მათემატიკაში გამოცდის ჩაბარებამდე სულ უფრო ნაკლები დრო რჩება. ვითარება იწვება, სკოლის მოსწავლეებს, მშობლებს, მასწავლებლებს და რეპეტიტორებს ნერვები სულ უფრო ეშლება. მათემატიკის ყოველდღიური სიღრმისეული გაკვეთილები დაგეხმარებათ ნერვული დაძაბულობის მოხსნაში. ყოველივე ამის შემდეგ, არაფერი, როგორც მოგეხსენებათ, არ აძლევს ენერგიას და ეხმარება გამოცდების ჩაბარებაში, როგორც საკუთარი შესაძლებლობებისა და ცოდნისადმი ნდობა. დღეს მათემატიკის დამრიგებელი მოგიყვებათ ლოგარითმული და ექსპონენციალური უტოლობების სისტემების ამოხსნის შესახებ, ამოცანები, რომლებიც ტრადიციულად უქმნის სირთულეებს ბევრ თანამედროვე სკოლის მოსწავლეს.

იმისათვის, რომ ისწავლოთ C3 ამოცანების ამოხსნა მათემატიკაში ერთიანი სახელმწიფო გამოცდიდან, როგორც მათემატიკის დამრიგებელი, გირჩევთ, ყურადღება მიაქციოთ შემდეგ მნიშვნელოვან პუნქტებს.

1. ლოგარითმული და ექსპონენციალური უტოლობების სისტემების ამოხსნის დაწყებამდე აუცილებელია ვისწავლოთ თუ როგორ ამოხსნათ თითოეული ამ ტიპის უტოლობა ცალკე. კერძოდ, იმის გასაგებად, თუ როგორ არის ნაპოვნი დასაშვები მნიშვნელობების ფართობი, ტარდება ლოგარითმული და ექსპონენციალური გამოსახულებების ექვივალენტური გარდაქმნები. თქვენ შეგიძლიათ გაიგოთ მასთან დაკავშირებული ზოგიერთი საიდუმლო სტატიების "" და "" შესწავლით.

2. ამავდროულად, აუცილებელია გავითვალისწინოთ, რომ უტოლობების სისტემის ამოხსნა ყოველთვის არ მოდის თითოეული უტოლობის ცალ-ცალკე გადაჭრაზე და შედეგად მიღებული ხარვეზების გადაკვეთაზე. ზოგჯერ, სისტემის ერთი უტოლობის ამოხსნის ცოდნით, მეორის ამოხსნა მნიშვნელოვნად გამარტივებულია. როგორც მათემატიკის დამრიგებელი, რომელიც ამზადებს სტუდენტებს დასკვნითი გამოცდებისთვის USE ფორმატში, ამ სტატიაში მე გამოვხატავ რამდენიმე საიდუმლოს, რომელიც დაკავშირებულია ამასთან დაკავშირებით.

3. აუცილებელია თავად გაიგოთ განსხვავება კვეთასა და კომპლექტების გაერთიანებას შორის. ეს არის ერთ-ერთი უმნიშვნელოვანესი მათემატიკური ცოდნა, რომელიც გამოცდილი პროფესიონალი დამრიგებელი ცდილობს მისცეს თავის მოსწავლეს პირველივე გაკვეთილებიდან. სიმრავლეთა გადაკვეთისა და გაერთიანების ვიზუალური წარმოდგენა მოცემულია ე.წ. „ეილერის წრეებით“.

გადაკვეთის დაყენება კომპლექტს ეწოდება სიმრავლე, რომელიც შეიცავს მხოლოდ იმ ელემენტებს, რომლებიც თითოეულ ამ კომპლექტს აქვს.

კვეთა

კომპლექტების გადაკვეთის სურათი "ეილერის წრეების" გამოყენებით

თითით ახსნა.დიანას ჩანთაში აქვს "კომპლექტი", რომელიც შედგება ( კალმები, ფანქარი, მმართველები, რვეულები, სავარცხლები). ალისს ჩანთაში აქვს "კომპლექტი", რომელიც შედგება ( რვეული, ფანქარი, სარკეები, რვეულები, კიევის კატლეტები). ამ ორი "კომპლექტის" გადაკვეთა იქნება "კომპლექტი", რომელიც შედგება ( ფანქარი, რვეულები), ვინაიდან დიანას და ალისს ორივე ეს „ელემენტი“ აქვთ.

მნიშვნელოვანია გახსოვდეთ! თუ უტოლობის ამოხსნა არის ინტერვალი და უტოლობა არის ინტერვალი, მაშინ სისტემების ამოხსნა:

არის ის ინტერვალი, რომელიც არის კვეთა ორიგინალური ინტერვალებით. აქ და ქვემოთრომელიმე პერსონაჟი title="(!LANG:გადაყვანილია QuickLaTeX.com-ის მიერ" height="17" width="93" style="vertical-align: -4px;">!} და ქვეშ საპირისპირო ნიშანია.

კომპლექტების გაერთიანება ეწოდება ნაკრები, რომელიც შედგება ორიგინალური კომპლექტების ყველა ელემენტისგან.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თუ მოცემულია ორი კომპლექტი და შემდეგ მათი ასოციაცია იქნება შემდეგი ფორმის ნაკრები:

კომპლექტების გაერთიანების სურათი "ეილერის წრეების" გამოყენებით

თითით ახსნა.წინა მაგალითში აღებული "ნაკრებების" გაერთიანება იქნება "კომპლექტი", რომელიც შედგება ( კალმები, ფანქარი, მმართველები, რვეულები, სავარცხლები, რვეული, სარკეები, კიევის კატლეტები), ვინაიდან იგი შედგება ორიგინალური „კომპლექტების“ ყველა ელემენტისგან. ერთი განმარტება, რომელიც შესაძლოა ზედმეტი არ იყოს. Ბევრი არ შეუძლიაშეიცავს იგივე ელემენტებს.

