მბრუნავი მოძრაობამყარი სხეული ფიქსირებული წერტილის გარშემომისი მოძრაობა ეწოდება, რომელშიც ხისტი სხეულის ერთი წერტილი ან მასთან უცვლელად დაკავშირებული რჩება უმოძრაოდ არჩეული საცნობარო ჩარჩოს მიმართ. მას ასევე უწოდებენ სფერული მოძრაობა, ვინაიდან სხეულის ნებისმიერი წერტილის ტრაექტორია დევს ფიქსირებულ წერტილზე ორიენტირებული სფეროს ზედაპირზე. ასეთი მოძრაობის მაგალითია ზედა, რომელსაც აქვს ფიქსირებული საყრდენი წერტილი.

სივრცეში თავისუფლად მოძრავი ხისტი სხეულის თავისუფლების ხარისხი არის ექვსი. თუ სხეულის მოძრაობის დროს მისი ერთ-ერთი წერტილი დარჩება ფიქსირებული, მაშინ ასეთი სხეულის თავისუფლების გრადუსების რაოდენობა ამ ფიქსირებული წერტილის გარშემო ბრუნვისას იქნება სამი და მისი პოზიციის შესაფასებლად სამი დამოუკიდებელი პარამეტრი უნდა იყოს დაყენებული. ეს შეიძლება გაკეთდეს სხვადასხვა გზით. მაგალითად, ა.ნ. კრილოვმა შემოგვთავაზა ეგრეთ წოდებული გემის კუთხეები, როგორც ასეთი პარამეტრები, რომლებიც განსაზღვრავენ ხისტი სხეულის (გემის) პოზიციას მის საწყისთან და სიმძიმის ცენტრთან დაკავშირებულ კოორდინატულ სისტემასთან მიმართებაში (ნახ. 3.1).

აღებულია ფიქსირებული კოორდინატთა სისტემის ღერძები CXYZ,და გემთან მკაცრად დაკავშირებული ღერძებისთვის - Cxyz(ნახ. 3.1). ღერძი შმიმართულია ღერძიდან გემის მშვილდისკენ, ღერძი cz- მის მარჯვენა მხარეს და ღერძს CYაყალიბებს მათთან სწორ კოორდინატულ სისტემას (ვერტიკალურად ზემოთ). მოძრავი კოორდინატთა სისტემის მდებარეობა Cxyz, უცვლელად ასოცირდება გემთან, შედარებით უძრავად CXYZდროის თითოეული მომენტისთვის განისაზღვრება სამი კრილოვის კუთხით: მორთვა კუთხე ,ბანკის კუთხე ,დახრის კუთხე (ნახ. 3.2).

როგორც ჩანს ნახ. 3.2, თვითმფრინავი CXYკვეთს თვითმფრინავს xyრაღაც ხაზის გასწვრივ ღერძთან კუთხის ფორმირება CXდა კუთხე ღერძით Cx. თვითმფრინავი CYZკვეთს თვითმფრინავს Cxyპოლიხაზები Cy 1 ღერძთან კუთხის ფორმირება Cy. განვიხილოთ სისტემიდან გადასვლა CXYZსისტემას Cxyzდამზადებულია სამი მობრუნებით.

სისტემასთან შესატყვისად CXYZსისტემასთან ერთად Cxyzსაკმარისი:

1) როტაციის სისტემა CXYZკოორდინატთა ღერძების მესამედის გარშემო czმორთვის კუთხემდე, რის შედეგადაც ვიღებთ სისტემას Cx 1 წ 1 ზ 1 და cz 1 =cz(ნახ. 3.3);

2) კოორდინატთაგან პირველი ღერძის გარშემო სისტემა შემოვაბრუნოთ გორგოლაჭის კუთხით, რის შედეგადაც მივიღებთ სისტემას, ხოლო (ნახ. 3.4);

3) შემოატრიალეთ სისტემა მეორე კოორდინატთა ღერძების ირგვლივ იავის კუთხით (ნახ. 3.5), რის შედეგადაც მივდივართ სისტემამდე Cxyz.

კოორდინატების ტრანსფორმაციის ფორმულები დაკავშირებულია შემდეგი ურთიერთობებით:

1)-დან CXYZმდე (ნახ. 3.3)

X = x 1 cos y - წ 1 სინუსი + 0,

ი =x 1 sin y + y 1 cos y + 0 , (3.1)

Z = 0 + 0 + z1,

ან მატრიცის სახით:

[X] =( a 3 y ) t [ x 1 ], ან , (3.2)

სად არის მატრიცა გადატანილი მატრიცაზე, რომელიც აღწერს სისტემის ბრუნვას CXYZმესამე კოორდინატთა ღერძის გარშემო СZმორთვის კუთხით y,

; (3.3)

2) სისტემიდან სისტემამდე (ნახ. 3.4)

x 1 = x 2 + 0 + 0 ,

წ 1 = 0 + წ 2 - ზ 2 , (3.4)

ზ 1 = 0 + წ 2 +ზ 2 ,

ან მატრიცის სახით

[x 1 ] = [x 2] , ან , (3.5)

სად არის მატრიცა გადაცემული მატრიცაზე, რომელიც განსაზღვრავს ბრუნვის ტრანსფორმაციას სისტემის ღერძებიდან სისტემის ღერძებზე პირველი კოორდინატთა ღერძების ირგვლივ როლის კუთხით, = ,

; (3.6)

3) კოორდინატთა სისტემიდან სისტემამდე Cxyz(ნახ. 3.5)

x 2 = x cos j + 0 + ზსინჯ,

წ 2 = 0 + წ + 0 , (3.7)

ზ 2 = -x sin j + 0 + ზ cosj,

ან მატრიცის სახით [ x 2 ]= [x], ან

. (3.8)

