• კოლმოგოროვი A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. და სხვა.ალგებრა და ანალიზის დასაწყისი: სახელმძღვანელო ზოგადსაგანმანათლებლო დაწესებულებების 10-11 კლასებისთვის.
• გუსევი V.A., Mordkovich A.G. მათემატიკა (სახელმძღვანელო ტექნიკური სასწავლებლების მსურველთათვის).

რიცხვის ლოგარითმი ნ მიზეზით ა ექსპონენტი ეწოდება X , რომლის ამაღლებაც გჭირდებათ ა ნომრის მისაღებად ნ

იმ პირობით, რომ
,
,

ლოგარითმის განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ
, ე.ი.
- ეს თანასწორობა არის ძირითადი ლოგარითმული იდენტობა.

ლოგარითმებს მე-10 საფუძვლამდე ეწოდება ათობითი ლოგარითმები. Იმის მაგივრად
დაწერე
.

ბაზის ლოგარითმები ე ბუნებრივს უწოდებენ და აღნიშნავენ
.

ლოგარითმების ძირითადი თვისებები.

ნებისმიერი ბაზის ერთიანობის ლოგარითმი არის ნული

ნამრავლის ლოგარითმი უდრის ფაქტორების ლოგარითმების ჯამს.

3) კოეფიციენტის ლოგარითმი ლოგარითმების სხვაობის ტოლია

ფაქტორი
ეწოდება ფუძეზე ლოგარითმებიდან გადასვლის მოდული ა ფუძის ლოგარითმებამდე ბ .

2-5 თვისებების გამოყენებით, ხშირად შესაძლებელია რთული გამოხატვის ლოგარითმის შემცირება ლოგარითმებზე მარტივი არითმეტიკული მოქმედებების შედეგამდე.

Მაგალითად,

ლოგარითმის ასეთ გარდაქმნებს ლოგარითმები ეწოდება. ლოგარითმების საპასუხო გარდაქმნებს პოტენციაცია ეწოდება.

თავი 2. უმაღლესი მათემატიკის ელემენტები.

1. ლიმიტები

ფუნქციის ლიმიტი
არის სასრული რიცხვი A თუ, როცა ცდილობთ xx 0 თითოეული წინასწარ განსაზღვრულისთვის
, არის ნომერი
რომ როგორც კი
, მაშინ
.

ფუნქცია, რომელსაც აქვს ლიმიტი, მისგან განსხვავდება უსასრულოდ მცირე რაოდენობით:
, სადაც - b.m.w., ე.ი.
.

მაგალითი. განიხილეთ ფუნქცია
.

როცა ისწრაფვის
, ფუნქცია წ მიდის ნულზე:

1.1. ძირითადი თეორემები ლიმიტების შესახებ.

მუდმივი მნიშვნელობის ზღვარი უდრის ამ მუდმივ მნიშვნელობას

.

სასრული რაოდენობის ფუნქციების ჯამის (განსხვავების) ზღვარი ამ ფუნქციების ზღვრების ჯამის (განსხვავების) ტოლია.

სასრული რაოდენობის ფუნქციების ნამრავლის ზღვარი ტოლია ამ ფუნქციების ზღვრების ნამრავლის.

ორი ფუნქციის კოეფიციენტის ზღვარი ტოლია ამ ფუნქციების ზღვრების კოეფიციენტის, თუ მნიშვნელის ზღვარი არ არის ნულის ტოლი.

ღირსშესანიშნავი საზღვრები

,
, სად

1.2. ლიმიტის გაანგარიშების მაგალითები

თუმცა, ყველა ზღვარი ასე მარტივად არ არის გათვლილი. უფრო ხშირად, ლიმიტის გაანგარიშება მცირდება ტიპის გაურკვევლობის გამჟღავნებამდე: ან .

.

2. ფუნქციის წარმოებული

მოდით, გვაქვს ფუნქცია
, უწყვეტი სეგმენტზე
.

არგუმენტი მიიღო გარკვეული სტიმული
. შემდეგ ფუნქცია გაიზრდება
.

