ექსპონენტი გამოიყენება იმისათვის, რომ გაადვილდეს რიცხვის თავისთავად გამრავლების მოქმედების ჩაწერა. მაგალითად, წერის ნაცვლად შეგიძლიათ დაწეროთ 4 5 (\displaystyle 4^(5))(ასეთი გადასვლის ახსნა მოცემულია ამ სტატიის პირველ ნაწილში). ძალები აადვილებს გრძელი ან რთული გამონათქვამების ან განტოლებების დაწერას; ასევე, ძალები ადვილად ემატება და აკლდება, რაც იწვევს გამოხატვის ან განტოლების გამარტივებას (მაგალითად, 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 (\displaystyle 4^(2)*4^(3)=4^(5))).

Შენიშვნა:თუ ექსპონენციალური განტოლების ამოხსნა გჭირდებათ (ასეთ განტოლებაში უცნობია მაჩვენებელში), წაიკითხეთ.

ნაბიჯები

მარტივი პრობლემების გადაჭრა ძალაუფლებით

გაამრავლეთ მაჩვენებლის ფუძე თავის თავზე რამდენჯერმე მაჩვენებლის ტოლი.თუ მაჩვენებლების პრობლემის გადაჭრა გჭირდებათ ხელით, გადაწერეთ მაჩვენებლის გამრავლების ოპერაცია, სადაც მაჩვენებლის საფუძველი თავისთავად მრავლდება. მაგალითად, ხარისხის გათვალისწინებით 3 4 (\displaystyle 3^(4)). ამ შემთხვევაში, მე-3 ხარისხის საფუძველი უნდა გამრავლდეს თავისთავად 4-ჯერ: 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 (\displaystyle 3*3*3*3). აქ არის სხვა მაგალითები:

პირველი, გაამრავლეთ პირველი ორი რიცხვი.Მაგალითად, 4 5 (\displaystyle 4^(5)) = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4*4*4*4*4). არ ინერვიულოთ - გაანგარიშების პროცესი არც ისე რთულია, როგორც ერთი შეხედვით ჩანს. ჯერ გაამრავლეთ პირველი ორი ოთხჯერ და შემდეგ შეცვალეთ ისინი შედეგით. Ამგვარად:

• 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4)
  • 4 ∗ 4 = 16 (\displaystyle 4*4=16)

1. გაამრავლეთ შედეგი (ჩვენს მაგალითში 16) მომდევნო რიცხვზე.ყოველი მომდევნო შედეგი პროპორციულად გაიზრდება. ჩვენს მაგალითში გავამრავლოთ 16 4-ზე. ასე:

   • 4 5 = 16 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=16*4*4*4)
     • 16 ∗ 4 = 64 (\displaystyle 16*4=64)
   • 4 5 = 64 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=64*4*4)
     • 64 ∗ 4 = 256 (\displaystyle 64*4=256)
   • 4 5 = 256 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=256*4)
     • 256 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 256*4=1024)
   • გააგრძელეთ პირველი ორი რიცხვის გამრავლების შედეგი მომდევნო რიცხვზე, სანამ საბოლოო პასუხს არ მიიღებთ. ამისათვის გაამრავლეთ პირველი ორი რიცხვი და შემდეგ გაამრავლეთ შედეგი მომდევნო რიცხვზე თანმიმდევრობით. ეს მეთოდი მოქმედებს ნებისმიერი ხარისხისთვის. ჩვენს მაგალითში თქვენ უნდა მიიღოთ: 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4=1024) .

2. მოაგვარეთ შემდეგი პრობლემები.შეამოწმეთ თქვენი პასუხი კალკულატორით.

   • 8 2 (\displaystyle 8^(2))
   • 3 4 (\displaystyle 3^(4))
   • 10 7 (\displaystyle 10^(7))

3. კალკულატორზე მოძებნეთ გასაღები წარწერით "exp" ან " x n (\displaystyle x^(n))", ან "^".ამ კლავიშის საშუალებით თქვენ ასწევთ რიცხვს ხარისხზე. პრაქტიკულად შეუძლებელია ხარისხის ხელით გამოთვლა დიდი მაჩვენებლით (მაგალითად, ხარისხი 9 15 (\displaystyle 9^(15))), მაგრამ კალკულატორი ადვილად უმკლავდება ამ ამოცანას. Windows 7-ში სტანდარტული კალკულატორი შეიძლება გადავიდეს საინჟინრო რეჟიმში; ამისათვის დააჭირეთ "ნახვა" -\u003e "ინჟინერია". ნორმალურ რეჟიმში გადასასვლელად დააჭირეთ ღილაკს "ნახვა" -\u003e "ნორმალური".

   • შეამოწმეთ მიღებული პასუხი საძიებო სისტემის გამოყენებით (Google ან Yandex). კომპიუტერის კლავიატურაზე „^“ ღილაკის გამოყენებით შეიყვანეთ გამონათქვამი საძიებო სისტემაში, რომელიც მყისიერად აჩვენებს სწორ პასუხს (და შესაძლოა შემოგთავაზოთ მსგავსი გამონათქვამები შესასწავლად).

   ძალაუფლების შეკრება, გამოკლება, გამრავლება

   1. თქვენ შეგიძლიათ დაამატოთ და გამოკლოთ ძალა მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მათ აქვთ იგივე საფუძველი.თუ თქვენ გჭირდებათ ძალაუფლების დამატება იმავე ფუძეებით და მაჩვენებლებით, მაშინ შეგიძლიათ შეცვალოთ შეკრების ოპერაცია გამრავლების ოპერაციით. მაგალითად, მოცემული გამოხატულება 4 5 + 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)). გახსოვდეთ, რომ ხარისხი 4 5 (\displaystyle 4^(5))შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც 1 ∗ 4 5 (\displaystyle 1*4^(5)); ამრიგად, 4 5 + 4 5 = 1 ∗ 4 5 + 1 ∗ 4 5 = 2 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)=1*4^(5)+1*4^(5) =2*4^(5))(სადაც 1 +1 =2). ანუ დათვალეთ მსგავსი გრადუსების რაოდენობა და შემდეგ გაამრავლეთ ასეთი ხარისხი და ეს რიცხვი. ჩვენს მაგალითში აწიეთ 4 მეხუთე ხარისხზე და შემდეგ გაამრავლეთ შედეგი 2-ზე. გახსოვდეთ, რომ შეკრების ოპერაცია შეიძლება შეიცვალოს გამრავლების ოპერაციით, მაგალითად, 3 + 3 = 2 ∗ 3 (\displaystyle 3+3=2*3). აქ არის სხვა მაგალითები:

      • 3 2 + 3 2 = 2 ∗ 3 2 (\displaystyle 3^(2)+3^(2)=2*3^(2))
      • 4 5 + 4 5 + 4 5 = 3 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)+4^(5)=3*4^(5))
      • 4 5 − 4 5 + 2 = 2 (\displaystyle 4^(5)-4^(5)+2=2)
      • 4 x 2 − 2 x 2 = 2 x 2 (\displaystyle 4x^(2)-2x^(2)=2x^(2))

   2. ერთსა და იმავე ფუძეზე ძალების გამრავლებისას ემატება მათი მაჩვენებლები (ფუძე არ იცვლება).მაგალითად, მოცემული გამოხატულება x 2 ∗ x 5 (\displaystyle x^(2)*x^(5)). ამ შემთხვევაში, თქვენ უბრალოდ უნდა დაამატოთ ინდიკატორები, დატოვოთ ბაზა უცვლელი. ამრიგად, x 2 ∗ x 5 = x 7 (\displaystyle x^(2)*x^(5)=x^(7)). აქ მოცემულია ამ წესის ვიზუალური ახსნა:

      სიმძლავრის ხარისხზე აყვანისას, მაჩვენებლები მრავლდება.მაგალითად, მიენიჭა ხარისხი. ვინაიდან მაჩვენებლები მრავლდება, მაშინ (x 2) 5 = x 2 ∗ 5 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2*5)=x^(10)). ამ წესის მნიშვნელობა არის ის, რომ თქვენ გაამრავლებთ ძალას (x 2) (\displaystyle (x^(2)))თავის თავზე ხუთჯერ. Ამგვარად:

      • (x 2) 5 (\displaystyle (x^(2))^(5))
      • (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)*x^( 2)*x^(2)*x^(2))
      • ვინაიდან საფუძველი იგივეა, მაჩვენებლები უბრალოდ იკრიბება: (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)* x^(2)*x^(2)*x^(2)=x^(10))

   3. უარყოფითი მაჩვენებლის მქონე მაჩვენებელი უნდა გარდაიქმნას წილადად (შებრუნებულ ხარისხში).არ აქვს მნიშვნელობა, თუ არ იცი რა არის საპასუხო. თუ თქვენ მოგეცემათ ხარისხი უარყოფითი მაჩვენებლით, მაგალითად, 3 − 2 (\displaystyle 3^(-2)), ჩაწერეთ ეს სიმძლავრე წილადის მნიშვნელში (ჩადეთ 1 მრიცხველში) და გააკეთეთ მაჩვენებლის დადებითი. ჩვენს მაგალითში: 1 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(3^(2)))). აქ არის სხვა მაგალითები:

      ძალაუფლების ერთიდაიგივე ფუძით გაყოფისას, მათ მაჩვენებლებს აკლებენ (ფუძე არ იცვლება).გაყოფის ოპერაცია გამრავლების ოპერაციის საპირისპიროა. მაგალითად, მოცემული გამოხატულება 4 4 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))). გამოვაკლოთ მნიშვნელობის მაჩვენებელს მრიცხველის მაჩვენებელს (ძირს ნუ შეცვლით). ამრიგად, 4 4 4 2 = 4 4 − 2 = 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))=4^(4-2)=4^(2)) = 16 .