გარდა ამისა, ბრუნვის მატრიცა (a 2 j ) t არის მატრიცაზე გადატანილი მატრიცა (a 2 j ), რომელიც განსაზღვრავს ბრუნვის ტრანსფორმაციას სისტემის ღერძებიდან სისტემის ღერძებზე. Cxyzიავის კუთხით j კოორდინატთა ღერძების მეორის გარშემო = , აქვს ფორმა

. (3.9)

ნებისმიერი წერტილისთვის მსხეულები კოორდინატებით x,წ,ზმოძრავ კოორდინატთა სისტემაში, მყარად დაკავშირებული მასთან და საკუთარ კოორდინატებთან X,ი,ზ– ფიქსირებულ კოორდინატულ სისტემაში შესაძლებელია ორი კოორდინატთა სისტემის ღერძებზე წერტილოვანი ვექტორის პროგნოზების ურთიერთკავშირის დადგენა,

, (3.10)

ან მატრიცის სახით

ან , (3.11)

სადაც კრილოვის კუთხეები დროის რამდენიმე ფუნქციაა: მორთვის კუთხე, ნაპირის კუთხე, დახრის კუთხე.

მატრიცა გადადის მიმართულების კოსინუს მატრიცაზე, რომელიც განსაზღვრავს ბრუნვის ტრანსფორმაციას ფიქსირებული სისტემის ღერძებიდან. CXYZმოძრავი სისტემის ღერძებს Cxyz, უცვლელად ასოცირდება გემთან. ცხადია, როდესაც სხეული მოძრაობს, კოორდინატები x,წ,ზრჩება მუდმივი კოორდინატებისგან განსხვავებით X,ი,ზ.

ურთიერთობის (3.5) და (3.8) ჩანაცვლებით (3.2) მივიღებთ:

(3.11) და (3.12) შედარებისას აღმოვაჩენთ, რომ სასურველი მატრიცა არის სამი ბრუნვის მატრიცის ნამრავლი.

=

=

.(3.13)

ურთიერთობის (3.5) (3.2) ჩანაცვლებით, მივიღებთ შუალედურ მიმართებას, რომელიც შეიძლება მოგვიანებით დაგჭირდეთ, [ X] = [x 2]. შუალედური ბრუნვის მატრიცა = გვხვდება, როგორც ორი ბრუნვის მატრიცის ნამრავლი:

=

= (3.13ა)

ეილერის კუთხეები

იმ შემთხვევებში, როდესაც ერთი მიმართულებით ბრუნვის კუთხური სიჩქარე გაცილებით მეტია, ვიდრე დანარჩენ ორში (გენერატორები, ძრავები, ტურბინები, გიროსკოპები), სხეულის პოზიციის დასადგენად სამი ეილერის კუთხე ირჩევა სამ დამოუკიდებელ პარამეტრად: პრეცესიის კუთხეწ (ტ),ნუტაციის კუთხე q (ტ)და ბრუნვის კუთხე (ბუნებრივი ბრუნი) ჯ (ტ). მათი სახელები ნასესხებია ასტრონომიიდან.

ამ კუთხეების დასაყენებლად, განიხილეთ ხისტი სხეულის ბრუნვა ფიქსირებული წერტილის გარშემო ო. ნება მიეცით რამდენიმე საცნობარო სისტემა და მასთან დაკავშირებული ფიქსირებული კოორდინატთა სისტემა იყოს მოცემული OXYZ, რომლის მიმართაც ხისტი სხეული მოძრაობს და კოორდინატთა სისტემა, რომელიც დაკავშირებულია ხისტ სხეულთან ოქსიზი, რომელიც მოძრაობს პირველთან შედარებით (სურ. 3.6 ... 3.8). ეს ნიშნავს, რომ პირველ და მეორე კოორდინატთა სისტემებს საერთო წარმოშობა აქვთ ოდა ცულებით წარმოქმნილი კუთხეები ოქსიზიცულებით OXYZ, შეცვლა, ე.ი. სისტემა ოქსიზი
ბრუნავს ხისტი სხეულით ფიქსირებული წერტილის გარშემო ო(ნახ. 3.5 ... 3.8).

ბრინჯი. 3.6

კინემატიკური განტოლებები განზოგადებულ კოორდინატებში. ეილერი, კრილოვის კუთხეები, კვატერნიონები.

თეორიული მექანიკის მსვლელობისას სფერულ მოძრაობას იძლეოდა ეილერის კუთხეები (სურ. 1.2) - პრეცესიის კუთხე y (მობრუნება ფიქსირებული ღერძის გარშემო. ოზი), ნუტაციის კუთხე q (როტაცია ნახევრად მოძრავი ღერძის გარშემო კარგი- თვითმფრინავების გადაკვეთის ხაზები ოქსიდა ოξη, რომელსაც ეწოდება კვანძების ხაზი) ​​და სწორი ბრუნვის კუთხე j (სხეულთან დაკავშირებული ღერძის გარშემო ბრუნვა ოზი).

ბრინჯი. 1.2. ხისტი სხეულის ორიენტაციის ეილერის კუთხეების სისტემა

ეილერის კუთხეები ჩამოთვლილია ფიქსირებულ ჩარჩოზე შემობრუნების თანმიმდევრობით. ოქსიზიისე, რომ იგი თავსებადია მობილურ SC-თან ოξηζ. ეილერის კუთხეების გამოყენება სფერულ მოძრაობაში გაკეთდა კინემატიკის შესაბამისი ამოცანების გადაჭრის ფუნდამენტური შესაძლებლობის საჩვენებლად. აქ ჩვენ გვაქვს ამოცანა უფრო ოპტიმალურად აღვწეროთ ასეთი მოძრაობა. კინემატიკური ურთიერთობები, რომლებიც გამოხატავს სხეულის კუთხური სიჩქარის პროგნოზებს შეწყვილებული SC-ის ღერძზე, მითითებული კუთხეების კუთხური სიჩქარით, წარმოდგენილია ეილერის კუთხეებისთვის ფორმულებით (დამოწმებული KIDIM პროგრამით):