არგუმენტის მნიშვნელობა შეესაბამება ფუნქციის მნიშვნელობას
.

არგუმენტის მნიშვნელობა
შეესაბამება ფუნქციის მნიშვნელობას.

აქედან გამომდინარე,.

მოდი ვიპოვოთ ამ ურთიერთობის ზღვარი აქ
. თუ ეს ზღვარი არსებობს, მაშინ მას მოცემული ფუნქციის წარმოებული ეწოდება.

მოცემული ფუნქციის 3 წარმოებულის განმარტება
არგუმენტით ეწოდება ფუნქციის ზრდის შეფარდების ლიმიტი არგუმენტის ზრდასთან, როდესაც არგუმენტის ზრდა თვითნებურად ნულისკენ მიისწრაფვის.

ფუნქციის წარმოებული
შეიძლება აღვნიშნოთ შემდეგნაირად:

; ; ; .

განმარტება 4 ფუნქციის წარმოებულის პოვნის ოპერაცია ეწოდება დიფერენციაცია.

2.1. წარმოებულის მექანიკური მნიშვნელობა.

განვიხილოთ ზოგიერთი ხისტი სხეულის ან მატერიალური წერტილის მართკუთხა მოძრაობა.

მოდით რაღაც მომენტში მოძრავი წერტილი
დისტანციაზე იყო საწყისი პოზიციიდან
.

გარკვეული პერიოდის შემდეგ
მან მანძილი გადაინაცვლა
. დამოკიდებულება =- მატერიალური წერტილის საშუალო სიჩქარე
. მოდი ვიპოვოთ ამ თანაფარდობის ზღვარი იმის გათვალისწინებით, რომ
.

შესაბამისად, მატერიალური წერტილის მყისიერი სიჩქარის განსაზღვრა მცირდება გზის წარმოებულის პოვნამდე დროის მიმართ.

2.2. წარმოებულის გეომეტრიული მნიშვნელობა

დავუშვათ, გვაქვს გრაფიკულად განსაზღვრული გარკვეული ფუნქცია
.

ბრინჯი. 1. წარმოებულის გეომეტრიული მნიშვნელობა

Თუ
, შემდეგ წერტილი
, იმოძრავებს მრუდის გასწვრივ, უახლოვდება წერტილს
.

აქედან გამომდინარე
, ე.ი. წარმოებულის მნიშვნელობა არგუმენტის მნიშვნელობის გათვალისწინებით რიცხობრივად უდრის მოცემულ წერტილში ტანგენტის მიერ წარმოქმნილი კუთხის ტანგენტს ღერძის დადებითი მიმართულებით
.

2.3. ძირითადი დიფერენციაციის ფორმულების ცხრილი.

დენის ფუნქცია

ექსპონენციალური ფუნქცია

ლოგარითმული ფუნქცია

ტრიგონომეტრიული ფუნქცია

შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქცია

2.4. დიფერენციაციის წესები.

წარმოებული

ფუნქციების ჯამის (განსხვავების) წარმოებული

ორი ფუნქციის ნამრავლის წარმოებული

ორი ფუნქციის კოეფიციენტის წარმოებული

2.5. რთული ფუნქციის წარმოებული.

დაუშვით ფუნქცია
ისეთი, რომ შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც

და
, სადაც ცვლადი ეს არის შუალედური არგუმენტი

რთული ფუნქციის წარმოებული ტოლია მოცემული ფუნქციის წარმოებულის ნამრავლს შუალედურ არგუმენტთან მიმართებაში შუალედური არგუმენტის წარმოებულის x-ის მიმართ.

მაგალითი 1.

მაგალითი 2.

3. ფუნქციის დიფერენციალი.

დაე იყოს
, დიფერენცირებადია გარკვეული ინტერვალებით
გაუშვი ზე ამ ფუნქციას აქვს წარმოებული

,

მაშინ შეგიძლია დაწერო

(1),

სადაც - უსასრულოდ მცირე რაოდენობა,

რადგან ზე

ტოლობის ყველა პირობის გამრავლება (1)-ზე
ჩვენ გვაქვს:

სად
- ბ.მ.ვ. უმაღლესი წესრიგი.

