გეომეტრიული პროგრესია არის რიცხვების მიმდევრობის ახალი სახეობა, რომელსაც უნდა გავეცნოთ. წარმატებული გაცნობისთვის სულაც არ აზარალებს ცოდნა და გაგება. მაშინ გეომეტრიული პროგრესიით პრობლემა არ იქნება.)

რა არის გეომეტრიული პროგრესია? გეომეტრიული პროგრესიის კონცეფცია.

ტურს, ჩვეულებისამებრ, ელემენტარულით ვიწყებთ. მე ვწერ რიცხვების დაუმთავრებელ თანმიმდევრობას:

1, 10, 100, 1000, 10000, …

შეგიძლიათ დაიჭიროთ ნიმუში და თქვათ რომელი რიცხვები იქნება შემდეგი? წიწაკა გასაგებია, რიცხვები 100000, 1000000 და ა.შ. დიდი ფსიქიკური სტრესის გარეშეც კი, ყველაფერი ნათელია, არა?)

ᲙᲐᲠᲒᲘ. Სხვა მაგალითი. მე ვწერ შემდეგ თანმიმდევრობას:

1, 2, 4, 8, 16, …

შეგიძლიათ თქვათ, რომელი რიცხვები წავა შემდეგ 16 რიცხვისა და სახელის შემდეგ მერვემიმდევრობის წევრი? თუ გაარკვიეთ, რომ ეს იქნებოდა რიცხვი 128, მაშინ ძალიან კარგად. ასე რომ, ბრძოლის ნახევარი გაგებაშია მნიშვნელობადა ძირითადი პუნქტებიგეომეტრიული პროგრესი უკვე შესრულებულია. შეგიძლიათ კიდევ გაიზარდოთ.)

ახლა კი კვლავ გადავდივართ შეგრძნებებიდან მკაცრ მათემატიკაზე.

გეომეტრიული პროგრესიის ძირითადი მომენტები.

საკვანძო მომენტი #1

გეომეტრიული პროგრესია არის რიცხვების თანმიმდევრობა.ისევე როგორც პროგრესი. არაფერი სახიფათო. უბრალოდ დაალაგეთ ეს თანმიმდევრობა განსხვავებულად.აქედან გამომდინარე, რა თქმა უნდა, მას სხვა სახელი აქვს, დიახ ...

საკვანძო მომენტი #2

მეორე საკვანძო პუნქტით, კითხვა უფრო რთული იქნება. მოდით, ცოტა უკან დავბრუნდეთ და გავიხსენოთ არითმეტიკული პროგრესიის ძირითადი თვისება. Აქ არის: თითოეული წევრი განსხვავდება წინაგან იმავე რაოდენობით.

შესაძლებელია თუ არა მსგავსი საკვანძო თვისების ჩამოყალიბება გეომეტრიული პროგრესიისთვის? ცოტა დაფიქრდი... გადახედე მოყვანილ მაგალითებს. გამოიცანით? დიახ! გეომეტრიული პროგრესიით (ნებისმიერი!) მისი თითოეული წევრი განსხვავდება წინაგან ამდენივე ჯერ.ყოველთვის!

პირველ მაგალითში ეს რიცხვი არის ათი. თანმიმდევრობის რომელი წევრიც არ უნდა აიღოთ, ის წინაზე მეტია ათჯერ.

მეორე მაგალითში ეს არის ორი: თითოეული წევრი წინაზე მეტია. ორჯერ.

სწორედ ამ საკვანძო პუნქტში განსხვავდება გეომეტრიული პროგრესია არითმეტიკულისგან. არითმეტიკული პროგრესიის დროს მიიღება ყოველი შემდეგი წევრი დასძინაიგივე მნიშვნელობა აქვს წინა ტერმინს. Და აქ - გამრავლებაწინა ვადა იმავე ოდენობით. ეს არის განსხვავება.)

საკვანძო მომენტი #3

ეს საკვანძო წერტილი სრულიად იდენტურია არითმეტიკული პროგრესირებისას. კერძოდ: გეომეტრიული პროგრესიის თითოეული წევრი თავის ადგილზეა.ყველაფერი ზუსტად ისეა, როგორც არითმეტიკულ პროგრესში და კომენტარები, ვფიქრობ, ზედმეტია. არის პირველი ტერმინი, არის ასი პირველი და ა.შ. მოდით გადავაწყოთ მინიმუმ ორი წევრი - ნიმუში (და მასთან ერთად გეომეტრიული პროგრესია) გაქრება. რჩება მხოლოდ რიცხვების თანმიმდევრობა ყოველგვარი ლოგიკის გარეშე.

Სულ ეს არის. ეს არის გეომეტრიული პროგრესიის მთელი აზრი.

პირობები და აღნიშვნები.

ახლა კი, გეომეტრიული პროგრესიის მნიშვნელობისა და ძირითადი პუნქტების განხილვის შემდეგ, შეგვიძლია გადავიდეთ თეორიაზე. წინააღმდეგ შემთხვევაში, რა არის თეორია მნიშვნელობის გაგების გარეშე, არა?

რა არის გეომეტრიული პროგრესია?

როგორ იწერება გეომეტრიული პროგრესია ზოგადი თვალსაზრისით? Არაა პრობლემა! პროგრესიის თითოეული წევრი ასევე იწერება ასოს სახით. მხოლოდ არითმეტიკული პროგრესირებისთვის, ჩვეულებრივ გამოიყენება ასო "ა", გეომეტრიულისთვის - ასო "ბ". წევრის ნომერიჩვეულებისამებრ, მითითებულია ქვედა მარჯვენა ინდექსი. თავად პროგრესიის წევრები უბრალოდ გამოყოფილია მძიმეებით ან მძიმით.

Ამგვარად:

b1,ბ 2 , ბ 3 , ბ 4 , ბ 5 , ბ 6 , …

მოკლედ, ასეთი პროგრესი იწერება შემდეგნაირად: (ბ ნ) .

ან ასე, სასრული პროგრესისთვის:

b 1 , b 2 , b 3 , b 4 , b 5 , b 6 .

b 1 , b 2 , ..., b 29 , b 30 .

ან მოკლედ:

(ბ ნ), ნ=30 .

სინამდვილეში, ეს არის ყველა აღნიშვნა. ყველაფერი იგივეა, მხოლოდ ასოა განსხვავებული, დიახ.) ახლა კი პირდაპირ განმარტებაზე გადავდივართ.

გეომეტრიული პროგრესიის განმარტება.

გეომეტრიული პროგრესია არის რიცხვითი თანმიმდევრობა, რომლის პირველი წევრი არ არის ნულოვანი და ყოველი მომდევნო წევრი ტოლია წინა წევრის გამრავლებული იმავე არანულოვანი რიცხვით.

ეს არის მთელი განმარტება. სიტყვებისა და ფრაზების უმეტესობა თქვენთვის გასაგები და ნაცნობია. თუ, რა თქმა უნდა, არ გესმით გეომეტრიული პროგრესიის მნიშვნელობა „თითებზე“ და საერთოდ. მაგრამ არის რამდენიმე ახალი ფრაზაც, რომლებზეც განსაკუთრებული ყურადღება მინდა გავამახვილო.

პირველი, სიტყვები: „რომლის პირველი ვადა განსხვავდება ნულიდან".

ეს შეზღუდვა პირველ ვადაზე შემთხვევით არ დაწესებულა. როგორ ფიქრობთ, რა მოხდება, თუ პირველი ვადა ბ 1 ნული გამოდის? რა იქნება მეორე წევრი, თუ თითოეული წევრი წინაზე მეტია იგივე რამდენჯერ?ვთქვათ სამჯერ? ვნახოთ... გავამრავლოთ პირველი წევრი (ე.ი. 0) 3-ზე და მივიღოთ... ნული! და მესამე წევრი? ნულსაც! და მეოთხე წევრიც არის ნული! და ა.შ…

ჩვენ ვიღებთ მხოლოდ ბაგელების ტომარას ნულების თანმიმდევრობით:

0, 0, 0, 0, …

რა თქმა უნდა, ასეთ თანმიმდევრობას აქვს სიცოცხლის უფლება, მაგრამ ეს არ არის პრაქტიკული ინტერესი. ყველაფერი ისე ნათელია. მისი რომელიმე წევრი ნულის ტოლია. ნებისმიერი რაოდენობის წევრების ჯამი ასევე ნულია... რა საინტერესო რამის გაკეთება შეგიძლიათ? არაფერი…

შემდეგი საკვანძო სიტყვები: „გამრავლებული იმავე არანულოვანი რიცხვით“.

ამ იმავე ნომერს ასევე აქვს თავისი განსაკუთრებული სახელი - გეომეტრიული პროგრესიის მნიშვნელი. დავიწყოთ შეხვედრა.)

გეომეტრიული პროგრესიის მნიშვნელი.

ყველაფერი მარტივია.

გეომეტრიული პროგრესიის მნიშვნელი არის არანულოვანი რიცხვი (ან მნიშვნელობა), რომელიც მიუთითებსრამდენჯერპროგრესის თითოეული წევრი წინაზე მეტი.

კვლავ, არითმეტიკული პროგრესიის ანალოგიით, საკვანძო სიტყვა, რომელსაც ყურადღება უნდა მივაქციოთ ამ განმარტებაში, არის სიტყვა. "მეტი". ეს ნიშნავს, რომ მიღებულია გეომეტრიული პროგრესიის თითოეული ტერმინი გამრავლებასწორედ ამ მნიშვნელს წინა წევრი.

ვუხსნი.

რომ გამოვთვალოთ, ვთქვათ მეორეწევრი მიიღოს პირველიწევრი და გამრავლებაის მნიშვნელისკენ. გაანგარიშებისთვის მეათეწევრი მიიღოს მეცხრეწევრი და გამრავლებაის მნიშვნელისკენ.

თავად გეომეტრიული პროგრესიის მნიშვნელი შეიძლება იყოს ნებისმიერი რამ. აბსოლუტურად ვინმეს! მთელი რიცხვი, წილადი, დადებითი, უარყოფითი, ირაციონალური - ყველა. ნულის გარდა. სწორედ ამის შესახებ გვეუბნება სიტყვა „არა-ნულოვანი“ განმარტებაში. რატომ არის საჭირო ეს სიტყვა აქ - ამის შესახებ მოგვიანებით.

გეომეტრიული პროგრესიის მნიშვნელიჩვეულებრივ აღინიშნება ასოებით ქ.

