორებით: . ეს ასრულებს შემცირებას.

ზემოთ ჩვენ შევასრულეთ რაციონალური წილადის შემცირება თანმიმდევრობით. და შესაძლებელი იყო შემცირების შესრულება ერთი ნაბიჯით, წილადის დაუყოვნებლივ შემცირება 2·x·y 3-ით. ამ შემთხვევაში გამოსავალი ასე გამოიყურება: .

პასუხი:

.

რაციონალური წილადების შემცირებისას მთავარი პრობლემა ის არის, რომ მრიცხველისა და მნიშვნელის საერთო ფაქტორი ყოველთვის არ ჩანს. უფრო მეტიც, ის ყოველთვის არ არსებობს. იმისათვის, რომ იპოვოთ საერთო ფაქტორი ან დარწმუნდეთ, რომ ის არ არსებობს, საჭიროა რაციონალური წილადის მრიცხველის და მნიშვნელის ფაქტორიზაცია. თუ არ არსებობს საერთო ფაქტორი, მაშინ თავდაპირველი რაციონალური ფრაქციის შემცირება არ არის საჭირო, წინააღმდეგ შემთხვევაში, შემცირება ხორციელდება.

რაციონალური წილადების შემცირების პროცესში შეიძლება წარმოიშვას სხვადასხვა ნიუანსი. ძირითადი დახვეწილობა მაგალითებითა და დეტალებით განხილულია სტატიაში ალგებრული წილადების შემცირება.

რაციონალური წილადების შემცირების შესახებ საუბრის დასასრულს, აღვნიშნავთ, რომ ეს ტრანსფორმაცია იდენტურია და მისი განხორციელების მთავარი სირთულე მდგომარეობს მრიცხველსა და მნიშვნელში მრავალწევრების ფაქტორიზაციაში.

რაციონალური წილადის წარმოდგენა წილადების ჯამის სახით

საკმაოდ სპეციფიკური, მაგრამ ზოგიერთ შემთხვევაში ძალიან სასარგებლოა რაციონალური წილადის ტრანსფორმაცია, რომელიც შედგება მის წარმოდგენაში, როგორც რამდენიმე წილადის ჯამი, ან მთელი რიცხვი გამოხატვისა და წილადის ჯამი.

რაციონალური წილადი, რომლის მრიცხველში არის მრავალწევრი, რომელიც არის რამდენიმე მონომის ჯამი, ყოველთვის შეიძლება დაიწეროს ერთი და იგივე მნიშვნელის მქონე წილადების ჯამი, რომელთა მრიცხველებში არის შესაბამისი მონომები. Მაგალითად, . ეს წარმოდგენა აიხსნება იმავე მნიშვნელის მქონე ალგებრული წილადების შეკრებისა და გამოკლების წესით.

ზოგადად, ნებისმიერი რაციონალური წილადი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წილადების ჯამის სახით სხვადასხვა გზით. მაგალითად, წილადი a/b შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ორი წილადის ჯამის სახით - თვითნებური წილადი c/d და წილადი, რომელიც ტოლია a/b და c/d წილადებს შორის სხვაობის ტოლი. ეს განცხადება მართალია, რადგან თანასწორობა . მაგალითად, რაციონალური წილადი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წილადების ჯამის სახით სხვადასხვა გზით: ჩვენ წარმოვადგენთ თავდაპირველ წილადს, როგორც მთელი რიცხვის გამოსახულებისა და წილადის ჯამს. მრიცხველის მნიშვნელზე სვეტზე გაყოფის შემდეგ მივიღებთ ტოლობას . n 3 +4 გამოხატვის მნიშვნელობა ნებისმიერი მთელი რიცხვისთვის n არის მთელი რიცხვი. ხოლო წილადის მნიშვნელობა არის მთელი რიცხვი, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ მისი მნიშვნელი არის 1, −1, 3 ან −3. ეს მნიშვნელობები შეესაბამება n=3, n=1, n=5 და n=−1 მნიშვნელობებს.

პასუხი:

−1 , 1 , 3 , 5 .

ბიბლიოგრაფია.

