Თვისებები

განტოლებიდან გამომდინარე x 2 + წ 2 = ზ 2 ერთგვაროვანი, გამრავლებისას x , წდა ზიმავე რიცხვისთვის მიიღებთ კიდევ ერთ პითაგორას სამეულს. პითაგორას სამეული ე.წ პრიმიტიული, თუ ამ გზით ვერ მიიღება, ეს არის - შედარებით მარტივი რიცხვები.

მაგალითები

ზოგიერთი პითაგორას სამეული (დალაგებულია მაქსიმალური რიცხვის ზრდის მიხედვით, ხაზგასმულია პრიმიტიული):

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (14, 48, 50), (30, 40, 50)…

ფიბონაჩის რიცხვების თვისებებზე დაყრდნობით, შეგიძლიათ გააკეთოთ ისინი, მაგალითად, ასეთი პითაგორას სამეულები:

.

ამბავი

პითაგორას სამეულები დიდი ხანია ცნობილია. უძველესი მესოპოტამიის საფლავის ქვების არქიტექტურაში გვხვდება ტოლფერდა სამკუთხედი, რომელიც შედგება ორი მართკუთხა სამკუთხედისგან, გვერდებით 9, 12 და 15 წყრთა. ფარაონ სნეფრუს (ძვ. წ. XXVII ს.) პირამიდები აშენდა სამკუთხედების გამოყენებით 20, 21 და 29 გვერდებით, ასევე 18, 24 და 30 ათეული ეგვიპტური წყრთა.

იხილეთ ასევე

ბმულები

• E.A. გორინიმარტივი რიცხვების ძალა პითაგორას სამეულებში // მათემატიკური განათლება. - 2008. - V. 12. - S. 105-125.

ფონდი ვიკიმედია. 2010 წ.

ნახეთ, რა არის „პითაგორას რიცხვები“ სხვა ლექსიკონებში:

ნატურალური რიცხვების სამკუთხედი ისეთი, რომ სამკუთხედი, რომლის გვერდების სიგრძე ამ რიცხვების პროპორციულია (ან ტოლია) მართკუთხაა, ე.ი. რიცხვების სამმაგი: 3, 4, 5… დიდი ენციკლოპედიური ლექსიკონი

ნატურალური რიცხვების სამმაგი ისეთი, რომ სამკუთხედი, რომლის გვერდის სიგრძე პროპორციულია (ან ტოლია) ამ რიცხვებთან არის მართკუთხა, მაგალითად, რიცხვების სამმაგი: 3, 4, 5. * * * პითაგორანული რიცხვები პითაგორანული რიცხვები, ბუნებრივი რიცხვების სამმაგი რომ...... ენციკლოპედიური ლექსიკონი

ნატურალური რიცხვების სამკუთხედი ისეთი, რომ სამკუთხედი, რომლის გვერდის სიგრძე პროპორციულია (ან ტოლია) ამ რიცხვებთან არის მართკუთხა სამკუთხედი. თეორემის მიხედვით, პითაგორას თეორემის ინვერსია (იხ. პითაგორას თეორემა), ამისათვის საკმარისია, რომ მათ ... ...

x, y, z დადებითი მთელი რიცხვების სამმაგი x2+y 2=z2 განტოლების დამაკმაყოფილებელი. ამ განტოლების ყველა ამონახსნი და, შესაბამისად, ყველა P. p. გამოიხატება ფორმულებით x=a 2 b2, y=2ab, z=a2+b2, სადაც a, b არის თვითნებური დადებითი მთელი რიცხვები (a>b) . პ.სთ... მათემატიკური ენციკლოპედია

ნატურალური რიცხვების სამეულები ისეთი, რომ სამკუთხედი, რომლის გვერდების სიგრძე ამ რიცხვების პროპორციულია (ან ტოლია), მართკუთხაა, მაგალითად. რიცხვების სამმაგი: 3, 4, 5… ბუნებისმეტყველება. ენციკლოპედიური ლექსიკონი

მათემატიკაში, პითაგორას რიცხვები (პითაგორას სამეული) არის სამი მთელი რიცხვის ტოპი, რომელიც აკმაყოფილებს პითაგორას ურთიერთობას: x2 + y2 = z2. სარჩევი 1 თვისებები 2 მაგალითები ... ვიკიპედია

ხვეული რიცხვები არის რიცხვების ზოგადი სახელწოდება, რომლებიც დაკავშირებულია კონკრეტულ გეომეტრიულ ფიგურასთან. ეს ისტორიული კონცეფცია პითაგორაელებს უბრუნდება. სავარაუდოდ, გამოთქმა "კვადრატი ან კუბი" წარმოიშვა ხვეული რიცხვებიდან. სარჩევი ... ... ვიკიპედია

ხვეული რიცხვები არის რიცხვების ზოგადი სახელწოდება, რომლებიც დაკავშირებულია კონკრეტულ გეომეტრიულ ფიგურასთან. ეს ისტორიული კონცეფცია პითაგორაელებს უბრუნდება. არსებობს ხვეული რიცხვების შემდეგი ტიპები: წრფივი რიცხვები არის რიცხვები, რომლებიც არ იშლება ფაქტორებად, ანუ მათი ... ... ვიკიპედია.

- "პი პარადოქსი" არის ხუმრობა მათემატიკის თემაზე, რომელიც მიმოქცევაში იყო სტუდენტებში 80-იან წლებამდე (ფაქტობრივად, მიკროკალკულატორების მასობრივ განაწილებამდე) და დაკავშირებული იყო ტრიგონომეტრიული ფუნქციების გამოთვლის შეზღუდულ სიზუსტესთან და ... ... ვიკიპედია

- (ბერძნული არითმეტიკა, არითმიის რიცხვიდან) მეცნიერება რიცხვების, უპირველეს ყოვლისა, ბუნებრივი (დადებითი მთელი) რიცხვების და (რაციონალური) წილადების და მათზე მოქმედებების შესახებ. ნატურალური რიცხვის საკმარისად განვითარებული კონცეფციის ფლობა და უნარი ... ... დიდი საბჭოთა ენციკლოპედია

წიგნები

• არქიმედეს ზაფხული, ან ახალგაზრდა მათემატიკოსთა საზოგადოების ისტორია. ორობითი რიცხვების სისტემა, ბობროვი სერგეი პავლოვიჩი. ორობითი რიცხვების სისტემა, „ჰანოის კოშკი“, რაინდის მოძრაობა, ჯადოსნური კვადრატები, არითმეტიკული სამკუთხედი, ხვეული რიცხვები, კომბინაციები, ალბათობების კონცეფცია, მობიუსის ზოლები და კლაინის ბოთლი.…

დიოფანტის განტოლების მნიშვნელოვანი მაგალითია მოყვანილი პითაგორას თეორემა, რომელიც მართკუთხა სამკუთხედის წვერების x და y სიგრძეებს მისი ჰიპოტენუზის z სიგრძესთან აკავშირებს:

რა თქმა უნდა, თქვენ წააწყდით ამ განტოლების ერთ-ერთ მშვენიერ ამონახს ნატურალურ რიცხვებში, კერძოდ, რიცხვების პითაგორას სამეულს. x=3, y=4, z=5.არის სხვა სამეული?

