წრიული მარშრუტის წერტილი მოტოციკლმა დატოვა. როგორ გადავჭრათ მოძრაობის პრობლემები

სექციები: მათემატიკა

სტატიაში განხილულია ამოცანები, რათა დაეხმაროს მოსწავლეებს: განუვითარდეთ ტექსტური ამოცანების ამოხსნის უნარები ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის მოსამზადებლად, სწავლების ამოცანების ამოხსნა ძირითადი და საშუალო სკოლების ყველა პარალელურად რეალური სიტუაციების მათემატიკური მოდელის შედგენისთვის. მასში წარმოდგენილია ამოცანები: წრეში მოძრაობისთვის; მოძრავი საგნის სიგრძის პოვნა; რომ იპოვოთ საშუალო სიჩქარე.

I. წრეში მოძრაობის ამოცანები.

წრეწირის ამოცანები ბევრი მოსწავლისთვის რთული აღმოჩნდა. ისინი წყდება თითქმის ისევე, როგორც გადაადგილების ჩვეულებრივი პრობლემები. ისინი ასევე იყენებენ ფორმულას. მაგრამ არის წერტილი, რომელსაც ჩვენ ვაქცევთ ყურადღებას.

დავალება 1.ველოსიპედისტმა წრიული ტრასის A წერტილი დატოვა და 30 წუთის შემდეგ მოტოციკლისტი მიჰყვა მას. გამგზავრებიდან 10 წუთის შემდეგ პირველად დაეწია ველოსიპედისტს, 30 წუთის შემდეგ კი მეორედ. იპოვეთ მოტოციკლისტის სიჩქარე, თუ ბილიკის სიგრძე 30 კმ-ია. გაეცით პასუხი კმ/სთ-ში.

გადაწყვეტილება.მონაწილეთა სიჩქარე იქნება მიღებული როგორც Xკმ/სთ და y კმ/სთ. პირველად მოტოციკლისტმა ველოსიპედისტს 10 წუთის შემდეგ, ანუ დაწყებიდან ერთი საათის შემდეგ გადაუსწრო. ამ მომენტამდე ველოსიპედისტი გზაზე 40 წუთია, ანუ საათი, მოძრაობის მონაწილეებმა იგივე მანძილი გაიარეს, ანუ y = x. მოდი მონაცემები ჩავწეროთ ცხრილში.

ცხრილი 1

შემდეგ მოტოციკლისტმა ველოსიპედისტს მეორედ გაუსწრო. ეს მოხდა 30 წუთის შემდეგ, ანუ პირველი გასწრებიდან ერთი საათის შემდეგ. რა მანძილი გაიარეს? მოტოციკლისტმა ველოსიპედისტს გაუსწრო. და ეს ნიშნავს, რომ მან ერთი წრე მეტი გაიარა. ეს ის მომენტია

რომელსაც ყურადღება უნდა მიაქციოთ. ერთი წრე არის ტრასის სიგრძე, ის უდრის 30 კმ-ს. შევქმნათ სხვა ცხრილი.

ცხრილი 2

ვიღებთ მეორე განტოლებას: y - x = 30. გვაქვს განტოლებათა სისტემა: პასუხში მივუთითებთ მოტოციკლისტის სიჩქარეს.

პასუხი: 80 კმ/სთ.

ამოცანები (დამოუკიდებლად).

I.1.1. ველოსიპედისტმა დატოვა წრიული ტრასის „A“ წერტილი და 40 წუთის შემდეგ მას მოტოციკლისტი გაჰყვა. გამგზავრებიდან 10 წუთში ის პირველად დაეწია ველოსიპედისტს, 36 წუთის შემდეგ კი მეორედ. იპოვეთ მოტოციკლისტის სიჩქარე, თუ ბილიკის სიგრძე 36 კმ-ია. გაეცით პასუხი კმ/სთ-ში.

I.1. 2. ველოსიპედისტმა დატოვა წრიული ტრასის „A“ წერტილი და 30 წუთის შემდეგ მას მოტოციკლისტი გაჰყვა. გამგზავრებიდან 8 წუთის შემდეგ პირველად დაეწია ველოსიპედისტს, 12 წუთის შემდეგ კი მეორედ. იპოვეთ მოტოციკლისტის სიჩქარე, თუ ბილიკის სიგრძე 15 კმ-ია. გაეცით პასუხი კმ/სთ-ში.

I.1. 3. ველოსიპედისტმა დატოვა წრიული ტრასის „A“ წერტილი და 50 წუთის შემდეგ მას მოტოციკლისტი გაჰყვა. გამგზავრებიდან 10 წუთის შემდეგ პირველად დაეწია ველოსიპედისტს, 18 წუთის შემდეგ კი მეორედ. იპოვეთ მოტოციკლისტის სიჩქარე, თუ ბილიკის სიგრძე 15 კმ-ია. გაეცით პასუხი კმ/სთ-ში.

ორი მოტოციკლისტი ერთდროულად იწყება ერთი მიმართულებით წრიული ბილიკის ორი დიამეტრულად საპირისპირო წერტილიდან, რომლის სიგრძე 20 კმ-ია. რამდენ წუთში დაიჭერენ მოტოციკლისტები პირველად, თუ ერთი მათგანის სიჩქარე 15 კმ/სთ-ით მეტია მეორის სიჩქარეზე?

გადაწყვეტილება.

სურათი 1

ერთდროული სტარტით "A"-დან დაწყებულმა მხედარმა ნახევარი წრე მეტი გაიარა, რომელმაც "B"-დან დაიწყო. ანუ 10 კმ. როდესაც ორი მოტოციკლისტი მოძრაობს იმავე მიმართულებით, ამოღების სიჩქარე არის v = -. პრობლემის პირობის მიხედვით, v= 15 კმ/სთ = კმ/წთ = კმ/წთ არის ამოღების სიჩქარე. ჩვენ ვპოულობთ დროს, რომლის შემდეგაც მოტოციკლისტები პირველად იჭერენ წინ.

10: = 40 (წთ).

პასუხი: 40 წთ.

ამოცანები (დამოუკიდებლად).

I.2.1. ორი მოტოციკლისტი ერთდროულად იწყება ერთი მიმართულებით წრიული ბილიკის ორი დიამეტრულად საპირისპირო წერტილიდან, რომლის სიგრძე 27 კმ-ია. რამდენ წუთში დაიჭერენ მოტოციკლისტები პირველად, თუ ერთი მათგანის სიჩქარე 27 კმ/სთ-ით მეტია მეორის სიჩქარეზე?