      • ხარისხი მნიშვნელში შეიძლება ჩაიწეროს შემდეგნაირად: 1 4 2 (\displaystyle (\frac (1)(4^(2)))) = 4 − 2 (\displaystyle 4^(-2)). გახსოვდეთ, რომ წილადი არის რიცხვი (ძალა, გამოხატულება) უარყოფითი მაჩვენებლით.

   4. ქვემოთ მოცემულია რამდენიმე გამოთქმა, რომელიც დაგეხმარებათ გაიგოთ, როგორ გადაჭრათ დენის პრობლემები.ზემოაღნიშნული გამონათქვამები მოიცავს ამ ნაწილში წარმოდგენილ მასალას. პასუხის სანახავად, უბრალოდ მონიშნეთ ცარიელი ადგილი ტოლობის ნიშნის შემდეგ.

      ამოცანების ამოხსნა წილადის მაჩვენებლებით

      1. ხარისხი წილადის მაჩვენებლით (მაგალითად, ) გარდაიქმნება ფესვის ამოღების ოპერაციად.ჩვენს მაგალითში: x 1 2 (\displaystyle x^(\frac (1)(2))) = x(\displaystyle(\sqrt(x))). არ აქვს მნიშვნელობა რა რიცხვია წილადის მაჩვენებლის მნიშვნელში. Მაგალითად, x 1 4 (\displaystyle x^(\frac (1)(4)))არის "x"-ის მეოთხე ფესვი x 4 (\displaystyle (\sqrt[(4)](x))) .

      2. თუ მაჩვენებელი არის არასწორი წილადი, მაშინ ასეთი მაჩვენებლის დაშლა შეიძლება ორ ხარისხად, რათა გაამარტივოს პრობლემის გადაჭრა. ამაში არაფერია რთული - უბრალოდ გახსოვდეთ ძალაუფლების გამრავლების წესი. მაგალითად, მიენიჭა ხარისხი. გადააქციეთ ეს მაჩვენებელი ფესვად, რომლის მაჩვენებლის ტოლია წილადის მაჩვენებლის მნიშვნელი და შემდეგ აწიეთ ეს ფესვი წილადის მაჩვენებლის მრიცხველის მრიცხველამდე. ამისათვის გახსოვდეთ ეს 5 3 (\displaystyle (\frac (5)(3))) = (1 3) ∗ 5 (\displaystyle ((\frac (1)(3)))*5). ჩვენს მაგალითში:

         • x 5 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3)))
         • x 1 3 = x 3 (\displaystyle x^(\frac (1)(3))=(\sqrt[(3)](x)))
         • x 5 3 = x 5 ∗ x 1 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3))=x^(5)*x^(\frac (1)(3))) = (x 3) 5 (\displaystyle ((\sqrt[(3)](x)))^(5))
      3. ზოგიერთ კალკულატორს აქვს ღილაკი მაჩვენებლების გამოსათვლელად (ჯერ უნდა შეიყვანოთ ბაზა, შემდეგ დააჭიროთ ღილაკს და შემდეგ შეიყვანოთ მაჩვენებლები). იგი აღინიშნება როგორც ^ ან x^y.
      4. გახსოვდეთ, რომ ნებისმიერი რიცხვი თავის თავს უდრის პირველ ხარისხს, მაგალითად, 4 1 = 4. (\displaystyle 4^(1)=4.)უფრო მეტიც, ნებისმიერი რიცხვი გამრავლებული ან გაყოფილი ერთზე უდრის თავის თავს, მაგალითად, 5 ∗ 1 = 5 (\displaystyle 5*1=5)და 5/1 = 5 (\displaystyle 5/1=5).
      5. იცოდე, რომ 0 0 ხარისხი არ არსებობს (ასეთ ხარისხს არ აქვს ამოხსნა). როდესაც ცდილობთ ასეთი ხარისხის ამოხსნას კალკულატორზე ან კომპიუტერზე, მიიღებთ შეცდომას. მაგრამ გახსოვდეთ, რომ ნებისმიერი რიცხვი ნულის ხარისხზე უდრის 1-ს, მაგალითად, 4 0 = 1. (\displaystyle 4^(0)=1.)
      6. უმაღლეს მათემატიკაში, რომელიც მოქმედებს წარმოსახვითი რიცხვებით: e a i x = c o s a x + i s i n a x (\displaystyle e^(a)ix=cosax+isinax), სად i = (− 1) (\displaystyle i=(\sqrt (())-1)); e არის მუდმივი დაახლოებით 2,7-ის ტოლი; a არის თვითნებური მუდმივი. ამ თანასწორობის დამადასტურებელი საბუთი შეგიძლიათ ნახოთ უმაღლესი მათემატიკის ნებისმიერ სახელმძღვანელოში.

      გაფრთხილებები

      • მაჩვენებლის ზრდასთან ერთად, მისი მნიშვნელობა მნიშვნელოვნად იზრდება. ამიტომ, თუ პასუხი არასწორად მოგეჩვენებათ, სინამდვილეში ის შეიძლება სიმართლე აღმოჩნდეს. თქვენ შეგიძლიათ შეამოწმოთ ეს ნებისმიერი ექსპონენციალური ფუნქციის გამოსახვით, როგორიცაა 2 x.

მოდით განვიხილოთ გამონათქვამების ძალებით გარდაქმნის თემა, მაგრამ პირველ რიგში ვისაუბრებთ არაერთ ტრანსფორმაციაზე, რომელიც შეიძლება განხორციელდეს ნებისმიერი გამონათქვამით, მათ შორის ძალოვანი. ჩვენ ვისწავლით როგორ გავხსნათ ფრჩხილები, მივცეთ მსგავსი ტერმინები, ვიმუშაოთ ფუძესთან და მაჩვენებელთან, გამოვიყენოთ გრადუსების თვისებები.

Yandex.RTB R-A-339285-1

რა არის ძალის გამონათქვამები?

სასკოლო კურსში ცოტა ადამიანი იყენებს ფრაზას „ძალაუფლების გამონათქვამები“, მაგრამ ეს ტერმინი მუდმივად გვხვდება გამოცდისთვის მომზადების კრებულებში. უმეტეს შემთხვევაში, ფრაზა აღნიშნავს გამონათქვამებს, რომლებიც შეიცავს ხარისხს მათ ჩანაწერებში. ეს არის ის, რაც ჩვენ ასახავს ჩვენს განმარტებას.

განმარტება 1

ძალის გამოხატვაარის გამოხატულება, რომელიც შეიცავს ხარისხებს.

ჩვენ ვაძლევთ ძალის გამოხატვის რამდენიმე მაგალითს, დაწყებული ხარისხით ბუნებრივი მაჩვენებლით და დამთავრებული ხარისხით რეალური მაჩვენებლით.

უმარტივესი სიმძლავრის გამონათქვამები შეიძლება ჩაითვალოს ბუნებრივი მაჩვენებლის მქონე რიცხვის სიმძლავრეებად: 3 2 , 7 5 + 1 , (2 + 1) 5 , (− 0 , 1) 4 , 2 2 3 3 , 3 a 2 − a + a 2 , x 3 − 1 , (a 2) 3 . ისევე როგორც სიმძლავრეები ნულოვანი მაჩვენებლით: 5 0 , (a + 1) 0 , 3 + 5 2 − 3 , 2 0 . და უარყოფითი მთელი ხარისხების მქონე ხარისხები: (0 , 5) 2 + (0 , 5) - 2 2 .

ცოტა უფრო რთულია იმ ხარისხთან მუშაობა, რომელსაც აქვს რაციონალური და ირაციონალური მაჩვენებლები: 264 1 4 - 3 3 3 1 2 , 2 3 , 5 2 - 2 2 - 1 , 5 , 1 a 1 4 a 1 2 - 2 a - 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 - π , 2 3 3 + 5 .

ინდიკატორი შეიძლება იყოს ცვლადი 3 x - 54 - 7 3 x - 58 ან ლოგარითმი x 2 l g x − 5 x l g x.

ჩვენ განვიხილეთ საკითხი, რა არის ძალაუფლების გამოხატულება. ახლა მოდით შევხედოთ მათ ტრანსფორმაციას.

ძალაუფლების გამონათქვამების გარდაქმნების ძირითადი ტიპები

უპირველეს ყოვლისა, განვიხილავთ გამონათქვამების იდენტურობის ძირითად გარდაქმნებს, რომლებიც შეიძლება შესრულდეს ძალაუფლების გამონათქვამებით.

მაგალითი 1

გამოთვალეთ სიმძლავრის გამოხატვის მნიშვნელობა 2 3 (4 2 − 12).

გადაწყვეტილება

ჩვენ განვახორციელებთ ყველა ტრანსფორმაციას მოქმედებების თანმიმდევრობის დაცვით. ამ შემთხვევაში დავიწყებთ ფრჩხილებში მოქმედებების შესრულებით: ხარისხს შევცვლით ციფრული მნიშვნელობით და გამოვთვლით განსხვავებას ორ რიცხვს შორის. Ჩვენ გვაქვს 2 3 (4 2 − 12) = 2 3 (16 − 12) = 2 3 4.

ჩვენთვის რჩება ხარისხის შეცვლა 2 3 მისი მნიშვნელობა 8 და გამოთვალეთ პროდუქტი 8 4 = 32. აქ არის ჩვენი პასუხი.

პასუხი: 2 3 (4 2 − 12) = 32 .

მაგალითი 2

გამოხატვის გამარტივება ძალებით 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7.

გადაწყვეტილება

პრობლემის პირობით ჩვენთვის მოცემული გამოთქმა შეიცავს მსგავს ტერმინებს, რომლებიც შეგვიძლია მოვიტანოთ: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1.

პასუხი: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1 .

მაგალითი 3

გამოხატეთ გამონათქვამი ხარისხებით 9 - b 3 · π - 1 2, როგორც ნამრავლი.

გადაწყვეტილება

წარმოვიდგინოთ რიცხვი 9, როგორც ძალა 3 2 და გამოიყენეთ შემოკლებული გამრავლების ფორმულა:

9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1

პასუხი: 9 - b 3 π - 1 2 = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1.

