ფიგურა არის წერტილების თვითნებური ნაკრები სიბრტყეზე. წერტილი, წრფე, წრფის სეგმენტი, სხივი, სამკუთხედი, წრე, კვადრატი და ა.შ. ეს ყველაფერი გეომეტრიული ფორმების მაგალითებია.

სიბრტყეზე მთავარი გეომეტრიული ფიგურებია წერტილი და ხაზი. ეს ფიგურები არ არის განსაზღვრული გეომეტრიაში.

სიბრტყეზე განუსაზღვრელი გეომეტრიული ფიგურები არის წერტილი და წრფე.

ჩვეულებრივია ქულების აღნიშვნა დიდი ლათინური ასოებით: A, B, C, D .... სწორი ხაზები აღინიშნება პატარა ლათინური ასოებით: a, b, c, d ....

პლანიმეტრიით შესწავლილი ფიგურები:

3. პარალელოგრამი (განსაკუთრებული შემთხვევები: კვადრატი, მართკუთხედი, რომბი)

4. ტრაპეცია

5. წრე

6. სამკუთხედი

7. მრავალკუთხედი

გეომეტრიაში, ტოპოლოგიაში და მათემატიკის დარგებში, წერტილი არის აბსტრაქტული ობიექტი სივრცეში, რომელსაც არ აქვს არც მოცულობა, არც ფართობი, არც სიგრძე და არც დიდი განზომილებების სხვა მსგავსი მახასიათებლები. ამრიგად, ნულოვანი განზომილებიანი ობიექტი ეწოდება წერტილი. წერტილი მათემატიკაში ერთ-ერთი ფუნდამენტური ცნებაა.

წერტილი არის გეომეტრიის ერთ-ერთი ფუნდამენტური ცნება, ამიტომ "წერტილს" არ აქვს განმარტება. ევკლიდემ განსაზღვრა წერტილი, როგორც ის, რაც არ შეიძლება დაიყოს.

ასევე გეომეტრიაში არ არსებობს განმარტება "სწორი ხაზის" (იგულისხმება სწორი ხაზი).

სწორი ხაზი არის გეომეტრიის ერთ-ერთი ძირითადი კონცეფცია.

გეომეტრიული სწორი ხაზი (სწორი ხაზი) ​​არის ორივე მხრიდან დახურული, გაფართოებული არამრუდი გეომეტრიული ობიექტი, რომლის განივი მონაკვეთი მიდრეკილია ნულისკენ, ხოლო სიბრტყეზე გრძივი პროექცია იძლევა წერტილს.

გეომეტრიის სისტემატური წარმოდგენისას, როგორც წესი, სწორი ხაზი მიიღება, როგორც ერთ-ერთი საწყისი კონცეფცია, რომელიც მხოლოდ ირიბად განისაზღვრება გეომეტრიის აქსიომებით.

თუ გეომეტრიის აგების საფუძველი არის სივრცეში ორ წერტილს შორის მანძილის კონცეფცია, მაშინ სწორი ხაზი შეიძლება განისაზღვროს, როგორც ხაზი, რომლის გასწვრივ გზა უდრის ორ წერტილს შორის მანძილს.

3) პარალელოგრამი

პარალელოგრამი არის ოთხკუთხედი, რომლის მოპირდაპირე მხარეები წყვილ-წყვილად პარალელურია, ანუ ისინი დევს პარალელურ წრფეებზე. პარალელოგრამის განსაკუთრებული შემთხვევებია მართკუთხედი, კვადრატი და რომბი.

განსაკუთრებული შემთხვევები:

კვადრატი არის რეგულარული ოთხკუთხედი ან რომბი, რომელშიც ყველა კუთხე მართია, ან პარალელოგრამი, რომელშიც ყველა გვერდი და კუთხე ტოლია.

კვადრატი შეიძლება განისაზღვროს როგორც:

მართკუთხედი ორი მიმდებარე გვერდით ტოლი

§ რომბი ყველა მართი კუთხით (ნებისმიერი კვადრატი არის რომბი, მაგრამ ყველა რომბი არ არის კვადრატი).

მართკუთხედი არის პარალელოგრამი, რომელშიც ყველა კუთხე სწორია (90 გრადუსის ტოლი).

რომბი არის პარალელოგრამი, რომლის ყველა მხარე ტოლია. მართი კუთხით რომბს კვადრატი ეწოდება.

4)ტრაპეცია

ტრაპეცია არის ოთხკუთხედი ზუსტად ერთი წყვილი მოპირდაპირე გვერდით პარალელურად.

ზოგჯერ ტრაპეცია განისაზღვრება, როგორც ოთხკუთხედი, რომელშიც წყვილი მოპირდაპირე გვერდები პარალელურია (მეორე არ არის მითითებული), ამ შემთხვევაში პარალელოგრამი არის ტრაპეციის განსაკუთრებული შემთხვევა. კერძოდ, არსებობს კონცეფცია, როგორც მრუდი ტრაპეცია.

მართკუთხა ტრაპეცია

5) წრე

წრე არის წერტილების ლოკუსი სიბრტყეში, რომლებიც თანაბრად არის დაშორებული მოცემული წერტილისგან, რომელსაც ეწოდება ცენტრი, მოცემულ არანულოვან მანძილზე, რომელსაც ეწოდება მისი რადიუსი.

6) სამკუთხედი

სამკუთხედი არის უმარტივესი მრავალკუთხედი, რომელსაც აქვს 3 წვერო (კუთხე) და 3 გვერდი; სიბრტყის ნაწილი, რომელიც შემოსაზღვრულია სამი წერტილით და სამი ხაზით, რომლებიც აკავშირებს ამ წერტილებს წყვილებში.

თუ სამკუთხედის სამივე წერტილი ერთსა და იმავე სწორ ხაზზეა, მას დეგენერატი ეწოდება.

7) პოლიგონი

მრავალკუთხედი არის გეომეტრიული ფიგურა, რომელიც განისაზღვრება, როგორც დახურული გატეხილი ხაზი. არსებობს სამი განსხვავებული განმარტება:

§ ბრტყელი დახურული გატეხილი ხაზები;

§ ბრტყელი დახურული გატეხილი ხაზები თვითგადაკვეთის გარეშე;

§ თვითმფრინავის ნაწილები, რომლებიც შემოსაზღვრულია გატეხილი ხაზებით.

