მარტივად რომ ვთქვათ, ეს არის წყალში მოხარშული ბოსტნეული სპეციალური რეცეპტის მიხედვით. განვიხილავ ორ საწყის კომპონენტს (ბოსტნეულის სალათას და წყალს) და მზა შედეგს - ბორშს. გეომეტრიულად, ის შეიძლება მივიჩნიოთ, როგორც მართკუთხედი, რომლის ერთი მხარე წარმოადგენს სალათის ფოთლებს, ხოლო მეორე მხარე წყალს. ამ ორი მხარის ჯამი მიუთითებს ბორშზე. ასეთი "ბორშის" მართკუთხედის დიაგონალი და ფართობი არის წმინდა მათემატიკური ცნებები და არასოდეს გამოიყენება ბორშის რეცეპტებში.
როგორ გადაიქცევა სალათის ფოთოლი და წყალი ბორშჩად მათემატიკური თვალსაზრისით? როგორ შეიძლება ორი წრფის სეგმენტის ჯამი გახდეს ტრიგონომეტრია? ამის გასაგებად ჩვენ გვჭირდება წრფივი კუთხოვანი ფუნქციები.
მათემატიკის სახელმძღვანელოებში წრფივი კუთხოვანი ფუნქციების შესახებ ვერაფერს იპოვით. მაგრამ მათ გარეშე არ შეიძლება მათემატიკა. მათემატიკის კანონები, ისევე როგორც ბუნების კანონები, მუშაობს იმისდა მიუხედავად, ვიცით თუ არა მათი არსებობის შესახებ.
წრფივი კუთხოვანი ფუნქციები შეკრების კანონებია.ნახეთ, როგორ იქცევა ალგებრა გეომეტრიად და გეომეტრია ტრიგონომეტრიად.
შესაძლებელია თუ არა ხაზოვანი კუთხოვანი ფუნქციების გარეშე? ეს შესაძლებელია, რადგან მათემატიკოსები მაინც ახერხებენ მათ გარეშე. მათემატიკოსთა ხრიკი იმაში მდგომარეობს, რომ ისინი ყოველთვის გვეუბნებიან მხოლოდ იმ პრობლემებზე, რომელთა გადაჭრაც თავად იციან და არასოდეს საუბრობენ იმ ამოცანებზე, რომელთა გადაჭრაც არ შეუძლიათ. შეხედე. თუ ვიცით შეკრების შედეგი და ერთი წევრი, გამოკლებას ვიყენებთ მეორე წევრის საპოვნელად. ყველა. ჩვენ არ ვიცით სხვა პრობლემები და არ ვიცით როგორ მოვაგვაროთ ისინი. რა უნდა გავაკეთოთ, თუ მხოლოდ მიმატების შედეგი ვიცით და ორივე ტერმინი არ ვიცით? ამ შემთხვევაში, დამატების შედეგი უნდა დაიშალოს ორ ტერმინად წრფივი კუთხოვანი ფუნქციების გამოყენებით. შემდეგი, ჩვენ თვითონ ვირჩევთ რა შეიძლება იყოს ერთი ტერმინი და წრფივი კუთხოვანი ფუნქციები გვიჩვენებს, თუ როგორი უნდა იყოს მეორე წევრი ისე, რომ დამატების შედეგი იყოს ზუსტად ის, რაც ჩვენ გვჭირდება. ასეთი წყვილი ტერმინების უსასრულო რაოდენობა შეიძლება იყოს. ყოველდღიურ ცხოვრებაში ჩვენ კარგად ვხვდებით ჯამის დაშლის გარეშე, გამოკლება საკმარისია ჩვენთვის. მაგრამ ბუნების კანონების მეცნიერულ კვლევაში, ჯამის კომპონენტებად დაშლა შეიძლება ძალიან სასარგებლო იყოს.
დამატების კიდევ ერთი კანონი, რომელზეც მათემატიკოსებს არ უყვართ ლაპარაკი (კიდევ ერთი მათი ხრიკი) მოითხოვს, რომ ტერმინებს ჰქონდეთ იგივე საზომი ერთეულები. სალათისთვის, წყლისა და ბორშისთვის ეს შეიძლება იყოს წონის, მოცულობის, ღირებულების ან საზომი ერთეული.
ფიგურაში ნაჩვენებია მათემატიკური განსხვავების ორი დონე. პირველი დონე არის განსხვავებები რიცხვების ველში, რომლებიც მითითებულია ა, ბ, გ. ამას აკეთებენ მათემატიკოსები. მეორე დონე არის განსხვავებები საზომი ერთეულების ველში, რომლებიც ნაჩვენებია კვადრატულ ფრჩხილებში და მითითებულია ასოებით. უ. ეს არის ის, რასაც ფიზიკოსები აკეთებენ. ჩვენ შეგვიძლია გავიგოთ მესამე დონე - განსხვავებები აღწერილი ობიექტების ფართობში. სხვადასხვა ობიექტს შეიძლება ჰქონდეს იგივე რაოდენობის საზომი ერთეული. რამდენად მნიშვნელოვანია ეს, ჩვენ ვხედავთ ბორშის ტრიგონომეტრიის მაგალითს. თუ ჩვენ დავამატებთ ხელმოწერებს ერთი და იგივე ერთეულის აღნიშვნას სხვადასხვა ობიექტისთვის, შეგვიძლია ზუსტად ვთქვათ, რა მათემატიკური სიდიდე აღწერს კონკრეტულ ობიექტს და როგორ იცვლება ის დროთა განმავლობაში ან ჩვენი მოქმედებების გამო. წერილი ვწყალს დავნიშნავ ასოთი სსალათს დავნიშნავ ასოთი ბ- ბორში. ასე გამოიყურება ბორშჩის წრფივი კუთხოვანი ფუნქციები.
თუ ავიღებთ წყლის ნაწილს და სალათის ნაწილს, ისინი ერთად გადაიქცევიან ბორშჩის ერთ პორციაში. აქვე გირჩევთ, ცოტათი დაისვენოთ ბორშჩისგან და გაიხსენოთ თქვენი შორეული ბავშვობა. გახსოვთ, როგორ გვასწავლეს კურდღლებისა და იხვების შეკრება? საჭირო იყო იმის დადგენა, რამდენი ცხოველი იქნებოდა. რა გვასწავლეს მაშინ? გვასწავლეს საზომი ერთეულების გამოყოფა რიცხვებისგან და რიცხვების შეკრება. დიახ, ნებისმიერი რიცხვი შეიძლება დაემატოს ნებისმიერ სხვა ნომერს. ეს არის პირდაპირი გზა თანამედროვე მათემატიკის აუტიზმისკენ - ჩვენ ამას ვაკეთებთ გაუგებრად, რა, გაუგებრად რატომ და ძალიან ცუდად გვესმის, როგორ უკავშირდება ეს რეალობას, სამი დონის განსხვავების გამო, მათემატიკოსები მუშაობენ მხოლოდ ერთით. უფრო სწორი იქნება ვისწავლოთ როგორ გადავიდეთ ერთი საზომი ერთეულიდან მეორეზე.
კურდღლების, იხვების და პატარა ცხოველების დათვლა შესაძლებელია ნაწილებად. ერთი საერთო საზომი ერთეული სხვადასხვა ობიექტებისთვის საშუალებას გვაძლევს დავამატოთ ისინი. ეს არის პრობლემის საბავშვო ვერსია. მოდით შევხედოთ მსგავს ამოცანას უფროსებისთვის. რას იღებთ, როცა კურდღლებს და ფულს დაამატებთ? აქ ორი შესაძლო გამოსავალია.
პირველი ვარიანტი. ჩვენ განვსაზღვრავთ კურდღლების საბაზრო ღირებულებას და ვამატებთ მას ხელმისაწვდომ თანხას. ჩვენ მივიღეთ ჩვენი სიმდიდრის მთლიანი ღირებულება ფულადი თვალსაზრისით.
მეორე ვარიანტი. თქვენ შეგიძლიათ დაამატოთ კურდღლების რაოდენობა ჩვენს ბანკნოტების რაოდენობას. მოძრავ ქონებას ნაწილებად მივიღებთ.
როგორც ხედავთ, იგივე დამატების კანონი საშუალებას გაძლევთ მიიღოთ განსხვავებული შედეგები. ეს ყველაფერი დამოკიდებულია იმაზე, თუ რა გვინდა ვიცოდეთ.
მაგრამ დავუბრუნდეთ ჩვენს ბორშს. ახლა ჩვენ ვხედავთ, რა მოხდება ხაზოვანი კუთხოვანი ფუნქციების სხვადასხვა კუთხის მნიშვნელობებისთვის.
კუთხე არის ნული. სალათი გვაქვს, წყალი კი არა. ბორშს ვერ ვამზადებთ. ბორშის რაოდენობაც ნულის ტოლია. ეს საერთოდ არ ნიშნავს იმას, რომ ნულოვანი ბორში ნულ წყალს უდრის. შეიძლება იყოს ნულოვანი ბორში ნულოვანი სალათით (მართი კუთხით).