• Ალგებრა:სახელმძღვანელო 8 უჯრედისთვის. ზოგადი განათლება დაწესებულებები / [იუ. ნ. მაკარიჩევი, ნ.გ.მინდიუკი, კ.ი.ნეშკოვი, ს.ბ.სუვოროვა]; რედ. S.A. თელიაკოვსკი. - მე-16 გამოცემა. - მ. : განათლება, 2008. - 271გვ. : ავად. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• მორდკოვიჩი ა.გ.Ალგებრა. მე-7 კლასი. 14 საათზე, ნაწილი 1. სახელმძღვანელო საგანმანათლებლო დაწესებულებების სტუდენტებისთვის / A. G. Mordkovich. - მე-13 გამოცემა, რევ. - M.: Mnemosyne, 2009. - 160გვ.: ილ. ISBN 978-5-346-01198-9.
• მორდკოვიჩი ა.გ.Ალგებრა. მე-8 კლასი. 14 საათზე, ნაწილი 1. სახელმძღვანელო საგანმანათლებლო დაწესებულებების სტუდენტებისთვის / A. G. Mordkovich. - მე-11 გამოცემა, წაშლილია. - მ.: მნემოზინა, 2009. - 215გვ.: ილ. ISBN 978-5-346-01155-2.
• გუსევი V.A., Mordkovich A.G.მათემატიკა (სახელმძღვანელო ტექნიკური სასწავლებლების მსურველთათვის): პროკ. შემწეობა.- მ. უმაღლესი სკოლა, 1984.-351გვ., ილ.

მათემატიკაზე საუბრისას არ შეიძლება არ დაიმახსოვროთ წილადები. მათ შესწავლას დიდი ყურადღება და დრო ეთმობა. გაიხსენეთ რამდენი მაგალითის ამოხსნა მოგიწიათ წილადებთან მუშაობის გარკვეული წესების შესასწავლად, როგორ დაიმახსოვრეთ და გამოიყენეთ წილადის ძირითადი თვისება. რამდენი ნერვი დაიხარჯა საერთო მნიშვნელის მოსაძებნად, მით უმეტეს, თუ მაგალითებში ორ ტერმინზე მეტი იყო!

გავიხსენოთ რა არის ეს და ცოტათი განვაახლოთ მეხსიერება წილადებთან მუშაობის ძირითადი ინფორმაციისა და წესების შესახებ.

წილადების განმარტება

დავიწყოთ ყველაზე მნიშვნელოვანი - განმარტებებით. წილადი არის რიცხვი, რომელიც შედგება ერთი ან მეტი ერთეული ნაწილისგან. წილადი რიცხვი იწერება, როგორც ორი რიცხვი, რომლებიც გამოყოფილია ჰორიზონტალურად ან ხაზებით. ამ შემთხვევაში ზედა (ან პირველს) მრიცხველი ეწოდება, ხოლო ქვედა (მეორე) - მნიშვნელი.

აღსანიშნავია, რომ მნიშვნელი გვიჩვენებს რამდენ ნაწილად იყოფა ერთეული, ხოლო მრიცხველი აჩვენებს წილების ან აღებული ნაწილების რაოდენობას. ხშირად წილადები, თუ ისინი სწორია, ერთზე ნაკლებია.

ახლა მოდით გადავხედოთ ამ რიცხვების თვისებებს და ძირითად წესებს, რომლებიც გამოიყენება მათთან მუშაობისას. მაგრამ სანამ გავაანალიზებთ ისეთ ცნებას, როგორიცაა "რაციონალური წილადის მთავარი თვისება", მოდით ვისაუბროთ წილადების ტიპებზე და მათ მახასიათებლებზე.

რა არის წილადები

ასეთი რიცხვების რამდენიმე ტიპი არსებობს. პირველ რიგში, ეს არის ჩვეულებრივი და ათობითი. პირველი არის ჩვენ მიერ უკვე მითითებული ჩანაწერის ტიპი ჰორიზონტალური ან დახრილის გამოყენებით. წილადების მეორე ტიპი მითითებულია ეგრეთ წოდებული პოზიციური აღნიშვნის გამოყენებით, როდესაც ჯერ რიცხვის მთელი ნაწილია მითითებული, შემდეგ კი ათობითი წერტილის შემდეგ, წილადი.

