თეორემა კვადრატული ფორმის მატრიცაზე. დადებითი განსაზღვრული კვადრატული ფორმები

განმარტება.კვადრატული ფორმაწრფივ სივრცეზე სიმეტრიული ორწრფივი ფორმის შესაბამისი ვ , ეწოდება ერთი ვექტორული არგუმენტის ფუნქცია .

მოდით, კვადრატული ფორმა იყოს მისი შესაბამისი სიმეტრიული ორწრფივი ფორმა. მერე

აქედან გამომდინარეობს, რომ კვადრატული ფორმის შესაბამისი სიმეტრიული ორწრფივი ფორმა ასევე ცალსახად არის განსაზღვრული. ასე რომ, სიმეტრიულ ბიწრფივ და კვადრატულ ფორმებს შორის წრფივ სივრცეში ვ დადგენილია ერთი-ერთზე შესაბამისობა, ამიტომ კვადრატული ფორმების შესწავლა შესაძლებელია სიმეტრიული ორწრფივი ფორმების გამოყენებით.

განიხილეთ ნ- განზომილებიანი ხაზოვანი სივრცე. კვადრატული ფორმის მატრიცა წრფივი სივრცის მოცემულ საფუძველში ეწოდება შესაბამისი სიმეტრიული ორწრფივი ფორმის მატრიცა იმავე საფუძველში. კვადრატული მატრიცა ყოველთვის სიმეტრიულია.

აღნიშნეთ კვადრატული ფორმის მატრიცა გარკვეული სივრცის საფუძველზე. თუ ჩვეულებისამებრ აღვნიშნავთ Xვექტორის კოორდინატთა სვეტი იმავე საფუძველზე, შემდეგ 5.5 ტოლობიდან ვიღებთ კვადრატული ფორმის მატრიცულ ფორმას:

თეორემა 5.4.ორი ფუძე იყოს მოცემული წრფივ სივრცეში

(5.10)

, (5.11)

და იყოს და იყოს კვადრატული მატრიცები (5.10) და (5.11), შესაბამისად. მერე სად თარის გარდამავალი მატრიცა (5.10)-დან (5.11).

მტკიცებულება გამომდინარეობს თეორემა 5.2-დან და კვადრატული ფორმის მატრიცის განმარტებიდან.

იმის გამო, რომ გარდამავალი მატრიცა თარის არადეგენერატი, მაშინ კვადრატული ფორმის მატრიცის რანგი არ იცვლება ახალ ბაზაზე გადასვლისას. აქედან გამომდინარე, შეგვიძლია ჩამოვაყალიბოთ შემდეგი განმარტება.

განმარტება. წოდება წრფივი სივრცეზე განსაზღვრულ კვადრატულ ფორმას ეწოდება მისი მატრიცის რანგი ზოგიერთში და, შესაბამისად, სივრცის ნებისმიერ საფუძველში (აღნიშნავს ).

ახლა ჩვენ ვწერთ კვადრატულ ფორმას კოორდინატების სახით. ამისათვის ვაფართოვებთ ვექტორს საფუძვლების მიხედვით (5.10): . თუ არის კვადრატული ფორმის მატრიცა იმავე საფუძველში, მაშინ ტოლობის შესაბამისად (5.4) გვაქვს

– (5.12)

კვადრატული ფორმის კოორდინატული ფორმა. მოდით დავწეროთ (5.12) დეტალურად ამისთვის ნ= 3, იმის გათვალისწინებით, რომ

ასე რომ, თუ საფუძველი მოცემულია, მაშინ კოორდინატულ აღნიშვნით კვადრატული ფორმა ჰგავს მეორე ხარისხის ერთგვაროვან პოლინომს. ნცვლადები – ვექტორული კოორდინატები მოცემულ საფუძველში. ამ მრავალწევრს ე.წ ხედი კვადრატული ფორმა მოცემულ საფუძველზე. მაგრამ აპლიკაციებში, ასეთი პოლინომები ხშირად წარმოიქმნება დამოუკიდებლად, ხაზოვან სივრცეებთან ხილული კავშირის გარეშე (მაგალითად, ფუნქციების მეორე დიფერენციალი), ამიტომ ჩვენ ვაყალიბებთ კვადრატული ფორმის კიდევ ერთ განმარტებას.

განმარტება. კვადრატული ფორმა დან ნცვლადები არის მეორე ხარისხის ერთგვაროვანი პოლინომი ამ ცვლადებში, ანუ ფორმის (5.12) ფუნქცია. კვადრატული ფორმის მატრიცა (5.12) არის სიმეტრიული მატრიცა.

მაგალითიკვადრატული ფორმის მატრიცის შედგენა. დაე იყოს

(5.12) და (5.13)-დან ჩანს, რომ at-ის კოეფიციენტი ემთხვევა, ე.ი. კვადრატული ფორმის მატრიცის დიაგონალური ელემენტებია კვადრატების კოეფიციენტები. ანალოგიურად, ჩვენ ვხედავთ, რომ ეს არის პროდუქტის კოეფიციენტის ნახევარი. ამრიგად, კვადრატული ფორმის მატრიცა (5.14) ასე გამოიყურება:

ახლა სივრცეში კვლავ ვირჩევთ ორ ფუძეს (5.10) და (5.11) და აღვნიშნავთ, როგორც ყოველთვის, არის ვექტორის კოორდინატთა სვეტები (5.10) და (5.11), შესაბამისად. საფუძვლიდან (5.10) საფუძველზე (5.11) გადასვლისას ვექტორის კოორდინატები იცვლება კანონის მიხედვით:

სად არის გადასვლის მატრიცა (5.10)-დან (5.11-მდე). გაითვალისწინეთ, რომ მატრიცა არ არის გადაგვარებული. ჩვენ ვწერთ ტოლობას (5.15) კოორდინატთა სახით:

ან დეტალურად:

(5.17)

ტოლობის (5.17) (ან (5.16), რაც იგივეა) დახმარებით ცვლადებიდან ცვლადებზე გადავდივართ.

