ჩვენ გავაანალიზებთ განტოლებების ამოხსნის ორ ტიპს:

1. სისტემის ამოხსნა ჩანაცვლების მეთოდით.
2. სისტემის ამოხსნა სისტემის განტოლებათა თანმიმდევრობით შეკრებით (გამოკლებით).

განტოლებათა სისტემის ამოხსნის მიზნით ჩანაცვლების მეთოდითქვენ უნდა შეასრულოთ მარტივი ალგორითმი:
1. გამოვხატავთ. ნებისმიერი განტოლებიდან ჩვენ გამოვხატავთ ერთ ცვლადს.
2. შემცვლელი. გამოხატული ცვლადის ნაცვლად სხვა განტოლებაში ვცვლით მიღებულ მნიშვნელობას.
3. მიღებულ განტოლებას ვხსნით ერთი ცვლადით. ჩვენ ვპოულობთ სისტემის გამოსავალს.

Მოგვარება სისტემა ტერმინით შეკრებით (გამოკლებით)საჭიროა:
1. აირჩიეთ ცვლადი, რომლისთვისაც იგივე კოეფიციენტებს გავაკეთებთ.
2. ვამატებთ ან ვაკლებთ განტოლებებს, შედეგად ვიღებთ განტოლებას ერთი ცვლადით.
3. ვხსნით მიღებულ წრფივ განტოლებას. ჩვენ ვპოულობთ სისტემის გამოსავალს.

სისტემის ამოხსნა არის ფუნქციის გრაფიკების გადაკვეთის წერტილები.

მოდით დეტალურად განვიხილოთ სისტემების გადაწყვეტა მაგალითების გამოყენებით.

მაგალითი #1:

მოვაგვაროთ ჩანაცვლების მეთოდით

განტოლებათა სისტემის ამოხსნა ჩანაცვლების მეთოდით

2x+5y=1 (1 განტოლება)
x-10y=3 (მე-2 განტოლება)

1. ექსპრესი
ჩანს, რომ მეორე განტოლებაში არის x ცვლადი კოეფიციენტით 1, აქედან გამომდინარე გამოდის, რომ ყველაზე ადვილია x ცვლადის გამოხატვა მეორე განტოლებიდან.
x=3+10y

2. გამოსახვის შემდეგ პირველ განტოლებაში ვცვლით 3 + 10y-ს x ცვლადის ნაცვლად.
2(3+10y)+5y=1

3. მიღებულ განტოლებას ვხსნით ერთი ცვლადით.
2(3+10y)+5y=1 (ღია ფრჩხილები)
6+20წ+5წ=1
25წ=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0.2

განტოლებათა სისტემის ამონახსნი არის გრაფიკების გადაკვეთის წერტილები, ამიტომ უნდა ვიპოვოთ x და y, რადგან გადაკვეთის წერტილი შედგება x და y-სგან, ვიპოვოთ x, პირველ აბზაცში სადაც გამოვხატეთ, იქ ვცვლით y-ს.
x=3+10y
x=3+10*(-0.2)=1

მიღებულია პირველ რიგში ქულების ჩაწერა, ვწერთ x ცვლადს, ხოლო მეორე ადგილზე y ცვლადს.
პასუხი: (1; -0.2)

მაგალითი #2:

ამოხსნათ ვადით-გამოკლებით.

განტოლებათა სისტემის ამოხსნა შეკრების მეთოდით

3x-2y=1 (1 განტოლება)
2x-3y=-10 (მე-2 განტოლება)

1. აირჩიეთ ცვლადი, ვთქვათ ვირჩევთ x. პირველ განტოლებაში x ცვლადს აქვს კოეფიციენტი 3, მეორეში - 2. კოეფიციენტები უნდა გავხადოთ იგივე, ამისთვის გვაქვს უფლება გავამრავლოთ განტოლებები ან გავყოთ ნებისმიერ რიცხვზე. პირველ განტოლებას ვამრავლებთ 2-ზე, ხოლო მეორეს 3-ზე და მივიღებთ ჯამურ კოეფიციენტს 6-ზე.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. პირველ განტოლებას გამოვაკლოთ მეორე, რომ მოვიშოროთ x ცვლადი. ვხსნით წრფივ განტოლებას.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6.4

3. იპოვე x. ჩვენ ვცვლით ნაპოვნი y-ს რომელიმე განტოლებაში, ვთქვათ პირველ განტოლებაში.
3x-2y=1
3x-2*6.4=1
3x-12.8=1
3x=1+12.8
3x=13.8 |:3
x=4.6

გადაკვეთის წერტილი იქნება x=4,6; y=6.4
პასუხი: (4.6; 6.4)

გსურთ უფასოდ მოემზადოთ გამოცდებისთვის? დამრიგებელი ონლაინ თავისუფალია. Არ ვხუმრობ.

ალგებრული მიმატების მეთოდი

თქვენ შეგიძლიათ ამოხსნათ განტოლებათა სისტემა ორი უცნობით სხვადასხვა გზით - გრაფიკული მეთოდით ან ცვლადის ცვლილების მეთოდით.

ამ გაკვეთილზე ჩვენ გავეცნობით სისტემების ამოხსნის კიდევ ერთ ხერხს, რომელიც აუცილებლად მოგეწონებათ - ეს არის ალგებრული შეკრების მეთოდი.

