განვიხილოთ წერტილების პროექცია ორ სიბრტყეზე, რისთვისაც ვიღებთ ორ პერპენდიკულარულ სიბრტყეს (ნახ. 4), რომლებსაც ჰორიზონტალურ ფრონტალურ და სიბრტყეებს დავარქმევთ. ამ სიბრტყეების გადაკვეთის ხაზს პროექციის ღერძი ეწოდება. ჩვენ ვაპროექტებთ ერთ წერტილს A განხილულ სიბრტყეებზე ბრტყელი პროექციის გამოყენებით. ამისათვის საჭიროა Aa და A პერპენდიკულარების ჩამოწევა მოცემული წერტილიდან განხილულ სიბრტყეებზე.

ჰორიზონტალურ სიბრტყეზე პროექცია ეწოდება გეგმის ხედიქულები მაგრამდა პროექცია ა?ფრონტალურ სიბრტყეზე ე.წ წინა პროექცია.

წერტილები, რომლებიც უნდა იყოს დაპროექტებული აღწერილობით გეომეტრიაში, ჩვეულებრივ აღინიშნება დიდი ლათინური ასოებით. A, B, C. მცირე ასოები გამოიყენება წერტილების ჰორიზონტალური პროგნოზების აღსანიშნავად. ა, ბ, გ... ფრონტალური პროექციები მითითებულია პატარა ასოებით ზემოდან შტრიხით ა?, ბ?, გ?…

ასევე გამოიყენება წერტილების აღნიშვნა რომაული ციფრებით I, II, ..., ხოლო მათი პროგნოზებისთვის - არაბული ციფრებით 1, 2 ... და 1?, 2? ...

როდესაც ჰორიზონტალური სიბრტყე ბრუნავს 90°-ით, შეიძლება მივიღოთ ნახაზი, რომელშიც ორივე სიბრტყე ერთ სიბრტყეშია (ნახ. 5). ამ სურათს ე.წ წერტილოვანი ნაკვეთი.

პერპენდიკულარული ხაზების მეშვეობით აჰდა აჰ?დახატეთ თვითმფრინავი (სურ. 4). შედეგად მიღებული სიბრტყე პერპენდიკულარულია შუბლის და ჰორიზონტალური სიბრტყეების მიმართ, რადგან ის შეიცავს ამ სიბრტყეების პერპენდიკულარებს. მაშასადამე, ეს სიბრტყე პერპენდიკულარულია სიბრტყეების გადაკვეთის ხაზთან. შედეგად მიღებული სწორი ხაზი კვეთს ჰორიზონტალურ სიბრტყეს სწორი ხაზით აა x, ხოლო შუბლის სიბრტყე - სწორ ხაზზე ჰა? X. პირდაპირ აჰ და ჰა? x სიბრტყეების გადაკვეთის ღერძის პერპენდიკულარულია. ე.ი ააა?არის მართკუთხედი.

ჰორიზონტალური და შუბლის პროექციის სიბრტყეების შერწყმისას ადა ა?იქნება სიბრტყეების გადაკვეთის ღერძის ერთ პერპენდიკულარულზე, ვინაიდან ჰორიზონტალური სიბრტყის ბრუნვისას სეგმენტების პერპენდიკულარულობა აა x და ჰა? x არ არის გატეხილი.

ჩვენ ამას ვიღებთ პროექციის დიაგრამაზე ადა ა?რაღაც წერტილი მაგრამყოველთვის დაწექით სიბრტყეების გადაკვეთის ღერძის იმავე პერპენდიკულარულზე.

ორი პროექცია ა და ა?რაღაც წერტილის A-ს შეუძლია ცალსახად განსაზღვროს მისი პოზიცია სივრცეში (ნახ. 4). ამას ადასტურებს ის ფაქტი, რომ პროექციიდან a ჰორიზონტალურ სიბრტყემდე პერპენდიკულარული აგებისას ის გაივლის A წერტილს. ანალოგიურად, პროექციის პერპენდიკულარი. ა?ფრონტალურ სიბრტყემდე გაივლის წერტილს მაგრამ, ანუ წერტილი მაგრამდევს ერთდროულად ორ გარკვეულ ხაზზე. წერტილი A არის მათი გადაკვეთის წერტილი, ანუ ის განსაზღვრულია.

განვიხილოთ მართკუთხედი ააა X ა?(ნახ. 5), რისთვისაც ჭეშმარიტია შემდეგი განცხადებები:

1) წერტილის მანძილი მაგრამშუბლის სიბრტყიდან უდრის მისი ჰორიზონტალური პროექციის a მანძილს სიბრტყეების გადაკვეთის ღერძიდან, ე.ი.

აჰ? = აა X;

2) წერტილი მანძილი მაგრამპროგნოზების ჰორიზონტალური სიბრტყიდან უდრის მისი შუბლის პროექციის მანძილს ა?სიბრტყეების გადაკვეთის ღერძიდან, ე.ი.

აჰ = ჰა? X.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თვით ნაკვეთის წერტილის გარეშეც კი, მხოლოდ მისი ორი პროექციის გამოყენებით, შეგიძლიათ გაიგოთ, თუ რა მანძილზე მდებარეობს ეს წერტილი თითოეული პროექციის სიბრტყიდან.

ორი საპროექციო სიბრტყის გადაკვეთა სივრცეს ყოფს ოთხ ნაწილად, რომლებიც ე.წ მეოთხედი(ნახ. 6).

სიბრტყეების გადაკვეთის ღერძი ჰორიზონტალურ სიბრტყეს ყოფს ორ ნაწილად - წინა და უკანა, ხოლო შუბლის სიბრტყეს ზედა და ქვედა კვარტლებში. პირველი მეოთხედის საზღვრად განიხილება შუბლის სიბრტყის ზედა ნაწილი და ჰორიზონტალური სიბრტყის წინა ნაწილი.

დიაგრამის მიღებისას ჰორიზონტალური სიბრტყე ბრუნავს და ემთხვევა შუბლის სიბრტყეს (ნახ. 7). ამ შემთხვევაში, ჰორიზონტალური სიბრტყის წინა მხარე ემთხვევა შუბლის სიბრტყის ქვედა მხარეს, ხოლო ჰორიზონტალური სიბრტყის უკანა ნაწილი შუბლის სიბრტყის ზედა მხარეს.

8-11 სურათებზე ნაჩვენებია წერტილები A, B, C, D, რომლებიც მდებარეობს სივრცის სხვადასხვა კვარტალში. A წერტილი პირველ მეოთხედშია, B წერტილი მეორეში, C წერტილი მესამეში და D წერტილი მეოთხეში.

როდესაც ქულები განლაგებულია მათი პირველ ან მეოთხე მეოთხედში ჰორიზონტალური პროგნოზებიმდებარეობს ჰორიზონტალური სიბრტყის წინა მხარეს, ხოლო დიაგრამაზე ისინი განლაგდებიან სიბრტყეების გადაკვეთის ღერძის ქვემოთ. როდესაც წერტილი მდებარეობს მეორე ან მესამე კვარტალში, მისი ჰორიზონტალური პროექცია განლაგდება ჰორიზონტალური სიბრტყის უკანა მხარეს, ხოლო ნაკვეთზე ის იქნება სიბრტყეების გადაკვეთის ღერძის ზემოთ.

წინა პროგნოზებიწერტილები, რომლებიც განლაგებულია პირველ ან მეორე მეოთხედში, განლაგდება შუბლის სიბრტყის ზედა ნაწილზე, ხოლო დიაგრამაზე ისინი განლაგდება სიბრტყეების გადაკვეთის ღერძის ზემოთ. როდესაც წერტილი მდებარეობს მესამე ან მეოთხე კვარტალში, მისი შუბლის პროექცია არის სიბრტყეების გადაკვეთის ღერძის ქვემოთ.

ყველაზე ხშირად რეალურ კონსტრუქციებში ფიგურა მოთავსებულია სივრცის პირველ მეოთხედში.

ზოგიერთ კონკრეტულ შემთხვევაში, წერტილი ( ე) შეიძლება დაწოლილი იყოს ჰორიზონტალურ სიბრტყეზე (სურ. 12). ამ შემთხვევაში, მისი ჰორიზონტალური პროექცია e და თავად წერტილი დაემთხვევა. ასეთი წერტილის შუბლის პროექცია იქნება თვითმფრინავების გადაკვეთის ღერძზე.

იმ შემთხვევაში, როდესაც წერტილი რომდევს შუბლის სიბრტყეზე (სურ. 13), მისი ჰორიზონტალური პროექცია კდევს სიბრტყეების გადაკვეთის ღერძზე და შუბლზე კ?აჩვენებს ამ წერტილის რეალურ მდებარეობას.

ასეთი წერტილებისთვის, ნიშანი იმისა, რომ ის დევს ერთ-ერთ საპროექციო სიბრტყეზე არის ის, რომ მისი ერთ-ერთი პროექცია არის სიბრტყეების გადაკვეთის ღერძზე.

თუ წერტილი დევს საპროექციო სიბრტყეების გადაკვეთის ღერძზე, ის და მისი ორივე პროექცია ემთხვევა ერთმანეთს.

როდესაც წერტილი არ დევს პროექციის სიბრტყეზე, მას უწოდებენ ზოგადი პოზიციის წერტილი. შემდეგში, თუ არ არის სპეციალური ნიშნები, განსახილველი წერტილი არის წერტილი ზოგადი პოზიციაში.

2. პროექციის ღერძის ნაკლებობა

იმის ასახსნელად, თუ როგორ მივიღოთ წერტილის მოდელის პროგნოზები პერპენდიკულარულ საპროექციო სიბრტყეებზე (ნახ. 4), საჭიროა აიღოთ სქელი ქაღალდის ნაჭერი წაგრძელებული მართკუთხედის სახით. ის უნდა იყოს მოხრილი პროგნოზებს შორის. დასაკეცი ხაზი გამოსახავს თვითმფრინავების გადაკვეთის ღერძს. თუ ამის შემდეგ მოხრილი ქაღალდის ნაჭერი კვლავ გასწორდება, მივიღებთ ნახატზე ნაჩვენების მსგავს დიაგრამას.

ორი საპროექციო სიბრტყის სახატავ სიბრტყესთან შერწყმით, თქვენ არ შეგიძლიათ აჩვენოთ დასაკეცი ხაზი, ანუ არ დახაზოთ სიბრტყეების გადაკვეთის ღერძი დიაგრამაზე.

დიაგრამაზე აგებისას ყოველთვის უნდა მოათავსოთ პროგნოზები ადა ა?წერტილი A ერთ ვერტიკალურ ხაზზე (სურ. 14), რომელიც პერპენდიკულარულია სიბრტყეების გადაკვეთის ღერძზე. მაშასადამე, მაშინაც კი, თუ სიბრტყეების გადაკვეთის ღერძის პოზიცია განუსაზღვრელი რჩება, მაგრამ მისი მიმართულება განისაზღვრება, სიბრტყეების გადაკვეთის ღერძი შეიძლება იყოს მხოლოდ დიაგრამაზე მოცემული სწორი ხაზის პერპენდიკულარული. აჰ?.

თუ წერტილოვან დიაგრამაზე არ არის პროექციის ღერძი, როგორც პირველ სურათზე 14 a, შეგიძლიათ წარმოიდგინოთ ამ წერტილის პოზიცია სივრცეში. ამისათვის დახაზეთ ხაზის პერპენდიკულარულად ნებისმიერ ადგილას აჰ?პროექციის ღერძი, როგორც მეორე ფიგურაში (ნახ. 14) და მოხარეთ ნახატი ამ ღერძის გასწვრივ. თუ წერტილებში პერპენდიკულარებს აღვადგენთ ადა ა?სანამ ისინი იკვეთება, შეგიძლიათ მიიღოთ წერტილი მაგრამ. პროექციის ღერძის პოზიციის შეცვლისას მიიღება წერტილის სხვადასხვა პოზიციები საპროექციო სიბრტყეებთან მიმართებაში, მაგრამ პროექციის ღერძის პოზიციის გაურკვევლობა გავლენას არ ახდენს რამდენიმე წერტილის ან ფიგურის ფარდობით პოზიციაზე სივრცეში.

3. წერტილის პროექცია სამ საპროექციო სიბრტყეზე

განვიხილოთ პროგნოზების პროფილის სიბრტყე. ორ პერპენდიკულარულ სიბრტყეზე პროგნოზები ჩვეულებრივ განსაზღვრავს ფიგურის პოზიციას და შესაძლებელს ხდის გაირკვეს მისი რეალური ზომები და ფორმა. მაგრამ არის შემთხვევები, როდესაც ორი პროგნოზი საკმარისი არ არის. შემდეგ გამოიყენეთ მესამე პროექციის კონსტრუქცია.

