გეომეტრიული ამოცანების გადაჭრის კოორდინატთა მეთოდის არსი

კოორდინატთა მეთოდის გამოყენებით პრობლემების გადაჭრის არსი არის ამა თუ იმ შემთხვევაში ჩვენთვის მოსახერხებელი კოორდინატთა სისტემის შემოღება და მისი გამოყენებით ყველა მონაცემის გადაწერა. ამის შემდეგ, ყველა უცნობი რაოდენობა ან მტკიცებულება ინახება ამ სისტემის გამოყენებით. როგორ შევიტანოთ წერტილების კოორდინატები ნებისმიერ კოორდინატულ სისტემაში, ჩვენ განვიხილეთ სხვა სტატიაში - ამაზე აქ არ ვისაუბრებთ.

წარმოგიდგენთ ძირითად მტკიცებულებებს, რომლებიც გამოიყენება კოორდინატთა მეთოდში.

განცხადება 1:ვექტორული კოორდინატები განისაზღვრება ამ ვექტორის დასასრულისა და მისი დასაწყისის შესაბამის კოორდინატებს შორის სხვაობით.

განცხადება 2:სეგმენტის შუა წერტილის კოორდინატები განისაზღვრება, როგორც მისი საზღვრების შესაბამისი კოორდინატების ჯამის ნახევარი.

განცხადება 3:ნებისმიერი ვექტორის სიგრძე $\overline(δ)$ მოცემული კოორდინატებით $(δ_1,δ_2,δ_3)$ განისაზღვრება ფორმულით

$|\overline(δ)|=\sqrt(δ_1^2+δ_2^2+δ_3^2)$

განცხადება 4:$(δ_1,δ_2,δ_3)$ და $(β_1,β_2,β_3)$ კოორდინატებით მოცემულ ნებისმიერ ორ წერტილს შორის მანძილი განისაზღვრება ფორმულით.

$d=\sqrt((δ_1-β_1)^2+(δ_2-β_2)^2+(δ_3-β_3)^2)$

კოორდინატთა მეთოდით გეომეტრიული ამოცანების ამოხსნის სქემა

კოორდინატთა მეთოდის გამოყენებით გეომეტრიული ამოცანების გადასაჭრელად, უმჯობესია გამოიყენოთ ეს სქემა:

გაანალიზეთ რა არის მოცემული პრობლემაში:

• დააყენეთ დავალების ყველაზე შესაფერისი კოორდინატთა სისტემა;
• მათემატიკურად იწერება ამოცანის მდგომარეობა, ამოცანის კითხვა, ამ ამოცანისთვის აგებულია ნახატი.

1. ჩაწერეთ ამოცანის ყველა მონაცემი შერჩეული კოორდინატთა სისტემის კოორდინატებში.

2. შეადგინეთ საჭირო მიმართებები პრობლემის მდგომარეობიდან და ასევე დააკავშირეთ ეს ურთიერთობები იმასთან, რაც უნდა მოიძებნოს (პრობლემაში დადასტურებული).
3. მიღებული შედეგი ითარგმნება გეომეტრიის ენაზე.

კოორდინატთა მეთოდით ამოხსნილი ამოცანების მაგალითები

შემდეგი ამოცანები შეიძლება გამოიყოს, როგორც ძირითადი ამოცანები, რომლებიც მიდიან კოორდინატულ მეთოდამდე (მათი გადაწყვეტილებები აქ არ იქნება მოცემული):

1. ამოცანები ვექტორის კოორდინატების მოსაძებნად მის დასასრულსა და დასაწყისში.
2. ამოცანები, რომლებიც დაკავშირებულია სეგმენტის დაყოფასთან რაიმე მხრივ.
3. დაამტკიცოს, რომ სამი წერტილი დევს იმავე წრფეზე ან რომ ოთხი წერტილი დევს იმავე სიბრტყეზე.
4. ამოცანები იპოვონ მანძილი ორ მოცემულ წერტილს შორის.
5. გეომეტრიული ფორმების მოცულობებისა და ფართობის პოვნის ამოცანები.

პირველი და მეოთხე ამოცანების ამოხსნის შედეგები ჩვენ მიერ წარმოდგენილია როგორც ზემოთ მოყვანილი მთავარი დებულებები და საკმაოდ ხშირად გამოიყენება სხვა ამოცანების გადასაჭრელად კოორდინატთა მეთოდით.

კოორდინატთა მეთოდის გამოყენების ამოცანების მაგალითები

მაგალითი 1

იპოვეთ ჩვეულებრივი პირამიდის გვერდი, რომლის სიმაღლეა $3$ სმ, თუ ფუძის მხარე არის $4$ სმ.

მოდით მივცეთ ჩვეულებრივი პირამიდა $ABCDS$, რომლის სიმაღლეა $SO$. მოდით შემოვიტანოთ კოორდინატთა სისტემა, როგორც სურათზე 1.

ვინაიდან წერტილი $A$ არის ჩვენ მიერ აშენებული კოორდინატთა სისტემის ცენტრი

ვინაიდან წერტილები $B$ და $D$ ეკუთვნის ღერძებს $Ox$ და $Oy$, შესაბამისად, მაშინ

$B=(4,0,0)$, $D=(0,4,0)$

ვინაიდან წერტილი $C$ ეკუთვნის თვითმფრინავს $Oxy$, მაშინ

ვინაიდან პირამიდა რეგულარულია, მაშინ $O$ არის $$ სეგმენტის შუა წერტილი. მე-2 განცხადების მიხედვით, ჩვენ ვიღებთ:

$O=(\frac(0+4)(2),\frac(0+4)(2),\frac(0+0)(2))=(2,2,0)$

მას შემდეგ, რაც სიმაღლე $SO$

გაკვეთილის ტესტი გეომეტრიაში მე-11 კლასში

თემა: "კოორდინატების მეთოდი სივრცეში“.

