უმცირესი მოქმედების პრინციპი, რომელიც პირველად იაკობიმ პირდაპირ განაცხადა, ჰამილტონის პრინციპის მსგავსია, მაგრამ ნაკლებად ზოგადი და უფრო რთული დასამტკიცებელია. ეს პრინციპი გამოიყენება მხოლოდ იმ შემთხვევაში, როდესაც კავშირები და ძალის ფუნქცია დროზე არ არის დამოკიდებული და, შესაბამისად, არსებობს ცოცხალი ძალის ინტეგრალი.
ეს ინტეგრალი ასე გამოიყურება:
ზემოთ მოყვანილი ჰამილტონის პრინციპი აცხადებს, რომ ინტეგრალის ცვალებადობა
უდრის ნულს, როდესაც ფაქტობრივი მოძრაობა გადადის ნებისმიერ სხვა უსასრულოდ ახლო მოძრაობაზე, რომელიც სისტემას ერთი და იმავე საწყის პოზიციიდან იმავე დროის ინტერვალში გადაიყვანს იმავე საბოლოო პოზიციამდე.
იაკობის პრინციპი, პირიქით, გამოხატავს თვისებას, მოძრაობას, რომელიც არ არის დამოკიდებული დროზე. იაკობი განიხილავს ინტეგრალს
მოქმედების განმსაზღვრელი. პრინციპი, რომელიც მან დაადგინა, ამტკიცებს, რომ ამ ინტეგრალის ცვალებადობა ნულის ტოლია, როდესაც შევადარებთ სისტემის რეალურ მოძრაობას ნებისმიერ სხვა უსასრულოდ მჭიდრო მოძრაობასთან, რომელიც სისტემას ერთი და იგივე საწყისი პოზიციიდან იმავე საბოლოო პოზიციამდე გადაიყვანს. ამ შემთხვევაში ყურადღებას არ ვაქცევთ დახარჯულ დროის ინტერვალს, მაგრამ ვაკვირდებით განტოლებას (1), ანუ ცოცხალი ძალის განტოლებას h-ის მუდმივის იგივე მნიშვნელობით, რაც რეალურ მოძრაობაშია.
ეს აუცილებელი ექსტრემალური მდგომარეობა იწვევს, ზოგადად, ინტეგრალის მინიმუმამდე (2), საიდანაც მოდის უმცირესი მოქმედების პრინციპის სახელი. მინიმალური პირობა, როგორც ჩანს, ყველაზე ბუნებრივია, რადგან T-ის მნიშვნელობა არსებითად დადებითია და ამიტომ ინტეგრალს (2) აუცილებლად უნდა ჰქონდეს მინიმუმი. მინიმალურის არსებობა მკაცრად შეიძლება დადასტურდეს მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ დროის ინტერვალი საკმარისად მცირეა. ამ დებულების მტკიცებულება გვხვდება დარბოს ცნობილ კურსში ზედაპირების თეორიის შესახებ. თუმცა აქ არ წარმოვადგენთ და შემოვიფარგლებით პირობის გამოყვანით
432. უმცირესი მოქმედების პრინციპის დადასტურება.
რეალურ გამოთვლაში ჩვენ ვაწყდებით ერთ სირთულეს, რომელიც არ არის წარმოდგენილი ჰამილტონის თეორემის მტკიცებულებაში. ცვლადი t აღარ რჩება ვარიაციისგან დამოუკიდებელი; ასე რომ, q i და q ვარიაციები. დაკავშირებულია t-ის ცვალებადობასთან რთული ურთიერთობით, რომელიც გამომდინარეობს განტოლებიდან (1). ამ სირთულის გადასაჭრელად უმარტივესი გზაა დამოუკიდებელი ცვლადის შეცვლა ისეთზე, რომლის მნიშვნელობები მუდმივი დროიდან დამოუკიდებელ ლიმიტებს შორისაა. ვთქვათ k არის ახალი დამოუკიდებელი ცვლადი, რომლის ზღვრები დამოუკიდებლად ითვლება t-სგან. სისტემის გადაადგილებისას, პარამეტრები და t იქნება ამ ცვლადის ფუნქციები
პრიმირებული ასოები q აღნიშნავენ q პარამეტრების წარმოებულებს დროის მიმართ.
ვინაიდან კავშირები ვარაუდობენ, რომ დამოუკიდებელნი არიან დროისგან, დეკარტის კოორდინატები x, y, z არის q-ის ფუნქციები, რომლებიც არ შეიცავს დროს. ამიტომ მათი წარმოებულები იქნება q-ის წრფივი ერთგვაროვანი ფუნქციები და 7 იქნება q-ის ერთგვაროვანი კვადრატული ფორმა, რომლის კოეფიციენტები არის q-ის ფუნქციები. Ჩვენ გვაქვს
იმისათვის, რომ განვასხვავოთ q-ის დროითი წარმოებულები, ფრჩხილებით აღვნიშნავთ (q) q-ის წარმოებულებს, აღებული და დაყენებული ამის მიხედვით.
მაშინ გვექნება
ხოლო ინტეგრალი (2), რომელიც გამოხატულია ახალი დამოუკიდებელი ცვლადის A მეშვეობით, მიიღებს ფორმას;
წარმოებული შეიძლება აღმოიფხვრას ცოცხალი ძალის თეორემის გამოყენებით. მართლაც, ცოცხალი ძალის ინტეგრალი იქნება
ამ გამოთქმის ფორმულით ჩანაცვლებით, ჩვენ მივყავართ ინტეგრალი (2) ფორმაში
ამრიგად, მოქმედების განმსაზღვრელმა ინტეგრალმა მიიღო საბოლოო ფორმა (3). ინტეგრადი არის რაოდენობების კვადრატული ფორმის კვადრატული ფესვი
ვაჩვენოთ, რომ ინტეგრალის (3) კიდურთა დიფერენციალური განტოლებები ზუსტად ლაგრანგის განტოლებებია. ექსტრემალური განტოლებები, რომლებიც დაფუძნებულია ვარიაციების გამოთვლის ზოგად ფორმულებზე, იქნება:
ჩვენ ვამრავლებთ განტოლებებს 2-ზე და ვასრულებთ ნაწილობრივ დიფერენციაციას, იმის გათვალისწინებით, რომ არ შეიცავს, მაშინ მივიღებთ, თუ არ დავწერთ ინდექსს,
ეს არის ექსტრემალური განტოლებები, რომლებიც გამოხატულია დამოუკიდებელი ცვლადის მიხედვით, ახლა ამოცანაა დამოუკიდებელ ცვლადზე დაბრუნება.
ვინაიდან Г არის მეორე ხარისხის ერთგვაროვანი ფუნქცია და არის პირველი ხარისხის ერთგვაროვანი ფუნქცია, გვაქვს
მეორეს მხრივ, წარმოებულების ფაქტორებზე ექსტრემალების განტოლებებში, შეიძლება გამოვიყენოთ ცოცხალი ძალის თეორემა, რომელიც, როგორც ზემოთ ვნახეთ, იწვევს ჩანაცვლებას.
ყველა ჩანაცვლების შედეგად, ექსტრემალური განტოლებები მცირდება ფორმამდე
ამრიგად, ჩვენ მივედით ლაგრანგის განტოლებამდე.
433. შემთხვევა, როდესაც არ არსებობს მამოძრავებელი ძალები.
იმ შემთხვევაში, როდესაც არ არსებობს მამოძრავებელი ძალები, არსებობს განტოლება ცოცხალი ძალისთვის და გვაქვს
პირობა, რომ ინტეგრალი არის მინიმალური, არის, ამ შემთხვევაში, რომ შესაბამისი მნიშვნელობა -10 უნდა იყოს ყველაზე პატარა. ამრიგად, როდესაც არ არსებობს მამოძრავებელი ძალები, მაშინ ყველა მოძრაობას შორის, რომელშიც ცოცხალი ძალა ინარჩუნებს ერთსა და იმავე მნიშვნელობას, რეალური მოძრაობა არის ის, რაც სისტემას უმოკლეს დროში მოაქვს მისი საწყისი პოზიციიდან საბოლოო პოზიციამდე.
თუ სისტემა მცირდება ერთ წერტილამდე, რომელიც მოძრაობს ფიქსირებული ზედაპირის გასწვრივ, მაშინ ფაქტობრივი მოძრაობა, ზედაპირის გასწვრივ ყველა მოძრაობას შორის, რომელიც შესრულებულია იმავე სიჩქარით, არის ისეთი მოძრაობა, რომელშიც წერტილი გადადის საწყისი პოზიციიდან საბოლოო პოზიციაზე. უმოკლესამდე
დროის ინტერვალი. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, წერტილი აღწერს ზედაპირზე უმოკლეს ხაზს მის ორ პოზიციას შორის, ანუ გეოდეზიურ ხაზს.
434. შენიშვნა.
უმცირესი მოქმედების პრინციპი ვარაუდობს, რომ სისტემას აქვს თავისუფლების რამდენიმე ხარისხი, რადგან თავისუფლების მხოლოდ ერთი ხარისხი რომ იყოს, მაშინ ერთი განტოლება საკმარისი იქნება მოძრაობის დასადგენად. ვინაიდან მოძრაობა ამ შემთხვევაში შეიძლება მთლიანად განისაზღვროს ცოცხალი ძალის განტოლებით, ფაქტობრივი მოძრაობა იქნება ერთადერთი, რომელიც აკმაყოფილებს ამ განტოლებას და, შესაბამისად, ვერ შეედრება სხვა მოძრაობას.
ჩვენ მოკლედ მიმოვიხილეთ ერთ-ერთი ყველაზე გამორჩეული ფიზიკური პრინციპი - უმცირესი მოქმედების პრინციპი და მივიღეთ მაგალითი, რომელიც, როგორც ჩანს, ეწინააღმდეგება მას. ამ სტატიაში ჩვენ უფრო დეტალურად განვიხილავთ ამ პრინციპს და ვნახავთ რა ხდება ამ მაგალითში.
ამჯერად ცოტა მეტი მათემატიკა გვჭირდება. თუმცა, ისევ შევეცდები სტატიის ძირითადი ნაწილი დაწყებით დონეზე წარმოვადგინო. ოდნავ უფრო მკაცრი და კომპლექსური პუნქტები მე ხაზს ვუსვამ ფერებში, მათი გამოტოვება შესაძლებელია სტატიის ძირითადი გაგების შეუზღუდავად.
