ძირითადი ტრიგონომეტრიული ფორმულები. ჯამისა და სხვაობის სინუსებისა და კოსინუსების ფორმულები

ყველაზე ხშირად დასმული კითხვები

შესაძლებელია თუ არა დოკუმენტზე ბეჭდის დადება მოწოდებული ნიმუშის მიხედვით? უპასუხე დიახ, შესაძლებელია. გამოგვიგზავნეთ სკანირებული ასლი ან კარგი ხარისხის ფოტო ჩვენს ელ.ფოსტის მისამართზე და ჩვენ გავაკეთებთ საჭირო დუბლიკატს.

რა სახის გადახდას ეთანხმებით? უპასუხე დოკუმენტის გადახდა შეგიძლიათ კურიერის მიერ მიღების დროს, მას შემდეგ რაც შეამოწმებთ შევსების სისწორეს და დიპლომის ხარისხს. ეს ასევე შეიძლება გაკეთდეს საფოსტო კომპანიების ოფისებში, რომლებიც სთავაზობენ ნაღდი ფულის მიწოდების მომსახურებას.
დოკუმენტების მიწოდებისა და გადახდის ყველა პირობა აღწერილია განყოფილებაში "გადახდა და მიტანა". ჩვენ ასევე მზად ვართ მოვისმინოთ თქვენი წინადადებები დოკუმენტის მიწოდებისა და გადახდის პირობებთან დაკავშირებით.

შემიძლია ვიყო დარწმუნებული, რომ შეკვეთის გაკეთების შემდეგ ჩემი ფულით არ გაქრები? უპასუხე საკმაოდ დიდი გამოცდილება გვაქვს დიპლომის წარმოების სფეროში. გვაქვს რამდენიმე საიტი, რომელიც მუდმივად განახლდება. ჩვენი სპეციალისტები მუშაობენ ქვეყნის სხვადასხვა კუთხეში, დღეში 10-ზე მეტ დოკუმენტს ამზადებენ. წლების განმავლობაში ჩვენი დოკუმენტები ბევრ ადამიანს დაეხმარა დასაქმების პრობლემების გადაჭრაში ან მაღალანაზღაურებად სამუშაოებზე გადასვლაში. ჩვენ დავიმსახურეთ ნდობა და აღიარება მომხმარებლებში, ამიტომ ჩვენ ამის არანაირი საფუძველი არ გვაქვს. უფრო მეტიც, ამის გაკეთება ფიზიკურად უბრალოდ შეუძლებელია: თქვენ იხდით თქვენს შეკვეთას თქვენს ხელში მიღების დროს, არ არის წინასწარ გადახდა.

შემიძლია თუ არა რომელიმე უნივერსიტეტის დიპლომის შეკვეთა? უპასუხე ზოგადად, დიახ. ამ სფეროში თითქმის 12 წელია ვმუშაობთ. ამ ხნის განმავლობაში შეიქმნა ქვეყნის თითქმის ყველა უნივერსიტეტის მიერ გაცემული და გამოცემის სხვადასხვა წლების დოკუმენტების თითქმის სრული მონაცემთა ბაზა. საკმარისია აირჩიოთ უნივერსიტეტი, სპეციალობა, დოკუმენტი და შეავსოთ შეკვეთის ფორმა.

რა უნდა გავაკეთო, თუ დოკუმენტში ბეჭდვითი შეცდომები და შეცდომები აღმოვაჩინე? უპასუხე ჩვენი კურიერის ან საფოსტო კომპანიისგან დოკუმენტის მიღებისას გირჩევთ, ყურადღებით შეამოწმოთ ყველა დეტალი. ბეჭდვითი ხარვეზის, შეცდომის ან უზუსტობის აღმოჩენის შემთხვევაში თქვენ გაქვთ უფლება არ აიღოთ დიპლომი და აღმოჩენილი ხარვეზები უნდა მიუთითოთ პირადად კურიერთან ან წერილობით ელ.ფოსტის გაგზავნით.
რაც შეიძლება მალე, ჩვენ ვასწორებთ დოკუმენტს და ხელახლა გამოგიგზავნით მითითებულ მისამართზე. რა თქმა უნდა, ტრანსპორტირებას გადაიხდის ჩვენი კომპანია.
ასეთი გაუგებრობების თავიდან ასაცილებლად, ორიგინალური ფორმის შევსებამდე ვაგზავნით მომხმარებლის მეილზე მომავალი დოკუმენტის განლაგებას საბოლოო ვერსიის გადამოწმებისა და დასამტკიცებლად. დოკუმენტის კურიერის ან ფოსტით გაგზავნამდე, ჩვენ ასევე ვიღებთ დამატებით ფოტოს და ვიდეოს (მათ შორის ულტრაიისფერ შუქზე), რათა გქონდეთ ვიზუალური წარმოდგენა იმაზე, თუ რას მიიღებთ საბოლოოდ.