გამოდის, რომ უსასრულოდ ბევრია პითაგორას სამეული და ყველა მათგანი დიდი ხნის წინ იქნა ნაპოვნი. მათი მიღება შესაძლებელია ცნობილი ფორმულებით, რომელთა შესახებაც ამ პუნქტიდან შეიტყობთ.

თუ პირველი და მეორე ხარისხის დიოფანტინის განტოლებები უკვე ამოხსნილია, მაშინ წამყვანი მათემატიკოსების ძალისხმევის მიუხედავად, უმაღლესი ხარისხის განტოლებების ამოხსნის საკითხი კვლავ ღია რჩება. ამჟამად, მაგალითად, ფერმას ცნობილი ვარაუდი, რომ ნებისმიერი მთელი მნიშვნელობისთვის N2განტოლება

არ აქვს ამონახსნები მთელ რიცხვებში.

გარკვეული ტიპის დიოფანტის განტოლებების ამოხსნისთვის ე.წ რთული რიცხვები.რა არის ეს? ასო i მიუთითოს რომელიმე საგანი, რომელიც აკმაყოფილებს პირობას i 2 \u003d -1(ნათელია, რომ არცერთი რეალური რიცხვი არ აკმაყოფილებს ამ პირობას). განვიხილოთ ფორმის გამონათქვამები α+iβ,სადაც α და β ნამდვილი რიცხვებია. ასეთ გამონათქვამებს ჩვენ დავარქმევთ კომპლექსურ რიცხვებს, განვსაზღვრავთ შეკრების და გამრავლების მოქმედებებს მათზე, ასევე ორომალიებზე, მაგრამ მხოლოდ იმ განსხვავებით, რომ გამოხატულება მე 2ყველგან შევცვლით რიცხვს -1:

7.1. სამიდან ბევრი

დაამტკიცეთ, რომ თუ x0, y0, z0- პითაგორას სამეული, შემდეგ სამეული y 0, x 0, z 0და x 0 k, y 0 k, z 0 kბუნებრივი პარამეტრის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის k ასევე პითაგორაა.

7.2. პირადი ფორმულები

შეამოწმეთ ეს ნებისმიერი ბუნებრივი ღირებულებისთვის m>nფორმის სამება

არის პითაგორა. არის თუ არა რომელიმე პითაგორას სამეული x, y, zშეიძლება წარმოდგენილი იყოს ამ ფორმით, თუ დაუშვებთ x და y რიცხვების გადაწყობას სამეულში?

7.3. შეუმცირებელი სამეული

რიცხვების პითაგორას სამეულს, რომლებსაც არ აქვთ 1-ზე მეტი საერთო გამყოფი, შეუქცევადი ეწოდება. დაამტკიცეთ, რომ პითაგორას სამეული შეუქცევადია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ სამეულში ნებისმიერი ორი რიცხვი თანაპრომიულია.

7.4. შეუქცევადი სამეულების თვისება

დაამტკიცეთ, რომ ნებისმიერ შეუქცევად პითაგორას სამეულში x, y, z რიცხვი z და ზუსტად ერთი რიცხვი x ან y კენტია.

7.5. ყველა შეუქცევადი სამმაგი

დაამტკიცეთ, რომ x, y, z რიცხვების სამმაგი შეუქცევადი პითაგორას სამეულია, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ იგი ემთხვევა სამეულს პირველი ორი რიცხვის რიგითამდე. 2 წთ, მ 2 - n 2, მ 2 + n 2,სადაც m>n- სხვადასხვა პარიტეტის თანაპირისპირული ნატურალური რიცხვები.

7.6. ზოგადი ფორმულები

დაამტკიცეთ, რომ განტოლების ყველა ამონახსნები

ნატურალურ რიცხვებში მოცემულია ფორმულებით უცნობი x და y რიგითობა

სადაც m>n და k ბუნებრივი პარამეტრებია (რათა სამეულების დუბლირება თავიდან ავიცილოთ, საკმარისია ავირჩიოთ coprime ტიპის და, უფრო მეტიც, განსხვავებული პარიტეტის რიცხვები).

7.7. პირველი 10 სამეული

იპოვეთ ყველა პითაგორას სამეული x, y, zპირობის დაკმაყოფილება x

7.8. პითაგორას სამეულის თვისებები

დაამტკიცეთ ეს ნებისმიერი პითაგორას სამეულისთვის x, y, zგანცხადებები მართალია:

ა) x ან y რიცხვებიდან ერთი მაინც არის 3-ის ნამრავლი;

ბ) x ან y რიცხვებიდან ერთი მაინც არის 4-ის ნამრავლი;

გ) x, y ან z რიცხვებიდან ერთი მაინც არის 5-ის ჯერადი.

7.9. რთული რიცხვების გამოყენება

რთული რიცხვის მოდული α + iβმოუწოდა არაუარყოფით რიცხვს

შეამოწმეთ ეს ნებისმიერი რთული რიცხვისთვის α + iβდა γ + iδქონება შესრულებულია

რთული რიცხვების თვისებების და მათი მოდულების გამოყენებით, დაამტკიცეთ, რომ ნებისმიერი ორი მთელი რიცხვი m და n აკმაყოფილებს ტოლობას.

ანუ ისინი აძლევენ განტოლების ამოხსნას

მთელი რიცხვები (შეადარეთ ამოცანა 7.5).

7.10. არაპითაგორას სამეულები

რთული რიცხვების თვისებების და მათი მოდულების გამოყენებით (იხ. ამოცანა 7.9), იპოვეთ ფორმულები განტოლების ნებისმიერი მთელი რიცხვი ამონახსნებისთვის:

ა) x 2 + y 2 \u003d z 3; ბ) x 2 + y 2 \u003d z 4.

გადაწყვეტილებები

7.1. Თუ x 0 2 + y 0 2 = z 0 2,მაშინ y 0 2 + x 0 2 = z 0 2,ხოლო k-ის ნებისმიერი ბუნებრივი მნიშვნელობისთვის გვაქვს

ქ.ე.დ.

7.2. თანასწორობიდან

ჩვენ ვასკვნით, რომ ამოცანაში მითითებული სამეული აკმაყოფილებს განტოლებას x 2 + y 2 = z 2ნატურალურ რიცხვებში. თუმცა, არა ყველა პითაგორას სამეული x, y, zშეიძლება წარმოდგენილი იყოს ამ ფორმით; მაგალითად, სამმაგი 9, 12, 15 არის პითაგორა, მაგრამ რიცხვი 15 არ შეიძლება იყოს წარმოდგენილი, როგორც ნებისმიერი ორი ნატურალური რიცხვის m და n კვადრატების ჯამი.

7.3. თუ რომელიმე ორი რიცხვი პითაგორას სამეულიდან x, y, zაქვს საერთო გამყოფი d, მაშინ ის ასევე იქნება მესამე რიცხვის გამყოფი (ასე, იმ შემთხვევაში x = x 1 d, y = y 1 dჩვენ გვაქვს z 2 \u003d x 2 + y 2 \u003d (x 1 2 + y 1 2) d 2,საიდანაც z 2 იყოფა d 2-ზე და z იყოფა d-ზე). ამიტომ, იმისთვის, რომ პითაგორას სამეული შეუქცევადი იყოს, აუცილებელია, რომ სამეულში ნებისმიერი ორი რიცხვი იყოს თანაპირველი.

