მოდით განვიხილოთ გამონათქვამების ძალებით გარდაქმნის თემა, მაგრამ პირველ რიგში ვისაუბრებთ არაერთ ტრანსფორმაციაზე, რომელიც შეიძლება განხორციელდეს ნებისმიერი გამონათქვამით, მათ შორის ძალოვანი. ჩვენ ვისწავლით როგორ გავხსნათ ფრჩხილები, მივცეთ მსგავსი ტერმინები, ვიმუშაოთ ფუძესთან და მაჩვენებელთან, გამოვიყენოთ ძალაუფლების თვისებები.
Yandex.RTB R-A-339285-1
რა არის ძალის გამონათქვამები?
სასკოლო კურსში ცოტა ადამიანი იყენებს ფრაზას „ძალაუფლების გამონათქვამები“, მაგრამ ეს ტერმინი მუდმივად გვხვდება გამოცდისთვის მომზადების კრებულებში. უმეტეს შემთხვევაში, ფრაზა აღნიშნავს გამონათქვამებს, რომლებიც შეიცავს ხარისხს მათ ჩანაწერებში. ეს არის ის, რაც ჩვენ ასახავს ჩვენს განმარტებას.
განმარტება 1
ძალის გამოხატვაარის გამოხატულება, რომელიც შეიცავს ხარისხებს.
ჩვენ ვაძლევთ ძალის გამოხატვის რამდენიმე მაგალითს, დაწყებული ხარისხით ბუნებრივი მაჩვენებლით და დამთავრებული ხარისხით რეალური მაჩვენებლით.
უმარტივესი სიმძლავრის გამონათქვამები შეიძლება ჩაითვალოს ბუნებრივი მაჩვენებლის მქონე რიცხვის სიმძლავრეებად: 3 2 , 7 5 + 1 , (2 + 1) 5 , (− 0 , 1) 4 , 2 2 3 3 , 3 a 2 − a + a 2 , x 3 − 1 , (a 2) 3 . ისევე როგორც სიმძლავრეები ნულოვანი მაჩვენებლით: 5 0 , (a + 1) 0 , 3 + 5 2 − 3 , 2 0 . და უარყოფითი მთელი ხარისხების მქონე ხარისხები: (0 , 5) 2 + (0 , 5) - 2 2 .
ცოტა უფრო რთულია იმ ხარისხთან მუშაობა, რომელსაც აქვს რაციონალური და ირაციონალური მაჩვენებლები: 264 1 4 - 3 3 3 1 2 , 2 3 , 5 2 - 2 2 - 1 , 5 , 1 a 1 4 a 1 2 - 2 a - 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 - π , 2 3 3 + 5 .
ინდიკატორი შეიძლება იყოს ცვლადი 3 x - 54 - 7 3 x - 58 ან ლოგარითმი x 2 l g x − 5 x l g x.
ჩვენ განვიხილეთ საკითხი, რა არის ძალაუფლების გამოხატულება. ახლა მოდით გადავცვალოთ ისინი.
ძალაუფლების გამონათქვამების გარდაქმნების ძირითადი ტიპები
უპირველეს ყოვლისა, განვიხილავთ გამონათქვამების იდენტურობის ძირითად გარდაქმნებს, რომლებიც შეიძლება შესრულდეს ძალაუფლების გამონათქვამებით.
მაგალითი 1
გამოთვალეთ სიმძლავრის გამოხატვის მნიშვნელობა 2 3 (4 2 − 12).
გადაწყვეტილება
ჩვენ განვახორციელებთ ყველა ტრანსფორმაციას მოქმედებების თანმიმდევრობის დაცვით. ამ შემთხვევაში დავიწყებთ ფრჩხილებში მოქმედებების შესრულებით: ხარისხს შევცვლით ციფრული მნიშვნელობით და გამოვთვლით განსხვავებას ორ რიცხვს შორის. Ჩვენ გვაქვს 2 3 (4 2 − 12) = 2 3 (16 − 12) = 2 3 4.
ჩვენთვის რჩება ხარისხის შეცვლა 2 3 მისი მნიშვნელობა 8 და გამოთვალეთ პროდუქტი 8 4 = 32. აქ არის ჩვენი პასუხი.
პასუხი: 2 3 (4 2 − 12) = 32 .
მაგალითი 2
გამოხატვის გამარტივება ძალებით 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7.
გადაწყვეტილება
პრობლემის პირობით ჩვენთვის მოცემული გამოთქმა შეიცავს მსგავს ტერმინებს, რომლებიც შეგვიძლია მოვიტანოთ: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1.
პასუხი: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1 .
მაგალითი 3
გამოხატეთ გამონათქვამი ხარისხებით 9 - b 3 · π - 1 2 როგორც ნამრავლი.
გადაწყვეტილება
წარმოვიდგინოთ რიცხვი 9, როგორც ძალა 3 2 და გამოიყენეთ შემოკლებული გამრავლების ფორმულა:
9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1
პასუხი: 9 - b 3 π - 1 2 = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1.
ახლა კი გადავიდეთ იდენტური გარდაქმნების ანალიზზე, რომლებიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას კონკრეტულად ძალაუფლების გამონათქვამებზე.
ბაზისთან და ექსპონენტთან მუშაობა
ფუძის ან მაჩვენებლის ხარისხს შეიძლება ჰქონდეს რიცხვები, ცვლადები და ზოგიერთი გამონათქვამი. Მაგალითად, (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7და . ასეთ ჩანაწერებთან მუშაობა რთულია. ბევრად უფრო ადვილია გამოსახულების ჩანაცვლება ხარისხის საფუძველში ან გამოხატვის გამოხატულებაში იდენტური თანაბარი გამოსახულებით.
ხარისხისა და ინდიკატორის გარდაქმნები ჩვენთვის ცნობილი წესების მიხედვით ხდება ერთმანეთისგან დამოუკიდებლად. ყველაზე მნიშვნელოვანი ის არის, რომ გარდაქმნების შედეგად მიიღება გამონათქვამი, რომელიც ორიგინალის იდენტურია.
