საშუალო სკოლაში (მე-9 კლასი) ალგებრის შესწავლისას ერთ-ერთი მნიშვნელოვანი თემაა რიცხვითი მიმდევრობების შესწავლა, რომელიც მოიცავს პროგრესირებას - გეომეტრიულ და არითმეტიკას. ამ სტატიაში განვიხილავთ არითმეტიკულ პროგრესიას და მაგალითებს ამონახსნებით.
რა არის არითმეტიკული პროგრესია?
ამის გასაგებად აუცილებელია განსახილველი პროგრესიის განმარტება, ასევე ძირითადი ფორმულების მიცემა, რომლებიც შემდგომში იქნება გამოყენებული პრობლემების გადაჭრაში.
არითმეტიკა ანუ არის მოწესრიგებული რაციონალური რიცხვების ისეთი ნაკრები, რომლის თითოეული წევრი წინასგან განსხვავდება გარკვეული მუდმივი მნიშვნელობით. ამ მნიშვნელობას სხვაობა ეწოდება. ანუ, რიცხვების მოწესრიგებული სერიის ნებისმიერი წევრის და სხვაობის ცოდნით, შეგიძლიათ აღადგინოთ მთელი არითმეტიკული პროგრესია.
ავიღოთ მაგალითი. რიცხვების შემდეგი თანმიმდევრობა იქნება არითმეტიკული პროგრესია: 4, 8, 12, 16, ..., რადგან სხვაობა ამ შემთხვევაში არის 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). მაგრამ 3, 5, 8, 12, 17 რიცხვების სიმრავლე აღარ შეიძლება მიეკუთვნებოდეს განხილული პროგრესიის ტიპს, რადგან სხვაობა არ არის მუდმივი მნიშვნელობა (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).
მნიშვნელოვანი ფორმულები
ახლა ჩვენ ვაძლევთ ძირითად ფორმულებს, რომლებიც საჭირო იქნება არითმეტიკული პროგრესიის გამოყენებით ამოცანების გადასაჭრელად. მოდით a n აღვნიშნოთ მიმდევრობის n-ე წევრი, სადაც n არის მთელი რიცხვი. განსხვავება აღინიშნება ლათინური ასოთი d. მაშინ შემდეგი გამონათქვამები მართალია:
- n-ე ტერმინის მნიშვნელობის დასადგენად, შესაფერისია ფორმულა: a n \u003d (n-1) * d + a 1.
- პირველი n წევრის ჯამის დასადგენად: S n = (a n + a 1)*n/2.
არითმეტიკული პროგრესიის ნებისმიერი მაგალითის გასაგებად მე-9 კლასში ამონახსნით, საკმარისია გახსოვდეთ ეს ორი ფორმულა, რადგან მოცემული ტიპის ნებისმიერი პრობლემა აგებულია მათ გამოყენებაზე. ასევე, არ უნდა დაგვავიწყდეს, რომ პროგრესირების განსხვავება განისაზღვრება ფორმულით: d = a n - a n-1 .
მაგალითი #1: უცნობი წევრის პოვნა
ჩვენ ვაძლევთ არითმეტიკული პროგრესიის მარტივ მაგალითს და ფორმულებს, რომლებიც უნდა იქნას გამოყენებული ამოსახსნელად.
მიეცით 10, 8, 6, 4, ... თანმიმდევრობა, აუცილებელია მასში ხუთი წევრის პოვნა.
პრობლემის პირობებიდან უკვე გამომდინარეობს, რომ პირველი 4 ტერმინი ცნობილია. მეხუთე შეიძლება განისაზღვროს ორი გზით:
- ჯერ სხვაობა გამოვთვალოთ. გვაქვს: d = 8 - 10 = -2. ანალოგიურად, შეიძლება ერთმანეთის გვერდით მდგომი ნებისმიერი ორი სხვა ტერმინი. მაგალითად, d = 4 - 6 = -2. ვინაიდან ცნობილია, რომ d \u003d a n - a n-1, შემდეგ d \u003d a 5 - a 4, საიდანაც ვიღებთ: a 5 \u003d a 4 + d. ჩვენ ვცვლით ცნობილ მნიშვნელობებს: a 5 = 4 + (-2) = 2.
- მეორე მეთოდი ასევე მოითხოვს ცოდნას მოცემული პროგრესიის განსხვავების შესახებ, ასე რომ თქვენ ჯერ უნდა დაადგინოთ ის, როგორც ეს ნაჩვენებია ზემოთ (d = -2). იმის ცოდნა, რომ პირველი წევრი a 1 = 10, ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას მიმდევრობის n რიცხვისთვის. გვაქვს: a n \u003d (n - 1) * d + a 1 \u003d (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n. ბოლო გამოსახულებაში n = 5 ჩანაცვლებით, მივიღებთ: a 5 = 12-2 * 5 = 2.
