ვაგრძელებთ ელემენტარული ამოცანების შესწავლას მათემატიკაში. ეს გაკვეთილი ეხება პროცენტულ პრობლემებს. ჩვენ გადავხედავთ რამდენიმე პრობლემას და ასევე შევეხებით იმ პუნქტებს, რომლებიც ადრე არ იყო ნახსენები პროცენტების შესწავლისას, იმის გათვალისწინებით, რომ თავდაპირველად ისინი სწავლის სირთულეებს ქმნიან.
უმეტეს შემთხვევაში, პროცენტების ამოცანები მთავრდება რიცხვის პროცენტის პოვნამდე, რიცხვის პროცენტის მიხედვით, რომელიმე ნაწილის პროცენტულად გამოხატვამდე ან რამდენიმე საგანს, რიცხვსა და რაოდენობას შორის პროცენტის სახით.
წინასწარი უნარები გაკვეთილის შინაარსიპროცენტის პოვნის გზები
პროცენტის ნახვა შესაძლებელია სხვადასხვა გზით. ყველაზე პოპულარული გზაა რიცხვის 100-ზე გაყოფა და შედეგის სასურველ პროცენტზე გამრავლება.
მაგალითად, 200 რუბლის 60% რომ იპოვოთ, ჯერ ეს 200 რუბლი უნდა გაყოთ ას თანაბარ ნაწილად:
200 რუბლი: 100 = 2 რუბლი.
როდესაც რიცხვს ვყოფთ 100-ზე, ვპოულობთ ამ რიცხვის ერთ პროცენტს. ასე რომ, 200 რუბლის 100 ნაწილად გაყოფით, ჩვენ ავტომატურად ვიპოვნეთ ორასი რუბლის 1%, ანუ გავარკვიეთ რამდენი რუბლი ხვდება ერთ ნაწილზე. როგორც მაგალითიდან ჩანს, ერთი ნაწილი (ერთი პროცენტი) შეადგენს 2 რუბლს.
1% 200 რუბლიდან - 2 რუბლი
იმის ცოდნა, თუ რამდენი რუბლი მოდის ერთ ნაწილზე (1%), ჩვენ შეგვიძლია გავარკვიოთ რამდენი რუბლი მოდის ორ ნაწილზე, სამზე, ოთხზე, ხუთზე და ა.შ. ანუ ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ ნებისმიერი რაოდენობის პროცენტი. ამისათვის საკმარისია ეს 2 მანეთი გავამრავლოთ ნაწილების სასურველ რაოდენობაზე (პროცენტში). ვიპოვოთ სამოცი ნაწილი (60%)
2 × 60 = 120 რუბლი.
2 × 5 = 10 რუბლი
ჩვენ ვიპოვით 90%
2 × 90 = 180 რუბლი.
ჩვენ ვიპოვით 100%
2 × 100 = 200 რუბლი
100% არის ასივე ნაწილი და ისინი შეადგენენ ყველა 200 რუბლს.
მეორე გზა არის პროცენტების წარმოდგენა ჩვეულებრივ წილადად და ამ წილადის პოვნა იმ რიცხვიდან, საიდანაც გსურთ პროცენტის პოვნა.
მაგალითად, ვიპოვოთ იგივე 60% 200 რუბლიდან. ჯერ წარმოვიდგინოთ 60% წილადის სახით. 60% არის სამოცი ნაწილი ასიდან, ანუ სამოცი მეასედი:
ახლა ამოცანა შეიძლება გავიგოთ, როგორც "იპოვე დან 200რუბლი" . ეს არის ის, რაც ადრე შევისწავლეთ. შეგახსენებთ, რომ რიცხვის წილადის საპოვნელად ეს რიცხვი უნდა გაყოთ წილადის მნიშვნელზე და შედეგი გაამრავლოთ წილადის მრიცხველზე.
200: 100 = 2
2 x 60 = 120
ან გავამრავლოთ რიცხვი წილადზე ():
მესამე გზა არის პროცენტის წარმოდგენა ათწილადის სახით და რიცხვის გამრავლება ამ ათობითი წილადზე.
მაგალითად, ვიპოვოთ იგივე 60% 200 რუბლიდან. დავიწყოთ 60%-ის წილადის სახით წარმოდგენით. 60% პროცენტი ასიდან სამოცი ნაწილია
გავაკეთოთ გაყოფა ამ წილადში. გადაიტანეთ მძიმე 60 ორნიშნა მარცხნივ:
ახლა ჩვენ ვპოულობთ 0.60 200 რუბლიდან. რიცხვის ათობითი წილადის საპოვნელად, ეს რიცხვი უნდა გაამრავლოთ ათწილადზე:
200 × 0.60 = 120 რუბლი
პროცენტის პოვნის მოცემული მეთოდი ყველაზე მოსახერხებელია, მით უმეტეს, თუ ადამიანი მიჩვეულია კალკულატორის გამოყენებას. ეს მეთოდი საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ პროცენტი ერთი ნაბიჯით.
როგორც წესი, პროცენტის გამოხატვა ათობითი წილადებში არ არის რთული. საკმარისია მივანიჭოთ "ნულოვანი რიცხვები" პროცენტამდე, თუ პროცენტი ორნიშნა რიცხვია, ან მივწეროთ "ნულოვანი მთელი რიცხვები" და სხვა ნული, თუ პროცენტი არის ერთნიშნა რიცხვი. მაგალითები:
60% \u003d 0.60 - ენიჭება ნულოვანი რიცხვები 60 რიცხვამდე, რადგან რიცხვი 60 ორნიშნაა
6% \u003d 0.06 - მიანიჭა ნულოვანი მთელი რიცხვები და სხვა ნული 6 რიცხვამდე, რადგან რიცხვი 6 არის ერთნიშნა.
100-ზე გაყოფისას ვიყენებდით ათწილადის ორი ციფრის მარცხნივ გადატანის მეთოდს. პასუხში 0.60 შენარჩუნდა 6 რიცხვის შემდეგ ნული. მაგრამ თუ თქვენ შეასრულებთ ამ გაყოფას კუთხით, ნული ქრება - მიიღებთ პასუხს 0.6
უნდა გვახსოვდეს, რომ ათობითი წილადები 0.60 და 0.6 ტოლია და იგივე მნიშვნელობა აქვს.
0,60 = 0,6
იმავე „კუთხეში“ შეგიძლიათ განაგრძოთ გაყოფა განუსაზღვრელი ვადით, ყოველ ჯერზე დანარჩენს დაუმატოთ ნული, მაგრამ ეს იქნება უაზრო მოქმედება.
თქვენ შეგიძლიათ გამოხატოთ პროცენტები ათწილადის სახით არა მხოლოდ 100-ზე გაყოფით, არამედ გამრავლებით. პროცენტის ნიშანი (%) თავისთავად ცვლის 0.01 მულტიპლიკატორს. და თუ გავითვალისწინებთ, რომ პროცენტის რიცხვი და პროცენტის ნიშანი ერთად იწერება, მაშინ მათ შორის არის „უხილავი“ გამრავლების ნიშანი (×).
მაგალითად, 45% რეალურად ასე გამოიყურება
შეცვალეთ პროცენტის ნიშანი 0,01 კოეფიციენტით
ეს გამრავლება 0,01-ზე ხდება ათწილადის წერტილის ორი ციფრის მარცხნივ გადაადგილებით
დავალება 1. ოჯახის ბიუჯეტი თვეში 75 ათასი რუბლია. აქედან 70% მამის მიერ გამომუშავებული ფულია. რამდენი გამოიმუშავა დედამ?
გადაწყვეტილება
სულ 100 პროცენტი თუ მამამ ფულის 70% გამოიმუშავა, მაშინ დარჩენილი 30% დედამ გამოიმუშავა.
დავალება 2. ოჯახის ბიუჯეტი თვეში 75 ათასი რუბლია. აქედან 70% მამის მიერ გამომუშავებული ფულია, 30% კი დედის მიერ. რამდენი ფული გამოიმუშავა თითოეულმა?
გადაწყვეტილება
ჩვენ ვიპოვით 70 და 30 პროცენტს 75 ათასი რუბლიდან. ასე რომ, ჩვენ განვსაზღვრავთ, თუ რამდენი ფული გამოიმუშავა თითოეულმა. მოხერხებულობისთვის 70% და 30% ჩაიწერება ათობითი წილადების სახით
75 × 0.70 \u003d 52.5 (მამამ გამოიმუშავა ათასი მანეთი)
75 × 0.30 = 22.5 (დედამ გამოიმუშავა ათასი მანეთი)
ექსპერტიზა
52,5 + 22,5 = 75
75 = 75
უპასუხე: 52,5 ათასი რუბლი პაპამ გამოიმუშავა 22,5 მანეთი. დედამ გამოიმუშავა.
დავალება 3. გაციებისას პური წყლის აორთქლების შედეგად კარგავს მასის 4%-მდე. რამდენი კილოგრამი აორთქლდება, როცა 12 ტონა პური გაცივდება.
გადაწყვეტილება
გადააკეთეთ 12 ტონა კილოგრამებად. ერთ ტონაში 1000 კილოგრამია, 12 ტონაში 12-ჯერ მეტი
1000 × 12 = 12 000 კგ
ახლა ვიპოვოთ 12000-ის 4%. შედეგი იქნება პრობლემის პასუხი:
12000 × 0.04 = 480 კგ
უპასუხე: 12 ტონა პურის გაციებისას 480 კილოგრამი აორთქლდება.
დავალება 4. გაშრობისას ვაშლი კარგავს წონის 84%-ს. რამდენი ჩირი მიიღება 300 კგ ახალი ვაშლიდან?
იპოვეთ 300 კგ-ის 84%.
300: 100 × 84 = 252 კგ
300 კგ ახალი ვაშლი გაშრობის შედეგად დაკარგავს 252 კგ მასას. კითხვაზე პასუხის გასაცემად რამდენი ჩირი გამოვა, 300-ს უნდა გამოაკლოთ 252.
300 - 252 = 48 კგ
უპასუხე: 300 კგ ახალი ვაშლიდან მიიღებთ 48 კგ ჩირს.
დავალება 5. სოიოს თესლი შეიცავს 20% ზეთს. რამდენი ზეთია 700 კგ სოიოში?
გადაწყვეტილება
იპოვეთ 700 კგ-ის 20%.
700 × 0.20 = 140 კგ
უპასუხე: 700 კგ სოიო შეიცავს 140 კგ ზეთს
დავალება 6. წიწიბურა შეიცავს 10% ცილებს, 2,5% ცხიმებს და 60% ნახშირწყლებს. რამდენ პროდუქტს შეიცავს 14,4 ცენტნერი წიწიბურა?
გადაწყვეტილება
ვთარგმნოთ 14,4 ცენტნერი კილოგრამებში. ერთ ცენტნერში 100 კილოგრამია, 14,4 ცენტნერში 14,4-ჯერ მეტი.
100 × 14.4 = 1440 კგ
იპოვეთ 10%, 2.5% და 60% 1440 კგ
1440 × 0.10 = 144 (კგ ცილები)
1440 × 0.025 = 36 (კგ ცხიმი)
1440 x 0.60 = 864 (კგ ნახშირწყლები)
უპასუხე: 14,4 კგ წიწიბურა შეიცავს 144 კგ ცილას, 36 კგ ცხიმს, 864 კგ ნახშირწყლებს.
დავალება 7. სკოლის მოსწავლეებმა ტყის სანერგისთვის 60 კგ მუხის, აკაციის, ცაცხვის და ნეკერჩხლის თესლი შეაგროვეს. მარცვლები შეადგენდა 60%-ს, ნეკერჩხლის თესლს 15%-ს, ცაცხვის თესლს 20%-ს, დანარჩენი კი აკაციის თესლი იყო. რამდენი კილოგრამი აკაციის თესლი შეაგროვეს სკოლის მოსწავლეებმა?
გადაწყვეტილება
100%-ით ავიღებთ მუხის, აკაციის, ცაცხვის და ნეკერჩხლის თესლს. მოდით ამ 100%-ს გამოვაკლოთ მუხის, ცაცხვის და ნეკერჩხლის თესლების გამოხატული პროცენტები. ასე რომ, ჩვენ გავარკვიეთ, რამდენი პროცენტია აკაციის თესლი:
100% − (60% + 15% + 20%) = 100% − 95% = 5%
ახლა ჩვენ ვიპოვით აკაციის თესლს:
60 × 0.05 = 3 კგ
უპასუხე: სკოლის მოსწავლეებმა შეაგროვეს 3 კგ აკაციის თესლი.
ექსპერტიზა:
60 x 0.60 = 36
60 x 0.15 = 9
60 x 0.20 = 12
60 x 0.05 = 3
36 + 9 + 12 + 3 = 60
60 = 60
დავალება 8. კაცმა საჭმელი იყიდა. რძე 60 მანეთი ღირს, რაც ყველა შესყიდვის ღირებულების 48%-ია. განსაზღვრეთ პროდუქტებზე დახარჯული თანხის მთლიანი რაოდენობა.
გადაწყვეტილება
ეს არის რიცხვის პოვნის პრობლემა მისი პროცენტული, ანუ ცნობილი ნაწილის მიხედვით. ეს პრობლემა შეიძლება მოგვარდეს ორი გზით. პირველი არის პროცენტების ცნობილი რიცხვის გამოხატვა ათწილადის სახით და ამ წილადიდან უცნობი რიცხვის პოვნა
გამოხატეთ 48% ათწილადის სახით
48% : 100 = 0,48
იმის ცოდნა, რომ 0.48 არის 60 რუბლი, ჩვენ შეგვიძლია განვსაზღვროთ ყველა შესყიდვის ოდენობა. ამისათვის თქვენ უნდა იპოვოთ უცნობი რიცხვი ათობითი წილადში:
60: 0.48 = 125 რუბლი
ასე რომ, საკვებზე დახარჯული თანხის ჯამური ოდენობა 125 რუბლს შეადგენს.
მეორე გზა არის ჯერ გაარკვიოთ რამდენი ფული მოდის ერთ პროცენტზე, შემდეგ გავამრავლოთ შედეგი 100-ზე
48% არის 60 რუბლი. თუ 60 რუბლს გავყოფთ 48-ზე, მაშინ გავარკვევთ, რამდენი რუბლი მოდის 1%-ზე.
60: 48% = 1,25 რუბლი
1% შეადგენს 1,25 რუბლს. სულ 100 პროცენტი, თუ 1,25 რუბლს გავამრავლებთ 100-ზე, მივიღებთ პროდუქტებზე დახარჯულ თანხას.