აქ აღსანიშნავია, რომ მათემატიკაში ათწილადი და ჩვეულებრივი წილადები თანაბრად გამოიყენება. წილადის ძირითადი თვისება მოქმედებს მხოლოდ მეორე ვარიანტისთვის. გარდა ამისა, ჩვეულებრივ წილადებში განასხვავებენ სწორ და მცდარ რიცხვებს. პირველისთვის, მრიცხველი ყოველთვის ნაკლებია მნიშვნელზე. გაითვალისწინეთ ისიც, რომ ასეთი წილადი ნაკლებია ერთიანობაზე. არასწორ წილადში, პირიქით, მრიცხველი აღემატება მნიშვნელს და ის თავისთავად ერთზე მეტია. ამ შემთხვევაში, შესაძლებელია მისგან მთელი რიცხვის ამოღება. ამ სტატიაში განვიხილავთ მხოლოდ ჩვეულებრივ წილადებს.

ფრაქციების თვისებები

ნებისმიერ ფენომენს, ქიმიურ, ფიზიკურ თუ მათემატიკურს, აქვს თავისი მახასიათებლები და თვისებები. წილადი რიცხვები არ არის გამონაკლისი. მათ აქვთ ერთი მნიშვნელოვანი თვისება, რომლის დახმარებითაც შესაძლებელია მათზე გარკვეული ოპერაციების განხორციელება. რა არის წილადის ძირითადი თვისება? წესი ამბობს, რომ თუ მისი მრიცხველი და მნიშვნელი გავამრავლებთ ან გავყოფთ ერთსა და იმავე რაციონალურ რიცხვზე, მივიღებთ ახალ წილადს, რომლის მნიშვნელობაც თავდაპირველი სიდიდის ტოლი იქნება. ანუ წილადი რიცხვის 3/6-ის ორი ნაწილის 2-ზე გამრავლებით მივიღებთ ახალ წილადს 6/12, მაშინ როცა ისინი ტოლი იქნებიან.

ამ თვისებიდან გამომდინარე, შეგიძლიათ შეამციროთ წილადები, ასევე აირჩიოთ საერთო მნიშვნელები კონკრეტული წყვილი რიცხვისთვის.

Ოპერაციები

მიუხედავად იმისა, რომ წილადები ჩვენთვის უფრო რთულად გვეჩვენება, მათ ასევე შეუძლიათ ძირითადი მათემატიკური მოქმედებების შესრულება, როგორიცაა შეკრება და გამოკლება, გამრავლება და გაყოფა. გარდა ამისა, არსებობს ისეთი სპეციფიკური მოქმედება, როგორიცაა ფრაქციების შემცირება. ბუნებრივია, თითოეული ეს ქმედება ხორციელდება გარკვეული წესების მიხედვით. ამ კანონების ცოდნა აადვილებს წილადებთან მუშაობას, რაც ამარტივებს და საინტერესოს ხდის. ამიტომ შემდგომში განვიხილავთ ძირითად წესებს და მოქმედებების ალგორითმს ასეთ რიცხვებთან მუშაობისას.

მაგრამ სანამ ვისაუბრებთ ისეთ მათემატიკურ მოქმედებებზე, როგორიცაა შეკრება და გამოკლება, ჩვენ გავაანალიზებთ ისეთ ოპერაციას, როგორიცაა შემცირება საერთო მნიშვნელამდე. სწორედ აქ გამოდგება ცოდნა იმის შესახებ, თუ რა ძირითადი თვისება არსებობს წილადის.

