ისინი ამბობენ, რომ თქვენ შეგიძლიათ გაყოთ ნულზე, თუ განსაზღვრავთ გაყოფის შედეგს ნულზე. საჭიროა მხოლოდ ალგებრას გაფართოება. უცნაური დამთხვევით, შეუძლებელია ასეთი გაფართოების სულ მცირე, მაგრამ უკეთ გასაგები და მარტივი მაგალითის პოვნა. ინტერნეტის დასაფიქსირებლად, საჭიროა ან ასეთი გაფართოების ერთ-ერთი მეთოდის დემონსტრირება, ან იმის აღწერა, თუ რატომ არ არის ეს შესაძლებელი.

სტატია დაწერილია ტენდენციის გაგრძელებაში:

პასუხისმგებლობის უარყოფა

ამ სტატიის მიზანია „ადამიანის ენით“ ახსნას, თუ როგორ მუშაობს მათემატიკის ფუნდამენტური საფუძვლები, ცოდნის სტრუქტურირება და მათემატიკის ნაწილებს შორის გამოტოვებული მიზეზ-შედეგობრივი ურთიერთობების აღდგენა. ყველა არგუმენტი ფილოსოფიურია, განსჯის თვალსაზრისით ისინი განსხვავდებიან ზოგადად მიღებული არგუმენტებისგან (აქედან გამომდინარე, ის არ აცხადებს, რომ მათემატიკურად მკაცრია). სტატია გათვლილია იმ დონის მკითხველისთვის, "გავიდა კოშკი მრავალი წლის წინ".

არითმეტიკის, ელემენტარული, ზოგადი და წრფივი ალგებრის, მათემატიკური და არასტანდარტული ანალიზის, სიმრავლეების თეორიის, ზოგადი ტოპოლოგიის, პროექციული და აფინური გეომეტრიის პრინციპების გააზრება სასურველია, მაგრამ არა საჭირო.

ექსპერიმენტების დროს არც ერთი უსასრულობა არ დაზარალდა.

Პროლოგი

„გაღმა“ წასვლა ახალი ცოდნის ძიების ბუნებრივი პროცესია. მაგრამ ყველა ძიებას არ მოაქვს ახალი ცოდნა და, შესაბამისად, სარგებელი.

1. ზოგადად ყველაფერი უკვე დაგვიყო!

1.1 რიცხვითი ხაზის გაფართოება

დავიწყოთ იქიდან, სადაც ალბათ ყველა ავანტიურისტი იწყება ნულზე გაყოფისას. გაიხსენეთ ფუნქციის გრაფიკი .

ნულის მარცხნივ და მარჯვნივ ფუნქცია მიდის "არარსებობის" სხვადასხვა მიმართულებით. ძალიან ნულზე, ზოგადად არის "მორევი" და არაფერი ჩანს.

იმის მაგივრად, რომ „აუზში“ თავი დავაღწიოთ, ვნახოთ, რა შემოდის და რა გამოდის იქიდან. ამისთვის ვიყენებთ ლიმიტს - მათემატიკური ანალიზის მთავარ ინსტრუმენტს. მთავარი „ხრიკი“ არის ის, რომ ლიმიტი საშუალებას გაძლევთ მიხვიდეთ მოცემულ წერტილთან რაც შეიძლება ახლოს, მაგრამ არა „გადააბიჯოთ“. ასეთი "ღობე" "მორევის" წინ.

Ორიგინალური

კარგი, „ღობე“ დადგა. ეს უკვე არც ისე საშინელია. „მორევამდე“ ორი გზა გვაქვს. წავიდეთ მარცხნივ - ციცაბო დაღმართი, მარჯვნივ - ციცაბო აღმართი. "ღობესთან" რამდენიც არ უნდა მიხვიდე, ის არ უახლოვდება. ქვემო და ზემო „არაარსებობის“ გადაკვეთა არ არის. ჩნდება ეჭვები, იქნებ წრეებში დავდივართ? თუმცა არა, რიცხვები იცვლება, ასე რომ არა წრეში. მოდით, ჯერ კიდევ მათემატიკური ანალიზის ხელსაწყოებით ჩავჭყიტეთ მკერდში. გარდა ლიმიტების "ღობე", ნაკრები მოდის დადებითი და უარყოფითი უსასრულობა. მნიშვნელობები სრულიად აბსტრაქტულია (არა რიცხვები), კარგად ფორმალიზებული და გამოსაყენებლად მზად! გვიწყობს. შევავსოთ ჩვენი „ყოფნა“ (ნამდვილი რიცხვების სიმრავლე) ორი ხელმოწერილი უსასრულობით.