მესამე პროექციის სიბრტყე შესრულებულია ისე, რომ იგი ერთდროულად იყოს ორივე საპროექციო სიბრტყის პერპენდიკულარული (ნახ. 15). მესამე თვითმფრინავი ე.წ პროფილი.

ასეთ კონსტრუქციებში ჰორიზონტალური და შუბლის სიბრტყის საერთო ხაზს უწოდებენ ღერძი X ჰორიზონტალური და პროფილის სიბრტყეების საერთო ხაზი - ღერძი ზე და შუბლისა და პროფილის სიბრტყეების საერთო სწორი ხაზი - ღერძი ზ . Წერტილი ო, რომელიც ეკუთვნის სამივე სიბრტყეს, ეწოდება წარმოშობის წერტილი.

სურათი 15a გვიჩვენებს პუნქტს მაგრამდა მისი სამი პროგნოზი. პროექცია პროფილის სიბრტყეზე ( ა??) უწოდებენ პროფილის პროექციადა აღვნიშნავთ ა??.

მივიღოთ A წერტილის დიაგრამა, რომელიც შედგება სამი პროექციისგან ა, ა, აუცილებელია y ღერძის გასწვრივ ყველა სიბრტყით წარმოქმნილი ტრიედრის ამოჭრა (სურ. 15ბ) და ყველა ეს სიბრტყის გაერთიანება შუბლის პროექციის სიბრტყესთან. ჰორიზონტალური სიბრტყე უნდა შემობრუნდეს ღერძის გარშემო Xდა პროფილის სიბრტყე ღერძთან ახლოს არის ზსურათზე 15 ისრით მითითებული მიმართულებით.

სურათი 16 გვიჩვენებს პროგნოზების პოზიციას აჰ, ჰა?და ა??ქულები მაგრამ, მიღებული სამივე სიბრტყის სახატავი სიბრტყით შერწყმის შედეგად.

ჭრის შედეგად, y-ღერძი ჩნდება დიაგრამაზე ორ სხვადასხვა ადგილას. ჰორიზონტალურ სიბრტყეზე (ნახ. 16) ის ვერტიკალურ პოზიციას იკავებს (ღერძზე პერპენდიკულარული). X), ხოლო პროფილის სიბრტყეზე - ჰორიზონტალური (ღერძზე პერპენდიკულარული ზ).

სურათი 16 გვიჩვენებს სამ პროგნოზს აჰ, ჰა?და ა?? A წერტილებს აქვთ მკაცრად განსაზღვრული პოზიცია დიაგრამაზე და ექვემდებარება ცალსახა პირობებს:

ადა ა?ყოველთვის უნდა იყოს განლაგებული ღერძის პერპენდიკულარულ ერთ ვერტიკალურ სწორ ხაზზე X;

ა?და ა??ყოველთვის უნდა იყოს განლაგებული იმავე ჰორიზონტალურ ხაზზე ღერძის პერპენდიკულარულად ზ;

3) როდესაც შედგენილია ჰორიზონტალური პროექციისა და ჰორიზონტალური ხაზის მეშვეობით, მაგრამ პროფილის პროექციის მეშვეობით ა??- ვერტიკალური სწორი ხაზი, აგებული ხაზები აუცილებლად იკვეთება პროექციის ღერძებს შორის კუთხის ბისექტორზე, ვინაიდან ფიგურა ოაზე ა 0 ა n არის კვადრატი.

წერტილის სამი პროექციის აგებისას აუცილებელია თითოეული წერტილისთვის სამივე პირობის შესრულების შემოწმება.

4. წერტილის კოორდინატები

წერტილის პოზიცია სივრცეში შეიძლება განისაზღვროს სამი ნომრის გამოყენებით, რომელსაც ეწოდება მისი კოორდინატები. თითოეული კოორდინატი შეესაბამება წერტილის მანძილს ზოგიერთი პროექციის სიბრტყიდან.

წერტილის მანძილი მაგრამპროფილის სიბრტყემდე არის კოორდინატი X, სადაც X = ჰა?(სურ. 15), მანძილი ფრონტალურ სიბრტყემდე - კოორდინატით y და y = ჰა?და მანძილი ჰორიზონტალურ სიბრტყემდე არის კოორდინატი ზ, სადაც ზ = აა.

სურათზე 15, წერტილი A იკავებს მართკუთხა ყუთის სიგანეს და ამ უჯრის გაზომვები შეესაბამება ამ წერტილის კოორდინატებს, ანუ თითოეული კოორდინატი წარმოდგენილია 15-ზე ოთხჯერ, ე.ი.

x \u003d a? A \u003d Oa x \u003d a y a \u003d a z a?;

y \u003d a? A \u003d Oa y \u003d a x a \u003d a z a?;

z = aA = Oa z = a x a? = a y a?.

დიაგრამაზე (ნახ. 16), x და z კოორდინატები ჩნდება სამჯერ:

x \u003d a z a? \u003d ოა x \u003d a y a,

z = a x a? = ოა ზ = ა ი ა?.

ყველა სეგმენტი, რომელიც შეესაბამება კოორდინატს X(ან ზ) ერთმანეთის პარალელურები არიან. კოორდინაცია ზეორჯერ წარმოდგენილია ვერტიკალური ღერძით:

y \u003d Oa y \u003d a x a

და ორჯერ - მდებარეობს ჰორიზონტალურად:

y \u003d Oa y \u003d a z a?.

ეს განსხვავება გაჩნდა იმის გამო, რომ y-ღერძი დიაგრამაზე ორ განსხვავებულ პოზიციაშია წარმოდგენილი.

უნდა აღინიშნოს, რომ თითოეული პროექციის პოზიცია დიაგრამაზე განისაზღვრება მხოლოდ ორი კოორდინატით, კერძოდ:

1) ჰორიზონტალური - კოორდინატები Xდა ზე,

2) ფრონტალური - კოორდინატები xდა ზ,

3) პროფილი - კოორდინატები ზედა ზ.

კოორდინატების გამოყენება x, yდა ზ, დიაგრამაზე შეგიძლიათ ააგოთ წერტილის პროგნოზები.

თუ წერტილი A მოცემულია კოორდინატებით, მათი ჩანაწერი განისაზღვრება შემდეგნაირად: A ( X; y; ზ).

წერტილოვანი პროექციების აგებისას მაგრამშემდეგი პირობები უნდა შემოწმდეს:

1) ჰორიზონტალური და შუბლის პროგნოზები ადა ა? X X;

2) ფრონტალური და პროფილის პროგნოზები ა?და ა?უნდა განთავსდეს ღერძის იმავე პერპენდიკულარულზე ზ, ვინაიდან მათ აქვთ საერთო კოორდინატი ზ;

3) ჰორიზონტალური პროექცია და ასევე ამოღებულია ღერძიდან Xპროფილის პროექციის მსგავსად აღერძისგან მოშორებით ზ, მას შემდეგ, რაც პროექცია ah? და ჰა? აქვს საერთო კოორდინატი ზე.

თუ წერტილი დევს პროექციის რომელიმე სიბრტყეში, მაშინ მისი ერთ-ერთი კოორდინატი ნულის ტოლია.

როდესაც წერტილი დევს პროექციის ღერძზე, მისი ორი კოორდინატი არის ნული.

თუ წერტილი დევს საწყისთან, მისი სამივე კოორდინატი ნულია.

პუნქტური პროგნოზები.

პროექციის ორი სიბრტყის ორთოგონალური სისტემა.

ორთოგონალური პროექციის მეთოდის არსი მდგომარეობს იმაში, რომ ობიექტი დაპროექტებულია ორ ორმხრივ პერპენდიკულარულ სიბრტყეზე ამ სიბრტყეზე ორთოგონალური (პერპენდიკულარული) სხივებით.

ერთ-ერთი საპროექციო სიბრტყე H მოთავსებულია ჰორიზონტალურად, ხოლო მეორე V მოთავსებულია ვერტიკალურად. სიბრტყეს H ეწოდება პროგნოზების ჰორიზონტალურ სიბრტყეს, V - შუბლის. თვითმფრინავები H და V უსასრულო და გაუმჭვირვალეა. საპროექციო სიბრტყეების გადაკვეთის ხაზს კოორდინატთა ღერძი ეწოდება და აღინიშნება ოქსი. საპროექციო სიბრტყეები სივრცეს ყოფს ოთხ დიედრალურ კუთხედ - მეოთხედებად.

ორთოგონალური პროექციების გათვალისწინებით, ვარაუდობენ, რომ დამკვირვებელი პირველ მეოთხედშია პროექციის სიბრტყეებიდან უსასრულოდ დიდ მანძილზე. ვინაიდან ეს სიბრტყეები გაუმჭვირვალეა, დამკვირვებლისთვის ხილული იქნება მხოლოდ ის წერტილები, ხაზები და ფიგურები, რომლებიც განლაგებულია იმავე პირველ მეოთხედში.

პროგნოზების აგებისას აუცილებელია გახსოვდეთ ეს წერტილი ორთოგონალური პროექციასიბრტყეზე ეწოდება მოცემული წერტილიდან ჩამოშვებული პერპენდიკულურის ფუძეამ თვითმფრინავს.

ფიგურა აჩვენებს წერტილს მაგრამდა მისი ორთოგონალური პროგნოზები a 1და ა 2 .

წერტილი a 1დაურეკა გეგმის ხედიქულები მაგრამ,წერტილი a 2- მისი წინა პროექცია. თითოეული მათგანი არის წერტილიდან ამოვარდნილი პერპენდიკულარულის საფუძველი მაგრამშესაბამისად თვითმფრინავში ჰდა ვ.

ამის დამტკიცება შეიძლება წერტილის პროექციაყოველთვის განლაგებულია სწორ ხაზებზე, პერპენდიკულარულადკულარული ღერძიოჰ და გადაკვეთს ამ ღერძსიმავე მომენტში.მართლაც, პროექციული სხივები მაგრამa 1და მაგრამa 2განსაზღვრეთ სიბრტყე პერპენდიკულარული პროექციების სიბრტყეებზე და მათი გადაკვეთის ხაზები - ღერძები ოჰ.ეს თვითმფრინავი იკვეთება ჰდა ვსწორ ხაზებში a 1 აxდა a 1 აx, რომლებიც ქმნიან ღერძს ოქსიდა ერთმანეთთან მართი კუთხეები წვერით წერტილში აx.

პირიქითაც არის, ე.ი. თუ საპროექციო სიბრტყეებზე მოცემულია ქულებია 1 და ა 2 , განლაგებულია გადამკვეთ სწორ ხაზებზეღერძი ოქსიამ წერტილში სწორი კუთხით,მაშინ ისინი ზოგიერთის პროგნოზებიაპუნქტები ა.ეს წერტილი განისაზღვრება წერტილებიდან აგებული პერპენდიკულარების გადაკვეთით ა 1 და ა 2 თვითმფრინავებისკენ ჰდა ვ.

გაითვალისწინეთ, რომ პროექციის სიბრტყეების პოზიცია სივრცეში შეიძლება განსხვავებული იყოს. მაგალითად, ორივე სიბრტყე, რომელიც ურთიერთ პერპენდიკულარულია, შეიძლება იყოს ვერტიკალური, მაგრამ ამ შემთხვევაში ღერძთან მიმართებაში წერტილების საპირისპირო პროექციის ორიენტაციის შესახებ ზემოაღნიშნული ვარაუდი ძალაში რჩება.

ზემოაღნიშნული პროგნოზებისგან შემდგარი ბრტყელი ნახატის მისაღებად, თვითმფრინავი ჰგასწორებულია ღერძის გარშემო ბრუნვით ოქსითვითმფრინავით ვროგორც ნაჩვენებია ნახატზე ისრებით. შედეგად, წინა ნახევრად თვითმფრინავი ჰგასწორებული იქნება ქვედა ნახევარსიბრტყეზე ვ, და უკანა ნახევრად თვითმფრინავი ჰ- ზედა ნახევრად თვითმფრინავით ვ.

საპროექციო ნახატი, რომელშიც საპროექციო სიბრტყეები ყველაფერთან ერთად, რაც მათზეა გამოსახული, გარკვეული გზით არის შერწყმული ერთმანეთთან, ე.წ. დიაგრამა(ფრანგული ეპურიდან - ნახატი). ნახატზე ნაჩვენებია წერტილის დიაგრამა მაგრამ.