(1.1)

სფერული მოძრაობისას სხეულის პოზიციის ასეთი დაზუსტების სიმოკლეობის მიუხედავად (თავისუფლების 3 გრადუსი, 3 კოორდინატი), იგი იშვიათად გამოიყენება თანამედროვე მექანიკაში. ეს აიხსნება, კერძოდ, იმით, რომ სხეულის კუთხური სიჩქარის პროექციებით განზოგადებული სიჩქარის გამოთვლის ფორმულები (შებრუნებული კინემატიკური მიმართებები) შეიცავს სინგულარობას და ასიმეტრიულია, რაც ართულებს შედეგების ანალიზს და იწვევს გამოთვლებს. შეცდომები. ეილერის კუთხეებისთვის ეს ურთიერთობები წარმოდგენილია ფორმულებით:

(1.2)

უფრო სასურველია როდრიგეს-ჰამილტონის პარამეტრების, კვატერნიონების, კეილი-კლაინის პარამეტრების გამოყენება.

დავამტკიცოთ დ'ალმბერ-ეილერის თეორემა.

ფიქსირებული წერტილის მქონე სხეულის ერთი პოზიციიდან მეორეზე გადატანა შეიძლება განხორციელდეს გარკვეული ღერძის გარშემო შემობრუნებით, რომელიც გადის ფიქსირებულ წერტილში.

სხეულის მოძრაობა მთლიანად განისაზღვრება სხეულის კუთვნილი ნებისმიერი სამკუთხედის მოძრაობით. მაშასადამე, სფერული მოძრაობისთვის ეს უდრის ორი წერტილის მოძრაობას ზოგიერთ სფეროზე, რომლის ცენტრი ემთხვევა ფიქსირებულ წერტილს, ან ამ წერტილების დამაკავშირებელი რკალის მოძრაობას. დავუშვათ, რომ სხეულის მოძრაობის შედეგად დროში დ ტრაღაც წერტილი მაგრამგადავიდა სფეროს გასწვრივ პოზიციაზე AT(ნახ. 1.3). ამავე დროს, წერტილი, რომელიც იყო პოზიცია AT, ახალი პოზიცია დაიკავა თან.

ბრინჯი. 1.3.

თვითმფრინავი ABCკვეთს ფიქსირებულ სფეროს წრეში (პატარა ან დიდ წრეში). Თუ დამ წრის ერთ-ერთი პოლუსი სფეროზე, მაშინ , იმიტომ ისინი ტოლფერდა სფერული და , რადგან ისინი სფეროს ერთი და იგივე რკალის ორი პოზიციაა AB. კონსტრუქციით (პოლუსიდან თანაბარი მანძილით). ამიტომ, მისი გასწორება შესაძლებელია ღერძის გარშემო ბრუნვით ODკუთხეში adb. თეორემა დადასტურდა.

როდრიგეს-ჰამილტონის პარამეტრები. ისეთი როტაციის დასაზუსტებლად, რომელსაც ჩვენ მოვუწოდებთ სხეულის ბოლო შემობრუნებაცხადია, თქვენ უნდა დააყენოთ ღერძის პოზიცია, მიმართულება და ბრუნის კუთხე. ბრუნვის ღერძი შეიძლება დადგინდეს ერთეული ვექტორით, რომელიც მიმართულია იმ მიმართულებით, საიდანაც სხეულის ბრუნვა შეინიშნება საათის ისრის საწინააღმდეგოდ. ეს ვექტორი განისაზღვრება მისი პროექციებით ზოგიერთი SC-ის ღერძებზე (მისი კუთხეების მიმართულების კოსინუსები ამ SC-ის ღერძებთან). ამრიგად, საბოლოო ბრუნვა განისაზღვრება ოთხი სკალარული სიდიდით - ღერძის ერთეული ვექტორის პროგნოზები და თავად ბრუნის კუთხის მნიშვნელობა ამ ღერძის გარშემო.

ამ ოთხი სიდიდის დასაყენებლად ვიყენებთ როდრიგეს-ჰამილტონის პარამეტრებს, რომლებსაც აქ აღვნიშნავთ λ 0. , λ1 , λ2 , λ 3. ბოლო სამი პარამეტრი ჩვეულებრივ გაერთიანებულია ვექტორში =(λ 1 , λ2 , λ 3 ) თ. ამრიგად, განვიხილავთ სკალარული და ვექტორული სიდიდეების სიმრავლეს λ 0 , . ეს პარამეტრები შეყვანილია ბოლო მობრუნების ელემენტების მეშვეობით და შეიძლება განისაზღვროს შემდეგნაირად. მოდით იყოს იმ ღერძის მიმართული ვექტორი, რომლის გარშემოც ხდება ბრუნი, და ψ იყოს ბრუნვის კუთხის მნიშვნელობა. მერე

საგანმანათლებლო პროგრამა კვატერნიონებზე, ნაწილი 7: კუთხური სიჩქარის ინტეგრაცია, ეილერ-კრილოვის კუთხეები 2018 წლის 27 თებერვალი.

კუთხური სიჩქარის ინტეგრაცია

ასე რომ, საბოლოოდ მივედით კვატერნიონების მთავარ დანიშნულებამდე - დავალებამდე, რომელსაც ისინი ყველაზე ღირსეულად ასრულებენ და სადაც მათ ალტერნატივა არ მოელიან.

დასაწყისისთვის, ჩვენ ვურტყამთ მკვდარ ცხენს, ეილერისა და კრილოვის კუთხით, მაგრამ უნდა გვესმოდეს, რამ აიძულა ადამიანები შეესწავლათ და გამოეყენებინათ ისეთი ეზოთერული რამ, როგორიცაა კვატერნიონი (სამი წარმოსახვითი ერთეული, ოთხგანზომილებიანი სივრცე, ნახევარი კუთხეები) - არ შეიძლებოდა კურს-roll-pitch-ით გაკეთება!?

