გამარჯობა! ამ სტატიაში განვიხილავთ ბურთებთან დაკავშირებულ პრობლემებს. უფრო სწორად, აქ იქნება სხეულების ერთობლიობა: ბურთი ან სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ბურთის მახლობლად აღწერილი ცილინდრი (რომელიც იგივეა) და ბურთში ჩაწერილი კუბი.

ბლოგმა უკვე განიხილა დავალებების ჯგუფი ბურთებით, . წარმოდგენილ ამოცანებში ვისაუბრებთ მითითებული ორგანოების მოცულობის და ზედაპირის ფართობის პოვნაზე.თქვენ უნდა იცოდეთ!

სფეროს მოცულობის ფორმულა:

სფეროს ზედაპირის ფართობის ფორმულა არის:

ცილინდრის მოცულობის ფორმულა არის:

ცილინდრის ზედაპირის ფართობის ფორმულა არის:

მეტი ცილინდრის მხარის ზედაპირის შესახებ:

ეს არის ცილინდრში „დაგრეხილი“ მართკუთხედი, რომლის ერთი გვერდი უდრის ფუძის გარშემოწერილობას - ეს არის 2ПiR, მეორე მხარე უდრის ცილინდრის სიმაღლეს - ეს არის ნ.

რა უნდა აღინიშნოს წარმოდგენილ ამოცანებთან დაკავშირებით?

1. თუ ბურთი ცილინდრშია ჩაწერილი, მაშინ მათ აქვთ საერთო რადიუსი.

2. სფეროს გარშემო შემოხაზული ცილინდრის სიმაღლე მისი ორი რადიუსის (ან დიამეტრის) ტოლია.

3. თუ კუბი ჩაწერილია სფეროში, მაშინ ამ კუბის დიაგონალი უდრის სფეროს დიამეტრს.

245348. ცილინდრი აღწერილია ბურთულასთან. ცილინდრის მოცულობა არის 33. იპოვეთ სფეროს მოცულობა.

სფეროს მოცულობის ფორმულა:

ჩვენ უნდა ვიპოვოთ სფეროს რადიუსი.

სფეროს და ცილინდრს საერთო რადიუსი აქვთ. ცილინდრის ფუძე არის წრე R რადიუსით, ცილინდრის სიმაღლე უდრის ორ რადიუსს. ასე რომ, ცილინდრის მოცულობა გამოითვლება ფორმულით:

ჩაანაცვლეთ პირობაში მოცემული მოცულობა ფორმულაში და გამოთქვით რადიუსი:

გამოთქმა ამ ფორმით დავტოვოთ, რადიუსის გამოხატვა არ არის საჭირო (მესამე ხარისხის ფესვის ამოღება), ვინაიდან ზუსტად R 3 გვჭირდება.

ამრიგად, სფეროს მოცულობა ტოლი იქნება:

პასუხი: 22

245349. ცილინდრი აღწერილია ბურთულასთან. სფეროს მოცულობა არის 24. იპოვეთ ცილინდრის მოცულობა.

ეს ამოცანა წინას საპირისპიროა.

სფეროს მოცულობის ფორმულა:

ცილინდრის მოცულობა გამოითვლება ფორმულით:

ვინაიდან სფეროს მოცულობა ცნობილია, შეგვიძლია გამოვხატოთ რადიუსი და შემდეგ ვიპოვოთ ცილინდრის მოცულობა:

ამრიგად:

პასუხი: 36

316557. ბურთი ჩაწერილია ცილინდრში. სფეროს ზედაპირის ფართობია 111. იპოვეთ ცილინდრის მთლიანი ზედაპირი.