თვითმფრინავების გაერთიანების ამ მეთოდით ჰდა ვპროგნოზები ა 1 და ა 2 განთავსდება ღერძის იმავე პერპენდიკულარულზე ოქსი. ამავე დროს, მანძილი ა 1 ნაჯახი — წერტილის ჰორიზონტალური პროექციიდან ღერძამდე ოქსი მაგრამთვითმფრინავამდე ვდა მანძილი ა 2 ნაჯახი — წერტილის შუბლის პროექციიდან ღერძამდე ოქსიწერტილიდან მანძილის ტოლი მაგრამთვითმფრინავამდე ჰ.

სწორი ხაზები, რომლებიც აკავშირებს დიაგრამაზე წერტილის საპირისპირო პროგნოზებს, თანახმა ვართ გამოვიძახოთ საპროექციო საკომუნიკაციო ხაზები.

დიაგრამაზე წერტილების პროგნოზების პოზიცია დამოკიდებულია კვარტალზე, რომელშიც მდებარეობს მოცემული წერტილი. ასე რომ, თუ წერტილი ATმდებარეობს მეორე კვარტალში, შემდეგ თვითმფრინავების გასწორების შემდეგ, ორივე პროექცია ღერძის ზემოთ იქნება ოქსი.

თუ წერტილი თანარის მესამე კვარტალში, მაშინ მისი ჰორიზონტალური პროექცია, სიბრტყეების გაერთიანების შემდეგ, იქნება ღერძის ზემოთ, ხოლო შუბლის პროექცია იქნება ღერძის ქვემოთ. ოქსი. და ბოლოს, თუ წერტილი დმდებარეობს მეოთხე კვარტალში, მაშინ მისი ორივე პროგნოზი იქნება ღერძის ქვეშ ოქსი. ფიგურა აჩვენებს ქულებს მდა ნსაპროექციო სიბრტყეებზე წევს. ამ პოზიციაში წერტილი ემთხვევა მის ერთ-ერთ პროექციას, ხოლო მისი მეორე პროექცია ღერძზე დევს. ოქსი. ეს თვისება ასევე აისახება აღნიშვნაში: პროექციის მახლობლად, რომელსაც თავად წერტილი ემთხვევა, იწერება დიდი ასო ინდექსის გარეშე.

აქვე უნდა აღინიშნოს ის შემთხვევა, როდესაც წერტილის ორივე პროექცია ემთხვევა. ეს მოხდება, თუ წერტილი მეორე ან მეოთხე კვარტალშია პროექციის სიბრტყეებიდან იმავე მანძილზე. ორივე პროგნოზი გაერთიანებულია თავად წერტილთან, თუ ეს უკანასკნელი მდებარეობს ღერძზე ოქსი.

პროექციის სამი სიბრტყის ორთოგონალური სისტემა.

ზემოთ ნაჩვენები იყო, რომ წერტილის ორი პროექცია განსაზღვრავს მის პოზიციას სივრცეში. ვინაიდან თითოეული ფიგურა ან სხეული არის წერტილების კრებული, შეიძლება ითქვას, რომ ობიექტის ორი ორთოგონალური პროექცია (ასოების აღნიშვნების თანდასწრებით) მთლიანად განსაზღვრავს მის ფორმას.

თუმცა, სამშენებლო კონსტრუქციების, მანქანების და სხვადასხვა საინჟინრო ნაგებობების გამოსახვის პრაქტიკაში საჭირო ხდება დამატებითი პროგნოზების შექმნა. ისინი ამას აკეთებენ მხოლოდ იმ მიზნით, რომ საპროექციო ნახაზი უფრო მკაფიო და წასაკითხი გახადონ.

სამი საპროექციო სიბრტყის მოდელი ნაჩვენებია სურათზე. მესამე სიბრტყე, პერპენდიკულარული და ჰდა ვ, აღინიშნება ასოთი ვდა დაურეკა პროფილი.

ამ სიბრტყეზე წერტილების პროგნოზებს ასევე დაერქმევა პროფილი და ისინი აღინიშნება დიდი ასოებით ან რიცხვებით 3 ინდექსით. (ასთ,ბსთ,გსთ,...1 სთ, 2 სთ, 3 3 ...).

პროექციის სიბრტყეები, რომლებიც იკვეთება წყვილებში, განსაზღვრავს სამ ღერძს: ოX, ოიდა ოზ, რომელიც შეიძლება მივიჩნიოთ სივრცეში მართკუთხა დეკარტის კოორდინატების სისტემად O წერტილის საწყისით. ნახატზე მითითებული ნიშნების სისტემა შეესაბამება კოორდინატთა „სწორ სისტემას“.

სამი პროექციის სიბრტყე ყოფს სივრცეს რვა სამკუთხედად - ეს არის ე.წ ოქტანტები. ოქტანტების ნუმერაცია მოცემულია ფიგურაში.

თვითმფრინავის ნაკვეთის მისაღებად ჰდა ვროტაცია, როგორც ნაჩვენებია ფიგურაში, სანამ არ გასწორდება სიბრტყეზე ვ. ბრუნვის შედეგად წინა ნახევრად თვითმფრინავი ჰაღმოჩნდება ქვედა ნახევარ სიბრტყესთან გასწორებული ვ, და უკანა ნახევრად თვითმფრინავი ჰ- ზედა ნახევრად თვითმფრინავით ვ. ღერძის გარშემო 90°-ით ბრუნვისას ოზწინა ნახევრად თვითმფრინავი ვემთხვევა მარჯვენა ნახევარსიბრტყეს ვ, და უკანა ნახევრად თვითმფრინავი ვ- მარცხენა ნახევრად თვითმფრინავით ვ.

ყველა კომბინირებული საპროექციო სიბრტყის საბოლოო ხედი მოცემულია ფიგურაში. ამ ნახატში ცულები ოXდა ოზ, იწვა ფიქსირებულ თვითმფრინავში ვ, ნაჩვენებია მხოლოდ ერთხელ და ღერძი ოინაჩვენებია ორჯერ. ეს აიხსნება იმით, რომ ბრუნავს თვითმფრინავით ჰ, ღერძი ოიდიაგრამაზე გასწორებულია ღერძთან ოზ, თვითმფრინავით ბრუნვისას ვ, იგივე ღერძი გასწორებულია ღერძთან ოX.

მომავალში, დიაგრამაზე ღერძების აღნიშვნისას, უარყოფითი ნახევარღერძები (- ოX, — ოი, — ოზ) არ იქნება მითითებული.

წერტილის და მისი რადიუს-ვექტორის სამი კოორდინატი და სამი პროექცია.

კოორდინატები არის რიცხვები, რომლებიცდააყენეთ შესაბამისობა პუნქტთან, რათა დადგინდესniya მისი პოზიციის სივრცეში ანზედაპირები.

სამგანზომილებიან სივრცეში წერტილის პოზიცია დგინდება მართკუთხა დეკარტის კოორდინატების გამოყენებით x, yდა ზ.

კოორდინაცია Xდაურეკა აბსცისა, ზე— ორდინატიდა ზ — აპლიკაცია.აბსციზა Xგანსაზღვრავს მანძილს მოცემული წერტილიდან სიბრტყემდე ვ, ორდინატი y -თვითმფრინავამდე ვდა აპლიკაცია ზ - თვითმფრინავამდე ჰ. წერტილის კოორდინატების დათვლის სურათზე ნაჩვენები სისტემის მიღებით, ჩვენ შევადგენთ კოორდინატების ნიშნების ცხრილს რვავე ოქტანტში. ნებისმიერი წერტილი სივრცეში მაგრამ,მოცემული კოორდინატებით, აღინიშნა შემდეგნაირად: ა(x, y,ზ).

თუ x = 5, y = 4 და z = 6, მაშინ ჩანაწერი მიიღებს შემდეგ ფორმას მაგრამ(5, 4, 6). ეს წერტილი მაგრამ,რომელთა ყველა კოორდინატი დადებითია, არის პირველ ოქტანტში

წერტილის კოორდინატები მაგრამარის, ამავე დროს, მისი რადიუს-ვექტორის კოორდინატები

OAკოორდინატების წარმოშობის მიმართ. Თუ მე, ჯ, კარის ერთეული ვექტორები, რომლებიც მიმართულია შესაბამისად კოორდინატთა ღერძების გასწვრივ x, y,ზ(სურათი), მაშინ

OA =ოA x i+OAწჯ + OAზკ , სადაც OA X, OA U, OA g -ვექტორული კოორდინატები OA

რეკომენდირებულია თავად წერტილისა და მისი პროგნოზების გამოსახულების აგება სივრცით მოდელზე (ფიგურაზე) კოორდინატთა მართკუთხა პარალელეპიპედის გამოყენებით. უპირველეს ყოვლისა, კოორდინატთა ღერძებზე წერტილიდან ოგადაიდო სეგმენტები, შესაბამისად თანაბარი 5, 4 და 6სიგრძის ერთეული. ამ სეგმენტებზე (ონაჯახი , ოწ , ოზ ), როგორც კიდეებზე, ააგეთ მართკუთხა პარალელეპიპედი. მისი წვერო, საწყისის საპირისპიროდ, განსაზღვრავს მოცემულ წერტილს მაგრამ.ამის დანახვა ადვილია წერტილის დასადგენად მაგრამსაკმარისია, მაგალითად, პარალელეპიპედის მხოლოდ სამი კიდე ავაშენოთ ონაჯახი , a x a 1 და ა 1 მაგრამან ოწ , a y a 1 და ა 1 ადა ა.შ.. ეს კიდეები ქმნიან კოორდინატულ პოლიხაზს, რომლის თითოეული რგოლის სიგრძე განისაზღვრება წერტილის შესაბამისი კოორდინატით.

თუმცა პარალელეპიპედის აგება საშუალებას გვაძლევს განვსაზღვროთ არა მხოლოდ წერტილი მაგრამ,არამედ მისი სამივე ორთოგონალური პროექცია.

სხივები, რომლებიც ასხივებენ წერტილს სიბრტყეზე ჰ, ვ, ვარის პარალელეპიპედის სამი კიდე, რომლებიც იკვეთება წერტილში მაგრამ.

წერტილის ყოველი ორთოგონალური პროექცია მაგრამ,თვითმფრინავზე მდებარეობა განისაზღვრება მხოლოდ ორი კოორდინატით.

დიახ, ჰორიზონტალური პროექცია ა 1 განისაზღვრება კოორდინატებით Xდა y,წინა პროექცია ა 2 - კოორდინატები x დაზ, პროფილის პროექცია ა 3 — კოორდინატები ზედა ზ. მაგრამ ნებისმიერი ორი პროგნოზი განისაზღვრება სამი კოორდინატით. ამიტომ წერტილის დაზუსტება ორი პროექციით უდრის სამი კოორდინატით წერტილის მითითებას.

დიაგრამაზე (სურათზე), სადაც ყველა პროექციის სიბრტყეა გაერთიანებული, პროგნოზები ა 1 და ა 2 იქნება ღერძის იმავე პერპენდიკულარულზე ოX, და პროგნოზები ა 2 და ა 3 — ერთი ღერძის პერპენდიკულარული უნცია.

რაც შეეხება პროგნოზებს ა 1 და ა 3 , შემდეგ ისინი დაკავშირებულია სწორი ხაზებით ა 1 წდა ა 3 წ , ღერძის პერპენდიკულარული ოი. მაგრამ რადგან ეს ღერძი იკავებს ორ პოზიციას დიაგრამაზე, სეგმენტზე ა 1 წარ შეიძლება იყოს სეგმენტის გაგრძელება ა 3 წ .

წერტილოვანი პროგნოზების მშენებლობა A (5, 4, 6)მოცემულ კოორდინატებზე დიაგრამაზე ისინი შესრულებულია შემდეგი თანმიმდევრობით: უპირველეს ყოვლისა, საწყისიდან აბსცისის ღერძზე იდება სეგმენტი. ონაჯახი = x(ჩვენს შემთხვევაში x =5), შემდეგ წერტილის მეშვეობით ნაჯახიდახაზეთ ღერძის პერპენდიკულარულად ოX, რომელზედაც ნიშნების გათვალისწინებით გადავდებთ სეგმენტებს a x a 1 = y(ვიღებთ ა 1 ) და a x a 2 = ზ(ვიღებთ ა 2 ). რჩება წერტილის პროფილის პროექციის აგება ა 3 . ვინაიდან წერტილის პროფილი და შუბლის პროგნოზები უნდა განთავსდეს ღერძის იმავე პერპენდიკულარულად უნცია , შემდეგ მეშვეობით ა 3 პირდაპირი ა 2 ზ ^ უნცია.

ბოლოს ჩნდება ბოლო კითხვა: რა მანძილზეა ღერძიდან ოზ 3 უნდა იყოს?

