ლოგარითმული განტოლებები. მარტივიდან რთულამდე.

ყურადღება!
არის დამატებითი
მასალა 555-ე სპეციალურ ნაწილში.
მათთვის, ვინც მტკიცედ "არა ძალიან ..."
და მათთვის, ვინც "ძალიან...")

რა არის ლოგარითმული განტოლება?

ეს არის განტოლება ლოგარითმებთან. გამიკვირდა, არა?) მერე დავაზუსტებ. ეს არის განტოლება, რომელშიც არის უცნობი (x) და გამოსახულებები მათთან ერთად ლოგარითმების შიგნით.და მხოლოდ იქ! Ეს არის მნიშვნელოვანი.

აი ზოგიერთი მაგალითი ლოგარითმული განტოლებები:

ჟურნალი 3 x = ჟურნალი 3 9

ჟურნალი 3 (x 2 -3) = ჟურნალი 3 (2x)

ჟურნალი x + 1 (x 2 + 3x-7) = 2

lg 2 (x+1)+10 = 11lg (x+1)

აბა, გესმით აზრი... )

Შენიშვნა! ყველაზე მრავალფეროვანი გამონათქვამები x-ებით არის განლაგებული ექსკლუზიურად ლოგარითმების შიგნით.თუ უეცრად, სადმე განტოლებაში x მოიძებნება გარეთ, Მაგალითად:

ჟურნალი 2 x = 3 + x,

ეს იქნება შერეული ტიპის განტოლება. ასეთ განტოლებებს არ გააჩნია ამოხსნის მკაფიო წესები. ჩვენ მათ ჯერ არ განვიხილავთ. სხვათა შორის, ლოგარითმების შიგნით არის განტოლებები მხოლოდ ნომრები. Მაგალითად:

Რა შემიძლია ვთქვა? იღბლიანი ხარ, თუ ამას წააწყდები! ლოგარითმი რიცხვებით არის რაღაც ნომერი.და ეს არის ის. ასეთი განტოლების ამოსახსნელად საკმარისია ლოგარითმების თვისებების ცოდნა. სპეციალური წესების ცოდნა, სპეციალურად ამოსახსნელად ადაპტირებული ტექნიკები ლოგარითმული განტოლებები,აქ არ არის საჭირო.

Ისე, რა არის ლოგარითმული განტოლება- ამოიხვნეშა.

როგორ ამოხსნათ ლოგარითმული განტოლებები?

გადაწყვეტილება ლოგარითმული განტოლებები- საქმე, ზოგადად, არც ისე მარტივია. ასე რომ, ჩვენ გვაქვს განყოფილება ოთხისთვის... საჭიროა ცოდნის ღირსეული მიწოდება ყველა სახის დაკავშირებულ თემაზე. გარდა ამისა, ამ განტოლებებში არის განსაკუთრებული თვისება. და ეს ფუნქცია იმდენად მნიშვნელოვანია, რომ მას უსაფრთხოდ შეიძლება ვუწოდოთ მთავარი პრობლემა ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნისას. ამ პრობლემას დეტალურად განვიხილავთ შემდეგ გაკვეთილზე.

ახლა, არ ინერვიულო. ჩვენ სწორი გზით წავალთ მარტივიდან რთულამდე.კონკრეტულ მაგალითებზე. მთავარია, მარტივ რაღაცეებში ჩაუღრმავდეთ და არ დაიზაროთ ლინკების მიყოლა, მიზეზის გამო ვდებ... და წარმატებას მიაღწევთ. აუცილებლად.

დავიწყოთ ყველაზე ელემენტარული, უმარტივესი განტოლებებით. მათი გადასაჭრელად სასურველია გქონდეს წარმოდგენა ლოგარითმზე, მაგრამ მეტი არაფერი. უბრალოდ წარმოდგენა არ აქვს ლოგარითმიგადაწყვეტილების მიღება ლოგარითმულიგანტოლებები - რაღაცნაირად უხერხულიც კი... ძალიან თამამად ვიტყოდი).

უმარტივესი ლოგარითმული განტოლებები.

ეს არის ფორმის განტოლებები:

1. ჟურნალი 3 x = ჟურნალი 3 9

2. log 7 (2x-3) = log 7 x

3. ჟურნალი 7 (50x-1) = 2

გადაწყვეტის პროცესი ნებისმიერი ლოგარითმული განტოლებაშედგება ლოგარითმებით განტოლებიდან მათ გარეშე განტოლებაზე გადასვლაში. უმარტივეს განტოლებებში ეს გადასვლა ხორციელდება ერთ საფეხურზე. ამიტომ არის მარტივი.)

და ასეთი ლოგარითმული განტოლებები წყდება საოცრად მარტივად. თავად ნახეთ.

მოდით გადავწყვიტოთ პირველი მაგალითი:

ჟურნალი 3 x = ჟურნალი 3 9

ამ მაგალითის გადასაჭრელად, თქვენ არ გჭირდებათ თითქმის არაფრის ცოდნა, დიახ ... სუფთა ინტუიცია!) რას ვაკეთებთ განსაკუთრებითარ მოგწონს ეს მაგალითი? რაღაც... არ მიყვარს ლოგარითმები! სწორად. აქ ჩვენ მოვიშორებთ მათ. ჩვენ ყურადღებით ვუყურებთ მაგალითს და ბუნებრივი სურვილი ჩნდება ჩვენში ... პირდაპირ დაუძლეველი! აიღეთ და გადააგდეთ ლოგარითმები ზოგადად. და რაც სასიამოვნოა შეუძლიაკეთება! მათემატიკა იძლევა საშუალებას. ლოგარითმები ქრებაპასუხი არის:

მშვენიერია, არა? ეს ყოველთვის შეიძლება (და უნდა) გაკეთდეს. ლოგარითმების ამ გზით აღმოფხვრა ლოგარითმული განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნის ერთ-ერთი მთავარი გზაა. მათემატიკაში ამ ოპერაციას ე.წ გაძლიერება.რა თქმა უნდა, არსებობს ასეთი ლიკვიდაციის საკუთარი წესები, მაგრამ ისინი ცოტაა. გახსოვდეთ:

ლოგარითმები შეგიძლიათ ყოველგვარი შიშის გარეშე აღმოფხვრათ, თუ მათ აქვთ:

ა) იგივე რიცხვითი ფუძეები

გ) მარცხნივ-მარჯვენა ლოგარითმები სუფთაა (ყოველგვარი კოეფიციენტების გარეშე) და შესანიშნავ იზოლაციაშია.

ნება მომეცით ავხსნა ბოლო წერტილი. განტოლებაში, ვთქვათ

log 3 x = 2log 3 (3x-1)

ლოგარითმები ვერ მოიხსნება. მარჯვნიდან დეუზა არ იძლევა საშუალებას. კოეფიციენტი, თქვენ იცით ... მაგალითში

ჟურნალი 3 x + ჟურნალი 3 (x + 1) = ჟურნალი 3 (3 + x)

განტოლებაც არ შეიძლება გაძლიერდეს. მარცხენა მხარეს არ არის მარტოხელა ლოგარითმი. ორი მათგანია.

მოკლედ, თქვენ შეგიძლიათ წაშალოთ ლოგარითმები, თუ განტოლება ასე გამოიყურება და მხოლოდ ასე:

log a (.....) = log a (.....)

ფრჩხილებში, სადაც შეიძლება იყოს ელიფსისი ნებისმიერი სახის გამოხატვა.მარტივი, სუპერ რთული, რაც არ უნდა იყოს. Სულ ერთია. მთავარია, რომ ლოგარითმების აღმოფხვრის შემდეგ დაგვრჩენია უფრო მარტივი განტოლება.რა თქმა უნდა, ვარაუდობენ, რომ თქვენ უკვე იცით როგორ ამოხსნათ წრფივი, კვადრატული, წილადი, ექსპონენციალური და სხვა განტოლებები ლოგარითმების გარეშე.)