მრავალწრფის წვეროებს უწოდებენ მრავალკუთხედის წვეროებს, ხოლო სეგმენტებს - მრავალკუთხედის გვერდებს.

გვერდი 1 3-დან

§ერთი. ტესტის კითხვები
Კითხვა 1. მიეცით გეომეტრიული ფორმების მაგალითები.
უპასუხე.გეომეტრიული ფორმების მაგალითები: სამკუთხედი, კვადრატი, წრე.

კითხვა 2.დაასახელეთ სიბრტყის ძირითადი გეომეტრიული ფიგურები.
უპასუხე.სიბრტყეზე მთავარი გეომეტრიული ფიგურებია წერტილი და ხაზი.

კითხვა 3.როგორ განისაზღვრება წერტილები და ხაზები?
უპასუხე.წერტილები აღინიშნება დიდი ლათინური ასოებით: A, B, C, D, .... სწორი ხაზები აღინიშნება პატარა ლათინური ასოებით: a, b, c, d, ....
ხაზი შეიძლება აღინიშნოს მასზე ორი წერტილით. მაგალითად, ხაზს a ფიგურაში 4 შეიძლება ეწოდოს AC, ხოლო b სტრიქონს BC.

კითხვა 4.ჩამოაყალიბეთ წერტილებისა და ხაზების წევრობის ძირითადი თვისებები.
უპასუხე.როგორიც არ უნდა იყოს ხაზი, არის წერტილები, რომლებიც ეკუთვნის ამ წრფეს და წერტილები, რომლებიც მას არ ეკუთვნის.
ნებისმიერი ორი წერტილიდან შეგიძლიათ დახაზოთ ხაზი და მხოლოდ ერთი.
კითხვა 5.ახსენით რა არის მონაკვეთი, რომელსაც ბოლოები აქვს მოცემულ წერტილებში.
უპასუხე.სეგმენტი არის სწორი ხაზის ნაწილი, რომელიც შედგება ამ სწორი ხაზის ყველა წერტილისგან, რომელიც მდებარეობს მის ორ მოცემულ წერტილს შორის. ამ წერტილებს სეგმენტის ბოლოებს უწოდებენ. სეგმენტი მითითებულია მისი ბოლოების მითითებით. როდესაც ისინი ამბობენ ან წერენ: "სეგმენტი AB", ისინი გულისხმობენ სეგმენტს ბოლოებით A და B წერტილებში.

კითხვა 6.ჩამოაყალიბეთ წერტილების მდებარეობის ძირითადი თვისება სწორ ხაზზე.
უპასუხე.ხაზის სამი წერტილიდან ერთი და მხოლოდ ერთი დევს დანარჩენ ორს შორის.
კითხვა 7.ჩამოაყალიბეთ საზომი სეგმენტების ძირითადი თვისებები.
უპასუხე.თითოეულ სეგმენტს აქვს გარკვეული სიგრძე ნულზე მეტი. სეგმენტის სიგრძე უდრის იმ ნაწილების სიგრძის ჯამს, რომლებშიც ის იყოფა მის რომელიმე წერტილზე.
კითხვა 8.რა არის მანძილი ორ მოცემულ წერტილს შორის?
უპასუხე. AB სეგმენტის სიგრძეს ეწოდება A და B წერტილებს შორის მანძილი.
კითხვა 9.რა თვისებები აქვს თვითმფრინავის ორ ნახევრად სიბრტყეზე გაყოფას?
უპასუხე.თვითმფრინავის ორ ნახევრად სიბრტყეზე დაყოფას აქვს შემდეგი თვისება. თუ რომელიმე სეგმენტის ბოლოები ეკუთვნის იმავე ნახევრად სიბრტყეს, მაშინ სეგმენტი არ კვეთს ხაზს. თუ სეგმენტის ბოლო წერტილები ეკუთვნის სხვადასხვა ნახევრად სიბრტყეს, მაშინ სეგმენტი კვეთს ხაზს.

გეომეტრიული ფიგურები არის წერტილების, ხაზების, მყარი ნაწილების ან ზედაპირების კომპლექსი. ეს ელემენტები შეიძლება განთავსდეს როგორც სიბრტყეზე, ასევე სივრცეში, რაც ქმნის ხაზების სასრულ რაოდენობას.

ტერმინი "ფიგურა" ნიშნავს რამდენიმე პუნქტს. ისინი უნდა იყოს განლაგებული ერთ ან მეტ თვითმფრინავზე და ერთდროულად შემოიფარგლება დასრულებული ხაზების კონკრეტული რაოდენობით.

მთავარი გეომეტრიული ფიგურებია წერტილი და ხაზი. ისინი ბრტყელია. მათ გარდა, მარტივ ფიგურებს შორის გამოირჩევა სხივი, გატეხილი ხაზი და სეგმენტი.

Წერტილი

ეს არის გეომეტრიის ერთ-ერთი მთავარი ფიგურა. ის ძალიან პატარაა, მაგრამ ყოველთვის გამოიყენება თვითმფრინავზე სხვადასხვა ფორმის ასაგებად. წერტილი არის მთავარი ფიგურა აბსოლუტურად ყველა კონსტრუქციისთვის, თუნდაც ყველაზე მაღალი სირთულისთვის. გეომეტრიაში იგი ჩვეულებრივ აღინიშნება ლათინური ანბანის ასოებით, მაგალითად, A, B, K, L.

მათემატიკის თვალსაზრისით, წერტილი არის აბსტრაქტული სივრცითი ობიექტი, რომელსაც არ აქვს ისეთი მახასიათებლები, როგორიცაა ფართობი, მოცულობა, მაგრამ ამავე დროს რჩება გეომეტრიის ფუნდამენტურ კონცეფციად. ამ ნულოვანი განზომილების ობიექტს უბრალოდ არ აქვს განმარტება.

პირდაპირ

ეს ფიგურა მთლიანად მოთავსებულია ერთ სიბრტყეში. სწორ ხაზს არ აქვს კონკრეტული მათემატიკური განმარტება, რადგან იგი შედგება უზარმაზარი რაოდენობის წერტილებისგან, რომლებიც მდებარეობს ერთ გაუთავებელ ხაზზე, რომელსაც არ აქვს ლიმიტი და საზღვრები.