სასაზღვრო პირობები
დავიწყოთ უმარტივესი ობიექტით – სივრცეში თავისუფლად მოძრავი ბურთით, რომელზეც არანაირი ძალა არ მოქმედებს. ასეთი ბურთი, როგორც ცნობილია, ერთნაირად და სწორხაზოვნად მოძრაობს. სიმარტივისთვის, დავუშვათ, რომ ის მოძრაობს ღერძის გასწვრივ:
მისი მოძრაობის ზუსტად აღწერისთვის, როგორც წესი, მოცემულია საწყისი პირობები. მაგალითად, მითითებულია, რომ დროის საწყის მომენტში ბურთი იყო კოორდინატთან და ჰქონდა სიჩქარე. ამ ფორმით საწყისი პირობების დაყენებით, ჩვენ ცალსახად განვსაზღვრავთ ბურთის შემდგომ მოძრაობას - ის იმოძრავებს მუდმივი სიჩქარით, ხოლო მისი პოზიცია დროის მომენტში ტოლი იქნება საწყისი პოზიციის პლუს სიჩქარე გამრავლებული გასულ დროზე. : . საწყისი პირობების დაყენების ეს გზა ძალიან ბუნებრივი და ინტუიციურად ნაცნობია. ჩვენ მივეცით ყველა საჭირო ინფორმაცია ბურთის მოძრაობის შესახებ დროის საწყის მომენტში, შემდეგ კი მისი მოძრაობა განისაზღვრება ნიუტონის კანონებით.
თუმცა, ეს არ არის ბურთის მოძრაობის დაზუსტების ერთადერთი გზა. კიდევ ერთი ალტერნატიული გზა არის ბურთის პოზიციის დაზუსტება ორ სხვადასხვა დროს და . იმათ. დააყენეთ რომ:
1) იმ მომენტში, როდესაც ბურთი იყო წერტილში (კოორდინატით);
2) იმ მომენტში, როდესაც ბურთი იყო წერტილში (კოორდინატით).
გამოთქმა "იყო წერტილში" არ ნიშნავს, რომ ბურთი მოსვენებულ მდგომარეობაში იყო. დროის მომენტში მას შეეძლო წერტილის გავლით ფრენა. ეს ნიშნავს, რომ მისი პოზიცია დროის მომენტში დაემთხვა წერტილს. იგივე ეხება წერტილს.
ეს ორი პირობა ასევე ცალსახად განსაზღვრავს ბურთის მოძრაობას. მისი მოძრაობა ადვილი გამოსათვლელია. ორივე პირობის დასაკმაყოფილებლად, ბურთის სიჩქარე აშკარად უნდა იყოს . ბურთის პოზიცია დროის მომენტში კვლავ იქნება საწყისი პოზიციის ტოლი, პლუს სიჩქარე გამრავლებული გასულ დროზე:
გაითვალისწინეთ, რომ პრობლემის პირობებში არ დაგვჭირდა საწყისი სიჩქარის დაყენება. იგი ცალსახად განისაზღვრა 1) და 2 პირობებიდან).
პირობების დაყენება მეორე გზით უჩვეულოდ გამოიყურება. შესაძლოა, გაუგებარია, რატომ შეიძლება იყოს საერთოდ საჭირო მათი ამ ფორმით დაყენება. თუმცა, უმცირესი მოქმედების პრინციპში, გამოიყენება პირობები 1) და 2) ფორმით და არა საწყისი პოზიციისა და საწყისი სიჩქარის მითითების სახით.
ტრაექტორია მინიმალური მოქმედებით
ახლა ცოტა გადავუხვიოთ ბურთის რეალურ თავისუფალ მოძრაობას და განვიხილოთ შემდეგი წმინდა მათემატიკური ამოცანა. ვთქვათ, გვაქვს ბურთი, რომელიც შეგვიძლია ხელით გადავაადგილოთ ნებისმიერი გზით, რაც მოგვწონს. ამ შემთხვევაში, ჩვენ უნდა დავაკმაყოფილოთ პირობები 1) და 2). იმათ. შორის დროის ინტერვალში და უნდა გადავიტანოთ წერტილიდან წერტილამდე. ეს შეიძლება გაკეთდეს სრულიად განსხვავებული გზებით. თითოეულ ასეთ გზას ჩვენ დავარქმევთ ბურთის ტრაექტორიას და ის შეიძლება აღვწეროთ, როგორც ბურთის პოზიციის ფუნქცია დროიდან. მოდით დავხატოთ რამდენიმე ასეთი ტრაექტორია ბურთის პოზიციის გრაფიკზე დროის მიმართ:
მაგალითად, შეგვიძლია ბურთის გადატანა იგივე სიჩქარით (მწვანე ტრაექტორია). ან შეგვიძლია შევინახოთ ის დროის ნახევარზე და შემდეგ გადავიტანოთ წერტილზე ორმაგი სიჩქარით (ლურჯი გზა). შეგიძლიათ ჯერ გადაიტანოთ ის საპირისპირო მიმართულებით, შემდეგ კი გადაიტანოთ (ყავისფერ გზაზე). თქვენ შეგიძლიათ გადაიტანოთ იგი წინ და უკან (წითელი ბილიკი). ზოგადად, თქვენ შეგიძლიათ გადაიტანოთ ის, როგორც გსურთ, რამდენადაც 1) და 2) პირობები დაკმაყოფილებულია.
თითოეული ასეთი ტრაექტორიისთვის შეგვიძლია დავამთხვიოთ რიცხვი. ჩვენს მაგალითში, ე.ი. ბურთზე მოქმედი ძალების არარსებობის შემთხვევაში, ეს რიცხვი უდრის მთლიან დაგროვილ კინეტიკურ ენერგიას მისი გადაადგილების მთელი დროის განმავლობაში დროის ინტერვალში და და ეწოდება მოქმედებას.
ამ შემთხვევაში სიტყვა „დაგროვილი“ კინეტიკური ენერგია ზუსტად არ გადმოსცემს მნიშვნელობას. სინამდვილეში კინეტიკური ენერგია არსად გროვდება, დაგროვება გამოიყენება მხოლოდ ტრაექტორიის მოქმედების გამოსათვლელად. მათემატიკაში არის ძალიან კარგი კონცეფცია ასეთი დაგროვებისთვის - ინტეგრალი:მაგალითად, ავიღოთ 1 კგ ბურთი, დავაყენოთ რამდენიმე სასაზღვრო პირობები და გამოვთვალოთ მოქმედება ორი განსხვავებული ტრაექტორიისთვის. წერტილი იყოს წერტილიდან 1 მეტრის დაშორებით, ხოლო დრო დროისგან 1 წამის დაშორებით. იმათ. ბურთი, რომელიც დროის საწყის მომენტში იმყოფებოდა წერტილში, უნდა გადავიტანოთ ერთ წამში ღერძის გასწვრივ 1 მ მანძილზე.მოქმედება ჩვეულებრივ აღინიშნება ასოებით. სიმბოლო ნიშნავს კინეტიკურ ენერგიას. ეს ინტეგრალი ნიშნავს, რომ მოქმედება უდრის ბურთის დაგროვილ კინეტიკურ ენერგიას დროის ინტერვალში დან მდე.
პირველ მაგალითში (მწვანე ტრაექტორია) ბურთი თანაბრად გადავიტანეთ, ე.ი. იგივე სიჩქარით, რომელიც, ცხადია, ტოლი უნდა იყოს: მ/წმ. ბურთის კინეტიკური ენერგია დროის თითოეულ მომენტში არის: = 1/2 ჯ. ერთ წამში დაგროვდება 1/2 ჯ კინეტიკური ენერგია. იმათ. მოქმედება ასეთი ტრაექტორიისთვის არის: ჯ ს.
მოდით, დაუყოვნებლივ არ გადავიტანოთ ბურთი წერტილიდან წერტილამდე, არამედ გავაჩეროთ ის წერტილში ნახევარი წამის განმავლობაში და შემდეგ, დარჩენილი დროის განმავლობაში, თანაბრად გადავიტანოთ ის წერტილში. წამის პირველ ნახევარში ბურთი ისვენებს და მისი კინეტიკური ენერგია ნულის ტოლია. მაშასადამე, ტრაექტორიის ამ ნაწილის მოქმედებაში წვლილიც ნულის ტოლია. მეორე ნახევარ წამში ბურთს ორმაგი სიჩქარით ვამოძრავებთ: მ/წმ. კინეტიკური ენერგია ამ შემთხვევაში ტოლი იქნება = 2 ჯ. ამ დროის ინტერვალის წვლილი მოქმედებაში იქნება 2 ჯ გამრავლებული წამის ნახევარზე, ე.ი. 1 ჯ ს. მაშასადამე, ასეთი ტრაექტორიის მთლიანი მოქმედება უდრის J ს.
ანალოგიურად, ჩვენს მიერ მოცემული 1) და 2) სასაზღვრო პირობების მქონე ნებისმიერი სხვა ტრაექტორია შეესაბამება ამ ტრაექტორიის მოქმედების ტოლფას რაღაც რიცხვს. ყველა ასეთ ტრაექტორიას შორის არის ტრაექტორია ყველაზე ნაკლები მოქმედებით. შეიძლება დადასტურდეს, რომ ეს ტრაექტორია არის მწვანე ტრაექტორია, ე.ი. ბურთის ერთგვაროვანი მოძრაობა. ნებისმიერი სხვა ტრაექტორიისთვის, რაც არ უნდა რთული იყოს, მოქმედება 1/2-ზე მეტი იქნება.
მათემატიკაში ამგვარ შედარებას გარკვეული რიცხვის თითოეული ფუნქციისთვის ფუნქციური ეწოდება. საკმაოდ ხშირად ფიზიკაში და მათემატიკაში არის ჩვენი მსგავსი პრობლემები, ე.ი. იპოვონ ისეთი ფუნქცია, რომლისთვისაც გარკვეული ფუნქციის მნიშვნელობა მინიმალურია. მაგალითად, ერთ-ერთი პრობლემა, რომელსაც დიდი ისტორიული მნიშვნელობა ჰქონდა მათემატიკის განვითარებისთვის, არის ბაჩისტოქრონის პრობლემა. იმათ. მრუდის პოვნა, რომლის გასწვრივ ბურთი ყველაზე სწრაფად მოძრაობს. ისევ, თითოეული მრუდი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს h(x) ფუნქციით და თითოეულ ფუნქციას შეიძლება მიენიჭოს რიცხვი, ამ შემთხვევაში, ბურთის გორების დრო. ისევ და ისევ, პრობლემა მცირდება ფუნქციის პოვნამდე, რომლისთვისაც ფუნქციის მნიშვნელობა მინიმალურია. მათემატიკის ფილიალს, რომელიც ეხება ასეთ პრობლემებს, ეწოდება ვარიაციების გამოთვლა.