ღირებულება
ეწოდება ფუნქციის დიფერენციალი
და აღნიშნა

.

3.1. დიფერენციალური გეომეტრიული მნიშვნელობა.

დაუშვით ფუნქცია
.

ნახ.2. დიფერენციალური გეომეტრიული მნიშვნელობა.

.

ცხადია, ფუნქციის დიფერენციალი
უდრის მოცემულ წერტილში ტანგენსის ორდინატის ნამატს.

3.2. სხვადასხვა ორდერის წარმოებულები და დიფერენცილები.

Თუ იქ
, მაშინ
პირველ წარმოებულს უწოდებენ.

პირველი წარმოებულის წარმოებულს მეორე რიგის წარმოებული ეწოდება და იწერება
.

ფუნქციის n-ე რიგის წარმოებული
ეწოდება (n-1) რიგის წარმოებული და იწერება:

.

ფუნქციის დიფერენციალურობის დიფერენციალს მეორე დიფერენციალი ან მეორე რიგის დიფერენციალი ეწოდება.

.

.

3.3 ბიოლოგიური ამოცანების ამოხსნა დიფერენციაციის გამოყენებით.

დავალება 1. კვლევებმა აჩვენა, რომ მიკროორგანიზმების კოლონიის ზრდა კანონს ემორჩილება
, სად ნ - მიკროორგანიზმების რაოდენობა (ათასობით), ტ - დრო (დღეები).

ბ) ამ პერიოდში გაიზრდება თუ შემცირდება კოლონიის მოსახლეობა?

უპასუხე. კოლონია გაიზრდება ზომით.

ამოცანა 2. ტბაში წყლის პერიოდულად ტესტირება ხდება პათოგენური ბაქტერიების შემცველობის გასაკონტროლებლად. მეშვეობით ტ ტესტირებიდან დღის შემდეგ, ბაქტერიების კონცენტრაცია განისაზღვრება თანაფარდობით

.

როდის მოვა ტბაში ბაქტერიების მინიმალური კონცენტრაცია და შესაძლებელი იქნება მასში ბანაობა?

ამოხსნა ფუნქცია აღწევს მაქსიმუმს ან მინას, როდესაც მისი წარმოებული ნულია.

,

განვსაზღვროთ მაქსიმუმი ან მინ. იქნება 6 დღეში. ამისათვის ჩვენ ვიღებთ მეორე წარმოებულს.

პასუხი: 6 დღის შემდეგ იქნება ბაქტერიების მინიმალური კონცენტრაცია.

თქვენი კონფიდენციალურობა ჩვენთვის მნიშვნელოვანია. ამ მიზეზით, ჩვენ შევიმუშავეთ კონფიდენციალურობის პოლიტიკა, რომელიც აღწერს, თუ როგორ ვიყენებთ და ვინახავთ თქვენს ინფორმაციას. გთხოვთ, წაიკითხოთ ჩვენი კონფიდენციალურობის პოლიტიკა და შეგვატყობინოთ, თუ თქვენ გაქვთ რაიმე შეკითხვები.

პირადი ინფორმაციის შეგროვება და გამოყენება

პერსონალური ინფორმაცია ეხება მონაცემებს, რომლებიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას კონკრეტული პირის იდენტიფიცირებისთვის ან მასთან დასაკავშირებლად.

თქვენ შეიძლება მოგეთხოვოთ თქვენი პირადი ინფორმაციის მიწოდება ნებისმიერ დროს, როცა დაგვიკავშირდებით.

ქვემოთ მოცემულია პერსონალური ინფორმაციის ტიპების მაგალითები, რომლებიც შეიძლება შევაგროვოთ და როგორ გამოვიყენოთ ასეთი ინფორმაცია.

რა პერსონალურ ინფორმაციას ვაგროვებთ:

• როდესაც განაცხადებს წარადგენთ საიტზე, ჩვენ შეიძლება შევაგროვოთ სხვადასხვა ინფორმაცია, მათ შორის თქვენი სახელი, ტელეფონის ნომერი, ელექტრონული ფოსტის მისამართი და ა.შ.