ამოცანა შემდეგია: ჩვენ ვიცით ჩვენი პროდუქტის ორიენტაცია დროის საწყის მომენტში და გვაქვს კუთხური სიჩქარის სენსორები (AVS). ეს შეიძლება იყოს გიროსკოპებზე დაფუძნებული მოძველებული მექანიკური სენსორები (ისინი არასწორად იყო მიბმული სამარცხვინო პროტონზე), ან მიკროელექტრომექანიკური (MEMS) სენსორები, ან უფრო ზუსტი ბოჭკოვანი ოპტიკა ან ლაზერები. ბოლო ორს ჯიუტად უწოდებენ გიროსკოპს და მართლაც, იქ სინათლე წრეში ტრიალებს, მაგრამ ეს სახელი მაინც არ არის მთლად სწორი.ამ სენსორების წაკითხვის გამოყენებით, ჩვენ ზუსტად უნდა მივადევნოთ თვალი, თუ რომელი ბრუნი გააკეთა პროდუქტმა, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თვალყური ადევნოთ მის ორიენტაციას.

ვიმედოვნებთ, რომ მკითხველს უკვე ესმის, რომ სენსორის თითოეული ღერძის გასწვრივ კუთხეების დამოუკიდებლად დაგროვება სრულიად არასწორი მიდგომაა. ავიღოთ მაგალითად თვითმფრინავის ბრუნვა, განხილული.

თავდაპირველად, თვითმფრინავი დაფრინავდა ნულოვანი როლით, მოედანზე და მიმართულებით. შემდეგ მან 90 გრადუსიანი შემობრუნება მოახდინა ნაპირზე, შემდეგ 90 გრადუსიანი შემობრუნება. როგორც ადრე ვნახეთ, ამ ორი შემობრუნების შემდეგ, თვითმფრინავმა ვერტიკალურად ქვევით დაიწყო ფრენა, ანუ მისი სიმაღლე გახდა -90 °-ის ტოლი, თუმცა ჩვენ არანაირი შემობრუნება არ გავაკეთეთ პირდაპირ მოედანის ღერძის გასწვრივ!

გარდა ამისა, თვითმფრინავის ეს ორიენტაცია ასახავს "ჩარჩოს დაკეცვის" ან "ჩაკიდებული საკეტის" ფენომენს. GOST 20058-80 და მსგავსი DIN 9300-ის და ISO 1151-2:1985-ის მიხედვით, როდესაც ვამბობთ, რომ თვითმფრინავს აქვს გარკვეული მიმართულება, სიმაღლე და ბორბალი, ეს ნიშნავს: შესაბამისი ორიენტაცია სივრცეში მიიღწევა, თუ დავიწყებთ ჰორიზონტალურიდან. პოზიცია ჩრდილოეთით, შემდეგ ვატრიალებთ თვითმფრინავს კურსის გასწვრივ, ამის შემდეგ - მოედანზე და, ბოლოს, როლში (იხ. სურათი). როდესაც მოედანი არის ±90° (თვითმფრინავი ვერტიკალურად მაღლა ან ვერტიკალურად ქვევით "იყურება"), მიმავალი და გადახვევა იწყებს მუშაობას იმავე გზით (სათაური 0° და ნაპირი 90° იგივე დამოკიდებულებას მისცემს, როგორც სამიზნე 90° და ნაპირი 0. °, და განუსაზღვრელი ვადით მრავალი სხვა კომბინაცია), რომელსაც ჩარჩოს დასაკეცი ეწოდება. თუ ვივარაუდებთ, რომ ამ ორიენტაციაში მიმართულება არის 90°, ხოლო ბორბალი ნულოვანია (ასე არის რეკომენდებული გაურკვევლობის აღმოფხვრა), მაშინ თვითმფრინავის თვითნებურად მცირე შემობრუნება კურსის გასწვრივ (ამ გაგებით, ფრთისკენ). , ანუ საჭესთან მუშაობისას) აიძულებს გადახტომას 0°-მდე, ნაპირზე 90°-მდე და მოედანი შემცირდება ამ უმცირესი შემობრუნებით. "Jumpy" ნიშნავს უსასრულო წარმოებულს იმ მომენტში - და ეს აშკარად არ არის კარგი ...

კიდევ ერთი მოულოდნელი დაბრკოლება: წიგნები თეორიული მექანიკის შესახებ ეხება ეილერის კუთხეებს და კრილოვის კუთხეებს. ეილერის კუთხეებს აქვთ სახელები: პრეცესია, ნუტაცია, სწორი ბრუნვა - მათ იპოვეს გზა სწრაფად მბრუნავი საგნების აღწერაში.

კრილოვის კუთხეები: yaw, trim, roll. Yaw იგივეა, რაც heading, trim არის საზღვაო ტერმინი მოედანზე. როგორც ჩანს, ჩვენთვის ნაცნობი კურსი-პიტჩ-როლი არის კრილოვის კუთხეები.

იქ არ იყო.
აი, როგორ არის განსაზღვრული კრილოვის კუთხეები:

(ებრძოდა აქ გედების, კიბოს და პიკის ფოტოშოპის ცდუნებას, რომლებიც სამი ერთმანეთის პერპენდიკულარული მიმართულებით იწევდნენ)

აქ არის ციტატა ბრანცის V.N.-ის წიგნიდან. და შმიგლევსკი ი.პ. - კვატერნიონების გამოყენება ხისტი სხეულის ორიენტაციის ამოცანებში (1973), გვ. 79:

პირველი როტაცია ხორციელდება i 3 ღერძის ირგვლივ მიმართული კუთხით φ, მეორე როტაცია ხდება i` 2 ღერძის გასწვრივ რგოლის კუთხით ψ, ხოლო მესამე - e 1 ღერძის გარშემო დახრის კუთხით ϑ.

