თქვენი კონფიდენციალურობა ჩვენთვის მნიშვნელოვანია. ამ მიზეზით, ჩვენ შევიმუშავეთ კონფიდენციალურობის პოლიტიკა, რომელიც აღწერს, თუ როგორ ვიყენებთ და ვინახავთ თქვენს ინფორმაციას. გთხოვთ, წაიკითხოთ ჩვენი კონფიდენციალურობის პოლიტიკა და შეგვატყობინოთ, თუ თქვენ გაქვთ რაიმე შეკითხვები.

პირადი ინფორმაციის შეგროვება და გამოყენება

პერსონალური ინფორმაცია ეხება მონაცემებს, რომლებიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას კონკრეტული პირის იდენტიფიცირებისთვის ან მასთან დასაკავშირებლად.

თქვენ შეიძლება მოგეთხოვოთ თქვენი პირადი ინფორმაციის მიწოდება ნებისმიერ დროს, როცა დაგვიკავშირდებით.

ქვემოთ მოცემულია პერსონალური ინფორმაციის ტიპების მაგალითები, რომლებიც შეიძლება შევაგროვოთ და როგორ გამოვიყენოთ ასეთი ინფორმაცია.

რა პერსონალურ ინფორმაციას ვაგროვებთ:

• საიტზე განაცხადის გაგზავნისას, ჩვენ შეიძლება შევაგროვოთ სხვადასხვა ინფორმაცია, მათ შორის თქვენი სახელი, ტელეფონის ნომერი, ელექტრონული ფოსტის მისამართი და ა.შ.

როგორ ვიყენებთ თქვენს პირად ინფორმაციას:

• ჩვენ მიერ შეგროვებული პირადი ინფორმაცია საშუალებას გვაძლევს დაგიკავშირდეთ და გაცნობოთ უნიკალური შეთავაზებების, აქციების და სხვა ღონისძიებებისა და მომავალი ღონისძიებების შესახებ.
• დროდადრო, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენი პირადი ინფორმაცია მნიშვნელოვანი შეტყობინებებისა და კომუნიკაციების გამოსაგზავნად.
• ჩვენ ასევე შეიძლება გამოვიყენოთ პერსონალური ინფორმაცია შიდა მიზნებისთვის, როგორიცაა აუდიტის ჩატარება, მონაცემთა ანალიზი და სხვადასხვა კვლევა, რათა გავაუმჯობესოთ ჩვენს მიერ მოწოდებული სერვისები და მოგაწოდოთ რეკომენდაციები ჩვენს სერვისებთან დაკავშირებით.
• თუ თქვენ მონაწილეობთ საპრიზო გათამაშებაში, კონკურსში ან მსგავს წახალისებაში, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენ მიერ მოწოდებული ინფორმაცია ასეთი პროგრამების ადმინისტრირებისთვის.

გამჟღავნება მესამე პირებისთვის

ჩვენ არ ვუმხელთ თქვენგან მიღებულ ინფორმაციას მესამე პირებს.

გამონაკლისები:

• იმ შემთხვევაში, თუ ეს აუცილებელია - კანონის, სასამართლო ბრძანების შესაბამისად, სასამართლო პროცესებში და/ან საჯარო მოთხოვნის ან რუსეთის ფედერაციის ტერიტორიაზე სახელმწიფო ორგანოების მოთხოვნის საფუძველზე - გაამჟღავნეთ თქვენი პირადი ინფორმაცია. ჩვენ ასევე შეიძლება გავამჟღავნოთ ინფორმაცია თქვენს შესახებ, თუ დავადგენთ, რომ ასეთი გამჟღავნება აუცილებელია ან მიზანშეწონილია უსაფრთხოების, სამართალდამცავი ორგანოების ან სხვა საზოგადოებრივი ინტერესებისთვის.
• რეორგანიზაციის, შერწყმის ან გაყიდვის შემთხვევაში, ჩვენ შეგვიძლია გადავცეთ ჩვენს მიერ შეგროვებული პერსონალური ინფორმაცია შესაბამის მესამე მხარის მემკვიდრეს.

პირადი ინფორმაციის დაცვა

ჩვენ ვიღებთ სიფრთხილის ზომებს - მათ შორის ადმინისტრაციულ, ტექნიკურ და ფიზიკურ - თქვენი პირადი ინფორმაციის დაკარგვის, ქურდობისა და ბოროტად გამოყენებისგან დასაცავად, ასევე არაავტორიზებული წვდომისგან, გამჟღავნების, ცვლილებისა და განადგურებისგან.

თქვენი კონფიდენციალურობის შენარჩუნება კომპანიის დონეზე

იმის უზრუნველსაყოფად, რომ თქვენი პერსონალური ინფორმაცია დაცულია, ჩვენ ვუწოდებთ კონფიდენციალურობისა და უსაფრთხოების პრაქტიკას ჩვენს თანამშრომლებს და მკაცრად ვიცავთ კონფიდენციალურობის პრაქტიკას.

ინსტრუქცია

ჩაწერეთ მოცემული ლოგარითმული გამოხატულება. თუ გამოთქმა იყენებს 10-ის ლოგარითმს, მაშინ მისი აღნიშვნა მცირდება და ასე გამოიყურება: lg b არის ათობითი ლოგარითმი. თუ ლოგარითმს საფუძვლად აქვს რიცხვი e, მაშინ გამოთქმა იწერება: ln b არის ბუნებრივი ლოგარითმი. გასაგებია, რომ ნებისმიერის შედეგი არის ძალა, რომელზედაც უნდა გაიზარდოს საბაზისო რიცხვი, რომ მიიღოთ რიცხვი b.

ორი ფუნქციის ჯამის პოვნისას თქვენ უბრალოდ უნდა განასხვავოთ ისინი სათითაოდ და დაამატოთ შედეგები: (u+v)" = u"+v";

ორი ფუნქციის ნამრავლის წარმოებულის პოვნისას აუცილებელია პირველი ფუნქციის წარმოებული გავამრავლოთ მეორეზე და დავუმატოთ მეორე ფუნქციის წარმოებული, გამრავლებული პირველ ფუნქციაზე: (u*v)" = u"* v+v"*u;

ორი ფუნქციის კოეფიციენტის წარმოებული რომ ვიპოვოთ, საჭიროა დივიდენდის წარმოებულის ნამრავლს გამყოფი ფუნქციით გამოვაკლოთ გამყოფის წარმოებულის ნამრავლი გამრავლებულ ფუნქციაზე და გავყოთ. ეს ყველაფერი გამყოფი ფუნქციის კვადრატში. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

თუ რთული ფუნქციაა მოცემული, მაშინ აუცილებელია შიდა ფუნქციის წარმოებულის და გარედან წარმოებულის გამრავლება. მოდით y=u(v(x)), შემდეგ y"(x)=y"(u)*v"(x).