I.2.2. ორი მოტოციკლისტი ერთდროულად იწყება ერთი მიმართულებით წრიული ბილიკის ორი დიამეტრულად საპირისპირო წერტილიდან, რომლის სიგრძეა 6 კმ. რამდენ წუთში დაიჭერენ მოტოციკლისტები პირველად, თუ ერთი მათგანის სიჩქარე 9 კმ/სთ-ით მეტია მეორის სიჩქარეზე?

წრიული ლიანდაგის ერთი წერტილიდან, რომლის სიგრძე 8 კმ-ია, ორი მანქანა ერთდროულად დაიძრა იმავე მიმართულებით. პირველი მანქანის სიჩქარე 89 კმ/სთ-ია, დაწყებიდან 16 წუთის შემდეგ კი მეორე მანქანას ერთი წრე უსწრებდა. იპოვნეთ მეორე მანქანის სიჩქარე. გაეცით პასუხი კმ/სთ-ში.

გადაწყვეტილება.

x კმ/სთ არის მეორე მანქანის სიჩქარე.

(89 - x) კმ/სთ - მოხსნის სიჩქარე.

8 კმ - წრიული ტრასის სიგრძე.

განტოლება.

(89 - x) = 8,

89 - x \u003d 2 15,

პასუხი: 59 კმ/სთ

ამოცანები (დამოუკიდებლად).

I.3.1. წრიული ლიანდაგის ერთი წერტილიდან, რომლის სიგრძე 12 კმ-ია, ორი მანქანა ერთდროულად დაიძრა ერთი და იმავე მიმართულებით. პირველი მანქანის სიჩქარე 103 კმ/სთ-ია, დაწყებიდან 48 წუთის შემდეგ კი მეორე მანქანას ერთი წრე უსწრებდა. იპოვნეთ მეორე მანქანის სიჩქარე. გაეცით პასუხი კმ/სთ-ში.

I.3.2. წრიული ლიანდაგის ერთი წერტილიდან, რომლის სიგრძე 6 კმ-ია, ორი მანქანა ერთდროულად დაიძრა ერთი და იმავე მიმართულებით. პირველი მანქანის სიჩქარე 114 კმ/სთ-ია, დაწყებიდან 9 წუთის შემდეგ კი მეორე მანქანას ერთი წრე უსწრებდა. იპოვნეთ მეორე მანქანის სიჩქარე. გაეცით პასუხი კმ/სთ-ში.

I.3.3. წრიული ლიანდაგის ერთი წერტილიდან, რომლის სიგრძე 20 კმ-ია, ორი მანქანა ერთდროულად დაიძრა ერთი და იმავე მიმართულებით. პირველი მანქანის სიჩქარე 105 კმ/სთ-ია, დაწყებიდან 48 წუთის შემდეგ კი მეორე მანქანას ერთი წრე უსწრებდა. იპოვნეთ მეორე მანქანის სიჩქარე. გაეცით პასუხი კმ/სთ-ში.

I.3.4. წრიული ლიანდაგის ერთი წერტილიდან, რომლის სიგრძე 9 კმ-ია, ორი მანქანა ერთდროულად დაიძრა ერთი და იმავე მიმართულებით. პირველი მანქანის სიჩქარე 93 კმ/სთ-ია, დაწყებიდან 15 წუთის შემდეგ კი მეორე მანქანას ერთი წრე უსწრებდა. იპოვნეთ მეორე მანქანის სიჩქარე. გაეცით პასუხი კმ/სთ-ში.

საათი ისრებით აჩვენებს 8:00 საათს. რამდენი წუთის შემდეგ მეოთხედ გასწორდება წუთის ისარი საათის ისრთან?

გადაწყვეტილება. ჩვენ ვვარაუდობთ, რომ პრობლემას ექსპერიმენტულად არ გადავჭრით.

ერთ საათში წუთის ისარი ერთ წრეზე გადის, ხოლო საათის ნაწილი წრის. დაე მათი სიჩქარე იყოს 1 (წრო საათში) და დასაწყისი - 8:00 საათზე. იპოვნეთ დრო, რომელიც სჭირდება წუთიან ისარს, რომ პირველად გაასწროს საათის ისარი.

წუთის ისარი უფრო შორს წავა, ასე რომ, ჩვენ ვიღებთ განტოლებას

ასე რომ, პირველად, ისრები რიგდება

ნება მიეცით ისრები მეორედ გასწორდეს z დროის შემდეგ. წუთის ისარი გაივლის 1 z მანძილს, ხოლო საათის ისარი კიდევ ერთ წრეს. დავწეროთ განტოლება:

მისი გადაჭრით, ჩვენ ამას მივიღებთ.

ასე რომ, ისრების მეშვეობით ისინი მეორედ გადიან, მეორე - მესამედ და კიდევ - მეოთხედ.

მაშასადამე, თუ დასაწყისი 8.00 საათზე იყო, მაშინ ისრები მეოთხედ რიგდებიან

4სთ = 60 * 4 წთ = 240 წთ.

პასუხი: 240 წუთი.

ამოცანები (დამოუკიდებლად).

I.4.1 საათი ისრებით აჩვენებს 4 საათს 45 წუთს. რამდენი წუთის შემდეგ წუთების ისარი მეშვიდედ გაუსწორდება საათის მაჩვენებელს?

I.4.2 საათი ისრებით აჩვენებს ზუსტად 2 საათს. რამდენ წუთში გასწორდება წუთის ისარი მეათეჯერ?

I.4.3. საათი ისრებით აჩვენებს 8 საათსა 20 წუთს. რამდენი წუთის შემდეგ მეოთხედ გასწორდება წუთის ისარი საათის ისრთან? მეოთხე

II. მოძრავი საგნის სიგრძის პოვნის პრობლემები.

80 კმ/სთ ერთიანი სიჩქარით მოძრავი მატარებელი გზისპირა პუნქტს 36 წამში გადის. იპოვეთ მატარებლის სიგრძე მეტრებში.

გადაწყვეტილება. ვინაიდან მატარებლის სიჩქარე საათებშია მითითებული, ჩვენ წამებს საათებად გადავიყვანთ.

1) 36 წმ =

2) იპოვნეთ მატარებლის სიგრძე კილომეტრებში.

80

პასუხი: 800 მ.

ამოცანები (დამოუკიდებლად).