ჩვენ შეგვიძლია შევამჩნიოთ, რომ როტაციები არ ხდება იმავე თანმიმდევრობით, როგორც ადრე. ამ გზით განსაზღვრულ კუთხეებს ასევე აქვთ არსებობის უფლება და მცირე გორგოლაჭებისა და ვარდნის გადახრებით ისინი არ განსხვავდებიან ადრე დანერგილისგან, მაგრამ უკვე სამოქალაქო ავიაციის თვითმფრინავებისთვის დამახასიათებელი კუთხით, განსხვავება შესამჩნევი იქნება.

ავიღოთ ბოლოს და ბოლოს „დეგენერაციული“ მაგალითი - თვითმფრინავი თავდაყირა აფრინდა, ხოლო იმისათვის, რომ არ ჩამოვარდნილიყო, ოდნავ აბრუნა ცხვირი. როდესაც ჩვენ აღვწერთ თვითმფრინავის პოზიციას კრილოვის კუთხით, აღმოჩნდება, რომ თვითმფრინავი დაფრინავს ნეგატიური მოედანზე, რადგან პირველი შემობრუნება ხორციელდება რულონად და მხოლოდ ამის შემდეგ - შებრუნებულ სიბრტყეზე - შემობრუნება მოედანზე. რის გამოც მან უნდა შეიცვალოს ნიშანი - ამ შემთხვევაში ცხვირი მაღლა აიწევს.

თუმცა, GOST 20058-80 "თვითმფრინავის დინამიკა ატმოსფეროში" (http://docs.cntd.ru/document/gost-20058-80) იძლევა ოდნავ განსხვავებულ განმარტებას მოედანზე:
26. დახრის კუთხე ϑ - კუთხე OX გრძივი ღერძის OX და ნორმალური კოორდინატთა სისტემის ჰორიზონტალურ სიბრტყეს OXgZg შორის.

ანუ, როცა ცხვირი ზემოთ არის მიმართული, მოედანი ყოველთვის პოზიტიური უნდა იყოს, არ აქვს მნიშვნელობა როგორ არის თვითმფრინავი ბანკში!

საკმარისად გლუვი შემობრუნებითაც კი, კუთხეების ასეთი ურთიერთდამოკიდებულება იჩენს თავს, რაც გამოიწვევს სივრცეში ობიექტის ორიენტაციის არასწორ აღქმას.

და ზოგადად, კუთხეების კინემატიკური განტოლებები არ არის ძალიან ბედნიერი. ჩვენ წარმოგიდგენთ მათ ეილერის კუთხეებისთვის და კუთხური სიჩქარისთვის, რომლებიც გაზომილია დაწყვილებულ საფუძველზე (ანუ სენსორები დგანან ობიექტზე და ბრუნავენ მასთან ერთად):

რა თქმა უნდა, ეს ფორმულები არ არის შესაფერისი GOST 20058-80-ში აღწერილი მოედანზე, სათავესა და გორგოლაჭის კუთხეებთან მუშაობისთვის - საჭიროა სხვების გამოყვანა. მოდით დავტოვოთ ეს, როგორც სავარჯიშო ყველაზე დაჟინებული მკითხველისთვის.

არსებობს გარკვეული უპირატესობები ხისტი სხეულის ორიენტაციის სამი კუთხით აღწერისთვის:
- ეს არის ყველაზე კომპაქტური, რომელიც მოითხოვს მხოლოდ 3 რიცხვს,
- ადამიანისთვის მეტ-ნაკლებად გასაგები,
- ზოგჯერ საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ კინემატიკური განტოლებების ანალიტიკური ამონახსნები - ამისთვის ეილერმა ერთხელ წარმოადგინა თავისი კუთხეები.

ყველაფერი დანარჩენი ნაკლოვანებებია: მრავალ დონის ფორმულები მრავალი ტრიგონომეტრიული ფუნქციით, სპეციალური წერტილების გამოჩენა, რომლებზეც უნდა დააყენოთ თქვენი „ყავარჯნები“ ან წინასწარ დათმოთ, თქვათ - არ მოხვიდეთ აქ, თორემ სივრცეში დავიკარგებით! ჩვენ ასევე შეგვიძლია შევამჩნიოთ, რომ ყველა კუთხე შეიძლება განუსაზღვრელი დროით გაიზარდოს, ამიტომ კარგი იდეაა, რომ თითოეული მათგანი გონივრულ საზღვრებში შევინარჩუნოთ, საჭიროებისამებრ დავამატოთ ან გამოვაკლოთ 2π. მოედანზე სულაც არ იქნება ცუდი შემოვიფარგლოთ -π .. π, რაც მოითხოვს არა მარტო მოედნის, არამედ კურსის კორექტირებას. თითქმის ნებისმიერი ნამუშევარი სამი კუთხით რთულია - ვექტორების ბრუნვა, ორი პოზიციის შედარება, ბრუნვის შედგენა და ა.შ. - ყველგან ვხვდებით ორსართულიან გამონათქვამებსა და ცალკეულ წერტილებს.

ეილერის ან კრილოვის კუთხეები (ან ნებისმიერი სხვა) არასოდეს ყოფილა გამოყენებული პრაქტიკაში დაძაბვის კონტროლის სისტემებში, მაგრამ ირიბად მონაწილეობდა გირო პლატფორმების მუშაობაში. ფაქტობრივად, გირო პლატფორმა არის სენსორი, რომელიც აბრუნებს მოწყობილობის ორიენტაციას სივრცეში დაუყოვნებლივ კუთხეების სახით და ბონუსის სახით აერთიანებს ფიქსირებულ ღერძებზე დაპროექტებულ აჩქარებებს! „მათემატიკის“ განსაკუთრებული პუნქტები აქ შეესაბამებოდა სპეციალურ წერტილებს „რკინაში“ - ჩარჩოების დაკეცვას, თუ არ გადაიდგმებოდა სპეციალური ნაბიჯები, როგორიცაა მეოთხე (ზედმეტი) ჩარჩოს შემოღება, ან თუნდაც ჩარჩოების მიტოვება. წყობილი სფეროების სასარგებლოდ.