მნიშვნელოვანია გახსოვდეთ! თუ უტოლობის ამონახსნი არის ინტერვალი და უტოლობის ამოხსნა არის ინტერვალი, მაშინ სიმრავლის ამონახსნი არის:

არის ის ინტერვალი, რომელიც არის ასოციაცია ორიგინალური ინტერვალებით.

მოდით პირდაპირ მაგალითებზე გადავიდეთ.

მაგალითი 1ამოხსენით უტოლობების სისტემა:

C3 ამოცანის ამოხსნა.

1. ჯერ პირველ უტოლობას ვხსნით. ჩანაცვლების გამოყენებით გადავდივართ უტოლობაზე:

2. ჩვენ ახლა ვხსნით მეორე უტოლობას. მისი დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონი განისაზღვრება უთანასწორობით:

Title="(!LANG:გადაყვანილია QuickLaTeX.com-ის მიერ">!}

მისაღები დიაპაზონის ფარგლებში, იმის გათვალისწინებით, რომ ლოგარითმის საფუძველი title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="52" style="vertical-align: -4px;"> переходим к равносильному неравенству:!}

გადაწყვეტილებების გამოკლებით, რომლებიც არ არიან დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონში, ვიღებთ ინტერვალს

3. პასუხი სისტემაუთანასწორობები იქნება კვეთა

შედეგად მიღებული ხარვეზები რიცხვთა წრფეზე. გამოსავალი არის მათი გადაკვეთა

მაგალითი 2ამოხსენით უტოლობების სისტემა:

C3 ამოცანის ამოხსნა.

1. ჯერ პირველ უტოლობას ვხსნით. გაამრავლეთ ორივე ნაწილი title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="55" style="vertical-align: 0px;"> и делаем замену в результате чего приходим к неравенству:!}

მოდით გადავიდეთ საპირისპირო ჩანაცვლებაზე:

2.

Title="(!LANG:გადაყვანილია QuickLaTeX.com-ის მიერ">!}

მიღებული დიაპაზონის გრაფიკული წარმოდგენა. სისტემის ამოხსნა – მათი გადაკვეთა

მაგალითი 3ამოხსენით უტოლობების სისტემა:

C3 ამოცანის ამოხსნა.

1. ჯერ პირველ უტოლობას ვხსნით. გაამრავლეთ მისი ორივე ნაწილი title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="61" style="vertical-align: -4px;"> после чего получаем неравенство:!}

ჩანაცვლების გამოყენებით გადავდივართ შემდეგ უტოლობაზე:

მოდით გადავიდეთ საპირისპირო ჩანაცვლებაზე:

2. ჩვენ ახლა ვხსნით მეორე უტოლობას. ჯერ განვსაზღვროთ ამ უთანასწორობის დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონი:

ql-right-eqno">

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ

შემდეგ, დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონის გათვალისწინებით, ვიღებთ:

3. ვპოულობთ უტოლობათა ზოგად ამოხსნას. კვანძოვანი წერტილების მიღებული ირაციონალური მნიშვნელობების შედარება ამ მაგალითში სულაც არ არის ტრივიალური ამოცანა. ეს შეიძლება გაკეთდეს შემდეგი გზით. იმიტომ რომ

Title="(!LANG:გადაყვანილია QuickLaTeX.com-ის მიერ">!}

მაშინ და საბოლოო პასუხი სისტემაზე არის:

მაგალითი 4ამოხსენით უტოლობების სისტემა:

С3 ამოცანის ამოხსნა.

1. ჯერ მეორე უტოლობა მოვაგვაროთ:

2. თავდაპირველი სისტემის პირველი უტოლობა არის ლოგარითმული ცვლადი-ფუძის უტოლობა. ასეთი უტოლობების გადაჭრის მოსახერხებელი გზა აღწერილია სტატიაში "კომპლექსური ლოგარითმული უტოლობა", იგი ეფუძნება მარტივ ფორმულას:

ნიშნის ნაცვლად ნებისმიერი უთანასწორობის ნიშანი შეიძლება შეიცვალოს, მთავარია ორივე შემთხვევაში ერთნაირი იყოს. ამ ფორმულის გამოყენება მნიშვნელოვნად ამარტივებს უტოლობის ამოხსნას:

მოდით ახლა განვსაზღვროთ ამ უთანასწორობის დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონი. იგი მოცემულია შემდეგი სისტემით:

Title="(!LANG:გადაყვანილია QuickLaTeX.com-ის მიერ">!}

Title="(!LANG:გადაყვანილია QuickLaTeX.com-ის მიერ">!}

ადვილი მისახვედრია, რომ ამავდროულად ეს ინტერვალი იქნება ჩვენი უთანასწორობის ამოხსნაც.

3. საბოლოო პასუხი ორიგინალზე სისტემებიუთანასწორობები იქნება კვეთა მიღებული ინტერვალები, ანუ

მაგალითი 5ამოხსენით უტოლობების სისტემა:

პრობლემის გადაწყვეტა C3.

1. ჯერ პირველ უტოლობას ვხსნით. ჩვენ ვიყენებთ ჩანაცვლებას ჩვენ გადავდივართ შემდეგ კვადრატულ უტოლობაზე:

2. ჩვენ ახლა ვხსნით მეორე უტოლობას. მისი დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონი განისაზღვრება სისტემით:

Title="(!LANG:გადაყვანილია QuickLaTeX.com-ის მიერ">!}

ეს უტოლობა უდრის შემდეგ შერეულ სისტემას:

სწორი მნიშვნელობების დიაპაზონში, ანუ title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="53" style="vertical-align: -4px;"> используя равносильные преобразования переходим к следующей смешанной системе:!}

დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონის გათვალისწინებით, ჩვენ ვიღებთ:

3. ორიგინალის საბოლოო გადაწყვეტილება სისტემებიარის

C3 ამოცანის ამოხსნა.

