განტოლებების გამოყენება ფართოდ არის გავრცელებული ჩვენს ცხოვრებაში. ისინი გამოიყენება მრავალ გამოთვლებში, სტრუქტურების მშენებლობაში და სპორტშიც კი. განტოლებებს ადამიანი უძველესი დროიდან იყენებდა და მას შემდეგ მათი გამოყენება მხოლოდ გაიზარდა. სიცხადისთვის, მოდით გადავჭრათ შემდეგი პრობლემა:

გამოთვალეთ \[ (z_1\cdot z_2)^(10),\] თუ \

უპირველეს ყოვლისა, მივაქციოთ ყურადღება, რომ ერთი რიცხვი წარმოდგენილია ალგებრული სახით, მეორე - ტრიგონომეტრიული სახით. საჭიროა მისი გამარტივება და შემდეგ ფორმამდე მიყვანა

\[ z_2 = \frac(1)(4) (\cos\frac(\pi)(6)+i\sin\frac(\pi)(6)).\]

გამოთქმა \ ამბობს, რომ უპირველეს ყოვლისა, ვაკეთებთ გამრავლებას და აწევას მე-10 ხარისხამდე Moivre ფორმულის მიხედვით. ეს ფორმულა ჩამოყალიბდა რთული რიცხვის ტრიგონომეტრიული ფორმისთვის. ჩვენ ვიღებთ:

\[\begin(vmatrix) z_1 \end(vmatrix)=\sqrt ((-1)^2+(\sqrt 3)^2)=\sqrt 4=2\]

\[\varphi_1=\pi+\arctan\frac(\sqrt 3)(-1)=\pi\arctan\sqrt 3=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2\pi)( 3)\]

რთული რიცხვების ტრიგონომეტრიული ფორმით გამრავლების წესების დაცვით, ჩვენ გავაკეთებთ შემდეგს:

ჩვენს შემთხვევაში:

\[(z_1+z_2)^(10)=(\frac(1)(2))^(10)\cdot(\cos (10\cdot\frac(5\pi)(6))+i\sin \cdot\frac(5\pi)(6))=\frac(1)(2^(10))\cdot\cos \frac(25\pi)(3)+i\sin\frac(25\ პი) (3).\]

თუ წილადი \[\frac(25)(3)=8\frac(1)(3)\] სწორია, დავასკვნით, რომ შესაძლებელია 4 ბრუნის "გადახვევა" \[(8\pi რად.):\ ]

\[ (z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi)(3 ))\]

პასუხი: \[(z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi) (3))\]

ეს განტოლება შეიძლება ამოხსნას სხვა გზით, რაც მთავრდება მე-2 რიცხვის ალგებრულ ფორმაში მოყვანაზე, შემდეგ გამრავლებაზე ალგებრული ფორმით, შედეგის ტრიგონომეტრიულ ფორმაში გადაყვანაზე და მოივრის ფორმულის გამოყენებამდე:

სად შემიძლია გადაჭრას განტოლებათა სისტემა რთული რიცხვებით ონლაინ?

განტოლებათა სისტემის ამოხსნა შეგიძლიათ ჩვენს ვებგვერდზე https: // საიტი. უფასო ონლაინ ამომხსნელი საშუალებას მოგცემთ ამოხსნათ ნებისმიერი სირთულის ონლაინ განტოლება წამებში. თქვენ უბრალოდ უნდა შეიყვანოთ თქვენი მონაცემები გამხსნელში. თქვენ ასევე შეგიძლიათ უყუროთ ვიდეო ინსტრუქციას და გაიგოთ როგორ ამოხსნათ განტოლება ჩვენს ვებგვერდზე. და თუ თქვენ გაქვთ რაიმე შეკითხვები, შეგიძლიათ დაუსვათ ისინი ჩვენს Vkontakte ჯგუფში http://vk.com/pocketteacher. შემოუერთდით ჩვენს ჯგუფს, ჩვენ ყოველთვის სიამოვნებით დაგეხმარებით.