ახლა თქვენ შეგიძლიათ მარტივად ამოხსნათ მეორე მაგალითი:

ჟურნალი 7 (2x-3) = ჟურნალი 7 x

სინამდვილეში, ეს გონებაშია. ჩვენ ვაძლიერებთ, ვიღებთ:

ისე, ძალიან რთულია?) როგორც ხედავთ, ლოგარითმულიგანტოლების ამოხსნის ნაწილია მხოლოდ ლოგარითმების აღმოფხვრაში...და შემდეგ მოდის დარჩენილი განტოლების ამოხსნა უკვე მათ გარეშე. ნარჩენების ბიზნესი.

ჩვენ ვხსნით მესამე მაგალითს:

ჟურნალი 7 (50x-1) = 2

ჩვენ ვხედავთ, რომ ლოგარითმი არის მარცხნივ:

შეგახსენებთ, რომ ეს ლოგარითმი არის რაღაც რიცხვი, რომელზეც ფუძე (ე.ი. შვიდი) უნდა გაიზარდოს, რათა მივიღოთ სუბლოგარითმული გამოხატულება, ე.ი. (50x-1).

მაგრამ ეს რიცხვი ორია! განტოლების მიხედვით. ანუ:

ეს, არსებითად, არის ყველაფერი. ლოგარითმი გაუჩინარდაუვნებელი განტოლება რჩება:

ეს ლოგარითმული განტოლება ჩვენ მოვაგვარეთ მხოლოდ ლოგარითმის მნიშვნელობიდან გამომდინარე. უფრო ადვილია ლოგარითმების აღმოფხვრა?) გეთანხმები. სხვათა შორის, თუ ლოგარითმს გააკეთებთ ორიდან, ამ მაგალითის ამოხსნა შეგიძლიათ ლიკვიდაციის გზით. თქვენ შეგიძლიათ აიღოთ ლოგარითმი ნებისმიერი რიცხვიდან. და ზუსტად ისე, როგორც ჩვენ გვჭირდება. ძალიან სასარგებლო ტექნიკა ლოგარითმული განტოლებების და (განსაკუთრებით!) უტოლობების ამოხსნისას.

იცით როგორ გააკეთოთ ლოგარითმი რიცხვიდან !? Ყველაფერი კარგადაა. სექცია 555 დეტალურად აღწერს ამ ტექნიკას. თქვენ შეგიძლიათ დაეუფლოთ და გამოიყენოთ იგი სრულად! ეს მნიშვნელოვნად ამცირებს შეცდომების რაოდენობას.

მეოთხე განტოლება ამოხსნილია ზუსტად ისე (განმარტებით):

სულ ეს არის.

მოდით შევაჯამოთ ეს გაკვეთილი. ჩვენ განვიხილეთ უმარტივესი ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნა მაგალითების გამოყენებით. Ეს ძალიან მნიშვნელოვანია. და არა მხოლოდ იმიტომ, რომ ასეთი განტოლებები არის საკონტროლო გამოცდებზე. ფაქტია, რომ ყველაზე ბოროტი და დაბნეული განტოლებებიც კი აუცილებლად დაყვანილია უმარტივესებამდე!

სინამდვილეში, უმარტივესი განტოლებები არის ამოხსნის ბოლო ნაწილი ნებისმიერიგანტოლებები. და ეს დამთავრებული ნაწილი ირონიულად უნდა გავიგოთ! და შემდგომ. აუცილებლად წაიკითხეთ ეს გვერდი ბოლომდე. არის სიურპრიზი...

ჩვენ თვითონ გადავწყვიტოთ. ჩვენ ვავსებთ ხელს, ასე ვთქვათ ...)

იპოვეთ განტოლებების ფესვი (ან ფესვების ჯამი, თუ რამდენიმეა):

ln(7x+2) = ln(5x+20)

ჟურნალი 2 (x 2 +32) = ჟურნალი 2 (12x)

ჟურნალი 16 (0.5x-1.5) = 0.25

ჟურნალი 0.2 (3x-1) = -3

ln (e 2 + 2x-3) \u003d 2

ჟურნალი 2 (14x) = ჟურნალი 2 7 + 2

პასუხები (რა თქმა უნდა არეულობაში): 42; 12; ცხრა; 25; 7; 1.5; 2; თექვსმეტი.

რა არ გამოდის? Ხდება ხოლმე. ნუ დარდობ! 555-ე ნაწილში, ყველა ამ მაგალითის გადაწყვეტა აღწერილია ნათლად და დეტალურად. იქ აუცილებლად გაიგებთ. გარდა ამისა, თქვენ შეისწავლით სასარგებლო პრაქტიკულ ტექნიკას.

ყველაფერი გამოვიდა!? ყველა მაგალითი "ერთი დარჩა"?) გილოცავ!

დროა გაგიმხილოთ მწარე სიმართლე. ამ მაგალითების წარმატებული გადაწყვეტა საერთოდ არ იძლევა წარმატების გარანტიას ყველა სხვა ლოგარითმული განტოლების ამოხსნაში. თუნდაც ასეთი უბრალოები. ვაი.

საქმე იმაშია, რომ ნებისმიერი ლოგარითმული განტოლების ამონახსნი (თუნდაც ყველაზე ელემენტარული!) შედგება ორი თანაბარი ნაწილი.განტოლების ამოხსნა და მუშაობა ODZ-თან. ერთი ნაწილი - თავად განტოლების ამოხსნა - ჩვენ ავითვისეთ. არც ისე რთულიაუფლება?

ამ გაკვეთილისთვის მე სპეციალურად შევარჩიე ისეთი მაგალითები, რომლებშიც ODZ არანაირად არ მოქმედებს პასუხზე. მაგრამ ყველა ჩემნაირი კეთილი არ არის, არა?...)

ამიტომ აუცილებელია მეორე ნაწილის ათვისებაც. ოძ. ეს არის მთავარი პრობლემა ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნისას. და არა იმიტომ, რომ რთულია - ეს ნაწილი უფრო ადვილია, ვიდრე პირველი. მაგრამ იმიტომ, რომ მათ უბრალოდ ავიწყდებათ ODZ. ან არ იციან. Ან ორივე). და ცვენენ...

შემდეგ გაკვეთილზე ამ პრობლემას შევეხებით. მაშინ შესაძლებელი იქნება თავდაჯერებულად გადაწყვეტილების მიღება ნებისმიერიმარტივი ლოგარითმული განტოლებები და მიუახლოვდით საკმაოდ მყარ ამოცანებს.

თუ მოგწონთ ეს საიტი...

სხვათა შორის, მე მაქვს კიდევ რამდენიმე საინტერესო საიტი თქვენთვის.)

შეგიძლიათ ივარჯიშოთ მაგალითების ამოხსნაში და გაიგოთ თქვენი დონე. ტესტირება მყისიერი გადამოწმებით. სწავლა - ინტერესით!)

შეგიძლიათ გაეცნოთ ფუნქციებს და წარმოებულებს.

ბევრი სტუდენტი ჩერდება ამ ტიპის განტოლებებზე. ამავდროულად, თავად ამოცანები არავითარ შემთხვევაში არ არის რთული - საკმარისია მხოლოდ კომპეტენტური ცვლადის ჩანაცვლება, რისთვისაც უნდა ისწავლოთ სტაბილური გამონათქვამების იზოლირება.

ამ გაკვეთილის გარდა, თქვენ იპოვით საკმაოდ მოცულობით დამოუკიდებელ ნამუშევარს, რომელიც შედგება ორი ვარიანტისგან, თითოეული 6 დავალებით.

დაჯგუფების მეთოდი

დღეს ჩვენ გავაანალიზებთ ორ ლოგარითმულ განტოლებას, რომელთაგან ერთი ვერ ამოიხსნება „მთლიანად“ და საჭიროებს სპეციალურ გარდაქმნებს, ხოლო მეორე... თუმცა ყველაფერს ერთდროულად არ გეტყვით. უყურეთ ვიდეოს, ჩამოტვირთეთ დამოუკიდებელი სამუშაო - და ისწავლეთ რთული პრობლემების გადაჭრა.