ახლა კი გადავიდეთ იდენტური გარდაქმნების ანალიზზე, რომლებიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას კონკრეტულად ძალაუფლების გამონათქვამებზე.

ბაზისთან და ექსპონენტთან მუშაობა

ფუძის ან მაჩვენებლის ხარისხს შეიძლება ჰქონდეს რიცხვები, ცვლადები და ზოგიერთი გამონათქვამი. Მაგალითად, (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7და . ასეთ ჩანაწერებთან მუშაობა რთულია. ბევრად უფრო ადვილია გამოსახულების ჩანაცვლება ხარისხის საფუძველში ან გამოხატვის გამოხატულებაში იდენტური თანაბარი გამოსახულებით.

ხარისხისა და ინდიკატორის გარდაქმნები ჩვენთვის ცნობილი წესების მიხედვით ხდება ერთმანეთისგან დამოუკიდებლად. ყველაზე მნიშვნელოვანი ის არის, რომ გარდაქმნების შედეგად მიიღება გამონათქვამი, რომელიც ორიგინალის იდენტურია.

გარდაქმნების მიზანია ორიგინალური გამოხატვის გამარტივება ან პრობლემის გადაჭრის მოპოვება. მაგალითად, ზემოთ მოყვანილ მაგალითში (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7 შეგიძლიათ შეასრულოთ ოპერაციები ხარისხამდე მისასვლელად 4 , 1 1 , 3 . ფრჩხილების გახსნით, შეგვიძლია მივიღოთ მსგავსი ტერმინები ხარისხის საფუძველში (a (a + 1) − a 2) 2 (x + 1)და მიიღეთ უფრო მარტივი ფორმის ძალის გამოხატვა a 2 (x + 1).

დენის თვისებების გამოყენება

გრადუსების თვისებები, დაწერილი ტოლობის სახით, არის ერთ-ერთი მთავარი ინსტრუმენტი გრადუსით გამოხატვის გარდაქმნისთვის. ამის გათვალისწინებით აქ წარმოგიდგენთ მთავარებს ადა ბარის ნებისმიერი დადებითი რიცხვი და რდა ს- თვითნებური რეალური რიცხვები:

განმარტება 2

• a r a s = a r + s;
• a r: a s = a r − s;
• (ა ბ) r = a r b r;
• (ა: ბ) r = a r: b r;
• (a r) s = a r s .

იმ შემთხვევებში, როდესაც საქმე გვაქვს ბუნებრივ, მთელ რიცხვებთან, დადებით მაჩვენებლებთან, a და b რიცხვებზე შეზღუდვები შეიძლება იყოს გაცილებით ნაკლებად მკაცრი. ასე, მაგალითად, თუ გავითვალისწინებთ თანასწორობას a m a n = a m + n, სად მდა ნარის ნატურალური რიცხვები, მაშინ ეს იქნება ჭეშმარიტი a-ს ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის, როგორც დადებითი, ასევე უარყოფითი, ასევე for a = 0.

თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ გრადუსების თვისებები შეზღუდვის გარეშე იმ შემთხვევებში, როდესაც გრადუსების საფუძვლები დადებითია ან შეიცავს ცვლადებს, რომელთა მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონი ისეთია, რომ ბაზები მასზე მხოლოდ დადებით მნიშვნელობებს იღებენ. ფაქტიურად მათემატიკაში სასკოლო სასწავლო გეგმის ფარგლებში მოსწავლის ამოცანაა აირჩიოს შესაბამისი თვისება და სწორად გამოიყენოს იგი.

უნივერსიტეტებში ჩასაბარებლად მომზადებისას შეიძლება არსებობდეს ამოცანები, რომლებშიც თვისებების არაზუსტმა გამოყენებამ გამოიწვიოს ODZ-ის შევიწროება და გადაწყვეტის სხვა სირთულეები. ამ განყოფილებაში განვიხილავთ მხოლოდ ორ ასეთ შემთხვევას. დამატებითი ინფორმაცია ამ თემაზე შეგიძლიათ იხილოთ თემაში "გამონათქვამების ტრანსფორმირება ექსპონენტური თვისებების გამოყენებით".

მაგალითი 4

წარმოადგინე გამოხატულება a 2, 5 (a 2) - 3: a - 5, 5როგორც ხარისხი ფუძით ა.

გადაწყვეტილება

დასაწყისისთვის, ჩვენ ვიყენებთ სიძლიერის თვისებას და გარდაქმნით მეორე ფაქტორს მისი გამოყენებით (a 2) - 3. შემდეგ ვიყენებთ ძალაუფლების გამრავლებისა და გაყოფის თვისებებს იმავე ფუძით:

a 2, 5 a − 6: a − 5, 5 = a 2, 5 − 6: a − 5 , 5 = a − 3 , 5: a − 5 , 5 = a − 3 , 5 − (− 5 , 5 ) = a 2.

პასუხი: a 2, 5 (a 2) − 3: a − 5, 5 = a 2.

სიძლიერის გამონათქვამების ტრანსფორმაცია გრადუსების თვისების მიხედვით შეიძლება განხორციელდეს როგორც მარცხნიდან მარჯვნივ, ასევე საპირისპირო მიმართულებით.

მაგალითი 5

იპოვეთ ძალა გამოხატვის მნიშვნელობა 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 .

გადაწყვეტილება

თუ თანასწორობას გამოვიყენებთ (ა ბ) r = a r b r, მარჯვნიდან მარცხნივ, შემდეგ მივიღებთ 3 7 1 3 21 2 3 და შემდეგ 21 1 3 21 2 3 ფორმის ნამრავლს. მოდით დავუმატოთ მაჩვენებლები იმავე საფუძვლებით ხარისხების გამრავლებისას: 21 1 3 21 2 3 \u003d 21 1 3 + 2 3 \u003d 21 1 \u003d 21.

გარდაქმნების სხვა გზა არსებობს:

3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 3 7 1 3 (3 7) 2 3 = 3 1 3 7 1 3 3 2 3 7 2 3 = = 3 1 3 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21

პასუხი: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21

მაგალითი 6

ძალის გამოხატვის მოცემული a 1, 5 − a 0, 5 − 6, შეიყვანეთ ახალი ცვლადი t = a 0, 5.

გადაწყვეტილება

წარმოიდგინეთ ხარისხი a 1, 5როგორც a 0, 5 3. ხარისხი თვისების გამოყენება ხარისხში (a r) s = a r sმარჯვნიდან მარცხნივ და მიიღეთ (a 0 , 5) 3: a 1 , 5 - a 0 , 5 - 6 = (a 0 , 5) 3 - a 0 , 5 - 6 . შედეგად გამოსახულებაში, თქვენ შეგიძლიათ მარტივად შემოიტანოთ ახალი ცვლადი t = a 0, 5: მიიღეთ t 3 − t − 6.

პასუხი: t 3 − t − 6 .

სიმძლავრის შემცველი წილადების გადაქცევა

ჩვენ ჩვეულებრივ საქმე გვაქვს წილადებით ძლიერ გამოსახულებების ორ ვარიანტთან: გამოხატულება არის წილადი ხარისხით ან შეიცავს ასეთ წილადს. ყველა ძირითადი წილადის გარდაქმნა გამოიყენება ასეთ გამონათქვამებზე შეზღუდვების გარეშე. მათი შემცირება, ახალ მნიშვნელზე მიყვანა, მრიცხველთან და მნიშვნელთან ცალკე მუშაობა. მოდი მაგალითებით ავხსნათ ეს.

მაგალითი 7

გაამარტივეთ სიმძლავრის გამოხატულება 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 .

გადაწყვეტილება

საქმე გვაქვს წილადთან, ამიტომ გარდაქმნებს განვახორციელებთ როგორც მრიცხველში, ასევე მნიშვნელში:

3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2

წილადის წინ დადეთ მინუსი მნიშვნელის ნიშნის შესაცვლელად: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2

პასუხი: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2

სიმძლავრეების შემცველი წილადები მცირდება ახალ მნიშვნელამდე ისევე, როგორც რაციონალური წილადები. ამისათვის თქვენ უნდა იპოვოთ დამატებითი ფაქტორი და გაამრავლოთ წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი მასზე. აუცილებელია დამატებითი ფაქტორის არჩევა ისე, რომ იგი არ გაქრეს ცვლადების არცერთი მნიშვნელობისთვის ODZ ცვლადებიდან ორიგინალური გამოხატვისთვის.

მაგალითი 8

მიიტანეთ წილადები ახალ მნიშვნელზე: ა) a + 1 a 0, 7 მნიშვნელზე. ა, ბ) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 მნიშვნელთან x + 8 y 1 2 .

გადაწყვეტილება

ა) ვირჩევთ ისეთ ფაქტორს, რომელიც საშუალებას მოგვცემს შევიყვანოთ ახალ მნიშვნელზე. a 0, 7 a 0, 3 = a 0, 7 + 0, 3 = a,ამიტომ დამატებით ფაქტორად ვიღებთ a 0, 3. ცვლადის a დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონი მოიცავს ყველა დადებითი რეალური რიცხვის სიმრავლეს. ამ სფეროში, ხარისხი a 0, 3ნულამდე არ მიდის.

გავამრავლოთ წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი a 0, 3:

a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 = a + 1 a 0, 3 a

ბ) ყურადღება მიაქციეთ მნიშვნელს:

x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2

გავამრავლოთ ეს გამონათქვამი x 1 3 + 2 · y 1 6-ზე, მივიღებთ კუბების ჯამს x 1 3 და 2 · y 1 6, ე.ი. x + 8 · y 1 2 . ეს არის ჩვენი ახალი მნიშვნელი, რომელსაც უნდა მივიყვანოთ საწყისი წილადი.