უმცირესი მოქმედების პრინციპი
ზემოთ განხილულ მაგალითებში გვაქვს ორი სპეციალური ტრაექტორია, რომელიც მიღებულია ორი განსხვავებული გზით.პირველი ტრაექტორია მიღებულია ფიზიკის კანონებიდან და შეესაბამება თავისუფალი ბურთის რეალურ ტრაექტორიას, რომელზედაც არ მოქმედებს ძალები და რომლის სასაზღვრო პირობები მოცემულია სახით 1) და 2).
მეორე ტრაექტორია მიღებულია ტრაექტორიის პოვნის მათემატიკური ამოცანიდან მოცემული სასაზღვრო პირობებით 1) და 2), რომლებისთვისაც მოქმედება მინიმალურია.
უმცირესი მოქმედების პრინციპი ამბობს, რომ ეს ორი გზა უნდა ემთხვეოდეს. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თუ ცნობილია, რომ ბურთი მოძრაობდა ისე, რომ დაკმაყოფილდა 1) და 2) სასაზღვრო პირობები, მაშინ ის აუცილებლად მოძრაობდა ტრაექტორიის გასწვრივ, რომლის მოქმედება მინიმალურია ნებისმიერ სხვა ტრაექტორიასთან შედარებით იგივე სასაზღვრო პირობებით. .
ეს შეიძლება ჩაითვალოს უბრალო დამთხვევად. თქვენ არასოდეს იცით რა პრობლემები ჩნდება ერთიანი ტრაექტორიები და სწორი ხაზები. თუმცა, უმცირესი მოქმედების პრინციპი აღმოჩნდება ძალიან ზოგადი პრინციპი, რომელიც ასევე მოქმედებს სხვა სიტუაციებში, მაგალითად, ბურთის მოძრაობისას ერთგვაროვან გრავიტაციულ ველში. ამისათვის საჭიროა მხოლოდ კინეტიკური ენერგიის შეცვლა კინეტიკური და პოტენციური ენერგიების სხვაობით. ამ განსხვავებას ლაგრანგის ან ლაგრანგის ფუნქციას უწოდებენ და მოქმედება ახლა ტოლი ხდება მთლიანი დაგროვილი ლაგრანგის. სინამდვილეში, Lagrange ფუნქცია შეიცავს ყველა საჭირო ინფორმაციას სისტემის დინამიური თვისებების შესახებ.
თუ ჩვენ გავუშვით ბურთი ერთგვაროვან გრავიტაციულ ველში ისე, რომ ის გაფრინდეს დროის წერტილს და მივიდეს დროის მომენტში, მაშინ ის, ნიუტონის კანონების მიხედვით, გაფრინდება პარაბოლის გასწვრივ. სწორედ ეს პარაბოლა დაემთხვევა იმ ტრაექტორიებს, რომლებისთვისაც მოქმედება მინიმალური იქნება.
ამრიგად, პოტენციურ ველში მოძრავი სხეულისთვის, მაგალითად, დედამიწის გრავიტაციულ ველში, ლაგრანჟის ფუნქციაა: . კინეტიკური ენერგია დამოკიდებულია სხეულის სიჩქარეზე, ხოლო პოტენციური ენერგია დამოკიდებულია მის პოზიციაზე, ე.ი. კოორდინატები . ანალიტიკურ მექანიკაში, კოორდინატების მთელი ნაკრები, რომელიც განსაზღვრავს სისტემის პოზიციას, ჩვეულებრივ აღინიშნება ერთი ასოთი. გრავიტაციულ ველში თავისუფლად მოძრავი ბურთისთვის ნიშნავს კოორდინატებს და .რაოდენობის ცვლილების სიჩქარის აღსანიშნავად, ფიზიკაში ძალიან ხშირია ამ რაოდენობაზე უბრალოდ წერტილის დადება. მაგალითად, იგი აღნიშნავს კოორდინატის ცვლილების სიჩქარეს, ან სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, სხეულის სიჩქარეს მიმართულებით. ამ კონვენციების გამოყენებით, ჩვენი ბურთის სიჩქარე ანალიტიკურ მექანიკაში აღინიშნება როგორც . იმათ. ნიშნავს სიჩქარის კომპონენტებს.
ვინაიდან ლაგრანჟის ფუნქცია დამოკიდებულია სიჩქარეზე და კოორდინატებზე და ასევე შეიძლება ცალსახად იყოს დამოკიდებული დროზე (აშკარად დამოკიდებულია დროზე, რაც ნიშნავს, რომ მნიშვნელობა განსხვავებულია სხვადასხვა დროს, ბურთის იგივე სიჩქარისა და პოზიციისთვის), მაშინ მოქმედება ზოგადი იწერება როგორც
ყოველთვის არ არის მინიმალური
თუმცა, წინა ნაწილის ბოლოს განვიხილეთ მაგალითი, სადაც უმცირესი მოქმედების პრინციპი აშკარად არ მუშაობს. ამისთვის ისევ ავიღეთ თავისუფალი ბურთი, რომელზედაც ძალები არ მოქმედებს და გვერდით დავაყენეთ ზამბარიანი კედელი.
ჩვენ დავაყენეთ სასაზღვრო პირობები ისე, რომ წერტილები ემთხვეოდეს. იმათ. და დროისა და დროის მომენტში ბურთი უნდა იყოს იმავე წერტილში. ერთ-ერთი შესაძლო ტრაექტორია იქნება ბურთის გაჩერება. იმათ. შორის მთელი დროის ინტერვალი და ის დადგება წერტილში. კინეტიკური და პოტენციური ენერგია ამ შემთხვევაში ნულის ტოლი იქნება, ამიტომ ასეთი ტრაექტორიის მოქმედებაც ნულის ტოლი იქნება.
მკაცრად რომ ვთქვათ, პოტენციური ენერგია შეიძლება მივიღოთ არა ნულის, არამედ ნებისმიერი რიცხვის ტოლი, რადგან მნიშვნელოვანია პოტენციური ენერგიის განსხვავება სივრცის სხვადასხვა წერტილში. ამასთან, პოტენციური ენერგიის მნიშვნელობის ცვლილება არ ახდენს გავლენას ტრაექტორიის ძიებაზე მინიმალური მოქმედებით. უბრალოდ, ყველა ტრაექტორიაზე მოქმედების მნიშვნელობა შეიცვლება ერთი და იგივე რაოდენობით და მინიმალური მოქმედების ტრაექტორია დარჩება მინიმალური მოქმედების ტრაექტორიად. მოხერხებულობისთვის, ჩვენი ბურთისთვის ჩვენ ვირჩევთ პოტენციურ ენერგიას ნულის ტოლი.კიდევ ერთი შესაძლო ფიზიკური ტრაექტორია იგივე სასაზღვრო პირობებით იქნება ტრაექტორია, რომელშიც ბურთი პირველად მიფრინავს მარჯვნივ და გადის დროში. შემდეგ ის ეჯახება ზამბარას, შეკუმშავს მას, ზამბარა, სწორდება, უბიძგებს ბურთს უკან და ის კვლავ მიფრინავს წერტილის გვერდით. თქვენ შეგიძლიათ აირჩიოთ ბურთის სიჩქარე ისე, რომ კედლიდან გადმოხტომის შემდეგ ის ზუსტად იმ მომენტში გადაფრინდა წერტილის ზემოთ. ასეთ ტრაექტორიაზე მოქმედება ძირითადად ტოლი იქნება წერტილსა და კედელსა და ზურგს შორის ფრენის დროს დაგროვილ კინეტიკურ ენერგიას. იქნება გარკვეული პერიოდი, როდესაც ბურთი შეკუმშავს ზამბარას და მისი პოტენციური ენერგია იზრდება და ამ პერიოდის განმავლობაში პოტენციური ენერგია უარყოფით წვლილს შეიტანს მოქმედებაში. მაგრამ ასეთი პერიოდი არ იქნება ძალიან დიდი და მნიშვნელოვნად არ შეამცირებს ეფექტს.
ფიგურაში ნაჩვენებია ბურთის ორივე ფიზიკურად შესაძლო ტრაექტორია. მწვანე ტრაექტორია შეესაბამება ბურთს მოსვენებულ მდგომარეობაში, ხოლო ცისფერი შეესაბამება ბურთულას, რომელიც გადმოხტა ზამბარიანი კედლიდან.
თუმცა, მხოლოდ ერთ მათგანს აქვს მინიმალური ეფექტი, კერძოდ, პირველი! მეორე ტრაექტორიას მეტი მოქმედება აქვს. გამოდის, რომ ამ პრობლემაში არის ორი ფიზიკურად შესაძლო ტრაექტორია და მხოლოდ ერთი მინიმალური მოქმედებით. იმათ. ამ შემთხვევაში უმცირესი მოქმედების პრინციპი არ მუშაობს.
სტაციონარული წერტილები
იმის გასაგებად, თუ რა ხდება აქ, მოდით, ახლავე გადავუხვიოთ უმცირესი მოქმედების პრინციპს და გავუმკლავდეთ ჩვეულებრივ ფუნქციებს. ავიღოთ რამდენიმე ფუნქცია და დავხატოთ მისი გრაფიკი:
გრაფიკზე მწვანედ მოვნიშნე ოთხი განსაკუთრებული წერტილი. რა არის საერთო ამ წერტილებისთვის? წარმოიდგინეთ, რომ ფუნქციის გრაფიკი არის რეალური სლაიდი, რომლის გასწვრივ ბურთი შეიძლება შემოტრიალდეს. ოთხი მონიშნული წერტილი განსაკუთრებულია იმით, რომ თუ ბურთს ზუსტად ამ წერტილში მოათავსებთ, ის არსად გადაგორდება. ყველა სხვა წერტილში, მაგალითად, E პუნქტში, ის ვერ ჩერდება და დაიწყებს ქვევით სრიალს. ასეთ წერტილებს სტაციონარული ეწოდება. ასეთი წერტილების პოვნა სასარგებლო ამოცანაა, რადგან ფუნქციის ნებისმიერი მაქსიმუმი ან მინიმუმი, თუ მას არ აქვს მკვეთრი წყვეტები, აუცილებლად უნდა იყოს სტაციონარული წერტილი.
თუ ამ წერტილებს უფრო ზუსტად დავახარისხებთ, მაშინ A წერტილი არის ფუნქციის აბსოლუტური მინიმუმი, ე.ი. მისი მნიშვნელობა ნაკლებია ნებისმიერი სხვა ფუნქციის მნიშვნელობაზე. წერტილი B არ არის არც მაქსიმუმი და არც მინიმალური და მას უწოდებენ საყრდენ წერტილს. C წერტილს ლოკალური მაქსიმუმი ეწოდება, ე.ი. მნიშვნელობა მასში მეტია, ვიდრე ფუნქციის მეზობელ წერტილებში. ხოლო D წერტილი არის ლოკალური მინიმუმი, ე.ი. მნიშვნელობა მასში ნაკლებია, ვიდრე ფუნქციის მეზობელ წერტილებში.