გარდაქმნების მიზანია ორიგინალური გამოხატვის გამარტივება ან პრობლემის გადაჭრის მოპოვება. მაგალითად, ზემოთ მოყვანილ მაგალითში (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7 შეგიძლიათ შეასრულოთ ოპერაციები ხარისხამდე მისასვლელად 4 , 1 1 , 3 . ფრჩხილების გახსნით, შეგვიძლია მივიღოთ მსგავსი ტერმინები ხარისხის საფუძველში (a (a + 1) − a 2) 2 (x + 1)და მიიღეთ უფრო მარტივი ფორმის ძალის გამოხატვა a 2 (x + 1).
დენის თვისებების გამოყენება
გრადუსების თვისებები, დაწერილი ტოლობის სახით, არის ერთ-ერთი მთავარი ინსტრუმენტი გრადუსით გამოხატვის გარდაქმნისთვის. ამის გათვალისწინებით აქ წარმოგიდგენთ მთავარებს ადა ბარის ნებისმიერი დადებითი რიცხვი და რდა ს- თვითნებური რეალური რიცხვები:
განმარტება 2
- a r a s = a r + s;
- a r: a s = a r − s;
- (ა ბ) r = a r b r;
- (ა: ბ) r = a r: b r;
- (a r) s = a r s .
იმ შემთხვევებში, როდესაც საქმე გვაქვს ბუნებრივ, მთელ რიცხვებთან, დადებით მაჩვენებლებთან, a და b რიცხვებზე შეზღუდვები შეიძლება იყოს გაცილებით ნაკლებად მკაცრი. ასე, მაგალითად, თუ გავითვალისწინებთ თანასწორობას a m a n = a m + n, სად მდა ნარის ნატურალური რიცხვები, მაშინ ეს იქნება ჭეშმარიტი a-ს ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის, როგორც დადებითი, ასევე უარყოფითი, ასევე for a = 0.
თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ გრადუსების თვისებები შეზღუდვის გარეშე იმ შემთხვევებში, როდესაც გრადუსების საფუძვლები დადებითია ან შეიცავს ცვლადებს, რომელთა მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონი ისეთია, რომ ბაზები მასზე მხოლოდ დადებით მნიშვნელობებს იღებენ. ფაქტიურად მათემატიკაში სასკოლო სასწავლო გეგმის ფარგლებში მოსწავლის ამოცანაა აირჩიოს შესაბამისი თვისება და სწორად გამოიყენოს იგი.
უნივერსიტეტებში ჩასაბარებლად მომზადებისას შეიძლება არსებობდეს ამოცანები, რომლებშიც თვისებების არაზუსტმა გამოყენებამ გამოიწვიოს ODZ-ის შევიწროება და გადაწყვეტის სხვა სირთულეები. ამ განყოფილებაში განვიხილავთ მხოლოდ ორ ასეთ შემთხვევას. დამატებითი ინფორმაცია ამ თემაზე შეგიძლიათ იხილოთ თემაში "გამონათქვამების ტრანსფორმირება ექსპონენტური თვისებების გამოყენებით".
მაგალითი 4
წარმოადგინე გამოხატულება a 2, 5 (a 2) - 3: a - 5, 5როგორც ხარისხი ფუძით ა.
გადაწყვეტილება
დასაწყისისთვის, ჩვენ ვიყენებთ სიძლიერის თვისებას და გარდაქმნით მეორე ფაქტორს მისი გამოყენებით (a 2) - 3. შემდეგ ვიყენებთ ძალაუფლების გამრავლებისა და გაყოფის თვისებებს იმავე ფუძით:
a 2, 5 a − 6: a − 5, 5 = a 2, 5 − 6: a − 5 , 5 = a − 3 , 5: a − 5 , 5 = a − 3 , 5 − (− 5 , 5 ) = a 2.
პასუხი: a 2, 5 (a 2) − 3: a − 5, 5 = a 2.
სიძლიერის გამონათქვამების ტრანსფორმაცია გრადუსების თვისების მიხედვით შეიძლება განხორციელდეს როგორც მარცხნიდან მარჯვნივ, ასევე საპირისპირო მიმართულებით.
მაგალითი 5
იპოვეთ ძალა გამოხატვის მნიშვნელობა 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 .
გადაწყვეტილება
თუ თანასწორობას გამოვიყენებთ (ა ბ) r = a r b r, მარჯვნიდან მარცხნივ, შემდეგ მივიღებთ 3 7 1 3 21 2 3 და შემდეგ 21 1 3 21 2 3 ფორმის ნამრავლს. მოდით დავუმატოთ მაჩვენებლები იმავე საფუძვლებით ხარისხების გამრავლებისას: 21 1 3 21 2 3 \u003d 21 1 3 + 2 3 \u003d 21 1 \u003d 21.
გარდაქმნების სხვა გზა არსებობს:
3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 3 7 1 3 (3 7) 2 3 = 3 1 3 7 1 3 3 2 3 7 2 3 = = 3 1 3 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21
პასუხი: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21
მაგალითი 6
ძალის გამოხატვის მოცემული a 1, 5 − a 0, 5 − 6, შეიყვანეთ ახალი ცვლადი t = a 0, 5.
გადაწყვეტილება
წარმოიდგინეთ ხარისხი a 1, 5როგორც a 0, 5 3. ხარისხი თვისების გამოყენება ხარისხში (a r) s = a r sმარჯვნიდან მარცხნივ და მიიღეთ (a 0 , 5) 3: a 1 , 5 - a 0 , 5 - 6 = (a 0 , 5) 3 - a 0 , 5 - 6 . შედეგად გამოსახულებაში, თქვენ შეგიძლიათ მარტივად შემოიტანოთ ახალი ცვლადი t = a 0, 5: მიიღეთ t 3 − t − 6.
პასუხი: t 3 − t − 6 .
სიმძლავრის შემცველი წილადების გადაქცევა
ჩვენ ჩვეულებრივ საქმე გვაქვს წილადებით ძლიერ გამოსახულებების ორ ვარიანტთან: გამოხატულება არის წილადი ხარისხით ან შეიცავს ასეთ წილადს. ყველა ძირითადი წილადის გარდაქმნა გამოიყენება ასეთ გამონათქვამებზე შეზღუდვების გარეშე. მათი შემცირება, ახალ მნიშვნელზე მიყვანა, მრიცხველთან და მნიშვნელთან ცალკე მუშაობა. მოდი მაგალითებით ავხსნათ ეს.
მაგალითი 7
გაამარტივეთ სიმძლავრის გამოხატულება 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 .