ასე რომ, ჩვენ ვიპოვეთ დამატებითი ფაქტორი x 1 3 + 2 · y 1 6. ცვლადების მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონზე xდა წგამოთქმა x 1 3 + 2 y 1 6 არ ქრება, ასე რომ ჩვენ შეგვიძლია გავამრავლოთ წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი მასზე:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2

პასუხი:ა) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, ბ) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2 .

მაგალითი 9

წილადის შემცირება: ა) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, ბ) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2.

გადაწყვეტილება

ა) გამოიყენეთ უდიდესი საერთო მნიშვნელი (GCD), რომლითაც შეიძლება მრიცხველი და მნიშვნელი შემცირდეს. 30 და 45 ნომრებისთვის ეს არის 15. ასევე შეგვიძლია შევამციროთ x 0, 5 + 1და x + 2 x 1 1 3 - 5 3-ზე.

ჩვენ ვიღებთ:

30 x 3 (x 0 , 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0 , 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0 , 5 + 1)

ბ) აქ იდენტური ფაქტორების არსებობა აშკარა არ არის. თქვენ მოგიწევთ გარკვეული ტრანსფორმაციების შესრულება, რათა მიიღოთ იგივე ფაქტორები მრიცხველში და მნიშვნელში. ამისათვის ჩვენ ვაფართოებთ მნიშვნელს კვადრატების სხვაობის ფორმულის გამოყენებით:

a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4

პასუხი:ა) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1), ბ) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 .

წილადებთან ძირითადი ოპერაციები მოიცავს ახალ მნიშვნელამდე შემცირებას და წილადების შემცირებას. ორივე მოქმედება ხორციელდება რიგი წესების დაცვით. წილადების შეკრებისა და გამოკლებისას წილადები ჯერ მცირდება საერთო მნიშვნელამდე, რის შემდეგაც მოქმედებები (შეკრება ან გამოკლება) სრულდება მრიცხველებით. მნიშვნელი იგივე რჩება. ჩვენი მოქმედებების შედეგია ახალი წილადი, რომლის მრიცხველი არის მრიცხველების ნამრავლი, ხოლო მნიშვნელი არის მნიშვნელების ნამრავლი.

მაგალითი 10

შეასრულეთ ნაბიჯები x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2.

გადაწყვეტილება

დავიწყოთ ფრჩხილებში მოთავსებული წილადების გამოკლებით. მოდით მივიყვანოთ ისინი საერთო მნიშვნელამდე:

x 1 2 - 1 x 1 2 + 1

გამოვაკლოთ მრიცხველები:

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2

ახლა ვამრავლებთ წილადებს:

4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2

დავიკლოთ ხარისხით x 1 2, ვიღებთ 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 .

გარდა ამისა, თქვენ შეგიძლიათ გაამარტივოთ სიმძლავრის გამოხატულება მნიშვნელში კვადრატების სხვაობის ფორმულის გამოყენებით: კვადრატები: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1.

პასუხი: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1

მაგალითი 11

გაამარტივეთ ძალა გამოხატვის x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 .
გადაწყვეტილება

ჩვენ შეგვიძლია შევამციროთ წილადი (x 2, 7 + 1) 2. ვიღებთ წილადს x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1.

გავაგრძელოთ x ხარისხების x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2, 7 + 1 გარდაქმნები. ახლა შეგიძლიათ გამოიყენოთ სიმძლავრის გაყოფის თვისება იგივე საფუძვლებით: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2 , 7 + 1 .

ბოლო ნამრავლიდან გადავდივართ x 1 3 8 x 2, 7 + 1 წილადზე.

პასუხი: x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

უმეტეს შემთხვევაში, უფრო მოსახერხებელია უარყოფითი მაჩვენებლების მქონე მამრავლების გადატანა მრიცხველიდან მნიშვნელზე და პირიქით, მაჩვენებლის ნიშნის შეცვლით. ეს ქმედება ამარტივებს შემდგომ გადაწყვეტილებას. მოვიყვანოთ მაგალითი: სიმძლავრის გამოხატულება (x + 1) - 0 , 2 3 · x - 1 შეიძლება შეიცვალოს x 3 · (x + 1) 0 , 2-ით.

გამონათქვამების კონვერტაცია ფესვებითა და ძალებით

ამოცანებში არის ძალა გამოსახულებები, რომლებიც შეიცავს არა მხოლოდ ხარისხს წილადის მაჩვენებლებით, არამედ ფესვებსაც. სასურველია, ასეთი გამონათქვამები მხოლოდ ფესვებამდე ან მხოლოდ ძალაუფლებამდე დავიყვანოთ. ხარისხებზე გადასვლა სასურველია, რადგან მათთან მუშაობა უფრო ადვილია. ასეთი გადასვლა განსაკუთრებით ხელსაყრელია, როდესაც ორიგინალური გამოხატვის ცვლადების DPV საშუალებას გაძლევთ შეცვალოთ ფესვები ძალებით მოდულზე წვდომის ან DPV-ის რამდენიმე ინტერვალად გაყოფის გარეშე.

მაგალითი 12

გამოხატეთ გამოხატულება x 1 9 x x 3 6, როგორც ძალა.

გადაწყვეტილება

ცვლადის სწორი დიაპაზონი xგანისაზღვრება ორი უტოლობით x ≥ 0და x · x 3 ≥ 0 , რომელიც განსაზღვრავს სიმრავლეს [ 0 , + ∞) .

ამ კომპლექტში ჩვენ გვაქვს უფლება გადავიდეთ ფესვებიდან ძალაუფლებაზე:

x 1 9 x x 3 6 = x 1 9 x x 1 3 1 6

გრადუსების თვისებების გამოყენებით, ჩვენ ვამარტივებთ მიღებულ ძალაუფლების გამოხატვას.

x 1 9 x x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 1 3 6 = = x 1 9 x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

პასუხი: x 1 9 x x 3 6 = x 1 3 .

სიმძლავრეების კონვერტაცია ცვლადებით მაჩვენებელში

ეს გარდაქმნები საკმაოდ მარტივია გასაკეთებელი, თუ სწორად იყენებთ ხარისხის თვისებებს. Მაგალითად, 5 2 x + 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x − 1 = 0.

შეგვიძლია შევცვალოთ ხარისხის ნამრავლი, რომლის მიხედვითაც მოიძებნება ზოგიერთი ცვლადისა და რიცხვის ჯამი. მარცხენა მხარეს, ეს შეიძლება გაკეთდეს გამოხატვის მარცხენა მხარეს პირველი და ბოლო ტერმინებით:

5 2 x 5 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x 7 − 1 = 0 , 5 5 2 x − 3 5 x 7 x − 2 7 2 x = 0.

ახლა მოდით გავყოთ განტოლების ორივე მხარე 7 2 x. x ცვლადის ODZ-ზე ეს გამოხატულება მხოლოდ დადებით მნიშვნელობებს იღებს:

5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0

შევამციროთ წილადები ძალებით, მივიღებთ: 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x - 2 = 0 .

დაბოლოს, თანაფარდობა ერთი და იგივე მაჩვენებლებით იცვლება თანაფარდობების ხარისხებით, რაც მივყავართ განტოლებამდე 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0, რაც უდრის 5 5 7 x 2 - 3 5 7. x - 2 = 0.

შემოგვაქვს ახალი ცვლადი t = 5 7 x , რომელიც ამცირებს საწყისი ექსპონენციალური განტოლების ამონახს 5 · t 2 − 3 · t − 2 = 0 კვადრატული განტოლების ამოხსნამდე.

გამონათქვამების გადაქცევა ძალებითა და ლოგარითმებით

სიმძლავრეებისა და ლოგარითმების შემცველი გამონათქვამები ასევე გვხვდება ამოცანებში. ასეთი გამონათქვამების მაგალითებია: 1 4 1 - 5 log 2 3 ან log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) log 5 3 . ასეთი გამონათქვამების ტრანსფორმაცია ხორციელდება ლოგარითმების ზემოაღნიშნული მიდგომებისა და თვისებების გამოყენებით, რომლებიც დეტალურად გავაანალიზეთ თემაში „ლოგარითმული გამოსახულებების ტრანსფორმაცია“.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

გამონათქვამები, გამოხატვის გარდაქმნა

ძალაუფლების გამონათქვამები (გამოთქმები ძალებით) და მათი ტრანსფორმაცია

ამ სტატიაში ვისაუბრებთ გამონათქვამების ძალებით გარდაქმნაზე. პირველ რიგში, ჩვენ ყურადღებას გავამახვილებთ ტრანსფორმაციებზე, რომლებიც შესრულებულია ნებისმიერი სახის გამონათქვამებით, მათ შორის ძალის გამონათქვამებით, როგორიცაა ფრჩხილების გახსნა, მსგავსი ტერმინების შემცირება. შემდეგ კი ჩვენ გავაანალიზებთ ძალაუფლების მქონე გამონათქვამებში თანდაყოლილ გარდაქმნებს: ფუძესთან და ექსპონენტთან მუშაობა, ძალაუფლების თვისებების გამოყენებით და ა.შ.

გვერდის ნავიგაცია.

რა არის ძალის გამონათქვამები?

ტერმინი "ძალაუფლების გამონათქვამები" პრაქტიკულად არ გვხვდება მათემატიკის სასკოლო სახელმძღვანელოებში, მაგრამ ის ხშირად გვხვდება დავალებების კრებულებში, რომლებიც სპეციალურად შექმნილია ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის და OGE-სთვის მოსამზადებლად, მაგალითად,. ამოცანების გაანალიზების შემდეგ, რომლებშიც საჭიროა რაიმე მოქმედების შესრულება ძალის გამონათქვამებით, ცხადი ხდება, რომ ძალაუფლების გამონათქვამები გაგებულია, როგორც გამონათქვამები, რომლებიც შეიცავს ხარისხს მათ ჩანაწერებში. ამიტომ, თქვენთვის, შეგიძლიათ მიიღოთ შემდეგი განმარტება:

განმარტება.