სფეროს ზედაპირის ფორმულა:

ცილინდრის ზედაპირის ფორმულა:

მოდით გავამარტივოთ:

ვინაიდან ბურთის ზედაპირის ფართობი გვეძლევა, შეგვიძლია გამოვხატოთ რადიუსი:

პასუხი: 166.5

ბურთი ცილინდრისა და კონუსის შესახებ ეწოდება (a) თუ კონუსის ზევით დევს ბურთის ზედაპირზე, ხოლო კონუსის ფუძე არის ბურთის მონაკვეთი. ბურთი ყოველთვის შეიძლება შემოიფარგლოს მარჯვენა წრიულ კონუსთან ახლოს. კონუსის მახლობლად აღწერილი ბურთის ცენტრი შეიძლება იყოს კონუსის შიგნითაც და გარეთაც, ასევე ემთხვევა ბაზის ცენტრს.

ეწოდება) თუ ცილინდრის ფუძეები სფეროს მონაკვეთებია. (a მარჯვენა წრიული ცილინდრი შეიძლება შემოიფარგლოს. ცილინდრის გარშემო შემოხაზული სფეროს ცენტრი ცილინდრის სიმაღლეზე მდებარეობს.

სამკუთხედის წრეწირის ცენტრი არის სამკუთხედის გვერდების პერპენდიკულარული ბისექტორების გადაკვეთის წერტილი, სამკუთხედის წრეწირის ცენტრი შეიძლება იყოს სამკუთხედის გარეთ. მართკუთხა სამკუთხედისთვის: R= წრეწირის ცენტრი. მართკუთხა სამკუთხედი არის ჰიპოტენუზის შუა წერტილი. რეგულარული ოთხკუთხედისთვის: R= გვერდი; R არის ჩაწერილი წრის რადიუსი

No 645. ცილინდრი ჩაწერილია სფეროში. იპოვეთ ცილინდრის მთლიანი ზედაპირის ფართობის თანაფარდობა სფეროს ფართობთან, თუ ცილინდრის სიმაღლე უდრის ბაზის დიამეტრს. R R მოცემულია: სფერო O ცენტრით, ცილინდრი ჩაწერილია, h=2 R იპოვეთ: R პირობების ანალიზი: O R

ბურთი შეიძლება შემოიფარგლოს პირამიდის მახლობლად, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ წრე შეიძლება შემოიფარგლოს მის ფუძესთან.

ამ ბურთის ცენტრის O ასაგებად დაგჭირდებათ:

1. იპოვეთ O ცენტრი, ფუძესთან შემოხაზული წრე.

2. O წერტილის გავლით დახაზეთ სწორი ხაზი ფუძის სიბრტყის პერპენდიკულარულად.

3. პირამიდის ნებისმიერი გვერდითი კიდის შუაში დახაზეთ სიბრტყე ამ კიდეზე პერპენდიკულარული.

4. იპოვეთ აგებული წრფისა და სიბრტყის გადაკვეთის O წერტილი.

განსაკუთრებული შემთხვევა: პირამიდის გვერდითი კიდეები ტოლია. შემდეგ:

ბურთის აღწერა შეიძლება;

ბურთის ცენტრი O დევს პირამიდის სიმაღლეზე;

სად არის შემოხაზული სფეროს რადიუსი; - გვერდითი ნეკნი; H არის პირამიდის სიმაღლე.

5.2. ბურთი და პრიზმა

სფერო შეიძლება შემოიფარგლოს პრიზმასთან, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ პრიზმა სწორია და წრე შეიძლება შემოიფარგლოს მის ფუძესთან.

ბურთის ცენტრი არის სეგმენტის შუა ნაწილი, რომელიც აკავშირებს ფუძეების მახლობლად აღწერილი წრეების ცენტრებს.

სად არის შემოხაზული სფეროს რადიუსი; არის შემოხაზული წრის რადიუსი ფუძესთან ახლოს; H არის პრიზმის სიმაღლე.

5.3. ბურთი და ცილინდრი

სფერო ყოველთვის შეიძლება აღწერო ცილინდრის მახლობლად. სფეროს ცენტრი არის ცილინდრის ღერძული მონაკვეთის სიმეტრიის ცენტრი.