მათემატიკური ენა:

სწორედ ეს გაფართოება გაძლევთ საშუალებას აიღოთ ლიმიტი, როდესაც არგუმენტი მიდრეკილია უსასრულობისკენ და მიიღოთ უსასრულობა ლიმიტის აღების შედეგად.

არსებობს მათემატიკის ორი ფილიალი, რომლებიც აღწერენ ერთსა და იმავეს სხვადასხვა ტერმინოლოგიის გამოყენებით.

Შეჯამება:

მშრალ ნარჩენში. ძველი მიდგომები აღარ მუშაობს. გაიზარდა სისტემის სირთულე, "თუ-ების", "ყველასთვის, მაგრამ" და ა.შ. სახით. ჩვენ გვქონდა მხოლოდ ორი გაურკვევლობა 1/0 და 0/0 (ჩვენ არ განვიხილავთ ელექტროენერგიის ოპერაციებს), ასე რომ, იყო ხუთი. ერთი გაურკვევლობის გამჟღავნებამ კიდევ უფრო მეტი გაურკვევლობა გამოიწვია.

1.2 ბორბალი

ყველაფერი ხელმოუწერელი უსასრულობის შემოღებით არ შეჩერებულა. გაურკვევლობიდან თავის დასაღწევად მეორე ქარი გჭირდებათ.

ასე რომ, ჩვენ გვაქვს რეალური რიცხვების ნაკრები და ორი გაურკვევლობა 1/0 და 0/0. პირველის აღმოსაფხვრელად შევასრულეთ რეალური ხაზის პროექციული გაფართოება (ანუ შემოვიღეთ ხელმოუწერელი უსასრულობა). შევეცადოთ გავუმკლავდეთ 0/0 ფორმის მეორე გაურკვევლობას. მოდი იგივე მოვიქცეთ. მოდით შევავსოთ რიცხვთა სიმრავლე ახალი ელემენტით, რომელიც წარმოადგენს მეორე განუსაზღვრელობას.

გაყოფის განმარტება ემყარება გამრავლებას. ეს არ გვიწყობს. მოდით გავხსნათ მოქმედებები ერთმანეთისგან, მაგრამ შევინარჩუნოთ ჩვეულებრივი ქცევა რეალური რიცხვებისთვის. განვსაზღვროთ ერთიანი გაყოფის ოპერაცია, რომელიც აღინიშნება "/-ით".

მოდით განვსაზღვროთ ოპერაციები.

ამ სტრუქტურას ეწოდება "ბორბალი". ტერმინი აღებულია რეალური ხაზის პროექციული გაფართოების ტოპოლოგიურ სურათთან მსგავსების გამო და წერტილი 0/0.

ყველაფერი კარგად გამოიყურება, მაგრამ ეშმაკი დეტალებშია:

ყველა მახასიათებლის დასარეგულირებლად, ელემენტების ნაკრების გაფართოების გარდა, ემატება ბონუსი არა ერთი, არამედ ორი იდენტობის სახით, რომლებიც აღწერს გამანაწილებელ კანონს.

მათემატიკური ენა:

ზოგადი ალგებრის თვალსაზრისით, ჩვენ ვიმუშავეთ მინდორზე. ველში კი, მოგეხსენებათ, მხოლოდ ორი ოპერაციაა განსაზღვრული (შეკრება და გამრავლება). დაყოფის ცნება მიღებულია ინვერსიული, და თუ უფრო ღრმა, მაშინ ცალკეული ელემენტებით. განხორციელებული ცვლილებები ჩვენს ალგებრულ სისტემას მონოიდად აქცევს, როგორც დამატებით (ნული, როგორც ნეიტრალური ელემენტი) ასევე გამრავლებისას (ერთეულით, როგორც ნეიტრალური ელემენტი).

აღმომჩენთა ნამუშევრებში სიმბოლოები ∞ და ⊥ ყოველთვის არ გამოიყენება. ამის ნაცვლად, შეგიძლიათ იხილოთ ჩანაწერი ფორმით /0 და 0/0.

სამყარო აღარ არის ისეთი ლამაზი, არა? მაინც ნუ ჩქარობ. მოდით შევამოწმოთ, გაუმკლავდება თუ არა გამანაწილებელი კანონის ახალი იდენტობები ჩვენს გაფართოებულ კომპლექტს .

ამჯერად შედეგი ბევრად უკეთესია.