გადაწყვეტილება
საქმე გვაქვს წილადთან, ამიტომ გარდაქმნებს განვახორციელებთ როგორც მრიცხველში, ასევე მნიშვნელში:
3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2
წილადის წინ დადეთ მინუსი მნიშვნელის ნიშნის შესაცვლელად: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2
პასუხი: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2
სიმძლავრეების შემცველი წილადები მცირდება ახალ მნიშვნელამდე ისევე, როგორც რაციონალური წილადები. ამისათვის თქვენ უნდა იპოვოთ დამატებითი ფაქტორი და გაამრავლოთ წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი მასზე. აუცილებელია დამატებითი ფაქტორის არჩევა ისე, რომ იგი არ გაქრეს ცვლადების არცერთი მნიშვნელობისთვის ODZ ცვლადებიდან ორიგინალური გამოხატვისთვის.
მაგალითი 8
მიიტანეთ წილადები ახალ მნიშვნელზე: ა) a + 1 a 0, 7 მნიშვნელზე. ა, ბ) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 მნიშვნელთან x + 8 y 1 2 .
გადაწყვეტილება
ა) ვირჩევთ ისეთ ფაქტორს, რომელიც საშუალებას მოგვცემს გამოვიტანოთ შემცირება ახალ მნიშვნელზე. a 0, 7 a 0, 3 = a 0, 7 + 0, 3 = a,ამიტომ დამატებით ფაქტორად ვიღებთ a 0, 3. ცვლადის a დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონი მოიცავს ყველა დადებითი რეალური რიცხვის სიმრავლეს. ამ სფეროში, ხარისხი a 0, 3ნულამდე არ მიდის.
გავამრავლოთ წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი a 0, 3:
a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 = a + 1 a 0, 3 a
ბ) ყურადღება მიაქციეთ მნიშვნელს:
x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2
გავამრავლოთ ეს გამონათქვამი x 1 3 + 2 · y 1 6-ზე, მივიღებთ კუბების ჯამს x 1 3 და 2 · y 1 6, ე.ი. x + 8 · y 1 2 . ეს არის ჩვენი ახალი მნიშვნელი, რომელსაც უნდა მივიყვანოთ საწყისი წილადი.
ასე რომ, ჩვენ ვიპოვეთ დამატებითი ფაქტორი x 1 3 + 2 · y 1 6. ცვლადების მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონზე xდა წგამოთქმა x 1 3 + 2 y 1 6 არ ქრება, ასე რომ ჩვენ შეგვიძლია გავამრავლოთ წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი მასზე:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2
პასუხი:ა) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, ბ) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2 .
მაგალითი 9
წილადის შემცირება: ა) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, ბ) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2.
გადაწყვეტილება
ა) გამოიყენეთ უდიდესი საერთო მნიშვნელი (GCD), რომლითაც შეიძლება მრიცხველი და მნიშვნელი შემცირდეს. 30 და 45 ნომრებისთვის ეს არის 15. ასევე შეგვიძლია შევამციროთ x 0, 5 + 1და x + 2 x 1 1 3 - 5 3-ზე.
ჩვენ ვიღებთ:
30 x 3 (x 0 , 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0 , 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0 , 5 + 1)
ბ) აქ იდენტური ფაქტორების არსებობა აშკარა არ არის. თქვენ მოგიწევთ გარკვეული ტრანსფორმაციების შესრულება, რათა მიიღოთ იგივე ფაქტორები მრიცხველში და მნიშვნელში. ამისათვის ჩვენ ვაფართოებთ მნიშვნელს კვადრატების სხვაობის ფორმულის გამოყენებით:
a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4
პასუხი:ა) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1), ბ) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 .
წილადებთან ძირითადი ოპერაციები მოიცავს ახალ მნიშვნელამდე შემცირებას და წილადების შემცირებას. ორივე მოქმედება ხორციელდება რიგი წესების დაცვით. წილადების შეკრებისა და გამოკლებისას წილადები ჯერ მცირდება საერთო მნიშვნელამდე, რის შემდეგაც მოქმედებები (შეკრება ან გამოკლება) სრულდება მრიცხველებით. მნიშვნელი იგივე რჩება. ჩვენი მოქმედებების შედეგია ახალი წილადი, რომლის მრიცხველი არის მრიცხველების ნამრავლი, ხოლო მნიშვნელი არის მნიშვნელების ნამრავლი.
მაგალითი 10
შეასრულეთ ნაბიჯები x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2.
გადაწყვეტილება
დავიწყოთ ფრჩხილებში მოთავსებული წილადების გამოკლებით. მოდით მივიყვანოთ ისინი საერთო მნიშვნელამდე:
x 1 2 - 1 x 1 2 + 1
გამოვაკლოთ მრიცხველები:
x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2
ახლა ვამრავლებთ წილადებს:
4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2
დავიკლოთ ხარისხით x 1 2, ვიღებთ 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 .
გარდა ამისა, თქვენ შეგიძლიათ გაამარტივოთ სიმძლავრის გამოხატულება მნიშვნელში კვადრატების სხვაობის ფორმულის გამოყენებით: კვადრატები: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1.
პასუხი: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1
მაგალითი 11
გაამარტივეთ ძალა გამოხატვის x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 .
გადაწყვეტილება
ჩვენ შეგვიძლია შევამციროთ წილადი (x 2, 7 + 1) 2. ვიღებთ წილადს x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1.
გავაგრძელოთ x ხარისხების x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2, 7 + 1 გარდაქმნები. ახლა თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ძალაუფლების გამყოფი თვისება იგივე საფუძვლებით: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2 , 7 + 1 .
ბოლო ნამრავლიდან გადავდივართ x 1 3 8 x 2, 7 + 1 წილადზე.
პასუხი: x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2, 7 + 1.
უმეტეს შემთხვევაში, უფრო მოსახერხებელია უარყოფითი მაჩვენებლების მქონე მამრავლების გადატანა მრიცხველიდან მნიშვნელზე და პირიქით, მაჩვენებლის ნიშნის შეცვლით. ეს ქმედება ამარტივებს შემდგომ გადაწყვეტილებას. მოვიყვანოთ მაგალითი: სიმძლავრის გამოხატულება (x + 1) - 0 , 2 3 · x - 1 შეიძლება შეიცვალოს x 3 · (x + 1) 0 , 2-ით.