როგორც ხედავთ, ორივე გამოსავალი იწვევს ერთსა და იმავე შედეგს. გაითვალისწინეთ, რომ ამ მაგალითში პროგრესიის d სხვაობა უარყოფითია. ასეთ თანმიმდევრობას კლებადი ეწოდება, რადგან ყოველი თანმიმდევრული წევრი წინაზე ნაკლებია.
მაგალითი #2: პროგრესირების განსხვავება
ახლა ცოტა გავართულოთ დავალება, მოვიყვანოთ მაგალითი, თუ როგორ უნდა ვიპოვოთ არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა.
ცნობილია, რომ ზოგიერთ ალგებრულ პროგრესში 1 წევრი უდრის 6-ს, ხოლო მე-7 წევრი უდრის 18-ს. საჭიროა სხვაობის პოვნა და ამ თანმიმდევრობის აღდგენა მე-7 წევრამდე.
გამოვიყენოთ ფორმულა უცნობი ტერმინის დასადგენად: a n = (n - 1) * d + a 1 . ჩვენ ვცვლით ცნობილ მონაცემებს მდგომარეობიდან მასში, ანუ რიცხვები a 1 და a 7, გვაქვს: 18 \u003d 6 + 6 * d. ამ გამოთქმიდან შეგიძლიათ მარტივად გამოთვალოთ სხვაობა: d = (18 - 6) / 6 = 2. ამრიგად, ამოცანის პირველ ნაწილს გაეცა პასუხი.
მე-7 წევრზე მიმდევრობის აღსადგენად, თქვენ უნდა გამოიყენოთ ალგებრული პროგრესიის განმარტება, ანუ a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d და ა.შ. შედეგად, ჩვენ აღვადგენთ მთელ თანმიმდევრობას: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16 და 7 = 18.
მაგალითი #3: პროგრესირება
მოდით კიდევ უფრო გავართულოთ პრობლემის მდგომარეობა. ახლა თქვენ უნდა უპასუხოთ კითხვას, თუ როგორ უნდა იპოვოთ არითმეტიკული პროგრესია. შეიძლება მოვიყვანოთ შემდეგი მაგალითი: მოცემულია ორი რიცხვი, მაგალითად, 4 და 5. აუცილებელია ალგებრული პროგრესია ისე, რომ მათ შორის მოთავსდეს კიდევ სამი წევრი.
ამ პრობლემის გადაჭრის დაწყებამდე აუცილებელია იმის გაგება, თუ რა ადგილს დაიკავებენ მოცემული რიცხვები მომავალ პროგრესში. ვინაიდან მათ შორის იქნება კიდევ სამი ტერმინი, შემდეგ 1 \u003d -4 და 5 \u003d 5. ამის დადგენის შემდეგ, ჩვენ ვაგრძელებთ დავალებას, რომელიც მსგავსია წინა. ისევ, მე-n ტერმინისთვის, ვიყენებთ ფორმულას, ვიღებთ: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. მდებარეობა: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2.25. აქ განსხვავება არ არის მთელი რიცხვი, არამედ რაციონალური რიცხვია, ამიტომ ალგებრული პროგრესიის ფორმულები იგივე რჩება.
ახლა დავამატოთ ნაპოვნი განსხვავება 1-ს და აღვადგინოთ პროგრესიის დაკარგული წევრები. ვიღებთ: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 \u003d 2,75 + 2,25 \u რაც პრობლემის მდგომარეობას დაემთხვა.
მაგალითი #4: პროგრესიის პირველი წევრი
ჩვენ ვაგრძელებთ არითმეტიკული პროგრესიის მაგალითების მოყვანას ამონახსნით. ყველა წინა ამოცანაში ცნობილი იყო ალგებრული პროგრესიის პირველი რიცხვი. ახლა განიხილეთ სხვა ტიპის პრობლემა: მოდით, ორი რიცხვი იყოს მოცემული, სადაც 15 = 50 და 43 = 37. აუცილებელია გაიგოთ, რომელი რიცხვიდან იწყება ეს თანმიმდევრობა.