ზემოაღნიშნულის გამოყენებით შეგიძლიათ განასხვავოთ თითქმის ნებისმიერი ფუნქცია. ასე რომ, მოდით შევხედოთ რამდენიმე მაგალითს:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
ასევე არსებობს დავალებები წარმოებულის გამოთვლის წერტილში. მოცემული იყოს ფუნქცია y=e^(x^2+6x+5), თქვენ უნდა იპოვოთ ფუნქციის მნიშვნელობა x=1 წერტილში.
1) იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) გამოთვალეთ ფუნქციის მნიშვნელობა მოცემულ წერტილში y"(1)=8*e^0=8

Მსგავსი ვიდეოები

სასარგებლო რჩევა

ისწავლეთ ელემენტარული წარმოებულების ცხრილი. ეს დაზოგავს დიდ დროს.

წყაროები:

• მუდმივი წარმოებული

მაშ, რა განსხვავებაა ირაციონალურ განტოლებასა და რაციონალურ განტოლებას შორის? თუ უცნობი ცვლადი არის კვადრატული ფესვის ნიშნის ქვეშ, მაშინ განტოლება ითვლება ირაციონალურად.

ინსტრუქცია

ასეთი განტოლებების ამოხსნის მთავარი მეთოდია ორივე მხარის ამაღლების მეთოდი განტოლებებიმოედანზე. თუმცა. ეს ბუნებრივია, პირველი ნაბიჯი არის ნიშნის მოშორება. ტექნიკურად, ეს მეთოდი არ არის რთული, მაგრამ ზოგჯერ შეიძლება გამოიწვიოს პრობლემები. მაგალითად, განტოლება v(2x-5)=v(4x-7). ორივე მხარის კვადრატში მიიღებთ 2x-5=4x-7. ასეთი განტოლება არ არის რთული ამოსახსნელი; x=1. მაგრამ ნომერი 1 არ იქნება მოცემული განტოლებები. რატომ? შეცვალეთ ერთეული განტოლებაში x მნიშვნელობის ნაცვლად და მარჯვენა და მარცხენა მხარეები შეიცავს გამონათქვამებს, რომლებსაც აზრი არ აქვს, ანუ. ასეთი მნიშვნელობა არ მოქმედებს კვადრატული ფესვისთვის. მაშასადამე, 1 არის უცხო ფესვი და, შესაბამისად, ამ განტოლებას ფესვები არ აქვს.

ასე რომ, ირაციონალური განტოლება ამოხსნილია მისი ორივე ნაწილის კვადრატის მეთოდით. და განტოლების ამოხსნის შემდეგ, აუცილებელია ზედმეტი ფესვების ამოჭრა. ამისათვის შეცვალეთ ნაპოვნი ფესვები თავდაპირველ განტოლებაში.

განიხილეთ კიდევ ერთი.
2x+vx-3=0
რა თქმა უნდა, ამ განტოლების ამოხსნა შესაძლებელია იმავე განტოლების გამოყენებით, როგორც წინა. გადაცემის ნაერთები განტოლებები, რომლებსაც არ აქვთ კვადრატული ფესვი, მარჯვნივ და შემდეგ გამოიყენეთ კვადრატის მეთოდი. ამოხსნათ მიღებული რაციონალური განტოლება და ფესვები. მაგრამ კიდევ ერთი, უფრო ელეგანტური. შეიყვანეთ ახალი ცვლადი; vx=y. შესაბამისად, თქვენ მიიღებთ განტოლებას, როგორიცაა 2y2+y-3=0. ეს არის ჩვეულებრივი კვადრატული განტოლება. იპოვნეთ მისი ფესვები; y1=1 და y2=-3/2. შემდეგი, გადაწყვიტეთ ორი განტოლებები vx=1; vx \u003d -3/2. მეორე განტოლებას ფესვები არ აქვს, პირველიდან ვხვდებით, რომ x=1. არ დაივიწყოთ ფესვების შემოწმების აუცილებლობა.

პირადობის ამოხსნა საკმაოდ მარტივია. ეს მოითხოვს იდენტური გარდაქმნების განხორციელებას მიზნის მიღწევამდე. ამრიგად, უმარტივესი არითმეტიკული ოპერაციების დახმარებით, ამოცანა გადაიჭრება.

დაგჭირდებათ

• - ქაღალდი;
• -კალამი.

ინსტრუქცია

უმარტივესი ასეთი გარდაქმნებია ალგებრული შემოკლებული ნამრავლები (როგორიცაა ჯამის კვადრატი (განსხვავება), კვადრატების სხვაობა, ჯამი (განსხვავება), ჯამის კუბი (განსხვავება)). გარდა ამისა, არსებობს მრავალი ტრიგონომეტრიული ფორმულა, რომლებიც არსებითად იგივე იდენტობებია.

მართლაც, ორი წევრის ჯამის კვადრატი უდრის პირველის კვადრატს დამატებული პირველის ნამრავლის ორჯერ და მეორეს პლუს მეორის კვადრატს, ანუ (a+b)^2= (a+b). )(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

გაამარტივეთ ორივე

გადაწყვეტის ზოგადი პრინციპები

გაიმეორეთ მათემატიკური ანალიზის ან უმაღლესი მათემატიკის სახელმძღვანელოდან, რომელიც განსაზღვრული ინტეგრალია. მოგეხსენებათ, განსაზღვრული ინტეგრალის ამოხსნა არის ფუნქცია, რომლის წარმოებული მისცემს ინტეგრანდს. ამ ფუნქციას ანტიდერივატი ეწოდება. ამ პრინციპის მიხედვით აგებულია ძირითადი ინტეგრალები.
განსაზღვრეთ ინტეგრადის ფორმით, ცხრილის რომელი ინტეგრალია შესაფერისი ამ შემთხვევაში. ამის დაუყოვნებლივ დადგენა ყოველთვის არ არის შესაძლებელი. ხშირად, ტაბულური ფორმა შესამჩნევი ხდება მხოლოდ რამდენიმე გარდაქმნის შემდეგ, ინტეგრადის გასამარტივებლად.