Შეჯამება:

მშრალ ნარჩენში. ალგებრა მშვენივრად მუშაობს. თუმცა საფუძვლად აიღეს ცნება „არ არის განსაზღვრული“, რომელიც უკვე არსებულად დაიწყო მიჩნეული და მასთან მოქმედება. ერთ მშვენიერ დღეს ვიღაც იტყვის, რომ ყველაფერი ცუდია და თქვენ უნდა დაარღვიოთ ეს „არაგანსაზღვრული“ კიდევ რამდენიმე „გაურკვეველად“, მაგრამ უფრო მცირედ. ზოგადი ალგებრა იტყვის: „არაა პრობლემა, ძმაო!“.
ასე არის პოსტულირებული დამატებითი (j და k) წარმოსახვითი ერთეულები კვატერნიონებში

ნულზე გაყოფის მკაცრი აკრძალვა დაწესებულია სკოლის დაბალ კლასებშიც კი. ბავშვები, როგორც წესი, არ ფიქრობენ მის მიზეზებზე, მაგრამ სინამდვილეში იმის ცოდნა, თუ რატომ არის რაღაც აკრძალული, საინტერესოც არის და სასარგებლოც.

არითმეტიკული მოქმედებები

არითმეტიკული მოქმედებები, რომლებსაც სკოლაში სწავლობენ, მათემატიკოსთა თვალსაზრისით არათანაბარია. ისინი სრულფასოვნად აღიარებენ ამ ოპერაციებიდან მხოლოდ ორს - შეკრებას და გამრავლებას. ისინი შედიან რიცხვის კონცეფციაში და ყველა სხვა ოპერაცია რიცხვებთან ერთგვარად აგებულია ამ ორზე. ანუ არა მხოლოდ ნულზე გაყოფა შეუძლებელია, არამედ ზოგადად გაყოფა.

გამოკლება და გაყოფა

რა აკლია დანარჩენ აქტივობებს? ისევ სკოლიდან ცნობილია, რომ, მაგალითად, შვიდიდან ოთხის გამოკლება ნიშნავს შვიდი ტკბილეულის აღებას, ოთხის ჭამას და დარჩენილის დათვლას. მაგრამ მათემატიკოსები ტკბილეულს მიირთმევენ და საერთოდ სულ სხვანაირად აღიქვამენ მათ. მათთვის არის მხოლოდ შეკრება, ანუ ჩანაწერი 7 - 4 ნიშნავს რიცხვს, რომელიც ჯამში 4 რიცხვთან იქნება 7-ის ტოლი. ანუ მათემატიკოსებისთვის 7 - 4 არის განტოლების მოკლე ჩანაწერი. : x + 4 = 7. ეს არ არის გამოკლება, არამედ დავალება იპოვეთ რიცხვი, რომელიც ჩაანაცვლებს x.

იგივე ეხება გაყოფას და გამრავლებას. ათი ორზე გაყოფით, დაწყებითი სკოლის მოსწავლე აწყობს ათ კანფეტს ორ იდენტურ გროვად. მათემატიკოსი აქაც ხედავს განტოლებას: 2 x = 10.

ასე რომ, გამოდის, რატომ არის აკრძალული ნულზე გაყოფა: ეს უბრალოდ შეუძლებელია. ჩანაწერი 6: 0 უნდა იქცეს განტოლებაში 0 x = 6. ანუ თქვენ უნდა იპოვოთ რიცხვი, რომელიც შეიძლება გამრავლდეს ნულზე და მიიღოთ 6. მაგრამ ცნობილია, რომ ნულზე გამრავლება ყოველთვის იძლევა ნულს. ეს არის ნულის არსებითი თვისება.

ამდენად, არ არსებობს ისეთი რიცხვი, რომელიც ნულზე გამრავლებული მისცემს სხვა რიცხვს ნულის გარდა. ეს ნიშნავს, რომ ამ განტოლებას არ აქვს ამონახსნი, არ არსებობს ისეთი რიცხვი, რომელიც კორელაციაში იქნება აღნიშვნასთან 6: 0, ანუ აზრი არ აქვს. მის უაზრობაზე და ამბობენ, როცა კრძალავენ ნულზე გაყოფას.

ნული იყოფა ნულზე?

შეიძლება თუ არა ნულის გაყოფა ნულზე? განტოლება 0 x = 0 არ იწვევს სირთულეებს და შეგიძლიათ იგივე ნული აიღოთ x-ზე და მიიღოთ 0 x 0 = 0. შემდეგ 0: 0 = 0? მაგრამ, თუ, მაგალითად, ავიღებთ ერთს x-ზე, ის ასევე გამოვა 0 1 = 0. შეგიძლიათ აიღოთ ნებისმიერი რიცხვი, რომელიც მოგწონთ x-ზე და გაყოთ ნულზე და შედეგი იგივე დარჩეს: 0: 0 = 9. , 0: 0 = 51 და ასე შემდეგ.

