ასეთი ღირებულების პოვნა პრაქტიკულად რთულია თან, რომელიც (b-a)f(c)ზუსტად ტოლი იქნება. უფრო ზუსტი მნიშვნელობის მისაღებად, მრუდი ტრაპეციის ფართობი იყოფა: ნმართკუთხედები, რომელთა სიმაღლე ტოლია y 0, y 1, y 2, …,y n -1და ფონდები.

თუ შევაჯამებთ მართკუთხედების არეებს, რომლებიც ფარავს მრუდი ტრაპეციის ფართობს მინუსით, ფუნქცია არ მცირდება, მაშინ ფორმულის ნაცვლად გამოიყენება ფორმულა.

თუ გადაჭარბებულია, მაშინ

ღირებულებები ნაპოვნია თანასწორობიდან. ამ ფორმულებს ე.წ მართკუთხედის ფორმულებიდა მივცეთ სავარაუდო შედეგი. მატებასთან ერთად ნშედეგი უფრო ზუსტი ხდება.

მაგალითი 1 . გამოთვალეთ მართკუთხედების ფორმულიდან

ინტეგრაციის ინტერვალს ვყოფთ 5 ნაწილად. მაშინ . კალკულატორის ან ცხრილის გამოყენებით ვპოულობთ ინტეგრანტის მნიშვნელობებს (4 ათობითი ადგილის სიზუსტით):

მართკუთხედების ფორმულის მიხედვით (მინუსით)

მეორე მხრივ, ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულის მიხედვით

მოდით ვიპოვოთ ფარდობითი გამოთვლის შეცდომა მართკუთხედების ფორმულის გამოყენებით:

ინტეგრალების გამოთვლა ტრაპეციის ფორმულებით. შეცდომის შეფასება:

ინტეგრალების სავარაუდო გამოთვლის შემდეგი მეთოდის გეომეტრიული მნიშვნელობა არის დაახლოებით თანაბარი ზომის "სწორხაზოვანი" ტრაპეციის ფართობის პოვნა.

დაე, საჭირო გახდეს ფართობის გამოთვლა 1 AmBB 1მრუდი ტრაპეცია, გამოხატული ფორმულით.

შევცვალოთ რკალი AmBაკორდი ABდა ნაცვლად მრუდი ტრაპეციის ფართობისა 1 AmBB 1გამოთვალეთ ტრაპეციის ფართობი A 1 ABB 1: , სად AA 1და BB 1 - ტრაპეციის ფუძე და A 1 B 1 არის მისი სიმაღლე.

აღნიშნეთ f(a)=A 1 A,f(b)=B 1B.ტრაპეციის სიმაღლე A 1 B 1 \u003d b-a,კვადრატი . აქედან გამომდინარე, ან

ეს ე.წ პატარა ტრაპეციის ფორმულა.

ეკატერინბურგი

განსაზღვრული ინტეგრალის გამოთვლა

შესავალი

ფუნქციების რიცხვითი ინტეგრაციის ამოცანაა გარკვეული ინტეგრალის სავარაუდო მნიშვნელობის გამოთვლა:

ინტეგრადის მნიშვნელობების სერიაზე დაყრდნობით.( f(x) |x=x k = f(x k) = y k ).

ერთი ინტეგრალის რიცხვითი გამოთვლის ფორმულებს ეწოდება კვადრატული ფორმულები, ორმაგი და უფრო მრავალჯერადი - კუბატურა.

კვადრატული ფორმულების აგების ჩვეულებრივი ტექნიკა არის ინტეგრადის f(x) ჩანაცვლება სეგმენტზე შედარებით მარტივი ფორმის g(x) ინტერპოლაციით ან მიახლოებითი ფუნქციით, მაგალითად, მრავალწევრებით, რასაც მოჰყვება ანალიტიკური ინტეგრაცია. ეს იწვევს პრეზენტაციას

დარჩენილი ტერმინის R[f] უგულებელყოფით, მივიღებთ სავარაუდო ფორმულას

აღნიშნეთ y i = f(x i) ინტეგრანტის მნიშვნელობა სხვადასხვა წერტილში

როგორც g(x) სავარაუდო ფუნქცია, განვიხილავთ ინტერპოლაციის მრავალწევრს on

ფორმულა (1) იძლევა

ფორმულაში (2), რაოდენობები (

შეაჯამეთ.

2. ინტერპოლაციის ტიპის კვადრატულ ფორმულებში დარჩენილი წევრი R n [f] შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც კონკრეტული დიფერენციალური ოპერატორის მნიშვნელობა f(x) ფუნქციაზე. ამისთვის

3. მრავალწევრებისთვის n-მდე რიგის ჩათვლით, კვადრატული ფორმულა (2) ზუსტია, ე.ი.

განვიხილოთ ფორმულების (2) და (3) განსაკუთრებული შემთხვევები: მართკუთხედების, ტრაპეციის, პარაბოლების მეთოდი (სიმპსონის მეთოდი). ამ მეთოდების სახელები განპირობებულია შესაბამისი ფორმულების გეომეტრიული ინტერპრეტაციით.

მართკუთხედის მეთოდი

f(x) ფუნქციის განსაზღვრული ინტეგრალი:

ფორმულით (4) წარმოდგენილ მეთოდს ეწოდება მარცხენა ყუთის მეთოდი, ხოლო ფორმულით (5) წარმოდგენილ მეთოდს ეწოდება მარჯვენა ყუთის მეთოდს:

შუა მართკუთხედების მეთოდის გამოყენებით განსაზღვრული ინტეგრალის საპოვნელად, a და b წრფეებით შემოსაზღვრული ფართობი იყოფა n მართკუთხედად იგივე საფუძვლებით h, მართკუთხედების სიმაღლეები იქნება f(x) ფუნქციის გადაკვეთის წერტილები. მართკუთხედების შუა წერტილები (h/2). ინტეგრალი რიცხობრივად ტოლი იქნება n მართკუთხედის ფართობების ჯამისა (სურათი 3).

n არის სეგმენტის დანაყოფების რაოდენობა.

ტრაპეციული მეთოდი

ტრაპეციის მეთოდის გამოყენებით განსაზღვრული ინტეგრალის საპოვნელად, მრუდი ტრაპეციის ფართობი ასევე იყოფა n მართკუთხა ტრაპეციაზე h სიმაღლეებით და ფუძით y 1, y 2, y 3,..y n, სადაც n არის რიცხვი. მართკუთხა ტრაპეცია. ინტეგრალი რიცხობრივად ტოლი იქნება მართკუთხა ტრაპეციის ფართობების ჯამისა (სურათი 4).

n არის დანაყოფების რაოდენობა

ტრაპეციის ფორმულის შეცდომა ფასდება რიცხვით

ტრაპეციის ფორმულის შეცდომა ზრდასთან

სიმფსონის ფორმულა

თუ თითოეული წყვილი სეგმენტისთვის

დღეს ჩვენ გავეცნობით რიცხვითი ინტეგრაციის სხვა მეთოდს, ტრაპეციულ მეთოდს. მისი დახმარებით ჩვენ გამოვთვლით განსაზღვრულ ინტეგრალებს სიზუსტის მოცემული ხარისხით. სტატიაში აღვწერთ ტრაპეციის მეთოდის არსს, გავაანალიზებთ, თუ როგორ წარმოიქმნება ფორმულა, შევადარებთ ტრაპეციის მეთოდს ოთხკუთხედის მეთოდთან და ჩამოვწერთ მეთოდის აბსოლუტური ცდომილების შეფასებას. თითოეული ნაწილის ილუსტრირებას მოვახდენთ მაგალითებით მასალის უფრო ღრმა გაგებისთვის.