5.4. ბურთი და კონუსი

სფერო ყოველთვის შეიძლება იყოს აღწერილი კონუსთან ახლოს. ბურთის ცენტრი; ემსახურება როგორც წრის ცენტრს, რომელიც შემოიფარგლება კონუსის ღერძულ მონაკვეთზე.

ჩვენს ირგვლივ სამყარო, მიუხედავად მათთან მომხდარი საგნებისა და ფენომენების მრავალფეროვნებისა, სავსეა ჰარმონიით ბუნების კანონების მკაფიო მოქმედების გამო. აშკარა თავისუფლების მიღმა, რომლითაც ბუნება ხაზს უსვამს კონტურებს და ქმნის საგნების ფორმებს, დგას მკაფიო წესები და კანონები, რომლებიც უნებურად მიგვანიშნებს რაიმე უმაღლესი ძალის არსებობაზე შექმნის პროცესში. პრაგმატული მეცნიერების ზღვარზე, რომელიც მათემატიკური ფორმულების და თეოსოფიური მსოფლმხედველობის პოზიციიდან აღწერს მომხდარ ფენომენებს, არის სამყარო, რომელიც გვაძლევს ემოციების და შთაბეჭდილებების მთელ წყებას, რაც მას ავსებს და მოვლენებიდან, რომლებიც ხდება. მათ.

ბურთი, როგორც ბუნებაში ნაპოვნი ფიზიკური სხეულების ყველაზე გავრცელებული ფორმა. მაკროკოსმოსისა და მიკროკოსმოსის სხეულების უმეტესობას ბურთის ფორმა აქვს ან მიდრეკილია მიუახლოვდეს მას. სინამდვილეში, ბურთი იდეალური ფორმის მაგალითია. ბურთის საყოველთაოდ მიღებულ განმარტებად ითვლება შემდეგი: ეს არის გეომეტრიული სხეული, სივრცის ყველა წერტილის სიმრავლე (სიმრავლე), რომლებიც მდებარეობს ცენტრიდან დაშორებით, რომელიც არ აღემატება მოცემულს. გეომეტრიაში ამ მანძილს რადიუსი ეწოდება, მოცემულ ფიგურასთან მიმართებაში კი ბურთის რადიუსი. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, სფეროს მოცულობა შეიცავს ყველა წერტილს, რომელიც მდებარეობს ცენტრიდან დაშორებით, რომელიც არ აღემატება რადიუსის სიგრძეს.

ბურთი ასევე განიხილება, როგორც მისი დიამეტრის ირგვლივ ნახევარწრის ბრუნვის შედეგი, რომელიც ამავე დროს უმოძრაო რჩება. ამ შემთხვევაში, ისეთ ელემენტებს და მახასიათებლებს, როგორიცაა ბურთის რადიუსი და მოცულობა, ემატება ბურთის ღერძი (ფიქსირებული დიამეტრი), ხოლო მის ბოლოებს ბურთის ბოძები ეწოდება. სფეროს ზედაპირს სფერო ეწოდება. თუ დახურულ ბურთთან გვაქვს საქმე, მაშინ ის მოიცავს ამ სფეროს, თუ ღიას, მაშინ გამორიცხავს.

ბურთთან დაკავშირებული დამატებითი განმარტებების გათვალისწინებით, უნდა ითქვას თვითმფრინავების ჭრის შესახებ. სკანტურ სიბრტყეს, რომელიც გადის ბურთის ცენტრში, ეწოდება დიდი წრე. ბურთის სხვა ბრტყელი მონაკვეთებისთვის ჩვეულებრივ გამოიყენება სახელი "პატარა წრეები". ამ მონაკვეთების ფართობების გაანგარიშებისას გამოიყენება ფორმულა πR².