ამრიგად, ამ განტოლებაში შეიძლება ჩასვათ აბსოლუტურად ნებისმიერი რიცხვი და შეუძლებელია რომელიმე კონკრეტულის არჩევა, შეუძლებელია იმის დადგენა, თუ რომელი რიცხვია მითითებული აღნიშვნით 0: 0. ანუ ამ აღნიშვნასაც აზრი არ აქვს და ნულზე გაყოფა ჯერ კიდევ შეუძლებელია: ის თავისთავადაც კი არ იყოფა.

ეს არის გაყოფის ოპერაციის მნიშვნელოვანი მახასიათებელი, ანუ გამრავლება და მასთან დაკავშირებული რიცხვი ნული.

კითხვა რჩება: მაგრამ შეიძლება თუ არა მისი გამოკლება? შეგვიძლია ვთქვათ, რომ რეალური მათემატიკა იწყება ამ საინტერესო კითხვით. მასზე პასუხის საპოვნელად საჭიროა იცოდეთ რიცხვითი სიმრავლეების ფორმალური მათემატიკური განმარტებები და გაეცნოთ მათზე მოქმედებებს. მაგალითად, არსებობს არა მარტო უბრალოები, არამედ მათი დაყოფაც განსხვავდება ჩვეულებრივის დაყოფისგან. ეს არ შედის სკოლის სასწავლო გეგმაში, მაგრამ უნივერსიტეტის ლექციები მათემატიკაში ამით იწყება.

ფაქტობრივად, ნულზე გაყოფის ისტორია ასვენებდა მის გამომგონებლებს (a). მაგრამ ინდიელები აბსტრაქტულ პრობლემებს მიჩვეული ფილოსოფოსები არიან. რას ნიშნავს არაფერზე გაყოფა? მაშინდელი ევროპელებისთვის ასეთი კითხვა საერთოდ არ არსებობდა, რადგან მათ არ იცოდნენ ნულის ან უარყოფითი რიცხვების შესახებ (რომლებიც სკალის ნულის მარცხნივ არიან).

ინდოეთში დიდის გამოკლება პატარას და უარყოფითი რიცხვის მიღება არ იყო პრობლემა. ბოლოს და ბოლოს, რას ნიშნავს 3-5 \u003d -2 ჩვეულებრივ ცხოვრებაში? ეს ნიშნავს, რომ ვიღაცას ემართა 2. უარყოფით ციფრებს ვალებს ეძახდნენ.

ახლა მოდით, ისევე უბრალოდ გავუმკლავდეთ ნულზე გაყოფის საკითხს. ჩვენს წელთაღრიცხვამდე 598 წელს (უბრალოდ დაფიქრდით რამდენი ხნის წინ, 1400 წელზე მეტი ხნის წინ!) ინდოეთში მათემატიკოსი ბრაჰმაგუპტა დაიბადა, რომელსაც ასევე აინტერესებდა ნულზე გაყოფა.

მან შემოგვთავაზა, თუ ლიმონს ავიღებთ და დავიწყებთ ნაჭრებად დაჭრას, ადრე თუ გვიან მივალთ, რომ ნაჭრები ძალიან პატარა იქნება. წარმოსახვაში შეგვიძლია მივაღწიოთ იმ წერტილს, სადაც სეგმენტები ნულის ტოლი გახდება. ასე რომ, საკითხავია, თუ ლიმონს დაყოფთ არა 2, 4 ან 10 ნაწილად, არამედ უსასრულო რაოდენობის ნაწილად, რა ზომისაა ნაჭრები?

თქვენ მიიღებთ უსასრულო რაოდენობის "ნულოვანი ნაჭრების". ყველაფერი საკმაოდ მარტივია, ლიმონს ვჭრით ძალიან წვრილად, ვიღებთ გუბეს უსასრულო რაოდენობის ნაწილებით.

მაგრამ თუ მათემატიკას აითვისებ, რაღაცნაირად ალოგიკური აღმოჩნდება

a*0=0? რა მოხდება, თუ b*0=0? ასე რომ: a*0=b*0. და აქედან: a=b. ანუ ნებისმიერი რიცხვი უდრის ნებისმიერ რიცხვს. ნულზე გაყოფის პირველი უზუსტობა, გადავიდეთ. მათემატიკაში გაყოფა განიხილება გამრავლების შებრუნებულად.

ეს ნიშნავს, რომ თუ 4-ს გავყოფთ 2-ზე, უნდა ვიპოვოთ რიცხვი, რომელიც 2-ზე გამრავლებისას მივიღებთ 4-ს. ჩვენ ვყოფთ 4-ს ნულზე - უნდა ვიპოვოთ რიცხვი, რომელიც ნულზე გამრავლებისას მისცემს 4-ს. ანუ x * 0 \u003d 4? მაგრამ x*0=0! ისევ უბედურება. ასე რომ, ჩვენ ვეკითხებით: "რამდენი ნულის აღება გჭირდებათ 4-ის მისაღებად?" უსასრულობა? ნულების უსასრულო რაოდენობა მაინც დაემატება ნულს.