1. ჯერ პირველ უტოლობას ვხსნით. ეკვივალენტური გარდაქმნებით მივიღებთ მას ფორმაში:

2. ჩვენ ახლა ვხსნით მეორე უტოლობას. მისი სწორი მნიშვნელობების დიაპაზონი განისაზღვრება span: title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="68" style="vertical-align: 0px;"> Используя замену переменной переходим к следующему квадратичному неравенству:!}

ეს პასუხი მთლიანად მიეკუთვნება უთანასწორობის მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონს.

3. წინა აბზაცებში მიღებული ინტერვალების გადაკვეთით მივიღებთ საბოლოო პასუხს უტოლობათა სისტემაზე:

დღეს ჩვენ მოვაგვარეთ ლოგარითმული და ექსპონენციალური უტოლობების სისტემები. ამ ტიპის ამოცანები შესთავაზეს USE-ის საცდელ ვერსიებში მათემატიკაში მიმდინარე სასწავლო წლის განმავლობაში. თუმცა, როგორც USE-სთვის მომზადების გამოცდილების მქონე მათემატიკის დამრიგებელს, შემიძლია ვთქვა, რომ ეს საერთოდ არ ნიშნავს იმას, რომ მსგავსი ამოცანები ივნისში მათემატიკაში USE-ის რეალურ ვერსიებში იქნება.

ნება მომეცით გამოვხატო ერთი გაფრთხილება, რომელიც ძირითადად მიმართულია მასწავლებლებისა და სკოლის მასწავლებლებისთვის, რომლებიც მონაწილეობენ საშუალო სკოლის მოსწავლეების მომზადებაში მათემატიკაში გამოყენებისთვის. ძალზე სახიფათოა სკოლის მოსწავლეების მომზადება გამოცდისთვის მკაცრად მოცემულ თემებზე, რადგან ამ შემთხვევაში არსებობს მისი სრულად „შევსების“ რისკი, თუნდაც ადრე დაწერილი დავალების ფორმატის უმნიშვნელო ცვლილებით. მათემატიკური განათლება უნდა იყოს დასრულებული. ძვირფასო კოლეგებო, გთხოვთ, არ შეადაროთ თქვენი მოსწავლეები რობოტებს ეგრეთ წოდებული „ტრენინგებით“ გარკვეული ტიპის პრობლემის გადასაჭრელად. ადამიანური აზროვნების ფორმალიზებაზე უარესი ხომ არაფერია.

წარმატებებს გისურვებთ ყველას და შემოქმედებით წარმატებებს!

სერგეი ვალერიევიჩი

თუ სცადეთ, მაშინ ორი ვარიანტია: იმუშავებს ან არ იმუშავებს. თუ არ სცადეთ, მხოლოდ ერთია.
© ხალხური სიბრძნე

მათემატიკური ამოცანების უმეტესობის ამოხსნა გარკვეულწილად უკავშირდება რიცხვითი, ალგებრული ან ფუნქციური გამოსახულებების ტრანსფორმაციას. ეს განსაკუთრებით ეხება გამოსავალს. მათემატიკაში USE ვარიანტებში ამ ტიპის დავალება მოიცავს, კერძოდ, დავალებას C3. C3 ამოცანების ამოხსნის სწავლა მნიშვნელოვანია არა მხოლოდ გამოცდის წარმატებით ჩაბარებისთვის, არამედ იმ მიზეზითაც, რომ ეს უნარი გამოგადგებათ უმაღლეს სასწავლებლებში მათემატიკის კურსის შესწავლისას.

C3 დავალებების შესრულებისას თქვენ უნდა ამოხსნათ სხვადასხვა ტიპის განტოლებები და უტოლობა. მათ შორისაა რაციონალური, ირაციონალური, ექსპონენციალური, ლოგარითმული, ტრიგონომეტრიული, შემცველი მოდულები (აბსოლუტური მნიშვნელობები), ასევე კომბინირებული. ამ სტატიაში განხილულია ექსპონენციალური განტოლებებისა და უტოლობების ძირითადი ტიპები, ასევე მათი ამოხსნის სხვადასხვა მეთოდები. წაიკითხეთ სხვა ტიპის განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნის შესახებ სათაურში "" სტატიებში, რომლებიც ეძღვნება C3 ამოცანების ამოხსნის მეთოდებს მათემატიკაში USE ვარიანტებიდან.

სანამ ანალიზზე გადავიდოდეთ კონკრეტული ექსპონენციალური განტოლებები და უტოლობები, როგორც მათემატიკის დამრიგებელს, გირჩევთ გაეცნოთ ზოგიერთ თეორიულ მასალას, რომელიც დაგვჭირდება.

ექსპონენციალური ფუნქცია

რა არის ექსპონენციალური ფუნქცია?

ფუნქციის ნახვა წ = ნაჯახი, სად ა> 0 და ა≠ 1, ე.წ ექსპონენციალური ფუნქცია.

მთავარი ექსპონენციალური ფუნქციის თვისებები წ = ნაჯახი:

ექსპონენციალური ფუნქციის გრაფიკი

ექსპონენციალური ფუნქციის გრაფიკი არის გამოფენის:

ექსპონენციალური ფუნქციების გრაფიკები (ექსპონენტები)

ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნა

საჩვენებელიეწოდება განტოლებები, რომლებშიც უცნობი ცვლადი გვხვდება მხოლოდ ნებისმიერი სიძლიერის მაჩვენებლებში.