ბურთის მოცულობის გამოთვლისას მათემატიკოსები შეხვდნენ საკმაოდ მომხიბვლელ ნიმუშებსა და თავისებურებებს. აღმოჩნდა, რომ ეს მნიშვნელობა ან მთლიანად მეორდება, ან ძალიან ახლოსაა განსაზღვრის მეთოდის თვალსაზრისით, ბურთის გარშემო აღწერილ პირამიდის ან ცილინდრის მოცულობასთან. გამოდის, რომ ბურთის მოცულობა ტოლია, თუ მის ფუძეს აქვს ბურთის ზედაპირის იგივე ფართობი, ხოლო სიმაღლე ბურთის რადიუსის ტოლია. თუ გავითვალისწინებთ ბურთის გარშემო აღწერილ ცილინდრის, მაშინ შეგვიძლია გამოვთვალოთ ნიმუში, რომლის მიხედვითაც ბურთის მოცულობა ამ ცილინდრის მოცულობაზე ერთნახევარჯერ ნაკლებია.

მიმზიდველი და ორიგინალურია ბურთის გატანის მეთოდი კავალიერის პრინციპით. იგი შედგება ნებისმიერი ფიგურის მოცულობის პოვნაში მისი მონაკვეთის მიერ მიღებული ფართობების უსასრულო რიცხვით მიმატებით. დასკვნისთვის ავიღოთ R რადიუსის ნახევარსფერო და R სიმაღლის ცილინდრი R რადიუსის ფუძე-წრით. ნახევარსფეროსა და ცილინდრის ფუძეები განლაგებულია იმავე სიბრტყეში). ამ ცილინდრში შევდივართ კონუსს, რომელსაც აქვს წვერო მისი ქვედა ფუძის ცენტრში. მას შემდეგ რაც დავამტკიცეთ, რომ ნახევარსფეროს მოცულობა და ცილინდრის ნაწილები, რომლებიც კონუსის გარეთ არის ტოლია, ჩვენ შეგვიძლია მარტივად გამოვთვალოთ ბურთის მოცულობა. მისი ფორმულა იღებს შემდეგ ფორმას: რადიუსის და π კუბის ნამრავლის ოთხი მესამედი (V= 4/3R^3×π). ამის დამტკიცება მარტივია ნახევარსფეროსა და ცილინდრში საერთო ჭრის სიბრტყის დახატვით. გარედან ცილინდრისა და კონუსის გვერდებით შემოსაზღვრული პატარა წრისა და რგოლის არეები ტოლია. კავალიერის პრინციპის გამოყენებით კი ადვილია მთავარი ფორმულის მტკიცებულებამდე მისვლა, რომლის დახმარებითაც ვადგენთ ბურთის მოცულობას.

მაგრამ არა მხოლოდ ბუნებრივი სხეულების შესწავლის პრობლემა დაკავშირებულია მათი სხვადასხვა მახასიათებლებისა და თვისებების დადგენის გზების ძიებასთან. სტერეომეტრიის ისეთი ფიგურა, როგორც ბურთი, ძალიან ფართოდ გამოიყენება ადამიანის პრაქტიკულ საქმიანობაში. ტექნიკური მოწყობილობების მასა მათ დიზაინში შეიცავს არა მხოლოდ სფერული ფორმის დეტალებს, არამედ ბურთის ელემენტებისაგანაც შედგება. ეს არის იდეალური ბუნებრივი გადაწყვეტილებების კოპირება ადამიანის საქმიანობის პროცესში, რაც იძლევა უმაღლესი ხარისხის შედეგებს.

როდესაც პრობლემაში მოცემულია ბურთში ჩაწერილი პირამიდა, შემდეგი თეორიული ინფორმაცია გამოდგება მის ამოხსნაში.

თუ პირამიდა ჩაწერილია ბურთში, მაშინ მისი ყველა წვერო დევს ამ ბურთის ზედაპირზე (სფეროზე), შესაბამისად, მანძილი ბურთის ცენტრიდან წვეროებამდე უდრის ბურთის რადიუსს.