II.2 ერთნაირად მოძრავი მატარებელი 60 კმ/სთ სიჩქარით, გზისპირა პოსტს გადის 69 წმ-ში. იპოვეთ მატარებლის სიგრძე მეტრებში. პასუხი: 1150 მ.

II.3. მატარებელი, რომელიც ერთნაირად მოძრაობს 60 კმ/სთ სიჩქარით, 1 წთ 21 წამში გადის 200 მ სიგრძის ტყის სარტყელს. იპოვეთ მატარებლის სიგრძე მეტრებში. პასუხი: 1150 მ.

III. დავალებები საშუალო სიჩქარისთვის.

მათემატიკის გამოცდაზე შეიძლება შეგხვდეთ საშუალო სიჩქარის პოვნის პრობლემა. უნდა გვახსოვდეს, რომ საშუალო სიჩქარე არ არის სიჩქარის საშუალო არითმეტიკული ტოლი. საშუალო სიჩქარე გამოითვლება სპეციალური ფორმულით:

თუ გზის ორი მონაკვეთი იყო, მაშინ .

მანძილი ორ სოფელს შორის 18 კმ-ია. ველოსიპედისტი ერთი სოფლიდან მეორეში 2 საათის განმავლობაში მოგზაურობდა და იმავე გზაზე 3 საათის განმავლობაში ბრუნდებოდა. რა არის ველოსიპედისტის საშუალო სიჩქარე მთელი მოგზაურობისთვის?

გადაწყვეტილება:

2 საათი + 3 საათი = 5 საათი - დახარჯულია მთელ მოძრაობაზე,

.

ტურისტი დადიოდა 4 კმ/სთ სიჩქარით, შემდეგ ზუსტად იმავე დროს 5 კმ/სთ სიჩქარით. რა არის მოგზაურობის საშუალო სიჩქარე მთელი მოგზაურობისთვის?

ტურისტმა თ სთ 4 კმ/სთ სიჩქარით იაროს და ტ სთ 5 კმ/სთ სიჩქარით. შემდეგ 2ტ სთ-ში მან იმოგზაურა 4t + 5t = 9t (კმ). ტურისტის საშუალო სიჩქარე = 4,5 (კმ/სთ).

პასუხი: 4,5 კმ/სთ.

ვამჩნევთ, რომ ტურისტის საშუალო სიჩქარე ამ ორი სიჩქარის საშუალო არითმეტიკულის ტოლი აღმოჩნდა. ჩანს, რომ თუ გზის ორ მონაკვეთზე მოძრაობის დრო ერთნაირია, მაშინ მოძრაობის საშუალო სიჩქარე უდრის მოცემული ორი სიჩქარის საშუალო არითმეტიკულს. ამისათვის ჩვენ ვხსნით იგივე პრობლემას ზოგადი ფორმით.

ტურისტი დადიოდა კმ/სთ სიჩქარით, შემდეგ ზუსტად იმავე დროს კმ/სთ სიჩქარით. რა არის მოგზაურობის საშუალო სიჩქარე მთელი მოგზაურობისთვის?

ტურისტმა თ სთ კმ/სთ სიჩქარით იაროს და ტ სთ კმ/სთ სიჩქარით. შემდეგ 2t საათში მან იმოგზაურა t + t = t (კმ). ტურისტის მოგზაურობის საშუალო სიჩქარე არის

= (კმ/სთ).

მანქანამ გარკვეული მანძილი აღმართზე 42 კმ/სთ სიჩქარით გაიარა, ხოლო დაღმართზე 56 კმ/სთ სიჩქარით.

.

მოძრაობის საშუალო სიჩქარეა 2 წმ: (კმ/სთ).

პასუხი: 48 კმ/სთ.

მანქანამ აღმართზე გარკვეული მანძილი კმ/სთ სიჩქარით გაიარა, დაღმართზე კი კმ/სთ სიჩქარით.

რა არის მანქანის საშუალო სიჩქარე მთელი მოგზაურობისთვის?

ბილიკის სეგმენტის სიგრძე უდრის s კმ-ს. შემდეგ მანქანამ ორივე მიმართულებით 2 ს კმ გაიარა და მთელი გზა გაატარა .

მოძრაობის საშუალო სიჩქარეა 2 წმ: (კმ/სთ).

პასუხი: კმ/სთ.

განვიხილოთ პრობლემა, რომელშიც მოცემულია საშუალო სიჩქარე და უნდა განისაზღვროს ერთ-ერთი სიჩქარე. განტოლება საჭიროა.

ველოსიპედისტი აღმართზე მიდიოდა 10 კმ/სთ სიჩქარით, ხოლო დაღმართზე სხვა მუდმივი სიჩქარით. როგორც მან გამოთვალა, მოძრაობის საშუალო სიჩქარე 12 კმ/სთ-ს უდრიდა.

.

III.2. გზაზე გატარებული დროის ნახევარი მანქანა 60 კმ/სთ სიჩქარით მოძრაობდა, ხოლო მეორე ნახევარი – 46 კმ/სთ სიჩქარით. იპოვნეთ მანქანის საშუალო სიჩქარე მთელი მოგზაურობისთვის.

III.3 ერთი სოფლიდან მეორეში მიმავალ გზაზე მანქანამ გარკვეული პერიოდი მოძრაობდა 60 კმ/სთ სიჩქარით, შემდეგ ზუსტად იმავე დროს 40 კმ/სთ სიჩქარით, შემდეგ ზუსტად იმავე დროს სიჩქარე, რომელიც უდრის საშუალო სიჩქარეს მოგზაურობის პირველ ორ მონაკვეთზე. რა არის საშუალო სიჩქარე მთელი მოგზაურობისას ერთი სოფლიდან მეორეში?

III.4. ველოსიპედისტი სახლიდან სამუშაომდე მიდის საშუალო სიჩქარით 10 კმ/სთ, უკან კი საშუალო სიჩქარით 15 კმ/სთ, რადგან გზა ოდნავ დაღმართია. იპოვეთ ველოსიპედისტის საშუალო სიჩქარე სახლიდან სამსახურამდე და უკან.

III.5. მანქანა A წერტილიდან B წერტილამდე ცარიელი მოძრაობდა მუდმივი სიჩქარით და იმავე გზის გასწვრივ დაბრუნდა დატვირთვით 60 კმ/სთ სიჩქარით. რა სიჩქარით იმოგზაურა ცარიელი, თუ საშუალო სიჩქარე იყო 70 კმ/სთ?.