პირადად ჩემთვის ეს არის მთავარი მათემატიკური დასტური იმისა, რომ . ნული არ ცვლის რიცხვს დამატებისას. ეს იმიტომ ხდება, რომ დამატება თავისთავად შეუძლებელია, თუ არის მხოლოდ ერთი ტერმინი და აკლია მეორე წევრი. თქვენ შეგიძლიათ იგრძნოთ ამის შესახებ, როგორც გსურთ, მაგრამ გახსოვდეთ - ყველა მათემატიკური ოპერაცია ნულთან ერთად გამოიგონეს თავად მათემატიკოსებმა, ასე რომ, გადააგდეთ თქვენი ლოგიკა და სულელურად დაასხით მათემატიკოსების მიერ გამოგონილი განმარტებები: "ნულზე გაყოფა შეუძლებელია", "ნებისმიერი რიცხვი გამრავლებული. ნული უდრის ნულს", "პუნქცია ნულის მიღმა" და სხვა სისულელეები. საკმარისია ერთხელ გვახსოვდეს, რომ ნული რიცხვი არ არის და აღარასოდეს გაგიჩნდება კითხვა, ნული ნატურალური რიცხვია თუ არა, რადგან ასეთი კითხვა ყოველგვარ მნიშვნელობას კარგავს: როგორ შეიძლება რიცხვად ჩაითვალოს ის, რაც არ არის რიცხვი. ? ეს ჰგავს კითხვას, თუ რა ფერის უნდა იყოს კლასიფიცირებული უხილავი ფერი. რიცხვისთვის ნულის მიმატება იგივეა, რაც საღებავით ხატვა, რომელიც არ არის. მშრალი ფუნჯი ვატრიალეთ და ყველას ვუთხარით, რომ „ჩვენ ვხატავთ“. მაგრამ ცოტას ვშორდები.
კუთხე არის ნულზე მეტი, მაგრამ ორმოცდახუთი გრადუსზე ნაკლები. სალათის ფოთოლი ბევრი გვაქვს, მაგრამ წყალი არ არის საკმარისი. შედეგად მივიღებთ სქელ ბორშს.
კუთხე ორმოცდახუთი გრადუსია. თანაბარი რაოდენობით გვაქვს წყალი და სალათი. ეს არის სრულყოფილი ბორში (მაპატიეთ, მზარეულებო, ეს მხოლოდ მათემატიკაა).
კუთხე ორმოცდახუთ გრადუსზე მეტია, მაგრამ ოთხმოცდაათ გრადუსზე ნაკლები. ბევრი წყალი გვაქვს და ცოტა სალათი. მიიღებთ თხევად ბორშს.
მართი კუთხე. წყალი გვაქვს. სალათიდან რჩება მხოლოდ მოგონებები, რადგან ჩვენ ვაგრძელებთ კუთხის გაზომვას იმ ხაზიდან, რომელიც ოდესღაც სალათს აღნიშნავდა. ბორშს ვერ ვამზადებთ. ბორშის რაოდენობა ნულის ტოლია. ამ შემთხვევაში მოითმინეთ და დალიეთ წყალი სანამ გაქვთ)))
Აქ. Რაღაც მსგავსი. აქ სხვა ისტორიების მოყოლა შემიძლია, რაც აქ უფრო მიზანშეწონილი იქნება.
ორ მეგობარს ჰქონდა წილი საერთო ბიზნესში. ერთი მათგანის მოკვლის შემდეგ ყველაფერი მეორეზე გადავიდა.
მათემატიკის გაჩენა ჩვენს პლანეტაზე.
ყველა ეს ამბავი მოთხრობილია მათემატიკის ენაზე წრფივი კუთხოვანი ფუნქციების გამოყენებით. სხვა დროს მე გაჩვენებთ ამ ფუნქციების რეალურ ადგილს მათემატიკის სტრუქტურაში. ამასობაში დავუბრუნდეთ ბორშის ტრიგონომეტრიას და განვიხილოთ პროგნოზები.
შაბათი, 26 ოქტომბერი, 2019 წ
ოთხშაბათი, 7 აგვისტო, 2019 წ
საუბრის დასასრულს, ჩვენ უნდა განვიხილოთ უსასრულო ნაკრები. საქმე იმაშია, რომ „უსასრულობის“ ცნება მათემატიკოსებზე ისე მოქმედებს, როგორც ბოა კონსტრიქტორი კურდღელზე. უსასრულობის აკანკალებული საშინელება მათემატიკოსებს ართმევს საღ აზრს. აი მაგალითი:
ორიგინალური წყარო მდებარეობს. ალფა ნიშნავს რეალურ რიცხვს. ზემოთ მოცემულ გამონათქვამებში ტოლობის ნიშანი მიუთითებს იმაზე, რომ თუ უსასრულობას დაუმატებთ რიცხვს ან უსასრულობას, არაფერი შეიცვლება, შედეგი იქნება იგივე უსასრულობა. თუ მაგალითისთვის ავიღებთ ნატურალური რიცხვების უსასრულო სიმრავლეს, მაშინ განხილული მაგალითები შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შემდეგი სახით:
ნათლად დასამტკიცებლად, რომ ისინი მართალი იყვნენ, მათემატიკოსებმა მრავალი განსხვავებული მეთოდი მოიგონეს. პირადად მე, ყველა ამ მეთოდს ვუყურებ, როგორც ტამბურებთან მოცეკვავე შამანებს. არსებითად, ყველა მათგანი ემყარება იმ ფაქტს, რომ ან ზოგიერთი ოთახი დაუსახლებელია და ახალი სტუმრები შემოდიან, ან რომ ზოგიერთი სტუმარი დერეფანში გააგდებს სტუმრებისთვის ადგილს (ძალიან ადამიანურად). მე წარმოვადგინე ჩემი შეხედულება ასეთ გადაწყვეტილებებზე ფანტასტიკური ისტორიის სახით ქერაზე. რას ეფუძნება ჩემი მსჯელობა? უსასრულო რაოდენობის ვიზიტორთა გადატანას უსასრულო დრო სჭირდება. მას შემდეგ რაც ჩვენ გავათავისუფლებთ პირველ ოთახს სტუმრისთვის, ერთ-ერთი სტუმარი ყოველთვის გადის დერეფნის გასწვრივ მისი ოთახიდან მეორე ოთახში დროის ბოლომდე. რა თქმა უნდა, დროის ფაქტორი შეიძლება სულელურად იგნორირებული იყოს, მაგრამ ეს იქნება კატეგორიაში "არავითარი კანონი არ არის დაწერილი სულელებისთვის". ეს ყველაფერი დამოკიდებულია იმაზე, თუ რას ვაკეთებთ: რეალობის მორგება მათემატიკურ თეორიებზე ან პირიქით.
რა არის "უსასრულო სასტუმრო"? უსასრულო სასტუმრო არის სასტუმრო, რომელსაც ყოველთვის აქვს ნებისმიერი რაოდენობის ცარიელი საწოლი, მიუხედავად იმისა, თუ რამდენი ნომერია დაკავებული. თუ გაუთავებელი „ვიზიტორის“ დერეფნის ყველა ოთახი დაკავებულია, არის კიდევ ერთი გაუთავებელი დერეფანი „სასტუმრო“ ოთახებით. ასეთი დერეფნების უსასრულო რაოდენობა იქნება. უფრო მეტიც, "უსასრულო სასტუმროს" აქვს უსასრულო რაოდენობის სართულები უსასრულო რაოდენობის შენობებში უსასრულო რაოდენობის პლანეტებზე უსასრულო რაოდენობის სამყაროებში, რომლებიც შექმნილია ღმერთების უსასრულო რაოდენობით. მათემატიკოსები ვერ ახერხებენ დისტანცირებას ბანალური ყოველდღიური პრობლემებისგან: ყოველთვის არის მხოლოდ ერთი ღმერთი-ალაჰ-ბუდა, არის მხოლოდ ერთი სასტუმრო, არის მხოლოდ ერთი დერეფანი. ასე რომ, მათემატიკოსები ცდილობენ სასტუმროს ნომრების სერიული ნომრების ჟონგლირებას და დაგვარწმუნონ, რომ შესაძლებელია „შეიძულოს შეუძლებელში“.
მე გაჩვენებთ ჩემი მსჯელობის ლოგიკას ნატურალური რიცხვების უსასრულო სიმრავლის მაგალითის გამოყენებით. ჯერ თქვენ უნდა უპასუხოთ ძალიან მარტივ კითხვას: ნატურალური რიცხვების რამდენი სიმრავლეა - ერთი ან ბევრი? ამ კითხვაზე სწორი პასუხი არ არსებობს, რადგან ჩვენ თვითონ გამოვიგონეთ რიცხვები; რიცხვები ბუნებაში არ არსებობს. დიახ, ბუნება შესანიშნავია დათვლაში, მაგრამ ამისათვის ის იყენებს სხვა მათემატიკურ ინსტრუმენტებს, რომლებიც ჩვენთვის არ არის ნაცნობი. მე გეტყვით რას ფიქრობს ბუნება სხვა დროს. ვინაიდან ჩვენ გამოვიგონეთ რიცხვები, ჩვენ თვითონ გადავწყვეტთ ნატურალური რიცხვების რამდენი კომპლექტი არსებობს. განვიხილოთ ორივე ვარიანტი, როგორც ეს შეეფერება ნამდვილ მეცნიერებს.
ვარიანტი ერთი. „მოდით მოგვცეს“ ნატურალური რიცხვების ერთი ნაკრები, რომელიც მშვიდად დევს თაროზე. ამ კომპლექტს თაროდან ვიღებთ. ესე იგი, თაროზე სხვა ნატურალური რიცხვები აღარ დარჩა და არსად წასაყვანი. ჩვენ ვერ დავამატებთ ერთს ამ კომპლექტში, რადგან ის უკვე გვაქვს. რა მოხდება, თუ მართლა გინდა? Არაა პრობლემა. ჩვენ შეგვიძლია ავიღოთ უკვე აღებული ნაკრებიდან და დავაბრუნოთ თაროზე. ამის შემდეგ შეგვიძლია თაროდან ავიღოთ ერთი და დავამატოთ რაც დაგვრჩა. შედეგად, ჩვენ კვლავ მივიღებთ ნატურალური რიცხვების უსასრულო სიმრავლეს. თქვენ შეგიძლიათ ჩამოწეროთ ყველა ჩვენი მანიპულაცია ასე:
ჩავწერე მოქმედებები ალგებრული აღნიშვნით და სიმრავლეების თეორიის აღნიშვნით, სიმრავლის ელემენტების დეტალური ჩამონათვალით. სუბსკრიპტი მიუთითებს, რომ ჩვენ გვაქვს ნატურალური რიცხვების ერთი და ერთადერთი ნაკრები. გამოდის, რომ ნატურალური რიცხვების სიმრავლე უცვლელი დარჩება მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მას ერთი გამოაკლდება და იგივე ერთეული დაემატება.