კოორდინატთა ყუთის გათვალისწინებით (იხ. ნახატი), რომლის კიდეები ა ზ ა 3 =ო წ = a x a 1 = წჩვენ ვასკვნით, რომ სასურველი მანძილი ა ზ ა 3 უდრის წ.ხაზის სეგმენტი ა ზ ა 3 გადადეთ OZ ღერძის მარჯვნივ, თუ y>0 და მარცხნივ, თუ y

ვნახოთ, რა ცვლილებები მოხდება დიაგრამაზე, როდესაც წერტილი იწყებს პოზიციის შეცვლას სივრცეში.

მოდით, მაგალითად, წერტილი A (5, 4, 6)იმოძრავებს სიბრტყის პერპენდიკულარულად სწორ ხაზზე ვ. ასეთი მოძრაობით შეიცვლება მხოლოდ ერთი კოორდინატი y,გვიჩვენებს მანძილს წერტილიდან სიბრტყემდე ვ. კოორდინატები მუდმივი დარჩება. x დაზ , და ამ კოორდინატებით განსაზღვრული წერტილის პროექცია, ე.ი. ა 2 არ შეცვლის თავის პოზიციას.

რაც შეეხება პროგნოზებს ა 1 და ა 3 , მაშინ პირველი დაიწყებს ღერძთან მიახლოებას ოX, მეორე - ღერძამდე ოზ. ფიგურებში, წერტილის ახალი პოზიცია შეესაბამება აღნიშვნებს ა 1 (ა 1 1 ა 2 1 ა 3 1 ). როცა წერტილი თვითმფრინავზეა ვ(y = 0), სამი პროგნოზიდან ორი ( ა 1 2 და ა 3 2 ) ცულებზე დააწვება.

საიდან გადავიდა მეოქტანტი შევიდა II, წერტილი დაიწყებს თვითმფრინავიდან მოშორებას ვ, კოორდინაცია ზეხდება უარყოფითი, გაიზრდება მისი აბსოლუტური მნიშვნელობა. ამ წერტილის ჰორიზონტალური პროექცია, რომელიც მდებარეობს უკანა ნახევარ სიბრტყეზე ჰ, ნაკვეთზე იქნება ღერძის ზემოთ ოX, და პროფილის პროექცია, რომელიც უკანა ნახევრად სიბრტყეზეა ვ, დიაგრამაზე იქნება ღერძის მარცხნივ ოზ. როგორც ყოველთვის, გაჭრა ზა 3 3 = y.

შემდგომ დიაგრამებში ასოებით არ აღვნიშნავთ კოორდინატთა ღერძების გადაკვეთის წერტილებს პროექციის კავშირის ხაზებთან. ეს გარკვეულწილად გაამარტივებს ნახატს.

მომავალში იქნება დიაგრამები საკოორდინაციო ღერძების გარეშე. ეს კეთდება პრაქტიკაში საგნების გამოსახვისას, როდის მნიშვნელოვანია მხოლოდ თავად სურათიობიექტი და არა მისი პოზიცია შედარებითსაპროექციო თვითმფრინავები.

პროექციის სიბრტყეები ამ შემთხვევაში განისაზღვრება სიზუსტით მხოლოდ პარალელურ თარგმანამდე (ფიგურა). ისინი ჩვეულებრივ მოძრაობენ თავის პარალელურად ისე, რომ ობიექტის ყველა წერტილი სიბრტყის ზემოთ იყოს. ჰდა თვითმფრინავის წინ ვ. ვინაიდან X 12 ღერძის პოზიცია განუსაზღვრელი აღმოჩნდება, დიაგრამის ფორმირება ამ შემთხვევაში არ არის დაკავშირებული სიბრტყეების ბრუნვასთან კოორდინატთა ღერძის გარშემო. თვითმფრინავის ნაკვეთზე გადასვლისას ჰდა ვგაერთიანებულია ისე, რომ წერტილების საპირისპირო პროგნოზები განლაგებულია ვერტიკალურ ხაზებზე.

A და B წერტილების ღერძული ნაკვეთი(სურათი) არაგანსაზღვრავს მათ პოზიციას სივრცეში,მაგრამ საშუალებას გვაძლევს ვიმსჯელოთ მათი შედარებითი ორიენტაციის შესახებ.ასე რომ, სეგმენტი △x ახასიათებს წერტილის გადაადგილებას მაგრამპუნქტთან მიმართებაში AT H და V სიბრტყეების პარალელურად. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, △x მიუთითებს რამდენ წერტილს მაგრამმდებარეობს წერტილის მარცხნივ AT.წერტილის ფარდობითი გადაადგილება V სიბრტყის პერპენდიკულარული მიმართულებით განისაზღვრება △y სეგმენტით, ანუ წერტილით. Და შიჩვენს მაგალითში, დამკვირვებელთან უფრო ახლოს, ვიდრე წერტილი AT,მანძილი ტოლია △y.

ბოლოს სეგმენტი △z აჩვენებს წერტილის სიჭარბეს მაგრამწერტილის ზემოთ AT.

აღწერილობითი გეომეტრიის კურსის ღერძული შესწავლის მომხრეები სამართლიანად აღნიშნავენ, რომ მრავალი პრობლემის გადაჭრისას შესაძლებელია კოორდინატთა ღერძების გარეშე. თუმცა მათზე სრული უარყოფა არ შეიძლება ჩაითვალოს მიზანშეწონილად. აღწერილობითი გეომეტრია შექმნილია მომავალი ინჟინრის მოსამზადებლად არა მხოლოდ ნახატების კომპეტენტური შესრულებისთვის, არამედ სხვადასხვა ტექნიკური პრობლემების გადასაჭრელად, რომელთა შორის სივრცითი სტატიკისა და მექანიკის პრობლემები ბოლო ადგილს იკავებს. და ამისთვის აუცილებელია ამა თუ იმ ობიექტის ორიენტირების უნარის გამომუშავება დეკარტის კოორდინატთა ღერძებთან მიმართებაში. ეს უნარები ასევე საჭირო იქნება აღწერითი გეომეტრიის ისეთი მონაკვეთების შესწავლისას, როგორიცაა პერსპექტივა და აქსონომეტრია. ამიტომ, ამ წიგნის რიგ დიაგრამებზე ჩვენ ვინახავთ კოორდინატთა ღერძების სურათებს. ასეთი ნახატები განსაზღვრავს არა მხოლოდ ობიექტის ფორმას, არამედ მის მდებარეობას პროექციის სიბრტყეებთან შედარებით.

რიგი დეტალების გამოსახულების ასაგებად, აუცილებელია ცალკეული წერტილების პროგნოზების პოვნა. მაგალითად, ძნელია ნახ. 139 A, B, C, D, E, F და ა.შ წერტილების ჰორიზონტალური პროექციების აგების გარეშე.

ობიექტის ზედაპირზე მოცემული წერტილების პროექციის პოვნის პრობლემა შემდეგნაირად წყდება. პირველ რიგში, ნაპოვნია ზედაპირის პროგნოზები, რომელზედაც მდებარეობს წერტილი. შემდეგ პროექციასთან შეერთების ხაზის დახაზვით, სადაც ზედაპირი ხაზით არის წარმოდგენილი, წერტილის მეორე პროექცია გვხვდება. მესამე პროექცია დევს საკომუნიკაციო ხაზების კვეთაზე.

განვიხილოთ მაგალითი.

მოცემულია ნაწილის სამი პროექცია (სურ. 140, ა). მოცემულია ხილულ ზედაპირზე მდებარე A წერტილის ჰორიზონტალური პროექცია. ჩვენ უნდა ვიპოვოთ ამ წერტილის სხვა პროგნოზები.

უპირველეს ყოვლისა, თქვენ უნდა დახაზოთ დამხმარე ხაზი. თუ ორი ხედია მოცემული, მაშინ ნახაზში დამხმარე ხაზის ადგილი ირჩევა თვითნებურად, ზედა ხედიდან მარჯვნივ, ისე, რომ ხედი მარცხნივ იყოს საჭირო მანძილზე მთავარი ხედიდან (სურ. 141).

თუ უკვე აშენებულია სამი ხედი (სურ. 142, ა), მაშინ დამხმარე ხაზის ადგილის თვითნებურად არჩევა შეუძლებელია; თქვენ უნდა იპოვოთ წერტილი, რომლითაც ის გაივლის. ამისათვის საკმარისია გავაგრძელოთ სიმეტრიის ღერძის ჰორიზონტალური და პროფილის პროგნოზების ურთიერთგადაკვეთამდე და მიღებული წერტილის k (ნახ. 142, ბ) გავავლოთ სწორი ხაზის სეგმენტი 45° კუთხით, რომელიც იქნება დამხმარე სწორი ხაზი.

თუ არ არის სიმეტრიის ღერძი, მაშინ გააგრძელეთ გადაკვეთამდე k 1 წერტილში ჰორიზონტალური და ნებისმიერი სახის პროფილის პროგნოზები სწორი ხაზის სეგმენტების სახით (ნახ. 142, ბ).

დამხმარე სწორი ხაზის დახატვით, ისინი იწყებენ წერტილის პროგნოზების აგებას (იხ. სურ. 140, ბ).

A წერტილის ფრონტალური a" და პროფილის a" პროექციები უნდა იყოს განლაგებული ზედაპირის შესაბამის პროექციებზე, რომელსაც მიეკუთვნება A წერტილი. ეს პროგნოზები გვხვდება. ნახ. 140, b ისინი მონიშნულია ფერით. დახაზეთ საკომუნიკაციო ხაზები, როგორც ეს მითითებულია ისრებით. საკომუნიკაციო ხაზების გადაკვეთაზე ზედაპირის პროგნოზებთან გვხვდება სასურველი პროგნოზები a" და a".

B, C, D წერტილების პროგნოზების აგება ნაჩვენებია ნახ. 140, ისრებით კომუნიკაციის ხაზებში. წერტილების მოცემული პროგნოზები ფერადია. საკომუნიკაციო ხაზები დახაზულია პროექციაზე, რომელზეც ზედაპირი გამოსახულია როგორც ხაზი, და არა როგორც ფიგურა. ამიტომ ჯერ გვხვდება შუბლის პროექცია C წერტილიდან.პროფილის პროექცია C წერტილიდან განისაზღვრება საკომუნიკაციო ხაზების გადაკვეთით.

თუ ზედაპირი არ არის გამოსახული ხაზით რომელიმე პროექციაზე, მაშინ დამხმარე სიბრტყე უნდა იქნას გამოყენებული წერტილების პროგნოზების ასაგებად. მაგალითად, მოცემულია A წერტილის შუბლის პროექცია d, რომელიც დევს კონუსის ზედაპირზე (სურ. 143, ა). დამხმარე სიბრტყე გამოყვანილია ფუძის პარალელურ წერტილში, რომელიც გადაკვეთს კონუსს წრეში; მისი შუბლის პროექცია არის სწორი ხაზის სეგმენტი, ხოლო მისი ჰორიზონტალური პროექცია არის წრე, რომლის დიამეტრი უდრის ამ სეგმენტის სიგრძეს (სურ. 143, ბ). a წერტილიდან ამ წრეზე საკომუნიკაციო ხაზის დახაზვით, A წერტილის ჰორიზონტალური პროექცია მიიღება.

A წერტილის პროფილის პროექცია a" გვხვდება ჩვეული წესით საკომუნიკაციო ხაზების კვეთაზე.

ანალოგიურად, შეგიძლიათ იპოვოთ წერტილის პროექცია, რომელიც მდებარეობს, მაგალითად, პირამიდის ან ბურთის ზედაპირზე. როდესაც პირამიდა იკვეთება ფუძის პარალელურად და მოცემულ წერტილში გავლის სიბრტყით, წარმოიქმნება ფუძის მსგავსი ფიგურა. მოცემული წერტილის პროგნოზები დევს ამ ფიგურის პროგნოზებზე.

Უპასუხე შეკითხვებს

1. რა კუთხით არის დახატული დამხმარე ხაზი?

2. სად არის დახაზული დამხმარე ხაზი, თუ მოცემულია წინა და ზედა ხედები, მაგრამ თქვენ უნდა ააგოთ ხედი მარცხნიდან?

3. როგორ განვსაზღვროთ დამხმარე ხაზის ადგილი სამი სახის არსებობისას?

4. როგორია წერტილის პროექციების აგების მეთოდი ერთი მოცემულის მიხედვით, თუ ობიექტის ერთ-ერთი ზედაპირი წარმოდგენილია წრფით?

5. რომელი გეომეტრიული სხეულებისთვის და რა შემთხვევებში გვხვდება მათ ზედაპირზე მოცემული წერტილის პროგნოზები დამხმარე სიბრტყის გამოყენებით?