III.6. მანქანამ პირველი 100 კმ გაიარა 50 კმ/სთ სიჩქარით, მომდევნო 120 კმ 90 კმ/სთ სიჩქარით, შემდეგ კი 120 კმ 100 კმ/სთ სიჩქარით. იპოვნეთ მანქანის საშუალო სიჩქარე მთელი მოგზაურობისთვის.

III.7. მანქანამ პირველი 100 კმ გაიარა 50 კმ/სთ სიჩქარით, მომდევნო 140 კმ 80 კმ/სთ სიჩქარით, შემდეგ კი 150 კმ 120 კმ/სთ სიჩქარით. იპოვნეთ მანქანის საშუალო სიჩქარე მთელი მოგზაურობისთვის.

III.8. მანქანამ პირველი 150 კმ გაიარა 50 კმ/სთ სიჩქარით, მომდევნო 130 კმ 60 კმ/სთ სიჩქარით, შემდეგ კი 120 კმ 80 კმ/სთ სიჩქარით. იპოვნეთ მანქანის საშუალო სიჩქარე მთელი მოგზაურობისთვის.

III. 9. მანქანამ პირველი 140 კმ გაიარა 70 კმ/სთ სიჩქარით, მომდევნო 120 კმ 80 კმ/სთ სიჩქარით, შემდეგ 180 კმ 120 კმ/სთ სიჩქარით. იპოვნეთ მანქანის საშუალო სიჩქარე მთელი მოგზაურობისთვის.

გამოქვეყნებულია 23.03.2018


ველოსიპედისტმა წრიული ტრასის A წერტილი დატოვა.

30 წუთის შემდეგ ის ჯერ არ იყო დაბრუნებული A წერტილში და A წერტილიდან მოტოციკლისტი გაჰყვა. გამგზავრებიდან 10 წუთის შემდეგ, ის პირველად დაეწია ველოსიპედისტს,

და 30 წუთის შემდეგ მეორედ დაეწია მას.

იპოვეთ მოტოციკლისტის სიჩქარე, თუ ბილიკის სიგრძე 30 კმ-ია.

გაეცით პასუხი კმ/სთ-ში

მათემატიკის პრობლემა

განათლება

პასუხი

კომენტარი

ფავორიტებისკენ

სვეტლ-ანა02-02

23 საათის წინ

თუ მდგომარეობა სწორად გავიგე, მოტოციკლისტი ველოსიპედის სტარტის დაწყებიდან ნახევარ საათში წავიდა. ამ შემთხვევაში გამოსავალი ასე გამოიყურება.

ველოსიპედისტი იმავე მანძილს გადის 40 წუთში, ხოლო მოტოციკლისტი 10 წუთში, ასე რომ, მოტოციკლისტის სიჩქარე ოთხჯერ აღემატება ველოსიპედისტს.

დავუშვათ, რომ ველოსიპედისტი მოძრაობს x კმ/სთ სიჩქარით, მაშინ მოტოციკლისტის სიჩქარე არის 4x კმ/სთ. მეორე შეხვედრამდე, (1/2 + 1/2 + 1/6) = 7/6 საათი ველოსიპედისტის დაწყებიდან და (1/2 + 1/6) = 4/6 საათი მოტოციკლისტის დაწყებიდან. გაივლის. მეორე შეხვედრის მომენტისთვის ველოსიპედისტი გაივლის (7x/6) კმ, ხოლო მოტოციკლისტს - (16x/6) კმ, ველოსიპედისტს ერთი წრე გაუსწრებს, ე.ი. მგზავრობა 30 კმ მეტი. ჩვენ ვიღებთ განტოლებას.

16x/6 - 7x/6 = 30, საიდანაც

ასე რომ, ველოსიპედისტი მოძრაობდა 20 კმ/სთ სიჩქარით, რაც ნიშნავს, რომ მოტოციკლისტი მოძრაობდა (4*20) = 80 კმ/სთ სიჩქარით.

უპასუხე. მოტოციკლისტის სიჩქარე 80 კმ/სთ-ია.

კომენტარი

ფავორიტებისკენ

მადლობის გადახდა

ვდტეს-ტ

22 საათის წინ

თუ ხსნარი არის კმ/სთ, მაშინ დრო უნდა იყოს გამოხატული საათებში.

აღნიშნეთ

v ველოსიპედისტის სიჩქარე

მ მოტოციკლისტის სიჩქარე

A წერტილიდან ½ საათის შემდეგ მოტოციკლისტი მიჰყვა ველოსიპედისტს. გამგზავრებიდან ⅙ საათის შემდეგ, ის პირველად დაეწია ველოსიპედისტს

განტოლების სახით ვწერთ პირველ შეხვედრამდე გავლილ გზას:

და კიდევ ნახევარი საათის შემდეგ მოტოციკლისტი მას მეორედ დაეწია.

განტოლების სახით ვწერთ გზას, რომელიც გაიარა მეორე შეხვედრამდე:

ჩვენ ვხსნით ორ განტოლების სისტემას:

  • v/2+v/6=m/6
  • მ/2=30+ვ/2

    • გაამარტივეთ პირველი განტოლება (ორივე მხარის 6-ზე გამრავლებით):

    ჩაანაცვლეთ m მეორე განტოლებაში:

    ველოსიპედისტის სიჩქარე 20 კმ/სთ

    განსაზღვრეთ მოტოციკლისტის სიჩქარე

    პასუხი: მოტოციკლისტის სიჩქარე არის 80 კმ/სთ

    „დაწყებითი სკოლის მასწავლებელი“ - თემა. შმო დაწყებითი კლასების მასწავლებლების მუშაობის ანალიზი. შეიმუშავეთ ინდივიდუალური მარშრუტები, რომლებიც ხელს შეუწყობს მასწავლებლების პროფესიულ ზრდას. საგანმანათლებლო და მატერიალური ბაზის გაძლიერება. საორგანიზაციო და პედაგოგიური საქმიანობა. განაგრძეთ განათლებისა და აღზრდის ახალი ტექნოლოგიების, ფორმებისა და მეთოდების ძიება. დაწყებითი სკოლის მუშაობის მიმართულებები.