და 0-ზე 0-ზე გაყოფა ზოგადად იძლევა გაურკვევლობას, რადგან 0 * x \u003d 0, სადაც x არის საერთოდ არაფერი. ანუ არის უსასრულო რაოდენობის გადაწყვეტილებები.

ალოგიკური და აბსტრაქტული ნულოვანი ოპერაციები ალგებრის ვიწრო საზღვრებში დაუშვებელია, უფრო სწორედ ეს არის განუსაზღვრელი ოპერაცია. მას სჭირდება მოწყობილობა.უფრო სერიოზული - უმაღლესი მათემატიკა. ასე რომ, გარკვეულწილად, თქვენ არ შეგიძლიათ გაყოთ ნულზე, მაგრამ თუ ნამდვილად გსურთ, შეგიძლიათ გაყოთ ნულზე, მაგრამ მზად უნდა იყოთ გაიგოთ ისეთი რამ, როგორიცაა დირაკის დელტას ფუნქცია და სხვა რამ, რაც ძნელი მისაღწევია. გააზიარეთ ჯანმრთელობისთვის.

"ნულის გაყოფა არ შეიძლება!" - სკოლის მოსწავლეების უმეტესობა ამ წესს ზეპირად, კითხვების გარეშე იმახსოვრებს. ყველა ბავშვმა იცის, რა არის „არა“ და რა მოხდება, თუ ამის პასუხად ჰკითხავთ: „რატომ? მაგრამ სინამდვილეში, ძალიან საინტერესო და მნიშვნელოვანია იმის ცოდნა, თუ რატომ არის ეს შეუძლებელია.

საქმე იმაშია, რომ არითმეტიკის ოთხი ოპერაცია - შეკრება, გამოკლება, გამრავლება და გაყოფა - რეალურად არათანაბარია. მათემატიკოსები მხოლოდ ორ მათგანს აღიარებენ სრულფასოვანად - შეკრება და გამრავლება. ეს ოპერაციები და მათი თვისებები შედის რიცხვის კონცეფციის განმარტებაში. ყველა სხვა მოქმედება ასე თუ ისე აგებულია ამ ორიდან.

განვიხილოთ, მაგალითად, გამოკლება. Რას ნიშნავს 5 – 3 ? მოსწავლე ამაზე უბრალოდ უპასუხებს: თქვენ უნდა აიღოთ ხუთი ნივთი, წაიღოთ (ამოიღოთ) სამი და ნახოთ რამდენი დარჩა. მაგრამ მათემატიკოსები ამ პრობლემას სულ სხვაგვარად უყურებენ. არ არის გამოკლება, მხოლოდ შეკრება. ამიტომ, შესვლა 5 – 3 ნიშნავს რიცხვს, რომელიც რიცხვს დაემატება 3 მისცემს ნომერს 5 . ე.ი 5 – 3 არის მხოლოდ განტოლების სტენოგრამა: x + 3 = 5. ამ განტოლებაში არ არის გამოკლება. არსებობს მხოლოდ დავალება - იპოვოთ შესაფერისი ნომერი.

იგივეა გამრავლება და გაყოფა. ჩაწერა 8: 4 შეიძლება გავიგოთ, როგორც რვა ობიექტის ოთხ თანაბარ გროვად დაყოფის შედეგი. მაგრამ ეს ნამდვილად განტოლების მხოლოდ შემოკლებული ფორმაა 4 x = 8.

სწორედ აქ ირკვევა, თუ რატომ არის შეუძლებელია (უფრო სწორად შეუძლებელი) გაყოფა ნულზე. ჩაწერა 5: 0 არის აბრევიატურა 0 x = 5. ანუ, ეს ამოცანაა იპოვოთ რიცხვი, რომელიც გამრავლებისას 0 მოგცემს 5 . მაგრამ ჩვენ ვიცით, რომ გამრავლებისას 0 ყოველთვის გამოდის 0 . ეს არის ნულის თანდაყოლილი თვისება, მკაცრად რომ ვთქვათ, მისი განმარტების ნაწილი.

რიცხვი, რომელიც გამრავლებისას 0 მისცემს რაიმეს გარდა null, უბრალოდ არ არსებობს. ანუ ჩვენს პრობლემას გამოსავალი არ აქვს. (დიახ, ეს ხდება, ყველა პრობლემას არ აქვს გამოსავალი.) 5: 0 არ შეესაბამება რომელიმე კონკრეტულ რიცხვს და ის უბრალოდ არაფერს ნიშნავს და, შესაბამისად, აზრი არ აქვს. ამ ჩანაწერის უაზრობა მოკლედ გამოიხატება იმით, რომ არ შეიძლება ნულზე გაყოფა.