გამონათქვამების კონვერტაცია ფესვებითა და ძალებით
ამოცანებში არის ძალა გამოსახულებები, რომლებიც შეიცავს არა მხოლოდ ხარისხს წილადის მაჩვენებლებით, არამედ ფესვებსაც. სასურველია, ასეთი გამონათქვამები მხოლოდ ფესვებამდე ან მხოლოდ ძალაუფლებამდე დავიყვანოთ. ხარისხებზე გადასვლა სასურველია, რადგან მათთან მუშაობა უფრო ადვილია. ასეთი გადასვლა განსაკუთრებით ხელსაყრელია, როდესაც ორიგინალური გამოხატვის ცვლადების DPV საშუალებას გაძლევთ შეცვალოთ ფესვები ძალებით მოდულზე წვდომის ან DPV-ის რამდენიმე ინტერვალად გაყოფის გარეშე.
მაგალითი 12
გამოხატეთ გამოხატულება x 1 9 x x 3 6, როგორც ძალა.
გადაწყვეტილება
ცვლადის სწორი დიაპაზონი xგანისაზღვრება ორი უტოლობით x ≥ 0და x · x 3 ≥ 0 , რომელიც განსაზღვრავს სიმრავლეს [ 0 , + ∞) .
ამ კომპლექტში ჩვენ გვაქვს უფლება გადავიდეთ ფესვებიდან ძალაუფლებაზე:
x 1 9 x x 3 6 = x 1 9 x x 1 3 1 6
გრადუსების თვისებების გამოყენებით, ჩვენ ვამარტივებთ მიღებულ ძალაუფლების გამოხატვას.
x 1 9 x x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 1 3 6 = = x 1 9 x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3
პასუხი: x 1 9 x x 3 6 = x 1 3 .
სიმძლავრეების კონვერტაცია ცვლადებით მაჩვენებელში
ეს გარდაქმნები საკმაოდ მარტივია გასაკეთებელი, თუ სწორად იყენებთ ხარისხის თვისებებს. Მაგალითად, 5 2 x + 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x − 1 = 0.
შეგვიძლია შევცვალოთ ხარისხის ნამრავლი, რომლის მიხედვითაც მოიძებნება ზოგიერთი ცვლადისა და რიცხვის ჯამი. მარცხენა მხარეს, ეს შეიძლება გაკეთდეს გამოხატვის მარცხენა მხარეს პირველი და ბოლო ტერმინებით:
5 2 x 5 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x 7 − 1 = 0 , 5 5 2 x − 3 5 x 7 x − 2 7 2 x = 0.
ახლა მოდით გავყოთ განტოლების ორივე მხარე 7 2 x. x ცვლადის ODZ-ზე ეს გამოხატულება მხოლოდ დადებით მნიშვნელობებს იღებს:
5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0
შევამციროთ წილადები ძალებით, მივიღებთ: 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x - 2 = 0 .
დაბოლოს, თანაფარდობა ერთი და იგივე მაჩვენებლებით იცვლება თანაფარდობების ხარისხებით, რაც მივყავართ განტოლებამდე 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0, რაც უდრის 5 5 7 x 2 - 3 5 7. x - 2 = 0.
შემოვიღოთ ახალი ცვლადი t = 5 7 x , რომელიც ამცირებს საწყისი ექსპონენციალური განტოლების ამონახს 5 · t 2 − 3 · t − 2 = 0 კვადრატული განტოლების ამოხსნამდე.
გამონათქვამების გადაქცევა ძალებითა და ლოგარითმებით
სიმძლავრეებისა და ლოგარითმების შემცველი გამონათქვამები ასევე გვხვდება ამოცანებში. ასეთი გამონათქვამების მაგალითებია: 1 4 1 - 5 log 2 3 ან log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) log 5 3 . ასეთი გამონათქვამების ტრანსფორმაცია ხორციელდება ზემოთ განხილული მიდგომებისა და ლოგარითმების თვისებების გამოყენებით, რომლებიც დეტალურად გავაანალიზეთ თემაში „ლოგარითმული გამოსახულებების ტრანსფორმაცია“.
თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter
ᲛᲔ.მუშაობა ნფაქტორები, რომელთაგან თითოეული ტოლია ადაურეკა ნ- რიცხვის ხარისხში ადა აღნიშნა ან.
მაგალითები. დაწერეთ პროდუქტი ხარისხის სახით.
1) მმმმ; 2) აააბბ; 3) 5 5 5 5 ჩ.კ.; 4) ppkk+pppk-ppkkk.
გადაწყვეტილება.
1) მმმმ=მ 4, ვინაიდან, ხარისხის განმარტებით, ოთხი ფაქტორის ნამრავლი, რომელთაგან თითოეული ტოლია მ, იქნება მ-ის მეოთხე ძალა.
2) aaabb=a 3 b 2 ; 3) 5 5 5 5 ccc=5 4 c 3 ; 4) ppkk+pppk-ppkkk=p 2 k 2 +p 3 k-p 2 k 3.
II.ოპერაციას, რომლითაც რამდენიმე თანაბარი ფაქტორების ნამრავლი აღმოჩნდება, ეწოდება ექსპონენტაცია. რიცხვს, რომელიც ამაღლებულია სიმძლავრემდე, ეწოდება სიმძლავრის ფუძე. რიცხვს, რომელიც მიუთითებს რა სიმძლავრეზეა აწეული ფუძე, ეწოდება ექსპონენტი. Ისე, ან- ხარისხი, ა- ხარისხის საფუძველი ნ- ექსპონენტი. Მაგალითად:
2 3 — ეს არის ხარისხი. ნომერი 2 - ხარისხის საფუძველი, მაჩვენებლის ტოლია 3 . ხარისხის ღირებულება 2 3 უდრის 8, როგორც 2 3 =2 2 2=8.
მაგალითები. დაწერეთ შემდეგი გამონათქვამები მაჩვენებლის გარეშე.
5) 4 3 ; 6) a 3 b 2 c 3; 7) a 3 -b 3; 8) 2a 4 +3b 2 .
გადაწყვეტილება.
5) 4 3 = 4 4 4 ; 6) a 3 b 2 c 3 = აააბბცც; 7) a 3 -b 3 = ააა-ბბბ; 8) 2a 4 +3b 2 = 2aaaa+3bb.
III.და 0 =1 ნებისმიერი რიცხვი (ნულის გარდა) ნულოვანი სიმძლავრის ტოლია ერთის. მაგალითად, 25 0 = 1.
