>> მათემატიკა: რაციონალური უტოლობები
რაციონალური უტოლობა ერთ x ცვლადთან არის ფორმა - რაციონალური გამონათქვამების უტოლობა, ე.ი. რიცხვებისა და x ცვლადისაგან შედგენილი ალგებრული გამონათქვამები შეკრების, გამოკლების, გამრავლების, გაყოფისა და ბუნებრივ ხარისხზე ამაღლების ოპერაციების გამოყენებით. რა თქმა უნდა, ცვლადი შეიძლება აღინიშნოს ნებისმიერი სხვა ასოთი, მაგრამ მათემატიკაში ყველაზე ხშირად ასო x ენიჭება უპირატესობას.
რაციონალური უტოლობების ამოხსნისას გამოიყენება სამი წესი, რომლებიც ჩამოყალიბდა ზემოთ § 1-ში. ამ წესების დახმარებით მოცემული რაციონალური უტოლობა ჩვეულებრივ გარდაიქმნება ფორმაში / (x) > 0, სადაც / (x) არის ალგებრული. წილადი (ან მრავალწევრი). შემდეგ, დაშალეთ f (x) წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი x - a ფორმის ფაქტორებად (თუ, რა თქმა უნდა, ეს შესაძლებელია) და გამოიყენეთ ინტერვალის მეთოდი, რომელიც ზემოთ უკვე აღვნიშნეთ (იხილეთ მაგალითი 3 წინაში. აბზაცი).
მაგალითი 1ამოხსენით უტოლობა (x - 1) (x + 1) (x - 2) > 0.
გამოსავალი.განვიხილოთ გამონათქვამი f(x) = (x-1)(x + 1)(x-2).
1,-1,2 წერტილებში ის 0-ზე უბრუნდება; მონიშნეთ ეს წერტილები რიცხვით ხაზზე. რიცხვითი წრფე მითითებული წერტილებით იყოფა ოთხ ინტერვალად (სურ. 6), რომელთაგან თითოეულზე გამოსახულება f (x) ინარჩუნებს მუდმივ ნიშანს. ამის გადასამოწმებლად ჩვენ განვახორციელებთ ოთხ არგუმენტს (თითოეული ამ ინტერვალისთვის ცალკე). 
აიღეთ ნებისმიერი x წერტილი ინტერვალიდან (2, ეს წერტილი მდებარეობს რიცხვით წრფეზე -1 წერტილიდან მარჯვნივ, 1 წერტილიდან მარჯვნივ და 2 წერტილიდან მარჯვნივ. ეს ნიშნავს, რომ x > -1, x > 1, x > 2 (ნახ. 7) მაგრამ შემდეგ x-1>0, x+1>0, x - 2> 0 და აქედან გამომდინარე f (x)> 0 (როგორც რაციონალური უტოლობის ნამრავლი სამი დადებითის რიცხვები). ასე რომ, უტოლობა f (x ) > 0.
აიღეთ ნებისმიერი x წერტილი ინტერვალიდან (1,2). ეს წერტილი მდებარეობს რიცხვითი წრფეზე 1 წერტილიდან მარჯვნივ, 1 წერტილიდან მარჯვნივ, მაგრამ 2 წერტილიდან მარცხნივ. აქედან გამომდინარე, x\u003e -1, x\u003e 1, მაგრამ x< 2 (рис. 8), а потому x + 1>0.x-1>0.x-2<0. Но тогда f(x) <0 (как произведение двух положительных и одного отрицательного числа). Итак, на промежутке (1,2) выполняется неравенство f (x) < 0.
აიღეთ ნებისმიერი x წერტილი ინტერვალიდან (-1,1). ეს წერტილი მდებარეობს რიცხვით წრფეზე -1 წერტილიდან მარჯვნივ, 1 წერტილიდან მარცხნივ და 2 წერტილიდან მარცხნივ. ასე რომ x > -1, მაგრამ x< 1, х <2 (рис. 9), а потому х + 1 >0, x -1<0, х - 2 < 0. Но тогда f (x) >0 (როგორც ორი უარყოფითი და ერთი დადებითი რიცხვის ნამრავლი). ასე რომ, (-1,1) ინტერვალზე მოქმედებს უტოლობა f (x)> 0.
და ბოლოს, აიღეთ ნებისმიერი x წერტილი ღია სხივიდან (-oo, -1). ეს წერტილი მდებარეობს რიცხვით წრფეზე -1 წერტილიდან მარცხნივ, 1 წერტილიდან მარცხნივ და 2 წერტილიდან მარცხნივ. ეს ნიშნავს, რომ x<-1, х< 1, х<2 (рис. 10). Но тогда x - 1 < 0, x + 1 < 0, х - 2 < 0, а значит, и f (x) < 0 (как произведение трех отрицательных чисел). Итак, на всем промежутке (-оо, -1) выполняется неравенство f (x) < 0.
შევაჯამოთ. გამონათქვამის f (x) ნიშნები შერჩეულ ინტერვალებში ნაჩვენებია ნახ. 11. ჩვენ გვაინტერესებს ისინი, რომლებზეც დაკმაყოფილებულია უტოლობა f (x) > 0. ნახზე წარმოდგენილი გეომეტრიული მოდელის გამოყენებით. 11, ჩვენ დავადგინეთ, რომ უტოლობა f (x) > 0 დაკმაყოფილებულია ინტერვალზე (-1, 1) ან ღია სხივზე
პასუხი: -1 < х < 1; х > 2.