§ 20-ის დავალებები

სავარჯიშო 68

ჩაწერეთ სამუშაო რვეულში, ხედებზე რიცხვებით მითითებული წერტილების რომელი პროგნოზები შეესაბამება მასწავლებლის მიერ თქვენთვის მითითებულ მაგალითში ვიზუალურ სურათში ასოებით მითითებულ წერტილებს (სურ. 144, ა-დ).

სავარჯიშო 69

ნახ. 145, a-b ასოები მიუთითებს ზოგიერთი წვერის მხოლოდ ერთ პროექციაზე. იპოვეთ მასწავლებლის მიერ მოყვანილ მაგალითში ამ წვეროების დარჩენილი პროგნოზები და მიუთითეთ ისინი ასოებით. ააგეთ ერთ-ერთ მაგალითში ობიექტის კიდეებზე მოცემული წერტილების გამოტოვებული პროექცია (სურ. 145, დ და ე). ფერით მონიშნეთ იმ კიდეების პროექციები, რომლებზეც წერტილებია განლაგებული, დავალება შეასრულეთ გამჭვირვალე ქაღალდზე, გადაფარეთ სახელმძღვანელოს გვერდზე, არ არის საჭირო სურ.145-ის გადახაზვა.

სავარჯიშო 70

იპოვეთ ობიექტის ხილულ ზედაპირებზე ერთი პროექციის მიერ მოცემული წერტილების გამოტოვებული პროექცია (სურ. 146). მონიშნეთ ისინი ასოებით. მონიშნეთ წერტილების მოცემული პროგნოზები ფერით. ვიზუალური სურათი დაგეხმარებათ პრობლემის მოგვარებაში. დავალების შესრულება შესაძლებელია როგორც სამუშაო წიგნში, ასევე გამჭვირვალე ქაღალდზე, მისი გადაფარვით სახელმძღვანელოს გვერდზე. ამ უკანასკნელ შემთხვევაში გადახაზეთ ნახ. 146 არ არის საჭირო.

სავარჯიშო 71

მასწავლებლის მიერ მოყვანილ მაგალითში დახაზეთ სამი ტიპი (სურ. 147). ობიექტის ხილულ ზედაპირებზე მოცემული წერტილების გამოტოვებული პროექციების აგება. მონიშნეთ წერტილების მოცემული პროგნოზები ფერით. მონიშნეთ ყველა წერტილის პროგნოზი. წერტილების პროგნოზების ასაგებად გამოიყენეთ დამხმარე სწორი ხაზი. გააკეთეთ ტექნიკური ნახაზი და მონიშნეთ მასზე მოცემული პუნქტები.

მოკლე კურსი აღწერითი გეომეტრიაში

ლექციები განკუთვნილია საინჟინრო და ტექნიკური სპეციალობების სტუდენტებისთვის

მონჯის მეთოდი

თუ ინფორმაცია წერტილის მანძილის შესახებ საპროექციო სიბრტყესთან მიმართებაში მოცემულია არა რიცხვითი ნიშნის დახმარებით, არამედ მეორე პროექციის სიბრტყეზე აგებული წერტილის მეორე პროექციის დახმარებით, მაშინ ნახატს ეწოდება ორ- სურათი ან კომპლექსი. ასეთი ნახატების აგების ძირითადი პრინციპები ჩამოყალიბებულია G. Monge-ის მიერ.
Monge-ის მიერ დადგენილი მეთოდი - ორთოგონალური პროექციის მეთოდი და ორი პროექცია აღებულია ორ ურთიერთ პერპენდიკულარულ პროექციის სიბრტყეზე - უზრუნველყოფს სიბრტყეზე ობიექტების გამოსახულების ექსპრესიულობას, სიზუსტეს და წაკითხვას, იყო და რჩება ტექნიკური ნახატების შედგენის მთავარ მეთოდად.

ნახაზი 1.1 წერტილი სამი საპროექციო სიბრტყის სისტემაში

სამი საპროექციო სიბრტყის მოდელი ნაჩვენებია სურათზე 1.1. მესამე სიბრტყე, პერპენდიკულარული როგორც P1-ზე, ასევე P2-ზე, აღინიშნება ასო P3-ით და ეწოდება პროფილის სიბრტყე. ამ სიბრტყეზე წერტილების პროგნოზები აღინიშნება დიდი ასოებით ან რიცხვებით 3 ინდექსით. პროექციის სიბრტყეები, რომლებიც იკვეთება წყვილებში, განსაზღვრავს სამ ღერძს 0x, 0y და 0z, რომლებიც შეიძლება ჩაითვალოს სივრცეში დეკარტის კოორდინატების სისტემად საწყისთან. წერტილში 0. სამი პროექციის სიბრტყე ყოფს სივრცეს რვა სამკუთხედად - ოქტანტად. როგორც ადრე, ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ მაყურებელი ათვალიერებს ობიექტს პირველ ოქტანტში. დიაგრამის მისაღებად, P1 და P3 სიბრტყის სამი საპროექციო სიბრტყის სისტემაში წერტილები ბრუნავს მანამ, სანამ ისინი არ დაემთხვევა P2 სიბრტყეს. დიაგრამაზე ღერძების აღნიშვნისას, უარყოფითი ნახევარღერძები ჩვეულებრივ არ არის მითითებული. თუ მხოლოდ თავად ობიექტის გამოსახულებაა მნიშვნელოვანი და არა მისი პოზიცია პროექციის სიბრტყეებთან მიმართებაში, მაშინ დიაგრამაზე ღერძები არ არის ნაჩვენები. კოორდინატები არის რიცხვები, რომლებიც შეესაბამება წერტილს მისი პოზიციის დასადგენად სივრცეში ან ზედაპირზე. სამგანზომილებიან სივრცეში წერტილის პოზიცია დგინდება მართკუთხა დეკარტის კოორდინატების x, y და z (აბსციზა, ორდინატი და აპლიკაციის) გამოყენებით.

სივრცეში სწორი ხაზის პოზიციის დასადგენად არსებობს შემდეგი მეთოდები: 1. ორი წერტილი (A და B). განვიხილოთ ორი წერტილი A და B სივრცეში (ნახ. 2.1). ამ წერტილების მეშვეობით შეგვიძლია გავავლოთ სწორი ხაზი, მივიღოთ სეგმენტი. საპროექციო სიბრტყეზე ამ სეგმენტის პროექციების საპოვნელად საჭიროა ვიპოვოთ A და B წერტილების პროგნოზები და დავაკავშიროთ ისინი სწორი ხაზით. თითოეული სეგმენტის პროექცია საპროექციო სიბრტყეზე უფრო მცირეა ვიდრე თავად სეგმენტი:<; <; <.

ნახაზი 2.1 სწორი ხაზის პოზიციის განსაზღვრა ორი წერტილიდან

2. ორი თვითმფრინავი (a; b). დაყენების ეს მეთოდი განისაზღვრება იმით, რომ სივრცეში ორი არაპარალელური სიბრტყე იკვეთება სწორი ხაზით (ეს მეთოდი დეტალურად არის განხილული ელემენტარული გეომეტრიის კურსში).

3. დახრილობის წერტილი და კუთხეები პროექციის სიბრტყეებზე. წრფეს მიკუთვნებული წერტილის კოორდინატების და პროექციის სიბრტყეებისადმი მიდრეკილების კუთხის ცოდნა, შეგიძლიათ იპოვოთ ხაზის პოზიცია სივრცეში.

სწორი ხაზის პოზიციიდან გამომდინარე საპროექციო სიბრტყეებთან მიმართებაში, მას შეუძლია დაიკავოს როგორც ზოგადი, ისე ცალკეული პოზიციები. 1. სწორ ხაზს, რომელიც არ არის პარალელურად არცერთი საპროექციო სიბრტყის, ეწოდება სწორ ხაზს საერთო მდგომარეობაში (ნახ. 3.1).

2. სწორი ხაზები პროექციის სიბრტყეების პარალელურად იკავებენ გარკვეულ ადგილს სივრცეში და უწოდებენ დონის ხაზებს. იმისდა მიხედვით, თუ რომელი პროექციის სიბრტყის პარალელურია მოცემული ხაზი, არსებობს:

2.1. ჰორიზონტალური სიბრტყის პარალელურად პირდაპირ პროექციებს ჰორიზონტალურ ან კონტურულ ხაზებს უწოდებენ (ნახ. 3.2).

სურათი 3.2 ჰორიზონტალური სწორი ხაზი

2.2. შუბლის სიბრტყის პარალელურად პირდაპირ პროექციებს უწოდებენ ფრონტალურ ან ფრონტალებს (ნახ. 3.3).

სურათი 3.3 ფრონტალური სწორი

2.3. პროფილის სიბრტყის პარალელურ პირდაპირ პროექციებს პროფილის პროექცია ეწოდება (ნახ. 3.4).

სურათი 3.4 პროფილი სწორი

3. საპროექციო სიბრტყეებზე პერპენდიკულარულ სწორ ხაზებს პროექცია ეწოდება. ერთი საპროექციო სიბრტყის პერპენდიკულარული წრფე არის დანარჩენი ორის პარალელურად. იმისდა მიხედვით, თუ რომელ საპროექციო სიბრტყესთან არის გამოკვლეული ხაზი პერპენდიკულარული, არსებობს:

3.1. ფრონტალურად გამოსახული სწორი ხაზი - AB (სურ. 3.5).

სურათი 3.5 წინა საპროექციო ხაზი

3.2. პროფილის პროექციული სწორი ხაზი - AB (ნახ. 3.6).

ნახაზი 3.6 პროფილ-პროექტირების ხაზი

3.3. ჰორიზონტალურად გამომავალი სწორი ხაზი - AB (ნახ. 3.7).

ნახაზი 3.7 ჰორიზონტალურად დაპროექტებული ხაზი

სიბრტყე არის გეომეტრიის ერთ-ერთი ძირითადი ცნება. გეომეტრიის სისტემატური წარმოდგენისას, სიბრტყის ცნება, როგორც წესი, აღებულია, როგორც ერთ-ერთი საწყისი კონცეფცია, რომელიც მხოლოდ ირიბად განისაზღვრება გეომეტრიის აქსიომებით. სიბრტყის ზოგიერთი დამახასიათებელი თვისება: 1. სიბრტყე არის ზედაპირი, რომელიც მთლიანად შეიცავს მის რომელიმე წერტილს დამაკავშირებელ ყველა ხაზს; 2. სიბრტყე არის ორი მოცემული წერტილიდან თანაბარი მანძილის მქონე წერტილთა სიმრავლე.

სიბრტყეების გრაფიკული განსაზღვრის გზები სიბრტყის პოზიცია სივრცეში შეიძლება განისაზღვროს:

1. სამი წერტილი, რომელიც არ დევს ერთ სწორ ხაზზე (სურ. 4.1).

ნახაზი 4.1 სიბრტყე განისაზღვრება სამი წერტილით, რომლებიც არ დევს ერთ სწორ ხაზზე

2. სწორი ხაზი და წერტილი, რომელიც არ ეკუთვნის ამ სწორ ხაზს (სურ. 4.2).

ნახაზი 4.2 სიბრტყე, რომელიც განისაზღვრება სწორი ხაზით და წერტილით, რომელიც არ მიეკუთვნება ამ ხაზს

3. ორი გადამკვეთი სწორი ხაზი (ნახ. 4.3).

ნახაზი 4.3 სიბრტყე, რომელიც განისაზღვრება ორი გადამკვეთი სწორი ხაზით

4. ორი პარალელური ხაზი (ნახ. 4.4).

ნახაზი 4.4 სიბრტყე, რომელიც განისაზღვრება ორი პარალელური სწორი ხაზით

თვითმფრინავის განსხვავებული პოზიცია საპროექციო სიბრტყეებთან მიმართებაში

თვითმფრინავის პოზიციიდან გამომდინარე საპროექციო სიბრტყეებთან მიმართებაში, მას შეუძლია დაიკავოს როგორც ზოგადი, ისე ცალკეული პოზიციები.

1. სიბრტყეს, რომელიც არ არის პერპენდიკულარული რომელიმე საპროექციო სიბრტყის მიმართ, ეწოდება სიბრტყე ზოგად მდგომარეობაში. ასეთი სიბრტყე კვეთს ყველა საპროექციო სიბრტყეს (აქვს სამი კვალი: - ჰორიზონტალური S 1; - შუბლის S 2; - პროფილი S 3). ზოგადი სიბრტყის კვალი წყვილად იკვეთება ღერძებზე ax,ay,az წერტილებზე. ამ წერტილებს უწოდებენ გაქრობის წერტილებს, ისინი შეიძლება ჩაითვალოს მოცემული სიბრტყის მიერ წარმოქმნილი სამკუთხედის წვეროებად სამი პროექციის სიბრტყიდან ორით. სიბრტყის თითოეული კვალი ემთხვევა მის ამავე სახელწოდების პროექციას, ხოლო დანარჩენი ორი საპირისპირო სახელების პროექცია დევს ცულებზე (ნახ. 5.1).