განმარტება. ცვლადების წრფივი არადეგენერაციული ტრანსფორმაცია არის ცვლადების ტრანსფორმაცია, რომელიც განსაზღვრულია ტოლობების სისტემით (5.16) ან (5.17), ან ერთი მატრიცის ტოლობით (5.15), იმ პირობით, რომ ეს არის არასინგულარული მატრიცა. მატრიცა თეწოდება ცვლადების ამ ტრანსფორმაციის მატრიცა.

თუ (5.12) ცვლადის ნაცვლად ჩავანაცვლებთ მათ გამონათქვამებს ცვლადების მეშვეობით ფორმულების მიხედვით (5.17), გავხსნით ფრჩხილებს და ვაძლევთ მსგავსებს, მაშინ მივიღებთ მეორე ხარისხის კიდევ ერთ ერთგვაროვან მრავალწევრს:

ამ შემთხვევაში, ცვლადების წრფივი არადეგენერაციული ტრანსფორმაცია (5.17) ნათქვამია, რომ იღებს კვადრატულ ფორმას კვადრატულ ფორმაში. ცვლადების მნიშვნელობები და დაკავშირებული (5.15) მიმართებით (ან მიმართებები (5.16) ან (5.17)) დაერქმევა შესაბამისი ცვლადების მოცემული წრფივი არადეგენერაციული ტრანსფორმაციისთვის.

განმარტება.ცვლადების სიმრავლე ე.წ არატრივიალური , თუ მასში შემავალი ცვლადის ერთ-ერთი მაინც მნიშვნელობა არ არის ნულოვანი. წინააღმდეგ შემთხვევაში, ცვლადების ნაკრები ეწოდება ტრივიალური .

ლემა 5.2.ცვლადების წრფივი არადეგენერაციული ტრანსფორმაციის პირობებში ცვლადების ტრივიალური ნაკრები შეესაბამება ტრივიალურ სიმრავლეს.

ეს აშკარად გამომდინარეობს თანასწორობიდან (5.15): თუ , მაშინ და . მეორეს მხრივ, მატრიცის არასინგულარობის გამოყენებით თ, ისევ (5.15)-დან ვიღებთ , საიდანაც ცხადია, რომ , ასევე .◄

შედეგი.ცვლადების წრფივი არადეგენერაციული ტრანსფორმაციის პირობებში, ცვლადების არატრივიალური ნაკრები შეესაბამება არატრივიალურ სიმრავლეს.

თეორემა 5.5.თუ წრფივი არადეგენერაციული ტრანსფორმაცია (5.15) იღებს კვადრატულ ფორმას მატრიცით მაგრამკვადრატულ ფორმაში მატრიცით მაგრამ", შემდეგ (თეორემა 5.4-ის სხვა ფორმულირება).

შედეგი.ცვლადების წრფივი არადეგენერაციული ტრანსფორმაციის პირობებში, კვადრატული ფორმის მატრიცის განმსაზღვრელი არ ცვლის ნიშანს.

კომენტარი.გარდამავალი მატრიცისა და ხაზოვანი ოპერატორის მატრიცისგან განსხვავებით, ცვლადების წრფივი არადეგენერაციული ტრანსფორმაციის მატრიცა იწერება არა სვეტებით, არამედ რიგებით.

მოდით, მოცემული იყოს ცვლადების ორი წრფივი არადეგენერაციული ტრანსფორმაცია:

მოდით გამოვიყენოთ ისინი თანმიმდევრობით:

ცვლადების წრფივი არადეგენერაციული გარდაქმნების შემადგენლობა(5.18) და (5.19) არის მათი თანმიმდევრული გამოყენება, ანუ ცვლადების ტრანსფორმაცია (5.20)-დან ცხადია, რომ ცვლადების ორი წრფივი არადეგენერაციული ტრანსფორმაციის შემადგენლობა ასევე არის ცვლადების წრფივი არადეგენერაციული ტრანსფორმაცია.

განმარტება.კვადრატული ფორმები ე.წ ექვივალენტი , თუ არსებობს ცვლადების წრფივი არადეგენერაციული ტრანსფორმაცია, რომელიც ერთ მათგანს მეორეში გადააქვს.

კვადრატული ფორმები

კვადრატული ფორმა n ცვლადის f(x 1, x 2,..., x n) ეწოდება ჯამს, რომლის თითოეული წევრი არის ან ერთ-ერთი ცვლადის კვადრატი, ან ორი განსხვავებული ცვლადის ნამრავლი, აღებული გარკვეული კოეფიციენტით: f(x 1, x 2, ...,x n) = (a ij = a ji).

მატრიცა A, რომელიც შედგება ამ კოეფიციენტებისგან, ეწოდება კვადრატული ფორმის მატრიცა. ყოველთვის არის სიმეტრიულიმატრიცა (ანუ მატრიცა სიმეტრიულია მთავარი დიაგონალის მიმართ, a ij = a ji).

მატრიცული აღნიშვნისას კვადრატულ ფორმას აქვს ფორმა f(X) = X T AX, სადაც

Ნამდვილად

მაგალითად, დავწეროთ კვადრატული ფორმა მატრიცის სახით.

ამისათვის ჩვენ ვპოულობთ კვადრატული ფორმის მატრიცას. მისი დიაგონალური ელემენტები უდრის კოეფიციენტებს ცვლადების კვადრატებზე, ხოლო დარჩენილი ელემენტები უდრის კვადრატული ფორმის შესაბამისი კოეფიციენტების ნახევარს. Ისე

მოდით, X ცვლადების მატრიცა-სვეტი მივიღოთ Y მატრიცა-სვეტის არადეგენერაციული წრფივი გარდაქმნით, ე.ი. X = CY, სადაც C არის n რიგის არადეგენერირებული მატრიცა. შემდეგ კვადრატული ფორმა
f(X) \u003d X T AX \u003d (CY) T A (CY) \u003d (Y T C T) A (CY) \u003d Y T (C T AC) Y.