მაგალითი 2უტოლობის ამოხსნა 
გამოსავალი.როგორც წინა მაგალითში, ჩვენ გამოვიყვანთ საჭირო ინფორმაციას ნახ. 11, მაგრამ ორი ცვლილებით მაგალით 1-თან შედარებით. პირველი, რადგან ჩვენ გვაინტერესებს x-ის რომელი მნიშვნელობები აკმაყოფილებს უტოლობას f(x)< 0, нам придется выбрать промежутки 
მეორეც, ჩვენ ასევე კმაყოფილი ვართ იმ წერტილებით, რომლებზეც დაკმაყოფილებულია ტოლობა f (x) = 0. ეს არის წერტილები -1, 1, 2, მათ ფიგურაში მოვნიშნავთ მუქი წრეებით და ჩავრთავთ პასუხში. ნახ. 12 გვიჩვენებს პასუხის გეომეტრიულ მოდელს, საიდანაც არ არის რთული ანალიტიკურ ჩანაწერზე გადასვლა.
პასუხი: 
მაგალითი 3.უტოლობის ამოხსნა 
გამოსავალი. მოდით ფაქტორზე გავხადოთ უტოლობის მარცხენა მხარეს შემავალი ალგებრული წილადის fx მრიცხველი და მნიშვნელი. მრიცხველში გვაქვს x 2 - x \u003d x (x - 1).
წილადის მნიშვნელში შემავალი x 2 - bx ~ 6 კვადრატული ტრინომის ფაქტორიზაციისთვის, ვპოულობთ მის ფესვებს. განტოლებიდან x 2 - 5x - 6 \u003d 0 ვპოულობთ x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 6. აქედან გამომდინარე, 
(გამოვიყენეთ ფორმულა კვადრატული ტრინომის ფაქტორინგისთვის: ax 2 + bx + c \u003d a (x - x 1 - x 2)).
ამგვარად, მოცემული უტოლობა ფორმად გადავაქციეთ
განვიხილოთ გამოთქმა:
ამ წილადის მრიცხველი 0-ზე და 1-ზე უბრუნდება 0-ს, ხოლო -1-სა და 6-ზე - 0-ს. ეს წერტილები აღვნიშნოთ რიცხვით წრფეზე (სურ. 13). რიცხვითი წრფე მითითებული წერტილებით იყოფა ხუთ ინტერვალად და თითოეულ ინტერვალზე გამოხატულება fx) ინარჩუნებს მუდმივ ნიშანს. კამათით ისევე, როგორც მაგალით 1-ში, მივდივართ დასკვნამდე, რომ გამოთქმის fx) ნიშნები შერჩეულ ინტერვალებში ისეთია, როგორც ნაჩვენებია ნახ. 13. ჩვენ გვაინტერესებს სად არის უტოლობა f (x)< 0. С помощью геометрической модели, представленной на рис. 13, устанавливаем, что f (х) < 0 на интервале (-1, 0) или на интервале (1, 6).
0 პასუხი: -1
მაგალითი 4უტოლობის ამოხსნა
გამოსავალი.რაციონალური უტოლობების ამოხსნისას, როგორც წესი, ურჩევნიათ დატოვონ მხოლოდ რიცხვი 0 უტოლობის მარჯვენა მხარეს, ამიტომ უტოლობას ვცვლით ფორმაში.
Უფრო:
როგორც გამოცდილება გვიჩვენებს, თუ უტოლობის მარჯვენა მხარე შეიცავს მხოლოდ რიცხვს 0, უფრო მოსახერხებელია მსჯელობა, როდესაც მის მარცხენა მხარეს მრიცხველსაც და მნიშვნელსაც აქვს დადებითი წამყვანი კოეფიციენტი და რა გვაქვს? ჩვენ გვაქვს ყველაფერი წილადის მნიშვნელი ამ თვალსაზრისით თანმიმდევრობით (წამყვანი კოეფიციენტი, ანუ კოეფიციენტი x 2-ზე არის 6 - დადებითი რიცხვი), მაგრამ მრიცხველში ყველაფერი რიგზე არ არის - უფროსი კოეფიციენტი (კოეფიციენტი x-ზე) არის - 4 (უარყოფითი რიცხვი) უტოლობის ორივე მხარის გამრავლებით -1-ზე და უტოლობის ნიშნის საპირისპიროდ შეცვლით, მივიღებთ ეკვივალენტურ უტოლობას.
ალგებრული წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი გავამრავლოთ. მრიცხველში ყველაფერი მარტივია: 
წილადის მნიშვნელში შემავალი კვადრატული ტრინომის ფაქტორიზირება 
(ჩვენ კვლავ გამოვიყენეთ კვადრატული ტრინომის ფაქტორინგის ფორმულა).
ამგვარად, მოცემული უტოლობა ფორმამდე შევამცირეთ
განიხილეთ გამოხატულება
ამ წილადის მრიცხველი წერტილში უბრუნდება 0-ს, ხოლო მნიშვნელს - წერტილებში, ამ წერტილებს აღვნიშნავთ რიცხვით წრფეზე (სურ. 14), რომელიც მითითებული წერტილებით იყოფა ოთხ ინტერვალად და თითოეულ ინტერვალზე გამოსახულებას. f (x) ინარჩუნებს მუდმივ ნიშანს (ეს ნიშნები მითითებულია სურ. 14-ზე). ჩვენ გვაინტერესებს ის ინტერვალები, რომლებზეც არის უტოლობა fх< 0; эти промежутки выделены штриховкой на рис. 15. По условию, нас интересуют и те точки х, в которых выполняется равенство f (х) = 0. Такая точка только одна - это точка поскольку лишь при этом значении числитель дроби f (х) обращается в нуль. Точка отмечена на рис. 15 темным кружочком. Таким образом, на рис. 15 представлена геометрическая модель решения заданного неравенства, от которой нетрудно перейти к аналитической записи.