ცვლადი ჩანაცვლების მეთოდი

თუ ინტეგრადი არის ტრიგონომეტრიული ფუნქცია, რომლის არგუმენტი არის რამდენიმე პოლინომი, მაშინ სცადეთ გამოიყენოთ ცვლადების შეცვლის მეთოდი. ამისათვის შეცვალეთ პოლინომი ინტეგრადის არგუმენტში ახალი ცვლადით. ახალ და ძველ ცვლადს შორის თანაფარდობიდან გამომდინარე, განსაზღვრეთ ინტეგრაციის ახალი საზღვრები. ამ გამოთქმის დიფერენცირებით, იპოვეთ ახალი დიფერენციალი . ამრიგად, თქვენ მიიღებთ ძველი ინტეგრალის ახალ ფორმას, ახლოს ან თუნდაც რომელიმე ცხრილის შესაბამისს.

მეორე სახის ინტეგრალების ამოხსნა

თუ ინტეგრალი არის მეორე ტიპის ინტეგრალი, ინტეგრანტის ვექტორული ფორმა, მაშინ დაგჭირდებათ ამ ინტეგრალებიდან სკალარზე გადასვლის წესების გამოყენება. ერთ-ერთი ასეთი წესია ოსტროგრადსკი-გაუსის თანაფარდობა. ეს კანონი შესაძლებელს ხდის რომელიმე ვექტორული ფუნქციის როტორული ნაკადიდან გადავიდეს სამმაგ ინტეგრალზე მოცემული ვექტორული ველის დივერგენციაზე.

ინტეგრაციის საზღვრების ჩანაცვლება

ანტიდერივატივის პოვნის შემდეგ აუცილებელია ინტეგრაციის საზღვრების ჩანაცვლება. პირველ რიგში, შეცვალეთ ზედა ზღვრის მნიშვნელობა ანტიწარმოებულის გამოხატულებაში. მიიღებთ რაღაც ნომერს. შემდეგ, გამოაკლეთ მიღებულ რიცხვს სხვა რიცხვი, შედეგად ქვედა ზღვარი ანტიწარმოებულს. თუ ინტეგრაციის ერთ-ერთი ლიმიტი არის უსასრულობა, მაშინ მისი ანტიდერივატიულ ფუნქციაში ჩანაცვლებისას აუცილებელია ზღვარზე გადასვლა და იმის პოვნა, რისკენ მიდრეკილია გამოხატულება.
თუ ინტეგრალი არის ორგანზომილებიანი ან სამგანზომილებიანი, მაშინ თქვენ მოგიწევთ წარმოადგინოთ ინტეგრაციის გეომეტრიული საზღვრები, რათა გაიგოთ როგორ გამოვთვალოთ ინტეგრალი. ბოლოს და ბოლოს, ვთქვათ, სამგანზომილებიანი ინტეგრალის შემთხვევაში, ინტეგრაციის საზღვრები შეიძლება იყოს მთლიანი სიბრტყეები, რომლებიც ზღუდავს ინტეგრირებულ მოცულობას.

ასე რომ, ჩვენ გვაქვს ორი ძალა. თუ რიცხვს აიღებთ ქვედა ხაზიდან, მაშინ მარტივად შეგიძლიათ იპოვოთ ძალა, რომლითაც უნდა აწიოთ ორი ამ რიცხვის მისაღებად. მაგალითად, 16-ის მისაღებად, თქვენ უნდა აწიოთ ორი მეოთხე ხარისხზე. და 64-ის მისაღებად, თქვენ უნდა აწიოთ ორი მეექვსე ხარისხამდე. ეს ჩანს ცხრილიდან.

ახლა კი - სინამდვილეში, ლოგარითმის განმარტება:

x არგუმენტის a ფუძის ლოგარითმი არის სიმძლავრე, რომლითაც უნდა გაიზარდოს რიცხვი x რიცხვის მისაღებად.

აღნიშვნა: log a x \u003d b, სადაც a არის საფუძველი, x არის არგუმენტი, b არის რეალურად რისი ტოლია ლოგარითმი.

მაგალითად, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (8-ის მე-2 ლოგარითმი არის სამი, რადგან 2 3 = 8). შეიძლება ასევე ჩაწეროთ 2 64 = 6, რადგან 2 6 = 64.

მოცემულ ფუძეზე რიცხვის ლოგარითმის პოვნის ოპერაციას ლოგარითმი ეწოდება. მოდით დავამატოთ ახალი მწკრივი ჩვენს ცხრილს:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
ჟურნალი 2 2 = 1	ჟურნალი 2 4 = 2	ჟურნალი 2 8 = 3	ჟურნალი 2 16 = 4	ჟურნალი 2 32 = 5	ჟურნალი 2 64 = 6

სამწუხაროდ, ყველა ლოგარითმი ასე მარტივად არ განიხილება. მაგალითად, შეეცადეთ იპოვოთ ჟურნალი 2 5 . რიცხვი 5 არ არის ცხრილში, მაგრამ ლოგიკა გვკარნახობს, რომ ლოგარითმი იქნება სადმე სეგმენტზე. რადგან 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

ასეთ რიცხვებს ირაციონალურს უწოდებენ: ათწილადის შემდეგ რიცხვები შეიძლება განუსაზღვრელი ვადით დაიწეროს და ისინი არასოდეს მეორდებიან. თუ ლოგარითმი ირაციონალური აღმოჩნდება, უმჯობესია ასე დავტოვოთ: log 2 5 , log 3 8 , log 5 100 .

მნიშვნელოვანია გვესმოდეს, რომ ლოგარითმი არის გამოხატულება ორი ცვლადით (ბაზა და არგუმენტი). თავდაპირველად, ბევრი ადამიანი იბნევა სად არის საფუძველი და სად არის არგუმენტი. შემაშფოთებელი გაუგებრობების თავიდან ასაცილებლად, უბრალოდ შეხედეთ სურათს:

ჩვენს წინაშე სხვა არაფერია, თუ არა ლოგარითმის განმარტება. გახსოვდეთ: ლოგარითმი არის ძალა, რაზეც არგუმენტის მისაღებად საჭიროა საფუძვლის ამაღლება. ეს არის ბაზა, რომელიც ამაღლებულია სიმძლავრემდე - სურათზე იგი ხაზგასმულია წითლად. გამოდის, რომ ბაზა ყოველთვის ბოლოშია! ამ შესანიშნავ წესს ვეუბნები ჩემს მოსწავლეებს პირველივე გაკვეთილზე - და არ არის დაბნეულობა.