რა უნდა გააკეთოთ იმისათვის, რომ შეუკვეთოთ დიპლომი თქვენი კომპანიისგან? უპასუხე დოკუმენტის შეკვეთისთვის (სერთიფიკატი, დიპლომი, აკადემიური სერთიფიკატი და ა.შ.) უნდა შეავსოთ ონლაინ შეკვეთის ფორმა ჩვენს ვებგვერდზე ან მოგვაწოდოთ თქვენი ელ. ფოსტა, რათა გამოგიგზავნოთ კითხვარის ფორმა, რომელიც უნდა შეავსოთ და გამოაგზავნოთ. უკან ჩვენთან.
თუ არ იცით რა მიუთითოთ შეკვეთის ფორმის/კითხვის რომელიმე ველში, დატოვეთ ისინი ცარიელი. ამიტომ, ყველა გამოტოვებულ ინფორმაციას ტელეფონით დავაზუსტებთ.

უახლესი მიმოხილვები

ვალენტინი:

შენ გადაარჩინე ჩვენი შვილი სამსახურიდან გათავისუფლებისგან! ფაქტია, რომ სკოლის მიტოვების შემდეგ ვაჟი ჯარში წავიდა. და როცა დაბრუნდა, გამოჯანმრთელება არ სურდა. მუშაობდა დიპლომის გარეშე. მაგრამ ახლახან მათ დაიწყეს გათავისუფლება ყველას, ვისაც არ აქვს „ქერქი. ამიტომ გადავწყვიტეთ დაგიკავშირდეთ და არ ვნანობ! ახლა მშვიდად მუშაობს და არაფრის არ ეშინია! Გმადლობთ!

მოცემულია თანაფარდობები მთავარ ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს შორის - სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი. ტრიგონომეტრიული ფორმულები. და რადგან ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს შორის საკმაოდ ბევრი კავშირია, ეს ასევე ხსნის ტრიგონომეტრიული ფორმულების სიმრავლეს. ზოგიერთი ფორმულა აკავშირებს ერთი და იმავე კუთხის ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს, სხვები - მრავალჯერადი კუთხის ფუნქციებს, სხვები - საშუალებას გაძლევთ შეამციროთ ხარისხი, მეოთხე - გამოვხატოთ ყველა ფუნქცია ნახევარი კუთხის ტანგენტის საშუალებით და ა.შ.

ამ სტატიაში ჩვენ თანმიმდევრობით ჩამოვთვლით ყველა ძირითად ტრიგონომეტრიულ ფორმულას, რომლებიც საკმარისია ტრიგონომეტრიის ამოცანების დიდი უმრავლესობის გადასაჭრელად. დამახსოვრებისა და გამოყენების სიმარტივის მიზნით, ჩვენ დავაჯგუფებთ მათ დანიშნულების მიხედვით და შევიყვანთ ცხრილებში.

გვერდის ნავიგაცია.

ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტობები

ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტობებიდააყენეთ კავშირი ერთი კუთხის სინუსს, კოსინუსს, ტანგენტსა და კოტანგენტს შორის. ისინი გამომდინარეობს სინუსის, კოსინუსის, ტანგენტისა და კოტანგენტის განმარტებიდან, ასევე ერთეული წრის კონცეფციიდან. ისინი საშუალებას გაძლევთ გამოხატოთ ერთი ტრიგონომეტრიული ფუნქცია მეორის მეშვეობით.

ამ ტრიგონომეტრიის ფორმულების დეტალური აღწერა, მათი წარმოშობისა და გამოყენების მაგალითები იხილეთ სტატიაში.