აქამდე გამოყენებული ფორმულები გულისხმობს 1 და დ-ის ცოდნას. ამ ციფრების შესახებ პრობლემის პირობებში არაფერია ცნობილი. მიუხედავად ამისა, მოდით დავწეროთ გამონათქვამები თითოეული ტერმინისთვის, რომლის შესახებაც გვაქვს ინფორმაცია: a 15 = a 1 + 14 * d და a 43 = a 1 + 42 * d. მივიღეთ ორი განტოლება, რომელშიც არის 2 უცნობი სიდიდე (a 1 და d). ეს ნიშნავს, რომ პრობლემა მცირდება წრფივი განტოლებათა სისტემის ამოხსნით.
მითითებული სისტემა ყველაზე ადვილად ამოსახსნელია, თუ გამოვხატავთ 1-ს თითოეულ განტოლებაში და შემდეგ შეადარებთ მიღებულ გამონათქვამებს. პირველი განტოლება: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; მეორე განტოლება: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. ამ გამონათქვამების გათანაბრებისას მივიღებთ: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, საიდანაც განსხვავება d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0.464 (მოცემულია მხოლოდ 3 ათობითი ადგილი).
იცის d, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ნებისმიერი ზემოთ მოცემული 2 გამოთქმა 1-ისთვის. მაგალითად, პირველი: 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0.464) \u003d 56.496.
თუ შედეგზე ეჭვი გეპარებათ, შეგიძლიათ შეამოწმოთ იგი, მაგალითად, განსაზღვროთ პროგრესის 43-ე წევრი, რომელიც მითითებულია პირობაში. ჩვენ ვიღებთ: 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56.496 + 42 * (- 0.464) \u003d 37.008. მცირე შეცდომა გამოწვეულია იმით, რომ გამოთვლებში გამოყენებული იყო დამრგვალება მეათასედამდე.
მაგალითი #5: ჯამი
ახლა მოდით გადავხედოთ რამდენიმე მაგალითს არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის ამონახსნებით.
მიეცით შემდეგი ფორმის რიცხვითი პროგრესია: 1, 2, 3, 4, ...,. როგორ გამოვთვალოთ ამ რიცხვებიდან 100-ის ჯამი?
კომპიუტერული ტექნოლოგიების განვითარების წყალობით ამ პრობლემის გადაჭრა შესაძლებელია, ანუ თანმიმდევრულად შევკრიბოთ ყველა რიცხვი, რასაც კომპიუტერი გააკეთებს, როგორც კი ადამიანი დააჭერს Enter ღილაკს. თუმცა, პრობლემის მოგვარება შესაძლებელია გონებრივად, თუ ყურადღებას მიაქცევთ, რომ რიცხვების წარმოდგენილი სერია არის ალგებრული პროგრესია, ხოლო განსხვავება არის 1. ჯამის ფორმულის გამოყენებით მივიღებთ: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.
საინტერესოა აღინიშნოს, რომ ამ პრობლემას „გაუსური“ ჰქვია, რადგან მე-18 საუკუნის დასაწყისში ცნობილმა გერმანელმა, ჯერ კიდევ მხოლოდ 10 წლის ასაკში, რამდენიმე წამში შეძლო მისი გონებაში გადაჭრა. ბიჭმა არ იცოდა ალგებრული პროგრესიის ჯამის ფორმულა, მაგრამ მან შენიშნა, რომ თუ დაამატებთ რიცხვების წყვილებს, რომლებიც მდებარეობს მიმდევრობის კიდეებზე, ყოველთვის მიიღებთ ერთსა და იმავე შედეგს, ანუ 1 + 100 = 2 + 99. = 3 + 98 = ..., და რადგან ეს ჯამები იქნება ზუსტად 50 (100/2), მაშინ სწორი პასუხის მისაღებად საკმარისია 50 გავამრავლოთ 101-ზე.
მაგალითი #6: წევრთა ჯამი n-დან m-მდე
არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის კიდევ ერთი ტიპიური მაგალითია შემდეგი: მოცემული რიცხვების სერია: 3, 7, 11, 15, ..., თქვენ უნდა იპოვოთ რა იქნება მისი წევრთა ჯამი 8-დან 14-მდე.
პრობლემა მოგვარებულია ორი გზით. პირველი მათგანი მოიცავს უცნობი ტერმინების მოძიებას 8-დან 14-მდე და შემდეგ მათი თანმიმდევრობით შეჯამება. ვინაიდან რამდენიმე ტერმინია, ეს მეთოდი არ არის საკმარისად შრომატევადი. მიუხედავად ამისა, შემოთავაზებულია ამ პრობლემის გადაჭრა მეორე მეთოდით, რომელიც უფრო უნივერსალურია.