ყველა განხილულ მაგალითში ჩვენ გადავაქციეთ მოცემული უტოლობა ფორმის ეკვივალენტურ უტოლობად f (x) > 0 ან f (x)<0,где 
ამ შემთხვევაში, წილადის მრიცხველსა და მნიშვნელში ფაქტორების რაოდენობა შეიძლება იყოს ნებისმიერი. შემდეგ რიცხვით წრფეზე აღინიშნა a, b, c, e წერტილები. და დაადგინა გამონათქვამის f (x) ნიშნები შერჩეულ ინტერვალებზე. ჩვენ შევამჩნიეთ, რომ შერჩეული ინტერვალების მარჯვნივ, უტოლობა f (x) > 0 დაკმაყოფილებულია და შემდეგ გამოხატვის f (x) ნიშნები ერთმანეთს ენაცვლება ინტერვალების გასწვრივ (იხ. სურ. 16a). ეს მონაცვლეობა მოხერხებულად არის ილუსტრირებული ტალღოვანი მრუდის დახმარებით, რომელიც დახატულია მარჯვნიდან მარცხნივ და ზემოდან ქვევით (სურ. 166). იმ ინტერვალებზე, სადაც ეს მრუდი (მას ზოგჯერ ნიშანთა მრუდსაც უწოდებენ) მდებარეობს x-ღერძის ზემოთ, დაკმაყოფილებულია უტოლობა f (x) > 0; სადაც ეს მრუდი მდებარეობს x ღერძის ქვემოთ, უტოლობა f (x)< 0.
მაგალითი 5უტოლობის ამოხსნა
გამოსავალი.Ჩვენ გვაქვს
(წინა უტოლობის ორივე ნაწილი გამრავლდა 6-ზე).
ინტერვალის მეთოდის გამოსაყენებლად, მონიშნეთ წერტილები რიცხვთა წრფეზე 
(ამ წერტილებში ქრება უტოლობის მარცხენა მხარეს შემავალი წილადის მრიცხველი) და წერტილები (ამ წერტილებში ქრება მითითებული წილადის მნიშვნელი). ჩვეულებრივ, წერტილები სქემატურად აღინიშნება, იმის გათვალისწინებით, თუ რა თანმიმდევრობით მიჰყვება მათ (რომელიც მარჯვნივ, რომელიც მარცხნივ) და განსაკუთრებით არ აქცევენ ყურადღებას მასშტაბს. გასაგებია რომ 
ვითარება უფრო რთულია რიცხვებთან დაკავშირებით, პირველი შეფასებით ჩანს, რომ ორივე რიცხვი ოდნავ აღემატება 2,6-ს, საიდანაც შეუძლებელია დავასკვნათ, რომელია მითითებულ რიცხვებში მეტი და რომელი ნაკლები. დავუშვათ (შემთხვევით) რომ მაშინ 
აღმოჩნდა სწორი უტოლობა, რაც ნიშნავს, რომ ჩვენი ვარაუდი დადასტურდა: ფაქტობრივად
Ისე, 
მითითებულ 5 წერტილს მითითებული თანმიმდევრობით ვნიშნავთ რიცხვით ხაზზე (სურ. 17ა). დაალაგეთ გამოხატვის ნიშნები 
მიღებულ ინტერვალებზე: მარჯვნივ - ნიშანი +, შემდეგ კი ნიშნები მონაცვლეობით (სურ. 176). დავხატოთ ნიშნების მრუდი და ავირჩიოთ (დაჩრდილვით) ის ინტერვალები, რომლებზეც ჩვენთვის საინტერესო უტოლობა f (x) > 0 დაკმაყოფილებულია (სურ. 17c). დაბოლოს, მხედველობაში მივიღებთ, რომ საუბარია არამკაცრ უტოლობაზე f (x) > 0, რაც ნიშნავს, რომ ჩვენ ასევე გვაინტერესებს ის წერტილები, რომლებშიც გამოსახულება f (x) ქრება. ეს არის f (x) წილადის მრიცხველის ფესვები, ე.ი. ქულები 
ჩვენ აღვნიშნავთ მათ ნახ. 17 მუქ წრეებში (და, რა თქმა უნდა, შეიტანეთ პასუხში). ახლა აქ არის სურათი. 17c იძლევა სრულ გეომეტრიულ მოდელს მოცემული უტოლობის ამოხსნისთვის.
წინასწარი ინფორმაცია
განმარტება 1
$f(x) >(≥)g(x)$ ფორმის უტოლობას, რომელშიც $f(x)$ და $g(x)$ არის მთელი რაციონალური გამონათქვამები, ეწოდება მთელი რაციონალური უტოლობა.
მთელი რაციონალური უტოლობების მაგალითებია წრფივი, კვადრატული, კუბური უტოლობა ორი ცვლადით.
განმარტება 2
$x$-ის მნიშვნელობას, რომლისთვისაც დაკმაყოფილებულია $1$-ის განმარტებიდან უტოლობა, ეწოდება განტოლების ფესვი.
ასეთი უტოლობების გადაჭრის მაგალითი:
მაგალითი 1
ამოხსენით მთელი რიცხვის უტოლობა $4x+3 >38-x$.
გამოსავალი.
მოდით გავამარტივოთ ეს უტოლობა:
მივიღეთ წრფივი უტოლობა. მოდი ვიპოვოთ მისი გამოსავალი:
პასუხი: $(7,∞)$.