ძალის გამონათქვამებიარის გამონათქვამები, რომლებიც შეიცავს ძალაუფლებას.

მოვიყვანოთ ძალაუფლების გამოხატვის მაგალითები. უფრო მეტიც, ჩვენ წარმოვადგენთ მათ იმის მიხედვით, თუ როგორ ხდება შეხედულებების განვითარება ბუნებრივი ინდიკატორის ხარისხიდან რეალური ინდიკატორის ხარისხამდე.

მოგეხსენებათ, ჯერ ხდება ბუნებრივი მაჩვენებლის მქონე რიცხვის ხარისხის გაცნობა, ამ ეტაპზე 3 2 , 7 5 +1 , (2+1) 5 , (−0, ტიპის პირველი უმარტივესი სიმძლავრის გამონათქვამებია. 1) 4 , 3 a 2 −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 და ა.შ.

ცოტა მოგვიანებით, შესწავლილია რიცხვის სიმძლავრე მთელი რიცხვის მაჩვენებლით, რაც იწვევს უარყოფითი მთელი ძალებით გამოსახულებების გამოჩენას, როგორიცაა: 3 −2, , a −2 +2 b −3 + c 2 .

უფროს კლასებში ისევ უბრუნდებიან ხარისხს. იქ დანერგილია ხარისხი რაციონალური მაჩვენებლით, რაც იწვევს შესაბამისი სიმძლავრის გამონათქვამების გამოჩენას: , , და ა.შ. და ბოლოს, განიხილება ირაციონალური მაჩვენებლებით და მათ შემცველი გამონათქვამები: , .

საკითხი არ შემოიფარგლება ჩამოთვლილი სიმძლავრის გამონათქვამებით: შემდგომში ცვლადი აღწევს მაჩვენებელში და არის, მაგალითად, ასეთი გამონათქვამები 2 x 2 +1 ან . და გაცნობის შემდეგ იწყება გამონათქვამები ძალებითა და ლოგარითმებით, მაგალითად, x 2 lgx −5 x lgx.

ასე რომ, ჩვენ გავარკვიეთ კითხვა, რა არის ძალაუფლების გამოხატულება. შემდეგი, ჩვენ ვისწავლით როგორ გარდაქმნას ისინი.

ძალაუფლების გამონათქვამების გარდაქმნების ძირითადი ტიპები

ძალაუფლების გამონათქვამებით, თქვენ შეგიძლიათ შეასრულოთ გამონათქვამების იდენტობის ნებისმიერი ძირითადი ტრანსფორმაცია. მაგალითად, შეგიძლიათ გააფართოვოთ ფრჩხილები, შეცვალოთ რიცხვითი გამონათქვამები მათი მნიშვნელობებით, დაამატოთ მსგავსი ტერმინები და ა.შ. ბუნებრივია, ამ შემთხვევაში აუცილებელია მოქმედებების განხორციელებისთვის მიღებული პროცედურის დაცვა. მოვიყვანოთ მაგალითები.

მაგალითი.

გამოთვალეთ სიმძლავრის გამოხატვის მნიშვნელობა 2 3 ·(4 2 −12) .

გადაწყვეტილება.

მოქმედებების თანმიმდევრობის მიხედვით, ჯერ ვასრულებთ მოქმედებებს ფრჩხილებში. იქ, ჯერ ერთი, 4 2-ის სიმძლავრეს ვცვლით მისი მნიშვნელობით 16 (იხ. საჭიროების შემთხვევაში) და მეორეც, ვიანგარიშებთ სხვაობას 16−12=4 . Ჩვენ გვაქვს 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4.

მიღებულ გამონათქვამში 2 3-ის სიმძლავრეს ვცვლით მისი მნიშვნელობით 8, რის შემდეგაც გამოვთვლით ნამრავლს 8·4=32. ეს არის სასურველი მნიშვნელობა.

Ისე, 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4=8 4=32.

პასუხი:

2 3 (4 2 −12)=32 .

მაგალითი.

ძალაუფლების გამონათქვამების გამარტივება 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

გადაწყვეტილება.

ცხადია, ეს გამოთქმა შეიცავს მსგავს ტერმინებს 3 · a 4 · b − 7 და 2 · a 4 · b − 7 და შეგვიძლია შევამციროთ ისინი: .

პასუხი:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

მაგალითი.

გამოხატეთ გამოხატულება ძალებით, როგორც პროდუქტი.

გადაწყვეტილება.

ამოცანის შესასრულებლად, შესაძლებელია 9 რიცხვის წარმოდგენა, როგორც 3 2-ის სიმძლავრე და შემდგომში ფორმულის გამოყენება კვადრატების სხვაობის შემოკლებული გამრავლებისთვის:

პასუხი:

ასევე არსებობს მთელი რიგი იდენტური გარდაქმნები, რომლებიც თან ახლავს ძალაუფლების გამონათქვამებს. შემდეგი, ჩვენ გავაანალიზებთ მათ.

ბაზისთან და ექსპონენტთან მუშაობა

არის ხარისხები, რომელთა საფუძველში ან/და ინდიკატორში არის არა მხოლოდ რიცხვები ან ცვლადები, არამედ ზოგიერთი გამონათქვამი. მაგალითად, დავწეროთ (2+0.3 7) 5−3.7 და (a (a+1)−a 2) 2 (x+1) .

ასეთ გამონათქვამებთან მუშაობისას შესაძლებელია როგორც ხარისხის საფუძველში გამოსახულება, ასევე ინდიკატორის გამოხატულება მისი ცვლადების DPV-ზე იდენტური თანაბარი გამოსახულებით. ანუ ჩვენთვის ცნობილი წესების მიხედვით შეგვიძლია ცალ-ცალკე გადავიყვანოთ ხარისხის საფუძველი, ცალკე კი - ინდიკატორი. ცხადია, რომ ამ ტრანსფორმაციის შედეგად მიიღება გამონათქვამი, რომელიც იდენტურად უტოლდება თავდაპირველს.

ასეთი გარდაქმნები საშუალებას გვაძლევს გავამარტივოთ გამოთქმები ძალებით ან მივაღწიოთ სხვა მიზნებს, რაც გვჭირდება. მაგალითად, ზემოხსენებულ 5−3.7 დენის გამოხატულებაში (2+0.3 7) შეგიძლიათ შეასრულოთ მოქმედებები ძირში და მაჩვენებელში მოცემული რიცხვებით, რაც საშუალებას მოგცემთ გადახვიდეთ 4.1 1.3 ხარისხზე. ხოლო ფრჩხილების გახსნის და (a (a+1)−a 2) 2 (x+1) ხარისხის საფუძველში მსგავსი ტერმინების მოყვანის შემდეგ მივიღებთ 2 (x+1) უფრო მარტივი ფორმის სიმძლავრის გამოხატვას.

დენის თვისებების გამოყენება

გამონათქვამების ძალებით გარდაქმნის ერთ-ერთი მთავარი ინსტრუმენტი არის თანასწორობა, რომელიც ასახავს . გავიხსენოთ ძირითადი. ნებისმიერი დადებითი რიცხვისთვის a და b და თვითნებური რეალური რიცხვებისთვის r და s, ძალაუფლების შემდეგი თვისებები მოქმედებს:

• a r a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (ა ბ) r = a r b r;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s =a r s .

გაითვალისწინეთ, რომ ბუნებრივი, მთელი და დადებითი მაჩვენებლებისთვის, a და b რიცხვებზე შეზღუდვები შეიძლება არც ისე მკაცრი იყოს. მაგალითად, m და n ნატურალური რიცხვებისთვის ტოლობა a m ·a n =a m+n მართალია არა მხოლოდ დადებითი a , არამედ უარყოფითი და a=0 .

სკოლაში ძალაუფლების გამონათქვამების ტრანსფორმაციისას მთავარი ყურადღება სწორედ შესაბამისი თვისების არჩევისა და მისი სწორად გამოყენების უნარზეა ორიენტირებული. ამ შემთხვევაში, გრადუსების საფუძვლები, როგორც წესი, დადებითია, რაც საშუალებას გაძლევთ გამოიყენოთ ხარისხების თვისებები შეზღუდვების გარეშე. იგივე ეხება ცვლადების შემცველი გამონათქვამების ტრანსფორმაციას გრადუსების საფუძვლებში - ცვლადების მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონი ჩვეულებრივ ისეთია, რომ ფუძეები მასზე მხოლოდ დადებით მნიშვნელობებს იღებენ, რაც საშუალებას გაძლევთ თავისუფლად გამოიყენოთ თვისებები. ხარისხების. ზოგადად, თქვენ მუდმივად უნდა ჰკითხოთ საკუთარ თავს, შესაძლებელია თუ არა ამ შემთხვევაში ხარისხების რაიმე თვისების გამოყენება, რადგან თვისებების არაზუსტმა გამოყენებამ შეიძლება გამოიწვიოს ODZ-ის შევიწროება და სხვა პრობლემები. ეს პუნქტები დეტალურად და მაგალითებით არის განხილული სტატიაში გამონათქვამების ტრანსფორმაცია გრადუსების თვისებების გამოყენებით. აქ შემოვიფარგლებით რამდენიმე მარტივი მაგალითით.

მაგალითი.

გამოთქვით a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 გამოთქმა ხარისხად a ფუძით.

გადაწყვეტილება.

პირველი, ჩვენ გარდაქმნით მეორე ფაქტორს (a 2) −3 სიმძლავრის ხარისხზე აყვანის თვისებით: (a 2) −3 =a 2 (−3) =a −6. ამ შემთხვევაში, საწყისი სიმძლავრის გამოხატულება მიიღებს ფორმას a 2.5 ·a −6:a −5.5 . ცხადია, რჩება ძალაუფლების გამრავლებისა და გაყოფის თვისებების გამოყენება იმავე ფუძით, გვაქვს
a 2.5 a -6: a -5.5 =
a 2,5−6:a−5,5 =a−3,5:a−5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2 .