გადაწყვეტილებისთვის ექსპონენციალური განტოლებებითქვენ უნდა იცოდეთ და შეძლოთ შემდეგი მარტივი თეორემას გამოყენება:

თეორემა 1.ექსპონენციალური განტოლება ა ვ(x) = ა გ(x) (სად ა > 0, ა≠ 1) განტოლების ტოლფასია ვ(x) = გ(x).

გარდა ამისა, სასარგებლოა დამახსოვრება ძირითადი ფორმულები და მოქმედებები გრადუსით:

Title="(!LANG:გადაყვანილია QuickLaTeX.com-ის მიერ">!}

მაგალითი 1ამოხსენით განტოლება:

გამოსავალი:გამოიყენეთ ზემოაღნიშნული ფორმულები და ჩანაცვლება:

შემდეგ განტოლება ხდება:

მიღებული კვადრატული განტოლების დისკრიმინანტი დადებითია:

Title="(!LANG:გადაყვანილია QuickLaTeX.com-ის მიერ">!}

ეს ნიშნავს, რომ ამ განტოლებას ორი ფესვი აქვს. ჩვენ ვპოულობთ მათ:

ჩანაცვლებას დავუბრუნდებით, მივიღებთ:

მეორე განტოლებას არ აქვს ფესვები, რადგან ექსპონენციალური ფუნქცია მკაცრად დადებითია განსაზღვრების მთელ დომენზე. მოვაგვაროთ მეორე:

თეორემა 1-ში ნათქვამის გათვალისწინებით, გადავდივართ ეკვივალენტურ განტოლებაზე: x= 3. ეს იქნება დავალების პასუხი.

პასუხი: x = 3.

მაგალითი 2ამოხსენით განტოლება:

გამოსავალი:განტოლებას არ აქვს შეზღუდვები დასაშვები მნიშვნელობების ფართობზე, რადგან რადიკალური გამოხატულება აზრი აქვს ნებისმიერ მნიშვნელობას x(ექსპონენციალური ფუნქცია წ = 9 4 -xდადებითი და არა ტოლი ნულის).

განტოლებას ვხსნით ეკვივალენტური გარდაქმნებით, ძალაუფლების გამრავლებისა და გაყოფის წესების გამოყენებით:

ბოლო გადასვლა განხორციელდა თეორემა 1-ის შესაბამისად.

პასუხი:x= 6.

მაგალითი 3ამოხსენით განტოლება:

გამოსავალი:თავდაპირველი განტოლების ორივე მხარე შეიძლება დაიყოს 0.2-ზე x. ეს გარდამავალი იქნება ექვივალენტური, რადგან ეს გამოხატულება ნულზე მეტია ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის x(ექსპონენციალური ფუნქცია მკაცრად დადებითია მის დომენზე). შემდეგ განტოლება იღებს ფორმას:

პასუხი: x = 0.

მაგალითი 4ამოხსენით განტოლება:

გამოსავალი:ჩვენ ვამარტივებთ განტოლებას ელემენტარულს ეკვივალენტური გარდაქმნებით, სტატიის დასაწყისში მოცემული ძალების გაყოფისა და გამრავლების წესების გამოყენებით:

განტოლების ორივე მხარის გაყოფა 4-ზე x, როგორც წინა მაგალითში, არის ეკვივალენტური ტრანსფორმაცია, რადგან ეს გამოხატულება არ არის ნულის ტოლი ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის x.

პასუხი: x = 0.

მაგალითი 5ამოხსენით განტოლება:

გამოსავალი:ფუნქცია წ = 3xგანტოლების მარცხენა მხარეს მდგომი, იზრდება. ფუნქცია წ = —x-2/3, განტოლების მარჯვენა მხარეს მდგომი, კლებულობს. ეს ნიშნავს, რომ თუ ამ ფუნქციების გრაფიკები იკვეთება, მაშინ მაქსიმუმ ერთ წერტილში. ამ შემთხვევაში, ადვილი მისახვედრია, რომ გრაფიკები იკვეთება წერტილში x= -1. სხვა ფესვები არ იქნება.

პასუხი: x = -1.

მაგალითი 6ამოხსენით განტოლება:

გამოსავალი:ჩვენ ვამარტივებთ განტოლებას ექვივალენტური გარდაქმნებით, ყველგან მხედველობაში გვაქვს, რომ ექსპონენციალური ფუნქცია მკაცრად აღემატება ნულს ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის xდა სტატიის დასაწყისში მოცემული პროდუქტის და ნაწილობრივი სიმძლავრის გამოთვლის წესების გამოყენებით:

პასუხი: x = 2.

ექსპონენციალური უტოლობების ამოხსნა

საჩვენებელიეწოდება უტოლობები, რომლებშიც უცნობი ცვლადი შეიცავს მხოლოდ ზოგიერთი სიძლიერის მაჩვენებლებს.

გადაწყვეტილებისთვის ექსპონენციური უტოლობებისაჭიროა შემდეგი თეორემის ცოდნა:

თეორემა 2.Თუ ა> 1, შემდეგ უტოლობა ა ვ(x) > ა გ(x) უდრის იგივე მნიშვნელობის უტოლობას: ვ(x) > გ(x). თუ 0< ა < 1, то показательное неравенство ა ვ(x) > ა გ(x) უდრის საპირისპირო მნიშვნელობის უტოლობას: ვ(x) < გ(x).