როგორ მოვძებნოთ ეს ქ? Არაა პრობლემა! პროგრესის ნებისმიერი ტერმინი უნდა ავიღოთ და გაყოფა წინა ტერმინზე. განყოფილება არის წილადი. აქედან მოდის სახელწოდება - „პროგრესიის მნიშვნელი“. მნიშვნელი, ის ჩვეულებრივ წილადია, დიახ ...) თუმცა, ლოგიკურად, მნიშვნელობა ქუნდა ეწოდოს კერძოგეომეტრიული პროგრესია, მსგავსი განსხვავებაარითმეტიკული პროგრესიისთვის. მაგრამ დარეკვას დათანხმდა მნიშვნელი. და ჩვენ არც ბორბალს ხელახლა გამოვიგონებთ.)

მოდით განვსაზღვროთ, მაგალითად, მნიშვნელობა ქამ გეომეტრიული პროგრესისთვის:

2, 6, 18, 54, …

ყველაფერი ელემენტარულია. Ჩვენ ვიღებთ ნებისმიერირიგითი ნომერი. რაც ჩვენ გვინდა არის ის, რასაც ვიღებთ. პირველის გარდა. მაგალითად, 18. და გაყავით წინა ნომერი. ანუ 6-ზე.

ჩვენ ვიღებთ:

ქ = 18/6 = 3

Სულ ეს არის. ეს არის სწორი პასუხი. მოცემული გეომეტრიული პროგრესიისთვის მნიშვნელი არის სამი.

მოდი ვიპოვოთ მნიშვნელი ქკიდევ ერთი გეომეტრიული პროგრესიისთვის. მაგალითად, ასე:

1, -2, 4, -8, 16, …

Ერთი და იგივე. რა ნიშნებიც აქვთ თავად წევრებს, ჩვენ მაინც ვიღებთ ნებისმიერირიგითი ნომერი (მაგალითად, 16) და გაყავით წინა ნომერი(ანუ -8).

ჩვენ ვიღებთ:

დ = 16/(-8) = -2

და ეს.) ამჯერად პროგრესიის მნიშვნელი უარყოფითი აღმოჩნდა. მინუს ორი. Ხდება ხოლმე.)

ავიღოთ ეს პროგრესი:

1, 1/3, 1/9, 1/27, …

და ისევ, მიმდევრობაში რიცხვების ტიპის მიუხედავად (ლუწი რიცხვები, თუნდაც წილადი, ლუწი უარყოფითი, თუნდაც ირაციონალური), ვიღებთ ნებისმიერ რიცხვს (მაგალითად, 1/9) და ვყოფთ წინა რიცხვზე (1/3). წილადებთან მოქმედების წესების მიხედვით, რა თქმა უნდა.

ჩვენ ვიღებთ:

სულ ესაა.) აქ მნიშვნელი წილადი აღმოჩნდა: ქ = 1/3.

მაგრამ ისეთი "პროგრესია" როგორიც შენ ხარ?

3, 3, 3, 3, 3, …

ცხადია აქ ქ = 1 . ფორმალურად, ეს ასევე გეომეტრიული პროგრესიაა, მხოლოდ იგივე წევრები.) მაგრამ ასეთი პროგრესი არ არის საინტერესო სასწავლო და პრაქტიკული გამოყენებისთვის. ისევე როგორც პროგრესიები მყარი ნულებით. ამიტომ, ჩვენ არ განვიხილავთ მათ.

როგორც ხედავთ, პროგრესიის მნიშვნელი შეიძლება იყოს ნებისმიერი - მთელი რიცხვი, წილადი, დადებითი, უარყოფითი - ყველაფერი! ეს არ შეიძლება იყოს უბრალოდ ნული. ვერ მიხვდი რატომ?

კარგი, მოდით, გადავხედოთ კონკრეტულ მაგალითს, რა მოხდება, თუ მნიშვნელად ავიღოთ ქნულ.) მოდით, მაგალითად, გვქონდეს ბ 1 = 2 , ა ქ = 0 . რა იქნება მერე მეორე ვადა?

Ჩვენ გვჯერა:

ბ 2 = ბ 1 · ქ= 2 0 = 0

და მესამე წევრი?

ბ 3 = ბ 2 · ქ= 0 0 = 0

გეომეტრიული პროგრესიების სახეები და ქცევა.

ყველაფერთან ერთად მეტ-ნაკლებად ნათელი იყო: თუ განსხვავება პროგრესში დდადებითია, პროგრესი იზრდება. თუ განსხვავება უარყოფითია, მაშინ პროგრესი მცირდება. მხოლოდ ორი ვარიანტია. მესამე არ არსებობს.)

მაგრამ გეომეტრიული პროგრესიის ქცევით, ყველაფერი ბევრად უფრო საინტერესო და მრავალფეროვანი იქნება!)

როგორც კი აქ წევრები იქცევიან: მატულობენ და მცირდებიან და განუსაზღვრელი ვადით უახლოვდებიან ნულს და ნიშნებსაც კი ცვლიან, მონაცვლეობით ჩქარობენ ან „პლუს“-ზე, ან „მინუსზე“! და ამ მრავალფეროვნებაში ადამიანმა კარგად უნდა გაიგოს, დიახ...

გავიგეთ?) დავიწყოთ უმარტივესი შემთხვევით.

მნიშვნელი დადებითია ( ქ >0)

დადებითი მნიშვნელით, პირველ რიგში, გეომეტრიული პროგრესიის წევრები შეიძლება შევიდნენ პლუს უსასრულობა(ანუ იზრდება განუსაზღვრელი ვადით) და შეიძლება შევიდეს მინუს უსასრულობა(ანუ კლება განუსაზღვრელი ვადით). ჩვენ უკვე შევეჩვიეთ პროგრესირების ასეთ ქცევას.

Მაგალითად:

(ბ ნ): 1, 2, 4, 8, 16, …

აქ ყველაფერი მარტივია. პროგრესის თითოეული წევრი არის წინაზე მეტი. და თითოეული წევრი იღებს გამრავლებაწინა წევრი ჩართულია დადებითინომერი +2 (ე.ი. ქ = 2 ). ასეთი პროგრესიის ქცევა აშკარაა: პროგრესიის ყველა წევრი იზრდება განუსაზღვრელი ვადით, მიდის კოსმოსში. პლუს უსასრულობა...

ახლა აქ არის პროგრესი:

(ბ ნ): -1, -2, -4, -8, -16, …

აქაც მიიღება პროგრესირების ყოველი ტერმინი გამრავლებაწინა წევრი ჩართულია დადებითინომერი +2. მაგრამ ასეთი პროგრესიის ქცევა უკვე პირდაპირ საპირისპიროა: პროგრესიის თითოეული წევრი მიიღება წინაზე ნაკლებიდა მისი ყველა პირობა მცირდება განუსაზღვრელი ვადით, მიდის მინუს უსასრულობამდე.

ახლა დავფიქრდეთ: რა საერთო აქვს ამ ორ პროგრესს? ასეა, მნიშვნელი! Აქ და იქ ქ = +2 . დადებითი ნომერი.დეუსი. Და აქ მოქმედებაეს ორი პროგრესი ფუნდამენტურად განსხვავებულია! ვერ მიხვდი რატომ? დიახ! ეს ყველაფერი პირველი წევრი!სწორედ ის, როგორც იტყვიან, ბრძანებს მუსიკას.) ნახეთ თავად.

პირველ შემთხვევაში, პროგრესის პირველი ვადა დადებითი(+1) და, მაშასადამე, ყველა მომდევნო წევრი მიღებული გამრავლებით დადებითიმნიშვნელი ქ = +2 , ასევე დადებითი.

მაგრამ მეორე შემთხვევაში, პირველი ვადა უარყოფითი(-ერთი). ამრიგად, პროგრესიის ყველა მომდევნო წევრი მიღებულია გამრავლებით დადებითი ქ = +2 , ასევე მიიღება უარყოფითი."მინუს" "პლუს" ყოველთვის იძლევა "მინუსს", დიახ.)

როგორც ხედავთ, არითმეტიკული პროგრესიისგან განსხვავებით, გეომეტრიულ პროგრესიას შეუძლია მოიქცეს სრულიად განსხვავებულად, არა მხოლოდ დამოკიდებულია მნიშვნელიდანქ, არამედ დამოკიდებულია პირველი წევრიდან, დიახ.)

გახსოვდეთ: გეომეტრიული პროგრესიის ქცევას ცალსახად განსაზღვრავს მისი პირველი წევრი ბ 1 და მნიშვნელიქ .

ახლა კი ვიწყებთ ნაკლებად ნაცნობი, მაგრამ ბევრად უფრო საინტერესო შემთხვევების ანალიზს!

მიიღეთ, მაგალითად, შემდეგი თანმიმდევრობა:

(ბ ნ): 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, …

ეს თანმიმდევრობა ასევე გეომეტრიული პროგრესიაა! ასევე მიღებულია ამ პროგრესის თითოეული წევრი გამრავლებაწინა ვადა, იგივე რაოდენობით. მხოლოდ ნომერია წილადი: ქ = +1/2 . ან +0,5 . და (მნიშვნელოვანი!) ნომერი, უფრო პატარა:ქ = 1/2<1.

რა არის საინტერესო ამ გეომეტრიულ პროგრესში? სად მიდიან მისი წევრები? მოდით შევხედოთ:

1/2 = 0,5;

1/4 = 0,25;

1/8 = 0,125;

1/16 = 0,0625;

…….

რა არის აქ საინტერესო? პირველი, პროგრესის წევრების შემცირება მაშინვე თვალშისაცემია: მისი თითოეული წევრი უფრო პატარაწინა ზუსტად 2 ჯერ.ან, გეომეტრიული პროგრესიის განმარტების მიხედვით, თითოეული ტერმინი მეტიწინა 1/2 ჯერ, იმიტომ პროგრესიის მნიშვნელი ქ = 1/2 . და ერთზე ნაკლები დადებითი რიცხვით გამრავლებით, შედეგი ჩვეულებრივ მცირდება, დიახ ...

Რა მეტიჩანს ამ პროგრესის ქცევაში? ქრება მისი წევრები? შეუზღუდავი, მიდიხარ მინუს უსასრულობამდე? არა! ისინი ქრება განსაკუთრებული გზით. თავდაპირველად ისინი საკმაოდ სწრაფად მცირდება, შემდეგ კი უფრო და უფრო ნელა. და მთელი ყოფნის დროს დადებითი. თუმცა ძალიან, ძალიან პატარა. და რისკენ ისწრაფვიან? ვერ გამოიცანით? დიახ! ისინი ნულისკენ მიდრეკილნი არიან!) და ყურადღება მიაქციეთ ჩვენი პროგრესის წევრებს არასოდეს მიაღწიო!მხოლოდ მასთან უსაზღვროდ ახლოს. Ეს ძალიან მნიშვნელოვანია.)