პასუხი:

a 2.5 (a 2) -3:a -5.5 \u003d a 2.

სიმძლავრის თვისებები გამოიყენება ძალაუფლების გამონათქვამების გარდაქმნისას როგორც მარცხნიდან მარჯვნივ, ასევე მარჯვნიდან მარცხნივ.

მაგალითი.

იპოვეთ ძალა გამოხატვის მნიშვნელობა.

გადაწყვეტილება.

ტოლობა (a·b) r =a r ·b r, გამოყენებული მარჯვნიდან მარცხნივ, საშუალებას გაძლევთ გადახვიდეთ ორიგინალური გამოხატულებიდან ფორმის ნამრავლზე და შემდგომში. და იმავე ფუძით ძალების გამრავლებისას, ინდიკატორები იკრიბება: .

შესაძლებელი იყო ორიგინალური გამოხატვის ტრანსფორმაციის სხვა გზით შესრულება:

პასუხი:

.

მაგალითი.

1.5 −a 0.5 −6 სიმძლავრის გამოსახულების გათვალისწინებით, შეიყვანეთ ახალი ცვლადი t=a 0.5.

გადაწყვეტილება.

a 1.5 ხარისხი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც 0.5 3 და შემდგომში ხარისხის თვისების საფუძველზე მარჯვნიდან მარცხნივ გამოყენებული ხარისხით (a r) s =a r s, გადაიყვანოთ იგი ფორმაში (a 0.5) 3 . ამრიგად, a 1.5 -a 0.5 -6 = (a 0.5) 3 -a 0.5 -6. ახლა ადვილია ახალი ცვლადის შემოღება t=a 0.5 , მივიღებთ t 3 −t−6 .

პასუხი:

t 3 −t−6 .

სიმძლავრის შემცველი წილადების გადაქცევა

სიმძლავრის გამონათქვამები შეიძლება შეიცავდეს წილადებს ხარისხებით ან წარმოადგენდეს ასეთ წილადებს. წილადის ნებისმიერი ძირითადი გარდაქმნა, რომელიც თანდაყოლილია ნებისმიერი სახის წილადებისთვის, სრულად გამოიყენება ასეთ წილადებზე. ანუ წილადები, რომლებიც შეიცავენ ხარისხს, შეიძლება შემცირდეს, შემცირდეს ახალ მნიშვნელამდე, იმუშაოს ცალ-ცალკე მათ მრიცხველთან და ცალ-ცალკე მნიშვნელთან და ა.შ. ზემოთ მოყვანილი სიტყვების საილუსტრაციოდ, განიხილეთ რამდენიმე მაგალითის ამოხსნა.

მაგალითი.

ძალაუფლების გამოხატვის გამარტივება .

გადაწყვეტილება.

ეს სიმძლავრის გამოხატულება არის წილადი. ვიმუშაოთ მის მრიცხველთან და მნიშვნელთან. მრიცხველში ვხსნით ფრჩხილებს და ვამარტივებთ ამის შემდეგ მიღებულ გამონათქვამს ძალაუფლების თვისებების გამოყენებით, ხოლო მნიშვნელში წარმოვადგენთ მსგავს ტერმინებს:

ჩვენ ასევე ვცვლით მნიშვნელის ნიშანს წილადის წინ მინუსის დაყენებით: .

პასუხი:

.

სიმძლავრის შემცველი წილადების ახალ მნიშვნელამდე შემცირება ხდება ისევე, როგორც რაციონალური წილადების ახალ მნიშვნელამდე შემცირება. ამავდროულად, მოიძებნება დამატებითი ფაქტორიც და მასზე მრავლდება წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი. ამ მოქმედების შესრულებისას უნდა გვახსოვდეს, რომ ახალ მნიშვნელზე შემცირებამ შეიძლება გამოიწვიოს DPV-ის შევიწროება. ამის თავიდან ასაცილებლად, აუცილებელია, რომ დამატებითი ფაქტორი არ გაქრეს ცვლადების რომელიმე მნიშვნელობისთვის ODZ ცვლადებიდან ორიგინალური გამოხატვისთვის.

მაგალითი.

მიიტანეთ წილადები ახალ მნიშვნელზე: ა) მნიშვნელზე a, ბ) მნიშვნელისკენ.

გადაწყვეტილება.

ა) ამ შემთხვევაში საკმაოდ ადვილია იმის გარკვევა, თუ რა დამატებითი ფაქტორი უწყობს ხელს სასურველი შედეგის მიღწევას. ეს არის 0.3 ფაქტორი, ვინაიდან 0.7 a 0.3 = a 0.7+0.3 = a. გაითვალისწინეთ, რომ a ცვლადის მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონში (ეს არის ყველა დადებითი რეალური რიცხვის სიმრავლე), a 0.3 ხარისხი არ ქრება, შესაბამისად, უფლება გვაქვს გავამრავლოთ მოცემული წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი. ამ დამატებითი ფაქტორით:

ბ) მნიშვნელს უფრო ყურადღებით დავაკვირდებით, ვხვდებით, რომ

და ამ გამონათქვამის გამრავლება მივიღებთ კუბების ჯამს და, ანუ . და ეს არის ახალი მნიშვნელი, რომელსაც უნდა მივიყვანოთ საწყისი წილადი.

ასე რომ, ჩვენ ვიპოვეთ დამატებითი ფაქტორი. გამოთქმა არ ქრება x და y ცვლადების მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონში, ამიტომ ჩვენ შეგვიძლია გავამრავლოთ წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი მასზე:

პასუხი:

ა) , ბ) .

ასევე არაფერია ახალი გრადუსების შემცველი წილადების შემცირებაში: მრიცხველი და მნიშვნელი წარმოდგენილია ფაქტორების გარკვეული რაოდენობის სახით, ხოლო მრიცხველისა და მნიშვნელის იგივე ფაქტორები მცირდება.

მაგალითი.

შეამცირე წილადი: ა) , ბ).

გადაწყვეტილება.

ა) ჯერ მრიცხველი და მნიშვნელი შეიძლება შემცირდეს 30 და 45 რიცხვებით, რაც უდრის 15-ს. ასევე, ცხადია, შეგიძლიათ შეამციროთ x 0,5 +1-ით და . აი რა გვაქვს:

ბ) ამ შემთხვევაში მრიცხველსა და მნიშვნელში ერთი და იგივე ფაქტორები მაშინვე არ ჩანს. მათი მისაღებად, თქვენ უნდა შეასრულოთ წინასწარი გარდაქმნები. ამ შემთხვევაში, ისინი მოიცავს მნიშვნელის ფაქტორებად დაშლას კვადრატების ფორმულის სხვაობის მიხედვით:

პასუხი:

ა)

ბ) .

წილადების ახალ მნიშვნელამდე შემცირება და წილადების შემცირება ძირითადად გამოიყენება წილადებზე მოქმედებების შესასრულებლად. მოქმედებები შესრულებულია ცნობილი წესების მიხედვით. წილადების შეკრებისას (გამოკლებისას) ისინი მცირდება საერთო მნიშვნელამდე, რის შემდეგაც მრიცხველები ემატება (აკლდება) და მნიშვნელი იგივე რჩება. შედეგი არის წილადი, რომლის მრიცხველი არის მრიცხველების ნამრავლი, ხოლო მნიშვნელი არის მნიშვნელების ნამრავლი. წილადზე გაყოფა არის გამრავლება მის ორმხრივად.

მაგალითი.

მიჰყევით ნაბიჯებს .

გადაწყვეტილება.

პირველ რიგში, ჩვენ გამოვაკლებთ წილადებს ფრჩხილებში. ამისათვის ჩვენ მათ საერთო მნიშვნელამდე მივყავართ, რაც არის , შემდეგ გამოვაკლოთ მრიცხველები:

ახლა ვამრავლებთ წილადებს:

ცხადია, შესაძლებელია x 1/2 სიმძლავრის შემცირება, რის შემდეგაც გვაქვს .

თქვენ ასევე შეგიძლიათ გაამარტივოთ სიმძლავრის გამოხატულება მნიშვნელში კვადრატების განსხვავების ფორმულის გამოყენებით: .

პასუხი:

მაგალითი.

ძალაუფლების გამოხატვის გამარტივება .

გადაწყვეტილება.

ცხადია, ეს წილადი შეიძლება შემცირდეს (x 2.7 +1) 2-ით, ეს იძლევა წილადს . გასაგებია, რომ x-ის ძალებით სხვა რამის გაკეთებაა საჭირო. ამისთვის მიღებულ წილადს პროდუქტად ვაქცევთ. ეს გვაძლევს შესაძლებლობას გამოვიყენოთ ძალაუფლების გამყოფი თვისება იგივე საფუძვლებით: . პროცესის ბოლოს კი ბოლო პროდუქტიდან ფრაქციაზე გადავდივართ.

პასუხი:

.

და ვამატებთ, რომ შესაძლებელია და ხშირ შემთხვევაში სასურველია უარყოფითი მაჩვენებლების მქონე ფაქტორების გადატანა მრიცხველიდან მნიშვნელზე ან მნიშვნელიდან მრიცხველზე მაჩვენებლის ნიშნის შეცვლით. ასეთი გარდაქმნები ხშირად ამარტივებს შემდგომ მოქმედებებს. მაგალითად, დენის გამოხატულება შეიძლება შეიცვალოს .