ასევე არის ჭრილი. ეს ასევე სწორი ხაზია, მაგრამ ის იწყება და მთავრდება წერტილით, რაც ნიშნავს, რომ მას აქვს გეომეტრიული შეზღუდვები.

ასევე, ხაზი შეიძლება გადაიქცეს მიმართულების სხივად. ეს ხდება მაშინ, როდესაც ხაზი იწყება წერტილიდან, მაგრამ არ აქვს მკაფიო დასასრული. თუ წერტილის შუაში დააყენებთ, მაშინ ის დაიყოფა ორ სხივად (დამატებით), უფრო მეტიც, ერთმანეთის საწინააღმდეგოდ მიმართული.

რამდენიმე სეგმენტს, რომლებიც თანმიმდევრულად უკავშირდება ერთმანეთს ბოლოებით საერთო წერტილში და არ არის განლაგებული ერთსა და იმავე სწორ ხაზზე, ჩვეულებრივ უწოდებენ გაწყვეტილ ხაზს.

ინექცია

გეომეტრიული ფორმები, რომელთა სახელები ზემოთ განვიხილეთ, განიხილება ძირითადი ელემენტები, რომლებიც გამოიყენება უფრო რთული მოდელების მშენებლობაში.

კუთხე არის კონსტრუქცია, რომელიც შედგება წვეროსა და მისგან გამომავალი ორი სხივისგან. ანუ, ამ ფიგურის მხარეები ერთ წერტილშია დაკავშირებული.

თვითმფრინავი

განვიხილოთ კიდევ ერთი ძირითადი კონცეფცია. თვითმფრინავი არის ფიგურა, რომელსაც არ აქვს დასასრული ან დასაწყისი, ასევე სწორი ხაზი და წერტილი. ამ გეომეტრიული ელემენტის განხილვისას მხედველობაში მიიღება მხოლოდ მისი ნაწილი, რომელიც შემოიფარგლება გატეხილი დახურული ხაზის კონტურებით.

ნებისმიერი გლუვი შემოსაზღვრული ზედაპირი შეიძლება ჩაითვალოს თვითმფრინავად. ეს შეიძლება იყოს საუთაო დაფა, ფურცელი ან თუნდაც კარი.

ოთხკუთხედები

პარალელოგრამი არის გეომეტრიული ფიგურა, რომლის მოპირდაპირე მხარეები ერთმანეთის პარალელურია წყვილებში. ამ დიზაინის კერძო ტიპებს შორის გამოირჩევა რომბი, მართკუთხედი და კვადრატი.

მართკუთხედი არის პარალელოგრამი, რომელშიც ყველა მხარე სწორი კუთხით ეხება.

კვადრატი არის ოთხკუთხედი თანაბარი გვერდებით და კუთხეებით.

რომბი არის ფიგურა, რომელშიც ყველა სახე თანაბარია. ამ შემთხვევაში, კუთხეები შეიძლება იყოს სრულიად განსხვავებული, მაგრამ წყვილებში. თითოეული კვადრატი ითვლება რომბად. მაგრამ საპირისპირო მიმართულებით, ეს წესი ყოველთვის არ მუშაობს. ყველა რომბი არ არის კვადრატი.

ტრაპეცია

გეომეტრიული ფორმები სრულიად განსხვავებული და უცნაურია. თითოეულ მათგანს აქვს უნიკალური ფორმა და თვისებები.

ტრაპეცია არის ფიგურა, რომელიც გარკვეულწილად ჰგავს ოთხკუთხედს. მას აქვს ორი პარალელური მოპირდაპირე მხარე და ითვლება მრუდი.

Წრე

ეს გეომეტრიული ფიგურა გულისხმობს წერტილების იმავე სიბრტყეზე მდებარეობას მისი ცენტრიდან თანაბარ მანძილზე. ამ შემთხვევაში, მოცემულ არანულოვან სეგმენტს ჩვეულებრივ უწოდებენ რადიუსს.

სამკუთხედი

ეს არის მარტივი გეომეტრიული ფიგურა, რომელსაც ძალიან ხშირად ვხვდებით და სწავლობენ.

სამკუთხედი განიხილება მრავალკუთხედის ქვესახეობად, რომელიც მდებარეობს იმავე სიბრტყეზე და შემოიფარგლება სამი სახის და სამი შეხების წერტილით. ეს ელემენტები დაკავშირებულია წყვილებში.

მრავალკუთხედი

მრავალკუთხედების წვეროები არის სეგმენტების დამაკავშირებელი წერტილები. ეს უკანასკნელნი კი თავის მხრივ მხარეებად ითვლებიან.

მოცულობითი გეომეტრიული ფორმები

• პრიზმა;
• სფერო;
• კონუსი;
• ცილინდრი;
• პირამიდა;

ამ სხეულებს აქვთ რაღაც საერთო. ყველა მათგანი შემოიფარგლება დახურული ზედაპირით, რომლის შიგნითაც ბევრი წერტილია.

მოცულობითი სხეულები შესწავლილია არა მხოლოდ გეომეტრიაში, არამედ კრისტალოგრაფიაშიც.

საინტერესო ფაქტები

რა თქმა უნდა, დაგაინტერესებთ ქვემოთ მოწოდებული ინფორმაციის წაკითხვა.

• გეომეტრია, როგორც მეცნიერება, ძველ დროში ჩამოყალიბდა. ეს ფენომენი ჩვეულებრივ ასოცირდება ხელოვნებისა და სხვადასხვა ხელოსნობის განვითარებასთან. ხოლო გეომეტრიული ფორმების სახელები მიუთითებს მსგავსებისა და მსგავსების განსაზღვრის პრინციპების გამოყენებაზე.
• ძველი ბერძნულიდან თარგმნილი, ტერმინი "ტრაპეცია" ნიშნავს სადილის მაგიდას.
• თუ იღებთ სხვადასხვა ფიგურებს, რომელთა პერიმეტრიც იგივეა, მაშინ წრე გარანტირებულია რომ ჰქონდეს ყველაზე დიდი ფართობი.
• ბერძნულიდან თარგმნილი ტერმინი "კონუსი" ნიშნავს ფიჭვის გირჩს.
• არის კაზემირ მალევიჩის ცნობილი ნახატი, რომელმაც მრავალი მხატვრის ყურადღება მიიპყრო გასული საუკუნის შემდეგ. ნამუშევარი „შავი მოედანი“ ყოველთვის მისტიური და იდუმალი იყო. გეომეტრიული ფიგურა თეთრ ტილოზე ერთდროულად ახარებს და აოცებს.