და საიდან გაჩნდა იდეა - სისტემებში რაიმეს ჩასმა? სისტემების ამოხსნისას მთავარი პრობლემა ორი ცვლადის არსებობაა, რადგან განტოლებებს ორი ცვლადით ვერ ამოხსნით. ასე რომ, აუცილებელია რომელიმე მათგანის გამორიცხვა კანონიერი გზით. და ასეთი ლეგიტიმური გზებია მათემატიკური წესები და თვისებები.

ერთ-ერთი ეს თვისება ასე ჟღერს: საპირისპირო რიცხვების ჯამი არის ნული. ეს ნიშნავს, რომ თუ ერთ-ერთი ცვლადის საპირისპირო კოეფიციენტებია, მაშინ მათი ჯამი იქნება ნულის ტოლი და ჩვენ შევძლებთ ამ ცვლადის გამორიცხვას განტოლებიდან. გასაგებია, რომ ჩვენ არ გვაქვს უფლება დავამატოთ მხოლოდ ტერმინები ჩვენთვის საჭირო ცვლადთან. აუცილებელია განტოლებების მთლიანობაში დამატება, ე.ი. ცალკე დაამატეთ მსგავსი ტერმინები მარცხენა მხარეს, შემდეგ მარჯვნივ. შედეგად, ჩვენ მივიღებთ ახალ განტოლებას, რომელიც შეიცავს მხოლოდ ერთ ცვლადს. მოდით შევხედოთ კონკრეტულ მაგალითებს.

ჩვენ ვხედავთ, რომ პირველ განტოლებაში არის ცვლადი y, ხოლო მეორეში საპირისპირო რიცხვია y. ასე რომ, ეს განტოლება შეიძლება ამოიხსნას მიმატების მეთოდით.

ერთ-ერთი განტოლება დარჩა ისე, როგორც არის. ნებისმიერი, ვინც ყველაზე მეტად მოგწონთ.

მაგრამ მეორე განტოლება მიიღება ამ ორი განტოლების ტერმინით ტერმინის დამატებით. იმათ. დაამატეთ 3x 2x, დაამატეთ y -y, დაამატეთ 8 7-ს.

ვიღებთ განტოლებათა სისტემას

ამ სისტემის მეორე განტოლება არის მარტივი განტოლება ერთი ცვლადით. მისგან ვპოულობთ x \u003d 3. ნაპოვნი მნიშვნელობის ჩანაცვლებით პირველ განტოლებაში, ვპოულობთ y \u003d -1.

პასუხი: (3; - 1).

დიზაინის ნიმუში:

განტოლებათა სისტემის ამოხსნა ალგებრული შეკრებით

ამ სისტემაში არ არსებობს ცვლადები საპირისპირო კოეფიციენტებით. მაგრამ ჩვენ ვიცით, რომ განტოლების ორივე მხარე შეიძლება გამრავლდეს ერთსა და იმავე რიცხვზე. მოდით გავამრავლოთ სისტემის პირველი განტოლება 2-ზე.

მაშინ პირველი განტოლება მიიღებს ფორმას:

ახლა ჩვენ ვხედავთ, რომ x ცვლადთან არის საპირისპირო კოეფიციენტები. ასე რომ, ჩვენ ისევე მოვიქცევით, როგორც პირველ მაგალითში: ერთ-ერთ განტოლებას უცვლელად დავტოვებთ. მაგალითად, 2y + 2x \u003d 10. და ჩვენ ვიღებთ მეორეს მიმატებით.

ახლა ჩვენ გვაქვს განტოლებების სისტემა:

ჩვენ ადვილად ვპოულობთ მეორე განტოლებიდან y = 1, შემდეგ კი პირველი განტოლებიდან x = 4.

დიზაინის ნიმუში:

შევაჯამოთ:

ჩვენ ვისწავლეთ როგორ ამოხსნათ ორი წრფივი განტოლების სისტემები ორი უცნობით ალგებრული შეკრების მეთოდით. ამრიგად, ჩვენ ახლა ვიცით ასეთი სისტემების გადაჭრის სამი ძირითადი მეთოდი: გრაფიკული მეთოდი, ცვლადის მეთოდის შეცვლა და დამატების მეთოდი. თითქმის ნებისმიერი სისტემის გადაჭრა შესაძლებელია ამ მეთოდების გამოყენებით. უფრო რთულ შემთხვევებში გამოიყენება ამ ტექნიკის კომბინაცია.

გამოყენებული ლიტერატურის სია:

1. მორდკოვიჩ ა.გ., ალგებრა მე-7 კლასი 2 ნაწილად, ნაწილი 1, სახელმძღვანელო საგანმანათლებლო დაწესებულებებისთვის / ა.გ. მორდკოვიჩი. - მე-10 გამოცემა, შესწორებული - მოსკოვი, "მნემოსინე", 2007 წ.
2. მორდკოვიჩ ა.გ., ალგებრა კლასი 7 2 ნაწილად, ნაწილი 2, დავალების წიგნი საგანმანათლებლო დაწესებულებებისთვის / [ა.გ. მორდკოვიჩი და სხვები]; რედაქტირებულია A.G. მორდკოვიჩი - მე-10 გამოცემა, შესწორებული - მოსკოვი, მნემოსინე, 2007 წ.
3. მისი. ტულჩინსკაია, ალგებრა მე-7 კლასი. ბლიცის გამოკითხვა: სახელმძღვანელო საგანმანათლებლო დაწესებულებების სტუდენტებისთვის, მე-4 გამოცემა, შესწორებული და დამატებული, მოსკოვი, მნემოზინა, 2008 წ.
4. ალექსანდროვა L.A., ალგებრა მე-7 კლასი. თემატური ტესტის ნაშრომები ახალი ფორმით საგანმანათლებლო დაწესებულებების სტუდენტებისთვის, რედაქციით ა.გ. მორდკოვიჩი, მოსკოვი, "მნემოსინე", 2011 წ.
5. ალექსანდროვა ლ.ა. ალგებრა მე-7 კლასი. დამოუკიდებელი მუშაობა საგანმანათლებლო დაწესებულებების სტუდენტებისთვის, რედაქციით ა.გ. მორდკოვიჩი - მე-6 გამოცემა, სტერეოტიპული, მოსკოვი, „მნემოსინე“, 2010 წ.

განტოლებათა სისტემები ფართოდ გამოიყენება ეკონომიკურ ინდუსტრიაში სხვადასხვა პროცესის მათემატიკური მოდელირებისას. მაგალითად, წარმოების მართვისა და დაგეგმვის, ლოგისტიკური მარშრუტების (ტრანსპორტის პრობლემა) ან აღჭურვილობის განთავსების პრობლემების გადაჭრისას.

განტოლების სისტემები გამოიყენება არა მხოლოდ მათემატიკის დარგში, არამედ ფიზიკაში, ქიმიასა და ბიოლოგიაში, მოსახლეობის რაოდენობის პოვნის ამოცანების გადაჭრისას.

წრფივი განტოლებათა სისტემა არის ტერმინი ორი ან მეტი განტოლებისთვის რამდენიმე ცვლადით, რისთვისაც აუცილებელია საერთო ამოხსნის პოვნა. რიცხვების ისეთი თანმიმდევრობა, რომლისთვისაც ყველა განტოლება ხდება ჭეშმარიტი თანასწორობა ან ამტკიცებს, რომ მიმდევრობა არ არსებობს.

წრფივი განტოლება

ax+by=c ფორმის განტოლებებს წრფივი ეწოდება. აღნიშვნები x, y არის უცნობი, რომელთა მნიშვნელობა უნდა მოიძებნოს, b, a არის ცვლადების კოეფიციენტები, c არის განტოლების თავისუფალი წევრი.
განტოლების ამოხსნა მისი გრაფიკის გამოსახვით სწორ ხაზს წააგავს, რომლის ყველა წერტილი მრავალწევრის ამონახსნია.

წრფივი განტოლებათა სისტემების ტიპები

უმარტივესი არის ხაზოვანი განტოლების სისტემების მაგალითები ორი ცვლადით X და Y.

F1(x, y) = 0 და F2(x, y) = 0, სადაც F1,2 არის ფუნქციები და (x, y) ფუნქციის ცვლადები.

განტოლებათა სისტემის ამოხსნა - ეს ნიშნავს ისეთი მნიშვნელობების პოვნას (x, y), რომლებისთვისაც სისტემა ხდება ნამდვილი თანასწორობა, ან იმის დადგენა, რომ არ არსებობს x და y-ის შესაფერისი მნიშვნელობები.

მნიშვნელობების წყვილს (x, y), დაწერილი როგორც წერტილის კოორდინატები, ეწოდება ამონახსნი წრფივი განტოლებათა სისტემისთვის.

თუ სისტემებს აქვთ ერთი საერთო გამოსავალი ან არ არის გამოსავალი, მათ ექვივალენტი ეწოდება.

წრფივი განტოლებების ჰომოგენური სისტემები არის სისტემები, რომელთა მარჯვენა მხარე ნულის ტოლია. თუ "თანაბრის" ნიშნის შემდეგ მარჯვენა ნაწილს აქვს მნიშვნელობა ან გამოიხატება ფუნქციით, ასეთი სისტემა არ არის ერთგვაროვანი.

ცვლადების რაოდენობა შეიძლება იყოს ორზე ბევრად მეტი, მაშინ უნდა ვისაუბროთ ხაზოვანი განტოლების სისტემის მაგალითზე სამი ან მეტი ცვლადით.

სისტემების წინაშე სკოლის მოსწავლეები ვარაუდობენ, რომ განტოლებების რაოდენობა აუცილებლად უნდა ემთხვეოდეს უცნობთა რაოდენობას, მაგრამ ეს ასე არ არის. განტოლებების რაოდენობა სისტემაში არ არის დამოკიდებული ცვლადებზე, შეიძლება იყოს მათი თვითნებურად დიდი რაოდენობა.

განტოლებათა სისტემების ამოხსნის მარტივი და რთული მეთოდები

ასეთი სისტემების გადაჭრის ზოგადი ანალიტიკური გზა არ არსებობს, ყველა მეთოდი ეფუძნება რიცხვით ამონახსნებს. სასკოლო მათემატიკის კურსი დეტალურად აღწერს ისეთ მეთოდებს, როგორიცაა პერმუტაცია, ალგებრული შეკრება, ჩანაცვლება, ასევე გრაფიკული და მატრიცული მეთოდი, ამოხსნა გაუსის მეთოდით.