Yandex.RTB R-A-339285-1

დავუშვათ, რომ დაახლოებით უნდა გამოვთვალოთ განსაზღვრული ინტეგრალი ∫ a b f (x) d x, რომლის ინტეგრადი y = f (x) არის უწყვეტი სეგმენტზე [a; ბ] . ამისათვის ჩვენ ვყოფთ სეგმენტს [a; b ] h სიგრძის რამდენიმე თანაბარ ინტერვალებად a = x 0 წერტილებით< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Обозначим количество полученных интервалов как n .

ვიპოვოთ დანაყოფის საფეხური: h = b - a n . ჩვენ განვსაზღვრავთ კვანძებს ტოლობიდან x i = a + i h , i = 0 , 1 , . . . , ნ .

ელემენტარულ ინტერვალებზე განვიხილოთ ინტეგრადი x i - 1; x i, i = 1, 2, . . , ნ .

n-ის უსასრულო ზრდით, ჩვენ ვამცირებთ ყველა შემთხვევას ოთხ უმარტივეს ვარიანტზე:

აირჩიეთ სეგმენტები x i - 1 ; x i, i = 1, 2, . . . , ნ . ჩავანაცვლოთ y = f (x) ფუნქცია თითოეულ გრაფიკზე სწორი ხაზით, რომელიც გადის x i - 1 კოორდინატების მქონე წერტილებში; f x i - 1 და x i; ვ x i . ჩვენ მათ ლურჯად აღვნიშნავთ ფიგურებში.

ავიღოთ გამონათქვამი f (x i - 1) + f (x i) 2 h, როგორც ∫ x i - 1 x ინტეგრალის მიახლოებითი მნიშვნელობა, თუ (x) d x . იმათ. მიიღეთ ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ f (x i - 1) + f (x i) 2 სთ.

ვნახოთ, რატომ ჰქვია რიცხვითი ინტეგრაციის მეთოდს, რომელსაც ჩვენ ვსწავლობთ, ტრაპეციული მეთოდი. ამისათვის უნდა გავარკვიოთ, რას ნიშნავს წერილობითი მიახლოებითი ტოლობა გეომეტრიის თვალსაზრისით.

ტრაპეციის ფართობის გამოსათვლელად, გაამრავლეთ მისი ფუძეების ნახევარი ჯამები სიმაღლეზე. პირველ შემთხვევაში, მრუდი ტრაპეციის ფართობი დაახლოებით ტოლია ტრაპეციის ფუძეებით f (x i - 1), f (x i) სიმაღლე h . მეოთხე შემთხვევიდან, რომელსაც განვიხილავთ, მოცემული ინტეგრალი ∫ x i - 1 x f (x) d x დაახლოებით უდრის ტრაპეციის ფართობს ფუძეებით - f (x i - 1), - f (x i) და სიმაღლე. თ, რომელიც უნდა იქნას აღებული ნიშნით "-". განსახილველი შემთხვევებიდან მეორე და მესამეში განსაზღვრული ინტეგრალის ∫ x i - 1 x i f (x) d x სავარაუდო მნიშვნელობის გამოსათვლელად, უნდა ვიპოვოთ სხვაობა წითელი და ლურჯი რეგიონების ფართობებს შორის, რომელიც აღვნიშნეთ. გამოჩეკვა ქვემოთ მოცემულ ფიგურაში.

შევაჯამოთ. ტრაპეციული მეთოდის არსი ასეთია: განსაზღვრული ინტეგრალი ∫ a b f (x) d x შეგვიძლია წარმოვადგინოთ ∫ x i - 1 x i f (x) d x ფორმის ინტეგრალების ჯამი თითოეულ ელემენტარულ სეგმენტზე და შემდგომ მიახლოებით ცვლილებაში ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ f (x i - 1) + f (x i) 2 სთ.

ტრაპეციული ფორმულა

გავიხსენოთ განსაზღვრული ინტეგრალის მეხუთე თვისება: ∫ a b f (x) d x = ∑ i = 1 n ∫ x i - 1 x i f (x) d x . ტრაპეციული მეთოდის ფორმულის მისაღებად ინტეგრალების ნაცვლად ∫ x i - 1 x i f (x) d x ჩაანაცვლეთ მათი სავარაუდო მნიშვნელობები: ∫ x i - 1 x i f (x) d x = ∑ i = 1 n ∫ x i - 1 x i f. (x) d x ≈ ∑ i = 1 n f (x i - 1) + f (x i) 2 h = = h 2 (f (x 0) + f (x 1) + f (x 1) + f (x 2) + f (x 2) + f (x 3) + . . . + f (x n)) = = h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) ⇒ ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)

განმარტება 1

ტრაპეციული ფორმულა:∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)

ტრაპეციული მეთოდის აბსოლუტური ცდომილების შეფასება

მოდით შევაფასოთ ტრაპეციული მეთოდის აბსოლუტური შეცდომა შემდეგნაირად:

განმარტება 2

δ n ≤ m a x x ∈ [a; b ] f "" (x) n h 3 12 = m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) b - a 3 12 n 2

ტრაპეციული მეთოდის გრაფიკული ილუსტრაცია ნაჩვენებია სურათზე:

გაანგარიშების მაგალითები

მოდით გავაანალიზოთ ტრაპეციის მეთოდის გამოყენების მაგალითები განსაზღვრული ინტეგრალების სავარაუდო გამოსათვლელად. ჩვენ განსაკუთრებულ ყურადღებას მივაქცევთ ორი ტიპის დავალებას:

• განსაზღვრული ინტეგრალის გამოთვლა ტრაპეციის მეთოდით n სეგმენტის დანაყოფების მოცემული რაოდენობისთვის;
• გარკვეული ინტეგრალის სავარაუდო მნიშვნელობის პოვნა მითითებული სიზუსტით.

მოცემული n-სთვის ყველა შუალედური გამოთვლა უნდა განხორციელდეს საკმარისად მაღალი სიზუსტით. გამოთვლების სიზუსტე უნდა იყოს უფრო მაღალი, უფრო დიდი n.