სამიზნე: შეამოწმეთ სტუდენტების თეორიული ცოდნა, მათი უნარ-ჩვევები და შესაძლებლობები ამ ცოდნის გამოყენებისას ამოცანების ვექტორული, ვექტორულ-კოორდინატული გზებით გადაჭრისას.

Დავალებები:

1 .ცოდნისა და უნარების ათვისების კონტროლის (თვითკონტროლი, ურთიერთკონტროლი) პირობების შექმნა.

2. განავითარეთ მათემატიკური აზროვნება, მეტყველება, ყურადღება.

3. ხელი შეუწყოს მოსწავლეთა აქტივობას, მობილურობას, კომუნიკაციის უნარს, ზოგად კულტურას.

ჩატარების ფორმა: ჯგუფებში მუშაობა.

აღჭურვილობა და ინფორმაციის წყაროები: ეკრანი, მულტიმედიური პროექტორი, ცხრილები, საკრედიტო ბარათები, ტესტები.

გაკვეთილების დროს

1. მობილიზების მომენტი.

გაკვეთილი CSR გამოყენებით; სტუდენტები იყოფა 3 დინამიურ ჯგუფად, რომლებშიც მისაღები, ოპტიმალური და მოწინავე დონის სტუდენტები. თითოეულ ჯგუფს ჰყავს კოორდინატორი, რომელიც მართავს მთელი ჯგუფის მუშაობას.

2 . მოსწავლეთა თვითგამორკვევა მოლოდინის საფუძველზე.

ამოცანა:მიზნების დასახვა სქემის მიხედვით: დაიმახსოვრე-ისწავლე-შეიძლება.

შესასვლელი ტესტი - შეავსეთ ცარიელი ადგილები (ანაბეჭდებზე)

შესასვლელი ტესტი

შეავსეთ ხარვეზები…

1. სამი წყვილი პერპენდიკულური ხაზი გაყვანილია სივრცეში წერტილის მეშვეობით

ჩვენ, თითოეულ მათგანზე, არჩეულია სეგმენტების მიმართულება და გაზომვის ერთეული,

შემდეგ ამბობენ, რომ დაყენებულია …………. კოსმოსში.

2. სწორ ხაზებს მათზე არჩეული მიმართულებებით ეწოდება ……………..,

და მათი საერთო წერტილია …………. .

3. მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში, სივრცის ყოველი წერტილი M ასოცირდება რიცხვების სამმაგთან, რომლებიც მას უწოდებენ …………………..

4. სივრცეში წერტილის კოორდინატები ეწოდება ………………..

5. ვექტორს, რომლის სიგრძე ერთის ტოლია, ეწოდება …………..

6. ვექტორები მეწკუწოდებენ………….

7. შანსები xწზდაშლაში ა= xმე + წჯ + ზკდაურეკა

……………ვექტორი ა .

8. ორი ან მეტი ვექტორის ჯამის თითოეული კოორდინატი უდრის ……………..

9. ორი ვექტორის სხვაობის თითოეული კოორდინატი უდრის ……………….

10. ვექტორისა და რიცხვის ნამრავლის თითოეული კოორდინატი უდრის………………..

11.ვექტორის თითოეული კოორდინატი უდრის …………….

12. სეგმენტის შუა ნაწილის თითოეული კოორდინატი უდრის……………….

13. ვექტორის სიგრძე ა { xწზ) გამოითვლება ფორმულით …………………………

14. მანძილი პუნქტებს შორის M 1(x 1 ; წ 1; ზ 1) და მ 2 (x 2; წ 2 ; ზ2) გამოითვლება ფორმულით ………………………

15. ორი ვექტორის სკალარული ნამრავლი ეწოდება……………..

16. არანულოვანი ვექტორების სკალარული ნამრავლი ტოლია ნულის………………..

17. ვექტორთა წერტილოვანი ნამრავლია{ x 1; წ 1; ზ 1} ბ { x 2 ; წ 2 ; ზ 2) in გამოხატული ფორმულით ………………………

შესასვლელი ტესტის ურთიერთდამოწმება. პასუხები ტესტის ამოცანებს ეკრანზე.

შეფასების კრიტერიუმები:

1-2 შეცდომა - "5"

3-4 შეცდომა - "4"

5-6 შეცდომა - "3"

სხვა შემთხვევებში - "2"

3. სამუშაოს კეთება. (ბარათებისთვის).

თითოეული ბარათი შეიცავს ორ ამოცანას: No1 - თეორიული მტკიცებულებით, No2 მოიცავს დავალებებს.

ახსენით ნამუშევარში შემავალი ამოცანების სირთულის დონე. ჯგუფი ასრულებს ერთ დავალებას, მაგრამ შედგება 2 ნაწილისგან. ჯგუფის კოორდინატორი მართავს მთელი ჯგუფის მუშაობას. ერთი და იგივე ინფორმაციის რამდენიმე პარტნიორთან განხილვა ზრდის პასუხისმგებლობას არა მხოლოდ საკუთარ წარმატებაზე, არამედ კოლექტიური მუშაობის შედეგებზეც, რაც დადებითად მოქმედებს გუნდში არსებულ მიკროკლიმატზე.

ბარათი #1

1. გამოიღეთ ფორმულები, რომლებიც გამოხატავენ სეგმენტის შუა ნაწილის კოორდინატებს მისი ბოლოების კოორდინატებით.

2. დავალება: 1) მოცემულია A (-3; 1; 2) და B (1; -1; 2) ქულები.

იპოვე:

ა) AB სეგმენტის შუა წერტილის კოორდინატები

ბ) AB ვექტორის კოორდინატები და სიგრძე

2) მოცემულია კუბი ABCDA1 B1 C1 D1. კოორდინატთა მეთოდის გამოყენებით იპოვეთ კუთხე

AB1 და A1 D ხაზებს შორის.