1.25 × 100 = 125 რუბლი
დავალება 9. ქლიავის ჩირის 35% ახალი ქლიავისგან მოდის. რამდენი ახალი ქლიავის მიღება გჭირდებათ 140 კგ ჩირის მისაღებად? რამდენი ქლიავის ჩირი მიიღება 600 კგ ახალი ქლიავისგან?
გადაწყვეტილება
გამოვხატოთ 35% ათწილადი წილადით და ვიპოვოთ უცნობი რიცხვი ამ წილადიდან:
35% = 0,35
140: 0.35 = 400 კგ
140 კგ ქლიავის ჩირის მისაღებად საჭიროა 400 კგ ახალი აიღოთ.
მოდით ვუპასუხოთ პრობლემის მეორე კითხვას - რამდენი ქლიავის ჩირი გამოვა 600 კგ ახალიდან? თუ ქლიავის ჩირის 35% ახალი ქლიავიდან მოდის, მაშინ საკმარისია 600 კგ ახალი ქლიავიდან ეს 35% იპოვოთ.
600 × 0,35 = 210 კგ
უპასუხე: 140 კგ ქლიავის ჩირის მისაღებად საჭიროა 400 კგ ახალი. 600 კგ ახალი ქლიავიდან მიიღება 210 კგ ქლიავის ჩირი.
დავალება 10. ცხიმების ათვისება ადამიანის ორგანიზმის მიერ არის 95%. ერთი თვის განმავლობაში მოსწავლემ მოიხმარა 1,2 კგ ცხიმი. რამდენი ცხიმი შეიძლება შეიწოვოს მისმა ორგანიზმმა?
გადაწყვეტილება
გადააქციეთ 1,2 კგ გრამებად
1,2 x 1000 = 1200 გ
იპოვეთ 1200 გ-ის 95%.
1200 × 0.95 = 1140 გ
უპასუხე: 1140 გრ ცხიმი შეიძლება შეიწოვოს მოსწავლის ორგანიზმმა.
რიცხვების გამოხატვა პროცენტულად
პროცენტი, როგორც უკვე აღვნიშნეთ, შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ათობითი წილადის სახით. ამისთვის საკმარისია ამ პროცენტების რაოდენობა გავყოთ 100-ზე. მაგალითად, 12% წარმოვადგინოთ ათწილადის სახით:
კომენტარი. ჩვენ ამჟამად არ ვპოულობთ რაღაცის პროცენტს, მაგრამ უბრალოდ ვწერთ მას ათწილადის სახით.
მაგრამ საპირისპირო პროცესიც შესაძლებელია. ათობითი წილადი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს პროცენტის სახით. ამისათვის გაამრავლეთ ეს წილადი 100-ზე და ჩადეთ პროცენტის ნიშანი (%)
წარმოვიდგინოთ ათწილადი წილადი 0.12 პროცენტულად
0.12 x 100 = 12%
ამ მოქმედებას ე.წ გამოხატული პროცენტულადან რიცხვების მეასედებით გამოხატვა.
გამრავლება და გაყოფა შებრუნებული მოქმედებებია. მაგალითად, თუ 2 × 5 = 10, მაშინ 10: 5 = 2
ანალოგიურად, გაყოფა შეიძლება დაიწეროს საპირისპიროდ. თუ 10:5 = 2, მაშინ 2 × 5 = 10:
იგივე ხდება, როდესაც ათწილადს გამოვხატავთ პროცენტულად. ასე რომ, 12% გამოიხატებოდა ათწილადის სახით შემდეგნაირად: 12: 100 = 0.12, მაგრამ შემდეგ იგივე 12% "დაბრუნდა" გამრავლების გამოყენებით, დაწერა გამოთქმა 0.12 × 100 = 12%.
ანალოგიურად, შეგიძლიათ პროცენტულად გამოხატოთ ნებისმიერი სხვა რიცხვი, მთელი რიცხვების ჩათვლით. მაგალითად, გამოვხატოთ რიცხვი 3 პროცენტულად, გავამრავლოთ ეს რიცხვი 100-ზე და შედეგს დავუმატოთ პროცენტის ნიშანი:
3 x 100 = 300%
დიდი პროცენტები, როგორიცაა 300%, თავიდან შეიძლება დამაბნეველი იყოს, რადგან ხალხი მიჩვეულია მაქსიმალურ წილად 100%-ის დათვლას. წილადების შესახებ დამატებითი ინფორმაციისგან ვიცით, რომ ერთი მთლიანი ობიექტი შეიძლება აღინიშნოს ერთობით. მაგალითად, თუ არის მთლიანი მოუჭრელი ნამცხვარი, მაშინ ის შეიძლება აღვნიშნოთ 1-ით
იგივე ნამცხვარი შეიძლება დაინიშნოს 100% ტორტად. ამ შემთხვევაში, ორივე ერთეული და 100% აღნიშნავს ერთსა და იმავე მთლიან ნამცხვარს:
ტორტი გავჭრათ შუაზე. ამ შემთხვევაში, ერთი გადაიქცევა ათობითი რიცხვად 0,5 (რადგან ის არის ნახევარი ერთეული), ხოლო 100% გადაიქცევა 50% (რადგან 50 არის ნახევარი ასი)
დაგიბრუნებთ მთლიან ნამცხვარს, ერთ ცალი და 100%
მოდით დავხატოთ კიდევ ორი ასეთი ნამცხვარი იგივე აღნიშვნით:
თუ ერთი ნამცხვარი არის ერთეული, მაშინ სამი ნამცხვარი არის სამი ერთეული. თითოეული ნამცხვარი 100% ხელუხლებელია. თუ ამ სამასს დაუმატებთ, მიიღებთ 300%-ს.
ამიტომ მთელი რიცხვების პროცენტებად გადაქცევისას ამ რიცხვებს ვამრავლებთ 100-ზე.
დავალება 2. გამოთქვით რიცხვი 5 პროცენტულად
5 x 100 = 500%
დავალება 3. პროცენტულად გამოხატეთ რიცხვი 7
7 x 100 = 700%
დავალება 4. პროცენტულად გამოხატეთ რიცხვი 7.5
7.5 x 100 = 750%
დავალება 5. პროცენტულად გამოხატეთ რიცხვი 0.5
0,5 x 100 = 50%
დავალება 6. პროცენტულად გამოხატეთ რიცხვი 0.9
0.9 x 100 = 90%
მაგალითი 7. პროცენტულად გამოხატეთ რიცხვი 1.5
1.5 x 100 = 150%
მაგალითი 8. პროცენტულად გამოხატეთ რიცხვი 2.8
2.8 x 100 = 280%
დავალება 9. გიორგი სკოლიდან სახლში მიდის. პირველი თხუთმეტი წუთის განმავლობაში მან გზა 0,75 ფეხით გაიარა. დანარჩენ დროს მან დარჩენილი 0,25 გზა გაიარა. პროცენტულად გამოხატეთ გიორგის მიერ განვლილი ბილიკის ნაწილები.
გადაწყვეტილება
0,75 x 100 = 75%
0.25 x 100 = 25%
დავალება 10. იოანეს ნახევარი ვაშლი გაუმასპინძლდა. გამოხატეთ ეს ნახევარი პროცენტულად.
გადაწყვეტილება
ნახევარი ვაშლი იწერება წილადად 0,5. ამ წილადის პროცენტულად გამოსახატავად გაამრავლეთ ის 100-ზე და შედეგს დაამატეთ პროცენტის ნიშანი.
0,5 x 100 = 50%
ანალოგები ფრაქციების სახით
პროცენტულად გამოხატულ მნიშვნელობას აქვს თავისი ანალოგი ჩვეულებრივი წილადის სახით. ასე რომ, ანალოგი 50% არის წილადი. ორმოცდაათ პროცენტს შეიძლება ეწოდოს სიტყვა „ნახევარიც“.
ანალოგი 25% არის წილადი. ოცდახუთ პროცენტს ასევე შეიძლება ეწოდოს სიტყვა „კვარტალი“.
ანალოგი 20% არის წილადი. ოც პროცენტს ასევე შეიძლება ვუწოდოთ სიტყვები "მეხუთე".
ანალოგი 40% არის წილადი.
ანალოგი 60% არის წილადი
მაგალითი 1. ხუთი სანტიმეტრი არის დეციმეტრის 50%, ანუ მხოლოდ ნახევარი. ყველა შემთხვევაში საუბარია ერთსა და იმავე მნიშვნელობაზე - ათიდან ხუთ სანტიმეტრზე
მაგალითი 2. ორნახევარი სანტიმეტრი არის დეციმეტრის 25% ან მხოლოდ მეოთხედი
მაგალითი 3. ორი სანტიმეტრი არის დეციმეტრის 20%.
მაგალითი 4. ოთხი სანტიმეტრი არის დეციმეტრის 40% ან
მაგალითი 5. ექვსი სანტიმეტრი არის დეციმეტრის 60% ან
ინტერესის შემცირება და გაზრდა
პროცენტულად გამოხატული მნიშვნელობის გაზრდის ან შემცირებისას გამოიყენება წინადადება "on".
მაგალითები:
- 50%-ით გაზრდა - ნიშნავს ღირებულების 1,5-ჯერ გაზრდას;
- 100%-ით გაზრდა - ნიშნავს ღირებულების 2-ჯერ გაზრდას;
- 200%-ით გაზრდა ნიშნავს 3-ჯერ გაზრდას;
- შემცირება 50%-ით - ნიშნავს ღირებულების 2-ჯერ შემცირებას;
- 80%-ით შემცირება ნიშნავს 5-ჯერ შემცირებას.
მაგალითი 1. ათი სანტიმეტრი 50%-ით გაიზარდა. რამდენი სანტიმეტრი აიღე?
ასეთი პრობლემების გადასაჭრელად, თქვენ უნდა აიღოთ საწყისი მნიშვნელობა 100%. თავდაპირველი მნიშვნელობა არის 10 სმ, მათი 50% არის 5 სმ
თავდაპირველი 10 სმ გაიზარდა 50%-ით (5 სმ-ით), ასე გამოვიდა 10 + 5 სმ, ანუ 15 სმ.
ათი სანტიმეტრის 50%-ით გაზრდის ანალოგი არის 1,5-ის გამრავლება. თუ მასზე 10 სმ გაამრავლებთ, მიიღებთ 15 სმ-ს
10 × 1.5 = 15 სმ
მაშასადამე, გამოთქმები „50%-ით გაზრდა“ და „1,5-ჯერ გაზრდა“ იგივეს ნიშნავს.
მაგალითი 2. ხუთი სანტიმეტრი 100%-ით გაიზარდა. რამდენი სანტიმეტრი აიღე?
ავიღოთ ორიგინალური ხუთი სანტიმეტრი, როგორც 100%. ამ ხუთი სანტიმეტრის ასი პროცენტი თავად იქნება 5 სმ, თუ 5 სმ-ს იმავე 5 სმ-ით გაზრდით, მიიღებთ 10 სმ-ს.
ხუთი სანტიმეტრის 100%-ით გაზრდის ანალოგი არის 2-ის კოეფიციენტი. თუ მასზე 5 სმ-ს გაამრავლებთ, მიიღებთ 10 სმ-ს.
5×2=10სმ
მაშასადამე, გამოთქმები „100%-ით გაზრდა“ და „2-ჯერ გაზრდა“ ერთსა და იმავეს ნიშნავს.
მაგალითი 3. ხუთი სანტიმეტრი 200%-ით გაიზარდა. რამდენი სანტიმეტრი აიღე?
ავიღოთ ორიგინალური ხუთი სანტიმეტრი, როგორც 100%. ორასი პროცენტი ორჯერ ასი პროცენტია. ანუ 5 სმ-ის 200% იქნება 10 სმ (5 სმ ყოველ 100%-ზე). თუ ამ 10 სმ-ით 5 სმ-ს გაზრდით, მიიღებთ 15 სმ-ს
ხუთ სანტიმეტრში 200%-ით გაზრდის ანალოგი არის 3-ის კოეფიციენტი. თუ მასზე 5 სმ-ს გაამრავლებთ, მიიღებთ 15 სმ-ს.
5×3=15სმ
მაშასადამე, გამოთქმები „200%-ით გაზრდა“ და „3-ჯერ გაზრდა“ იგივეს ნიშნავს.
მაგალითი 4. ათი სანტიმეტრი 50%-ით შემცირდა. რამდენი სანტიმეტრი დარჩა?
ავიღოთ ორიგინალი 10 სმ 100%. 10 სმ-ის ორმოცდაათი პროცენტი არის 5 სმ, თუ 10 სმ-ს ამ 5 სმ-ით შეამცირებთ, იქნება 5 სმ.
ათი სანტიმეტრის 50%-ით შემცირების ანალოგი არის გამყოფი 2. თუ მასზე 10 სმ-ს გაყოფთ, მიიღებთ 5 სმ-ს.
10:2=5სმ
მაშასადამე, გამოთქმები „მცირდება 50%-ით“ და „მცირდება 2-ჯერ“ იგივეს ნიშნავს.
მაგალითი 5. ათი სანტიმეტრი 80%-ით შემცირდა. რამდენი სანტიმეტრი დარჩა?
ავიღოთ ორიგინალი 10 სმ 100%. 10 სმ-ის ოთხმოცი პროცენტი არის 8 სმ, თუ 10 სმ-ს ამ 8 სმ-ით შეამცირებთ, იქნება 2 სმ.
ათი სანტიმეტრის 80%-ით შემცირების ანალოგი არის გამყოფი 5. თუ მასზე 10 სმ გაყოფთ, მიიღებთ 2 სმ.
10:5=2სმ
მაშასადამე, გამოთქმები „მცირდება 80%-ით“ და „მცირდება 5-ჯერ“ იგივეს ნიშნავს.
ინტერესის შემცირებისა და გაზრდის პრობლემების გადაჭრისას, შეგიძლიათ გაამრავლოთ / გაყოთ მნიშვნელობა ამოცანაში მითითებულ მულტიპლიკატორზე.
დავალება 1. რა პროცენტით შეიცვალა მნიშვნელობა, თუ ის გაიზარდა 1,5-ჯერ?
პრობლემაში მითითებული მნიშვნელობა შეიძლება განისაზღვროს, როგორც 100%. შემდეგ გაამრავლეთ ეს 100% 1,5-ზე
100% × 1.5 = 150%
ახლა მიღებულ 150%-ს გამოაკელი ორიგინალი 100% და მიიღე პასუხი პრობლემაზე:
150% − 100% = 50%
დავალება 2. რა პროცენტით შეიცვალა მნიშვნელობა 4-ჯერ რომ შემცირდა?