IV. a 1 = aნებისმიერი რიცხვი პირველ ხარისხში უდრის თავის თავს.
ვ.ვარ∙ a n= ვარ + ნ ერთსა და იმავე ფუძეზე ძალების გამრავლებისას, ფუძე იგივე რჩება, ხოლო მაჩვენებლები დაამატე.
მაგალითები. გამარტივება:
9) a 3 a 7; 10) b 0 +b 2 b 3; 11) c 2 c 0 c c 4 .
გადაწყვეტილება.
9) 3 და 7=a 1+3+7 =a 11; 10) b 0 +b 2 b 3 = 1+b 2+3 =1+b 5;
11) c 2 c 0 c c 4 = 1 c 2 c c 4 \u003d c 2+1+4 \u003d c 7 .
VI.ვარ: a n= ვარ - ნერთნაირი ფუძით ძალების გაყოფისას ფუძე იგივე რჩება და გამყოფის მაჩვენებელს აკლდება დივიდენდის მაჩვენებელს.
მაგალითები. გამარტივება:
12) a 8: a 3; 13)მ11:მ4; 14) 5 6:5 4 .
12) a 8: a 3=a 8-3 =a 5; 13) m11:m4=მ 11-4 =მ 7; თოთხმეტი ) 5 6:5 4 =5 2 =5 5=25.
VII. (ვარ) ნ= ამნ სიმძლავრის სიმძლავრემდე აყვანისას, ბაზა იგივე რჩება და მაჩვენებლები მრავლდება.
მაგალითები. გამარტივება:
15) (a 3) 4 ; 16) (s 5) 2.
15) (a 3) 4=a 3 4 =a 12; 16) (c 5) 2=c 5 2 =c 10 .
შენიშვნარაც, ვინაიდან პროდუქტი არ იცვლება ფაქტორების პერმუტაციისგან, მაშინ:
15) (a 3) 4 \u003d (a 4) 3; 16) (c 5) 2 =(c 2) 5 .
ვმე II. (a ∙ b) n =a n ∙ b n პროდუქტის სიმძლავრემდე აყვანისას, თითოეული ფაქტორი ამაღლებულია ამ ძალამდე.
მაგალითები. გამარტივება:
17) (2a 2) 5; 18) 0.26 56; 19) 0,25 2 40 2 .
გადაწყვეტილება.
17) (2a 2) 5\u003d 2 5 a 2 5 \u003d 32a 10; 18) 0.2 6 5 6=(0.2 5) 6 =1 6 =1;
19) 0.25 2 40 2\u003d (0.25 40) 2 \u003d 10 2 \u003d 100.
IX.წილადის ხარისხამდე აწევისას, წილადის მრიცხველიც და მნიშვნელიც ამ ხარისხზე ამაღლებულია.
მაგალითები. გამარტივება:
გადაწყვეტილება.
გვერდი 1 1-დან 1
ერთ-ერთი მთავარი მახასიათებელი ალგებრაში და მართლაც ყველა მათემატიკაში არის ხარისხი. რა თქმა უნდა, 21-ე საუკუნეში, ყველა გამოთვლა შეიძლება განხორციელდეს ონლაინ კალკულატორზე, მაგრამ უმჯობესია ისწავლოთ როგორ გააკეთოთ ეს საკუთარი თავის ტვინის განვითარებისთვის.
ამ სტატიაში განვიხილავთ ყველაზე მნიშვნელოვან საკითხებს ამ განმარტებასთან დაკავშირებით. კერძოდ, გავიგებთ, რა არის ის ზოგადად და რა არის მისი ძირითადი ფუნქციები, რა თვისებები არსებობს მათემატიკაში.
მოდით შევხედოთ მაგალითებს, თუ როგორ გამოიყურება გაანგარიშება, რა არის ძირითადი ფორმულები. ჩვენ გავაანალიზებთ რაოდენობების ძირითად ტიპებს და როგორ განსხვავდებიან ისინი სხვა ფუნქციებისგან.
ჩვენ გავიგებთ, თუ როგორ გადავჭრათ სხვადასხვა პრობლემები ამ მნიშვნელობის გამოყენებით. ჩვენ მაგალითებით გაჩვენებთ, თუ როგორ უნდა ავწიოთ ნულოვან ხარისხზე, ირაციონალური, უარყოფითი და ა.შ.
ონლაინ ექსპონენტაციის კალკულატორი
რა არის რიცხვის ხარისხი
რა იგულისხმება გამოთქმაში „აწიე რიცხვი სიმძლავრემდე“?
a რიცხვის n ხარისხი არის ზედიზედ a n-ჯერ სიდიდის ფაქტორების ნამრავლი.
მათემატიკურად ასე გამოიყურება:
a n = a * a * a * …a n.
Მაგალითად:
- 2 3 = 2 მესამე საფეხურზე. = 2 * 2 * 2 = 8;
- 4 2 = 4 ნაბიჯი. ორი = 4 * 4 = 16;
- 5 4 = 5 ნაბიჯი. ოთხი = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
- 10 5 \u003d 10 5 ნაბიჯში. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000;
- 10 4 \u003d 10 4 ნაბიჯში. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.
ქვემოთ მოცემულია კვადრატებისა და კუბების ცხრილი 1-დან 10-მდე.
გრადუსების ცხრილი 1-დან 10-მდე
ქვემოთ მოცემულია ნატურალური რიცხვების დადებით ხარისხებამდე აყვანის შედეგები - „1-დან 100-მდე“.
| ჩ-ლო | მე-2 კლასი | მე-3 კლასი |
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 4 | 8 |
| 3 | 9 | 27 |
| 4 | 16 | 64 |
| 5 | 25 | 125 |
| 6 | 36 | 216 |
| 7 | 49 | 343 |
| 8 | 64 | 512 |
| 9 | 81 | 279 |
| 10 | 100 | 1000 |
ხარისხის თვისებები
რა არის დამახასიათებელი ასეთი მათემატიკური ფუნქციისთვის? მოდით შევხედოთ ძირითად თვისებებს.
მეცნიერებმა დაადგინეს შემდეგი ყველა ხარისხისთვის დამახასიათებელი ნიშნები:
- a n * a m = (a) (n+m) ;
- a n: a m = (a) (n-m) ;
- (ა ბ) მ =(ა) (ბ*მ) .