ამ ეტაპზე ყველაზე ყურადღებიანი მკითხველი აუცილებლად იკითხავს: შესაძლებელია თუ არა ნულის ნულზე გაყოფა? მართლაც, განტოლებიდან 0 x = 0წარმატებით გადაწყდა. მაგალითად, შეგიძლიათ აიღოთ x=0და შემდეგ მივიღებთ 0 0 = 0. თურმე 0: 0=0 ? მაგრამ ნუ ვიჩქარებთ. ვცადოთ აღება x=1. მიიღეთ 0 1 = 0. სწორად? ნიშნავს, 0: 0 = 1 ? მაგრამ შეგიძლიათ აიღოთ ნებისმიერი ნომერი და მიიღოთ 0: 0 = 5 , 0: 0 = 317 და ა.შ.

მაგრამ თუ რომელიმე ნომერი შესაფერისია, მაშინ ჩვენ არ გვაქვს მიზეზი, რომ რომელიმე მათგანს ავირჩიოთ. ანუ ვერ გეტყვით რომელი რიცხვი შეესაბამება ჩანაწერს 0: 0 . და თუ ასეა, მაშინ იძულებული ვართ ვაღიაროთ, რომ ამ ჩანაწერსაც აზრი არ აქვს. გამოდის, რომ ნულიც კი ვერ გაიყოფა ნულზე. (მათემატიკურ ანალიზში არის შემთხვევები, როდესაც პრობლემის დამატებითი პირობების გამო, შეიძლება უპირატესობა მიანიჭოს განტოლების ამოხსნის ერთ-ერთ შესაძლო ვარიანტს. 0 x = 0; ასეთ შემთხვევებში მათემატიკოსები საუბრობენ "გაურკვევლობის გამჟღავნებაზე", მაგრამ არითმეტიკაში ასეთი შემთხვევები არ ხდება.)

ეს არის გაყოფის ოპერაციის თავისებურება. უფრო ზუსტად რომ ვთქვათ, გამრავლების ოპერაციას და მასთან დაკავშირებულ რიცხვს აქვს ნული.

მაშ, ყველაზე ზედმიწევნით, ამ მომენტამდე წაკითხვის შემდეგ, შეიძლება იკითხოს: რატომ არის ასე, რომ ვერ გაყოფ ნულზე, მაგრამ შეგიძლია გამოკლო ნული? გარკვეული გაგებით, სწორედ აქ იწყება ნამდვილი მათემატიკა. მასზე პასუხის გაცემა შესაძლებელია მხოლოდ რიცხვითი სიმრავლეების და მათზე მოქმედებების ფორმალური მათემატიკური განმარტებების გაცნობით. არც ისე რთულია, მაგრამ რატომღაც სკოლაში არ სწავლობენ. მაგრამ უნივერსიტეტში მათემატიკის ლექციებზე, პირველ რიგში ამას გასწავლიან.

მათემატიკოსებს აქვთ სპეციფიკური იუმორის გრძნობა და გამოთვლებთან დაკავშირებული ზოგიერთი საკითხი დიდი ხანია სერიოზულად არ განიხილება. ყოველთვის არ არის ნათელი, ცდილობენ თუ არა მთელი სერიოზულობით აგიხსნან, თუ რატომ შეუძლებელია ნულზე გაყოფა, თუ ეს მორიგი ხუმრობაა. მაგრამ თავად კითხვა არც ისე აშკარაა, თუ ელემენტარულ მათემატიკაში შესაძლებელია მისი ამოხსნის წმინდა ლოგიკურად მიღწევა, მაშინ უმაღლეს მათემატიკაში შესაძლოა სხვა საწყისი პირობებიც იყოს.

როდის გამოჩნდა ნული?

რიცხვი ნული სავსეა მრავალი საიდუმლოებით:

• ძველ რომში ეს რიცხვი არ იყო ცნობილი, საცნობარო სისტემა იწყებოდა ი.
• არაბები და ინდიელები დიდხანს კამათობდნენ უფლებას, ეწოდებინათ ნულის წინაპრები.
• მაიას კულტურის კვლევებმა აჩვენა, რომ ეს უძველესი ცივილიზაცია შეიძლება იყოს პირველი ნულის გამოყენების თვალსაზრისით.
• ნულს არ აქვს რიცხვითი მნიშვნელობა, თუნდაც მინიმალური.
• ეს სიტყვასიტყვით არაფერს ნიშნავს, დასათვლელი ნივთების არარსებობას.