ამჯერად იქნება ღირებულების შემცირება, ამიტომ ვასრულებთ დაყოფას. რომლის მნიშვნელობაც პრობლემაშია ნახსენები 100%. შემდეგ ამ 100%-ს ვყოფთ 4-ის გამყოფზე
თავდაპირველ 100%-ს გამოაკლეთ მიღებული 25% და მიიღეთ პასუხი პრობლემაზე:
100% − 25% = 75%
ეს ნიშნავს, რომ ღირებულების 4-ჯერ შემცირებით ის 75%-ით შემცირდა.
დავალება 3. რა პროცენტით შეიცვალა მნიშვნელობა, თუ 5-ჯერ შემცირდა?
რომლის მნიშვნელობაც პრობლემაშია ნახსენები 100%. შემდეგ ამ 100%-ს ვყოფთ 5-ის გამყოფზე
ორიგინალიდან 100%, გამოაკელი მიღებული 20% და მიიღე პასუხი პრობლემაზე:
100% − 20% = 80%
ეს ნიშნავს, რომ როდესაც მნიშვნელობა მცირდება 5-ჯერ, ის მცირდება 80%-ით.
დავალება 4. რა პროცენტით შეიცვალა მნიშვნელობა, თუ ის 10-ჯერ შემცირდა?
რომლის მნიშვნელობაც პრობლემაშია ნახსენები 100%. შემდეგი, გაყავით ეს 100% 10-ის გამყოფზე
საწყისი 100%-ს გამოაკელი მიღებული 10% და მიიღე პასუხი პრობლემაზე:
100% − 10% = 90%
ეს ნიშნავს, რომ როდესაც მნიშვნელობა მცირდება 10-ჯერ, ის მცირდება 90%-ით.
პროცენტის პოვნის ამოცანა
პროცენტის სახით რაღაცის გამოსახატავად ჯერ უნდა ჩაწეროთ წილადი, რომელიც აჩვენებს, თუ რა ნაწილია პირველი რიცხვი მეორედან, შემდეგ გაყავით ამ წილადში და გამოთქვით შედეგი პროცენტულად.
მაგალითად, დავუშვათ, რომ არსებობს ხუთი ვაშლი. ორი ვაშლი წითელია და სამი მწვანე. გამოხატეთ წითელი და მწვანე ვაშლი პროცენტულად.
ჯერ უნდა გაარკვიოთ, რა ნაწილს შეადგენს წითელი ვაშლი. სულ ხუთი ვაშლია და ორი წითელი. ასე რომ, ხუთიდან ორი ან ორი მეხუთედი წითელი ვაშლია:
სამი მწვანე ვაშლია. ასე რომ, ხუთიდან სამი ან სამი მეხუთედი მწვანე ვაშლია:
გვაქვს ორი წილადი და . გავაკეთოთ გაყოფა ამ წილადებში
მივიღეთ ათობითი წილადები 0.4 და 0.6. ახლა გამოვხატოთ ეს ათობითი წილადები პროცენტულად:
0.4 x 100 = 40%
0,6 x 100 = 60%
ასე რომ, 40% არის წითელი ვაშლი, 60% მწვანე.
და ხუთივე ვაშლი შეადგენს 40% + 60%, ანუ 100%
დავალება 2. დედამ ორ ვაჟს 200 მანეთი მისცა. დედამ უმცროს ძმას 80 მანეთი მისცა, უფროს ძმას კი 120 მანეთი. პროცენტულად გამოხატეთ თითოეული ძმისთვის მიცემული ფული.
გადაწყვეტილება
უმცროსმა ძმამ 200 რუბლიდან 80 მანეთი მიიღო. ჩვენ ვწერთ წილადს ოთხმოცდათორმეტ მეასედს:
უფროსმა ძმამ 200 რუბლიდან 120 მანეთი მიიღო. ჩვენ ვწერთ წილადს ას ოცდაორი მეასედს:
გვაქვს წილადები და . გავაკეთოთ გაყოფა ამ წილადებში
გამოვხატოთ შედეგები პროცენტულად:
0.4 x 100 = 40%
0,6 x 100 = 60%
ეს ნიშნავს, რომ უმცროსმა ძმამ თანხის 40% მიიღო, უფროსმა კი 60%.
ზოგიერთი წილადი, რომელიც აჩვენებს, თუ რა ნაწილია პირველი რიცხვი მეორედან, შეიძლება შემცირდეს.
ასე რომ, წილადები შეიძლება შემცირდეს. აქედან, პრობლემაზე პასუხი არ შეიცვლება:
დავალება 3. ოჯახის ბიუჯეტი თვეში 75 ათასი რუბლია. აქედან 52,5 ათასი რუბლი. - მამას მიღებული ფული. 22,5 ათასი რუბლი - დედის მიერ გამომუშავებული ფული. გამოხატეთ მამისა და დედის მიერ მიღებული ფული პროცენტულად.
გადაწყვეტილება
ეს პრობლემა, ისევე როგორც წინა, არის პროცენტის პოვნის პრობლემა.
მოდით გამოვხატოთ მამის მიერ გამომუშავებული ფული პროცენტულად. მან 75 ათასი რუბლიდან 52,5 ათასი რუბლი გამოიმუშავა
გავაკეთოთ გაყოფა ამ წილადში:
0,7 x 100 = 70%
ასე რომ, მამამ გამოიმუშავა ფულის 70%. გარდა ამისა, ძნელი მისახვედრი არ არის, რომ დარჩენილი 30% დედაჩემმა გამოიმუშავა. ყოველივე ამის შემდეგ, 75 ათასი რუბლი არის ფულის 100%. მოდით შევამოწმოთ, რომ დავრწმუნდეთ. დედამ გამოიმუშავა 22,5 ათასი რუბლი. 75 ათასი რუბლიდან. ჩვენ ვწერთ წილადს, ვასრულებთ გაყოფას და გამოვხატავთ შედეგს პროცენტულად:
დავალება 4. მოსწავლე ვარჯიშობს ჯვარედინი ზოლზე აწევის გაკეთებას. გასულ თვეში მას შეეძლო 8 აწევის გაკეთება თითო კომპლექტში. ამ თვეში მას შეუძლია 10 აწევის გაკეთება თითო კომპლექტში. რამდენ პროცენტით გაზარდა მან აზიდვები?
გადაწყვეტილება
გაარკვიეთ, რამდენ აწევას აკეთებს მოსწავლე ამ თვეში, ვიდრე წინა
გაარკვიეთ, რომელი ნაწილის აწევა არის რვა აწევიდან. ამისათვის ჩვენ ვპოულობთ თანაფარდობას 2-დან 8-მდე
გავაკეთოთ გაყოფა ამ წილადში
გამოვხატოთ შედეგი პროცენტულად:
0.25 x 100 = 25%
ასე რომ, სტუდენტმა გაზარდა აზიდვების რაოდენობა 25%-ით.
ამ პრობლემის გადაჭრა მეორე, უფრო სწრაფი მეთოდითაც არის შესაძლებელი - გაარკვიეთ, რამდენჯერ არის 10 აწევა 8 აწევაზე მეტი და შედეგი გამოხატეთ პროცენტულად.
იმის გასარკვევად, თუ რამდენჯერ არის ათი აწევა რვა აწევაზე მეტი, თქვენ უნდა იპოვოთ თანაფარდობა 10-დან 8-მდე.
შეასრულეთ გაყოფა მიღებულ წილადში
გამოვხატოთ შედეგი პროცენტულად:
1.25 x 100 = 125%
გაყვანის მაჩვენებელი მიმდინარე თვისთვის არის 125%. ეს განცხადება უნდა გავიგოთ, როგორც "არის 125%", არა როგორ "ინდიკატორი გაიზარდა 125%-ით". ეს არის ორი განსხვავებული განცხადება, რომელიც გამოხატავს სხვადასხვა რაოდენობას.
განცხადება "არის 125%" უნდა გავიგოთ, როგორც "რვა აწევა, რომელიც არის 100% პლუს ორი აწევა, რომელიც არის რვა აწევის 25%. გრაფიკულად ასე გამოიყურება:
და განცხადება "გაიზარდა 125%-ით" უნდა გავიგოთ, როგორც "ამჟამინდელი რვა აწევა, რომელიც იყო 100%, დაემატა კიდევ 100% (კიდევ 8 აწევა), პლუს კიდევ 25% (2 აწევა) .” სულ არის 18 აწევა.
100% + 100% + 25% = 8 + 8 + 2 = 18 აწევა
გრაფიკულად, ეს განცხადება ასე გამოიყურება:
ჯამში გამოდის 225%. თუ რვა აზიდვის 225%-ს ვიპოვით, მივიღებთ 18 აზიდვას
8 × 2.25 = 18
დავალება 5. გასულ თვეში ხელფასი 19,2 ათასი რუბლი იყო. მიმდინარე თვეში მან შეადგინა 20,16 ათასი რუბლი. რამდენი პროცენტით გაიზარდა ხელფასი?
ეს პრობლემა, ისევე როგორც წინა, შეიძლება მოგვარდეს ორი გზით. პირველი არის ჯერ გაარკვიოთ რამდენი რუბლით გაიზარდა ხელფასი. შემდეგი, გაარკვიეთ, რამდენია ეს ზრდა გასული თვის ხელფასიდან
გაიგეთ რამდენად გაიზარდა ხელფასი:
20.16 - 19.2 \u003d 0.96 ათასი რუბლი.
ჩვენ გავარკვევთ, რა ნაწილია 0,96 ათასი რუბლი. არის 19.2-დან. ამისათვის ჩვენ ვპოულობთ თანაფარდობას 0.96-დან 19.2-მდე
შეასრულეთ გაყოფა მიღებულ წილადში. გზაზე გახსოვდეთ:
გამოვხატოთ შედეგი პროცენტულად:
0.05 x 100 = 5%
ანუ ხელფასი 5%-ით გაიზარდა.
მოდი პრობლემა მეორე გზით გადავჭრათ. ჩვენ გავარკვევთ რამდენჯერ 20,16 ათასი რუბლი. 19,2 ათას რუბლზე მეტი. ამისათვის ჩვენ ვპოულობთ თანაფარდობას 20.16-დან 19.2-მდე
შევასრულოთ გაყოფა მიღებულ წილადში:
გამოვხატოთ შედეგი პროცენტულად:
1.05 x 100 = 105%
ხელფასი 105%. ანუ, ეს მოიცავს 100%-ს, რომელიც შეადგენდა 19,2 ათას რუბლს, პლუს 5%, რაც შეადგენდა 0,96 ათას რუბლს.
100% + 5% = 19,2 + 0,96
დავალება 6. ლეპტოპის ფასი ამ თვეში 5%-ით გაიზარდა. რა არის მისი ფასი, თუ გასულ თვეში ღირდა 18,3 ათასი რუბლი?
გადაწყვეტილება
იპოვეთ 5% 18.3-დან:
18,3 x 0,05 = 0,915
დავუმატოთ ეს 5% 18.3-ს:
18,3 + 0,915 = 19,215 ათასი რუბლი
უპასუხე: ლეპტოპის ფასი 19,215 ათასი რუბლია.
დავალება 7. ლეპტოპის ფასი ამ თვეში 10%-ით შემცირდა. რა არის მისი ფასი, თუ გასულ თვეში ღირდა 16,3 ათასი რუბლი?
გადაწყვეტილება
იპოვეთ 10% 16.3-დან:
16,3 x 0,10 = 1,63
გამოვაკლოთ ეს 10% 16.3-ს:
16,3 - 1,63 = 14,67 (ათასი რუბლი)
ასეთი ამოცანები შეიძლება მოკლედ დაიწეროს:
16.3 - (16.3 × 0.10) = 14.67 (ათასი რუბლი)
უპასუხე: ლეპტოპის ფასი 14,67 ათასი რუბლია.
დავალება 8. გასულ თვეში ლეპტოპის ფასი 21 ათასი რუბლი იყო. ამ თვეში ფასი გაიზარდა 22,05 ათას რუბლამდე. რამდენ პროცენტით გაიზარდა ფასი?
გადაწყვეტილება
დაადგინეთ რამდენი რუბლით გაიზარდა ფასი
22.05 - 21 = 1.50 (ათასი რუბლი)
ჩვენ გავარკვევთ, რა ნაწილია 1,05 ათასი რუბლი. არის 21 ათასი რუბლიდან.
შედეგი გამოხატეთ პროცენტულად
0.05 x 100 = 5%
უპასუხე: ლეპტოპის ფასი გაიზარდა 5%-ით
დავალება 8. მუშას გეგმის მიხედვით 600 ნაწილი უნდა გაეკეთებინა, მან კი 900 ნაწილი. რამდენი პროცენტით შეასრულა მან გეგმა?
გადაწყვეტილება
მოდით გავარკვიოთ რამდენჯერ არის 900 ნაწილი 600 ნაწილზე მეტი. ამისათვის ჩვენ ვპოულობთ თანაფარდობას 900-დან 600-მდე
ამ წილადის ღირებულებაა 1,5. მოდით გამოვხატოთ ეს მნიშვნელობა პროცენტულად:
1.5 x 100 = 150%
ასე რომ, მუშამ გეგმა 150%-ით შეასრულა. ანუ მან 100%-ით დაასრულა 600 ნაწილი. შემდეგ მან კიდევ 300 ნაწილი შექმნა, რაც თავდაპირველი გეგმის 50%-ია.
უპასუხე: მუშამ შეასრულა გეგმა 150%-ით.
პროცენტული შედარება
ჩვენ უკვე არაერთხელ შევადარეთ მნიშვნელობები სხვადასხვა გზით. ჩვენი პირველი ინსტრუმენტი იყო განსხვავება. ასე რომ, მაგალითად, 5 და 3 რუბლის შესადარებლად, ჩვენ ჩამოვწერეთ განსხვავება 5−3. 2 პასუხის მიღების შემდეგ შეიძლება ითქვას, რომ "ხუთი მანეთი მეტია სამ რუბლზე ორი რუბლით".
გამოკლების შედეგად მიღებულ პასუხს ყოველდღიურ ცხოვრებაში ეწოდება არა „სხვაობა“, არამედ „განსხვავება“.
ასე რომ, განსხვავება ხუთ და სამ რუბლს შორის არის ორი რუბლი.