Საერთო მნიშვნელი

რიცხვის საერთო მნიშვნელამდე დასაყვანად, ჯერ უნდა იპოვოთ ორი მნიშვნელის უმცირესი საერთო ჯერადი. ანუ უმცირესი რიცხვი, რომელიც ერთდროულად იყოფა ორივე მნიშვნელზე ნაშთის გარეშე. LCM-ის (უმცირესი საერთო ჯერადი) საპოვნელად უმარტივესი გზაა ჩაწეროთ სტრიქონში ერთი მნიშვნელისთვის, შემდეგ მეორესთვის და იპოვოთ შესაბამისი რიცხვი მათ შორის. იმ შემთხვევაში, თუ LCM არ არის ნაპოვნი, ანუ ამ რიცხვებს არ აქვთ საერთო ჯერადი, ისინი უნდა გამრავლდეს და მიღებული მნიშვნელობა ჩაითვალოს LCM.

ასე რომ, ჩვენ ვიპოვეთ LCM, ახლა ჩვენ უნდა ვიპოვოთ დამატებითი მულტიპლიკატორი. ამისათვის თქვენ მონაცვლეობით უნდა გაყოთ LCM წილადების მნიშვნელებად და ჩაწეროთ მიღებული რიცხვი თითოეულ მათგანზე. შემდეგ, გაამრავლეთ მრიცხველი და მნიშვნელი მიღებულ დამატებით კოეფიციენტზე და ჩაწერეთ შედეგები ახალი წილადის სახით. თუ ეჭვი გეპარებათ, რომ მიღებული რიცხვი წინა რიცხვის ტოლია, გაიხსენეთ წილადის მთავარი თვისება.

დამატება

ახლა პირდაპირ გადავიდეთ მათემატიკურ მოქმედებებზე წილად რიცხვებზე. დავიწყოთ უმარტივესით. წილადების დამატების რამდენიმე ვარიანტი არსებობს. პირველ შემთხვევაში ორივე რიცხვს ერთი და იგივე მნიშვნელი აქვს. ამ შემთხვევაში, რჩება მხოლოდ მრიცხველების დამატება. მაგრამ მნიშვნელი არ იცვლება. მაგალითად, 1/5 + 3/5 = 4/5.

თუ წილადებს განსხვავებული მნიშვნელი აქვთ, ისინი უნდა დაიყვანონ საერთოზე და მხოლოდ ამის შემდეგ განხორციელდეს შეკრება. როგორ გავაკეთოთ ეს, ჩვენ განვიხილეთ თქვენთან ცოტა მაღლა. ამ სიტუაციაში, ფრაქციის მთავარი თვისება გამოდგება. წესი საშუალებას მოგცემთ მიიტანოთ რიცხვები საერთო მნიშვნელამდე. ღირებულება არანაირად არ შეიცვლება.

ალტერნატიულად, შეიძლება მოხდეს, რომ ფრაქცია შერეულია. შემდეგ ჯერ მთელი ნაწილები უნდა შეკრიბოთ, შემდეგ კი წილადები.

გამრავლება

ის არ საჭიროებს ხრიკებს და ამ მოქმედების შესასრულებლად არ არის აუცილებელი წილადის ძირითადი თვისების ცოდნა. საკმარისია ჯერ გავამრავლოთ მრიცხველები და მნიშვნელები. ამ შემთხვევაში, მრიცხველთა ნამრავლი გახდება ახალი მრიცხველი, ხოლო მნიშვნელთა ნამრავლი გახდება ახალი მნიშვნელი. როგორც ხედავთ, არაფერია რთული.

ერთადერთი, რაც თქვენგან მოითხოვება, არის გამრავლების ცხრილის ცოდნა, ასევე ყურადღება. გარდა ამისა, შედეგის მიღების შემდეგ აუცილებლად უნდა შეამოწმოთ შეიძლება თუ არა ამ რიცხვის შემცირება. წილადების შემცირებაზე ცოტა მოგვიანებით ვისაუბრებთ.

გამოკლება

შესრულება უნდა იხელმძღვანელოს იგივე წესებით, როგორც დამატებისას. ასე რომ, ერთი და იგივე მნიშვნელის მქონე რიცხვებში საკმარისია ქვეტრაჰენდის მრიცხველი გამოვაკლოთ მინუენდის მრიცხველს. იმ შემთხვევაში, თუ წილადებს განსხვავებული მნიშვნელი აქვთ, ისინი უნდა დაიყვანონ საერთოზე და შემდეგ შეასრულონ ეს ოპერაცია. როგორც ანალოგიური მიმატების შემთხვევაში, თქვენ დაგჭირდებათ ალგებრული წილადის ძირითადი თვისების გამოყენება, ასევე LCM-ის და წილადების საერთო ფაქტორების პოვნის უნარები.