გამონათქვამების კონვერტაცია ფესვებითა და ძალებით

ხშირად გამონათქვამებში, რომლებშიც საჭიროა გარკვეული გარდაქმნები, წილადებთან ერთად ხარისხებთან ერთად, არის ფესვებიც. ასეთი გამონათქვამის სასურველ ფორმაში გადასაყვანად, უმეტეს შემთხვევაში საკმარისია მხოლოდ ფესვებზე გადასვლა ან მხოლოდ ძალებზე გადასვლა. მაგრამ რადგან უფრო მოსახერხებელია ხარისხებთან მუშაობა, ისინი ჩვეულებრივ გადადიან ფესვებიდან გრადუსამდე. თუმცა, მიზანშეწონილია განახორციელოთ ასეთი გადასვლა, როდესაც ცვლადების ODZ ორიგინალური გამოსახულებისთვის საშუალებას გაძლევთ შეცვალოთ ფესვები გრადუსით მოდულზე წვდომის აუცილებლობის გარეშე ან ODZ-ს რამდენიმე ინტერვალებად გაყოფა (ეს დეტალურად განვიხილეთ სტატია, ფესვებიდან ძალაზე გადასვლა და პირიქით, რაციონალური მაჩვენებლის მქონე ხარისხის გაცნობის შემდეგ შემოდის ირაციონალური ინდიკატორის ხარისხი, რაც შესაძლებელს ხდის ხარისხზე საუბარი თვითნებური რეალური მაჩვენებლით. ამ ეტაპზე, სკოლა იწყებს სწავლას ექსპონენციალური ფუნქცია, რომელიც ანალიტიკურად მოცემულია ხარისხით, რომლის საფუძველზეც არის რიცხვი, ხოლო ინდიკატორში – ცვლადი. ასე რომ, ჩვენ წინაშე ვდგავართ გრადუსის ფუძეში რიცხვების შემცველი გამონათქვამების, ხოლო ექსპონენტში - ცვლადებით გამოსახულებებს და ბუნებრივია ჩნდება ასეთი გამონათქვამების გარდაქმნების საჭიროება.

უნდა ითქვას, რომ მითითებული ტიპის გამონათქვამების ტრანსფორმაცია ჩვეულებრივ უნდა განხორციელდეს ამოხსნისას ექსპონენციალური განტოლებებიდა ექსპონენციური უტოლობებიდა ეს გარდაქმნები საკმაოდ მარტივია. უმეტეს შემთხვევაში, ისინი ეფუძნება ხარისხის თვისებებს და ძირითადად მიმართულია მომავალში ახალი ცვლადის დანერგვაზე. განტოლება საშუალებას მოგვცემს ვაჩვენოთ ისინი 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

პირველ რიგში, მაჩვენებლები, რომელთა მაჩვენებლებშიც არის ნაპოვნი ზოგიერთი ცვლადის (ან ცვლადის გამოსახულებების) ჯამი და რიცხვი, იცვლება პროდუქტებით. ეს ეხება მარცხენა მხარეს გამოთქმის პირველ და ბოლო ტერმინებს:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

შემდეგ, თანასწორობის ორივე ნაწილი იყოფა გამოსახულებით 7 2 x, რომელიც იღებს მხოლოდ დადებით მნიშვნელობებს x ცვლადის ODZ-ზე თავდაპირველი განტოლებისთვის (ეს არის სტანდარტული ტექნიკა ამ ტიპის განტოლებების გადასაჭრელად, ჩვენ არ ვართ ახლა ვსაუბრობთ ამაზე, ამიტომ ფოკუსირება მოახდინეთ გამონათქვამების შემდგომ ტრანსფორმაციაზე ძალებით):

ახლა ძალაუფლების მქონე წილადები გაუქმებულია, რაც იძლევა .

საბოლოოდ, თანაფარდობა ერთი და იგივე მაჩვენებლებით იცვლება თანაფარდობის ხარისხებით, რაც იწვევს განტოლებას , რაც უდრის . განხორციელებული გარდაქმნები საშუალებას გვაძლევს შემოვიტანოთ ახალი ცვლადი, რომელიც ამცირებს საწყისი ექსპონენციალური განტოლების ამონახს კვადრატულ განტოლებამდე

ი.ვ.ბოიკოვი, ლ.დ.რომანოვადავალებების კრებული გამოცდისთვის მოსამზადებლად. ნაწილი 1. პენზა 2003 წ.

ალგებრული გამონათქვამების გამარტივება არის ალგებრის სწავლის ერთ-ერთი გასაღები და ძალიან სასარგებლო უნარი ყველა მათემატიკოსისთვის. გამარტივება საშუალებას გაძლევთ შეამციროთ რთული ან გრძელი გამოხატულება მარტივ გამოხატულებამდე, რომლებთანაც ადვილია მუშაობა. საბაზისო გამარტივების უნარები კარგია მათთვისაც, ვინც არ არის ენთუზიაზმი მათემატიკით. რამდენიმე მარტივი წესის დაცვით, ალგებრული გამონათქვამების მრავალი ყველაზე გავრცელებული სახეობა შეიძლება გამარტივდეს რაიმე განსაკუთრებული მათემატიკური ცოდნის გარეშე.

ნაბიჯები

მნიშვნელოვანი განმარტებები

1. მსგავსი წევრები.ესენი არიან ერთიდაიგივე რიგის ცვლადის მქონე წევრები, იგივე ცვლადების მქონე წევრები ან თავისუფალი წევრები (წევრები, რომლებიც არ შეიცავს ცვლადს). სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მსგავსი ტერმინები მოიცავს ერთ ცვლადს იმავე ზომით, მოიცავს რამდენიმე იდენტურ ცვლადს ან საერთოდ არ შეიცავს ცვლადს. გამოთქმაში ტერმინების თანმიმდევრობას მნიშვნელობა არ აქვს.

   • მაგალითად, 3x 2 და 4x 2 ტერმინების მსგავსია, რადგან ისინი შეიცავს მეორე რიგის ცვლადს "x" (მეორე ხარისხში). თუმცა, x ​​და x 2 არ არის მსგავსი წევრები, რადგან ისინი შეიცავს სხვადასხვა რიგის ცვლადს "x" (პირველი და მეორე). ანალოგიურად, -3yx და 5xz არ არის მსგავსი წევრები, რადგან ისინი შეიცავს სხვადასხვა ცვლადებს.

2. ფაქტორიზაცია.ეს არის ისეთი რიცხვების პოვნა, რომელთა ნამრავლი მივყავართ თავდაპირველ რიცხვამდე. ნებისმიერ ორიგინალურ რიცხვს შეიძლება ჰქონდეს რამდენიმე ფაქტორი. მაგალითად, რიცხვი 12 შეიძლება დაიყოს ფაქტორების შემდეგ სერიად: 1 × 12, 2 × 6 და 3 × 4, ასე რომ, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ რიცხვები 1, 2, 3, 4, 6 და 12 არის ფაქტორები. ნომერი 12. ფაქტორები იგივეა, რაც გამყოფები, ანუ რიცხვები, რომლებზედაც იყოფა თავდაპირველი რიცხვი.

   • მაგალითად, თუ გსურთ რიცხვი 20 დაასახელოთ, დაწერეთ ასე: 4×5.
   • გაითვალისწინეთ, რომ ფაქტორინგის დროს მხედველობაში მიიღება ცვლადი. მაგალითად, 20x = 4 (5x).
   • მარტივი რიცხვების გაანგარიშება შეუძლებელია, რადგან ისინი იყოფა მხოლოდ საკუთარ თავზე და 1-ზე.

3. დაიმახსოვრეთ და დაიცავით ოპერაციების თანმიმდევრობა შეცდომების თავიდან ასაცილებლად.

   • ფრჩხილები
   • ხარისხი
   • გამრავლება
   • განყოფილება
   • დამატება
   • გამოკლება

   წევრების მსგავსად კასტინგი

   1. ჩაწერეთ გამოთქმა.უმარტივესი ალგებრული გამონათქვამები (რომლებიც არ შეიცავს წილადებს, ფესვებს და ა.

      • მაგალითად, გამოთქმის გამარტივება 1 + 2x - 3 + 4x.

   2. განსაზღვრეთ მსგავსი წევრები (წევრები იმავე რიგის ცვლადით, წევრები იგივე ცვლადებით ან თავისუფალი წევრები).

      • იპოვეთ მსგავსი ტერმინები ამ გამოთქმაში. ტერმინები 2x და 4x შეიცავს იმავე რიგის ცვლადს (პირველი). ასევე, 1 და -3 არის თავისუფალი წევრები (არ შეიცავს ცვლადს). ამრიგად, ამ გამოთქმაში ტერმინები 2x და 4xმსგავსია და წევრები 1 და -3ასევე მსგავსია.

   3. მიეცით მსგავსი პირობები.ეს ნიშნავს მათ დამატებას ან გამოკლებას და გამოხატვის გამარტივებას.

      • 2x+4x= 6x
      • 1 - 3 = -2

   4. გადაწერეთ გამოთქმა მოცემული წევრების გათვალისწინებით.თქვენ მიიღებთ მარტივ გამოთქმას ნაკლები ტერმინებით. ახალი გამოთქმა ორიგინალის ტოლია.

      • ჩვენს მაგალითში: 1 + 2x - 3 + 4x = 6x - 2, ანუ ორიგინალური გამოთქმა გამარტივებულია და ადვილია მუშაობა.

   5. მსგავსი ტერმინების ჩამოსხმისას დააკვირდით ოპერაციების შესრულების თანმიმდევრობას.ჩვენს მაგალითში ადვილი იყო მსგავსი ტერმინების მოყვანა. თუმცა რთული გამონათქვამების შემთხვევაში, რომლებშიც წევრები ფრჩხილებშია ჩასმული და წილადები და ფესვებია, ასეთი ტერმინების მოყვანა არც ისე ადვილია. ამ შემთხვევებში დაიცავით ოპერაციების თანმიმდევრობა.