თუ გვაქვს განსაზღვრული ინტეგრალის გამოთვლის მოცემული სიზუსტე, მაშინ ყველა შუალედური გამოთვლა უფრო ზუსტად უნდა განხორციელდეს სიდიდის ორი ან მეტი რიგით. მაგალითად, თუ სიზუსტე დაყენებულია 0.01-ზე, მაშინ ვასრულებთ შუალედურ გამოთვლებს 0.0001 ან 0.00001 სიზუსტით. დიდი n-სთვის შუალედური გამოთვლები უნდა განხორციელდეს კიდევ უფრო მაღალი სიზუსტით.

მაგალითისთვის ავიღოთ ზემოაღნიშნული წესი. ამისათვის ჩვენ ვადარებთ ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულით გამოთვლილ და ტრაპეციის მეთოდით მიღებულ განსაზღვრულ ინტეგრალის მნიშვნელობებს.

ასე რომ, ∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 = 7 a r c t g (x) 0 5 = 7 a r c t g 5 ≈ 9, 613805.

მაგალითი 1

ტრაპეციის მეთოდის გამოყენებით გამოვთვლით განსაზღვრულ ინტეგრალს ∫ 0 5 7 x 2 + 1 d x n-ისთვის ტოლია 10-ზე.

გადაწყვეტილება

ტრაპეციული მეთოდის ფორმულა არის ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)

ფორმულის გამოსაყენებლად უნდა გამოვთვალოთ h ნაბიჯი h = b - a n ფორმულით, განვსაზღვროთ x i = a + i h , i = 0 , 1 , კვანძები. . . , n , გამოთვალეთ ინტეგრადის მნიშვნელობები f (x) = 7 x 2 + 1 .

დანაყოფის საფეხური გამოითვლება შემდეგნაირად: h = b - a n = 5 - 0 10 = 0 . 5 . ინტეგრადის გამოთვლა კვანძებში x i = a + i · h , i = 0 , 1 , . . . , n ჩვენ ავიღებთ ოთხ ათობითი ადგილს:

i \u003d 0: x 0 \u003d 0 + 0 0. 5 = 0 ⇒ f (x 0) = f (0) = 7 0 2 + 1 = 7 i = 1: x 1 = 0 + 1 0 . 5 = 0. 5 ⇒ f (x 1) = f (0 . 5) = 7 0. 5 2 + 1 = 5. 6. . . i = 10: x 10 = 0 + 10 0 . 5 = 5 ⇒ f(x 10) = f(5) = 7 5 2 + 1 ≈ 0 , 2692

მოდით შევიტანოთ გამოთვლების შედეგები ცხრილში:

მიღებული მნიშვნელობები ჩაანაცვლეთ ტრაპეციული მეთოდის ფორმულაში: ∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) = = 0 , 5 2 7 + 2 5 , 6 + 3 , 5 + 2 , 1538 + 1 , 4 + 0 , 9655 + 0 , 7 + 0 , 5283 + 0 , 4117 + 0 , 3294 + 2 1 , 2

შევადაროთ ჩვენი შედეგები ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულით გამოთვლილ შედეგებს. მიღებული მნიშვნელობები ემთხვევა მეასედამდე.

პასუხი:∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 = 9 , 6117

მაგალითი 2

ტრაპეციის მეთოდით ვიანგარიშებთ განსაზღვრული ინტეგრალის მნიშვნელობას ∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x 0 , 01 სიზუსტით.

გადაწყვეტილება

ამოცანის პირობის მიხედვით a = 1 ; b = 2, f (x) = 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60; δn ≤ 0, 01.

იპოვეთ n, რომელიც უდრის ინტეგრაციის სეგმენტის გაყოფის წერტილების რაოდენობას, უტოლობის გამოყენებით აბსოლუტური შეცდომის შესაფასებლად δ n ≤ m a x x ∈ [a; b ] f "" (x) (b - a) 3 12 n 2 . ჩვენ ამას გავაკეთებთ შემდეგნაირად: ჩვენ ვიპოვით n მნიშვნელობებს, რომლებისთვისაც არის m a x x ∈ [a; b ] f "" (x) (b - a) 3 12 n 2 ≤ 0 , 01 . მოცემული n, ტრაპეციის ფორმულა მოგვცემს გარკვეული ინტეგრალის სავარაუდო მნიშვნელობას მოცემული სიზუსტით.

ჯერ ვიპოვოთ ფუნქციის მეორე წარმოებულის მოდულის უდიდესი მნიშვნელობა ინტერვალზე [1; 2].

f "(x) = 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60" = 1 3 x 3 + 1 3 ⇒ f """ (x) = 1 3 x 3 + 1 3 " = x 2

მეორე წარმოებული ფუნქცია არის კვადრატული პარაბოლა f "" (x) = x 2 . მისი თვისებებიდან ვიცით, რომ ის დადებითია და იზრდება სეგმენტზე [1; 2]. ამასთან დაკავშირებით m a x x ∈ [a; b ] f "" (x) = f "" (2) = 2 2 = 4 .

მოცემულ მაგალითში m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) აღმოჩნდა საკმაოდ მარტივი. რთულ შემთხვევებში, გამოთვლებისთვის, შეგიძლიათ მიმართოთ ფუნქციის უდიდეს და უმცირეს მნიშვნელობებს. ამ მაგალითის განხილვის შემდეგ წარმოგიდგენთ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) .

მიღებული მნიშვნელობა ჩავანაცვლოთ m a x x ∈ [a; b ] f "" (x) (b - a) 3 12 n 2 ≤ 0 , 01

4 (2 - 1) 3 12 n 2 ≤ 0 . 01 ⇒ n 2 ≥ 100 3 ⇒ n ≥ 5. 7735

ელემენტარული ინტერვალების რაოდენობა, რომლებშიც ინტეგრაციის სეგმენტი იყოფა n არის ნატურალური რიცხვი. გამოთვლის ქცევისთვის ავიღოთ n ექვსის ტოლი. n-ის ასეთი მნიშვნელობა საშუალებას მოგვცემს მინიმალური გამოთვლებით მივაღწიოთ ტრაპეციის მეთოდის მითითებულ სიზუსტეს.

გამოვთვალოთ ნაბიჯი: h = b - a n = 2 - 1 6 = 1 6 .

იპოვეთ კვანძები x i = a + i h , i = 1 , 0 , . . . n, ჩვენ განვსაზღვრავთ ინტეგრანტის მნიშვნელობებს ამ კვანძებში:

i = 0: x 0 = 1 + 0 1 6 = 1 ⇒ f (x 0) = f (1) = 1 12 1 4 + 1 3 1 - 1 60 = 0 , 4 i = 1: x 1 \u003d 1 + 1 1 6 \u003d 7 6 ⇒ f (x 1) \u003d f 7 6 \u003d 1 12 7 6 4 + 1 3 7 6 - 1 60 ≈ 0, 5266. . . i \u003d 6: x 10 \u003d 1 + 6 1 6 \u003d 2 ⇒ f (x 6) \u003d f (2) \u003d 1 12 2 4 + 1 3 2 - 1 60 ≈ 1, 983

ჩვენ ვწერთ გაანგარიშების შედეგებს ცხრილის სახით:

მიღებულ შედეგებს ვანაცვლებთ ტრაპეციის ფორმულას:

∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) = = 1 12 0 , 4 + 2 0, 5266 + 0, 6911 + 0, 9052 + 1, 1819 + 1, 5359 + 1, 9833 ≈ 1, 0054

შედარებისთვის, ჩვენ გამოვთვალეთ ორიგინალური ინტეგრალი ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულის გამოყენებით:

∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x = x 5 60 + x 2 6 - x 60 1 2 = 1

როგორც ხედავთ, ჩვენ მივაღწიეთ გამოთვლების მიღებულ სიზუსტეს.