შემდეგი ინსტრუმენტი, რომელიც გამოვიყენეთ რაოდენობების შესადარებლად, იყო თანაფარდობა. თანაფარდობამ საშუალება მოგვცა გაგვეგო, რამდენჯერ მეტია პირველი რიცხვი მეორეზე (ან რამდენჯერ შეიცავს პირველი რიცხვი მეორეს).
მაგალითად, ათი ვაშლი ხუთჯერ მეტია ორ ვაშლზე. ან სხვანაირად რომ ვთქვათ, ათი ვაშლი შეიცავს ორ ვაშლს ხუთჯერ. ეს შედარება შეიძლება დაიწეროს მიმართების გამოყენებით
მაგრამ მნიშვნელობები ასევე შეიძლება შევადაროთ პროცენტებში. მაგალითად, შევადაროთ ორი საქონლის ფასი არა რუბლებში, არამედ შევაფასოთ რამდენად არის ერთი საქონლის ფასი მეტ-ნაკლებად მეორეს ფასზე პროცენტულად.
პროცენტებში მნიშვნელობების შესადარებლად, ერთ-ერთი მათგანი უნდა იყოს 100%, ხოლო მეორე პრობლემის პირობებიდან გამომდინარე.
მაგალითად, გავარკვიოთ ათი ვაშლის რამდენი პროცენტით მეტია რვა ვაშლზე.
100%-ისთვის თქვენ უნდა მიუთითოთ მნიშვნელობა, რომლითაც ჩვენ რაღაცას ვადარებთ. ჩვენ ვადარებთ 10 ვაშლს 8 ვაშლს. ასე რომ, 100% ჩვენ აღვნიშნავთ 8 ვაშლს:
ახლა ჩვენი ამოცანაა შევადაროთ 10 ვაშლიდან რამდენი პროცენტით მეტია ამ 8 ვაშლზე. 10 ვაშლი არის 8+2 ვაშლი. ეს ნიშნავს, რომ რვა ვაშლს კიდევ ორი ვაშლის დამატებით, 100%-ით გავზრდით კიდევ ერთი პროცენტით. იმის გასარკვევად, რომელია, განვსაზღვროთ რვა ვაშლიდან რამდენი პროცენტია ორი ვაშლი
თუ ამ 25%-ს დავუმატებთ რვა ვაშლს, მივიღებთ 10 ვაშლს. და 10 ვაშლი არის 8 + 2, ანუ 100% და კიდევ 25%. სულ ვიღებთ 125%
ასე რომ, ათი ვაშლი რვა ვაშლზე მეტია 25%-ით.
ახლა მოვაგვაროთ საპირისპირო პრობლემა. გაარკვიეთ, რამდენი პროცენტით ნაკლებია რვა ვაშლი ათ ვაშლზე. პასუხი მაშინვე გვაფიქრებინებს, რომ რვა ვაშლი 25%-ით ნაკლებია. თუმცა, ეს ასე არ არის.
ჩვენ ვადარებთ რვა ვაშლს ათ ვაშლს. ჩვენ შევთანხმდით, რომ 100%-ით მივიღებთ იმას, რასაც შევადარებთ. ამიტომ, ამჯერად 100% ვიღებთ 10 ვაშლს:
რვა ვაშლი არის 10−2, ანუ 10 ვაშლის 2 ვაშლით შემცირებით მათ რაღაც პროცენტით შევამცირებთ. იმის გასარკვევად, რომელია, განვსაზღვროთ ათი ვაშლიდან რამდენი პროცენტია ორი ვაშლი
ამ 20%-ს გამოვაკლებთ ათ ვაშლს, მივიღებთ 8 ვაშლს. და 8 ვაშლი არის 10−2, ანუ 100% და მინუს 20%. სულ ვიღებთ 80%-ს
ასე რომ, რვა ვაშლი ათზე ნაკლებია 20%-ით.
დავალება 2. რამდენი პროცენტით მეტია 5000 რუბლი 4000 რუბლზე?
გადაწყვეტილება
ავიღოთ 4000 რუბლი 100%. 5000 არის 4000-ზე მეტი 1000-ზე. ასე რომ, ოთხი ათასი ათასით გაზრდით, ჩვენ გავზრდით ოთხ ათასს გარკვეული პროცენტით. მოდით გავარკვიოთ რომელი. ამისათვის ჩვენ განვსაზღვრავთ რა ნაწილია ათასი ოთხი ათასიდან:
გამოვხატოთ შედეგი პროცენტულად:
0.25 x 100 = 25%
1000 რუბლი 4000 რუბლიდან არის 25%. თუ ამ 25%-ს დაუმატებთ 4000-ს, მიიღებთ 5000 რუბლს. ასე რომ, 5000 რუბლი 25% -ით მეტია 4000 რუბლზე
დავალება 3. რამდენი პროცენტით ნაკლებია 4000 რუბლი 5000 რუბლზე?
ამჯერად ვადარებთ 4000 5000-ს. ავიღოთ 5000 100%. ხუთი ათასზე მეტი ოთხი ათასი რუბლისთვის. გაარკვიე, რა ნაწილია ათასიდან ხუთი ათასიდან
ხუთი ათასიდან ათასი არის 20%. თუ ამ 20%-ს გამოვაკლებთ 5000 რუბლს, მივიღებთ 4000 რუბლს.
ასე რომ, 4000 რუბლი 5000 რუბლზე ნაკლებია 20% -ით.
ამოცანები კონცენტრაციისთვის, შენადნობებისა და ნარევებისთვის
დავუშვათ, გაჩნდა რაიმე სახის წვენის მომზადების სურვილი. გვაქვს წყალი და ჟოლოს სიროფი.
ჩაასხით 200 მლ წყალი ჭიქაში:
დაუმატეთ 50 მლ ჟოლოს სიროფი და მიღებული სითხე მოურიეთ. შედეგად ვიღებთ 250 მლ ჟოლოს წვენს (200 მლ წყალი + 50 მლ სიროფი = 250 მლ წვენი)
მიღებული წვენის რა ნაწილია ჟოლოს სიროფი?
ჟოლოს სიროფი წვენს ქმნის. ჩვენ ვიანგარიშებთ ამ თანაფარდობას, ვიღებთ რიცხვს 0.20. ეს რიცხვი მიუთითებს მიღებულ წვენში გახსნილი სიროფის რაოდენობაზე. მოდით დავურეკოთ ამ ნომერს სიროფის კონცენტრაცია.
ხსნადი ნივთიერების კონცენტრაცია არის ხსნარის რაოდენობის ან მისი მასის თანაფარდობა ხსნარის მოცულობასთან.
კონცენტრაცია ჩვეულებრივ გამოხატულია პროცენტულად. გამოვსახოთ სიროფის კონცენტრაცია პროცენტულად:
0.20 x 100 = 20%
ამრიგად, სიროფის კონცენტრაცია ჟოლოს წვენში 20%-ია.
ხსნარში შემავალი ნივთიერებები შეიძლება იყოს ჰეტეროგენული. მაგალითად, ავურიოთ 3 ლიტრი წყალი და 200 გრამი მარილი.
1 ლიტრი წყლის მასა არის 1 კგ. მაშინ 3 ლიტრი წყლის მასა იქნება 3 კგ. 3 კგ გრამებად გადაქცევით მივიღებთ 3 კგ = 3000 გ.
ახლა 3000გრ წყალში 200გრ მარილს ვასხამთ და მიღებულ სითხეს ვურევთ. შედეგი იქნება მარილიანი ხსნარი, რომლის ჯამური მასა იქნება 3000 + 200, ანუ 3200 გ. ვიპოვოთ მარილის კონცენტრაცია მიღებულ ხსნარში. ამისათვის ჩვენ ვპოულობთ გახსნილი მარილის მასის თანაფარდობას ხსნარის მასასთან
ეს ნიშნავს, რომ 3 ლიტრი წყლისა და 200 გრ მარილის შერევისას მიიღება 6,25%-იანი მარილის ხსნარი.
ანალოგიურად, შეიძლება განისაზღვროს ნივთიერების რაოდენობა შენადნობაში ან ნარევში. მაგალითად, შენადნობი შეიცავს კალას 210გრ მასით და ვერცხლს 90გრ მასით.მაშინ შენადნობის მასა იქნება 210+90,ანუ 300გ.შენადნობი შეიცავს კალას და ვერცხლს. კალის პროცენტი იქნება 70%, ხოლო ვერცხლი 30%.
ორი ხსნარის შერევისას მიიღება ახალი ხსნარი, რომელიც შედგება პირველი და მეორე ხსნარებისგან. ახალ ხსნარს შეიძლება ჰქონდეს ნივთიერების განსხვავებული კონცენტრაცია. სასარგებლო უნარი არის კონცენტრაციის პრობლემების, შენადნობების და ნარევების გადაჭრის უნარი. ზოგადად, ასეთი ამოცანების მნიშვნელობა არის ცვლილებების თვალყურის დევნება, რაც ხდება სხვადასხვა კონცენტრაციის ხსნარების შერევისას.
შეურიეთ ჟოლოს ორი წვენი. პირველი წვენი 250 მლ შეიცავს 12,8% ჟოლოს სიროფს. ხოლო მეორე წვენი 300 მლ მოცულობით შეიცავს 15% ჟოლოს სიროფს. ჩაასხით ეს ორი წვენი დიდ ჭიქაში და აურიეთ. შედეგად ვიღებთ ახალ წვენს 550 მლ მოცულობით.
ახლა ჩვენ განვსაზღვრავთ სიროფის კონცენტრაციას მიღებულ წვენში. პირველი 250 მლ გამოწურული წვენი შეიცავდა 12,8% სიროფს. ხოლო 250 მლ-ის 12,8% არის 32 მლ. ასე რომ, პირველი წვენი შეიცავდა 32 მლ სიროფს.
მეორე გამოწურული 300 მლ წვენი შეიცავდა 15% სიროფს. ხოლო 300 მლ-ის 15% არის 45 მლ. ასე რომ, მეორე წვენი შეიცავდა 45 მლ სიროფს.
დაამატეთ სიროფების რაოდენობა:
32 მლ + 45 მლ = 77 მლ
ეს 77 მლ სიროფი შეიცავს ახალ წვენს, რომლის მოცულობა 550 მლ. განსაზღვრეთ სიროფის კონცენტრაცია ამ წვენში. ამისათვის ჩვენ ვპოულობთ 77 მლ გახსნილი სიროფის თანაფარდობას 550 მლ წვენის მოცულობასთან:
ასე რომ, ჟოლოს 12,8% 250 მლ მოცულობით და 15% ჟოლოს წვენის 300 მლ მოცულობით შერევისას მიიღება ჟოლოს 14% 550 მლ მოცულობით.
დავალება 1. წყალში არის ზღვის მარილის 3 ხსნარი: პირველი ხსნარი შეიცავს 10% მარილს, მეორე შეიცავს 15% მარილს და მესამე შეიცავს 20% მარილს. შეურიეთ 130 მლ პირველი ხსნარი, 200 მლ მეორე ხსნარი და 170 მლ მესამე ხსნარი. განსაზღვრეთ ზღვის მარილის პროცენტი მიღებულ ხსნარში.
გადაწყვეტილება
განსაზღვრეთ მიღებული ხსნარის მოცულობა:
130 მლ + 200 მლ + 170 მლ = 500 მლ
ვინაიდან პირველ ხსნარში იყო 130 × 0,10 = 13 მლ ზღვის მარილი, მეორე ხსნარში 200 × 0,15 = 30 მლ ზღვის მარილი, ხოლო მესამეში - 170 × 0,20 = 34 მლ ზღვის მარილი, შემდეგ მიღებულში. ხსნარი შეიცავს 13 + 30 + 34 = 77 მლ ზღვის მარილს.
მოდით განვსაზღვროთ ზღვის მარილის კონცენტრაცია მიღებულ ხსნარში. ამისათვის ჩვენ ვპოულობთ 77 მლ ზღვის მარილის თანაფარდობას 500 მლ ხსნარის მოცულობასთან.
ეს ნიშნავს, რომ მიღებული ხსნარი შეიცავს 15,4% ზღვის მარილს.
დავალება 2. რამდენი გრამი წყალი უნდა დაემატოს 50 გ 8% მარილის შემცველ ხსნარს 5%-იანი ხსნარის მისაღებად?
გადაწყვეტილება
გაითვალისწინეთ, რომ თუ არსებულ ხსნარს წყალი დაემატება, მასში მარილის რაოდენობა არ შეიცვლება. შეიცვლება მხოლოდ მისი პროცენტი, ვინაიდან ხსნარში წყლის დამატება გამოიწვევს მისი მასის ცვლილებას.
წყალი ისეთი რაოდენობით უნდა დავამატოთ, რომ მარილის რვა პროცენტი გახდეს ხუთი პროცენტი.
დაადგინეთ რამდენ გრამ მარილს შეიცავს 50გრ ხსნარში. ამისათვის ჩვენ ვპოულობთ 50-დან 8%-ს
50 გ × 0,08 = 4 გ
50 გრამიდან 8% არის 4 გრამი, ანუ ასში რვა ნაწილად არის 4 გრამი მარილი. მოდით დავრწმუნდეთ, რომ ეს 4 გრამი არის არა რვა ნაწილი, არამედ ხუთი ნაწილი, ანუ 5%.
4 გრამი - 5%
ახლა იმის ცოდნა, რომ 5%-იან ხსნარში არის 4 გრამი, შეგვიძლია ვიპოვოთ მთელი ხსნარის მასა. ამისთვის საჭიროა:
4 გ: 5 = 0,8 გ
0,8 გ × 100 = 80 გ
80 გრამი ხსნარი არის ის მასა, რომლის დროსაც 4 გრამი მარილი დაეცემა ხსნარის 5%-ს. და ამ 80 გრამი რომ მიიღოთ, თავდაპირველ 50 გრამს უნდა დაუმატოთ 30 გრამი წყალი.
ეს ნიშნავს, რომ 5%-იანი მარილის ხსნარის მისაღებად, არსებულ ხსნარს უნდა დაუმატოთ 30 გრ წყალი.
დავალება 2. ყურძენი შეიცავს 91% ტენიანობას, ხოლო ქიშმიში - 7%. რამდენი კილოგრამი ყურძენია საჭირო 21 კილოგრამი ქიშმიშის მისაღებად?
