მათემატიკური მოლოდინი და განსხვავება
გავზომოთ შემთხვევითი ცვლადი ნჯერ, მაგალითად, ჩვენ ვზომავთ ქარის სიჩქარეს ათჯერ და გვინდა ვიპოვოთ საშუალო მნიშვნელობა. როგორ არის დაკავშირებული საშუალო მნიშვნელობა განაწილების ფუნქციასთან?
კამათელს ბევრჯერ დავყრით. ქულების რაოდენობა, რომელიც დაეცემა თხრილზე ყოველი სროლისას, არის შემთხვევითი ცვლადი და შეუძლია მიიღოს ნებისმიერი ბუნებრივი მნიშვნელობა 1-დან 6-მდე. ნის მიდრეკილია ძალიან კონკრეტულ რიცხვზე - მათემატიკური მოლოდინისკენ Mx. Ამ შემთხვევაში Mx = 3,5.
როგორ გაჩნდა ეს ღირებულება? შეუშვით ნტესტები ერთხელ ამოვარდა 1 ქულა, ერთხელ - 2 ქულა და ასე შემდეგ. მერე ნ→ ∞ იმ შედეგების რაოდენობა, რომლებშიც ერთი ქულა დაეცა, ანალოგიურად, აქედან
მოდელი 4.5. კამათელი
ახლა დავუშვათ, რომ ვიცით შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი x, ანუ ვიცით, რომ შემთხვევითი ცვლადი xშეუძლია ღირებულებების აღება x 1 , x 2 , ..., x kალბათობით გვ 1 , გვ 2 , ..., გვ კ.
Მოსალოდნელი ღირებულება Mxშემთხვევითი ცვლადი xუდრის:
უპასუხე. 2,8.
მათემატიკური მოლოდინი ყოველთვის არ არის რაიმე შემთხვევითი ცვლადის გონივრული შეფასება. ასე რომ, საშუალო ხელფასის შესაფასებლად, უფრო მიზანშეწონილია გამოვიყენოთ მედიანის ცნება, ანუ ისეთი მნიშვნელობის, რომ იმ ადამიანთა რიცხვი, რომლებიც იღებენ საშუალო ხელფასზე ნაკლებს და მეტს, იგივე იყოს.
მედიანურიშემთხვევით ცვლადს რიცხვი ეწოდება x 1/2 ისეთი, რომ გვ (x < x 1/2) = 1/2.
სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ალბათობა გვ 1 რომ შემთხვევითი ცვლადი xნაკლები იქნება x 1/2 და ალბათობა გვ 2 რომ შემთხვევითი ცვლადია xუფრო დიდი იქნება x 1/2 იგივეა და ტოლია 1/2-ის. მედიანა ცალსახად არ არის განსაზღვრული ყველა განაწილებისთვის.
დაუბრუნდით შემთხვევით ცვლადს x, რომელსაც შეუძლია მიიღოს მნიშვნელობები x 1 , x 2 , ..., x kალბათობით გვ 1 , გვ 2 , ..., გვ კ.
დისპერსიასშემთხვევითი ცვლადი xარის შემთხვევითი ცვლადის კვადრატული გადახრის საშუალო მნიშვნელობა მისი მათემატიკური მოლოდინიდან:
მაგალითი 2
წინა მაგალითის პირობებში გამოთვალეთ შემთხვევითი ცვლადის განსხვავება და სტანდარტული გადახრა x.
უპასუხე. 0,16, 0,4.
მოდელი 4.6. სამიზნე სროლა
მაგალითი 3
იპოვეთ კალმზე გაშვებული ქულების რაოდენობის ალბათობის განაწილება პირველივე სროლიდან, მედიანა, მათემატიკური მოლოდინი, განსხვავება და სტანდარტული გადახრა.
ნებისმიერი სახის ჩამოგდება თანაბრად სავარაუდოა, ამიტომ განაწილება ასე გამოიყურება:
სტანდარტული გადახრა ჩანს, რომ მნიშვნელობის გადახრა საშუალო მნიშვნელობიდან ძალიან დიდია.
მათემატიკური მოლოდინის თვისებები:
- დამოუკიდებელი შემთხვევითი ცვლადების ჯამის მათემატიკური მოლოდინი უდრის მათი მათემატიკური მოლოდინების ჯამს:
მაგალითი 4
იპოვეთ მათემატიკური მოლოდინი ჯამისა და ორ კამათელზე გაშვებული ქულების ნამრავლის შესახებ.
მე-3 მაგალითში აღმოვაჩინეთ, რომ ერთი კუბისთვის მ (x) = 3.5. ასე რომ, ორი კუბისთვის
დისპერსიული თვისებები:
- დამოუკიდებელი შემთხვევითი ცვლადების ჯამის დისპერსია უდრის დისპერსიების ჯამს:
Dx + წ = Dx + Dy.
ნება ამისთვის ნკამათლის რულონები წქულები. მერე
ეს შედეგი არ არის მართალი მხოლოდ კამათლის გასროლისთვის. ხშირ შემთხვევაში, ის განსაზღვრავს მათემატიკური მოლოდინის ემპირიულად გაზომვის სიზუსტეს. ჩანს, რომ გაზომვების რაოდენობის მატებასთან ერთად ნმნიშვნელობების გავრცელება საშუალოზე, ანუ სტანდარტული გადახრაზე, პროპორციულად მცირდება
შემთხვევითი ცვლადის ვარიაცია დაკავშირებულია ამ შემთხვევითი ცვლადის კვადრატის მათემატიკურ მოლოდინს შემდეგი მიმართებით:
მოდი ვიპოვოთ ამ თანასწორობის ორივე ნაწილის მათემატიკური მოლოდინი. ა-პრიორიტეტი,
ტოლობის მარჯვენა მხარის მათემატიკური მოლოდინი, მათემატიკური მოლოდინების თვისების მიხედვით, უდრის
Სტანდარტული გადახრა
სტანდარტული გადახრაუდრის დისპერსიის კვადრატულ ფესვს:
შესწავლილი პოპულაციის საკმარისად დიდი მოცულობისთვის (n> 30) სტანდარტული გადახრის განსაზღვრისას გამოიყენება შემდეგი ფორმულები:
მსგავსი ინფორმაცია.
შერჩევის კვლევის მიხედვით, მეანაბრეები დაჯგუფდნენ ქალაქის სბერბანკში ანაბრის ზომის მიხედვით:
განსაზღვრეთ:
1) ვარიაციის დიაპაზონი;
2) ანაბრის საშუალო თანხა;
3) საშუალო წრფივი გადახრა;
4) დისპერსია;
5) სტანდარტული გადახრა;
6) შენატანების ცვალებადობის კოეფიციენტი.
გამოსავალი:
ეს განაწილების სერია შეიცავს ღია ინტერვალებს. ასეთ სერიებში, პირველი ჯგუფის ინტერვალის მნიშვნელობა პირობითად ვარაუდობენ, რომ უდრის შემდეგის ინტერვალის მნიშვნელობას, ხოლო ბოლო ჯგუფის ინტერვალის მნიშვნელობა უდრის წინა ჯგუფის ინტერვალის მნიშვნელობას. ერთი.
მეორე ჯგუფის ინტერვალის მნიშვნელობა არის 200, შესაბამისად, პირველი ჯგუფის მნიშვნელობაც არის 200, ბოლო ჯგუფის ინტერვალის მნიშვნელობა არის 200, რაც ნიშნავს, რომ ბოლო ინტერვალსაც ექნება 200-ის ტოლი მნიშვნელობა.
1) განსაზღვრეთ ვარიაციის დიაპაზონი, როგორც განსხვავება მახასიათებლის უდიდეს და უმცირეს მნიშვნელობას შორის:
წვლილის ზომის ვარიაციის დიაპაზონი 1000 რუბლს შეადგენს.
2) შენატანის საშუალო ზომა განისაზღვრება საშუალო შეწონილი არითმეტიკული ფორმულით.
მოდით წინასწარ განვსაზღვროთ ატრიბუტის დისკრეტული მნიშვნელობა თითოეულ ინტერვალში. ამისათვის, საშუალო არითმეტიკული მარტივი ფორმულის გამოყენებით, ვპოულობთ შუალედებს.
პირველი ინტერვალის საშუალო მნიშვნელობა ტოლი იქნება:
მეორე - 500 და ა.შ.
მოდი გამოთვლების შედეგები ჩავწეროთ ცხრილში:
| ანაბრის თანხა, რუბლს შეადგენს. | კონტრიბუტორთა რაოდენობა, ვ | შუა ინტერვალი, x | xf |
|---|---|---|---|
| 200-400 | 32 | 300 | 9600 |
| 400-600 | 56 | 500 | 28000 |
| 600-800 | 120 | 700 | 84000 |
| 800-1000 | 104 | 900 | 93600 |
| 1000-1200 | 88 | 1100 | 96800 |
| სულ | 400 | - | 312000 |
საშუალო ანაბარი ქალაქის სბერბანკში იქნება 780 რუბლი:
3) საშუალო წრფივი გადახრა არის ატრიბუტის ინდივიდუალური მნიშვნელობების აბსოლუტური გადახრების არითმეტიკული საშუალო საერთო საშუალოდან:
შუალედური განაწილების სერიაში საშუალო წრფივი გადახრის გამოთვლის პროცედურა შემდეგია:
1. არითმეტიკული შეწონილი საშუალო გამოითვლება, როგორც ნაჩვენებია მე-2 პუნქტში).
2. ვარიანტის აბსოლუტური გადახრები საშუალოდან განისაზღვრება:
3. მიღებული გადახრები მრავლდება სიხშირეებზე:
4. შეწონილი გადახრების ჯამი გვხვდება ნიშნის გათვალისწინების გარეშე:
5. შეწონილი გადახრების ჯამი იყოფა სიხშირეების ჯამზე:
მოსახერხებელია გამოთვლილი მონაცემების ცხრილის გამოყენება:
| ანაბრის თანხა, რუბლს შეადგენს. | კონტრიბუტორთა რაოდენობა, ვ | შუა ინტერვალი, x | |||
|---|---|---|---|---|---|
| 200-400 | 32 | 300 | -480 | 480 | 15360 |
| 400-600 | 56 | 500 | -280 | 280 | 15680 |
| 600-800 | 120 | 700 | -80 | 80 | 9600 |
| 800-1000 | 104 | 900 | 120 | 120 | 12480 |
| 1000-1200 | 88 | 1100 | 320 | 320 | 28160 |
| სულ | 400 | - | - | - | 81280 |
სბერბანკის კლიენტების ანაბრის ზომის საშუალო წრფივი გადახრა არის 203,2 რუბლი.
4) დისპერსია არის არითმეტიკული საშუალოდან თითოეული მახასიათებლის მნიშვნელობის კვადრატული გადახრების საშუალო არითმეტიკული.
დისპერსიის გაანგარიშება ინტერვალის განაწილების სერიაში ხორციელდება ფორმულის მიხედვით:
დისპერსიის გამოთვლის პროცედურა ამ შემთხვევაში შემდეგია:
1. განსაზღვრეთ საშუალო შეწონილი არითმეტიკული მაჩვენებელი, როგორც ნაჩვენებია მე-2 პუნქტში).
2. იპოვეთ გადახრები საშუალოდან:
3. თითოეული ვარიანტის გადახრის კვადრატი საშუალოდან:
4. გადახრების კვადრატში გამრავლება წონაზე (სიხშირეებზე):
5.შეაჯამეთ მიღებული ნამუშევრები:
6. მიღებული თანხა იყოფა წონების (სიხშირეების) ჯამზე:
მოდით, გამოთვლები ჩავდოთ ცხრილში:
| ანაბრის თანხა, რუბლს შეადგენს. | კონტრიბუტორთა რაოდენობა, ვ | შუა ინტერვალი, x | |||
|---|---|---|---|---|---|
| 200-400 | 32 | 300 | -480 | 230400 | 7372800 |
| 400-600 | 56 | 500 | -280 | 78400 | 4390400 |
| 600-800 | 120 | 700 | -80 | 6400 | 768000 |
| 800-1000 | 104 | 900 | 120 | 14400 | 1497600 |
| 1000-1200 | 88 | 1100 | 320 | 102400 | 9011200 |
| სულ | 400 | - | - | - | 23040000 |
ჰიპოთეზების სტატისტიკური ტესტირებისას, შემთხვევით ცვლადებს შორის წრფივი ურთიერთობის გაზომვისას.
Სტანდარტული გადახრა:
Სტანდარტული გადახრა(შემთხვევითი ცვლადის სტანდარტული გადახრის შეფასება სართული, კედლები ჩვენს ირგვლივ და ჭერი, xმის მათემატიკურ მოლოდინთან შედარებით, მისი დისპერსიის მიუკერძოებელი შეფასებით):
სად - განსხვავება; - იატაკი, კედლები ჩვენს ირგვლივ და ჭერი, მე-ე ნიმუში ელემენტი; - ნიმუშის ზომა; - ნიმუშის საშუალო არითმეტიკული:
უნდა აღინიშნოს, რომ ორივე შეფასება მიკერძოებულია. ზოგად შემთხვევაში, მიუკერძოებელი შეფასების გაკეთება შეუძლებელია. თუმცა, მიკერძოებული დისპერსიის შეფასებაზე დაფუძნებული შეფასება თანმიმდევრულია.
სამი სიგმის წესი
სამი სიგმის წესი() - ნორმალურად განაწილებული შემთხვევითი ცვლადის თითქმის ყველა მნიშვნელობა დევს ინტერვალში. უფრო მკაცრად - არანაკლებ 99,7% დარწმუნებით, ნორმალურად განაწილებული შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობა მდგომარეობს მითითებულ ინტერვალში (იმ პირობით, რომ მნიშვნელობა მართალია და არ არის მიღებული ნიმუშის დამუშავების შედეგად).
თუ ნამდვილი მნიშვნელობა უცნობია, მაშინ უნდა გამოიყენოთ არა, არამედ იატაკი, კედლები და ჭერი, ს. ამრიგად, სამი სიგმის წესი ითარგმნება სამი სართულის, ჩვენს გარშემო კედლებისა და ჭერის წესში. ს .
სტანდარტული გადახრის მნიშვნელობის ინტერპრეტაცია
სტანდარტული გადახრის დიდი მნიშვნელობა აჩვენებს მნიშვნელობების დიდ გავრცელებას წარმოდგენილ კომპლექტში კომპლექტის საშუალო მნიშვნელობით; მცირე მნიშვნელობა, შესაბამისად, მიუთითებს იმაზე, რომ ნაკრებში მნიშვნელობები დაჯგუფებულია საშუალო მნიშვნელობის გარშემო.
მაგალითად, გვაქვს სამი რიცხვის ნაკრები: (0, 0, 14, 14), (0, 6, 8, 14) და (6, 6, 8, 8). სამივე კომპლექტს აქვს 7 საშუალო მნიშვნელობები და სტანდარტული გადახრები შესაბამისად 7, 5 და 1. ბოლო კომპლექტს აქვს მცირე სტანდარტული გადახრა, რადგან ნაკრებში მნიშვნელობები გროვდება საშუალოზე; პირველ კომპლექტს აქვს სტანდარტული გადახრის უდიდესი მნიშვნელობა - კომპლექტში შემავალი მნიშვნელობები მკვეთრად განსხვავდება საშუალო მნიშვნელობიდან.
ზოგადი გაგებით, სტანდარტული გადახრა შეიძლება ჩაითვალოს გაურკვევლობის საზომად. მაგალითად, ფიზიკაში სტანდარტული გადახრა გამოიყენება გარკვეული რაოდენობის თანმიმდევრული გაზომვების სერიის შეცდომის დასადგენად. ეს მნიშვნელობა ძალზე მნიშვნელოვანია შესწავლილი ფენომენის დამაჯერებლობის დასადგენად თეორიის მიერ პროგნოზირებულ მნიშვნელობასთან შედარებით: თუ გაზომვების საშუალო მნიშვნელობა ძალიან განსხვავდება თეორიის მიერ პროგნოზირებული მნიშვნელობებისგან (დიდი სტანდარტული გადახრა), მაშინ მიღებული მნიშვნელობები ან მათი მიღების მეთოდი ხელახლა უნდა შემოწმდეს.
პრაქტიკული გამოყენება
პრაქტიკაში, სტანდარტული გადახრა საშუალებას გაძლევთ განსაზღვროთ რამდენად შეიძლება განსხვავდებოდეს კომპლექტში არსებული მნიშვნელობები საშუალო მნიშვნელობიდან.
კლიმატი
დავუშვათ, რომ არსებობს ორი ქალაქი ერთი და იგივე საშუალო დღიური მაქსიმალური ტემპერატურის მქონე, მაგრამ ერთი მდებარეობს სანაპიროზე, მეორე კი შიდა. ცნობილია, რომ სანაპირო ქალაქებს აქვთ მრავალი განსხვავებული ყოველდღიური მაქსიმალური ტემპერატურა დაბალი, ვიდრე შიდა ქალაქებში. მაშასადამე, ზღვისპირა ქალაქში მაქსიმალური დღიური ტემპერატურის სტანდარტული გადახრა ნაკლები იქნება, ვიდრე მეორე ქალაქში, მიუხედავად იმისა, რომ მათ აქვთ ამ მნიშვნელობის იგივე საშუალო მნიშვნელობა, რაც პრაქტიკაში ნიშნავს, რომ ჰაერის მაქსიმალური ტემპერატურის ალბათობა წელიწადის თითოეული დღე უფრო ძლიერი იქნება, განსხვავდება საშუალო მნიშვნელობიდან, უფრო მაღალია კონტინენტის შიგნით მდებარე ქალაქისთვის.
სპორტი
დავუშვათ, რომ არსებობს რამდენიმე საფეხბურთო გუნდი, რომლებიც დალაგებულია გარკვეული პარამეტრების მიხედვით, მაგალითად, გატანილი და გაშვებული გოლების რაოდენობა, გოლის შანსები და ა.შ. დიდი ალბათობით, ამ ჯგუფის საუკეთესო გუნდს ექნება საუკეთესო ღირებულებები. უფრო მეტ პარამეტრებში. რაც უფრო მცირეა გუნდის სტანდარტული გადახრა თითოეული წარმოდგენილი პარამეტრისთვის, მით უფრო პროგნოზირებადია გუნდის შედეგი, ასეთი გუნდები დაბალანსებულია. მეორე მხრივ, დიდი სტანდარტული გადახრის მქონე გუნდს უჭირს შედეგის პროგნოზირება, რაც თავის მხრივ აიხსნება დისბალანსით, მაგალითად, ძლიერი დაცვა, მაგრამ სუსტი შეტევა.
გუნდის პარამეტრების სტანდარტული გადახრის გამოყენება საშუალებას იძლევა გარკვეულწილად იწინასწარმეტყველოს ორ გუნდს შორის მატჩის შედეგი, შეაფასოს გუნდების ძლიერი და სუსტი მხარეები და, შესაბამისად, ბრძოლის არჩეული მეთოდები.
ტექნიკური ანალიზი
იხილეთ ასევე
ლიტერატურა
| ეს სტატია შემოთავაზებულია წასაშლელად.
მიზეზების ახსნა და შესაბამისი დისკუსია შეგიძლიათ იხილოთ გვერდზე ვიკიპედია:წაშლილი/17 დეკემბერი, 2012 წ. |
* ბოროვიკოვი, ვ.სტატისტიკა. კომპიუტერული მონაცემთა ანალიზის ხელოვნება: პროფესიონალებისთვის / ვ. ბოროვიკოვი. - პეტერბურგი. : პეტრე, 2003. - 688გვ. - ISBN 5-272-00078-1.
| სტატისტიკური მაჩვენებლები | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| აღწერითი სტატისტიკა |
|
||||||||||
| სტატისტიკური გაყვანა და გამოკვლევა ჰიპოთეზები |
| ||||||||||
დისპერსია. Სტანდარტული გადახრა
დისპერსიაარის თითოეული მახასიათებლის მნიშვნელობის კვადრატული გადახრების საშუალო არითმეტიკული საერთო საშუალოდან. წყაროს მონაცემებიდან გამომდინარე, განსხვავება შეიძლება იყოს არაწონიანი (მარტივი) ან შეწონილი.
დისპერსია გამოითვლება შემდეგი ფორმულების გამოყენებით:
დაუჯგუფებელი მონაცემებისთვის
დაჯგუფებული მონაცემებისთვის
შეწონილი დისპერსიის გამოთვლის პროცედურა:
1. განსაზღვრეთ საშუალო შეწონილი არითმეტიკული
2. დგინდება ვარიანტის გადახრები საშუალოდან
3. კვადრატში თითოეული ვარიანტის გადახრა საშუალოდან
4. გაამრავლეთ კვადრატული გადახრები წონაზე (სიხშირეებზე)
5.შეაჯამეთ მიღებული ნამუშევრები
6. მიღებული თანხა იყოფა წონების ჯამზე
დისპერსიის განსაზღვრის ფორმულა შეიძლება გარდაიქმნას შემდეგ ფორმულაში:
- მარტივი
დისპერსიის გამოთვლის პროცედურა მარტივია:
1. დაადგინეთ საშუალო არითმეტიკული
2. საშუალო არითმეტიკული კვადრატი
3. კვადრატული თითოეული რიგის ვარიანტი
4. იპოვეთ კვადრატების ჯამის ვარიანტი
5. ვარიანტის კვადრატების ჯამი გავყოთ მათ რიცხვზე, ე.ი. განსაზღვრეთ საშუალო კვადრატი
6. დაადგინეთ განსხვავება თვისების საშუალო კვადრატსა და საშუალო კვადრატს შორის
ასევე შეწონილი დისპერსიის განსაზღვრის ფორმულა შეიძლება გარდაიქმნას შემდეგ ფორმულაში:
იმათ. განსხვავება უდრის განსხვავებას მახასიათებლის მნიშვნელობების კვადრატების საშუალოსა და არითმეტიკული საშუალოს კვადრატს შორის. გარდაქმნილი ფორმულის გამოყენებისას, გამორიცხულია x-დან მახასიათებლის ინდივიდუალური მნიშვნელობების გადახრების გამოსათვლელი დამატებითი პროცედურა და გამორიცხულია შეცდომა დამრგვალებასთან დაკავშირებული გაანგარიშებისას.
დისპერსიას აქვს მრავალი თვისება, რომელთაგან ზოგიერთი აადვილებს გამოთვლას:
1) მუდმივი მნიშვნელობის დისპერსია არის ნული;
2) თუ ატრიბუტის მნიშვნელობების ყველა ვარიანტი მცირდება ერთი და იგივე რაოდენობით, მაშინ განსხვავება არ შემცირდება;
3) თუ ატრიბუტის მნიშვნელობების ყველა ვარიანტი მცირდება ერთსა და იმავე რაოდენობის ჯერ (ჯერ), მაშინ დისპერსია შემცირდება კოეფიციენტით
სტანდარტული გადახრა S- არის ვარიაციის კვადრატული ფესვი:
დაუჯგუფებელი მონაცემებისთვის:
;
ვარიაციის სერიისთვის:
ცვალებადობის დიაპაზონი, საშუალო წრფივი და საშუალო კვადრატული გადახრა დასახელებულია სიდიდეები. მათ აქვთ იგივე საზომი ერთეული, როგორც ინდივიდუალური დამახასიათებელი მნიშვნელობები.
დისპერსია და სტანდარტული გადახრა ვარიაციის ყველაზე ფართოდ გამოყენებული საზომია. ეს აიხსნება იმით, რომ ისინი შედიან ალბათობის თეორიის უმეტეს თეორემებში, რაც მათემატიკური სტატისტიკის საფუძველს წარმოადგენს. გარდა ამისა, დისპერსიული შეიძლება დაიშალოს მის შემადგენელ ელემენტებად, რაც საშუალებას იძლევა შეფასდეს სხვადასხვა ფაქტორების გავლენა, რომლებიც იწვევენ ნიშან-თვისების ცვალებადობას.
მოგების მიხედვით დაჯგუფებული ბანკების ვარიაციული ინდიკატორების გაანგარიშება ნაჩვენებია ცხრილში.
| მოგება, მილიონი რუბლი | ბანკების რაოდენობა | გათვლილი ინდიკატორები | ||||
| 3,7 - 4,6 (-) | 4,15 | 8,30 | -1,935 | 3,870 | 7,489 | |
| 4,6 - 5,5 | 5,05 | 20,20 | - 1,035 | 4,140 | 4,285 | |
| 5,5 - 6,4 | 5,95 | 35,70 | - 0,135 | 0,810 | 0,109 | |
| 6,4 - 7,3 | 6,85 | 34,25 | +0,765 | 3,825 | 2,926 | |
| 7,3 - 8,2 | 7,75 | 23,25 | +1,665 | 4,995 | 8,317 | |
| სულ: | 121,70 | 17,640 | 23,126 |
საშუალო წრფივი და საშუალო კვადრატული გადახრა გვიჩვენებს, რამდენად მერყეობს ატრიბუტის მნიშვნელობა საშუალოდ შესწავლილი ერთეულებისთვის და პოპულაციისთვის. ასე რომ, ამ შემთხვევაში, მოგების ოდენობის რყევის საშუალო ღირებულებაა: საშუალო წრფივი გადახრის მიხედვით, 0,882 მილიონი რუბლი; სტანდარტული გადახრის მიხედვით - 1,075 მილიონი რუბლი. სტანდარტული გადახრა ყოველთვის აღემატება საშუალო ხაზოვან გადახრას. თუ ნიშან-თვისების განაწილება ნორმასთან ახლოსაა, მაშინ არსებობს კავშირი S-სა და d-ს შორის: S=1,25d, ან d=0,8S. სტანდარტული გადახრა გვიჩვენებს, თუ როგორ არის განლაგებული მოსახლეობის ერთეულების დიდი ნაწილი საშუალო არითმეტიკასთან შედარებით. განაწილების ფორმის მიუხედავად, 75 ატრიბუტის მნიშვნელობა ხვდება x 2S ინტერვალში და ყველა მნიშვნელობიდან მინიმუმ 89 ხვდება x 3S ინტერვალში (P.L. Chebyshev-ის თეორემა).
ამ სტატიაში მე ვისაუბრებ როგორ მოვძებნოთ სტანდარტული გადახრა. ეს მასალა უაღრესად მნიშვნელოვანია მათემატიკის სრულყოფილად გასაგებად, ამიტომ მათემატიკის დამრიგებელმა მის შესწავლას ცალკე ან რამდენიმე გაკვეთილი უნდა დაუთმოს. ამ სტატიაში თქვენ იხილავთ დეტალურ და გასაგებ ვიდეო გაკვეთილის ბმულს, რომელიც განმარტავს რა არის სტანდარტული გადახრა და როგორ იპოვოთ იგი.
სტანდარტული გადახრაშესაძლებელს ხდის გარკვეული პარამეტრის გაზომვის შედეგად მიღებული მნიშვნელობების გავრცელების შეფასებას. იგი აღინიშნება სიმბოლოთი (ბერძნული ასო „სიგმა“).
გაანგარიშების ფორმულა საკმაოდ მარტივია. სტანდარტული გადახრის საპოვნელად, თქვენ უნდა აიღოთ დისპერსიის კვადრატული ფესვი. ასე რომ, ახლა თქვენ უნდა იკითხოთ: "რა არის ვარიაცია?"
რა არის დისპერსია
დისპერსიის განმარტება შემდეგია. დისპერსია არის საშუალოდან მნიშვნელობების კვადრატული გადახრების საშუალო არითმეტიკული.
დისპერსიის საპოვნელად, შეასრულეთ შემდეგი გამოთვლები თანმიმდევრულად:
- განსაზღვრეთ საშუალო (სიდიდეების რიგის მარტივი არითმეტიკული საშუალო).
- შემდეგ გამოვაკლოთ საშუალო თითოეულ მნიშვნელობას და კვადრატში გამოვყავით მიღებული განსხვავება (ჩვენ მივიღეთ სხვაობა კვადრატში).
- შემდეგი ნაბიჯი არის მიღებული სხვაობების კვადრატების საშუალო არითმეტიკული გამოთვლა (შეგიძლიათ გაიგოთ, რატომ არის ზუსტად კვადრატები ქვემოთ).
მოდით შევხედოთ მაგალითს. ვთქვათ, თქვენ და თქვენმა მეგობრებმა გადაწყვიტეთ გაზომოთ თქვენი ძაღლების სიმაღლე (მილიმეტრებში). გაზომვების შედეგად, თქვენ მიიღეთ შემდეგი სიმაღლის გაზომვები (ხერხემებზე): 600 მმ, 470 მმ, 170 მმ, 430 მმ და 300 მმ.
გამოვთვალოთ საშუალო, დისპერსიული და სტანდარტული გადახრა.
ჯერ ვიპოვოთ საშუალო. როგორც უკვე იცით, ამისათვის თქვენ უნდა დაამატოთ ყველა გაზომილი მნიშვნელობა და გაყოთ გაზომვების რაოდენობაზე. გაანგარიშების პროგრესი:
საშუალო მმ.
ასე რომ, საშუალო (საშუალო არითმეტიკული) არის 394 მმ.
ახლა ჩვენ უნდა განვსაზღვროთ თითოეული ძაღლის სიმაღლის გადახრა საშუალოდან:
ბოლოს და ბოლოს, დისპერსიის გამოსათვლელად, თითოეული მიღებული სხვაობა კვადრატულია და შემდეგ ვპოულობთ მიღებული შედეგების საშუალო არითმეტიკულს:
დისპერსიული მმ 2.
ამრიგად, დისპერსია არის 21704 მმ 2.
როგორ მოვძებნოთ სტანდარტული გადახრა
მაშ, როგორ გამოვთვალოთ სტანდარტული გადახრა, დისპერსიის ცოდნით? როგორც გვახსოვს, აიღეთ მისი კვადრატული ფესვი. ანუ სტანდარტული გადახრა არის:
მმ (დამრგვალებულია მმ-ში უახლოეს მთელ რიცხვამდე).
ამ მეთოდის გამოყენებით აღმოვაჩინეთ, რომ ზოგიერთი ძაღლი (მაგ. როტვეილერი) ძალიან დიდი ძაღლია. მაგრამ ასევე არიან ძალიან პატარა ძაღლები (მაგალითად, დაჩშუნდები, მაგრამ ეს არ უნდა უთხრათ მათ).
ყველაზე საინტერესო ის არის, რომ სტანდარტული გადახრა შეიცავს სასარგებლო ინფორმაციას. ახლა შეგვიძლია ვაჩვენოთ ზრდის გაზომვის მიღებული შედეგებიდან რომელია იმ ინტერვალში, რომელსაც მივიღებთ, თუ გამოვყოფთ საშუალო (მის ორივე მხარეს) სტანდარტულ გადახრას.
ანუ, სტანდარტული გადახრის გამოყენებით, ჩვენ ვიღებთ "სტანდარტულ" მეთოდს, რომელიც საშუალებას გაძლევთ გაარკვიოთ, რომელი მნიშვნელობებია ნორმალური (სტატისტიკური საშუალო) და რომელია არაჩვეულებრივად დიდი ან, პირიქით, მცირე.
რა არის სტანდარტული გადახრა
მაგრამ... თუ გავაანალიზებთ, ყველაფერი ცოტა სხვაგვარად იქნება სინჯის აღებამონაცემები. ჩვენს მაგალითში განვიხილეთ საერთო მოსახლეობა.ანუ ჩვენი 5 ძაღლი იყო მსოფლიოში ერთადერთი ძაღლი, რომელიც გვაინტერესებდა.
მაგრამ თუ მონაცემები არის ნიმუში (მნიშვნელობები არჩეულია დიდი პოპულაციისგან), მაშინ გამოთვლები სხვაგვარად უნდა გაკეთდეს.
თუ არსებობს მნიშვნელობები, მაშინ:
ყველა სხვა გამოთვლა ხდება იმავე გზით, მათ შორის საშუალოს განსაზღვრა.
მაგალითად, თუ ჩვენი ხუთი ძაღლი არის ძაღლების პოპულაციის ნიმუში (პლანეტის ყველა ძაღლი), ჩვენ უნდა გავყოთ 4 5-ის ნაცვლადკერძოდ:
ნიმუშის განსხვავება = 
მმ 2.
ამ შემთხვევაში, ნიმუშის სტანდარტული გადახრა ტოლია 
მმ (დამრგვალებულია უახლოეს მთელ რიცხვამდე).
შეიძლება ითქვას, რომ ჩვენ გავაკეთეთ გარკვეული „შესწორება“ იმ შემთხვევაში, როდესაც ჩვენი ღირებულებები მხოლოდ მცირე ნიმუშია.
Შენიშვნა. რატომ ზუსტად განსხვავებების კვადრატები?
მაგრამ რატომ ვიღებთ განსხვავებების კვადრატებს დისპერსიის გამოთვლისას? მოდით ვაღიაროთ ზოგიერთი პარამეტრის გაზომვისას, თქვენ მიიღეთ მნიშვნელობების შემდეგი ნაკრები: 4; 4; -4; -4. თუ ჩვენ უბრალოდ დავამატებთ აბსოლუტურ გადახრებს საშუალოდან (განსხვავება) ერთმანეთში ... უარყოფითი მნიშვნელობები უქმდება დადებითით:
.
გამოდის, რომ ეს ვარიანტი უსარგებლოა. მაშინ იქნებ ღირს სცადოთ გადახრების აბსოლუტური მნიშვნელობები (ანუ ამ მნიშვნელობების მოდულები)?
ერთი შეხედვით, გამოდის, რომ არ არის ცუდი (მიღებულ მნიშვნელობას, სხვათა შორის, საშუალო აბსოლუტური გადახრა ეწოდება), მაგრამ არა ყველა შემთხვევაში. ვცადოთ სხვა მაგალითი. მოდით გაზომვის შედეგად მივიღოთ მნიშვნელობების შემდეგი ნაკრები: 7; 1; -6; -2. მაშინ საშუალო აბსოლუტური გადახრა არის:
Ვაუ! ჩვენ კვლავ მივიღეთ შედეგი 4, თუმცა განსხვავებები გაცილებით დიდია.
ახლა ვნახოთ, რა მოხდება, თუ განსხვავებებს კვადრატში მოვაწყობთ (და შემდეგ ავიღებთ მათი ჯამის კვადრატულ ფესვს).
პირველი მაგალითისთვის, თქვენ მიიღებთ:
.
მეორე მაგალითისთვის, თქვენ მიიღებთ:
ახლა სულ სხვა საქმეა! ფესვი-საშუალო კვადრატის გადახრა რაც უფრო დიდია, მით უფრო დიდია განსხვავებების გავრცელება... რისკენაც ჩვენ ვისწრაფვით.
სინამდვილეში, ეს მეთოდი იყენებს იმავე იდეას, როგორც წერტილებს შორის მანძილის გაანგარიშებისას, მხოლოდ განსხვავებულად გამოიყენება.
და მათემატიკური თვალსაზრისით, კვადრატების და კვადრატული ფესვების გამოყენება უფრო სასარგებლოა, ვიდრე ჩვენ შეგვიძლია მივიღოთ გადახრების აბსოლუტური მნიშვნელობების საფუძველზე, რის გამოც სტანდარტული გადახრა გამოიყენება სხვა მათემატიკური ამოცანებისთვის.
სერგეი ვალერიევიჩმა გითხრათ, თუ როგორ უნდა იპოვოთ სტანდარტული გადახრა