პასუხი: ∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x ≈ 1, 0054

რთული ინტეგრანდებისთვის, აბსოლუტური შეცდომის შესაფასებლად უტოლობიდან n რიცხვის პოვნა ყოველთვის ადვილი არ არის. ამ შემთხვევაში, შემდეგი მეთოდი იქნება შესაბამისი.

ნ კვანძისთვის ტრაპეციის მეთოდით მიღებული განსაზღვრული ინტეგრალის მიახლოებითი მნიშვნელობა ავღნიშნოთ, როგორც I n. ავირჩიოთ თვითნებური რიცხვი n . ტრაპეციის მეთოდის ფორმულის გამოყენებით, ჩვენ ვიანგარიშებთ საწყის ინტეგრალს ერთი (n = 10) და ორმაგი (n = 20) რაოდენობის კვანძებისთვის და ვპოულობთ განსხვავების აბსოლუტურ მნიშვნელობას ორ მიღებულ სავარაუდო მნიშვნელობას შორის I 20 - მე 10 .

თუ ორ მიღებულ სავარაუდო მნიშვნელობას შორის სხვაობის აბსოლუტური მნიშვნელობა ნაკლებია საჭირო სიზუსტეზე I 20 - I 10< δ n , то мы прекращаем вычисления и выбираем значение I 20 , которое можно округлить до требуемого порядка точности.

თუ ორ მიღებულ სავარაუდო მნიშვნელობას შორის სხვაობის აბსოლუტური მნიშვნელობა აღემატება საჭირო სიზუსტეს, მაშინ აუცილებელია ნაბიჯების გამეორება კვანძების ორჯერ მეტი რაოდენობით (n = 40).

ეს მეთოდი მოითხოვს ბევრ გამოთვლას, ამიტომ გონივრული იქნება კომპიუტერული ტექნოლოგიების გამოყენება დროის დაზოგვის მიზნით.

მოდით გადავჭრათ პრობლემა ზემოაღნიშნული ალგორითმის გამოყენებით. დროის დაზოგვის მიზნით, ჩვენ გამოვტოვებთ შუალედურ გამოთვლებს ტრაპეციის მეთოდით.

მაგალითი 3

აუცილებელია გამოვთვალოთ განსაზღვრული ინტეგრალი ∫ 0 2 x e x d x ტრაპეციის მეთოდით 0 001 სიზუსტით.

გადაწყვეტილება

ავიღოთ n-ის ტოლი 10 და 20. ტრაპეციის ფორმულის მიხედვით, ვიღებთ I 10 \u003d 8, 4595380, I 20 \u003d 8, 4066906.

I 20 - I 10 = 8, 4066906 - 8, 4595380 = 0, 0528474 > 0, 001, რაც მოითხოვს შემდგომ გამოთვლებს.

ავიღოთ n 40-ის ტოლი: I 40 = 8, 3934656.

I 40 - I 20 = 8, 3934656 - 8, 4066906 = 0, 013225 > 0, 001, რაც ასევე მოითხოვს შემდგომ გამოთვლებს.

ავიღოთ n ტოლი 80: I 80 = 8 , 3901585 .

I 80 - I 40 = 8.3901585 - 8.3934656 = 0.0033071 > 0.001, რაც მოითხოვს კვანძების რაოდენობის კიდევ ერთ გაორმაგებას.

ავიღოთ n ტოლი 160: I 160 = 8, 3893317.

I 160 - I 80 = 8, 3893317 - 8, 3901585 = 0, 0008268< 0 , 001

შეგიძლიათ მიიღოთ ორიგინალური ინტეგრალის სავარაუდო მნიშვნელობა I 160 = 8 , 3893317 მეათასედების დამრგვალებით: ∫ 0 2 x e x d x ≈ 8 , 389 .

შედარებისთვის, ჩვენ ვიანგარიშებთ თავდაპირველ განსაზღვრულ ინტეგრალს ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულის გამოყენებით: ∫ 0 2 x e x d x = e x · (x - 1) 0 2 = e 2 + 1 ≈ 8, 3890561. მიღწეულია საჭირო სიზუსტე.

პასუხი: ∫ 0 2 x e x d x ≈ 8, 389

შეცდომები

შუალედური გამოთვლები განსაზღვრული ინტეგრალის მნიშვნელობის დასადგენად ტარდება, უმეტესწილად, დაახლოებით. ეს ნიშნავს, რომ როგორც n იზრდება, გამოთვლითი შეცდომა იწყებს დაგროვებას.

შევადაროთ ტრაპეციული მეთოდის აბსოლუტური შეცდომების შეფასებები და საშუალო მართკუთხედების მეთოდი:

δ n ≤ m a x x ∈ [a; b ] f "" (x) n h 3 12 = m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) b - a 3 12 n 2 δ n ≤ m a x x ∈ [a; b ] f "" (x) n h 3 24 = m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) b - a 3 24 n 2 .

მართკუთხედების მეთოდი მოცემული n-სთვის იგივე რაოდენობის გამოთვლითი სამუშაოთი იძლევა შეცდომის ნახევარს. ეს ხდის მეთოდს უფრო სასურველს იმ შემთხვევებში, როდესაც ფუნქციის მნიშვნელობები ცნობილია ელემენტარული სეგმენტების შუა სეგმენტებში.

იმ შემთხვევებში, როდესაც ინტეგრირებადი ფუნქციები მითითებულია არა ანალიტიკურად, არამედ კვანძებში მნიშვნელობების ერთობლიობის სახით, შეგვიძლია გამოვიყენოთ ტრაპეციული მეთოდი.

თუ შევადარებთ ტრაპეციის მეთოდის სიზუსტეს და მარჯვენა და მარცხენა მართკუთხედების მეთოდს, მაშინ პირველი მეთოდი აჭარბებს მეორეს შედეგის სიზუსტით.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

ტრაპეციული მეთოდიარის რიცხვითი ინტეგრაციის ერთ-ერთი მეთოდი. ის საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ გარკვეული ინტეგრალები წინასწარ განსაზღვრული სიზუსტით.

პირველ რიგში, ჩვენ აღვწერთ ტრაპეციის მეთოდის არსს და გამოვიყვანთ ტრაპეციის ფორმულას. შემდეგი, ჩვენ ვწერთ მეთოდის აბსოლუტური შეცდომის შეფასებას და დეტალურად გავაანალიზებთ ტიპიური მაგალითების ამოხსნას. დასასრულს, შევადაროთ ტრაპეციის მეთოდი მართკუთხედების მეთოდს.