7.4. გაითვალისწინეთ, რომ x ან y რიცხვებიდან ერთ-ერთი, ვთქვათ x, შეუქცევადი პითაგორას სამეულის x, y, zკენტია, რადგან სხვაგვარად x და y რიცხვები არ იქნებოდნენ თანაპირობითი (იხ. ამოცანა 7.3). თუ მეორე რიცხვი y ასევე კენტია, მაშინ ორივე რიცხვია

მიეცით 1-ის დარჩენილი ნაწილი 4-ზე გაყოფისას და რიცხვი z 2 \u003d x 2 + y 2 4-ზე გაყოფისას იძლევა 2-ის ნაშთს, ანუ ის იყოფა 2-ზე, მაგრამ არ იყოფა 4-ზე, რაც არ შეიძლება იყოს. ამრიგად, რიცხვი y უნდა იყოს ლუწი, და რიცხვი z უნდა იყოს კენტი.

7.5. დაე, პითაგორას სამმაგი x, y, zშეუქცევადია და, განსაზღვრულობისთვის, რიცხვი x ლუწია, ხოლო y, z რიცხვები კენტი (იხ. ამოცანა 7.4). მერე

სად არის ნომრები არიან მთლიანი. დავამტკიცოთ, რომ a და b რიცხვები თანაპრომიულია. მართლაც, თუ მათ საერთო გამყოფი 1-ზე მეტი ექნებოდათ, მაშინ რიცხვებს იგივე გამყოფი ექნებოდათ z = a + b, y = a - b,ე.ი. სამეული არ იქნება შეუმცირებელი (იხ. ამოცანა 7.3). ახლა, a და b რიცხვების გაფართოებით მარტივი ფაქტორების ნამრავლებად, ჩვენ შევამჩნევთ, რომ ნებისმიერი მარტივი ფაქტორი უნდა იყოს შეტანილი ნამრავლში. 4ab = x2მხოლოდ ლუწი ხარისხით და თუ შედის a რიცხვის გაფართოებაში, მაშინ არ შედის b რიცხვის გაფართოებაში და პირიქით. მაშასადამე, ნებისმიერი მარტივი ფაქტორი შედის a ან b რიცხვის ცალ-ცალკე გაფართოებაში მხოლოდ ლუწი ხარისხით, რაც ნიშნავს, რომ ეს რიცხვები თავად არის მთელი რიცხვების კვადრატები. დავსვათ მაშინ ვიღებთ თანასწორობებს

უფრო მეტიც, ბუნებრივი პარამეტრები m>n არის თანაპრომიტი (a და b რიცხვების თანაპირობითობის გამო) და აქვთ განსხვავებული პარიტეტი (კენტი რიცხვის გამო. z \u003d m 2 + n 2).

მოდით, ახლა სხვადასხვა პარიტეტის m>n ნატურალური რიცხვები იყოს თანაპრიმი. მერე ტროიკა x \u003d 2 წთ, y \u003d m 2 - n 2, z \u003d m 2 + n 2 7.2 ამოცანის მიხედვით, პითაგორაა. მოდით დავამტკიცოთ, რომ ის შეუქცევადია. ამისათვის საკმარისია შეამოწმოთ, რომ y და z რიცხვებს არ აქვთ საერთო გამყოფები (იხ. ამოცანა 7.3). სინამდვილეში, ორივე ეს რიცხვი კენტია, რადგან ტიპის რიცხვებს განსხვავებული პარიტეტები აქვთ. თუ y და z რიცხვებს აქვთ მარტივი საერთო გამყოფი (მაშინ ის უნდა იყოს კენტი), მაშინ თითოეულ რიცხვს და და მათთან და თითოეულ რიცხვს m და n აქვს ერთი და იგივე გამყოფი, რაც ეწინააღმდეგება მათ ორმხრივ სიმარტივეს.

7.6. 7.1 და 7.2 ამოცანებში ჩამოყალიბებული მტკიცებების ძალით ეს ფორმულები განსაზღვრავენ მხოლოდ პითაგორას სამეულებს. მეორეს მხრივ, ნებისმიერი პითაგორას სამეული x, y, zუდიდესი საერთო გამყოფის k-ით შემცირების შემდეგ, x და y რიცხვების წყვილი ხდება შეუქცევადი (იხ. ამოცანა 7.3) და, შესაბამისად, შეიძლება წარმოდგენილი იყოს x და y რიცხვების რიგითობამდე 7.5-ში აღწერილი ფორმით. ამრიგად, პითაგორას ნებისმიერი სამეული მოცემულია მითითებული ფორმულებით პარამეტრების ზოგიერთი მნიშვნელობისთვის.

7.7. უთანასწორობიდან z და 7.6 ამოცანის ფორმულები, ვიღებთ შეფასებას მ 2 ე.ი. მ≤5. ვარაუდით m = 2, n = 1და k = 1, 2, 3, 4, 5,ჩვენ ვიღებთ სამეულს 3, 4, 5; 6, 8, 10; 9, 12, 15; 12,16,20; 15, 20, 25. ვარაუდით m=3, n=2და k = 1, 2,ჩვენ ვიღებთ სამეულს 5, 12, 13; 10, 24, 26. ვარაუდით m = 4, n = 1, 3და k = 1,ჩვენ ვიღებთ სამეულს 8, 15, 17; 7, 24, 25. საბოლოოდ, ვარაუდით m=5, n=2და k = 1,ვიღებთ სამს 20, 21, 29.

ბელოტელოვი V.A. პითაგორას სამეულები და მათი რიცხვი // ნესტეროვების ენციკლოპედია

ეს სტატია არის პასუხი ერთ პროფესორზე - პინჩერზე. ნახეთ, პროფესორო, როგორ აკეთებენ ამას ჩვენს სოფელში.

ნიჟნი ნოვგოროდის რეგიონი, ზავოლჟიე.

საჭიროა დიოფანტინის განტოლებების ამოხსნის ალგორითმის (ADDE) და მრავალწევრი პროგრესიების ცოდნა.

IF არის მარტივი რიცხვი.

MF არის კომპოზიტური რიცხვი.

იყოს კენტი რიცხვი N. ნებისმიერი კენტი რიცხვისთვის, ერთის გარდა, შეგიძლიათ დაწეროთ განტოლება.

p 2 + N \u003d q 2,

სადაც р + q = N, q – р = 1.

მაგალითად, 21 და 23 ნომრებისთვის, განტოლებები იქნება, -

10 2 + 21 = 11 2 , 11 2 + 23 = 12 2 .

თუ N არის მარტივი, ეს განტოლება უნიკალურია. თუ რიცხვი N არის შედგენილი, მაშინ შესაძლებელია მსგავსი განტოლებების შედგენა ამ რიცხვის გამომსახველ ფაქტორთა წყვილთა რაოდენობაზე, მათ შორის 1 x N.

ავიღოთ რიცხვი N = 45, -

1 x 45 = 45, 3 x 15 = 45, 5 x 9 = 45.

ვოცნებობდი, მაგრამ შესაძლებელია თუ არა, IF-სა და MF-ს შორის ამ განსხვავებაზე მიჯაჭვულობა, მათი იდენტიფიკაციის მეთოდის პოვნა.