2. პროექციების სიბრტყეებზე პერპენდიკულარული სიბრტყეები - იკავებენ კონკრეტულ პოზიციას სივრცეში და უწოდებენ პროექციას. იმისდა მიხედვით, თუ რომელ საპროექციო სიბრტყესზეა მოცემული სიბრტყე პერპენდიკულარული, არსებობს:

2.1. ჰორიზონტალური პროექციის სიბრტყის პერპენდიკულარულ სიბრტყეს (S ^ П1) ჰქვია ჰორიზონტალურად პროექციული სიბრტყე. ასეთი სიბრტყის ჰორიზონტალური პროექცია არის სწორი ხაზი, რომელიც ასევე მისი ჰორიზონტალური ბილიკია. ამ სიბრტყეში ნებისმიერი ფიგურის ყველა წერტილის ჰორიზონტალური პროგნოზები ემთხვევა ჰორიზონტალურ კვალს (ნახ. 5.2).

სურათი 5.2 ჰორიზონტალური პროექციის სიბრტყე

2.2. პროგნოზების შუბლის სიბრტყის პერპენდიკულარული სიბრტყე (S ^ P2) არის წინა პროექციული სიბრტყე. S სიბრტყის შუბლის პროექცია არის სწორი ხაზი, რომელიც ემთხვევა კვალს S 2 (ნახ. 5.3).

სურათი 5.3 წინა პროექციის სიბრტყე

2.3. პროფილის სიბრტყის პერპენდიკულარული სიბრტყე (S ^ П3) არის პროფილის პროექციის სიბრტყე. ასეთი სიბრტყის განსაკუთრებული შემთხვევაა ბისექტრული სიბრტყე (სურ. 5.4).

ნახაზი 5.4 პროფილ-პროექტირების სიბრტყე

3. პროექციების სიბრტყეების პარალელურად სიბრტყეები - იკავებენ კონკრეტულ პოზიციას სივრცეში და უწოდებენ დონის სიბრტყეებს. იმისდა მიხედვით, თუ რომელი სიბრტყის პარალელურია შესასწავლი თვითმფრინავი, არსებობს:

3.1. ჰორიზონტალური სიბრტყე - ჰორიზონტალური პროექციის სიბრტყის პარალელურად (S //P1) - (S ^P2, S ^P3). ნებისმიერი ფიგურა ამ სიბრტყეში დაპროექტებულია P1 სიბრტყეზე დამახინჯების გარეშე, ხოლო P2 და P3 სიბრტყეზე სწორ ხაზებად - სიბრტყის S 2 და S 3 კვალი (ნახ. 5.5).

ნახაზი 5.5 ჰორიზონტალური სიბრტყე

3.2. ფრონტალური სიბრტყე - შუბლის პროექციის სიბრტყის პარალელურად (S //P2), (S ^P1, S ^P3). ნებისმიერი ფიგურა ამ სიბრტყეში დაპროექტებულია P2 სიბრტყეზე დამახინჯების გარეშე, ხოლო P1 და P3 სიბრტყეზე სწორ ხაზებად - S 1 და S 3 სიბრტყის კვალი (ნახ. 5.6).

სურათი 5.6 ფრონტალური სიბრტყე

3.3. პროფილის სიბრტყე - პროექციების პროფილის სიბრტყის პარალელურად (S //P3), (S ^P1, S ^P2). ნებისმიერი ფიგურა ამ სიბრტყეში დაპროექტებულია P3 სიბრტყეზე დამახინჯების გარეშე, ხოლო P1 და P2 სიბრტყეზე სწორ ხაზებად - S 1 და S 2 სიბრტყის კვალი (ნახ. 5.7).

ნახაზი 5.7 პროფილის სიბრტყე

თვითმფრინავის კვალი

სიბრტყის კვალი არის სიბრტყის გადაკვეთის ხაზი საპროექციო სიბრტყეებთან. იმის მიხედვით, თუ რომელი საპროექციო სიბრტყე იკვეთება მოცემული, განასხვავებენ: სიბრტყის ჰორიზონტალურ, ფრონტალურ და პროფილურ კვალს.

სიბრტყის ყოველი კვალი არის სწორი ხაზი, რომლის ასაგებადაც საჭიროა ვიცოდეთ ორი წერტილი, ან ერთი წერტილი და სწორი ხაზის მიმართულება (როგორც ნებისმიერი სწორი ხაზის აგებას). სურათი 5.8 გვიჩვენებს სიბრტყის S (ABC) კვალის პოვნას. S 2 სიბრტყის შუბლის კვალი აგებულია როგორც ხაზი, რომელიც აკავშირებს ორ წერტილს 12 და 22, რომლებიც წარმოადგენს S სიბრტყის კუთვნილი შესაბამისი ხაზების შუბლის კვალს. ჰორიზონტალური კვალი S 1 არის სწორი ხაზი, რომელიც გადის AB და S x სწორი ხაზის ჰორიზონტალურ კვალზე. პროფილის კვალი S 3 - ჰორიზონტალური და შუბლის კვალის ღერძებთან გადაკვეთის წერტილების (S y და S z) დამაკავშირებელი სწორი ხაზი.

ნახაზი 5.8 სიბრტყის კვალის აგება

სწორი ხაზისა და სიბრტყის ფარდობითი პოზიციის განსაზღვრა პოზიციური პრობლემაა, რომლის გადაწყვეტისთვის გამოიყენება დამხმარე ჭრის სიბრტყეების მეთოდი. მეთოდის არსი შემდეგია: ხაზში გავავლოთ დამხმარე სეკანტური სიბრტყე Q და დავაყენოთ ორი a და b წრფის ფარდობითი პოზიცია, რომელთაგან ბოლო არის დამხმარე სეკანტური სიბრტყის Q და ამ სიბრტყის T გადაკვეთის ხაზი ( სურ. 6.1).

სურათი 6.1 დამხმარე ჭრის სიბრტყის მეთოდი

ამ ხაზების ფარდობითი პოზიციის სამი შესაძლო შემთხვევიდან თითოეული შეესაბამება ხაზისა და სიბრტყის ურთიერთმდებარეობის მსგავს შემთხვევას. ასე რომ, თუ ორივე წრფე ემთხვევა, მაშინ წრფე a დევს T სიბრტყეში, წრფეების პარალელიზმი მიუთითებს წრფისა და სიბრტყის პარალელურობაზე და ბოლოს, წრფეების გადაკვეთა შეესაბამება შემთხვევას, როდესაც წრფე კვეთს. თვითმფრინავი T. ამრიგად, არსებობს ხაზისა და სიბრტყის ფარდობითი პოზიციის სამი შემთხვევა: ეკუთვნის სიბრტყეს; ხაზი სიბრტყის პარალელურია; სწორი ხაზი კვეთს სიბრტყეს, განსაკუთრებული შემთხვევა - სწორი ხაზი სიბრტყის პერპენდიკულარულია. განვიხილოთ თითოეული შემთხვევა.

თვითმფრინავის კუთვნილი სწორი ხაზი

აქსიომა 1. წრფე ეკუთვნის სიბრტყეს, თუ მისი ორი წერტილი ეკუთვნის იმავე სიბრტყეს (ნახ.6.2).

დავალება. მოცემულია m2 წრფის სიბრტყე (n,k) და ერთი პროექცია. საჭიროა m წრფის გამოტოვებული პროექციების პოვნა, თუ ცნობილია, რომ ის ეკუთვნის n და k გადამკვეთ წრფეებით მოცემულ სიბრტყეს. m2 წრფის პროექცია კვეთს n და k წრფეებს B2 და C2 წერტილებში, წრფის გამოტოვებული პროექციების საპოვნელად საჭიროა ვიპოვოთ B და C წერტილების გამოტოვებული პროგნოზები n და k წრფეებზე მდებარე წერტილებად. , შესაბამისად. ამრიგად, B და C წერტილები მიეკუთვნება n და k გადამკვეთ წრფეებით მოცემულ სიბრტყეს და m წრფე გადის ამ წერტილებში, რაც ნიშნავს, რომ აქსიომის მიხედვით, წრფე ეკუთვნის ამ სიბრტყეს.

აქსიომა 2. წრფე ეკუთვნის სიბრტყეს, თუ მას აქვს ერთი საერთო წერტილი სიბრტყესთან და პარალელურია ამ სიბრტყეში მდებარე რომელიმე წრფისა (სურ. 6.3).

დავალება. დახაზეთ m წრფე B წერტილში, თუ ცნობილია, რომ ის ეკუთვნის n და k ხაზების გადაკვეთით მოცემულ სიბრტყეს. ვთქვათ B მიეკუთვნება n წრფეს, რომელიც დევს n და k გადამკვეთ წრფეებით მოცემულ სიბრტყეში. B2 პროექციის საშუალებით ვხატავთ m2 წრფის პროექციას k2 წრფის პარალელურად, წრფის გამოტოვებული პროექციების საპოვნელად საჭიროა ააგოთ B1 წერტილის პროექცია, როგორც n1 წრფის პროექციაზე დაყრილი წერტილი და. დახაზეთ m1 წრფის პროექცია მის გავლით k1 პროექციის პარალელურად. ამრიგად, B წერტილები მიეკუთვნება n და k გადამკვეთ წრფეებით მოცემულ სიბრტყეს, ხოლო m წრფე გადის ამ წერტილში და არის k წრფის პარალელურად, რაც ნიშნავს, რომ აქსიომის მიხედვით, წრფე ამ სიბრტყეს ეკუთვნის.

სურათი 6.3 სწორ ხაზს აქვს ერთი საერთო წერტილი სიბრტყესთან და პარალელურია ამ სიბრტყეში მდებარე სწორ ხაზთან

მთავარი ხაზები თვითმფრინავში

სიბრტყეს კუთვნილ სწორ ხაზებს შორის განსაკუთრებული ადგილი უკავია სწორ ხაზებს, რომლებიც იკავებენ კონკრეტულ პოზიციას სივრცეში:

1. ჰორიზონტალური h - სწორი ხაზები, რომლებიც დევს მოცემულ სიბრტყეში და პარალელურად ჰორიზონტალური სიბრტყის პროექციებს (h / / P1) (ნახ. 6.4).

სურათი 6.4 ჰორიზონტალური

2. ფრონტალები f - სიბრტყეში განლაგებული და პროექციების შუბლის სიბრტყის პარალელურად (f //P2) სწორი ხაზები (ნახ. 6.5).

სურათი 6.5 ფრონტალური

3. პროფილის სწორი ხაზები p - სწორი ხაზები, რომლებიც მოცემულ სიბრტყეშია და პროექციების პროფილის სიბრტყის პარალელურად (p //P3) (ნახ. 6.6). უნდა აღინიშნოს, რომ თვითმფრინავის კვალი შეიძლება მიეწეროს მთავარ ხაზებსაც. ჰორიზონტალური კვალი არის სიბრტყის ჰორიზონტალური, შუბლის არის წინა და პროფილი არის პროფილის ხაზი თვითმფრინავი.

სურათი 6.6 პროფილი სწორი

4. უდიდესი დახრილობის ხაზი და მისი ჰორიზონტალური პროექცია ქმნის წრფივ კუთხეს j, რომელიც ზომავს ამ სიბრტყის მიერ შედგენილ დიედრალურ კუთხეს და პროექციების ჰორიზონტალურ სიბრტყეს (ნახ. 6.7). ცხადია, თუ წრფეს არ აქვს ორი საერთო წერტილი სიბრტყესთან, მაშინ ის ან სიბრტყის პარალელურია ან კვეთს მას.

სურათი 6.7 ყველაზე დიდი ფერდობის ხაზი

წერტილისა და სიბრტყის ურთიერთპოზიცია

წერტილისა და სიბრტყის ურთიერთგანლაგების ორი ვარიანტი არსებობს: ან წერტილი ეკუთვნის სიბრტყეს, ან არა. თუ წერტილი მიეკუთვნება სიბრტყეს, მაშინ მხოლოდ ერთი სამი პროექცია, რომელიც განსაზღვრავს წერტილის პოზიციას სივრცეში, შეიძლება თვითნებურად დაყენდეს. განვიხილოთ მაგალითი (ნახ.6.8): ორი პარალელური a(a//b) წრფით მოცემული ზოგადი პოზიციის სიბრტყის კუთვნილი A წერტილის პროექციის აგება.