ჩვენ გავარკვიეთ განმარტება - რჩება ვისწავლოთ ლოგარითმების დათვლა, ე.ი. მოიშორეთ "ლოგი" ნიშანი. დასაწყისისთვის, ჩვენ აღვნიშნავთ, რომ განმარტებიდან გამომდინარეობს ორი მნიშვნელოვანი ფაქტი:

1. არგუმენტი და ბაზა ყოველთვის უნდა იყოს ნულზე მეტი. ეს გამომდინარეობს რაციონალური მაჩვენებლის მიერ ხარისხის განსაზღვრებიდან, რომელზედაც შემცირებულია ლოგარითმის განმარტება.
2. საფუძველი უნდა განსხვავდებოდეს ერთიანობისგან, რადგან ნებისმიერი სიმძლავრის ერთეული მაინც ერთეულია. ამის გამო უაზროა კითხვა „რომელ ძალამდე უნდა გაიზარდოს, რომ ორი მიიღოს“. ასეთი ხარისხი არ არსებობს!

ასეთ შეზღუდვებს ე.წ მოქმედი დიაპაზონი(ოძ). გამოდის, რომ ლოგარითმის ODZ ასე გამოიყურება: log a x = b ⇒ x > 0 , a > 0 , a ≠ 1 .

გაითვალისწინეთ, რომ არ არსებობს შეზღუდვები რიცხვზე b (ლოგარითმის მნიშვნელობა) არ არის დაწესებული. მაგალითად, ლოგარითმი შეიძლება იყოს უარყოფითი: log 2 0.5 \u003d -1, რადგან 0,5 = 2 −1 .

თუმცა, ახლა ჩვენ განვიხილავთ მხოლოდ რიცხვით გამოსახულებებს, სადაც არ არის საჭირო ლოგარითმის ODZ-ის ცოდნა. ყველა შეზღუდვა უკვე გაითვალისწინეს პრობლემების შემდგენელებმა. მაგრამ როდესაც ლოგარითმული განტოლებები და უტოლობები ამოქმედდება, DHS მოთხოვნები გახდება სავალდებულო. მართლაც, საფუძველსა და არგუმენტში შეიძლება იყოს ძალიან ძლიერი კონსტრუქციები, რომლებიც აუცილებლად არ შეესაბამება ზემოხსენებულ შეზღუდვებს.

ახლა განიხილეთ ლოგარითმების გამოთვლის ზოგადი სქემა. იგი შედგება სამი ეტაპისგან:

1. ფუძე a და არგუმენტი x გამოთქვით, როგორც ძალა ერთზე მეტი შესაძლო ფუძით. გზაში სჯობს თავი დავაღწიოთ ათობითი წილადებს;
2. ამოხსენით b ცვლადის განტოლება: x = a b ;
3. შედეგად მიღებული რიცხვი b იქნება პასუხი.

Სულ ეს არის! თუ ლოგარითმი ირაციონალური აღმოჩნდება, ეს უკვე პირველ საფეხურზე გამოჩნდება. მოთხოვნა, რომ ბაზა ერთზე მეტი იყოს, ძალიან აქტუალურია: ეს ამცირებს შეცდომის ალბათობას და მნიშვნელოვნად ამარტივებს გამოთვლებს. ანალოგიურად ათწილადების შემთხვევაში: თუ მათ დაუყოვნებლივ გადააქცევთ ჩვეულებრივ წილადებში, შეცდომები ბევრჯერ ნაკლები იქნება.

ვნახოთ, როგორ მუშაობს ეს სქემა კონკრეტული მაგალითებით:

დავალება. გამოთვალეთ ლოგარითმი: log 5 25

1. წარმოვადგინოთ საფუძველი და არგუმენტი ხუთის ხარისხად: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

შევქმნათ და ამოხსნათ განტოლება:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;

2. მივიღე პასუხი: 2.

დავალება. გამოთვალეთ ლოგარითმი:

დავალება. გამოთვალეთ ლოგარითმი: log 4 64

1. წარმოვადგინოთ საფუძველი და არგუმენტი ორის ხარისხად: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. შევქმნათ და ამოხსნათ განტოლება:
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ;
3. მივიღე პასუხი: 3.

დავალება. გამოთვალეთ ლოგარითმი: log 16 1

1. წარმოვადგინოთ საფუძველი და არგუმენტი ორის ხარისხად: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. შევქმნათ და ამოხსნათ განტოლება:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ;
3. მიიღო პასუხი: 0.

დავალება. გამოთვალეთ ლოგარითმი: log 7 14

1. წარმოვადგინოთ საფუძველი და არგუმენტი შვიდის ხარისხად: 7 = 7 1 ; 14 არ არის წარმოდგენილი შვიდის ხარისხად, რადგან 7 1< 14 < 7 2 ;
2. წინა პუნქტიდან გამომდინარეობს, რომ ლოგარითმი არ განიხილება;
3. პასუხი არ იცვლება: ჟურნალი 7 14.

მცირე შენიშვნა ბოლო მაგალითზე. როგორ დავრწმუნდეთ, რომ რიცხვი არ არის სხვა რიცხვის ზუსტი სიმძლავრე? ძალიან მარტივია - უბრალოდ დაშალეთ ის პირველ ფაქტორებად. თუ გაფართოებაში სულ მცირე ორი განსხვავებული ფაქტორია, რიცხვი არ არის ზუსტი სიმძლავრე.

დავალება. გამოარკვიე არის თუ არა რიცხვის ზუსტი სიმძლავრეები: 8; 48; 81; 35; თოთხმეტი .

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - ზუსტი ხარისხი, რადგან არის მხოლოდ ერთი მულტიპლიკატორი;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 არ არის ზუსტი სიმძლავრე, რადგან არსებობს ორი ფაქტორი: 3 და 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - ზუსტი ხარისხი;
35 = 7 5 - ისევ არ არის ზუსტი ხარისხი;
14 \u003d 7 2 - ისევ არ არის ზუსტი ხარისხი;

გაითვალისწინეთ ისიც, რომ თავად მარტივი რიცხვები ყოველთვის საკუთარი თავის ზუსტი სიმძლავრეებია.