ბურთში ჩაწერილი პირამიდის თითოეული სახე არის მრავალკუთხედი, რომელიც ჩაწერილია რაღაც წრეში. ბურთის ცენტრიდან ამოვარდნილი პერპენდიკულარების ფუძეები სახეების სიბრტყეზე არის ამ შემოხაზული წრეების ცენტრები. ამრიგად, პირამიდის მახლობლად აღწერილი სფეროს ცენტრი არის პირამიდის სახეებთან პერპენდიკულარების გადაკვეთის წერტილი, რომელიც შედგენილია სახეების მახლობლად აღწერილი წრეების ცენტრებში.

უფრო ხშირად, პირამიდის მახლობლად აღწერილი ბურთის ცენტრი განიხილება, როგორც ფუძეზე გაყვანილი პერპენდიკულარულის გადაკვეთის წერტილი ფუძესთან შემოხაზული წრის ცენტრის გავლით, და პერპენდიკულარული ბისექტრისი გვერდითი კიდემდე (პერპენდიკულარული ბისექტორი დევს სიბრტყეში, რომელიც გადის ამ გვერდით კიდეზე და პირველ პერპენდიკულარზე (ფუძეზე დახატული) თუ წრე ვერ ჩაიწერება პირამიდის ფუძესთან, მაშინ ეს პირამიდა არ შეიძლება ჩაიწეროს ბურთში. აქედან გამომდინარეობს, რომ ბურთი ყოველთვის შეიძლება იყოს ჩაწერილი სამკუთხა პირამიდის მახლობლად და ოთხკუთხა პირამიდას, რომელიც ჩაწერილია ბურთში, რომლის ბაზაზე პარალელოგრამია, შეიძლება ჰქონდეს მართკუთხედი ან კვადრატული ფუძე.

პირამიდის მახლობლად აღწერილი სფეროს ცენტრი შეიძლება იყოს პირამიდის შიგნით, პირამიდის ზედაპირზე (გვერდით სახეზე, ფუძეზე) და პირამიდის გარეთ. თუ პრობლემის მდგომარეობა არ ამბობს ზუსტად სად მდებარეობს აღწერილი ბურთის ცენტრი, მიზანშეწონილია განიხილოს, თუ როგორ შეიძლება გავლენა იქონიოს მისი ადგილმდებარეობის სხვადასხვა ვარიანტმა გამოსავალზე.

ნებისმიერი რეგულარული პირამიდის მახლობლად, სფეროს აღწერა შეიძლება. მისი ცენტრი არის წრფის გადაკვეთის წერტილი, რომელიც შეიცავს პირამიდის სიმაღლეს და გვერდითი კიდესთან პერპენდიკულარულ ბისექტორს.

ბურთში ჩაწერილ პირამიდაზე ამოცანების ამოხსნისას ყველაზე ხშირად განიხილება რამდენიმე სამკუთხედი.

დავიწყოთ სამკუთხედით SO1C. ის ტოლფერდაა, ვინაიდან მისი ორი გვერდი ბურთის რადიუსების ტოლია: SO1=O1C=R. ამიტომ, O1F არის მისი სიმაღლე, მედიანა და ბისექტორი.

მართკუთხა სამკუთხედები SOC და SFO1 მსგავსია მწვავე კუთხით S. აქედან გამომდინარე

SO=H არის პირამიდის სიმაღლე, SC=b არის გვერდითი კიდის სიგრძე, SF=b/2, SO1=R, OC=r არის პირამიდის ფუძესთან შემოხაზული წრის რადიუსი.

მართკუთხა სამკუთხედში OO1C ჰიპოტენუზა არის O1C=R, ფეხები არის OC=r, OO1=H-R. პითაგორას თეორემის მიხედვით:

თუ გავაგრძელებთ სიმაღლეს SO, მივიღებთ დიამეტრს SM. სამკუთხედი SCM არის მართკუთხა (რადგან ჩაწერილი კუთხე SCM ეყრდნობა დიამეტრს). მასში OC არის ჰიპოტენუზასკენ მიმავალი სიმაღლე, SO და OM არის SC და CM ფეხების პროგნოზები ჰიპოტენუზაზე. მართკუთხა სამკუთხედის თვისებების მიხედვით,