გეომეტრიული ფორმების დიდი რაოდენობაა. ყველა მათგანი განსხვავდება პარამეტრებით, ზოგჯერ კი გაოცება ფორმებით.

1. გეომეტრიული ფიგურის ცნება.

3. პარალელური და პერპენდიკულარული ხაზები.

4. სამკუთხედები.

5. ოთხკუთხედები.

6. მრავალკუთხედები.

7. წრე და წრე.

8. გეომეტრიული ფიგურების აგება სიბრტყეზე.

9. გეომეტრიული ფიგურების გარდაქმნები. ტრანსფორმაციის კონცეფცია

მთავარი ლიტერატურა;

დამატებითი ლიტერატურა

გეომეტრიული ფიგურის კონცეფცია

გეომეტრიული ფიგურაგანისაზღვრება, როგორც პუნქტების ნებისმიერი ნაკრები.

სეგმენტი, სწორი ხაზი, წრე, ბურთი- გეომეტრიული ფიგურები.

თუ გეომეტრიული ფიგურის ყველა წერტილი ეკუთვნის ერთ სიბრტყეს, მას ე.წ ბინა .

მაგალითად, სეგმენტი, მართკუთხედი ბრტყელი ფიგურებია. არის ფიგურები, რომლებიც არ არის ბრტყელი. ეს არის, მაგალითად, კუბი, ბურთი, პირამიდა.

ვინაიდან გეომეტრიული ფიგურის ცნება განისაზღვრება სიმრავლის კონცეფციით, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ერთი ფიგურა შედის მეორეში (ან შეიცავს მეორეში), შეგვიძლია განვიხილოთ ფიგურების კავშირი, გადაკვეთა და განსხვავება.

Მაგალითად,ორი სხივის კავშირი ABდა MK(ნახ. 1) არის სწორი ხაზი KV,და მათი გადაკვეთა არის სეგმენტი ᲕᲐᲠ.

K A M V

ამოზნექილი ფიგურები არის სიბრტყე, წრფე, სხივი, სეგმენტი, წერტილი. ადვილია იმის შემოწმება, რომ ამოზნექილი ფიგურა არის წრე (ნახ. 3). თუ XY სეგმენტს გავაგრძელებთ წრეწირის კვეთამდე, მივიღებთ აკორდს AB.ვინაიდან აკორდი შეიცავს წრეს, XY სეგმენტი ასევე შეიცავს წრეში და, შესაბამისად, წრე არის ამოზნექილი ფიგურა.

მრავალკუთხედებისთვის ცნობილია კიდევ ერთი განმარტება: მრავალკუთხედს ეწოდება ამოზნექილი, თუ ის დევს მისი გვერდის შემცველი წრფის ერთ მხარეს. .

ვინაიდან ამ განმარტებისა და ზემოთ მოცემული მრავალკუთხედის ეკვივალენტობა დადასტურდა, ორივე შეიძლება გამოყენებულ იქნას.

ამ ცნებებიდან გამომდინარე განვიხილავთ სკოლის პლანიმეტრიის კურსში შესწავლილ სხვა გეომეტრიულ ფორმებს. მოდით განვიხილოთ მათი განმარტებები და ძირითადი თვისებები, მივიღოთ ისინი მტკიცებულების გარეშე. ამ მასალის ცოდნა და მარტივი გეომეტრიული ამოცანების გადაწყვეტაში მისი გამოყენების უნარი არის საფუძველი, რომელზედაც შეგიძლიათ ააგოთ მეთოდოლოგია უმცროსი სტუდენტებისთვის ელემენტარული გეომეტრიის სწავლებისთვის.

კუთხეები

გავიხსენოთ რომ კუთხე არის გეომეტრიული ფიგურა, რომელიც შედგება წერტილისა და ამ წერტილიდან გამომავალი ორი სხივისგან.

სხივებს კუთხის გვერდებს უწოდებენ და მათი საერთო დასაწყისია მისი წვერო.

კუთხე აღინიშნება სხვადასხვა გზით: მიუთითეთ მისი წვერო, ან მისი გვერდები, ან სამი წერტილი: წვერო და ორი წერტილი კუთხის გვერდებზე: Ð A, Ð (k, l), Ð ABC.

კუთხე ეწოდება განლაგებული , თუ მისი გვერდები ერთსა და იმავე სწორ ხაზზე დევს.

კუთხე, რომელიც არის ნახევარი სწორი კუთხე ეწოდება პირდაპირი. მართკუთხედზე მცირე კუთხეს უწოდებენ ბასრი.მართკუთხაზე მეტი, მაგრამ სწორ კუთხეზე ნაკლები კუთხე ეწოდება სულელი .

ზემოთ მოცემული კუთხის კონცეფციის გარდა, სიბრტყის კუთხის კონცეფცია განიხილება გეომეტრიაში.

ბრტყელი კუთხე არის სიბრტყის ნაწილი, რომელიც შემოსაზღვრულია ერთი და იმავე წერტილიდან გამომავალი ორი განსხვავებული სხივით.

პლანიმეტრიაში გათვალისწინებული კუთხეები არ აღემატება განვითარებულ კუთხეს.

ორ კუთხეს ე.წ მიმდებარე, თუ მათ აქვთ ერთი გვერდი საერთო, ხოლო ამ კუთხეების მეორე მხარეები არიან დამატებითი ნახევარხაზები.

მიმდებარე კუთხეების ჯამი არის 180°. ამ თვისების მართებულობა გამომდინარეობს მიმდებარე კუთხეების განსაზღვრებიდან.

ორ კუთხეს ე.წ ვერტიკალური,თუ ერთი კუთხის გვერდები მეორის გვერდების დამატებითი ნახევარხაზებია. კუთხეები AOB და SOV, ისევე როგორც კუთხეები AOC და D0B, ვერტიკალურია (ნახ. 4).