განათლების ფედერალური სააგენტო

სახელმწიფო საგანმანათლებლო დაწესებულება

უმაღლესი პროფესიული განათლება

"ვორონეჟის სახელმწიფო პედაგოგიური უნივერსიტეტი"

აგლებრა და გეომეტრიის კათედრა

რთული რიცხვები

(არჩეული ამოცანები)

დასკვნითი საკვალიფიკაციო სამუშაოები

სპეციალობა 050201.65 მათემატიკა

(დამატებითი სპეციალობით 050202.65 ინფორმატიკა)

დაასრულა: მე-5 კურსის სტუდენტი

ფიზიკური და მათემატიკური

ფაკულტეტი

ხელმძღვანელი:

ვორონეჟი - 2008 წ

1. შესავალი………………………………………………………………………..

2. რთული რიცხვები (არჩეული ამოცანები)

2.1. რთული რიცხვები ალგებრულ ფორმაში………………………….

2.2. რთული რიცხვების გეომეტრიული ინტერპრეტაცია …………………

2.3. რთული რიცხვების ტრიგონომეტრიული ფორმა

2.4. კომპლექსური რიცხვების თეორიის გამოყენება მე-3 და მე-4 ხარისხის განტოლებათა ამოხსნაზე……………………………………………………………………………

2.5. რთული რიცხვები და პარამეტრები…………………………………………

3. დასკვნა……………………………………………………………………….

4. ცნობარების სია……………………………………………………………

1. შესავალი

სასკოლო კურსის მათემატიკის პროგრამაში რიცხვების თეორია ინერგება ნატურალური რიცხვების სიმრავლეების, მთელი რიცხვების, რაციონალური, ირაციონალური, ე.ი. რეალური რიცხვების სიმრავლეზე, რომელთა გამოსახულებები ავსებს მთელ რიცხვთა ხაზს. მაგრამ უკვე მე-8 კლასში არ არის საკმარისი რეალური რიცხვების მარაგი, კვადრატული განტოლებების ამოხსნა უარყოფითი დისკრიმინანტით. ამიტომ საჭირო იყო რეალური რიცხვების მარაგის შევსება რთული რიცხვებით, რისთვისაც აზრი აქვს უარყოფითი რიცხვის კვადრატულ ფესვს.

თემის არჩევანი „კომპლექსური რიცხვები“, როგორც ჩემი საბოლოო საკვალიფიკაციო სამუშაოს თემაა, არის ის, რომ რთული რიცხვის კონცეფცია აფართოებს მოსწავლეთა ცოდნას რიცხვითი სისტემების შესახებ, როგორც ალგებრული, ასევე გეომეტრიული შინაარსის ამოცანების ფართო კლასის ამოხსნის შესახებ. ნებისმიერი ხარისხის ალგებრული განტოლებების ამოხსნა და პარამეტრებით ამოცანების ამოხსნა.

ამ ნაშრომში განხილულია 82 ამოცანის ამოხსნა.

მთავარი განყოფილების პირველი ნაწილი "კომპლექსური რიცხვები" გთავაზობთ ამოცანების ამოხსნას რთული რიცხვებით ალგებრული ფორმით, განსაზღვრავს ოპერაციებს შეკრების, გამოკლების, გამრავლების, გაყოფის, უღლების ოპერაციებს რთული რიცხვებისთვის ალგებრულ ფორმაში, წარმოსახვითი ერთეულის ხარისხს, რთული რიცხვის მოდული და ასევე ადგენს რთული რიცხვის კვადრატული ფესვის ამოღების წესს.

მეორე ნაწილში ამოხსნილია რთული რიცხვების გეომეტრიული ინტერპრეტაციისთვის რთული სიბრტყის წერტილების ან ვექტორების სახით.

მესამე ნაწილი ეხება ტრიგონომეტრიული ფორმით კომპლექსურ რიცხვებზე მოქმედებებს. გამოიყენება ფორმულები: De Moivre და ფესვის ამოღება რთული რიცხვიდან.

მეოთხე ნაწილი ეთმობა მე-3 და მე-4 ხარისხის განტოლებების ამოხსნას.