დავალება. მოცემულია: სიბრტყე T(a,b) და A2 წერტილის პროექცია. საჭიროა A1 პროექციის აგება, თუ ცნობილია, რომ A წერტილი დევს c,a სიბრტყეში. A2 წერტილის გავლით ვხატავთ m2 წრფის პროექციას, რომელიც კვეთს a2 და b2 წრფეების პროექციებს C2 და B2 წერტილებზე. ავაშენეთ C1 და B1 წერტილების პროგნოზები, რომლებიც განსაზღვრავენ m1-ის პოზიციას, ვპოულობთ A წერტილის ჰორიზონტალურ პროექციას.

სურათი 6.8. წერტილი, რომელიც ეკუთვნის თვითმფრინავს

სივრცეში ორი სიბრტყე შეიძლება იყოს ერთმანეთის პარალელური, კონკრეტულ შემთხვევაში ერთმანეთს ემთხვევა, ან იკვეთება. ურთიერთ პერპენდიკულარული სიბრტყეები გადაკვეთის სიბრტყეების განსაკუთრებული შემთხვევაა.

1. პარალელური სიბრტყეები. სიბრტყეები პარალელურია, თუ ერთი სიბრტყის ორი გადამკვეთი წრფე, შესაბამისად, პარალელურია მეორე სიბრტყის ორი გადამკვეთი წრფისა. ამ განსაზღვრებას კარგად ასახავს დავალება, B წერტილის მეშვეობით, დავხატოთ სიბრტყის პარალელურად მოცემული სიბრტყის პარალელურად მოცემული ორი გადამკვეთი სწორი ab (ნახ. 7.1). დავალება. მოცემულია: სიბრტყე ზოგად მდგომარეობაში, რომელიც მოცემულია ორი გადამკვეთი წრფეებით ab და B წერტილით. საჭიროა სიბრტყის დახაზვა B წერტილის გავლით ab სიბრტყის პარალელურად და განვსაზღვროთ ორი გადამკვეთი წრფეებით c და d. განმარტების მიხედვით, თუ ერთი სიბრტყის ორი გადამკვეთი წრფე, შესაბამისად, პარალელურია მეორე სიბრტყის ორი გადამკვეთი წრფის, მაშინ ეს სიბრტყეები ერთმანეთის პარალელურია. დიაგრამაზე პარალელური წრფეების დასახაზად საჭიროა პარალელური პროექციის თვისების გამოყენება - პარალელური წრფეების პროექციები ერთმანეთის პარალელურია d||a, c||b; d1||a1,с1||b1; d2||a2 ,с2||b2; d3||a3,с3||b3.

სურათი 7.1. პარალელური თვითმფრინავები

2. გადამკვეთი სიბრტყეები, განსაკუთრებული შემთხვევა - ორმხრივი პერპენდიკულარული სიბრტყეები. ორი სიბრტყის გადაკვეთის ხაზი არის სწორი ხაზი, რომლის ასაგებად საკმარისია განვსაზღვროთ მისი ორი ორივე სიბრტყისთვის საერთო წერტილი, ან ერთი წერტილი და სიბრტყეების გადაკვეთის ხაზის მიმართულება. განვიხილოთ ორი სიბრტყის გადაკვეთის ხაზის აგება, როდესაც ერთ-ერთი მათგანი პროექციულია (ნახ. 7.2).

დავალება. მოცემული: სიბრტყე ზოგად პოზიციაში მოცემულია სამკუთხედით ABC, ხოლო მეორე სიბრტყე არის ჰორიზონტალურად გამომავალი T. საჭიროა სიბრტყეების გადაკვეთის ხაზის აგება. პრობლემის გადაწყვეტაა ამ სიბრტყეებისთვის ორი საერთო წერტილის პოვნა, რომლებშიც სწორი ხაზის დახატვა შეიძლება. ABC სამკუთხედით განსაზღვრული სიბრტყე შეიძლება წარმოდგენილი იყოს სწორი ხაზებით (AB), (AC), (BC). წრფის (AB) გადაკვეთის წერტილი T სიბრტყესთან - წერტილი D, წრფე (AC) -F. სეგმენტი განსაზღვრავს სიბრტყეების გადაკვეთის ხაზს. ვინაიდან T არის ჰორიზონტალურად პროექციული სიბრტყე, პროექცია D1F1 ემთხვევა T1 სიბრტყის კვალს, ამიტომ რჩება მხოლოდ დაკარგული პროგნოზების აგება P2 და P3-ზე.

სურათი 7.2. ზოგადი სიბრტყის გადაკვეთა ჰორიზონტალურად გამომავალი სიბრტყით

გადავიდეთ ზოგად საქმეზე. ორი ზოგადი სიბრტყე a(m,n) და b (ABC) მოცემულია სივრცეში (ნახ. 7.3).

სურათი 7.3. თვითმფრინავების გადაკვეთა ზოგად პოზიციაზე

განვიხილოთ a(m//n) და b(ABC) სიბრტყეების გადაკვეთის ხაზის აგების თანმიმდევრობა. წინა ამოცანის ანალოგიით, ამ სიბრტყეების გადაკვეთის წრფის საპოვნელად ვხატავთ დამხმარე სეკანტურ სიბრტყეებს g და d. ვიპოვოთ ამ სიბრტყეების გადაკვეთის ხაზები განსახილველ სიბრტყეებთან. სიბრტყე g კვეთს a სიბრტყეს სწორი ხაზის გასწვრივ (12), სიბრტყე b - სწორი ხაზის გასწვრივ (34). წერტილი K - ამ წრფეების გადაკვეთის წერტილი ერთდროულად მიეკუთვნება სამ სიბრტყეს a, b და g, ამდენად, არის წერტილი, რომელიც მიეკუთვნება a და b სიბრტყეების გადაკვეთის ხაზს. სიბრტყე d კვეთს a და b სიბრტყეებს (56) და (7C) ხაზების გასწვრივ, შესაბამისად, მათი გადაკვეთის წერტილი M მდებარეობს ერთდროულად სამ სიბრტყეში a, b, d და მიეკუთვნება a და b სიბრტყეების გადაკვეთის სწორ ხაზს. ამრიგად, ნაპოვნია ორი წერტილი, რომლებიც მიეკუთვნება a და b სიბრტყეების გადაკვეთის ხაზს - სწორი ხაზი (KM).

სიბრტყეების გადაკვეთის ხაზის აგების გარკვეული გამარტივება შეიძლება მიღწეული იქნას, თუ დამხმარე სეკანტური სიბრტყეები დახაზულია სწორი ხაზებით, რომლებიც განსაზღვრავენ სიბრტყეს.

ორმხრივი პერპენდიკულარული სიბრტყეები. სტერეომეტრიიდან ცნობილია, რომ ორი სიბრტყე ერთმანეთის პერპენდიკულარულია, თუ ერთი მათგანი გადის პერპენდიკულარზე მეორეზე. A წერტილის მეშვეობით შეგიძლიათ დახაზოთ სიბრტყეების სიმრავლე მოცემულ a (f, h) სიბრტყეზე პერპენდიკულარული. ეს სიბრტყეები ქმნიან სიბრტყეების შეკვრას სივრცეში, რომლის ღერძი არის A წერტილიდან a სიბრტყემდე ჩამოშვებული პერპენდიკულური. იმისათვის, რომ დავხატოთ სიბრტყის პერპენდიკულარული სიბრტყე, რომელიც მოცემულია A წერტილიდან ორი გადამკვეთი ხაზით hf, საჭიროა A წერტილიდან hf სიბრტყის პერპენდიკულარული ხაზის დახატვა (ჰორიზონტალური პროექცია n პერპენდიკულარულია ჰორიზონტალური პროექციის მიმართ. ჰორიზონტალური h, შუბლის პროექცია n არის პერპენდიკულარული ფრონტალური f-ის შუბლის პროექციის მიმართ). ნებისმიერი სიბრტყე, რომელიც გადის n წრფეზე, იქნება hf სიბრტყის პერპენდიკულარული, ამიტომ სიბრტყის A წერტილებში დასაყენებლად, ვხაზავთ თვითნებურ წრფეს m. ორი გადამკვეთი სწორი წრფე mn მოცემული სიბრტყე hf სიბრტყის პერპენდიკულარული იქნება (ნახ. 7.4).

სურათი 7.4. ორმხრივი პერპენდიკულარული სიბრტყეები

სიბრტყე-პარალელური მოძრაობის მეთოდი

დაპროექტებული ობიექტისა და პროექციის სიბრტყეების ფარდობითი პოზიციის შეცვლა სიბრტყე-პარალელური მოძრაობის მეთოდით ხორციელდება გეომეტრიული ობიექტის პოზიციის შეცვლით ისე, რომ მისი წერტილების ტრაექტორია იყოს პარალელურ სიბრტყეში. მოძრავი წერტილების ტრაექტორიების მატარებელი სიბრტყეები პარალელურია ნებისმიერი პროექციის სიბრტყის (ნახ. 8.1). ტრაექტორია არის თვითნებური ხაზი. გეომეტრიული ობიექტის პარალელური გადაცემით პროექციის სიბრტყეებთან მიმართებაში, ფიგურის პროექცია, მიუხედავად იმისა, რომ იგი ცვლის თავის პოზიციას, რჩება ფიგურის პროექციის შესატყვისი თავდაპირველ მდგომარეობაში.

ნახაზი 8.1 სეგმენტის ბუნებრივი ზომის განსაზღვრა სიბრტყე-პარალელური მოძრაობის მეთოდით

სიბრტყე-პარალელური მოძრაობის თვისებები:

1. P1 სიბრტყის პარალელურად სიბრტყეში წერტილების ნებისმიერი მოძრაობისას, მისი შუბლის პროექცია მოძრაობს x ღერძის პარალელურად სწორი ხაზის გასწვრივ.

2. P2-ის პარალელურ სიბრტყეში წერტილის თვითნებური გადაადგილების შემთხვევაში მისი ჰორიზონტალური პროექცია მოძრაობს x ღერძის პარალელურად სწორი ხაზის გასწვრივ.

პროექციის სიბრტყის პერპენდიკულარული ღერძის გარშემო ბრუნვის მეთოდი

წერტილების მოძრაობის ტრაექტორიების მატარებელი სიბრტყეები პროექციის სიბრტყის პარალელურია. ტრაექტორია - წრის რკალი, რომლის ცენტრი განლაგებულია პროექციების სიბრტყის პერპენდიკულარულ ღერძზე. ხაზის სეგმენტის ბუნებრივი ზომის დასადგენად AB ზოგად პოზიციაზე (ნახ. 8.2) ვირჩევთ ბრუნვის ღერძს (i) ჰორიზონტალური პროექციის სიბრტყეზე პერპენდიკულარულ და B1-ზე გავლისას. მოვატრიალოთ სეგმენტი ისე, რომ იგი გახდეს შუბლის პროექციის სიბრტყის პარალელურად (სეგმენტის ჰორიზონტალური პროექცია პარალელურია x-ღერძის პარალელურად). ამ შემთხვევაში A1 წერტილი გადავა A "1-ზე და B წერტილი არ ცვლის თავის პოზიციას. A წერტილის" 2 პოზიცია არის A წერტილის მოძრაობის ტრაექტორიის ფრონტალური პროექციის გადაკვეთაზე (სწორი ხაზი პარალელურად. x ღერძამდე) და A "1-დან გამოყვანილი საკომუნიკაციო ხაზი. მიღებული პროექცია B2 A"2 განსაზღვრავს თავად სეგმენტის რეალურ ზომას.

სურათი 8.2 სეგმენტის ბუნებრივი ზომის განსაზღვრა პროექციების ჰორიზონტალური სიბრტყის პერპენდიკულარული ღერძის გარშემო ბრუნვით

პროექციის სიბრტყის პარალელურად ღერძის გარშემო ბრუნვის მეთოდი

განვიხილოთ ეს მეთოდი გადაკვეთის ხაზებს შორის კუთხის განსაზღვრის მაგალითის გამოყენებით (ნახ. 8.3). განვიხილოთ გადამკვეთი a წრფეების ორი პროექცია, რომლებშიც იკვეთება K წერტილში. ამ წრფეებს შორის კუთხის ბუნებრივი სიდიდის დასადგენად აუცილებელია ორთოგონალური პროექციების გარდაქმნა ისე, რომ წრფეები გახდეს პროექციის სიბრტყის პარალელურად. გამოვიყენოთ დონის ხაზის გარშემო ბრუნვის მეთოდი - ჰორიზონტალური. მოდით დავხატოთ ჰორიზონტალური h2-ის თვითნებური შუბლის პროექცია Ox ღერძის პარალელურად, რომელიც კვეთს ხაზებს 12 და 22 წერტილებში. 11 და 11 პროგნოზების განსაზღვრის შემდეგ, ჩვენ ვაშენებთ ჰორიზონტალურ h1-ის ჰორიზონტალურ პროექციას. ჰორიზონტალის გარშემო ბრუნვის დროს ყველა წერტილის მოძრაობის ტრაექტორია არის წრე, რომელიც დაპროექტებულია P1 სიბრტყეზე ჰორიზონტალური ჰორიზონტალური პროექციის პერპენდიკულარული სწორი ხაზის სახით.