ხისტი სხეულის ბრუნვის ორი სხვა წარმოდგენა - ბრუნვის მატრიცების და კვატერნიონების მეშვეობით - თავისუფალია სამი კუთხის მინუსებისგან. ყველა ოპერაცია გამოდის წრფივი, არ არის ცალკეული წერტილები. Გაგრძელება იქნება...

ეილერ-კრილოვის კუთხეები

სამი ეილერ-კრილოვის კუთხე და დათვლილი საათის ისრის საწინააღმდეგოდ იძლევა საშუალებას ცალსახად დააყენოთ ხისტი სხეულის კუთხის პოზიცია სივრცეში. ნახატზე ნაჩვენებია კრილოვის კუთხეების ერთ-ერთი სახეობა - ავიაციაში გამოყენებული თვითმფრინავის ე.წ.

ეილერ-კრილოვის კუთხეები

ფიქსირებული მითითების სისტემა, რომელშიც განიხილება ხისტი სხეულის (თვითმფრინავის) კუთხოვანი პოზიცია, იქმნება ვექტორების მარჯვენა სამეულით. ღერძი მიმართულია ლოკალური ვერტიკალის გასწვრივ დედამიწის ცენტრიდან, ღერძი მდებარეობს ჰორიზონტის სიბრტყეში და მიმართულია გეოგრაფიული ჩრდილოეთისაკენ (N, ჩრდილოეთი), ხოლო ღერძი ავსებს კოორდინატთა სისტემას მარჯვნივ. მოძრავ ობიექტთან - მაგალითად, თვითმფრინავთან (LA), - მოძრავი კოორდინატთა სისტემა მყარად არის დაკავშირებული. მისი ღერძი მიმართულია თვითმფრინავის კონსტრუქციული (გრძივი) ღერძის გასწვრივ, ღერძი არის ნორმალური ღერძის გასწვრივ ზენიტის მიმართულებით, ხოლო ღერძი განივი ღერძის გასწვრივ თვითმფრინავის მარჯვენა მხარის მიმართულებით. თვითმფრინავის კუთხური პოზიცია (ორიენტაცია) კოორდინატთა სისტემაში მოცემულია კურსით (), მოედანზე () და როლით (). თვითმფრინავის კუთხეების წინ მინუს ნიშნის არსებობა განპირობებულია იმით, რომ მათი დადებითი მნიშვნელობები, კლასიკური ეილერ-კრილოვის კუთხეებისგან განსხვავებით, დათვლილია საათის ისრის მიმართულებით. თვითმფრინავის საბოლოო პოზიცია განისაზღვრება შემობრუნების თანმიმდევრობით

გამოფენა MEMS ამაჩქარებლის სიგნალებზე

საწყისი კუთხოვანი კოორდინატების განსაზღვრის პროცედურას ეწოდება გამოფენა. სიმაღლისა და გორისთვის სამი ღერძიანი MEMS ამაჩქარებლის გამოყენებით, რომელიც წარმოქმნის აჩქარებებს, და ასოცირებული OXYZ მოძრავი კოორდინატთა სისტემის X, Y და Z ღერძების გასწვრივ, შესაბამისი კუთხეები შეიძლება მოიძებნოს გრავიტაციული აჩქარების ვექტორის პროგნოზებიდან g=9.81 მ. /s2 თითოეულ ღერძზე, ბრუნვის მატრიცების მათემატიკური აპარატის გამოყენებით (3.1)

წარმოადგენს მნიშვნელობებს ტრიაქსიალური აქსელერომეტრის შესაბამისი გამოსავლებიდან.

მოდით გამოვხატოთ (3.2) გრავიტაციული აჩქარების ვექტორიდან, რომლისთვისაც მარცხნივ ტოლობის ორივე მხარეს გავამრავლებთ მატრიცზე:

(3.4) სისტემის პირველი ორი განტოლებიდან ვიღებთ

MEMS აქსელერომეტრის კალიბრაცია

სამღერძიანი MEMS ამაჩქარებლების სიგნალებიდან ობიექტის კუთხური კოორდინატების დადგენის შეცდომა დიდწილად დამოკიდებულია კალიბრაციის დროს გამოთვლილი კორექტირების ფაქტორების განსაზღვრის სიზუსტეზე.

ტრიაქსიალური ამაჩქარებლის (TOA) წაკითხვის შეცდომები გამოწვეულია სამი ფაქტორით:

მუდმივი მიკერძოების არსებობა;

სიგნალის „გაჟონვა“ ერთი არხიდან მეორეზე, გამოწვეული ვექტორების სამმაგი არაკოლინარობით, რომლებიც ქმნიან ორ კოორდინატულ სისტემას: დაკავშირებულია OXYZ კალიბრაციის გრუნტთან და ასოცირებული TOA-სთან (3.4);

საკუთარი ციმციმის ხმები.

ობიექტების კოორდინატთა სისტემებისა და აქსელერომეტრის კოორდინატთა სისტემების ღერძების არაკოლინარულობა

აქედან გამომდინარეობს, რომ სამღერძიანი MEMS ამაჩქარებლის სიგნალის მათემატიკური მოდელი ასე გამოიყურება:

სად არის აქსელერომეტრის ჩვენებების ვექტორი, არის სკალირების ფაქტორების დიაგონალური მატრიცა, არის კორექტირების მატრიცა, არის გრავიტაციული აჩქარების ვექტორის პროექცია აქსელერომეტრთან დაკავშირებული კოორდინატთა სისტემის ვექტორების მარჯვენა სამების ღერძებზე, არის ვექტორი. მუდმივი გადაადგილების, არის TOA შინაგანი ხმაურის ვექტორი.