მაგალითი 7ამოხსენით უტოლობა:

გამოსავალი:წარმოადგენენ თავდაპირველ უტოლობას სახით:

ამ უტოლობის ორივე ნაწილი გაყავით 3 2-ზე xდა (ფუნქციის პოზიტიურობის გამო წ= 3 2x) უთანასწორობის ნიშანი არ შეიცვლება:

მოდით გამოვიყენოთ ჩანაცვლება:

მაშინ უტოლობა იღებს ფორმას:

ასე რომ, უტოლობის გამოსავალი არის ინტერვალი:

საპირისპირო ჩანაცვლებაზე გადასვლისას მივიღებთ:

მარცხენა უტოლობა, ექსპონენციალური ფუნქციის პოზიტიურობის გამო, ავტომატურად სრულდება. ლოგარითმის კარგად ცნობილი თვისების გამოყენებით გადავდივართ ეკვივალენტურ უტოლობაზე:

ვინაიდან ხარისხის საფუძველი არის ერთზე მეტი რიცხვი, ექვივალენტი (თეორემა 2-ით) იქნება გადასვლა შემდეგ უტოლობაზე:

ასე რომ, ჩვენ საბოლოოდ მივიღებთ პასუხი:

მაგალითი 8ამოხსენით უტოლობა:

გამოსავალი:ძალაუფლების გამრავლებისა და გაყოფის თვისებების გამოყენებით, ჩვენ გადავწერთ უტოლობას სახით:

შემოვიტანოთ ახალი ცვლადი:

ამ ჩანაცვლებით, უტოლობა იღებს ფორმას:

გავამრავლოთ წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი 7-ზე, მივიღებთ შემდეგ ეკვივალენტურ უტოლობას:

ასე რომ, უტოლობა კმაყოფილდება ცვლადის შემდეგი მნიშვნელობებით ტ:

შემდეგ, ჩანაცვლებას დავუბრუნდებით, მივიღებთ:

ვინაიდან ხარისხის საფუძველი აქ ერთზე მეტია, ის ექვივალენტურია (თეორემით 2) უტოლობაზე გადასვლა:

ბოლოს მივიღებთ პასუხი:

მაგალითი 9ამოხსენით უტოლობა:

გამოსავალი:

ჩვენ ვყოფთ უტოლობის ორივე მხარეს გამოსახულებით:

ის ყოველთვის მეტია ნულზე (რადგან ექსპონენციალური ფუნქცია დადებითია), ამიტომ უტოლობის ნიშნის შეცვლა არ არის საჭირო. ჩვენ ვიღებთ:

t, რომლებიც არიან ინტერვალში:

საპირისპირო ჩანაცვლებაზე გადასვლისას აღმოვაჩენთ, რომ თავდაპირველი უტოლობა ორ შემთხვევად იყოფა:

პირველ უტოლობას არ აქვს ამონახსნები ექსპონენციალური ფუნქციის პოზიტიურობის გამო. გადავწყვიტოთ მეორე:

მაგალითი 10ამოხსენით უტოლობა:

გამოსავალი:

პარაბოლას ტოტები წ = 2x+2-x 2 მიმართულია ქვევით, ამიტომ იგი ზემოდან შემოსაზღვრულია იმ მნიშვნელობით, რომელსაც აღწევს მწვერვალზე:

პარაბოლას ტოტები წ = x 2 -2x+2, რომელიც არის ინდიკატორში, მიმართულია ზევით, რაც ნიშნავს, რომ ის შემოიფარგლება ქვემოდან იმ მნიშვნელობით, რომელსაც აღწევს მის ზედა ნაწილში:

ამავდროულად, ფუნქცია ქვემოდან შემოსაზღვრული აღმოჩნდება წ = 3 x 2 -2x+2 განტოლების მარჯვენა მხარეს. ის აღწევს თავის უმცირეს მნიშვნელობას იმავე წერტილში, როგორც პარაბოლა ინდექსში, და ეს მნიშვნელობა უდრის 3 1 = 3. ასე რომ, საწყისი უტოლობა შეიძლება იყოს ჭეშმარიტი მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ფუნქცია მარცხნივ და ფუნქცია მარჯვნივ აიღებს მნიშვნელობა , უდრის 3-ს (ამ ფუნქციების დიაპაზონების კვეთა მხოლოდ ეს რიცხვია). ეს პირობა დაკმაყოფილებულია ერთ წერტილში x = 1.

პასუხი: x= 1.

რომ ისწავლონ გადაჭრა ექსპონენციალური განტოლებები და უტოლობები,თქვენ მუდმივად უნდა ივარჯიშოთ მათ გადაწყვეტაში. ამ რთულ ამოცანაში დაგეხმარებათ სხვადასხვა მეთოდოლოგიური სახელმძღვანელო, დაწყებითი მათემატიკის ამოცანების წიგნები, საკონკურსო ამოცანების კრებული, მათემატიკის გაკვეთილები სკოლაში, ასევე ინდივიდუალური გაკვეთილები პროფესიონალ დამრიგებელთან ერთად. გულწრფელად გისურვებთ წარმატებებს მომზადებაში და ბრწყინვალე შედეგებს გამოცდაში.

სერგეი ვალერიევიჩი

P.S. ძვირფასო სტუმრებო! გთხოვთ, კომენტარებში არ დაწეროთ მოთხოვნები თქვენი განტოლებების ამოხსნის შესახებ. სამწუხაროდ, ამის დრო საერთოდ არ მაქვს. ასეთი შეტყობინებები წაიშლება. გთხოვთ წაიკითხოთ სტატია. ალბათ მასში იპოვით პასუხებს კითხვებზე, რომლებიც არ მოგცემთ საშუალებას დამოუკიდებლად გადაჭრათ თქვენი ამოცანა.