ვარიანტი ორი. ჩვენს თაროზე ნატურალური რიცხვების მრავალი განსხვავებული უსასრულო ნაკრები გვაქვს. ხაზს ვუსვამ - განსხვავებულს, მიუხედავად იმისა, რომ ისინი პრაქტიკულად არ განსხვავდებიან. ავიღოთ ერთ-ერთი ასეთი ნაკრები. შემდეგ ვიღებთ ერთს ნატურალური რიცხვების მეორე სიმრავლიდან და ვამატებთ უკვე აღებულ სიმრავლეს. შეგვიძლია ნატურალური რიცხვების ორი კომპლექტიც კი დავამატოთ. ეს არის ის, რაც ჩვენ ვიღებთ:
ხელმოწერები "ერთი" და "ორი" მიუთითებს, რომ ეს ელემენტები განსხვავებულ კომპლექტს ეკუთვნოდა. დიახ, თუ ერთს დაუმატებთ უსასრულო კომპლექტს, შედეგი ასევე იქნება უსასრულო ნაკრები, მაგრამ ის არ იქნება იგივე, რაც ორიგინალური ნაკრები. თუ დაუმატებთ კიდევ ერთ უსასრულო სიმრავლეს ერთ უსასრულო სიმრავლეს, შედეგი იქნება ახალი უსასრულო სიმრავლე, რომელიც შედგება პირველი ორი სიმრავლის ელემენტებისაგან.
ნატურალური რიცხვების სიმრავლე გამოიყენება დასათვლელად ისევე, როგორც საზომი. ახლა წარმოიდგინეთ, რომ სახაზავს ერთი სანტიმეტრი დაუმატეთ. ეს იქნება განსხვავებული ხაზი, რომელიც არ არის ორიგინალის ტოლი.
შეგიძლიათ მიიღოთ ან არ მიიღოთ ჩემი მსჯელობა - ეს თქვენი საქმეა. მაგრამ თუ ოდესმე შეგხვდებათ მათემატიკური პრობლემები, დაფიქრდით, მიჰყვებით თუ არა მათემატიკოსთა თაობების მიერ გავლილი ცრუ მსჯელობის გზას. მათემატიკის სწავლა ხომ, უპირველეს ყოვლისა, აყალიბებს ჩვენში აზროვნების სტაბილურ სტერეოტიპს და მხოლოდ ამის შემდეგ მატებს ჩვენს გონებრივ შესაძლებლობებს (ან, პირიქით, გვართმევს თავისუფალ აზროვნებას).
pozg.ru
კვირა, 4 აგვისტო, 2019 წ
ვასრულებდი სტატიის პოსტსკრიპტს და ვნახე ეს შესანიშნავი ტექსტი ვიკიპედიაზე:
ჩვენ ვკითხულობთ: „...ბაბილონის მათემატიკის მდიდარ თეორიულ საფუძველს არ გააჩნდა ჰოლისტიკური ხასიათი და დაყვანილ იქნა განსხვავებული ტექნიკის ერთობლიობამდე, მოკლებული საერთო სისტემისა და მტკიცებულების ბაზას“.
Ვაუ! რამდენად ჭკვიანები ვართ და რამდენად კარგად ვხედავთ სხვის ნაკლოვანებებს. გვიჭირს თანამედროვე მათემატიკას იმავე კონტექსტში შევხედოთ? ზემოაღნიშნული ტექსტის ოდნავ პერიფრაზირებით, მე პირადად მივიღე შემდეგი:
თანამედროვე მათემატიკის მდიდარი თეორიული საფუძველი არ არის ყოვლისმომცველი ბუნებით და დაყვანილია განსხვავებული სექციებით, მოკლებულია საერთო სისტემისა და მტკიცებულების ბაზას.
შორს არ წავალ ჩემი სიტყვების დასადასტურებლად - მას აქვს ენა და კონვენციები, რომლებიც განსხვავდება მათემატიკის მრავალი სხვა დარგის ენისა და კონვენციებისგან. მათემატიკის სხვადასხვა ფილიალში ერთსა და იმავე სახელს შეიძლება ჰქონდეს განსხვავებული მნიშვნელობა. მსურს პუბლიკაციების მთელი სერია მივუძღვნა თანამედროვე მათემატიკის ყველაზე აშკარა შეცდომებს. Მალე გნახავ.
შაბათი, 3 აგვისტო, 2019 წ
როგორ დავყოთ ნაკრები ქვეჯგუფებად? ამისათვის თქვენ უნდა შეიყვანოთ ახალი საზომი ერთეული, რომელიც არის შერჩეული ნაკრების ზოგიერთ ელემენტში. მოდით შევხედოთ მაგალითს.
შეიძლება ბევრი გვქონდეს აშედგება ოთხი ადამიანისგან. ეს ნაკრები იქმნება „ხალხის“ საფუძველზე. მოდით აღვნიშნოთ ამ ნაკრების ელემენტები ასოებით ა, ნომრის მქონე ხელმოწერა მიუთითებს ამ ნაკრების თითოეული ადამიანის სერიულ ნომერზე. შემოვიღოთ ახალი საზომი ერთეული „სქესი“ და აღვნიშნოთ ასოებით ბ. ვინაიდან სექსუალური მახასიათებლები ყველა ადამიანშია თანდაყოლილი, ჩვენ ვამრავლებთ ნაკრების თითოეულ ელემენტს ასქესიდან გამომდინარე ბ. ყურადღება მიაქციეთ, რომ ჩვენი „ადამიანების“ ნაკრები ახლა გახდა „გენდერული მახასიათებლების მქონე ადამიანების“ ნაკრები. ამის შემდეგ შეგვიძლია სექსუალური მახასიათებლები დავყოთ მამაკაცებად ბმდა ქალთა ბვსექსუალური მახასიათებლები. ახლა ჩვენ შეგვიძლია გამოვიყენოთ მათემატიკური ფილტრი: ჩვენ ვირჩევთ ერთ-ერთ ამ სექსუალურ მახასიათებელს, არ აქვს მნიშვნელობა რომელია - მამაკაცი თუ ქალი. თუ ადამიანს აქვს, მაშინ ვამრავლებთ ერთზე, თუ ასეთი ნიშანი არ არის, ვამრავლებთ ნულზე. შემდეგ კი ჩვეულებრივ სასკოლო მათემატიკას ვიყენებთ. ნახეთ რა მოხდა.
გამრავლების, შემცირებისა და გადაწყობის შემდეგ ჩვენ მივიღეთ ორი ქვეჯგუფი: კაცების ქვეჯგუფი ბმდა ქალების ქვეჯგუფი Bw. მათემატიკოსები დაახლოებით ერთნაირად მსჯელობენ, როდესაც ისინი იყენებენ სიმრავლეების თეორიას პრაქტიკაში. მაგრამ ისინი არ გვეუბნებიან დეტალებს, მაგრამ გვაძლევენ დასრულებულ შედეგს - ”ბევრი ადამიანი შედგება მამაკაცების და ქალების ქვეჯგუფისგან”. ბუნებრივია, შეიძლება გაგიჩნდეთ კითხვა: რამდენად სწორად იქნა გამოყენებული მათემატიკა ზემოთ ჩამოთვლილ გარდაქმნებში? გარწმუნებთ, რომ, არსებითად, გარდაქმნები გაკეთდა სწორად, საკმარისია ვიცოდეთ არითმეტიკის, ლოგის ალგებრის და მათემატიკის სხვა დარგების მათემატიკური საფუძვლები. რა არის ეს? სხვა დროს გეტყვით ამის შესახებ.
რაც შეეხება სუპერკომპლექტებს, შეგიძლიათ დააკავშიროთ ორი კომპლექტი ერთ სუპერკომპლექტში ამ ორი ნაკრების ელემენტებში არსებული საზომი ერთეულის არჩევით.
როგორც ხედავთ, საზომი ერთეულები და ჩვეულებრივი მათემატიკა სიმრავლეების თეორიას წარსულის რელიქვიად აქცევს. იმის ნიშანი, რომ სიმრავლეების თეორიაში ყველაფერი კარგად არ არის, არის ის, რომ მათემატიკოსებმა გამოიგონეს საკუთარი ენა და ჩანაწერები სიმრავლეების თეორიისთვის. მათემატიკოსები ისე მოქმედებდნენ, როგორც ერთხელ შამანები. მხოლოდ შამანებმა იციან როგორ „სწორად“ გამოიყენონ თავიანთი „ცოდნა“. ისინი გვასწავლიან ამ "ცოდნას".
დასასრულს, მინდა გაჩვენოთ, როგორ მანიპულირებენ მათემატიკოსები.