ასე რომ, საერთო ფაქტორების დაჯგუფება და ფრჩხილიდან ამოღება. გარდა ამისა, მე გეტყვით, თუ რა ხარვეზებს ატარებს ლოგარითმების განსაზღვრის დომენი და რამდენად შეუძლია მცირე შენიშვნებმა დეფინიციების დომენზე მნიშვნელოვნად შეცვალოს როგორც ფესვები, ასევე მთლიანი ამოხსნა.

დავიწყოთ დაჯგუფებით. ჩვენ უნდა გადავწყვიტოთ შემდეგი ლოგარითმული განტოლება:

log 2 x log 2 (x − 3) + 1 = log 2 (x 2 − 3x )

უპირველეს ყოვლისა, ჩვენ აღვნიშნავთ, რომ x 2 − 3x შეიძლება იყოს ფაქტორიზირებული:

ჟურნალი 2 x (x − 3)

შემდეგ ჩვენ გვახსოვს შესანიშნავი ფორმულა:

log a fg = log a f + log a g

დაუყოვნებლივ მცირე შენიშვნა: ეს ფორმულა კარგად მუშაობს, როდესაც a, f და g ჩვეულებრივი რიცხვებია. მაგრამ როდესაც მათ ნაცვლად არის ფუნქციები, ეს გამონათქვამები წყვეტს თანაბარ უფლებას. წარმოიდგინეთ ეს ჰიპოთეტური სიტუაცია:

ვ< 0; g < 0

ამ შემთხვევაში, ნამრავლი fg იქნება დადებითი, შესაბამისად, log a ( fg ) იარსებებს, მაგრამ log a f და log a g ცალ-ცალკე არ იარსებებს და ჩვენ ვერ შევძლებთ ასეთ ტრანსფორმაციას.

ამ ფაქტის იგნორირება გამოიწვევს განსაზღვრების სფეროს შევიწროებას და, შედეგად, ფესვების დაკარგვას. ამიტომ, ასეთი ტრანსფორმაციის განხორციელებამდე აუცილებელია წინასწარ დავრწმუნდეთ, რომ f და g ფუნქციები დადებითია.

ჩვენს შემთხვევაში ყველაფერი მარტივია. ვინაიდან თავდაპირველ განტოლებაში არის ფუნქცია log 2 x, მაშინ x > 0 (ბოლოს და ბოლოს, ცვლადი x არის არგუმენტში). ასევე არის ჟურნალი 2 (x − 3), ამიტომ x − 3 > 0.

მაშასადამე, ფუნქციის ჟურნალში 2 x (x − 3) თითოეული ფაქტორი ნულზე მეტი იქნება. ამრიგად, ჩვენ შეგვიძლია უსაფრთხოდ დავშალოთ პროდუქტი ჯამში:

log 2 x log 2 (x − 3) + 1 = log 2 x + log 2 (x − 3)

log 2 x log 2 (x − 3) + 1 − log 2 x − log 2 (x − 3) = 0

ერთი შეხედვით შეიძლება ჩანდეს, რომ ეს უფრო ადვილი არ არის. პირიქით: ვადების რაოდენობა მხოლოდ გაიზარდა! იმის გასაგებად, თუ როგორ გავაგრძელოთ შემდგომი გაგრძელება, ჩვენ შემოგთავაზებთ ახალ ცვლადებს:

ჟურნალი 2 x = a

ჟურნალი 2 (x − 3) = ბ

a b + 1 − a − b = 0

ახლა კი მესამე ტერმინს ვაჯგუფებთ პირველთან:

(a b - a) + (1 - b) = 0

a (1 ბ - 1) + (1 - ბ) = 0

გაითვალისწინეთ, რომ ორივე პირველი და მეორე ფრჩხილები შეიცავს b − 1-ს (მეორე შემთხვევაში მოგიწევთ ფრჩხილიდან „მინუსის“ ამოღება). მოდით გავამრავლოთ ჩვენი კონსტრუქცია:

a (1 b − 1) − (b − 1) = 0

(b − 1) (a 1 − 1) = 0

ახლა კი გავიხსენებთ ჩვენს მშვენიერ წესს: ნამრავლი ნულის ტოლია, როდესაც ერთ-ერთი ფაქტორი მაინც ნულის ტოლია:

b − 1 = 0 ⇒ b = 1;

a − 1 = 0 ⇒ a = 1.

გავიხსენოთ რა არის b და a. ჩვენ ვიღებთ ორ მარტივ ლოგარითმულ განტოლებას, რომელშიც რჩება მხოლოდ ლოგის ნიშნების მოშორება და არგუმენტების გათანაბრება:

ჟურნალი 2 x = 1 ⇒ ჟურნალი 2 x = ჟურნალი 2 2 ⇒ x 1 =2;

ჟურნალი 2 (x − 3) = 1 ⇒ ჟურნალი 2 (x − 3) = ჟურნალი 2 2 ⇒ x 2 = 5

ჩვენ მივიღეთ ორი ფესვი, მაგრამ ეს არ არის ორიგინალური ლოგარითმული განტოლების ამოხსნა, არამედ მხოლოდ პასუხის კანდიდატები. ახლა მოდით შევამოწმოთ დომენი. პირველი არგუმენტისთვის:

x > 0

ორივე ფესვი აკმაყოფილებს პირველ მოთხოვნას. გადავიდეთ მეორე არგუმენტზე:

x − 3 > 0 ⇒ x > 3

მაგრამ აქ უკვე x = 2 არ გვაკმაყოფილებს, მაგრამ x = 5 საკმაოდ კარგად გვერგება. აქედან გამომდინარე, ერთადერთი პასუხია x = 5.

გადავდივართ მეორე ლოგარითმულ განტოლებაზე. ერთი შეხედვით, ეს ბევრად უფრო მარტივია. თუმცა მისი გადაჭრის პროცესში განვიხილავთ დახვეწილ პუნქტებს, რომლებიც დაკავშირებულია განმარტების სფეროსთან, რომელთა იგნორირება საგრძნობლად ართულებს დამწყები სტუდენტების ცხოვრებას.

log 0.7 (x 2 - 6x + 2) = log 0.7 (7 - 2x)

ჩვენს წინაშეა ლოგარითმული განტოლების კანონიკური ფორმა. არაფრის გადაკეთება არ გჭირდებათ - ბაზებიც კი იგივეა. ამიტომ, ჩვენ უბრალოდ ვაიგივებთ არგუმენტებს:

x 2 - 6x + 2 = 7 - 2x

x 2 - 6x + 2 - 7 + 2x = 0

x 2 - 4x - 5 = 0

ჩვენს წინაშე არის მოცემული კვადრატული განტოლება, ის ადვილად წყდება ვიეტას ფორმულების გამოყენებით:

(x − 5) (x + 1) = 0;

x − 5 = 0 ⇒ x = 5;

x + 1 = 0 ⇒ x = −1.

მაგრამ ეს ფესვები ჯერ არ არის საბოლოო პასუხები. აუცილებელია ვიპოვოთ განსაზღვრების დომენი, ვინაიდან თავდაპირველ განტოლებაში ორი ლოგარითმია, ე.ი. მკაცრად აუცილებელია განმარტების სფეროს გათვალისწინება.

მოდით, ჩამოვწეროთ განმარტების დომენი. ერთის მხრივ, პირველი ლოგარითმის არგუმენტი უნდა იყოს ნულზე მეტი:

x 2 − 6x + 2 > 0

მეორე მხრივ, მეორე არგუმენტი ასევე უნდა იყოს ნულზე მეტი:

7 − 2x > 0

ეს მოთხოვნები ერთდროულად უნდა დაკმაყოფილდეს. და აქ იწყება ყველაზე საინტერესო. რა თქმა უნდა, ჩვენ შეგვიძლია გადავჭრათ თითოეული ეს უტოლობა, შემდეგ გადავკვეთოთ ისინი და ვიპოვოთ მთელი განტოლების დომენი. მაგრამ რატომ ართულებთ საკუთარ თავს ცხოვრებას?