ხმაურის გათვალისწინების გარეშე, განტოლებათა სისტემა (3.6), რომელმაც შეასრულა მატრიცებისა და ვექტორების გამრავლების ოპერაციები, შეიძლება დაიწეროს როგორც:

(3.7)-დან გამომდინარეობს, რომ ერთ-ერთი ღერძისთვის კალიბრაციის პარამეტრების საპოვნელად საჭიროა გაზომვების რაოდენობა ამ ღერძის უცნობი პარამეტრების რაოდენობის ტოლი: Z ღერძისთვის - 2, Y ღერძისთვის - 3. , X-ღერძისთვის - 4.

სამღერძიანი MEMS ამაჩქარებლის დაკალიბრება გულისხმობს სენსორის დაყენებას აპრიორი ცნობილ პოზიციებზე და მისი გამომავალი სიგნალების განტოლებათა ზედმეტად განსაზღვრული სისტემის ამოხსნას. ამ პროცედურის შესრულებისას, ჩვეულებრივ, ამაჩქარებლის დაყენება 12 ფიქსირებულ პოზიციაზეა

12 კალიბრაციის პოზიციის MEMS აქსელერომეტრი

B გვიჩვენებს, რომ შეფასების შეცდომის შესამცირებლად, უნდა მოხდეს კომბინაციების რაოდენობის მიხედვით ნაპოვნი კალიბრაციის კოეფიციენტების საშუალო მაჩვენებელი. თუმცა, კალიბრაციის დროის შესამცირებლად შესაძლებელია მხოლოდ ექვსი ე.წ. ორთოგონალური პოზიციის გამოყენება: 2), 4), 6), 7), 8) და 11); ამ შემთხვევაში, კომბინაციების რაოდენობის შემცირება იწვევს შეცდომის გაზრდას მასშტაბის ფაქტორების მატრიცის ელემენტების k და გადაადგილების ვექტორის ელემენტების ელემენტების გაზომვისას არაუმეტეს 0,21% და 0,02% შესაბამისად. უნდა აღინიშნოს, რომ T კორექტირების მატრიცის ელემენტების გაზომვისას შეცდომა შეიძლება გაიზარდოს ასობით პროცენტამდე, მაგრამ რადგანაც T-ის არა დიაგონალური ელემენტები, როგორც წესი, არ აღემატება, მცირე გორგოლაჭების და დახრის კუთხით (არაუმეტეს 30°), ამ კუთხეების გაზომვის შეცდომა იზრდება არაუმეტეს 0,5°-ით.

ეილერის კუთხეები აღწერს ობიექტის ბრუნვას სამგანზომილებიან ევკლიდეს სივრცეში. ამ შემთხვევაში განიხილება ორი მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა, რომლებსაც აქვთ საერთო ცენტრი: ფიქსირებული სისტემა და მობილური, რომელიც დაკავშირებულია ობიექტთან. ნახ.1-ში ფიქსირებული კოორდინატთა სისტემა დანიშნულია XYZ (ის დახრილია), ხოლო მოძრავი კოორდინატთა სისტემა დანიშნულია xyz. ეილერის კუთხეები არის კუთხეები, რომლების მეშვეობითაც ობიექტთან დაკავშირებული მოძრავი კოორდინატთა სისტემა ბრუნავს ფიქსირებულ სისტემასთან გასწორებამდე. კლასიკურ ვერსიაში, პირველი ბრუნვა ხდება ობიექტთან დაკავშირებული z ღერძის გარშემო α კუთხით, სანამ ობიექტთან დაკავშირებული x ღერძი არ დაემთხვევა ფიქსირებული სისტემის XY სიბრტყეს. ასეთი დამთხვევა მოხდება XY და xy სიბრტყეების გადაკვეთის ხაზის გასწვრივ (ხაზი N ნახ. 1-ზე). შემდეგი როტაცია ხორციელდება β კუთხით ობიექტთან დაკავშირებული x ღერძის ახალი პოზიციის გარშემო, სანამ ორივე მართკუთხა სისტემის აპლიკაციური ღერძი არ დაემთხვევა. ამ შემთხვევაში ობიექტთან დაკავშირებული y ღერძი იქნება ფიქსირებული XYZ კოორდინატთა სისტემის xy სიბრტყეში. ბოლო ბრუნვა ხდება γ კუთხით მოძრავი კოორდინატთა სისტემის აპლიკაციური ღერძის ახალი პოზიციის გარშემო (ის დაემთხვევა ფიქსირებული სისტემის იმავე ღერძს), რის შემდეგაც XY და xy კოორდინატთა ღერძები დაემთხვევა.

ბრინჯი. 1. ეილერის კუთხეები

ასეთი ბრუნვები არაკომუტაციურია და მოძრავი კოორდინატთა სისტემის საბოლოო პოზიცია დამოკიდებულია ბრუნების შესრულების თანმიმდევრობაზე.

თუ ცნობილია ვექტორის R(r x, r y, r z) კოორდინატები მოძრავი კოორდინატთა სისტემაში XYZ და ცნობილია მოძრავი კოორდინატთა სისტემის xyz ეილერის კუთხეები (α, β, γ) ფიქსირებულთან მიმართებაში, მაშინ ის არის. შესაძლებელია ამ ვექტორის კოორდინატების გამოთვლა ფიქსირებულ კოორდინატულ სისტემაში xyz. ამისათვის ააგეთ სამი თანმიმდევრული ბრუნვის მატრიცები α, β და γ კუთხით:

ამ მატრიცების საპირისპირო თანმიმდევრობით გამრავლებით, მივიღებთ საბოლოო ორთოგონალურ მატრიცას:

თ= T 3 ×T2×T1,

რომელიც გარდაქმნის მოძრავი კოორდინატთა სისტემის ვექტორის R(r x, r y, r z) კოორდინატებს ფიქსირებულ კოორდინატთა სისტემაში იმავე სიგრძის N(n x, n y, n z) ვექტორის კოორდინატებად:

N=T×რ,

სადაც N და R არის შესაბამისი კოორდინატების სვეტის მატრიცები.

