ამ გაკვეთილზე ჩვენ ვისწავლით როგორ გამოვიყენოთ დიფერენცირების ფორმულები და წესები.
მაგალითები. იპოვნეთ ფუნქციების წარმოებულები.
1. y=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9. წესის გამოყენება მე, ფორმულები 4, 2 და 1. ჩვენ ვიღებთ:
y'=7x 6 +5x 4 -4x 3 +3x 2 -2x+1.
2. y=3x6 -2x+5. ჩვენ ვხსნით ანალოგიურად, იგივე ფორმულების და ფორმულის გამოყენებით 3.
y’=3∙6x 5 -2=18x 5 -2.
წესის გამოყენება მე, ფორმულები 3, 5
და 6
და 1.
წესის გამოყენება IV, ფორმულები 5 და 1 .
მეხუთე მაგალითში წესის მიხედვით მეჯამის წარმოებული უდრის წარმოებულთა ჯამს და ჩვენ ახლახან ვიპოვეთ 1-ლი წევრის წარმოებული (მაგალითი 4 ), შესაბამისად, ჩვენ ვიპოვით წარმოებულებს მე-2და მე-3პირობები და 1-ლისთვისვადით, ჩვენ შეგვიძლია დაუყოვნებლივ დავწეროთ შედეგი.
დიფერენცირებადი მე-2და მე-3ტერმინები ფორმულის მიხედვით 4
. ამისათვის ჩვენ გადავიყვანთ მესამე და მეოთხე ხარისხის ფესვებს მნიშვნელებში უარყოფითი მაჩვენებლების მქონე ხარისხებად და შემდეგ, შესაბამისად 4
ფორმულა, ჩვენ ვპოულობთ ძალაუფლების წარმოებულებს.
შეხედეთ ამ მაგალითს და შედეგს. დაიჭირე ნიმუში? კარგი. ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ გვაქვს ახალი ფორმულა და შეგვიძლია დავამატოთ ის ჩვენს წარმოებულთა ცხრილში.
ავხსნათ მეექვსე მაგალითი და გამოვიტანოთ კიდევ ერთი ფორმულა.
ჩვენ ვიყენებთ წესს IVდა ფორმულა 4
. ჩვენ ვამცირებთ მიღებულ ფრაქციებს.
ჩვენ ვუყურებთ ამ ფუნქციას და მის წარმოებულს. თქვენ, რა თქმა უნდა, გაიგეთ ნიმუში და მზად ხართ დაასახელოთ ფორმულა:
ისწავლეთ ახალი ფორმულები!
მაგალითები.
1. იპოვეთ არგუმენტის ზრდა და ფუნქცია increment y= x2თუ არგუმენტის საწყისი მნიშვნელობა იყო 4 და ახალი 4,01 .
გადაწყვეტილება.
ახალი არგუმენტის მნიშვნელობა x \u003d x 0 + Δx. ჩაანაცვლეთ მონაცემები: 4.01=4+Δx, შესაბამისად არგუმენტის ზრდა Δх=4.01-4=0.01. ფუნქციის ზრდა, განსაზღვრებით, უდრის სხვაობას ფუნქციის ახალ და წინა მნიშვნელობებს შორის, ე.ი. Δy \u003d f (x 0 + Δx) - f (x 0). რადგან გვაქვს ფუნქცია y=x2, მაშინ ორ\u003d (x 0 + Δx) 2 - (x 0) 2 \u003d (x 0) 2 + 2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 \u003d 2x 0 · ∆x+(∆x) 2 =
2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.
პასუხი: არგუმენტის ზრდა Δх=0.01; ფუნქციის გაზრდა ორ=0,0801.
ფუნქციის ნამატის პოვნა სხვა გზით იყო შესაძლებელი: Δy\u003d y (x 0 + Δx) -y (x 0) \u003d y (4.01) -y (4) \u003d 4.01 2 -4 2 \u003d 16.0801-16 \u003d 0.0801.
2. იპოვეთ ფუნქციის გრაფიკზე ტანგენსის დახრის კუთხე y=f(x)წერტილში x 0, თუ f" (x 0) \u003d 1.
გადაწყვეტილება.
წარმოებულის მნიშვნელობა შეხების ადგილზე x 0და არის ტანგენსის დახრილობის ტანგენსის მნიშვნელობა (წარმოებულის გეომეტრიული მნიშვნელობა). Ჩვენ გვაქვს: f "(x 0) \u003d tgα \u003d 1 → α \u003d 45 °,როგორც tg45°=1.
პასუხი: ამ ფუნქციის გრაფიკის ტანგენსი ქმნის კუთხეს Ox ღერძის დადებითი მიმართულებით, ტოლი 45°.
3. გამოიღეთ ფუნქციის წარმოებულის ფორმულა y=xn.
დიფერენციაციაარის ფუნქციის წარმოებულის პოვნის აქტი.
წარმოებულების პოვნისას გამოიყენება ფორმულები, რომლებიც მიღებული იქნა წარმოებულის განმარტების საფუძველზე, ისევე, როგორც ჩვენ მივიღეთ წარმოებული ხარისხის ფორმულა: (x n)" = nx n-1.
აქ არის ფორმულები.
წარმოებული ცხრილიუფრო ადვილი იქნება დამახსოვრება სიტყვიერი ფორმულირებების წარმოთქმით:
1. მუდმივი მნიშვნელობის წარმოებული არის ნული.
2. X ინსულტი უდრის ერთს.
3. მუდმივი ფაქტორი შეიძლება ამოღებულ იქნას წარმოებულის ნიშნიდან.
4. ხარისხის წარმოებული უდრის ამ ხარისხის მაჩვენებლის ნამრავლს იმავე ფუძის მქონე გრადუსით, მაგრამ მაჩვენებელი ერთით ნაკლებია.
5. ფესვის წარმოებული ტოლია ერთი გაყოფილი ორ იმავე ფესვზე.
6. ერთობის წარმოებული გაყოფილი x-ზე არის მინუს ერთი გაყოფილი x კვადრატზე.
7. სინუსის წარმოებული ტოლია კოსინუსის.
8. კოსინუსის წარმოებული უდრის მინუს სინუსს.
9. ტანგენტის წარმოებული ტოლია ერთის გაყოფილი კოსინუსის კვადრატზე.
10. კოტანგენტის წარმოებული არის მინუს ერთი გაყოფილი სინუსის კვადრატზე.
ჩვენ ვასწავლით დიფერენციაციის წესები.
1.
ალგებრული ჯამის წარმოებული ტოლია წარმოებული ტერმინების ალგებრული ჯამის.
2. პროდუქტის წარმოებული უდრის პირველი ფაქტორის წარმოებულის ნამრავლს მეორეზე დამატებული პირველი ფაქტორის ნამრავლს მეორის წარმოებულით.
3. "y"-ის წარმოებული გაყოფილი "ve"-ზე ტოლია წილადისა, რომლის მრიცხველში "y არის შტრიხი გამრავლებული "ve"-ზე გამოკლებული "y, გამრავლებული შტრიხზე", ხოლო მნიშვნელში - "ve კვადრატში". “.
4. ფორმულის განსაკუთრებული შემთხვევა 3.
ერთად ვისწავლოთ!
გვერდი 1 1-დან 1
ცხრილის პირველივე ფორმულის გამოყვანისას, ჩვენ განვიხილავთ ფუნქციის წარმოებულის განსაზღვრას წერტილში. ავიღოთ სად x- ნებისმიერი რეალური რიცხვი, ანუ x– ნებისმიერი რიცხვი ფუნქციის განსაზღვრის ზონიდან. მოდით დავწეროთ ფუნქციის გაზრდის შეფარდების ზღვარი არგუმენტის ზრდასთან: 
უნდა აღინიშნოს, რომ ლიმიტის ნიშნის ქვეშ მიიღება გამონათქვამი, რომელიც არ არის ნულის გაყოფა ნულზე, რადგან მრიცხველი შეიცავს არა უსასრულო მნიშვნელობას, არამედ ზუსტად ნულს. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მუდმივი ფუნქციის ზრდა ყოველთვის ნულია.
ამრიგად, მუდმივი ფუნქციის წარმოებულინულის ტოლია განმარტების მთელ დომენზე.
სიმძლავრის ფუნქციის წარმოებული.
სიმძლავრის ფუნქციის წარმოებულის ფორმულას აქვს ფორმა 
, სადაც მაჩვენებელი გვარის ნებისმიერი რეალური რიცხვი.
ჯერ დავამტკიცოთ ბუნებრივი მაჩვენებლის ფორმულა, ანუ for p = 1, 2, 3, ...
ჩვენ გამოვიყენებთ წარმოებულის განმარტებას. მოდით დავწეროთ სიმძლავრის ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი არგუმენტის ზრდასთან: 
მრიცხველში გამოთქმის გასამარტივებლად მივმართავთ ნიუტონის ბინომიურ ფორმულას: 
აქედან გამომდინარე, 
ეს ადასტურებს ბუნებრივი მაჩვენებლის სიმძლავრის ფუნქციის წარმოებულის ფორმულას.
ექსპონენციალური ფუნქციის წარმოებული.
ჩვენ გამოვიყვანთ წარმოებული ფორმულას განმარტების საფუძველზე:
გაურკვევლობამდე მივიდა. მის გასაფართოვებლად, ჩვენ შემოგთავაზებთ ახალ ცვლადს და . მაშინ . ბოლო გადასვლისას გამოვიყენეთ ლოგარითმის ახალ ბაზაზე გადასვლის ფორმულა.
მოდით შევასრულოთ ჩანაცვლება თავდაპირველ ლიმიტში: 
თუ გავიხსენებთ მეორე შესანიშნავ ზღვარს, მაშინ მივალთ ექსპონენციალური ფუნქციის წარმოებულის ფორმულამდე: 
ლოგარითმული ფუნქციის წარმოებული.
მოდით დავამტკიცოთ ყველასთვის ლოგარითმული ფუნქციის წარმოებულის ფორმულა xფარგლებიდან და ყველა მოქმედი საბაზისო მნიშვნელობიდან ალოგარითმი. წარმოებულის განმარტებით, გვაქვს: 
როგორც შენიშნეთ, მტკიცებულებაში გარდაქმნები განხორციელდა ლოგარითმის თვისებების გამოყენებით. Თანასწორობა 
მოქმედებს მეორე მნიშვნელოვანი ლიმიტის გამო.
ტრიგონომეტრიული ფუნქციების წარმოებულები.
ტრიგონომეტრიული ფუნქციების წარმოებულების ფორმულების გამოსატანად მოგვიწევს გავიხსენოთ რამდენიმე ტრიგონომეტრიული ფორმულა, ისევე როგორც პირველი ღირსშესანიშნავი ზღვარი.
სინუსური ფუნქციის წარმოებულის განმარტებით, გვაქვს 
.
ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას სინუსების სხვაობისთვის: 
რჩება პირველ საყურადღებო ზღვარზე გადასვლა: 
ასე რომ, ფუნქციის წარმოებული ცოდვა xიქ არის cos x.
კოსინუსის წარმოებულის ფორმულა ზუსტად იგივე გზით არის დადასტურებული. 
მაშასადამე, ფუნქციის წარმოებული cos xიქ არის -ცოდვა x.
წარმოებულთა ცხრილის ფორმულების გამოყვანა ტანგენტისა და კოტანგენსისთვის განხორციელდება დიფერენცირების დადასტურებული წესების გამოყენებით (წილადის წარმოებული). 
ჰიპერბოლური ფუნქციების წარმოებულები.
დიფერენციაციის წესები და ექსპონენციალური ფუნქციის წარმოებულის ფორმულა წარმოებულების ცხრილიდან საშუალებას გვაძლევს გამოვიტანოთ ფორმულები ჰიპერბოლური სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენტის წარმოებულებისთვის. 
შებრუნებული ფუნქციის წარმოებული.
იმისათვის, რომ პრეზენტაციაში არ იყოს დაბნეულობა, ქვედა ინდექსში ავღნიშნოთ ფუნქციის არგუმენტი, რომლითაც ხდება დიფერენციაცია, ანუ ის არის ფუნქციის წარმოებული. f(x) on x.
ახლა ჩვენ ვაყალიბებთ შებრუნებული ფუნქციის წარმოებულის პოვნის წესი.
დაუშვით ფუნქციები y = f(x)და x = g(y)ურთიერთშებრუნებული, განსაზღვრული ინტერვალებით და შესაბამისად. თუ რომელიმე წერტილში არსებობს ფუნქციის სასრული არანულოვანი წარმოებული f(x), მაშინ წერტილში არსებობს შებრუნებული ფუნქციის სასრული წარმოებული g(y), და 
. სხვა ჩანაწერში 
.
ეს წესი შეიძლება ხელახლა ჩამოყალიბდეს ნებისმიერისთვის xინტერვალიდან, მაშინ ვიღებთ 
.
მოდით შევამოწმოთ ამ ფორმულების მართებულობა.
ვიპოვოთ ბუნებრივი ლოგარითმის შებრუნებული ფუნქცია 
(აქ წარის ფუნქცია და x- არგუმენტი). ამ განტოლების ამოხსნა x, მივიღებთ (აქ xარის ფუნქცია და წმისი არგუმენტი). ე.ი. 
და ურთიერთშებრუნებული ფუნქციები.
წარმოებულების ცხრილიდან ჩვენ ვხედავთ ამას 
და 
.
მოდით დავრწმუნდეთ, რომ შებრუნებული ფუნქციის წარმოებულების პოვნის ფორმულები მიგვიყვანს იმავე შედეგებამდე: 
წარმოებულის პოვნის ოპერაციას დიფერენციაცია ეწოდება.
უმარტივესი (და არც თუ ისე მარტივი) ფუნქციების წარმოებულების პოვნის ამოცანების გადაჭრის შედეგად წარმოებულის, როგორც არგუმენტის ნამატის შეფარდების შეფარდების ზღვრად განსაზღვრით, გამოჩნდა წარმოებულების ცხრილი და ზუსტად განსაზღვრული დიფერენციაციის წესები. . ისააკ ნიუტონი (1643-1727) და გოტფრიდ ვილჰელმ ლაიბნიცი (1646-1716) იყვნენ პირველები, ვინც მუშაობდნენ წარმოებულების პოვნის სფეროში.
ამიტომ, ჩვენს დროში, რომელიმე ფუნქციის წარმოებულის საპოვნელად არ არის საჭირო ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზემოაღნიშნული ლიმიტის გამოთვლა არგუმენტის ზრდასთან, არამედ საჭიროა მხოლოდ ცხრილის გამოყენება. წარმოებულებისა და დიფერენციაციის წესები. შემდეგი ალგორითმი შესაფერისია წარმოებულის მოსაძებნად.
წარმოებულის საპოვნელად, თქვენ გჭირდებათ გამოხატვა ინსულტის ნიშნის ქვეშ მარტივი ფუნქციების დაშლადა განსაზღვრეთ რა ქმედებები (პროდუქტი, ჯამი, კოეფიციენტი)ეს ფუნქციები დაკავშირებულია. გარდა ამისა, ელემენტარული ფუნქციების წარმოებულებს ვპოულობთ წარმოებულთა ცხრილში, ხოლო ნამრავლის წარმოებულების ფორმულებს, ჯამისა და კოეფიციენტის - დიფერენციაციის წესებში. წარმოებულების ცხრილი და დიფერენციაციის წესები მოცემულია პირველი ორი მაგალითის შემდეგ.
მაგალითი 1იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული
გადაწყვეტილება. დიფერენციაციის წესებიდან ვხვდებით, რომ ფუნქციების ჯამის წარმოებული არის ფუნქციათა წარმოებულთა ჯამი, ე.ი.
წარმოებულთა ცხრილიდან ვიგებთ, რომ „X“-ის წარმოებული უდრის ერთს, ხოლო სინუსის წარმოებული არის კოსინუსი. ჩვენ ვცვლით ამ მნიშვნელობებს წარმოებულების ჯამში და ვპოულობთ წარმოებულს, რომელიც საჭიროა პრობლემის მდგომარეობით:
მაგალითი 2იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული
გადაწყვეტილება. ჩვენ განვასხვავებთ, როგორც ჯამის წარმოებულს, რომელშიც მუდმივი ფაქტორის მქონე მეორე წევრი შეიძლება ამოღებულ იქნეს წარმოებულის ნიშნიდან:
თუ ჯერ კიდევ არსებობს კითხვები იმის შესახებ, თუ საიდან მოდის რაღაც, ისინი, როგორც წესი, ნათელი ხდება წარმოებულების ცხრილისა და დიფერენცირების უმარტივესი წესების წაკითხვის შემდეგ. ჩვენ ახლავე მივდივართ მათთან.
მარტივი ფუნქციების წარმოებულების ცხრილი
| 1. მუდმივის (რიცხვის) წარმოებული. ნებისმიერი რიცხვი (1, 2, 5, 200...), რომელიც არის ფუნქციის გამოხატულებაში. ყოველთვის ნულოვანი. ეს ძალიან მნიშვნელოვანია გახსოვდეთ, რადგან ეს ძალიან ხშირად არის საჭირო | |
| 2. დამოუკიდებელი ცვლადის წარმოებული. ყველაზე ხშირად "x". ყოველთვის ერთის ტოლია. ეს ასევე მნიშვნელოვანია გახსოვდეთ | |
| 3. ხარისხის წარმოებული. პრობლემების გადაჭრისას საჭიროა არაკვადრატული ფესვების დენის გადაქცევა. | |
| 4. ცვლადის წარმოებული -1 ხარისხზე | |
| 5. კვადრატული ფესვის წარმოებული | |
| 6. სინუსური წარმოებული | |
| 7. კოსინუსის წარმოებული |  |
| 8. ტანგენტის წარმოებული |  |
| 9. კოტანგენტის წარმოებული |  |
| 10. არქსინის წარმოებული |  |
| 11. რკალის კოსინუსის წარმოებული |  |
| 12. რკალის ტანგენტის წარმოებული |  |
| 13. შებრუნებული ტანგენსის წარმოებული |  |
| 14. ნატურალური ლოგარითმის წარმოებული | |
| 15. ლოგარითმული ფუნქციის წარმოებული |  |
| 16. მაჩვენებლის წარმოებული | |
| 17. ექსპონენციალური ფუნქციის წარმოებული |
დიფერენციაციის წესები
| 1. ჯამის ან სხვაობის წარმოებული |  |
| 2. პროდუქტის წარმოებული |  |
| 2ა. გამოხატვის წარმოებული გამრავლებული მუდმივ კოეფიციენტზე | |
| 3. კოეფიციენტის წარმოებული |  |
| 4. რთული ფუნქციის წარმოებული |  |
წესი 1თუ ფუნქციები
რაღაც მომენტში დიფერენცირებადია, შემდეგ ერთსა და იმავე მომენტში ფუნქციები
და
იმათ. ფუნქციების ალგებრული ჯამის წარმოებული უდრის ამ ფუნქციების წარმოებულთა ალგებრულ ჯამს.
შედეგი. თუ ორი დიფერენცირებადი ფუნქცია განსხვავდება მუდმივით, მაშინ მათი წარმოებულებია, ე.ი.
წესი 2თუ ფუნქციები
რაღაც მომენტში დიფერენცირებადია, მაშინ მათი პროდუქტი ასევე დიფერენცირებადია იმავე მომენტში
და
იმათ. ორი ფუნქციის ნამრავლის წარმოებული უდრის თითოეული ამ ფუნქციის ნამრავლისა და მეორის წარმოებულის ჯამს.
შედეგი 1. მუდმივი ფაქტორი შეიძლება ამოღებულ იქნას წარმოებულის ნიშნიდან:
შედეგი 2. რამდენიმე დიფერენცირებადი ფუნქციის ნამრავლის წარმოებული უდრის თითოეული ფაქტორისა და ყველა სხვა წარმოებულის ნამრავლების ჯამს.
მაგალითად, სამი მულტიპლიკატორისთვის:
წესი 3თუ ფუნქციები
რაღაც მომენტში დიფერენცირებადია და , მაშინ ამ დროს მათი კოეფიციენტიც დიფერენცირებადია.u/v და
იმათ. ორი ფუნქციის კოეფიციენტის წარმოებული ტოლია წილადისა, რომლის მრიცხველი არის სხვაობა მნიშვნელისა და მრიცხველის წარმოებულსა და მრიცხველისა და მნიშვნელის წარმოებულს შორის, ხოლო მნიშვნელი არის წინა მრიცხველის კვადრატი. .
სად ვნახო სხვა გვერდებზე
რეალურ ამოცანებში პროდუქტის წარმოებულისა და კოეფიციენტის პოვნისას, ყოველთვის აუცილებელია რამდენიმე დიფერენციაციის წესის ერთდროულად გამოყენება, ამიტომ ამ წარმოებულების მეტი მაგალითი მოცემულია სტატიაში."პროდუქტის წარმოებული და კოეფიციენტი".
კომენტარი.არ უნდა აურიოთ მუდმივი (ანუ რიცხვი), როგორც ჯამის ტერმინი და როგორც მუდმივი ფაქტორი! ტერმინის შემთხვევაში მისი წარმოებული ნულის ტოლია, ხოლო მუდმივი ფაქტორის შემთხვევაში იგი ამოღებულია წარმოებულების ნიშნიდან. ეს არის ტიპიური შეცდომა, რომელიც ხდება წარმოებულების შესწავლის საწყის ეტაპზე, მაგრამ რადგან საშუალო სტუდენტი ხსნის რამდენიმე ერთ-ორკომპონენტიან მაგალითს, ეს შეცდომა აღარ უშვებს.
და თუ პროდუქტის ან კოეფიციენტის დიფერენცირებისას გაქვთ ტერმინი u"ვ, სადაც u- რიცხვი, მაგალითად, 2 ან 5, ანუ მუდმივი, მაშინ ამ რიცხვის წარმოებული იქნება ნულის ტოლი და, შესაბამისად, მთელი წევრი იქნება ნულის ტოლი (ასეთი შემთხვევა გაანალიზებულია მაგალითში 10) .
კიდევ ერთი გავრცელებული შეცდომა არის რთული ფუნქციის წარმოებულის, როგორც მარტივი ფუნქციის წარმოებულის მექანიკური ამოხსნა. Ისე რთული ფუნქციის წარმოებულიცალკე სტატიას ეძღვნება. მაგრამ ჯერ ჩვენ ვისწავლით მარტივი ფუნქციების წარმოებულების პოვნას.
გზაზე, თქვენ არ შეგიძლიათ გააკეთოთ გამონათქვამების ტრანსფორმაციის გარეშე. ამისათვის შეიძლება დაგჭირდეთ Windows-ის ახალი სახელმძღვანელოების გახსნა მოქმედებები ძალებითა და ფესვებითდა მოქმედებები წილადებთან .
თუ თქვენ ეძებთ გადაწყვეტილებებს წარმოებულებზე ძალებითა და ფესვებით, ანუ როცა ფუნქცია გამოიყურება 
, შემდეგ მიჰყევით გაკვეთილს " წილადებისა და ფესვების ჯამის წარმოებული".
თუ თქვენ გაქვთ ისეთი დავალება, როგორიცაა 
, მაშინ ხართ გაკვეთილზე „მარტივი ტრიგონომეტრიული ფუნქციების წარმოებულები“.
ნაბიჯ-ნაბიჯ მაგალითები - როგორ მოვძებნოთ წარმოებული
მაგალითი 3იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული
გადაწყვეტილება. ჩვენ განვსაზღვრავთ ფუნქციის გამოხატვის ნაწილებს: მთელი გამოხატულება წარმოადგენს პროდუქტს, ხოლო მისი ფაქტორები არის ჯამები, რომელთაგან ერთ-ერთი ტერმინი შეიცავს მუდმივ ფაქტორს. ჩვენ ვიყენებთ პროდუქტის დიფერენციაციის წესს: ორი ფუნქციის ნამრავლის წარმოებული უდრის თითოეული ამ ფუნქციის ნამრავლების ჯამს და მეორის წარმოებულს:
შემდეგ ვიყენებთ ჯამის დიფერენციაციის წესს: ფუნქციების ალგებრული ჯამის წარმოებული უდრის ამ ფუნქციების წარმოებულების ალგებრულ ჯამს. ჩვენს შემთხვევაში, თითოეულ ჯამში, მეორე წევრი მინუს ნიშნით. თითოეულ ჯამში ჩვენ ვხედავთ როგორც დამოუკიდებელ ცვლადს, რომლის წარმოებული უდრის ერთს, ასევე მუდმივას (რიცხვს), რომლის წარმოებულიც ნულის ტოლია. ასე რომ, "x" იქცევა ერთში, ხოლო მინუს 5 - ნულში. მეორე გამონათქვამში "x" მრავლდება 2-ზე, ამიტომ ორს ვამრავლებთ იმავე ერთეულზე, როგორც "x"-ის წარმოებული. ჩვენ ვიღებთ წარმოებულების შემდეგ მნიშვნელობებს:
ჩვენ ვცვლით ნაპოვნ წარმოებულებს პროდუქციის ჯამში და ვიღებთ მთელი ფუნქციის წარმოებულს, რომელიც საჭიროა პრობლემის პირობით:
მაგალითი 4იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული
გადაწყვეტილება. ჩვენ უნდა ვიპოვოთ კოეფიციენტის წარმოებული. ჩვენ ვიყენებთ კოეფიციენტის დიფერენცირების ფორმულას: ორი ფუნქციის კოეფიციენტის წარმოებული ტოლია წილადისა, რომლის მრიცხველი არის სხვაობა მნიშვნელისა და მრიცხველის წარმოებულსა და მრიცხველისა და მნიშვნელის წარმოებულს შორის, და მნიშვნელი არის წინა მრიცხველის კვადრატი. ჩვენ ვიღებთ:
ჩვენ უკვე ვიპოვეთ მრიცხველის ფაქტორების წარმოებული მაგალითში 2. ასევე არ დაგვავიწყდეს, რომ ნამრავლი, რომელიც არის მრიცხველის მეორე ფაქტორი, აღებულია მინუს ნიშნით მიმდინარე მაგალითში:
თუ თქვენ ეძებთ გადაწყვეტილებებს ისეთი პრობლემებისთვის, რომლებშიც თქვენ უნდა იპოვოთ ფუნქციის წარმოებული, სადაც არის ფესვებისა და გრადუსების უწყვეტი გროვა, როგორიცაა, მაგალითად, 
მაშინ კეთილი იყოს თქვენი მობრძანება კლასში "წილადი წილადებისა და ფესვების ჯამის წარმოებული" .
თუ საჭიროა მეტი გაიგოთ სინუსების, კოსინუსების, ტანგენტების და სხვა ტრიგონომეტრიული ფუნქციების წარმოებულების შესახებ, ანუ როცა ფუნქცია გამოიყურება , მაშინ გაკვეთილი გაქვთ "მარტივი ტრიგონომეტრიული ფუნქციების წარმოებულები" .
მაგალითი 5იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული
გადაწყვეტილება. ამ ფუნქციაში ჩვენ ვხედავთ პროდუქტს, რომლის ერთ-ერთი ფაქტორია დამოუკიდებელი ცვლადის კვადრატული ფესვი, რომლის წარმოებულიც გავეცნობით წარმოებულთა ცხრილში. პროდუქტის დიფერენციაციის წესისა და კვადრატული ფესვის წარმოებულის ტაბულური მნიშვნელობის მიხედვით ვიღებთ:
მაგალითი 6იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული
გადაწყვეტილება. ამ ფუნქციაში ჩვენ ვხედავთ კოეფიციენტს, რომლის დივიდენდი არის დამოუკიდებელი ცვლადის კვადრატული ფესვი. კოეფიციენტის დიფერენციაციის წესის მიხედვით, რომელიც გავიმეორეთ და გამოვიყენეთ მე-4 მაგალითში და კვადრატული ფესვის წარმოებულის ტაბულური მნიშვნელობის მიხედვით, მივიღებთ:
მრიცხველში წილადის მოსაშორებლად, მრიცხველი და მნიშვნელი გავამრავლოთ.
ფუნქციის წარმოებული ერთ-ერთი ყველაზე რთული თემაა სასკოლო სასწავლო გეგმაში. ყველა კურსდამთავრებული არ უპასუხებს კითხვას, რა არის წარმოებული.
ეს სტატია უბრალოდ და ნათლად განმარტავს რა არის წარმოებული და რატომ არის საჭირო.. ჩვენ ახლა არ ვისწრაფვით პრეზენტაციის მათემატიკური სიმკაცრისკენ. მთავარია მნიშვნელობის გაგება.
გავიხსენოთ განმარტება:
წარმოებული არის ფუნქციის ცვლილების სიჩქარე.
ნახატზე ნაჩვენებია სამი ფუნქციის გრაფიკი. როგორ ფიქრობთ, რომელი იზრდება ყველაზე სწრაფად?
პასუხი აშკარაა - მესამე. მას აქვს ცვლილების ყველაზე მაღალი მაჩვენებელი, ანუ ყველაზე დიდი წარმოებული.
აი კიდევ ერთი მაგალითი.
კოსტიამ, გრიშამ და მატვეიმ ერთდროულად იმუშავეს. ვნახოთ, როგორ შეიცვალა მათი შემოსავალი წლის განმავლობაში:
თქვენ ხედავთ ყველაფერს სქემაზე დაუყოვნებლივ, არა? კოსტიას შემოსავალი ექვს თვეში გაორმაგდა. და გრიშას შემოსავალიც გაიზარდა, ოღონდ ცოტა. მათეს შემოსავალი კი ნულამდე შემცირდა. საწყისი პირობები იგივეა, მაგრამ ფუნქციის ცვლილების სისწრაფე, ე.ი. წარმოებული, - განსხვავებული. რაც შეეხება მატვეის, მისი შემოსავლის წარმოებული ზოგადად უარყოფითია.
ინტუიციურად, ჩვენ შეგვიძლია მარტივად შევაფასოთ ფუნქციის ცვლილების სიჩქარე. მაგრამ როგორ გავაკეთოთ ეს?
რასაც ჩვენ რეალურად ვუყურებთ არის ის, თუ რამდენად ციცაბო აწევა ფუნქციის გრაფიკი (ან ქვევით). სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, რამდენად სწრაფად იცვლება y x-ით. ცხადია, ერთსა და იმავე ფუნქციას სხვადასხვა წერტილში შეიძლება ჰქონდეს წარმოებულის განსხვავებული მნიშვნელობა - ანუ ის შეიძლება შეიცვალოს უფრო სწრაფად ან ნელა.
ფუნქციის წარმოებული აღინიშნება .
მოდით ვაჩვენოთ, თუ როგორ უნდა ვიპოვოთ გრაფიკის გამოყენებით.
შედგენილია ზოგიერთი ფუნქციის გრაფიკი. აიღეთ წერტილი მასზე აბსცისით. დახაზეთ ტანგენსი ამ ფუნქციის გრაფიკზე. ჩვენ გვინდა შევაფასოთ, თუ რამდენად ციცაბო მაღლდება ფუნქციის გრაფიკი. ამისთვის მოსახერხებელი ღირებულებაა ტანგენსის ფერდობის ტანგენსი.
ფუნქციის წარმოებული წერტილში ტოლია ამ წერტილის ფუნქციის გრაფიკზე დახატული ტანგენსის დახრილობის ტანგენტს.
გთხოვთ გაითვალისწინოთ - როგორც ტანგენსის დახრილობის კუთხე, ვიღებთ კუთხეს ტანგენტსა და ღერძის დადებით მიმართულებას შორის.
ზოგჯერ სტუდენტები კითხულობენ რა არის ფუნქციის გრაფიკის ტანგენსი. ეს არის სწორი ხაზი, რომელსაც აქვს ერთადერთი საერთო წერტილი ამ განყოფილების გრაფიკთან, უფრო მეტიც, როგორც ნაჩვენებია ჩვენს ფიგურაში. ის ჰგავს წრეზე ტანგენტს.
მოდი ვიპოვოთ. ჩვენ გვახსოვს, რომ მართკუთხა სამკუთხედში მახვილი კუთხის ტანგენსი უდრის მოპირდაპირე ფეხის შეფარდებას მეზობელთან. სამკუთხედიდან:
ჩვენ ვიპოვეთ წარმოებული გრაფიკის გამოყენებით ფუნქციის ფორმულის ცოდნის გარეშე. ასეთი ამოცანები ხშირად გვხვდება მათემატიკაში გამოცდაზე ნომრის ქვეშ.
არის კიდევ ერთი მნიშვნელოვანი კორელაცია. შეგახსენებთ, რომ სწორი ხაზი მოცემულია განტოლებით
რაოდენობა ამ განტოლებაში ეწოდება სწორი ხაზის ფერდობზე. ის ტოლია სწორი ხაზის ღერძისადმი დახრილობის კუთხის ტანგენტს.
.
ჩვენ ამას მივიღებთ
გავიხსენოთ ეს ფორმულა. იგი გამოხატავს წარმოებულის გეომეტრიულ მნიშვნელობას.
ფუნქციის წარმოებული წერტილის ტოლია იმ წერტილის ფუნქციის გრაფიკზე დახატული ტანგენსის დახრილობისა.
სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, წარმოებული უდრის ტანგენსის დახრილობის ტანგენტს.
ჩვენ უკვე ვთქვით, რომ ერთსა და იმავე ფუნქციას შეიძლება ჰქონდეს განსხვავებული წარმოებულები სხვადასხვა წერტილში. ვნახოთ, როგორ უკავშირდება წარმოებული ფუნქციის ქცევას.
დავხატოთ რაიმე ფუნქციის გრაფიკი. დაე ეს ფუნქცია გაიზარდოს ზოგიერთ რაიონში და შემცირდეს ზოგში და სხვადასხვა სიჩქარით. და მოდით ამ ფუნქციას ჰქონდეს მაქსიმალური და მინიმალური ქულები.
რაღაც მომენტში ფუნქცია იზრდება. წერტილში დახატული გრაფიკის ტანგენსი ქმნის მახვილ კუთხეს; დადებითი ღერძის მიმართულებით. ასე რომ, წარმოებული არის დადებითი წერტილი.
ამ ეტაპზე ჩვენი ფუნქცია მცირდება. ტანგენსი ამ წერტილში ქმნის ბლაგვ კუთხეს; დადებითი ღერძის მიმართულებით. ვინაიდან ბლაგვი კუთხის ტანგენსი უარყოფითია, წარმოებული წერტილი უარყოფითია.
აი რა ხდება:
თუ ფუნქცია იზრდება, მისი წარმოებული დადებითია.
თუ ის მცირდება, მისი წარმოებული უარყოფითია.
და რა მოხდება მაქსიმალურ და მინიმალურ წერტილებზე? ჩვენ ვხედავთ, რომ (მაქსიმალურ წერტილში) და (მინიმალურ წერტილში) ტანგენსი ჰორიზონტალურია. მაშასადამე, ამ წერტილებში ტანგენსის დახრილობის ტანგენსი არის ნული, ხოლო წარმოებულიც არის ნული.
წერტილი არის მაქსიმალური წერტილი. ამ დროს ფუნქციის ზრდა იცვლება შემცირებით. შესაბამისად, წარმოებულის ნიშანი იცვლება წერტილში „პლუს“-დან „მინუსში“.
წერტილში - მინიმალურ წერტილში - წარმოებულიც ნულის ტოლია, მაგრამ მისი ნიშანი "მინუსიდან" იცვლება "პლუს".
დასკვნა: წარმოებულის დახმარებით შეგიძლიათ გაიგოთ ყველაფერი, რაც გვაინტერესებს ფუნქციის ქცევის შესახებ.
თუ წარმოებული დადებითია, მაშინ ფუნქცია იზრდება.
თუ წარმოებული უარყოფითია, მაშინ ფუნქცია მცირდება.
მაქსიმალურ წერტილში წარმოებული არის ნული და ცვლის ნიშანს პლუსიდან მინუსზე.
მინიმალურ წერტილში წარმოებულიც არის ნული და ცვლის ნიშანს მინუსდან პლუსზე.
ჩვენ ვწერთ ამ დასკვნებს ცხრილის სახით:
| იზრდება | მაქსიმალური ქულა | მცირდება | მინიმალური ქულა | იზრდება | |
| + | 0 | - | 0 | + |
მოდით გავაკეთოთ ორი მცირე განმარტება. პრობლემის გადაჭრისას დაგჭირდებათ ერთი მათგანი. მეორე - პირველ წელს, ფუნქციების და წარმოებულების უფრო სერიოზული შესწავლით.
შესაძლებელია შემთხვევა, როდესაც ფუნქციის წარმოებული რაღაც მომენტში ნულის ტოლია, მაგრამ ფუნქციას ამ მომენტში არც მაქსიმუმი აქვს და არც მინიმალური. ეს ე.წ :
ერთ წერტილში, გრაფიკის ტანგენსი ჰორიზონტალურია, ხოლო წარმოებული არის ნული. თუმცა, პუნქტამდე ფუნქცია გაიზარდა - და წერტილის შემდეგ ის აგრძელებს ზრდას. წარმოებულის ნიშანი არ იცვლება - ის ისეთივე დადებითი დარჩა, როგორიც იყო.
ასევე ხდება, რომ მაქსიმუმის ან მინიმუმის წერტილში წარმოებული არ არსებობს. გრაფიკზე ეს შეესაბამება მკვეთრ წყვეტას, როდესაც შეუძლებელია მოცემულ წერტილში ტანგენტის დახატვა.
მაგრამ როგორ ვიპოვოთ წარმოებული, თუ ფუნქცია მოცემულია არა გრაფიკით, არამედ ფორმულით? ამ შემთხვევაში, ეს ეხება