ორშაბათი, 7 იანვარი, 2019 წ
ჩვენს წელთაღრიცხვამდე მეხუთე საუკუნეში ძველმა ბერძენმა ფილოსოფოსმა ზენომ ელეამ ჩამოაყალიბა თავისი ცნობილი აპორიები, რომელთაგან ყველაზე ცნობილია „აქილევსი და კუს“ აპორია. აი, როგორ ჟღერს:
ვთქვათ, აქილევსი კუზე ათჯერ უფრო სწრაფად დარბის და ათასი ნაბიჯით უკან არის. იმ დროის განმავლობაში, რაც აქილევსს სჭირდება ამ მანძილის გასაშვებად, კუ ასი ნაბიჯით გაივლის იმავე მიმართულებით. როცა აქილევსი ას საფეხურს გარბის, კუს კიდევ ათი ნაბიჯი დაცოცავს და ა.შ. პროცესი უსასრულოდ გაგრძელდება, აქილევსი ვერასდროს დაეწია კუს.
ეს მსჯელობა ლოგიკური შოკი გახდა ყველა შემდგომი თაობისთვის. არისტოტელე, დიოგენე, კანტი, ჰეგელი, ჰილბერტი... ყველა ასე თუ ისე განიხილავდა ზენონის აპორიას. შოკი იმდენად ძლიერი იყო, რომ " ... დისკუსიები გრძელდება დღემდე, სამეცნიერო საზოგადოებამ ჯერ ვერ მიაღწია საერთო აზრს პარადოქსების არსზე... საკითხის შესწავლაში ჩაერთო მათემატიკური ანალიზი, სიმრავლეების თეორია, ახალი ფიზიკური და ფილოსოფიური მიდგომები. ; არცერთი მათგანი არ გახდა პრობლემის საყოველთაოდ მიღებული გადაწყვეტა..."[ვიკიპედია, "ზენონის აპორია". ყველას ესმის, რომ მათ ატყუებენ, მაგრამ არავის ესმის, რისგან შედგება მოტყუება.
მათემატიკური თვალსაზრისით, ზენონმა თავის აპორიაში ნათლად აჩვენა გადასვლა რაოდენობიდან . ეს გადასვლა გულისხმობს განაცხადს მუდმივის ნაცვლად. რამდენადაც მე მესმის, საზომი ცვლადი ერთეულების გამოყენების მათემატიკური აპარატი ან ჯერ არ არის შემუშავებული, ან არ არის გამოყენებული ზენონის აპორიაზე. ჩვენი ჩვეული ლოგიკის გამოყენება მახეში მიგვიყვანს. ჩვენ, აზროვნების ინერციიდან გამომდინარე, ვაკეთებთ დროის მუდმივ ერთეულებს საპასუხო მნიშვნელობაზე. ფიზიკური თვალსაზრისით, ეს ჰგავს დროის შენელებას, სანამ ის მთლიანად არ გაჩერდება იმ მომენტში, როდესაც აქილევსი კუს დაეწევა. თუ დრო გაჩერდება, აქილევსი ვეღარ ასწრებს კუს.
თუ ჩვენ ჩვეულ ლოგიკას შევაბრუნებთ, ყველაფერი თავის ადგილზე დგება. აქილევსი მუდმივი სიჩქარით დარბის. მისი გზის ყოველი მომდევნო სეგმენტი წინაზე ათჯერ მოკლეა. შესაბამისად, მის დაძლევაზე დახარჯული დრო წინაზე ათჯერ ნაკლებია. თუ ამ სიტუაციაში გამოვიყენებთ „უსასრულობის“ ცნებას, მაშინ სწორი იქნება ვთქვათ „აქილევსი კუს უსასრულოდ სწრაფად დაეწევა“.
როგორ ავიცილოთ თავიდან ეს ლოგიკური ხაფანგი? დარჩით დროის მუდმივ ერთეულებში და არ გადახვიდეთ ორმხრივ ერთეულებზე. ზენონის ენაზე ასე გამოიყურება:
იმ დროს, რაც აქილევსს სჭირდება ათასი ნაბიჯის გასაშვებად, კუს ასი ნაბიჯის გადახრით იმავე მიმართულებით. პირველის ტოლი შემდეგი დროის ინტერვალის განმავლობაში აქილევსი კიდევ ათას ნაბიჯს გაივლის, კუს კი ასი ნაბიჯით დაცოცავს. ახლა აქილევსი რვაასი ნაბიჯით უსწრებს კუს.
ეს მიდგომა ადეკვატურად აღწერს რეალობას ყოველგვარი ლოგიკური პარადოქსების გარეშე. მაგრამ ეს არ არის პრობლემის სრული გადაწყვეტა. აინშტაინის განცხადება სინათლის სიჩქარის დაუძლეველობის შესახებ ძალიან ჰგავს ზენონის აპორიას „აქილევსი და კუს“. ჩვენ ჯერ კიდევ გვიწევს ამ პრობლემის შესწავლა, გადახედვა და გადაჭრა. და გამოსავალი უნდა ვეძებოთ არა უსასრულოდ დიდი რაოდენობით, არამედ გაზომვის ერთეულებში.
ზენონის კიდევ ერთი საინტერესო აპორია მოგვითხრობს მფრინავი ისრის შესახებ:
მფრინავი ისარი უმოძრაოა, რადგან დროის ყოველ მომენტში ის ისვენებს, და რადგან ის ისვენებს დროის ყოველ მომენტში, ის ყოველთვის ისვენებს.
ამ აპორიაში ლოგიკური პარადოქსი დაძლეულია ძალიან მარტივად - საკმარისია იმის გარკვევა, რომ დროის ყოველ მომენტში მფრინავი ისარი ისვენებს სივრცის სხვადასხვა წერტილში, რაც, ფაქტობრივად, მოძრაობაა. აქ უნდა აღინიშნოს კიდევ ერთი წერტილი. გზაზე მანქანის ერთი ფოტოსურათიდან შეუძლებელია მისი გადაადგილების ფაქტის და მასამდე მანძილის დადგენა. იმის დასადგენად, მოძრაობს თუ არა მანქანა, გჭირდებათ ორი ფოტო გადაღებული ერთი და იგივე წერტილიდან დროის სხვადასხვა წერტილში, მაგრამ თქვენ ვერ განსაზღვრავთ მათგან მანძილს. მანქანამდე მანძილის დასადგენად, დაგჭირდებათ ორი ფოტო გადაღებული სივრცის სხვადასხვა წერტილიდან დროის ერთ მომენტში, მაგრამ მათგან ვერ განსაზღვრავთ მოძრაობის ფაქტს (რა თქმა უნდა, გამოთვლებისთვის დამატებითი მონაცემები მაინც გჭირდებათ, ტრიგონომეტრია დაგეხმარებათ ). რაზეც მინდა გავამახვილო განსაკუთრებული ყურადღება, არის ის, რომ ორი წერტილი დროისა და ორი წერტილი სივრცეში არის სხვადასხვა რამ, რაც არ უნდა აგვერიოს, რადგან ისინი სხვადასხვა შესაძლებლობებს იძლევა კვლევისთვის.
მე გაჩვენებთ პროცესს მაგალითით. ჩვენ ვირჩევთ "წითელ სქელს მუწუკში" - ეს არის ჩვენი "მთელი". ამავდროულად, ჩვენ ვხედავთ, რომ ეს ნივთები მშვილდით არის და არის მშვილდის გარეშე. ამის შემდეგ, ჩვენ ვირჩევთ "მთლიანობის" ნაწილს და ვქმნით კომპლექტს "მშვილდით". ასე იღებენ შამანები საკვებს თავიანთი სიმრავლის თეორიის რეალობასთან მიბმის გზით.
ახლა მოდით გავაკეთოთ პატარა ხრიკი. ავიღოთ "მყარი მუწუკით მშვილდით" და გავაერთიანოთ ეს "მთვლები" ფერის მიხედვით, შევარჩიოთ წითელი ელემენტები. ბევრი "წითელი" მივიღეთ. ახლა საბოლოო კითხვა: მიღებული კომპლექტები "მშვილდით" და "წითელი" იგივე ნაკრებია თუ ორი განსხვავებული ნაკრები? პასუხი მხოლოდ შამანებმა იციან. უფრო სწორად, თვითონაც არაფერი იციან, მაგრამ როგორც ამბობენ, ასე იქნება.
ეს მარტივი მაგალითი გვიჩვენებს, რომ სიმრავლეების თეორია სრულიად უსარგებლოა, როცა საქმე რეალობას ეხება. რა არის საიდუმლო? ჩვენ ჩამოყალიბდა კომპლექტი "წითელი მყარი ერთად pimple და მშვილდი." ფორმირება მოხდა ოთხი სხვადასხვა საზომი ერთეულით: ფერი (წითელი), სიძლიერე (მყარი), უხეშობა (მუწუკა), დეკორაცია (მშვილდით). მხოლოდ საზომი ერთეულების ნაკრები გვაძლევს საშუალებას ადეკვატურად აღვწეროთ რეალური ობიექტები მათემატიკის ენაზე. ასე გამოიყურება.
ასო „ა“ სხვადასხვა ინდექსით აღნიშნავს სხვადასხვა საზომ ერთეულს. ფრჩხილებში მონიშნულია საზომი ერთეულები, რომლებითაც „მთელი“ გამოირჩევა წინასწარ ეტაპზე. საზომი ერთეული, რომლითაც კომპლექტი იქმნება, ამოღებულია ფრჩხილებიდან. ბოლო ხაზი აჩვენებს საბოლოო შედეგს - ნაკრების ელემენტს. როგორც ხედავთ, თუ ჩვენ ვიყენებთ გაზომვის ერთეულებს ნაკრების შესაქმნელად, მაშინ შედეგი არ არის დამოკიდებული ჩვენი მოქმედებების თანმიმდევრობაზე. და ეს მათემატიკაა და არა შამანების ცეკვა ტამბურით. შამანებს შეუძლიათ "ინტუიტიურად" მივიდნენ იმავე შედეგამდე, ამტკიცებენ, რომ ეს "აშკარაა", რადგან საზომი ერთეულები არ არის მათი "მეცნიერული" არსენალის ნაწილი.