პრიმიტიულ სისტემაში არ იყო ასეთი ფიგურის განსაკუთრებული საჭიროება, რაღაცის არარსებობა შეიძლება აიხსნას სიტყვების დახმარებით. მაგრამ ცივილიზაციების აღზევებასთან ერთად, ადამიანის საჭიროებებიც გაიზარდა, არქიტექტურისა და ინჟინერიის თვალსაზრისით.

უფრო რთული გამოთვლების განსახორციელებლად და ახალი ფუნქციების გამოყვანა დასჭირდა რიცხვი, რომელიც მიუთითებს რაიმეს სრულ არარსებობაზე.

შესაძლებელია ნულზე გაყოფა?

ამ ანგარიშზე არსებობენ ორი დიამეტრალურად საპირისპირო აზრი:

სკოლაში დაწყებით კლასებშიც კი ასწავლიან, რომ ნულზე გაყოფა არავითარ შემთხვევაში შეუძლებელია. ეს ძალიან მარტივად არის ახსნილი:

1. წარმოიდგინეთ, რომ თქვენ გაქვთ მანდარინის 20 ნაჭერი.
2. მათი 5-ზე გაყოფით 4 ნაჭერს დაურიგებ ხუთ მეგობარს.
3. ნულზე გაყოფა არ იმუშავებს, რადგან ვინმეს შორის გაყოფის პროცესი არ იმუშავებს.

რა თქმა უნდა, ეს არის ფიგურალური ახსნა, დიდწილად გამარტივებული და სრულებით არ შეესაბამება რეალობას. მაგრამ ის ყველაზე ხელმისაწვდომი გზით ხსნის რაიმეს ნულზე გაყოფის უაზრობას.

ყოველივე ამის შემდეგ, სინამდვილეში, ამ გზით შესაძლებელია დაყოფის არარსებობის ფაქტის აღნიშვნა. და რატომ ართულებს მათემატიკური გამოთვლებს და ჩაწერე ასევე გაყოფის არარსებობა?

შეიძლება თუ არა ნულის გაყოფა რიცხვზე?

გამოყენებითი მათემატიკის თვალსაზრისით, ნებისმიერი გაყოფა, რომელშიც ნული მონაწილეობს, დიდი აზრი არ აქვს. მაგრამ სასკოლო სახელმძღვანელოები მათი აზრით ცალსახაა:

• ნულის გაყოფა შესაძლებელია.
• ნებისმიერი რიცხვი უნდა იქნას გამოყენებული გაყოფისთვის.
• ნულს ნულზე ვერ გაყოფ.

მესამე პუნქტმა შეიძლება გამოიწვიოს მცირე გაკვირვება, რადგან მხოლოდ რამდენიმე აბზაცის ზემოთ იყო მითითებული, რომ ასეთი დაყოფა სავსებით შესაძლებელია. სინამდვილეში, ეს ყველაფერი დამოკიდებულია იმ დისციპლინაზე, რომელშიც თქვენ ატარებთ გამოთვლებს.

ამ შემთხვევაში ნამდვილად ჯობია ამას სკოლის მოსწავლეებმა დაწერონ გამოხატვის დადგენა შეუძლებელია და, შესაბამისად, აზრი არ აქვს. მაგრამ ალგებრული მეცნიერების ზოგიერთ დარგში დაშვებულია ასეთი გამონათქვამის დაწერა, ნულის ნულზე გაყოფით. განსაკუთრებით მაშინ, როდესაც საქმე ეხება კომპიუტერებს და პროგრამირების ენებს.

ნულის რიცხვზე გაყოფის აუცილებლობა შეიძლება წარმოიშვას ნებისმიერი ტოლობის ამოხსნისა და საწყისი მნიშვნელობების ძიებისას. მაგრამ იმ შემთხვევაში, პასუხი ყოველთვის იქნება ნული. აქაც, ისევე როგორც გამრავლებისას, რომელ რიცხვზეც არ უნდა გაყოთ ნული, ნულზე მეტი არ დარჩებით. ამიტომ, თუ ეს სანუკვარი რიცხვი შენიშნეს უზარმაზარ ფორმულაში, შეეცადეთ სწრაფად "შეაფასოთ" დაიყვანება თუ არა ყველა გამოთვლა ძალიან მარტივ გადაწყვეტამდე.

თუ უსასრულობა იყოფა ნულზე

საჭირო იყო უსასრულოდ დიდი და უსასრულოდ მცირე მნიშვნელობების აღნიშვნა ცოტა ადრე, რადგან ეს ასევე ხსნის გარკვეულ ხარვეზებს გაყოფისთვის, მათ შორის ნულის გამოყენებით. ეს მართალია და არის პატარა ნაკლი, რადგან უსასრულო მნიშვნელობა და ღირებულების სრული არარსებობა განსხვავებული ცნებებია.