მსგავსი სიტუაცია იქნება ასეთ პროგრესში:

(ბ ნ): -1, -1/2, -1/4, -1/8, -1/16, …

Აქ ბ 1 = -1 , ა ქ = 1/2 . ყველაფერი იგივეა, მხოლოდ ახლა წევრები მიუახლოვდებიან ნულს მეორე მხრიდან, ქვემოდან. სულ დარჩენა უარყოფითი.)

ისეთი გეომეტრიული პროგრესია, რომლის წევრებიც უახლოვდება ნულს განუსაზღვრელი ვადით.(არ აქვს მნიშვნელობა, დადებითი ან უარყოფითი მხარე), მათემატიკაში მას განსაკუთრებული სახელი აქვს - უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესია.ეს პროგრესი იმდენად საინტერესო და უჩვეულოა, რომ ასეც იქნება ცალკე გაკვეთილი .)

ასე რომ, ჩვენ განვიხილეთ ყველაფერი შესაძლებელი დადებითიმნიშვნელები არის როგორც დიდი, ასევე პატარა. ჩვენ თვითონ არ მივიჩნევთ მნიშვნელად ზემოთ ჩამოთვლილი მიზეზების გამო (გაიხსენეთ მაგალითი სამეულების თანმიმდევრობით ...)

Შეჯამება:

დადებითიდა ერთზე მეტი (ქ>1), შემდეგ პროგრესიის წევრები:

ა) იზრდება განუსაზღვრელი ვადით (თუბ 1 >0);

ბ) მცირდება განუსაზღვრელი ვადით (თუბ 1 <0).

თუ გეომეტრიული პროგრესიის მნიშვნელი დადებითი და ერთზე ნაკლები (0< ქ<1), то члены прогрессии:

ა) უსასრულოდ ახლოს ნულთან ზემოთ(თუბ 1 >0);

ბ) უსასრულოდ ახლოს ნულთან ქვემოდან(თუბ 1 <0).

ახლა რჩება საქმის განხილვა უარყოფითი მნიშვნელი.

მნიშვნელი უარყოფითია ( ქ <0)

მაგალითისთვის შორს არ წავალთ. რატომ, ფაქტობრივად, შაგი ბებია?!) ​​მოდით, მაგალითად, პროგრესის პირველი წევრი იყოს ბ 1 = 1 და აიღეთ მნიშვნელი q = -2.

ჩვენ ვიღებთ შემდეგ თანმიმდევრობას:

(ბ ნ): 1, -2, 4, -8, 16, …

და ასე შემდეგ.) პროგრესირების ყოველი ტერმინი მიიღება გამრავლებაწინა წევრი ჩართულია უარყოფითი რიცხვი-2. ამ შემთხვევაში, ყველა წევრი კენტ ადგილებზე (პირველი, მესამე, მეხუთე და ა.შ.) იქნება დადებითიდა თანაბარ ადგილებში (მეორე, მეოთხე და ა.შ.) - უარყოფითი.ნიშნები მკაცრად არის გადაჯაჭვული. პლუს-მინუს-პლუს-მინუს ... ასეთ გეომეტრიულ პროგრესიას ეწოდება - მზარდი ნიშანი მონაცვლეობით.

სად მიდიან მისი წევრები? და არსად.) დიახ, აბსოლუტურ მნიშვნელობაში (ანუ მოდულო)ჩვენი პროგრესირების ვადები იზრდება განუსაზღვრელი ვადით (აქედან გამომდინარე, სახელწოდება "იზრდება"). მაგრამ ამავე დროს, პროგრესის თითოეული წევრი მონაცვლეობით აგდებს მას სიცხეში, შემდეგ სიცივეში. ან პლუსი ან მინუსი. ჩვენი პროგრესი მერყეობს... უფრო მეტიც, რყევების დიაპაზონი ყოველ ნაბიჯზე სწრაფად იზრდება, დიახ.) ამიტომ, პროგრესის წევრების მისწრაფებები სადმე წასასვლელად. კონკრეტულადაქ არა.არც პლიუს უსასრულობამდე, არც მინუს უსასრულობამდე და არც ნულამდე - არსად.

ახლა განვიხილოთ წილადის მნიშვნელი ნულსა და მინუს ერთს შორის.

მაგალითად, ასე იყოს ბ 1 = 1 , ა q = -1/2.

შემდეგ მივიღებთ პროგრესს:

(ბ ნ): 1, -1/2, 1/4, -1/8, 1/16, …

და ისევ გვაქვს ნიშნების მონაცვლეობა! მაგრამ, წინა მაგალითისგან განსხვავებით, აქ უკვე აშკარაა ტერმინების ნულის მიახლოების ტენდენცია.) მხოლოდ ამჯერად ჩვენი ტერმინები ნულს უახლოვდება არა მკაცრად ზემოდან ან ქვემოდან, არამედ ისევ. ყოყმანობს. დადებითი ან უარყოფითი მნიშვნელობების მონაცვლეობით აღება. მაგრამ ამავე დროს ისინი მოდულებისულ უფრო და უფრო უახლოვდებიან სანუკვარ ნულს.)

ამ გეომეტრიულ პროგრესიას ე.წ უსასრულოდ კლებადი მონაცვლეობის ნიშანი.

რატომ არის ეს ორი მაგალითი საინტერესო? და ის ფაქტი, რომ ორივე შემთხვევაში ხდება მონაცვლეობითი პერსონაჟები!ასეთი ჩიპი დამახასიათებელია მხოლოდ უარყოფითი მნიშვნელის მქონე პროგრესებისთვის, დიახ.) ამიტომ, თუ რომელიმე ამოცანაში გეომეტრიულ პროგრესიას ხედავთ ალტერნატიული წევრებით, მაშინ უკვე მტკიცედ გეცოდინებათ, რომ მისი მნიშვნელი 100% უარყოფითია და არ ცდებით. ნიშანში.)

სხვათა შორის, უარყოფითი მნიშვნელის შემთხვევაში, პირველი ტერმინის ნიშანი საერთოდ არ მოქმედებს თავად პროგრესიის ქცევაზე. როგორიც არ უნდა იყოს პროგრესირების პირველი წევრის ნიშანი, ნებისმიერ შემთხვევაში შეინიშნება წევრების მონაცვლეობის ნიშანი. მთელი კითხვა მხოლოდ რა ადგილებში(ლუწი ან კენტი) იქნება წევრები კონკრეტული ნიშნებით.

გახსოვდეთ:

თუ გეომეტრიული პროგრესიის მნიშვნელი უარყოფითი , მაშინ პროგრესის პირობების ნიშნები ყოველთვის არის ალტერნატიული.

ამავე დროს, თავად წევრები:

ა) გაზრდის განუსაზღვრელი ვადითმოდული, თუქ<-1;

ბ) უსასრულოდ მივუდგეთ ნულს, თუ -1< ქ<0 (прогрессия бесконечно убывающая).

Სულ ეს არის. გაანალიზებულია ყველა ტიპიური შემთხვევა.)

გეომეტრიული პროგრესიის სხვადასხვა მაგალითების გაანალიზების პროცესში პერიოდულად ვიყენებდი სიტყვებს: "მიდრეკილია ნულისკენ", "მიდრეკილია პლუს უსასრულობისკენ", მიდრეკილია მინუს უსასრულობისკენ... არა უშავს.) ეს მეტყველების მონაცვლეობა (და კონკრეტული მაგალითები) მხოლოდ საწყისი გაცნობაა. მოქმედებასხვადასხვა რიცხვების თანმიმდევრობა. გეომეტრიული პროგრესიის მაგალითი.

რატომ უნდა ვიცოდეთ პროგრესის ქცევა? რა მნიშვნელობა აქვს სად მიდის? ნულამდე, პლუს უსასრულობამდე, მინუს უსასრულობამდე... რა გვაინტერესებს ეს?

საქმე ის არის, რომ უკვე უნივერსიტეტში, უმაღლესი მათემატიკის კურსზე, დაგჭირდებათ სხვადასხვა რიცხვითი მიმდევრობით მუშაობის უნარი (ნებისმიერი, არა მხოლოდ პროგრესიით!) და ზუსტად წარმოიდგინოთ, როგორ იქცევა ესა თუ ის მიმდევრობა. - იზრდება თუ არა შეუზღუდავია, მცირდება თუ არა, მიდრეკილია თუ არა კონკრეტულ რიცხვზე (და არ არის აუცილებელი ნულისკენ), ან საერთოდ არაფერზე მიდრეკილია... ამ თემას მთელი განყოფილება ეთმობა. მათემატიკური ანალიზი - ლიმიტის თეორია.ცოტა უფრო კონკრეტულად, კონცეფცია რიცხვთა თანმიმდევრობის ლიმიტი.ძალიან საინტერესო თემაა! აზრი აქვს კოლეჯში წასვლას და ამის გარკვევას.)

ზოგიერთი მაგალითი ამ განყოფილებიდან (მიმდევრობები, რომლებსაც აქვთ ლიმიტი) და კერძოდ, უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიადაიწყეთ სწავლა სკოლაში. შეჩვევა.)

უფრო მეტიც, მომავალში მიმდევრობების ქცევის კარგად შესწავლის უნარი დიდად ითამაშებს ხელში და ძალიან სასარგებლო იქნება ფუნქციის კვლევა.ყველაზე მრავალფეროვანი. მაგრამ ფუნქციებთან კომპეტენტურად მუშაობის უნარი (წარმოებულების გამოთვლა, მათი სრულად შესწავლა, მათი გრაფიკების აგება) უკვე მკვეთრად ზრდის თქვენს მათემატიკურ დონეს! ეჭვი? Არ არის საჭიროება. ასევე დაიმახსოვრე ჩემი სიტყვები.)

მოდით შევხედოთ გეომეტრიულ პროგრესს ცხოვრებაში?

ჩვენს ირგვლივ ცხოვრებაში ჩვენ ვხვდებით ექსპონენციალურ პროგრესს ძალიან, ძალიან ხშირად. არც კი ვიცი.)

მაგალითად, სხვადასხვა მიკროორგანიზმები, რომლებიც ყველგან გვახვევენ უზარმაზარი რაოდენობით და რომლებსაც მიკროსკოპის გარეშეც კი ვერ ვხედავთ, ზუსტად მრავლდებიან გეომეტრიული პროგრესიით.

ვთქვათ, ერთი ბაქტერია მრავლდება შუაზე გაყოფით და შთამომავლობას აძლევს 2 ბაქტერიას. თავის მხრივ, თითოეული მათგანი, გამრავლებით, ასევე იყოფა შუაზე, რაც იძლევა 4 ბაქტერიის საერთო შთამომავლობას. შემდეგი თაობა მისცემს 8 ბაქტერიას, შემდეგ 16 ბაქტერიას, 32, 64 და ასე შემდეგ. ყოველი მომდევნო თაობის დროს ბაქტერიების რაოდენობა ორმაგდება. გეომეტრიული პროგრესიის ტიპიური მაგალითი.)