საზომი ერთეულების გამოყენებით, ძალიან ადვილია ერთი ნაკრების გაყოფა ან რამდენიმე ნაკრების ერთ სუპერსეტში გაერთიანება. მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ ამ პროცესის ალგებრას.
ლექცია: სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი, თვითნებური კუთხის კოტანგენსი
სინუსი, თვითნებური კუთხის კოსინუსი
იმის გასაგებად, თუ რა არის ტრიგონომეტრიული ფუნქციები, მოდით შევხედოთ წრეს ერთეული რადიუსით. ამ წრეს აქვს ცენტრი საწყისზე კოორდინატულ სიბრტყეზე. მოცემული ფუნქციების დასადგენად გამოვიყენებთ რადიუსის ვექტორს ან, რომელიც იწყება წრის ცენტრში და წერტილი რარის წერტილი წრეზე. ეს რადიუსის ვექტორი ღერძთან ქმნის ალფა კუთხეს ოჰ. ვინაიდან წრეს აქვს ერთის ტოლი რადიუსი, მაშინ ან = R = 1.
თუ წერტილიდან რღერძის პერპენდიკულარული დაწევა ოჰ, მაშინ მივიღებთ მართკუთხა სამკუთხედს ერთის ტოლი ჰიპოტენუზით.
თუ რადიუსის ვექტორი მოძრაობს საათის ისრის მიმართულებით, მაშინ ეს მიმართულება ეწოდება უარყოფითითუ ის მოძრაობს საათის ისრის საწინააღმდეგოდ - დადებითი.
კუთხის სინუსი ან, არის წერტილის ორდინატი რვექტორი წრეზე.
ანუ მოცემული კუთხის ალფას სინუსის მნიშვნელობის მისაღებად აუცილებელია კოორდინატის დადგენა უზედაპირზე.
როგორ იქნა მიღებული ეს ღირებულება? ვინაიდან ჩვენ ვიცით, რომ მართკუთხა სამკუთხედში თვითნებური კუთხის სინუსი არის მოპირდაპირე ფეხის შეფარდება ჰიპოტენუზასთან, მივიღებთ, რომ
და მას შემდეგ R=1, ეს sin(α) = y 0 .
ერთეულ წრეში ორდინატთა მნიშვნელობა არ შეიძლება იყოს -1-ზე ნაკლები და 1-ზე მეტი, რაც ნიშნავს
სინუსი იღებს დადებით მნიშვნელობას ერთეული წრის პირველ და მეორე მეოთხედში, ხოლო უარყოფითს მესამე და მეოთხეში.
კუთხის კოსინუსირადიუსის ვექტორით წარმოქმნილი მოცემული წრე ან, არის წერტილის აბსცისა რვექტორი წრეზე.
ანუ მოცემული კუთხის ალფას კოსინუსის მნიშვნელობის მისაღებად აუცილებელია კოორდინატის დადგენა Xზედაპირზე.
მართკუთხა სამკუთხედში თვითნებური კუთხის კოსინუსი არის მიმდებარე ფეხის შეფარდება ჰიპოტენუზასთან, მივიღებთ რომ
და მას შემდეგ R=1, ეს cos(α) = x 0 .
ერთეულ წრეში აბსცისის მნიშვნელობა არ შეიძლება იყოს -1-ზე ნაკლები და 1-ზე მეტი, რაც ნიშნავს
კოსინუსი იღებს დადებით მნიშვნელობას ერთეული წრის პირველ და მეოთხე მეოთხედში, ხოლო უარყოფითს მეორე და მესამეში.
ტანგენტითვითნებური კუთხეგამოითვლება სინუსისა და კოსინუსის შეფარდება.
თუ გავითვალისწინებთ მართკუთხა სამკუთხედს, მაშინ ეს არის მოპირდაპირე მხარის თანაფარდობა მეზობელ მხარესთან. თუ ვსაუბრობთ ერთეულ წრეზე, მაშინ ეს არის ორდინატის თანაფარდობა აბსცისასთან.
ამ ურთიერთობებით ვიმსჯელებთ, შეიძლება გვესმოდეს, რომ ტანგენსი არ შეიძლება არსებობდეს, თუ აბსცისის მნიშვნელობა ნულია, ანუ 90 გრადუსიანი კუთხით. ტანგენტს შეუძლია მიიღოს ყველა სხვა მნიშვნელობა.
ტანგენსი დადებითია ერთეული წრის პირველ და მესამე მეოთხედში, ხოლო მეორე და მეოთხეში უარყოფითი.
როგორც ხედავთ, ეს წრე აგებულია დეკარტის კოორდინატულ სისტემაში. წრის რადიუსი უდრის ერთს, ხოლო წრის ცენტრი დევს კოორდინატების საწყისთან, რადიუსის ვექტორის საწყისი პოზიცია ფიქსირდება ღერძის დადებითი მიმართულებით (ჩვენს მაგალითში ეს არის რადიუსი).
წრის თითოეულ წერტილს შეესაბამება ორი რიცხვი: ღერძის კოორდინატი და ღერძის კოორდინატი. რა არის ეს კოორდინატთა რიცხვები? და საერთოდ, რა შუაშია ისინი განსახილველ თემასთან? ამისათვის ჩვენ უნდა გვახსოვდეს განხილული მართკუთხა სამკუთხედი. ზემოთ მოცემულ ფიგურაში შეგიძლიათ იხილოთ ორი მთელი მართკუთხა სამკუთხედი. განვიხილოთ სამკუთხედი. ის მართკუთხაა, რადგან ღერძის პერპენდიკულარულია.
რის ტოლია სამკუთხედი? Სწორია. გარდა ამისა, ჩვენ ვიცით, რომ არის ერთეული წრის რადიუსი, რაც ნიშნავს . მოდით ჩავანაცვლოთ ეს მნიშვნელობა ჩვენს ფორმულაში კოსინუსისთვის. აი რა ხდება:
რის ტოლია სამკუთხედი? Რა თქმა უნდა, ! ჩაანაცვლეთ რადიუსის მნიშვნელობა ამ ფორმულაში და მიიღეთ:
მაშ, შეგიძლიათ თქვათ, რა კოორდინატები აქვს წრეს მიკუთვნებულ წერტილს? ისე, არანაირად? რა მოხდება, თუ ამას ხვდები და მხოლოდ რიცხვებია? რომელ კოორდინატს შეესაბამება? რა თქმა უნდა, კოორდინატები! და რომელ კოორდინატს შეესაბამება? მართალია, კოორდინატები! ამრიგად, პერიოდი.
რისი ტოლია მაშინ? ასეა, გამოვიყენოთ ტანგენტისა და კოტანგენტის შესაბამისი განმარტებები და მივიღოთ, ა.
რა მოხდება, თუ კუთხე უფრო დიდია? მაგალითად, როგორც ამ სურათზე:
რა შეიცვალა ამ მაგალითში? მოდი გავარკვიოთ. ამისათვის მოდით კვლავ მივუბრუნდეთ მართკუთხა სამკუთხედს. განვიხილოთ მართკუთხა სამკუთხედი: კუთხე (კუთხის მიმდებარედ). რა არის სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის მნიშვნელობები კუთხისთვის? მართალია, ჩვენ ვიცავთ ტრიგონომეტრიული ფუნქციების შესაბამის განმარტებებს:
ისე, როგორც ხედავთ, კუთხის სინუსის მნიშვნელობა მაინც შეესაბამება კოორდინატს; კუთხის კოსინუსის მნიშვნელობა - კოორდინატი; და ტანგენტისა და კოტანგენტის მნიშვნელობები შესაბამის თანაფარდობებთან. ამრიგად, ეს ურთიერთობები ვრცელდება რადიუსის ვექტორის ნებისმიერ ბრუნზე.
უკვე აღინიშნა, რომ რადიუსის ვექტორის საწყისი პოზიცია არის ღერძის დადებითი მიმართულების გასწვრივ. აქამდე ჩვენ ვატრიალებთ ამ ვექტორს საათის ისრის საწინააღმდეგოდ, მაგრამ რა მოხდება, თუ მას საათის ისრის მიმართულებით მოვატრიალებთ? არაფერი განსაკუთრებული, თქვენ ასევე მიიღებთ გარკვეული მნიშვნელობის კუთხეს, მაგრამ მხოლოდ ის იქნება უარყოფითი. ამრიგად, რადიუსის ვექტორის მობრუნებისას საათის ისრის საწინააღმდეგოდ, ვიღებთ დადებითი კუთხეებიდა საათის ისრის მიმართულებით ბრუნვისას - უარყოფითი.
ასე რომ, ჩვენ ვიცით, რომ რადიუსის ვექტორის მთელი რევოლუცია წრის გარშემო არის ან. შესაძლებელია თუ არა რადიუსის ვექტორის როტაცია? კარგი, რა თქმა უნდა, შეგიძლია! ამრიგად, პირველ შემთხვევაში, რადიუსის ვექტორი გააკეთებს ერთ სრულ ბრუნს და გაჩერდება პოზიციაზე ან.
მეორე შემთხვევაში, ანუ რადიუსის ვექტორი გააკეთებს სამ სრულ ბრუნს და გაჩერდება პოზიციაზე ან.
ამრიგად, ზემოთ მოყვანილი მაგალითებიდან შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ კუთხეები, რომლებიც განსხვავდებიან ან (სად არის რომელიმე მთელი რიცხვი) შეესაბამება რადიუსის ვექტორის ერთსა და იმავე პოზიციას.