შემოვიღოთ აღნიშვნა;

მოდით შევცვალოთ ქვედა განტოლება, -

N \u003d 2-ში - a 2 \u003d (b - a) (b + a).

დავაჯგუფოთ N-ის მნიშვნელობები კრიტერიუმის მიხედვით - a, ე.ი. მოვაწყოთ მაგიდა.

N რიცხვები შეჯამდა მატრიცაში, -

სწორედ ამ ამოცანისთვის მომიწია გამკლავება მრავალწევრების პროგრესირებასთან და მათ მატრიცებთან. ყველაფერი უშედეგო აღმოჩნდა - PCh თავდაცვა მძლავრად იმართება. მოდით შევიტანოთ სვეტი 1 ცხრილში, სადაც - a \u003d 1 (q - p \u003d 1).

Კიდევ ერთხელ. ცხრილი 2 მიღებული იქნა IF და MF-ის იდენტიფიცირების პრობლემის გადაჭრის მცდელობის შედეგად. ცხრილიდან გამომდინარეობს, რომ ნებისმიერი N რიცხვისთვის არის იმდენივე განტოლება 2 + N \u003d ფორმის 2-ში, რამდენ წყვილ ფაქტორად შეიძლება დაიყოს რიცხვი N, მათ შორის ფაქტორი 1 x N. გარდა ამისა. N \u003d ℓ 2 ნომრებზე, სადაც

ℓ - FC. N = ℓ 2-სთვის, სადაც ℓ არის IF, არის უნიკალური განტოლება p 2 + N = q 2. რა დამატებით მტკიცებულებაზე შეიძლება ვისაუბროთ, თუ ცხრილი ჩამოთვლის პატარა ფაქტორებს N ფაქტორების წყვილებიდან, ერთიდან ∞-მდე. ჩვენ დავდებთ ცხრილს 2 ზარდახშაში, ხოლო მკერდს დავმალავთ კარადაში.

დავუბრუნდეთ სტატიის სათაურში მითითებულ თემას.

ეს სტატია არის პასუხი ერთ პროფესორზე - პინჩერზე.

დახმარება ვთხოვე - მჭირდებოდა ნომრების სერია, რომელიც ინტერნეტში ვერ ვიპოვე. მე წავაწყდი კითხვებს, როგორიცაა, - "რისთვის?", "მაგრამ მაჩვენე მეთოდი". კერძოდ, გაჩნდა კითხვა, არის თუ არა პითაგორას სამეულების სერია უსასრულო, "როგორ დავამტკიცოთ?". ის არ დამეხმარა. ნახეთ, პროფესორო, როგორ აკეთებენ ამას ჩვენს სოფელში.

ავიღოთ პითაგორას სამეულების ფორმულა, -

x 2 \u003d y 2 + z 2. (ერთი)

მოდით გავიაროთ ARDU.

შესაძლებელია სამი სიტუაცია:

I. x არის კენტი რიცხვი,

y არის ლუწი რიცხვი

z არის ლუწი რიცხვი.

და არის პირობა x > y > z.

II. x არის კენტი რიცხვი

y არის ლუწი რიცხვი

z არის კენტი რიცხვი.

x > z > y.

III.x - ლუწი რიცხვი,

y კენტი რიცხვია

z არის კენტი რიცხვი.

x > y > z.

დავიწყოთ მე.

შემოვიტანოთ ახალი ცვლადები

ჩაანაცვლეთ განტოლებაში (1).

მოდით გავაუქმოთ პატარა ცვლადი 2γ.

(2α - 2γ + 2k + 1) 2 = (2β - 2γ + 2k) 2 + (2k + 1) 2 .

მოდით შევამციროთ ცვლადი 2β – 2γ უფრო პატარათ ƒ ახალი პარამეტრის ერთდროულად შემოღებით, -

(2α - 2β + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2 (2)

შემდეგ, 2α - 2β = x - y - 1.

განტოლება (2) მიიღებს ფორმას, -

(x - y + 2ƒ + 2k) 2 \u003d (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2

მოდით კვადრატში -

(x - y) 2 + 2 (2ƒ + 2k) (x - y) + (2ƒ + 2k) 2 \u003d (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2,

(x - y) 2 + 2(2ƒ + 2k)(x - y) - (2k + 1) 2 = 0. (3)

ARDU პარამეტრების მეშვეობით იძლევა ურთიერთობას განტოლების მთავარ წევრებს შორის, ამიტომ მივიღეთ განტოლება (3).

არ არის მყარი გადაწყვეტილებების შერჩევასთან გამკლავება. მაგრამ, ჯერ ერთი, წასასვლელი არსად არის და მეორეც, ამ გადაწყვეტილებიდან რამდენიმეა საჭირო და ჩვენ შეგვიძლია აღვადგინოთ უსასრულო რაოდენობის ამონახსნები.

ƒ = 1, k = 1, გვაქვს x – y = 1.

ƒ = 12, k = 16, გვაქვს x - y = 9.

ƒ = 4, k = 32, გვაქვს x - y = 25.

თქვენ შეგიძლიათ აიღოთ იგი დიდი ხნის განმავლობაში, მაგრამ საბოლოოდ სერია მიიღებს ფორმას -

x - y \u003d 1, 9, 25, 49, 81, ....

განვიხილოთ ვარიანტი II.

მოდით შემოვიტანოთ ახალი ცვლადები განტოლებაში (1)

(2α + 2k + 1) 2 = (2β + 2k) 2 + (2γ + 2k + 1) 2 .

ჩვენ ვამცირებთ პატარა ცვლადით 2 β, -

(2α - 2β + 2k + 1) 2 = (2α - 2β + 2k+1) 2 + (2k) 2 .

მოდით შევამციროთ პატარა ცვლადით 2α – 2β, –

(2α - 2γ + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2 . (4)

2α - 2γ = x - z და ჩაანაცვლეთ განტოლებაში (4).

(x - z + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2

(x - z) 2 + 2 (2ƒ + 2k + 1) (x - z) + (2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2 (x - z) 2 + 2(2ƒ + 2k + 1) (x - z) - (2k) 2 = 0

ƒ = 3, k = 4, გვაქვს x - z = 2.

ƒ = 8, k = 14, გვაქვს x - z = 8.

ƒ = 3, k = 24, გვაქვს x - z = 18.

x - z \u003d 2, 8, 18, 32, 50, ....

მოდით დავხატოთ ტრაპეცია -

დავწეროთ ფორმულა.

სადაც n=1, 2,...∞.

III შემთხვევა არ იქნება აღწერილი - გამოსავალი არ არის.

II პირობისთვის, სამეულების ნაკრები იქნება შემდეგი:

განტოლება (1) წარმოდგენილია x 2 = z 2 + y 2 სიცხადისთვის.

I პირობისთვის, სამეულების ნაკრები იქნება შემდეგი:

ჯამში მოხატულია სამეულის 9 სვეტი, თითოეულში ხუთი სამეული. და თითოეული წარმოდგენილი სვეტი შეიძლება ჩაიწეროს ∞-მდე.

მაგალითად, განვიხილოთ ბოლო სვეტის სამეული, სადაც x - y \u003d 81.

x-ის მნიშვნელობებისთვის ვწერთ ტრაპეციას, -

დავწეროთ ფორმულა

მნიშვნელობებისთვის ჩვენ ვწერთ ტრაპეციას, -

დავწეროთ ფორმულა

z-ის მნიშვნელობებისთვის ჩვენ ვწერთ ტრაპეციას, -

დავწეროთ ფორმულა

სადაც n = 1 ÷ ∞.