მოდით შევამოწმოთ მაგალითებით:
2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. მეორეს მხრივ 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32.
ანალოგიურად: 2 3: 2 2 = 8 / 4 = 2. წინააღმდეგ შემთხვევაში 2 3-2 = 2 1 =2.
(2 3) 2 = 8 2 = 64. რა მოხდება, თუ განსხვავებულია? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.
როგორც ხედავთ, წესები მუშაობს.
მაგრამ როგორ უნდა იყოს შეკრებით და გამოკლებით? ყველაფერი მარტივია. ჯერ კეთდება გაძლიერება და მხოლოდ ამის შემდეგ შეკრება და გამოკლება.
მოდით შევხედოთ მაგალითებს:
- 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
- 5 2 - 3 2 = 25 - 9 = 16
მაგრამ ამ შემთხვევაში, ჯერ უნდა გამოთვალოთ დამატება, რადგან ფრჩხილებში არის მოქმედებები: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.
როგორ ვაწარმოოთ გამოთვლები უფრო რთულ შემთხვევებში? თანმიმდევრობა იგივეა:
- თუ არსებობს ფრჩხილები, თქვენ უნდა დაიწყოთ მათგან;
- შემდეგ ექსპონენტაცია;
- შემდეგ შეასრულეთ გამრავლების, გაყოფის მოქმედებები;
- შეკრების შემდეგ, გამოკლება.
არსებობს სპეციფიკური თვისებები, რომლებიც არ არის დამახასიათებელი ყველა ხარისხისთვის:
- n-ე ხარისხის ფესვი a რიცხვიდან m გრადუსამდე დაიწერება: a m/n .
- წილადის ხარისხამდე აყვანისას: ამ პროცედურას ექვემდებარება მრიცხველიც და მისი მნიშვნელიც.
- სხვადასხვა რიცხვის ნამრავლის ხარისხზე აყვანისას, გამონათქვამი შეესაბამება ამ რიცხვების ნამრავლს მოცემულ ხარისხზე. ანუ: (a *b) n = a n * b n .
- რიცხვის უარყოფით ხარისხზე აყვანისას, თქვენ უნდა გაყოთ 1 რიცხვზე იმავე საფეხურზე, მაგრამ "+" ნიშნით.
- თუ წილადის მნიშვნელი უარყოფით ხარისხშია, მაშინ ეს გამოხატულება ტოლი იქნება მრიცხველის ნამრავლისა და მნიშვნელის დადებითი ხარისხში.
- ნებისმიერი რიცხვი სიმძლავრის 0 = 1 და ნაბიჯი. 1 = თავისთვის.
ეს წესები მნიშვნელოვანია ცალკეულ შემთხვევებში, მათ უფრო დეტალურად განვიხილავთ ქვემოთ.
ხარისხი უარყოფითი მაჩვენებლით
რა ვუყოთ უარყოფით ხარისხს, ანუ როცა მაჩვენებელი უარყოფითია?
მე-4 და მე-5 თვისებებზე დაყრდნობით(იხ. პუნქტი ზემოთ) თურმე:
A (- n) \u003d 1 / A n, 5 (-2) \u003d 1/5 2 \u003d 1/25.
და პირიქით:
1 / A (- n) \u003d A n, 1 / 2 (-3) \u003d 2 3 \u003d 8.
რა მოხდება, თუ წილადია?
(A / B) (- n) = (B / A) n , (3 / 5) (-2) = (5 / 3) 2 = 25 / 9.
ხარისხი ბუნებრივი მაჩვენებლით
ის გაგებულია, როგორც ხარისხი მთელი რიცხვების ტოლი ექსპონენტებით.
დასამახსოვრებელი რამ:
A 0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3.15 0 = 1; (-4) 0 = 1... და ა.შ.
A 1 = A, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3… და ა.შ.
ასევე, თუ (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2…მაშინ შედეგი იქნება „+“ ნიშნით. თუ უარყოფითი რიცხვი გაიზარდა კენტ ხარისხზე, მაშინ პირიქით.
მათთვის დამახასიათებელია ზოგადი თვისებები და ზემოთ აღწერილი ყველა სპეციფიკური მახასიათებელი.
ფრაქციული ხარისხი
ეს ხედი შეიძლება დაიწეროს სქემის სახით: A m / n. იკითხება: A რიცხვის n-ე ხარისხის ფესვი m-ის ხარისხზე.
წილადი ინდიკატორით შეგიძლიათ გააკეთოთ ყველაფერი: შემცირება, ნაწილებად დაშლა, სხვა ხარისხით აწევა და ა.შ.
ხარისხი ირაციონალური მაჩვენებლით
ვთქვათ α არის ირაციონალური რიცხვი და А ˃ 0.
ხარისხის არსის გასაგებად ასეთი მაჩვენებლით, მოდით შევხედოთ სხვადასხვა შესაძლო შემთხვევებს:
- A \u003d 1. შედეგი იქნება 1-ის ტოლი. ვინაიდან აქსიომაა - 1 უდრის ერთს ყველა ძალაში;
А r 1 ˂ А α ˂ А r 2 , r 1 ˂ r 2 რაციონალური რიცხვებია;
- 0˂А˂1.
ამ შემთხვევაში, პირიქით: А r 2 ˂ А α ˂ А r 1 იმავე პირობებში, როგორც მეორე აბზაცში.
მაგალითად, მაჩვენებელი არის რიცხვი π.რაციონალურია.
r 1 - ამ შემთხვევაში ის უდრის 3-ს;
r 2 - 4-ის ტოლი იქნება.
შემდეგ, A = 1-ისთვის, 1 π = 1.
A = 2, შემდეგ 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4 , 8 ˂ 2 π ˂ 16.
A = 1/2, შემდეგ (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3, 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.
ასეთ ხარისხებს ახასიათებს ზემოთ აღწერილი ყველა მათემატიკური ოპერაციები და სპეციფიკური თვისებები.
დასკვნა
მოდით შევაჯამოთ - რისთვის არის ეს მნიშვნელობები, რა უპირატესობა აქვს ასეთ ფუნქციებს? რა თქმა უნდა, უპირველეს ყოვლისა, ისინი ამარტივებს მათემატიკოსთა და პროგრამისტთა ცხოვრებას მაგალითების ამოხსნისას, რადგან ისინი საშუალებას იძლევა მინიმუმამდე დაიყვანონ გამოთვლები, შეამცირონ ალგორითმები, მონაცემთა სისტემატიზაცია და მრავალი სხვა.