2.1. გეომეტრიული ფიგურები თვითმფრინავზე

ბოლო წლებში შეიმჩნევა მათემატიკის საწყის კურსში გეომეტრიული მასალის მნიშვნელოვანი მოცულობის ჩართვის ტენდენცია. მაგრამ იმისათვის, რომ შეძლოს მოსწავლეებს გააცნოს სხვადასხვა გეომეტრიული ფორმები, ასწავლოს მათი სწორად გამოსახვა, მას შესაბამისი მათემატიკური მომზადება სჭირდება. მასწავლებელი უნდა იცნობდეს გეომეტრიის კურსის წამყვან იდეებს, იცოდეს გეომეტრიული ფიგურების ძირითადი თვისებები და შეძლოს მათი აგება.

ბრტყელი ფიგურის გამოსახვისას არ არის გეომეტრიული პრობლემები. ნახატი ემსახურება ან ორიგინალის ზუსტ ასლს, ან წარმოადგენს მის მსგავს ფიგურას. ნახატზე წრის გამოსახულების გათვალისწინებით, ვიღებთ იგივე ვიზუალურ შთაბეჭდილებას, თითქოს განვიხილავდით თავდაპირველ წრეს.

ამიტომ გეომეტრიის შესწავლა იწყება პლანიმეტრიით.

პლანიმეტრია არის გეომეტრიის ფილიალი, რომელიც სწავლობს ფიგურებს სიბრტყეზე.

გეომეტრიული ფიგურა განისაზღვრება, როგორც წერტილების ნებისმიერი ნაკრები.

სეგმენტი, ხაზი, წრე - გეომეტრიული ფორმები.

თუ გეომეტრიული ფიგურის ყველა წერტილი ეკუთვნის ერთ სიბრტყეს, მას ბრტყელი ეწოდება.

მაგალითად, სეგმენტი, მართკუთხედი ბრტყელი ფიგურებია.

არის ფიგურები, რომლებიც არ არის ბრტყელი. ეს არის, მაგალითად, კუბი, ბურთი, პირამიდა.

ვინაიდან გეომეტრიული ფიგურის ცნება განისაზღვრება სიმრავლის ცნების საშუალებით, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ერთი ფიგურა შედის მეორეში, შეგვიძლია განვიხილოთ ფიგურების კავშირი, გადაკვეთა და განსხვავება.

მაგალითად, ორი AB და MK სხივის შეერთება არის სწორი ხაზი KB, ხოლო მათი გადაკვეთა არის სეგმენტი AM.

არის ამოზნექილი და არაამოზნექილი ფიგურები. ფიგურას ეწოდება ამოზნექილი, თუ მის რომელიმე ორ წერტილთან ერთად შეიცავს მათ დამაკავშირებელ სეგმენტს.

ფიგურა F 1 არის ამოზნექილი, ხოლო ფიგურა F 2 არის არაამოზნექილი.

ამოზნექილი ფიგურები არის სიბრტყე, წრფე, სხივი, სეგმენტი, წერტილი. ადვილია იმის დადასტურება, რომ ამოზნექილი ფიგურა არის წრე.

თუ XY მონაკვეთს გავაგრძელებთ წრეწირის კვეთამდე, მივიღებთ AB აკორდს. ვინაიდან აკორდი შეიცავს წრეს, XY სეგმენტი ასევე შეიცავს წრეში და, შესაბამისად, წრე არის ამოზნექილი ფიგურა.

სიბრტყეზე უმარტივესი ფიგურების ძირითადი თვისებები გამოიხატება შემდეგ აქსიომებში:

1. როგორიც არ უნდა იყოს წრფე, არის წერტილები, რომლებიც მიეკუთვნება ამ წრფეს და არ ეკუთვნის მას.

ნებისმიერი ორი წერტილიდან შეგიძლიათ დახაზოთ ხაზი და მხოლოდ ერთი.

ეს აქსიომა გამოხატავს სიბრტყეში წერტილებისა და წრფეების კუთვნილების ძირითად თვისებას.

2. ხაზის სამი წერტილიდან ერთი და მხოლოდ ერთი დევს დანარჩენ ორს შორის.

ეს აქსიომა გამოხატავს წერტილების მდებარეობის ძირითად თვისებას ხაზზე.

3. თითოეულ სეგმენტს აქვს გარკვეული სიგრძე ნულზე მეტი. სეგმენტის სიგრძე უდრის იმ ნაწილების სიგრძის ჯამს, რომლებშიც ის იყოფა მის რომელიმე წერტილზე.

ცხადია, აქსიომა 3 გამოხატავს სეგმენტების გაზომვის ძირითად თვისებას.

ეს წინადადება გამოხატავს წერტილების მდებარეობის ძირითად თვისებას სიბრტყეზე სწორ ხაზთან მიმართებაში.

5. თითოეულ კუთხეს აქვს გარკვეული ხარისხის ზომა, ნულზე მეტი. გაფართოებული კუთხე არის 180 o. კუთხის ხარისხიანი ზომა უდრის იმ კუთხეების ხარისხიანი ზომების ჯამს, რომლებშიც იგი იყოფა მის გვერდებს შორის გამავალ ნებისმიერ სხივზე.

ეს აქსიომა გამოხატავს კუთხეების გაზომვის ძირითად თვისებას.

6. მისი საწყისი წერტილიდან ნებისმიერ ნახევარხაზზე შეიძლება მოცემული სიგრძის სეგმენტის დახატვა და მხოლოდ ერთი.

7. მოცემულ ნახევრად სიბრტყეში ნებისმიერი ნახევრად წრფედან შეგიძლიათ გამოყოთ კუთხე მოცემული გრადუსით 180 O-ზე ნაკლები, და მხოლოდ ერთი.

ეს აქსიომები ასახავს კუთხეების და სეგმენტების განლაგების ძირითად თვისებებს.

უმარტივესი ფიგურების ძირითადი თვისებები მოიცავს მოცემულის ტოლი სამკუთხედის არსებობას.

8. როგორიც არ უნდა იყოს სამკუთხედი, მოცემულ ადგილას არის ტოლი სამკუთხედი მოცემული ნახევარწრფის მიმართ.

პარალელური წრფეების ძირითადი თვისებები გამოიხატება შემდეგი აქსიომით.

9. წერტილის გავლით, რომელიც არ დევს მოცემულ წრფეზე, სიბრტყეზე შესაძლებელია მოცემული წრფის პარალელურად მაქსიმუმ ერთი სწორი ხაზის გაყვანა.

განვიხილოთ რამდენიმე გეომეტრიული ფიგურა, რომლებსაც სწავლობენ დაწყებით სკოლაში.