გადაწყვეტილება
ყურძენი შედგება ტენისა და სუფთა ნივთიერებისგან. თუ ახალი ყურძენი შეიცავს 91% ტენიანობას, მაშინ დარჩენილი 9% შეადგენს ამ ყურძნის სუფთა ნივთიერებას:
ქიშმიში შეიცავს 93% სუფთა ნივთიერებას და 7% ტენიანობას:
გაითვალისწინეთ, რომ ყურძნის ქიშმიშით გადაქცევის პროცესში მხოლოდ ამ ყურძნის ტენიანობა ქრება. სუფთა ნივთიერება უცვლელი რჩება. მას შემდეგ, რაც ყურძენი ქიშმიშად გადაიქცევა, მიღებული ქიშმიში იქნება 7% ტენიანობა და 93% სუფთა ნივთიერება.
განვსაზღვროთ რამდენ სუფთა ნივთიერებას შეიცავს 21 კგ ქიშმიში. ამისათვის ჩვენ ვპოულობთ 21 კგ-ის 93%-ს
21 კგ × 0,93 = 19,53 კგ
ახლა დავუბრუნდეთ პირველ სურათს. ჩვენი ამოცანა იყო განვსაზღვროთ რამდენი ყურძენი უნდა მიიღოთ 21 კგ ქიშმიშის მისაღებად. სუფთა ნივთიერება 19,53 კგ წონით დაეცემა ყურძნის 9%-ს:
ახლა ვიცით, რომ სუფთა ნივთიერების 9% შეადგენს 19,53 კგ-ს, შეგვიძლია განვსაზღვროთ რამდენი ყურძენია საჭირო 21 კგ ქიშმიშის მოსამზადებლად. ამისათვის თქვენ უნდა იპოვოთ რიცხვი მისი პროცენტით:
19,53 კგ: 9 = 2,17 კგ
2,17 კგ × 100 = 217 კგ
ასე რომ, 21 კგ ქიშმიშის მისაღებად საჭიროა 217 კგ ყურძენი.
დავალება 3. კალის და სპილენძის შენადნობში სპილენძი არის 85%. რამდენი შენადნობი უნდა იქნას მიღებული 4,5 კგ კალის შემცველობისთვის?
გადაწყვეტილება
თუ სპილენძი არის 85% შენადნობაში, მაშინ დარჩენილი 15% იქნება კალა:
საკითხავია, რამდენი შენადნობი უნდა იქნას მიღებული, რომ შეიცავდეს 4,5 კალის. ვინაიდან შენადნობი შეიცავს 15% კალის, მაშინ 4,5 კგ კალა დაეცემა ამ 15%.
და იმის ცოდნა, რომ შენადნობის 4,5 კგ არის 15%, ჩვენ შეგვიძლია განვსაზღვროთ მთლიანი შენადნობის მასა. ამისათვის თქვენ უნდა იპოვოთ რიცხვი მისი პროცენტით:
4,5 კგ: 15 = 0,3 კგ
0,3 კგ × 100 = 30 კგ
ასე რომ, შენადნობი უნდა აიღოთ 30 კგ ისე, რომ შეიცავდეს 4,5 კგ კალის.
დავალება 4. 12%-იანი მარილმჟავას ხსნარის გარკვეული რაოდენობა შერეული იყო იმავე მჟავას 20%-იან ხსნართან. იპოვეთ მიღებული მარილმჟავას კონცენტრაცია.
გადაწყვეტილება
დავხატოთ პირველი გამოსავალი სწორი ხაზის სახით ფიგურაში და ავირჩიოთ 12%.
ვინაიდან ხსნარების რაოდენობა ერთნაირია, ერთი და იგივე ფიგურა შეიძლება დახატოთ გვერდიგვერდ, რაც ასახავს მეორე ხსნარს მარილმჟავას შემცველობით 20%
მივიღეთ ხსნარის ორასი ნაწილი (100% + 100%), რომლის ოცდათორმეტი ნაწილია მარილმჟავა (12% + 20%).
დაადგინეთ რა ნაწილია 32 ნაწილი 200 ნაწილიდან
ეს ნიშნავს, რომ მარილმჟავას 12%-იანი ხსნარის შერევისას იმავე მჟავას 20%-იან ხსნართან, მიიღება მარილმჟავას 16%-იანი ხსნარი.
შესამოწმებლად წარმოიდგინეთ, რომ პირველი ხსნარის მასა იყო 2 კგ. მეორე ხსნარის მასაც ასევე იქნება 2 კგ. შემდეგ ამ ხსნარების შერევისას მიიღება 4 კგ ხსნარი. მარილმჟავას პირველ ხსნარში იყო 2 × 0,12 = 0,24 კგ, ხოლო მეორეში - 2 × 0,20 = 0,40 კგ. შემდეგ მარილმჟავას ახალ ხსნარში იქნება 0,24 + 0,40 \u003d 0,64 კგ. მარილმჟავას კონცენტრაცია იქნება 16%.
ამოცანები დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის
ზე, ჩვენ ვიპოვით რიცხვის 60%-ს
ახლა გავზარდოთ რიცხვი ნაპოვნი 60%-ით, ე.ი. თითო რიცხვზე
პასუხი:ახალი ღირებულება არის
დავალება 12. უპასუხეთ შემდეგ კითხვებს:
1) დახარჯა თანხის 80%. რამდენი პროცენტი დარჩა ამ თანხიდან?
2) მამაკაცები შეადგენენ ყველა ქარხნის მუშაკთა 75%-ს. ქარხნის თანამშრომელთა რამდენი პროცენტია ქალები?
3) გოგონები შეადგენენ კლასის 40%-ს. კლასში რამდენი პროცენტია ბიჭები?
მაგრამ გადაწყვეტილება
მოდით გამოვიყენოთ ცვლადი. დაე იყოს პეს არის ორიგინალური ნომერი, რომელიც მითითებულია პრობლემაში. ავიღოთ ეს ორიგინალური ნომერი პ 100% -ისთვის
შეამცირეთ ეს ორიგინალური ნომერი პ 50%-ით
ახალი ნომერი ახლა თავდაპირველი რიცხვის 50%-ია. გაარკვიეთ რამდენჯერ აღემატება თავდაპირველ რიცხვს პახალ ნომერზე მეტი. ამისათვის ჩვენ ვპოულობთ თანაფარდობას 100%-დან 50%-მდე.
ორიგინალური ნომერი ორჯერ აღემატება ახალს. ეს ჩანს სურათზეც კი. და იმისთვის, რომ ახალი რიცხვი ორიგინალს გაუტოლდეს, ის უნდა გაორმაგდეს. რიცხვის გაორმაგება კი მის 100%-ით გაზრდას ნიშნავს.
ეს ნიშნავს, რომ ახალი რიცხვი, რომელიც თავდაპირველი რიცხვის ნახევარია, 100%-ით უნდა გაიზარდოს.
ახალი ნომრის გათვალისწინებით, ის ასევე აღებულია როგორც 100%. ასე რომ, ზემოთ მოცემულ ფიგურაში ახალი რიცხვი არის ორიგინალური რიცხვის ნახევარი და ხელმოწერილია როგორც 50%. თავდაპირველ რიცხვთან მიმართებაში ახალი რიცხვი ნახევარია. მაგრამ თუ ორიგინალისგან განცალკევებით განვიხილავთ, 100% უნდა მივიღოთ.
მაშასადამე, ფიგურაში ახალი რიცხვი, რომელიც წარმოდგენილია ხაზით, პირველად დასახელდა 50%. მაგრამ შემდეგ ჩვენ დავნიშნეთ ეს რიცხვი 100%.
პასუხი:ორიგინალური ნომრის მისაღებად ახალი რიცხვი 100%-ით უნდა გაიზარდოს.
პრობლემა 16. გასულ თვეში ქალაქში 15 ავარია მოხდა.
ამ თვეში ეს მაჩვენებელი 6-მდე დაეცა. რამდენი პროცენტით შემცირდა ავტოსაგზაო შემთხვევები?
გადაწყვეტილება
გასულ თვეში 15 ავარია მოხდა. ამ თვეში 6. ასე შემცირდა ავარიების რაოდენობა 9-ით.
ავიღოთ 15 ავარია 100%-ად. 15 ავარიის 9-ით შემცირებით, მათ გარკვეული პროცენტით შევამცირებთ. იმის გასარკვევად, რომელია, 9 ავარიის რა ნაწილია 15 ავარიიდან
პასუხი:მიღებული ხსნარის კონცენტრაცია არის 12%.
ამოცანა 18. გარკვეული ნივთიერების 11%-იანი ხსნარის გარკვეული რაოდენობა შეურიეს იმავე ნივთიერების 19%-იან ხსნარს. იპოვეთ მიღებული ხსნარის კონცენტრაცია.
გადაწყვეტილება
ორივე ხსნარის მასა ერთნაირია. თითოეული ხსნარი შეიძლება იქნას მიღებული 100%. ხსნარების დამატების შემდეგ მიიღება 200%-იანი ხსნარი. პირველ ხსნარში იყო ნივთიერების 11%, ხოლო მეორეში ნივთიერების 19%. შემდეგ მიღებულ 200% ხსნარში იქნება ნივთიერების 11% + 19% = 30%.
განსაზღვრეთ მიღებული ხსნარის კონცენტრაცია. ამისათვის ჩვენ გავარკვევთ, თუ რამდენ ნაწილს შეადგენს ნივთიერების ოცდაათი ნაწილი ნივთიერების ორასი ნაწილისგან:
1,10. ასე რომ, პირველი თვის ფასი იქნება 1.10.
მეორე თვეა ფასიც 10%-ით გაიზარდა. ამ ფასის ათ პროცენტს ვამატებთ მიმდინარე ფასს 1.10, მივიღებთ 1.10 + 0,10 × 1,10 . ეს ჯამი უდრის გამონათქვამს 1.21 . ანუ მეორე თვის ფასი იქნება 1.21.
მესამე თვეა ფასიც 10%-ით გაიზარდა. ამ ფასის ათი პროცენტი დავუმატოთ მიმდინარე ფასს 1.21, მივიღებთ 1.21 + 0,10 × 1,21. ეს ჯამი უდრის გამოსახულებას 1.331 . მაშინ მესამე თვის ფასი იქნება 1.331.
გამოთვალეთ სხვაობა ახალ და ძველ ფასს შორის. თუ საწყისი ფასი 1-ის ტოლი იყო, მაშინ ის გაიზარდა 1,331 − 1 = 0,331-ით. ამ შედეგის პროცენტულად გამოხატვისას მივიღებთ 0.331 × 100 = 33.1%
პასუხი: 3 თვის განმავლობაში სურსათზე ფასები 33.1%-ით გაიზარდა.
მოგეწონათ გაკვეთილი?
შემოუერთდით ჩვენს ახალ Vkontakte ჯგუფს და დაიწყეთ ახალი გაკვეთილების შეტყობინებების მიღება
ბოლო ვიდეო გაკვეთილში განვიხილეთ პროცენტული ამოცანების ამოხსნა პროპორციების გამოყენებით. შემდეგ, პრობლემის მდგომარეობის მიხედვით, დაგვჭირდა ამა თუ იმ რაოდენობის მნიშვნელობის პოვნა.
ამჯერად საწყისი და საბოლოო მნიშვნელობები უკვე გვეძლევა. ამიტომ, ამოცანებში საჭირო იქნება პროცენტების პოვნა. უფრო ზუსტად, რა პროცენტით შეიცვალა ესა თუ ის მნიშვნელობა. Მოდი ვცადოთ.
დავალება. Sneakers ღირს 3200 რუბლი. ფასის გაზრდის შემდეგ მათ დაიწყეს 4000 რუბლის ფასი. რამდენ პროცენტით გაიზარდა სპორტული ფეხსაცმელი?
ასე რომ, ჩვენ ვხსნით პროპორციით. პირველი ნაბიჯი - თავდაპირველი ფასი იყო 3200 რუბლი. აქედან გამომდინარე, 3200 რუბლი არის 100%.
გარდა ამისა, ჩვენ მოგვცეს საბოლოო ფასი - 4000 რუბლი. ეს უცნობი პროცენტია, ამიტომ ავღნიშნოთ როგორც x. ჩვენ ვიღებთ შემდეგ კონსტრუქციას:
3200 — 100%
4000 - x%
ისე, პრობლემის მდგომარეობა ჩაწერილია. ჩვენ ვადგენთ პროპორციას:
მარცხნივ წილადი შესანიშნავად მცირდება 100-ით: 3200: 100 = 32; 4000: 100 = 40. გარდა ამისა, შეგიძლიათ შეამციროთ 4: 32: 4 = 8; 40: 4 = 10. ვიღებთ შემდეგ პროპორციას:
გამოვიყენოთ პროპორციის ძირითადი თვისება: უკიდურესი წევრების ნამრავლი უდრის შუა რიცხვების ნამრავლს. ჩვენ ვიღებთ:
8 x = 100 10;
8x = 1000.
ეს არის ჩვეულებრივი წრფივი განტოლება. აქედან ვპოულობთ x:
x=1000:8=125
ასე რომ, მივიღეთ საბოლოო პროცენტი x = 125. მაგრამ არის თუ არა რიცხვი 125 პრობლემის გადაწყვეტა? Არანაირად! რადგან ამოცანა მოითხოვს, გაარკვიოთ, რამდენ პროცენტით გაიზარდა სპორტული ფეხსაცმელი.
რამდენი პროცენტით - ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ უნდა ვიპოვოთ ცვლილება:
∆ = 125 − 100 = 25
ჩვენ მივიღეთ 25% - ამდენი გაიზარდა საწყისი ფასი. ეს არის პასუხი: 25.
პრობლემა B2 ინტერესისთვის #2
გადავიდეთ მეორე ამოცანაზე.
დავალება. პერანგი ღირდა 1800 მანეთი. ფასის შემცირების შემდეგ დაიწყო 1530 რუბლი. რამდენ პროცენტით შემცირდა მაისურის ფასი?
ჩვენ ვთარგმნით პირობას მათემატიკური ენაზე. საწყისი ფასი 1800 რუბლია 100%. და საბოლოო ფასი არის 1530 რუბლი - ჩვენ ვიცით, მაგრამ არ არის ცნობილი, რამდენი პროცენტია ორიგინალური ღირებულებისა. ამიტომ მას x-ით აღვნიშნავთ. ჩვენ ვიღებთ შემდეგ კონსტრუქციას:
1800 — 100%
1530 - x%
მიღებული ჩანაწერის საფუძველზე, ჩვენ ვადგენთ პროპორციას:
შემდგომი გამოთვლების გასამარტივებლად, მოდით გავყოთ ამ განტოლების ორივე ნაწილი 100-ზე. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მარცხენა და მარჯვენა წილადების მრიცხველზე გადავკვეთავთ ორ ნულს. ჩვენ ვიღებთ:
ახლა ისევ გამოვიყენოთ პროპორციის ძირითადი თვისება: უკიდურესი წევრების ნამრავლი უდრის საშუალოების ნამრავლს.