ჩამოსხმის ფორმულები

ჩამოსხმის ფორმულებიმოჰყვება სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენტის თვისებებს, ანუ ისინი ასახავს ტრიგონომეტრიული ფუნქციების პერიოდულობის თვისებას, სიმეტრიის თვისებას და ასევე მოცემული კუთხით გადანაცვლების თვისებას. ეს ტრიგონომეტრიული ფორმულები საშუალებას გაძლევთ გადახვიდეთ თვითნებური კუთხით სამუშაოდან ნულიდან 90 გრადუსამდე კუთხით მუშაობაზე.

ამ ფორმულების დასაბუთება, მათი დამახსოვრების მნემონური წესი და მათი გამოყენების მაგალითები შეგიძლიათ შეისწავლოთ სტატიაში.

დამატების ფორმულები

ტრიგონომეტრიული დამატების ფორმულებიაჩვენე, როგორ გამოიხატება ორი კუთხის ჯამის ან სხვაობის ტრიგონომეტრიული ფუნქციები ამ კუთხის ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მიხედვით. ეს ფორმულები ემსახურება შემდეგი ტრიგონომეტრიული ფორმულების წარმოშობის საფუძველს.

ფორმულები ორმაგი, სამმაგი და ა.შ. კუთხე

ფორმულები ორმაგი, სამმაგი და ა.შ. კუთხე (მათ ასევე უწოდებენ მრავალი კუთხის ფორმულებს) გვიჩვენებს, თუ როგორ ფუნქციონირებს ორმაგი, სამმაგი და ა.შ. კუთხეები () გამოიხატება ერთი კუთხის ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მიხედვით. მათი წარმოშობა ემყარება დამატების ფორმულებს.

უფრო დეტალური ინფორმაცია გროვდება სტატიის ფორმულებში ორმაგი, სამმაგი და ა.შ. კუთხე .

ნახევარი კუთხის ფორმულები

ნახევარი კუთხის ფორმულებიაჩვენე, როგორ გამოიხატება ნახევარკუთხის ტრიგონომეტრიული ფუნქციები მთელი რიცხვის კუთხის კოსინუსების მიხედვით. ეს ტრიგონომეტრიული ფორმულები გამომდინარეობს ორმაგი კუთხის ფორმულებიდან.

მათი დასკვნა და განაცხადის მაგალითები შეგიძლიათ იხილოთ სტატიაში.

შემცირების ფორმულები

ტრიგონომეტრიული ფორმულები ხარისხების შემცირებისთვისშექმნილია იმისთვის, რომ ხელი შეუწყოს ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ბუნებრივი ძალებიდან პირველი ხარისხის სინუსებსა და კოსინუსებზე გადასვლას, მაგრამ მრავალ კუთხით. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ისინი საშუალებას გაძლევთ შეამციროთ ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ძალა პირველზე.

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ჯამისა და სხვაობის ფორმულები

მთავარი დანიშნულება ჯამისა და განსხვავების ფორმულები ტრიგონომეტრიული ფუნქციებისთვისმოიცავს ფუნქციების პროდუქტზე გადასვლას, რაც ძალიან სასარგებლოა ტრიგონომეტრიული გამონათქვამების გამარტივებისას. ეს ფორმულები ასევე ფართოდ გამოიყენება ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნისას, რადგან ისინი იძლევა სინუსებისა და კოსინუსების ჯამისა და სხვაობის ფაქტორინგის საშუალებას.

სინუსების, კოსინუსების და კოსინუსების ნამრავლის ფორმულები

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ნამრავლიდან ჯამზე ან განსხვავებაზე გადასვლა ხორციელდება სინუსების, კოსინუსების და სინუსების ნამრავლის ფორმულების მეშვეობით.

ბაშმაკოვი მ.ი.ალგებრა და ანალიზის დასაწყისი: პროკ. 10-11 უჯრედისთვის. საშ. სკოლა - მე-3 გამოცემა. - მ.: განმანათლებლობა, 1993. - 351გვ.: ილ. - ISBN 5-09-004617-4.