შევამჩნიოთ ერთი დახვეწილობა. ჟურნალის ნიშნებისგან თავის დაღწევის შემდეგ, ჩვენ ვაიგივებთ არგუმენტებს. ეს გულისხმობს, რომ მოთხოვნები x 2 − 6x + 2 > 0 და 7 − 2x > 0 ექვივალენტურია. შედეგად, ორი უტოლობიდან რომელიმე შეიძლება გადაიკვეთოს. მოდით გადავკვეთოთ ყველაზე რთული და დავტოვოთ ჩვეულებრივი წრფივი უთანასწორობა:

-2x > -7

x< 3,5

ვინაიდან ორივე მხარეს ვყოფდით უარყოფით რიცხვზე, უტოლობის ნიშანი შეიცვალა.

ასე რომ, ჩვენ ვიპოვეთ ODZ ყოველგვარი კვადრატული უტოლობების, დისკრიმინანტებისა და გადაკვეთების გარეშე. ახლა რჩება მხოლოდ ფესვების არჩევა, რომლებიც დევს ამ ინტერვალზე. ცხადია, მხოლოდ x = −1 მოგვწონს, რადგან x = 5 > 3.5.

თქვენ შეგიძლიათ ჩაწეროთ პასუხი: x = 1 არის ორიგინალური ლოგარითმული განტოლების ერთადერთი გამოსავალი.

ამ ლოგარითმული განტოლებიდან მიღებული დასკვნები შემდეგია:

1. ნუ შეგეშინდებათ ლოგარითმების გაანგარიშება და შემდეგ ლოგარითმების ჯამის გაანგარიშება. თუმცა, გახსოვდეთ, რომ პროდუქტის ორი ლოგარითმის ჯამად დაშლით, თქვენ ამით ავიწროებთ განმარტების დომენს. ამიტომ, სანამ განახორციელებთ ასეთ კონვერტაციას, დარწმუნდით, რომ შეამოწმეთ რა მოთხოვნები აქვს საზღვრებს. ყველაზე ხშირად, არანაირი პრობლემა არ წარმოიქმნება, მაგრამ არ არის ზიანს, რომ კიდევ ერთხელ ითამაშო უსაფრთხოდ.
2. კანონიკური ფორმისგან თავის დაღწევისას შეეცადეთ გამოთვლების ოპტიმიზაცია მოახდინოთ. კერძოდ, თუ ჩვენ გვჭირდება, რომ f > 0 და g > 0, მაგრამ თავად განტოლებაში f = g , მაშინ თამამად გადავკვეთთ ერთ-ერთ უტოლობას და ჩვენთვის მხოლოდ უმარტივესს დავტოვებთ. ამ შემთხვევაში განმარტებისა და პასუხების სფერო არანაირად არ დაზარალდება, მაგრამ გამოთვლების რაოდენობა საგრძნობლად შემცირდება.

ეს, ფაქტობრივად, არის ყველაფერი, რისი თქმაც მინდოდა დაჯგუფების შესახებ. :)

ტიპიური შეცდომები ამოხსნაში

დღეს ჩვენ გავაანალიზებთ ორ ტიპურ ლოგარითმულ განტოლებას, რომელსაც ბევრი სტუდენტი აწუხებს. ამ განტოლებების მაგალითზე დავინახავთ, თუ რა შეცდომებს უშვებენ ყველაზე ხშირად ორიგინალური გამონათქვამების ამოხსნისა და გარდაქმნის პროცესში.

წილად-რაციონალური განტოლებები ლოგარითმებით

დაუყოვნებლივ უნდა აღინიშნოს, რომ ეს არის საკმაოდ მზაკვრული ტიპის განტოლება, რომელშიც ლოგარითმის მქონე წილადი სადღაც მნიშვნელში ყოველთვის დაუყოვნებლივ არ არის წარმოდგენილი. თუმცა, გარდაქმნების პროცესში, ასეთი ფრაქცია აუცილებლად წარმოიქმნება.

ამავდროულად, ფრთხილად იყავით: გარდაქმნების პროცესში, ლოგარითმების განსაზღვრის საწყისი დომენი შეიძლება მნიშვნელოვნად შეიცვალოს!

ჩვენ მივმართავთ კიდევ უფრო მკაცრ ლოგარითმულ განტოლებებს, რომლებიც შეიცავს წილადებსა და ცვლადი ფუძეებს. იმისთვის, რომ ერთ მოკლე გაკვეთილზე მეტი გავაკეთო, ელემენტარულ თეორიას არ გეტყვით. მოდით გადავიდეთ პირდაპირ დავალებებზე:

4 log 25 (x − 1) − log 3 27 + 2 log x − 1 5 = 1

ამ განტოლების შემხედვარე ვინმე იკითხავს: „რა შუაშია წილადი რაციონალური განტოლება? სად არის წილადი ამ განტოლებაში? ნუ ვიჩქარებთ და უფრო ახლოს მივხედოთ თითოეულ ტერმინს.

პირველი წევრი: 4 log 25 (x − 1). ლოგარითმის საფუძველი არის რიცხვი, მაგრამ არგუმენტი არის x-ის ფუნქცია. ამაზე ჯერ ვერაფერს ვიზამთ. Გაინძერი.

შემდეგი ტერმინია log 3 27. გავიხსენოთ, რომ 27 = 3 3 . ამრიგად, ჩვენ შეგვიძლია გადავწეროთ მთელი ლოგარითმი შემდეგნაირად:

ჟურნალი 3 27 = 3 3 = 3

ასე რომ, მეორე ტერმინი არის მხოლოდ სამი. მესამე წევრი: 2 log x − 1 5. არც აქ არის ყველაფერი მარტივი: ფუძე ფუნქციაა, არგუმენტი ჩვეულებრივი რიცხვია. მე ვთავაზობ მთელი ლოგარითმის გადატრიალებას შემდეგი ფორმულის მიხედვით:

log a b = 1/log b a

ასეთი გარდაქმნა შეიძლება შესრულდეს მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ b ≠ 1. წინააღმდეგ შემთხვევაში, ლოგარითმი, რომელიც მიიღება მეორე წილადის მნიშვნელში, უბრალოდ არ იარსებებს. ჩვენს შემთხვევაში, b = 5, ასე რომ ყველაფერი კარგადაა:

2 log x − 1 5 = 2/log 5 (x − 1)

გადავიწეროთ საწყისი განტოლება მიღებული გარდაქმნების გათვალისწინებით:

4 log 25 (x − 1) − 3 + 2/ log 5 (x − 1) = 1

წილადის მნიშვნელში გვაქვს log 5 (x − 1), ხოლო პირველ წევრში log 25 (x − 1). მაგრამ 25 \u003d 5 2, ასე რომ, ჩვენ ამოვიღებთ კვადრატს ლოგარითმის ფუძიდან წესის მიხედვით:

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ლოგარითმის ფუძეზე მაჩვენებელი ხდება წილადი წინა მხარეს. და გამოთქმა გადაიწერება ასე:

4 1/2 log 5 (x − 1) − 3 + 2/ log 5 (x − 1) − 1 = 0

ჩვენ დავასრულეთ გრძელი განტოლება იდენტური ლოგარითმების წყობით. შემოვიტანოთ ახალი ცვლადი:

ჟურნალი 5 (x − 1) = t;

2t − 4 + 2/t = 0;

მაგრამ ეს უკვე წილადი-რაციონალური განტოლებაა, რომელიც წყდება 8-9 კლასების ალგებრის საშუალებით. პირველ რიგში, მოდით დავყოთ ორად:

t − 2 + 1/t = 0;

(t 2 − 2t + 1)/t = 0

ზუსტი კვადრატი ფრჩხილებშია. მოდით გავაბრტყელოთ:

(t − 1) 2 /t = 0

წილადი არის ნული, როცა მისი მრიცხველი არის ნული, ხოლო მნიშვნელი არ არის ნული. არასოდეს დაივიწყოთ ეს ფაქტი:

(t − 1) 2 = 0

t=1

t ≠ 0

გავიხსენოთ რა არის:

ჟურნალი 5 (x − 1) = 1

log 5 (x − 1) = log 5 5

ჩვენ ვიშორებთ ჟურნალის ნიშნებს, ვაიგივებთ მათ არგუმენტებს და მივიღებთ:

x − 1 = 5 ⇒ x = 6

ყველა. პრობლემა მოგვარებულია. მაგრამ მოდით დავუბრუნდეთ თავდაპირველ განტოლებას და გავიხსენოთ, რომ არსებობდა ორი ლოგარითმი x ცვლადით ერთდროულად. ამიტომ, თქვენ უნდა ჩამოწეროთ განმარტების დომენი. ვინაიდან x − 1 არის ლოგარითმის არგუმენტში, ეს გამოხატულება უნდა იყოს ნულზე მეტი:

x − 1 > 0

მეორეს მხრივ, იგივე x − 1 ასევე არის ბაზაში, ამიტომ ის უნდა განსხვავდებოდეს ერთისგან:

x − 1 ≠ 1

აქედან ვასკვნით:

x > 1; x ≠ 2

ეს მოთხოვნები ერთდროულად უნდა დაკმაყოფილდეს. მნიშვნელობა x = 6 აკმაყოფილებს ორივე მოთხოვნას, ამიტომ x = 6 არის ლოგარითმული განტოლების საბოლოო ამოხსნა.

გადავიდეთ მეორე დავალებაზე:

კიდევ ერთხელ, ნუ ვიჩქარებთ და გადავხედოთ თითოეულ ტერმინს:

ჟურნალი 4 (x + 1) - ბაზაზე არის ოთხი. ჩვეულებრივი ნომერი, და თქვენ არ შეგიძლიათ შეეხოთ მას. მაგრამ ბოლო დროს ჩვენ წავაწყდით ზუსტ კვადრატს ძირში, რომელიც უნდა ამოეღო ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ. ახლაც იგივე გავაკეთოთ:

ჟურნალი 4 (x + 1) = 1/2 ჟურნალი 2 (x + 1)

ხრიკი იმაშია, რომ ჩვენ უკვე გვაქვს ლოგარითმი x ცვლადით, თუმცა ბაზაში - ეს არის ლოგარითმის ინვერსია, რომელიც ახლახან ვიპოვეთ:

8 log x + 1 2 = 8 (1/log 2 (x + 1)) = 8/log 2 (x + 1)

შემდეგი წევრია log 2 8. ეს არის მუდმივი, რადგან არგუმენტიც და ბაზაც ჩვეულებრივი რიცხვებია. მოდი ვიპოვოთ ღირებულება:

ჟურნალი 2 8 = ჟურნალი 2 2 3 = 3

იგივე შეგვიძლია გავაკეთოთ ბოლო ლოგარითმით:

ახლა გადავიწეროთ ორიგინალური განტოლება:

1/2 log 2 (x + 1) + 8/log 2 (x + 1) − 3 − 1 = 0;

ჟურნალი 2 (x + 1)/2 + 8/ლოგი 2 (x + 1) - 4 = 0

მოდით მივიყვანოთ ყველაფერი საერთო მნიშვნელთან:

ჩვენს წინაშე ისევ წილადი-რაციონალური განტოლებაა. შემოვიტანოთ ახალი ცვლადი:

t = ჟურნალი 2 (x + 1)

მოდით გადავწეროთ განტოლება ახალი ცვლადის გათვალისწინებით:

ფრთხილად იყავით: ამ ეტაპზე მე გავცვალე პირობები. წილადის მრიცხველი არის სხვაობის კვადრატი:

წინა ჯერის მსგავსად, წილადი არის ნული, როდესაც მისი მრიცხველი არის ნული, ხოლო მნიშვნელი არ არის ნული:

(t − 4) 2 = 0 ⇒ t = 4;

t ≠ 0

ჩვენ მივიღეთ ერთი ფესვი, რომელიც აკმაყოფილებს ყველა მოთხოვნას, ამიტომ ვუბრუნდებით x ცვლადს:

ჟურნალი 2 (x + 1) = 4;

ჟურნალი 2 (x + 1) = ჟურნალი 2 2 4;

x + 1 = 16;

x=15

ესე იგი, ჩვენ გადავწყვიტეთ განტოლება. მაგრამ რადგან თავდაპირველ განტოლებაში რამდენიმე ლოგარითმი იყო, აუცილებელია განმარტების დომენის ამოწერა.

ასე რომ, გამოხატულება x + 1 არის ლოგარითმის არგუმენტში. მაშასადამე, x + 1 > 0. მეორე მხრივ, x + 1 ასევე იმყოფება ფუძეში, ე.ი. x + 1 ≠ 1. სულ:

0 ≠ x > −1

აკმაყოფილებს თუ არა ნაპოვნი ფესვი ამ მოთხოვნებს? უეჭველად. აქედან გამომდინარე, x = 15 არის საწყისი ლოგარითმული განტოლების ამონახსნი.

ბოლოს მინდა ვთქვა შემდეგი: თუ დააკვირდებით განტოლებას და მიხვდებით, რომ რაღაც რთული და არასტანდარტული უნდა ამოხსნათ, შეეცადეთ გამოყოთ სტაბილური სტრუქტურები, რომლებიც მოგვიანებით სხვა ცვლადით აღინიშნა. თუ ზოგიერთი ტერმინი საერთოდ არ შეიცავს x ცვლადს, ხშირად მათი უბრალოდ გამოთვლა შეიძლება.

სულ ამაზე მინდოდა მესაუბრა დღეს. ვიმედოვნებ, რომ ეს გაკვეთილი დაგეხმარებათ რთული ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნაში. უყურეთ სხვა ვიდეო გაკვეთილებს, ჩამოტვირთეთ და მოაგვარეთ დამოუკიდებელი სამუშაოები და გნახავთ შემდეგ ვიდეოში!

ამ გაკვეთილზე ჩვენ გავიმეორებთ ძირითად თეორიულ ფაქტებს ლოგარითმების შესახებ და განვიხილავთ უმარტივესი ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნას.

გავიხსენოთ ცენტრალური განმარტება - ლოგარითმის განმარტება. იგი დაკავშირებულია ექსპონენციალური განტოლების ამოხსნასთან. ამ განტოლებას აქვს ერთი ფესვი, მას ეწოდება b-ის ლოგარითმი a ფუძემდე:

განმარტება:

b რიცხვის ლოგარითმი a ფუძემდე არის ის მაჩვენებელი, რომელზედაც უნდა გაიზარდოს a ფუძე, რომ მივიღოთ b რიცხვი.

გავიხსენოთ ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა.

გამოთქმა (გამოთქმა 1) არის განტოლების ფესვი (გამოხატვა 2). ჩვენ ვცვლით x-ის მნიშვნელობას 1 გამოსახულებიდან x-ის ნაცვლად გამოსახულებაში 2 და მივიღებთ ძირითად ლოგარითმულ იდენტობას:

ასე რომ, ჩვენ ვხედავთ, რომ თითოეულ მნიშვნელობას ენიჭება მნიშვნელობა. ჩვენ აღვნიშნავთ b-ს x-ზე (), c-ს y-ზე და ამგვარად ვიღებთ ლოგარითმული ფუნქციას:

Მაგალითად:

გაიხსენეთ ლოგარითმული ფუნქციის ძირითადი თვისებები.

აქ კიდევ ერთხელ მივაქციოთ ყურადღება, რადგან ლოგარითმის ქვეშ შეიძლება იყოს მკაცრად დადებითი გამოხატულება, როგორც ლოგარითმის საფუძველი.

ბრინჯი. 1. ლოგარითმული ფუნქციის გრაფიკი სხვადასხვა ფუძისთვის

ფუნქციის გრაფიკი ნაჩვენებია შავ ფერში. ბრინჯი. 1. თუ არგუმენტი გაიზრდება ნულიდან უსასრულობამდე, ფუნქცია იზრდება მინუსიდან პლუს უსასრულობამდე.