სურათი 8.3 გადაკვეთის ხაზებს შორის კუთხის განსაზღვრა, ბრუნვა ღერძის გარშემო ჰორიზონტალური პროექციის სიბრტყის პარალელურად

ამრიგად, K1 წერტილის ტრაექტორია განისაზღვრება K1O1 სწორი ხაზით, წერტილი O არის წრის ცენტრი - წერტილის K ტრაექტორია. ამ წრის რადიუსის საპოვნელად ვპოულობთ KO სეგმენტის ბუნებრივ მნიშვნელობას. სამკუთხედის მეთოდით. ​​წერტილი K "1 შეესაბამება K წერტილს, როდესაც წრფეები a და b დევს P1-ის პარალელურად და ჰორიზონტალურ სიბრტყეში - ბრუნვის ღერძზე გადაყვანილ სიბრტყეში. ამის გათვალისწინებით, ჩვენ ვხატავთ სწორ ხაზებს K "1 წერტილის და 11 და 21 წერტილების გავლით, რომლებიც ახლა დევს P1-ის პარალელურ სიბრტყეში და, შესაბამისად, კუთხე phi არის a და b წრფეებს შორის კუთხის ბუნებრივი მნიშვნელობა.

საპროექციო თვითმფრინავების შეცვლის მეთოდი

დაპროექტებული ფიგურისა და პროექციის სიბრტყეების ფარდობითი პოზიციის შეცვლა საპროექციო სიბრტყეების შეცვლით მიიღწევა P1 და P2 სიბრტყეების ახალი P4 სიბრტყით ჩანაცვლებით (ნახ. 8.4). ახალი თვითმფრინავები შეირჩევა ძველების პერპენდიკულარულად. ზოგიერთი პროექციის ტრანსფორმაცია მოითხოვს საპროექციო სიბრტყეების ორმაგ ჩანაცვლებას (სურათი 8.5). საპროექციო სიბრტყეების ერთი სისტემიდან მეორეზე თანმიმდევრული გადასვლა უნდა განხორციელდეს შემდეგი წესის დაცვით: მანძილი ახალი წერტილის პროექციადან ახალ ღერძამდე უნდა იყოს ტოლი მანძილის შეცვლილი წერტილის პროექციადან შეცვლილ ღერძამდე.

ამოცანა 1: განვსაზღვროთ სწორი ხაზის AB მონაკვეთის რეალური ზომა ზოგად მდგომარეობაში (ნახ. 8.4). პარალელური პროექციის თვისებიდან ცნობილია, რომ სეგმენტი პროეცირდება სიბრტყეზე სრული ზომით, თუ ის ამ სიბრტყის პარალელურია. ვირჩევთ ახალ საპროექციო სიბრტყეს P4, AB სეგმენტის პარალელურად და P1 სიბრტყის პერპენდიკულარულად. ახალი სიბრტყის შემოღებით სიბრტყეების P1P2 სისტემიდან გადავდივართ P1P4 სისტემაზე, ხოლო სიბრტყეების ახალ სისტემაში A4B4 სეგმენტის პროექცია იქნება AB სეგმენტის ბუნებრივი მნიშვნელობა.

სურათი 8.4. სწორი ხაზის სეგმენტის ბუნებრივი ზომის განსაზღვრა საპროექციო სიბრტყეების ჩანაცვლებით

დავალება 2: დაადგინეთ მანძილი C წერტილიდან AB სეგმენტით მოცემულ წრფემდე (ნახ. 8.5).

სურათი 8.5. სწორი ხაზის სეგმენტის ბუნებრივი ზომის განსაზღვრა საპროექციო სიბრტყეების ჩანაცვლებით

წერტილის პოზიცია სივრცეში შეიძლება განისაზღვროს მისი ორი ორთოგონალური პროექციით, მაგალითად, ჰორიზონტალური და შუბლის, შუბლისა და პროფილით. ნებისმიერი ორი ორთოგონალური პროგნოზის კომბინაცია საშუალებას გაძლევთ გაარკვიოთ წერტილის ყველა კოორდინატის მნიშვნელობა, ააწყოთ მესამე პროექცია, განსაზღვროთ ოქტანტი, რომელშიც ის მდებარეობს. განვიხილოთ რამდენიმე ტიპიური დავალება აღწერითი გეომეტრიის კურსიდან.

A და B წერტილების მოცემული რთული ნახაზის მიხედვით აუცილებელია:

ჯერ განვსაზღვროთ A წერტილის კოორდინატები, რომლებიც შეიძლება დაიწეროს A სახით (x, y, z). A წერტილის ჰორიზონტალური პროექცია არის წერტილი A ", რომელსაც აქვს x, y კოორდინატები. A წერტილიდან დახაზეთ პერპენდიკულარული x, y ღერძებზე და იპოვეთ, შესაბამისად, A x, A y. A წერტილის x-კოორდინატი უდრის A x O სეგმენტის სიგრძეს პლუს ნიშნით, რადგან A x დევს x-ღერძის დადებითი მნიშვნელობების რეგიონში. ნახაზის მასშტაბის გათვალისწინებით, ჩვენ ვპოულობთ x \u003d 10. y კოორდინატი უდრის A y O სეგმენტის სიგრძეს მინუს ნიშნით, რადგან t. A y მდგომარეობს y-ღერძის უარყოფითი მნიშვნელობების რეგიონში. . ნახაზის მასშტაბის გათვალისწინებით, y = -30. A წერტილის შუბლის პროექცია - წერტილი A"" აქვს x და z კოორდინატები. მოდით, პერპენდიკულარი A""-დან z-ღერძზე ჩამოვუშვათ და ვიპოვოთ A z. A წერტილის z-კოორდინატი უდრის A z O სეგმენტის სიგრძეს მინუს ნიშნით, რადგან A z დევს z-ღერძის უარყოფითი მნიშვნელობების რეგიონში. ნახაზის მასშტაბის გათვალისწინებით, z = -10. ამრიგად, A წერტილის კოორდინატებია (10, -30, -10).

B წერტილის კოორდინატები შეიძლება ჩაიწეროს B (x, y, z). განვიხილოთ B წერტილის ჰორიზონტალური პროექცია - წერტილი B. "რადგან ის დევს x ღერძზე, მაშინ B x \u003d B" და კოორდინატი B y \u003d 0. B წერტილის აბსციზა x უდრის სეგმენტის სიგრძეს. B x O პლუს ნიშნით. ნახაზის მასშტაბის გათვალისწინებით x = 30. B წერტილის შუბლის პროექცია - წერტილი B˝ აქვს x, z კოორდინატები. დახაზეთ პერპენდიკულარი B""-დან z-ღერძამდე, რითაც იპოვეთ B z. B წერტილის აპლიკაციური z უდრის B z O სეგმენტის სიგრძეს მინუს ნიშნით, რადგან B z დევს z-ღერძის უარყოფითი მნიშვნელობების რეგიონში. ნახაზის მასშტაბის გათვალისწინებით, ჩვენ ვადგენთ მნიშვნელობას z = -20. ასე რომ, B კოორდინატები არის (30, 0, -20). ყველა საჭირო კონსტრუქცია ნაჩვენებია ქვემოთ მოცემულ ფიგურაში.

წერტილების პროგნოზების აგება

A და B წერტილებს P 3 სიბრტყეში აქვთ შემდეგი კოორდინატები: A""" (y, z); B""" (y, z). ამ შემთხვევაში, A"" და A""" დევს z-ღერძის ერთსა და იმავე პერპენდიკულარულზე, რადგან მათ აქვთ საერთო z-კოორდინატი. ანალოგიურად, B"" და B""" დევს საერთო პერპენდიკულარზე. z-ღერძამდე. t. A-ს პროფილის პროექციის საპოვნელად, y-ღერძის გასწვრივ გამოვყავით ადრე ნაპოვნი შესაბამისი კოორდინატის მნიშვნელობა. ნახატზე ეს კეთდება A y O რადიუსის წრის რკალის გამოყენებით. ამის შემდეგ ვხატავთ პერპენდიკულარს A y-დან კვეთამდე A წერტილიდან "" z ღერძამდე აღდგენილი პერპენდიკულურით. ამ ორი პერპენდიკულარულის გადაკვეთის წერტილი განსაზღვრავს A"""-ის პოზიციას.

წერტილი B""" დევს z-ღერძზე, რადგან ამ წერტილის y-ორდინატი არის ნული. ამ ამოცანში B წერტილის პროფილის პროექციის საპოვნელად საჭიროა მხოლოდ B""-დან z-ზე პერპენდიკულარის დახატვა. -ღერძი ამ პერპენდიკულარის z ღერძთან გადაკვეთის წერტილი არის B """.

წერტილების პოზიციის განსაზღვრა სივრცეში

ვიზუალურად წარმოიდგინეთ სივრცითი განლაგება, რომელიც შედგება საპროექციო სიბრტყეებისგან P 1, P 2 და P 3, ოქტანტების მდებარეობა, აგრეთვე განლაგების დიაგრამებად გარდაქმნის თანმიმდევრობა, შეგიძლიათ პირდაპირ განსაზღვროთ, რომ t.A მდებარეობს III ოქტანტში. და t. B დევს სიბრტყეში P 2 .

ამ პრობლემის გადაჭრის კიდევ ერთი ვარიანტია გამონაკლისის მეთოდი. მაგალითად, A წერტილის კოორდინატებია (10, -30, -10). დადებითი აბსციზა x შესაძლებელს ხდის ვიმსჯელოთ, რომ წერტილი მდებარეობს პირველ ოთხ ოქტანტში. უარყოფითი y-ორდინატი მიუთითებს, რომ წერტილი მეორე ან მესამე ოქტანტშია. და ბოლოს, z-ის უარყოფითი აპლიკაცია მიუთითებს, რომ A წერტილი მესამე ოქტანტშია. მოცემული მსჯელობა ნათლად არის ილუსტრირებული შემდეგი ცხრილით.

ოქტანტები	კოორდინაციის ნიშნები
	x	წ	ზ
1	+	+	+
2	+	–	+
3	+	–	–
4	+	+	–
5	–	+	+
6	–	–	+
7	–	–	–
8	–	+	–

B წერტილის კოორდინატები (30, 0, -20). ვინაიდან t.B-ის ორდინატი ნულის ტოლია, ეს წერტილი მდებარეობს პროექციის სიბრტყეში П 2 . B წერტილის დადებითი აბსცისა და უარყოფითი აპლიკატი მიუთითებს, რომ იგი მდებარეობს მესამე და მეოთხე ოქტანტების საზღვარზე.

წერტილების ვიზუალური გამოსახულების აგება სიბრტყეების სისტემაში P 1, P 2, P 3

შუბლის იზომეტრიული პროექციის გამოყენებით, ჩვენ ავაშენეთ მესამე ოქტანტის სივრცითი განლაგება. ეს არის მართკუთხა ტრიედონი, რომლის სახეებია სიბრტყეები P 1, P 2, P 3, ხოლო კუთხე (-y0x) არის 45 º. ამ სისტემაში, სეგმენტები x, y, z ღერძების გასწვრივ დაისახება სრული ზომით დამახინჯების გარეშე.

A წერტილის ვიზუალური გამოსახულების აგება (10, -30, -10) დაიწყება მისი ჰორიზონტალური პროექციით A ". აბსცისისა და ორდინატების გასწვრივ შესაბამისი კოორდინატების გამოყოფის შემდეგ ვპოულობთ A x და A y წერტილებს. A x და A y-დან, შესაბამისად, x და y ღერძებთან აღდგენილი პერპენდიკულარების გადაკვეთა განსაზღვრავს A წერტილის პოზიციას”. A"-დან z ღერძის პარალელურად მისი უარყოფითი მნიშვნელობებისკენ ვაყენებთ სეგმენტს AA", რომლის სიგრძე უდრის 10-ს, ვპოულობთ A წერტილის პოზიციას.

B წერტილის ვიზუალური გამოსახულება (30, 0, -20) აგებულია ანალოგიურად - P 2 სიბრტყეში შესაბამისი კოორდინატები უნდა იყოს გამოსახული x და z ღერძების გასწვრივ. B x-დან და B z-დან რეკონსტრუირებული პერპენდიკულარების გადაკვეთა განსაზღვრავს B წერტილის პოზიციას.