Ალგებრადა ანალიზის დასაწყისი: პროკ. 10-11 უჯრედისთვის. ზოგადი განათლება ინსტიტუტები / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn და სხვები; რედ. A. N. Kolmogorova.- 14th ed.- M.: განმანათლებლობა, 2004.- 384 გვ.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.

გუსევი V.A., Mordkovich A.G.მათემატიკა (სახელმძღვანელო ტექნიკური სასწავლებლების მსურველთათვის): პროკ. შემწეობა.- მ. უმაღლესი სკოლა, 1984.-351გვ., ილ.

საავტორო უფლება ჭკვიანი სტუდენტების მიერ

Ყველა უფლება დაცულია.
დაცულია საავტორო უფლებების კანონით. www.site-ის არც ერთი ნაწილი, შიდა მასალებისა და გარე დიზაინის ჩათვლით, არ შეიძლება იყოს რაიმე ფორმით რეპროდუცირება ან გამოყენება საავტორო უფლებების მფლობელის წინასწარი წერილობითი ნებართვის გარეშე.

ტრიგონომეტრია მათემატიკის ერთ-ერთი განშტოებაა, რომლის შესწავლა ყურადღებას ამახვილებს კუთხეებსა და მათ შორის ურთიერთობებზე. მეცნიერებას საფუძვლები ეყრება სკოლის წლებში, როდესაც შემოდის კუთხის ფუნქციების განმარტებები. მომავალში, მიღებული ბაზა გამოიყენება ასტრონომიის, აპარატურის, არქიტექტურისა და ცოდნის სხვა სფეროების განვითარებაში. ნებისმიერი ზუსტი მეცნიერების მსგავსად, ტრიგონომეტრია არ არის სრულყოფილი ფორმულების გარეშე. პრაქტიკულმა აპლიკაციებმა იპოვეს გამონათქვამები ორმაგი არგუმენტის განმარტებისთვის. მაგალითად, შესაბამისი განტოლების გამოყენებით, შეგიძლიათ მარტივად გაარკვიოთ სინუსის ორმაგი კუთხე.

ტრიგონომეტრიული გამოხატულება გამოთვლებისთვის

გამოთქმა უბრალოდ იწერება და ახსოვს: ორმაგი კუთხის სინუსი გამოითვლება, როგორც ერთი არგუმენტის სინუსის და კოსინუსის ორმაგი ნამრავლი.

ეს ფორმულა მომდინარეობს კუთხეების ჯამის სინუს გამოსახულებიდან ( ქ 1 + ქ 2 ) :

ცოდვა ( ქ 1 + ქ 2) = ცოდვა ქ 1* cos ქ 1+ ცოდვა ქ 2 * cos ქ 2 .

თუ დავუშვებთ, რომ მოცემული კუთხეები ერთმანეთის ტოლია, ფორმულა იწერება ჩვეულებრივი ფორმით.

თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ გამოხატულება ფუნქციის არგუმენტის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის. მისგან სინუსის ორმაგი კუთხის გამოთვლა საკმაოდ მარტივია, ქვემოთ მოცემული მაგალითები დაგეხმარებათ ამის გადამოწმებაში.

გამოყენების მაგალითი

აქ მოცემულია მიღებული ფორმულის გამოყენების რამდენიმე ილუსტრაცია. მოდით, საჭირო გახდეს 60 გრადუსიანი კუთხის სინუსის ტრიგონომეტრიული ფუნქციის მნიშვნელობის გამოთვლა. შესაბამისი ერთი კუთხე იქნება 30 გრადუსი. ვინაიდან ცნობილია 30 გრადუსიანი კუთხის სინუსის და კოსინუსის მნიშვნელობები, სინუსის ორმაგი კუთხე იქნება sin 60 = 2 * sin 30 * cos 30.

ფორმულა გამოიყენება არა მხოლოდ "ხელით" გამოსათვლელად, ასევე შეგიძლიათ იპოვოთ მნიშვნელობები მათემატიკური პაკეტების ან MS Excel ცხრილების გამოყენებით.