გვერდის ნავიგაცია.

ტრაპეციის მეთოდის არსი.

დავსვათ შემდეგი დავალება: დაახლოებით უნდა გამოვთვალოთ განსაზღვრული ინტეგრალი, სადაც ინტეგრადი y=f(x) უწყვეტია ინტერვალზე.

მოდით გავყოთ სეგმენტი h სიგრძის n ტოლ ინტერვალებად წერტილებით . ამ შემთხვევაში, დანაყოფის საფეხური გვხვდება, რადგან კვანძები განისაზღვრება თანასწორობიდან.

განვიხილოთ ინტეგრადი ელემენტარულ ინტერვალებზე .

შესაძლებელია ოთხი შემთხვევა (სურათი გვიჩვენებს მათგან უმარტივესს, რომელზედაც ყველაფერი მცირდება როგორც n უსასრულოდ იზრდება):

ყველა სეგმენტზე შევცვალოთ y=f(x) ფუნქცია წრფის სეგმენტით, რომელიც გადის წერტილებში კოორდინატებით და . ჩვენ გამოვსახავთ მათ ფიგურაში ლურჯი ხაზებით:

ინტეგრალის სავარაუდო მნიშვნელობად ვიღებთ გამოსახულებას , ანუ ავიღოთ .

გავარკვიოთ რას ნიშნავს წერილობითი მიახლოებითი ტოლობა გეომეტრიული გაგებით. ეს შესაძლებელს გახდის გავიგოთ, რატომ ეწოდება რიცხვითი ინტეგრაციის განხილულ მეთოდს ტრაპეციული მეთოდი.

ჩვენ ვიცით, რომ ტრაპეციის ფართობი გვხვდება, როგორც ფუძეების ჯამის ნახევარის ნამრავლი სიმაღლეზე. ამიტომ, პირველ შემთხვევაში, მრუდი ტრაპეციის ფართობი დაახლოებით უდრის ტრაპეციის ფართობს ფუძეებით. და სიმაღლე h, ამ უკანასკნელ შემთხვევაში, განსაზღვრული ინტეგრალი დაახლოებით უდრის ტრაპეციის ფართობს ბაზებით. და სიმაღლე h აღებულია მინუს ნიშნით. მეორე და მესამე შემთხვევაში, განსაზღვრული ინტეგრალის სავარაუდო მნიშვნელობა უდრის განსხვავებას წითელი და ლურჯი რეგიონების არეებს შორის, რომლებიც ნაჩვენებია ქვემოთ მოცემულ ფიგურაში.

ამრიგად, ჩვენ მივედით ტრაპეციის მეთოდის არსი, რომელიც შედგება განსაზღვრული ინტეგრალის წარმოდგენაში, როგორც ფორმის ინტეგრალების ჯამი თითოეულ ელემენტარულ ინტერვალზე და შემდგომ სავარაუდო ჩანაცვლებაში .

ტრაპეციული ფორმულა.

განსაზღვრული ინტეგრალის მეხუთე თვისების ძალით .

თუ ინტეგრალების ნაცვლად მათ სავარაუდო მნიშვნელობებს შევცვლით, მივიღებთ:

ტრაპეციული მეთოდის აბსოლუტური ცდომილების შეფასება.

ტრაპეციული მეთოდის აბსოლუტური შეცდომაშეფასებულია როგორც
.

ტრაპეციული მეთოდის გრაფიკული ილუსტრაცია.

მოვიყვანოთ ტრაპეციული მეთოდის გრაფიკული ილუსტრაცია:

განსაზღვრული ინტეგრალების მიახლოებითი გამოთვლის მაგალითები ტრაპეციული მეთოდით.

გამოვიყენოთ მაგალითები ტრაპეციის მეთოდის გამოყენების გასაანალიზებლად გარკვეული ინტეგრალების სავარაუდო გამოთვლაში.

ძირითადად, არსებობს ორი სახის დავალება:

• ან გამოთვალეთ განსაზღვრული ინტეგრალი ტრაპეციის მეთოდით n სეგმენტის დანაყოფების მოცემული რაოდენობისთვის,
• ან იპოვნეთ განსაზღვრული ინტეგრალის სავარაუდო მნიშვნელობა საჭირო სიზუსტით.

უნდა აღინიშნოს, რომ მოცემული n-სთვის შუალედური გამოთვლები უნდა განხორციელდეს საკმარისი სიზუსტით და რაც უფრო დიდია n, მით უფრო მაღალი უნდა იყოს გამოთვლების სიზუსტე.

თუ საჭიროა გარკვეული ინტეგრალის გამოთვლა მოცემული სიზუსტით, მაგალითად, 0.01-მდე, მაშინ ჩვენ გირჩევთ, რომ შუალედური გამოთვლები განხორციელდეს სიდიდის ორი ან სამი რიგის უფრო ზუსტად, ანუ 0.0001 - 0.00001-მდე. თუ მითითებული სიზუსტე მიიღწევა დიდ n-ზე, მაშინ შუალედური გამოთვლები უნდა განხორციელდეს კიდევ უფრო მაღალი სიზუსტით.

მაგალითად, ავიღოთ განსაზღვრული ინტეგრალი, რომლის მნიშვნელობა შეგვიძლია გამოვთვალოთ ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულით, რათა ეს შედეგი შევადაროთ ტრაპეციის მეთოდით მიღებულ სავარაუდო მნიშვნელობას.

Ისე, .

მაგალითი.

გამოთვალეთ განსაზღვრული ინტეგრალი ტრაპეციული მეთოდის გამოყენებით n = 10-ისთვის.

გადაწყვეტილება.

ტრაპეციის მეთოდის ფორმულა არის . ანუ, მის გამოსაყენებლად საკმარისია ფორმულის გამოყენებით გამოვთვალოთ ნაბიჯი h, განვსაზღვროთ კვანძები და გამოვთვალოთ ინტეგრანტის შესაბამისი მნიშვნელობები.

მოდით გამოვთვალოთ დანაყოფის ნაბიჯი: .

ჩვენ განვსაზღვრავთ კვანძებს და ვიანგარიშებთ მათში ინტეგრატის მნიშვნელობებს (ჩვენ ავიღებთ ოთხ ათობითი ადგილს):

მოხერხებულობისთვის, გაანგარიშების შედეგები წარმოდგენილია ცხრილის სახით:

ჩვენ მათ ვცვლით ტრაპეციის მეთოდის ფორმულაში:

მიღებული მნიშვნელობა მეასედამდე ემთხვევა ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულით გამოთვლილ მნიშვნელობას.

მაგალითი.

განსაზღვრული ინტეგრალის გამოთვლა ტრაპეციული მეთოდი 0,01 სიზუსტით.

გადაწყვეტილება.

რას მივიღებთ მდგომარეობიდან: a = 1; b=2; .