18 x = 1530 1;
18x = 1530.
რჩება x-ის პოვნა:
x = 1530: 18 = (765 2) : (9 2) = 765: 9 = (720 + 45) : 9 = 720: 9 + 45: 9 = 80 + 5 = 85
მივიღეთ, რომ x = 85. მაგრამ, როგორც წინა ამოცანაში, ეს რიცხვი თავისთავად არ არის პასუხი. დავუბრუნდეთ ჩვენს მდგომარეობას. ახლა ჩვენ ვიცით, რომ ახალი ფასი შემცირების შემდეგ არის ძველი ფასის 85%. ხოლო ცვლილებების საპოვნელად საჭიროა ძველი ფასიდან, ე.ი. 100%, გამოაკელი ახალი ფასი, ე.ი. 85%. ჩვენ ვიღებთ:
∆ = 100 − 85 = 15
ეს რიცხვი იქნება პასუხი: გთხოვთ გაითვალისწინოთ: ზუსტად 15 და არავითარ შემთხვევაში 85. სულ ესაა! პრობლემა მოგვარებულია.
ყურადღებიანი მოსწავლეები ალბათ იკითხავენ: რატომ პირველ ამოცანაში სხვაობის პოვნისას გამოვაკლეთ საწყისი რიცხვი საბოლოო რიცხვს, ხოლო მეორე დავალებაში ზუსტად პირიქით: საწყის 100%-ს გამოვაკლეთ საბოლოო 85%?
მოდით გავარკვიოთ ეს. ფორმალურად, მათემატიკაში, მნიშვნელობის ცვლილება ყოველთვის არის განსხვავება საბოლოო მნიშვნელობასა და საწყისს შორის. ანუ მეორე პრობლემაში უნდა გვქონოდა არა 15, არამედ -15.
თუმცა ეს მინუსი არავითარ შემთხვევაში არ უნდა შედიოდეს პასუხში, რადგან ის უკვე გათვალისწინებულია თავდაპირველი პრობლემის პირობებში. იქვე წერია ფასის შემცირებაზე. 15%-იანი ფასის კლება იგივეა, რაც -15%-იანი მატება. ამიტომაც პრობლემის გადაჭრასა და პასუხში საკმარისია დაწეროთ მხოლოდ 15 - ყოველგვარი მინუსების გარეშე.
ყველაფერი, იმედი მაქვს, ამ წუთში გავიგეთ. ამით დასრულდა ჩვენი დღევანდელი გაკვეთილი. Მალე გნახავ!
დღეს, თანამედროვე სამყაროში, შეუძლებელია ამის გაკეთება ინტერესის გარეშე. სკოლაშიც კი, მე-5 კლასიდან დაწყებული, ბავშვები სწავლობენ ამ კონცეფციას და ამ ღირებულებით წყვეტენ პრობლემებს. ინტერესი გვხვდება თანამედროვე სტრუქტურების ყველა სფეროში. ავიღოთ, მაგალითად, ბანკები: სესხის ზედმეტად გადახდის ოდენობა დამოკიდებულია ხელშეკრულებაში მითითებულ თანხაზე; მოგების განზომილებაზეც მოქმედებს, ამიტომ სასიცოცხლოდ მნიშვნელოვანია ვიცოდეთ რა არის პროცენტი.
ინტერესის ცნება
ერთი ლეგენდის თანახმად, პროცენტი გაჩნდა სულელური ბეჭდვითი შეცდომის გამო. კომპოზიტორს უნდა დაეყენებინა რიცხვი 100, მაგრამ აირია და დააყენა ასე: 010. ამან გამოიწვია პირველი ნულის ოდნავ აწევა, ხოლო მეორეს დაცემა. ერთეული გახდა უკანა ხაზი. ასეთმა მანიპულაციებმა გამოიწვია პროცენტის ნიშნის გამოჩენა. რა თქმა უნდა, არსებობს სხვა ლეგენდები ამ ღირებულების წარმოშობის შესახებ.
ინდუსებმა პროცენტების შესახებ ჯერ კიდევ V საუკუნეში იცოდნენ. ევროპაში, რომელთანაც ჩვენი კონცეფცია მჭიდროდ არის დაკავშირებული, ათასწლეულის შემდეგ გამოჩნდა. პირველად ძველ სამყაროში, განსჯა იმის შესახებ, თუ რა არის პროცენტი, შემოიღო ბელგიელმა მეცნიერმა სიმონ სტევინმა. 1584 წელს იმავე მეცნიერმა პირველად გამოაქვეყნა სიდიდეების ცხრილი.
სიტყვა "პროცენტი" წარმოიშვა ლათინურად, როგორც pro centum. თუ თარგმნით ფრაზას, მიიღებთ "ასიდან". ასე რომ, პროცენტი გაგებულია, როგორც მნიშვნელობის მეასედი, რიცხვი. ეს მნიშვნელობა აღინიშნება ნიშნით%.
პროცენტების წყალობით, დიდი სირთულის გარეშე გახდა შესაძლებელი ერთი მთლიანის ნაწილების შედარება. აქციების გამოჩენამ მნიშვნელოვნად გაამარტივა გამოთვლები, რის გამოც ისინი ასე გავრცელებული გახდა.
წილადების პროცენტებად გადაქცევა
ათწილადი წილადის პროცენტად გადასაყვანად შეიძლება დაგჭირდეთ ეგრეთ წოდებული პროცენტული ფორმულა: წილადი მრავლდება 100-ზე, % ემატება შედეგს.
თუ თქვენ გჭირდებათ ჩვეულებრივი წილადის პროცენტად გადაქცევა, ჯერ უნდა გააკეთოთ ის ათწილადად და შემდეგ გამოიყენოთ ზემოთ მოცემული ფორმულა.
პროცენტების წილადებად გადაქცევა
როგორც ასეთი, პროცენტული ფორმულა საკმაოდ თვითნებურია. მაგრამ თქვენ უნდა იცოდეთ როგორ გადაიყვანოთ ეს მნიშვნელობა წილადის გამოხატულებად. აქციების (პროცენტების) ათობითი წილადების გადასაყვანად, თქვენ უნდა ამოიღოთ% ნიშანი და გაყოთ ინდიკატორი 100-ზე.
რიცხვის პროცენტის გამოთვლის ფორმულა
1) 40 x 30 = 1200.
2) 1200: 100 = 12 (სტუდენტები).
პასუხი: „5“-ზე საკონტროლო სამუშაო დაწერა 12 მოსწავლემ.
შეგიძლიათ გამოიყენოთ მზა ცხრილი, რომელიც აჩვენებს მათ შესაბამის წილადებს და პროცენტებს.
გამოდის, რომ პროცენტული ფორმულა ასე გამოიყურება: C \u003d (A ∙ B) / 100, სადაც A არის ორიგინალური რიცხვი (კონკრეტულ მაგალითში, უდრის 40); B - პროცენტების რაოდენობა (ამ პრობლემაში B = 30%); C არის სასურველი შედეგი.
პროცენტიდან რიცხვის გამოთვლის ფორმულა
შემდეგი დავალება გვიჩვენებს, თუ რა არის პროცენტი და როგორ ვიპოვოთ რიცხვი პროცენტიდან.
სამკერვალო ქარხანამ 1200 კაბა გამოუშვა, საიდანაც 32% ახალი სტილის კაბაა. რამდენი ახალი სტილის კაბა დაამზადა ტანსაცმლის ქარხანამ?
1. 1200: 100 = 12 (კაბები) - ყველა წარმოებული ნივთის 1%.
2. 12 x 32 = 384 (კაბები).
პასუხი: ქარხანამ დაამზადა 384 ახალი სტილის კაბა.
თუ თქვენ გჭირდებათ რიცხვის პოვნა მისი პროცენტით, შეგიძლიათ გამოიყენოთ შემდეგი ფორმულა: C \u003d (A ∙ 100) / B, სადაც A არის ნივთების საერთო რაოდენობა (ამ შემთხვევაში, A \u003d 1200); B - პროცენტების რაოდენობა (კონკრეტულ ამოცანაში B = 32%); C არის სასურველი მნიშვნელობა.
რიცხვის გაზრდა, შემცირება მოცემული პროცენტით
მოსწავლეებმა უნდა ისწავლონ რამდენი პროცენტია, როგორ დათვალონ ისინი და გადაჭრან სხვადასხვა ამოცანები. ამისათვის თქვენ უნდა გესმოდეთ, როგორ იზრდება ან მცირდება რიცხვი N%-ით.
ხშირად დავალებებს აძლევენ, ცხოვრებაში კი უნდა გაარკვიო, რის ტოლი იქნება მოცემული პროცენტით გაზრდილი რიცხვი. მაგალითად, X რიცხვის გათვალისწინებით. თქვენ უნდა გაარკვიოთ რა იქნება X-ის მნიშვნელობა, თუ ის გაიზრდება, ვთქვათ, 40%-ით. ჯერ 40% უნდა გადაიყვანოთ წილად რიცხვად (40/100). ასე რომ, X რიცხვის გაზრდის შედეგი იქნება: X + 40% ∙ X \u003d (1 + 40 / 100) ∙ X \u003d 1.4 ∙ X. თუ X-ის ნაცვლად რომელიმე რიცხვს შევცვლით, ავიღოთ, მაგალითად, 100. , მაშინ მთელი გამოხატულება ტოლი იქნება: 1.4 ∙ X \u003d 1.4 ∙ 100 \u003d 140.
დაახლოებით იგივე პრინციპი გამოიყენება რიცხვის მოცემული პროცენტით შემცირებისას. აუცილებელია გამოთვლების ჩატარება: X - X ∙ 40% \u003d X ∙ (1-40 / 100) \u003d 0.6 ∙ X. თუ მნიშვნელობა არის 100, მაშინ 0.6 ∙ X \u003d 0.6. 100 = 60.
არის დავალებები, სადაც უნდა გაარკვიოთ, რა პროცენტით გაიზარდა რიცხვი.
მაგალითად, მოცემულია დავალება: მძღოლი ტრასის ერთ მონაკვეთზე 80 კმ/სთ სიჩქარით მოძრაობდა. მეორე მონაკვეთზე მატარებლის სიჩქარე 100 კმ/სთ-მდე გაიზარდა. რა პროცენტით გაიზარდა მატარებლის სიჩქარე?
ვთქვათ 80 კმ/სთ არის 100%. შემდეგ ვაკეთებთ გამოთვლებს: (100% ∙ 100 კმ/სთ) / 80 კმ/სთ = 1000: 8 = 125%. გამოდის, რომ 100 კმ/სთ არის 125%. იმის გასარკვევად, თუ რამდენად გაიზარდა სიჩქარე, თქვენ უნდა გამოთვალოთ: 125% - 100% = 25%.
პასუხი: მეორე მონაკვეთზე მატარებლის სიჩქარე 25%-ით გაიზარდა.
პროპორცია
ხშირია შემთხვევები, როცა პროპორციის გამოყენებით პროპორციულად პრობლემების გადაჭრაა საჭირო. ფაქტობრივად, შედეგის პოვნის ეს მეთოდი დიდად უადვილებს ამოცანას მოსწავლეებს, მასწავლებლებს და არა მარტო.
მაშ რა არის პროპორცია? ეს ტერმინი ეხება ორი ურთიერთობის თანასწორობას, რომელიც შეიძლება გამოიხატოს შემდეგნაირად: A / B \u003d C / D.
მათემატიკის სახელმძღვანელოებში ასეთი წესია: უკიდურესი წევრთა ნამრავლი უდრის საშუალოს ნამრავლს. ეს გამოიხატება შემდეგი ფორმულით: A x D = B x C.
ამ ფორმულირების წყალობით, ნებისმიერი რიცხვი შეიძლება გამოითვალოს, თუ ცნობილია პროპორციის დანარჩენი სამი წევრი. მაგალითად, A არის უცნობი რიცხვი. მის პოვნა გჭირდებათ
პროპორციული მეთოდით ამოცანების გადაჭრისას აუცილებელია იმის გაგება, თუ რა რიცხვიდან ავიღოთ პროცენტები. არის შემთხვევები, როდესაც აქციები უნდა აიღოთ სხვადასხვა ღირებულებიდან. შეადარეთ:
1. მაღაზიაში გაყიდვის დასრულების შემდეგ მაისურის ღირებულება 25%-ით გაიზარდა და 200 მანეთი შეადგინა. რა ღირდა გაყიდვის დროს.
ამ შემთხვევაში, 200 რუბლის ღირებულება შეესაბამება მაისურის ორიგინალური (გაყიდვის) ფასის 125%-ს. შემდეგ გაყიდვის დროს მისი ღირებულების გასარკვევად საჭიროა (200 x 100): 125. იღებთ 160 რუბლს.
2. პლანეტა Vitsencia-ზე 200 000 მოსახლეა: ხალხი და ჰუმანოიდური რასის ნაავის წარმომადგენლები. ნაავი ვისენსიის მთლიანი მოსახლეობის 80%-ს შეადგენს. ხალხიდან 40% დასაქმებულია მაღაროს მოვლა-პატრონობაზე, დანარჩენი ტეტანისთვისაა მოპოვებული. რამდენი ადამიანი ამუშავებს ტეტანს?
უპირველეს ყოვლისა, თქვენ უნდა იპოვოთ რიცხვითი სახით ხალხის რაოდენობა და ნაავის რაოდენობა. ასე რომ, 200 000-დან 80% იქნება 160 000. ჰუმანოიდური რასის ამდენი წარმომადგენელი ცხოვრობს ვისენსიაზე. ხალხის რაოდენობა, შესაბამისად, 40 000-ია, აქედან 40%, ანუ 16 000 მაღაროს ემსახურება. ასე რომ, ტეტანის მოპოვებით 24000 ადამიანია დაკავებული.
რიცხვის მრავალჯერადი ცვლილება გარკვეული პროცენტით
როცა უკვე ნათელია, რა არის პროცენტი, უნდა შეისწავლო აბსოლუტური და ფარდობითი ცვლილების კონცეფცია. აბსოლუტური ტრანსფორმაცია გაგებულია, როგორც რიცხვის ზრდა კონკრეტული რიცხვით. ასე რომ, X გაიზარდა 100-ით. რაც არ უნდა ჩაანაცვლოს X-ს, ეს რიცხვი მაინც გაიზრდება 100-ით: 15 + 100; 99,9 + 100; a + 100 და ა.შ.