    „ახალგაზრდობა და არჩევნები“ - ახალგაზრდებში პოლიტიკური სამართლებრივი ცნობიერების განვითარება: ახალგაზრდობა და არჩევნები. სკოლებსა და საშუალო სპეციალიზებულ დაწესებულებებში პოლიტიკური სამართლებრივი ცნობიერების განვითარება: არჩევნებზე ახალგაზრდების მოზიდვის ღონისძიებების კომპლექსი. რატომ არ ვიღებთ ხმას? პოლიტიკური სამართლებრივი ცნობიერების განვითარება სკოლამდელ საგანმანათლებლო დაწესებულებებში:

    "ავღანეთის ომი 1979-1989" - საბჭოთა ხელმძღვანელობამ ავღანეთში ახალი პრეზიდენტი ბაბრაკ კარმალი მოიყვანა. ომის შედეგები. საბჭოთა-ავღანეთის ომი 1979-1989 წწ 1989 წლის 15 თებერვალს ავღანეთიდან ბოლო საბჭოთა ჯარები გაიყვანეს. ომის მიზეზი. ავღანეთის ტერიტორიიდან საბჭოთა არმიის გაყვანის შემდეგ, პრეზიდენტ ნაჯიბულას პროსაბჭოთა რეჟიმი გაგრძელდა კიდევ 3 წელი და, დაკარგა რუსეთის მხარდაჭერა, დამხობა 1992 წლის აპრილში მოჯაჰედების მეთაურებმა.

    „ნატურალური რიცხვების გაყოფის ნიშნები“ - აქტუალობა. პასკალის ნიშანი. რიცხვების 6-ზე გაყოფის ნიშანი. რიცხვების 8-ზე გაყოფის ნიშანი. რიცხვების 27-ზე გაყოფის ნიშანი. რიცხვების 19-ზე გაყოფის ნიშანი. რიცხვების 13-ზე გაყოფის ნიშანი. გაყოფის ნიშნების ამოცნობა. როგორ ვისწავლოთ გამოთვლა სწრაფად და სწორად. რიცხვთა გაყოფის ნიშანი 25-ზე რიცხვების გაყოფის ნიშანი 23-ზე.

    "ბუტლეროვის თეორია" - თეორიის შექმნის წინაპირობა იყო: იზომერიზმი-. ორგანული ნივთიერებების სტრუქტურის თეორიის ღირებულება. მოლეკულების სივრცითი სტრუქტურის მეცნიერება არის სტერეოქიმია. ნივთიერებების ქიმიური სტრუქტურის თეორიის შექმნის როლი. გაეცანით A.M. Butlerov-ის ქიმიური სტრუქტურის თეორიის ძირითად დებულებებს. ნაერთების სტრუქტურის თანამედროვე თეორიის მთავარი პოზიცია.

    „შეჯიბრი მათემატიკაში სკოლის მოსწავლეებისთვის“ - მათემატიკური ტერმინები. ხაზის ნაწილი, რომელიც აკავშირებს ორ წერტილს. სტუდენტების ცოდნა. მხიარული მათემატიკოსების კონკურსი. დავალება. სხივი, რომელიც კვეთს კუთხეს. ყველა კუთხე სწორია. Დროის ინტერვალი. კონკურსი. ყველაზე მიმზიდველი. სიჩქარე. რადიუსი. ემზადება ზამთრისთვის. ჭრიჭინა ხტომა. ფიგურა. თამაში მაყურებლებთან. სამკუთხედის კუთხეების ჯამი.

    სულ თემაში 23687 პრეზენტაცია

    წრიული ლიანდაგის A წერტილიდან, რომლის სიგრძე 75 კმ-ია, ორი მანქანა ერთდროულად დაიძრა იმავე მიმართულებით. პირველი მანქანის სიჩქარე 89 კმ/სთ, მეორე მანქანის სიჩქარე 59 კმ/სთ. დაწყებიდან რამდენ წუთში პირველი მანქანა უსწრებს მეორეს ზუსტად ერთი წრე?

    პრობლემის გადაწყვეტა

    ეს გაკვეთილი გვიჩვენებს, თუ როგორ, ერთიანი მოძრაობის დროს დროის განსაზღვრის ფიზიკური ფორმულის გამოყენებით: , შეადგინეთ პროპორცია იმ დროის დასადგენად, როდესაც ერთი მანქანა უსწრებს მეორეს წრეში. პრობლემის გადაჭრისას მითითებულია ქმედებების მკაფიო თანმიმდევრობა ასეთი პრობლემების გადასაჭრელად: ჩვენ შემოგთავაზებთ კონკრეტულ აღნიშვნას, რისი პოვნაც გვინდა, ვწერთ დროს, რომელიც სჭირდება ერთ და მეორე მანქანას გარკვეული რაოდენობის წრეების გადალახვას. იმის გათვალისწინებით, რომ ეს დრო არის იგივე მნიშვნელობა - ჩვენ ვაიგივებთ მიღებულ ტოლობებს. გამოსავალი არის უცნობი სიდიდის პოვნა წრფივ განტოლებაში. შედეგების მისაღებად, დარწმუნდით, რომ დაიმახსოვრეთ, რომ დროის განსაზღვრის ფორმულაში მიღებული წრეების რაოდენობა ჩაანაცვლოთ.

    ამ პრობლემის გადაწყვეტა რეკომენდებულია მე-7 კლასის მოსწავლეებისთვის თემის „მათემატიკური ენა. მათემატიკური მოდელი "(წრფივი განტოლება ერთი ცვლადით"). OGE-სთვის მომზადებისას გაკვეთილი რეკომენდებულია თემის „მათემატიკური ენა. მათემატიკური მოდელი“.

    სექციები: მათემატიკა

    გაკვეთილის ტიპი: განმეორებადი-განმაზოგადებელი გაკვეთილი.

    გაკვეთილის მიზნები:

    • საგანმანათლებლო
      •        - გაიმეორეთ სხვადასხვა ტიპის სიტყვის ამოცანების გადაჭრის მეთოდები მოძრაობისთვის
    • განვითარებადი
      •        - განავითაროს მოსწავლეთა მეტყველება მისი ლექსიკის გამდიდრებისა და გართულების გზით, განავითაროს მოსწავლეთა აზროვნება მასალის ანალიზის, განზოგადებისა და სისტემატიზაციის უნარის მეშვეობით.
    • საგანმანათლებლო
      •        - სტუდენტებს შორის ჰუმანური დამოკიდებულების ჩამოყალიბება სასწავლო პროცესის მონაწილეების მიმართ

    საგაკვეთილო აღჭურვილობა:

    • ინტერაქტიული დაფა;
    • კონვერტები ამოცანებით, თემატური საკონტროლო ბარათები, კონსულტანტის ბარათები.