როგორ ვიყენებთ თქვენს პირად ინფორმაციას:

• ჩვენ მიერ შეგროვებული პირადი ინფორმაცია საშუალებას გვაძლევს დაგიკავშირდეთ და გაცნობოთ უნიკალური შეთავაზებების, აქციების და სხვა ღონისძიებებისა და მომავალი ღონისძიებების შესახებ.
• დროდადრო, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენი პირადი ინფორმაცია მნიშვნელოვანი შეტყობინებებისა და შეტყობინებების გამოსაგზავნად.
• ჩვენ ასევე შეიძლება გამოვიყენოთ პერსონალური ინფორმაცია შიდა მიზნებისთვის, როგორიცაა აუდიტის ჩატარება, მონაცემთა ანალიზი და სხვადასხვა კვლევა, რათა გავაუმჯობესოთ ჩვენს მიერ მოწოდებული სერვისები და მოგაწოდოთ რეკომენდაციები ჩვენს სერვისებთან დაკავშირებით.
• თუ თქვენ მონაწილეობთ საპრიზო გათამაშებაში, კონკურსში ან მსგავს წახალისებაში, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენ მიერ მოწოდებული ინფორმაცია ასეთი პროგრამების ადმინისტრირებისთვის.

გამჟღავნება მესამე პირებისთვის

ჩვენ არ ვუმხელთ თქვენგან მიღებულ ინფორმაციას მესამე პირებს.

გამონაკლისები:

• იმ შემთხვევაში, თუ ეს აუცილებელია - კანონის, სასამართლო ბრძანების შესაბამისად, სასამართლო პროცესებში და/ან საჯარო მოთხოვნის ან რუსეთის ფედერაციის ტერიტორიაზე სახელმწიფო ორგანოების მოთხოვნის საფუძველზე - გაამჟღავნეთ თქვენი პირადი ინფორმაცია. ჩვენ ასევე შეიძლება გავამჟღავნოთ ინფორმაცია თქვენს შესახებ, თუ დავადგენთ, რომ ასეთი გამჟღავნება აუცილებელია ან მიზანშეწონილია უსაფრთხოების, კანონის აღსრულების ან სხვა საზოგადოებრივი ინტერესების მიზნებისთვის.
• რეორგანიზაციის, შერწყმის ან გაყიდვის შემთხვევაში, ჩვენ შეგვიძლია გადავცეთ ჩვენს მიერ შეგროვებული პერსონალური ინფორმაცია შესაბამის მესამე მხარის მემკვიდრეს.

პირადი ინფორმაციის დაცვა

ჩვენ ვიღებთ სიფრთხილის ზომებს - მათ შორის ადმინისტრაციულ, ტექნიკურ და ფიზიკურ - თქვენი პირადი ინფორმაციის დაკარგვის, ქურდობისა და ბოროტად გამოყენებისგან დასაცავად, ასევე არაავტორიზებული წვდომისგან, გამჟღავნების, ცვლილებისა და განადგურებისგან.

თქვენი კონფიდენციალურობის შენარჩუნება კომპანიის დონეზე

იმის უზრუნველსაყოფად, რომ თქვენი პერსონალური ინფორმაცია დაცულია, ჩვენ ვუწოდებთ კონფიდენციალურობისა და უსაფრთხოების პრაქტიკას ჩვენს თანამშრომლებს და მკაცრად ვიცავთ კონფიდენციალურობის პრაქტიკას.

დღეს ჩვენ ვისაუბრებთ ლოგარითმის ფორმულებიდა დემონსტრირება გადაწყვეტის მაგალითები.

თავისთავად, ისინი გულისხმობენ ამოხსნის ნიმუშებს ლოგარითმების ძირითადი თვისებების მიხედვით. გამოსავალზე ლოგარითმის ფორმულების გამოყენებამდე, ჩვენ გავიხსენებთ, პირველ რიგში, ყველა თვისებას:

ახლა, ამ ფორმულების (თვისებების) საფუძველზე ჩვენ ვაჩვენებთ ლოგარითმების ამოხსნის მაგალითები.