ირაციონალური უთანასწორობები

ირაციონალური უტოლობა გაგებულია, როგორც უტოლობა, რომელშიც უცნობი სიდიდეები რადიკალის ნიშნის ქვეშ არიან. ასეთი უტოლობების ამოხსნა ჩვეულებრივ მდგომარეობს იმაში, რომ ზოგიერთი გარდაქმნების დახმარებით ისინი იცვლება ეკვივალენტური რაციონალური განტოლებებით, უტოლობებით ან განტოლებებისა და უტოლობების სისტემებით (ხშირად შერეული სისტემები, ანუ ისეთები, რომლებიც მოიცავს როგორც განტოლებებს, ასევე უტოლობებს). და შემდგომ გამოსავალს შეუძლია მიჰყვეს ზემოთ ჩამოთვლილ ნაბიჯებს. ეს გარდაქმნები, გარდა ცვლადების ცვლილებისა (ახალი ცვლადების შემოღება) და ფაქტორიზაციისა, ასევე არის უტოლობის ორივე ნაწილის იმავე ხარისხით ამაღლება. თუმცა, ამ შემთხვევაში აუცილებელია ერთი უთანასწორობიდან მეორეზე გადასვლების ეკვივალენტობის მონიტორინგი. დაუფიქრებელი გაძლიერებით, უთანასწორობის ფესვები შეიძლება დაიკარგოს და მოიპოვოს ერთდროულად. მაგალითად, სწორი უტოლობის კვადრატში -1<2, мы получим верное неравенство 1<4; из верного неравенства -5<2 получается уже неверное неравенство 25<4;из неверного неравенства 1<-2 получим верное неравенство 1<4; наконец, из неверного неравенства 5<2 получим неверное неравенство 25<4. Вы видите, что возможны все комбинации верных и неверных неравенств!

თუმცა, აქ გამოყენებული მთავარი მტკიცება მართალია: თუ უტოლობის ორივე მხარე არაუარყოფითია, მაშინ ის უდრის მისგან მიღებული უტოლობის ტერმინური სიძლიერით.

უტოლობების ამ გზით გადაჭრისას ყურადღება უნდა მიექცეს, რომ ზედმეტი ამონახსნები არ შევიძინოთ. აქედან გამომდინარე, სასარგებლოა, სადაც ეს შესაძლებელია, იპოვოთ უთანასწორობის განსაზღვრის დომენი, ისევე როგორც გადაწყვეტილებების შესაძლო მნიშვნელობების დომენი.

ექსპონენციალური და ლოგარითმული უტოლობა

ექსპონენციური და ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნას წინ უძღვის შესაბამისი ფუნქციების თვისებების შესწავლა; ექსპონენციალური და ლოგარითმული გამოსახულებების გარდაქმნაზე მრავალი დავალების შესრულება; განტოლებების ამოხსნა, რომლებიც შეიცავს ლოგარითმებს და ცვლადებს მაჩვენებელში. უმარტივესი უტოლობების ამოხსნა, რომლებიც განიხილება

სადაც ნიშნავს ერთ-ერთ უტოლობას<,>,.

ფაქტია, რომ ეს თემა ჩვეულებრივ შემოდის, როგორც აბსოლუტურად ახალი, მხოლოდ ამ ფუნქციების ადრე შესწავლილ თვისებებზე დაყრდნობით. მიზანშეწონილია, ჩემი აზრით, მისი დაკავშირება ზოგადად უტოლობათა ამოხსნასთან (ანუ უკვე ცნობილ ალგორითმთან). უნდა აღინიშნოს, რომ ინტერვალის მეთოდის პირდაპირ გამოყენება შეუძლებელია. მაგრამ სხვადასხვა ექსპონენციალური და ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნა ემყარება შემდეგ წესებს:

თუ a>1, მაშინ

თუ 0

თუ a>1, მაშინ

თუ 0

სადაც ნიშანი ნიშნავს ნიშნის საპირისპიროს.

რომლის გამოყენებით ექსპონენციალური და ლოგარითმული უტოლობები ჩვეულებრივ მცირდება რაციონალურ უტოლობებამდე, რომელთა ამოხსნა უკვე შესაძლებელია ზემოთ აღწერილი ინტერვალების მეთოდით.

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების შემცველი უტოლობა

ეს თემა ცუდად არის გაშუქებული საგანმანათლებლო ლიტერატურაში და ზოგიერთ სახელმძღვანელოში ის ზოგადად ამოღებულია შესასწავლი კურსის ფარგლებიდან (როგორც უკვე აღინიშნა ამ ნაშრომის I თავში). ტრიგონომეტრიული უტოლობებიდან, როგორც წესი, განიხილება მხოლოდ უმარტივესი ტიპები.

მაშინ როცა ამ პუნქტთან დაკავშირებულ პრაქტიკულ ნაწილში წარმოდგენილი ამოცანები გვხვდება საკონკურსო პრობლემების კრებულებში, აბიტურიენტთა კრებულებში და უნივერსიტეტების ტექნიკურ ფაკულტეტებზე მისაღები გამოცდების მასალებში. იმათ. ეს მასალა არ შედის დაწყებით და საშუალო სკოლაში საჭირო სწავლაში, მაგრამ სასარგებლოა.

ინტერვალის მეთოდი განსაკუთრებით ეფექტურია ტრიგონომეტრიული ფუნქციების შემცველი უტოლობების ამოხსნისას. წმინდა ტრიგონომეტრიული უტოლობების ამ მეთოდით ამოხსნისას, რიცხვითი ღერძის ნაცვლად, მოსახერხებელია გამოვიყენოთ რიცხვითი წრე, რომელიც იყოფა შესაბამისი ტრიგონომეტრიული განტოლებების ფესვებით (მრიცხველი და მნიშვნელი) რკალებად, რომლებიც ასრულებენ იგივე როლს, როგორც ინტერვალებს. რიცხვთა ღერძზე. ამ რკალებზე ამოხსნილ უტოლობის შესაბამისი ტრიგონომეტრიული გამოსახულებას აქვს მუდმივი ნიშნები, რომელთა დადგენა შესაძლებელია ცალკეული „მოხერხებული“ წერტილის წესისა და ფესვების სიმრავლის თვისების გამოყენებით. ხშირად, თავად რკალების დასადგენად, სულაც არ არის საჭირო შესაბამისი განტოლებების ფესვების მთელი (უსასრულო) ნაკრების პოვნა; ამ განტოლებიდან საკმარისია ვიპოვოთ ძირითადი ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობები (სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი, კოტანგენსი) და აღვნიშნოთ წერტილები რიცხვით წრეზე ამ მნიშვნელობების შესაბამისი.

თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ რიცხვითი წრე პირდაპირ თავდაპირველი ტრიგონომეტრიული უტოლობის გადასაჭრელად ინტერვალის მეთოდის გამოყენებით, თუ ყველა ფუნქციას, რომლის მეშვეობითაც უტოლობა იწერება, აქვს მთავარი (უმცირესი დადებითი) პერიოდი, ან სადაც m არის რაიმე დადებითი მთელი რიცხვი. თუ ამ ფუნქციების ძირითადი პერიოდი ანზე მეტია, მაშინ ჯერ უნდა შეცვალოთ ცვლადები და შემდეგ გამოიყენოთ რიცხვითი წრე.

თუ უტოლობა შეიცავს როგორც ტრიგონომეტრიულ, ასევე სხვა ფუნქციებს, მაშინ რიცხვითი ღერძი უნდა იქნას გამოყენებული ინტერვალის მეთოდით.

ყველა B7 ამოცანა, რომელიც მე ვნახე, დაახლოებით ერთნაირად არის ჩამოყალიბებული: განტოლების ამოხსნა. ამ შემთხვევაში, განტოლებები თავისთავად მიეკუთვნება სამ ტიპს:

1. ლოგარითმული;
2. დემონსტრაციული;
3. ირაციონალური.

ზოგადად რომ ვთქვათ, თითოეული ტიპის განტოლების სრულ სახელმძღვანელოს დასჭირდება ათზე მეტი გვერდი, რაც სცილდება გამოცდის ფარგლებს. აქედან გამომდინარე, ჩვენ განვიხილავთ მხოლოდ უმარტივეს შემთხვევებს, რომლებიც საჭიროებენ უპრეტენზიო მსჯელობას და გამოთვლებს. ეს ცოდნა სავსებით საკმარისი იქნება ნებისმიერი B7 პრობლემის გადასაჭრელად.

მათემატიკაში ტერმინი „განტოლების ამოხსნა“ ნიშნავს მოცემული განტოლების ყველა ფესვის სიმრავლის პოვნას, ან იმის მტკიცებას, რომ ეს სიმრავლე ცარიელია. მაგრამ მხოლოდ ნომრები შეიძლება შეიყვანოთ USE ფორმაში - კომპლექტების გარეშე. მაშასადამე, თუ დავალებაში B7 იყო ერთზე მეტი ფესვი (ან, პირიქით, არცერთი) - დაშვებულია შეცდომა გამოსავალში.

ლოგარითმული განტოლებები

ლოგარითმული განტოლება არის ნებისმიერი განტოლება, რომელიც მცირდება ფორმის ჟურნალამდე ა ვ(x) = კ, სად ა > 0, ა≠ 1 არის ლოგარითმის საფუძველი, ვ(x) არის თვითნებური ფუნქცია, კარის რაღაც მუდმივი.

ასეთი განტოლება წყდება k მუდმივის შემოღებით ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ: კ= ჟურნალი ა ა კ. ახალი ლოგარითმის საფუძველი უდრის ორიგინალის ფუძეს. ჩვენ ვიღებთ განტოლების ჟურნალს ა ვ(x) = ჟურნალი ა ა კ, რომელიც იხსნება ლოგარითმის გაუქმებით.

გაითვალისწინეთ, რომ პირობით ა> 0, ასე რომ ვ(x) = ა კ> 0, ე.ი. ორიგინალური ლოგარითმი არსებობს.

Დავალება. ამოხსენით განტოლება: log 7 (8 − x) = 2.

გამოსავალი. ჟურნალი 7 (8 - x) = 2 ⇔ ჟურნალი 7 (8 − x) = ჟურნალი 7 7 2 ⇔ 8 − x = 49 ⇔ x = −41.

Დავალება. ამოხსენით განტოლება: log 0.5 (6 − x) = −2.

გამოსავალი. ჟურნალი 0.5 (6 - x) = −2 ⇔ ჟურნალი 0,5 (6 − x) = ლოგი 0,5 0,5 −2 ⇔ 6 − x = 4 ⇔ x = 2.

მაგრამ რა მოხდება, თუ ორიგინალური განტოლება აღმოჩნდება უფრო რთული, ვიდრე სტანდარტული ჟურნალი ა ვ(x) = კ? შემდეგ ჩვენ ვამცირებთ მას სტანდარტულზე, ვაგროვებთ ყველა ლოგარითმს ერთი მიმართულებით, ხოლო რიცხვებს მეორე მიმართულებით.

თუ თავდაპირველ განტოლებაში ერთზე მეტი ლოგარითმია, თქვენ უნდა მოძებნოთ ლოგარითმის ქვეშ მყოფი თითოეული ფუნქციის დასაშვები მნიშვნელობების ფართობი (ODV). წინააღმდეგ შემთხვევაში, დამატებითი ფესვები შეიძლება გამოჩნდეს.

Დავალება. ამოხსენით განტოლება: log 5 ( x+ 1) + ჟურნალი 5 ( x + 5) = 1.