ქვემოთ მოყვანილი ფიგურა გვიჩვენებს კუთხეს. იგივე სურათი შეესაბამება კუთხეს და ა.შ. ეს სია შეიძლება გაგრძელდეს განუსაზღვრელი ვადით. ყველა ეს კუთხე შეიძლება დაიწეროს ზოგადი ფორმულით ან (სად არის ნებისმიერი მთელი რიცხვი)
ახლა, იცოდეთ ძირითადი ტრიგონომეტრიული ფუნქციების განმარტებები და ერთეული წრის გამოყენებით, შეეცადეთ უპასუხოთ რა არის მნიშვნელობები:
აქ არის ერთეულის წრე, რომელიც დაგეხმარებათ:
გაქვთ სირთულეები? მერე გავარკვიოთ. ასე რომ, ჩვენ ვიცით, რომ:
აქედან განვსაზღვრავთ კუთხის გარკვეული ზომების შესაბამისი წერტილების კოორდინატებს. მოდით, დავიწყოთ თანმიმდევრობით: კუთხე შეესაბამება კოორდინატებით წერტილს, ამიტომ:
Არ არსებობს;
გარდა ამისა, იმავე ლოგიკის დაცვით, აღმოვაჩენთ, რომ კუთხეები შეესაბამება წერტილებს კოორდინატებით. ამის ცოდნა ადვილია ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობების დადგენა შესაბამის წერტილებში. ჯერ თვითონ სცადე და მერე გადაამოწმე პასუხები.
პასუხები:
Არ არსებობს
Არ არსებობს
Არ არსებობს
Არ არსებობს
ამრიგად, შეგვიძლია შევქმნათ შემდეგი ცხრილი:
არ არის საჭირო ყველა ამ მნიშვნელობის დამახსოვრება. საკმარისია გავიხსენოთ შესაბამისობა ერთეულ წრეზე წერტილების კოორდინატებსა და ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობებს შორის:
მაგრამ კუთხეების ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობები და, ქვემოთ მოცემულ ცხრილში, უნდა ახსოვდეს:
ნუ გეშინია, ახლა ერთ მაგალითს გაჩვენებთ საკმაოდ მარტივია შესაბამისი მნიშვნელობების დამახსოვრება:
ამ მეთოდის გამოსაყენებლად სასიცოცხლოდ მნიშვნელოვანია გვახსოვდეს სინუსის მნიშვნელობები კუთხის სამივე საზომისთვის (), ისევე როგორც კუთხის ტანგენტის მნიშვნელობა. ამ მნიშვნელობების ცოდნით, საკმაოდ მარტივია მთელი ცხრილის აღდგენა - კოსინუსური მნიშვნელობები გადადის ისრების შესაბამისად, ანუ:
ამის გაცნობიერებით, შეგიძლიათ აღადგინოთ მნიშვნელობები. მრიცხველი " " ემთხვევა და მნიშვნელი " " ემთხვევა. კოტანგენტების მნიშვნელობები გადაიცემა ფიგურაში მითითებული ისრების შესაბამისად. თუ გესმით ეს და გახსოვთ დიაგრამა ისრებით, მაშინ საკმარისი იქნება ცხრილიდან ყველა მნიშვნელობის დამახსოვრება.
წერტილის კოორდინატები წრეზე
შესაძლებელია თუ არა წერტილის (მისი კოორდინატების) პოვნა წრეზე, წრის ცენტრის კოორდინატების, მისი რადიუსის და ბრუნვის კუთხის ცოდნა?
კარგი, რა თქმა უნდა, შეგიძლია! მოდი ამოვიღოთ წერტილის კოორდინატების პოვნის ზოგადი ფორმულა.
მაგალითად, აქ არის წრე ჩვენს წინ:
გვეძლევა, რომ წერტილი არის წრის ცენტრი. წრის რადიუსი ტოლია. საჭიროა წერტილის გრადუსით ბრუნვით მიღებული წერტილის კოორდინატების პოვნა.
როგორც ნახატიდან ჩანს, წერტილის კოორდინატი შეესაბამება სეგმენტის სიგრძეს. სეგმენტის სიგრძე შეესაბამება წრის ცენტრის კოორდინატს, ანუ ის ტოლია. სეგმენტის სიგრძე შეიძლება გამოიხატოს კოსინუსის განმარტებით:
შემდეგ ჩვენ გვაქვს ეს წერტილის კოორდინატისთვის.
იმავე ლოგიკის გამოყენებით, ჩვენ ვპოულობთ y კოორდინატთა მნიშვნელობას წერტილისთვის. ამრიგად,
ასე რომ, ზოგადად, წერტილების კოორდინატები განისაზღვრება ფორმულებით:
წრის ცენტრის კოორდინატები,
წრის რადიუსი,
ვექტორული რადიუსის ბრუნვის კუთხე.
როგორც ხედავთ, ჩვენს მიერ განხილული ერთეული წრისთვის ეს ფორმულები მნიშვნელოვნად შემცირებულია, ვინაიდან ცენტრის კოორდინატები ნულის ტოლია, ხოლო რადიუსი უდრის ერთს:
აბა, მოდით ვცადოთ ეს ფორმულები წრეზე ქულების პოვნის პრაქტიკით?
1. იპოვეთ წერტილის კოორდინატები ერთეულ წრეზე, რომელიც მიღებულია წერტილის ბრუნვით.
2. იპოვეთ წერტილის კოორდინატები ერთეულ წრეზე, რომელიც მიღებულია წერტილის ბრუნვით.
3. იპოვეთ წერტილის კოორდინატები ერთეულ წრეზე, რომელიც მიღებულია წერტილის ბრუნვით.
4. წერტილი არის წრის ცენტრი. წრის რადიუსი ტოლია. აუცილებელია ვიპოვოთ წერტილის კოორდინატები, რომელიც მიღებულია საწყისი რადიუსის ვექტორის მიერ.
5. წერტილი არის წრის ცენტრი. წრის რადიუსი ტოლია. აუცილებელია ვიპოვოთ წერტილის კოორდინატები, რომელიც მიღებულია საწყისი რადიუსის ვექტორის მიერ.
გიჭირთ წრეზე წერტილის კოორდინატების პოვნა?
ამოხსენით ეს ხუთი მაგალითი (ან ისწავლეთ მათი ამოხსნა) და ისწავლით მათ პოვნას!
1.
თქვენ შეგიძლიათ შეამჩნიოთ ეს. მაგრამ ჩვენ ვიცით, რა შეესაბამება საწყისი წერტილის სრულ რევოლუციას. ამრიგად, სასურველი წერტილი იქნება იმავე მდგომარეობაში, როგორც მობრუნებისას. ამის ცოდნა, ჩვენ ვპოულობთ წერტილის საჭირო კოორდინატებს:
2. ერთეული წრე ორიენტირებულია წერტილზე, რაც ნიშნავს, რომ შეგვიძლია გამოვიყენოთ გამარტივებული ფორმულები:
თქვენ შეგიძლიათ შეამჩნიოთ ეს. ჩვენ ვიცით, რა შეესაბამება საწყისი წერტილის ორ სრულ რევოლუციას. ამრიგად, სასურველი წერტილი იქნება იმავე მდგომარეობაში, როგორც მობრუნებისას. ამის ცოდნა, ჩვენ ვპოულობთ წერტილის საჭირო კოორდინატებს:
სინუსი და კოსინუსი არის ცხრილის მნიშვნელობები. ჩვენ ვიხსენებთ მათ მნიშვნელობებს და ვიღებთ:
ამრიგად, სასურველ წერტილს აქვს კოორდინატები.
3. ერთეული წრე ორიენტირებულია წერტილზე, რაც ნიშნავს, რომ შეგვიძლია გამოვიყენოთ გამარტივებული ფორმულები:
თქვენ შეგიძლიათ შეამჩნიოთ ეს. მოდით ასახოთ მოცემული მაგალითი ფიგურაში:
რადიუსი ქმნის კუთხეებს ღერძის ტოლი და მასთან. იმის ცოდნა, რომ კოსინუსისა და სინუსის ცხრილის მნიშვნელობები ტოლია და დავადგინეთ, რომ აქ კოსინუსი იღებს უარყოფით მნიშვნელობას, ხოლო სინუსი იღებს დადებით მნიშვნელობას, გვაქვს:
ასეთი მაგალითები უფრო დეტალურად განიხილება თემაში ტრიგონომეტრიული ფუნქციების შემცირების ფორმულების შესწავლისას.
ამრიგად, სასურველ წერტილს აქვს კოორდინატები.
4.
ვექტორის რადიუსის ბრუნვის კუთხე (პირობით)
სინუსის და კოსინუსის შესაბამისი ნიშნების დასადგენად, ჩვენ ვაშენებთ ერთეულ წრეს და კუთხეს:
როგორც ხედავთ, მნიშვნელობა, ანუ დადებითია, ხოლო მნიშვნელობა, ანუ უარყოფითი. შესაბამისი ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ცხრილის მნიშვნელობების ცოდნა მივიღებთ, რომ:
მოდით, მიღებული მნიშვნელობები ჩავანაცვლოთ ჩვენს ფორმულაში და ვიპოვოთ კოორდინატები:
ამრიგად, სასურველ წერტილს აქვს კოორდინატები.
5. ამ პრობლემის გადასაჭრელად ვიყენებთ ფორმულებს ზოგადი ფორმით, სადაც
წრის ცენტრის კოორდინატები (ჩვენს მაგალითში,
წრის რადიუსი (მდგომარეობით)
ვექტორის რადიუსის ბრუნვის კუთხე (პირობით).