ათწილადი ლოგარითმი

ზოგიერთი ლოგარითმი იმდენად გავრცელებულია, რომ მათ აქვთ სპეციალური სახელი და აღნიშვნა.

x არგუმენტის ათობითი ლოგარითმი არის ფუძე 10 ლოგარითმი, ე.ი. სიმძლავრე, რომელზეც უნდა აწიოთ რიცხვი 10, რომ მიიღოთ რიცხვი x. აღნიშვნა: lg x.

მაგალითად, ჟურნალი 10 = 1; ჟურნალი 100 = 2; lg 1000 = 3 - და ა.შ.

ამიერიდან, როდესაც სახელმძღვანელოში გამოჩნდება ფრაზა „Find lg 0.01“, იცოდეთ, რომ ეს არ არის შეცდომა. ეს არის ათობითი ლოგარითმი. თუმცა, თუ არ ხართ მიჩვეული ასეთ აღნიშვნას, ყოველთვის შეგიძლიათ გადაწეროთ იგი:
ჟურნალი x = ჟურნალი 10 x

ყველაფერი, რაც მართალია ჩვეულებრივი ლოგარითმებისთვის, მართალია ათწილადებისთვისაც.

ბუნებრივი ლოგარითმი

არის კიდევ ერთი ლოგარითმი, რომელსაც აქვს საკუთარი აღნიშვნა. გარკვეული გაგებით, ის კიდევ უფრო მნიშვნელოვანია ვიდრე ათობითი. ეს არის ბუნებრივი ლოგარითმი.

x-ის ბუნებრივი ლოგარითმი არის ფუძე e ლოგარითმი, ე.ი. სიმძლავრე, რომელზეც რიცხვი e უნდა გაიზარდოს x რიცხვის მისაღებად. აღნიშვნა: ln x .

ბევრი იკითხავს: კიდევ რა არის ნომერი e? ეს ირაციონალური რიცხვია, მისი ზუსტი მნიშვნელობის პოვნა და ჩაწერა შეუძლებელია. აქ არის მხოლოდ პირველი ნომრები:
e = 2.718281828459...

ჩვენ არ ჩავუღრმავდებით იმას, თუ რა არის ეს რიცხვი და რატომ არის საჭირო. უბრალოდ გახსოვდეთ, რომ e არის ბუნებრივი ლოგარითმის საფუძველი:
ln x = log e x

ამრიგად ln e = 1; ჟურნალი e 2 = 2; ln e 16 = 16 - და ა.შ. მეორეს მხრივ, ln 2 არის ირაციონალური რიცხვი. ზოგადად, ნებისმიერი რაციონალური რიცხვის ბუნებრივი ლოგარითმი ირაციონალურია. გარდა, რა თქმა უნდა, ერთიანობისა: ln 1 = 0.

ბუნებრივი ლოგარითმებისთვის მოქმედებს ყველა წესი, რომელიც მართებულია ჩვეულებრივი ლოგარითმებისთვის.

ლოგარითმები, ისევე როგორც ნებისმიერი რიცხვი, შეიძლება დაემატოს, გამოკლდეს და გარდაქმნას ყველა შესაძლო გზით. მაგრამ რადგან ლოგარითმები არ არის საკმაოდ ჩვეულებრივი რიცხვები, აქ არის წესები, რომლებიც ე.წ ძირითადი თვისებები.

ეს წესები უნდა იყოს ცნობილი - მათ გარეშე სერიოზული ლოგარითმული პრობლემის გადაჭრა შეუძლებელია. გარდა ამისა, ისინი ძალიან ცოტაა - ყველაფრის სწავლა ერთ დღეში შეიძლება. მოდით დავიწყოთ.

ლოგარითმების შეკრება და გამოკლება

განვიხილოთ ორი ლოგარითმი ერთი და იგივე ფუძით: log ა xდა შესვლა ა წ. შემდეგ მათი დამატება და გამოკლება შესაძლებელია და:

1. ჟურნალი ა x+ლოგი ა წ= ჟურნალი ა (x · წ);
2. ჟურნალი ა x- ჟურნალი ა წ= ჟურნალი ა (x : წ).

ამრიგად, ლოგარითმების ჯამი უდრის ნამრავლის ლოგარითმს, ხოლო სხვაობა არის კოეფიციენტის ლოგარითმი. გთხოვთ გაითვალისწინოთ: აქ მთავარია - იგივე საფუძველი. თუ საფუძვლები განსხვავებულია, ეს წესები არ მუშაობს!

ეს ფორმულები დაგეხმარებათ გამოთვალოთ ლოგარითმული გამოხატულება მაშინაც კი, როდესაც არ განიხილება მისი ცალკეული ნაწილები (იხილეთ გაკვეთილი „რა არის ლოგარითმი“). გადახედეთ მაგალითებს და ნახეთ:

ჟურნალი 6 4 + ჟურნალი 6 9.

ვინაიდან ლოგარითმების საფუძვლები იგივეა, ჩვენ ვიყენებთ ჯამის ფორმულას:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

დავალება. იპოვეთ გამოთქმის მნიშვნელობა: log 2 48 − log 2 3.

საფუძვლები იგივეა, ჩვენ ვიყენებთ განსხვავების ფორმულას:
ჟურნალი 2 48 - ჟურნალი 2 3 = ჟურნალი 2 (48: 3) = ჟურნალი 2 16 = 4.

დავალება. იპოვეთ გამოთქმის მნიშვნელობა: log 3 135 − log 3 5.

ისევ და ისევ, საფუძვლები იგივეა, ასე რომ, ჩვენ გვაქვს:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

როგორც ხედავთ, ორიგინალური გამონათქვამები შედგება "ცუდი" ლოგარითმებისგან, რომლებიც ცალკე არ განიხილება. მაგრამ გარდაქმნების შემდეგ საკმაოდ ნორმალური რიცხვები გამოდის. ამ ფაქტს ეფუძნება მრავალი ტესტი. დიახ, კონტროლი - გამოცდაზე შემოთავაზებულია მსგავსი გამონათქვამები მთელი სერიოზულობით (ზოგჯერ - პრაქტიკულად ცვლილებების გარეშე).