როგორც დაგპირდით, სამეულების სერია x - y = 81 დაფრინავს ∞-მდე.

იყო მცდელობა I და II შემთხვევებისთვის აეგოთ მატრიცები x, y, z.

ჩაწერეთ x-ის ბოლო ხუთი სვეტი ზედა რიგებიდან და ააგეთ ტრაპეცია.

ეს არ მუშაობდა და ნიმუში უნდა იყოს კვადრატული. იმისათვის, რომ ყველაფერი ღია სამუშაოში ყოფილიყო, აღმოჩნდა, რომ საჭირო იყო I და II სვეტების გაერთიანება.

II შემთხვევაში, y, z სიდიდეები კვლავ ერთმანეთს ენაცვლება.

ჩვენ შევძელით შერწყმა ერთი მიზეზის გამო - კარტები კარგად ერგება ამ ამოცანას - გაგვიმართლა.

ახლა თქვენ შეგიძლიათ დაწეროთ მატრიცები x, y, z.

ავიღოთ x მნიშვნელობის ბოლო ხუთი სვეტიდან ზედა რიგებიდან და ავაშენოთ ტრაპეცია.

ყველაფერი კარგადაა, შეგიძლიათ ააგოთ მატრიცები და დავიწყოთ z-ის მატრიცით.

კარადისკენ მივრბივარ მკერდისთვის.

ჯამი: ერთის გარდა, რიცხვითი ღერძის ყოველი უცნაური რიცხვი მონაწილეობს პითაგორას სამეულების ფორმირებაში ფაქტორების თანაბარი რაოდენობის წყვილით, რომლებიც ქმნიან ამ რიცხვს N, მათ შორის 1 x N ფაქტორით.

ნომერი N \u003d ℓ 2, სადაც ℓ - IF, ქმნის ერთ პითაგორას სამეულს, თუ ℓ არის MF, მაშინ არ არის სამმაგი ℓхℓ ფაქტორებზე.

ავაშენოთ მატრიცები x, y.

დავიწყოთ x-ის მატრიცით. ამისათვის ჩვენ ავიღებთ მასზე კოორდინატთა ბადეს IF და MF იდენტიფიკაციის პრობლემისგან.

ვერტიკალური რიგების ნუმერაცია ნორმალიზდება გამოსახულებით

მოვიშოროთ პირველი სვეტი, რადგან

მატრიცა მიიღებს ფორმას -

მოდით აღვწეროთ ვერტიკალური რიგები, -

მოდით აღვწეროთ კოეფიციენტები "a", -

მოდით აღვწეროთ თავისუფალი წევრები, -

მოდით გავაკეთოთ ზოგადი ფორმულა "x", -

თუ ჩვენ გავაკეთებთ მსგავს სამუშაოს "y", მივიღებთ -

შეგიძლიათ ამ შედეგს მეორე მხრიდან მიუახლოვდეთ.

ავიღოთ განტოლება,

და 2 + N = 2-ში.

ცოტა შევცვალოთ...

N \u003d 2 - a 2-ში.

მოდით კვადრატში -

N 2 \u003d 4 - 2v 2 a 2 + a 4.

განტოლების მარცხენა და მარჯვენა მხარეს დაამატეთ სიდიდე 4v 2 a 2, -

N 2 + 4v 2 a 2 \u003d 4 + 2v 2 a 2 + a 4-ში.

Და ბოლოს -

(2 + a 2-ში) 2 \u003d (2va) 2 + N 2.

პითაგორას სამეულები შედგება შემდეგნაირად:

განვიხილოთ მაგალითი N = 117 რიცხვით.

1 x 117 = 117, 3 x 39 = 117, 9 x 13 = 117.

ცხრილის 2-ის ვერტიკალური სვეტები დანომრილია მნიშვნელობებით - a, ხოლო მე-3 ცხრილის ვერტიკალური სვეტები დანომრილია x - y მნიშვნელობებით.

x - y \u003d (c - a) 2,

x \u003d y + (c - a) 2.

მოდით გავაკეთოთ სამი განტოლება.

(y + 1 2) 2 \u003d y 2 + 117 2,

(y + 3 2) 2 \u003d y 2 + 117 2,

(y + 9 2) 2 \u003d y 2 + 117 2.

x 1 = 6845, y 1 = 6844, z 1 = 117.

x 2 = 765, y 2 = 756, z 2 = 117 (x 2 = 85, y 2 = 84, z 2 = 13).

x 3 = 125, y 3 = 44, z 3 = 117.

3 და 39 ფაქტორები არ არის შედარებით მარტივი რიცხვები, ამიტომ ერთი სამეული აღმოჩნდა 9-ის კოეფიციენტით.

მოდით გამოვსახოთ ზემოთ დაწერილი ზოგადი სიმბოლოებით, -

ამ ნაშრომში ყველაფერია, მათ შორის მაგალითი რიცხვით პითაგორას სამეულების გამოსათვლელად

N = 117, მიბმული უფრო მცირე ფაქტორზე - a. აშკარა დისკრიმინაცია + ა ფაქტორთან მიმართებაში. გამოვასწოროთ ეს უსამართლობა - შევადგენთ სამ განტოლებას + a-ის კოეფიციენტით.

დავუბრუნდეთ IF და MF-ის იდენტიფიკაციის საკითხს.

ამ მიმართულებით ბევრი რამ გაკეთდა და დღეს ასეთი აზრი გაისმა - არ არსებობს საიდენტიფიკაციო განტოლება და არ არსებობს ისეთი რამ, რაც ფაქტორების განსაზღვრას გულისხმობს.

დავუშვათ, ვიპოვეთ F = a, b (N) მიმართება.

არსებობს ფორმულა

F ფორმულაში შეგიძლიათ მოშორდეთ შიგნიდან და მიიღებთ n-ე ხარისხის ერთგვაროვან განტოლებას a-ს მიმართ, ე.ი. F = a(N).

ამ განტოლების ნებისმიერი n ხარისხისთვის არის N რიცხვი m წყვილი ფაქტორებით, m > n-სთვის.

და შედეგად, n ხარისხის ერთგვაროვან განტოლებას უნდა ჰქონდეს m ფესვები.

დიახ, ეს არ შეიძლება.

ამ ნაშრომში N რიცხვები განიხილებოდა x 2 = y 2 + z 2 განტოლებისთვის, როდესაც ისინი არიან განტოლებაში z ადგილზე. როდესაც N არის x-ის ადგილზე, ეს სხვა ამოცანაა.

პატივისცემით, ბელოტელოვი V.A.

Თვისებები

განტოლებიდან გამომდინარე x 2 + წ 2 = ზ 2 ერთგვაროვანი, გამრავლებისას x , წდა ზიმავე რიცხვისთვის მიიღებთ კიდევ ერთ პითაგორას სამეულს. პითაგორას სამეული ე.წ პრიმიტიული, თუ ამ გზით ვერ მიიღება, ეს არის - შედარებით მარტივი რიცხვები.