ფუნქციის გრაფიკი ნაჩვენებია წითლად. ბრინჯი. ერთი.

ამ ფუნქციის თვისებები:

დომენი: ;

მნიშვნელობების დიაპაზონი: ;

ფუნქცია მონოტონურია მისი განმარტების მთელ სფეროში. როდესაც მონოტონურად (მკაცრად) იზრდება, არგუმენტის უფრო დიდი მნიშვნელობა შეესაბამება ფუნქციის უფრო დიდ მნიშვნელობას. როდესაც მონოტონურად (მკაცრად) მცირდება, არგუმენტის უფრო დიდი მნიშვნელობა შეესაბამება ფუნქციის მცირე მნიშვნელობას.

ლოგარითმული ფუნქციის თვისებები არის სხვადასხვა ლოგარითმული განტოლების ამოხსნის გასაღები.

განვიხილოთ უმარტივესი ლოგარითმული განტოლება; ყველა სხვა ლოგარითმული განტოლება, როგორც წესი, მცირდება ამ ფორმამდე.

ვინაიდან ლოგარითმების საფუძვლები და თავად ლოგარითმები ტოლია, ლოგარითმის ქვეშ მყოფი ფუნქციებიც ტოლია, მაგრამ ჩვენ არ უნდა დავკარგოთ განსაზღვრების დომენი. მხოლოდ დადებითი რიცხვი შეიძლება დადგეს ლოგარითმის ქვეშ, გვაქვს:

ჩვენ გავარკვიეთ, რომ f და g ფუნქციები ტოლია, ამიტომ საკმარისია რომელიმე ერთი უტოლობის არჩევა ODZ-ის შესასრულებლად.

ამრიგად, მივიღეთ შერეული სისტემა, რომელშიც არის განტოლება და უტოლობა:

უტოლობის ამოხსნა, როგორც წესი, არ არის საჭირო, საკმარისია განტოლების ამოხსნა და ნაპოვნი ფესვების უტოლობაში ჩანაცვლება, ამგვარად შემოწმება.

მოდით ჩამოვაყალიბოთ უმარტივესი ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნის მეთოდი:

ლოგარითმების საფუძვლების გათანაბრება;

სუბლოგარითმული ფუნქციების გათანაბრება;

შეასრულეთ შემოწმება.

განვიხილოთ კონკრეტული მაგალითები.

მაგალითი 1 - ამოხსენით განტოლება:

ლოგარითმების საფუძვლები თავდაპირველად ტოლია;

მაგალითი 2 - ამოხსენით განტოლება:

ეს განტოლება განსხვავდება წინაგან იმით, რომ ლოგარითმების საფუძვლები ერთზე ნაკლებია, მაგრამ ეს არანაირად არ მოქმედებს ამონახსნზე:

ვიპოვოთ ფესვი და ჩავანაცვლოთ უტოლობაში:

მივიღეთ არასწორი უტოლობა, რაც ნიშნავს, რომ ნაპოვნი ფესვი არ აკმაყოფილებს ODZ-ს.

მაგალითი 3 - ამოხსენით განტოლება:

ლოგარითმების საფუძვლები თავდაპირველად ტოლია;

ვიპოვოთ ფესვი და ჩავანაცვლოთ უტოლობაში:

ცხადია, მხოლოდ პირველი ფესვი აკმაყოფილებს ODZ-ს.

ლოგარითმული განტოლებაეწოდება განტოლება, რომელშიც უცნობი (x) და მასთან ერთად გამოსახულებები ლოგარითმული ფუნქციის ნიშნის ქვეშ არიან. ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნა ვარაუდობს, რომ თქვენ უკვე იცნობთ და.
როგორ ამოხსნათ ლოგარითმული განტოლებები?

უმარტივესი განტოლებაა შესვლა a x = b, სადაც a და b ზოგიერთი რიცხვია, x უცნობია.
ლოგარითმული განტოლების ამოხსნაარის x = a b მოწოდებული: a > 0, a 1.

უნდა აღინიშნოს, რომ თუ x არის სადმე ლოგარითმის მიღმა, მაგალითად log 2 x \u003d x-2, მაშინ ასეთ განტოლებას უკვე უწოდებენ შერეულს და მის გადასაჭრელად საჭიროა სპეციალური მიდგომა.

იდეალური შემთხვევაა, როცა წააწყდებით განტოლებას, რომელშიც მხოლოდ რიცხვებია ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ, მაგალითად x + 2 \u003d log 2 2. აქ საკმარისია იცოდეთ ლოგარითმების თვისებები მის ამოსახსნელად. მაგრამ ასეთი იღბალი ხშირად არ ხდება, ამიტომ მოემზადეთ უფრო რთული საქმეებისთვის.

მაგრამ ჯერ, ბოლოს და ბოლოს, დავიწყოთ მარტივი განტოლებებით. მათი გადასაჭრელად, სასურველია გქონდეთ ყველაზე ზოგადი წარმოდგენა ლოგარითმის შესახებ.

მარტივი ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნა

ეს მოიცავს განტოლებებს, როგორიცაა log 2 x \u003d log 2 16. შეუიარაღებელი თვალით ჩანს, რომ ლოგარითმის ნიშნის გამოტოვებით ვიღებთ x \u003d 16.

უფრო რთული ლოგარითმული განტოლების ამოხსნის მიზნით, ჩვეულებრივ მიჰყავთ ჩვეულებრივი ალგებრული განტოლების ამოხსნამდე ან უმარტივესი ლოგარითმული განტოლების ამონახვამდე log a x = b. უმარტივეს განტოლებებში ეს ხდება ერთ მოძრაობაში, რის გამოც მათ უმარტივესებს უწოდებენ.

ლოგარითმების ჩამოშვების ზემოხსენებული მეთოდი ლოგარითმული განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნის ერთ-ერთი მთავარი გზაა. მათემატიკაში ამ ოპერაციას პოტენციაცია ეწოდება. არსებობს გარკვეული წესები ან შეზღუდვები ამ ტიპის ოპერაციებისთვის:

• ლოგარითმებს აქვთ იგივე რიცხვითი საფუძვლები
• განტოლების ორივე ნაწილში ლოგარითმები თავისუფალია, ე.ი. ყოველგვარი კოეფიციენტებისა და სხვა სხვადასხვა სახის გამონათქვამების გარეშე.

ვთქვათ განტოლებაში ჟურნალი 2 x \u003d 2log 2 (1- x), გაძლიერება არ გამოიყენება - კოეფიციენტი 2 მარჯვნივ არ იძლევა. შემდეგ მაგალითში, log 2 x + log 2 (1 - x) = log 2 (1 + x) ერთ-ერთი შეზღუდვა ასევე არ არის დაკმაყოფილებული - მარცხნივ არის ორი ლოგარითმი. ეს იქნება ერთი - სრულიად განსხვავებული საკითხი!

ზოგადად, თქვენ შეგიძლიათ წაშალოთ ლოგარითმები მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ განტოლებას აქვს ფორმა:

ჟურნალი ა (...) = ჟურნალი ა (...)

აბსოლუტურად ნებისმიერი გამონათქვამი შეიძლება იყოს ფრჩხილებში, ეს აბსოლუტურად არ იმოქმედებს გაძლიერების ოპერაციაზე. ლოგარითმების აღმოფხვრის შემდეგ კი დარჩება უფრო მარტივი განტოლება - წრფივი, კვადრატული, ექსპონენციალური და ა.შ., რომლის ამოხსნაც თქვენ უკვე იცით.