ამოხსნის მეთოდების სწავლების მთავარი ამოცანაა ასწავლოს სისტემის სწორად გაანალიზება და თითოეული მაგალითისთვის ოპტიმალური გადაწყვეტის ალგორითმის პოვნა. მთავარია არა თითოეული მეთოდისთვის წესების და მოქმედებების სისტემის დამახსოვრება, არამედ კონკრეტული მეთოდის გამოყენების პრინციპების გაგება.

ზოგადსაგანმანათლებლო სასკოლო პროგრამის მე-7 კლასის წრფივი განტოლებათა სისტემების მაგალითების ამოხსნა საკმაოდ მარტივია და დეტალურად არის ახსნილი. მათემატიკის ნებისმიერ სახელმძღვანელოში ამ განყოფილებას საკმარისი ყურადღება ეთმობა. წრფივი განტოლებათა სისტემების მაგალითების ამოხსნა გაუსის და კრამერის მეთოდით უფრო დეტალურად არის შესწავლილი უმაღლესი საგანმანათლებლო დაწესებულებების პირველ კურსებში.

სისტემების ამოხსნა ჩანაცვლების მეთოდით

ჩანაცვლების მეთოდის მოქმედებები მიზნად ისახავს ერთი ცვლადის მნიშვნელობის გამოხატვას მეორის მეშვეობით. გამოთქმა ჩანაცვლებულია დარჩენილ განტოლებაში, შემდეგ ის მცირდება ერთ ცვლადის ფორმამდე. მოქმედება მეორდება სისტემაში უცნობის რაოდენობის მიხედვით

მოვიყვანოთ მე-7 კლასის წრფივი განტოლებათა სისტემის მაგალითი ჩანაცვლების მეთოდით:

როგორც მაგალითიდან ჩანს, x ცვლადი გამოისახებოდა F(X) = 7 + Y-ით. შედეგად მიღებული გამოხატულება, რომელიც ჩანაცვლებულია სისტემის მე-2 განტოლებაში X-ის ნაცვლად, დაეხმარა მე-2 განტოლებაში ერთი ცვლადის Y მიღებაში. . ამ მაგალითის ამოხსნა არ იწვევს სირთულეებს და საშუალებას გაძლევთ მიიღოთ Y მნიშვნელობა. ბოლო ნაბიჯი არის მიღებული მნიშვნელობების შემოწმება.

ყოველთვის არ არის შესაძლებელი წრფივი განტოლებათა სისტემის მაგალითის ამოხსნა ჩანაცვლებით. განტოლებები შეიძლება იყოს რთული და ცვლადის გამოხატვა მეორე უცნობის მიხედვით ზედმეტად რთული იქნება შემდგომი გამოთვლებისთვის. როდესაც სისტემაში 3-ზე მეტი უცნობია, ჩანაცვლების გადაწყვეტა ასევე არაპრაქტიკულია.

წრფივი არაერთგვაროვანი განტოლებების სისტემის მაგალითის ამოხსნა:

ამოხსნა ალგებრული შეკრების გამოყენებით

სისტემების ამოხსნის შეკრების მეთოდით ძიებისას, ხორციელდება ტერმინით შეკრება და განტოლებების გამრავლება სხვადასხვა რიცხვებზე. მათემატიკური მოქმედებების საბოლოო მიზანი არის განტოლება ერთი ცვლადით.

ამ მეთოდის გამოყენება მოითხოვს პრაქტიკას და დაკვირვებას. ადვილი არ არის წრფივი განტოლებათა სისტემის ამოხსნა შეკრების მეთოდის გამოყენებით ცვლადების 3 ან მეტი რაოდენობით. ალგებრული შეკრება სასარგებლოა, როდესაც განტოლებები შეიცავს წილადებსა და ათობითი რიცხვებს.

ამოხსნის მოქმედების ალგორითმი:

1. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე რომელიმე რიცხვზე. არითმეტიკული მოქმედების შედეგად ცვლადის ერთ-ერთი კოეფიციენტი უნდა გახდეს 1-ის ტოლი.
2. დაამატეთ მიღებული გამოთქმა ტერმინით და იპოვნეთ ერთ-ერთი უცნობი.
3. შეცვალეთ მიღებული მნიშვნელობა სისტემის მე-2 განტოლებაში, რათა იპოვოთ დარჩენილი ცვლადი.

ამოხსნის მეთოდი ახალი ცვლადის შემოღებით

ახალი ცვლადის შემოღება შესაძლებელია, თუ სისტემას სჭირდება ამოხსნის პოვნა არაუმეტეს ორი განტოლებისათვის, ასევე უცნობის რაოდენობა უნდა იყოს არაუმეტეს ორი.

მეთოდი გამოიყენება ერთ-ერთი განტოლების გასამარტივებლად ახალი ცვლადის შემოღებით. ახალი განტოლება წყდება შეყვანილი უცნობის მიმართ და მიღებული მნიშვნელობა გამოიყენება თავდაპირველი ცვლადის დასადგენად.

მაგალითიდან ჩანს, რომ ახალი t ცვლადის შემოღებით შესაძლებელი გახდა სისტემის 1-ლი განტოლების შემცირება სტანდარტულ კვადრატულ ტრინომამდე. თქვენ შეგიძლიათ ამოხსნათ მრავალწევრი დისკრიმინანტის მოძიებით.