განყოფილება

და ბოლო, ყველაზე საინტერესო ოპერაცია ასეთ რიცხვებთან მუშაობისას არის გაყოფა. ის საკმაოდ მარტივია და არ იწვევს რაიმე განსაკუთრებულ სირთულეებს მათთვისაც კი, ვისაც არ ესმის წილადებთან მუშაობა, განსაკუთრებით შეკრებისა და გამოკლების ოპერაციების შესრულება. გაყოფისას ასეთი წესი მოქმედებს, როგორც საპასუხო წილადზე გამრავლება. წილადის ძირითადი თვისება, როგორც გამრავლების შემთხვევაში, არ იქნება გამოყენებული ამ ოპერაციისთვის. მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ.

რიცხვების გაყოფისას დივიდენდი უცვლელი რჩება. გამყოფი შებრუნებულია, ანუ მრიცხველი და მნიშვნელი შებრუნებულია. ამის შემდეგ რიცხვები მრავლდება ერთმანეთთან.

შემცირება

ასე რომ, ჩვენ უკვე განვიხილეთ წილადების განმარტება და სტრუქტურა, მათი ტიპები, მოცემულ რიცხვებზე მოქმედების წესები და გავარკვიეთ ალგებრული წილადის ძირითადი თვისება. ახლა მოდით ვისაუბროთ ისეთ ოპერაციაზე, როგორიცაა შემცირება. წილადის შემცირება არის მისი გარდაქმნის პროცესი - მრიცხველისა და მნიშვნელის გაყოფა იმავე რიცხვზე. ამრიგად, ფრაქცია მცირდება მისი თვისებების შეცვლის გარეშე.

ჩვეულებრივ, მათემატიკური ოპერაციის შესრულებისას, ყურადღებით უნდა დაათვალიეროთ საბოლოოდ მიღებული შედეგი და გაარკვიოთ, შესაძლებელია თუ არა მიღებული წილადის შემცირება. გახსოვდეთ, რომ საბოლოო შედეგი ყოველთვის იწერება წილადი რიცხვის სახით, რომელიც არ საჭიროებს შემცირებას.

სხვა ოპერაციები

და ბოლოს, ჩვენ აღვნიშნავთ, რომ ჩვენ ჩამოვთვალეთ წილადი რიცხვების ყველა ოპერაციებისაგან, აღვნიშნეთ მხოლოდ ყველაზე ცნობილი და აუცილებელი. ასევე შესაძლებელია წილადების შედარება, ათწილადად გადაქცევა და პირიქით. მაგრამ ამ სტატიაში ჩვენ არ გავითვალისწინეთ ეს ოპერაციები, რადგან მათემატიკაში ისინი ტარდება ბევრად უფრო იშვიათად, ვიდრე ზემოთ მოყვანილი.

დასკვნები

მათთან წილადობრივ რიცხვებსა და მოქმედებებზე ვისაუბრეთ. ჩვენ გავაანალიზეთ ძირითადი ქონებაც, მაგრამ აღვნიშნავთ, რომ ყველა ეს საკითხი ჩვენ განვიხილეთ. ჩვენ მივეცით მხოლოდ ყველაზე ცნობილი და გამოყენებული წესები, მივეცით ყველაზე მნიშვნელოვანი, ჩვენი აზრით, რჩევა.

ეს სტატია გამიზნულია იმ ინფორმაციის გასაახლებლად, რომელიც დაგავიწყდათ წილადების შესახებ, ვიდრე ახალი ინფორმაციის მიწოდება და თავში „ჩაქუჩით“ გაუთავებელი წესებითა და ფორმულებით, რაც, დიდი ალბათობით, არ გამოგადგებათ.

ვიმედოვნებთ, რომ სტატიაში წარმოდგენილი მასალა უბრალოდ და მოკლედ თქვენთვის სასარგებლო გახდა.