ფორმულების საფუძველზე ლოგარითმების ამოხსნის მაგალითები.

ლოგარითმიდადებითი რიცხვი b a ბაზაში (აღნიშნულია log a b) არის მაჩვენებელი, რომელზეც a უნდა გაიზარდოს, რომ მივიღოთ b, b > 0, a > 0 და 1.

განმარტების მიხედვით log a b = x, რომელიც უდრის x = b-ს, ამიტომ log a x = x.

ლოგარითმები, მაგალითები:

ჟურნალი 2 8 = 3, რადგან 2 3 = 8

ჟურნალი 7 49 = 2 იმიტომ 7 2 = 49

ჟურნალი 5 1/5 = -1, რადგან 5 -1 = 1/5

ათწილადი ლოგარითმიჩვეულებრივი ლოგარითმია, რომლის ფუძეა 10. აღინიშნება lg.

ჟურნალი 10 100 = 2 რადგან 10 2 = 100

ბუნებრივი ლოგარითმი- ასევე ჩვეულებრივი ლოგარითმის ლოგარითმი, მაგრამ ე ფუძით (e \u003d 2.71828 ... - ირაციონალური რიცხვი). მოხსენიებულია როგორც ln.

სასურველია გავიხსენოთ ლოგარითმების ფორმულები ან თვისებები, რადგან ისინი მოგვიანებით დაგვჭირდება ლოგარითმების, ლოგარითმული განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნისას. მოდით ვიმუშაოთ თითოეულ ფორმულაზე ისევ მაგალითებით.

• ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა
  ჟურნალი a b = b

  8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

• ნამრავლის ლოგარითმი ლოგარითმების ჯამის ტოლია
  log a (bc) = log a b + log a c

  ჟურნალი 3 8.1 + ჟურნალი 3 10 = ჟურნალი 3 (8.1*10) = ჟურნალი 3 81 = 4

• კოეფიციენტის ლოგარითმი ლოგარითმების სხვაობის ტოლია
  log a (b/c) = log a b - log a c

  9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81

• ლოგარითმირებადი რიცხვისა და ლოგარითმის ფუძის ხარისხის თვისებები

  ლოგარითმის რიცხვის მაჩვენებელი log a b m = mlog a b

  ლოგარითმის ფუძის მაჩვენებელი log a n b =1/n*log a b

  log a n b m = m/n*log a b,

  თუ m = n, მივიღებთ log a n b n = log a b

  ჟურნალი 4 9 = ჟურნალი 2 2 3 2 = ჟურნალი 2 3

• ახალ საძირკველზე გადასვლა
  log a b = log c b / log c a,

  თუ c = b, მივიღებთ log b b = 1

  შემდეგ log a b = 1/log b a

  log 0.8 3*log 3 1.25 = log 0.8 3*log 0.8 1.25/log 0.8 3 = log 0.8 1.25 = log 4/5 5/4 = -1

როგორც ხედავთ, ლოგარითმის ფორმულები არც ისე რთულია, როგორც ჩანს. ახლა, ლოგარითმების ამოხსნის მაგალითების განხილვის შემდეგ, შეგვიძლია გადავიდეთ ლოგარითმულ განტოლებაზე. ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნის მაგალითებს უფრო დეტალურად განვიხილავთ სტატიაში: "". Არ გამოტოვოთ!

თუ თქვენ გაქვთ რაიმე შეკითხვები გადაწყვეტის შესახებ, დაწერეთ ისინი სტატიის კომენტარებში.

შენიშვნა: გადავწყვიტე სხვა კლასში სწავლა საზღვარგარეთ, როგორც ვარიანტი.

ასე რომ, ჩვენ გვაქვს ორი ძალა. თუ რიცხვს აიღებთ ქვედა ხაზიდან, მაშინ მარტივად შეგიძლიათ იპოვოთ ძალა, რომლითაც უნდა აწიოთ ორი ამ რიცხვის მისაღებად. მაგალითად, 16-ის მისაღებად, თქვენ უნდა აწიოთ ორი მეოთხე ხარისხზე. და 64-ის მისაღებად, თქვენ უნდა აწიოთ ორი მეექვსე ხარისხამდე. ეს ჩანს ცხრილიდან.