ამრიგად, C არადეგენერაციული წრფივი ტრანსფორმაციის დროს კვადრატული ფორმის მატრიცა იღებს ფორმას: A * = C T AC.

მაგალითად, ვიპოვოთ კვადრატული ფორმა f(y 1, y 2) მიღებული კვადრატული ფორმიდან f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 წრფივი გარდაქმნით.

კვადრატული ფორმა ეწოდება კანონიკური(Მას აქვს კანონიკური შეხედულება) თუ მისი ყველა კოეფიციენტი a ij = 0 i ≠ j-სთვის, ე.ი.
f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + ... + a nn x n 2 = .

მისი მატრიცა დიაგონალურია.

თეორემა(მტკიცებულება აქ არ არის მოცემული). ნებისმიერი კვადრატული ფორმა შეიძლება შემცირდეს კანონიკურ ფორმამდე არადეგენერაციული ხაზოვანი ტრანსფორმაციის გამოყენებით.

მაგალითად, კანონიკურ ფორმამდე მივიყვანოთ კვადრატული ფორმა
f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3.

ამისათვის ჯერ აირჩიეთ x 1 ცვლადის სრული კვადრატი:

f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2 (x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 \u003d 2 (x 1 + x 2 ) 2 - 5x 2 2 - x 2 x 3.

ახლა ჩვენ ვირჩევთ სრულ კვადრატს x 2 ცვლადისთვის:

f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 2 - 2 * x 2 * (1/10) x 3 + (1/100) x 3 2 ) - (5/100) x 3 2 =
\u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 - (1/10) x 3) 2 - (1/20) x 3 2.

შემდეგ არადეგენერაციული წრფივი ტრანსფორმაცია y 1 \u003d x 1 + x 2, y 2 \u003d x 2 - (1/10) x 3 და y 3 \u003d x 3 მოაქვს ამ კვადრატულ ფორმას კანონიკურ ფორმამდე f (y 1 , y 2, y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 - (1/20)y 3 2 .

გაითვალისწინეთ, რომ კვადრატული ფორმის კანონიკური ფორმა ორაზროვნად არის განსაზღვრული (იგივე კვადრატული ფორმა კანონიკურ ფორმამდე სხვადასხვა გზით შეიძლება შემცირდეს). თუმცა, სხვადასხვა მეთოდით მიღებულ კანონიკურ ფორმებს არაერთი საერთო თვისება აქვთ. კერძოდ, კვადრატული ფორმის დადებითი (უარყოფითი) კოეფიციენტების მქონე ტერმინების რაოდენობა არ არის დამოკიდებული იმაზე, თუ როგორ მცირდება ფორმა ამ ფორმამდე (მაგალითად, განხილულ მაგალითში ყოველთვის იქნება ორი უარყოფითი და ერთი დადებითი კოეფიციენტი). ამ ქონებას ე.წ კვადრატული ფორმების ინერციის კანონი.

მოდით გადავამოწმოთ ეს იგივე კვადრატული ფორმის კანონიკურ ფორმაზე სხვაგვარად შემცირებით. დავიწყოთ ტრანსფორმაცია x 2 ცვლადით:
f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 \u003d -3x 2 2 - x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 \u003d - 3(x 2 2 -
- 2 * x 2 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) + ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2) - 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 =
\u003d -3 (x 2 - (1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2 - 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 \ u003d f (y 1, y 2, y 3) = -3y 1 2 -
-3y 2 2 + 2y 3 2, სადაც y 1 \u003d - (2/3) x 1 + x 2 - (1/6) x 3, y 2 \u003d (2/3) x 1 + (1/6 ) x 3 და y 3 = x 1. აქ დადებითი კოეფიციენტი 2 y 3-ზე და ორი უარყოფითი კოეფიციენტი (-3) y 1 და y 2-ზე (და სხვა მეთოდის გამოყენებით მივიღეთ დადებითი კოეფიციენტი 2 y 1-ზე და ორი უარყოფითი კოეფიციენტი - (-5) y 2-ზე. და (-1 /20) y 3-ისთვის).

აქვე უნდა აღინიშნოს, რომ კვადრატული ფორმის მატრიცის რანგი, ე.წ კვადრატული ფორმის წოდება, უდრის კანონიკური ფორმის არანულოვანი კოეფიციენტების რაოდენობას და არ იცვლება წრფივი გარდაქმნებისას.

კვადრატული ფორმა f(X) ეწოდება დადებითად (უარყოფითი) გარკვეულითუ ცვლადის ყველა მნიშვნელობისთვის, რომლებიც ერთდროულად არ არის ნულის ტოლი, ეს დადებითია, ე.ი. f(X) > 0 (უარყოფითი, ე.ი.
f(X)< 0).

მაგალითად, კვადრატული ფორმა f 1 (X) \u003d x 1 2 + x 2 2 არის დადებითი განსაზღვრული, რადგან არის კვადრატების ჯამი და კვადრატული ფორმა f 2 (X) \u003d -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 არის უარყოფითი განსაზღვრული, რადგან წარმოადგენს ის შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც f 2 (X) \u003d - (x 1 - x 2) 2.

უმეტეს პრაქტიკულ სიტუაციებში, გარკვეულწილად უფრო რთულია კვადრატული ფორმის ნიშან-განსაზღვრულის დადგენა, ამიტომ ამისთვის გამოიყენება შემდეგი თეორემებიდან ერთ-ერთი (ჩვენ ვაყალიბებთ მათ მტკიცებულებების გარეშე).

თეორემა. კვადრატული ფორმა არის დადებითი (უარყოფითი) განსაზღვრული, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მისი მატრიცის ყველა საკუთარი მნიშვნელობა დადებითია (უარყოფითი).

თეორემა (სილვესტერის კრიტერიუმი). კვადრატული ფორმა დადებითია განსაზღვრული, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ამ ფორმის მატრიცის ყველა ძირითადი მინორი დადებითია.