ფარდობითი ცვლილება გაგებულია, როგორც მნიშვნელობის ზრდა გარკვეული პროცენტით. ვთქვათ X გაიზარდა 20%-ით. ეს ნიშნავს, რომ X ტოლი იქნება: X + X ∙ 20%. ფარდობითი ცვლილება იგულისხმება, როდესაც ვსაუბრობთ ნახევარ ან მესამედ ზრდაზე, მეოთხედ შემცირებაზე, 15%-იან ზრდაზე და ა.შ.
არის კიდევ ერთი მნიშვნელოვანი მომენტი: თუ X-ის მნიშვნელობა გაიზრდება 20%-ით და შემდეგ კიდევ 20%-ით, მაშინ მთლიანი ზრდა იქნება 44%, მაგრამ არა 40%. ეს ჩანს შემდეგი გამოთვლებიდან:
1. X + 20% ∙ X = 1.2 ∙ X
2. 1,2 ∙ X + 20% ∙ 1,2 ∙ X = 1,2 ∙ X + 0,24 ∙ X = 1,44 ∙ X
ეს აჩვენებს, რომ X გაიზარდა 44%-ით.
დავალებების მაგალითები პროცენტებისთვის
1. 36 რიცხვის რამდენი პროცენტია რიცხვი 9?
რიცხვის პროცენტის პოვნის ფორმულის მიხედვით, თქვენ უნდა გაამრავლოთ 9 100-ზე და გავყოთ 36-ზე.
პასუხი: რიცხვი 9 არის 36-ის 25%.
2. გამოთვალეთ C რიცხვი, რომელიც არის 40-ის 10%.
რიცხვის პროცენტის პოვნის ფორმულის მიხედვით, თქვენ უნდა გაამრავლოთ 40 10-ზე და გაყოთ შედეგი 100-ზე.
პასუხი: რიცხვი 4 არის 40-ის 10%.
3. პირველმა პარტნიორმა ბიზნესში ჩადო 4500 რუბლი, მეორემ – 3500 რუბლი, მესამემ – 2000 რუბლი. მათ მიიღეს მოგება 2400 მანეთი. მათ მოგება თანაბრად გაინაწილეს. რამდენი რუბლში დაკარგა პირველმა პარტნიორმა იმ ფაქტთან შედარებით, თუ რამდენს მიიღებდა, თუ შემოსავალს დაყოფდნენ ინვესტირებული სახსრების პროცენტის მიხედვით?
ასე რომ, მათ ერთად ჩადეს 10,000 რუბლი. თითოეულის შემოსავალმა შეადგინა თანაბარი წილი 800 მანეთი. იმის გასარკვევად, თუ რამდენი უნდა მიეღო პირველ პარტნიორს და რამდენი დაკარგა, შესაბამისად, უნდა გაარკვიოთ ინვესტირებული სახსრების პროცენტი. შემდეგ თქვენ უნდა გაარკვიოთ რამდენ მოგებას მოაქვს ეს წვლილი რუბლებში. და ბოლო რამ არის შედეგის გამოკლება 800 მანეთი.
პასუხი: მოგების გაზიარებისას პირველმა პარტნიორმა დაკარგა 280 მანეთი.
ცოტა ეკონომია
დღეს საკმაოდ პოპულარული კითხვაა სესხის გაცემა გარკვეული ვადით. მაგრამ როგორ ავირჩიოთ მომგებიანი სესხი ისე, რომ ზედმეტი არ გადაიხადოთ? პირველ რიგში, თქვენ უნდა გადახედოთ საპროცენტო განაკვეთს. სასურველია, რომ ეს მაჩვენებელი იყოს რაც შეიძლება დაბალი. მაშინ თქვენ უნდა მიმართოთ სესხს.
როგორც წესი, ზედმეტად გადახდის ზომაზე გავლენას ახდენს ვალის ოდენობა, საპროცენტო განაკვეთი და დაფარვის მეთოდი. არის ანუიტეტი და პირველ შემთხვევაში სესხის დაფარვა ხდება ყოველთვიურად თანაბარი განვადებით. მაშინვე იზრდება თანხა, რომელიც ფარავს ძირითად სესხს და თანდათან მცირდება პროცენტის ღირებულება. მეორე შემთხვევაში, მსესხებელი იხდის მუდმივ თანხებს სესხის დასაფარად, რასაც ემატება პროცენტი ძირითადი დავალიანების ნაშთზე. ყოველთვიურად, გადახდების მთლიანი ოდენობა შემცირდება.
ახლა თქვენ უნდა გაითვალისწინოთ ორივე მეთოდი, ანუ ანუიტეტის ოფციონით ზედმეტად გადახდის ოდენობა უფრო მაღალი იქნება, ხოლო დიფერენციალური ვარიანტით პირველი გადახდების ოდენობა. ბუნებრივია, სესხის პირობები ორივე შემთხვევაში ერთნაირია.
დასკვნა
ასე რომ, ინტერესი. როგორ დავთვალოთ ისინი? საკმარისად მარტივი. თუმცა, ზოგჯერ ისინი შეიძლება იყოს პრობლემური. ამ თემის შესწავლა სკოლაში იწყება, მაგრამ ის ყველას ეწევა სესხების, დეპოზიტების, გადასახადების და ა.შ. ამიტომ სასურველია ჩავუღრმავდეთ ამ საკითხის არსს. თუ მაინც ვერ ახერხებთ გამოთვლებს, არსებობს უამრავი ონლაინ კალკულატორი, რომელიც დაგეხმარებათ ამოცანის შესრულებაში.
პროცენტული ცნება ძალიან ხშირად გვხვდება ჩვენს ცხოვრებაში, ამიტომ ძალიან მნიშვნელოვანია ვიცოდეთ, როგორ მოვაგვაროთ პრობლემები პროცენტებით. პრინციპში ეს არ არის რთული საქმე, მთავარია ინტერესით მუშაობის პრინციპის გაგება.
რა არის პროცენტი
ჩვენ ვმუშაობთ 100 პროცენტის კონცეფციით და შესაბამისად, ერთი პროცენტი არის გარკვეული რიცხვის მეასედი. და ყველა გაანგარიშება უკვე ეფუძნება ამ თანაფარდობას.
მაგალითად, 50-დან 1% არის 0.5, 700-დან 15 არის 7.
როგორ გადაწყვიტოს
- იმის ცოდნა, რომ ერთი პროცენტი არის წარმოდგენილი რიცხვის მეასედი, შეგიძლიათ იპოვოთ საჭირო პროცენტების ნებისმიერი რაოდენობა. უფრო გასაგებად რომ ვთქვათ, შევეცადოთ ვიპოვოთ 800 რიცხვის 6 პროცენტი. ეს კეთდება მარტივად.
- ჯერ ერთ პროცენტს ვპოულობთ. ამისთვის 800 გაყავით 100-ზე გამოდის 8.
- ახლა სწორედ ამ ერთ პროცენტს, ანუ 8-ს ვამრავლებთ იმ პროცენტის რაოდენობაზე, რომელიც გვჭირდება, ანუ 6-ზე. გამოდის 48.
- დააფიქსირეთ შედეგი გამეორებით.
150 150. ამოხსნა: 150/100*15=22.
28% 1582. ამოხსნა: 1582/100*28=442.
- არსებობს სხვა პრობლემები, როდესაც თქვენ გეძლევათ მნიშვნელობები და თქვენ უნდა იპოვოთ პროცენტები. მაგალითად, თქვენ იცით, რომ მაღაზიაში 75 თეთრი ვარდიდან 5 ალისფერი ვარდია და თქვენ უნდა იცოდეთ რამდენი პროცენტია ალისფერი ვარდი. თუ ჩვენ არ ვიცით ეს პროცენტი, მაშინ აღვნიშნავთ მას x-დ.
ამისათვის არსებობს ფორმულა: 75 - 100%
ამ ფორმულაში რიცხვები მრავლდება ჯვარზე, ანუ x \u003d 5 * 100/75. გამოდის, რომ x \u003d 6% ასე რომ, ალისფერი ვარდების პროცენტი არის 6%.
- არსებობს სხვა ტიპის პრობლემა პროცენტებთან დაკავშირებით, როცა უნდა იპოვოთ, რა პროცენტით არის ერთი რიცხვი მეორეზე დიდი ან ნაკლები. როგორ მოვაგვაროთ პრობლემები პროცენტებით ამ შემთხვევაში?
კლასში 30 მოსწავლეა, მათგან 16 ბიჭია. საკითხავია ბიჭების რამდენი პროცენტით მეტია გოგოებზე. ჯერ უნდა გამოთვალოთ სტუდენტების რამდენი პროცენტია ბიჭები, შემდეგ უნდა გაარკვიოთ გოგოების რამდენი პროცენტია. და ბოლოს იპოვე განსხვავება.
მოდით დავიწყოთ. ჩვენ ვქმნით პროპორციას 30 ანგარიშისგან. - 100%
16 ანგარიში -X %
ახლა ჩვენ ვითვლით. X=16*100/30, x=53.4% კლასში ყველა მოსწავლის ბიჭები არიან.
ახლა იპოვეთ გოგონების პროცენტი იმავე კლასში. 100-53.4=46.6%
ახლა რჩება მხოლოდ განსხვავების პოვნა. 53,4-46,6=6,8%. პასუხი: 6,8%-ით მეტი ბიჭია ვიდრე გოგო.
ძირითადი პუნქტები ინტერესის გადაჭრაში
ასე რომ, იმისათვის, რომ არ გქონდეთ პრობლემები, თუ როგორ უნდა მოაგვაროთ პრობლემები პროცენტულად, გახსოვდეთ რამდენიმე ძირითადი წესი:
- იმისათვის, რომ არ დაბნეულიყავით პრობლემებში პროცენტებთან, ყოველთვის ფხიზლად იყავით: გადადით კონკრეტული მნიშვნელობებიდან პროცენტებზე და პირიქით, საჭიროების შემთხვევაში. მთავარია არასოდეს აურიოთ ერთი მეორეში.
- ფრთხილად იყავით პროცენტების გაანგარიშებისას. მნიშვნელოვანია იცოდეთ რა კონკრეტული მნიშვნელობიდან უნდა დათვალოთ. მნიშვნელობების თანმიმდევრული ცვლილებებისთვის, პროცენტი გამოითვლება ბოლო მნიშვნელობიდან.
- სანამ პასუხს ჩაწერთ, კიდევ ერთხელ წაიკითხეთ მთელი პრობლემა, რადგან შესაძლოა მხოლოდ შუალედური პასუხი იპოვეთ და კიდევ ერთი ან ორი მოქმედების შესრულება დაგჭირდებათ.
ამრიგად, პროცენტებით ამოცანების ამოხსნა არც ისე რთული საკითხია, მასში მთავარია ყურადღება და სიზუსტე, როგორც, მართლაც, ყველა მათემატიკაში. და არ დაგავიწყდეთ, რომ პრაქტიკა საჭიროა ნებისმიერი უნარის გასაუმჯობესებლად. ასე რომ, გადაწყვიტე მეტი და ყველაფერი კარგად იქნება შენთვის ან თუნდაც შესანიშნავი.
1% არის რიცხვის მეასედი.1% = 0,01.
რიცხვის პროცენტების პოვნა.
რიცხვის პროცენტის საპოვნელად შეგიძლიათ პროცენტი წარმოადგინოთ ათწილადის სახით და გაამრავლოთ რიცხვი მიღებული ათობითი წილადით.
რიცხვის პოვნა მისი პროცენტით.
რიცხვის პროცენტის საპოვნელად, შეგიძლიათ პროცენტი წარმოადგინოთ ათწილადის სახით და გაყოთ ეს რიცხვი მიღებულ ათობითი წილადზე.
იმის დასადგენად, თუ რამდენი პროცენტია ერთი რიცხვი მეორისგან, შეგიძლიათ გაყოთ ერთი რიცხვი მეორეზე და გაამრავლოთ მიღებული ნამრავლი 100-ზე.
როგორ მოვაგვაროთ პროცენტული პრობლემები. მაგალითები.
რიცხვის პროცენტის პოვნა დაკავშირებულია რიცხვის წილადის პოვნასთან. პროცენტები ჩვეულებრივი წილადის დაწერის განსაკუთრებული ხერხია, ამიტომ, ინტერესის ცნების მნიშვნელობის გამოვლენა უნდა დაიწყოს ჩვეულებრივი წილადის ცნების გაგებიდან.
მაგალითად, ავიღოთ რამდენიმე საერთო წილადი. რას ნიშნავს თითოეული ასეთი ჩანაწერი?
ეს არის რეგულარული წილადების მაგალითები. თითოეული მათგანის მნიშვნელი გვიჩვენებს, თუ რამდენი ტოლი ნაწილი გჭირდებათ რაიმე რეალური ან აბსტრაქტული ობიექტის გასაყოფად, მრიცხველი გვიჩვენებს, რამდენი ასეთი ნაწილი უნდა აიღოთ. მაგალითისთვის ავიღოთ რეგულარული წილადი. Მაგალითად. ამ გამოთქმის მნიშვნელობა შეიძლება გამოვლინდეს შემდეგნაირად. ზოგიერთი რეალური ობიექტი დაყო 3 თანაბარ ნაწილად და მათგან აიღეს 2 ნაწილი.
როგორც რეალური ობიექტი, შეგიძლიათ აიღოთ, მაგალითად, მართკუთხედი.
ეს გამოხატულება არის a და b-ის კოეფიციენტი, სადაც b არ არის 0-ის ტოლი.
ეს არის a და b რიცხვების შეფარდება, სადაც b არ არის 0-ის ტოლი.
ეს არის ჩვეულებრივი ფრაქცია. a არის მრიცხველი, b არის მნიშვნელი (b არ არის 0-ის ტოლი).
მაგალითი 1ლულის ტევადობა 200 ლიტრი იყო, კასრები წყლით იყო სავსე. რა აზრი აქვს ამ წინადადებას?
- ეს წილადი ნიშნავს, რომ გარკვეული ობიექტი დაყოფილი იყო 5 თანაბარ ნაწილად და მათგან აიღეს 2 ნაწილი. ობიექტი ამ პრობლემაში არის ლულის მოცულობა 200 ლიტრის ტოლი, შესაბამისად,
200:5 = 40,
402 = 80.
კასრში 80 ლიტრი წყალი ჩაასხეს.
ზემოთ მოყვანილი მაგალითი რიცხვის წილადის პოვნის ტიპიური მაგალითია.
რიცხვის წილადის საპოვნელად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ რიცხვი ამ წილადზე.