ბარათი #2

გამოიტანეთ ვექტორის სიგრძის გამოსათვლელი ფორმულა მისი კოორდინატებიდან.

ამოცანა: 1) მოცემული ქულები M(-4; 7; 0),ნ(0; -1; 2). იპოვეთ მანძილი კოორდინატების საწყისიდან M სეგმენტის შუამდენ.

→ → → → →

2) ვექტორული მონაცემები ადა ბ. იპოვე ბ(ა+ბ),თუ a(-2;3;6),b=6i-8k

ბარათი #3

გამოიტანეთ ფორმულა მოცემული კოორდინატებით წერტილებს შორის მანძილის გამოსათვლელად.

დავალება: 1) მოცემულია ქულები A(2;1;-8), B(1;-5;0), C(8;1;-4).

დაამტკიცეთ, რომ ∆ABC ტოლფერდაა და იპოვეთ გვერდების შუა წერტილების დამაკავშირებელი სამკუთხედის შუა ხაზის სიგრძე.

2) გამოთვალეთ კუთხე AB და SD წრფეებს შორის, თუ A(1;1;0),

B(3;-1;2), D(0;1;0).

ბარათი #4

გამოიტანეთ ფორმულები კუთხის კოსინუსისთვის არანულოვან ვექტორებს შორის მოცემული კოორდინატებით.

ამოცანა: 1) მოცემულია ABCD პარალელოგრამის სამი წვერის კოორდინატები:

A(-6;-;4;0), B(6;-6;2), C(10;0;4). იპოვეთ D წერტილის კოორდინატები.

2) იპოვეთ კუთხე AB და CD წრფეებს შორის, თუ A (1; 1; 2), B (0; 1; 1), C (2; -2; 2), D (2; -3; 1) .

ბარათი #5

გვითხარით, როგორ გამოვთვალოთ კუთხე ორ წრფეს შორის სივრცეში ამ ხაზების მიმართულების ვექტორების გამოყენებით. →→

ამოცანა: 1) იპოვეთ ვექტორების სკალარული ნამრავლიადა ბ, თუ:

→ → → ^ →

ა) | ა| =4; | ბ| =√3 (აბ)=30◦

ბ) ა {2 ;-3; 1}, ბ = 3 მე +2 კ

2) მოცემულია ქულები A(0;4;0), B(2;0;0), C(4;0;4) და D(2;4;4). დაამტკიცეთ, რომ ABCD არის რომბი.

4. დინამიური ჯგუფების მუშაობის შემოწმება ბარათებზე.

ვუსმენთ ჯგუფების წარმომადგენლების გამოსვლებს. ჯგუფების მუშაობას აფასებს მასწავლებელი მოსწავლეების მონაწილეობით.

5. რეფლექსია. ქულები კრედიტისთვის.

დასკვნითი ტესტი პასუხების არჩევით (ანაბეჭდებში).

1) მოცემულია ვექტორები ა {2 ;-4 ;3} ბ(-3; ─ ; 1). იპოვნეთ ვექტორული კოორდინატები

→ 2

გ = ა+ ბ

ა) (-5; 3 −; 4); ბ) (-1; -3.5; 4) გ) (5; -4 −; 2) დ) (-1; 3.5; -4)

2) მოცემულია ვექტორები ა(4; -3; 5) და ბ(-3; 1; 2). იპოვნეთ ვექტორული კოორდინატები

C=2 ა – 3 ბ

ა) (7;-2;3); ბ) (11; -7; 8); გ) (17; -9; 4); დ) (-1; -3; 4).

→ → → → → →

3) ვექტორების სკალარული ნამრავლის გამოთვლამდა ნ, თუ მ = ა + 2 ბ- გ

→ → → → →^ → → → → →

ნ= 2 ა - ბთუ | ა|=2 , ‌| ბ |=3, (აბ‌)=60°, გ ┴ ა , გ ┴ ბ.

ა)-1; ბ) -27; 1-ში; დ) 35.

4) ვექტორის სიგრძე ა { xწზ) უდრის 5. იპოვეთ a ვექტორის კოორდინატებიx=2, ზ=-√5

ა) 16; ბ) 4 ან -4; 9 საათზე; დ) 3 ან -3.

5) იპოვეთ ∆ABC ფართობი, თუ A(1;-1;3); B(3;-1;1) და C(-1;1;-3).

ა) 4√3; ბ) √3; გ) 2√3; დ) √8.

ჯვარედინი დადასტურების ტესტი. საპასუხო კოდები ეკრანზე სატესტო ამოცანებზე: 1(ბ); 2(c);

3 (ა); 4(ბ); 5 (c).

შეფასების კრიტერიუმები:

ყველაფერი სწორია - "5"

1 შეცდომა - "4"

2 შეცდომა - "3"

სხვა შემთხვევებში - "2"

მოსწავლის ცოდნის ცხრილი

Მუშაობა

ბარათები

საბოლოო

ტესტი

საკრედიტო ქულა

Დავალებები

თეორია

პრაქტიკა

1 ჯგუფი

2 ჯგუფი

3 ჯგუფი

მოსწავლეთა გამოცდისთვის მომზადების შეფასება.

პრეზენტაციების წინასწარი გადახედვის გამოსაყენებლად შექმენით Google ანგარიში (ანგარიში) და შედით: https://accounts.google.com

სლაიდების წარწერები:

მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა სივრცეში. ვექტორული კოორდინატები.

მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა

თუ სამი წყვილი პერპენდიკულარული ხაზი გაივლება სივრცის წერტილში, თითოეულ მათგანზე არჩეულია მიმართულება და არჩეულია სეგმენტების საზომი ერთეული, მაშინ ამბობენ, რომ მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა დაყენებულია სივრცეში.