ასევე, ზოგიერთი მწერი - ბუგრები, ბუზები - მრავლდება ექსპონენტურად. და კურდღლები ზოგჯერ, სხვათა შორის, ასევე.)

ყოველდღიურ ცხოვრებასთან უფრო ახლოს გეომეტრიული პროგრესიის კიდევ ერთი მაგალითია ე.წ საერთო ინტერესი.ასეთი საინტერესო ფენომენი ხშირად გვხვდება საბანკო დეპოზიტებში და ე.წ პროცენტის კაპიტალიზაცია.რა არის ეს?

თქვენ თვითონ, რა თქმა უნდა, ჯერ კიდევ ახალგაზრდა ხართ. სკოლაში სწავლობ, ბანკებს არ მიმართავ. მაგრამ თქვენი მშობლები უფროსები და დამოუკიდებელი ადამიანები არიან. ისინი მიდიან სამსახურში, შოულობენ ფულს დღიური პურის სანაცვლოდ და ფულის ნაწილს ბანკში დებენ და ზოგავენ.)

დავუშვათ, რომ მამაშენს სურს დაზოგოს გარკვეული თანხა თურქეთში ოჯახური დასვენებისთვის და ბანკში ჩადოს 50000 რუბლი წელიწადში 10%-ით სამი წლის განმავლობაში. წლიური საპროცენტო კაპიტალიზაციით.უფრო მეტიც, დეპოზიტით არაფრის გაკეთება არ შეიძლება მთელი ამ პერიოდის განმავლობაში. თქვენ არ შეგიძლიათ არც დეპოზიტის შევსება და არც ანგარიშიდან თანხის ამოღება. რა მოგება ექნება ამ სამ წელიწადში?

კარგად, პირველ რიგში, თქვენ უნდა გაარკვიოთ რა არის წლიური 10%. Ეს ნიშნავს, რომ წელიწადშისაწყის ანაბრის თანხას ბანკი დაემატება 10%. რისგან? რა თქმა უნდა, დან საწყისი დეპოზიტის თანხა.

გამოთვალეთ ანგარიშის ოდენობა წელიწადში. თუ დეპოზიტის საწყისი თანხა იყო 50000 რუბლი (ანუ 100%), მაშინ რამდენი პროცენტი იქნება ანგარიშზე წელიწადში? მართალია, 110%! 50000 რუბლიდან.

ასე რომ, ჩვენ განვიხილავთ 50,000 რუბლის 110% -ს:

50,000 1.1 \u003d 55,000 რუბლი.

იმედი მაქვს გესმით, რომ მნიშვნელობის 110%-ის პოვნა ნიშნავს ამ მნიშვნელობის 1.1 რიცხვზე გამრავლებას? თუ არ გესმით, რატომ არის ასე, გაიხსენეთ მეხუთე და მეექვსე კლასები. სახელდობრ - პროცენტების ურთიერთობა წილადებთან და ნაწილებთან.)

ამრიგად, პირველი წლის ზრდა იქნება 5000 რუბლი.

რამდენი თანხა იქნება ანგარიშზე ორი წლის შემდეგ? 60000 რუბლი? სამწუხაროდ (უფრო სწორად, საბედნიეროდ), ეს არც ისე მარტივია. პროცენტის კაპიტალიზაციის მთელი ხრიკი იმაში მდგომარეობს, რომ ყოველი ახალი პროცენტის დარიცხვისას, იგივე პროცენტი უკვე განიხილება ახალი თანხიდან!იმისგან ვინც უკვეარის ანგარიშზე Ამ წუთას.ხოლო წინა ვადაზე დარიცხული პროცენტი ემატება დეპოზიტის საწყის თანხას და, ამრიგად, ისინი თავად იღებენ მონაწილეობას ახალი პროცენტის დაანგარიშებაში! ანუ ისინი ხდებიან მთლიანი ანგარიშის სრული ნაწილი. ან გენერალური კაპიტალი.აქედან მოდის სახელი - პროცენტის კაპიტალიზაცია.

ეკონომიკაშია. მათემატიკაში კი ასეთ პროცენტებს უწოდებენ საერთო ინტერესი.ან პროცენტის პროცენტი.) მათი ხრიკი ისაა, რომ თანმიმდევრული გაანგარიშებისას ყოველ ჯერზე პროცენტები გამოითვლება ახალი მნიშვნელობიდან.ორიგინალიდან არა...

მაშასადამე, იმისათვის, რომ გამოვთვალოთ ჯამი მეშვეობით ორი წელი, უნდა გამოვთვალოთ იმ თანხის 110%, რომელიც იქნება ანგარიშზე წელიწადში.ანუ უკვე 55000 რუბლიდან.

ჩვენ განვიხილავთ 55,000 რუბლის 110% -ს:

55000 1.1 \u003d 60500 რუბლი.

ეს ნიშნავს, რომ პროცენტული ზრდა მეორე წლისთვის უკვე იქნება 5,500 რუბლი, ხოლო ორი წლის განმავლობაში - 10,500 რუბლი.

ახლა უკვე შეგიძლიათ გამოიცნოთ, რომ სამ წელიწადში ანგარიშზე თანხა იქნება 60,500 რუბლის 110%. ეს ისევ 110% წინადან (შარშან)თანხები.

აქ განვიხილავთ:

60500 1.1 \u003d 66550 რუბლი.

და ახლა ჩვენ ვაგროვებთ ჩვენს ფულად თანხებს წლების მიხედვით თანმიმდევრობით:

50000;

55000 = 50000 1.1;

60500 = 55000 1.1 = (50000 1.1) 1.1;

66550 = 60500 1.1 = ((50000 1.1) 1.1) 1.1

მაშ როგორ? რატომ არა გეომეტრიული პროგრესია? პირველი წევრი ბ 1 = 50000 , და მნიშვნელი ქ = 1,1 . თითოეული ტერმინი მკაცრად 1,1-ჯერ მეტია წინაზე. ყველაფერი მკაცრად შეესაბამება განმარტებას.)

და რამდენ პროცენტულ ბონუსს დამატებით „ჩამოგდებს“ მამაშენი, როცა მისი 50 000 რუბლი სამი წლის განმავლობაში საბანკო ანგარიშზე იყო?

Ჩვენ გვჯერა:

66550 - 50000 = 16550 რუბლი

ცუდია, რა თქმა უნდა. მაგრამ ეს იმ შემთხვევაში, თუ შენატანის საწყისი თანხა მცირეა. რა მოხდება, თუ მეტია? ვთქვათ, არა 50, არამედ 200 ათასი რუბლი? მაშინ ზრდა სამი წლის განმავლობაში უკვე იქნება 66,200 რუბლი (თუ ითვლით). რაც უკვე ძალიან კარგია.) და თუ წვლილი კიდევ უფრო დიდია? სწორედ ეს არის...

დასკვნა: რაც უფრო მაღალია საწყისი შენატანი, მით უფრო მომგებიანი ხდება პროცენტის კაპიტალიზაცია. ამიტომ საპროცენტო კაპიტალიზაციით დეპოზიტებს ბანკები აწვდიან გრძელვადიან პერიოდს. ვთქვათ ხუთი წელი.

ასევე, ყველა სახის ცუდი დაავადება, როგორიცაა გრიპი, წითელა და კიდევ უფრო საშინელი დაავადებები (იგივე SARS 2000-იანი წლების დასაწყისში ან ჭირი შუა საუკუნეებში) მოსწონს ექსპონენტურად გავრცელება. აქედან გამომდინარეობს ეპიდემიების მასშტაბები, დიახ...) და ეს ყველაფერი იმის გამო, რომ გეომეტრიული პროგრესია მთელი დადებითი მნიშვნელი (ქ>1) - რამ, რომელიც ძალიან სწრაფად იზრდება! გაიხსენეთ ბაქტერიების გამრავლება: ერთი ბაქტერიიდან მიიღება ორი, ორიდან - ოთხი, ოთხიდან - რვა და ასე შემდეგ... ნებისმიერი ინფექციის გავრცელებისას ყველაფერი ერთნაირია.)

უმარტივესი პრობლემები გეომეტრიულ პროგრესიაში.

დავიწყოთ, როგორც ყოველთვის, მარტივი პრობლემით. მხოლოდ მნიშვნელობის გასაგებად.

1. ცნობილია, რომ გეომეტრიული პროგრესიის მეორე წევრი არის 6, ხოლო მნიშვნელი -0,5. იპოვეთ პირველი, მესამე და მეოთხე ტერმინები.

ასე რომ, ჩვენ გვეძლევა გაუთავებელიგეომეტრიული პროგრესია, კარგად ცნობილი მეორე წევრიეს პროგრესი:

b2 = 6

გარდა ამისა, ჩვენ ასევე ვიცით პროგრესიის მნიშვნელი:

q = -0.5

და თქვენ უნდა იპოვოთ პირველი, მესამედა მეოთხეამ პროგრესის წევრები.

აქ ჩვენ ვმოქმედებთ. თანმიმდევრობას ვწერთ პრობლემის მდგომარეობის მიხედვით. პირდაპირ ზოგადი თვალსაზრისით, სადაც მეორე წევრი არის ექვსი:

b1,6,ბ 3 , ბ 4 , …

ახლა დავიწყოთ ძებნა. ჩვენ ვიწყებთ, როგორც ყოველთვის, უმარტივესით. შეგიძლიათ გამოთვალოთ, მაგალითად, მესამე ტერმინი ბ 3? შეიძლება! ჩვენ უკვე ვიცით (პირდაპირ გეომეტრიული პროგრესიის გაგებით), რომ მესამე წევრი (ბ 3)წამზე მეტი (ბ 2 ) in "q"ერთხელ!

ასე რომ, ჩვენ ვწერთ:

b 3 =ბ 2 · ქ

ამ გამოსახულებაში ექვსს ვცვლით ნაცვლად ბ 2და -0.5 ნაცვლად ქდა ჩვენ ვფიქრობთ. და მინუსი ასევე არ არის იგნორირებული, რა თქმა უნდა ...

b 3 \u003d 6 (-0.5) \u003d -3

Ამგვარად. მესამე ვადა უარყოფითი გამოდგა. გასაკვირი არ არის: ჩვენი მნიშვნელი ქ- უარყოფითი. და პლუს გამრავლებული მინუსზე, ეს, რა თქმა უნდა, იქნება მინუს.)