კუთხე არის გეომეტრიული ფიგურა, რომელიც შედგება წერტილისა და ამ წერტილიდან გამომავალი ორი სხივისგან. სხივებს კუთხის გვერდებს უწოდებენ და მათი საერთო დასაწყისია მისი წვერო.

კუთხეს მართალი ეწოდება, თუ მისი გვერდები ერთსა და იმავე სწორ ხაზზეა.

კუთხეს, რომელიც არის ნახევრად სწორი კუთხე, მართი კუთხე ეწოდება. მართ კუთხეზე ნაკლებ კუთხეს მახვილი კუთხე ეწოდება. მართკუთხა კუთხეზე მეტი, მაგრამ სწორ კუთხეზე ნაკლები, ბლაგვი კუთხე ეწოდება.

ზემოთ მოცემული კუთხის კონცეფციის გარდა, სიბრტყის კუთხის კონცეფცია განიხილება გეომეტრიაში.

ბრტყელი კუთხე არის სიბრტყის ნაწილი, რომელიც შემოსაზღვრულია ერთი და იმავე წერტილიდან გამომავალი ორი განსხვავებული სხივით.

არსებობს ორი ბრტყელი კუთხე, რომელიც წარმოიქმნება ორი სხივით საერთო წარმოშობის. მათ დამატებითებს უწოდებენ. ფიგურაში ნაჩვენებია ორი ბრტყელი კუთხე OA და OB გვერდებით, ერთი მათგანი დაჩრდილულია.

კუთხეები არის მიმდებარე და ვერტიკალური.

ორ კუთხეს მეზობლად უწოდებენ, თუ მათ ერთი გვერდი აქვთ საერთო და ამ კუთხის მეორე მხარე არის დამატებითი ნახევარხაზები.

მიმდებარე კუთხეების ჯამი 180 გრადუსია.

ორ კუთხეს ვერტიკალური ეწოდება, თუ ერთი კუთხის გვერდები მეორის გვერდების დამატებითი ნახევარხაზებია.

AOD და SOV კუთხეები, ისევე როგორც AOS და DOV კუთხეები, ვერტიკალურია.

ვერტიკალური კუთხეები ტოლია.

პარალელური და პერპენდიკულარული ხაზები.

სიბრტყეში ორ წრფეს პარალელურს უწოდებენ, თუ ისინი არ იკვეთება.

თუ a წრფე ბ წრფის პარალელურია, ჩაწერეთ II c.

ორ წრფეს უწოდებენ პერპენდიკულურს, თუ ისინი იკვეთება სწორი კუთხით.

თუ a წრფე პერპენდიკულარულია b წრფეზე, ჩაწერეთ a.

სამკუთხედები.

სამკუთხედი არის გეომეტრიული ფიგურა, რომელიც შედგება სამი წერტილისგან, რომლებიც არ დევს ერთსა და იმავე სწორ ხაზზე და სამი წყვილი სეგმენტისგან, რომლებიც აკავშირებს მათ.

ნებისმიერი სამკუთხედი ყოფს სიბრტყეს ორ ნაწილად: შიდა და გარე.

ნებისმიერ სამკუთხედში გამოიყოფა შემდეგი ელემენტები: გვერდები, კუთხეები, სიმაღლეები, ბისექტრები, შუახაზები, შუახაზები.

მოცემული წვეროდან ჩამოშვებული სამკუთხედის სიმაღლე არის ამ წვეროდან მოპირდაპირე მხარის შემცველი წრფის პერპენდიკულური.

სამკუთხედის ბისექტრი არის სამკუთხედის კუთხის ბისექტრის სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს წვეროს მოპირდაპირე მხარეს არსებულ წერტილთან.

მოცემული წვეროდან გამოყვანილი სამკუთხედის მედიანა არის სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს ამ წვეროს მოპირდაპირე მხარის შუა წერტილთან.

სამკუთხედის შუა ხაზი არის ხაზის სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს მისი ორი გვერდის შუა წერტილებს.

ოთხკუთხედები.

ოთხკუთხედი არის ფიგურა, რომელიც შედგება ოთხი წერტილისა და ოთხი სეგმენტისგან, რომლებიც აკავშირებს მათ რიგზე და ამ წერტილებიდან სამი არ უნდა იყოს ერთსა და იმავე სწორ ხაზზე და მათი დამაკავშირებელი სეგმენტები არ უნდა იკვეთებოდეს. ამ წერტილებს უწოდებენ სამკუთხედის წვეროებს, ხოლო შემაერთებელ სეგმენტებს - მის გვერდებს.

ოთხკუთხედის გვერდებს, რომლებიც წარმოიქმნება ერთი და იგივე წვეროდან, მოპირდაპირე გვერდებს უწოდებენ.

ABCD ოთხკუთხედში A და B წვეროები მიმდებარეა, ხოლო A და C წვეროები საპირისპიროა; AB და BC მხარეები მიმდებარეა, BC და AD მოპირდაპირეა; სეგმენტები AC და BD არის ამ ოთხკუთხედის დიაგონალები.

არსებობს ამოზნექილი და არაამოზნექილი ოთხკუთხედები. ამრიგად, ოთხკუთხედი ABCD არის ამოზნექილი, ხოლო ოთხკუთხედი KRMT არის არაამოზნექილი.

ამოზნექილ ოთხკუთხედებს შორის გამოიყოფა პარალელოგრამები და ტრაპეცია.

პარალელოგრამი არის ოთხკუთხედი, რომლის მოპირდაპირე გვერდები პარალელურია.

ტრაპეცია არის ოთხკუთხედი, რომელშიც მხოლოდ ორი მოპირდაპირე მხარეა პარალელური. ამ პარალელურ გვერდებს ტრაპეციის ფუძეებს უწოდებენ. დანარჩენ ორ მხარეს გვერდითი ეწოდება. გვერდების შუა წერტილების დამაკავშირებელ სეგმენტს ტრაპეციის შუა ხაზი ეწოდება.

BC და AD არის ტრაპეციის ფუძე; AB და SD - გვერდითი მხარეები; KM - ტრაპეციის შუა ხაზი.

მრავალი პარალელოგრამიდან გამოირჩევა მართკუთხედები და რომბები.

მართკუთხედი არის პარალელოგრამი ყველა მართი კუთხით.

რომბი არის პარალელოგრამი, რომელშიც ყველა გვერდი თანაბარია.