ახლა კი - სინამდვილეში, ლოგარითმის განმარტება:

x არგუმენტის a ფუძის ლოგარითმი არის სიმძლავრე, რომლითაც უნდა გაიზარდოს რიცხვი x რიცხვის მისაღებად.

აღნიშვნა: log a x \u003d b, სადაც a არის საფუძველი, x არის არგუმენტი, b არის რეალურად რისი ტოლია ლოგარითმი.

მაგალითად, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (8-ის მე-2 ლოგარითმი არის სამი, რადგან 2 3 = 8). შეიძლება ასევე ჩაწეროთ 2 64 = 6, რადგან 2 6 = 64.

მოცემულ ფუძეზე რიცხვის ლოგარითმის პოვნის ოპერაციას ლოგარითმი ეწოდება. მოდით დავამატოთ ახალი მწკრივი ჩვენს ცხრილს:

სამწუხაროდ, ყველა ლოგარითმი ასე მარტივად არ განიხილება. მაგალითად, შეეცადეთ იპოვოთ ჟურნალი 2 5 . რიცხვი 5 არ არის ცხრილში, მაგრამ ლოგიკა გვკარნახობს, რომ ლოგარითმი იქნება სადმე სეგმენტზე. რადგან 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

ასეთ რიცხვებს ირაციონალურს უწოდებენ: ათწილადის შემდეგ რიცხვები შეიძლება განუსაზღვრელი ვადით დაიწეროს და ისინი არასოდეს მეორდებიან. თუ ლოგარითმი ირაციონალური აღმოჩნდება, უმჯობესია ასე დავტოვოთ: log 2 5 , log 3 8 , log 5 100 .

მნიშვნელოვანია გვესმოდეს, რომ ლოგარითმი არის გამოხატულება ორი ცვლადით (ბაზა და არგუმენტი). თავდაპირველად, ბევრი ადამიანი იბნევა სად არის საფუძველი და სად არის არგუმენტი. შემაშფოთებელი გაუგებრობების თავიდან ასაცილებლად, უბრალოდ შეხედეთ სურათს:

ჩვენს წინაშე სხვა არაფერია, თუ არა ლოგარითმის განმარტება. გახსოვდეთ: ლოგარითმი არის ძალა, რაზეც არგუმენტის მისაღებად საჭიროა საფუძვლის ამაღლება. ეს არის ბაზა, რომელიც ამაღლებულია სიმძლავრემდე - სურათზე იგი ხაზგასმულია წითლად. გამოდის, რომ ბაზა ყოველთვის ბოლოშია! ამ შესანიშნავ წესს ვეუბნები ჩემს მოსწავლეებს პირველივე გაკვეთილზე - და არ არის დაბნეულობა.

ჩვენ გავარკვიეთ განმარტება - რჩება ვისწავლოთ ლოგარითმების დათვლა, ე.ი. მოიშორეთ "ლოგი" ნიშანი. დასაწყისისთვის, ჩვენ აღვნიშნავთ, რომ განმარტებიდან გამომდინარეობს ორი მნიშვნელოვანი ფაქტი:

1. არგუმენტი და ბაზა ყოველთვის უნდა იყოს ნულზე მეტი. ეს გამომდინარეობს რაციონალური მაჩვენებლის მიერ ხარისხის განსაზღვრებიდან, რომელზედაც შემცირებულია ლოგარითმის განმარტება.
2. საფუძველი უნდა განსხვავდებოდეს ერთიანობისგან, რადგან ნებისმიერი სიმძლავრის ერთეული მაინც ერთეულია. ამის გამო უაზროა კითხვა „რომელ ძალამდე უნდა გაიზარდოს, რომ ორი მიიღოს“. ასეთი ხარისხი არ არსებობს!