ჩვენ ახლა განვიხილავთ პროგრესის შემდეგ, მეოთხე ტერმინს:

b 4 =ბ 3 · ქ

b 4 \u003d -3 (-0.5) \u003d 1.5

მეოთხე ვადა ისევ პლიუსით. მეხუთე წევრი ისევ იქნება მინუსით, მეექვსე პლიუსით და ა.შ. ნიშნები - ალტერნატიული!

ასე რომ, მესამე და მეოთხე წევრები იპოვეს. შედეგი არის შემდეგი თანმიმდევრობა:

b1; 6; -3; 1.5; …

ახლა რჩება პირველი ტერმინის პოვნა ბ 1ცნობილი მეორეს მიხედვით. ამისათვის ჩვენ გადავდივართ სხვა მიმართულებით, მარცხნივ. ეს ნიშნავს, რომ ამ შემთხვევაში არ გვჭირდება პროგრესიის მეორე წევრის მნიშვნელზე გამრავლება, არამედ გაზიარება.

ვყოფთ და ვიღებთ:

სულ ესაა.) პრობლემაზე პასუხი ასეთი იქნება:

-12; 6; -3; 1,5; …

როგორც ხედავთ, გადაწყვეტის პრინციპი იგივეა, რაც . Ჩვენ ვიცით ნებისმიერიწევრი და მნიშვნელიგეომეტრიული პროგრესია - ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ ნებისმიერი სხვა ტერმინი. რაც გვინდა, ერთს ვიპოვით.) ერთადერთი განსხვავება ისაა, რომ შეკრება/გამოკლება იცვლება გამრავლებით/გაყოფით.

დაიმახსოვრეთ: თუ ვიცით გეომეტრიული პროგრესიის ერთი წევრი და მნიშვნელი მაინც, მაშინ ყოველთვის შეგვიძლია ვიპოვოთ ამ პროგრესიის ნებისმიერი სხვა წევრი.

შემდეგი დავალება, ტრადიციის მიხედვით, არის OGE-ს რეალური ვერსიიდან:

2.

…; 150; X; 6; 1.2; …

მაშ როგორ? ამჯერად არ არის პირველი ტერმინი, არ არის მნიშვნელი ქ, მხოლოდ რიცხვების თანმიმდევრობაა მოცემული ... უკვე ნაცნობი რამეა, არა? დიახ! მსგავსი პრობლემა უკვე განხილულია არითმეტიკული პროგრესიის დროს!

აქ ჩვენ არ გვეშინია. Ერთი და იგივე. გადაატრიალეთ თავი და დაიმახსოვრე გეომეტრიული პროგრესიის ელემენტარული მნიშვნელობა. ჩვენ ყურადღებით ვაკვირდებით ჩვენს თანმიმდევრობას და ვხვდებით სამი ძირითადის (პირველი წევრი, მნიშვნელი, წევრის ნომერი) გეომეტრიული პროგრესიის რომელი პარამეტრი იმალება მასში.

წევრების ნომრები? წევრების ნომრები არ არის, დიახ... მაგრამ არის ოთხი თანმიმდევრულინომრები. რას ნიშნავს ეს სიტყვა, ამ ეტაპზე ახსნის აზრს ვერ ვხედავ.) არის ორი მეზობელი ცნობილი ნომრები?Იქ არის! ეს არის 6 და 1.2. ასე რომ, ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ პროგრესიის მნიშვნელი.ამიტომ ვიღებთ რიცხვს 1.2 და ვყოფთ წინა ნომერზე.ექვსისთვის.

ჩვენ ვიღებთ:

ჩვენ ვიღებთ:

x= 150 0.2 = 30

პასუხი: x = 30 .

როგორც ხედავთ, ყველაფერი საკმაოდ მარტივია. მთავარი სირთულე მხოლოდ გამოთვლებშია. განსაკუთრებით რთულია უარყოფითი და წილადი მნიშვნელების შემთხვევაში. ამიტომ ვისაც პრობლემები აქვს, გაიმეორეთ არითმეტიკა! როგორ ვიმუშაოთ წილადებთან, როგორ ვიმუშაოთ უარყოფით რიცხვებთან და ასე შემდეგ... თორემ აქ უმოწყალოდ შეანელებთ.

ახლა ცოტა შევცვალოთ პრობლემა. ახლა საინტერესო გახდება! ამოვიღოთ მასში ბოლო რიცხვი 1.2. მოდი ახლავე მოვაგვაროთ ეს პრობლემა:

3. იწერება გეომეტრიული პროგრესიის რამდენიმე თანმიმდევრული პირობა:

…; 150; X; 6; …

იპოვეთ პროგრესიის ტერმინი, რომელიც აღინიშნება ასო x.

ყველაფერი იგივეა, მხოლოდ ორი მეზობელია ცნობილიპროგრესის წევრები აღარ გვყავს. ეს არის მთავარი პრობლემა. რადგან სიდიდე ქორი მეზობელი ტერმინის მეშვეობით უკვე მარტივად შეგვიძლია განვსაზღვროთ ჩვენ არ შეგვიძლია.გვაქვს თუ არა შანსი გამოწვევას? Რა თქმა უნდა!

მოდით დავწეროთ უცნობი ტერმინი" x„პირდაპირ გეომეტრიული პროგრესიის გაგებით! ზოგადად.

Დიახ დიახ! პირდაპირ უცნობი მნიშვნელით!

ერთის მხრივ, x-ისთვის შეგვიძლია დავწეროთ შემდეგი თანაფარდობა:

x= 150ქ

მეორეს მხრივ, ჩვენ გვაქვს სრული უფლება დავხატოთ იგივე X მეშვეობით შემდეგიწევრი, ექვსის მეშვეობით! ექვსი გაყავით მნიშვნელზე.

Ამგვარად:

x = 6/ ქ

ცხადია, ახლა ჩვენ შეგვიძლია გავაიგივოთ ორივე ეს თანაფარდობა. ვინაიდან ჩვენ გამოვხატავთ იგივემნიშვნელობა (x), მაგრამ ორი სხვადასხვა გზები.

ჩვენ ვიღებთ განტოლებას:

ყველაფრის გამრავლება ქ, გამარტივებით, შემცირებით, ვიღებთ განტოლებას:

q 2 \u003d 1/25

ჩვენ ვხსნით და ვიღებთ:

q = ±1/5 = ±0.2

უი! მნიშვნელი ორმაგია! +0.2 და -0.2. და რომელი აირჩიოს? Ჩიხი?

დამშვიდდი! დიახ, პრობლემა ნამდვილად არის ორი გამოსავალი!ამაში ცუდი არაფერია. ხდება.) არ გიკვირს, როცა, მაგალითად, ჩვეულის ამოხსნით ორ ფესვს იღებ? აქაც იგივე ამბავია.)

ამისთვის q = +0.2ჩვენ მივიღებთ:

X \u003d 150 0.2 \u003d 30

და ამისთვის ქ = -0,2 იქნება:

X = 150 (-0.2) = -30

ჩვენ ვიღებთ ორმაგ პასუხს: x = 30; x = -30.

რას ნიშნავს ეს საინტერესო ფაქტი? და რაც არსებობს ორი პროგრესიით, დააკმაყოფილებს პრობლემის პირობას!

ამათ მსგავსად:

…; 150; 30; 6; …

…; 150; -30; 6; …

ორივე შესაფერისია.) როგორ ფიქრობთ, რა არის პასუხის ბიფურკაციის მიზეზი? მხოლოდ პროგრესის (1,2) კონკრეტული წევრის აღმოფხვრის გამო, რომელიც მოდის ექვსის შემდეგ. და გეომეტრიული პროგრესიის მხოლოდ წინა (n-1)-ე და მომდევნო (n+1)-ე წევრების ცოდნა, მათ შორის მდგარ n-ე წევრზე ცალსახად ვეღარაფერს ვიტყვით. არსებობს ორი ვარიანტი - პლუს და მინუსი.

მაგრამ ამას არ აქვს მნიშვნელობა. როგორც წესი, გეომეტრიული პროგრესიის ამოცანებში არის დამატებითი ინფორმაცია, რომელიც იძლევა ერთმნიშვნელოვან პასუხს. მოდით ვთქვათ სიტყვები: "ნიშნის ალტერნატიული პროგრესია"ან "პროგრესია დადებითი მნიშვნელით"და ა.შ.. სწორედ ეს სიტყვები უნდა იყოს მინიშნება, რომელი ნიშანი, პლუს ან მინუს, უნდა შეირჩეს საბოლოო პასუხის გაკეთებისას. თუ ასეთი ინფორმაცია არ არის, მაშინ - დიახ, დავალება ექნება ორი გამოსავალი.)

ახლა კი ჩვენ თვითონ გადავწყვიტეთ.

4. დაადგინეთ, იქნება თუ არა რიცხვი 20 გეომეტრიული პროგრესიის წევრი:

4 ; 6; 9; …

5. მონაცვლეობითი გეომეტრიული პროგრესია მოცემულია:

…; 5; x ; 45; …

იპოვეთ ასოში მითითებული პროგრესირების ვადა x .

6. იპოვეთ გეომეტრიული პროგრესიის მეოთხე დადებითი წევრი:

625; -250; 100; …

7. გეომეტრიული პროგრესიის მეორე წევრია -360, ხოლო მისი მეხუთე წევრი არის 23.04. იპოვეთ ამ პროგრესიის პირველი წევრი.

პასუხები (არეულად): -15; 900; არა; 2.56.

გილოცავ, თუ ყველაფერი გამოვიდა!

რაღაც არ ჯდება? არის სადმე ორმაგი პასუხი? დავალების პირობებს ყურადღებით ვკითხულობთ!

ბოლო თავსატეხი არ მუშაობს? იქ არაფერია რთული.) ჩვენ ვმუშაობთ უშუალოდ გეომეტრიული პროგრესიის მნიშვნელობის მიხედვით. კარგად, შეგიძლიათ დახატოთ სურათი. ეს ეხმარება.)

როგორც ხედავთ, ყველაფერი ელემენტარულია. თუ პროგრესი ხანმოკლეა. რა მოხდება, თუ გრძელია? თუ სასურველი წევრის რაოდენობა ძალიან დიდია? მსურს, არითმეტიკული პროგრესიის ანალოგიით, როგორმე მივიღო მოსახერხებელი ფორმულა, რომელიც გაადვილებს პოვნას ნებისმიერინებისმიერი გეომეტრიული პროგრესიის წევრი მისი ნომრით.ბევრჯერ, ბევრჯერ გამრავლების გარეშე ქ. და არის ასეთი ფორმულა!) დეტალები - შემდეგ გაკვეთილზე.