    გაკვეთილის სტრუქტურა.

    გაკვეთილის ძირითადი ეტაპები

    ამ ეტაპზე გადასაჭრელი ამოცანები
    საორგანიზაციო მომენტი, შესავალი ნაწილი
    • კლასში მისასალმებელი ატმოსფეროს შექმნა
    • დააყენეთ სტუდენტები პროდუქტიული მუშაობისთვის
    • დაკარგულის იდენტიფიცირება
    • შეამოწმეთ მოსწავლეთა მზადყოფნა გაკვეთილისთვის
    სტუდენტების მომზადება აქტიური მუშაობისთვის (მიმოხილვა)
    • შეამოწმეთ მოსწავლეთა ცოდნა თემაზე: „სხვადასხვა ტიპის ტექსტური ამოცანების ამოხსნა გადაადგილებისთვის“
    • მოსწავლეთა მეტყველებისა და აზროვნების განვითარების განხორციელება
    • მოსწავლეთა ანალიტიკური და კრიტიკული აზროვნების განვითარება თანაკლასელების პასუხების კომენტირების გზით
    • დაფასთან მოწოდებული მოსწავლეების პასუხის დროს მთელი კლასის სასწავლო აქტივობების ორგანიზება
    შესწავლილი მასალის განზოგადებისა და სისტემატიზაციის ეტაპი (ჯგუფურად მუშაობა)
    • შეამოწმოს სტუდენტების უნარი გადაჭრას სხვადასხვა ტიპის მოძრაობის პრობლემები,
    • სტუდენტების ცოდნის ჩამოყალიბება იდეებისა და თეორიების სახით ასახული, კერძო იდეებიდან გადასვლა უფრო ფართო განზოგადებებზე
    • განახორციელოს მოსწავლეთა მორალური ურთიერთობების ჩამოყალიბება სასწავლო პროცესის მონაწილეებთან (ჯგუფური მუშაობის დროს)
    სამუშაოს შესრულების შემოწმება, კორექტირება (საჭიროების შემთხვევაში)
    • შეამოწმეთ მონაცემთა შესრულება დავალებების ჯგუფებისთვის (მათი სისწორე)
    • გააგრძელეთ მოსწავლეებში ანალიზის, მთავარის გამოკვეთის, ანალოგიების აგების, განზოგადებისა და სისტემატიზაციის უნარის ჩამოყალიბება.
    • განუვითარდებათ მოლაპარაკების უნარი
    გაკვეთილის შეჯამება. საშინაო დავალების გარჩევა
    • აცნობოს მოსწავლეებს საშინაო დავალების შესახებ, აუხსნას მისი განხორციელების მეთოდოლოგია
    • საშინაო დავალების შესრულების საჭიროებისა და ვალდებულების მოტივაცია
    • შეაჯამეთ გაკვეთილი

    სტუდენტების შემეცნებითი საქმიანობის ორგანიზების ფორმები:

    • შემეცნებითი აქტივობის ფრონტალური ფორმა - II, IY, Y ეტაპებზე.
    • შემეცნებითი აქტივობის ჯგუფური ფორმა – III საფეხურზე.

    სწავლების მეთოდები: ვერბალური, ვიზუალური, პრაქტიკული, განმარტებითი - საილუსტრაციო, რეპროდუქციული, ნაწილობრივ - საძიებო, ანალიტიკური, შედარებითი, განზოგადებული, ტრადუქციული.

    გაკვეთილების დროს

    I. საორგანიზაციო მომენტი, შესავალი ნაწილი.

    მასწავლებელი აცხადებს გაკვეთილის თემას, გაკვეთილის მიზნებს და გაკვეთილის ძირითად საკითხებს. ამოწმებს კლასის მზადყოფნას სამუშაოდ.

    II. სტუდენტების მომზადება აქტიური მუშაობისთვის (მიმოხილვა)

    Უპასუხე შეკითხვებს.

    1. რა სახის მოძრაობას ეწოდება ერთგვაროვანი (მოძრაობა მუდმივი სიჩქარით).
    2. რა არის გზის ფორმულა ერთგვაროვანი მოძრაობისთვის ( S=Vt).
    3. ამ ფორმულიდან გამოხატეთ სიჩქარე და დრო.
    4. მიუთითეთ საზომი ერთეულები.
    5. სიჩქარის ერთეულების კონვერტაცია

    III. შესწავლილი მასალის განზოგადებისა და სისტემატიზაციის ეტაპი (ჯგუფურად მუშაობა)

    მთელი კლასი იყოფა ჯგუფებად (5-6 კაცი ჯგუფში). სასურველია, რომ ერთ ჯგუფში იყვნენ სხვადასხვა დონის მომზადების სტუდენტები. მათ შორის ინიშნება ჯგუფის ხელმძღვანელი (უძლიერესი მოსწავლე), რომელიც უხელმძღვანელებს ჯგუფის მუშაობას.

    ყველა ჯგუფი იღებს კონვერტებს დავალებით (ისინი ერთნაირია ყველა ჯგუფისთვის), კონსულტანტის ბარათები (სუსტი სტუდენტებისთვის) და თემატური საკონტროლო ფურცლები. თემატურ საკონტროლო ფურცლებში ჯგუფის ლიდერი ანიჭებს შეფასებებს ჯგუფის თითოეულ მოსწავლეს თითოეული დავალების შესასრულებლად და აღნიშნავს იმ სირთულეებს, რაც მოსწავლეებს აქვთ კონკრეტული დავალებების შესრულებისას.

    ბარათი თითოეული ჯგუფისთვის დავალებებით.

    № 5.

    No 7. მოტორიანი ნავმა მდინარის დინების საწინააღმდეგოდ 112 კმ გაიარა და უკან დაბრუნების გზაზე 6 საათით ნაკლები გაატარა. იპოვეთ დენის სიჩქარე, თუ ნავის სიჩქარე უძრავ წყალში არის 11 კმ/სთ. გაეცით პასუხი კმ/სთ-ში.

    No 8. მოტორიანი გემი გადის მდინარის გასწვრივ დანიშნულების ადგილამდე 513 კმ და გაჩერების შემდეგ ბრუნდება გაფრენის ადგილზე. იპოვეთ გემის სიჩქარე უძრავ წყალში, თუ დენის სიჩქარე 4 კმ/სთ-ია, ყოფნის ხანგრძლივობაა 8 საათი, გემი კი მისგან გასვლიდან 54 საათის შემდეგ ბრუნდება დასაფრენ წერტილში. გაეცით პასუხი კმ/სთ-ში.