მათემატიკის ფილიალი, რომელსაც ეწოდება კალკულუსი, დაკავებულია ასეთი წერტილების ძიებაში. სხვაგვარად, მას ზოგჯერ უსასრულოდ მცირე ანალიზსაც უწოდებენ, რადგან მას შეუძლია იმუშაოს უსასრულოდ მცირე რაოდენობით. მათემატიკური ანალიზის თვალსაზრისით სტაციონალურ წერტილებს აქვთ ერთი განსაკუთრებული თვისება, რის გამოც ისინი გვხვდება. იმის გასაგებად, თუ რა არის ეს თვისება, უნდა გავიგოთ, როგორ გამოიყურება ფუნქცია ამ წერტილებიდან ძალიან მცირე მანძილზე. ამისათვის ჩვენ ვიღებთ მიკროსკოპს და ვუყურებთ მას ჩვენს წერტილებში. ნახატი გვიჩვენებს, თუ როგორ გამოიყურება ფუნქცია სხვადასხვა წერტილების სიახლოვეს სხვადასხვა გადიდებით.
ჩანს, რომ ძალიან მაღალი გადიდებისას (ანუ x-ის ძალიან მცირე გადახრებისთვის), სტაციონარული წერტილები ზუსტად ერთნაირად გამოიყურება და ძალიან განსხვავდება არასტაციონარული წერტილისგან. ადვილი გასაგებია, რა არის ეს განსხვავება - ფუნქციის გრაფიკი სტაციონარულ წერტილში ზრდით ხდება მკაცრად ჰორიზონტალური წრფე, ხოლო არასტაციონარული წერტილში - დახრილი. ამიტომ სტაციონალურ წერტილში დაყენებული ბურთი არ შემოვა.
ფუნქციის ჰორიზონტალურობა სტაციონარულ წერტილში შეიძლება გამოიხატოს სხვაგვარად: ფუნქცია სტაციონარულ წერტილში პრაქტიკულად არ იცვლება მისი არგუმენტის ძალიან მცირე ცვლილებით, თუნდაც თავად არგუმენტის ცვლილებასთან შედარებით. ფუნქცია არასტაციონარული წერტილის მცირე ცვლილებით იცვლება ცვლილების პროპორციულად. და რაც უფრო დიდია ფუნქციის დახრილობა, მით უფრო მეტად იცვლება ფუნქცია როცა . სინამდვილეში, როგორც ფუნქცია იზრდება, ის უფრო და უფრო ემსგავსება გრაფიკის ტანგენტს მოცემულ წერტილში.
მკაცრი მათემატიკური ენით, გამოთქმა "ფუნქცია პრაქტიკულად არ იცვლება ძალიან მცირე ცვლილებით მომენტში" ნიშნავს, რომ ფუნქციის ცვლილების თანაფარდობა და მისი არგუმენტის ცვლილება მიდრეკილია 0-მდე, როგორც 0-მდე:$$ჩვენება$$\lim_(∆x \ to 0) \frac (∆y(x_0))(∆x) = \lim_(x \ to 0) \frac (y(x_0+∆x)-y(x_0) )(∆x) = 0$$ჩვენება$$
არასტაციონარული წერტილისთვის ეს თანაფარდობა მიდრეკილია არანულოვანი რიცხვისკენ, რომელიც უდრის ამ წერტილში ფუნქციის დახრილობის ტანგენტს. იმავე რიცხვს უწოდებენ მოცემულ წერტილში ფუნქციის წარმოებულს. ფუნქციის წარმოებული გვიჩვენებს, თუ რამდენად სწრაფად იცვლება ფუნქცია მოცემული წერტილის გარშემო მისი არგუმენტის მცირე ცვლილებით. ამრიგად, სტაციონარული წერტილები არის წერტილები, რომლებშიც ფუნქციის წარმოებული არის 0.
სტაციონარული ტრაექტორიები
სტაციონარული წერტილების ანალოგიით შეგვიძლია შემოვიტანოთ სტაციონარული ტრაექტორიების ცნება. შეგახსენებთ, რომ თითოეული ტრაექტორიისთვის გვაქვს მოქმედების გარკვეული მნიშვნელობა, ე.ი. რაღაც ნომერი. მაშინ შეიძლება არსებობდეს ისეთი ტრაექტორია, რომ მასთან ახლოს მყოფი ტრაექტორიებისთვის იგივე სასაზღვრო პირობებით, მოქმედების შესაბამისი მნიშვნელობები პრაქტიკულად არ განსხვავდებოდეს ყველაზე სტაციონარული ტრაექტორიის მოქმედებისგან. ასეთ ტრაექტორიას სტაციონარული ეწოდება. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ნებისმიერ ტრაექტორიას სტაციონარული ტრაექტორიის მოქმედებისგან ძალიან ცოტა განსხვავებული ექნება მოქმედების მნიშვნელობა.ისევ და ისევ, მათემატიკური ენაზე "ოდნავ განსხვავებულს" აქვს შემდეგი ზუსტი მნიშვნელობა. დავუშვათ, რომ გვაქვს ფუნქციების ფუნქციონალი საჭირო სასაზღვრო პირობებით 1) და 2), ე.ი. და . დავუშვათ, რომ ტრაექტორია სტაციონარულია.ჩვენ შეგვიძლია ავიღოთ ნებისმიერი სხვა ფუნქცია ისე, რომ ბოლოებში მიიღოს ნულოვანი მნიშვნელობები, ე.ი. = = 0. ასევე ავიღოთ ცვლადი , რომელიც უფრო და უფრო პატარავდება. ამ ორი ფუნქციიდან და ცვლადიდან შეგვიძლია შევადგინოთ მესამე ფუნქცია, რომელიც ასევე დააკმაყოფილებს სასაზღვრო პირობებს და . როგორც ის მცირდება, ფუნქციის შესაბამისი ტრაექტორია სულ უფრო უახლოვდება ტრაექტორიას.
ამ შემთხვევაში, მცირე სტაციონარული ტრაექტორიებისთვის, ტრაექტორიების ფუნქციონალური მნიშვნელობა ძალიან მცირედ განსხვავდება ფუნქციონალური მნიშვნელობიდან თუნდაც . იმათ.
$$ჩვენება$$\lim_(ε \ 0-მდე) \frac (S(x"(t))-S(x(t)))ε=\lim_(ε \ 0-მდე) \frac (S(x( t)+εg(t))-S(x(t)))ε = 0$$ჩვენება$$
უფრო მეტიც, ეს უნდა იყოს ჭეშმარიტი ნებისმიერი ტრაექტორიისთვის, რომელიც აკმაყოფილებს სასაზღვრო პირობებს = = 0.ფუნქციის ცვლილებას ფუნქციის მცირე ცვლილებით (უფრო ზუსტად, ფუნქციური ცვლილების წრფივი ნაწილი, ფუნქციის ცვლილების პროპორციულია) ფუნქციის ცვალებადობა ეწოდება და აღინიშნება . ტერმინიდან „ვარიაცია“ მომდინარეობს სახელწოდება „ვარიაციების გაანგარიშება“.
სტაციონარული ტრაექტორიებისთვის, ფუნქციონალური ცვალებადობა.
სტაციონარული ფუნქციების პოვნის მეთოდი (არა მხოლოდ უმცირესი მოქმედების პრინციპისთვის, არამედ მრავალი სხვა პრობლემისთვის) იპოვა ორმა მათემატიკოსმა - ეილერმა და ლაგრანჟმა. გამოდის, რომ სტაციონარული ფუნქცია, რომლის ფუნქცია გამოიხატება ინტეგრალით, როგორც მოქმედების ინტეგრალი, უნდა აკმაყოფილებდეს გარკვეულ განტოლებას, რომელსაც დღეს ეილერ-ლაგრანგის განტოლება ეწოდება.
სტაციონარული მოქმედების პრინციპი
ტრაექტორიების მინიმალური მოქმედების სიტუაცია მსგავსია ფუნქციების მინიმალური სიტუაციისა. იმისათვის, რომ ტრაექტორიას ჰქონდეს მინიმალური მოქმედება, ის უნდა იყოს სტაციონარული ტრაექტორია. თუმცა, ყველა სტაციონარული ტრაექტორია არ არის ტრაექტორია მინიმალური მოქმედებით. მაგალითად, სტაციონარული ტრაექტორია შეიძლება ჰქონდეს მინიმალური მოქმედება ადგილობრივად. იმათ. მას ექნება ნაკლები მოქმედება, ვიდრე ნებისმიერ სხვა მეზობელ ტრაექტორიას. თუმცა, სადღაც შორს შეიძლება იყოს სხვა ტრაექტორიები, რომლებზეც მოქმედება კიდევ უფრო ნაკლები იქნება.გამოდის, რომ რეალური სხეულები შესაძლოა სულაც არ მოძრაობდნენ ტრაექტორიების გასწვრივ მინიმალური მოქმედებით. მათ შეუძლიათ გადაადგილება სპეციალური ტრაექტორიების უფრო ფართო ნაკრების გასწვრივ, კერძოდ, სტაციონარული ტრაექტორიებით. იმათ. სხეულის რეალური ტრაექტორია ყოველთვის სტაციონარული იქნება. ამიტომ, უმცირესი მოქმედების პრინციპს უფრო სწორად უწოდებენ სტაციონარული მოქმედების პრინციპს. თუმცა, დადგენილი ტრადიციის თანახმად, მას ხშირად უწოდებენ უმცირესი მოქმედების პრინციპს, რაც გულისხმობს არა მხოლოდ მინიმალურობას, არამედ ტრაექტორიების სტაციონარობას.
ახლა ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ სტაციონარული მოქმედების პრინციპი მათემატიკური ენაზე, როგორც ეს ჩვეულებრივ წერია სახელმძღვანელოებში:.თუ დავუბრუნდებით მაგალითს ბურთით და ელასტიური კედლით, მაშინ ამ სიტუაციის ახსნა ახლა ძალიან მარტივი ხდება. მოცემულ სასაზღვრო პირობებში, რომ ბურთი უნდა იყოს იმ წერტილში, როგორც მომენტში, ასევე იმ დროს, არსებობს ორი სტაციონარული ტრაექტორია. და ბურთს რეალურად შეუძლია გადაადგილება რომელიმე ამ ტრაექტორიის გასწვრივ. ერთ-ერთი ტრაექტორიის მკაფიოდ არჩევისთვის, შეგიძლიათ დააწესოთ დამატებითი პირობა ბურთის მოძრაობაზე. მაგალითად, თქვით, რომ ბურთი კედლიდან უნდა გადმოხტეს. შემდეგ ტრაექტორია ცალსახად განისაზღვრება.აქ არის განზოგადებული კოორდინატები, ე.ი. ცვლადების ნაკრები, რომელიც ცალსახად განსაზღვრავს სისტემის პოზიციას.