ამ შემთხვევაში, უპირველეს ყოვლისა, ვპოულობთ ინტეგრაციის სეგმენტის გაყოფილი წერტილების რაოდენობას, ანუ n. ამის გაკეთება შეგვიძლია უტოლობის გამოყენებით აბსოლუტური შეცდომის შესაფასებლად . ამრიგად, თუ ვიპოვით n-ს, რომლისთვისაც უტოლობა იქნება , მაშინ მოცემული n-ის ტრაპეციის ფორმულა მოგვცემს განსაზღვრული ინტეგრალის სავარაუდო მნიშვნელობას საჭირო სიზუსტით.

ჯერ ვიპოვოთ ინტერვალზე ფუნქციის მეორე წარმოებულის მოდულის უდიდესი მნიშვნელობა.

ფუნქციის მეორე წარმოებული არის კვადრატული პარაბოლა, მისი თვისებებიდან ვიცით, რომ ის დადებითია და იზრდება სეგმენტზე, ამიტომ . როგორც ხედავთ, ჩვენს მაგალითში, პოვნის პროცესი საკმაოდ მარტივია. უფრო რთული შემთხვევებისთვის იხილეთ განყოფილება. თუ მისი პოვნა ძალიან რთულია, მაშინ ამ მაგალითის შემდეგ მივცემთ მოქმედების ალტერნატიულ მეთოდს.

დავუბრუნდეთ ჩვენს უთანასწორობას და შეცვალეთ მიღებული მნიშვნელობა მასში:

როგორც n არის ბუნებრივი რიცხვი (n არის ელემენტარული ინტერვალების რაოდენობა, რომლებშიც იყოფა ინტეგრაციის სეგმენტი), მაშინ შეგვიძლია ავიღოთ n = 6, 7, 8, ... ავიღოთ n = 6 . ეს საშუალებას მოგვცემს მივაღწიოთ ტრაპეციული მეთოდის საჭირო სიზუსტეს მინიმალური გამოთვლებით (თუმცა ჩვენს შემთხვევაში n=10 უფრო მოსახერხებელია ხელით გამოთვლების შესრულება).

Ისე, n ნაპოვნია, ახლა გააგრძელეთ როგორც წინა მაგალითში.

ნაბიჯის გამოთვლა: .

იპოვეთ ბადის კვანძები და მათში ინტეგრატის მნიშვნელობები:

მოდი გამოთვლების შედეგები ჩავწეროთ ცხრილში:

მიღებულ შედეგებს ვანაცვლებთ ტრაპეციის ფორმულას:

ჩვენ ვიანგარიშებთ ორიგინალურ ინტეგრალს ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულის გამოყენებით მნიშვნელობების შესადარებლად:

ამიტომ მიიღწევა საჭირო სიზუსტე.

უნდა აღინიშნოს, რომ აბსოლუტური შეცდომის შესაფასებლად უტოლობიდან n რიცხვის პოვნა არც ისე მარტივი პროცედურაა, განსაკუთრებით რთული ინტეგრანდებისთვის. ამიტომ, ლოგიკურია მივმართოთ შემდეგ მეთოდს.

n კვანძისთვის ტრაპეციის მეთოდით მიღებული განსაზღვრული ინტეგრალის მიახლოებითი მნიშვნელობა აღინიშნა .

აირჩიეთ თვითნებური რიცხვი n , მაგალითად n = 10 . ტრაპეციის მეთოდის ფორმულის გამოყენებით, ჩვენ ვიანგარიშებთ საწყის ინტეგრალს n = 10-ისთვის და კვანძების ორჯერ მეტისთვის, ანუ n = 20-ისთვის. ჩვენ ვპოულობთ მიღებულ ორ მიახლოებით მნიშვნელობას შორის სხვაობის აბსოლუტურ მნიშვნელობას. თუ ის საჭირო სიზუსტეზე ნაკლებია , შემდეგ ვაჩერებთ გამოთვლებს და ვიღებთ მნიშვნელობას, როგორც განსაზღვრული ინტეგრალის მიახლოებით მნიშვნელობას, მანამდე რომ დავამრგვალოთ იგი საჭირო სიზუსტემდე. წინააღმდეგ შემთხვევაში, გავაორმაგებთ კვანძების რაოდენობას (ვიღებთ n = 40 ) და ვიმეორებთ ნაბიჯებს.

სასწავლო და საგანმანათლებლო დავალებები:

• დიდაქტიკური მიზანი. მოსწავლეებს გავაცნოთ განსაზღვრული ინტეგრალის სავარაუდო გამოთვლის მეთოდები.
• საგანმანათლებლო მიზანი. ამ გაკვეთილის თემას დიდი პრაქტიკული და საგანმანათლებლო მნიშვნელობა აქვს. რიცხვითი ინტეგრაციის იდეის უმარტივესი მიდგომა ეფუძნება განსაზღვრული ინტეგრალის განმარტებას, როგორც ინტეგრალური ჯამების ზღვარს. მაგალითად, თუ ავიღებთ სეგმენტის საკმარისად მცირე დანაყოფს [ ა; ბ] და ააშენეთ მისთვის ინტეგრალური ჯამი, მაშინ მისი მნიშვნელობა შეიძლება დაახლოებით მივიღოთ შესაბამისი ინტეგრალის მნიშვნელობად. ამავე დროს, მნიშვნელოვანია გამოთვლების სწრაფად და სწორად შესრულება კომპიუტერული ტექნოლოგიის გამოყენებით.

საბაზისო ცოდნა და უნარები. გაიგეთ განსაზღვრული ინტეგრალის გამოთვლის სავარაუდო მეთოდები მართკუთხედების და ტრაპეციის ფორმულების გამოყენებით.

გაკვეთილის უზრუნველყოფა

• დარიგება. სამუშაო ბარათები დამოუკიდებელი მუშაობისთვის.
• TSO. მულტიპროექტორი, კომპიუტერი, ლეპტოპები.
• TCO აღჭურვილობა. პრეზენტაციები: "წარმოებულის გეომეტრიული მნიშვნელობა", "მართკუთხედების მეთოდი", "ტრაპეციის მეთოდი". (პრეზენტაცია შეიძლება ნასესხები იყოს ავტორისგან).
• გამოთვლითი ხელსაწყოები: კომპიუტერი, მიკროკალკულატორები.
• გაიდლაინები

კლასის ტიპი. ინტეგრირებული პრაქტიკული.

მოსწავლეთა შემეცნებითი აქტივობის მოტივაცია. ძალიან ხშირად უნდა გამოვთვალოთ გარკვეული ინტეგრალები, რომლებისთვისაც შეუძლებელია ანტიწარმოებულის პოვნა. ამ შემთხვევაში გამოიყენება განსაზღვრული ინტეგრალების გამოთვლის სავარაუდო მეთოდები. ზოგჯერ ინტეგრალების „აღების“ მიახლოებით მეთოდსაც იყენებენ, თუ ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულით გამოთვლა რაციონალური არ არის. ინტეგრალის სავარაუდო გაანგარიშების იდეა არის ის, რომ მრუდი შეიცვალოს ახალი მრუდით, რომელიც საკმარისად "ახლოა" მას. ახალი მრუდის არჩევიდან გამომდინარე, შეიძლება გამოყენებულ იქნას ერთი ან სხვა სავარაუდო ინტეგრაციის ფორმულა.