    თემატური საკონტროლო ბარათის ნიმუში.

    კლასი ________ მოსწავლის სრული სახელი _________________________________

    სამსახურის ნომერი

    კომენტარი

    კონსულტანტის ბარათები.

    ბარათის ნომერი 1 (კონსულტანტი)
    1. სწორ გზაზე მოძრაობა
    ერთგვაროვანი მოძრაობის პრობლემების გადაჭრისას ხშირად ჩნდება ორი სიტუაცია.

    თუ ობიექტებს შორის საწყისი მანძილი უდრის S-ს, ხოლო ობიექტების სიჩქარე არის V1 და V2, მაშინ:

    ა) როდესაც საგნები მოძრაობენ ერთმანეთისკენ, დრო, რომლის შემდეგაც ისინი შეხვდებიან, უდრის.

    ბ) როდესაც ობიექტები მოძრაობენ ერთი მიმართულებით, დრო, რომლის შემდეგაც პირველი ობიექტი მეორეს დაეწევა, უდრის, ვ 2 > ვ 1)
    მაგალითი 1. მატარებელი, რომელმაც გაიარა 450 კმ, შეჩერდა თოვლის ნაკადის გამო. ნახევარი საათის შემდეგ ბილიკი გაიწმინდა და მძღოლმა, რომელმაც მატარებლის სიჩქარე 15 კმ/სთ-ით გაზარდა, დაუყოვნებლად მიიყვანა სადგურამდე. იპოვეთ მატარებლის საწყისი სიჩქარე, თუ მის მიერ გავლილი მანძილი გაჩერებამდე იყო მთლიანი მანძილის 75%.
    1. იპოვეთ მთელი ბილიკი: 450: 0.75 = 600 (კმ)
    2. ვიპოვოთ მეორე მონაკვეთის სიგრძე: 600 - 450 = 150 (კმ)
    3. შევქმნათ და ამოხსნათ განტოლება:

    X= -75 არ არის შესაფერისი პრობლემის მდგომარეობისთვის, სადაც x > 0.

    პასუხი: მატარებლის საწყისი სიჩქარეა 60 კმ/სთ.
    ბარათის ნომერი 2 (კონსულტანტი)

    2. დახურულ გზაზე მოძრაობა
    თუ დაკეტილი გზის სიგრძეა სდა ობიექტების სიჩქარე ვ 1 და ვ 2, შემდეგ:

    ა) როდესაც ობიექტები მოძრაობენ სხვადასხვა მიმართულებით, მათ შეხვედრებს შორის დრო გამოითვლება ფორმულით;
    ბ) როდესაც ობიექტები მოძრაობენ ერთი მიმართულებით, მათ შეხვედრებს შორის დრო გამოითვლება ფორმულით

    მაგალითი 2რინგ ტრასაზე შეჯიბრებებზე ერთი მოთხილამურე მეორეზე 2 წუთით სწრაფად ასრულებს წრეს და ერთი საათის შემდეგ მას ზუსტად წრეზე გვერდი აუვლის. რამდენი დრო სჭირდება თითოეულ მოთხილამურეს, რომ დაასრულოს წრე?

    დაე იყოს სმ არის ბეჭედი გზის სიგრძე და xმ/წთ და წმ/წთ არის პირველი და მეორე მოთხილამურეების სიჩქარე, შესაბამისად ( x > წ) .

    მერე S/xწთ და ს/წწთ - დრო, რომლის დროსაც პირველი და მეორე მოთხილამურეები გადიან წრეს, შესაბამისად. პირველი პირობიდან ვიღებთ განტოლებას. ვინაიდან პირველი მოთხილამურის მეორე მოთხილამურედან ამოღების სიჩქარე არის ( x- წ) m/min, მაშინ მეორე პირობიდან გვაქვს განტოლება .

    მოდით ამოხსნათ განტოლებათა სისტემა.

    მოდით გავაკეთოთ ჩანაცვლება S/x=aდა S/y=b, მაშინ განტოლებათა სისტემა მიიღებს ფორმას:

    . გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 60-ზე ა(a + 2) > 0.

    60(a + 2) – 60a = ა(a + 2)ა 2 + 2ა- 120 = 0. კვადრატულ განტოლებას აქვს ერთი დადებითი ფესვი a = 10 მაშინ b= 12. ასე რომ, პირველი მოთხილამურე გარს ასრულებს 10 წუთში, ხოლო მეორე მოთხილამურე 12 წუთში.

    პასუხი: 10 წთ; 12 წთ.
    ბარათის ნომერი 3 (კონსულტანტი)

    3. მოძრაობა მდ
    თუ ობიექტი მოძრაობს მდინარის გასწვრივ, მაშინ მისი სიჩქარე უდრის Vstream-ს. =ვოკტ. + ვტექ.

    თუ ობიექტი მოძრაობს მდინარის დინების საწინააღმდეგოდ, მაშინ მისი სიჩქარე არის დენის ვაგან = V ოქტ. – ვტექ. ობიექტის საკუთარი სიჩქარე (სიჩქარე უძრავ წყალში) უდრის

    მდინარის სიჩქარე არის

    რაფის სიჩქარე მდინარის სიჩქარის ტოლია.
    მაგალითი 3ნავი დინების ქვევით 50 კმ-ით დაიძრა, შემდეგ კი 36 კმ-ით დაბრუნდა, რამაც მას 30 წუთით მეტი დრო დასჭირდა, ვიდრე ქვემოთ. რა არის ნავის სიჩქარე, თუ მდინარის სიჩქარე 4 კმ/სთ-ია?

    დაე, ნავის საკუთარი სიჩქარე იყოს Xკმ/სთ, მაშინ მისი სიჩქარე მდინარის გასწვრივ არის ( x + 4) კმ/სთ და მდინარის დინების საწინააღმდეგოდ ( x- 4)კმ/სთ. მდინარის გასწვრივ ნავის მოძრაობის დრო უდრის საათებს, ხოლო მდინარის დინების საწინააღმდეგოდ საათებს, ვინაიდან 30 წუთი = 1/2 საათი, მაშინ ამოცანის პირობის მიხედვით ვადგენთ განტოლებას =. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 2-ზე ( x + 4)(x- 4) >0 .