მაგალითები

ზოგიერთი პითაგორას სამეული (დალაგებულია მაქსიმალური რიცხვის ზრდის მიხედვით, ხაზგასმულია პრიმიტიული):

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (14, 48, 50), (30, 40, 50)…

ამბავი

პითაგორას სამეულები დიდი ხანია ცნობილია. უძველესი მესოპოტამიის საფლავის ქვების არქიტექტურაში გვხვდება ტოლფერდა სამკუთხედი, რომელიც შედგება ორი მართკუთხა სამკუთხედისგან, გვერდებით 9, 12 და 15 წყრთა. ფარაონ სნეფრუს (ძვ. წ. XXVII ს.) პირამიდები აშენდა სამკუთხედების გამოყენებით 20, 21 და 29 გვერდებით, ასევე 18, 24 და 30 ათეული ეგვიპტური წყრთა.

X სრულიადრუსული სიმპოზიუმი გამოყენებითი და ინდუსტრიული მათემატიკის შესახებ. პეტერბურგი, 2009 წლის 19 მაისი

მოხსენება: დიოფანტინის განტოლებების ამოხსნის ალგორითმი.

ნაშრომში განხილულია დიოფანტის განტოლებების შესწავლის მეთოდი და წარმოდგენილია ამ მეთოდით ამოხსნილი ამონახსნები: - ფერმას დიდი თეორემა; - მოძებნეთ პითაგორას სამეული და ა.შ. http://referats.protoplex.ru/referats_show/6954.html

ბმულები

• E.A. გორინიმარტივი რიცხვების ძალა პითაგორას სამეულებში // მათემატიკური განათლება. - 2008. - V. 12. - S. 105-125.

ფონდი ვიკიმედია. 2010 წ.

ნახეთ, რა არის „პითაგორას სამეული“ სხვა ლექსიკონებში:

მათემატიკაში, პითაგორას რიცხვები (პითაგორას სამეული) არის სამი მთელი რიცხვის ტოპი, რომელიც აკმაყოფილებს პითაგორას ურთიერთობას: x2 + y2 = z2. სარჩევი 1 თვისებები ... ვიკიპედია

ნატურალური რიცხვების სამკუთხედი ისეთი, რომ სამკუთხედი, რომლის გვერდების სიგრძე ამ რიცხვების პროპორციულია (ან ტოლია) მართკუთხაა, ე.ი. რიცხვების სამმაგი: 3, 4, 5… დიდი ენციკლოპედიური ლექსიკონი

ნატურალური რიცხვების სამკუთხედი ისეთი, რომ სამკუთხედი, რომლის გვერდის სიგრძე პროპორციულია (ან ტოლია) ამ რიცხვებთან არის მართკუთხა სამკუთხედი. თეორემის მიხედვით, პითაგორას თეორემის ინვერსია (იხ. პითაგორას თეორემა), ამისათვის საკმარისია, რომ მათ ... ... დიდი საბჭოთა ენციკლოპედია

x, y, z დადებითი მთელი რიცხვების სამმაგი x2+y 2=z2 განტოლების დამაკმაყოფილებელი. ამ განტოლების ყველა ამონახსნი და, შესაბამისად, ყველა P. p. გამოიხატება ფორმულებით x=a 2 b2, y=2ab, z=a2+b2, სადაც a, b არის თვითნებური დადებითი მთელი რიცხვები (a>b) . პ.სთ... მათემატიკური ენციკლოპედია

ნატურალური რიცხვების სამეულები ისეთი, რომ სამკუთხედი, რომლის გვერდების სიგრძე ამ რიცხვების პროპორციულია (ან ტოლია), მართკუთხაა, მაგალითად. რიცხვების სამმაგი: 3, 4, 5… ბუნებისმეტყველება. ენციკლოპედიური ლექსიკონი

ნატურალური რიცხვების სამმაგი ისეთი, რომ სამკუთხედი, რომლის გვერდის სიგრძე პროპორციულია (ან ტოლია) ამ რიცხვებთან არის მართკუთხა, მაგალითად, რიცხვების სამმაგი: 3, 4, 5. * * * პითაგორანული რიცხვები პითაგორანული რიცხვები, ბუნებრივი რიცხვების სამმაგი რომ...... ენციკლოპედიური ლექსიკონი

მათემატიკაში, პითაგორას სამეული არის სამი ბუნებრივი რიცხვის ტოპი, რომელიც აკმაყოფილებს პითაგორას ურთიერთობას: ამ შემთხვევაში, რიცხვებს, რომლებიც ქმნიან პითაგორას სამეულს, ეწოდება პითაგორას რიცხვები. სარჩევი 1 პრიმიტიული სამეული ... ვიკიპედია

პითაგორას თეორემა არის ევკლიდეს გეომეტრიის ერთ-ერთი ფუნდამენტური თეორემა, რომელიც აყალიბებს მიმართებას მართკუთხა სამკუთხედის გვერდებს შორის. სარჩევი 1 ... ვიკიპედია

პითაგორას თეორემა არის ევკლიდეს გეომეტრიის ერთ-ერთი ფუნდამენტური თეორემა, რომელიც აყალიბებს მიმართებას მართკუთხა სამკუთხედის გვერდებს შორის. სარჩევი 1 განცხადებები 2 მტკიცებულებები ... ვიკიპედია

ეს არის იმ ფორმის განტოლება, სადაც P არის მთელი რიცხვი ფუნქცია (მაგალითად, პოლინომი მთელი რიცხვითი კოეფიციენტებით), და ცვლადები იღებენ მთელ მნიშვნელობებს. ეწოდა ძველი ბერძენი მათემატიკოსის დიოფანტეს სახელი. სარჩევი 1 მაგალითები ... ვიკიპედია

შემდეგი, ჩვენ განვიხილავთ ცნობილ მეთოდებს ეფექტური პითაგორას სამეულების წარმოქმნისთვის. პითაგორას მოსწავლეებმა პირველებმა შეიმუშავეს პითაგორას სამეულების გენერირების მარტივი გზა, ფორმულის გამოყენებით, რომლის ნაწილებიც წარმოადგენს პითაგორას სამეულს:

მ 2 + ((მ 2 − 1)/2) 2 = ((მ 2 + 1)/2) 2 ,

სად მ- დაუწყვილებელი, მ>2. მართლაც,

4მ 2 + მ 4 − 2მ 2 + 1
მ 2 + ((მ 2 − 1)/2) 2 = ————————— = ((მ 2 + 1)/2) 2 .
4

მსგავსი ფორმულა შემოგვთავაზა ძველმა ბერძენმა ფილოსოფოსმა პლატონმა:

(2მ) 2 + (მ 2 − 1) 2 = (მ 2 + 1) 2 ,

სად მ- ნებისმიერი ნომერი. ამისთვის მ= 2,3,4,5 წარმოიქმნება შემდეგი სამეული:

(16,9,25), (36,64,100), (64,225,289), (100,576,676).

როგორც ხედავთ, ამ ფორმულებს არ შეუძლიათ ყველა შესაძლო პრიმიტიული სამეულის მიცემა.

განვიხილოთ შემდეგი მრავალწევრი, რომელიც იშლება მრავალწევრთა ჯამად:

(2მ 2 + 2მ + 1) 2 = 4მ 4 + 8მ 3 + 8მ 2 + 4მ + 1 =
=4მ 4 + 8მ 3 + 4მ 2 + 4მ 2 + 4მ + 1 = (2მ(მ+1)) 2 + (2მ +1) 2 .