სწორ ხაზებს, მათზე არჩეული მიმართულებებით, კოორდინატთა ღერძები ეწოდება, მათ საერთო წერტილს კი კოორდინატების წარმოშობა. იგი ჩვეულებრივ აღინიშნება ასო O. კოორდინატთა ღერძები აღინიშნება შემდეგნაირად: Ox, Oy, O z - და აქვს სახელები: აბსცისის ღერძი, y-ღერძი, აპლიკაციური ღერძი.

მთელი კოორდინატთა სისტემა აღინიშნება Oxy z. სიბრტყეებს, რომლებიც გადიან კოორდინატთა ღერძებზე Ox და Oy, Oy და O z , O z და Ox, შესაბამისად, კოორდინატულ სიბრტყეებს უწოდებენ და აღინიშნება Oxy, Oy z, O z x.

წერტილი O ყოფს თითოეულ კოორდინატთა ღერძს ორ სხივად. სხივს, რომლის მიმართულება ემთხვევა ღერძის მიმართულებას, ეწოდება დადებითი ნახევარღერძი, ხოლო მეორე სხივი არის უარყოფითი ნახევარღერძი.

მართკუთხა კოორდინატთა სისტემაში სივრცის ყოველი წერტილი M ასოცირდება რიცხვთა სამმაგთან, რომელსაც მის კოორდინატებს უწოდებენ.

ფიგურაში ნაჩვენებია ექვსი წერტილი A (9; 5; 10), B (4; -3; 6), C (9; 0; 0), D (4; 0; 5), E (0; 3; 0) , F(0; 0; -3).

ვექტორული კოორდინატები

ნებისმიერი ვექტორი შეიძლება დაიშალოს კოორდინატ ვექტორებად, ანუ წარმოდგენილი იყოს იმ ფორმით, სადაც გაფართოების კოეფიციენტები x, y, z ცალსახად არის განსაზღვრული.

x, y და z კოეფიციენტებს ვექტორის გაფართოებაში კოორდინატთა ვექტორებში ეწოდება ვექტორის კოორდინატები მოცემულ კოორდინატულ სისტემაში.

განვიხილოთ წესები, რომლებიც საშუალებას გვაძლევს ვიპოვოთ მათი ჯამისა და სხვაობის კოორდინატები, აგრეთვე მოცემული ვექტორის ნამრავლის კოორდინატები მოცემული რიცხვით, ამ ვექტორების კოორდინატების გამოყენებით.

ათი . ორი ან მეტი ვექტორის ჯამის თითოეული კოორდინატი უდრის ამ ვექტორების შესაბამისი კოორდინატების ჯამს. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თუ a (x 1, y 1, z 1) და b (x 2, y 2, z 2 ) მოცემულია ვექტორები, მაშინ a + b ვექტორს აქვს კოორდინატები (x 1 + x 2, y 1 + y 2, z 1 + z 2).

20 . ორი ვექტორის სხვაობის თითოეული კოორდინატი უდრის ამ ვექტორების შესაბამისი კოორდინატების სხვაობას. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თუ a (x 1, y 1, z 1) და b (x 2 y 2; z 2) მოცემულია ვექტორები, მაშინ a - b ვექტორს აქვს კოორდინატები (x 1 - x 2, y 1 - y. 2, z 1 - z 2).

ოცდაათი . რიცხვით ვექტორის ნამრავლის თითოეული კოორდინატი ტოლია ამ რიცხვით ვექტორის შესაბამისი კოორდინატის ნამრავლის. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თუ a (x; y; x) არის მოცემული ვექტორი, α არის მოცემული რიცხვი, მაშინ α a ვექტორს აქვს კოორდინატები (αx; αy; α z).

თემაზე: მეთოდოლოგიური განვითარება, პრეზენტაციები და შენიშვნები

დიდაქტიკური მასალა "მოსწავლეებისთვის ჩანაწერების ნაკრები თემაზე "კოორდინატების მეთოდი სივრცეში" გაკვეთილების ჩატარების მიზნით ლექციების სახით გეომეტრია 10-11 კლასი....

გაკვეთილის მიზანი: მოსწავლეთა ცოდნის, უნარებისა და შესაძლებლობების შემოწმება თემაზე „კოორდინატების მეთოდის გამოყენება სივრცეში ამოცანების ამოსახსნელად C2 გამოყენება“ დაგეგმილი სასწავლო შედეგები: მოსწავლეები აჩვენებენ: ...

კოორდინატთა მეთოდი არის ძალიან ეფექტური და მრავალმხრივი გზა სივრცეში სტერეომეტრიულ ობიექტებს შორის ნებისმიერი კუთხის ან მანძილის მოსაძებნად. თუ თქვენი მათემატიკის დამრიგებელი მაღალკვალიფიციურია, მან ეს უნდა იცოდეს. თორემ "C" ნაწილისთვის გირჩევდი რეპეტიტორის შეცვლას. ჩემი მომზადება გამოცდისთვის მათემატიკაში C1-C6 ჩვეულებრივ მოიცავს ქვემოთ აღწერილი ძირითადი ალგორითმებისა და ფორმულების ანალიზს.

კუთხე a და b ხაზებს შორის

სივრცეში ხაზებს შორის კუთხე არის კუთხე მათ პარალელურად გადამკვეთ ხაზებს შორის. ეს კუთხე უდრის კუთხეს ამ ხაზების მიმართულების ვექტორებს შორის (ან ავსებს მას 180 გრადუსამდე).

რა ალგორითმს იყენებს მათემატიკის მასწავლებელი კუთხის საპოვნელად?

1) აირჩიეთ ნებისმიერი ვექტორი და აქვს a და b წრფეების მიმართულებები (მათ პარალელურად).
2) ვექტორების კოორდინატებს და მათი დასაწყისისა და ბოლოების შესაბამისი კოორდინატებით ვადგენთ (დასაწყისის კოორდინატები უნდა გამოვაკლოთ ვექტორის ბოლო კოორდინატებს).
3) ჩვენ ვცვლით ნაპოვნი კოორდინატებს ფორმულაში:
. თავად კუთხის მოსაძებნად, თქვენ უნდა იპოვოთ შედეგის რკალის კოსინუსი.