ეილერის კუთხეები ყველაზე ბუნებრივი და გასაგებია ობიექტების ბრუნვის სხვადასხვა ოპერაციების შესრულებისას, რადგან ისინი შეესაბამება ობიექტების ბრუნვას, რომელიც ჩანს 3D გრაფიკული სისტემების ხედებში. თუმცა მათი გამოყენება კომპიუტერულ ანიმაციურ სისტემებში არაერთ სირთულეს აწყდება. უპირველეს ყოვლისა, ეს არის ობიექტის ბრუნვის გარკვეული თანმიმდევრობის შერჩევა კოორდინატთა სისტემის ღერძებთან მიმართებაში. თუ თქვენ ატრიალებთ ობიექტს ჯერ X ღერძის გარშემო, შემდეგ Y ღერძის ირგვლივ და ბოლოს Z ღერძის გარშემო, მაშინ ეს საერთოდ არ იქნება იგივე ბრუნი, თუ ამ ობიექტს ერთი და იგივე კუთხით ატრიალებთ, მაგრამ განსხვავებული თანმიმდევრობით.

განვიხილოთ კიდევ ერთი მაგალითი - კუბის ანიმაციის შექმნა, როდესაც ის მსოფლიო კოორდინატთა სისტემის Z ღერძის გარშემო ბრუნავს 360°-ზე მეტი კუთხით, მაგალითად, 450° კუთხით. შევეცადოთ შევქმნათ ორი საკვანძო ჩარჩო, რომელთა შორისაც კუბი უნდა ბრუნავდეს ამ კუთხით. ამისათვის შექმენით სტანდარტული ყუთი MaxScript პროგრამაში:

ბ = ყუთი()

ამის შემდეგ გადაიტანეთ ანიმაციის დროის ხაზის სლაიდერი ჩარჩო 10-ში, ჩართეთ ავტომატური გასაღების რეჟიმი და შემდეგ გაუშვით ბრძანება:

ბ.როტაცია.z_როტაცია = 450

ითამაშეთ ანიმაცია. ობიექტი მხოლოდ 90°-ით ბრუნავს, რადგან მისი 360° ბრუნი იგნორირებული იქნება. ახლა იგივე გააკეთე 3ds Max პროგრამის ფანჯარაში. ობიექტის ანიმაცია ორ საკვანძო კადრს შორის მოხდება 450° კუთხით. ამრიგად, ეილერის ბრუნვის გამოყენება MaxScript-ის მსგავს კომპიუტერულ გრაფიკულ პროგრამებში შემოიფარგლება 360°-ზე მეტი კუთხით ერთდროული ბრუნვით. თუმცა, ეს ხელს არ შეგიშლით ხელით შექმნათ ანიმაცია ეკრანის უკან.

ეილერის კუთხეების კიდევ ერთი პრობლემა არის გიმბალის საკეტი. მისი გარეგნობა დამოკიდებულია ობიექტის ბრუნვის რიგის არჩევანზე. მაგალითად, მოდით მოვატრიალოთ ობიექტი ჯერ Z ღერძის გარშემო 140°-ით, შემდეგ X ღერძის გარშემო 90°-ით და შემდეგ 130°-ით Y ღერძის გარშემო (ნახ. 2).

ბრინჯი. 2. საგნების თანმიმდევრული ბრუნვები

თუ ახლა კვლავ შევასრულებთ ბრუნთა იგივე თანმიმდევრობას, მაგალითად, 10° Z ღერძის გარშემო, შემდეგ 90° X ღერძის გარშემო და შემდეგ 0° Y ღერძის გარშემო, მივიღებთ იგივე შედეგს. პრობლემა ის არის, რომ როდესაც X ღერძის გარშემო ბრუნი ხდება 90° ან -90°, მაშინ ადგილობრივი ბრუნვის ღერძი Y ხდება Z ღერძის პარალელურად, მაგრამ საპირისპირო მიმართულებით და, შესაბამისად, მის გარშემო ბრუნი ეწინააღმდეგება წინა ბრუნს გარშემო. Z ღერძი.

საკინძების საკეტი არ არის მატრიცებისთვის და კვატერნიონებისთვის. კვატერნიონები იძლევა მოსახერხებელ მათემატიკურ აღნიშვნას სივრცეში ობიექტების პოზიციისა და ბრუნვისთვის. ეილერის კუთხეებთან შედარებით, კვატერნიონი აადვილებს ბრუნვის გაერთიანებას, ასევე აცილებს პრობლემას ღერძის გარშემო ბრუნვის შეუძლებლობისა, მიუხედავად სხვა ღერძების ბრუნვისა. მატრიცებთან შედარებით, მათ აქვთ მეტი გამოთვლითი სტაბილურობა და შეიძლება იყოს უფრო ეფექტური. კვატერნიონები გამოიყენება ბრუნვის შესასრულებლად კომპიუტერულ გრაფიკაში, რობოტიკაში, თამაშის ძრავებში, ნავიგაციაში, მოლეკულურ დინამიკაში და ზოგადად ყველგან, სადაც პრობლემებია ეილერის კუთხეებთან ან მატრიცებთან.

ლიტერატურა

1. ეილერის კუთხეები და გიმბალის საკეტი [ელექტრონული რესურსი] / http://habrahabr.ru - Habrahabr, 2006. - წვდომის რეჟიმი: http://habrahabr.ru/post/183116/. – შესვლის თარიღი: 10.10.2013წ.
2. კვატერნიონები და სივრცის ბრუნვა [ელექტრონული რესურსი] / http://ru.wikipedia.org/ - ვიკიპედია - თავისუფალი ენციკლოპედია, 2001 წ. - წვდომის რეჟიმი: http://ru.wikipedia.org/wiki/ Quaternions_and_rotation_of_space. – დაშვების თარიღი: 10/11/2013.