აქედან გამომდინარეობს შემდეგი ფორმულები პრიმიტიული სამეულების მისაღებად:

ა = 2მ +1 , ბ = 2მ(მ+1) = 2მ 2 + 2მ , გ = 2მ 2 + 2მ + 1.

ეს ფორმულები წარმოქმნის სამეულებს, რომლებშიც საშუალო რიცხვი განსხვავდება უდიდესისგან ზუსტად ერთით, ანუ ყველა შესაძლო სამეულიც არ არის გენერირებული. აქ პირველი სამეულებია: (5,12,13), (7,24,25), (9,40,41), (11,60,61).

იმის დასადგენად, თუ როგორ წარმოიქმნება ყველა პრიმიტიული სამეული, უნდა შეისწავლოს მათი თვისებები. ჯერ ერთი, თუ ( ა, ბ, გ) არის პრიმიტიული სამეული, მაშინ ადა ბ, ბდა გ, ადა გ- უნდა იყოს coprime. დაე იყოს ადა ბიყოფა დ. მერე ა 2 + ბ 2 ასევე იყოფა დ. შესაბამისად, გ 2 და გუნდა დაიყოს დ. ანუ ეს არ არის პრიმიტიული სამეული.

მეორეც, რიცხვებს შორის ა, ბერთი უნდა იყოს დაწყვილებული და მეორე დაუწყვილებელი. მართლაც, თუ ადა ბ- დაწყვილებული, მაშინ თანიქნება დაწყვილებული და რიცხვები შეიძლება დაიყოს მინიმუმ 2-ზე. თუ ორივე დაუწყვილებელია, მაშინ ისინი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც 2. კ+1 მე 2 ლ+1, სადაც კ,ლ- რამდენიმე რიცხვი. მერე ა 2 + ბ 2 = 4კ 2 +4კ+1+4ლ 2 +4ლ+1, ანუ თან 2, ასევე ა 2 + ბ 2-ს აქვს ნარჩენი 2-ის 4-ზე გაყოფისას.

დაე იყოს თან- ნებისმიერი ნომერი, ანუ თან = 4კ+მე (მე=0,…,3). მერე თან 2 = (4კ+მე) 2-ს აქვს ნაშთი 0 ან 1 და არ შეიძლება ჰქონდეს ნაშთი 2-ის. ადა ბარ შეიძლება გაუწყვილდეს, ანუ ა 2 + ბ 2 = 4კ 2 +4კ+4ლ 2 +4ლ+1 და დარჩენილი თან 2 4-ზე უნდა იყოს 1, რაც იმას ნიშნავს თანუნდა იყოს დაუწყვილებელი.

პითაგორას სამეულის ელემენტების ასეთი მოთხოვნები დაკმაყოფილებულია შემდეგი რიცხვებით:

ა = 2წთ, ბ = მ 2 − ნ 2 , გ = მ 2 + ნ 2 , მ > ნ, (2)

სად მდა ნარიან კოპრაიმები სხვადასხვა წყვილებთან. პირველად ეს დამოკიდებულებები ცნობილი გახდა ევკლიდეს ნაშრომებიდან, რომელიც ცხოვრობდა 2300 რ. უკან.

მოდით დავამტკიცოთ დამოკიდებულებების მართებულობა (2). დაე იყოს ა-მაშინ ორმაგი ბდა გ- დაუწყვილებელი. მერე გ + ბმე გ − ბ- წყვილები. ისინი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც გ + ბ = 2uდა გ − ბ = 2ვ, სად u,ვარის რამდენიმე მთელი რიცხვი. Ისე

ა 2 = თან 2 − ბ 2 = (გ + ბ)(გ − ბ) = 2u 2 ვ = 4UV

Და, შესაბამისად ( ა/2) 2 = UV.

წინააღმდეგობით შეიძლება დადასტურდეს, რომ uდა ვარიან კოპრაიმები. დაე იყოს uდა ვ- იყოფიან დ. მერე ( გ + ბ) და ( გ − ბ) იყოფა დ. Და, შესაბამისად გდა ბუნდა დაიყოს დდა ეს ეწინააღმდეგება პითაგორას სამეულის პირობას.

როგორც UV = (ა/2) 2 და uდა ვ coprime, ამის დამტკიცება ადვილია uდა ვუნდა იყოს რამდენიმე რიცხვის კვადრატი.

ასე რომ, არსებობს დადებითი მთელი რიცხვები მდა ნ, ისეთივე როგორც u = მ 2 და ვ = ნ 2. მერე

ა 2 = 4UV = 4მ 2 ნ 2 ასე
ა = 2წთ; ბ = u − ვ = მ 2 − ნ 2 ; გ = u + ვ = მ 2 + ნ 2 .

როგორც ბ> 0, მაშინ მ > ნ.

რჩება ამის ჩვენება მდა ნაქვს სხვადასხვა წყვილები. Თუ მდა ნ- დაწყვილებული, მაშინ uდა ვუნდა იყოს დაწყვილებული, მაგრამ ეს შეუძლებელია, რადგან ისინი კოპრიმია. Თუ მდა ნ- მაშინ დაუწყვილებლად ბ = მ 2 − ნ 2 და გ = მ 2 + ნ 2 იქნება დაწყვილებული, რაც შეუძლებელია, რადგან გდა ბარიან კოპრაიმები.

ამრიგად, ნებისმიერი პრიმიტიული პითაგორას სამეული უნდა აკმაყოფილებდეს პირობებს (2). ამავე დროს, ნომრები მდა ნდაურეკა რიცხვების გენერირებაპრიმიტიული სამეული. მაგალითად, ვიყოთ პრიმიტიული პითაგორას სამეული (120,119,169). Ამ შემთხვევაში

ა= 120 = 2 12 5, ბ= 119 = 144 − 25 და გ = 144+25=169,

სად მ = 12, ნ= 5 - რიცხვების გენერირება, 12 > 5; 12 და 5 არის თანაპირისპირული და განსხვავებული წყვილები.

შეიძლება დადასტურდეს, რომ რიცხვები მ, ნფორმულები (2) იძლევა პრიმიტიულ პითაგორას სამეულს (a,b,c). მართლაც,

ა 2 + ბ 2 = (2წთ) 2 + (მ 2 − ნ 2) 2 = 4მ 2 ნ 2 + (მ 4 − 2მ 2 ნ 2 + ნ 4) =
= (მ 4 + 2მ 2 ნ 2 + ნ 4) = (მ 2 + ნ 2) 2 = გ 2 ,

ანუ ( ა,ბ,გ) პითაგორას სამეულია. მოდით დავამტკიცოთ, რომ ხოლო ა,ბ,გწინააღმდეგობრივი რიცხვებია. მოდით ეს რიცხვები გავყოთ გვ> 1. ვინაიდან მდა ნაქვს სხვადასხვა წყვილები, მაშინ ბდა გ- დაუწყვილებელი, ანუ გვ≠ 2. რადგან რყოფს ბდა გ, მაშინ რუნდა გაიყოს 2 მ 2 და 2 ნ 2, რაც შეუძლებელია იმიტომ გვ≠ 2. ამიტომ მ, ნარიან კოპრაიმები და ა,ბ,გასევე არიან კოპრაიმები.