კიდევ სად შეიძლება იყოს ეს ცოდნა სასარგებლო? ნებისმიერ სამუშაო სპეციალობაში: მედიცინა, ფარმაკოლოგია, სტომატოლოგია, მშენებლობა, ტექნოლოგია, ინჟინერია, დიზაინი და ა.შ.
გაკვეთილი თემაზე: "ერთნაირი და განსხვავებული მაჩვენებლებით ძალაუფლების გამრავლებისა და გაყოფის წესები. მაგალითები"
დამატებითი მასალები
ძვირფასო მომხმარებლებო, არ დაგავიწყდეთ დატოვოთ თქვენი კომენტარები, გამოხმაურება, წინადადებები. ყველა მასალა შემოწმებულია ანტივირუსული პროგრამით.
სასწავლო საშუალებები და ტრენაჟორები ონლაინ მაღაზია "ინტეგრალში" მე-7 კლასისთვის
სახელმძღვანელო სახელმძღვანელოსთვის Yu.N. მაკარიჩევას სახელმძღვანელო სახელმძღვანელოსთვის A.G. მორდკოვიჩი
გაკვეთილის მიზანი: ისწავლეთ როგორ შეასრულოთ მოქმედებები რიცხვის ხარისხებით.
დასაწყისისთვის, გავიხსენოთ კონცეფცია "რიცხვის ძალა". ისეთი გამოხატულება, როგორიცაა $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$ შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც $a^n$.
საპირისპირო ასევე მართალია: $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$.
ამ თანასწორობას ეწოდება "ხარისხის აღრიცხვა, როგორც პროდუქტი". ის დაგვეხმარება იმის გარკვევაში, თუ როგორ გავამრავლოთ და გავყოთ ძალები.
გახსოვდეთ:
ა- ხარისხის საფუძველი.
ნ- ექსპონენტი.
Თუ n=1, რაც ნიშნავს რიცხვს ამიღებული ერთხელ და შესაბამისად: $a^n= 1$.
Თუ n=0, შემდეგ $a^0= 1$.
რატომ ხდება ასე, შეგვიძლია გავარკვიოთ, როცა გავეცნობით ძალაუფლების გამრავლებისა და გაყოფის წესებს.
გამრავლების წესები
ა) თუ ერთი და იგივე ფუძის მქონე სიმძლავრეები გამრავლებულია.$a^n * a^m$-ზე, ჩვენ ვწერთ სიმძლავრეებს, როგორც ნამრავლი: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( a * a * \ldots * a )_ (მ)$.
ნახაზი აჩვენებს, რომ რიცხვი ააიღეს n+mჯერ, შემდეგ $a^n * a^m = a^(n + m)$.
მაგალითი.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.
ეს თვისება მოსახერხებელია გამოსაყენებლად სამუშაოს გასამარტივებლად, როდესაც რიცხვი დიდ სიმძლავრემდე აწევთ.
მაგალითი.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.
ბ) თუ სიმძლავრეები მრავლდება სხვადასხვა ფუძეზე, მაგრამ იგივე მაჩვენებლით.
$a^n * b^n$-ზე, ჩვენ ვწერთ სიმძლავრეებს, როგორც ნამრავლი: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b )_ (მ)$.
თუ გავცვლით ფაქტორებს და დავთვლით მიღებულ წყვილებს, მივიღებთ: $\underbrace( (a *b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$.
ასე რომ, $a^n * b^n= (a * b)^n$.
მაგალითი.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.
გაყოფის წესები
ა) ხარისხის საფუძველი ერთი და იგივეა, მაჩვენებლები განსხვავებული.განვიხილოთ გრადუსის უფრო დიდი მაჩვენებლით გაყოფა გრადუსის უფრო მცირე მაჩვენებელზე გაყოფით.
ასე რომ, აუცილებელია $\frac(a^n)(a^m)$, სად n>მ.
ჩვენ ვწერთ გრადუსებს წილადად:
$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.
მოხერხებულობისთვის ჩვენ ვწერთ გაყოფას მარტივ წილადად.ახლა შევამციროთ წილადი.
გამოდის: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$.
ნიშნავს, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.
ეს თვისება დაგეხმარებათ ახსნას სიტუაცია რიცხვის ნულამდე აწევით. დავუშვათ, რომ n=m, შემდეგ $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$.
მაგალითები.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.
$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.
ბ) ხარისხის საფუძვლები განსხვავებულია, მაჩვენებლები ერთი და იგივე.
ვთქვათ, გჭირდებათ $\frac(a^n)(b^n)$. რიცხვების ხარისხებს წილადად ვწერთ:
$\frac(\ underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace(b * b * \ldots * b )_(n))$.
მოხერხებულობისთვის წარმოვიდგინოთ.
წილადების თვისების გამოყენებით დიდ წილადს ვყოფთ პატარების ნამრავლად, მივიღებთ.
$\underbrace( \frac(a)(b) * \frac(a)(b) * \ldots * \frac(a)(b))_(n)$.
შესაბამისად: $\frac(a^n)(b^n)=(\frac(a)(b))^n$.
მაგალითი.
$\frac(4^3)(2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$.
ცხადია, სიმძლავრის მქონე რიცხვები შეიძლება დაემატოს სხვა რაოდენობებს , სათითაოდ მათი ნიშნების მიყოლებით.
ასე რომ, a 3-ისა და b 2-ის ჯამი არის 3 + b 2.
a 3 - b n და h 5 -d 4 ჯამი არის 3 - b n + h 5 - d 4 .
შანსები ერთი და იგივე ცვლადების იგივე ძალაშეიძლება დაემატოს ან გამოკლდეს.
ასე რომ, 2a 2-ისა და 3a 2-ის ჯამი არის 5a 2.
ასევე აშკარაა, რომ თუ ავიღებთ ორ კვადრატს a, ან სამ კვადრატს a, ან ხუთ კვადრატს a.
მაგრამ გრადუსები სხვადასხვა ცვლადებიდა სხვადასხვა ხარისხით იდენტური ცვლადები, უნდა დაემატოს მათი ნიშნების დამატებით.
ასე რომ, 2-ისა და 3-ის ჯამი არის 2 + a 3-ის ჯამი.