ჩვეულებრივი თვითმფრინავისთვის

სიბრტყის ნორმალური არის ნებისმიერი ვექტორი ამ სიბრტყის პერპენდიკულარული.
როგორ მოვძებნოთ ნორმალური?ნორმალურის კოორდინატების საპოვნელად საკმარისია ვიცოდეთ მოცემულ სიბრტყეში მდებარე ნებისმიერი სამი წერტილის M, N და K კოორდინატები. ამ კოორდინატების გამოყენებით, ჩვენ ვპოულობთ ვექტორების კოორდინატებს და მოვითხოვთ, რომ პირობები და დაკმაყოფილდეს. ვექტორების სკალარული ნამრავლის ნულის ტოლფასი, ჩვენ ვქმნით განტოლებათა სისტემას სამი ცვლადით, საიდანაც შეგვიძლია ვიპოვოთ ნორმალურის კოორდინატები.

მათემატიკის დამრიგებლის შენიშვნა : არ არის აუცილებელი სისტემის სრულად გადაჭრა, რადგან საკმარისია ერთი ნორმალური მაინც აირჩიოთ. ამისათვის თქვენ შეგიძლიათ შეცვალოთ ნებისმიერი რიცხვი (მაგალითად, ერთი) მისი რომელიმე უცნობი კოორდინატის ნაცვლად და ამოხსნათ ორი განტოლების სისტემა დარჩენილი ორი უცნობით. თუ მას არ აქვს გადაწყვეტილებები, მაშინ ეს ნიშნავს, რომ ნორმალურების ოჯახში არ არის ისეთი, ვისაც აქვს არჩეული ცვლადის ერთეული. შემდეგ ჩაანაცვლეთ ერთი მეორე ცვლადით (სხვა კოორდინატი) და ამოხსენით ახალი სისტემა. თუ ხელახლა გამოტოვებთ, მაშინ თქვენს ნორმალურს ექნება ერთეული ბოლო კოორდინატზე და ის აღმოჩნდება რაღაც კოორდინატთა სიბრტყის პარალელურად (ამ შემთხვევაში, მისი პოვნა მარტივია სისტემის გარეშე).

ვთქვათ, მოცემულია წრფე და სიბრტყე მიმართულების ვექტორისა და ნორმალურის კოორდინატებით
სწორ ხაზსა და სიბრტყეს შორის კუთხე გამოითვლება შემდეგი ფორმულით:

მოდით და იყოს ნებისმიერი ორი ნორმალური მოცემული სიბრტყეებისთვის. მაშინ სიბრტყეებს შორის კუთხის კოსინუსი ტოლია ნორმალებს შორის კუთხის კოსინუსის მოდულის:

სიბრტყის განტოლება სივრცეში

ტოლობის დამაკმაყოფილებელი წერტილები ქმნიან სიბრტყეს ნორმასთან. კოეფიციენტი პასუხისმგებელია გადახრის ოდენობაზე (პარალელური ცვლა) ორ სიბრტყეს შორის ერთი და იგივე მოცემული ნორმატივით. სიბრტყის განტოლების დასაწერად ჯერ უნდა იპოვო მისი ნორმალური (როგორც ზემოთ იყო აღწერილი), შემდეგ კი სიბრტყის ნებისმიერი წერტილის კოორდინატები, ნაპოვნი ნორმალურის კოორდინატებთან ერთად, უნდა ჩაანაცვლო განტოლებაში და იპოვო კოეფიციენტი. .

კოორდინატთა მეთოდის გამოსაყენებლად საჭიროა კარგად იცოდეთ ფორმულები. სამი მათგანია:

ერთი შეხედვით, ეს საშიშად გამოიყურება, მაგრამ მხოლოდ მცირე ვარჯიში - და ყველაფერი მშვენივრად იმუშავებს.

დავალება. იპოვეთ კუთხის კოსინუსი a = (4; 3; 0) და b = (0; 12; 5) ვექტორებს შორის.

გადაწყვეტილება. ვინაიდან ჩვენ გვეძლევა ვექტორების კოორდინატები, ჩვენ მათ ვცვლით პირველ ფორმულაში:

დავალება. დაწერეთ განტოლება სიბრტყისთვის, რომელიც გადის M = (2; 0; 1), N = (0; 1; 1) და K = (2; 1; 0) წერტილებზე, თუ ცნობილია, რომ ის არ გადის წარმომავლობა.

გადაწყვეტილება. სიბრტყის ზოგადი განტოლება: Ax + By + Cz + D = 0, მაგრამ რადგან სასურველი სიბრტყე არ გადის საწყისზე - წერტილი (0; 0; 0) - მაშინ ვაყენებთ D = 1. ვინაიდან ეს სიბრტყე გადის M, N და K წერტილების მეშვეობით, მაშინ ამ წერტილების კოორდინატებმა უნდა გადააქციოს განტოლება ნამდვილ რიცხვობრივ ტოლობაში.

ჩავანაცვლოთ M = (2; 0; 1) წერტილის კოორდინატები x, y და z-ის ნაცვლად. Ჩვენ გვაქვს:
A 2 + B 0 + C 1 + 1 = 0 ⇒ 2A + C + 1 = 0;

ანალოგიურად, N = (0; 1; 1) და K = (2; 1; 0) წერტილებისთვის ვიღებთ განტოლებებს:
A 0 + B 1 + C 1 + 1 = 0 ⇒ B + C + 1 = 0;
A 2 + B 1 + C 0 + 1 = 0 ⇒ 2A + B + 1 = 0;

ასე რომ, ჩვენ გვაქვს სამი განტოლება და სამი უცნობი. ჩვენ ვადგენთ და ვხსნით განტოლებათა სისტემას:

მივიღეთ, რომ სიბრტყის განტოლებას აქვს ფორმა: − 0,25x − 0,5y − 0,5z + 1 = 0.