ასეთ შეზღუდვებს ე.წ მოქმედი დიაპაზონი(ოძ). გამოდის, რომ ლოგარითმის ODZ ასე გამოიყურება: log a x = b ⇒ x > 0 , a > 0 , a ≠ 1 .

გაითვალისწინეთ, რომ არ არსებობს შეზღუდვები რიცხვზე b (ლოგარითმის მნიშვნელობა) არ არის დაწესებული. მაგალითად, ლოგარითმი შეიძლება იყოს უარყოფითი: log 2 0.5 \u003d -1, რადგან 0,5 = 2 −1 .

თუმცა, ახლა ჩვენ განვიხილავთ მხოლოდ რიცხვით გამოსახულებებს, სადაც არ არის საჭირო ლოგარითმის ODZ-ის ცოდნა. ყველა შეზღუდვა უკვე გაითვალისწინეს პრობლემების შემდგენელებმა. მაგრამ როდესაც ლოგარითმული განტოლებები და უტოლობები ამოქმედდება, DHS მოთხოვნები გახდება სავალდებულო. მართლაც, საფუძველსა და არგუმენტში შეიძლება იყოს ძალიან ძლიერი კონსტრუქციები, რომლებიც სულაც არ შეესაბამება ზემოხსენებულ შეზღუდვებს.

ახლა განიხილეთ ლოგარითმების გამოთვლის ზოგადი სქემა. იგი შედგება სამი ეტაპისგან:

1. ფუძე a და არგუმენტი x გამოთქვით, როგორც ძალა ერთზე მეტი შესაძლო ფუძით. გზაში სჯობს თავი დავაღწიოთ ათობითი წილადებს;
2. ამოხსენით b ცვლადის განტოლება: x = a b ;
3. შედეგად მიღებული რიცხვი b იქნება პასუხი.

Სულ ეს არის! თუ ლოგარითმი ირაციონალური აღმოჩნდება, ეს უკვე პირველ საფეხურზე გამოჩნდება. მოთხოვნა, რომ ბაზა ერთზე მეტი იყოს, ძალიან აქტუალურია: ეს ამცირებს შეცდომის ალბათობას და მნიშვნელოვნად ამარტივებს გამოთვლებს. ანალოგიურად, ათობითი წილადების შემთხვევაში: თუ მათ დაუყოვნებლივ გადააქცევთ ჩვეულებრივ წილადებში, შეცდომები ბევრჯერ ნაკლები იქნება.

ვნახოთ, როგორ მუშაობს ეს სქემა კონკრეტულ მაგალითებზე:

დავალება. გამოთვალეთ ლოგარითმი: log 5 25

1. წარმოვადგინოთ საფუძველი და არგუმენტი ხუთის ხარისხად: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

შევქმნათ და ამოხსნათ განტოლება:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;

2. მივიღე პასუხი: 2.

დავალება. გამოთვალეთ ლოგარითმი:

დავალება. გამოთვალეთ ლოგარითმი: log 4 64

1. წარმოვადგინოთ საფუძველი და არგუმენტი ორის ხარისხად: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. შევქმნათ და ამოხსნათ განტოლება:
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ;
3. მივიღე პასუხი: 3.

დავალება. გამოთვალეთ ლოგარითმი: log 16 1

1. წარმოვადგინოთ საფუძველი და არგუმენტი ორის ხარისხად: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. შევქმნათ და ამოხსნათ განტოლება:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ;
3. მიიღო პასუხი: 0.

დავალება. გამოთვალეთ ლოგარითმი: log 7 14

1. წარმოვადგინოთ საფუძველი და არგუმენტი შვიდის ხარისხად: 7 = 7 1 ; 14 არ არის წარმოდგენილი შვიდის ხარისხად, რადგან 7 1< 14 < 7 2 ;
2. წინა პუნქტიდან გამომდინარეობს, რომ ლოგარითმი არ განიხილება;
3. პასუხი არ იცვლება: ჟურნალი 7 14.