ამ სტატიაში განვიხილავთ შემდეგ მეთოდებს მთელი რაციონალური უტოლობების გადასაჭრელად.
ფაქტორინგის მეთოდი
ეს მეთოდი იქნება შემდეგი: იწერება $f(x)=g(x)$-ის ფორმის განტოლება. ეს განტოლება მცირდება სახით $φ(x)=0$ (სადაც $φ(x)=f(x)-g(x)$). შემდეგ ფუნქცია $φ(x)$ ფაქტორიზაცია ხდება ყველაზე მცირე შესაძლო სიმძლავრეებით. წესი მოქმედებს:მრავალწევრების ნამრავლი არის ნული, როცა ერთ-ერთი მათგანი ნულია. გარდა ამისა, ნაპოვნი ფესვები აღინიშნება რიცხვით ხაზზე და აგებულია ნიშნების მრუდი. საწყისი უტოლობის ნიშნის მიხედვით იწერება პასუხი.
აქ მოცემულია ამ გზით გადაწყვეტილებების მაგალითები:
მაგალითი 2
გადაჭრით ფაქტორინგით. $y^2-9
გამოსავალი.
ამოხსენით განტოლება $y^2-9
კვადრატების განსხვავების ფორმულის გამოყენებით, გვაქვს
ფაქტორების ნამრავლის ნულთან ტოლობის წესის გამოყენებით ვიღებთ შემდეგ ფესვებს: $3$ და $-3$.
მოდით დავხატოთ ნიშნების მრუდი:
ვინაიდან ნიშანი არის "ნაკლები ვიდრე" საწყის უთანასწორობაში, ჩვენ ვიღებთ
პასუხი: $(-3,3)$.
მაგალითი 3
გადაჭრით ფაქტორინგით.
$x^3+3x+2x^2+6 ≥0$
გამოსავალი.
ამოვხსნათ შემდეგი განტოლება:
$x^3+3x+2x^2+6=0$
ფრჩხილებიდან ვიღებთ საერთო ფაქტორებს პირველი ორი ტერმინიდან და ბოლო ორიდან
$x(x^2+3)+2(x^2+3)=0$
ამოიღეთ საერთო ფაქტორი $(x^2+3)$
$(x^2+3)(x+2)=0$
ფაქტორების ნამრავლის ნულთან ტოლობის წესის გამოყენებით მივიღებთ:
$x+2=0 \ და \ x^2+3=0$
$x=-2$ და "ძირების გარეშე"
მოდით დავხატოთ ნიშნების მრუდი:
ვინაიდან საწყის უტოლობაში ნიშანი არის „უფრო მეტი ან ტოლი“, მივიღებთ
პასუხი: $(-∞,-2]$.
როგორ შემოვიტანოთ ახალი ცვლადი
ეს მეთოდი ასეთია: იწერება $f(x)=g(x)$-ის ფორმის განტოლება. ჩვენ მას შემდეგნაირად ვხსნით: შემოგვაქვს ისეთ ახალ ცვლადს, რათა მივიღოთ განტოლება, რომლის ამოხსნა უკვე ცნობილია. ჩვენ შემდგომში ვაგვარებთ მას და ვუბრუნდებით ჩანაცვლებას. მისგან ვპოულობთ პირველი განტოლების ამოხსნას. გარდა ამისა, ნაპოვნი ფესვები აღინიშნება რიცხვით ხაზზე და აგებულია ნიშნების მრუდი. საწყისი უტოლობის ნიშნის მიხედვით იწერება პასუხი.
ჩვენ ვაძლევთ მაგალითს ამ მეთოდის გამოყენების შესახებ მეოთხე ხარისხის უტოლობის მაგალითის გამოყენებით:
მაგალითი 4
მოვაგვაროთ უტოლობა.
$x^4+4x^2-21 >0$
გამოსავალი.
მოდით ამოხსნათ განტოლება:
მოდით გავაკეთოთ შემდეგი ჩანაცვლება:
მოდით $x^2=u (სადაც \ u >0)$, მივიღებთ:
ჩვენ მოვაგვარებთ ამ სისტემას დისკრიმინანტის გამოყენებით:
$D=16+84=100=10^2$
განტოლებას ორი ფესვი აქვს:
$x=\frac(-4-10)(2)=-7$ და $x=\frac(-4+10)(2)=3$
დაბრუნება ჩანაცვლებაზე:
$x^2=-7$ და $x^2=3$
პირველ განტოლებას არ აქვს ამონახსნები, ხოლო მეორედან $x=\sqrt(3)$ და $x=-\sqrt(3)$
მოდით დავხატოთ ნიშნების მრუდი:
მას შემდეგ, რაც საწყის უთანასწორობაში ნიშანი "მეტი", მივიღებთ
პასუხი:$(-∞,-\sqrt(3))∪(\sqrt(3),∞)$
ამ გაკვეთილის დახმარებით თქვენ გაეცნობით რაციონალურ უტოლობას და მათ სისტემებს. რაციონალური უტოლობათა სისტემა წყდება ეკვივალენტური გარდაქმნების დახმარებით. განიხილება ეკვივალენტობის განმარტება, წილადი-რაციონალური უტოლობის კვადრატით ჩანაცვლების მეთოდი და ასევე გაიგებს რა განსხვავებაა უტოლობასა და განტოლებას შორის და როგორ ხდება ეკვივალენტური გარდაქმნები.
ალგებრა მე-9 კლასი
მე-9 კლასის ალგებრის კურსის დასკვნითი გამეორება
რაციონალური უტოლობები და მათი სისტემები. რაციონალური უტოლობების სისტემები.
1.1 Აბსტრაქტული.