აუცილებელია დისკრიმინანტის მნიშვნელობის პოვნა ცნობილი ფორმულის გამოყენებით: D = b2 - 4*a*c, სადაც D არის სასურველი დისკრიმინანტი, b, a, c არის მრავალწევრის მამრავლები. მოცემულ მაგალითში a=1, b=16, c=39, შესაბამისად D=100. თუ დისკრიმინანტი ნულზე მეტია, მაშინ არსებობს ორი ამონახსნი: t = -b±√D / 2*a, თუ დისკრიმინანტი ნულზე ნაკლებია, მაშინ არის მხოლოდ ერთი ამონახსნი: x= -b / 2*a.

შედეგად მიღებული სისტემების გამოსავალი გვხვდება დამატების მეთოდით.

სისტემების ამოხსნის ვიზუალური მეთოდი

ვარგისია 3 განტოლების სისტემებისთვის. მეთოდი შედგება სისტემაში შემავალი თითოეული განტოლების გრაფიკების გამოსახვაში კოორდინატთა ღერძზე. მრუდების გადაკვეთის წერტილების კოორდინატები იქნება სისტემის ზოგადი გადაწყვეტა.

გრაფიკულ მეთოდს აქვს მრავალი ნიუანსი. განვიხილოთ წრფივი განტოლებების სისტემების ვიზუალურად ამოხსნის რამდენიმე მაგალითი.

როგორც მაგალითიდან ჩანს, თითოეული ხაზისთვის აშენდა ორი წერტილი, თვითნებურად აირჩიეს x ცვლადის მნიშვნელობები: 0 და 3. x-ის მნიშვნელობებიდან გამომდინარე, y-ის მნიშვნელობები იქნა ნაპოვნი: 3 და 0. წერტილები (0, 3) და (3, 0) კოორდინატებით დაფიქსირდა გრაფიკზე და ერთმანეთთან იყო დაკავშირებული ხაზით.

ნაბიჯები უნდა განმეორდეს მეორე განტოლებისთვის. ხაზების გადაკვეთის წერტილი არის სისტემის ამოხსნა.

შემდეგ მაგალითში საჭიროა წრფივი განტოლებათა სისტემის გრაფიკული ამოხსნის პოვნა: 0,5x-y+2=0 და 0,5x-y-1=0.

როგორც მაგალითიდან ჩანს, სისტემას არ აქვს გამოსავალი, რადგან გრაფიკები პარალელურია და არ იკვეთება მთელ სიგრძეზე.

მაგალითები 2 და 3 სისტემები მსგავსია, მაგრამ როდესაც აგებულია, აშკარა ხდება, რომ მათი გადაწყვეტილებები განსხვავებულია. უნდა გვახსოვდეს, რომ ყოველთვის არ არის შესაძლებელი იმის თქმა, აქვს თუ არა სისტემას გამოსავალი, ყოველთვის საჭიროა გრაფიკის აგება.

მატრიცა და მისი ჯიშები

მატრიცები გამოიყენება წრფივი განტოლებათა სისტემის მოკლედ დასაწერად. მატრიცა არის სპეციალური ტიპის ცხრილი, რომელიც ივსება ციფრებით. n*m აქვს n - სტრიქონი და m - სვეტები.

მატრიცა არის კვადრატი, როდესაც სვეტების და რიგების რაოდენობა ტოლია. მატრიცა-ვექტორი არის ერთსვეტიანი მატრიცა მწკრივების უსასრულოდ შესაძლო რაოდენობით. მატრიცას ერთეულებით ერთ-ერთი დიაგონალის და სხვა ნულოვანი ელემენტების გასწვრივ იდენტურობა ეწოდება.

ინვერსიული მატრიცა არის ისეთი მატრიცა, რომლითაც გამრავლებისას ორიგინალი იქცევა ერთეულში, ასეთი მატრიცა არსებობს მხოლოდ თავდაპირველი კვადრატისთვის.

განტოლებათა სისტემის მატრიცად გადაქცევის წესები

განტოლებათა სისტემებთან დაკავშირებით, განტოლებების კოეფიციენტები და თავისუფალი წევრები იწერება მატრიცის რიცხვებად, ერთი განტოლება არის მატრიცის ერთი მწკრივი.

მატრიცის მწკრივს ეწოდება არანულოვანი, თუ მწკრივის ერთი ელემენტი მაინც არ არის ნულის ტოლი. მაშასადამე, თუ რომელიმე განტოლებაში ცვლადების რაოდენობა განსხვავდება, მაშინ აუცილებელია ნულის შეყვანა გამოტოვებული უცნობის ნაცვლად.

მატრიცის სვეტები მკაცრად უნდა შეესაბამებოდეს ცვლადებს. ეს ნიშნავს, რომ x ცვლადის კოეფიციენტები შეიძლება ჩაიწეროს მხოლოდ ერთ სვეტში, მაგალითად პირველი, უცნობი y-ის კოეფიციენტი - მხოლოდ მეორეში.

მატრიცის გამრავლებისას მატრიცის ყველა ელემენტი თანმიმდევრულად მრავლდება რიცხვზე.