    მივიღებთ 72( x + 4) -100(x- 4) = (x + 4)(x- 4) x 2 + 28x- 704 \u003d 0 x 1 \u003d 16, x 2 \u003d - 44 (გამოვრიცხავთ, რადგან x> 0).

    ასე რომ, ნავის საკუთარი სიჩქარეა 16 კმ/სთ.

    პასუხი: 16 კმ/სთ.

    IV. პრობლემის გადაჭრის ეტაპი.

    გაანალიზებულია პრობლემები, რომლებიც მოსწავლეებს უქმნიდა სირთულეებს.

    No 1. ორი ქალაქიდან, რომელთა შორის მანძილი 480 კმ-ს უდრის, ორი მანქანა ერთდროულად ტოვებს ერთმანეთისკენ. რამდენ საათში შეხვდებიან მანქანები, თუ მათი სიჩქარე იქნება 75 კმ/სთ და 85 კმ/სთ?

    1. 75 + 85 = 160 (კმ/სთ) – დახურვის სიჩქარე.
    2. 480: 160 = 3 (სთ).

    პასუხი: მანქანები 3 საათში შეხვდებიან.

    No 2. A და B ქალაქებიდან მათ შორის მანძილი არის 330 კმ, ორი მანქანა ერთდროულად დატოვეს ერთმანეთისკენ და შეხვდნენ 3 საათის შემდეგ B ქალაქიდან 180 კმ მანძილზე. იპოვეთ მანქანის სიჩქარე, რომელიც დატოვა A ქალაქიდან. პასუხი გაეცით კმ/სთ-ში.

    1. (330 - 180) : 3 = 50 (კმ/სთ)

    პასუხი: A ქალაქიდან გამოსული მანქანის სიჩქარე 50 კმ/სთ-ია.

    No 3. A წერტილიდან B წერტილამდე, რომელთა შორის მანძილი 50 კმ-ია, ერთდროულად ტოვებენ ავტომობილის მძღოლი და ველოსიპედისტი. ცნობილია, რომ მძღოლი საათში 65 კმ-ით მეტს გადის, ვიდრე ველოსიპედისტი. დაადგინეთ ველოსიპედისტის სიჩქარე, თუ ცნობილია, რომ ის B წერტილში მივიდა 4 საათი 20 წუთის შემდეგ, ვიდრე მძღოლი. გაეცით პასუხი კმ/სთ-ში.

    მოვაწყოთ მაგიდა.

    მოდით გავაკეთოთ განტოლება, იმის გათვალისწინებით, რომ 4 საათი 20 წუთი =

    ,

    აშკარაა, რომ x = -75 არ ერგება პრობლემის პირობას.

    პასუხი: ველოსიპედისტის სიჩქარეა 10 კმ/სთ.

    No 4. ორი მოტოციკლისტი ერთდროულად ერთი მიმართულებით ეშვება წრიული ლიანდაგის ორი დიამეტრულად საპირისპირო წერტილიდან, რომლის სიგრძეა 14 კმ. რამდენ წუთში დაიჭერენ მოტოციკლისტები პირველად, თუ ერთი მათგანის სიჩქარე 21 კმ/სთ-ით მეტია მეორის სიჩქარეზე?

    მოვაწყოთ მაგიდა.

    მოდით გავაკეთოთ განტოლება.

    სადაც 1/3 საათი = 20 წუთი.

    პასუხი: 20 წუთის შემდეგ მოტოციკლისტები პირველად დგებიან რიგში.

    No5. წრიული ლიანდაგის ერთი წერტილიდან, რომლის სიგრძე 12 კმ-ია, ერთდროულად ორი მანქანა დაიძრა ერთი და იმავე მიმართულებით. პირველი მანქანის სიჩქარე 101 კმ/სთ-ია, დაწყებიდან 20 წუთის შემდეგ კი მეორე მანქანას ერთი წრე უსწრებდა. იპოვნეთ მეორე მანქანის სიჩქარე. გაეცით პასუხი კმ/სთ-ში.

    მოვაწყოთ მაგიდა.

    მოდით გავაკეთოთ განტოლება.

    პასუხი: მეორე მანქანის სიჩქარეა 65 კმ/სთ.

    No6. ველოსიპედისტმა წრიული ტრასის A წერტილი დატოვა და 40 წუთის შემდეგ მას მოტოციკლისტი გაჰყვა. გამგზავრებიდან 8 წუთში ის პირველად დაეწია ველოსიპედისტს, 36 წუთის შემდეგ კი მეორედ. იპოვეთ მოტოციკლისტის სიჩქარე, თუ ბილიკის სიგრძე 30 კმ-ია. გაეცით პასუხი კმ/სთ-ში.

    მოვაწყოთ მაგიდა.

    მოძრაობა პირველ შეხვედრამდე

    ველოსიპედისტი

    No 9. A-დან პიერ B-მდე, რომელთა შორის მანძილი არის 168 კმ, პირველი გემი დაიძრა მუდმივი სიჩქარით, ხოლო ამის შემდეგ 2 საათის შემდეგ მეორე დაიძრა მის შემდეგ, სიჩქარით 2 კმ/ თ მეტი. იპოვნეთ პირველი გემის სიჩქარე, თუ ორივე გემი ერთდროულად მივა B წერტილში. გაეცით პასუხი კმ/სთ-ში.

    მოდით გავაკეთოთ ცხრილი, მათი პირობებიდან გამომდინარე, რომ პირველი გემის სიჩქარეა x კმ/სთ.

    მოდით გავაკეთოთ განტოლება:

    განტოლების ორივე მხარის x-ზე გამრავლება

    ,

    პასუხი: პირველი გემის სიჩქარე მდინარის ტოლია 12 კმ/სთ

    V. გაკვეთილის შეჯამება.

    გაკვეთილის შეჯამებისას მოსწავლეებმა კიდევ ერთხელ უნდა მიაქციონ ყურადღება მოძრაობაზე ამოცანების გადაჭრის პრინციპებს. საშინაო დავალების გაცემისას მიეცით ახსნა ურთულესი დავალებების შესახებ.

    ლიტერატურა.

    1) სტატია : 2014 წლის ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის მათემატიკა (დავალებების სისტემა დავალებების ღია ბანკიდან) Koryanov A.G., Nadezhkina N.V. - გამოქვეყნდა საიტზე

    ᲓᲐᲙᲐᲕᲨᲘᲠᲔᲑᲣᲚᲘ ᲡᲢᲐᲢᲘᲔᲑᲘ