ავიღოთ კიდევ ერთი მაგალითი:

ჟურნალი 3 (2x-5) = ჟურნალი 3 x

გაძლიერების გამოყენებისას ვიღებთ:

ჟურნალი 3 (2x-1) = 2

ლოგარითმის განმარტებიდან გამომდინარე, კერძოდ, რომ ლოგარითმი არის რიცხვი, რომელზედაც ფუძე უნდა გაიზარდოს, რათა მივიღოთ გამონათქვამი, რომელიც იმყოფება ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ, ე.ი. (4x-1), ვიღებთ:

ისევ კარგი პასუხი მივიღეთ. აქ ჩვენ გავაკეთეთ ლოგარითმების აღმოფხვრის გარეშე, მაგრამ პოტენციაცია აქაც გამოიყენება, რადგან ლოგარითმი შეიძლება გაკეთდეს ნებისმიერი რიცხვიდან და ზუსტად ის, რაც ჩვენ გვჭირდება. ეს მეთოდი ძალიან სასარგებლოა ლოგარითმული განტოლებების და განსაკუთრებით უტოლობების ამოხსნაში.

მოდით გადავჭრათ ჩვენი ლოგარითმული განტოლება log 3 (2x-1) = 2 პოტენციაციის გამოყენებით:

წარმოვიდგინოთ რიცხვი 2 ლოგარითმის სახით, მაგალითად, ასეთი ჟურნალი 3 9, რადგან 3 2 =9.

შემდეგ log 3 (2x-1) = log 3 9 და ისევ მივიღებთ იგივე განტოლებას 2x-1 = 9. იმედი მაქვს ყველაფერი ნათელია.

ასე რომ, ჩვენ შევხედეთ, თუ როგორ უნდა ამოხსნათ უმარტივესი ლოგარითმული განტოლებები, რომლებიც რეალურად ძალიან მნიშვნელოვანია, რადგან ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნა, თუნდაც ყველაზე საშინელი და უკუღმართები, ბოლოს ყოველთვის უმარტივესი განტოლებების ამოხსნაზე მოდის.

ყველაფერში, რაც ზემოთ გავაკეთეთ, მხედველობიდან გამოგვრჩა ერთი ძალიან მნიშვნელოვანი წერტილი, რომელიც გადამწყვეტ როლს ითამაშებს მომავალში. ფაქტია, რომ ნებისმიერი ლოგარითმული განტოლების ამოხსნა, თუნდაც ყველაზე ელემენტარული, შედგება ორი ექვივალენტური ნაწილისგან. პირველი არის თავად განტოლების ამოხსნა, მეორე არის მუშაობა დასაშვები მნიშვნელობების ფართობთან (ODV). ეს მხოლოდ პირველი ნაწილია, რომელიც ჩვენ ავითვისეთ. ზემოთ მოყვანილ მაგალითებში ODZ არანაირად არ მოქმედებს პასუხზე, ამიტომ ჩვენ არ განვიხილავთ მას.

ავიღოთ კიდევ ერთი მაგალითი:

ჟურნალი 3 (x 2 -3) = ჟურნალი 3 (2x)

გარეგნულად, ეს განტოლება არაფრით განსხვავდება ელემენტარულისგან, რომელიც ძალიან წარმატებით წყდება. მაგრამ ეს ასე არ არის. არა, რა თქმა უნდა მოვაგვარებთ, მაგრამ დიდი ალბათობით არასწორი იქნება, რადგან მასში არის პატარა ჩასაფრება, რომელშიც მაშინვე ვარდებიან C სტუდენტებიც და წარჩინებული სტუდენტებიც. მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ მას.

დავუშვათ, თქვენ უნდა იპოვოთ განტოლების ფესვი ან ფესვების ჯამი, თუ რამდენიმეა:

ჟურნალი 3 (x 2 -3) = ჟურნალი 3 (2x)

ჩვენ ვიყენებთ გაძლიერებას, აქ ეს დასაშვებია. შედეგად, ჩვენ ვიღებთ ჩვეულებრივ კვადრატულ განტოლებას.

ჩვენ ვპოულობთ განტოლების ფესვებს:

ორი ფესვია.

პასუხი: 3 და -1

ერთი შეხედვით ყველაფერი სწორია. მაგრამ მოდით შევამოწმოთ შედეგი და ჩავანაცვლოთ იგი თავდაპირველ განტოლებაში.

დავიწყოთ x 1 = 3-ით:

ჟურნალი 3 6 = ჟურნალი 3 6

შემოწმება წარმატებით დასრულდა, ახლა რიგი x 2 = -1:

ჟურნალი 3 (-2) = ჟურნალი 3 (-2)

დიახ, გაჩერდი! გარეგნულად ყველაფერი იდეალურადაა. ერთი მომენტი - არ არსებობს ლოგარითმები უარყოფითი რიცხვებიდან! და ეს ნიშნავს, რომ ფესვი x \u003d -1 არ არის შესაფერისი ჩვენი განტოლების ამოსახსნელად. და ამიტომ სწორი პასუხი იქნება 3 და არა 2, როგორც დავწერეთ.

სწორედ აქ ითამაშა ODZ-მა თავისი საბედისწერო როლი, რაც დაგვავიწყდა.

შეგახსენებთ, რომ დასაშვები მნიშვნელობების არეალში მიღებულია x-ის ისეთი მნიშვნელობები, რომლებიც დაშვებულია ან აზრი აქვს ორიგინალურ მაგალითს.

ODZ-ის გარეშე, ნებისმიერი განტოლების ნებისმიერი ამონახსნი, თუნდაც აბსოლუტურად სწორი, გადაიქცევა ლატარიაში - 50/50.

როგორ დავიჭირეთ ერთი შეხედვით ელემენტარული მაგალითის ამოხსნისას? და აი ეს არის გაძლიერების მომენტში. ლოგარითმები გაქრა და მათთან ერთად ყველა შეზღუდვა.

რა უნდა გააკეთოს ასეთ შემთხვევაში? უარს ამბობ ლოგარითმების აღმოფხვრაზე? და მთლიანად უარი თქვას ამ განტოლების ამოხსნაზე?

არა, ჩვენ უბრალოდ, როგორც ნამდვილი გმირები ერთი ცნობილი სიმღერიდან, ვივლით!

სანამ რომელიმე ლოგარითმული განტოლების ამოხსნას გავაგრძელებთ, ჩვენ დავწერთ ODZ-ს. მაგრამ ამის შემდეგ, თქვენ შეგიძლიათ გააკეთოთ ის, რაც თქვენს გულს სურს ჩვენი განტოლებით. პასუხის მიღების შემდეგ, ჩვენ უბრალოდ ვყრით იმ ფესვებს, რომლებიც არ შედის ჩვენს ODZ-ში და ჩავწერთ საბოლოო ვერსიას.

ახლა მოდით გადავწყვიტოთ როგორ დავწეროთ ODZ. ამისათვის ჩვენ ყურადღებით განვიხილავთ თავდაპირველ განტოლებას და ვეძებთ მასში საეჭვო ადგილებს, როგორიცაა x-ზე გაყოფა, ლუწი ხარისხის ფესვი და ა.შ. სანამ განტოლებას არ ამოხსნით, არ ვიცით რისი ტოლია x, მაგრამ დანამდვილებით ვიცით, რომ ასეთი x, რომელიც ჩანაცვლებისას მისცემს გაყოფას 0-ზე ან უარყოფითი რიცხვის კვადრატული ფესვის გამოყვანაზე, არის აშკარად არ არის შესაფერისი პასუხისთვის. ამიტომ, ასეთი x-ები მიუღებელია, დანარჩენი კი წარმოადგენს ODZ-ს.

ისევ გამოვიყენოთ იგივე განტოლება:

ჟურნალი 3 (x 2 -3) = ჟურნალი 3 (2x)

ჟურნალი 3 (x 2 -3) = ჟურნალი 3 (2x)

როგორც ხედავთ, არ არის გაყოფა 0-ზე, არ არის არც კვადრატული ფესვები, მაგრამ არის გამონათქვამები x-ით ლოგარითმის სხეულში. ჩვენ დაუყოვნებლივ გავიხსენებთ, რომ ლოგარითმის შიგნით გამოხატულება ყოველთვის უნდა იყოს > 0. ეს პირობა იწერება ODZ-ის სახით:

იმათ. ჩვენ ჯერ არაფერი მოვაგვარეთ, მაგრამ უკვე ჩავწერეთ სავალდებულო პირობა მთელი სუბლოგირითმული გამოსახულებისთვის. ხვეული სამაგრი ნიშნავს, რომ ეს პირობები ერთდროულად უნდა დაკმაყოფილდეს.