მაიორი (კუთხა) მინორი n-ე რიგის A მატრიცის k-ე წესრიგს ეწოდება მატრიცის განმსაზღვრელი, რომელიც შედგება A (A) მატრიცის პირველი k რიგებისა და სვეტებისგან.

გაითვალისწინეთ, რომ უარყოფით-განსაზღვრული კვადრატული ფორმებისთვის, ძირითადი მცირეწლოვანთა ნიშნები ერთმანეთს ენაცვლება, ხოლო პირველი რიგის მინორი უარყოფითი უნდა იყოს.

მაგალითად, ჩვენ განვიხილავთ კვადრატულ ფორმას f (x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 ნიშნის განსაზღვრულობისთვის.

= (2 - ლ)*
*(3 - ლ) - 4 \u003d (6 - 2l - 3l + l 2) - 4 \u003d l 2 - 5l + 2 \u003d 0; D \u003d 25 - 8 \u003d 17;
. ამიტომ, კვადრატული ფორმა დადებითი განსაზღვრულია.

მეთოდი 2. მატრიცის პირველი რიგის მთავარი მინორი A D 1 = a 11 = 2 > 0. მეორე რიგის მთავარი მინორი D 2 = = 6 - 4 = 2 > 0. ამიტომ, სილვესტერის კრიტერიუმის მიხედვით, კვადრატული ფორმა დადებითი განსაზღვრულია.

ჩვენ განვიხილავთ ნიშნის განსაზღვრულობის სხვა კვადრატულ ფორმას, f (x 1, x 2) \u003d -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

მეთოდი 1. ავაშენოთ А = კვადრატული ფორმის მატრიცა. დამახასიათებელ განტოლებას ექნება ფორმა = (-2 - ლ)*
*(-3 - ლ) - 4 \u003d (6 + 2l + 3l + l 2) - 4 \u003d l 2 + 5l + 2 \u003d 0; D \u003d 25 - 8 \u003d 17;
. ამიტომ, კვადრატული ფორმა უარყოფითი განსაზღვრულია.

მატრიცა A, რომელიც შედგება ამ კოეფიციენტებისგან, ეწოდება კვადრატული ფორმის მატრიცა. ყოველთვის არის სიმეტრიულიმატრიცა (ანუ მატრიცა სიმეტრიულია მთავარ დიაგონალთან მიმართებაში, a ij = a ji).

მატრიცული აღნიშვნისას კვადრატულ ფორმას აქვს ფორმა f(X) = X T AX, სადაც

Ნამდვილად

მაგალითად, დავწეროთ კვადრატული ფორმა მატრიცის სახით.

მოდით, X ცვლადების მატრიცა-სვეტი მივიღოთ Y მატრიცა-სვეტის არადეგენერაციული წრფივი გარდაქმნით, ე.ი. X = CY, სადაც C არის n რიგის არადეგენერირებული მატრიცა. შემდეგ კვადრატული ფორმა f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) =Y T (C T AC)Y.

ამრიგად, C არადეგენერაციული წრფივი ტრანსფორმაციისას კვადრატული ფორმის მატრიცა იღებს ფორმას: A * =C T AC.

კვადრატული ფორმა ეწოდება კანონიკური(Მას აქვს კანონიკური შეხედულება), თუ მისი ყველა კოეფიციენტი a ij \u003d 0 i≠j-ზე, ანუ f (x 1, x 2,..., x n) \u003d a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + ... + a nn x n 2 = .

მისი მატრიცა დიაგონალურია.

მაგალითად, კანონიკურ ფორმამდე მივიყვანოთ კვადრატული ფორმა f (x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3.

ამისათვის ჯერ აირჩიეთ x 1 ცვლადის სრული კვადრატი:

f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2 (x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 \u003d 2 (x 1 + x 2 ) 2 - 5x 2 2 - x 2 x 3.

ახლა ჩვენ ვირჩევთ სრულ კვადრატს x 2 ცვლადისთვის:

f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 2 - 2 * x 2 * (1/10) x 3 + (1/100) x 3 2 ) - (5/100) x 3 2 \u003d \u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 - (1/10) x 3) 2 - (1/20) x 3 2.

შემდეგ არადეგენერაციული წრფივი ტრანსფორმაცია y 1 \u003d x 1 + x 2, y 2 \u003d x 2 - (1/10) x 3 და y 3 \u003d x 3 მოაქვს ამ კვადრატულ ფორმას კანონიკურ ფორმამდე f (y 1 , y 2, y 3) \u003d 2y 1 2 - 5y 2 2 - (1/20)y 3 2 .

გაითვალისწინეთ, რომ კვადრატული ფორმის კანონიკური ფორმა ორაზროვნად არის განსაზღვრული (იგივე კვადრატული ფორმა შეიძლება დაიყვანოს კანონიკურ ფორმამდე სხვადასხვა გზით1). თუმცა, სხვადასხვა მეთოდით მიღებულ კანონიკურ ფორმებს არაერთი საერთო თვისება აქვთ. კერძოდ, კვადრატული ფორმის დადებითი (უარყოფითი) კოეფიციენტების მქონე ტერმინების რაოდენობა არ არის დამოკიდებული იმაზე, თუ როგორ მცირდება ფორმა ამ ფორმამდე (მაგალითად, განხილულ მაგალითში ყოველთვის იქნება ორი უარყოფითი და ერთი დადებითი კოეფიციენტი). ამ ქონებას ე.წ კვადრატული ფორმების ინერციის კანონი.

მოდით გადავამოწმოთ ეს იგივე კვადრატული ფორმის კანონიკურ ფორმაზე სხვაგვარად შემცირებით. დავიწყოთ ტრანსფორმაცია x 2 ცვლადით: f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 \u003d -3x 2 2 - x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 \u003d -3 (x 2 2 - - 2 * x 2 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) + ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2) - 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 = = -3 (x 2 - (1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2 - 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 \u003d f (y 1, y 2, y 3) \u003d - 3y 1 2 - -3y 2 2 + 2y 3 2, სადაც y 1 = - (2/3) x 1 + x 2 - (1/6) x 3, y 2 = (2/3) x 1 + (1 /6) x 3 და y 3 = x 1. აქ დადებითი კოეფიციენტი 2 y 3-ზე და ორი უარყოფითი კოეფიციენტი (-3) y 1 და y 2-ზე).