რიცხვითი მიმდევრობები VI

§ l48. უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის ჯამი

აქამდე, ჯამებზე საუბრისას, ყოველთვის ვივარაუდეთ, რომ ამ ჯამებში ტერმინების რაოდენობა სასრულია (მაგალითად, 2, 15, 1000 და ა.შ.). მაგრამ ზოგიერთი ამოცანის ამოხსნისას (განსაკუთრებით უმაღლესი მათემატიკა), საქმე უსასრულო რაოდენობის ტერმინების ჯამებთან უნდა იყოს.

S= ა 1 + ა 2 + ... + ა ნ + ... . (1)

რა არის ეს თანხები? ა-პრიორიტეტი უსასრულო რაოდენობის წევრთა ჯამი ა 1 , ა 2 , ..., ა ნ , ... ეწოდება ჯამის ზღვარი S ნ პირველი პ ნომრები როცა პ -> ∞ :

S=S ნ = (ა 1 + ა 2 + ... + ა ნ ). (2)

ლიმიტი (2), რა თქმა უნდა, შეიძლება არსებობდეს ან არ იყოს. შესაბამისად, ჯამს (1) ამბობენ, რომ არსებობს ან არ არსებობს.

როგორ გავარკვიოთ არის თუ არა ჯამი (1) თითოეულ კონკრეტულ შემთხვევაში? ამ საკითხის ზოგადი გადაწყვეტა სცილდება ჩვენი პროგრამის ფარგლებს. თუმცა, არის ერთი მნიშვნელოვანი განსაკუთრებული შემთხვევა, რომელიც ახლა უნდა განვიხილოთ. ჩვენ ვისაუბრებთ უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის წევრთა ჯამზე.

დაე იყოს ა 1 , ა 1 ქ , ა 1 ქ 2, ... არის უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესია. ეს ნიშნავს, რომ | ქ |< 1. Сумма первых პ ამ პროგრესის წევრები უდრის

ცვლადების ზღვრების ძირითადი თეორემებიდან (იხ. § 136) ვიღებთ:

მაგრამ 1 = 1, ა q n = 0. ამიტომ

ასე რომ, უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის ჯამი უდრის ამ პროგრესის პირველ წევრს გაყოფილი ერთზე გამოკლებული ამ პროგრესიის მნიშვნელი.

1) გეომეტრიული პროგრესიის ჯამი 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... არის

ხოლო გეომეტრიული პროგრესიის ჯამი არის 12; -6; 3; - 3/2, ... უდრის

2) მარტივი პერიოდული წილადი 0,454545 ... გადაიქცევა ჩვეულებრივად.

ამ პრობლემის გადასაჭრელად, ჩვენ წარმოვადგენთ ამ წილადს უსასრულო ჯამის სახით:

ამ ტოლობის მარჯვენა მხარე არის უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის ჯამი, რომლის პირველი წევრია 45/100, ხოლო მნიშვნელი არის 1/100. Ისე

აღწერილი წესით, მარტივი პერიოდული წილადების ჩვეულებრივ წილადებად გადაქცევის ზოგადი წესიც შეიძლება მივიღოთ (იხ. თავი II, § 38):

მარტივი პერიოდული წილადის ჩვეულებრივად გადასაყვანად, თქვენ უნდა იმოქმედოთ შემდეგნაირად: ჩასვით ათწილადის პერიოდი მრიცხველში, ხოლო მნიშვნელში - რიცხვი, რომელიც შედგება ცხრასაგან, აღებული იმდენჯერ, რამდენჯერაც არის რიცხვი პერიოდში. ათობითი წილადის.

3) შერეული პერიოდული წილადი 0,58333 .... გადაიქცევა ჩვეულებრივ წილადად.

წარმოვიდგინოთ ეს წილადი უსასრულო ჯამის სახით:

ამ ტოლობის მარჯვენა მხარეს ყველა წევრი, დაწყებული 3/1000-დან, ქმნის უსასრულოდ კლებად გეომეტრიულ პროგრესიას, რომლის პირველი წევრია 3/1000, ხოლო მნიშვნელი 1/10. Ისე

აღწერილი წესით, შერეული პერიოდული წილადების ჩვეულებრივ წილადებად გადაქცევის ზოგადი წესიც შეიძლება მივიღოთ (იხ. თავი II, § 38). ჩვენ შეგნებულად არ შევიტანთ მას აქ. არ არის საჭირო ამ უხერხული წესის დამახსოვრება. ბევრად უფრო სასარგებლოა იმის ცოდნა, რომ ნებისმიერი შერეული პერიოდული წილადი შეიძლება იყოს წარმოდგენილი, როგორც უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის ჯამი. და ფორმულა

უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის ჯამისთვის, რა თქმა უნდა, უნდა გვახსოვდეს.

როგორც სავარჯიშო, გეპატიჟებით, გარდა ქვემოთ მოყვანილი No995-1000 პრობლემებისა, კიდევ ერთხელ მიმართოთ No301 § 38 პრობლემას.

Სავარჯიშოები

995. რა ჰქვია უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის ჯამს?

996. იპოვეთ უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიების ჯამები:

997. რა ღირებულებებისთვის X პროგრესირება

უსასრულოდ მცირდება? იპოვეთ ასეთი პროგრესიის ჯამი.

998. გვერდითი ტოლგვერდა სამკუთხედში ა ახალი სამკუთხედი იწერება მისი გვერდების შუა წერტილების შეერთებით; ამ სამკუთხედში იგივენაირად იწერება ახალი სამკუთხედი და ა.შ. ad infinitum.

ა) ყველა ამ სამკუთხედის პერიმეტრების ჯამი;

ბ) მათი ფართობების ჯამი.

999. გვერდითი კვადრატში ა ახალი კვადრატი იწერება მისი გვერდების შუა წერტილების შეერთებით; ამ კვადრატში კვადრატი იწერება იმავე გზით და ასე უსასრულოდ. იპოვეთ ყველა ამ კვადრატის პერიმეტრის ჯამი და მათი ფართობების ჯამი.

1000. გააკეთეთ უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესია, ისეთი, რომ მისი ჯამი უდრის 25/4-ს, ხოლო მისი წევრთა კვადრატების ჯამი უდრის 625/24-ს.

მაგალითად, თანმიმდევრობა \(3\); \(6\); \(12\); \(24\); \(48\)… არის გეომეტრიული პროგრესია, რადგან ყოველი შემდეგი ელემენტი განსხვავდება წინადან ორჯერ (სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მისი მიღება შესაძლებელია წინადან ორზე გამრავლებით):

ნებისმიერი თანმიმდევრობის მსგავსად, გეომეტრიული პროგრესია აღინიშნება პატარა ლათინური ასოებით. რიცხვებს, რომლებიც ქმნიან პროგრესიას, მას უწოდებენ წევრები(ან ელემენტები). ისინი აღინიშნება იგივე ასოებით, როგორც გეომეტრიული პროგრესია, მაგრამ რიცხვითი ინდექსით, რომელიც ტოლია ელემენტის ნომრის თანმიმდევრობით.

მაგალითად, გეომეტრიული პროგრესია \(b_n = \(3; 6; 12; 24; 48…\)\) შედგება ელემენტებისაგან \(b_1=3\); \(b_2=6\); \(b_3=12\) და ასე შემდეგ. Სხვა სიტყვებით:

თუ გაიგებთ ზემოთ მოცემულ ინფორმაციას, თქვენ უკვე შეძლებთ ამ თემაზე არსებული პრობლემების უმეტესობის გადაჭრას.

მაგალითი (OGE):
გადაწყვეტილება:

უპასუხე : \(-686\).

მაგალითი (OGE): მოცემულია პროგრესის პირველი სამი წევრი \(324\); \(-108\); \(36\)…. იპოვეთ \(b_5\).
გადაწყვეტილება:

	თანმიმდევრობის გასაგრძელებლად, ჩვენ უნდა ვიცოდეთ მნიშვნელი. ვიპოვოთ ის ორი მეზობელი ელემენტიდან: რაზე უნდა გავამრავლოთ \(324\) რომ მივიღოთ \(-108\)?
\(324 q=-108\)	აქედან მარტივად შეგვიძლია გამოვთვალოთ მნიშვნელი.
\(q=-\) \(\frac(108)(324)\) \(=-\) \(\frac(1)(3)\)	ახლა ჩვენ ადვილად ვიპოვით საჭირო ელემენტს.
	პასუხი მზადაა.

უპასუხე : \(4\).

მაგალითი: პროგრესია მოცემულია პირობით \(b_n=0.8 5^n\). რომელი რიცხვია ამ პროგრესიის წევრი:

ა) \(-5\) ბ) \(100\) გ) \(25\) დ) \(0.8\) ?

გადაწყვეტილება: ამოცანის ფორმულირებიდან ჩანს, რომ ამ რიცხვებიდან ერთ-ერთი ნამდვილად ჩვენს პროგრესშია. ამიტომ, ჩვენ შეგვიძლია უბრალოდ გამოვთვალოთ მისი წევრები სათითაოდ, სანამ არ ვიპოვით საჭირო მნიშვნელობას. ვინაიდან ჩვენი პროგრესი მოცემულია ფორმულით, ჩვენ ვიანგარიშებთ ელემენტების მნიშვნელობებს სხვადასხვა \(n\) ჩანაცვლებით:
\(n=1\); \(b_1=0.8 5^1=0.8 5=4\) – სიაში ასეთი რიცხვი არ არის. Ჩვენ ვაგრძელებთ.
\(n=2\); \(b_2=0.8 5^2=0.8 25=20\) - და არც ეს არის.
\(n=3\); \(b_3=0.8 5^3=0.8 125=100\) – და აი ჩვენი ჩემპიონი!

პასუხი: \(100\).

მაგალითი (OGE): მოცემულია გეომეტრიული პროგრესიის რამდენიმე თანმიმდევრული წევრი …\(8\); \(x\); \(ორმოცდაათი\); \(-125\)…. იპოვეთ ელემენტის მნიშვნელობა, რომელიც აღინიშნება ასო \(x\).

გადაწყვეტილება:

პასუხი: \(-20\).

მაგალითი (OGE): პროგრესია მოცემულია პირობებით \(b_1=7\), \(b_(n+1)=2b_n\). იპოვეთ ამ პროგრესიის პირველი \(4\) ტერმინების ჯამი.

გადაწყვეტილება:

პასუხი: \(105\).

მაგალითი (OGE): ცნობილია, რომ ექსპონენტურად \(b_6=-11\),\(b_9=704\). იპოვეთ მნიშვნელი \(q\).