1. რაციონალური უტოლობების ეკვივალენტური გარდაქმნები.
გადაწყვიტე რაციონალური უთანასწორობანიშნავს მისი ყველა გადაწყვეტის პოვნას. განტოლებისგან განსხვავებით, უტოლობის ამოხსნისას, როგორც წესი, არის ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა. უსასრულო რაოდენობის ამონახსნები ვერ დადასტურდება ჩანაცვლებით. აქედან გამომდინარე, აუცილებელია თავდაპირველი უტოლობის გარდაქმნა ისე, რომ ყოველ მომდევნო სტრიქონში მიიღება უტოლობა ამონახსნების იგივე სიმრავლით.
რაციონალური უტოლობებიმოგვარებულია მხოლოდ ექვივალენტიან ექვივალენტური გარდაქმნები. ასეთი გარდაქმნები არ ამახინჯებს გადაწყვეტილებების კომპლექტს.
განმარტება. რაციონალური უტოლობებიდაურეკა ექვივალენტითუ მათი ამონახსნები ერთნაირია.
დანიშნოს ეკვივალენტობაგამოიყენეთ ნიშანი
2. უტოლობათა სისტემის ამოხსნა
პირველი და მეორე უტოლობები არის წილადი რაციონალური უტოლობა. მათი ამოხსნის მეთოდები წრფივი და კვადრატული უტოლობების ამოხსნის მეთოდების ბუნებრივი გაგრძელებაა.
გადავიტანოთ რიცხვები მარჯვენა მხარეს მარცხნივ საპირისპირო ნიშნით.
შედეგად, 0 დარჩება მარჯვენა მხარეს.ეს ტრანსფორმაცია ექვივალენტურია. ეს მითითებულია ნიშნით
შევასრულოთ ის მოქმედებები, რომლებსაც ალგებრა განსაზღვრავს. პირველ უტოლობაში გამოვაკლოთ "1" და მეორეში "2".
3. უტოლობის ამოხსნა ინტერვალის მეთოდით
1) შემოვიღოთ ფუნქცია. ჩვენ უნდა ვიცოდეთ, როდის არის ეს ფუნქცია 0-ზე ნაკლები.
2) იპოვეთ ფუნქციის დომენი: მნიშვნელი არ უნდა იყოს 0. „2“ არის წყვეტის წერტილი. x=2-ისთვის ფუნქცია განუსაზღვრელია.
3) იპოვეთ ფუნქციის ფესვები. ფუნქცია არის 0, თუ მრიცხველი არის 0.
მითითებული წერტილები რიცხვით ღერძს სამ ინტერვალად ყოფს - ეს არის მუდმივობის ინტერვალები. თითოეულ ინტერვალზე ფუნქცია ინარჩუნებს თავის ნიშანს. განვსაზღვროთ ნიშანი პირველ ინტერვალზე. შეცვალეთ გარკვეული მნიშვნელობა. მაგალითად, 100. გასაგებია, რომ მრიცხველიც და მნიშვნელიც 0-ზე მეტია. ეს ნიშნავს, რომ მთელი წილადი დადებითია.
მოდით განვსაზღვროთ ნიშნები დანარჩენ ინტერვალებზე. x=2 წერტილის გავლისას მხოლოდ მნიშვნელი ცვლის ნიშანს. ეს ნიშნავს, რომ მთელი ფრაქცია შეიცვლის ნიშანს და იქნება უარყოფითი. მოდით გავაკეთოთ მსგავსი დისკუსია. x=-3 წერტილის გავლისას მხოლოდ მრიცხველი ცვლის ნიშანს. ეს ნიშნავს, რომ წილადი შეიცვლება ნიშანი და იქნება დადებითი.
ვირჩევთ უტოლობის პირობის შესაბამის ინტერვალს. დაჩრდილეთ იგი და ჩაწერეთ უტოლობად
4. უტოლობის ამოხსნა კვადრატული უტოლობის გამოყენებით
მნიშვნელოვანი ფაქტი.
0-სთან შედარებისას (მკაცრი უტოლობის შემთხვევაში), წილადი შეიძლება შეიცვალოს მრიცხველისა და მნიშვნელის ნამრავლით, ან შეიძლება შეიცვალოს მრიცხველი ან მნიშვნელი.
ეს იმიტომ ხდება, რომ სამივე უტოლობა დაკმაყოფილებულია იმ პირობით, რომ u და v განსხვავებული ნიშნები აქვთ. ეს სამი უტოლობა ტოლია.
ვიყენებთ ამ ფაქტს და ვცვლით წილად-რაციონალურ უტოლობას კვადრატით.
მოვაგვაროთ კვადრატული უტოლობა.
ჩვენ წარმოგიდგენთ კვადრატულ ფუნქციას. ვიპოვოთ მისი ფესვები და ავაშენოთ მისი გრაფიკის ესკიზი.
ასე რომ, პარაბოლას ტოტები მაღლა დგას. ფესვების ინტერვალის შიგნით ფუნქცია ინარჩუნებს ნიშანს. ის უარყოფითია.
ფესვების ინტერვალის გარეთ ფუნქცია დადებითია.
პირველი უტოლობის ამოხსნა:
5. უტოლობის ამოხსნა
შემოვიტანოთ ფუნქცია:
მოდით ვიპოვოთ მისი მუდმივობის ინტერვალები:
ამისათვის ჩვენ ვპოულობთ ფუნქციის დომენის ფესვებს და შეწყვეტის წერტილებს. ჩვენ ყოველთვის ვჭრით შესვენების წერტილებს. (x \u003d 3/2) ჩვენ ვჭრით ფესვებს უთანასწორობის ნიშნის მიხედვით. ჩვენი უთანასწორობა მკაცრია. ამიტომ, ჩვენ ამოვჭრათ ფესვი.