დავალება. სიბრტყე მოცემულია განტოლებით 7x − 2y + 4z + 1 = 0. იპოვეთ მოცემულ სიბრტყეზე პერპენდიკულარული ვექტორის კოორდინატები.

გადაწყვეტილება. მესამე ფორმულის გამოყენებით ვიღებთ n = (7; − 2; 4) - ეს ყველაფერია!

ვექტორების კოორდინატების გამოთვლა

მაგრამ რა მოხდება, თუ პრობლემაში არ არის ვექტორები - არის მხოლოდ წერტილები, რომლებიც დევს სწორ ხაზებზე და საჭიროა ამ სწორ ხაზებს შორის კუთხის გამოთვლა? ეს მარტივია: იცოდეთ წერტილების კოორდინატები - ვექტორის დასაწყისი და დასასრული - შეგიძლიათ გამოთვალოთ თავად ვექტორის კოორდინატები.

ვექტორის კოორდინატების საპოვნელად აუცილებელია დასაწყისის კოორდინატების გამოკლება მისი დასასრულის კოორდინატებს.

ეს თეორემა თანაბრად მუშაობს სიბრტყეზე და სივრცეში. გამოთქმა „გამოვაკლოთ კოორდინატები“ ნიშნავს, რომ სხვა წერტილის x კოორდინატი გამოკლებულია ერთი წერტილის x კოორდინატს, შემდეგ იგივე უნდა გაკეთდეს y და z კოორდინატებით. Აი ზოგიერთი მაგალითი:

დავალება. სივრცეში არის სამი წერტილი, რომლებიც მოცემულია მათი კოორდინატებით: A = (1; 6; 3), B = (3; − 1; 7) და C = (− 4; 3; − 2). იპოვეთ AB, AC და BC ვექტორების კოორდინატები.

განვიხილოთ ვექტორი AB: მისი დასაწყისი არის A წერტილში, ხოლო დასასრული არის B წერტილი. ამიტომ მისი კოორდინატების საპოვნელად აუცილებელია A წერტილის კოორდინატები გამოვაკლოთ B წერტილის კოორდინატებს:
AB = (3 - 1; - 1 - 6; 7 - 3) = (2; - 7; 4).

ანალოგიურად, AC ვექტორის დასაწყისი მაინც იგივე წერტილია A, მაგრამ დასასრული არის წერტილი C. ამიტომ გვაქვს:
AC = (− 4 − 1; 3 − 6; − 2 − 3) = (− 5; − 3; − 5).

და ბოლოს, BC ვექტორის კოორდინატების საპოვნელად აუცილებელია B წერტილის კოორდინატები გამოვაკლოთ C წერტილის კოორდინატებს:
BC = (− 4 − 3; 3 − (− 1); − 2 − 7) = (− 7; 4; − 9).

პასუხი: AB = (2; − 7; 4); AC = (−5;−3;−5); BC = (−7; 4; − 9)

ყურადღება მიაქციეთ BC ბოლო ვექტორის კოორდინატების გამოთვლას: ბევრი ადამიანი უშვებს შეცდომებს უარყოფით რიცხვებთან მუშაობისას. ეს ეხება y ცვლადს: B წერტილს აქვს კოორდინატი y = − 1, ხოლო C წერტილს აქვს y = 3. მივიღებთ ზუსტად 3 − (− 1) = 4 და არა 3 − 1, როგორც ბევრი ფიქრობს. ნუ დაუშვებ ასეთ სულელ შეცდომებს!

მიმართულების ვექტორების გამოთვლა სწორი ხაზებისთვის

თუ ყურადღებით წაიკითხავთ პრობლემას C2, გაგიკვირდებათ, რომ იქ ვექტორები არ არის. არსებობს მხოლოდ სწორი ხაზები და სიბრტყეები.

დავიწყოთ სწორი ხაზებით. აქ ყველაფერი მარტივია: ნებისმიერ ხაზზე არის მინიმუმ ორი განსხვავებული წერტილი და, პირიქით, ნებისმიერი ორი განსხვავებული წერტილი განსაზღვრავს ერთ წრფეს...

ვინმეს ესმის რა წერია წინა აბზაცში? მე თვითონ ვერ გავიგე, ამიტომ უფრო მარტივად ავხსნი: C2 პრობლემაში ხაზები ყოველთვის მოცემულია წყვილი წერტილით. თუ შემოვიყვანთ კოორდინატთა სისტემას და განვიხილავთ ვექტორს დასაწყისით და დასასრულით ამ წერტილებში, მივიღებთ ეგრეთ წოდებულ მიმართულ ვექტორს სწორი ხაზისთვის:

რატომ არის საჭირო ეს ვექტორი? საქმე იმაშია, რომ კუთხე ორ სწორ ხაზს შორის არის კუთხე მათ მიმართულების ვექტორებს შორის. ამრიგად, ჩვენ გადავდივართ გაუგებარი სწორი ხაზებიდან კონკრეტულ ვექტორებზე, რომელთა კოორდინატები ადვილად გამოითვლება. რამდენად ადვილია? გადახედეთ მაგალითებს:

დავალება. ხაზები AC და BD 1 დახაზულია ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 კუბში. იპოვეთ ამ წრფეების მიმართულების ვექტორების კოორდინატები.

ვინაიდან კუბის კიდეების სიგრძე არ არის მითითებული პირობით, ჩვენ ვაყენებთ AB = 1. მოდით შემოვიტანოთ კოორდინატთა სისტემა A წერტილის საწყისით და x, y, z ღერძებით მიმართული AB, AD და AA ხაზების გასწვრივ. 1, შესაბამისად. ერთეული სეგმენტი უდრის AB = 1.