გადაწყვეტილება:

	მარცხნივ დიაგრამადან ჩანს, რომ \ (b_6 \)-დან \ (b_9 \)-მდე "მიღებისთვის" - ჩვენ ვდგამთ სამ "ნაბიჯს", ანუ ვამრავლებთ \ (b_6 \) სამჯერ. პროგრესიის მნიშვნელი. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, \(b_9=b_6 q q q=b_6 q^3\).
\(b_9=b_6 q^3\)	ჩაანაცვლეთ ჩვენთვის ცნობილი მნიშვნელობები.
\(704=(-11)q^3\)	„შეაბრუნეთ“ განტოლება და გაყავით \((-11)\-ზე).
\(q^3=\) \(\frac(704)(-11)\) \(\:\:\: ⇔ \:\:\: \)\(q^3=-\) \(64 \)	კუბური რა რიცხვი იძლევა \(-64\)? რა თქმა უნდა, \(-4\)!
	პასუხი ნაპოვნია. მისი შემოწმება შესაძლებელია რიცხვების ჯაჭვის აღდგენით \(-11\)-დან \(704\-მდე).
	ყველა შეთანხმდა - პასუხი სწორია.

პასუხი: \(-4\).

ყველაზე მნიშვნელოვანი ფორმულები

როგორც ხედავთ, გეომეტრიული პროგრესიის ამოცანების უმეტესობა შეიძლება გადაწყდეს სუფთა ლოგიკით, უბრალოდ არსის გაგებით (ეს ზოგადად მათემატიკის დამახასიათებელია). მაგრამ ზოგჯერ გარკვეული ფორმულებისა და შაბლონების ცოდნა აჩქარებს და მნიშვნელოვნად უწყობს ხელს გადაწყვეტას. ჩვენ შევისწავლით ორ ასეთ ფორმულას.

\(n\)-ე წევრის ფორმულა არის: \(b_n=b_1 q^(n-1)\), სადაც \(b_1\) არის პროგრესიის პირველი წევრი; \(n\) – საჭირო ელემენტის ნომერი; \(q\) არის პროგრესიის მნიშვნელი; \(b_n\) არის პროგრესიის წევრი ნომრით \(n\).

ამ ფორმულის გამოყენებით შეგიძლიათ, მაგალითად, პრობლემის გადაჭრა პირველივე მაგალითიდან მხოლოდ ერთი ნაბიჯით.

მაგალითი (OGE): გეომეტრიული პროგრესია მოცემულია პირობებით \(b_1=-2\); \(q=7\). იპოვეთ \(b_4\).
გადაწყვეტილება:

პასუხი: \(-686\).

ეს მაგალითი მარტივი იყო, ამიტომ ფორმულამ გამოთვლები ძალიან არ გაგვაადვილა. მოდით შევხედოთ პრობლემას ცოტა უფრო რთულად.

მაგალითი: გეომეტრიული პროგრესია მოცემულია პირობებით \(b_1=20480\); \(q=\frac(1)(2)\). იპოვეთ \(b_(12)\).
გადაწყვეტილება:

პასუხი: \(10\).

რა თქმა უნდა, \(\frac(1)(2)\) \(11\)-ე ხარისხზე აყვანა არ არის ძალიან სასიხარულო, მაგრამ მაინც უფრო ადვილია, ვიდრე \(11\) \(20480\) ორად დაყოფა.

პირველი წევრის ჯამი \(n\): \(S_n=\)\(\frac(b_1 (q^n-1))(q-1)\) , სადაც \(b_1\) არის პირველი წევრი პროგრესირება; \(n\) – შეჯამებული ელემენტების რაოდენობა; \(q\) არის პროგრესიის მნიშვნელი; \(S_n\) არის პროგრესიის პირველი წევრების \(n\) ჯამი.

მაგალითი (OGE): მოცემულია გეომეტრიული პროგრესია \(b_n\), რომლის მნიშვნელი არის \(5\), და პირველი წევრი \(b_1=\frac(2)(5)\). იპოვეთ ამ პროგრესიის პირველი ექვსი წევრის ჯამი.
გადაწყვეტილება:

პასუხი: \(1562,4\).

და ისევ, ჩვენ შეგვეძლო პრობლემის გადაჭრა "შუბლზე" - რიგრიგობით ვიპოვოთ ექვსივე ელემენტი და შემდეგ დავამატოთ შედეგები. თუმცა, გამოთვლების რაოდენობა და, შესაბამისად, შემთხვევითი შეცდომის შანსი, მკვეთრად გაიზრდება.

გეომეტრიული პროგრესიისთვის, არის კიდევ რამდენიმე ფორმულა, რომლებიც ჩვენ არ განვიხილავთ აქ მათი დაბალი პრაქტიკული გამოყენების გამო. თქვენ შეგიძლიათ იპოვოთ ეს ფორმულები.

გეომეტრიული პროგრესიების გაზრდა და შემცირება

სტატიის დასაწყისში განხილულ პროგრესიას \(b_n = \(3; 6; 12; 24; 48…\)\) აქვს მნიშვნელი \(q\) ერთზე მეტი და, შესაბამისად, ყოველი შემდეგი წევრი მეტია წინა. ასეთ პროგრესებს ე.წ იზრდება.

თუ \(q\) ერთზე ნაკლებია, მაგრამ დადებითია (ანუ არის ნულსა და ერთს შორის), მაშინ ყოველი შემდეგი ელემენტი წინაზე ნაკლები იქნება. მაგალითად, პროგრესში \(4\); \(2\); \(ერთი\); \(0.5\); \(0.25\)… \(q\)-ის მნიშვნელი არის \(\frac(1)(2)\).

ამ პროგრესირებას ე.წ მცირდება. გაითვალისწინეთ, რომ ამ პროგრესირების არცერთი ელემენტი არ იქნება უარყოფითი, ისინი უბრალოდ მცირდება და მცირდება ყოველი ნაბიჯით. ანუ ნელ-ნელა მივუახლოვდებით ნულს, მაგრამ ვერასდროს მივაღწევთ და არ გასცდებით. მათემატიკოსები ასეთ შემთხვევებში ამბობენ "ნულისკენ მიდრეკილება".

გაითვალისწინეთ, რომ უარყოფითი მნიშვნელით, გეომეტრიული პროგრესიის ელემენტები აუცილებლად შეიცვლება ნიშანი. მაგალითად, პროგრესია \(5\); \(-თხუთმეტი\); \(45\); \(-135\); \(675\)... \(q\)-ის მნიშვნელი არის \(-3\) და ამის გამო ელემენტების ნიშნები „ციმციმდება“.

განვიხილოთ სერია.

7 28 112 448 1792...

აბსოლუტურად ნათელია, რომ მისი რომელიმე ელემენტის ღირებულება წინაზე ზუსტად ოთხჯერ მეტია. ასე რომ, ეს სერია პროგრესია.

გეომეტრიული პროგრესია არის რიცხვების უსასრულო თანმიმდევრობა, რომლის მთავარი მახასიათებელია ის, რომ შემდეგი რიცხვი მიიღება წინადან რომელიმე კონკრეტულ რიცხვზე გამრავლებით. ეს გამოიხატება შემდეგი ფორმულით.

a z +1 =a z q, სადაც z არის შერჩეული ელემენტის რიცხვი.

შესაბამისად, z ∈ N.

პერიოდი, როდესაც სკოლაში სწავლობენ გეომეტრიულ პროგრესიას, არის მე-9 კლასი. მაგალითები დაგეხმარებათ გაიგოთ კონცეფცია:

0.25 0.125 0.0625...

ამ ფორმულის საფუძველზე, პროგრესიის მნიშვნელი შეიძლება მოიძებნოს შემდეგნაირად:

არც q და არც b z არ შეიძლება იყოს ნული. ასევე, პროგრესის თითოეული ელემენტი არ უნდა იყოს ნულის ტოლი.

შესაბამისად, სერიის შემდეგი რიცხვის გასარკვევად, ბოლო უნდა გაამრავლოთ q-ზე.

ამ პროგრესიის დასაზუსტებლად, თქვენ უნდა მიუთითოთ მისი პირველი ელემენტი და მნიშვნელი. ამის შემდეგ შესაძლებელია ნებისმიერი შემდგომი ტერმინის და მათი ჯამის პოვნა.

ჯიშები

q და a 1-დან გამომდინარე, ეს პროგრესია იყოფა რამდენიმე ტიპად:

• თუ 1 და q ერთზე მეტია, მაშინ ასეთი თანმიმდევრობა არის გეომეტრიული პროგრესია, რომელიც იზრდება ყოველ მომდევნო ელემენტთან ერთად. ამის მაგალითი წარმოდგენილია ქვემოთ.

მაგალითი: a 1 =3, q=2 - ორივე პარამეტრი ერთზე მეტია.

მაშინ რიცხვითი თანმიმდევრობა შეიძლება ჩაიწეროს ასე:

3 6 12 24 48 ...

• თუ |q| ერთზე ნაკლები, ანუ მასზე გამრავლება გაყოფის ტოლფასია, მაშინ მსგავსი პირობების მქონე პროგრესია არის კლებადი გეომეტრიული პროგრესია. ამის მაგალითი წარმოდგენილია ქვემოთ.

მაგალითი: a 1 =6, q=1/3 - a 1 მეტია ერთზე, q ნაკლებია.

შემდეგ რიცხვითი თანმიმდევრობა შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:

6 2 2/3 ... - ნებისმიერი ელემენტი 3-ჯერ მეტია მის შემდეგ ელემენტზე.

• ნიშანი-ცვლადი. თუ ქ<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

მაგალითი: a 1 = -3, q = -2 - ორივე პარამეტრი ნულზე ნაკლებია.

მაშინ თანმიმდევრობა შეიძლება დაიწეროს ასე:

3, 6, -12, 24,...

ფორმულები

გეომეტრიული პროგრესიების მოსახერხებელი გამოყენებისთვის, არსებობს მრავალი ფორმულა:

• z-ე წევრის ფორმულა. საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ ელემენტი კონკრეტული რიცხვის ქვეშ წინა რიცხვების გამოთვლის გარეშე.

მაგალითი:ქ = 3, ა 1 = 4. საჭიროა პროგრესიის მეოთხე ელემენტის გამოთვლა.

გადაწყვეტილება:ა 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• პირველი ელემენტების ჯამი, რომელთა რიცხვი არის ზ. საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ მიმდევრობის ყველა ელემენტის ჯამი მდეზინკლუზიური.

მას შემდეგ, რაც (1-ქ) არის მნიშვნელში, შემდეგ (1 - q)≠ 0, შესაბამისად q არ არის 1-ის ტოლი.

შენიშვნა: თუ q=1, მაშინ პროგრესია იქნება უსასრულოდ განმეორებადი რიცხვის სერია.

გეომეტრიული პროგრესიის ჯამი, მაგალითები:ა 1 = 2, ქ= -2. გამოთვალეთ S 5.