ბოლო ნაწილის „კომპლექსური რიცხვები და პარამეტრები“ ამოცანების ამოხსნისას გამოიყენება და კონსოლიდირებულია წინა ნაწილებში მოცემული ინფორმაცია. ამ თავში ამოცანების სერია ეძღვნება პარამეტრის მქონე განტოლებით (უტოლობა) წრფეთა ოჯახების განსაზღვრას კომპლექსურ სიბრტყეში. სავარჯიშოების ნაწილში თქვენ უნდა ამოხსნათ განტოლებები პარამეტრით (C ველზე). არის ამოცანები, სადაც რთული ცვლადი ერთდროულად აკმაყოფილებს უამრავ პირობას. ამ განყოფილების ამოცანების ამოხსნის თავისებურებაა მრავალი მათგანის შემცირება მეორე ხარისხის, ირაციონალური, ტრიგონომეტრიული განტოლებების (უტოლობა, სისტემები) ამოხსნამდე პარამეტრით.

თითოეული ნაწილის მასალის პრეზენტაციის თავისებურებაა თეორიული საფუძვლების თავდაპირველი გაცნობა და შემდგომში მათი პრაქტიკული გამოყენება პრობლემების გადაჭრაში.

ნაშრომის ბოლოს მოცემულია გამოყენებული ლიტერატურის სია. მათ უმეტესობაში თეორიული მასალა წარმოდგენილია საკმარისად დეტალურად და ხელმისაწვდომად, განხილულია ზოგიერთი პრობლემის გადაწყვეტა და მოცემულია პრაქტიკული ამოცანები დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის. განსაკუთრებული ყურადღება მინდა მივაქციო ისეთ წყაროებს, როგორიცაა:

1. გორდიენკო N.A., Belyaeva E.S., Firstov V.E., Serebryakova I.V. რთული რიცხვები და მათი გამოყენება: სახელმძღვანელო. . სახელმძღვანელოს მასალა წარმოდგენილია ლექციებისა და პრაქტიკული სავარჯიშოების სახით.

2. შკლიარსკი დ.ო., ჩენცოვი ნ.ნ., იაგლომ ი.მ. ელემენტარული მათემატიკის რჩეული ამოცანები და თეორემები. არითმეტიკა და ალგებრა. წიგნი შეიცავს 320 ამოცანას, რომლებიც დაკავშირებულია ალგებრასთან, არითმეტიკასთან და რიცხვთა თეორიასთან. მათი ბუნებით, ეს ამოცანები მნიშვნელოვნად განსხვავდება სტანდარტული სასკოლო დავალებებისგან.

2. რთული რიცხვები (არჩეული ამოცანები)

2.1. რთული რიცხვები ალგებრული ფორმით

მათემატიკასა და ფიზიკაში მრავალი ამოცანის ამოხსნა მცირდება ალგებრული განტოლებების ამოხსნით, ე.ი. ფორმის განტოლებები

,

სადაც a0, a1,…, an არის რეალური რიცხვები. ამიტომ, ალგებრული განტოლებების შესწავლა მათემატიკაში ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი საკითხია. მაგალითად, კვადრატულ განტოლებას უარყოფითი დისკრიმინანტით არ აქვს რეალური ფესვები. უმარტივესი ასეთი განტოლება არის განტოლება

.

იმისათვის, რომ ამ განტოლებას ამონახსნილი ჰქონდეს, აუცილებელია რეალური რიცხვების სიმრავლის გაფართოება განტოლების ფესვის დამატებით.

.

ავღნიშნოთ ეს ფესვი როგორც

. ამრიგად, განსაზღვრებით, ან,

აქედან გამომდინარე,

. წარმოსახვითი ერთეული ეწოდება. მისი დახმარებით და რეალური რიცხვების წყვილის დახმარებით ყალიბდება ფორმის გამოხატულება.

შედეგად გამოსახულებას ეწოდა რთული რიცხვები, რადგან ისინი შეიცავდნენ როგორც რეალურ, ასევე წარმოსახვით ნაწილებს.