ვინაიდან განტოლებაში ორი ლოგარითმია, ჩვენ ვპოულობთ ODZ-ს:

1. x + 1 > 0 ⇔ x > −1
2. x + 5 > 0 ⇔ x > −5

მივიღებთ, რომ ODZ არის ინტერვალი (−1, +∞). ახლა ჩვენ ვხსნით განტოლებას:

ჟურნალი 5 ( x+ 1) + ჟურნალი 5 ( x+ 5) = 1 ⇒ ჟურნალი 5 ( x + 1)(x+ 5) = 1 ⇔ ჟურნალი 5 ( x + 1)(x+ 5) = ჟურნალი 5 5 1 ⇔ ( x + 1)(x + 5) = 5 ⇔ x 2 + 6x + 5 = 5 ⇔ x (x + 6) = 0 ⇔ x 1 = 0, x 2 = −6.

მაგრამ x 2 = -6 არ შეესაბამება ODZ-ს. რჩება ფესვი x 1 = 0.

ექსპონენციალური განტოლებები

ექსპონენციალური განტოლება არის ნებისმიერი განტოლება, რომელიც მცირდება ფორმამდე ა ვ(x) = კ, სად ა > 0, ა≠ 1 - ხარისხის საფუძველი, ვ(x) არის თვითნებური ფუნქცია, კარის რაღაც მუდმივი.

ეს განმარტება თითქმის სიტყვასიტყვით იმეორებს ლოგარითმული განტოლების განმარტებას. ექსპონენციალური განტოლებები უფრო ადვილად წყდება, ვიდრე ლოგარითმული, რადგან აქ არ არის საჭირო ფუნქციის ვ(x) დადებითი იყო.

ამის გადასაჭრელად ვაკეთებთ ჩანაცვლებას კ = ა ტ, სად ტზოგადად, ლოგარითმი ( ტ= ჟურნალი ა კ), მაგრამ USE-ში ნომრები ადა კშეირჩევა ისე, რომ იპოვონ ტადვილი იქნება. მიღებულ განტოლებაში ა ვ(x) = ა ტფუძეები ტოლია, რაც ნიშნავს, რომ მაჩვენებლები ტოლია, ე.ი. ვ(x) = ტ. ბოლო განტოლების ამოხსნა, როგორც წესი, არ იწვევს პრობლემებს.

Დავალება. განტოლების ამოხსნა: 7 x − 2 = 49.

გამოსავალი. 7 x − 2 = 49 ⇔ 7 x − 2 = 7 2 ⇔ x − 2 = 2 ⇔ x = 4.

Დავალება. ამოხსენით განტოლება: 6 16 − x = 1/36.

გამოსავალი. 6 16 - x = 1/36 ⇔ 6 16 − x = 6 −2 ⇔ 16 − x = −2 ⇔ x = 18.

ცოტა რამ ექსპონენციალური განტოლებების ტრანსფორმაციის შესახებ. თუ თავდაპირველი განტოლება განსხვავდება ა ვ(x) = k , ჩვენ ვიყენებთ ხარისხებთან მუშაობის წესებს:

1. ა ნ · ა მ = ა ნ + მ ,
2. ა ნ / ა მ = ა ნ − მ ,
3. (ა ნ) მ = ა ნ · მ .

გარდა ამისა, თქვენ უნდა იცოდეთ ფესვებისა და წილადების გრადუსით რაციონალური მაჩვენებლით შეცვლის წესები:

ასეთი განტოლებები ძალზე იშვიათია USE-ში, მაგრამ მათ გარეშე B7 პრობლემის ანალიზი არასრული იქნებოდა.

Დავალება. განტოლების ამოხსნა: (5/7) x− 2 (7/5) 2 x − 1 = 125/343

გაითვალისწინეთ, რომ:

1. (7/5) 2x − 1 = ((5/7) −1) 2x − 1 = (5/7) 1 − 2x ,
2. 125/343 = (5 3) /(7 3) = (5/7) 3 .

გვაქვს: (5/7) x− 2 (7/5) 2 x − 1 = 125/343 ⇔ (5/7) x− 2 · (5/7) 1 − 2 x = (5/7) 3 ⇔ (5/7) x − 2 + 1 − 2x = (5/7) 3 ⇔ (5/7) −x − 1 = (5/7) 3 ⇔ −x − 1 = 3 ⇔ x = −4.

ირაციონალური განტოლებები

ირაციონალური გაგებულია, როგორც ნებისმიერი განტოლება, რომელიც შეიცავს ფესვის ნიშანს. ირაციონალური განტოლებების მთელი მრავალფეროვნებიდან ჩვენ განვიხილავთ მხოლოდ უმარტივეს შემთხვევას, როდესაც განტოლებას აქვს ფორმა:

ამ განტოლების ამოსახსნელად, ჩვენ კვადრატში ვაქცევთ ორივე მხარეს. ჩვენ ვიღებთ განტოლებას ვ(x) = ა 2. ამ შემთხვევაში, ODZ-ის მოთხოვნა ავტომატურად სრულდება: ვ(x) ≥ 0, რადგან ა 2 ≥ 0. რჩება მარტივი განტოლების ამოხსნა ვ(x) = ა 2 .

Დავალება. ამოხსენით განტოლება:

ორივე მხარეს ვაკვერცხებთ და ვიღებთ: 5 x − 6 = 8 2 ⇔ 5x − 6 = 64 ⇔ 5x = 70 ⇔ x = 14.

Დავალება. ამოხსენით განტოლება:

პირველ რიგში, ისევე როგორც წინა ჯერზე, ორივე მხარეს ვაჭრით. შემდეგ კი მრიცხველს დავამატებთ მინუს ნიშანს. Ჩვენ გვაქვს:

გაითვალისწინეთ, რომ როდესაც x= −4 ფესვის ქვეშ იქნება დადებითი რიცხვი, ე.ი. შესრულებულია ODZ-ის მოთხოვნა.