- განზოგადებული კოორდინატების ცვლილების სიჩქარე.
- ლაგრანჟის ფუნქცია, რომელიც დამოკიდებულია განზოგადებულ კოორდინატებზე, მათ სიჩქარეზე და, შესაძლოა, დროზე.
- მოქმედება, რომელიც დამოკიდებულია სისტემის კონკრეტულ ტრაექტორიაზე (ანუ დან).სისტემის რეალური ტრაექტორიები სტაციონარულია, ე.ი. მათთვის მოქმედების ვარიაცია.
უმცირესი (უფრო ზუსტად, სტაციონარული) მოქმედების პრინციპიდან გამომდინარეობს რამდენიმე თვალსაჩინო შედეგი, რომელსაც შემდეგ ნაწილში განვიხილავთ.
როდესაც პირველად გავიგე ამ პრინციპის შესახებ, რაღაც მისტიკის განცდა დამეუფლა. როგორც ჩანს, ბუნება იდუმალ ახარისხებს სისტემის მოძრაობის ყველა შესაძლო გზას და ირჩევს მათგან საუკეთესოს.
დღეს მინდა ცოტათი ვისაუბრო ერთ-ერთ ყველაზე თვალსაჩინო ფიზიკურ პრინციპზე - უმცირესი მოქმედების პრინციპზე.
ფონი
გალილეოს დროიდან ცნობილია, რომ სხეულები, რომლებზეც არ მოქმედებს რაიმე ძალები, მოძრაობენ სწორი ხაზებით, ანუ უმოკლესი გზის გასწვრივ. სინათლის სხივები ასევე მოძრაობენ სწორი ხაზებით.არეკვლისას სინათლეც ისე მოძრაობს, რომ ერთი წერტილიდან მეორეზე უმოკლეს გზაზე მოხვდება. სურათზე უმოკლესი გზა იქნება მწვანე ბილიკი, რომლის დაცემის კუთხე ტოლია არეკვლის კუთხის. ნებისმიერი სხვა გზა, როგორიცაა წითელი, უფრო გრძელი იქნება.
ამის დამტკიცება ადვილია სარკის მოპირდაპირე მხარეს სხივების ბილიკების უბრალოდ ასახვით. ისინი გამოსახულია წერტილოვანი ხაზებით სურათზე.
ჩანს, რომ მწვანე ბილიკი ACB იქცევა სწორ ხაზად ACB'. და წითელი ბილიკი იქცევა გატეხილ ხაზად ADB', რომელიც, რა თქმა უნდა, მწვანეზე გრძელია.
1662 წელს პიერ ფერმამ თქვა, რომ სინათლის სიჩქარე მკვრივ ნივთიერებაში, როგორიცაა მინა, ჰაერზე ნაკლებია. მანამდე საყოველთაოდ მიღებული ვერსია იყო დეკარტი, რომლის მიხედვითაც სინათლის სიჩქარე მატერიაში ჰაერზე მეტი უნდა იყოს, რათა მივიღოთ გარდატეხის სწორი კანონი. ფერმატისთვის არაბუნებრივი ჩანდა ვარაუდი, რომ სინათლეს უფრო მჭიდრო გარემოში შეეძლო მოძრაობა უფრო სწრაფად, ვიდრე იშვიათ გარემოში. ამიტომ, მან ჩათვალა, რომ ყველაფერი ზუსტად საპირისპიროა და დაამტკიცა საოცარი რამ - ამ ვარაუდით, სინათლე ირღვევა ისე, რომ მინიმალურ დროში მიაღწიოს დანიშნულების ადგილს.
ნახატზე ისევ მწვანე ფერი აჩვენებს გზას, რომელსაც სინათლის სხივი რეალურად გადის. წითლად მონიშნული გზა უმოკლესია, მაგრამ არა უსწრაფესი, რადგან შუქს შუშაში უფრო გრძელი გზა აქვს გასავლელი და მასში მისი სიჩქარე უფრო ნელია. ყველაზე სწრაფი არის სინათლის სხივის რეალური გზა.
ყველა ეს ფაქტი ვარაუდობდა, რომ ბუნება მოქმედებს რაღაც რაციონალურად, სინათლე და სხეულები მოძრაობენ ყველაზე ოპტიმალურად, რაც შეიძლება ნაკლებ ძალისხმევას ხარჯავენ. მაგრამ რა იყო ეს ძალისხმევა და როგორ გამოვთვალოთ ისინი, საიდუმლო დარჩა.
1744 წელს მაუპერტუისმა შემოიტანა „მოქმედების“ ცნება და ჩამოაყალიბა პრინციპი, რომლის მიხედვითაც ნაწილაკების ნამდვილი ტრაექტორია განსხვავდება ნებისმიერი სხვასგან იმით, რომ მისთვის მოქმედება მინიმალურია. თუმცა, თავად მაუპერტუისმა ვერ მისცა მკაფიო განმარტება, თუ რას უდრის ეს მოქმედება. უმცირესი მოქმედების პრინციპის მკაცრი მათემატიკური ფორმულირება შეიმუშავეს სხვა მათემატიკოსებმა - ეილერმა, ლაგრანჟმა და საბოლოოდ მისცა უილიამ ჰამილტონმა:
მათემატიკური ენაზე უმცირესი მოქმედების პრინციპი საკმაოდ მოკლედ არის ჩამოყალიბებული, მაგრამ ყველა მკითხველს არ შეუძლია გაიგოს გამოყენებული აღნიშვნის მნიშვნელობა. მე მინდა ვეცადო ავხსნა ეს პრინციპი უფრო ნათლად და მარტივი სიტყვებით.
ფხვიერი სხეული
ასე რომ, წარმოიდგინეთ, რომ თქვენ ზიხართ მანქანაში ერთ წერტილში და დროის გარკვეულ მომენტში თქვენ გეძლევათ მარტივი დავალება: დროის მომენტში თქვენ უნდა მართოთ მანქანა წერტილამდე.
მანქანის საწვავი ძვირია და, რა თქმა უნდა, გინდა რაც შეიძლება ნაკლები დახარჯო. თქვენი მანქანა დამზადებულია უახლესი სუპერტექნოლოგიების გამოყენებით და შეუძლია აჩქარდეს ან შეანელოს ისე სწრაფად, როგორც გსურთ. თუმცა, ის ისეა შექმნილი, რომ რაც უფრო სწრაფად მიდის, მით მეტ საწვავს მოიხმარს. უფრო მეტიც, საწვავის მოხმარება სიჩქარის კვადრატის პროპორციულია. თუ მართავთ ორჯერ სწრაფად, თქვენ მოიხმართ 4-ჯერ მეტ საწვავს იმავე დროში. სიჩქარის გარდა, საწვავის მოხმარებაზე, რა თქმა უნდა, გავლენას ახდენს მანქანის მასა. რაც უფრო მძიმეა ჩვენი მანქანა, მით მეტ საწვავს მოიხმარს. ჩვენი მანქანის საწვავის მოხმარება დროის ყოველ მომენტში არის, ე.ი. ზუსტად უდრის მანქანის კინეტიკურ ენერგიას.
მაშ, როგორ გჭირდებათ მანქანა, რომ დროულად მიხვიდეთ წერტილამდე და გამოიყენოთ რაც შეიძლება ნაკლები საწვავი? გასაგებია, რომ სწორი ხაზით უნდა წახვიდე. გავლილი მანძილის მატებასთან ერთად საწვავი მოიხმარება ზუსტად არანაკლებ. და შემდეგ შეგიძლიათ აირჩიოთ სხვადასხვა ტაქტიკა. მაგალითად, შეგიძლიათ სწრაფად მიხვიდეთ პუნქტში წინასწარ და უბრალოდ დაჯდეთ, დაელოდოთ დადგომას. მოძრაობის სიჩქარე და, შესაბამისად, საწვავის მოხმარება დროის თითოეულ მომენტში მაღალი იქნება, მაგრამ ასევე შემცირდება მართვის დრო. შესაძლოა ამ შემთხვევაში საწვავის საერთო მოხმარება არც ისე დიდი იყოს. ან შეგიძლიათ იაროთ თანაბრად, იგივე სიჩქარით, ისე რომ, აუჩქარებლად, ზუსტად მიხვიდეთ დროის მომენტში. ან გზის ნაწილი ჩქარა, ნაწილი კი ნელა. რა არის საუკეთესო გზა?
გამოდის, რომ მართვის ყველაზე ოპტიმალური, ყველაზე ეკონომიური გზა არის მუდმივი სიჩქარით მართვა, როგორიცაა ზუსტად დანიშნულ დროს ადგილზე ყოფნა. ნებისმიერი სხვა ვარიანტი მოიხმარს მეტ საწვავს. შეგიძლიათ თავად შეამოწმოთ რამდენიმე მაგალითით. მიზეზი ის არის, რომ საწვავის მოხმარება იზრდება სიჩქარის კვადრატთან ერთად. ამიტომ, სიჩქარის მატებასთან ერთად, საწვავის მოხმარება იზრდება უფრო სწრაფად, ვიდრე მცირდება მართვის დრო და ასევე იზრდება საწვავის მთლიანი მოხმარება.
ამრიგად, ჩვენ გავარკვიეთ, რომ თუ მანქანა ნებისმიერ დროს მოიხმარს საწვავს მისი კინეტიკური ენერგიის პროპორციულად, მაშინ ყველაზე ეკონომიური გზა წერტილიდან წერტილამდე ზუსტად დანიშნულ დროს არის მოძრაობა თანაბრად და სწორი ხაზით, ისევე როგორც სხეული მოძრაობს მასზე მოქმედი ძალების არარსებობის შემთხვევაში. მართვის ნებისმიერი სხვა გზა გამოიწვევს საწვავის მთლიან მოხმარებას.