ახლა ვიპოვოთ მიმართულების ვექტორის კოორდინატები სწორი ხაზისთვის AC. ჩვენ გვჭირდება ორი ქულა: A = (0; 0; 0) და C = (1; 1; 0). აქედან ვიღებთ ვექტორის AC = (1 - 0; 1 - 0; 0 - 0) = (1; 1; 0) კოორდინატებს - ეს არის მიმართულების ვექტორი.

ახლა მოდით გაუმკლავდეთ სწორ ხაზს BD 1. მას ასევე აქვს ორი წერტილი: B = (1; 0; 0) და D 1 = (0; 1; 1). ვიღებთ მიმართულების ვექტორს BD 1 = (0 − 1; 1 − 0; 1 − 0) = (− 1; 1; 1).

პასუხი: AC = (1; 1; 0); BD 1 = (− 1; 1; 1)

დავალება. რეგულარულ სამკუთხა პრიზმაში ABCA 1 B 1 C 1, რომლის ყველა კიდე 1-ის ტოლია, დახაზულია სწორი ხაზები AB 1 და AC 1. იპოვეთ ამ წრფეების მიმართულების ვექტორების კოორდინატები.

შემოვიღოთ კოორდინატთა სისტემა: საწყისი არის A წერტილში, x ღერძი ემთხვევა AB-ს, z ღერძი ემთხვევა AA 1-ს, y ღერძი ქმნის OXY სიბრტყეს x ღერძთან, რომელიც ემთხვევა ABC-ს. თვითმფრინავი.

პირველ რიგში, მოდით გაუმკლავდეთ სწორ ხაზს AB 1. აქ ყველაფერი მარტივია: ჩვენ გვაქვს წერტილები A = (0; 0; 0) და B 1 = (1; 0; 1). ვიღებთ მიმართულების ვექტორს AB 1 = (1 − 0; 0 − 0; 1 − 0) = (1; 0; 1).

ახლა ვიპოვოთ მიმართულების ვექტორი AC 1-ისთვის. ყველაფერი იგივეა - ერთადერთი განსხვავება ისაა, რომ C 1 წერტილს აქვს ირაციონალური კოორდინატები. ასე რომ, A = (0; 0; 0), ასე რომ, გვაქვს:

პასუხი: AB 1 = (1; 0; 1);

პატარა, მაგრამ ძალიან მნიშვნელოვანი შენიშვნა ბოლო მაგალითის შესახებ. თუ ვექტორის დასაწყისი ემთხვევა საწყისს, გამოთვლები მნიშვნელოვნად გამარტივებულია: ვექტორის კოორდინატები უბრალოდ ტოლია დასასრულის კოორდინატებთან. სამწუხაროდ, ეს ეხება მხოლოდ ვექტორებს. მაგალითად, თვითმფრინავებთან მუშაობისას, მათზე კოორდინატების წარმოშობის არსებობა მხოლოდ ართულებს გამოთვლებს.

სიბრტყეებისთვის ნორმალური ვექტორების გამოთვლა

ნორმალური ვექტორები არ არის ვექტორები, რომლებიც კარგად მუშაობენ ან თავს კარგად გრძნობენ. განმარტებით, სიბრტყის ნორმალური ვექტორი (ნორმალური) არის მოცემული სიბრტყის პერპენდიკულარული ვექტორი.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ნორმალური არის ვექტორი პერპენდიკულარული რომელიმე ვექტორზე მოცემულ სიბრტყეში. თქვენ ნამდვილად შეგხვედრიათ ასეთი განმარტება - თუმცა, ვექტორების ნაცვლად, საუბარი იყო სწორ ხაზებზე. თუმცა, ზუსტად ზემოთ ნაჩვენები იყო, რომ C2 პრობლემაში შეიძლება ნებისმიერი მოსახერხებელი ობიექტის მოქმედება - თუნდაც სწორი ხაზით, თუნდაც ვექტორით.

კიდევ ერთხელ შეგახსენებთ, რომ ნებისმიერი სიბრტყე განისაზღვრება სივრცეში განტოლებით Ax + By + Cz + D = 0, სადაც A, B, C და D არის რამდენიმე კოეფიციენტი. ამოხსნის საერთოობის შემცირების გარეშე, შეგვიძლია ვივარაუდოთ D = 1, თუ თვითმფრინავი არ გადის საწყისში, ან D = 0, თუ ის გადის. ნებისმიერ შემთხვევაში, ამ სიბრტყის ნორმალური ვექტორის კოორდინატებია n = (A; B; C).

ასე რომ, თვითმფრინავი ასევე შეიძლება წარმატებით შეიცვალოს ვექტორით - იგივე ნორმალური. ნებისმიერი სიბრტყე სივრცეში განისაზღვრება სამი წერტილით. როგორ ვიპოვოთ თვითმფრინავის განტოლება (და, შესაბამისად, ნორმალური), ჩვენ უკვე განვიხილეთ სტატიის დასაწყისში. თუმცა, ეს პროცესი ბევრს უქმნის პრობლემებს, ამიტომ კიდევ რამდენიმე მაგალითს მოვიყვან:

დავალება. განყოფილება A 1 BC 1 დახატულია ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 კუბში. იპოვეთ ნორმალური ვექტორი ამ მონაკვეთის სიბრტყისთვის, თუ საწყისი არის A წერტილში და x, y და z ღერძები ემთხვევა AB, AD და AA 1 კიდეებს შესაბამისად.

ვინაიდან თვითმფრინავი არ გადის საწყისს, მისი განტოლება ასე გამოიყურება: Ax + By + Cz + 1 = 0, ე.ი. კოეფიციენტი D \u003d 1. ვინაიდან ეს სიბრტყე გადის A 1, B და C 1 წერტილებში, ამ წერტილების კოორდინატები აქცევს სიბრტყის განტოლებას სწორ რიცხვობრივ თანასწორობაში.