ახლა შეგვიძლია გადავიდეთ პროცენტებზე.
პროცენტის კონცეფცია განისაზღვრება შემდეგნაირად: რიცხვის 1% არის რიცხვის მეასედი, ანუ 1% \u003d 0.01.
შემდეგ წინადადების მნიშვნელობა ბ რიცხვის ა%.შეიძლება აიხსნას ასე. ზოგიერთი ობიექტი (რომლის ღირებულება უდრის ბერთეულები) იყოფა 100 ტოლ ნაწილად და მათგან აღებული ანაწილები.
მაგალითი 2მაშას 400 მანეთი ჰქონდა. მან ამ თანხის 24% დახარჯა. რა აზრი აქვს ამ გამონათქვამს?
ვინაიდან 24% \u003d 0.24 და 0.24 ნიშნავს, რომ გარკვეული ობიექტი დაყოფილი იყო 100 თანაბარ ნაწილად და მათგან აიღეს 24 ნაწილი. ამ შემთხვევაში, ობიექტი არის ფულის ოდენობა 400 რუბლის ტოლი, შესაბამისად,
400: 100 =4,
424 = 96.
მაშამ 96 მანეთი დახარჯა.
ზემოთ მოყვანილი მაგალითი რიცხვის პროცენტების პოვნის ტიპიური მაგალითია.
მაგალითი 3საჭიროა მოძებნა R%
ნომრიდან ბ
.
მოდით x იყოს რიცხვი, რომელიც უნდა ვიპოვოთ.
p%
= 0,01გვ,
x = b
0,01გვ
რიცხვის პროცენტების საპოვნელად, თქვენ უნდა წარმოადგინოთ პროცენტების რაოდენობა ათწილადის სახით და გაამრავლოთ მოცემული რიცხვი ამ ათობითი წილადზე.
ამ პრობლემის კიდევ ერთი მიდგომა. შეგიძლიათ გამოიყენოთ პროპორციის კონცეფცია და თვისებები. თუ გავიხსენებთ, რომ პროპორცია არის ორი შეფარდების ტოლობა, ხოლო ორი რიცხვის შეფარდება ჩვეულებრივი წილადი, მაშინ ეს მეთოდი ასევე დაკავშირებულია ჩვეულებრივი წილადის ცნებასთან.
ბ - 100%,
x - p%,
ჩვენ გვაქვს პროპორცია:
b: 100 = x: p, (b არის 100-მდე, როგორც x არის p) საიდანაც,
მაგალითი 4დაე იყოს ნომრები ა და ბ უფრო მეტიც, ა >ბ მერე ნომერი ა მეტი ნომერი ბ ზე %.
მოდით მივუდგეთ ამ პრობლემას ცოტა სხვანაირად. ჩვენ განვიხილავთ მარტივ სპეციალურ შემთხვევას, მაგალითად, ეს: "რამდენი პროცენტით მეტია რიცხვი 10, ვიდრე რიცხვი 2?".
1. გამოვაკლოთ პატარა რიცხვი დიდ რიცხვს. 10 - 2 = 8. მაშინ 10 მეტია 2-ზე 8-ზე.
2. იპოვეთ ნაპოვნი რიცხვის შეფარდება უფრო მცირე რიცხვთან. 8:2=4 არის ორი რიცხვის შეფარდება!
3 ჩვენ გამოვხატავთ თანაფარდობას პროცენტულად 4100 = 400%.
რიცხვი 10 400%-ით მეტია ვიდრე რიცხვი 2.
თუ 8-ს გავყოფთ 10-ზე, ვიპოვით თანაფარდობას, რომელიც აჩვენებს, თუ რამდენია 10 2-დან 10-ზე ნაკლები (აქ შედარება ხდება 10 რიცხვთან.
რიცხვი 2 80%-ით ნაკლებია 10 რიცხვზე.
მაგალითი 5ტრაქტორის მძღოლმა 6 ჰექტარი გადაიხნა, რაც მთელი მინდვრიდანაა. რა არის მთელი ველის ფართობი.
ეს არის ტიპიური პრობლემა წილადის მიხედვით რიცხვის პოვნის. დაე იყოს მთელი ველის ფართობი x,
მაშინ გვაქვს განტოლება x= 6. საიდანაც x = 6:; x = 26. მინდვრის ფართობი 26 ჰა.
რიცხვის საპოვნელად მის წილადზე უნდა გაყოთ მოცემული წილადის შესაბამისი რიცხვი წილადზე.
მაგალითი 6.მოცემული ნომერი ბ, რომელიც p% ნომრიდან ა. იპოვნეთ ნომერი ა.
p%
= 0,01გვ
ბ
= 0,01პა
a = b: (0.01p)
მოცემული ნომერი ბ , რომელიც p% ნომრიდან ა .
იპოვნეთ ნომერი ა .
a - 100%
b-p%
a:100 = b:p
რთული პროცენტის ფორმულა.
თუ დეპოზიტს აქვს თანხა აფულადი ერთეულები და საბანკო გადასახადები R%
წელიწადში, შემდეგ მეშვეობით ნ
წლების განმავლობაში, ანაბარზე თანხა იქნება ფულადი ერთეული, ან
a(1+0.01p)n
ფულადი ერთეულები.
მაგალითი 7სახლის მშენებლობა დაჯდა 9800 მანეთი, საიდანაც 35% გადაიხადეს სამუშაოზე, დანარჩენი კი მასალაში. რა დაჯდა მასალები?
გადახდილი სამუშაოსთვის:
0,359800 = 3430.
აქედან გამომდინარე, მასალები ღირს: 9800 - 3430 = 6370.
პასუხი: 6370 რუბლი.
მაგალითი 8ავზში 37,4 ტონა ბენზინი ჩაასხეს, რის შემდეგაც ავზის ტევადობის 6,5% შეუვსებელი დარჩა. რამდენი ბენზინი უნდა დაემატოს ავზს მის შესავსებად?
თუ ავზის შეუვსებელი ნაწილი არის ტევადობის 6,5%, მაშინ შევსებული ნაწილია: 100% - 6,5% = 93,5%. მაშინ, თუ x არის ბენზინის მასა, რომელიც რჩება ავზში დასამატებლად, მაშინ გვაქვს პროპორცია
სადაც 
.
პასუხი: 2,6 ტონა.
მაგალითი 9იპოვეთ რიცხვი, რადგან იცოდეთ, რომ მისი 25% არის 640-ის 45%.
მოდით x იყოს სასურველი რიცხვი. Ჩვენ გვაქვს
0.25x = 0.45640.
პასუხი: 1152.
მაგალითი 10რიცხვი a არის b რიცხვის 92%. თუ რიცხვი b გაიზარდა 700-ით, მაშინ ახალი რიცხვი 9%-ით მეტი იქნება რიცხვზე a. იპოვეთ რიცხვები a და b.
პრობლემის მდგომარეობიდან გვაქვს განტოლებათა სისტემა:
შედეგად მიღებული სისტემის ამოხსნით, ვპოულობთ, a = 230000, b = 250000.
პასუხი: 230000; 250000.
მაგალითი 11.პირველი რიცხვი მეორის 50%-ია. პირველის რამდენი პროცენტია მეორე?
მეორე რიცხვი ავღნიშნოთ x-ით, მაშინ პირველი რიცხვი უდრის 0,5x-ს. იმის გასარკვევად, რამდენი პროცენტია 0,5x რიცხვის x რიცხვი; მოდით გავაკეთოთ პროპორცია:
საიდანაც ვპოულობთ
პასუხი: 200%.
მაგალითი 12.ლიცეუმში 260 მოსწავლე სწავლობს, საიდანაც 10% წარუმატებელია. გარკვეული რაოდენობის ცუდი შემსრულებლების გარიცხვის შემდეგ მათი პროცენტი 6,4%-მდე დაეცა. რამდენმა სტუდენტმა დატოვა სწავლა?
გაძევებამდე, გაძევებამდე არასრულფასოვნების რაოდენობა სოლო იყო
განდევნონ x ხალხი. მაშინ ლიცეუმში სულ 260 მოსწავლე დარჩა, საიდანაც 26 წარუმატებელი აღმოჩნდა. პროპორცია გვაქვს
260 - x - 100%,
(260 - x) 0.064 = (26 - x) 100,
მიღებული განტოლების ამოხსნით, ვპოულობთ x = 10-ს.
მაგალითი 13რამდენი პროცენტით მეტია 250 200-ზე?
მოდით გავაკეთოთ ორი რამ.
1) ვხვდებით, რამდენი პროცენტია 200 რიცხვის 250 ტონა:
2) ვინაიდან რიცხვი 200 ამ მაგალითში არის 100%, მაშინ რიცხვი 250 მეტია 200 რიცხვზე 125% -100% = 25%.
პასუხი: 25%.
მაგალითი 14რამდენი პროცენტია 200-ით ნაკლები 250-ზე?
1) გაარკვიეთ, რამდენი პროცენტია რიცხვი 200 250 რიცხვიდან (წინა მაგალითისგან განსხვავებით, აქ თქვენ უნდა აიღოთ რიცხვი 250, როგორც 100%!):
2) რიცხვი 200 100%-ით ნაკლებია 250 რიცხვზე - 80% = 20%.
პასუხი: 20%.
მაგალითი 15აგურის სიგრძე გაიზარდა 30%-ით, სიგანე 20%-ით, ხოლო სიმაღლე შემცირდა 40%-ით. ამით გაიზარდა თუ შემცირდა აგურის მოცულობა და რამდენი პროცენტით?
აგურის თავდაპირველი სიგრძე იყოს x, სიგანე - y, სიმაღლე - z. შემდეგ აგურის საწყისი მოცულობა: V 1 = xyz. ახალი აგურის ზომები: 1.3x; 1.2წ; 0.6z და ახალი მოცულობა: V 2 \u003d 1.3x1.2y0.6z \u003d 0.936xyz. V 2 წლიდან< V 1 , объем кирпича уменьшился. Уменьшение V 2 - V 1 = 0,064xyz и составляет 6,4% от V 1.
პასუხი: შემცირდა 6,4%-ით.
მაგალითი 16ერთი საქონლის ფასი 40%-ით დაეცა, შემდეგ კიდევ 25%-ით. რამდენი პროცენტით შემცირდა პროდუქტის ფასი თავდაპირველ ფასთან შედარებით?
მოდით x იყოს პროდუქტის საწყისი ფასი. პირველი კლების შემდეგ ფასი გაუტოლდება
x - 0, 4x = 0.6x.
ფასის მეორე კლება არის 0.6x ახალი ფასის 25%, ასე რომ მეორე კლების შემდეგ გვექნება ფასი.
0.6x - 0.250.6x = 0.45x;.
ორი შემცირების შემდეგ, მთლიანი ფასის ცვლილებაა:
x - 0.45x = 0.55x.
ვინაიდან მნიშვნელობა არის 0.55x; არის x-ის 55%, მაშინ საქონლის ფასი 55%-ით შემცირდა.
პასუხი: 55%.
მაგალითი 17.წარმოების ერთეულის საწყისი ღირებულება იყო 75 რუბლი. წარმოების პირველ წელს ის გაიზარდა გარკვეული პროცენტით, ხოლო მეორე წლის განმავლობაში შემცირდა (გაზრდილ ღირებულებასთან მიმართებაში) იგივე პროცენტით, რის შედეგადაც იგი გახდა 72 რუბლის ტოლი. განსაზღვრეთ პროდუქციის ერთეულის ღირებულების პროცენტული ზრდა და შემცირება.
მოდით x% იყოს პროდუქტის ერთეულის ღირებულების პროცენტული ზრდა (და შემცირება). განმარტებით, x% 75 არის 750.01x. მაშინ პირველი გაზრდის შემდეგ ფასი იქნება 75 + 0.75x.
მეორე წლის განმავლობაში ფასი შემცირდება
0.01x(75+0.75x) = 0.75x + 0.0075x2.
ახლა ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ განტოლება საბოლოო ფასისთვის
(75 + 0,75x) - (0,75x + 0,0075x 2) = 72;
x 2 \u003d 400; აქედან გამომდინარე, x 1 = - 20, x 2 = 20.
ამ განტოლების მხოლოდ ერთი ფესვია შესაფერისი: x 2 \u003d 20.
პასუხი: 20%.
მაგალითი 18.საბანკო ანგარიშზე 10 ათასი რუბლი ჩაირიცხა. ერთი წლის განმავლობაში ფულის დადების შემდეგ, ანგარიშიდან ამოიღეს 1 ათასი რუბლი. ერთი წლის შემდეგ, ანგარიში 11 ათასი რუბლი იყო. დაადგინეთ, რამდენ პროცენტს ანაზღაურებს ბანკი წელიწადში.
დაე, ბანკმა დააკისროს p% წელიწადში.
1) 10,000 რუბლის ოდენობა, რომელიც დეპონირდება საბანკო ანგარიშზე p% წელიწადში, წელიწადში გაიზრდება ღირებულებამდე.
10000 + 0.01p10000 = 10000 + 100 რუბლი.
როდესაც ანგარიშიდან 1000 რუბლი ამოღებულია, იქ დარჩება 9000 + 100 რუბლი.
2) სხვა წელიწადში, ეს უკანასკნელი ღირებულება გაიზრდება 9000 + 100r + 0.01p (9000 + 100r) = r 2 + 190r + 9000 რუბლამდე პროცენტის დარიცხვის გამო.
პირობით, ეს მნიშვნელობა უდრის 11000 რუბლს, ასე რომ, ჩვენ გვაქვს კვადრატული განტოლება.
p 2 + 190r + 9000 = 11000;
r 2 + 190r - 2000 = 0
, ჩვენ ამ კვადრატულ განტოლებას ვხსნით ვიეტის თეორემის გამოყენებით, p 1 \u003d 10, p 2 \u003d -200.
უარყოფითი ფესვი არ არის შესაფერისი.
პასუხი: 10%.
მაგალითი 19.ქალაქში ამჟამად 48400 მოსახლეა. ცნობილია, რომ ამ ქალაქის მოსახლეობა ყოველწლიურად 10%-ით იზრდება. რამდენი მოსახლე იყო ქალაქში ორი წლის წინ?
დავუშვათ, რომ ორი წლის წინ ქალაქის მაცხოვრებლების რაოდენობა იყო x ადამიანი, მაშინ მცხოვრებთა რიცხვი ამჟამად გამოიხატება x-ით რთული პროცენტის ფორმულის გამოყენებით:
x(1+0.1) 2 = 1.21x.
პრობლემის განცხადებიდან:
პასუხი: 40000 ადამიანი.