ODZ ჩაწერილია, მაგრამ ასევე აუცილებელია მიღებული უტოლობების სისტემის ამოხსნა, რასაც ჩვენ გავაკეთებთ. ვიღებთ პასუხს x > v3. ახლა ჩვენ ზუსტად ვიცით, რომელი x არ მოგვწონს. და შემდეგ ვიწყებთ თავად ლოგარითმული განტოლების ამოხსნას, რაც ზემოთ გავაკეთეთ.

როდესაც მივიღეთ პასუხები x 1 \u003d 3 და x 2 \u003d -1, ადვილი მისახვედრია, რომ მხოლოდ x1 \u003d 3 არის შესაფერისი ჩვენთვის და ჩვენ მას ვწერთ როგორც საბოლოო პასუხს.

სამომავლოდ ძალიან მნიშვნელოვანია გვახსოვდეს შემდეგი: ნებისმიერ ლოგარითმულ განტოლებას ვხსნით 2 ეტაპად. პირველი - ჩვენ ვხსნით განტოლებას, მეორე - ვხსნით ODZ-ის მდგომარეობას. ორივე საფეხური შესრულებულია ერთმანეთისგან დამოუკიდებლად და შედარება ხდება მხოლოდ პასუხის წერისას, ე.ი. ჩვენ ვხსნით ყველა არასაჭირს და ვწერთ სწორ პასუხს.

მასალის კონსოლიდაციისთვის, ჩვენ გირჩევთ უყუროთ ვიდეოს:

ვიდეოში ლოგის ამოხსნის სხვა მაგალითები. განტოლებები და პრაქტიკაში ინტერვალების მეთოდის შემუშავება.

ამ თემაზე, როგორ ამოხსნათ ლოგარითმული განტოლებებისანამ ყველაფერი. თუ რამე ლოგის გადაწყვეტილების მიხედვით. განტოლებები დარჩა გაუგებარი ან გაუგებარი, დაწერეთ თქვენი შეკითხვები კომენტარებში.

შენიშვნა: სოციალური განათლების აკადემია (KSUE) მზად არის მიიღოს ახალი სტუდენტები.

მაგალითები:

\(\log_(2)(⁡x) = 32\)
\(\log_3⁡x=\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡((x^2-3))=\log_3⁡((2x))\)
\(\log_(x+1)((x^2+3x-7))=2\)
\(\lg^2⁡((x+1))+10=11 \lg⁡((x+1))\)

როგორ ამოხსნათ ლოგარითმული განტოლებები:

ლოგარითმული განტოლების ამოხსნისას თქვენ უნდა შეეცადოთ გადაიყვანოთ ის ფორმაში \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\), შემდეგ კი გადახვიდეთ \(f( x)=g(x) \).

\(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) \(⇒\) \(f(x)=g(x)\).

მაგალითი:\(\log_2⁡(x-2)=3\)

გადაწყვეტილება: \(\log_2⁡(x-2)=\log_2⁡8\) \(x-2=8\) \(x=10\) გამოცდა:\(10>2\) - შესაფერისია ODZ-სთვის პასუხი:\(x=10\)

ODZ: \(x-2>0\) \(x>2\)

Ძალიან მნიშვნელოვანი!ეს გადასვლა შეიძლება განხორციელდეს მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ:

თქვენ დაწერეთ ორიგინალური განტოლებისთვის და ბოლოს შეამოწმეთ, შედის თუ არა ნაპოვნი DPV-ში. თუ ეს არ გაკეთებულა, შეიძლება გამოჩნდეს დამატებითი ფესვები, რაც ნიშნავს არასწორ გადაწყვეტილებას.

რიცხვი (ან გამოთქმა) იგივეა მარცხნივ და მარჯვნივ;

ლოგარითმები მარცხნივ და მარჯვნივ არის "სუფთა", ანუ არ უნდა იყოს არცერთი, გამრავლება, გაყოფა და ა.შ. - მხოლოდ მარტოხელა ლოგარითმები ტოლობის ნიშნის ორივე მხარეს.

Მაგალითად:

გაითვალისწინეთ, რომ 3 და 4 განტოლებები ადვილად ამოიხსნება ლოგარითმების სასურველი თვისებების გამოყენებით.

მაგალითი . ამოხსენით განტოლება \(2\log_8⁡x=\log_8⁡2.5+\log_8⁡10\)

გადაწყვეტილება :

		დავწეროთ ODZ: \(x>0\).
\(2\log_8⁡x=\log_8⁡2,5+\log_8⁡10\) ODZ: \(x>0\)		მარცხნივ ლოგარითმის წინ არის კოეფიციენტი, მარჯვნივ ლოგარითმების ჯამი. ეს გვაწუხებს. მოდით გადავიტანოთ ორი \(x\) მაჩვენებელზე თვისებით: \(n \log_b(⁡a)=\log_b⁡(a^n)\). ლოგარითმების ჯამს ერთ ლოგარითმად წარმოვადგენთ თვისებით: \(\log_a⁡b+\log_a⁡c=\log_a(⁡bc)\)
\(\log_8⁡(x^2)=\log_8⁡25\)		ჩვენ მივიღეთ განტოლება ფორმაში \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) და ჩავწერეთ ODZ, რაც ნიშნავს, რომ შეგვიძლია გადავიდეთ ფორმაზე \(f (x)=g(x)\ ).
		მოხდა . ვაგვარებთ და ვიღებ ფესვებს.
\(x_1=5\) \(x_2=-5\)		ვამოწმებთ, ჯდება თუ არა ფესვები ODZ-ის ქვეშ. ამისათვის, \(x>0\)-ში \(x\)-ის ნაცვლად ვანაცვლებთ \(5\) და \(-5\). ეს ოპერაცია შეიძლება ჩატარდეს ზეპირად.
\(5>0\), \(-5>0\)		პირველი უტოლობა მართალია, მეორე არა. ასე რომ, \(5\) არის განტოლების ფესვი, მაგრამ \(-5\) არა. ჩვენ ვწერთ პასუხს.

უპასუხე : \(5\)

მაგალითი : ამოხსენით განტოლება \(\log^2_2⁡(x)-3 \log_2(⁡x)+2=0\)

გადაწყვეტილება :

		დავწეროთ ODZ: \(x>0\).
\(\log^2_2⁡(x)-3 \log_2(⁡x)+2=0\) ODZ: \(x>0\)		ტიპიური განტოლება ამოხსნილი . ჩაანაცვლეთ \(\log_2⁡x\) \(t\).
\(t=\log_2⁡x\)
		მიიღო ჩვეულებრივი. ეძებს მის ფესვებს.
\(t_1=2\) \(t_2=1\)		საპირისპირო ჩანაცვლების გაკეთება
\(\log_2(⁡x)=2\) \(\log_2(⁡x)=1\)		ჩვენ გარდაქმნით სწორ ნაწილებს, წარმოვადგენთ მათ ლოგარითმებად: \(2=2 \cdot 1=2 \log_2⁡2=\log_2⁡4\) და \(1=\log_2⁡2\)
\(\log_2(⁡x)=\log_2⁡4\) \(\log_2(⁡x)=\log_2⁡2 \)		ახლა ჩვენი განტოლებებია \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) და შეგვიძლია გადავიდეთ \(f(x)=g(x)\).
\(x_1=4\) \(x_2=2\)		ჩვენ ვამოწმებთ ODZ-ის ფესვების შესაბამისობას. ამისათვის, \(x\)-ის ნაცვლად ვანაცვლებთ \(4\) და \(2\) უტოლობაში \(x>0\).
\(4>0\) \(2>0\)		ორივე უტოლობა მართალია. ასე რომ, ორივე \(4\) და \(2\) არის განტოლების ფესვები.

უპასუხე : \(4\); \(2\).