გაკვეთილების თანმიმდევრობა.

1. მართკუთხედის ფორმულა.
2. ტრაპეციული ფორმულა.
3. სავარჯიშოების გადაწყვეტა.

Გაკვეთილის გეგმა

1. მოსწავლეთა საბაზისო ცოდნის გამეორება.

გაიმეორეთ მოსწავლეებთან ერთად: ინტეგრაციის ძირითადი ფორმულები, ინტეგრაციის შესწავლილი მეთოდების არსი, განსაზღვრული ინტეგრალის გეომეტრიული მნიშვნელობა.

1. პრაქტიკული სამუშაოს შესრულება.

მრავალი ტექნიკური პრობლემის გადაწყვეტა მცირდება გარკვეული ინტეგრალის გაანგარიშებამდე, რომელთა ზუსტი გამოხატვა რთულია, მოითხოვს ხანგრძლივ გამოთვლებს და ყოველთვის არ არის გამართლებული პრაქტიკაში. აქ მათი სავარაუდო ღირებულება საკმაოდ საკმარისია.

მოდით, მაგალითად, აუცილებელია გამოვთვალოთ წრფით შემოსაზღვრული ფართობი, რომლის განტოლება უცნობია. ამ შემთხვევაში, შეგიძლიათ შეცვალოთ ეს ხაზი უფრო მარტივით, რომლის განტოლება ცნობილია. ამგვარად მიღებული მრუდი ტრაპეციის ფართობი მიიღება სასურველი ინტეგრალის სავარაუდო მნიშვნელობად.

უმარტივესი სავარაუდო მეთოდია მართკუთხედების მეთოდი. გეომეტრიულად, მართკუთხედების ფორმულის გამოყენებით განსაზღვრული ინტეგრალის გამოთვლის გზა არის ის, რომ მრგვალი ტრაპეციის ფართობი Ა Ბ Გ Დჩანაცვლებულია მართკუთხედების ფართობების ჯამით, რომელთა ერთი მხარე არის , ხოლო მეორე არის .

თუ შევაჯამებთ მართკუთხედების უბნებს, რომლებიც გვიჩვენებს მრუდი ტრაპეციის ფართობს ნაკლოვანებით [სურათი 1], მაშინ მივიღებთ ფორმულას:

[სურათი 1]

შემდეგ მივიღებთ ფორმულას:

თუ უხვად

[სურათი 2],

მაშინ

ღირებულებები y 0, y 1,..., y nნაპოვნია თანასწორობიდან , k = 0, 1..., n.ამ ფორმულებს ე.წ მართკუთხედის ფორმულებიდა მისცეს სავარაუდო შედეგები. მატებასთან ერთად ნშედეგი უფრო ზუსტი ხდება.

ასე რომ, ინტეგრალის სავარაუდო მნიშვნელობის საპოვნელად დაგჭირდებათ:

გაანგარიშების შეცდომის მოსაძებნად, თქვენ უნდა გამოიყენოთ ფორმულები:

მაგალითი 1 გამოთვალეთ მართკუთხედების ფორმულით. იპოვეთ გამოთვლების აბსოლუტური და ფარდობითი შეცდომები.

მოდით გავყოთ სეგმენტი [ ა, ბ] რამდენიმე (მაგალითად, 6) თანაბარ ნაწილად. მერე a = 0, ბ = 3 ,

x k = a + k x
X 0 = 2 + 0 = 2
X 1 = 2 + 1 = 2,5
X 2 = 2 + 2 =3
X 3 = 2 + 3 = 3
X 4 = 2 + 4 = 4
X 5 = 2 + 5 = 4,5

ვ(x 0) = 2 2 = 4
ვ (x 1) = 2 ,5 2 = 6,25
ვ (x 2) = 3 2 = 9
ვ (x 3) = 3,5 2 = 12,25
ვ (x 4) = 4 2 = 16
ვ (x 5) = 4,5 2 = 20,25.

ფორმულის მიხედვით (1):

გამოთვლების ფარდობითი ცდომილების გამოსათვლელად აუცილებელია ინტეგრალის ზუსტი მნიშვნელობის პოვნა:

გათვლებს დიდი დრო დასჭირდა და საკმაოდ უხეში დამრგვალება მივიღეთ. ამ ინტეგრალის უფრო მცირე მიახლოებით გამოსათვლელად, შეგიძლიათ გამოიყენოთ კომპიუტერის ტექნიკური შესაძლებლობები.

მართკუთხედების მეთოდით განსაზღვრული ინტეგრალის საპოვნელად საჭიროა ინტეგრანის მნიშვნელობების შეყვანა. f(x) Excel-ის სამუშაო ფურცელზე დიაპაზონში Xმოცემული ნაბიჯით X= 0,1.

1. მონაცემთა ცხრილის შედგენა (Xდა f(x)). X f(x). არგუმენტი, ხოლო B1 უჯრედში - სიტყვა ფუნქცია2 2,1 ). შემდეგ, A2:A3 უჯრედების ბლოკის არჩევის შემდეგ, ჩვენ ვიღებთ არგუმენტის ყველა მნიშვნელობას ავტომატური შევსებით (ჩვენ ვჭიმავთ ბლოკის ქვედა მარჯვენა კუთხის მიღმა A32 უჯრედამდე, მნიშვნელობამდე. x=5).
2. შემდეგი, ჩვენ წარმოგიდგენთ ინტეგრანტის მნიშვნელობებს. უჯრედში B2, თქვენ უნდა დაწეროთ მისი განტოლება. ამისათვის მოათავსეთ ცხრილის კურსორი B2 უჯრედში და შეიყვანეთ ფორმულა კლავიატურიდან =A2^2(ინგლისური კლავიატურის განლაგებისთვის). დააჭირეთ ღილაკს შედი. უჯრედში B2 გამოჩნდება 4 . ახლა თქვენ უნდა დააკოპიროთ ფუნქცია B2 უჯრედიდან. დააკოპირეთ ეს ფორმულა ავტომატური შევსებით B2:B32 დიაპაზონში.
   შედეგად, მონაცემთა ცხრილი უნდა იქნას მიღებული ინტეგრალის საპოვნელად.
3. ახლა B33 უჯრედში შეგიძლიათ იპოვოთ ინტეგრალის სავარაუდო მნიშვნელობა. ამისათვის, საკანში B33, შეიყვანეთ ფორმულა = 0,1*, შემდეგ დაურეკეთ Function Wizard-ს (ინსტრუმენტთა პანელზე ფუნქციის ჩასმა ღილაკზე დაჭერით (f(x)). Function Wizard-Step 1 of 2 დიალოგურ ფანჯარაში, რომელიც გამოჩნდება, მარცხნივ, კატეგორიის ველში აირჩიეთ მათემატიკა. ფუნქციის ველში მარჯვნივ - ჯამის ფუნქცია. ჩვენ ვაჭერთ ღილაკს ᲙᲐᲠᲒᲘ.ჩნდება დიალოგური ფანჯარა ჯამი. შეიყვანეთ შემაჯამებელი დიაპაზონი B2:B31 სამუშაო ველში მაუსით. ჩვენ ვაჭერთ ღილაკს ᲙᲐᲠᲒᲘ.უჯრედში B33, სასურველი ინტეგრალის სავარაუდო მნიშვნელობა ჩნდება მინუსით ( 37,955 ) .