მოდით ჩავანაცვლოთ ყველა მნიშვნელობა ფორმულაში და მივიღოთ:
და - ცხრილის მნიშვნელობები. გავიხსენოთ და ჩავანაცვლოთ ისინი ფორმულაში:
ამრიგად, სასურველ წერტილს აქვს კოორდინატები.
შემაჯამებელი და ძირითადი ფორმულები
კუთხის სინუსი არის მოპირდაპირე (შორს) ფეხის თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან.
კუთხის კოსინუსი არის მიმდებარე (ახლო) ფეხის თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან.
კუთხის ტანგენსი არის მოპირდაპირე (შორი) მხარის შეფარდება მიმდებარე (ახლო) მხარესთან.
კუთხის კოტანგენსი არის მიმდებარე (ახლო) მხარის შეფარდება მოპირდაპირე (შორს) მხარეს.
გავიხსენოთ სასკოლო მათემატიკის კურსი და ვისაუბროთ რა არის ტანგენსი და როგორ ვიპოვოთ კუთხის ტანგენსი. ჯერ განვსაზღვროთ რა ჰქვია ტანგენტს. მართკუთხა სამკუთხედში, მახვილი კუთხის ტანგენსი არის მოპირდაპირე მხარის თანაფარდობა მეზობელ მხარესთან. მიმდებარე ფეხი არის ის, რომელიც მონაწილეობს კუთხის ჩამოყალიბებაში, მოპირდაპირე ფეხი არის ის, რომელიც მდებარეობს კუთხის საპირისპიროდ.
ასევე, მახვილი კუთხის ტანგენსი არის ამ კუთხის სინუსის შეფარდება მის კოსინუსთან. გასაგებად, გავიხსენოთ რა არის კუთხის სინუსი და კოსინუსი. მართკუთხა სამკუთხედში მწვავე კუთხის სინუსი არის მოპირდაპირე მხარის თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან, კოსინუსი არის მიმდებარე მხარის შეფარდება ჰიპოტენუზასთან.
ასევე არის კოტანგენსი, ის ტანგენტის საპირისპიროა. კოტანგენსი არის მიმდებარე მხარის შეფარდება მოპირდაპირე მხარეს და, შესაბამისად, კუთხის კოსინუსის შეფარდება მის სინუსთან.
სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი არის კუთხის ტრიგონომეტრიული ფუნქციები; ისინი აჩვენებენ ურთიერთობას სამკუთხედის კუთხეებსა და გვერდებს შორის და ეხმარება სამკუთხედის გვერდების გამოთვლას.
გამოთვალეთ მახვილი კუთხის ტანგენსი
როგორ მოვძებნოთ ტანგენსი სამკუთხედში? იმისათვის, რომ დრო არ დაკარგოთ ტანგენტის ძიებაში, შეგიძლიათ იპოვოთ სპეციალური ცხრილები, რომლებიც მიუთითებენ მრავალი კუთხის ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებზე. სკოლის გეომეტრიის პრობლემებში, გარკვეული კუთხეები ძალიან ხშირია და მასწავლებლებს სთხოვენ დაიმახსოვრონ მათი სინუსების, კოსინუსების, ტანგენტების და კოტანგენტების მნიშვნელობები. გთავაზობთ პატარა თეფშს ამ კუთხეების საჭირო მნიშვნელობებით.
თუ კუთხე, რომლის ტანგენტიც უნდა იპოვოთ, არ არის წარმოდგენილი ამ ცხრილში, მაშინ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ორი ფორმულა, რომლებიც ზემოთ წარმოვადგინეთ ვერბალური ფორმით.
კუთხის ტანგენსის გამოსათვლელად პირველი გზა არის მოპირდაპირე ფეხის სიგრძის გაყოფა მიმდებარე ფეხის სიგრძეზე. ვთქვათ, მოპირდაპირე მხარე არის 4, ხოლო მიმდებარე მხარე არის 8. ტანგენტის საპოვნელად საჭიროა 4:8. კუთხის ტანგენსი იქნება ½ ან 0,5.
ტანგენტის გამოთვლის მეორე გზა არის მოცემული კუთხის სინუსის სიდიდის გაყოფა მის კოსინუსზე. მაგალითად, გვაძლევენ 45 გრადუსიან კუთხეს. მისი ცოდვა = ფესვი ორი გაყოფილი ორზე; მისი cos უდრის იგივე რიცხვს. ახლა ჩვენ ვყოფთ სინუსს კოსინუსზე და მივიღებთ ერთის ტოლ ტანგენტს.
ეს ხდება, რომ თქვენ უნდა გამოიყენოთ ზუსტად ეს ფორმულა, მაგრამ ცნობილია მხოლოდ ერთი ელემენტი - ან სინუსი ან კოსინუსი. ამ შემთხვევაში, სასარგებლო იქნება ფორმულის დამახსოვრება
sin2 α + cos2 α = 1. ეს არის ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტობა. უცნობი ელემენტის ცნობილი ტერმინით გამოხატვით, შეგიძლიათ გაიგოთ მისი მნიშვნელობა. სინუსის და კოსინუსის ცოდნით, ტანგენტის პოვნა რთული არ არის.
და თუ გეომეტრია აშკარად არ არის თქვენი მოწოდება, მაგრამ მაინც გჭირდებათ საშინაო დავალების შესრულება, მაშინ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ონლაინ კალკულატორი კუთხის ტანგენტის გამოსათვლელად.
ჩვენ გითხარით მარტივი მაგალითების გამოყენებით, თუ როგორ უნდა იპოვოთ ტანგენსი. თუმცა, დავალების პირობები შეიძლება იყოს უფრო რთული და ყოველთვის არ არის შესაძლებელი ყველა საჭირო მონაცემის სწრაფად გარკვევა. ამ შემთხვევაში პითაგორას თეორემა და სხვადასხვა ტრიგონომეტრიული ფუნქცია დაგეხმარებათ.
ცხრილი შეიცავს ტანგენტების მნიშვნელობებს 0°-დან 360°-მდე.
ტანგენტების ცხრილი საჭიროა, როდესაც ხელთ არ გაქვთ კალკულატორი. იმის გასარკვევად, თუ რა არის კუთხის ტანგენსი, უბრალოდ შეხედეთ მას ცხრილში. პირველი, ცხრილის მოკლე ვერსია:
https://uchim.org/matematika/tablica-tangensov - uchim.org
ტანგენტის ცხრილი 0°-180°
|
|
|
ტანგენტის ცხრილი 180° - 360°
|
|
|
ასევე არსებობს ტრიგონომეტრიული ფუნქციების შემდეგი ცხრილები გეომეტრიაში: სინუსების ცხრილი, კოსინუსების ცხრილი და კოტანგენტების ცხრილი.
ყველაფერი სასწავლო » მათემატიკა სკოლაში » კუთხეების ტანგენტების ცხრილი (კუთხეები, მნიშვნელობები)
გვერდის დასანიშნებლად დააჭირეთ Ctrl+D.
ჯგუფი, რომელსაც აქვს ბევრი სასარგებლო ინფორმაცია (გამოწერა თუ გაქვთ ერთიანი სახელმწიფო გამოცდა ან ერთიანი სახელმწიფო გამოცდა):
ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ნიშნები
ტრიგონომეტრიული ფუნქციის ნიშანი დამოკიდებულია მხოლოდ კოორდინატთა კვადრატზე, რომელშიც მდებარეობს რიცხვითი არგუმენტი.
ბოლო დროს ვისწავლეთ არგუმენტების გადაყვანა რადიანის საზომიდან ხარისხობრივ საზომად (იხილეთ გაკვეთილი „კუთხის რადიანი და გრადუსიანი ზომა“), შემდეგ კი იგივე კოორდინატთა მეოთხედი განვსაზღვროთ. ახლა რეალურად განვსაზღვროთ სინუსის, კოსინუსის და ტანგენტის ნიშანი.
კუთხე α არის წერტილის ორდინატი (y კოორდინატი) ტრიგონომეტრიულ წრეზე, რომელიც ჩნდება, როდესაც რადიუსი ბრუნავს α კუთხით.
კუთხე α არის ტრიგონომეტრიული წრის წერტილის აბსცისა (x კოორდინატი), რომელიც ჩნდება, როდესაც რადიუსი ბრუნავს α კუთხით.
კუთხე α არის სინუსისა და კოსინუსების შეფარდება.
ან, რაც იგივეა, y კოორდინატის შეფარდება x კოორდინატთან.
აღნიშვნა: sin α = y ; cos α = x; tg α = y: x.
ყველა ეს განმარტება თქვენთვის ცნობილია საშუალო სკოლის ალგებრადან. თუმცა ჩვენ გვაინტერესებს არა თავად განმარტებები, არამედ შედეგები, რომლებიც წარმოიქმნება ტრიგონომეტრიულ წრეზე. Შეხედე:
ლურჯი ფერი მიუთითებს OY ღერძის დადებით მიმართულებაზე (ორდინატთა ღერძი), წითელი მიუთითებს OX ღერძის დადებით მიმართულებაზე (აბსცისის ღერძი).
ამ "რადარზე" აშკარა ხდება ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ნიშნები. Კერძოდ:
- sin α > 0, თუ კუთხე α დევს I ან II კოორდინატთა კვადრატში. ეს იმიტომ ხდება, რომ განმარტებით, სინუსი არის ორდინატი (y კოორდინატი).