ცხრილი 1 გვიჩვენებს ყველა პრიმიტიულ პითაგორას სამეულს, რომელიც გენერირებულია ფორმულებით (2). მ≤10.

ცხრილი 1. პრიმიტიული პითაგორას სამეული ამისთვის მ≤10

მ	ნ	ა	ბ	გ	მ	ნ	ა	ბ	გ
2	1	4	3	5	8	1	16	63	65
3	2	12	5	13	8	3	48	55	73
4	1	8	15	17	8	5	80	39	89
4	3	24	7	25	8	7	112	15	113
5	2	20	21	29	9	2	36	77	85
5	4	40	9	41	9	4	72	65	97
6	1	12	35	37	9	8	144	17	145
6	5	60	11	61	10	1	20	99	101
7	2	28	45	53	10	3	60	91	109
7	4	56	33	65	10	7	140	51	149
7	6	84	13	85	10	9	180	19	181

ამ ცხრილის ანალიზი აჩვენებს შაბლონების შემდეგი სერიის არსებობას:

• ან ა, ან ბიყოფა 3-ზე;
• ერთ-ერთი ნომერი ა,ბ,გიყოფა 5-ზე;
• ნომერი აიყოფა 4-ზე;
• მუშაობა ა· ბიყოფა 12-ზე.

1971 წელს ამერიკელმა მათემატიკოსებმა ტეიგანმა და ჰედუინმა შემოგვთავაზეს მართკუთხა სამკუთხედის ისეთი ნაკლებად ცნობილი პარამეტრები, როგორიცაა მისი სიმაღლე (სიმაღლე) სამეულის შესაქმნელად. თ = გ− b და ჭარბი (წარმატება) ე = ა + ბ − გ. ნახ.1-ში. ეს რაოდენობები ნაჩვენებია გარკვეულ მართკუთხა სამკუთხედზე.

სურათი 1. მართკუთხა სამკუთხედი და მისი ზრდა და სიჭარბე

სახელწოდება "ჭარბი" მომდინარეობს იქიდან, რომ ეს არის დამატებითი მანძილი, რომელიც უნდა გაიაროს სამკუთხედის ფეხების გასწვრივ ერთი წვეროდან საპირისპირო მიმართულებით, თუ არ მიდიხართ მის დიაგონალზე.

ჭარბი და ზრდის გზით, პითაგორას სამკუთხედის გვერდები შეიძლება გამოიხატოს შემდეგნაირად:

ე 2 ე 2
ა = თ + ე, ბ = ე + ——, გ = თ + ე + ——, (3)
2თ 2თ

არა ყველა კომბინაცია თდა ეშეიძლება შეესაბამებოდეს პითაგორას სამკუთხედებს. მოცემულისთვის თშესაძლო ღირებულებები ეარის რაღაც რიცხვის ნამრავლი დ. ეს ნომერი დზრდას უწოდებენ და ეხება თშემდეგი გზით: დარის უმცირესი დადებითი მთელი რიცხვი, რომლის კვადრატი იყოფა 2-ზე თ. როგორც ემრავალჯერადი დ, მაშინ იწერება როგორც ე = კდ, სად კარის დადებითი მთელი რიცხვი.

წყვილების დახმარებით ( კ,თ) შეგიძლიათ შექმნათ ყველა პითაგორას სამკუთხედი, მათ შორის არაპრიმიტიული და განზოგადებული, შემდეგნაირად:

(დკ) 2 (დკ) 2
ა = თ + დკ, ბ = დკ + ——, გ = თ + დკ + ——, (4)
2თ 2თ

მეტიც, სამეული პრიმიტიულია თუ კდა თარიან კოპრაიმები და თუ თ =± ქ 2 საათზე ქ- დაუწყვილებელი.
უფრო მეტიც, ეს იქნება ზუსტად პითაგორას სამეული თუ კ> √2 თ/დდა თ > 0.

Პოვნა კდა თსაწყისი ( ა,ბ,გ) გააკეთე შემდეგი:

• თ = გ − ბ;
• ჩაწერა თროგორც თ = pq 2, სადაც გვ> 0 და ისეთი, რომელიც არ არის კვადრატი;
• დ = 2pqთუ გვ- დაუწყვილებელი და დ = pq, თუ p არის დაწყვილებული;
• კ = (ა − თ)/დ.

მაგალითად, სამმაგისთვის (8,15,17) გვაქვს თ= 17−15 = 2 1, ასე გვ= 2 და ქ = 1, დ= 2 და კ= (8 − 2)/2 = 3. ეს სამმაგი მოცემულია როგორც ( კ,თ) = (3,2).

სამმაგისთვის (459,1260,1341) გვაქვს თ= 1341 − 1260 = 81, ასე გვ = 1, ქ= 9 და დ= 18, შესაბამისად კ= (459 − 81)/18 = 21, ამიტომ ამ სამეულის კოდი არის ( კ,თ) = (21, 81).

სამეულების მითითება თდა კაქვს არაერთი საინტერესო თვისება. Პარამეტრი კუდრის

კ = 4ს/(dP), (5)

სად ს = აბ/2 არის სამკუთხედის ფართობი და პ = ა + ბ + გარის მისი პერიმეტრი. ეს გამომდინარეობს თანასწორობიდან eP = 4ს, რომელიც მომდინარეობს პითაგორას თეორემიდან.

მართკუთხა სამკუთხედისთვის ეუდრის სამკუთხედში ჩაწერილი წრის დიამეტრს. ეს გამომდინარეობს იქიდან, რომ ჰიპოტენუზა თან = (ა − რ)+(ბ − რ) = ა + ბ − 2რ, სად რარის წრის რადიუსი. აქედან თ = გ − ბ = ა − 2რდა ე = ა − თ = 2რ.

ამისთვის თ> 0 და კ > 0, კარის სამეულის რიგითი რიცხვი ა-ბ-გპითაგორას სამკუთხედების თანმიმდევრობით ზრდასთან ერთად თ. ცხრილიდან 2, რომელიც გვიჩვენებს წყვილების მიერ გენერირებული სამეულის რამდენიმე ვარიანტს თ, კ, ჩანს, რომ მატებასთან ერთად კსამკუთხედის გვერდები იზრდება. ამრიგად, კლასიკური ნუმერაციისგან განსხვავებით, ნუმერაცია წყვილებში თ, კაქვს უმაღლესი რიგით სამეულების თანმიმდევრობით.

ცხრილი 2. h, k წყვილებით წარმოქმნილი პითაგორას სამეული.

თ	კ	ა	ბ	გ	თ	კ	ა	ბ	გ
2	1	4	3	5	3	1	9	12	15
2	2	6	8	10	3	2	15	36	39
2	3	8	15	17	3	3	21	72	75
2	4	10	24	26	3	4	27	120	123
2	5	12	35	37	3	5	33	180	183

ამისთვის თ > 0, დაკმაყოფილებს უტოლობა 2√ თ ≤ დ ≤ 2თ, რომელშიც ქვედა ზღვარი მიიღწევა გვ= 1, ხოლო ზედა, ზე ქ= 1. მაშასადამე, მნიშვნელობა დ 2√-ის მიმართ თარის საზომი, თუ რამდენი თრაღაც რიცხვის კვადრატიდან შორს.