მიღებული მიახლოებითი მნიშვნელობის შედარება ინტეგრალის ნამდვილ მნიშვნელობასთან ( 39 ), ჩანს, რომ მართკუთხედების მეთოდის მიახლოების შეცდომა ამ შემთხვევაში უდრის

= |39 - 37 , 955| = 1 ,045

მაგალითი 2 მართკუთხედების მეთოდის გამოყენებით გამოთვალეთ მოცემული ნაბიჯით X = 0,05.

მიღებული მიახლოებითი მნიშვნელობის შედარება ინტეგრალის ნამდვილ მნიშვნელობასთან , ჩანს, რომ მართკუთხედების მეთოდის მიახლოების შეცდომა ამ შემთხვევაში უდრის

ტრაპეციის მეთოდი ჩვეულებრივ იძლევა უფრო ზუსტ ინტეგრალურ მნიშვნელობას, ვიდრე მართკუთხედის მეთოდი. მრუდი ტრაპეცია ჩანაცვლებულია რამდენიმე ტრაპეციის ჯამით და განსაზღვრული ინტეგრალის სავარაუდო მნიშვნელობა გვხვდება ტრაპეციის ფართობების ჯამად.

[სურათი 3]

მაგალითი 3 ტრაპეციული პოვნა ეტაპობრივად X = 0,1.

1. გახსენით ცარიელი სამუშაო ფურცელი.
2. მონაცემთა ცხრილის შედგენა (Xდა f(x)).დაე, პირველი სვეტი იყოს მნიშვნელობები X, და მეორე შესაბამისი მაჩვენებლები f(x).ამისათვის შეიყვანეთ სიტყვა A1 უჯრედში არგუმენტი, ხოლო B1 უჯრედში - სიტყვა ფუნქცია. A2 უჯრედში შეყვანილია არგუმენტის პირველი მნიშვნელობა - დიაპაზონის მარცხენა საზღვარი ( 0 ). A3 უჯრედში შეყვანილია არგუმენტის მეორე მნიშვნელობა - დიაპაზონის მარცხენა საზღვარი პლუს მშენებლობის ნაბიჯი ( 0,1 ). შემდეგ, A2:A3 უჯრედების ბლოკის არჩევის შემდეგ, ჩვენ ვიღებთ არგუმენტის ყველა მნიშვნელობას ავტომატური შევსებით (ჩვენ ვჭიმავთ ბლოკის ქვედა მარჯვენა კუთხის მიღმა A33 უჯრედამდე, მნიშვნელობამდე. x=3.1).
3. შემდეგი, ჩვენ წარმოგიდგენთ ინტეგრანტის მნიშვნელობებს. B2 უჯრედში უნდა ჩაწეროთ მისი განტოლება (სინუსის მაგალითში). ამისათვის ცხრილის კურსორი უნდა განთავსდეს B2 უჯრედში. A2 უჯრედში არგუმენტის მნიშვნელობის შესაბამისი სინუსური მნიშვნელობა უნდა იყოს. სინუსის მნიშვნელობის მისაღებად გამოვიყენებთ სპეციალურ ფუნქციას: დააწკაპუნეთ ფუნქციის ჩასმა ღილაკზე ხელსაწყოთა ზოლზე f(x). Function Wizard-Step 1 of 2 დიალოგურ ფანჯარაში, რომელიც გამოჩნდება, მარცხნივ, კატეგორიის ველში აირჩიეთ მათემატიკა. ფუნქციის ველში მარჯვნივ - ფუნქცია ცოდვა. ჩვენ ვაჭერთ ღილაკს ᲙᲐᲠᲒᲘ.გამოჩნდება დიალოგური ფანჯარა ცოდვა. გადაიტანეთ მაუსის მაჩვენებელი ფანჯრის ნაცრისფერ ველზე, მარცხენა ღილაკზე დაჭერით, გადაიტანეთ ველი მარჯვნივ, რათა გახსნათ მონაცემთა სვეტი ( მაგრამ). მიუთითეთ სინუს არგუმენტის მნიშვნელობა A2 უჯრედზე დაწკაპუნებით. ჩვენ ვაჭერთ ღილაკს ᲙᲐᲠᲒᲘ. B2 უჯრედში გამოჩნდება 0. ახლა თქვენ უნდა დააკოპიროთ ფუნქცია B2 უჯრედიდან. დააკოპირეთ ეს ფორმულა B2:B33 დიაპაზონში. შედეგად, მონაცემთა ცხრილი უნდა იქნას მიღებული ინტეგრალის საპოვნელად.
4. ახლა B34 უჯრედში ინტეგრალის სავარაუდო მნიშვნელობა შეიძლება მოიძებნოს ტრაპეციის მეთოდის გამოყენებით. ამისათვის, B34 უჯრედში შეიყვანეთ ფორმულა \u003d 0.1 * ((B2 + B33) / 2+,შემდეგ დაურეკეთ Function Wizard-ს (ინსტრუმენტთა პანელზე ფუნქციის ჩასმა ღილაკზე დაჭერით (f(x)). Function Wizard-Step 1 of 2 დიალოგურ ფანჯარაში, რომელიც გამოჩნდება, მარცხნივ, კატეგორიის ველში აირჩიეთ მათემატიკა. ფუნქციის ველში მარჯვნივ - ჯამის ფუნქცია. ჩვენ ვაჭერთ ღილაკს ᲙᲐᲠᲒᲘ.ჩნდება დიალოგური ფანჯარა ჯამი. შეიყვანეთ შემაჯამებელი დიაპაზონი B3:B32 სამუშაო ველში მაუსით. ჩვენ ვაჭერთ ღილაკს კარგიკიდევ ერთხელ ᲙᲐᲠᲒᲘ.უჯრედში B34, საძებნი ინტეგრალის სავარაუდო მნიშვნელობა ჩნდება მინუსით ( 1,997 ) .

მიღებული მიახლოებითი მნიშვნელობის ინტეგრალის ნამდვილ მნიშვნელობასთან შედარებისას შეიძლება დავინახოთ, რომ მართკუთხედების მეთოდის მიახლოების შეცდომა ამ შემთხვევაში სავსებით მისაღებია პრაქტიკისთვის.

1. სავარჯიშოების გადაწყვეტა.