დავდოთ ნიშნები:
მოდით დავწეროთ გამოსავალი:
მოდით დავასრულოთ სისტემის გადაწყვეტა. ვიპოვოთ პირველი უტოლობის ამონახსნების სიმრავლისა და მეორე უტოლობის ამონახსნების სიმრავლის კვეთა.
უტოლობათა სისტემის ამოხსნა ნიშნავს პირველი უტოლობის ამონახსნების სიმრავლისა და მეორე უტოლობის ამონახსნების სიმრავლის კვეთის პოვნას. ამიტომ, პირველი და მეორე უტოლობა ცალ-ცალკე ამოხსნის შემდეგ, საჭიროა მიღებული შედეგების ჩაწერა ერთ სისტემაში.
გამოვსახოთ პირველი უტოლობის ამონახსნი x-ღერძზე.
რაციონალური უტოლობები და მათი სისტემები. რაციონალური უტოლობების სისტემები
მე-9 კლასის ალგებრის კურსის დასკვნითი გამეორება
ამ გაკვეთილის დახმარებით თქვენ გაეცნობით რაციონალურ უტოლობას და მათ სისტემებს. რაციონალური უტოლობათა სისტემა წყდება ეკვივალენტური გარდაქმნების დახმარებით. განიხილება ეკვივალენტობის განმარტება, წილადი-რაციონალური უტოლობის კვადრატით ჩანაცვლების მეთოდი და ასევე გაიგებს რა განსხვავებაა უტოლობასა და განტოლებას შორის და როგორ ხდება ეკვივალენტური გარდაქმნები.
ალგებრა მე-9 კლასი
მე-9 კლასის ალგებრის კურსის დასკვნითი გამეორება
რაციონალური უტოლობები და მათი სისტემები. რაციონალური უტოლობების სისტემები.
1.1 Აბსტრაქტული.
1. რაციონალური უტოლობების ეკვივალენტური გარდაქმნები.
გადაწყვიტე რაციონალური უთანასწორობანიშნავს მისი ყველა გადაწყვეტის პოვნას. განტოლებისგან განსხვავებით, უტოლობის ამოხსნისას, როგორც წესი, არის ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა. უსასრულო რაოდენობის ამონახსნები ვერ დადასტურდება ჩანაცვლებით. აქედან გამომდინარე, აუცილებელია თავდაპირველი უტოლობის გარდაქმნა ისე, რომ ყოველ მომდევნო სტრიქონში მიიღება უტოლობა ამონახსნების იგივე სიმრავლით.
რაციონალური უტოლობებიმოგვარებულია მხოლოდ ექვივალენტიან ექვივალენტური გარდაქმნები. ასეთი გარდაქმნები არ ამახინჯებს გადაწყვეტილებების კომპლექტს.
განმარტება. რაციონალური უტოლობებიდაურეკა ექვივალენტითუ მათი ამონახსნები ერთნაირია.
დანიშნოს ეკვივალენტობაგამოიყენეთ ნიშანი
2. უტოლობათა სისტემის ამოხსნა
პირველი და მეორე უტოლობები არის წილადი რაციონალური უტოლობა. მათი ამოხსნის მეთოდები წრფივი და კვადრატული უტოლობების ამოხსნის მეთოდების ბუნებრივი გაგრძელებაა.
გადავიტანოთ რიცხვები მარჯვენა მხარეს მარცხნივ საპირისპირო ნიშნით.
შედეგად, 0 დარჩება მარჯვენა მხარეს.ეს ტრანსფორმაცია ექვივალენტურია. ეს მითითებულია ნიშნით
შევასრულოთ ის მოქმედებები, რომლებსაც ალგებრა განსაზღვრავს. პირველ უტოლობაში გამოვაკლოთ "1" და მეორეში "2".
3. უტოლობის ამოხსნა ინტერვალის მეთოდით
1) შემოვიღოთ ფუნქცია. ჩვენ უნდა ვიცოდეთ, როდის არის ეს ფუნქცია 0-ზე ნაკლები.
2) იპოვეთ ფუნქციის დომენი: მნიშვნელი არ უნდა იყოს 0. „2“ არის წყვეტის წერტილი. x=2-ისთვის ფუნქცია განუსაზღვრელია.
3) იპოვეთ ფუნქციის ფესვები. ფუნქცია არის 0, თუ მრიცხველი არის 0.
მითითებული წერტილები რიცხვით ღერძს სამ ინტერვალად ყოფს - ეს არის მუდმივობის ინტერვალები. თითოეულ ინტერვალზე ფუნქცია ინარჩუნებს თავის ნიშანს. განვსაზღვროთ ნიშანი პირველ ინტერვალზე. შეცვალეთ გარკვეული მნიშვნელობა. მაგალითად, 100. გასაგებია, რომ მრიცხველიც და მნიშვნელიც 0-ზე მეტია. ეს ნიშნავს, რომ მთელი წილადი დადებითია.
მოდით განვსაზღვროთ ნიშნები დანარჩენ ინტერვალებზე. x=2 წერტილის გავლისას მხოლოდ მნიშვნელი ცვლის ნიშანს. ეს ნიშნავს, რომ მთელი ფრაქცია შეიცვლის ნიშანს და იქნება უარყოფითი. მოდით გავაკეთოთ მსგავსი დისკუსია. x=-3 წერტილის გავლისას მხოლოდ მრიცხველი ცვლის ნიშანს. ეს ნიშნავს, რომ წილადი შეიცვლება ნიშანი და იქნება დადებითი.