მაჩვენებლის ამოღება ლოგარითმიდან

ახლა ცოტა გავართულოთ დავალება. რა მოხდება, თუ არის ხარისხი ლოგარითმის ფუძეში ან არგუმენტში? მაშინ ამ ხარისხის მაჩვენებლის ამოღება შესაძლებელია ლოგარითმის ნიშნიდან შემდეგი წესების მიხედვით:

ადვილი მისახვედრია, რომ ბოლო წესი მათ პირველ ორს მიჰყვება. მაგრამ უმჯობესია დაიმახსოვროთ ის მაინც - ზოგიერთ შემთხვევაში ეს მნიშვნელოვნად შეამცირებს გამოთვლების რაოდენობას.

რა თქმა უნდა, ყველა ამ წესს აქვს აზრი, თუ დაცულია ODZ ლოგარითმი: ა > 0, ა ≠ 1, x> 0. და კიდევ ერთი: ისწავლეთ ყველა ფორმულის გამოყენება არა მარტო მარცხნიდან მარჯვნივ, არამედ პირიქით, ე.ი. თქვენ შეგიძლიათ შეიყვანოთ რიცხვები ლოგარითმის ნიშანამდე ლოგარითმში. ეს არის ის, რაც ყველაზე ხშირად საჭიროა.

დავალება. იპოვეთ გამოთქმის მნიშვნელობა: log 7 49 6 .

მოდით, თავი დავაღწიოთ ხარისხს არგუმენტში პირველი ფორმულის მიხედვით:
ჟურნალი 7 49 6 = 6 ჟურნალი 7 49 = 6 2 = 12

დავალება. იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა:

[სურათის წარწერა]

გაითვალისწინეთ, რომ მნიშვნელი არის ლოგარითმი, რომლის საფუძველი და არგუმენტი ზუსტი ხარისხებია: 16 = 2 4; 49 = 72. Ჩვენ გვაქვს:

[სურათის წარწერა]

ვფიქრობ, ბოლო მაგალითი საჭიროებს გარკვევას. სად წავიდა ლოგარითმები? ბოლო მომენტამდე ვმუშაობთ მხოლოდ მნიშვნელით. მათ იქ მდგარი ლოგარითმის საფუძველი და არგუმენტი გრადუსების სახით წარმოადგინეს და ინდიკატორები ამოიღეს - მიიღეს „სამსართულიანი“ წილადი.

ახლა გადავხედოთ ძირითად წილადს. მრიცხველსა და მნიშვნელს ერთი და იგივე რიცხვი აქვთ: log 2 7. ვინაიდან log 2 7 ≠ 0, შეგვიძლია შევამციროთ წილადი - 2/4 დარჩება მნიშვნელში. არითმეტიკის წესების მიხედვით, ოთხი შეიძლება გადავიდეს მრიცხველზე, რაც გაკეთდა. შედეგი არის პასუხი: 2.

გადასვლა ახალ საძირკველზე

ლოგარითმების შეკრებისა და გამოკლების წესებზე საუბრისას, მე კონკრეტულად ხაზგასმით აღვნიშნე, რომ ისინი მუშაობენ მხოლოდ ერთი და იგივე ფუძეებით. რა მოხდება, თუ ბაზები განსხვავებულია? რა მოხდება, თუ ისინი არ არიან იგივე რიცხვის ზუსტი სიმძლავრეები?

ახალ ბაზაზე გადასვლის ფორმულები სამაშველოში მოდის. ჩვენ ვაყალიბებთ მათ თეორემის სახით:

დაე, ლოგარითმი დარეგისტრირდეს ა x. შემდეგ ნებისმიერი ნომრისთვის გისეთივე როგორც გ> 0 და გ≠ 1, ტოლობა მართალია:

[სურათის წარწერა]

კერძოდ, თუ დავაყენებთ გ = x, ვიღებთ:

[სურათის წარწერა]

მეორე ფორმულიდან გამომდინარეობს, რომ შესაძლებელია ლოგარითმის ფუძისა და არგუმენტის გაცვლა, მაგრამ ამ შემთხვევაში მთელი გამოთქმა „გადატრიალებულია“, ე.ი. ლოგარითმი არის მნიშვნელში.

ეს ფორმულები იშვიათად გვხვდება ჩვეულებრივ ციფრულ გამონათქვამებში. მათი მოხერხებულობის შეფასება შესაძლებელია მხოლოდ ლოგარითმული განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნისას.

თუმცა არის ამოცანები, რომელთა გადაჭრაც საერთოდ შეუძლებელია, გარდა ახალ ფონდში გადასვლისა. განვიხილოთ რამდენიმე მათგანი:

დავალება. იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა: log 5 16 log 2 25.

გაითვალისწინეთ, რომ ორივე ლოგარითმის არგუმენტები ზუსტი მაჩვენებლებია. ამოვიღოთ ინდიკატორები: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; ჟურნალი 2 25 = ჟურნალი 2 5 2 = 2ლოგი 2 5;

ახლა გადავატრიალოთ მეორე ლოგარითმი:

[სურათის წარწერა]

ვინაიდან პროდუქტი არ იცვლება ფაქტორების პერმუტაციისგან, ჩვენ მშვიდად გავამრავლეთ ოთხი და ორი და შემდეგ გავარკვიეთ ლოგარითმები.

დავალება. იპოვეთ გამოთქმის მნიშვნელობა: log 9 100 lg 3.

პირველი ლოგარითმის საფუძველი და არგუმენტი ზუსტი სიმძლავრეებია. მოდით ჩამოვწეროთ და მოვიშოროთ ინდიკატორები:

[სურათის წარწერა]

ახლა მოდით დავაღწიოთ ათობითი ლოგარითმი ახალ ბაზაზე გადასვლით:

[სურათის წარწერა]

ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა

ხშირად ამოხსნის პროცესში საჭიროა რიცხვის ლოგარითმის სახით წარმოდგენა მოცემულ ფუძეზე. ამ შემთხვევაში ფორმულები დაგვეხმარება:

პირველ შემთხვევაში, ნომერი ნხდება არგუმენტის გამომხატველი. ნომერი ნშეიძლება იყოს აბსოლუტურად ნებისმიერი, რადგან ეს მხოლოდ ლოგარითმის მნიშვნელობაა.

მეორე ფორმულა რეალურად არის პერიფრაზირებული განმარტება. მას ეწოდება ძირითადი ლოგარითმული იდენტობა.