ასე რომ, კომპლექსურ რიცხვებს ფორმის გამონათქვამები ეწოდება

, და არის რეალური რიცხვები და არის რაღაც სიმბოლო, რომელიც აკმაყოფილებს პირობას. რიცხვს უწოდებენ რთული რიცხვის ნამდვილ ნაწილს, ხოლო რიცხვს - მის წარმოსახვით ნაწილს. სიმბოლოები გამოიყენება მათ აღსანიშნავად.

ფორმის რთული რიცხვები

არის რეალური რიცხვები და, შესაბამისად, რთული რიცხვების სიმრავლე შეიცავს ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლეს.

ფორმის რთული რიცხვები

ეწოდება წმინდა წარმოსახვითი. ფორმის ორი რთული რიცხვი და ტოლი ეწოდება, თუ მათი რეალური და წარმოსახვითი ნაწილები ტოლია, ე.ი. თუ თანასწორობა , .

რთული რიცხვების ალგებრული აღნიშვნა შესაძლებელს ხდის მათზე მოქმედებების შესრულებას ალგებრის ჩვეულებრივი წესების მიხედვით.

რთული რიცხვებით ამოცანების გადასაჭრელად, თქვენ უნდა გესმოდეთ ძირითადი განმარტებები. ამ მიმოხილვის სტატიის მთავარი ამოცანაა ახსნას რა არის რთული რიცხვები და წარმოადგინოს რთული რიცხვებით ძირითადი ამოცანების ამოხსნის მეთოდები. ამრიგად, რთული რიცხვი არის ფორმის რიცხვი z = a + bi, სად ა, ბ- რეალური რიცხვები, რომლებსაც კომპლექსური რიცხვის ნამდვილ და წარმოსახვით ნაწილებს უწოდებენ და აღნიშნავენ a = Re(z), b=Im(z).
მეწარმოსახვითი ერთეული ეწოდება. i 2 \u003d -1. კერძოდ, ნებისმიერი რეალური რიცხვი შეიძლება ჩაითვალოს კომპლექსურად: a = a + 0i, სადაც a არის რეალური. თუ a = 0და b ≠ 0, მაშინ რიცხვს ეწოდება წმინდა წარმოსახვითი.

ახლა ჩვენ წარმოგიდგენთ ოპერაციებს კომპლექსურ რიცხვებზე.
განვიხილოთ ორი რთული რიცხვი z 1 = a 1 + b 1 iდა z 2 = a 2 + b 2 i.

განიხილეთ z = a + bi.

რთული რიცხვების სიმრავლე აგრძელებს ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლეს, რაც თავის მხრივ აფართოებს რაციონალურ რიცხვთა სიმრავლეს და ა.შ. ჩადგმების ეს ჯაჭვი ჩანს ფიგურაში: N - ნატურალური რიცხვები, Z - მთელი რიცხვები, Q - რაციონალური, R - რეალური, C - რთული.

რთული რიცხვების წარმოდგენა

ალგებრული აღნიშვნა.

განვიხილოთ რთული რიცხვი z = a + biკომპლექსური რიცხვის ჩაწერის ამ ფორმას ეწოდება ალგებრული. წინა ნაწილში უკვე დეტალურად განვიხილეთ წერის ეს ფორმა. ხშირად გამოიყენეთ შემდეგი საილუსტრაციო ნახაზი

ტრიგონომეტრიული ფორმა.

ნახატიდან ჩანს, რომ რიცხვი z = a + biშეიძლება სხვანაირად დაიწეროს. აშკარაა რომ a = rcos (φ), b = rsin (φ), r=|z|, აქედან გამომდინარე z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π) რთული რიცხვის არგუმენტი ეწოდება. რთული რიცხვის ეს წარმოდგენა ეწოდება ტრიგონომეტრიული ფორმა. აღნიშვნის ტრიგონომეტრიული ფორმა ზოგჯერ ძალიან მოსახერხებელია. მაგალითად, მოსახერხებელია მისი გამოყენება კომპლექსური რიცხვის მთელ ხარისხზე ასაყვანად, კერძოდ, თუ z = rcos(φ) + rsin(φ)i, მაშინ z n = r n cos(nφ) + r n sin(nφ)i, ამ ფორმულას ე.წ დე მოივრის ფორმულა.

საჩვენებელი ფორმა.