ხოლო y კოორდინატი დადებითი იქნება ზუსტად I და II კოორდინატთა კვარტალებში;
- cos α > 0, თუ კუთხე α დევს 1 ან მე-4 კოორდინატულ კვადრატში. რადგან მხოლოდ იქ x კოორდინატი (aka abscissa) იქნება ნულზე მეტი;
- tan α > 0 თუ კუთხე α დევს I ან III კოორდინატთა კვადრატში. ეს გამომდინარეობს განმარტებიდან: ბოლოს და ბოლოს, tan α = y: x, ამიტომ დადებითია მხოლოდ იქ, სადაც x და y ნიშნები ერთმანეთს ემთხვევა.
ეს ხდება პირველ კოორდინატთა კვარტალში (აქ x > 0, y > 0) და მესამე კოორდინატთა კვარტალში (x< 0, y < 0).
სიცხადისთვის, მოდით აღვნიშნოთ თითოეული ტრიგონომეტრიული ფუნქციის ნიშნები - სინუსი, კოსინუსი და ტანგენსი - ცალკეულ "რადარებზე". ჩვენ ვიღებთ შემდეგ სურათს:
შენიშვნა: ჩემს დისკუსიებში მე არასოდეს მითქვამს მეოთხე ტრიგონომეტრიულ ფუნქციაზე - კოტანგენტს.
ფაქტია, რომ კოტანგენტების ნიშნები ემთხვევა ტანგენტის ნიშნებს - იქ განსაკუთრებული წესები არ არსებობს.
ახლა მე ვთავაზობ B11 ამოცანების მსგავსი მაგალითების განხილვას მათემატიკაში ერთიანი სახელმწიფო გამოცდიდან, რომელიც ჩატარდა 2011 წლის 27 სექტემბერს. ბოლოს და ბოლოს, თეორიის გასაგებად საუკეთესო გზა პრაქტიკაა. მიზანშეწონილია ბევრი პრაქტიკა. რა თქმა უნდა, დავალებების პირობები ოდნავ შეიცვალა.
დავალება. განსაზღვრეთ ტრიგონომეტრიული ფუნქციების და გამონათქვამების ნიშნები (თვით ფუნქციების მნიშვნელობები არ არის საჭირო გამოთვლა):
- sin (3π/4);
- cos(7π/6);
- tg (5π/3);
- sin (3π/4) cos (5π/6);
- cos (2π/3) tg (π/4);
- sin (5π/6) cos (7π/4);
- რუჯი (3π/4) cos (5π/3);
- ctg (4π/3) tg (π/6).
სამოქმედო გეგმა ასეთია: ჯერ ყველა კუთხეს რადიანის ზომებიდან ვაქცევთ გრადუსამდე (π → 180°), შემდეგ კი ვნახოთ, რომელ კოორდინატულ მეოთხედშია მიღებული რიცხვი.
კვარტლების ცოდნით, ჩვენ მარტივად შეგვიძლია ვიპოვოთ ნიშნები - ახლახან აღწერილი წესების მიხედვით. Ჩვენ გვაქვს:
- ცოდვა (3π/4) = ცოდვა (3 · 180°/4) = ცოდვა 135°. ვინაიდან 135° ∈ , ეს არის კუთხე II კოორდინატთა კვადრატიდან. მაგრამ მეორე მეოთხედში სინუსი დადებითია, ამიტომ sin (3π/4) > 0;
- cos (7π/6) = cos (7 · 180°/6) = cos 210°. იმიტომ რომ 210° ∈, ეს არის კუთხე მესამე კოორდინატთა კვადრატიდან, რომელშიც ყველა კოსინუსი უარყოფითია.
ამიტომ cos(7π/6)< 0;
- tg (5π/3) = tg (5 · 180°/3) = tg 300°. 300° ∈ , ჩვენ ვართ IV კვარტალში, სადაც ტანგენსი უარყოფით მნიშვნელობებს იღებს. ამიტომ რუჯი (5π/3)< 0;
- sin (3π/4) cos (5π/6) = sin (3 180°/4) cos (5 180°/6) = sin 135° cos 150°. გავუმკლავდეთ სინუსს: იმიტომ 135° ∈ , ეს არის მეორე მეოთხედი, რომელშიც სინუსები დადებითია, ე.ი.
sin (3π/4) > 0. ახლა ვმუშაობთ კოსინუსით: 150° ∈ - ისევ მეორე მეოთხედი, იქ კოსინუსები უარყოფითია. ამიტომ cos(5π/6)< 0. Наконец, следуя правилу «плюс на минус дает знак минус», получаем: sin (3π/4) · cos (5π/6) < 0;
- cos (2π/3) tg (π/4) = cos (2 180°/3) tg (180°/4) = cos 120° tg 45°. ჩვენ ვუყურებთ კოსინუსს: 120° ∈ არის II კოორდინატთა მეოთხედი, ამიტომ cos (2π/3)< 0. Смотрим на тангенс: 45° ∈ - это I четверть (самый обычный угол в тригонометрии).
იქ ტანგენსი დადებითია, ამიტომ რუჯი (π/4) > 0. ისევ ვიღებთ პროდუქტს, რომელშიც ფაქტორებს განსხვავებული ნიშნები აქვთ. ვინაიდან „მინუს პლუსით იძლევა მინუსს“, გვაქვს: cos (2π/3) tg (π/4)< 0;
- sin (5π/6) cos (7π/4) = sin (5 180°/6) cos (7 180°/4) = sin 150° cos 315°. ჩვენ ვმუშაობთ სინუსთან: 150° ∈ დან ვსაუბრობთ II კოორდინატთა კვარტალზე, სადაც სინუსები დადებითია.
მაშასადამე, sin (5π/6) > 0. ანალოგიურად, 315° ∈ არის IV კოორდინატთა მეოთხედი, იქ კოსინუსები დადებითია.
ამიტომ cos (7π/4) > 0. მივიღეთ ორი დადებითი რიცხვის ნამრავლი - ასეთი გამოხატულება ყოველთვის დადებითია. ვასკვნით: sin (5π/6) cos (7π/4) > 0;
- tg (3π/4) cos (5π/3) = tg (3 180°/4) cos (5 180°/3) = tg 135° cos 300°.
მაგრამ კუთხე 135° ∈ არის მეორე მეოთხედი, ე.ი. tg (3π/4)< 0. Аналогично, угол 300° ∈ - это IV четверть, т.е. cos (5π/3) > 0.
ვინაიდან „მინუს პლუსით იძლევა მინუს ნიშანს“, გვაქვს: tg (3π/4) cos (5π/3)< 0;
- ctg (4π/3) tg (π/6) = ctg (4 180°/3) tg (180°/6) = ctg 240° tg 30°. ჩვენ ვუყურებთ კოტანგენტის არგუმენტს: 240° ∈ არის III კოორდინატთა მეოთხედი, შესაბამისად ctg (4π/3) > 0. ანალოგიურად, ტანგენსისთვის გვაქვს: 30° ∈ არის I კოორდინატთა მეოთხედი, ე.ი. უმარტივესი კუთხე. ამიტომ tan (π/6) > 0. ისევ გვაქვს ორი დადებითი გამონათქვამი - მათი ნამრავლიც დადებითი იქნება.
ამიტომ საწოლი (4π/3) tg (π/6) > 0.
და ბოლოს, მოდით შევხედოთ რამდენიმე უფრო რთულ პრობლემას. ტრიგონომეტრიული ფუნქციის ნიშნის გარკვევის გარდა, აქ მოგიწევთ ცოტა მათემატიკის გაკეთება - ზუსტად ისე, როგორც ეს კეთდება რეალურ ამოცანებში B11. პრინციპში, ეს არის თითქმის რეალური პრობლემები, რომლებიც რეალურად ჩნდება მათემატიკაში ერთიან სახელმწიფო გამოცდაში.
იპოვეთ sin α, თუ sin2 α = 0,64 და α ∈ [π/2; π].
ვინაიდან sin2 α = 0,64 გვაქვს: sin α = ±0,8.
რჩება მხოლოდ გადაწყვეტა: პლუსი თუ მინუსი? პირობით, კუთხე α ∈ [π/2; π] არის II კოორდინატთა მეოთხედი, სადაც ყველა სინუსი დადებითია. შესაბამისად, sin α = 0.8 - ნიშნებით გაურკვევლობა აღმოფხვრილია.
დავალება. იპოვეთ cos α, თუ cos2 α = 0,04 და α ∈ [π; 3π/2].
ჩვენც ანალოგიურად ვმოქმედებთ, ე.ი.
აიღეთ კვადრატული ფესვი: cos2 α = 0,04 ⇒ cos α = ±0,2. პირობით, კუთხე α ∈ [π; 3π/2], ე.ი. საუბარია მესამე კოორდინატულ კვარტალზე. იქ ყველა კოსინუსი უარყოფითია, ამიტომ cos α = −0.2.
დავალება. იპოვეთ sin α, თუ sin2 α = 0,25 და α ∈ .
გვაქვს: sin2 α = 0,25 ⇒ sin α = ±0,5.
ნებისმიერი კუთხის ტრიგონომეტრიული ფუნქციები
ისევ ვუყურებთ კუთხეს: α ∈ არის IV კოორდინატთა მეოთხედი, რომელშიც, როგორც ვიცით, სინუსი უარყოფითი იქნება. ამრიგად, დავასკვნათ: sin α = −0,5.
დავალება. იპოვეთ tan α, თუ tan2 α = 9 და α ∈ .
ყველაფერი იგივეა, მხოლოდ ტანგენტისთვის.
ამოიღეთ კვადრატული ფესვი: tan2 α = 9 ⇒ tan α = ±3. მაგრამ პირობის მიხედვით, კუთხე α ∈ არის I კოორდინატთა მეოთხედი. ყველა ტრიგონომეტრიული ფუნქცია, მათ შორის. ტანგენტი, არის დადებითი, ამიტომ tan α = 3. ეს არის ის!