ვირჩევთ უტოლობის პირობის შესაბამის ინტერვალს. დაჩრდილეთ იგი და ჩაწერეთ უტოლობად
4. უტოლობის ამოხსნა კვადრატული უტოლობის გამოყენებით
მნიშვნელოვანი ფაქტი.
0-სთან შედარებისას (მკაცრი უტოლობის შემთხვევაში), წილადი შეიძლება შეიცვალოს მრიცხველისა და მნიშვნელის ნამრავლით, ან შეიძლება შეიცვალოს მრიცხველი ან მნიშვნელი.
ეს იმიტომ ხდება, რომ სამივე უტოლობა დაკმაყოფილებულია იმ პირობით, რომ u და v განსხვავებული ნიშნები აქვთ. ეს სამი უტოლობა ტოლია.
ვიყენებთ ამ ფაქტს და ვცვლით წილად-რაციონალურ უტოლობას კვადრატით.
მოვაგვაროთ კვადრატული უტოლობა.
ჩვენ წარმოგიდგენთ კვადრატულ ფუნქციას. ვიპოვოთ მისი ფესვები და ავაშენოთ მისი გრაფიკის ესკიზი.
ასე რომ, პარაბოლას ტოტები მაღლა დგას. ფესვების ინტერვალის შიგნით ფუნქცია ინარჩუნებს ნიშანს. ის უარყოფითია.
ფესვების ინტერვალის გარეთ ფუნქცია დადებითია.
პირველი უტოლობის ამოხსნა:
5. უტოლობის ამოხსნა
შემოვიტანოთ ფუნქცია:
მოდით ვიპოვოთ მისი მუდმივობის ინტერვალები:
ამისათვის ჩვენ ვპოულობთ ფუნქციის დომენის ფესვებს და შეწყვეტის წერტილებს. ჩვენ ყოველთვის ვჭრით შესვენების წერტილებს. (x \u003d 3/2) ჩვენ ვჭრით ფესვებს უთანასწორობის ნიშნის მიხედვით. ჩვენი უთანასწორობა მკაცრია. ამიტომ, ჩვენ ამოვჭრათ ფესვი.
დავდოთ ნიშნები:
მოდით დავწეროთ გამოსავალი:
მოდით დავასრულოთ სისტემის გადაწყვეტა. ვიპოვოთ პირველი უტოლობის ამონახსნების სიმრავლისა და მეორე უტოლობის ამონახსნების სიმრავლის კვეთა.
უტოლობათა სისტემის ამოხსნა ნიშნავს პირველი უტოლობის ამონახსნების სიმრავლისა და მეორე უტოლობის ამონახსნების სიმრავლის კვეთის პოვნას. ამიტომ, პირველი და მეორე უტოლობა ცალ-ცალკე ამოხსნის შემდეგ, საჭიროა მიღებული შედეგების ჩაწერა ერთ სისტემაში.
გამოვსახოთ პირველი უტოლობის ამონახსნი x-ღერძზე.
გამოვსახოთ მეორე უტოლობის ამონახსნი ღერძის ქვეშ.
დაშორების მეთოდი- ეს არის უნივერსალური გზა თითქმის ნებისმიერი უტოლობის გადასაჭრელად, რომელიც ხდება სკოლის ალგებრის კურსში. იგი დაფუძნებულია ფუნქციების შემდეგ თვისებებზე:
1. უწყვეტ ფუნქციას g(x) შეუძლია შეცვალოს ნიშანი მხოლოდ იმ წერტილში, სადაც ის 0-ის ტოლია. გრაფიკულად, ეს ნიშნავს, რომ უწყვეტი ფუნქციის გრაფიკი შეიძლება გადავიდეს ერთი ნახევარსიბრტყიდან მეორეზე მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ის გადაკვეთს x-ს. ღერძი (გვახსოვს, რომ OX ღერძზე მდებარე ნებისმიერი წერტილის ორდინატი (აბსცისის ღერძი) ნულის ტოლია, ანუ ფუნქციის მნიშვნელობა ამ წერტილში არის 0):
ვხედავთ, რომ გრაფიკზე ნაჩვენები y=g(x) ფუნქცია კვეთს OX ღერძს x= -8, x=-2, x=4, x=8 წერტილებში. ამ წერტილებს ფუნქციის ნულები ეწოდება. და იმავე წერტილებში ფუნქცია g(x) ცვლის ნიშანს.
2. ფუნქციას ასევე შეუძლია შეცვალოს ნიშანი მნიშვნელის ნულებზე - ცნობილი ფუნქციის უმარტივესი მაგალითი:
ჩვენ ვხედავთ, რომ ფუნქცია ცვლის ნიშანს მნიშვნელის ძირში, წერტილში, მაგრამ არ ქრება არცერთ წერტილში. ამრიგად, თუ ფუნქცია შეიცავს წილადს, მას შეუძლია შეცვალოს ნიშანი მნიშვნელის ფესვებში.
2. თუმცა ფუნქცია ყოველთვის არ ცვლის ნიშანს მრიცხველის ძირში ან მნიშვნელის ძირში. მაგალითად, ფუნქცია y=x 2 არ ცვლის ნიშანს x=0 წერტილში:
იმიტომ რომ განტოლებას x 2 \u003d 0 აქვს ორი ტოლი ფესვი x \u003d 0, x \u003d 0 წერტილში, ფუნქცია, როგორც იქნა, ორჯერ ბრუნდება 0-ზე. ასეთ ფესვს მეორე სიმრავლის ფესვი ეწოდება.