მართლაც, რა მოხდება, თუ ნომერი ბძალაუფლებაზე აყვანა ისე, რომ ბამ ზომით იძლევა რიცხვს ა? მართალია: ეს იგივე რიცხვია ა. კიდევ ერთხელ ყურადღებით წაიკითხეთ ეს აბზაცი - მასზე ბევრი ადამიანი "ჰკიდია".

ახალი ბაზის კონვერტაციის ფორმულების მსგავსად, ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა ზოგჯერ ერთადერთი შესაძლო გამოსავალია.

დავალება. იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა:

[სურათის წარწერა]

გაითვალისწინეთ, რომ log 25 64 = log 5 8 - უბრალოდ ამოიღო კვადრატი ფუძიდან და ლოგარითმის არგუმენტი. იმავე ფუძით ძალაუფლების გამრავლების წესების გათვალისწინებით, მივიღებთ:

[სურათის წარწერა]

თუ ვინმემ არ იცის, ეს იყო ნამდვილი დავალება გამოცდიდან :)

ლოგარითმული ერთეული და ლოგარითმული ნული

დასასრულს, მე მივცემ ორ იდენტობას, რომლებსაც ძნელია უწოდო თვისებები - უფრო მეტიც, ეს არის შედეგები ლოგარითმის განმარტებიდან. ისინი გამუდმებით პრობლემებში ხვდებიან და რა გასაკვირია, პრობლემებს უქმნიან თუნდაც „მოწინავე“ მოსწავლეებს.

1. ჟურნალი ა ა= 1 არის ლოგარითმული ერთეული. ერთხელ და სამუდამოდ დაიმახსოვრეთ: ლოგარითმი ნებისმიერ ბაზაზე აამ ფუძიდან თავად უდრის ერთს.
2. ჟურნალი ა 1 = 0 არის ლოგარითმული ნული. ბაზა აშეიძლება იყოს ნებისმიერი, მაგრამ თუ არგუმენტი ერთია, ლოგარითმი არის ნული! რადგან ა 0 = 1 არის განმარტების პირდაპირი შედეგი.

ეს არის ყველა თვისება. დარწმუნდით, რომ ივარჯიშეთ მათ პრაქტიკაში! ჩამოტვირთეთ მოტყუების ფურცელი გაკვეთილის დასაწყისში, ამობეჭდეთ და მოაგვარეთ პრობლემები.

დავიწყოთ იმით ერთიანობის ლოგარითმის თვისებები. მისი ფორმულირება ასეთია: ერთიანობის ლოგარითმი ნულის ტოლია, ანუ შესვლა a 1=0ნებისმიერი a>0, a≠1. მტკიცებულება მარტივია: ვინაიდან a 0 =1 ნებისმიერი a-სთვის, რომელიც აკმაყოფილებს ზემოაღნიშნულ პირობებს a>0 და a≠1, მაშინ დადასტურებული ტოლობის ჟურნალი a 1=0 დაუყოვნებლივ გამომდინარეობს ლოგარითმის განმარტებიდან.

მოვიყვანოთ განხილული თვისების გამოყენების მაგალითები: log 3 1=0 , lg1=0 და .

გადავიდეთ შემდეგ ქონებაზე: ფუძის ტოლი რიცხვის ლოგარითმი ერთის ტოლია, ე.ი. შესვლა a=1 a>0, a≠1-ისთვის. მართლაც, ვინაიდან a 1 =a ნებისმიერი a-სთვის, მაშინ ლოგარითმის განმარტებით log a=1.

ლოგარითმების ამ თვისების გამოყენების მაგალითებია log 5 5=1 , log 5.6 5.6 და lne=1 .

მაგალითად, log 2 2 7 =7 , log10 -4 =-4 და .

ორი დადებითი რიცხვის ნამრავლის ლოგარითმი x და y ტოლია ამ რიცხვების ლოგარითმების ნამრავლის: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 . მოდით დავამტკიცოთ პროდუქტის ლოგარითმის თვისება. ხარისხის თვისებებიდან გამომდინარე a log a x+log a y =a log a x a log a yდა რადგან მთავარი ლოგარითმული იდენტობით log a x =x და log a y =y, მაშინ log a x a log a y =x y. ამრიგად, log a x+log a y =x y, საიდანაც საჭირო ტოლობა მოჰყვება ლოგარითმის განმარტებას.

ვაჩვენოთ ნამრავლის ლოგარითმის თვისების გამოყენების მაგალითები: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 და .

ნამრავლის ლოგარითმის თვისება შეიძლება განზოგადდეს x 1 , x 2 , ..., x n დადებითი რიცხვების სასრული რიცხვის n ნამრავლზე, როგორც log a (x 1 x 2 ... x n)= log a x 1 + log a x 2 +…+ log a x n . ეს თანასწორობა ადვილად დასტურდება.

მაგალითად, პროდუქტის ბუნებრივი ლოგარითმი შეიძლება შეიცვალოს 4, e და ნომრების სამი ბუნებრივი ლოგარითმის ჯამით.

ორი დადებითი რიცხვის კოეფიციენტის ლოგარითმი x და y უდრის სხვაობას ამ რიცხვების ლოგარითმებს შორის. კოეფიციენტის ლოგარითმის თვისება შეესაბამება ფორმის ფორმულას, სადაც a>0, a≠1, x და y არის რამდენიმე დადებითი რიცხვი. ამ ფორმულის მართებულობა დადასტურებულია, როგორც პროდუქტის ლოგარითმის ფორმულა: ვინაიდან , შემდეგ ლოგარითმის განმარტებით .

აქ მოცემულია ლოგარითმის ამ თვისების გამოყენების მაგალითი: .

მოდით გადავიდეთ ხარისხის ლოგარითმის თვისება. გრადუსის ლოგარითმი ტოლია ამ ხარისხის მაჩვენებლისა და ამ ხარისხის ფუძის მოდულის ნამრავლის. ჩვენ ვწერთ ხარისხის ლოგარითმის ამ თვისებას ფორმულის სახით: log a b p =p log a |b|, სადაც a>0, a≠1, b და p ისეთი რიცხვებია, რომ b p-ის ხარისხი აქვს აზრი და b p >0.