აშკარაა, რომ a-ს კვადრატი და a-ს კუბი არ არის ორჯერ a-ს კვადრატი, არამედ ორჯერ მეტი a-ის კუბი.
a 3 b n და 3a 5 b 6 ჯამი არის 3 b n + 3a 5 b 6 .
გამოკლებაუფლებამოსილებები ხორციელდება ისევე, როგორც დამატება, გარდა იმისა, რომ სუბტრაჰენდის ნიშნები შესაბამისად უნდა შეიცვალოს.
ან:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(ა - თ) 6 - 2(ა - თ) 6 = 3(ა - თ) 6
სიმძლავრის გამრავლება
სიმძლავრეების მქონე რიცხვები შეიძლება გამრავლდეს, როგორც სხვა სიდიდეები, ერთმანეთის მიყოლებით ჩაწერით, მათ შორის გამრავლების ნიშნით ან მის გარეშე.
ასე რომ, a 3-ის b2-ზე გამრავლების შედეგი არის 3 b 2 ან aaabb.
ან:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y
ბოლო მაგალითში შედეგი შეიძლება დალაგდეს იგივე ცვლადების დამატებით.
გამოთქმა მიიღებს ფორმას: a 5 b 5 y 3 .
რამდენიმე რიცხვის (ცვლადის) ძალებთან შედარებით, ჩვენ ვხედავთ, რომ თუ რომელიმე მათგანი მრავლდება, მაშინ შედეგი არის რიცხვი (ცვლადი), რომლის სიმძლავრე ტოლია. ჯამიტერმინების ხარისხები.
ასე რომ, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5.
აქ 5 არის გამრავლების შედეგის სიმძლავრე, ტოლი 2 + 3, წევრთა ხარისხების ჯამი.
ასე რომ, a n .a m = a m+n.
a n-ისთვის a ფაქტორად მიიღება იმდენჯერ, რამდენჯერაც არის n-ის სიმძლავრე;
და a m , მიიღება ფაქტორად იმდენჯერ, რამდენჯერაც m ხარისხი უდრის;
Ისე, იგივე ფუძეების მქონე სიმძლავრეები შეიძლება გამრავლდეს მაჩვენებლების დამატებით.
ასე რომ, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8. და x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .
ან:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1
გაამრავლეთ (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
პასუხი: x 4 - y 4.
გაამრავლეთ (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).
ეს წესი ასევე ეხება რიცხვებს, რომელთა მაჩვენებლებია - უარყოფითი.
1. ასე რომ, a -2 .a -3 = a -5 . ეს შეიძლება დაიწეროს როგორც (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.
2. y-n .y-m = y-n-m .
3. a -n .a m = a m-n.
თუ a + b გამრავლებულია a - b-ზე, შედეგი იქნება 2 - b 2: ანუ
ორი რიცხვის ჯამის ან სხვაობის გამრავლების შედეგი უდრის მათი კვადრატების ჯამს ან განსხვავებას.
თუ ორი რიცხვის ჯამი და სხვაობა გაიზარდა კვადრატი, შედეგი იქნება ამ რიცხვების ჯამის ან სხვაობის ტოლი მეოთხეხარისხი.
ასე რომ, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .
უფლებამოსილებების დაყოფა
ძალაუფლების მქონე რიცხვები შეიძლება დაიყოს სხვა რიცხვების მსგავსად გამყოფისგან გამოკლებით, ან წილადის სახით მოთავსებით.
ასე რომ, a 3 b 2 გაყოფილი b 2-ზე არის 3.
ან:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$
5-ის დაწერა 3-ზე გაყოფილი $\frac(a^5)(a^3)$-ს ჰგავს. მაგრამ ეს უდრის 2-ს. რიცხვების სერიაში
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
ნებისმიერი რიცხვი შეიძლება გაიყოს მეორეზე და მაჩვენებელი ტოლი იქნება განსხვავებაგამყოფი რიცხვების ინდიკატორები.
ძალაუფლების ერთიდაიგივე ფუძით გაყოფისას, მათი მაჩვენებლები გამოკლებულია..
ასე რომ, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . ანუ $\frac(yyyy)(yy) = y$.
და a n+1:a = a n+1-1 = a n. ანუ $\frac(aa^n)(a) = a^n$.
ან:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3
წესი ასევე მოქმედებს ნომრებზე უარყოფითიხარისხის ღირებულებები.
-5-ის -3-ზე გაყოფის შედეგი არის -2.
ასევე, $\frac(1)(aaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.
h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 ან $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$
ძალთა გამრავლებისა და გაყოფის კარგად დაუფლება აუცილებელია, ვინაიდან ასეთი მოქმედებები ძალიან ფართოდ გამოიყენება ალგებრაში.
წილადების მაგალითების ამოხსნის მაგალითები, რომლებიც შეიცავს რიცხვებს ხარისხებით
1. შეამცირეთ მაჩვენებლები $\frac(5a^4)(3a^2)$-ში პასუხი: $\frac(5a^2)(3)$.
2. შეამცირეთ მაჩვენებლები $\frac(6x^6)(3x^5)$-ში. პასუხი: $\frac(2x)(1)$ ან 2x.
3. შეამცირეთ a 2 / a 3 და a -3 / a -4 მაჩვენებლები და მიიტანეთ საერთო მნიშვნელამდე.
a 2 .a -4 არის -2 პირველი მრიცხველი.
a 3 .a -3 არის 0 = 1, მეორე მრიცხველი.
a 3 .a -4 არის -1, საერთო მრიცხველი.
გამარტივების შემდეგ: a -2 /a -1 და 1/a -1 .
4. შეამცირეთ 2a 4 /5a 3 და 2 /a 4 მაჩვენებლები და მიიტანეთ საერთო მნიშვნელამდე.
პასუხი: 2a 3 / 5a 7 და 5a 5 / 5a 7 ან 2a 3 / 5a 2 და 5/5a 2.
5. გაამრავლე (a 3 + b)/b 4 (a - b)/3-ზე.
6. გაამრავლეთ (a 5 + 1)/x 2 (b 2 - 1)/(x + a).
7. გავამრავლოთ b 4 /a -2 h -3 /x-ზე და a n /y -3-ზე.
8. გაყავით 4 /y 3 3 /y 2-ზე. პასუხი: ა/წ.
9. გაყავით (h 3 - 1)/d 4 (d n + 1)/h.