მართკუთხედების ნაკრებიდან არჩეულია კვადრატები.

კვადრატი არის მართკუთხედი, რომელშიც ყველა გვერდი თანაბარია.

წრე.

წრე არის ფიგურა, რომელიც შედგება სიბრტყის ყველა წერტილისგან, რომელიც თანაბარი მანძილით არის დაშორებული მოცემული წერტილიდან, რომელსაც ცენტრი ეწოდება.

მანძილს წერტილებიდან მის ცენტრამდე რადიუსი ეწოდება. წრფის მონაკვეთს, რომელიც აკავშირებს წრეზე ორ წერტილს, ეწოდება აკორდი. ცენტრში გამავალ აკორდს დიამეტრი ეწოდება. OA არის რადიუსი, SD არის აკორდი, AB არის დიამეტრი.

წრეში ცენტრალური კუთხე არის ბრტყელი კუთხე, რომლის ცენტრში არის წვერო. წრის ნაწილს, რომელიც მდებარეობს ბრტყელი კუთხის შიგნით, ეწოდება ამ ცენტრალური კუთხის შესაბამისი წრის რკალი.

ახალი სახელმძღვანელოების მიხედვით ახალ პროგრამებში მ.ი. მორო, მ.ა. ბანტოვა, გ.ვ. ბელტიუკოვა, ს.ი. ვოლკოვა, ს.ვ. სტეპანოვას მე-4 კლასში ეძლევა დავალებები მშენებლობისთვის, ისეთი, რომ ადრე არ იყო დაწყებითი სკოლის მათემატიკის პროგრამაში. ეს არის დავალებები, როგორიცაა:

ააგეთ წრფის პერპენდიკულარი;

გაყავით სეგმენტი შუაზე;

ააგეთ სამკუთხედი სამ მხარეს;

ააგეთ რეგულარული სამკუთხედი, ტოლფერდა სამკუთხედი;

ააგეთ ექვსკუთხედი;

კვადრატის დიაგონალების თვისებების გამოყენებით ააგეთ კვადრატი;

ააგეთ მართკუთხედი მართკუთხედის დიაგონალების თვისების გამოყენებით.

განვიხილოთ გეომეტრიული ფიგურების აგება სიბრტყეზე.

გეომეტრიის მონაკვეთს, რომელიც სწავლობს გეომეტრიულ კონსტრუქციებს, ეწოდება კონსტრუქციული გეომეტრია. კონსტრუქციული გეომეტრიის ძირითადი კონცეფცია არის ცნება "ფიგურის აგება". ძირითადი წინადადებები ჩამოყალიბებულია აქსიომების სახით და დაყვანილია შემდეგზე.

1. თითოეული მოცემული ფიგურა აგებულია.

2. თუ აგებულია ორი (ან მეტი) ფიგურა, მაშინ აგებულია ამ ფიგურების გაერთიანებაც.

3. თუ აგებულია ორი ფიგურა, მაშინ შესაძლებელია განისაზღვროს მათი კვეთა ცარიელი ნაკრები იქნება თუ არა.

4. თუ ორი აგებული ფიგურის კვეთა ცარიელი არ არის, მაშინ ის აგებულია.

5. თუ აგებულია ორი ფიგურა, მაშინ შესაძლებელია განისაზღვროს მათი განსხვავება ცარიელი ნაკრები იქნება თუ არა.

6. თუ ორი აგებული ფიგურის სხვაობა არ არის ცარიელი სიმრავლე, მაშინ იგი აგებულია.

7. შეგიძლიათ დახაზოთ დახატული ფიგურის კუთვნილი წერტილი.

8. შეგიძლიათ ააგოთ წერტილი, რომელიც არ ეკუთვნის აგებულ ფიგურას.

გეომეტრიული ფიგურების ასაგებად, რომლებსაც აქვთ გარკვეული მახასიათებლები, გამოიყენება სხვადასხვა სახატავი ხელსაწყოები. მათგან ყველაზე მარტივია: ცალმხრივი სახაზავი (შემდგომში უბრალოდ სახაზავი), ორმხრივი სახაზავი, კვადრატი, კომპასები და ა.შ.

სხვადასხვა სახატავი ხელსაწყოები საშუალებას გაძლევთ შეასრულოთ სხვადასხვა კონსტრუქციები. გეომეტრიული კონსტრუქციებისთვის გამოყენებული სახატავი ხელსაწყოების თვისებები ასევე გამოხატულია აქსიომების სახით.

ვინაიდან სასკოლო გეომეტრიის კურსში განიხილება კომპასისა და სახაზავის გამოყენებით გეომეტრიული ფიგურების აგება, ჩვენ ასევე ვისაუბრებთ ამ კონკრეტული ნახატების ინსტრუმენტებით შესრულებულ ძირითად კონსტრუქციებზე.

ასე რომ, სახაზავის დახმარებით შეგიძლიათ შეასრულოთ შემდეგი გეომეტრიული კონსტრუქციები.

1. ორი აგებული წერტილის დამაკავშირებელი სეგმენტის აგება;

2. ააგეთ სწორი ხაზი, რომელიც გაივლის ორ აგებულ წერტილს;

3. ააგეთ სხივი, რომელიც იწყება აგებული წერტილიდან და გადის აგებულ წერტილში.

კომპასი საშუალებას გაძლევთ შეასრულოთ შემდეგი გეომეტრიული კონსტრუქციები:

1. ააგეთ წრე, თუ აგებულია მისი ცენტრი და წრის რადიუსის ტოლი სეგმენტი;

2. ააგეთ ორი დამატებითი წრის რკალიდან რომელიმე, თუ აგებულია წრის ცენტრი და ამ რკალების ბოლოები.

ძირითადი ამოცანები მშენებლობისთვის.

სამშენებლო ამოცანები, ალბათ, უძველესი მათემატიკური ამოცანებია, ისინი ხელს უწყობენ გეომეტრიული ფორმების თვისებების უკეთ გააზრებას, ხელს უწყობენ გრაფიკული უნარების განვითარებას.

კონსტრუქციული პრობლემა გადაჭრულად ითვლება, თუ მითითებულია ფიგურის აგების მეთოდი და დადასტურდება, რომ მითითებული კონსტრუქციების შედეგად რეალურად მიიღება საჭირო თვისებების მქონე ფიგურა.