ინვერსიული მატრიცის პოვნის ვარიანტები

ინვერსიული მატრიცის პოვნის ფორმულა საკმაოდ მარტივია: K -1 = 1 / |K|, სადაც K -1 არის შებრუნებული მატრიცა და |K| - მატრიცის განმსაზღვრელი. |კ| არ უნდა იყოს ნულის ტოლი, მაშინ სისტემას აქვს ამონახსნი.

განმსაზღვრელი ადვილად გამოითვლება ორი-ორ მატრიცისთვის, საჭიროა მხოლოდ ელემენტების ერთმანეთზე დიაგონალზე გამრავლება. "სამი სამზე" ვარიანტისთვის არის ფორმულა |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . შეგიძლიათ გამოიყენოთ ფორმულა, ან გახსოვდეთ, რომ თქვენ უნდა აიღოთ ერთი ელემენტი თითოეული მწკრივიდან და თითოეული სვეტიდან ისე, რომ ელემენტების სვეტები და მწკრივების ნომრები არ განმეორდეს პროდუქტში.

ხაზოვანი განტოლების სისტემების მაგალითების ამოხსნა მატრიცული მეთოდით

ამოხსნის მატრიცული მეთოდი შესაძლებელს ხდის შემცირდეს უხერხული აღნიშვნები სისტემების ამოხსნისას დიდი რაოდენობითცვლადები და განტოლებები.

მაგალითში a nm არის განტოლებების კოეფიციენტები, მატრიცა არის ვექტორი x n არის ცვლადები და b n არის თავისუფალი ტერმინები.

სისტემების ამოხსნა გაუსის მეთოდით

უმაღლეს მათემატიკაში კრამერის მეთოდთან ერთად შეისწავლება გაუსის მეთოდი, ხოლო სისტემების ამოხსნის ძიების პროცესს ეწოდება ამოხსნის გაუს-კრამერის მეთოდი. ეს მეთოდები გამოიყენება წრფივი განტოლებების დიდი რაოდენობის მქონე სისტემების ცვლადების მოსაძებნად.

გაუსის მეთოდი ძალიან ჰგავს ჩანაცვლებისა და ალგებრული დამატების ამონახსნებს, მაგრამ უფრო სისტემატურია. სასკოლო კურსში გაუსის ამონახსნი გამოიყენება 3 და 4 განტოლების სისტემებისთვის. მეთოდის მიზანია სისტემის მიყვანა ინვერსიული ტრაპეციის სახით. ალგებრული გარდაქმნებითა და ჩანაცვლებით, ერთი ცვლადის მნიშვნელობა გვხვდება სისტემის ერთ-ერთ განტოლებაში. მეორე განტოლება არის გამოხატულება 2 უცნობით და 3 და 4 - შესაბამისად 3 და 4 ცვლადით.

სისტემის აღწერილ ფორმამდე მიყვანის შემდეგ, შემდგომი ამოხსნა მცირდება ცნობილი ცვლადების თანმიმდევრულ ჩანაცვლებამდე სისტემის განტოლებებში.

მე-7 კლასის სასკოლო სახელმძღვანელოებში, გაუსის ამოხსნის მაგალითი აღწერილია შემდეგნაირად:

როგორც მაგალითიდან ჩანს, საფეხურზე (3) მიიღეს ორი განტოლება 3x 3 -2x 4 =11 და 3x 3 +2x 4 =7. რომელიმე განტოლების ამოხსნა საშუალებას მოგცემთ გაარკვიოთ ერთ-ერთი ცვლადი x n.

მე-5 თეორემა, რომელიც ტექსტშია ნახსენები, ამბობს, რომ თუ სისტემის ერთ-ერთი განტოლება შეიცვალა ეკვივალენტით, მაშინ მიღებული სისტემაც ორიგინალის ეკვივალენტური იქნება.

გაუსის მეთოდი რთული გასაგებია საშუალო სკოლის მოსწავლეებისთვის, მაგრამ ეს არის ერთ-ერთი ყველაზე საინტერესო გზა მათემატიკისა და ფიზიკის კლასებში მოწინავე სასწავლო პროგრამაში სწავლის მქონე ბავშვების გამომგონებლობის გასავითარებლად.

გამოთვლების ჩაწერის გამარტივებისთვის, ჩვეულებრივ უნდა გააკეთოთ შემდეგი:

განტოლების კოეფიციენტები და თავისუფალი ტერმინები იწერება მატრიცის სახით, სადაც მატრიცის თითოეული მწკრივი შეესაბამება სისტემის ერთ-ერთ განტოლებას. გამოყოფს განტოლების მარცხენა მხარეს მარჯვენა მხრიდან. რომაული ციფრები აღნიშნავს სისტემაში განტოლებების რიცხვს.

ჯერ წერენ მატრიცას, რომლითაც უნდა იმუშაონ, შემდეგ კი ყველა მოქმედებას, რომელიც განხორციელდა ერთ-ერთი მწკრივით. შედეგად მიღებული მატრიცა იწერება "ისრის" ნიშნის შემდეგ და განაგრძობს საჭირო ალგებრული ოპერაციების შესრულებას შედეგის მიღწევამდე.

შედეგად, უნდა მივიღოთ მატრიცა, რომელშიც ერთ-ერთი დიაგონალი არის 1, ხოლო ყველა სხვა კოეფიციენტი ნულის ტოლია, ანუ მატრიცა მცირდება ერთ ფორმამდე. არ უნდა დაგვავიწყდეს გამოთვლების გაკეთება განტოლების ორივე მხარის რიცხვებით.