      • მაგალითად, განიხილეთ გამოთქმა 5(3x - 1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x. აქ შეცდომა იქნება დაუყოვნებლივ განვსაზღვროთ 3x და 2x, როგორც მსგავსი ტერმინები და ციტირდეთ, რადგან ფრჩხილები ჯერ უნდა გაფართოვდეს. ამიტომ, შეასრულეთ ოპერაციები მათი თანმიმდევრობით.
        • 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x 2 + 8 - 3x. ახლა, როდესაც გამონათქვამი შეიცავს მხოლოდ შეკრების და გამოკლების ოპერაციებს, შეგიძლიათ გადმოწეროთ მსგავსი ტერმინები.
        • x 2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
        • x 2 + 12x + 3

   მულტიპლიკატორის ფრჩხილებში შეყვანა

   1. იპოვეთ გამოხატვის ყველა კოეფიციენტის უდიდესი საერთო გამყოფი (gcd). GCD არის უდიდესი რიცხვი, რომლითაც იყოფა გამოხატვის ყველა კოეფიციენტი.

      • მაგალითად, განვიხილოთ განტოლება 9x 2 + 27x - 3. ამ შემთხვევაში gcd=3, ვინაიდან ამ გამოსახულების ნებისმიერი კოეფიციენტი იყოფა 3-ზე.

   2. გამოთქმის თითოეული წევრი გაყავით gcd-ზე.მიღებული ტერმინები შეიცავენ უფრო მცირე კოეფიციენტებს, ვიდრე თავდაპირველ გამოსახულებაში.

      • ჩვენს მაგალითში, თითოეული გამონათქვამის ტერმინი გაყავით 3-ზე.
        • 9x2/3=3x2
        • 27x/3=9x
        • -3/3 = -1
        • აღმოჩნდა გამოთქმა 3x2 + 9x-1. ეს არ არის ორიგინალური გამოხატვის ტოლი.

   3. დაწერეთ ორიგინალური გამოხატულება, როგორც ტოლი gcd-ის ნამრავლის შედეგად გამოსახულებაზე.ანუ, ჩასვით მიღებული გამოხატულება ფრჩხილებში და მოათავსეთ GCD ფრჩხილებიდან.

      • ჩვენს მაგალითში: 9x 2 + 27x - 3 = 3 (3x 2 + 9x - 1)

   4. წილადური გამონათქვამების გამარტივება მულტიპლიკატორის ფრჩხილებიდან ამოღებით.რატომ ამოიღეთ მულტიპლიკატორი ფრჩხილებიდან, როგორც ეს ადრე გაკეთდა? შემდეგ, ისწავლეთ რთული გამონათქვამების გამარტივება, როგორიცაა წილადი. ამ შემთხვევაში, ფაქტორის ფრჩხილებიდან ამოღება დაგეხმარებათ წილადის (მნიშვნელიდან) მოშორებაში.

      • მაგალითად, განიხილეთ წილადური გამოხატულება (9x 2 + 27x - 3)/3. გამოიყენეთ ფრჩხილები ამ გამოთქმის გასამარტივებლად.
        • აიღეთ ფაქტორი 3 (როგორც ადრე გააკეთეთ): (3(3x 2 + 9x - 1))/3
        • გაითვალისწინეთ, რომ მრიცხველსაც და მნიშვნელსაც ახლა აქვს რიცხვი 3. ეს შეიძლება შემცირდეს და მიიღებთ გამონათქვამს: (3x 2 + 9x - 1) / 1
        • ვინაიდან ნებისმიერი წილადი, რომელსაც აქვს რიცხვი 1 მნიშვნელში, მხოლოდ მრიცხველის ტოლია, ორიგინალური წილადური გამოხატულება გამარტივებულია: 3x2 + 9x-1.

   დამატებითი გამარტივების ტექნიკა

4. განვიხილოთ მარტივი მაგალითი: √(90). რიცხვი 90 შეიძლება დაიყოს შემდეგ ფაქტორებად: 9 და 10, ხოლო 9-დან აიღეთ კვადრატული ფესვი (3) და ამოიღეთ 3 ფესვის ქვეშ.
   • √(90)
   • √(9×10)
   • √(9)×√(10)
   • 3×√(10)
   • 3√(10)

5. გამოთქმების გამარტივება ძალებით.ზოგიერთ გამონათქვამში არის რიცხვების გამრავლების ან გაყოფის მოქმედებები ხარისხით. წევრთა ერთი ფუძით გამრავლების შემთხვევაში ემატება მათი ხარისხები; ერთიდაიგივე ფუძით ტერმინების გაყოფის შემთხვევაში მათ ხარისხს აკლებს.

   • მაგალითად, განიხილეთ გამოთქმა 6x 3 × 8x 4 + (x 17 / x 15). გამრავლების შემთხვევაში დაამატეთ მაჩვენებლები, ხოლო გაყოფის შემთხვევაში გამოაკლეთ ისინი.
     • 6x 3 × 8x 4 + (x 17 / x 15)
     • (6 × 8)x 3 + 4 + (x 17 - 15)
     • 48x7+x2
   • ქვემოთ მოცემულია პუნქტებით გამრავლებისა და გაყოფის წესის განმარტება.
     • წევრთა გამრავლება ძალაუფლებაზე უდრის მათზე გამრავლებას. მაგალითად, რადგან x 3 = x × x × x და x 5 = x × x × x × x × x, მაშინ x 3 × x 5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × x), ან x 8.
     • ანალოგიურად, ტერმინების დაყოფა უფლებამოსილებით არის ტერმინების თავისთავად გაყოფის ექვივალენტური. x 5 /x 3 \u003d (x × x × x × x × x) / (x × x × x). ვინაიდან მსგავსი ტერმინები, რომლებიც არის როგორც მრიცხველში, ასევე მნიშვნელში, შეიძლება შემცირდეს, ორი "x" ან x 2-ის ნამრავლი რჩება მრიცხველში.

• ყოველთვის გაითვალისწინეთ ნიშნები (პლუს ან მინუს) გამოხატვის ტერმინების წინ, რადგან ბევრ ადამიანს უჭირს სწორი ნიშნის არჩევა.
• საჭიროების შემთხვევაში ითხოვეთ დახმარება!
• ალგებრული გამონათქვამების გამარტივება ადვილი არ არის, მაგრამ თუ ხელი მოგივიდათ, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ეს უნარი მთელი ცხოვრების განმავლობაში.

მოსახერხებელი და მარტივი ონლაინ წილადის კალკულატორი დეტალური გადაწყვეტითშესაძლოა:

• წილადების ონლაინ შეკრება, გამოკლება, გამრავლება და გაყოფა,
• მიიღეთ წილადების მზა ხსნარი სურათის სახით და მოხერხებულად გადაიტანეთ.



წილადების ამოხსნის შედეგი აქ იქნება...

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
წილადის ნიშანი "/" + - * :
_wipe Clear
ჩვენს ონლაინ წილადის კალკულატორს აქვს სწრაფი შეყვანა. მაგალითად, წილადების ამოხსნის მისაღებად, უბრალოდ დაწერეთ 1/2+2/7 შედით კალკულატორში და დააჭირეთ ღილაკს " წილადების ამოხსნა“. კალკულატორი მოგწერს წილადების დეტალური ამოხსნადა გაცემა კოპირებისთვის მოსახერხებელი სურათი.

კალკულატორში ჩასაწერად გამოყენებული სიმბოლოები

თქვენ შეგიძლიათ აკრიფოთ გამოსავლის მაგალითი როგორც კლავიატურიდან, ასევე ღილაკების გამოყენებით.

ონლაინ წილადების კალკულატორის მახასიათებლები

წილადის კალკულატორს შეუძლია ოპერაციების შესრულება მხოლოდ 2 მარტივი წილადით. ისინი შეიძლება იყოს სწორი (მრიცხველი ნაკლებია მნიშვნელზე) ან არასწორი (მრიცხველი მეტია მნიშვნელზე). რიცხვები მრიცხველში და მნიშვნელებში არ შეიძლება იყოს უარყოფითი და 999-ზე მეტი.
ჩვენი ონლაინ კალკულატორი ხსნის წილადებს და აქცევს პასუხს სწორ ფორმაში - ამცირებს წილადს და ხაზს უსვამს მთელ ნაწილს, საჭიროების შემთხვევაში.

თუ უარყოფითი წილადების ამოხსნა გჭირდებათ, უბრალოდ გამოიყენეთ მინუს თვისებები. უარყოფითი წილადების გამრავლებისა და გაყოფისას მინუს მინუს იძლევა პლუსს. ანუ უარყოფითი წილადების ნამრავლი და გაყოფა ტოლია იგივე დადებითი წილადების ნამრავლისა და გაყოფის. თუ ერთი წილადი გამრავლებისას ან გაყოფისას უარყოფითია, უბრალოდ ამოიღეთ მინუსი და შემდეგ დაამატეთ იგი პასუხს. უარყოფითი წილადების დამატებისას შედეგი ისეთივე იქნება, როგორც იგივე დადებითი წილადების დამატება. თუ დაუმატებთ ერთ უარყოფით წილადს, მაშინ ეს იგივეა, რაც გამოვაკლოთ იგივე დადებითი.
უარყოფითი წილადების გამოკლებისას შედეგი ისეთივე იქნება, თითქოს ისინი შებრუნებული და დადებითი გახდნენ. ანუ მინუს მინუს ამ შემთხვევაში იძლევა პლუსს და თანხა არ იცვლება ტერმინების გადალაგებიდან. წილადების გამოკლებისას იგივე წესებს ვიყენებთ, რომელთაგან ერთი უარყოფითია.

შერეული წილადების ამოსახსნელად (წილადები, რომლებშიც მთელი ნაწილია გამოკვეთილი), უბრალოდ გადაყავით მთელი ნაწილი წილადად. ამისათვის გაამრავლეთ მთელი ნაწილი მნიშვნელზე და დაამატეთ მრიცხველი.

თუ 3 ან მეტი წილადის ონლაინ ამოხსნა გჭირდებათ, მაშინ ისინი სათითაოდ უნდა ამოხსნათ. ჯერ დათვალეთ პირველი 2 წილადი, შემდეგ მიღებული პასუხით ამოხსენით შემდეგი წილადი და ა.შ. რიგრიგობით შეასრულეთ მოქმედებები 2 წილადისთვის და ბოლოს მიიღებთ სწორ პასუხს.