კვადრატული ფორმა f(X) ეწოდება დადებითად(უარყოფითი)გარკვეული, თუ ცვლადის ყველა მნიშვნელობისთვის, რომლებიც ერთდროულად არ არის ნულის ტოლი, ეს დადებითია, ანუ f(X) > 0 (უარყოფითი, ე.ი. f(X)< 0).

მაიორი (კუთხა) მინორი An-th რიგის მატრიცის k-th წესრიგს ეწოდება მატრიცის განმსაზღვრელი, რომელიც შედგება A (A) მატრიცის პირველი k რიგებისა და სვეტებისგან.

= (2 -)* *(3 -) - 4 = (6 - 2- 3+ 2) - 4 = 2 - 5+ 2 = 0; D= 25 - 8 = 17; . ამიტომ, კვადრატული ფორმა დადებითი განსაზღვრულია.

მეთოდი 2. მატრიცის პირველი რიგის მთავარი მინორი A  1 = a 11 = 2 > 0. მეორე რიგის მთავარი მინორი  2 = = 6 - 4 = 2 > 0. ამიტომ, სილვესტერის კრიტერიუმის მიხედვით , კვადრატული ფორმა დადებითი განსაზღვრულია.

მეთოდი 1. ავაშენოთ А = კვადრატული ფორმის მატრიცა. დამახასიათებელ განტოლებას ექნება ფორმა = (-2 -)* *(-3 -) – 4 = (6 + 2+ 3+ 2) – 4 = 2 + 5+ 2 = 0; D= 25 – 8 = 17 ; . ამიტომ, კვადრატული ფორმა უარყოფითი განსაზღვრულია.

მეთოდი 2. მატრიცის პირველი რიგის მთავარი მინორი A  1 \u003d a 11 \u003d \u003d -2< 0. Главный минор второго порядка 2 = = 6 – 4 = 2 >0. მაშასადამე, სილვესტერის კრიტერიუმის მიხედვით, კვადრატული ფორმა უარყოფითი განსაზღვრულია (ძირითადი არასრულწლოვანთა ნიშნები ერთმანეთს ენაცვლება, დაწყებული მინუსიდან).

და როგორც სხვა მაგალითი, ჩვენ განვიხილავთ კვადრატულ ფორმას f (x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 ნიშნის განსაზღვრულობისთვის.

მეთოდი 1. ავაშენოთ А = კვადრატული ფორმის მატრიცა. დამახასიათებელ განტოლებას ექნება ფორმა = (2 -)* *(-3 -) - 4 = (-6 - 2+ 3+ 2) - 4 = 2 +- 10 = 0; D= 1 + 40 = 41; . ამ რიცხვებიდან ერთი უარყოფითია, მეორე კი დადებითი. საკუთრივ მნიშვნელობების ნიშნები განსხვავებულია. მაშასადამე, კვადრატული ფორმა არ შეიძლება იყოს არც უარყოფითი და არც დადებითი განსაზღვრული, ე.ი. ეს კვადრატული ფორმა არ არის ნიშან-განსაზღვრული (მას შეუძლია მიიღოს ნებისმიერი ნიშნის მნიშვნელობები).

მეთოდი 2. მატრიცის პირველი რიგის მთავარი მინორი A  1 = a 11 = 2 > 0. მეორე რიგის მთავარი მინორი  2 = = -6 - 4 = -10< 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них – положителен).

1 კვადრატული ფორმის კანონიკურ ფორმამდე შემცირების განხილული მეთოდი მოსახერხებელია გამოსაყენებლად, როდესაც არანულოვანი კოეფიციენტები ჩნდება ცვლადების კვადრატების ქვეშ. თუ ისინი იქ არ არიან, კონვერტაციის განხორციელება მაინც შესაძლებელია, მაგრამ თქვენ უნდა გამოიყენოთ სხვა ხრიკები. მაგალითად, მოდით f(x 1, x 2) = 2x 1 x 2 = x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2 - x 1 2 - x 2 2 =

\u003d (x 1 + x 2) 2 - x 1 2 - x 2 2 \u003d (x 1 + x 2) 2 - (x 1 2 - 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 1 x 2 \u003d (x 1 + x 2) 2 - - (x 1 - x 2) 2 - 2x 1 x 2; 4x 1 x 2 \u003d (x 1 + x 2) 2 - (x 1 - x 2) 2; f (x 1, x 2) \u003d 2x 1 x 2 \u003d (1/2) * * (x 1 + x 2 ) 2 - (1/2) * (x 1 - x 2) 2 \u003d f (y 1, y 2) \u003d (1/2) y 1 2 - (1/2) y 2 2, სადაც y 1 \u003d x 1 + x 2, ay 2 \u003d x 1 - x 2.

კვადრატული ფორმები.
ფორმების მნიშვნელობა. სილვესტერის კრიტერიუმი

ზედსართავი სახელი „კვადრატი“ მაშინვე მიგვანიშნებს, რომ აქ რაღაც დაკავშირებულია კვადრატთან (მეორე ხარისხი) და ძალიან მალე ჩვენ გავიგებთ ამ „რაღაცას“ და რა არის ფორმა. მაშინვე გამოვიდა :)

კეთილი იყოს თქვენი მობრძანება ჩემს ახალ გაკვეთილზე და როგორც დაუყოვნებელი გახურება, გადავხედავთ ზოლიან ფორმას ხაზოვანი. ხაზოვანი ფორმა ცვლადებიდაურეკა ერთგვაროვანი 1 ხარისხის მრავალწევრი:

- რამდენიმე კონკრეტული რიცხვი * (ვვარაუდობთ, რომ ერთი მათგანი მაინც განსხვავდება ნულიდან)და არის ცვლადები, რომლებსაც შეუძლიათ მიიღონ თვითნებური მნიშვნელობები.