განვიხილოთ რამდენიმე ელემენტარული სამშენებლო დავალება.

1. ააგეთ SD სეგმენტი მოცემულ სწორ ხაზზე, მოცემული AB სეგმენტის ტოლი.

მხოლოდ კონსტრუქციის შესაძლებლობა გამომდინარეობს სეგმენტის გადადების აქსიომიდან. კომპასისა და სახაზავის დახმარებით ხორციელდება შემდეგნაირად. მიეცით წრფე a და სეგმენტი AB. ვნიშნავთ C წერტილს სწორ ხაზზე და ვაკეთებთ წრეს სწორი ხაზით a ცენტრით C წერტილში და ვნიშნავთ D. ვიღებთ SD მონაკვეთს AB-ის ტოლი.

2. მოცემული წერტილის გავლით დახაზეთ წრფე მოცემული წრფის პერპენდიკულარული.

მიეცით O წერტილები და წრფე a. შესაძლებელია ორი შემთხვევა:

1. წერტილი O დგას a წრფეზე;

2. წერტილი O არ დევს a წრფეზე.

პირველ შემთხვევაში ჩვენ აღვნიშნავთ C წერტილს, რომელიც არ დევს a წრფეზე. C წერტილიდან, როგორც ცენტრიდან, ჩვენ ვწერთ თვითნებური რადიუსის წრეს. დავუშვათ A და B მისი გადაკვეთის წერტილები. A და B წერტილებიდან ჩვენ აღვწერთ წრეს ერთი რადიუსით. წერტილი O იყოს მათი გადაკვეთის წერტილი, განსხვავებული C-სგან. მაშინ ნახევარწრფი CO არის განვითარებული კუთხის ბისექტორი, ისევე როგორც a წრფის პერპენდიკულარული.

მეორე შემთხვევაში, O წერტილიდან როგორც ცენტრიდან ვხატავთ წრეს, რომელიც კვეთს a სწორ ხაზს, შემდეგ კი A და B წერტილებიდან იგივე რადიუსით ვხატავთ კიდევ ორ წრეს. მოდით, O იყოს მათი გადაკვეთის წერტილი, რომელიც მდებარეობს ნახევრად სიბრტყეში, რომელიც განსხვავდება იმისგან, რომელშიც მდებარეობს O წერტილი. OO/ წრფე არის მოცემული a წრფის პერპენდიკულარული. დავამტკიცოთ.

აღნიშნეთ C-ით AB და OO/ წრფეების გადაკვეთის წერტილი. სამკუთხედებს AOB და AO/B აქვთ სამი თანაბარი გვერდი. მაშასადამე, კუთხე OAC უდრის კუთხეს O/AC ტოლია ორ მხარეს და მათ შორის კუთხეს. ამიტომ ACO და ACO/ კუთხიდან ტოლია. და რადგან კუთხეები მიმდებარეა, ისინი მართი კუთხეებია. ამრიგად, OS არის a წრფის პერპენდიკულარული.

3. მოცემული წერტილის გავლით გავავლოთ წრფე მოცემულის პარალელურად.

მოცემული იყოს წრფე a და წერტილი A ამ წრფის გარეთ. ავიღოთ B წერტილი a წრფეზე და დავაკავშიროთ ის A წერტილთან. გავავლოთ C წრფე A წერტილის გავლით, AB-ით შევქმნათ იგივე კუთხე, როგორც AB აყალიბებს მოცემულ a წრფესთან, მაგრამ AB-ის მოპირდაპირე მხარეს. აგებული ხაზი იქნება a. წრფის პარალელურად, რომელიც გამომდინარეობს a წრფეების გადაკვეთაზე წარმოქმნილი ჯვარედინ დაწოლის კუთხეების ტოლობიდან და AB სკანტთან.

4. ააგეთ მასზე მოცემულ წერტილში გამავალი წრის ტანგენსი.

მოცემულია: 1) წრე X (O, h)

2) წერტილი A x

კონსტრუქცია: ტანგენტი AB.

მშენებლობა.

2. წრე X (A, h), სადაც h არის თვითნებური რადიუსი (კომპასის 1 აქსიომა)

3. x 1 წრის და AO სწორი ხაზის გადაკვეთის M და N წერტილები, ანუ (M, N) = x 1 AO (აქსიომა 4 ზოგადია)

4. წრე x (M, r 2), სადაც r 2 არის თვითნებური რადიუსი, ისეთი, რომ r 2 r 1 (კომპასის 1 აქსიომა)

გარეგნულად კი – მათი ღია ქცევით, შინაგანად კი – გონებრივი პროცესებითა და განცდებით. დასკვნები პირველ ნაწილზე უმცროსი მოსწავლის ყველა შემეცნებითი პროცესის განვითარებისათვის დაცული უნდა იყოს შემდეგი პირობები: 1. სასწავლო აქტივობა უნდა იყოს მიზანმიმართული, აღძრავს და ინარჩუნებს მუდმივ ინტერესს მოსწავლეებში; 2. გააფართოვეთ და განავითარეთ შემეცნებითი ინტერესები ...

მთელი ტესტი მთლიანობაში, რაც მიუთითებს იმაზე, რომ მათი შედარებისა და განზოგადების გონებრივი ოპერაციების განვითარების დონეები უფრო მაღალია, ვიდრე ცუდი სკოლის მოსწავლეების დონეები. თუ ცალკეულ მონაცემებს ქვეტესტებით გავაანალიზებთ, მაშინ ცალკეულ კითხვებზე პასუხის გაცემის სირთულეები მიუთითებს ამ ლოგიკური ოპერაციების ცუდ ცოდნაზე. ეს სირთულეები ყველაზე ხშირად გვხვდება დაბალი მიღწევების სკოლის მოსწავლეებში. Ეს არის...

უმცროსი მოსწავლე. კვლევის ობიექტი: 1025-ე საშუალო სკოლის II კლასის მოსწავლეებში ხატოვანი აზროვნების განვითარება. მეთოდი: ტესტირება. თავი 1. ხატოვანი აზროვნების შესწავლის თეორიული საფუძვლები 1.1. აზროვნების კონცეფცია ჩვენი ცოდნა გარემომცველი რეალობის შესახებ იწყება შეგრძნებებითა და აღქმით და გადადის აზროვნებამდე. აზროვნების ფუნქციაა ცოდნის საზღვრების გაფართოება სცილდება...