ეს აღნიშვნა ნაკლებად შრომატევადია და საშუალებას გაძლევთ არ შეგაწუხოთ მრავალი უცნობის ჩამოთვლა.

გადაწყვეტის ნებისმიერი მეთოდის უფასო გამოყენება მოითხოვს ზრუნვას და გარკვეულ გამოცდილებას. ყველა მეთოდი არ გამოიყენება. გადაწყვეტილებების პოვნის ზოგიერთი გზა უფრო სასურველია ადამიანის საქმიანობის კონკრეტულ სფეროში, ზოგი კი არსებობს სწავლის მიზნით.

წრფივი განტოლებათა სისტემა ორი უცნობით არის ორი ან მეტი წრფივი განტოლება, რომლისთვისაც აუცილებელია მათი ყველა საერთო ამონახსნის პოვნა. განვიხილავთ ორი წრფივი განტოლების სისტემას ორი უცნობით. ორი წრფივი განტოლების სისტემის ზოგადი ხედი ორი უცნობით ნაჩვენებია ქვემოთ მოცემულ ფიგურაში:

(a1*x + b1*y = c1,
(a2*x + b2*y = c2

აქ x და y უცნობი ცვლადებია, a1, a2, b1, b2, c1, c2 არის რამდენიმე რეალური რიცხვი. ორი წრფივი განტოლების სისტემის ამონახსნი ორი უცნობით არის რიცხვების წყვილი (x, y), რომ თუ ეს რიცხვები ჩანაცვლდება სისტემის განტოლებებში, მაშინ სისტემის თითოეული განტოლება იქცევა ნამდვილ ტოლობაში. წრფივი განტოლებათა სისტემის ამოხსნის რამდენიმე გზა არსებობს. განვიხილოთ წრფივი განტოლებათა სისტემის ამოხსნის ერთ-ერთი გზა, კერძოდ, შეკრების მეთოდი.

ალგორითმი დამატების მეთოდით ამოხსნისთვის

წრფივი განტოლებათა სისტემის ამოხსნის ალგორითმი ორი უცნობი შეკრების მეთოდით.

1. საჭიროების შემთხვევაში, ეკვივალენტური გარდაქმნების საშუალებით, ორივე განტოლების ერთ-ერთი უცნობი ცვლადის კოეფიციენტების გათანაბრება.

2. მიღებულ განტოლებათა შეკრება ან გამოკლება ერთი უცნობის მქონე წრფივი განტოლების მისაღებად

3. ამოხსენით მიღებული განტოლება ერთი უცნობით და იპოვეთ ერთ-ერთი ცვლადი.

4. შეცვალეთ მიღებული გამოხატულება სისტემის ორი განტოლებიდან რომელიმეში და ამოხსენით ეს განტოლება, რითაც მიიღეთ მეორე ცვლადი.

5. შეამოწმეთ ხსნარი.

ამოხსნის მაგალითი დამატების მეთოდით

მეტი სიცხადისთვის, ჩვენ ვხსნით წრფივი განტოლებების შემდეგ სისტემას ორი უცნობით, დამატების მეთოდით:

(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;

ვინაიდან არცერთ ცვლადს არ აქვს იგივე კოეფიციენტები, ვათანაბრებთ y ცვლადის კოეფიციენტებს. ამისათვის გავამრავლოთ პირველი განტოლება სამზე, ხოლო მეორე განტოლება ორზე.

(3*x+2*y=10 |*3
(5*x + 3*y = 12 |*2

მიიღეთ განტოლებათა შემდეგი სისტემა:

(9*x+6*y = 30;
(10*x+6*y=24;

ახლა გამოვაკლოთ პირველი მეორე განტოლებას. წარმოგიდგენთ მსგავს ტერმინებს და ვხსნით მიღებულ წრფივ განტოლებას.

10*x+6*y - (9*x+6*y) = 24-30; x=-6;

ჩვენ ვცვლით მიღებულ მნიშვნელობას ჩვენი ორიგინალური სისტემის პირველ განტოლებაში და ვხსნით მიღებულ განტოლებას.

(3*(-6) + 2*y =10;
(2*y=28; y=14;

შედეგი არის რიცხვების წყვილი x=6 და y=14. ვამოწმებთ. ჩვენ ვაკეთებთ ჩანაცვლებას.

(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;

{3*(-6) + 2*(14) = 10;
{5*(-6) + 3*(14) = 12;

{10 = 10;
{12=12;

როგორც ხედავთ, მივიღეთ ორი ჭეშმარიტი თანასწორობა, შესაბამისად, ვიპოვეთ სწორი გამოსავალი.

ძალიან ხშირად, მოსწავლეებს უჭირთ განტოლებათა სისტემების ამოხსნის მეთოდის არჩევა.

ამ სტატიაში განვიხილავთ სისტემების გადაჭრის ერთ-ერთ გზას - ჩანაცვლების მეთოდს.