გრავიტაციის ველში
ახლა ცოტა გავაუმჯობესოთ ჩვენი მანქანა. დავამაგროთ რეაქტიული ძრავები, რათა თავისუფლად იფრინოს ნებისმიერი მიმართულებით. ზოგადად, დიზაინი იგივე დარჩა, ამიტომ საწვავის მოხმარება კვლავ მკაცრად პროპორციული დარჩა მანქანის კინეტიკური ენერგიის მიმართ. თუ ახლა დავალებულია დროში გასვლა და t მომენტში მისვლა, მაშინ ყველაზე ეკონომიური გზა, როგორც ადრე, რა თქმა უნდა, გაფრინდება ერთნაირად და სწორ ხაზზე, რათა მივიდეს ზუსტად იმ წერტილში. დანიშნული დრო თ. ეს ისევ შეესაბამება სხეულის თავისუფალ მოძრაობას სამგანზომილებიან სივრცეში.
თუმცა, მანქანის უახლეს მოდელში უჩვეულო მოწყობილობა დამონტაჟდა. ამ ერთეულს შეუძლია საწვავის წარმოება ფაქტიურად არაფრისგან. მაგრამ დიზაინი ისეთია, რომ რაც უფრო მაღალია მანქანა, მით მეტ საწვავს გამოიმუშავებს მოწყობილობა ნებისმიერ დროს. საწვავის გამომუშავება პირდაპირპროპორციულია იმ სიმაღლისა, რომელზეც ამჟამად მდებარეობს მანქანა. ასევე, რაც უფრო მძიმეა მანქანა, მით უფრო მძლავრია მასზე დაყენებული მოწყობილობა და უფრო მეტ საწვავს გამოიმუშავებს და გამომუშავება პირდაპირპროპორციულია მანქანის მასის. მოწყობილობა ისეთი აღმოჩნდა, რომ საწვავის გამომუშავება ზუსტად უდრის (სად არის თავისუფალი ვარდნის აჩქარება), ე.ი. მანქანის პოტენციური ენერგია.
საწვავის მოხმარება დროის თითოეულ მომენტში უდრის კინეტიკურ ენერგიას გამოკლებული მანქანის პოტენციური ენერგია (მინუს პოტენციურ ენერგიას, რადგან დამონტაჟებული მანქანა აწარმოებს საწვავს და არ ხარჯავს). ახლა ჩვენი ამოცანაა მანქანის ყველაზე ეკონომიური მოძრაობა წერტილებს შორის და ეს უფრო რთული ხდება. მართკუთხა ერთგვაროვანი მოძრაობა ამ შემთხვევაში არ არის ყველაზე ეფექტური. გამოდის, რომ უფრო ოპტიმალურია ცოტათი ასვლა, ცოტა ხნით გაჩერება, მეტი საწვავის დამუშავების შემდეგ და შემდეგ წერტილამდე დაშვება. ფრენის სწორი ბილიკით, ასვლის გამო საწვავის მთლიანი მოხმარება დაფარავს საწვავის დამატებით ხარჯებს ბილიკის სიგრძის გაზრდისა და სიჩქარის გაზრდისთვის. თუ ფრთხილად გამოვთვალეთ, მანქანისთვის ყველაზე ეკონომიური გზა იქნება პარაბოლაში ფრენა, ზუსტად იგივე ტრაექტორიით და ზუსტად ისეთივე სიჩქარით, როგორიც ქვა დედამიწის მიზიდულობის ველში გაფრინდება.
აქ ღირს განმარტების გაკეთება. რა თქმა უნდა, შესაძლებელია ქვის სროლა წერტილიდან სხვადასხვა გზით ისე, რომ ის მოხვდეს წერტილში. მაგრამ თქვენ უნდა გადააგდოთ ის ისე, რომ გაფრენის შემდეგ ის ზუსტად იმ დროს მოხვდეს წერტილში. სწორედ ეს მოძრაობა იქნება ყველაზე ეკონომიური ჩვენი მანქანისთვის.
ლაგრანგის ფუნქცია და უმცირესი მოქმედების პრინციპი
ახლა ჩვენ შეგვიძლია გადავიტანოთ ეს ანალოგია რეალურ ფიზიკურ სხეულებზე. სხეულებისთვის საწვავის მოხმარების ინტენსივობის ანალოგს უწოდებენ ლაგრანჟის ფუნქციას ან ლაგრანგის (ლაგრანჟის პატივსაცემად) და აღინიშნება ასოთი. ლაგრანგიანი გვიჩვენებს რამდენ „საწვავს“ მოიხმარს ორგანიზმი მოცემულ დროს. პოტენციურ ველში მოძრავი სხეულისთვის ლაგრანგის ტოლია მისი კინეტიკური ენერგია მინუს პოტენციური ენერგია.გადაადგილების მთელი დროის განმავლობაში მოხმარებული საწვავის მთლიანი რაოდენობის ანალოგი, ე.ი. ლაგრანგის მნიშვნელობას, რომელიც დაგროვდა მთელი მოძრაობის დროს, ეწოდება "მოქმედება".
უმცირესი მოქმედების პრინციპი არის ის, რომ სხეული მოძრაობს ისე, რომ მოქმედება (რაც დამოკიდებულია მოძრაობის ტრაექტორიაზე) მინიმალური იყოს. ამ შემთხვევაში არ უნდა დაგვავიწყდეს, რომ მოცემულია საწყისი და საბოლოო პირობები, ე.ი. სადაც სხეული არის დრო და დრო .
ამ შემთხვევაში სხეულს არ უწევს გადაადგილება ერთგვაროვან გრავიტაციულ ველში, რაც ჩვენ ჩავთვალეთ ჩვენი მანქანისთვის. თქვენ შეგიძლიათ განიხილოთ სრულიად განსხვავებული სიტუაციები. სხეულს შეუძლია რეზინის ზოლზე რხევა, ქანქარაზე ქანაობა ან მზის გარშემო ფრენა, ყველა ამ შემთხვევაში ის ისე მოძრაობს, რომ მინიმუმამდე დაიყვანოს „საწვავის მთლიანი მოხმარება“ ე.ი. მოქმედება.
თუ სისტემა შედგება რამდენიმე სხეულისგან, მაშინ ასეთი სისტემის ლაგრანგიანი ტოლი იქნება ყველა სხეულის მთლიანი კინეტიკური ენერგიის გამოკლებით ყველა სხეულის მთლიან პოტენციურ ენერგიაზე. და ისევ, ყველა სხეული იმოძრავებს თანმიმდევრულად ისე, რომ მთელი სისტემის ეფექტი ასეთი მოძრაობის დროს მინიმალური იყოს.
არც ისე მარტივი
ფაქტობრივად, ცოტა მოვიტყუე იმით, რომ სხეულები ყოველთვის ისე მოძრაობენ, რომ მინიმუმამდე დაიყვანონ მოქმედება. მიუხედავად იმისა, რომ ძალიან ბევრ შემთხვევაში ეს მართალია, შესაძლებელია ვიფიქროთ სიტუაციებზე, რომლებშიც ქმედება აშკარად არ არის მინიმალური.მაგალითად, ავიღოთ ბურთი და მოვათავსოთ ცარიელ ადგილას. მისგან გარკვეულ მანძილზე, ჩვენ ელასტიური კედელი დავაყენეთ. ვთქვათ, გვინდა, რომ გარკვეული დროის შემდეგ ბურთი იმავე ადგილას დასრულდეს. მოცემულ პირობებში, ბურთს შეუძლია ორი განსხვავებული გზით გადაადგილება. პირველ რიგში, მას შეუძლია უბრალოდ დარჩეს. მეორეც, შეგიძლიათ კედლისკენ მიიზიდოთ. ბურთი მიაღწევს კედელს, გადმოხტება და დაბრუნდება. გასაგებია, რომ შეგიძლია ისეთი სიჩქარით აწიო, რომ ზუსტად საჭირო დროს დაბრუნდეს.
ბურთის მოძრაობის ორივე ვარიანტი შესაძლებელია, მაგრამ მოქმედება მეორე შემთხვევაში უფრო დიდი იქნება, რადგან მთელი ამ ხნის განმავლობაში ბურთი მოძრაობს არანულოვანი კინეტიკური ენერგიით.
როგორ შეიძლება უმცირესი მოქმედების პრინციპის გადარჩენა, რათა ის მართალი იყოს ასეთ სიტუაციებში? ამაზე ვისაუბრებთ ში.
ისინი მას ემორჩილებიან, რასთან დაკავშირებითაც ეს პრინციპი თანამედროვე ფიზიკის ერთ-ერთი მთავარი დებულებაა. მისი დახმარებით მიღებულ მოძრაობის განტოლებებს ეილერ-ლაგრანგის განტოლებებს უწოდებენ.
პრინციპის პირველი ფორმულირება წარმოადგინა პ. მაუპერტუისმა 1999 წელს, დაუყოვნებლივ მიუთითა მის უნივერსალურ ბუნებაზე და მიიჩნია, რომ იგი გამოიყენება ოპტიკასა და მექანიკაში. ამ პრინციპიდან მან გამოიტანა სინათლის არეკვლისა და გარდატეხის კანონები.
ამბავი
მაუპერტუისი ამ პრინციპამდე მივიდა იმ განცდით, რომ სამყაროს სრულყოფილება მოითხოვს გარკვეულ ეკონომიას ბუნებაში და ეწინააღმდეგება ენერგიის ყოველგვარ უსარგებლო ხარჯვას. ბუნებრივი მოძრაობა უნდა იყოს ისეთი, რომ გარკვეული რაოდენობა მინიმუმამდე დაიყვანოს. მხოლოდ ამ ღირებულების პოვნა იყო საჭირო, რასაც ის აგრძელებდა. ეს იყო სისტემაში მოძრაობის ხანგრძლივობის (დროის) პროდუქტი ორჯერ მეტი რაოდენობით, რომელსაც ჩვენ ახლა სისტემის კინეტიკურ ენერგიას ვუწოდებთ.
ეილერი (in "Refllexions sur quelques loix generales de la nature", 1748) იღებს უმცირესი მოქმედების პრინციპს და მოქმედებას უწოდებს „ღონეს“. მისი გამოხატულება სტატიკაში შეესაბამება იმას, რასაც ჩვენ ახლა ვუწოდებთ პოტენციურ ენერგიას, ასე რომ, მისი დებულება უმცირესი მოქმედების შესახებ სტატიკაში ექვივალენტურია მინიმალური პოტენციური ენერგიის პირობის წონასწორობის კონფიგურაციისთვის.
კლასიკურ მექანიკაში
უმცირესი მოქმედების პრინციპი ემსახურება მექანიკის ლაგრანგისა და ჰამილტონის ფორმულირებების ფუნდამენტურ და სტანდარტულ საფუძველს.