* ამ თემაში ჩვენ მხოლოდ განვიხილავთ რეალური რიცხვები .

შესახებ გაკვეთილზე უკვე შევხვდით ტერმინს „ერთგვაროვანი“. წრფივი განტოლებათა ერთგვაროვანი სისტემები , და ამ შემთხვევაში ის გულისხმობს , რომ მრავალწევრს არ აქვს დამატებული მუდმივი .

Მაგალითად: – ორი ცვლადის წრფივი ფორმა

ახლა ფორმა არის კვადრატული. კვადრატული ფორმა ცვლადებიდაურეკა ერთგვაროვანიმე-2 ხარისხის მრავალწევრი, რომლის თითოეული ვადაშეიცავს ან ცვლადის კვადრატს ან ორმაგიცვლადების პროდუქტი. ასე რომ, მაგალითად, ორი ცვლადის კვადრატულ ფორმას აქვს შემდეგი ფორმა:

ყურადღება!ეს არის სტანდარტული ჩანაწერი და მასში არაფრის შეცვლა არ გჭირდებათ! მიუხედავად "საშინელი" გარეგნობისა, აქ ყველაფერი მარტივია - მუდმივების ორმაგი ხელმოწერები მიუთითებს იმაზე, თუ რომელი ცვლადები შედის ამა თუ იმ ტერმინში:
– ეს ტერმინი შეიცავს პროდუქტს და (კვადრატს);
- აქ არის სამუშაო;
- და აქ არის სამუშაო.

- მაშინვე ველოდები უხეშ შეცდომას, როცა კოეფიციენტის "მინუსს" კარგავენ, ვერ ხვდებიან, რომ ეს ტერმინს ეხება:

ზოგჯერ არსებობს დიზაინის "სასკოლო" ვერსია სულისკვეთებით, მაგრამ მხოლოდ ხანდახან. სხვათა შორის, გაითვალისწინეთ, რომ აქ მუდმივები საერთოდ არაფერს გვეუბნებიან და, შესაბამისად, უფრო რთულია "მარტივი აღნიშვნის" დამახსოვრება. განსაკუთრებით მაშინ, როცა მეტი ცვლადია.

და სამი ცვლადის კვადრატული ფორმა უკვე შეიცავს ექვს ტერმინს:

... რატომ არის "ორი" მამრავლები "შერეულ" ტერმინებში? ეს მოსახერხებელია და მალე გაირკვევა რატომ.

თუმცა, ჩვენ ჩამოვწერთ ზოგად ფორმულას, მოსახერხებელია მისი მოწყობა "ფურცლით":

- ყურადღებით შეისწავლე თითოეული ხაზი - ამაში ცუდი არაფერია!

კვადრატული ფორმა შეიცავს ტერმინებს კვადრატულ ცვლადებთან და ტერმინებს მათი წყვილი პროდუქტებით (სმ. კომბინაციების კომბინატორული ფორმულა ) . სხვა არაფერი - არა "მარტოხელა x" და არც დამატებული მუდმივი (მაშინ თქვენ მიიღებთ არა კვადრატულ ფორმას, არამედ ჰეტეროგენულიმე-2 ხარისხის მრავალწევრი).

კვადრატული ფორმის მატრიცული აღნიშვნა

მნიშვნელობებიდან გამომდინარე, განხილულ ფორმას შეუძლია მიიღოს როგორც დადებითი, ასევე უარყოფითი მნიშვნელობები და იგივე ეხება ნებისმიერ წრფივ ფორმას - თუ მისი ერთ-ერთი კოეფიციენტი მაინც არ არის ნულოვანი, მაშინ ის შეიძლება აღმოჩნდეს დადებითი ან უარყოფითი (დამოკიდებულია ღირებულებებზე).

ამ ფორმას ე.წ მონაცვლეობით. და თუ ყველაფერი გამჭვირვალეა ხაზოვანი ფორმით, მაშინ ყველაფერი ბევრად უფრო საინტერესოა კვადრატული ფორმით:

სავსებით ნათელია, რომ ამ ფორმას შეუძლია ნებისმიერი ნიშნის მნიშვნელობები მიიღოს, შესაბამისად, კვადრატული ფორმა ასევე შეიძლება იყოს მონაცვლეობით.

შეიძლება არ იყოს:

- ყოველთვის, თუ ორივე არ არის ნულის ტოლი.

- ვინმესთვის ვექტორინულის გარდა.

და ზოგადად რომ ვთქვათ,თუ რომელიმესთვის არანულოვანივექტორი , , მაშინ კვადრატული ფორმა ეწოდება დადებითი გარკვეული; თუ - მაშინ უარყოფითი განსაზღვრული.

და ყველაფერი კარგად იქნებოდა, მაგრამ კვადრატული ფორმის განსაზღვრა მხოლოდ მარტივ მაგალითებში ჩანს და ეს ხილვადობა უკვე იკარგება მცირე გართულებით:
– ?

შეიძლება ვივარაუდოთ, რომ ფორმა დადებითად არის განსაზღვრული, მაგრამ მართლა ასეა? მოულოდნელად არის მნიშვნელობები, რომლებზეც ის ნულზე ნაკლებია?

ამ ანგარიშზე იქ თეორემა: თუ ყველა საკუთარი მნიშვნელობები კვადრატული ფორმის მატრიცები დადებითია * , მაშინ დადებითად არის განსაზღვრული. თუ ყველა უარყოფითია, მაშინ ის უარყოფითია.

* თეორიულად დადასტურებულია, რომ რეალური სიმეტრიული მატრიცის ყველა საკუთრივ მნიშვნელობა მოქმედებს

დავწეროთ ზემოაღნიშნული ფორმის მატრიცა:
და განტოლებიდან მოდი ვიპოვოთ იგი საკუთარი მნიშვნელობები :

ჩვენ ვაგვარებთ ძველ კარგს კვადრატული განტოლება :

, ასე რომ ფორმა დადებითად არის განსაზღვრული, ე.ი. ნებისმიერი არანულოვანი მნიშვნელობისთვის, ის მეტია ნულზე.