მცირე შენიშვნა ბოლო მაგალითზე. როგორ დავრწმუნდეთ, რომ რიცხვი არ არის სხვა რიცხვის ზუსტი სიმძლავრე? ძალიან მარტივია - უბრალოდ დაშალეთ ის პირველ ფაქტორებად. თუ გაფართოებაში სულ მცირე ორი განსხვავებული ფაქტორია, რიცხვი არ არის ზუსტი სიმძლავრე.

დავალება. გამოარკვიე არის თუ არა რიცხვის ზუსტი სიმძლავრეები: 8; 48; 81; 35; თოთხმეტი .

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - ზუსტი ხარისხი, რადგან არის მხოლოდ ერთი მულტიპლიკატორი;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 არ არის ზუსტი სიმძლავრე, რადგან არსებობს ორი ფაქტორი: 3 და 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - ზუსტი ხარისხი;
35 = 7 5 - ისევ არ არის ზუსტი ხარისხი;
14 \u003d 7 2 - ისევ არ არის ზუსტი ხარისხი;

გაითვალისწინეთ ისიც, რომ თავად მარტივი რიცხვები ყოველთვის საკუთარი თავის ზუსტი სიმძლავრეებია.

ათწილადი ლოგარითმი

ზოგიერთი ლოგარითმი იმდენად გავრცელებულია, რომ მათ აქვთ სპეციალური სახელი და აღნიშვნა.

x არგუმენტის ათობითი ლოგარითმი არის ფუძე 10 ლოგარითმი, ე.ი. სიმძლავრე, რომელზეც უნდა აწიოთ რიცხვი 10, რომ მიიღოთ რიცხვი x. აღნიშვნა: lg x.

მაგალითად, ჟურნალი 10 = 1; ჟურნალი 100 = 2; lg 1000 = 3 - და ა.შ.

ამიერიდან, როდესაც სახელმძღვანელოში გამოჩნდება ფრაზა „Find lg 0.01“, იცოდეთ, რომ ეს არ არის შეცდომა. ეს არის ათობითი ლოგარითმი. თუმცა, თუ არ ხართ მიჩვეული ასეთ აღნიშვნას, ყოველთვის შეგიძლიათ გადაწეროთ იგი:
ჟურნალი x = ჟურნალი 10 x

ყველაფერი, რაც მართალია ჩვეულებრივი ლოგარითმებისთვის, მართალია ათწილადებისთვისაც.

ბუნებრივი ლოგარითმი

არის კიდევ ერთი ლოგარითმი, რომელსაც აქვს საკუთარი აღნიშვნა. გარკვეული გაგებით, ის კიდევ უფრო მნიშვნელოვანია ვიდრე ათობითი. ეს არის ბუნებრივი ლოგარითმი.

x-ის ბუნებრივი ლოგარითმი არის ფუძე e ლოგარითმი, ე.ი. სიმძლავრე, რომელზეც რიცხვი e უნდა გაიზარდოს x რიცხვის მისაღებად. აღნიშვნა: ln x .

ბევრი იკითხავს: კიდევ რა არის ნომერი e? ეს ირაციონალური რიცხვია, მისი ზუსტი მნიშვნელობის პოვნა და ჩაწერა შეუძლებელია. აქ არის მხოლოდ პირველი ნომრები:
e = 2.718281828459...

ჩვენ არ ჩავუღრმავდებით იმას, თუ რა არის ეს რიცხვი და რატომ არის საჭირო. უბრალოდ გახსოვდეთ, რომ e არის ბუნებრივი ლოგარითმის საფუძველი:
ln x = ჟურნალი e x

ამრიგად ln e = 1; ჟურნალი e 2 = 2; ln e 16 = 16 - და ა.შ. მეორეს მხრივ, ln 2 არის ირაციონალური რიცხვი. ზოგადად, ნებისმიერი რაციონალური რიცხვის ბუნებრივი ლოგარითმი ირაციონალურია. გარდა, რა თქმა უნდა, ერთიანობისა: ln 1 = 0.

ბუნებრივი ლოგარითმებისთვის მოქმედებს ყველა წესი, რომელიც მართებულია ჩვეულებრივი ლოგარითმებისთვის.