\[(\დიდი(\ტექსტი(ძირითადი ფაქტები ფართობის შესახებ)))\]

შეიძლება ითქვას, რომ მრავალკუთხედის ფართობი არის მნიშვნელობა, რომელიც მიუთითებს სიბრტყის იმ ნაწილზე, რომელსაც იკავებს მოცემული მრავალკუთხედი. ფართობის ერთეული აღებულია, როგორც კვადრატის ფართობი \(1\) სმ, \(1\) მმ და ა.შ. (ერთი კვადრატი). შემდეგ ფართობი გაიზომება სმ\(^2\) , მმ\(^2\) შესაბამისად.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ფიგურის ფართობი არის მნიშვნელობა, რომლის რიცხვითი მნიშვნელობა გვიჩვენებს რამდენჯერ ჯდება მოცემულ ფიგურაში ერთეული კვადრატი.

ტერიტორიის თვისებები

1. ნებისმიერი მრავალკუთხედის ფართობი არის დადებითი მნიშვნელობა.

2. თანაბარ მრავალკუთხედებს აქვთ თანაბარი ფართობები.

3. თუ მრავალკუთხედი შედგება რამდენიმე მრავალკუთხედისაგან, მაშინ მისი ფართობი უდრის ამ მრავალკუთხედების ფართობების ჯამს.

4. კვადრატის ფართობი \(a\) გვერდით არის \(a^2\) .

\[(\დიდი(\ტექსტი(მართკუთხედის და პარალელოგრამის ფართობი)))\]

თეორემა: მართკუთხედის ფართობი

მართკუთხედის ფართობი გვერდებით \(a\) და \(b\) არის \(S=ab\) .

მტკიცებულება

მოდით ავაგოთ მართკუთხედი \(ABCD\) კვადრატზე გვერდით \(a+b\) , როგორც ნაჩვენებია სურათზე:

ეს კვადრატი შედგება მართკუთხედისაგან \(ABCD\) , მის ტოლი სხვა მართკუთხედისაგან და ორი კვადრატისაგან გვერდებით \(a\) და \(b\) . ამრიგად,

\(\begin(მრავალხაზოვანი*) S_(a+b)=2S_(\text(pr-k))+S_a+S_b \მარცხნივ მარჯვენა ისარი (a+b)^2=2S_(\text(pr-k))+ a^2+b^2 \მარცხნივ ისარი\\ a^2+2ab+b^2=2S_(\text(pr-k))+a^2+b^2 \მარჯვენა ისარი S_(\text(pr-k) )=ab \end(მრავალხაზოვანი*)\)

განმარტება

პარალელოგრამის სიმაღლე არის პარალელოგრამის წვეროდან დახატული პერპენდიკულარი იმ მხარეს (ან გვერდის გაფართოებაზე), რომელიც არ შეიცავს ამ წვეროს.
მაგალითად, სიმაღლე \(BK\) მოდის \(AD\) მხარეს, ხოლო სიმაღლე \(BH\) მოდის \(CD\) გვერდის გაფართოებაზე:

თეორემა: პარალელოგრამის ფართობი

პარალელოგრამის ფართობი უდრის სიმაღლისა და იმ მხარის ნამრავლს, რომელზეც ეს სიმაღლეა დახატული.

მტკიცებულება

დახაზეთ პერპენდიკულარები \(AB"\) და \(DC"\), როგორც ნაჩვენებია სურათზე. გაითვალისწინეთ, რომ ეს პერპენდიკულარები უდრის პარალელოგრამის \(ABCD\) სიმაღლეს.

მაშინ \(AB"C"D\) არის მართკუთხედი, აქედან გამომდინარე \(S_(AB"C"D)=AB"\cdot AD\) .

გაითვალისწინეთ, რომ მართკუთხა სამკუთხედები \(ABB"\) და \(DCC"\) ტოლია. ამრიგად,

\(S_(ABCD)=S_(ABC"D)+S_(DCC")=S_(ABC"D)+S_(ABB")=S_(AB"C"D)=AB"\cdot AD.\)

\[(\დიდი(\ტექსტი(სამკუთხედის ფართობი)))\]

განმარტება

ჩვენ სამკუთხედის ფუძეს დავარქმევთ იმ მხარეს, რომელზეც სიმაღლეა დახატული სამკუთხედში.

თეორემა

სამკუთხედის ფართობი უდრის მისი ფუძის ნამრავლის ნახევარს და ამ ფუძისკენ მიზიდულ სიმაღლეს.

მტკიცებულება

მოდით \(S\) იყოს სამკუთხედის ფართობი \(ABC\). ავიღოთ გვერდი \(AB\) სამკუთხედის ფუძედ და დავხატოთ სიმაღლე \(CH\) . ეს დავამტკიცოთ \ ჩვენ ვასრულებთ სამკუთხედს \(ABC\) პარალელოგრამზე \(ABDC\), როგორც ნაჩვენებია სურათზე:

სამკუთხედები \(ABC\) და \(DCB\) ტოლია სამ გვერდში (\(BC\) მათი საერთო გვერდია, \(AB = CD\) და \(AC = BD\), როგორც პარალელოგრამის მოპირდაპირე მხარეები \ (ABDC\ ) ), ამიტომ მათი ფართობი ტოლია. ამრიგად, სამკუთხედის \(S\) ფართობი \(ABC\) უდრის პარალელოგრამის ფართობის ნახევარს \(ABDC\), ე.ი. \(S = \dfrac(1)(2)AB\cdotCH\).

თეორემა

თუ ორ სამკუთხედს \(\სამკუთხედი ABC\) და \(\სამკუთხედი A_1B_1C_1\) აქვთ თანაბარი სიმაღლეები, მაშინ მათი ფართობები დაკავშირებულია როგორც ფუძეები, რომლებზეც ეს სიმაღლეებია დახატული.

შედეგი

სამკუთხედის მედიანა მას ყოფს ტოლი ფართობის ორ სამკუთხედად.

თეორემა

თუ ორ სამკუთხედს \(\სამკუთხედი ABC\) და \(\სამკუთხედი A_2B_2C_2\) თითოეულს ერთი და იგივე კუთხე აქვს, მაშინ მათი ფართობი დაკავშირებულია ამ კუთხის შემქმნელი გვერდების ნამრავლებად.

მტკიცებულება

მოდით \(\კუთხე A=\კუთხე A_2\) . მოდით გავაერთიანოთ ეს კუთხეები, როგორც ნაჩვენებია ფიგურაში (წერტილი \(A\) გასწორებულია წერტილთან \(A_2\)):

დახაზეთ სიმაღლეები \(BH\) და \(C_2K\) .

სამკუთხედებს \(AB_2C_2\) და \(ABC_2\) აქვთ იგივე სიმაღლე \(C_2K\) , შესაბამისად: \[\dfrac(S_(AB_2C_2))(S_(ABC_2))=\dfrac(AB_2)(AB)\]

სამკუთხედებს \(ABC_2\) და \(ABC\) აქვთ იგივე სიმაღლე \(BH\) , შესაბამისად: \[\dfrac(S_(ABC_2))(S_(ABC))=\dfrac(AC_2)(AC)\]

ბოლო ორი ტოლობის გამრავლებით მივიღებთ: \[\dfrac(S_(AB_2C_2))(S_(ABC))=\dfrac(AB_2\cdot AC_2)(AB\cdot AC) \qquad \text(ან ) \qquad \dfrac(S_(A_2B_2C_2))(S_ (ABC))=\dfrac(A_2B_2\cdot A_2C_2)(AB\cdot AC)\]

პითაგორას თეორემა

მართკუთხა სამკუთხედში ჰიპოტენუზის სიგრძის კვადრატი უდრის ფეხების სიგრძის კვადრატების ჯამს:

პირიქითაც მართალია: თუ სამკუთხედში ერთი გვერდის სიგრძის კვადრატი უდრის დანარჩენი ორი გვერდის სიგრძის კვადრატების ჯამს, მაშინ ასეთი სამკუთხედი მართკუთხაა.

თეორემა

მართკუთხა სამკუთხედის ფართობი ფეხების ნამრავლის ნახევარია.

თეორემა: ჰერონის ფორმულა

ვთქვათ \(p\) იყოს სამკუთხედის ნახევარპერიმეტრი, \(a\) , \(b\) , \(c\) იყოს მისი გვერდების სიგრძეები, მაშინ მისი ფართობი უდრის \

\[(\დიდი(\ტექსტი(რომბისა და ტრაპეციის ფართობი)))\]

კომენტარი

იმიტომ რომ რომბი არის პარალელოგრამი, მაშინ მასზეც იგივე ფორმულაა, ე.ი. რომბის ფართობი უდრის სიმაღლისა და მხარის ნამრავლს, რომელზეც ეს სიმაღლეა დახატული.

თეორემა

ამოზნექილი ოთხკუთხედის ფართობი, რომლის დიაგონალები პერპენდიკულარულია, არის დიაგონალების ნამრავლის ნახევარი.

მტკიცებულება

განვიხილოთ ოთხკუთხედი \(ABCD\) . აღნიშნეთ \(AO=a, CO=b, BO=x, DO=y\):

გაითვალისწინეთ, რომ ეს ოთხკუთხედი შედგება ოთხი მართკუთხა სამკუთხედისგან, ამიტომ მისი ფართობი უდრის ამ სამკუთხედების ფართობების ჯამს:

\(\begin(multline*) S_(ABCD)=\frac12ax+\frac12xb+\frac12by+\frac12ay=\frac12(ax+xb+by+ay)=\\ \frac12((a+b)x+(a+b) y)=\frac12(a+b)(x+y)\ბოლო(მრავალხაზოვანი*)\)

დასკვნა: რომბის ფართობი

რომბის ფართობი მისი დიაგონალების ნამრავლის ნახევარია: \

განმარტება

ტრაპეციის სიმაღლე არის პერპენდიკულური, რომელიც გამოყვანილია ერთი ფუძის ზემოდან მეორე ფუძემდე.

თეორემა: ტრაპეციის ფართობი

ტრაპეციის ფართობი არის ფუძეების ჯამის ნახევარი სიმაღლეზე.

მტკიცებულება

განვიხილოთ ტრაპეცია \(ABCD\) ფუძეებით \(BC\) და \(AD\) . დახაზეთ \(CD"\პარალელური AB\), როგორც ნაჩვენებია სურათზე:

მაშინ \(ABCD"\) არის პარალელოგრამი.

ასევე ვხატავთ \(BH"\perp AD, CH\perp AD\) (\(BH"=CH\) არის ტრაპეციის სიმაღლეები).

მერე \(S_(ABCD")=BH"\cdot AD"=BH"\cdot BC, \quad S_(CDD")=\dfrac12CH\cdot D"D\)

იმიტომ რომ ტრაპეცია შედგება პარალელოგრამის \(ABCD"\) და სამკუთხედისგან \(CDD"\) , მაშინ მისი ფართობი უდრის პარალელოგრამისა და სამკუთხედის ფართობების ჯამს, ანუ:

\ \[=\dfrac12 CH\left(BC+AD"+D"D\right)=\dfrac12 CH\left(BC+AD\მარჯვნივ)\]

ყველამ, ვინც სკოლაში მათემატიკა-გეომეტრიას სწავლობდა, ეს მეცნიერებები ზედაპირულად მაინც იცის. მაგრამ დროთა განმავლობაში, თუ ისინი არ განხორციელდება, ცოდნა დავიწყებულია. ბევრს სჯერა, რომ მათ უბრალოდ დაკარგეს დრო გეომეტრიული გამოთვლების შესწავლაზე. თუმცა, ისინი ცდებიან. ტექნიკური მუშაკები ასრულებენ ყოველდღიურ სამუშაოებს, რომლებიც დაკავშირებულია გეომეტრიულ გამოთვლებთან. რაც შეეხება მრავალკუთხედის ფართობის გამოთვლას, ეს ცოდნა ასევე პოულობს მის გამოყენებას ცხოვრებაში. ისინი საჭირო იქნება მინიმუმ მიწის ფართობის გამოსათვლელად. მოდით ვისწავლოთ როგორ მოვძებნოთ მრავალკუთხედის ფართობი.

მრავალკუთხედის განმარტება

ჯერ განვსაზღვროთ რა არის მრავალკუთხედი. ეს არის ბრტყელი გეომეტრიული ფიგურა, რომელიც ჩამოყალიბდა სამი ან მეტი ხაზის გადაკვეთის შედეგად. კიდევ ერთი მარტივი განმარტება: მრავალკუთხედი არის დახურული პოლიხაზი. ბუნებრივია, წრფეების გადაკვეთაზე იქმნება გადაკვეთის წერტილები, მათი რიცხვი ტოლია წრფეების რაოდენობას, რომლებიც ქმნიან მრავალკუთხედს. გადაკვეთის წერტილებს წვეროები ეწოდება, ხოლო სწორი ხაზებიდან წარმოქმნილ მონაკვეთებს მრავალკუთხედის გვერდები. მრავალკუთხედის მიმდებარე სეგმენტები არ არის ერთსა და იმავე სწორ ხაზზე. ხაზოვანი სეგმენტები, რომლებიც არ არის მიმდებარე, არის ის, რომელიც არ გადის საერთო წერტილებს.

სამკუთხედების ფართობების ჯამი

როგორ მოვძებნოთ მრავალკუთხედის ფართობი? მრავალკუთხედის ფართობი არის სიბრტყის შიდა ნაწილი, რომელიც ჩამოყალიბდა პოლიგონის სეგმენტების ან გვერდების გადაკვეთაზე. ვინაიდან მრავალკუთხედი არის ისეთი ფორმების კომბინაცია, როგორიცაა სამკუთხედი, რომბი, კვადრატი, ტრაპეცია, უბრალოდ არ არსებობს უნივერსალური ფორმულა მისი ფართობის გამოსათვლელად. პრაქტიკაში, ყველაზე უნივერსალური მეთოდია მრავალკუთხედის დაყოფა უფრო მარტივ ფიგურებად, რომლის ფართობის პოვნა არც ისე რთულია. ამ მარტივი ფიგურების ფართობების ჯამების დამატებით მივიღებთ მრავალკუთხედის ფართობს.

წრის ფართობის გავლით

უმეტეს შემთხვევაში, მრავალკუთხედს აქვს რეგულარული ფორმა და ქმნის ფიგურას თანაბარი გვერდებითა და კუთხეებით მათ შორის. ფართობის გამოთვლა ამ შემთხვევაში ძალიან მარტივია შემოხაზული ან შემოხაზული წრის გამოყენებით. თუ წრის ფართობი ცნობილია, მაშინ ის უნდა გავამრავლოთ მრავალკუთხედის პერიმეტრზე და შემდეგ მიღებული ნამრავლი გავყოთ 2-ზე. შედეგად, მიიღება ასეთი მრავალკუთხედის ფართობის გამოთვლის ფორმულა. : S = ½∙P∙r., სადაც P არის წრის ფართობი და r არის მრავალკუთხედის პერიმეტრი.

მრავალკუთხედის "მოხერხებულ" ფორმებად დაყოფის მეთოდი ყველაზე პოპულარულია გეომეტრიაში, ის საშუალებას გაძლევთ სწრაფად და სწორად იპოვოთ პოლიგონის ფართობი. ასეთ მეთოდებს ჩვეულებრივ სწავლობს საშუალო სკოლის მე-4 კლასი.

ამ სტატიაში ვისაუბრებთ იმაზე, თუ როგორ უნდა გამოვხატოთ მრავალკუთხედის ფართობი, რომელშიც წრე შეიძლება ჩაიწეროს ამ წრის რადიუსის მიხედვით. დაუყოვნებლივ უნდა აღინიშნოს, რომ ყველა მრავალკუთხედი არ შეიძლება ჩაიწეროს წრეში. თუმცა, თუ ეს შესაძლებელია, მაშინ ფორმულა, რომლითაც გამოითვლება ასეთი მრავალკუთხედის ფართობი, ძალიან მარტივი ხდება. წაიკითხეთ ეს სტატია ბოლომდე ან უყურეთ თანდართულ ვიდეო გაკვეთილს და გაიგებთ, თუ როგორ გამოხატოთ მრავალკუთხედის ფართობი მასში ჩაწერილი წრის რადიუსის მიხედვით.

მრავალკუთხედის ფართობის ფორმულა ჩაწერილი წრის რადიუსის მიხედვით

დავხატოთ მრავალკუთხედი ა 1 ა 2 ა 3 ა 4 ა 5, არ არის აუცილებელი სწორი, მაგრამ ის, რომელშიც წრე შეიძლება ჩაიწეროს. შეგახსენებთ, რომ ჩაწერილი წრე არის წრე, რომელიც ეხება მრავალკუთხედის ყველა მხარეს. ფიგურაში ეს არის მწვანე წრე, რომელიც ორიენტირებულია წერტილზე ო:

ჩვენ ავიღეთ 5-გონი აქ, როგორც მაგალითი. მაგრამ სინამდვილეში, ეს არ არის არსებითი, რადგან შემდგომი მტკიცებულება მოქმედებს როგორც 6-გონებისთვის, ასევე 8-გონებისთვის და ზოგადად ნებისმიერი "გონისთვის" თვითნებურად.

თუ შემოხაზული წრის ცენტრს დააკავშირებთ მრავალკუთხედის ყველა წვეროსთან, მაშინ ის დაიყოფა იმდენ სამკუთხედად, რამდენი წვეროა მოცემულ მრავალკუთხედში. ჩვენს შემთხვევაში: 5 სამკუთხედი. თუ წერტილს დავაკავშირებთ ოჩაწერილი წრის შეხების ყველა წერტილით მრავალკუთხედის გვერდებთან მიიღებთ 5 სეგმენტს (ქვემოთ მოცემულ ფიგურაში ეს არის სეგმენტები ოჰ 1 , ოჰ 2 , ოჰ 3 , ოჰ 4 და ოჰ 5), რომლებიც ტოლია წრის რადიუსის და პერპენდიკულარულია იმ მრავალკუთხედის გვერდებზე, რომლებზეც ისინი დახატულია. ეს უკანასკნელი მართალია, რადგან შეხების წერტილამდე მიყვანილი რადიუსი ტანგენტის პერპენდიკულარულია:

როგორ მოვძებნოთ ჩვენი შემოხაზული მრავალკუთხედის ფართობი? პასუხი მარტივია. აუცილებელია გაყოფის შედეგად მიღებული ყველა სამკუთხედის ფართობის შეკრება:

განვიხილოთ რა არის სამკუთხედის ფართობი. ქვემოთ მოცემულ სურათზე ის მონიშნულია ყვითლად:

ის უდრის ფუძის პროდუქტის ნახევარს ა 1 ა 2 სიმაღლეზე ოჰ 1 დახატულია ამ ბაზაზე. მაგრამ, როგორც უკვე გავარკვიეთ, ეს სიმაღლე უდრის ჩაწერილი წრის რადიუსს. ანუ, სამკუთხედის ფართობის ფორმულა იღებს ფორმას: , სად რარის შემოხაზული წრის რადიუსი. ანალოგიურად, ნაპოვნია ყველა დარჩენილი სამკუთხედის ფართობი. შედეგად, მრავალკუთხედის სასურველი ფართობი უდრის:

ჩანს, რომ ამ თანხის ყველა თვალსაზრისით არის საერთო ფაქტორი, რომლის ამოღება შესაძლებელია ფრჩხილებიდან. შედეგი არის შემდეგი გამოხატულება:

ანუ ფრჩხილებში უბრალოდ იყო მრავალკუთხედის ყველა მხარის ჯამი, ანუ მისი პერიმეტრი პ. ყველაზე ხშირად, ამ ფორმულაში გამოთქმა უბრალოდ იცვლება გვდა დაარქვით ამ ასოს "ნახევრად პერიმეტრი". შედეგად, საბოლოო ფორმულა ხდება:

ანუ, მრავალკუთხედის ფართობი, რომელშიც ჩაწერილია ცნობილი რადიუსის წრე, ტოლია ამ რადიუსის ნამრავლისა და მრავალკუთხედის ნახევარპერიმეტრის. ეს ის შედეგია, რომლის მიზანიც იყო.

ბოლოს ის აღნიშნავს, რომ წრე ყოველთვის შეიძლება ჩაიწეროს სამკუთხედში, რაც მრავალკუთხედის განსაკუთრებული შემთხვევაა. ამიტომ, სამკუთხედისთვის, ეს ფორმულა ყოველთვის შეიძლება გამოყენებულ იქნას. 3-ზე მეტი გვერდის მქონე სხვა მრავალკუთხედებისთვის, ჯერ უნდა დარწმუნდეთ, რომ მათში წრე შეიძლება ჩაიწეროს. თუ ასეა, შეგიძლიათ უსაფრთხოდ გამოიყენოთ ეს მარტივი ფორმულა და იპოვოთ მისგან ამ მრავალკუთხედის ფართობი.

მოამზადა სერგეი ვალერიევიჩმა

მანძილისა და სიგრძის ერთეულების კონვერტორი ფართობის ერთეულების გადამყვანი გაწევრიანება © 2011-2017 Mikhail Dovzhik მასალების კოპირება აკრძალულია. ონლაინ კალკულატორში შეგიძლიათ გამოიყენოთ მნიშვნელობები იმავე საზომ ერთეულებში! თუ გაზომვის ერთეულების კონვერტაციის პრობლემა გაქვთ, გამოიყენეთ დისტანციისა და სიგრძის ერთეულის გადამყვანი და ფართობის ერთეულის გადამყვანი. ოთხკუთხა ფართობის კალკულატორის დამატებითი ფუნქციები

• შეყვანის ველებს შორის გადაადგილება შეგიძლიათ კლავიატურაზე მარჯვენა და მარცხენა ღილაკების დაჭერით.

თეორია. ოთხკუთხედის ფართობი ოთხკუთხედი არის გეომეტრიული ფიგურა, რომელიც შედგება ოთხი წერტილისგან (წვეროები), რომელთაგან სამი არ არის ერთსა და იმავე სწორ ხაზზე და ოთხი სეგმენტი (გვერდი), რომელიც აკავშირებს ამ წერტილებს წყვილებში. ოთხკუთხედს ამოზნექილი ეწოდება, თუ ამ ოთხკუთხედის რომელიმე ორი წერტილის დამაკავშირებელი სეგმენტი მის შიგნით იქნება.

როგორ მოვძებნოთ მრავალკუთხედის ფართობი?

ფართობის განსაზღვრის ფორმულა განისაზღვრება AB მრავალკუთხედის თითოეული კიდის აღებით და სამკუთხედის ABO ფართობის გამოთვლით O წვეროსთან ერთად, წვეროების კოორდინატების მეშვეობით. მრავალკუთხედის ირგვლივ სიარულისას წარმოიქმნება სამკუთხედები, მათ შორის მრავალკუთხედის შიდა მხარე და მდებარეობს მის გარეთ. განსხვავება ამ ფართობების ჯამს შორის არის თავად მრავალკუთხედის ფართობი.

მაშასადამე, ფორმულას ამზომველის ფორმულა ეწოდება, ვინაიდან სათავეში „კარტოგრაფი“ არის; თუ ის დადის არეზე საათის ისრის საწინააღმდეგოდ, ფართობი ემატება, თუ ის მარცხნივ არის და აკლდება, თუ ის მარჯვნივ არის, საწყისის მიხედვით. ფართობის ფორმულა მოქმედებს ნებისმიერი არაგადაკვეთილი (მარტივი) მრავალკუთხედისთვის, რომელიც შეიძლება იყოს ამოზნექილი ან ჩაზნექილი. შინაარსი

• 1 განმარტება
• 2 მაგალითი
• 3 უფრო რთული მაგალითი
• 4 სახელის ახსნა
• 5 იხ

პოლიგონის ფართობი

ყურადღება

Ეს შეიძლება იყოს:

• სამკუთხედი;
• ოთხკუთხედი;
• ხუთ- ან ექვსკუთხედი და ასე შემდეგ.

ასეთი ფიგურა, რა თქმა უნდა, ხასიათდება ორი პოზიციით:

1. მიმდებარე მხარეები არ მიეკუთვნება იმავე ხაზს.
2. არამეზობელებს არ აქვთ საერთო წერტილები, ანუ ისინი არ იკვეთებიან.

იმის გასაგებად, თუ რომელი წვეროები არის მიმდებარე, უნდა ნახოთ, ეკუთვნის თუ არა ისინი იმავე მხარეს. თუ კი, მაშინ მეზობელი. წინააღმდეგ შემთხვევაში, ისინი შეიძლება იყოს დაკავშირებული სეგმენტით, რომელსაც დიაგონალი უნდა ეწოდოს. მათი დახატვა შესაძლებელია მხოლოდ მრავალკუთხედებში, რომლებსაც აქვთ სამზე მეტი წვერო.

რა სახის ისინი არსებობს? ოთხზე მეტი კუთხის მქონე მრავალკუთხედი შეიძლება იყოს ამოზნექილი ან ჩაზნექილი. ამ უკანასკნელის განსხვავება იმაში მდგომარეობს, რომ მისი ზოგიერთი წვერო შეიძლება მდებარეობდეს მრავალკუთხედის თვითნებური მხარის მეშვეობით დახაზული სწორი ხაზის სხვადასხვა მხარეს.

როგორ მოვძებნოთ რეგულარული და არარეგულარული ექვსკუთხედის ფართობი?

• გვერდის სიგრძის ცოდნა, გაამრავლე იგი 6-ზე და მიიღეთ ექვსკუთხედის პერიმეტრი: 10 სმ x 6 \u003d 60 სმ
• ჩაანაცვლეთ შედეგები ჩვენს ფორმულაში:
ფართობი \u003d 1/2 * პერიმეტრი * აპოთემა ფართობი \u003d ½ * 60 სმ * 5√3 ამოხსნა: ახლა რჩება პასუხის გამარტივება კვადრატული ფესვებისგან თავის დასაღწევად და შედეგი მიუთითეთ კვადრატულ სანტიმეტრებში: ½ * 60 სმ * 5 √3 სმ = 30 * 5√3 სმ = 150 √3 სმ = 259,8 სმ² ვიდეო, თუ როგორ უნდა იპოვოთ რეგულარული ექვსკუთხედის ფართობი, არსებობს რამდენიმე ვარიანტი არარეგულარული ექვსკუთხედის ფართობის დასადგენად:

• ტრაპეციის მეთოდი.
• არარეგულარული მრავალკუთხედების ფართობის გამოთვლის მეთოდი კოორდინატთა ღერძის გამოყენებით.
• ექვსკუთხედის სხვა ფორმებად დაყოფის მეთოდი.

საწყისი მონაცემებიდან გამომდინარე, რომელიც გეცოდინებათ, შეირჩევა შესაბამისი მეთოდი.

Მნიშვნელოვანი

ზოგიერთი არარეგულარული ექვსკუთხედი შედგება ორი პარალელოგრამისგან. პარალელოგრამის ფართობის დასადგენად, გაამრავლეთ მისი სიგრძე მის სიგანეზე და შემდეგ დაამატეთ უკვე ცნობილი ორი უბანი. ვიდეო, თუ როგორ უნდა იპოვოთ მრავალკუთხედის ფართობი ტოლგვერდა ექვსკუთხედს აქვს ექვსი თანაბარი გვერდი და არის რეგულარული ექვსკუთხედი.

ტოლგვერდა ექვსკუთხედის ფართობი უდრის სამკუთხედების 6 უბანს, რომლებშიც იყოფა რეგულარული ექვსკუთხა ფიგურა. რეგულარულ ექვსკუთხედში ყველა სამკუთხედი ტოლია, ამიტომ ასეთი ექვსკუთხედის ფართობის საპოვნელად საკმარისი იქნება მინიმუმ ერთი სამკუთხედის ფართობის ცოდნა. ტოლგვერდა ექვსკუთხედის ფართობის საპოვნელად, რა თქმა უნდა, გამოიყენება ზემოთ აღწერილი რეგულარული ექვსკუთხედის ფართობის ფორმულა.

404 არ მოიძებნა

სახლის, ტანსაცმლის მორთულობამ, ნახატების დახატვამ ხელი შეუწყო გეომეტრიის დარგში ინფორმაციის ფორმირებისა და დაგროვების პროცესს, რომელსაც იმდროინდელი ხალხი ემპირიულად, ცალ-ცალკე იღებდა და თაობიდან თაობას გადასცემდა. დღეს გეომეტრიის ცოდნა აუცილებელია მჭრელისთვის, მშენებლისთვის, არქიტექტორისთვის და ყოველი ჩვეულებრივი ადამიანისთვის ყოველდღიურ ცხოვრებაში. ამიტომ, თქვენ უნდა ისწავლოთ როგორ გამოვთვალოთ სხვადასხვა ფიგურების ფართობი და გახსოვდეთ, რომ თითოეული ფორმულა მოგვიანებით შეიძლება გამოადგეს პრაქტიკაში, მათ შორის ჩვეულებრივი ექვსკუთხედის ფორმულა.
ექვსკუთხედი არის ისეთი მრავალკუთხა ფიგურა, რომლის კუთხის ჯამური რაოდენობა არის ექვსი. რეგულარული ექვსკუთხედი არის ექვსკუთხა ფიგურა, რომელსაც აქვს თანაბარი გვერდები. წესიერი ექვსკუთხედის კუთხეებიც ტოლია ერთმანეთის.
ყოველდღიურ ცხოვრებაში ხშირად გვხვდება ისეთი საგნები, რომლებსაც აქვთ ჩვეულებრივი ექვსკუთხედის ფორმა.

არარეგულარული მრავალკუთხედის ფართობის კალკულატორი გვერდებზე

დაგჭირდებათ

• - რულეტკა;
• - ელექტრონული დიაპაზონი;
• - ფურცელი და ფანქარი;
• - კალკულატორი.

ინსტრუქცია 1 თუ გჭირდებათ ბინის ან ცალკე ოთახის საერთო ფართი, უბრალოდ წაიკითხეთ ბინის ან სახლის ტექნიკური პასპორტი, სადაც ნაჩვენებია თითოეული ოთახის კადრები და ბინის მთლიანი კადრები. 2 მართკუთხა ან კვადრატული ოთახის ფართობის გასაზომად, აიღეთ ლენტი ან ელექტრონული დიაპაზონი და გაზომეთ კედლების სიგრძე. მანძილის გაზომვისას მანძილის გაზომვისას აუცილებლად შეინახეთ სხივის მიმართულება პერპენდიკულურად, წინააღმდეგ შემთხვევაში გაზომვის შედეგები შეიძლება დამახინჯდეს. 3 შემდეგ გაამრავლეთ ოთახის მიღებული სიგრძე (მეტრებში) სიგანეზე (მეტრებში). შედეგად მიღებული ღირებულება იქნება იატაკის ფართობი, ის იზომება კვადრატულ მეტრში.

გაუსის ფართობის ფორმულა

თუ საჭიროა უფრო რთული სტრუქტურის იატაკის ფართობის გამოთვლა, როგორიცაა ხუთკუთხა ოთახი ან ოთახი მრგვალი თაღით, დახაზეთ სქემატური ესკიზი ფურცელზე. შემდეგ რთული ფორმა დაყავით რამდენიმე მარტივ ფორმად, როგორიცაა კვადრატი და სამკუთხედი, ან მართკუთხედი და ნახევარწრიული. გამოიყენეთ ლენტი ან დიაპაზონი, რათა გაზომოთ მიღებული ფიგურების ყველა მხარის ზომა (წრისთვის, თქვენ უნდა იცოდეთ დიამეტრი) და შეიტანეთ შედეგები თქვენს ნახატზე.

5 ახლა გამოთვალეთ თითოეული ფორმის ფართობი ცალ-ცალკე. მართკუთხედების და კვადრატების ფართობი გამოითვლება გვერდების გამრავლებით. წრის ფართობის გამოსათვლელად, გაყავით დიამეტრი შუაზე და კვადრატში (გაამრავლეთ იგი თავისთავად), შემდეგ გაამრავლეთ შედეგი 3.14-ზე.
თუ წრის მხოლოდ ნახევარი გსურთ, გაყავით მიღებული ფართობი შუაზე. სამკუთხედის ფართობის გამოსათვლელად იპოვეთ P ყველა გვერდის ჯამის 2-ზე გაყოფით.

არარეგულარული მრავალკუთხედის ფართობის გამოთვლის ფორმულა

თუ წერტილები დანომრილია თანმიმდევრობით საათის ისრის საწინააღმდეგო მიმართულებით, მაშინ ზემოთ მოცემულ ფორმულაში განმსაზღვრელი დადებითია და მასში მოდული შეიძლება გამოტოვდეს; თუ ისინი დანომრილია საათის ისრის მიმართულებით, დეტერმინანტები უარყოფითი იქნება. ეს იმიტომ ხდება, რომ ფორმულა შეიძლება ჩაითვალოს გრინის თეორემის განსაკუთრებულ შემთხვევად. ფორმულის გამოსაყენებლად, თქვენ უნდა იცოდეთ დეკარტის სიბრტყეში მრავალკუთხედის წვეროების კოორდინატები.

მაგალითად, ავიღოთ სამკუთხედი კოორდინატებით ((2, 1), (4, 5), (7, 8)). აიღეთ პირველი წვერის პირველი x-კოორდინატი და გაამრავლეთ ის მეორე წვერის y-კოორდინატზე, შემდეგ კი მეორე წვერის x-კოორდინატი გავამრავლოთ მესამეს y-კოორდინატზე. ჩვენ ვიმეორებთ ამ პროცედურას ყველა წვეროსთვის. შედეგი შეიძლება განისაზღვროს შემდეგი ფორმულით: ტრი.

არარეგულარული ოთხკუთხედის ფართობის გამოთვლის ფორმულა

ა) _(\ტექსტი(სტრი.))=(1 \2-ზე მეტი)|x_(1)y_(2)+x_(2)y_(3)+x_(3)y_(1)-x_(2) y_(1)-x_(3)y_(2)-x_(1)y_(3)|) სადაც xi და yi აღნიშნავენ შესაბამის კოორდინატს. ეს ფორმულა შეიძლება მივიღოთ ფრჩხილების გახსნით ზოგადი ფორმულით n = 3 შემთხვევისთვის. ამ ფორმულის გამოყენებით შეგიძლიათ აღმოაჩინოთ, რომ სამკუთხედის ფართობი უდრის 10 + 32 + 7 - 4 - ჯამის ნახევარს. 35 - 16, რომელიც იძლევა 3. ფორმულაში ცვლადების რაოდენობა დამოკიდებულია მრავალკუთხედის გვერდების რაოდენობაზე. მაგალითად, პენტაგონის ფართობის ფორმულა გამოიყენებს ცვლადებს x5-მდე და y5-მდე: A pent. = 1 2 | x 1 y 2 + x 2 y 3 + x 3 y 4 + x 4 y 5 + x 5 y 1 − x 2 y 1 − x 3 y 2 − x 4 y 3 − x 5 y 4 − x 1 y 5 | (\displaystyle \mathbf (A) _(\text(pent.))=(1 \2-ზე მეტი)|x_(1)y_(2)+x_(2)y_(3)+x_(3)y_(4 )+x_(4)y_(5)+x_(5)y_(1)-x_(2)y_(1)-x_(3)y_(2)-x_(4)y_(3)-x_(5 )y_(4)-x_(1)y_(5)|) A კვადისთვის - ცვლადები x4 და y4-მდე: ოთხკუთხედი.

1.1 ფართობების გამოთვლა ანტიკურ ხანაში

1.2 განსხვავებული მიდგომები "ფართობის", "პოლიგონის", "პოლიგონის ფართობის" ცნებების შესწავლისთვის.

1.2.1 ფართობის ცნება. ტერიტორიის თვისებები

1.2.2 მრავალკუთხედის ცნება

1.2.3 მრავალკუთხედის ფართობის კონცეფცია. აღწერილობითი განმარტება

1.3 მრავალკუთხედების ფართობების სხვადასხვა ფორმულები

1.4 მრავალკუთხედის ფართობის ფორმულების გამოყვანა

1.4.1 სამკუთხედის ფართობი. ჰერონის ფორმულა

1.4.2 მართკუთხედის ფართობი

1.4.3 ტრაპეციის ფართობი

1.4.4 ოთხკუთხედის ფართობი

1.4.5 უნივერსალური ფორმულა

1.4.6 n-გონის ფართობი

1.4.7 მრავალკუთხედის ფართობის გამოთვლა მისი წვეროების კოორდინატებიდან

1.4.8 არჩევანის ფორმულა

1.5 პითაგორას თეორემა მართკუთხა სამკუთხედის ფეხებზე აგებული კვადრატების ფართობების ჯამის შესახებ

1.6 სამკუთხედების ეკვივალენტობა. ბოგლიაი-ჟერვინის თეორემა

1.7 მსგავსი სამკუთხედების ფართობების თანაფარდობა

1.8 ფიგურები ყველაზე დიდი ფართობით

1.8.1 ტრაპეცია ან მართკუთხედი

1.8.2 კვადრატის ღირსშესანიშნავი თვისება

1.8.3 სხვადასხვა ფორმის ნაკვეთები

1.8.4 სამკუთხედი უდიდესი ფართობით

თავი 2. მათემატიკური კლასებში მრავალკუთხედების ფართობების შესწავლის მეთოდოლოგიური თავისებურებები

2.1 მათემატიკის სიღრმისეული შესწავლით კლასებში სწავლების თემატური დაგეგმვა და თავისებურებები

2.2 გაკვეთილის მეთოდოლოგია

2.3 ექსპერიმენტული მუშაობის შედეგები

დასკვნა

ლიტერატურა

შესავალი

თემა "მრავალკუთხედების ფართობი" სასკოლო მათემატიკის კურსის განუყოფელი ნაწილია, რაც სავსებით ბუნებრივია. მართლაც, ისტორიულად, გეომეტრიის გაჩენა დაკავშირებულია ამა თუ იმ ფორმის მიწის ნაკვეთების შედარების აუცილებლობასთან. ამავდროულად, უნდა აღინიშნოს, რომ საგანმანათლებლო შესაძლებლობები ამ თემის გამჟღავნების ზოგადსაგანმანათლებლო დაწესებულებებში შორს არის სრულად გამოყენებული.

სკოლაში მათემატიკის სწავლების მთავარი ამოცანაა უზრუნველყოს მათემატიკური ცოდნის და უნარების სისტემის ძლიერი და შეგნებული ათვისება, რომელიც აუცილებელია თანამედროვე საზოგადოების ყველა წევრისთვის ყოველდღიურ ცხოვრებაში და სამსახურში, საკმარისია შესაბამისი დისციპლინების შესასწავლად და განათლების გასაგრძელებლად.

ძირითადი ამოცანის ამოხსნასთან ერთად მათემატიკის სიღრმისეული შესწავლა ითვალისწინებს მოსწავლეებში საგნისადმი მუდმივი ინტერესის ჩამოყალიბებას, მათი მათემატიკური შესაძლებლობების გამოვლენას და განვითარებას, მათემატიკასთან მნიშვნელოვნად დაკავშირებული პროფესიების მიმართ ორიენტაციას. და მომზადება უნივერსიტეტში სწავლისთვის.

საკვალიფიკაციო სამუშაოები მოიცავს ზოგადსაგანმანათლებლო სკოლის მათემატიკის კურსის შინაარსს და უამრავ დამატებით კითხვებს, რომლებიც უშუალოდ ესაზღვრება ამ კურსს და აღრმავებს მას ძირითად იდეოლოგიურ ხაზებზე.

დამატებითი კითხვების ჩართვა ემსახურება ორ ურთიერთდაკავშირებულ მიზანს. ერთის მხრივ, ეს არის ბაზის შექმნა, კურსის ძირითად ნაწილებთან ერთად მათემატიკისადმი მიდრეკილების მქონე სტუდენტების ინტერესების დასაკმაყოფილებლად და შესაძლებლობების გასავითარებლად, მეორე მხრივ, მნიშვნელოვანი ხარვეზების დაკმაყოფილება. ძირითადი კურსი, რაც სიღრმისეული შესწავლის შინაარსს აძლევს აუცილებელ მთლიანობას.

შესარჩევი ნაშრომი შედგება შესავლის, ორი თავის, დასკვნისა და ციტირებული ლიტერატურისგან. პირველ თავში განხილულია მრავალკუთხედების ფართობების შესწავლის თეორიული საფუძვლები, ხოლო მეორე თავი უშუალოდ ეხება ფართობების კვლევის მეთოდოლოგიურ თავისებურებებს.

Თავი 1

1.1 ფართობების გამოთვლა ანტიკურ ხანაში

ტერიტორიების გაზომვასთან დაკავშირებული გეომეტრიული ცოდნის საფუძვლები იკარგება ათასწლეულების სიღრმეში.

ჯერ კიდევ 4-5 ათასი წლის წინ ბაბილონელებმა შეძლეს ოთხკუთხედისა და ტრაპეციის ფართობის კვადრატული ერთეულების დადგენა. კვადრატი დიდი ხანია ემსახურება ფართობის გაზომვის სტანდარტს მისი მრავალი შესანიშნავი თვისების გამო: თანაბარი მხარეები, თანაბარი და სწორი კუთხეები, სიმეტრია და ფორმის ზოგადი სრულყოფა. კვადრატების აშენება მარტივია, ან შეგიძლიათ შეავსოთ თვითმფრინავი ხარვეზების გარეშე.

ძველ ჩინეთში ფართობის ზომა იყო მართკუთხედი. როდესაც მასონებმა დაადგინეს მართკუთხა სახლის კედლის ფართობი, მათ გაამრავლეს კედლის სიმაღლე და სიგანე. ეს არის მიღებული განმარტება გეომეტრიაში: მართკუთხედის ფართობი უდრის მისი მიმდებარე გვერდების ნამრავლს. ორივე მხარე უნდა იყოს გამოხატული იმავე ხაზოვანი ერთეულებით. მათი პროდუქტი იქნება მართკუთხედის ფართობი, გამოხატული შესაბამისი კვადრატული ერთეულებით. ვთქვათ, თუ კედლის სიმაღლე და სიგანე იზომება დეციმეტრებში, მაშინ ორივე გაზომვის ნამრავლი გამოისახება კვადრატულ დეციმეტრებში. და თუ თითოეული მოპირკეთებული ნაკვეთის ფართობი არის კვადრატული დეციმეტრი, მაშინ მიღებული პროდუქტი მიუთითებს მოსაპირკეთებლად საჭირო ფილების რაოდენობაზე. ეს გამომდინარეობს დებულებიდან, რომელიც ემყარება ფართობების გაზომვას: ფიგურის ფართობი, რომელიც შედგება არაგადაკვეთილი ფიგურებისგან, უდრის მათი ფართობების ჯამს.

ძველი ეგვიპტელები 4000 წლის წინ იყენებდნენ თითქმის იგივე ტექნიკას, რასაც ჩვენ ვიყენებთ მართკუთხედის, სამკუთხედის და ტრაპეციის ფართობის გასაზომად: სამკუთხედის ფუძე იყოფა ნახევრად და გამრავლებული სიმაღლეზე; ტრაპეციისთვის, პარალელური გვერდების ჯამი იყოფა შუაზე და გამრავლებული სიმაღლეზე და ა.შ. ფართობის გამოსათვლელად

ოთხკუთხედი გვერდებით (ნახ. 1.1), გამოყენებულია ფორმულა (1.1).

იმათ. გამრავლდა მოპირდაპირე გვერდების ნახევრად ჯამები.

ეს ფორმულა აშკარად არასწორია ნებისმიერი ოთხკუთხედისთვის, აქედან გამომდინარეობს, რომ ყველა რომბის ფართობი ერთნაირია. იმავდროულად, აშკარაა, რომ ასეთი რომბების ფართობი დამოკიდებულია წვეროებზე არსებული კუთხეების სიდიდეზე. ეს ფორმულა მოქმედებს მხოლოდ მართკუთხედისთვის. მისი დახმარებით შეგიძლიათ დაახლოებით გამოთვალოთ ოთხკუთხედების ფართობი, რომლებშიც კუთხეები ახლოს არის მარჯვნივ.

ფართობის დასადგენად

ტოლფერდა სამკუთხედი (ნახ. 1.2), რომელშიც ეგვიპტელები იყენებდნენ სავარაუდო ფორმულას:
(1.2) ნახ. 1.2 ამ შემთხვევაში დაშვებული შეცდომა არის რაც უფრო მცირეა, მით უფრო მცირეა სხვაობა სამკუთხედის გვერდსა და სიმაღლეს შორის, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მით უფრო ახლოსაა ზედა (და) სიმაღლის ფუძესთან. ამიტომ სავარაუდო ფორმულა (1.2) გამოიყენება მხოლოდ სამკუთხედებისთვის შედარებით მცირე წვერის კუთხით.

მაგრამ უკვე ძველმა ბერძნებმა იცოდნენ, როგორ სწორად იპოვონ მრავალკუთხედების არეები. თავის ელემენტებში ევკლიდე არ იყენებს სიტყვას „არეალი“, რადგან სწორედ სიტყვით „ფიგურა“ ესმის სიბრტყის ნაწილს, რომელიც შემოსაზღვრულია ამა თუ იმ დახურული ხაზით. ევკლიდე არ გამოხატავს ფართობის გაზომვის შედეგს რიცხვად, არამედ ადარებს სხვადასხვა ფიგურების ფართობებს ერთმანეთთან.

ანტიკური ხანის სხვა მეცნიერების მსგავსად, ევკლიდე ეხება ზოგიერთი ფიგურის სხვებად გადაქცევას, ისინი ზომით თანაბარია. რთული ფიგურის ფართობი არ შეიცვლება, თუ მისი ნაწილები განსხვავებულად არის მოწყობილი, მაგრამ გადაკვეთის გარეშე. ამიტომ, მაგალითად, შესაძლებელია, მართკუთხედის ფართობის ფორმულებზე დაყრდნობით, იპოვოთ ფორმულები სხვა ფიგურების ფართობებისთვის. ასე რომ, სამკუთხედი იყოფა ისეთ ნაწილებად, საიდანაც შემდეგ შეგიძლიათ გააკეთოთ მას თანაბარი ფართობის მართკუთხედი. ამ კონსტრუქციიდან გამომდინარეობს, რომ სამკუთხედის ფართობი უდრის მისი ფუძისა და სიმაღლის ნამრავლის ნახევარს. ასეთ გადახაზვას მიმართავენ, ისინი აღმოაჩენენ, რომ პარალელოგრამის ფართობი უდრის ფუძისა და სიმაღლის ნამრავლს, ტრაპეციის ფართობი არის ფუძეების ჯამის ნახევარისა და სიმაღლის ნამრავლი.

როდესაც მასონებს უწევთ რთული კონფიგურაციის კედლის მოპირკეთება, მათ შეუძლიათ დაადგინონ კედლის ფართობი ფილების რაოდენობის დათვლით, რომლებიც კრამიტში შევიდა. ზოგიერთი ფილები, რა თქმა უნდა, უნდა დაიჭრას ისე, რომ საფარის კიდეები ემთხვევა კედლის კიდეს. სამუშაოებში შესულ ყველა ფილების რაოდენობა აფასებს კედლის ფართობს ჭარბი რაოდენობით, გაუტეხავი ფილების რაოდენობას - მინუსით. უჯრედების ზომის შემცირებით, ნარჩენების რაოდენობა მცირდება და კედლის ფართობი, რომელიც განისაზღვრება ფილების რაოდენობის მიხედვით, უფრო და უფრო ზუსტად გამოითვლება.

ერთ-ერთი გვიანი ბერძენი მათემატიკოსი - ენციკლოპედისტი, რომლის ნაშრომები ძირითადად გამოიყენებოდა ბუნებაში, იყო ჰერონ ალექსანდრიელი, რომელიც ცხოვრობდა I საუკუნეში. ნ. ე. როგორც გამოჩენილი ინჟინერი, მას ასევე უწოდეს "ჰერონი მექანიკოსი". თავის ნაშრომში Dioptrics ჰერონი აღწერს სხვადასხვა მანქანებს და პრაქტიკულ საზომ ინსტრუმენტებს.

ჰერონის ერთ-ერთ წიგნს მის მიერ უწოდა „გეომეტრია“ და წარმოადგენს ფორმულებისა და შესაბამისი ამოცანების ერთგვარ კრებულს. იგი შეიცავს მაგალითებს კვადრატების, მართკუთხედების და სამკუთხედების ფართობის გამოსათვლელად. ჰერონი წერს სამკუთხედის ფართობის პოვნის შესახებ მის გვერდებზე: „მაგალითად, სამკუთხედის ერთ გვერდს ჰქონდეს სიგრძე 13 გაზომილი კაბელი, მეორეს 14 და მესამეს 15. ფართობის საპოვნელად გააკეთეთ შემდეგი. . დაამატეთ 13, 14 და 15; მიიღებთ 42-ს. ამის ნახევარი არის 21. გამოვაკლოთ ამ სამ მხარეს სათითაოდ; ჯერ გამოვაკლოთ 13 - რჩება 8, შემდეგ 14 - რჩება 7 და ბოლოს 15 - რჩება 6. ახლა გაამრავლეთ ისინი: 21-ჯერ 8 მიიღებთ 168-ს, აიღეთ ეს 7-ჯერ - მიიღებთ 1176-ს და კიდევ 6-ჯერ - თქვენ. მიიღეთ 7056. აქედან კვადრატული ფესვი იქნება 84. ეს არის რამდენი საზომი თოკი იქნება სამკუთხედის არეში.