ჯერ ასე განვიხილოთ კონსტრუქცია ლაგრანგის მექანიკა. ერთი ხარისხის თავისუფლების მქონე ფიზიკური სისტემის მაგალითის გამოყენებით, გავიხსენებთ, რომ მოქმედება არის ფუნქციონალური (განზოგადებული) კოორდინატებთან მიმართებაში (თავისუფლების ერთი ხარისხის შემთხვევაში - ერთი კოორდინატი), ანუ ის გამოხატულია ასე. რომ ფუნქციის ყოველი წარმოსახვითი ვერსია ასოცირდება გარკვეულ რიცხვთან - მოქმედებასთან (ამ გაგებით, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ მოქმედება, როგორც ფუნქციური არის წესი, რომელიც საშუალებას აძლევს ნებისმიერ მოცემულ ფუნქციას გამოთვალოს კარგად განსაზღვრული რიცხვი - ასევე ე.წ. მოქმედება). მოქმედება ასე გამოიყურება:
სად არის სისტემის ლაგრანგიანი, რომელიც დამოკიდებულია განზოგადებულ კოორდინატზე, მის პირველ წარმოებულზე დროზე და ასევე, შესაძლოა, აშკარად დროზე. თუ სისტემას აქვს თავისუფლების მეტი ხარისხი, მაშინ ლაგრანგური დამოკიდებულია განზოგადებული კოორდინატების დიდ რაოდენობაზე და მათ პირველად წარმოებულებზე. ამრიგად, მოქმედება არის სკალარული ფუნქციონალური, დამოკიდებულია სხეულის ტრაექტორიაზე.
ის ფაქტი, რომ მოქმედება არის სკალარი, აადვილებს მის დაწერას ნებისმიერ განზოგადებულ კოორდინატებში, მთავარია, რომ სისტემის პოზიცია (კონფიგურაცია) ცალსახად ხასიათდება მათ მიერ (მაგალითად, დეკარტის კოორდინატების ნაცვლად, ეს შეიძლება იყოს პოლარული. კოორდინატები, მანძილი სისტემის წერტილებს შორის, კუთხეებს ან მათ ფუნქციებს და ა.შ. დ.).
მოქმედება შეიძლება გამოითვალოს სრულიად თვითნებური ტრაექტორიისთვის, რაც არ უნდა „ველური“ და „არაბუნებრივი“ იყოს. თუმცა, კლასიკურ მექანიკაში, შესაძლო ტრაექტორიების მთელ კომპლექტს შორის, არის მხოლოდ ერთი, რომლის გასწვრივაც სხეული რეალურად წავა. მოქმედების სტაციონარული პრინციპი უბრალოდ იძლევა პასუხს კითხვაზე, თუ როგორ მოძრაობს სხეული სინამდვილეში:
ეს ნიშნავს, რომ თუ სისტემის ლაგრანგია მოცემულია, მაშინ ვარიაციების გამოთვლების გამოყენებით შეგვიძლია ზუსტად დავადგინოთ, თუ როგორ მოძრაობს სხეული, ჯერ მივიღოთ მოძრაობის განტოლებები - ეილერ-ლაგრანგის განტოლებები და შემდეგ გადავჭრათ ისინი. ეს საშუალებას გაძლევთ არა მხოლოდ სერიოზულად განზოგადოთ მექანიკის ფორმულირება, არამედ აირჩიოთ ყველაზე მოსახერხებელი კოორდინატები თითოეული კონკრეტული პრობლემისთვის, არ შემოიფარგლება მხოლოდ კარტეზიულით, რაც შეიძლება ძალიან სასარგებლო იყოს უმარტივესი და ადვილად ამოხსნილი განტოლებების მისაღებად.
სად არის მოცემული სისტემის ჰამილტონის ფუნქცია; - (განზოგადებული) კოორდინატები, - კონიუგირებული (განზოგადებული) იმპულსები, რომლებიც ერთად ახასიათებენ დროის თითოეულ მოცემულ მომენტში სისტემის დინამიურ მდგომარეობას და, თითოეული დროის ფუნქციაა, რითაც ახასიათებს სისტემის ევოლუციას (მოძრაობას). ამ შემთხვევაში, სისტემის მოძრაობის განტოლებების მისაღებად კანონიკური ჰამილტონის განტოლებების სახით, საჭიროა ამ გზით დაწერილი მოქმედების ცვალებადობა დამოუკიდებლად ყველასთვის და .
უნდა აღინიშნოს, რომ თუ პრინციპში შესაძლებელია პრობლემის პირობებიდან მოძრაობის კანონის პოვნა, მაშინ ეს ავტომატურად ხდება. არანიშნავს, რომ შესაძლებელია ფუნქციის აგება, რომელიც იღებს სტაციონალურ მნიშვნელობას ჭეშმარიტი მოძრაობის დროს. ამის მაგალითია ელექტრული მუხტებისა და მონოპოლების - მაგნიტური მუხტების ერთობლივი მოძრაობა ელექტრომაგნიტურ ველში. მათი მოძრაობის განტოლებები არ შეიძლება იყოს მიღებული მოქმედების სტაციონარული პრინციპიდან. ანალოგიურად, ზოგიერთ ჰამილტონის სისტემას აქვს მოძრაობის განტოლებები, რომლებიც არ გამომდინარეობს ამ პრინციპიდან.
მაგალითები
ტრივიალური მაგალითები ეხმარება შეაფასოს ოპერაციული პრინციპის გამოყენება ეილერ-ლაგრანგის განტოლებების მეშვეობით. თავისუფალი ნაწილაკი (მას მდა სიჩქარე ვ) ევკლიდეს სივრცეში მოძრაობს სწორი ხაზით. ეილერ-ლაგრანგის განტოლებების გამოყენებით, ეს შეიძლება ნაჩვენები იყოს პოლარული კოორდინატებით შემდეგნაირად. პოტენციალის არარსებობის შემთხვევაში, ლაგრანგის ფუნქცია უბრალოდ კინეტიკური ენერგიის ტოლია
ორთოგონალურ კოორდინატულ სისტემაში.
პოლარულ კოორდინატებში კინეტიკური ენერგია და, შესაბამისად, ლაგრანგის ფუნქცია ხდება
განტოლებების რადიალური და კუთხოვანი კომპონენტები ხდება შესაბამისად:
ამ ორი განტოლების ამოხსნა
აქ არის უსასრულო ფუნქციური ინტეგრაციის პირობითი ჩანაწერი x(t) ყველა ტრაექტორიაზე და არის პლანკის მუდმივი. ჩვენ ხაზს ვუსვამთ, რომ, პრინციპში, მოქმედება ექსპონენციალში თავად ჩნდება (ან შეიძლება გამოჩნდეს), კვანტურ მექანიკაში ევოლუციის ოპერატორის შესწავლისას, თუმცა, სისტემებისთვის, რომლებსაც აქვთ ზუსტი კლასიკური (არაკვანტური) ანალოგი, ეს ზუსტად უდრის. ჩვეულებრივი კლასიკური მოქმედება.
ამ გამოხატვის მათემატიკური ანალიზი კლასიკურ ზღვარში - საკმარისად დიდი, ანუ წარმოსახვითი მაჩვენებლის ძალიან სწრაფი რხევებისთვის - გვიჩვენებს, რომ ამ ინტეგრალში ყველა შესაძლო ტრაექტორიის აბსოლუტური უმრავლესობა აუქმებს ერთმანეთს ლიმიტში (ფორმალურად, ზე) . თითქმის ნებისმიერი ბილიკისთვის არის ბილიკი, რომელზედაც ფაზის შეჭრა ზუსტად საპირისპირო იქნება და ისინი დაამატებენ ნულს. არ მცირდება მხოლოდ ის ტრაექტორიები, რომლებისთვისაც მოქმედება ახლოსაა უკიდურეს მნიშვნელობასთან (უმრავლესობისთვის - მინიმალური). ეს არის წმინდა მათემატიკური ფაქტი რთული ცვლადის ფუნქციების თეორიიდან; მაგალითად, მასზეა დაფუძნებული სტაციონარული ფაზის მეთოდი.
შედეგად, ნაწილაკი, კვანტური მექანიკის კანონების სრული დაცვით, მოძრაობს ყველა ტრაექტორიის გასწვრივ ერთდროულად, მაგრამ ნორმალურ პირობებში, მხოლოდ ტრაექტორიები, რომლებიც ახლოს არის სტაციონალურთან (ანუ კლასიკურთან) ხელს უწყობს დაკვირვებულ მნიშვნელობებს. ვინაიდან კვანტური მექანიკა კლასიკური ხდება მაღალი ენერგიების ზღვარში, შეგვიძლია ვივარაუდოთ, რომ ეს არის - მოქმედების სტაციონარობის კლასიკური პრინციპის კვანტური მექანიკური წარმოშობა.
ველის კვანტურ თეორიაში
ველის კვანტურ თეორიაში ასევე წარმატებით გამოიყენება მოქმედების სტაციონარული პრინციპი. ლაგრანგის სიმკვრივე აქ მოიცავს შესაბამისი კვანტური ველების ოპერატორებს. მართალია, აქ არსებითად უფრო სწორია (კლასიკური ლიმიტის და ნაწილობრივ ნახევრადკლასიკური გარდა) საუბარი არა მოქმედების სტაციონარობის პრინციპზე, არამედ ფეინმანის ინტეგრაციაზე ტრაექტორიებზე ამ ველების კონფიგურაციაში ან ფაზურ სივრცეში - გამოყენებით ლაგრანგის სიმკვრივე ახლახან აღინიშნა.
შემდგომი განზოგადება
უფრო ფართოდ, მოქმედება გაგებულია, როგორც ფუნქცია, რომელიც განსაზღვრავს რუკს კონფიგურაციის სივრციდან რეალური რიცხვების სიმრავლემდე და, ზოგადად, ის არ უნდა იყოს ინტეგრალი, რადგან არალოკალური მოქმედებები პრინციპში შესაძლებელია, ყოველ შემთხვევაში. თეორიულად. უფრო მეტიც, კონფიგურაციის სივრცე სულაც არ არის ფუნქციის სივრცე, რადგან მას შეიძლება ჰქონდეს არაკომუტაციური გეომეტრია.