ჩვენ ჯერ ვამტკიცებთ ამ თვისებას დადებითი b-ისთვის. ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა გვაძლევს საშუალებას გამოვსახოთ რიცხვი b, როგორც log a b , შემდეგ b p =(a log a b) p , და მიღებული გამოხატულება, ძალაუფლების თვისების გამო, უდრის p log a b . ასე რომ, მივდივართ ტოლობამდე b p =a p log a b , საიდანაც ლოგარითმის განმარტებით ვასკვნით, რომ log a b p =p log a b .

რჩება ამ თვისების დამტკიცება უარყოფითი b-ისთვის. აქვე აღვნიშნავთ, რომ გამოთქმა log a b p უარყოფითი b-ისთვის აზრი აქვს მხოლოდ p ლუწი მაჩვენებლებს (რადგან b ხარისხის b p მნიშვნელობა უნდა იყოს ნულზე მეტი, წინააღმდეგ შემთხვევაში ლოგარითმი აზრი არ ექნება) და ამ შემთხვევაში b p =|b| გვ . მერე b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p log a |b|, საიდანაც log a b p =p log a |b| .

Მაგალითად, და ln(-3) 4 =4 ln|-3|=4 ln3.

ეს გამომდინარეობს წინა საკუთრებიდან ლოგარითმის თვისება ფესვიდან: n-ე ხარისხის ფესვის ლოგარითმი ტოლია წილადის 1/n ნამრავლისა და ძირეული გამოხატვის ლოგარითმის, ანუ, , სადაც a>0 , a≠1 , n არის ერთზე მეტი ნატურალური რიცხვი, b>0 .

მტკიცებულება ემყარება ტოლობას (იხ.), რომელიც მოქმედებს ნებისმიერი დადებითი b , და ხარისხის ლოგარითმის თვისებაზე: .

აქ მოცემულია ამ ქონების გამოყენების მაგალითი: .

ახლა დავამტკიცოთ კონვერტაციის ფორმულა ლოგარითმის ახალ ბაზაზეკეთილი . ამისათვის საკმარისია დავამტკიცოთ ტოლობის log c b=log a b log c a . ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა გვაძლევს საშუალებას გამოვსახოთ რიცხვი b როგორც log a b , შემდეგ log c b=log c a log a b . რჩება ხარისხის ლოგარითმის თვისების გამოყენება: log c a log a b = log a b log c a. ამრიგად, დადასტურებულია ტოლობის log c b=log a b log c a, რაც ნიშნავს, რომ ასევე დადასტურებულია ლოგარითმის ახალ ბაზაზე გადასვლის ფორმულა.

მოდით ვაჩვენოთ ლოგარითმების ამ თვისების გამოყენების რამდენიმე მაგალითი: და .

ახალ ბაზაზე გადასვლის ფორმულა საშუალებას გაძლევთ გადახვიდეთ ლოგარითმებთან მუშაობაზე, რომლებსაც აქვთ "მოხერხებული" ბაზა. მაგალითად, ის შეიძლება გამოყენებულ იქნას ბუნებრივ ან ათობითი ლოგარითმებზე გადასართავად, რათა გამოთვალოთ ლოგარითმის მნიშვნელობა ლოგარითმების ცხრილიდან. ლოგარითმის ახალ ბაზაზე გადასვლის ფორმულა ასევე საშუალებას იძლევა ზოგიერთ შემთხვევაში იპოვოთ მოცემული ლოგარითმის მნიშვნელობა, როდესაც ცნობილია ზოგიერთი ლოგარითმის მნიშვნელობები სხვა ბაზებთან.

ხშირად გამოიყენება ფორმულის სპეციალური შემთხვევა ლოგარითმის ახალ ბაზაზე გადასვლისთვის ფორმის c=b . ეს აჩვენებს, რომ log a b და log b a – . Მაგალითად, .

ასევე ხშირად გამოიყენება ფორმულა , რომელიც სასარგებლოა ლოგარითმის მნიშვნელობების მოსაძებნად. ჩვენი სიტყვების დასადასტურებლად, ჩვენ ვაჩვენებთ, თუ როგორ გამოითვლება ფორმის ლოგარითმის მნიშვნელობა მისი გამოყენებით. Ჩვენ გვაქვს . ფორმულის დასამტკიცებლად საკმარისია გამოვიყენოთ გადასვლის ფორმულა ლოგარითმის ახალ ბაზაზე a: .

რჩება ლოგარითმების შედარების თვისებების დამტკიცება.

დავამტკიცოთ, რომ ნებისმიერი დადებითი რიცხვისთვის b 1 და b 2 , b 1 log a b 2, ხოლო a>1-სთვის, უტოლობა log a b 1

და ბოლოს, რჩება ლოგარითმების ჩამოთვლილი თვისებებიდან ბოლო დასამტკიცებლად. ჩვენ შემოვიფარგლებით მისი პირველი ნაწილის დამტკიცებით, ანუ ვამტკიცებთ, რომ თუ a 1 >1 , a 2 >1 და a 1 1 მართალია log a 1 b>log a 2 b . ლოგარითმების ამ თვისების დარჩენილი დებულებები დასტურდება მსგავსი პრინციპით.

გამოვიყენოთ საპირისპირო მეთოდი. დავუშვათ, რომ 1 >1, 2 >1 და 1-ისთვის 1 log a 1 b≤log a 2 b მართალია. ლოგარითმების თვისებების მიხედვით, ეს უტოლობები შეიძლება გადაიწეროს როგორც და შესაბამისად, და მათგან გამომდინარეობს, რომ log b a 1 ≤log b a 2 და log b a 1 ≥log b a 2, შესაბამისად. შემდეგ, იგივე საფუძვლების მქონე ხარისხების თვისებების მიხედვით, ტოლობები b log b a 1 ≥b log b a 2 და b log b a 1 ≥b log b a 2 უნდა დაკმაყოფილდეს, ანუ a 1 ≥a 2 . ამრიგად, ჩვენ მივედით წინააღმდეგობაში a 1 პირობასთან

ბიბლიოგრაფია.

• კოლმოგოროვი A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. და სხვა.ალგებრა და ანალიზის საწყისები: სახელმძღვანელო ზოგადსაგანმანათლებლო დაწესებულებების 10-11 კლასებისთვის.
• გუსევი V.A., Mordkovich A.G. მათემატიკა (სახელმძღვანელო ტექნიკური სასწავლებლების მსურველთათვის).