ფუნქცია 
ცვლის ნიშანს მრიცხველის ნულზე, მაგრამ არ ცვლის ნიშანს მნიშვნელის ნულზე: , რადგან ფესვი არის მეორე სიმრავლის, ანუ ლუწი სიმრავლის ფესვი:
Მნიშვნელოვანი! თანაბარი სიმრავლის ფესვებში ფუნქცია არ იცვლის ნიშანს.
Შენიშვნა! ნებისმიერი არაწრფივიალგებრის სასკოლო კურსის უთანასწორობა, როგორც წესი, წყდება ინტერვალების მეთოდით.
მე გთავაზობთ დეტალურს, რომლის შემდეგაც შეგიძლიათ თავიდან აიცილოთ შეცდომები, როდესაც არაწრფივი უტოლობების ამოხსნა.
1. ჯერ უტოლობა ფორმაში უნდა მიიყვანოთ
P(x)V0,
სადაც V არის უტოლობის ნიშანი:<,>,≤ ან ≥. ამისთვის საჭიროა:
ა) გადაიტანეთ ყველა წევრი უტოლობის მარცხენა მხარეს,
ბ) იპოვნეთ მიღებული გამონათქვამის ფესვები,
გ) უტოლობის მარცხენა მხარის ფაქტორიზირება
დ) დაწერეთ იგივე ფაქტორები, როგორც ხარისხი.
ყურადღება!ბოლო მოქმედება უნდა გაკეთდეს იმისათვის, რომ არ დაუშვას შეცდომა ფესვების სიმრავლეში - თუ შედეგი არის ლუწი ხარისხით, მაშინ შესაბამის ფესვს აქვს ლუწი სიმრავლე.
2. აღმოჩენილი ფესვები დადეთ რიცხვთა წრფეზე.
3. თუ უტოლობა მკაცრია, მაშინ რიცხვით ღერძზე ფესვების აღმნიშვნელი წრეები რჩება „ცარიელი“, თუ უტოლობა მკაცრი არ არის, მაშინ წრეები ზემოდან მოხატულია.
4. ვირჩევთ ლუწი სიმრავლის ფესვებს - მათში P(x)ნიშანი არ იცვლება.
5. განსაზღვრეთ ნიშანი P(x)უფსკრულის მარჯვენა მხარეს. ამისათვის აიღეთ თვითნებური მნიშვნელობა x 0, რომელიც აღემატება უდიდეს ფესვს და ჩაანაცვლეთ P(x).
თუ P(x 0)>0 (ან ≥0), მაშინ ყველაზე მარჯვენა ინტერვალში ვსვამთ "+" ნიშანს.
თუ P(x0)<0 (или ≤0), то в самом правом промежутке ставим знак "-".
ლუწი სიმრავლის ფესვის აღმნიშვნელი წერტილის გავლისას ნიშანი არ იცვლება.
7. კიდევ ერთხელ ვუყურებთ თავდაპირველი უტოლობის ნიშანს და ვირჩევთ ჩვენთვის საჭირო ნიშნის ინტერვალებს.
8. ყურადღება! თუ ჩვენი უტოლობა არ არის მკაცრი, მაშინ ჩვენ ცალ-ცალკე ვამოწმებთ ტოლობის პირობას ნულამდე.
9. ჩაწერეთ პასუხი.
თუ ორიგინალი უტოლობა შეიცავს უცნობს მნიშვნელში, შემდეგ ყველა ტერმინსაც გადავიტანთ მარცხნივ და უტოლობის მარცხენა მხარეს ვამცირებთ ფორმამდე
(სადაც V არის უტოლობის ნიშანი:< или >)
ასეთი მკაცრი უთანასწორობა უთანასწორობის ტოლფასია
არა მკაცრიფორმის უთანასწორობა
უდრის სისტემა:
პრაქტიკაში, თუ ფუნქციას აქვს ფორმა, მაშინ ვაგრძელებთ შემდეგნაირად:
- იპოვეთ მრიცხველის და მნიშვნელის ფესვები.
- ჩვენ მათ ღერძზე ვაყენებთ. ყველა წრე ცარიელია. შემდეგ, თუ უტოლობა მკაცრი არ არის, მაშინ მრიცხველის ფესვებს ვხატავთ და მნიშვნელის ფესვებს ყოველთვის ცარიელი ვტოვებთ.
- შემდეგი, ჩვენ მივყვებით ზოგად ალგორითმს:
- ვირჩევთ ლუწი სიმრავლის ფესვებს (თუ მრიცხველი და მნიშვნელი შეიცავს ერთსა და იმავე ფესვებს, მაშინ ვითვლით რამდენჯერ ჩნდება ერთი და იგივე ფესვები). ლუწი სიმრავლის ფესვებში ნიშნის ცვლილება არ არის.
- ჩვენ ვიგებთ ნიშანს ყველაზე მარჯვენა ინტერვალზე.
- ჩვენ დავაყენეთ ნიშნები.
- არამკაცრი უტოლობის შემთხვევაში ცალ-ცალკე მოწმდება ტოლობის პირობა, ტოლობის პირობა ნულამდე.
- ვირჩევთ საჭირო ინტერვალებს და ცალ-ცალკე მდგარ ფესვებს.
- ჩვენ ვწერთ პასუხს.
უკეთ რომ გავიგოთ უტოლობების ამოხსნის ალგორითმი ინტერვალის მეთოდით, ნახეთ ვიდეო გაკვეთილი, რომელშიც დეტალურად არის გაანალიზებული მაგალითი უტოლობის ამოხსნა ინტერვალების მეთოდით.