A 0 + B 0 + C 1 + 1 = 0 ⇒ C + 1 = 0 ⇒ C = − 1;

ანალოგიურად, B = (1; 0; 0) და C 1 = (1; 1; 1) წერტილებისთვის ვიღებთ განტოლებებს:
A 1 + B 0 + C 0 + 1 = 0 ⇒ A + 1 = 0 ⇒ A = − 1;
A 1 + B 1 + C 1 + 1 = 0 ⇒ A + B + C + 1 = 0;

მაგრამ კოეფიციენტები A = − 1 და C = − 1 ჩვენთვის უკვე ცნობილია, ასე რომ, რჩება კოეფიციენტის B პოვნა:
B = − 1 − A − C = − 1 + 1 + 1 = 1.

ვიღებთ სიბრტყის განტოლებას: - A + B - C + 1 = 0, მაშასადამე, ნორმალური ვექტორის კოორდინატებია n = (- 1; 1; - 1).

დავალება. ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 კუბში შედგენილია განყოფილება AA 1 C 1 C. იპოვეთ ამ მონაკვეთის სიბრტყის ნორმალური ვექტორი, თუ საწყისი არის A წერტილში და x, y და z ღერძები ემთხვევა კიდეები AB, AD და AA 1 შესაბამისად.

ამ შემთხვევაში, თვითმფრინავი გადის საწყისზე, ამიტომ კოეფიციენტი D \u003d 0 და სიბრტყის განტოლება ასე გამოიყურება: Ax + By + Cz \u003d 0. ვინაიდან თვითმფრინავი გადის A 1 და C წერტილებში, ამ წერტილების კოორდინატები აქცევს სიბრტყის განტოლებას სწორ რიცხვობრივ ტოლობაში.

მოდით ჩავანაცვლოთ A წერტილის კოორდინატები x, y და z-ის ნაცვლად 1 = (0; 0; 1). Ჩვენ გვაქვს:
A 0 + B 0 + C 1 = 0 ⇒ C = 0;

ანალოგიურად, წერტილისთვის C = (1; 1; 0) ვიღებთ განტოლებას:
A 1 + B 1 + C 0 = 0 ⇒ A + B = 0 ⇒ A = − B;

ვთქვათ B = 1. მაშინ A = − B = − 1, და მთელი სიბრტყის განტოლებაა: − A + B = 0. მაშასადამე, ნორმალური ვექტორის კოორდინატებია n = (− 1; 1; 0).

ზოგადად რომ ვთქვათ, ზემოაღნიშნულ ამოცანებში აუცილებელია განტოლებათა სისტემის შედგენა და მისი ამოხსნა. იქნება სამი განტოლება და სამი ცვლადი, მაგრამ მეორე შემთხვევაში ერთი მათგანი იქნება თავისუფალი, ე.ი. მიიღეთ თვითნებური მნიშვნელობები. ამიტომ ჩვენ გვაქვს უფლება დავაყენოთ B = 1 - გადაწყვეტილების საერთოობისა და პასუხის სისწორის შელახვის გარეშე.

ძალიან ხშირად C2 პრობლემაში საჭიროა იმ წერტილებთან მუშაობა, რომლებიც სეგმენტს შუაზე ყოფენ. ასეთი წერტილების კოორდინატები ადვილად გამოითვლება, თუ ცნობილია სეგმენტის ბოლოების კოორდინატები.

ასე რომ, მიეცით სეგმენტი მისი ბოლოებით - წერტილები A \u003d (x a; y a; z a) და B \u003d (x b; y b; z b). შემდეგ სეგმენტის შუა კოორდინატები - ჩვენ აღვნიშნავთ მას H წერტილით - შეგიძლიათ იპოვოთ ფორმულით:

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, სეგმენტის შუა ნაწილის კოორდინატები არის მისი ბოლოების კოორდინატების საშუალო არითმეტიკული.

დავალება. ერთეული კუბი ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 მოთავსებულია კოორდინატთა სისტემაში ისე, რომ x, y და z ღერძები მიმართული იყოს შესაბამისად AB, AD და AA 1 კიდეების გასწვრივ და საწყისი ემთხვევა A წერტილს. წერტილი K არის A 1 B ერთი კიდის შუა წერტილი. იპოვეთ ამ წერტილის კოორდინატები.

ვინაიდან K წერტილი არის A 1 B 1 სეგმენტის შუა ნაწილი, მისი კოორდინატები ტოლია ბოლოების კოორდინატების საშუალო არითმეტიკულის. ჩამოვწეროთ ბოლოების კოორდინატები: A 1 = (0; 0; 1) და B 1 = (1; 0; 1). ახლა ვიპოვოთ K წერტილის კოორდინატები:

დავალება. ერთეული კუბი ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 მოთავსებულია კოორდინატთა სისტემაში ისე, რომ x, y და z ღერძები მიმართული იყოს შესაბამისად AB, AD და AA 1 კიდეების გასწვრივ და საწყისი ემთხვევა A წერტილს. იპოვეთ კოორდინატები. L წერტილის სადაც ისინი კვეთენ A 1 B 1 C 1 D 1 კვადრატის დიაგონალებს.

პლანიმეტრიის კურსიდან ცნობილია, რომ კვადრატის დიაგონალების გადაკვეთის წერტილი თანაბრად არის დაშორებული მისი ყველა წვეროდან. კერძოდ, A 1 L = C 1 L, ე.ი. წერტილი L არის A 1 C 1 სეგმენტის შუა წერტილი. მაგრამ A 1 = (0; 0; 1), C 1 = (1; 1; 1), ასე რომ, გვაქვს:

პასუხი: L = (0.5; 0.5; 1)