გადაწყვეტილება:ს 5 = 22 - გაანგარიშება ფორმულით.

• თანხა თუ |ქ| < 1 и если z стремится к бесконечности.

მაგალითი:ა 1 = 2 , ქ= 0.5. იპოვეთ თანხა.

გადაწყვეტილება:სზ = 2 · = 4

სზ = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

ზოგიერთი თვისება:

• დამახასიათებელი თვისება. თუ შემდეგი პირობა შესრულებული ნებისმიერიზ, მაშინ მოცემული რიცხვების სერია არის გეომეტრიული პროგრესია:

ზ 2 = ზ -1 · აz+1

• ასევე, გეომეტრიული პროგრესიის ნებისმიერი რიცხვის კვადრატი იპოვება მოცემულ სერიაში ნებისმიერი სხვა ორი რიცხვის კვადრატების მიმატებით, თუ ისინი თანაბარ მანძილზე არიან ამ ელემენტისგან.

ზ 2 = ზ - ტ 2 + ზ + ტ 2 , სადტარის მანძილი ამ რიცხვებს შორის.

• ელემენტებიგანსხვავდება q-შიერთხელ.
• პროგრესიის ელემენტების ლოგარითმები ასევე ქმნიან პროგრესიას, მაგრამ უკვე არითმეტიკას, ანუ თითოეული მათგანი წინაზე მეტია გარკვეული რიცხვით.

ზოგიერთი კლასიკური პრობლემის მაგალითები

უკეთ რომ გავიგოთ, რა არის გეომეტრიული პროგრესია, მე-9 კლასის ამოხსნის მაგალითები დაგეხმარებათ.

• პირობები:ა 1 = 3, ა 3 = 48. იპოვექ.

გამოსავალი: ყოველი მომდევნო ელემენტი უფრო დიდია ვიდრე წინაქ ერთხელ.აუცილებელია ზოგიერთი ელემენტის გამოხატვა სხვების მეშვეობით მნიშვნელის გამოყენებით.

აქედან გამომდინარე,ა 3 = ქ 2 · ა 1

ჩანაცვლებისასქ= 4

• პირობები:ა 2 = 6, ა 3 = 12. გამოთვალეთ S 6.

გადაწყვეტილება:ამისათვის საკმარისია მოძებნოთ q, პირველი ელემენტი და ჩაანაცვლოთ იგი ფორმულაში.

ა 3 = ქ· ა 2 , შესაბამისად,ქ= 2

a 2 = q a 1,Ამიტომაც a 1 = 3

S 6 = 189

• · ა 1 = 10, ქ= -2. იპოვეთ პროგრესიის მეოთხე ელემენტი.

ამოხსნა: ამისათვის საკმარისია მეოთხე ელემენტის გამოხატვა პირველი და მნიშვნელის მეშვეობით.

a 4 = q 3· a 1 = -80

განაცხადის მაგალითი:

• ბანკის კლიენტმა შეიტანა დეპოზიტი 10000 რუბლის ოდენობით, რომლის პირობებით ყოველწლიურად კლიენტი დაამატებს მის 6%-ს ძირითად თანხას. რა თანხა იქნება ანგარიშზე 4 წლის შემდეგ?

გამოსავალი: საწყისი თანხა 10 ათასი რუბლია. ასე რომ, ინვესტიციიდან ერთი წლის შემდეგ ანგარიშს ექნება 10000 + 10000 ტოლი თანხა. · 0,06 = 10000 1,06

შესაბამისად, ანგარიშზე არსებული თანხა კიდევ ერთი წლის შემდეგ გამოისახება შემდეგნაირად:

(10000 1.06) 0.06 + 10000 1.06 = 1.06 1.06 10000

ანუ ყოველწლიურად თანხა 1,06-ჯერ იზრდება. ეს ნიშნავს, რომ 4 წლის შემდეგ ანგარიშზე თანხების ოდენობის საპოვნელად საკმარისია იპოვოთ პროგრესიის მეოთხე ელემენტი, რომელიც მოცემულია პირველი ელემენტის ტოლი 10 ათასის, ხოლო მნიშვნელის ტოლი 1,06-ის.

S = 1.06 1.06 1.06 1.06 10000 = 12625

დავალებების მაგალითები ჯამის გამოსათვლელად:

სხვადასხვა ამოცანებში გამოიყენება გეომეტრიული პროგრესია. თანხის საპოვნელად შეიძლება მოვიყვანოთ შემდეგი მაგალითი:

ა 1 = 4, ქ= 2, გამოთვალეთS5.

გამოსავალი: გაანგარიშებისთვის საჭირო ყველა მონაცემი ცნობილია, თქვენ უბრალოდ უნდა ჩაანაცვლოთ ისინი ფორმულაში.

ს 5 = 124

• ა 2 = 6, ა 3 = 18. გამოთვალეთ პირველი ექვსი ელემენტის ჯამი.

გადაწყვეტილება:

გეომ. პროგრესიით, ყოველი შემდეგი ელემენტი არის q-ჯერ მეტი წინაზე, ანუ ჯამის გამოსათვლელად თქვენ უნდა იცოდეთ ელემენტია 1 და მნიშვნელიქ.

ა 2 · ქ = ა 3

ქ = 3

ანალოგიურად, ჩვენ უნდა ვიპოვოთა 1 , იცისა 2 დაქ.

ა 1 · ქ = ა 2

a 1 =2

ს 6 = 728.

ახლა განვიხილოთ უსასრულო გეომეტრიული პროგრესიის შეჯამების საკითხი. მოცემული უსასრულო პროგრესიის ნაწილობრივი ჯამი დავარქვათ მისი პირველი წევრთა ჯამი. აღნიშნეთ ნაწილობრივი ჯამი სიმბოლოთი

ყოველი უსასრულო პროგრესისთვის

შეიძლება მისი ნაწილობრივი ჯამების (ასევე უსასრულო) თანმიმდევრობის შედგენა

დაე, შეუზღუდავი გაზრდის მქონე მიმდევრობას ჰქონდეს ლიმიტი

ამ შემთხვევაში S რიცხვს, ანუ პროგრესიის ნაწილობრივი ჯამების ზღვარს, უსასრულო პროგრესიის ჯამი ეწოდება. ჩვენ დავამტკიცებთ, რომ უსასრულო კლებად გეომეტრიულ პროგრესიას ყოველთვის აქვს ჯამი და გამოვიყვანთ ამ ჯამის ფორმულას (ასევე შეგვიძლია ვაჩვენოთ, რომ უსასრულო პროგრესიას არ აქვს ჯამი, არ არსებობს).

ნაწილობრივი ჯამის გამოსახულებას ვწერთ პროგრესიის წევრთა ჯამს (91.1) და განვიხილავთ ნაწილობრივი ჯამის ზღვარს:

89-ე პუნქტის თეორემიდან ცნობილია, რომ კლებადი პროგრესიისთვის; მაშასადამე, განსხვავებების ზღვრული თეორემის გამოყენებით ვხვდებით

(აქ ასევე გამოიყენება წესი: მუდმივი ფაქტორი ამოღებულია ზღვრის ნიშნიდან). დადასტურებულია არსებობა და ამავე დროს მიღებულია უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის ჯამის ფორმულა:

ტოლობა (92.1) ასევე შეიძლება დაიწეროს როგორც

აქ შეიძლება პარადოქსულად ჩანდეს, რომ კარგად განსაზღვრული სასრული მნიშვნელობა ენიჭება ტერმინების უსასრულო სიმრავლის ჯამს.

ამ სიტუაციის ასახსნელად შეიძლება იყოს ნათელი ილუსტრაცია. განვიხილოთ კვადრატი ერთის ტოლი გვერდით (სურ. 72). მოდით ეს კვადრატი ჰორიზონტალური ხაზით გავყოთ ორ თანაბარ ნაწილად და ზედა ნაწილი მივუსვათ ქვედას ისე, რომ მართკუთხედი ჩამოყალიბდეს გვერდებით 2 და . ამის შემდეგ ამ მართკუთხედის მარჯვენა ნახევარს ისევ ჰორიზონტალური ხაზით ვყოფთ შუაზე და ზედა ნაწილს ვამაგრებთ ქვედას (როგორც ნაჩვენებია ნახ. 72-ზე). ამ პროცესის გაგრძელებით, ჩვენ მუდმივად ვაქცევთ 1-ის ტოლი ფართობის თავდაპირველ კვადრატს თანაბარ ზომის ფიგურებად (გათხელებული საფეხურებით კიბის ფორმას ვიღებთ).

ამ პროცესის უსასრულო გაგრძელებით, კვადრატის მთელი ფართობი იშლება უსასრულო რაოდენობის ტერმინებად - მართკუთხედების ფართობები 1-ის ტოლი საფუძვლებით და სიმაღლეებით. მართკუთხედების არეები უბრალოდ ქმნიან უსასრულო კლებად პროგრესირებას. მისი ჯამი

ანუ, როგორც მოსალოდნელი იყო, უდრის კვადრატის ფართობს.

მაგალითი. იპოვეთ შემდეგი უსასრულო პროგრესიების ჯამები:

ამოხსნა, ა) აღვნიშნავთ, რომ ეს პროგრესია ამიტომ, ფორმულით (92.2) ვპოულობთ

ბ) აქ ნიშნავს, რომ იგივე ფორმულით (92.2) გვაქვს

გ) ჩვენ ვხვდებით, რომ ამ პროგრესიას მაშასადამე, ამ პროგრესიას არ აქვს ჯამი.

მე-5 ნაწილში ნაჩვენები იყო ფორმულის გამოყენება უსასრულოდ კლებადი პროგრესიის წევრთა ჯამის პერიოდული ათობითი წილადის ჩვეულებრივ წილადად გადაქცევაზე.

Სავარჯიშოები

1. უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის ჯამი არის 3/5, ხოლო მისი პირველი ოთხი წევრის ჯამი არის 13/27. იპოვეთ პროგრესიის პირველი წევრი და მნიშვნელი.

2. იპოვეთ ოთხი რიცხვი, რომლებიც ქმნიან ალტერნატიულ გეომეტრიულ პროგრესიას, რომლებშიც მეორე წევრი პირველზე ნაკლებია 35-ით, ხოლო მესამე მეტია მეოთხეზე 560-ით.

3. აჩვენე რა თუ მიმდევრობა

ქმნის უსასრულოდ კლებად გეომეტრიულ პროგრესიას, შემდეგ მიმდევრობას

ნებისმიერი ფორმისთვის უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესია. მოქმედებს თუ არა ეს მტკიცება

გამოიტანეთ ფორმულა გეომეტრიული პროგრესიის პირობების ნამრავლისთვის.