2.2. უმცირესი მოქმედების პრინციპი
XVIII საუკუნეში მოხდა სამეცნიერო შედეგების შემდგომი დაგროვება და სისტემატიზაცია, რაც აღინიშნა ინდივიდუალური მეცნიერული მიღწევების გაერთიანების ტენდენციით მსოფლიოს მკაცრად მოწესრიგებულ, თანმიმდევრულ სურათში მათემატიკური ანალიზის მეთოდების სისტემატური გამოყენების გზით ფიზიკური ფენომენების შესწავლაში. ამ მიმართულებით მრავალი ბრწყინვალე გონების მუშაობამ განაპირობა მექანიკური კვლევის პროგრამის - ანალიტიკური მექანიკის ძირითადი თეორიის შექმნა, რომლის დებულებათა საფუძველზე შეიქმნა სხვადასხვა ფუნდამენტური თეორიები, რომლებიც აღწერს კონ-
ფენომენები: ჰიდროდინამიკა, ელასტიურობის თეორია, აეროდინამიკა და ა.შ. ანალიტიკური მექანიკის ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი შედეგია უმცირესი მოქმედების პრინციპი (ვარიაციური პრინციპი), რომელიც მნიშვნელოვანია მე-20 საუკუნის ბოლოს ფიზიკაში მიმდინარე პროცესების გასაგებად.
მეცნიერებაში ვარიაციული პრინციპების გაჩენის ფესვები ძველ საბერძნეთში მიდის და ასოცირდება ჰერონის სახელთან ალექსანდრიიდან. ნებისმიერი ვარიაციული პრინციპის იდეაა იცვლებოდეს (შეცვალოს) გარკვეული მნიშვნელობა, რომელიც ახასიათებს მოცემულ პროცესს, და ყველა შესაძლო პროცესიდან აირჩიოს ის, რისთვისაც ეს მნიშვნელობა იღებს უკიდურეს (მაქსიმალურ ან მინიმალურ) მნიშვნელობას. ჰერონი ცდილობდა აეხსნა სინათლის არეკვლის კანონები იმ მნიშვნელობის შეცვლით, რომელიც ახასიათებს სინათლის სხივის მიერ გავლილი ბილიკის სიგრძეს წყაროდან დამკვირვებლამდე, როდესაც ის აირეკლება სარკედან. ის მივიდა დასკვნამდე, რომ ყველა შესაძლო ბილიკიდან სინათლის სხივი ირჩევს უმოკლეს (ყველა გეომეტრიულად შესაძლებელს).
მე-17 საუკუნეში, ორი ათასი წლის შემდეგ, ფრანგმა მათემატიკოსმა ფერმამ ყურადღება გაამახვილა ჰერონის პრინციპზე, გაავრცელა იგი სხვადასხვა რეფრაქციული ინდექსის მქონე მედიაზე და, შესაბამისად, გადააფორმა იგი დროის თვალსაზრისით. ფერმას პრინციპი ამბობს, რომ რეფრაქციულ გარემოში, რომლის თვისებები დროზე არ არის დამოკიდებული, ორ წერტილში გამავალი სინათლის სხივი თავისთვის ირჩევს გზას ისე, რომ პირველი წერტილიდან მეორემდე გამგზავრების დრო მინიმალური იყოს. ჰერონის პრინციპი გამოდის ფერმას პრინციპის განსაკუთრებული შემთხვევა მუდმივი რეფრაქციული ინდექსის მქონე მედიებისთვის.
ფერმას პრინციპმა მიიპყრო თანამედროვეების ყურადღება. ერთის მხრივ, ის იყო ბუნების „ეკონომიკის პრინციპის“ საუკეთესო მტკიცებულება, სამყაროს სტრუქტურაში რეალიზებული რაციონალური ღვთაებრივი გეგმისა, მეორე მხრივ, იგი ეწინააღმდეგებოდა ნიუტონის სინათლის კორპუსკულარულ თეორიას. ნიუტონის აზრით, აღმოჩნდა, რომ უფრო მჭიდრო მედიაში სინათლის სიჩქარე უფრო დიდი უნდა იყოს, ხოლო ფერმას პრინციპიდან გამომდინარეობდა, რომ ასეთ მედიაში სინათლის სიჩქარე უფრო მცირე ხდება.
1740 წელს მათემატიკოსმა პიერ ლუი მორო დე მაუპერტუისმა კრიტიკულად გააანალიზა ფერმას პრინციპი და მიჰყვა თეოლოგიურს.
ლოგიკური მოტივები სრულყოფილების და სამყაროს ყველაზე ეკონომიური მოწყობილობის შესახებ, რომელიც გამოცხადდა ნაშრომში "ბუნების სხვადასხვა კანონებზე, რომლებიც შეუთავსებელი ჩანდა" უმცირესი მოქმედების პრინციპი. მაუპერტუისმა მიატოვა ფერმას უმოკლეს დრო და შემოიტანა ახალი კონცეფცია - მოქმედება. მოქმედება უდრის სხეულის იმპულსის ნამრავლს (იმპულსი Р = mV) და სხეულის მიერ გავლილი გზა. დროს არ აქვს უპირატესობა სივრცესთან შედარებით და პირიქით. მაშასადამე, სინათლე არ ირჩევს უმოკლეს გზას და არა უმოკლეს დროს მის გასავლელად, არამედ, მაუპერტუისის მიხედვით, „ირჩევს გზას, რომელიც იძლევა უფრო რეალურ ეკონომიკას: გზა, რომელსაც იგი მიჰყვება, არის გზა, რომელზეც სიდიდეა მოქმედება მინიმალურია“. უმცირესი მოქმედების პრინციპი შემდგომ განვითარდა ეილერისა და ლაგრანჟის ნაშრომებში; ის იყო საფუძველი, რომელზედაც ლაგრანჟმა შეიმუშავა მათემატიკური ანალიზის ახალი სფერო - ვარიაციების გაანგარიშება. ეს პრინციპი კიდევ უფრო განზოგადდა და დასრულდა ჰამილტონის ნაშრომებში. განზოგადებული ფორმით, უმცირესი მოქმედების პრინციპი იყენებს მოქმედების კონცეფციას, რომელიც გამოიხატება არა იმპულსით, არამედ ლაგრანჟის ფუნქციით. იმ შემთხვევაში, როდესაც ერთი ნაწილაკი მოძრაობს პოტენციურ ველში, ლაგრანჟის ფუნქცია შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც კინეტიკური სხვაობა. 
და პოტენციური ენერგია:
("ენერგიის" კონცეფცია დეტალურად არის განხილული ამ ნაწილის მე-3 თავში.)
პროდუქტს ელემენტარული მოქმედება ეწოდება. მთლიანი მოქმედება არის ყველა მნიშვნელობის ჯამი მთელი განხილული დროის ინტერვალის განმავლობაში, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მთლიანი მოქმედება A:
ნაწილაკების მოძრაობის განტოლებები შეიძლება მივიღოთ უმცირესი მოქმედების პრინციპის გამოყენებით, რომლის მიხედვითაც რეალური მოძრაობა ხდება ისე, რომ მოქმედება ექსტრემალური აღმოჩნდება, ანუ მისი ცვალებადობა ხდება 0-მდე:
ლაგრანჟ-ჰამილტონის ვარიაციული პრინციპი ადვილად იძლევა გაფართოების სისტემებს, რომლებიც შედგება არა
რამდენი (ბევრი) ნაწილაკი. ასეთი სისტემების მოძრაობა ჩვეულებრივ განიხილება აბსტრაქტულ სივრცეში (მოხერხებული მათემატიკური ტექნიკა) დიდი რაოდენობის განზომილებების. ვთქვათ, N წერტილისთვის შემოტანილია N ნაწილაკების 3N კოორდინატების აბსტრაქტული სივრცე, რომელიც ქმნის სისტემას, რომელსაც ეწოდება კონფიგურაციის სივრცე. სისტემის სხვადასხვა მდგომარეობის თანმიმდევრობა წარმოდგენილია ამ კონფიგურაციის სივრცეში მრუდით - ტრაექტორიით. ამ 3N-განზომილებიანი სივრცის ორი მოცემული წერტილის დამაკავშირებელი ყველა შესაძლო ბილიკის გათვალისწინებით, შეიძლება დავრწმუნდეთ, რომ სისტემის რეალური მოძრაობა ხდება უმცირესი მოქმედების პრინციპის შესაბამისად: ყველა შესაძლო ტრაექტორიას შორის, ის, რისთვისაც მოქმედება ექსტრემალურია. რეალიზებულია მოძრაობის მთელი დროის ინტერვალი.
კლასიკურ მექანიკაში მოქმედების მინიმიზაციისას მიიღება ეილერ-ლაგრანგის განტოლებები, რომელთა კავშირი ნიუტონის კანონებთან კარგად არის ცნობილი. კლასიკური ელექტრომაგნიტური ველის ლაგრანგის ეილერ-ლაგრანგის განტოლებები მაქსველის განტოლებებია. ამრიგად, ჩვენ ვხედავთ, რომ ლაგრანგის გამოყენება და უმცირესი მოქმედების პრინციპი საშუალებას აძლევს ადამიანს დაადგინოს ნაწილაკების დინამიკა. თუმცა, ლაგრანგს აქვს კიდევ ერთი მნიშვნელოვანი თვისება, რამაც ლაგრანჟის ფორმალიზმი უმთავრესად აქცია თანამედროვე ფიზიკის თითქმის ყველა პრობლემის გადაჭრაში. ფაქტია, რომ ფიზიკაში ნიუტონის მექანიკასთან ერთად, უკვე მე-19 საუკუნეში ჩამოყალიბდა კონსერვაციის კანონები ზოგიერთი ფიზიკური სიდიდეებისთვის: ენერგიის შენარჩუნების კანონი, იმპულსის შენარჩუნების კანონი, კუთხური იმპულსის შენარჩუნების კანონი, კანონი. ელექტრული მუხტის შენარჩუნების შესახებ. ჩვენს საუკუნეში კვანტური ფიზიკის და ელემენტარული ნაწილაკების ფიზიკის განვითარებასთან დაკავშირებით კონსერვაციის კანონების რაოდენობა კიდევ უფრო დიდი გახდა. ჩნდება კითხვა, როგორ მოვძებნოთ საერთო საფუძველი როგორც მოძრაობის განტოლებების (ვთქვათ, ნიუტონის კანონების ან მაქსველის განტოლებების) და დროში შენარჩუნებული სიდიდეების დასაწერად. აღმოჩნდა, რომ ასეთი საფუძველია ლაგრანჟის ფორმალიზმის გამოყენება, რადგან კონკრეტული თეორიის ლაგრანგული გამოდის უცვლელი (უცვლელი) ამ თეორიაში განხილული კონკრეტული აბსტრაქტული სივრცის შესაბამისი გარდაქმნების მიმართ, რაც იწვევს კონსერვაციას. კანონები. ლაგრანგის ეს თვისებები
ლაგრანგების ენაზე ფიზიკური თეორიების ჩამოყალიბების მიზანშეწონილობას არ გამოუწვევია. ამ გარემოების გაცნობიერება ფიზიკაში აინშტაინის ფარდობითობის თეორიის გაჩენის გამო მოვიდა.
| " |