მიუხედავად ტრიგონომეტრიული იდენტობის სიმარტივისა, ის სირთულეებს უქმნის სკოლის კურსდამთავრებულებს. ეს არის ზუსტად ის, რისი იმედიც აქვთ USE ამოცანების შემქმნელებს, რომლებიც სთავაზობენ ტესტებს ძირითადი ფორმულების შესამოწმებლად. დასკვნა - სინუსის ორმაგი კუთხის გამოსათვლელი ფორმულა ზეპირად უნდა იცოდეთ!

ორიენტირებულია წერტილზე ა.
α რადიანებში გამოხატული კუთხეა.

განმარტება
სინუსიარის ტრიგონომეტრიული ფუნქცია, რომელიც დამოკიდებულია კუთხიდან α ჰიპოტენუზასა და მართკუთხა სამკუთხედის წვერს შორის, უდრის მოპირდაპირე ფეხის სიგრძის თანაფარდობას |BC| ჰიპოტენუზის სიგრძემდე |AC|.

კოსინუსი (cos α)არის ტრიგონომეტრიული ფუნქცია, რომელიც დამოკიდებულია კუთხიდან α ჰიპოტენუზასა და მართკუთხა სამკუთხედის წვერს შორის, ტოლია მიმდებარე ფეხის სიგრძის თანაფარდობის |AB| ჰიპოტენუზის სიგრძემდე |AC|.

მიღებული აღნიშვნები

;
;
.

სინუსური ფუნქციის გრაფიკი, y = sin x

კოსინუსური ფუნქციის გრაფიკი, y = cos x

სინუსის და კოსინუსის თვისებები

პერიოდულობა

ფუნქციები y= ცოდვა xდა y= cos xპერიოდული პერიოდით 2 პი.

პარიტეტი

სინუსური ფუნქცია უცნაურია. კოსინუს ფუნქცია ლუწია.

განსაზღვრებისა და მნიშვნელობების დომენი, ექსტრემა, ზრდა, შემცირება

სინუსი და კოსინუსი ფუნქციები უწყვეტია მათი განმარტების დომენზე, ანუ ყველა x-სთვის (იხ. უწყვეტობის მტკიცებულება). მათი ძირითადი თვისებები წარმოდგენილია ცხრილში (n - მთელი რიცხვი).

	y= ცოდვა x	y= cos x
ფარგლები და უწყვეტობა	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
ღირებულებების დიაპაზონი	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
აღმავალი
Დაღმავალი
მაქსიმუმები, y= 1
მინიმალური, y = - 1
ნულები, y= 0
y-ღერძთან გადაკვეთის წერტილები, x = 0	y= 0	y= 1

ძირითადი ფორმულები

კვადრატული სინუსის და კოსინუსების ჯამი

ჯამისა და სხვაობის სინუსებისა და კოსინუსების ფორმულები

;
;

სინუსებისა და კოსინუსების ნამრავლის ფორმულები

ჯამის და სხვაობის ფორმულები

სინუსის გამოხატვა კოსინუსის მეშვეობით

;
;
;
.

კოსინუსის გამოხატვა სინუსში

;
;
;
.

გამოხატვა ტანგენტის მიხედვით

; .

იყიდება, ჩვენ გვაქვს:
; .

ზე:
; .

სინუსებისა და კოსინუსების ცხრილი, ტანგენტები და კოტანგენტები

ეს ცხრილი აჩვენებს სინუსების და კოსინუსების მნიშვნელობებს არგუმენტის ზოგიერთი მნიშვნელობისთვის.

გამონათქვამები რთული ცვლადების მეშვეობით

;

ეილერის ფორმულა

გამონათქვამები ჰიპერბოლური ფუნქციების მიხედვით

;
;

წარმოებულები

; . ფორმულების გამოყვანა > > >

n-ე რიგის წარმოებულები:
{ -∞ < x < +∞ }

სეკანტი, კოსეკანტი

ინვერსიული ფუნქციები

სინუსსა და კოსინუსზე შებრუნებული ფუნქციები არის რკალი და არკოზინი, შესაბამისად.

არქსინი, რკალი

არკოზინი, არკოზი

ცნობები:
ი.ნ. ბრონშტეინი, კ.ა. სემენდიაევი, მათემატიკის სახელმძღვანელო უმაღლესი საგანმანათლებლო დაწესებულებების ინჟინრებისა და სტუდენტებისთვის, ლან, 2009 წ.