განიხილეთ z = rcos(φ) + rsin(φ)iარის რთული რიცხვი ტრიგონომეტრიული ფორმით, ჩვენ მას სხვა ფორმით ვწერთ z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = re iφბოლო ტოლობა გამომდინარეობს ეილერის ფორმულიდან, ამიტომ მივიღეთ რთული რიცხვის ჩაწერის ახალი ფორმა: z = re iφ, რომელსაც ქვია დემონსტრაციული. აღნიშვნის ეს ფორმა ასევე ძალიან მოსახერხებელია რთული რიცხვის ხარისხზე ასაყვანად: z n = r n e inφ, აქ ნარ არის აუცილებელი მთელი რიცხვი, მაგრამ შეიძლება იყოს თვითნებური რეალური რიცხვი. წერის ეს ფორმა საკმაოდ ხშირად გამოიყენება პრობლემების გადასაჭრელად.

უმაღლესი ალგებრის ფუნდამენტური თეორემა

წარმოიდგინეთ, რომ გვაქვს კვადრატული განტოლება x 2 + x + 1 = 0. აშკარაა, რომ ამ განტოლების დისკრიმინანტი უარყოფითია და მას არ აქვს რეალური ფესვები, მაგრამ გამოდის, რომ ამ განტოლებას ორი განსხვავებული რთული ფესვი აქვს. ასე რომ, უმაღლესი ალგებრის მთავარი თეორემა ამბობს, რომ n ხარისხის ნებისმიერ პოლინომს აქვს მინიმუმ ერთი რთული ფესვი. აქედან გამომდინარეობს, რომ n ხარისხის ნებისმიერ მრავალწევრს აქვს ზუსტად n რთული ფესვი, მათი სიმრავლის გათვალისწინებით. ეს თეორემა ძალიან მნიშვნელოვანი შედეგია მათემატიკაში და ფართოდ გამოიყენება. ამ თეორემის მარტივი დასკვნა არის ის, რომ არსებობს ზუსტად n განსხვავებული ერთიანობის n-ხარისხიანი ფესვები.

დავალებების ძირითადი ტიპები

ამ განყოფილებაში განიხილება მარტივი რთული რიცხვების ამოცანების ძირითადი ტიპები. პირობითად, რთული რიცხვების პრობლემები შეიძლება დაიყოს შემდეგ კატეგორიებად.

• მარტივი არითმეტიკული მოქმედებების შესრულება კომპლექსურ რიცხვებზე.
• მრავალწევრების ფესვების პოვნა კომპლექსურ რიცხვებში.
• კომპლექსური რიცხვების ხარისხზე აყვანა.
• ფესვების ამოღება რთული რიცხვებიდან.
• რთული რიცხვების გამოყენება სხვა ამოცანების გადასაჭრელად.

ახლა განიხილეთ ამ პრობლემების გადაჭრის ზოგადი მეთოდები.

უმარტივესი არითმეტიკული მოქმედებები რთული რიცხვებით შესრულებულია პირველ ნაწილში აღწერილი წესების მიხედვით, მაგრამ თუ რთული რიცხვები წარმოდგენილია ტრიგონომეტრიული ან ექსპონენციალური ფორმებით, მაშინ ამ შემთხვევაში ისინი შეიძლება გარდაიქმნას ალგებრულ ფორმაში და შეასრულონ მოქმედებები ცნობილი წესების მიხედვით.

მრავალწევრების ფესვების პოვნა, როგორც წესი, მოდის კვადრატული განტოლების ფესვების პოვნამდე. დავუშვათ, გვაქვს კვადრატული განტოლება, თუ მისი დისკრიმინანტი არაუარყოფითია, მაშინ მისი ფესვები რეალური იქნება და ნაპოვნია ცნობილი ფორმულის მიხედვით. თუ დისკრიმინანტი უარყოფითია, მაშინ D = -1∙a 2, სად აარის გარკვეული რიცხვი, მაშინ ჩვენ შეგვიძლია წარმოვადგინოთ დისკრიმინანტი ფორმაში D = (ია) 2, აქედან გამომდინარე √D = i|a|, და შემდეგ შეგიძლიათ გამოიყენოთ უკვე ცნობილი ფორმულა კვადრატული განტოლების ფესვებისთვის.

მაგალითი. დავუბრუნდეთ ზემოთ ნახსენებ კვადრატულ განტოლებას x 2 + x + 1 = 0.
დისკრიმინანტი - D \u003d 1 - 4 ∙ 1 \u003d -3 \u003d -1 (√3) 2 \u003d (i√3) 2.
ახლა ჩვენ შეგვიძლია ადვილად ვიპოვოთ ფესვები:

კომპლექსური რიცხვების ხარისხამდე აყვანა შეიძლება რამდენიმე გზით მოხდეს. თუ გსურთ კომპლექსური რიცხვის ალგებრული ფორმით აყვანა მცირე ხარისხზე (2 ან 3), მაშინ ამის გაკეთება შეგიძლიათ პირდაპირი გამრავლებით, მაგრამ თუ ხარისხი უფრო დიდია (პრობლემებში ის ხშირად გაცილებით დიდია), მაშინ საჭიროა ჩაწერეთ ეს რიცხვი ტრიგონომეტრიული ან ექსპონენციალური ფორმებით და გამოიყენეთ უკვე ცნობილი მეთოდები.

მაგალითი. განვიხილოთ z = 1 + i და აწიეთ მეათე ხარისხამდე.
ჩვენ ვწერთ z ექსპონენციალური ფორმით: z = √2 e iπ/4 .
მერე z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4.
დავუბრუნდეთ ალგებრულ ფორმას: z 10 = -32i.

კომპლექსური რიცხვებიდან ფესვების ამოღება არის შებრუნებული ოპერაცია სიმძლავრის მიმართ, ამიტომ იგი კეთდება ანალოგიურად. ფესვების ამოსაღებად ხშირად გამოიყენება რიცხვის ჩაწერის ექსპონენციალური ფორმა.

მაგალითი. იპოვეთ ერთიანობის მე-3 ხარისხის ყველა ფესვი. ამისათვის ჩვენ ვპოულობთ განტოლების ყველა ფესვს z 3 = 1, ჩვენ ვეძებთ ფესვებს ექსპონენციალური ფორმით.
ჩაანაცვლეთ განტოლებაში: r 3 e 3iφ = 1 ან r 3 e 3iφ = e 0 .
აქედან გამომდინარე: r = 1, 3φ = 0 + 2πk, შესაბამისად φ = 2πk/3.
სხვადასხვა ფესვები მიიღება φ = 0, 2π/3, 4π/3.
აქედან გამომდინარე, 1, e i2π/3, e i4π/3 არის ფესვები.
ან ალგებრული ფორმით:

ბოლო ტიპის პრობლემები მოიცავს პრობლემების უზარმაზარ მრავალფეროვნებას და არ არსებობს მათი გადაჭრის ზოგადი მეთოდები. აქ არის ასეთი დავალების მარტივი მაგალითი:

იპოვეთ თანხა sin(x) + sin(2x) + sin(2x) + … + sin(nx).

მართალია ამ პრობლემის ფორმულირება არ ეხება კომპლექსურ რიცხვებს, მაგრამ მათი დახმარებით მისი მარტივად გადაჭრა შესაძლებელია. მის გადასაჭრელად გამოიყენება შემდეგი წარმოდგენები:


თუ ჩვენ ახლა შევცვლით ამ წარმოდგენას ჯამით, მაშინ პრობლემა დაიყვანება ჩვეულებრივი გეომეტრიული პროგრესიის ჯამამდე.

დასკვნა

რთული რიცხვები ფართოდ გამოიყენება მათემატიკაში, ამ მიმოხილვის სტატიაში განხილულია ძირითადი მოქმედებები კომპლექსურ რიცხვებზე, აღწერილია რამდენიმე ტიპის სტანდარტული ამოცანები და მოკლედ აღწერილია მათი გადაჭრის ზოგადი მეთოდები, რთული რიცხვების შესაძლებლობების უფრო დეტალური შესწავლისთვის რეკომენდებულია გამოიყენეთ სპეციალიზებული ლიტერატურა.

ლიტერატურა