თუ ნაპოვნია ორი განტოლების საერთო ამონახსნი, მაშინ ამბობენ, რომ ეს განტოლებები ქმნიან სისტემას. განტოლებათა სისტემაში თითოეული უცნობი წარმოადგენს ერთსა და იმავე რიცხვს ყველა განტოლებაში. იმის საჩვენებლად, რომ ეს განტოლებები ქმნიან სისტემას, ისინი ჩვეულებრივ იწერება ერთმანეთის ქვემოთ და კომბინირებულია ხვეული ფრჩხილით, მაგალითად.

ჩვენ აღვნიშნავთ, რომ x = 15 და y = 5, სისტემის ორივე განტოლება სწორია. რიცხვების ეს წყვილი არის განტოლებათა სისტემის ამონახსნი. უცნობი მნიშვნელობების თითოეულ წყვილს, რომელიც ერთდროულად აკმაყოფილებს სისტემის ორივე განტოლებას, ეწოდება სისტემის ამონახსნი.

სისტემას შეიძლება ჰქონდეს ერთი გამოსავალი (როგორც ჩვენს მაგალითში), უსაზღვროდ ბევრი გამოსავალი და არანაირი ამონახსნები.

როგორ გადავჭრათ სისტემები ჩანაცვლების მეთოდის გამოყენებით? თუ რომელიმე უცნობის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში ტოლია აბსოლუტური მნიშვნელობით (თუ ისინი არ არიან ტოლი, მაშინ ვატოლებთ), მაშინ ორივე განტოლების მიმატებით (ან ერთის გამოკლებით), შეგიძლიათ მიიღოთ განტოლება ერთ უცნობისთან. შემდეგ ამ განტოლებას ვხსნით. ჩვენ განვსაზღვრავთ ერთ უცნობს. უცნობის მიღებულ მნიშვნელობას ვცვლით სისტემის ერთ-ერთ განტოლებაში (პირველში ან მეორეში). ჩვენ აღმოვაჩინეთ კიდევ ერთი უცნობი. მოდით შევხედოთ ამ მეთოდის გამოყენების მაგალითებს.

მაგალითი 1განტოლებათა სისტემის ამოხსნა

აქ კოეფიციენტები y-ზე ტოლია აბსოლუტური მნიშვნელობით, მაგრამ საპირისპირო ნიშნით. მოდით ვცადოთ ვადის მიხედვით დავამატოთ სისტემის განტოლებები.

შედეგად მიღებული მნიშვნელობა x \u003d 4, ჩვენ ვცვლით სისტემის ზოგიერთ განტოლებას (მაგალითად, პირველში) და ვიპოვით y-ის მნიშვნელობას:

2 * 4 + y \u003d 11, y \u003d 11 - 8, y \u003d 3.

ჩვენს სისტემას აქვს ამონახსნი x = 4, y = 3. ან პასუხი შეიძლება ჩაიწეროს ფრჩხილებში, როგორც წერტილის კოორდინატები, პირველ რიგში x, მეორეში y.

პასუხი: (4; 3)

მაგალითი 2. განტოლებათა სისტემის ამოხსნა

ვატოლებთ კოეფიციენტებს x ცვლადს, ამისთვის ვამრავლებთ პირველ განტოლებას 3-ზე, ხოლო მეორეს (-2-ზე), მივიღებთ

ფრთხილად იყავით განტოლებების დამატებისას

შემდეგ y \u003d - 2. ჩვენ ვცვლით რიცხვს (-2) y-ის ნაცვლად პირველ განტოლებაში, მივიღებთ

4x + 3 (-2) \u003d - 4. ჩვენ ვხსნით ამ განტოლებას 4x \u003d - 4 + 6, 4x \u003d 2, x \u003d ½.

პასუხი: (1/2; - 2)

მაგალითი 3განტოლებათა სისტემის ამოხსნა

გავამრავლოთ პირველი განტოლება (-2)

სისტემის გადაჭრა

ვიღებთ 0 = - 13.

არ არსებობს ამოხსნის სისტემა, რადგან 0 არ არის (-13) ტოლი.

პასუხი: არ არსებობს გამოსავალი.

მაგალითი 4განტოლებათა სისტემის ამოხსნა

გაითვალისწინეთ, რომ მეორე განტოლების ყველა კოეფიციენტი იყოფა 3-ზე,

მეორე განტოლება გავყოთ სამზე და მივიღებთ სისტემას, რომელიც შედგება ორი იდენტური განტოლებისგან.

ამ სისტემას აქვს უსასრულოდ ბევრი ამონახსნები, რადგან პირველი და მეორე განტოლებები ერთნაირია (ჩვენ მივიღეთ მხოლოდ ერთი განტოლება ორი ცვლადით). როგორ წარმოვადგინოთ ამ სისტემის გადაწყვეტა? გამოვსახოთ y ცვლადი განტოლებიდან x + y = 5. ვიღებთ y = 5 - x.

მერე პასუხიდაიწერება ასე: (x; 5-x), x არის ნებისმიერი რიცხვი.

განვიხილეთ განტოლებათა სისტემების ამოხსნა მიმატების მეთოდით. თუ თქვენ გაქვთ რაიმე შეკითხვა ან რაიმე გაუგებარია, დარეგისტრირდით გაკვეთილზე და ჩვენ მოვაგვარებთ ყველა პრობლემას თქვენთან ერთად.

blog.site, მასალის სრული ან ნაწილობრივი კოპირებით, საჭიროა წყაროს ბმული.