როგორც ჩანს, განხილული მეთოდი მუშაობს, მაგრამ არსებობს ერთი დიდი BUT. უკვე "სამი სამზე" მატრიცისთვის, საკუთარი მნიშვნელობების ძებნა გრძელი და უსიამოვნო ამოცანაა; დიდი ალბათობით მიიღებთ მე-3 ხარისხის მრავალწევრს ირაციონალური ფესვებით.

Როგორ უნდა იყოს? არსებობს უფრო მარტივი გზა!

სილვესტერის კრიტერიუმი

არა, სილვესტერ სტალონე არა :) ჯერ შეგახსენებთ რა კუთხოვანი არასრულწლოვნებიმატრიცები. Ეს არის განმსაზღვრელი რომელიც "იზრდება" მისი ზედა მარცხენა კუთხიდან:

და ბოლო ზუსტად უდრის მატრიცის განმსაზღვრელს.

ახლა, ფაქტობრივად, კრიტერიუმი:

1) კვადრატული ფორმა განსაზღვრულია დადებითადთუ და მხოლოდ მაშინ, თუ მისი ყველა კუთხური მინორი ნულზე მეტია: .

2) კვადრატული ფორმა განსაზღვრულია უარყოფითითუ და მხოლოდ მაშინ, თუ მისი კუთხური მინორი ერთმანეთს ენაცვლება ნიშნით, ხოლო 1-ლი მინორი ნაკლებია ნულზე: , , თუ არის ლუწი ან , თუ არის კენტი.

თუ მინიმუმ ერთ კუთხოვან მინორს აქვს საპირისპირო ნიშანი, მაშინ ფორმა ნიშნის მონაცვლეობა. თუ კუთხოვანი მინორები „იმ“ ნიშნისაა, მაგრამ მათ შორის არის ნულები, მაშინ ეს განსაკუთრებული შემთხვევაა, რომელსაც ცოტა მოგვიანებით გავაანალიზებ, მას შემდეგ რაც უფრო გავრცელებულ მაგალითებს გადავხედავთ.

მოდით გავაანალიზოთ მატრიცის კუთხური მინორები :

და ეს მაშინვე გვეუბნება, რომ ფორმა არ არის უარყოფითად განსაზღვრული.

დასკვნა: ყველა კუთხის მინორი მეტია ნულზე, ამიტომ ფორმა დადებითად განსაზღვრული.

არის თუ არა განსხვავება საკუთარი მნიშვნელობის მეთოდთან? ;)

ჩვენ ვწერთ ფორმის მატრიცას მაგალითი 1:

მისი პირველი კუთხოვანი მინორი და მეორე , საიდანაც გამოდის, რომ ფორმა ნიშან-ალტერნატიულია, ე.ი. მნიშვნელობებიდან გამომდინარე, შეუძლია მიიღოს როგორც დადებითი, ასევე უარყოფითი მნიშვნელობები. თუმცა, ეს ასე აშკარაა.

აიღეთ ფორმა და მისი მატრიცა მაგალითი 2:

აქ საერთოდ გარეშე გამჭრიახობა არ მესმის. მაგრამ სილვესტერის კრიტერიუმით, ჩვენ არ გვაინტერესებს:
, შესაბამისად ფორმა ნამდვილად არ არის უარყოფითი.

და ნამდვილად არა დადებითი. (რადგან ყველა კუთხის არასრულწლოვანი უნდა იყოს დადებითი).

დასკვნა: ფორმა მონაცვლეობითია.

გათბობის მაგალითები თვითგამორკვევისთვის:

მაგალითი 4

გამოიკვლიეთ კვადრატული ფორმები ნიშან-განსაზღვრულობისთვის

ა)

ამ მაგალითებში ყველაფერი გლუვია (იხილეთ გაკვეთილის ბოლოს), მაგრამ სინამდვილეში, ასეთი დავალების შესასრულებლად სილვესტერის კრიტერიუმი შეიძლება არ იყოს საკმარისი.

საქმე იმაშია, რომ არის „საზღვრის“ შემთხვევები, კერძოდ: თუ რომელიმე არანულოვანივექტორი, შემდეგ ფორმა განისაზღვრება არაუარყოფითი, თუ - მაშინ არაპოზიტიური. ამ ფორმებს აქვთ არანულოვანივექტორები რისთვისაც .

აქ შეგიძლიათ მოიტანოთ ასეთი "ღილაკის აკორდეონი":

ხაზგასმა სრული მოედანი , ჩვენ მაშინვე ვხედავთ არანეგატიურობაფორმა: , უფრო მეტიც, ის ტოლია ნულის ტოლი კოორდინატების მქონე ნებისმიერი ვექტორისთვის, მაგალითად: .

"სარკის" მაგალითი არაპოზიტიურიგარკვეული ფორმა:

და კიდევ უფრო ტრივიალური მაგალითი:
– აქ ფორმა უდრის ნულს ნებისმიერი ვექტორისთვის, სადაც არის თვითნებური რიცხვი.

როგორ გამოვავლინოთ ფორმის არანეგატიურობა ან არაპოზიტიურობა?

ამისთვის გვჭირდება კონცეფცია ძირითადი არასრულწლოვნები მატრიცები. მთავარი მინორი არის მინორი, რომელიც შედგება ელემენტებისაგან, რომლებიც მდებარეობენ იმავე ნომრებით მწკრივებისა და სვეტების კვეთაზე. ამრიგად, მატრიცას აქვს პირველი რიგის ორი ძირითადი მცირე:
(ელემენტი არის 1-ლი რიგისა და 1-ლი სვეტის კვეთაზე);
(ელემენტი არის მე-2 რიგისა და მე-2 სვეტის კვეთაზე),

და ერთი ძირითადი მეორე რიგის მინორი:
- შედგება 1-ლი, მე-2 რიგის და 1-ლი, მე-2 სვეტის ელემენტებისაგან.