მაგრამ ჩვენს პირობებში ეს მცირე განსხვავება შეიძლება იყოს უგულებელყოფილი, საბოლოოდ, გამოთვლები ხორციელდება აბსტრაქტული რაოდენობების გამოყენებით:

• მრიცხველს უნდა ჰქონდეს უსასრულობის ნიშანი.
• მნიშვნელები არის მნიშვნელობის სიმბოლური გამოსახულება, რომელიც მიდრეკილია ნულისკენ.
• პასუხი იქნება უსასრულობა, რომელიც წარმოადგენს უსასრულოდ დიდ ფუნქციას.

უნდა აღინიშნოს, რომ ჩვენ კვლავ ვსაუბრობთ უსასრულოდ მცირე ფუნქციის სიმბოლურ ჩვენებაზე და არა ნულის გამოყენებაზე. ამ ნიშნით არაფერი შეცვლილა, ის მაინც არ შეიძლება დაიყოს მასში, მხოლოდ ძალიან, ძალიან იშვიათი გამონაკლისების სახით.

უმეტესწილად, ნული გამოიყენება პრობლემების გადასაჭრელად, რომლებიც არსებობს წმინდა თეორიული სიბრტყე. შესაძლოა, ათწლეულების ან თუნდაც საუკუნეების შემდეგ, ყველა თანამედროვე გამოთვლა იპოვის პრაქტიკულ გამოყენებას და ისინი უზრუნველყოფენ რაიმე სახის გრანდიოზულ გარღვევას მეცნიერებაში.

იმავდროულად, მათემატიკური გენიოსების უმეტესობა მხოლოდ მსოფლიო აღიარებაზე ოცნებობს. ამ წესებისგან გამონაკლისი არის ჩვენი თანამემამულე, პერელმანი. მაგრამ ის ცნობილია ჭეშმარიტად ეპოქალური პრობლემის გადაჭრის წყალობით Poinquere-ის ვარაუდისა და ექსტრავაგანტული ქცევის დადასტურებით.

პარადოქსები და ნულზე გაყოფის უაზრობა

ნულზე გაყოფა, უმეტესწილად, აზრი არ აქვს:

• დაყოფა წარმოდგენილია როგორც გამრავლების შებრუნებული ფუნქცია.
• შეგვიძლია ნებისმიერი რიცხვი გავამრავლოთ ნულზე და მივიღოთ ნული პასუხში.
• ამავე ლოგიკით, ნებისმიერი რიცხვი შეიძლება გაყოთ ნულზე.
• ასეთ პირობებში რთული არ იქნება დავასკვნათ, რომ ნებისმიერი რიცხვი გამრავლებული ან გაყოფილი ნულზე უდრის ნებისმიერ სხვა რიცხვს, რომელზეც ეს ოპერაცია განხორციელდა.
• მათემატიკურ მოქმედებას ვხსნით და ვიღებთ საინტერესო დასკვნას - ნებისმიერი რიცხვი უდრის ნებისმიერ რიცხვს.

გარდა მსგავსი ინციდენტების შექმნისა, ნულზე გაყოფას პრაქტიკული მნიშვნელობა არ აქვს, ზოგადად სიტყვიდან. მაშინაც კი, თუ თქვენ შეგიძლიათ შეასრულოთ ეს მოქმედება, თქვენ ვერ მიიღებთ ახალ ინფორმაციას.

ელემენტარული მათემატიკის თვალსაზრისით, ნულზე გაყოფისას მთელი ობიექტი იყოფა ნულზე, ანუ ერთხელაც კი. მარტივად რომ ვთქვათ - არ არის გაყოფის პროცესიმაშასადამე, ამ მოვლენის შედეგი არ შეიძლება იყოს.

მათემატიკოსთან ერთსა და იმავე საზოგადოებაში ყოფნისას, ყოველთვის შეგიძლიათ დაუსვათ რამდენიმე ბანალური შეკითხვა, მაგალითად, რატომ არ შეიძლება ნულზე გაყოფა და საინტერესო და გასაგები პასუხის მიღება. ან გაღიზიანება, რადგან ეს ალბათ პირველი შემთხვევა არ არის, როდესაც ადამიანს ეს ეკითხება. და არც ათი. ასე რომ, იზრუნეთ თქვენს მათემატიკოს მეგობრებზე, ნუ აიძულებთ მათ ასჯერ გაიმეორონ ერთი ახსნა.

ვიდეო: გაყოფა ნულზე

ამ ვიდეოში მათემატიკოსი ანა ლომაკოვა გეტყვით რა მოხდება, თუ რიცხვს ნულზე გაყოფთ და რატომ არ შეიძლება ამის გაკეთება მათემატიკის თვალსაზრისით: