ამოცანები ალბათობის კლასიკური განმარტებისთვის.
გადაწყვეტის მაგალითები

მესამე გაკვეთილზე განვიხილავთ სხვადასხვა პრობლემას, რომლებიც დაკავშირებულია ალბათობის კლასიკური განმარტების პირდაპირ გამოყენებასთან. ამ სტატიის მასალების ეფექტურად შესასწავლად, გირჩევთ გაეცნოთ ძირითად ცნებებს ალბათობის თეორიადა კომბინატორიკის საფუძვლები. ალბათობის კლასიკური განსაზღვრის პრობლემა ერთზე მიდრეკილი ალბათობით იქნება თქვენს დამოუკიდებელ / საკონტროლო მუშაობაში ტერვერზე, ამიტომ ვემზადებით სერიოზული სამუშაოსთვის. რა არის ასე სერიოზული, გეკითხებით? ... მხოლოდ ერთი პრიმიტიული ფორმულა. მე ვაფრთხილებ სისულელეს - თემატური ამოცანები საკმაოდ მრავალფეროვანია და ბევრ მათგანს ადვილად შეუძლია დაბნეული. ამასთან დაკავშირებით, მთავარი გაკვეთილის შემუშავების გარდა, შეეცადეთ შეისწავლოთ დამატებითი ამოცანები თემაზე, რომლებიც ყულაბაშია. მზა გადაწყვეტილებები უმაღლეს მათემატიკაში. გადაწყვეტილების მიღების მეთოდები გადაწყვეტილების მეთოდებია, მაგრამ „მეგობრებს“ მაინც „საჭიროა ნახვით გაცნობა“, რადგან მდიდარი ფანტაზიაც კი შეზღუდულია და ასევე არის საკმარისი ტიპიური ამოცანები. კარგი, ვეცდები გამოვყო მათი მაქსიმალური რაოდენობა კარგი ხარისხით.

გავიხსენოთ ჟანრის კლასიკა:

ზოგიერთ საცდელში მოვლენის მოვლენის ალბათობა უდრის თანაფარდობას, სადაც:

არის ყველას საერთო რაოდენობა თანაბრად შესაძლებელია, ელემენტარულიამ ტესტის შედეგები, რომლებიც ყალიბდება მოვლენების სრული ჯგუფი;

- თანხა ელემენტარულიღონისძიების სასარგებლო შედეგები.

და მაშინვე პიტ-სტოპი. გესმით ხაზგასმული ტერმინები? ეს ნიშნავს ნათელ და არა ინტუიციურ გაგებას. თუ არა, მაშინ მაინც ჯობია დავუბრუნდეთ პირველ სტატიას ალბათობის თეორიადა მხოლოდ ამის შემდეგ გააგრძელე.

გთხოვთ, არ გამოტოვოთ პირველი მაგალითები - მათში მე გავიმეორებ ერთ ფუნდამენტურად მნიშვნელოვან პუნქტს და ასევე გეტყვით, თუ როგორ სწორად ჩამოაყალიბოთ გამოსავალი და რა გზებით შეიძლება ამის გაკეთება:

დავალება 1

ურნა შეიცავს 15 თეთრ, 5 წითელ და 10 შავ ბურთულას. შემთხვევით დახატულია 1 ბურთი, იპოვეთ ალბათობა, რომ ის იქნება: ა) თეთრი, ბ) წითელი, გ) შავი.

გადაწყვეტილება: ალბათობის კლასიკური განმარტების გამოყენების ყველაზე მნიშვნელოვანი წინაპირობაა შედეგების საერთო რაოდენობის გამოთვლის უნარი.

ურნაში არის 15 + 5 + 10 = 30 ბურთი და ცხადია, შემდეგი ფაქტები მართალია:

- ნებისმიერი ბურთის ამოღება თანაბრად შესაძლებელია (თანაბარი შესაძლებლობაშედეგები), ხოლო შედეგები ელემენტარული და ფორმა მოვლენების სრული ჯგუფი (ანუ ტესტის შედეგად 30 ბურთიდან ერთი აუცილებლად მოიხსნება).

ამრიგად, შედეგების საერთო რაოდენობა:

განვიხილოთ შემდეგი მოვლენა: – ურნადან გამოიყვანება თეთრი ბურთი. ეს ღონისძიება ხელსაყრელია ელემენტარულიშედეგები, ასე რომ, კლასიკური განმარტებით:
არის ალბათობა იმისა, რომ ურნადან თეთრი ბურთი გამოვა.

უცნაურია, მაგრამ ასეთ მარტივ პრობლემაშიც კი შეიძლება სერიოზული უზუსტობის დაშვება, რაზეც მე უკვე გავამახვილე ყურადღება პირველ სტატიაში. ალბათობის თეორია. სად არის აქ ნაკლი? არასწორია აქ ამაზე მსჯელობა „რადგან ბურთების ნახევარი თეთრია, მაშინ თეთრი ბურთის დახატვის ალბათობა» . ალბათობის კლასიკური განმარტება არის ELEMENTARYშედეგები და წილადი უნდა დაიწეროს!

სხვა საკითხებთან ერთად, განიხილეთ შემდეგი მოვლენები:

- ურნადან წითელი ბურთი გამოვა;
- ურნადან შავი ბურთი გამოვა.

ღონისძიებას ხელს უწყობს 5 ელემენტარული შედეგი, ხოლო ღონისძიებას ხელს უწყობს 10 ელემენტარული შედეგი. ასე რომ, შესაბამისი ალბათობებია:

ტერვერის მრავალი პრობლემის ტიპიური გადამოწმება ხდება გამოყენებით თეორემები სრული ჯგუფის შემქმნელი მოვლენათა ალბათობების ჯამის შესახებ. ჩვენს შემთხვევაში, მოვლენები ქმნიან სრულ ჯგუფს, რაც ნიშნავს, რომ შესაბამისი ალბათობების ჯამი აუცილებლად უნდა იყოს ერთის ტოლი: .

მოდით შევამოწმოთ, ასეა თუ არა: , რაშიც მინდოდა დავრწმუნებულიყავი.

უპასუხე:

პრინციპში, პასუხი უფრო დეტალურად შეიძლება დაიწეროს, მაგრამ პირადად მე მიჩვეული ვარ იქ მხოლოდ ნომრების დადებას - იმ მიზეზით, რომ როდესაც თქვენ იწყებთ ამოცანების „დაბეჭდვას“ ასობით და ათასობით, თქვენ ცდილობთ მინიმუმამდე დაიყვანოთ ამოხსნის ჩანაწერი. სხვათა შორის, მოკლედ: პრაქტიკაში, "მაღალსიჩქარიანი" დიზაინის ვარიანტი გავრცელებულია. გადაწყვეტილებები:

სულ: ურნაში 15 + 5 + 10 = 30 ბურთი. კლასიკური განმარტების მიხედვით:
არის ალბათობა იმისა, რომ ურნადან თეთრი ბურთი ამოიჭრება;
არის ალბათობა იმისა, რომ ურნადან წითელი ბურთი იქნება გამოყვანილი;
არის ალბათობა იმისა, რომ ურნადან შავი ბურთი ამოიჭრება.

უპასუხე:

თუმცა, თუ მდგომარეობა რამდენიმე პუნქტია, მაშინ გამოსავალი ხშირად უფრო მოსახერხებელია პირველი გზით შედგენაში, რასაც ცოტა მეტი დრო სჭირდება, მაგრამ შემდეგ ის „ათავსებს ყველაფერს თაროებზე“ და აადვილებს ნავიგაციას. დავალება.

Გახურება:

დავალება 2

მაღაზიამ მიიღო 30 მაცივარი, აქედან ხუთს ქარხნული დეფექტი აქვს. შემთხვევით შერჩეულია ერთი მაცივარი. რა არის იმის ალბათობა, რომ იგი დეფექტების გარეშე იყოს?

აირჩიეთ დიზაინის ვარიანტი, რომელიც თქვენთვის შესაფერისია და შეამოწმეთ შაბლონი გვერდის ბოლოში.

უმარტივეს მაგალითებში, საერთო და ხელსაყრელი შედეგების რაოდენობა ზედაპირზე დევს, მაგრამ უმეტეს შემთხვევაში თქვენ თავად უნდა ამოთხაროთ კარტოფილი. დავიწყებული აბონენტის შესახებ პრობლემების კანონიკური სერია:

დავალება 3

ტელეფონის ნომრის აკრეფისას აბონენტს დაავიწყდა ბოლო ორი ციფრი, მაგრამ ახსოვს, რომ ერთი არის ნული, მეორე კი კენტი. იპოვეთ ალბათობა, რომ მან აკრიფოს სწორი ნომერი.

შენიშვნა : ნული არის ლუწი რიცხვი (ნაშთის გარეშე იყოფა 2-ზე)

გადაწყვეტილება: ჯერ იპოვნეთ შედეგების საერთო რაოდენობა. პირობით, აბონენტს ახსოვს, რომ ერთი ციფრი არის ნული, ხოლო მეორე ციფრი კენტი. აქ უფრო რაციონალურია არ ვიყოთ უფრო გონიერი კომბინატორიკით და ხმარებით შედეგების პირდაპირი ჩამოთვლა . ანუ გადაწყვეტილების მიღებისას ჩვენ უბრალოდ ვწერთ ყველა კომბინაციას:
01, 03, 05, 07, 09
10, 30, 50, 70, 90

და ჩვენ მათ ვითვლით - ჯამში: 10 შედეგი.

არსებობს მხოლოდ ერთი ხელსაყრელი შედეგი: სწორი რიცხვი.

კლასიკური განმარტების მიხედვით:
არის იმის ალბათობა, რომ აბონენტმა აკრიფოს სწორი ნომერი

უპასუხე: 0,1

ალბათობის თეორიაში ათწილადი წილადები საკმაოდ სათანადოდ გამოიყურება, მაგრამ თქვენ ასევე შეგიძლიათ მიჰყვეთ ვიშმატოვის ტრადიციულ სტილს, რომელიც მოქმედებს მხოლოდ ჩვეულებრივი წილადებით.

გაფართოებული დავალება დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის:

დავალება 4

აბონენტს დაავიწყდა SIM ბარათის პინ-კოდი, მაგრამ ახსოვს, რომ ის შეიცავს სამ "ხუთს" და ერთ-ერთი ნომერი არის "შვიდი" ან "რვა". რა არის წარმატებული ავტორიზაციის ალბათობა პირველივე მცდელობისას?

აქ მაინც შეგიძლიათ განავითაროთ იდეა იმის შესახებ, რომ აბონენტი ელოდება სასჯელს ფარტის კოდის სახით, მაგრამ, სამწუხაროდ, მსჯელობა უკვე სცილდება ამ გაკვეთილის ფარგლებს.

გამოსავალი და პასუხი ქვემოთ.

ზოგჯერ კომბინაციების ჩამოთვლა ძალიან შრომატევადი ამოცანაა. კერძოდ, ასეა პრობლემების მომდევნო, არანაკლებ პოპულარულ ჯგუფში, სადაც ისვრის 2 კამათელი (ნაკლებად ხშირად - მეტი):

დავალება 5

იპოვეთ ალბათობა, რომ როდესაც ორი კამათელი ისროლება, ჯამი იქნება:

ა) ხუთი ქულა
ბ) არაუმეტეს ოთხი ქულისა;
გ) 3-დან 9 ქულის ჩათვლით.

გადაწყვეტილება: იპოვნეთ შედეგების საერთო რაოდენობა:

გზები შეიძლება ჩამოაგდეს პირისპირ 1st Die დამე-2 სასიკვდილოდ სახე შეიძლება ამოვარდეს; on კომბინირებული გამრავლების წესი, სულ: შესაძლო კომბინაციები. Სხვა სიტყვებით, თითოეული 1-ლი კუბის სახე შეიძლება იყოს მოწესრიგებულიწყვილი თითოეულთან ერთადმე-2 კუბის სახე. ჩვენ ვეთანხმებით, რომ დავწეროთ ასეთი წყვილი ფორმაში, სადაც არის რიცხვი, რომელიც დაეცა 1-ელ დიზელზე, არის რიცხვი, რომელიც დაეცა მე-2 დიზე. Მაგალითად:

- პირველზე 3 ქულა, მეორეზე 5 ქულა, ჯამური ქულა: 3 + 5 = 8;
- პირველზე 6 ქულა ამოვარდა, მეორეზე - 1 ქულა, ქულების ჯამი: 6 + 1 = 7;
- ორივე კამათელი დაგორა 2 ქულა, ჯამი: 2 + 2 = 4.

ცხადია, უმცირეს რაოდენობას იძლევა წყვილი, ხოლო ყველაზე დიდი ორი „ექვსი“.

ა) განვიხილოთ მოვლენა: - ორი კამათლის სროლისას 5 ქულა ამოვარდება. მოდით ჩამოვწეროთ და დავთვალოთ ამ მოვლენის სასარგებლო შედეგების რაოდენობა:

სულ: 4 ხელსაყრელი შედეგი. კლასიკური განმარტების მიხედვით:
არის სასურველი ალბათობა.

ბ) განვიხილოთ მოვლენა: - ამოვარდება არაუმეტეს 4 ქულა. ანუ 2, ან 3, ან 4 ქულა. ისევ ჩამოვთვლით და ვითვლით ხელსაყრელ კომბინაციებს, მარცხნივ ჩავწერ ქულების საერთო რაოდენობას, ხოლო ორწერტილის შემდეგ - შესაფერის წყვილებს:

სულ: 6 ხელსაყრელი კომბინაცია. ამრიგად:
- ალბათობა იმისა, რომ არაუმეტეს 4 ქულა ამოვარდეს.

გ) განვიხილოთ მოვლენა: - 3-დან 9 ქულამდე ამოვარდება ინკლუზიურად. აქ შეგიძლიათ სწორი გზის გავლა, მაგრამ ... რაღაც არ იგრძნობა. დიახ, რამდენიმე წყვილი უკვე ჩამოთვლილია წინა აბზაცებში, მაგრამ ჯერ კიდევ ბევრია გასაკეთებელი.

რა არის ამის საუკეთესო გზა? ასეთ შემთხვევებში შემოვლითი გზა რაციონალური გამოდის. განიხილეთ საპირისპირო მოვლენა: - 2 ან 10 ან 11 ან 12 ქულა ამოვარდება.

რა აზრი აქვს? საპირისპირო მოვლენას ხელს უწყობს წყვილების გაცილებით მცირე რაოდენობა:

სულ: 7 ხელსაყრელი შედეგი.

კლასიკური განმარტების მიხედვით:
- ალბათობა იმისა, რომ სამზე ნაკლები ან 9 ქულაზე მეტი ამოვარდეს.

გარდა პირდაპირი ჩამოთვლისა და შედეგების გაანგარიშებისა, სხვადასხვა კომბინაციური ფორმულები. და ისევ ეპიკური დავალება ლიფტის შესახებ:

დავალება 7

პირველ სართულზე მდებარე 20 სართულიანი კორპუსის ლიფტში 3 ადამიანი შევიდა. და წავიდეთ. იპოვეთ ალბათობა, რომ:

ა) გამოვლენ სხვადასხვა სართულზე
ბ) ორი გამოვა იმავე სართულზე;
გ) ყველა გამოვა იმავე სართულზე.

ჩვენი მომხიბლავი გაკვეთილი დასრულდა და ბოლოს, კიდევ ერთხელ, გირჩევთ, თუ არა გადაჭრას, მაშინ მაინც გაიგოთ დამატებითი ამოცანები ალბათობის კლასიკურ განმარტებაზე. როგორც აღვნიშნე, "ხელის ჩაყრაც" მნიშვნელოვანია!

კურსის შემდგომ - ალბათობის გეომეტრიული განსაზღვრებადა ალბათობათა შეკრებისა და გამრავლების თეორემებიდა ... წარმატებას მთავარი!

გადაწყვეტილებები და პასუხები:

დავალება 2: გადაწყვეტილება: 30 - 5 = 25 მაცივარს არანაირი დეფექტი არ აქვს.

არის ალბათობა იმისა, რომ შემთხვევით შერჩეულ მაცივარს არ აქვს დეფექტი.
უპასუხე :

დავალება 4: გადაწყვეტილება: იპოვნეთ შედეგების საერთო რაოდენობა:
გზები შეგიძლიათ აირჩიოთ ადგილი, სადაც საეჭვო ფიგურა მდებარეობს და თითოეულზეამ 4 ადგილიდან 2 ციფრი შეიძლება განთავსდეს (შვიდი ან რვა). კომბინაციების გამრავლების წესის მიხედვით, შედეგების საერთო რაოდენობა: .
გარდა ამისა, გამოსავალში შეგიძლიათ უბრალოდ ჩამოთვალოთ ყველა შედეგი (საბედნიეროდ, ბევრი მათგანი არ არის):
7555, 8555, 5755, 5855, 5575, 5585, 5557, 5558
არსებობს მხოლოდ ერთი ხელსაყრელი შედეგი (სწორი პინ კოდი).
ამრიგად, კლასიკური განმარტებით:
- ალბათობა იმისა, რომ აბონენტი ავტორიზებულია პირველ ცდაზე
უპასუხე :

დავალება 6: გადაწყვეტილება: იპოვნეთ შედეგების საერთო რაოდენობა:
გზებს შეუძლიათ რიცხვების 2 კამათელზე ჩამოგდება.

ა) განვიხილოთ მოვლენა: - ორი კამათლის სროლისას ქულების ნამრავლი შვიდის ტოლი იქნება. ამ მოვლენისთვის, ალბათობის კლასიკური განმარტების მიხედვით, არ არის ხელსაყრელი შედეგები:
, ე.ი. ეს მოვლენა შეუძლებელია.

ბ) განვიხილოთ მოვლენა: - ორი კამათლის სროლისას ქულების ნამრავლი იქნება მინიმუმ 20. ამ მოვლენას ხელს უწყობს შემდეგი შედეგები:

სულ: 8
კლასიკური განმარტების მიხედვით:
არის სასურველი ალბათობა.

გ) განიხილეთ საპირისპირო მოვლენები:
– ქულების ნამრავლი იქნება ლუწი;
– ქულების ნამრავლი იქნება კენტი.
მოდით ჩამოვთვალოთ ყველა ის შედეგი, რომელიც ხელს უწყობს მოვლენას:

სულ: 9 ხელსაყრელი შედეგი.
ალბათობის კლასიკური განმარტების მიხედვით:
საპირისპირო მოვლენები ქმნიან სრულ ჯგუფს, ასე რომ:
არის სასურველი ალბათობა.

უპასუხე :

დავალება 8: გადაწყვეტილება: გამოთვალეთ შედეგების საერთო რაოდენობა: 10 მონეტა შეიძლება ჩამოვარდეს.
სხვა გზა: 1-ლი მონეტა შეიძლება რაღაცნაირად დაეცეს დამე-2 მონეტა შეიძლება რაღაცნაირად დაეცეს და … დაროგორ შეიძლება დავარდეს მე-10 მონეტა. კომბინაციების გამრავლების წესის მიხედვით შეიძლება 10 მონეტა დაეცეს გზები.
ა) განვიხილოთ მოვლენა: - ყველა მონეტას თავები დაეცემა. ამ მოვლენას ხელს უწყობს ერთი შედეგი, ალბათობის კლასიკური განმარტების მიხედვით: .
ბ) განვიხილოთ მოვლენა: - 9 მონეტა ამოვა თავში, ერთი კი კუდი.
არის მონეტები, რომლებსაც შეუძლიათ კუდები. ალბათობის კლასიკური განმარტების მიხედვით: .
გ) განვიხილოთ შემდეგი მოვლენა: - მონეტების ნახევარზე თავები დაეცემა.
არსებობს ხუთი მონეტის უნიკალური კომბინაციები, რომლებსაც შეუძლიათ თავები. ალბათობის კლასიკური განმარტების მიხედვით:
უპასუხე :

ალბათობამოვლენა არის ელემენტარული შედეგების რაოდენობის თანაფარდობა, რომელიც ხელს უწყობს მოცემულ მოვლენას გამოცდილების ყველა თანაბრად შესაძლო შედეგის რაოდენობასთან, რომელშიც ეს მოვლენა შეიძლება მოხდეს. A მოვლენის ალბათობა აღინიშნება P(A)-ით (აქ P არის ფრანგული სიტყვის probabilite - ალბათობის პირველი ასო). განმარტების მიხედვით
(1.2.1)
სად არის A მოვლენის სასარგებლო ელემენტარული შედეგების რაოდენობა; - გამოცდილების ყველა თანაბრად შესაძლო ელემენტარული შედეგის რაოდენობა, რომელიც ქმნის მოვლენათა სრულ ჯგუფს.
ალბათობის ამ განმარტებას კლასიკური ეწოდება. იგი წარმოიშვა ალბათობის თეორიის განვითარების საწყის ეტაპზე.

მოვლენის ალბათობას აქვს შემდეგი თვისებები:
1. გარკვეული მოვლენის ალბათობა უდრის ერთს. დავასახელოთ გარკვეული მოვლენა ასოებით. მაშასადამე, გარკვეული მოვლენისთვის
(1.2.2)
2. შეუძლებელი მოვლენის ალბათობა ნულის ტოლია. შეუძლებელ მოვლენას აღვნიშნავთ ასოთი. ამიტომ შეუძლებელი მოვლენისთვის
(1.2.3)
3. შემთხვევითი მოვლენის ალბათობა გამოიხატება ერთზე ნაკლები დადებითი რიცხვით. ვინაიდან უტოლობები , ან დაკმაყოფილებულია შემთხვევითი მოვლენისთვის, მაშინ
(1.2.4)
4. რაიმე მოვლენის ალბათობა აკმაყოფილებს უტოლობებს
(1.2.5)
ეს გამომდინარეობს ურთიერთობებიდან (1.2.2) -(1.2.4).

მაგალითი 1ურნა შეიცავს იმავე ზომის და წონის 10 ბურთულას, საიდანაც 4 წითელი და 6 ლურჯი. ურნადან ერთი ბურთი ამოღებულია. რა არის იმის ალბათობა, რომ დახატული ბურთი ლურჯი იყოს?

გადაწყვეტილება. მოვლენა „დახაზული ბურთი ცისფერი აღმოჩნდა“ აღინიშნება ასო A-თი. ამ ტესტს აქვს 10 თანაბრად შესაძლო ელემენტარული შედეგი, რომელთაგან 6 უპირატესობას ანიჭებს A მოვლენას. ფორმულის მიხედვით (1.2.1) ვიღებთ.

მაგალითი 2ყველა ნატურალური რიცხვი 1-დან 30-მდე იწერება იდენტურ ბარათებზე და მოთავსებულია ურნაში. კარტების საფუძვლიანად შერევის შემდეგ ერთი კარტი ამოღებულია ურნიდან. რა არის იმის ალბათობა, რომ გათამაშებულ ბარათზე რიცხვი 5-ის ჯერადი იყოს?

გადაწყვეტილება.აღნიშნეთ A-ით მოვლენა „აღებულ ბარათზე რიცხვი არის 5-ის ჯერადი“. ამ ტესტში არის 30 თანაბრად შესაძლო ელემენტარული შედეგი, საიდანაც 6 შედეგი ხელს უწყობს A მოვლენას (ნომრები 5, 10, 15, 20, 25, 30). აქედან გამომდინარე,

მაგალითი 3იყრება ორი კამათელი, გამოითვლება ქულების ჯამი ზედა სახეებზე. იპოვეთ B მოვლენის ალბათობა, რომელიც შედგება იმაში, რომ კუბების ზედა სახეებს ექნებათ სულ 9 ქულა.

გადაწყვეტილება.ამ ცდაში არის 6 2 = 36 თანაბრად შესაძლო ელემენტარული შედეგი. B მოვლენას ხელს უწყობს 4 შედეგი: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), ასე რომ

მაგალითი 4. შემთხვევით არჩეულია ნატურალური რიცხვი, რომელიც არ აღემატება 10-ს, რა არის ალბათობა, რომ ეს რიცხვი მარტივი იყოს?

გადაწყვეტილება.ასო C-ით აღნიშნეთ მოვლენა „არჩეული რიცხვი მარტივია“. ამ შემთხვევაში, n = 10, m = 4 (პირველი 2, 3, 5, 7). ამიტომ, სასურველი ალბათობა

მაგალითი 5გადაყრილია ორი სიმეტრიული მონეტა. რა არის იმის ალბათობა, რომ ორივე მონეტას აქვს ციფრები ზედა გვერდებზე?

გადაწყვეტილება.ასო D-ით ავღნიშნოთ მოვლენა „თითო მონეტის ზედა მხარეს იყო რიცხვი“. ამ ტესტში არის 4 თანაბრად შესაძლო ელემენტარული შედეგი: (G, G), (G, C), (C, G), (C, C). (აღნიშვნა (G, C) ნიშნავს, რომ პირველ მონეტაზე არის გერბი, მეორეზე - რიცხვი). მოვლენა D ხელს უწყობს ერთი ელემენტარული შედეგით (C, C). ვინაიდან m = 1, n = 4, მაშინ

მაგალითი 6რა არის იმის ალბათობა, რომ შემთხვევით არჩეულ ორნიშნა რიცხვში ციფრები ერთნაირი იყოს?

გადაწყვეტილება.ორნიშნა რიცხვები არის 10-დან 99-მდე რიცხვები; სულ ასეთი რიცხვია 90. 9 რიცხვს ერთნაირი ციფრი აქვს (ეს არის რიცხვები 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). ვინაიდან ამ შემთხვევაში m = 9, n = 90, მაშინ
,
სადაც A არის "რიცხვი იგივე ციფრებით" მოვლენა.

მაგალითი 7სიტყვის ასოებიდან დიფერენციალურიერთი ასო არჩეულია შემთხვევით. რა არის ალბათობა იმისა, რომ ეს ასო იქნება: ა) ხმოვანი ბ) თანხმოვანი გ) ასო თ?

გადაწყვეტილება. სიტყვა დიფერენციალში 12 ასოა, საიდანაც 5 ხმოვანია და 7 თანხმოვანი. წერილები თეს სიტყვა არა. ავღნიშნოთ მოვლენები: ა – „ხმოვანი“, ბ – „თანხმოვანი“, გ – „ასო თ". ხელსაყრელი ელემენტარული შედეგების რაოდენობა: - მოვლენისთვის A, - მოვლენისთვის B, - მოვლენისთვის C. მას შემდეგ, რაც n \u003d 12, მაშინ
, და .

მაგალითი 8იყრება ორი კამათელი, აღინიშნება ქულების რაოდენობა თითოეული კამათლის ზედა მხარეს. იპოვეთ ალბათობა, რომ ორივე კამათელს ქულების ერთნაირი რაოდენობა ჰქონდეს.

გადაწყვეტილება.მოდი ეს მოვლენა ავღნიშნოთ A ასოთი. A მოვლენას ხელს უწყობს 6 ელემენტარული შედეგი: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), ( 6; 6). საერთო ჯამში არის თანაბრად შესაძლო ელემენტარული შედეგები, რომლებიც ქმნიან მოვლენათა სრულ ჯგუფს, ამ შემთხვევაში n=6 2 =36. ასე რომ, სასურველი ალბათობა

მაგალითი 9წიგნი 300 გვერდიანია. რა არის იმის ალბათობა, რომ შემთხვევით გახსნილ გვერდს ჰქონდეს მიმდევრობის ნომერი, რომელიც არის 5-ის ჯერადი?

გადაწყვეტილება.პრობლემის პირობებიდან გამომდინარეობს, რომ იქნება n = 300 ყველა თანაბრად შესაძლო ელემენტარული შედეგიდან, რომელიც ქმნის მოვლენათა სრულ ჯგუფს. აქედან m = 60 ხელს უწყობს მითითებული მოვლენის წარმოქმნას. მართლაც, რიცხვს, რომელიც არის 5-ის ნამრავლი, აქვს 5k ფორმა, სადაც k არის ნატურალური რიცხვი და, საიდანაც . აქედან გამომდინარე,
, სადაც A - "გვერდი" მოვლენას აქვს მიმდევრობის ნომერი, რომელიც არის 5"-ის ჯერადი.

მაგალითი 10. იყრება ორი კამათელი, გამოითვლება ქულების ჯამი ზედა სახეებზე. რა არის უფრო სავარაუდო, რომ მიიღოთ სულ 7 ან 8?

გადაწყვეტილება. დავნიშნოთ მოვლენები: A - "7 ქულა ამოვარდა", B - "8 ქულა ამოვარდა". A მოვლენას ხელს უწყობს 6 ელემენტარული შედეგი: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1) და მოვლენა B - 5 შედეგი: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). არის n = 6 2 = 36 ყველა თანაბრად შესაძლო ელემენტარული შედეგიდან. და .

ასე რომ, P(A)>P(B), ანუ 7 ქულის მიღება უფრო სავარაუდო მოვლენაა, ვიდრე 8 ქულის მიღება.

Დავალებები

1. შემთხვევით არჩეულია ნატურალური რიცხვი, რომელიც არ აღემატება 30-ს, რა არის ალბათობა, რომ ეს რიცხვი იყოს 3-ის ნამრავლი?
2. ურნაში აწითელი და ბიგივე ზომისა და წონის ლურჯი ბურთები. რა არის იმის ალბათობა, რომ ამ ურნადან შემთხვევით გამოყვანილი ბურთი ლურჯი იყოს?
3. შემთხვევით არჩეულია რიცხვი, რომელიც არ აღემატება 30-ს, რა არის ალბათობა, რომ ეს რიცხვი იყოს zo-ს გამყოფი?
4. ურნაში ალურჯი და ბიგივე ზომისა და წონის წითელი ბურთები. ერთი ბურთი ამოღებულია ამ ურნადან და დგას განზე. ეს ბურთი წითელია. შემდეგ ურნადან კიდევ ერთი ბურთი ამოღებულია. იპოვეთ ალბათობა, რომ მეორე ბურთიც წითელი იყოს.
5. შემთხვევით არჩეულია ნატურალური რიცხვი, რომელიც არ აღემატება 50-ს, რა არის ალბათობა, რომ ეს რიცხვი იყოს მარტივი?
6. იყრება სამი კამათელი, გამოითვლება ქულების ჯამი ზედა სახეებზე. რა არის უფრო სავარაუდო - სულ 9 თუ 10 ქულის მიღება?
7. იყრება სამი კამათელი, გამოითვლება ჩამოგდებული ქულების ჯამი. რა არის უფრო სავარაუდო, რომ მიიღოთ ჯამში 11 (მოვლენა A) ან 12 ქულა (მოვლენა B)?

პასუხები

1. 1/3. 2 . ბ/(ა+ბ). 3 . 0,2. 4 . (ბ-1)/(ა+ბ-1). 5 .0,3.6 . p 1 \u003d 25/216 - საერთო ჯამში 9 ქულის მიღების ალბათობა; p 2 \u003d 27/216 - საერთო ჯამში 10 ქულის მიღების ალბათობა; p2 > p1 7 . P(A) = 27/216, P(B) = 25/216, P(A) > P(B).

კითხვები

1. რას ჰქვია მოვლენის ალბათობა?
2. რა არის გარკვეული მოვლენის ალბათობა?
3. რა არის შეუძლებელი მოვლენის ალბათობა?
4. რა არის შემთხვევითი მოვლენის ალბათობის საზღვრები?
5. რა არის რაიმე მოვლენის ალბათობის საზღვრები?
6. ალბათობის რომელ განმარტებას ეწოდება კლასიკური?

ალბათობის თეორიის საფუძვლები

Გეგმა:

1. შემთხვევითი მოვლენები

2. ალბათობის კლასიკური განმარტება

3. მოვლენათა ალბათობების და კომბინატორიკის გამოთვლა

4. გეომეტრიული ალბათობა

თეორიული ინფორმაცია

შემთხვევითი მოვლენები.

შემთხვევითი ფენომენი- ფენომენი, რომლის შედეგიც ცალსახად არის განსაზღვრული. ამ კონცეფციის ინტერპრეტაცია შეიძლება საკმაოდ ფართო გაგებით. კერძოდ: ბუნებაში ყველაფერი სრულიად შემთხვევითია, ნებისმიერი ინდივიდის გამოჩენა და დაბადება შემთხვევითი მოვლენაა, მაღაზიაში საქონლის არჩევა ასევე შემთხვევითი მოვლენაა, გამოცდაზე ნიშნის მიღება შემთხვევითი მოვლენაა, ავადმყოფობა და გამოჯანმრთელება – შემთხვევითი. ფენომენები და ა.შ.

შემთხვევითი ფენომენების მაგალითები:

~ სროლა ხორციელდება ჰორიზონტის მიმართ მოცემული კუთხით დაყენებული იარაღიდან. სამიზნეზე მისი დარტყმა შემთხვევითია, მაგრამ ჭურვის დარტყმა გარკვეულ „ჩანგალში“ ნიმუშია. თქვენ შეგიძლიათ მიუთითოთ მანძილი უფრო ახლოს, ვიდრე და რომლის მიღმაც ჭურვი არ გაფრინდება. მიიღეთ "ჭურვების ჩანგალი დისპერსიული"

~ ერთი და იგივე სხეული რამდენჯერმე იწონება. მკაცრად რომ ვთქვათ, ყოველ ჯერზე სხვადასხვა შედეგი მიიღება, თუმცა განსხვავდება უმნიშვნელო რაოდენობით, მაგრამ განსხვავებული.

~ თვითმფრინავს, რომელიც დაფრინავს იმავე მარშრუტზე, აქვს გარკვეული ფრენის დერეფანი, რომლის ფარგლებშიც თვითმფრინავს შეუძლია მანევრირება, მაგრამ მას არასოდეს ექნება ზუსტად იგივე მარშრუტი.

~ სპორტსმენი ვერასოდეს შეძლებს იმავე დისტანციის გაშვებას ერთსა და იმავე დროს. მისი შედეგები ასევე იქნება გარკვეული რიცხვითი დიაპაზონის ფარგლებში.

გამოცდილება, ექსპერიმენტი, დაკვირვება ტესტებია

სასამართლო პროცესი- პირობების გარკვეული ნაკრების დაკვირვება ან შესრულება, რომლებიც შესრულებულია განმეორებით და რეგულარულად მეორდება ამ და იმავე თანმიმდევრობით, ხანგრძლივობით, სხვა იდენტური პარამეტრების დაცვით.

განვიხილოთ სპორტსმენის მიერ მიზანზე დარტყმის შესრულება. მისი წარმოებისთვის აუცილებელია ისეთი პირობების შესრულება, როგორიცაა სპორტსმენის მომზადება, იარაღის დატენვა, დამიზნება და ა.შ. „დარტყმა“ და „გამოტოვება“ არის გასროლის შედეგად მიღებული მოვლენები.

ღონისძიება- ხარისხობრივი ტესტის შედეგი.

მოვლენა შეიძლება მოხდეს ან არ მოხდეს მოვლენები აღინიშნება დიდი ლათინური ასოებით. მაგალითად: D ="მსროლელმა მიზანში მოხვდა". S="დახატული თეთრი ბურთი". K="ლატარიის შემთხვევითი ბილეთი მოგების გარეშე.".

მონეტის სროლა გამოცდაა. მისი "გერბის" დაცემა ერთი მოვლენაა, მისი "ნომრის" დაცემა მეორე მოვლენაა.

ნებისმიერი ტესტი მოიცავს რამდენიმე მოვლენის წარმოქმნას. ზოგიერთი მათგანი შეიძლება საჭირო გახდეს მკვლევარს მოცემულ დროს, ზოგი კი არ იყოს საჭირო.

მოვლენას შემთხვევითი ეწოდება, თუ გარკვეული პირობების განხორციელებისას სეს შეიძლება მოხდეს ან არ მოხდეს. შემდგომში იმის ნაცვლად, რომ ვთქვათ „S პირობების ნაკრები შესრულებულია“, მოკლედ ვიტყვით: „ტესტი ჩატარდა“. ამრიგად, ღონისძიება ჩაითვლება ტესტის შედეგად.

~ მსროლელი ისვრის ოთხ ზონად დაყოფილ სამიზნეს. გასროლა არის ტესტი. სამიზნის გარკვეულ ზონაში დარტყმა მოვლენაა.

~ ურნაში ფერადი ბურთებია. ურნადან შემთხვევით ამოღებულია ერთი ბურთი. ურნადან ბურთის ამოღება გამოცდაა. გარკვეული ფერის ბურთის გამოჩენა მოვლენაა.

შემთხვევითი მოვლენების სახეები

1. ნათქვამია, რომ მოვლენები შეუთავსებელიათუ ერთი მათგანის დადგომა გამორიცხავს იმავე სასამართლო პროცესზე სხვა მოვლენების დადგომას.

~ ნაწილი შემთხვევით იქნა აღებული ყუთიდან ნაწილებით. სტანდარტული ნაწილის გამოჩენა გამორიცხავს არასტანდარტული ნაწილის გამოჩენას. მოვლენები € სტანდარტული ნაწილი გამოჩნდა" და არასტანდარტული ნაწილი გამოჩნდა" - შეუთავსებელი.

~ მონეტა ისროლეს. „გერბის“ გარეგნობა გამორიცხავს წარწერის გარეგნობას. მოვლენები „გამოჩნდა გერბი“ და „გაჩნდა წარწერა“ შეუთავსებელია.

რამდენიმე მოვლენა იქმნება სრული ჯგუფი,თუ ერთი მათგანი მაინც გამოჩნდება ტესტის შედეგად. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, სრული ჯგუფის ერთ-ერთი მოვლენის დადგომა არის გარკვეული მოვლენა.

კერძოდ, თუ მოვლენები, რომლებიც ქმნიან სრულ ჯგუფს, წყვილში შეუთავსებელია, მაშინ ტესტის შედეგად გამოჩნდება ამ მოვლენებიდან მხოლოდ ერთი, ეს განსაკუთრებული შემთხვევა ჩვენთვის ყველაზე მეტად საინტერესოა, რადგან იგი გამოიყენება ქვემოთ.

~ შეძენილია ფულისა და ტანსაცმლის ლატარიის ორი ბილეთი. ერთი და მხოლოდ ერთი შემდეგი მოვლენა უნდა მოხდეს:

1. "მოგება დაეცა პირველ ბილეთზე და არ დაეცა მეორეზე",

2. "მოგება არ დაეცა პირველ ბილეთზე და დაეცა მეორეზე",

3. "მოგება დაეცა ორივე ბილეთზე",

4. „ორივე ბილეთმა არ მოიგო“.

ეს მოვლენები ქმნიან წყვილით შეუთავსებელი მოვლენების სრულ ჯგუფს,

~ მსროლელმა მიზანს ესროლა. შემდეგი ორი მოვლენადან ერთ-ერთი აუცილებლად მოხდება: დარტყმა, გაშვება. ეს ორი განსხვავებული მოვლენა ასევე ქმნის სრულ ჯგუფს.

2. ღონისძიებები ე.წ თანაბრად შესაძლებელიათუ არსებობს საფუძველი იმის დასაჯერებლად, რომ არცერთი არ არის უფრო შესაძლებელი ვიდრე მეორე.

~ „გერბის“ გამოჩენა და წარწერის გამოჩენა მონეტის სროლისას თანაბრად შესაძლო მოვლენაა. მართლაც, ვარაუდობენ, რომ მონეტა დამზადებულია ერთგვაროვანი მასალისგან, აქვს რეგულარული ცილინდრული ფორმა და მონეტის არსებობა არ ახდენს გავლენას მონეტის ამა თუ იმ მხარის დაკარგვაზე.

~ დაყრილ კამათელზე ქულების ამა თუ იმ რაოდენობის გამოჩენა თანაბრად სავარაუდო მოვლენაა. მართლაც, ვარაუდობენ, რომ კვარცხლბეკი დამზადებულია ერთგვაროვანი მასალისაგან, აქვს რეგულარული პოლიედრონის ფორმა და წერტილების არსებობა გავლენას არ ახდენს რაიმე სახის დაკარგვაზე.

3. ღონისძიება ე.წ ავთენტური,თუ ეს არ შეიძლება მოხდეს

4. ღონისძიება ე.წ არ არის სანდოთუ ეს არ შეიძლება მოხდეს.

5. ღონისძიება ე.წ საწინააღმდეგორომელიმე მოვლენას, თუ იგი შედგება მოცემული მოვლენის არ მომხდარისაგან. საპირისპირო მოვლენები არ არის თავსებადი, მაგრამ ერთი მათგანი აუცილებლად უნდა მოხდეს. საპირისპირო მოვლენებს ჩვეულებრივ უარყოფითად მოიხსენიებენ, ე.ი. ასოს ზემოთ ტირე წერია. მოვლენები საპირისპიროა: A და Ā; U და Ū და ა.შ. .

ალბათობის კლასიკური განმარტება

ალბათობა ალბათობის თეორიის ერთ-ერთი ძირითადი ცნებაა.

ამ კონცეფციის რამდენიმე განმარტება არსებობს. მოდით მივცეთ განმარტება, რომელსაც კლასიკური ეწოდება. შემდეგი, ჩვენ აღვნიშნავთ ამ განმარტების სუსტ მხარეებს და ვაძლევთ სხვა განმარტებებს, რომლებიც შესაძლებელს ხდის კლასიკური განმარტების ნაკლოვანებების დაძლევას.

განვიხილოთ სიტუაცია: ყუთში არის 6 იდენტური ბურთი, 2 წითელი, 3 ლურჯი და 1 თეთრი. ცხადია, ურნადან შემთხვევით ფერადი (ანუ წითელი ან ლურჯი) ბურთის დახატვის შესაძლებლობა უფრო დიდია, ვიდრე თეთრი ბურთის დახატვის შესაძლებლობა. ეს შესაძლებლობა შეიძლება ხასიათდებოდეს რიცხვით, რომელსაც ეწოდება მოვლენის ალბათობა (ფერადი ბურთის გამოჩენა).

ალბათობა- რიცხვი, რომელიც ახასიათებს მოვლენის დადგომის შესაძლებლობის ხარისხს.

განხილულ სიტუაციაში აღვნიშნავთ:

მოვლენა A = "ფერადი ბურთის ამოღება".

ტესტის თითოეულ შესაძლო შედეგს (ტესტი მოიცავს ურნადან ბურთის ამოღებას) ე.წ. ელემენტარული (შესაძლო) შედეგი და მოვლენა.ელემენტარული შედეგები შეიძლება აღინიშნოს ასოებით ქვემოთ ინდექსებით, მაგალითად: k 1 , k 2 .

ჩვენს მაგალითში არის 6 ბურთი, ამიტომ არის 6 შესაძლო შედეგი: გამოჩნდა თეთრი ბურთი; გამოჩნდა წითელი ბურთი; ლურჯი ბურთი გამოჩნდა და ა.შ. ადვილი მისახვედრია, რომ ეს შედეგები ქმნიან წყვილ-წყვილად შეუთავსებელი მოვლენების სრულ ჯგუფს (აუცილებლად გამოჩნდება მხოლოდ ერთი ბურთი) და ისინი თანაბრად სავარაუდოა (ბურთი ამოღებულია შემთხვევით, ბურთები ერთნაირი და საფუძვლიანად შერეულია).

ელემენტარულ შედეგებს, რომლებშიც ჩვენთვის საინტერესო მოვლენა ხდება, ჩვენ მოვუწოდებთ ხელსაყრელი შედეგებიეს ღონისძიება. ჩვენს მაგალითში ღონისძიება ხელსაყრელია მაგრამ(ფერადი ბურთის გამოჩენა) შემდეგი 5 შედეგი:

ამგვარად მოვლენა მაგრამდაფიქსირდა, თუ ერთი ხდება ტესტში, არ აქვს მნიშვნელობა რომელ ელემენტარულ შედეგებს ანიჭებს უპირატესობას მაგრამ.ეს არის ნებისმიერი ფერის ბურთის გარეგნობა, რომლის ყუთში 5 ცალია

ელემენტარული შედეგების განხილულ მაგალითში 6; საიდანაც 5 ემხრობა ღონისძიებას მაგრამ.აქედან გამომდინარე, P(A)= 5/6. ეს რიცხვი იძლევა ფერადი ბურთის გაჩენის შესაძლებლობის ხარისხს.

ალბათობის განმარტება:

მოვლენის ალბათობა აარის ამ მოვლენისთვის ხელსაყრელი შედეგების რაოდენობის თანაფარდობა ყველა თანაბრად შესაძლო შეუთავსებელი ელემენტარული შედეგის საერთო რაოდენობასთან, რომლებიც ქმნიან სრულ ჯგუფს.

P(A)=m/n ან P(A)=m: n, სადაც:

m არის ელემენტარული შედეგების რიცხვი, რომელიც ხელს უწყობს მაგრამ;

პ- ტესტის ყველა შესაძლო ელემენტარული შედეგის რაოდენობა.

აქ ვარაუდობენ, რომ ელემენტარული შედეგები შეუთავსებელია, თანაბრად სავარაუდოა და ქმნიან სრულ ჯგუფს.

ალბათობის განმარტებიდან გამომდინარეობს შემდეგი თვისებები:

1. გარკვეული მოვლენის ალბათობა უდრის ერთს.

მართლაც, თუ მოვლენა სანდოა, მაშინ ტესტის ყოველი ელემენტარული შედეგი ხელს უწყობს მოვლენას. Ამ შემთხვევაში m = nაქედან გამომდინარე p=1

2. შეუძლებელი მოვლენის ალბათობა ნულის ტოლია.

მართლაც, თუ მოვლენა შეუძლებელია, მაშინ სასამართლო პროცესის არც ერთი ელემენტარული შედეგი არ ემხრობა მოვლენას. ამ შემთხვევაში m=0, შესაბამისად p=0.

3.შემთხვევითი მოვლენის ალბათობა არის დადებითი რიცხვი ნულსა და ერთს შორის. 0ტ< n.

მომდევნო თემებში მოცემულია თეორემები, რომლებიც საშუალებას გაძლევთ, ზოგიერთი მოვლენის ცნობილი ალბათობიდან, იპოვოთ სხვა მოვლენების ალბათობა.

გაზომვა. მოსწავლეთა ჯგუფში 6 გოგონა და 4 ბიჭია. რა არის იმის ალბათობა, რომ შემთხვევით შერჩეული სტუდენტი იყოს გოგონა? ახალგაზრდა იქნება?

p dev = 6 / 10 = 0.6 p jun = 4 / 10 = 0.4

"ალბათობის" კონცეფცია ალბათობის თეორიის თანამედროვე მკაცრ კურსებში აგებულია სიმრავლე-თეორიულ საფუძველზე. მოდით შევხედოთ ამ მიდგომის ზოგიერთს.

დავუშვათ, რომ ტესტის შედეგად ხდება ერთი და მხოლოდ ერთი შემდეგი მოვლენა: w i(i=1, 2, .... n). Ივენთი w i, ეწოდება ელემენტარული მოვლენები (ელემენტარული შედეგები). ოაქედან გამომდინარეობს, რომ ელემენტარული მოვლენები წყვილში შეუთავსებელია. ყველა ელემენტარული მოვლენის ერთობლიობა, რომელიც შეიძლება გამოჩნდეს საცდელში, ეწოდება ღონისძიების ელემენტარული სივრცეΩ (ბერძნული ასო ომეგა კაპიტალი) და თავად ელემენტარული მოვლენები - წერტილები ამ სივრცეში..

ღონისძიება მაგრამიდენტიფიცირებულია ქვესიმრავლით (სივრცის Ω), რომლის ელემენტები არის ელემენტარული შედეგების სასარგებლოდ მაგრამ;ღონისძიება ATარის Ω ქვესიმრავლე, რომლის ელემენტები არის სასარგებლო შედეგები AT,ამგვარად, ყველა მოვლენის სიმრავლე, რომელიც შეიძლება მოხდეს ტესტში, არის Ω-ის ყველა ქვესიმრავლეების სიმრავლე. Ω თავად ხდება ტესტის ნებისმიერი შედეგისთვის, შესაბამისად Ω არის გარკვეული მოვლენა; Ω სივრცის ცარიელი ქვესიმრავლე არის -შეუძლებელი მოვლენა (ეს არ ხდება ტესტის რაიმე შედეგისთვის).

ელემენტარული მოვლენები ყველა მოვლენისგან გამოირჩევა თემებით, „თითოეული მათგანი შეიცავს მხოლოდ ერთ ელემენტს Ω

ყველა ელემენტარულ შედეგს w iემთხვევა დადებითი რიცხვი p iარის ამ შედეგის ალბათობა და ყველაფრის ჯამი p i 1-ის ტოლი ან ჯამის ნიშნით ეს ფაქტი გამოსახულებად ჩაიწერება:

განსაზღვრებით, ალბათობა P(A)ივენთი მაგრამუდრის ელემენტარული შედეგების უპირატესობის ალბათობების ჯამს მაგრამ.მაშასადამე, გარკვეული მოვლენის ალბათობა უდრის ერთს, შეუძლებელი - ნულის, თვითნებური - ნულსა და ერთს შორისაა.

განვიხილოთ მნიშვნელოვანი კონკრეტული შემთხვევა, როდესაც ყველა შედეგი თანაბრად სავარაუდოა.შედეგების რაოდენობა უდრის n-ს, ყველა შედეგის ალბათობათა ჯამი უდრის ერთს; აქედან გამომდინარე, თითოეული შედეგის ალბათობა არის 1/n. დაე, ღონისძიება მაგრამხელს უწყობს m შედეგებს.

მოვლენის ალბათობა მაგრამუდრის ხელსაყრელი შედეგების ალბათობების ჯამს მაგრამ:

P(A)=1/n + 1/n+…+1/n = n 1/n=1

მიღებულია ალბათობის კლასიკური განმარტება.

ჯერ კიდევ არსებობს აქსიომურიმიდგომა „ალბათობის“ ცნებისადმი. შემოთავაზებულ აქსიომების სისტემაში. კოლმოგოროვი A.N., განუსაზღვრელი ცნებები არის ელემენტარული მოვლენა და ალბათობა. ლოგიკურად სრული ალბათობის თეორიის აგება ეფუძნება შემთხვევითი მოვლენის აქსიომატიურ განსაზღვრებას და მის ალბათობას.

აქ არის აქსიომები, რომლებიც განსაზღვრავენ ალბათობას:

1. ყოველი ღონისძიება მაგრამმიენიჭა არაუარყოფითი რეალური რიცხვი P(A).ამ რიცხვს ეწოდება მოვლენის ალბათობა. მაგრამ.

2. გარკვეული მოვლენის ალბათობა უდრის ერთს:

3. წყვილთაგან ერთის მაინც შეუთავსებელი მოვლენის დადგომის ალბათობა უდრის ამ მოვლენების ალბათობათა ჯამს.

ამ აქსიომებზე დაყრდნობით, მათ შორის ურთიერთობის ალბათობების თვისებები გამოყვანილია თეორემებად.

მუნიციპალური საგანმანათლებლო დაწესებულება

გიმნაზია No6

თემაზე „ალბათობის კლასიკური განმარტება“.

დაასრულა მე-8 „ბ“ კლასის მოსწავლემ

კლიმატოვა ალექსანდრა.

მათემატიკის მასწავლებელი: ვიდენკინა V.A.

ვორონეჟი, 2008 წ

ბევრი თამაში იყენებს კამათელს. კვარცხლბეკს აქვს 6 სახე, თითოეულ სახეზე ქულების განსხვავებული რაოდენობაა მონიშნული - 1-დან 6-მდე. მოთამაშე აგდებს კალთს და უყურებს რამდენი ქულაა ჩამოვარდნილ სახეზე (სახეზე, რომელიც მდებარეობს ზევით). ხშირად კუდის კიდეზე წერტილებს ანაცვლებენ შესაბამისი რიცხვით და შემდეგ საუბრობენ 1, 2 ან 6-იან რულონზე. კუდის სროლა შეიძლება ჩაითვალოს გამოცდილებად, ექსპერიმენტად, გამოცდად და მიღებულ შედეგზე. არის ტესტის ან ელემენტარული მოვლენის შედეგი. ადამიანებს აინტერესებთ მოვლენის დაწყების გამოცნობა, მისი შედეგის პროგნოზირება. რა პროგნოზების გაკეთება შეუძლიათ მათ კამათლის გაშვებისას? მაგალითად, ესენი:

1. მოვლენა A - რიცხვი 1, 2, 3, 4, 5 ან 6 ამოვარდება;
2. მოვლენა B - რიცხვი 7, 8 ან 9 ამოვარდება;
3. მოვლენა C - რიცხვი 1 ამოვარდება.

მოვლენა A, რომელიც იწინასწარმეტყველა პირველ შემთხვევაში, აუცილებლად მოვა. ზოგადად, მოვლენას, რომელიც აუცილებლად მოხდება მოცემულ გამოცდილებაში, ეწოდება გარკვეული მოვლენა.

მოვლენა B, რომელიც იწინასწარმეტყველა მეორე შემთხვევაში, არასოდეს მოხდება, ეს უბრალოდ შეუძლებელია. ზოგადად, მოვლენას, რომელიც არ შეიძლება მოხდეს მოცემულ ექსპერიმენტში, ეწოდება შეუძლებელი მოვლენა.

მოხდება თუ არა მესამე შემთხვევაში ნაწინასწარმეტყველები მოვლენა C? ჩვენ არ შეგვიძლია ამ კითხვაზე პასუხის გაცემა სრული დარწმუნებით, რადგან 1 შეიძლება იყოს ან არა. მოვლენას, რომელიც მოცემულ გამოცდილებაში შეიძლება მოხდეს ან არ მოხდეს, ეწოდება შემთხვევითი მოვლენა.

გარკვეული მოვლენის დაწყებაზე ფიქრისას, ჩვენ დიდი ალბათობით არ გამოვიყენებთ სიტყვას "ალბათ". მაგალითად, თუ დღეს ოთხშაბათია, ხვალ არის ხუთშაბათი, ეს არის გარკვეული მოვლენა. ოთხშაბათს არ ვიტყვით: „ალბათ ხვალ ხუთშაბათია“, მოკლედ და გარკვევით ვიტყვით: „ხვალ ხუთშაბათია“. მართალია, თუ ჩვენ მიდრეკილნი ვართ ლამაზი ფრაზებისკენ, მაშინ შეგვიძლია ვთქვათ: "ასი პროცენტიანი ალბათობით ვამბობ, რომ ხვალ ხუთშაბათია". პირიქით, თუ დღეს ოთხშაბათია, ხვალინდელი დღის მოსვლა პარასკევია - შეუძლებელი მოვლენა. ოთხშაბათს ამ მოვლენის შეფასებისას შეგვიძლია ვთქვათ: „დარწმუნებული ვარ, რომ ხვალ პარასკევი არ არის“. ან ასე: „დაუჯერებელია, რომ ხვალ პარასკევია“. კარგი, თუ ჩვენ მიდრეკილნი ვართ ლამაზი ფრაზებისკენ, მაშინ შეგვიძლია ვთქვათ: ”ალბათობა, რომ ხვალ პარასკევია, ნულის ტოლია”. ასე რომ, გარკვეული მოვლენა არის მოვლენა, რომელიც ხდება მოცემულ პირობებში. 100% დარწმუნებით(ანუ მოდის 10 შემთხვევაში 10-დან, 100 შემთხვევაში 100-დან და ა.შ.). შეუძლებელი მოვლენა არის მოვლენა, რომელიც არასოდეს ხდება მოცემულ პირობებში, მოვლენა ნულოვანი ალბათობით.

მაგრამ, სამწუხაროდ (და შესაძლოა, საბედნიეროდ), ცხოვრებაში ყველაფერი ასე ნათელი და ნათელი არ არის: ეს ყოველთვის იქნება (გარკვეული მოვლენა), ეს არასოდეს მოხდება (შეუძლებელი მოვლენა). ყველაზე ხშირად, ჩვენ ვხვდებით შემთხვევით მოვლენებს, რომელთაგან ზოგიერთი უფრო სავარაუდოა, ზოგი ნაკლებად სავარაუდოა. ჩვეულებრივ, ადამიანები იყენებენ სიტყვებს "უფრო სავარაუდოა" ან "ნაკლებად სავარაუდო", როგორც ამბობენ, ახირებულად, ეყრდნობიან იმას, რასაც საღი აზრი ჰქვია. მაგრამ ძალიან ხშირად ასეთი შეფასებები არასაკმარისია, რადგან მნიშვნელოვანია იცოდეთ რამდენიპროცენტი სავარაუდოდ შემთხვევითი მოვლენაა ან რამდენჯერერთი შემთხვევითი მოვლენა უფრო სავარაუდოა, ვიდრე მეორე. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ჩვენ გვჭირდება ზუსტი რაოდენობრივიმახასიათებლები, თქვენ უნდა შეძლოთ ალბათობის დახასიათება რიცხვით.

ჩვენ უკვე გადავდგით პირველი ნაბიჯები ამ მიმართულებით. ჩვენ ვთქვით, რომ გარკვეული მოვლენის დადგომის ალბათობა ხასიათდება როგორც ასი პროცენტიდა შეუძლებელი მოვლენის დადგომის ალბათობა როგორც ნული. იმის გათვალისწინებით, რომ 100% უდრის 1-ს, ადამიანები შეთანხმდნენ შემდეგზე:

1. გარკვეული მოვლენის ალბათობა ითვლება ტოლი 1;
2. შეუძლებელი მოვლენის ალბათობა ითვლება ტოლი 0.

როგორ გამოვთვალოთ შემთხვევითი მოვლენის ალბათობა? ბოლოს და ბოლოს, ეს მოხდა შემთხვევით, რაც ნიშნავს, რომ ის არ ემორჩილება კანონებს, ალგორითმებს, ფორმულებს. გამოდის, რომ გარკვეული კანონები მოქმედებს შემთხვევითობის სამყაროში, რაც საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ ალბათობა. ეს არის მათემატიკის ფილიალი, რომელსაც ე.წ. ალბათობის თეორია.

მათემატიკა ეხება მოდელიჩვენს გარშემო არსებული რეალობის ზოგიერთი ფენომენი. ალბათობის თეორიაში გამოყენებული ყველა მოდელიდან ჩვენ შემოვიფარგლებით უმარტივესით.

კლასიკური ალბათური სქემა

ზოგიერთი ექსპერიმენტის დროს A მოვლენის ალბათობის დასადგენად, უნდა:

1) ამ ექსპერიმენტის ყველა შესაძლო შედეგის N რიცხვის პოვნა;

2) მიიღოს დაშვება, რომ ყველა ეს შედეგი თანაბრად სავარაუდოა (თანაბრად შესაძლებელია);

3) იპოვნეთ გამოცდილების იმ შედეგების N(A) რიცხვი, რომელშიც ხდება A მოვლენა;

4) იპოვნეთ პირადი ; ტოლი იქნება A მოვლენის ალბათობა.

ჩვეულებრივი მოვლენაა A მოვლენის ალბათობა P(A-ად) დანიშნოს. ამ აღნიშვნის ახსნა ძალიან მარტივია: სიტყვა "ალბათობა" ფრანგულად არის ალბათობა, ინგლისურად- ალბათობა.აღნიშვნაში გამოყენებულია სიტყვის პირველი ასო.

ამ ნოტაციის გამოყენებით, მოვლენის ალბათობა A კლასიკური სქემის მიხედვით შეიძლება მოიძებნოს ფორმულის გამოყენებით

P(A)=.

ხშირად მოცემული კლასიკური ალბათური სქემის ყველა პუნქტი გამოხატულია ერთი საკმაოდ გრძელი ფრაზით.

ალბათობის კლასიკური განმარტება

A მოვლენის ალბათობა გარკვეული ტესტის დროს არის შედეგების რაოდენობის თანაფარდობა, რის შედეგადაც ხდება მოვლენა A, ამ ტესტის ყველა თანაბრად შესაძლო შედეგის საერთო რაოდენობასთან.

მაგალითი 1. იპოვეთ ალბათობა, რომ კამათლის ერთ სროლაში: ა) 4; ბ) 5; გ) ქულების ლუწი რაოდენობა; დ) 4-ზე მეტი ქულების რაოდენობა; ე) ქულების რაოდენობა არა მრავლობითი სამი.

გადაწყვეტილება. საერთო ჯამში, არის N=6 შესაძლო შედეგი: კუბის პირის ჩამოგდება 1, 2, 3, 4, 5 ან 6-ის ტოლი ქულების რაოდენობით. მიგვაჩნია, რომ არცერთ მათგანს არ აქვს რაიმე უპირატესობა სხვებთან შედარებით. ანუ, ჩვენ ვეთანხმებით ამ შედეგების მსგავსების ვარაუდს.

ა) ზუსტად ერთ-ერთ შედეგში მოხდება ჩვენთვის საინტერესო მოვლენა A - 4 რიცხვის დაკარგვა. აქედან გამომდინარე, N (A) \u003d 1 და

პ(ა)= =.

ბ) ამოხსნა და პასუხი იგივეა რაც წინა აბზაცში.

გ) ჩვენთვის საინტერესო მოვლენა B მოხდება ზუსტად სამ შემთხვევაში, როდესაც ქულების რაოდენობა არის 2, 4 ან 6. აქედან გამომდინარე,

ნ(ბ)=3 დაპ(ბ)==.

დ) ჩვენთვის საინტერესო მოვლენა C მოხდება ზუსტად ორ შემთხვევაში, როდესაც ქულების რაოდენობა არის 5 ან 6. აქედან გამომდინარე,

ნ(C) =2 და P(C)=.

ე) შედგენილი ექვსი შესაძლო რიცხვიდან ოთხი (1, 2, 4 და 5) არ არის სამის ჯერადი, ხოლო დანარჩენი ორი (3 და 6) იყოფა სამზე. ეს ნიშნავს, რომ ჩვენთვის საინტერესო მოვლენა ხდება ზუსტად ექვსიდან ოთხში შესაძლო გამოცდილების და თანაბრად სავარაუდო შედეგებს შორის. ასე რომ, პასუხი არის.

პასუხი: ა); ბ) ; in) ; გ) ; ე).

რეალური სათამაშო კამათელი შეიძლება განსხვავდებოდეს იდეალური (მოდელის) კამათლისგან, ამიტომ, მისი ქცევის აღწერისთვის საჭიროა უფრო ზუსტი და დეტალური მოდელი, ერთი სახის უპირატესობების გათვალისწინებით, მაგნიტების შესაძლო არსებობის გათვალისწინებით და ა.შ. მაგრამ „ეშმაკი დეტალებშია“ და მეტი სიზუსტე უფრო მეტ სირთულეს იწვევს და პასუხის მიღება პრობლემად იქცევა. ჩვენ შემოვიფარგლებით უმარტივესი ალბათური მოდელის გათვალისწინებით, სადაც ყველა შესაძლო შედეგი თანაბრად სავარაუდოა.

შენიშვნა 1. განვიხილოთ კიდევ ერთი მაგალითი. დაისვა კითხვა: "რა არის ალბათობა, რომ მიიღოთ სამი ერთ რულონზე?" სტუდენტმა ასე უპასუხა: "ალბათობა არის 0,5". და მან განმარტა თავისი პასუხი: ”სამი ან ამოვარდება, ან არა. ეს ნიშნავს, რომ სულ ორი შედეგია და ზუსტად ერთ შემთხვევაში ხდება ჩვენთვის საინტერესო მოვლენა. კლასიკური ალბათური სქემის მიხედვით ვიღებთ პასუხს 0.5. არის თუ არა შეცდომა ამ მსჯელობაში? ერთი შეხედვით, არა. თუმცა, ის ჯერ კიდევ არსებობს და ფუნდამენტურ მომენტში. დიახ, მართლაც, სამეული ან ამოვარდება, ან არა, ანუ სროლის შედეგის ასეთი განმარტებით, N = 2. ასევე მართალია N(A)=1 და, რა თქმა უნდა, მართალია =0, 5, ანუ ალბათობის სქემის სამი წერტილია გათვალისწინებული, მაგრამ 2) პუნქტის შესრულება საეჭვოა. რა თქმა უნდა, წმინდა სამართლებრივი თვალსაზრისით, ჩვენ გვაქვს უფლება გვჯეროდეს, რომ სამეულის დაკარგვა თანაბრად სავარაუდოა. მაგრამ შეგვიძლია ასე ვიფიქროთ სახეების „ერთგვაროვნების“ შესახებ საკუთარი ბუნებრივი ვარაუდების დარღვევის გარეშე? Რათქმაუნდა არა! აქ საქმე გვაქვს რაღაც მოდელის ფარგლებში სწორ მსჯელობასთან. მხოლოდ ეს მოდელი არის "მცდარი", არ შეესაბამება რეალურ ფენომენს.

შენიშვნა 2. ალბათობაზე მსჯელობისას მხედველობიდან არ დაკარგოთ შემდეგი მნიშვნელოვანი გარემოება. თუ ჩვენ ვიტყვით, რომ ჯაგრისის სროლისას ერთი ქულის მიღების ალბათობა უდრის , ეს სულაც არ ნიშნავს იმას, რომ ჯაგრისის 6-ჯერ გადახვევით ზუსტად ერთხელ მიიღებთ ერთ ქულას, 12-ჯერ გადაგდებით. აიღე ერთი ქულა ზუსტად ორჯერ, 18-ჯერ გადახვევით ერთ ქულას მიიღებ ზუსტად სამჯერ და ა.შ. სიტყვა ალბათ სპეკულაციურია. ჩვენ ვვარაუდობთ, რომ ეს სავარაუდოდ მოხდება. ალბათ 600-ჯერ რომ გავაბრტყელოთ, ერთი წერტილი ამოვა 100-ჯერ, ანუ დაახლოებით 100.

ალბათობის თეორია წარმოიშვა მე-17 საუკუნეში სხვადასხვა აზარტული თამაშების გაანალიზებისას. ამიტომ გასაკვირი არ არის, რომ პირველი მაგალითები სათამაშო ხასიათისაა. კამათლის მაგალითებიდან გადავიდეთ გემბანიდან სათამაშო ბანქოს შემთხვევით გათამაშებაზე.

მაგალითი 2. 36 ბანქოსგან შემდგარი გემბანიდან, შემთხვევით 3 კარტი დგება ერთდროულად. რა არის იმის ალბათობა, რომ მათ შორის ყვავი დედოფალი არ იყოს?

გადაწყვეტილება. ჩვენ გვაქვს 36 ელემენტისგან შემდგარი ნაკრები. ჩვენ ვირჩევთ სამ ელემენტს, რომელთა თანმიმდევრობა არ არის მნიშვნელოვანი. აქედან გამომდინარე, შესაძლებელია N=C შედეგების მიღება. ჩვენ ვიმოქმედებთ კლასიკური ალბათური სქემის მიხედვით, ანუ ვივარაუდებთ, რომ ყველა ეს შედეგი თანაბრად სავარაუდოა.

რჩება საჭირო ალბათობის გამოთვლა კლასიკური განმარტების მიხედვით:

და რა არის იმის ალბათობა, რომ არჩეულ სამ კარტს შორის იყოს ყვავი დედოფალი? ყველა ასეთი შედეგის რიცხვის გამოთვლა რთული არ არის, თქვენ უბრალოდ უნდა გამოვაკლოთ ყველა N შედეგს ყველა ის შედეგი, რომლებშიც არ არის ყვავი დედოფალი, ანუ გამოკლოთ N(A) რიცხვი, რომელიც ნაპოვნია მაგალითში 3. მაშინ ეს განსხვავება N-N(A) კლასიკური ალბათური სქემის მიხედვით უნდა გაიყოს N-ზე. აი რას მივიღებთ:

ჩვენ ვხედავთ, რომ არსებობს გარკვეული კავშირი ორი მოვლენის ალბათობას შორის. თუ მოვლენა A მოიცავს ყვავი დედოფლის არყოფნას, ხოლო მოვლენა B შედგება მისი ყოფნა არჩეულ სამ კარტს შორის, მაშინ

P (B) \u003d 1 - P (A),

P(A)+P(B)=1.

სამწუხაროდ, ტოლობაში P(A)+P(B)=1 არ არის ინფორმაცია A და B მოვლენების ურთიერთკავშირის შესახებ; ეს კავშირი უნდა გვახსოვდეს. უფრო მოსახერხებელი იქნება B მოვლენას წინასწარ მივცეთ სახელი და აღნიშვნა, რაც ნათლად მიუთითებს მის კავშირზე A-სთან.

განმარტება 1. მოვლენა Bდაურეკა მოვლენის საპირისპიროდ Aდა აღვნიშნავთ B=Ā თუ მოვლენა B ხდება მაშინ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მოვლენა A არ ხდება.

თთეორემა 1. საპირისპირო მოვლენის ალბათობის საპოვნელად, გამოვაკლოთ თვით მოვლენის ალბათობა ერთიანობას: Р(Ā)= 1—Р(А). Ნამდვილად,

პრაქტიკაში, ისინი ითვლიან, რისი პოვნა უფრო ადვილია: ან P(A) ან P(Ā). ამის შემდეგ ისინი იყენებენ ფორმულას თეორემიდან და პოულობენ, შესაბამისად, P(Ā)= 1-P(A), ან P(A)= 1-P(Ā).

ხშირად გამოიყენება კონკრეტული პრობლემის გადაჭრის მეთოდი „შემთხვევათა დათვლა“, როდესაც პრობლემის პირობები იყოფა ურთიერთგამომრიცხავ შემთხვევებად, რომელთაგან თითოეული განიხილება ცალკე. მაგალითად, „მარჯვნივ რომ მიდიხარ, ცხენს დაკარგავ, თუ პირდაპირ მიდიხარ, პრობლემას ალბათობის თეორიის მიხედვით მოაგვარებ, თუ მარცხნივ...“. ან y=│x+1│—│2x—5│ ფუნქციის გამოსახვისას განიხილეთ x-ის შემთხვევები

მაგალითი 3. 50 წერტილიდან 17 ლურჯად და 13 ნარინჯისფერია. იპოვნეთ შემთხვევით შერჩეული წერტილის დაჩრდილვის ალბათობა.

გადაწყვეტილება. საერთო ჯამში, 50-დან 30 ქულა დაჩრდილულია, შესაბამისად, ალბათობა = 0,6.

პასუხი: 0.6.

თუმცა, მოდით, უფრო ახლოს მივხედოთ ამ მარტივ მაგალითს. მოვლენა A იყოს ის, რომ არჩეული წერტილი არის ლურჯი, და მოვლენა B იყოს ის, რომ არჩეული წერტილი არის ნარინჯისფერი. კონვენციის თანახმად, მოვლენები A და B არ შეიძლება მოხდეს ერთდროულად.

ჩვენთვის საინტერესო მოვლენას C ასოთი აღვნიშნავთ. მოვლენა C ხდება თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ ეს მოხდება მინიმუმ ერთი მოვლენა A ან B. ნათელია, რომ N(C)= N(A)+N(B).

ამ ტოლობის ორივე მხარე გავყოთ N-ზე, მოცემული ექსპერიმენტის ყველა შესაძლო შედეგის რაოდენობაზე; ვიღებთ

ჩვენ გავაანალიზეთ მნიშვნელოვანი და ხშირად წარმოქმნილი სიტუაცია მარტივი მაგალითის გამოყენებით. მისთვის განსაკუთრებული სახელია.

განმარტება 2. მოვლენები A და B ეწოდება შეუთავსებელითუ ისინი არ შეიძლება მოხდეს ერთდროულად.

თეორემა 2. ორი შეუთავსებელი მოვლენის მინიმუმ ერთის დადგომის ალბათობა მათი ალბათობების ჯამის ტოლია.

ამ თეორემის მათემატიკურ ენაზე თარგმნისას საჭირო ხდება რაიმე სახის მოვლენის დასახელება და დანიშვნა, რომელიც შედგება ორი მოცემული მოვლენიდან A და B-დან მინიმუმ ერთის დადგომაში. ასეთ მოვლენას ეწოდება A და B მოვლენების ჯამი და აღინიშნება A+B.

თუ A და B შეუთავსებელია, მაშინ P(A+B)= P(A)+P(B).

Ნამდვილად,

A და B მოვლენების შეუთავსებლობა შეიძლება მოხერხებულად იყოს ილუსტრირებული ფიგურით. თუ გამოცდილების ყველა შედეგი არის პუნქტების გარკვეული ნაკრები ფიგურაში, მაშინ მოვლენები A და B არის რამდენიმე მოცემული სიმრავლის ქვესიმრავლეები. A და B-ის შეუთავსებლობა ნიშნავს, რომ ეს ორი ქვესიმრავლე არ იკვეთება. შეუთავსებელი მოვლენების ტიპიური მაგალითია ნებისმიერი მოვლენა A და საპირისპირო მოვლენა Ā.

რა თქმა უნდა, ეს თეორემა მართებულია სამი, ოთხი და ნებისმიერი სასრული რაოდენობის წყვილთა შორის შეუთავსებელი მოვლენებისთვის. ნებისმიერი რაოდენობის წყვილი შეუთავსებელი მოვლენების ჯამის ალბათობა უდრის ამ მოვლენების ალბათობების ჯამს.ეს მნიშვნელოვანი განცხადება ზუსტად შეესაბამება პრობლემის გადაჭრის მეთოდს „შემთხვევათა დათვლა“.

მოვლენებს შორის, რომლებიც წარმოიქმნება გარკვეული გამოცდილების შედეგად და ამ მოვლენების ალბათობას შორის, შეიძლება არსებობდეს გარკვეული ურთიერთობები, დამოკიდებულებები, კავშირები და ა.შ. მაგალითად, მოვლენები შეიძლება "დამატებული" და შეუთავსებლობის ჯამის ალბათობა მოვლენები უდრის მათი ალბათობების ჯამს.

დასასრულს განვიხილავთ შემდეგ ფუნდამენტურ კითხვას: შესაძლებელია თუ არა დაამტკიცოს, რომ მონეტის ერთ ჩაგდებაში „კუდების“ მიღების ალბათობა უდრის

პასუხი უარყოფითია. ზოგადად რომ ვთქვათ, თავად კითხვა არ არის სწორი, სიტყვა „დამტკიცოს“ ზუსტი მნიშვნელობა გაუგებარია. ჩვენ ხომ ყოველთვის რაღაცას რაღაცის ჩარჩოებში ვამტკიცებთ მოდელები, რომელშიც უკვე ცნობილია წესები, კანონები, აქსიომები, ფორმულები, თეორემები და ა.შ. თუ საუბარია წარმოსახვით, „იდეალურ“ მონეტაზე, მაშინ ამიტომაც ითვლება ის იდეალურად, რადგან, ა-პრიორიტეტი, თავების მიღების ალბათობა უდრის თავების მიღების ალბათობას. და, პრინციპში, შეგვიძლია განვიხილოთ მოდელი, რომელშიც "კუდების" დაცემის ალბათობა ორჯერ მეტია, ვიდრე "არწივის" დაცემის ალბათობა, ან სამჯერ ნაკლები და ა.შ. მაშინ ჩნდება კითხვა: რა მიზეზით ვირჩევთ. მონეტის ამობრუნების სხვადასხვა შესაძლო მოდელიდან ერთი, რომელშიც სროლის ორივე შედეგი თანაბრად სავარაუდოა?

სრულიად ფრონტალური პასუხია: "მაგრამ ჩვენთვის ეს უფრო ადვილია, უფრო ნათელი და ბუნებრივია!" მაგრამ არსებობს უფრო არსებითი არგუმენტებიც. ისინი პრაქტიკიდან მოდის. ალბათობის თეორიის სახელმძღვანელოების აბსოლუტურ უმრავლესობაში მოცემულია ფრანგი ნატურალისტი ჯ. ბუფონი (მე-18 საუკუნე) და ინგლისელი მათემატიკოსი-სტატისტიკოსი კ. პირსონი (მე-19 საუკუნის ბოლოს), რომლებმაც ესროლა მონეტა, შესაბამისად, 4040 და 24000-ჯერ და დათვალა ჩამოვარდნილი „არწივების“ ან „კუდების“ რაოდენობა. მათი "კუდები" ამოვარდა, შესაბამისად, 1992 და 11998 ჯერ. თუ ითვლი ვარდნის სიხშირე"კუდები", მაშინ მიიღებთ = = 0.493069 ... ბუფონისთვის და = 0.4995 პირსონისთვის. ბუნებრივად წარმოიქმნება ვარაუდირომ მონეტის სროლის რაოდენობის შეუზღუდავი მატებასთან ერთად „კუდების“ დაცემის სიხშირე, ასევე „არწივების“ დაცემის სიხშირე სულ უფრო და უფრო მიუახლოვდება 0,5-ს. სწორედ ეს ვარაუდი, რომელიც ეფუძნება პრაქტიკულ მონაცემებს, არის საფუძველი თანაბარი შედეგების მქონე მოდელის არჩევისთვის.

ახლა შეგვიძლია შევაჯამოთ. ძირითადი კონცეფცია არის შემთხვევითი მოვლენის ალბათობა, რომელიც გამოითვლება უმარტივესი მოდელის ფარგლებში - კლასიკური ალბათური სქემა. კონცეფცია მნიშვნელოვანია როგორც თეორიაში, ასევე პრაქტიკაში. საპირისპირო მოვლენადა ფორმულა Р(Ā)= 1—Р(А) ასეთი მოვლენის ალბათობის საპოვნელად.

ბოლოს ჩვენ შევხვდით შეუთავსებელი მოვლენებიდა ფორმულებით.

P (A + B) \u003d P (A) + P (B),

P (A + B + C) \u003d P (A) + P (B) + P (C),

საშუალებას იძლევა იპოვოთ ალბათობა თანხებიასეთი მოვლენები.

ბიბლიოგრაფია

1. მოვლენები. ალბათობები. სტატისტიკური მონაცემების დამუშავება: დამატება. ალგებრის კურსის აბზაცები 7-9 უჯრედი. საგანმანათლებლო დაწესებულებები / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov.-4th ed.-M.: Mnemozina, 2006.-112 გვ.: ill.

2.იუ. ნ. მაკარიჩევი, ნ.გ.მინდიუკი „ალგებრა. სტატისტიკის ელემენტები და ალბათობის თეორია.-მოსკოვი, განმანათლებლობა, 2006 წ.