მატრიცა "სამი სამზე" შვიდი მთავარი არასრულწლოვანია და აქ უკვე მოგიწევთ ბიცეფსის ქნევა:
- 1-ლი რიგის სამი არასრულწლოვანი,
მე-2 რიგის სამი არასრულწლოვანი:
- შედგება 1-ლი, მე-2 რიგის და 1-ლი, მე-2 სვეტის ელემენტებისაგან;
- შედგება 1-ლი, მე-3 რიგის და 1-ლი, მე-3 სვეტის ელემენტებით;
- შედგება მე-2, მე-3 რიგისა და მე-2, მე-3 სვეტის ელემენტებისაგან,
და ერთი მე-3 შეკვეთის მინორი:
- შედგება 1-ლი, მე-2, მე-3 რიგის და 1-ლი, მე-2 და მე-3 სვეტების ელემენტებისაგან.
ვარჯიშიგასაგებად: ჩაწერეთ მატრიცის ყველა ძირითადი მინორი .
ვამოწმებთ გაკვეთილის ბოლოს და ვაგრძელებთ.

შვარცენეგერის კრიტერიუმი:

1) არანულოვანი* კვადრატული ფორმა განსაზღვრულია არაუარყოფითითუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მისი ყველა ძირითადი არასრულწლოვანი არაუარყოფითი(ნულზე მეტი ან ტოლი).

* ნულოვან (გადაგვარებულ) კვადრატულ ფორმას აქვს ყველა კოეფიციენტი ნულის ტოლი.

2) არანულოვანი კვადრატული ფორმა განსაზღვრული მატრიცით არაპოზიტიურითუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ეს:
– 1-ლი რიგის ძირითადი არასრულწლოვნები არაპოზიტიური(ნულზე ნაკლები ან ტოლი);
არიან მე-2 რიგის ძირითადი არასრულწლოვნები არაუარყოფითი;
– მე-3 რიგის ძირითადი არასრულწლოვნები არაპოზიტიური(მონაცვლეობა დაიწყო);
…
– რიგის მაიორ მინორი არაპოზიტიური, თუ არის უცნაური ან არაუარყოფითი, თუ არის თანაბარი.

თუ ერთი მინორი მაინც საპირისპირო ნიშნისაა, მაშინ ფორმა ნიშან-ცვლისაა.

ვნახოთ, როგორ მუშაობს კრიტერიუმი ზემოთ მოცემულ მაგალითებში:

მოდით გავაკეთოთ ფორმის მატრიცა და პირველ რიგშიმოდით გამოვთვალოთ კუთხური მინორები - რა მოხდება, თუ ის დადებითად ან უარყოფითად არის განსაზღვრული?

მიღებული მნიშვნელობები არ აკმაყოფილებს სილვესტერის კრიტერიუმს, თუმცა მეორე უმნიშვნელო არა უარყოფითიდა ეს საჭიროებს მე-2 კრიტერიუმის შემოწმებას (მე-2 კრიტერიუმის შემთხვევაში ის ავტომატურად არ სრულდება, ანუ დაუყოვნებლივ კეთდება დასკვნა ფორმის ნიშნის მონაცვლეობის შესახებ).

1-ლი რიგის მთავარი არასრულწლოვნები:
- დადებითები არიან
მე-2 რიგის მაჟორი:
- არა უარყოფითი.

ამდენად, ყველა ძირითადი უმცროსი არის არაუარყოფითი, ამიტომ ფორმა არაუარყოფითი.

დავწეროთ ფორმის მატრიცა , რისთვისაც, ცხადია, სილვესტერის კრიტერიუმი არ არის დაკმაყოფილებული. მაგრამ ჩვენ ასევე არ მიგვიღია საპირისპირო ნიშნები (რადგან ორივე კუთხური მინორი ნულის ტოლია). ამიტომ ვამოწმებთ არანეგატიურობის/არაპოზიტიურობის კრიტერიუმის შესრულებას. 1-ლი რიგის მთავარი არასრულწლოვნები:
- არა დადებითი
მე-2 რიგის მაჟორი:
- არა უარყოფითი.

ამრიგად, შვარცენეგერის კრიტერიუმის მიხედვით (პუნქტი 2) ფორმა განისაზღვრება არადადებითად.

ახლა, სრულად შეიარაღებული, ჩვენ გავაანალიზებთ უფრო გასართობ პრობლემას:

მაგალითი 5

შეისწავლეთ კვადრატული ფორმა ნიშან-განსაზღვრულობისთვის

ამ ფორმას ამშვენებს ბრძანება „ალფა“, რომელიც შეიძლება იყოს ნებისმიერი რეალური რიცხვის ტოლი. მაგრამ ეს მხოლოდ უფრო სახალისო იქნება გადაწყვიტოს.

ჯერ ჩამოვწეროთ ფორმის მატრიცა, ალბათ, ბევრს უკვე მოერგება ზეპირად გაკეთება: on მთავარი დიაგონალიჩვენ კოეფიციენტებს ვათავსებთ კვადრატებზე, ხოლო სიმეტრიულ ადგილებზე - შესაბამისი "შერეული" პროდუქტების ნახევარი კოეფიციენტები:

მოდით გამოვთვალოთ კუთხის მცირე რაოდენობა:

მე გავაფართოვებ მესამე განმსაზღვრელს მე-3 ხაზის გასწვრივ:

პორტალი სტუდენტისთვის. თვითმმართველობის ტრენინგი

კვადრატული ფორმები

კვადრატული ფორმები. ფორმების მნიშვნელობა. სილვესტერის კრიტერიუმი

კვადრატული ფორმის მატრიცული აღნიშვნა

სილვესტერის კრიტერიუმი

ᲓᲐᲙᲐᲕᲨᲘᲠᲔᲑᲣᲚᲘ ᲡᲢᲐᲢᲘᲔᲑᲘ

კვადრატული ფორმები.
ფორმების მნიშვნელობა. სილვესტერის კრიტერიუმი