იდეა არის მივიღოთ ფორმულა ალგებრული პროგრესიის ჯამისთვის m და n ტერმინებს შორის, სადაც n > m არის მთელი რიცხვები. ორივე შემთხვევისთვის ჩვენ ვწერთ ორ გამონათქვამს ჯამისთვის:
- S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
- S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.
ვინაიდან n > m, აშკარაა, რომ 2 ჯამი მოიცავს პირველს. ბოლო დასკვნა ნიშნავს, რომ თუ ამ ჯამებს შორის განსხვავებას ავიღებთ და მას ტერმინს a m დავუმატებთ (განსხვავების აღების შემთხვევაში ის გამოვაკლდება S n ჯამს), მაშინ მივიღებთ ამოცანის აუცილებელ პასუხს. გვაქვს: S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2). ამ გამოსახულებაში აუცილებელია n და m ფორმულების ჩანაცვლება. შემდეგ მივიღებთ: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.
მიღებული ფორმულა გარკვეულწილად რთულია, თუმცა S mn ჯამი დამოკიდებულია მხოლოდ n, m, a 1 და d-ზე. ჩვენს შემთხვევაში, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. ამ რიცხვების ჩანაცვლებით მივიღებთ: S mn = 301.
როგორც ზემოაღნიშნული ამონახსნებიდან ჩანს, ყველა პრობლემა ემყარება n-ე წევრის გამოხატვის ცოდნას და პირველი წევრთა სიმრავლის ჯამის ფორმულას. სანამ რომელიმე ამ პრობლემის გადაჭრას დაიწყებთ, რეკომენდებულია ყურადღებით წაიკითხოთ მდგომარეობა, ნათლად გაიგოთ რისი პოვნა გსურთ და მხოლოდ ამის შემდეგ გააგრძელოთ გადაწყვეტა.
კიდევ ერთი რჩევა არის სიმარტივისკენ სწრაფვა, ანუ თუ თქვენ შეგიძლიათ უპასუხოთ კითხვას რთული მათემატიკური გამოთვლების გარეშე, მაშინ სწორედ ეს უნდა გააკეთოთ, რადგან ამ შემთხვევაში შეცდომის დაშვების ალბათობა ნაკლებია. მაგალითად, არითმეტიკული პროგრესიის მაგალითში მე-6 ამონახსნით, შეიძლება შეჩერდეს ფორმულა S mn \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, და დაყავით ზოგადი დავალება ცალკეულ ქვეამოცნებებად (ამ შემთხვევაში ჯერ იპოვეთ ტერმინები a n და a).
თუ არსებობს ეჭვი შედეგზე, რეკომენდებულია მისი შემოწმება, როგორც ეს გაკეთდა ზოგიერთ მაგალითში. როგორ მოვძებნოთ არითმეტიკული პროგრესია, გაირკვა. როგორც კი გაარკვიე, არც ისე რთულია.
გაკვეთილის ტიპი:ახალი მასალის სწავლა.
გაკვეთილის მიზნები:
- არითმეტიკული პროგრესიის გამოყენებით ამოხსნილ ამოცანების შესახებ მოსწავლეთა წარმოდგენების გაფართოება და გაღრმავება; მოსწავლეთა საძიებო აქტივობის ორგანიზება არითმეტიკული პროგრესიის პირველი n წევრის ჯამის ფორმულის გამოყვანისას;
- ახალი ცოდნის დამოუკიდებლად შეძენის უნარ-ჩვევების განვითარება, უკვე მიღებული ცოდნის გამოყენება ამოცანის მისაღწევად;
- მიღებული ფაქტების განზოგადების სურვილისა და მოთხოვნილების განვითარება, დამოუკიდებლობის განვითარება.
Დავალებები:
- არსებული ცოდნის განზოგადება და სისტემატიზაცია თემაზე „არითმეტიკული პროგრესია“;
- არითმეტიკული პროგრესიის პირველი n წევრის ჯამის გამოანგარიშების ფორმულების გამოყვანა;
- ასწავლეთ მიღებული ფორმულების გამოყენება სხვადასხვა ამოცანების გადაჭრაში;
- მოსწავლეთა ყურადღება მიაპყროს რიცხვითი გამოხატვის მნიშვნელობის პოვნის პროცედურას.
აღჭურვილობა:
- ბარათები ჯგუფებში და წყვილებში მუშაობისთვის დავალებებით;
- შეფასების ნაშრომი;
- პრეზენტაცია"არითმეტიკული პროგრესია".
I. საბაზისო ცოდნის აქტუალიზაცია.
1. დამოუკიდებელი მუშაობა წყვილებში.
1 ვარიანტი:
განსაზღვრეთ არითმეტიკული პროგრესია. ჩამოწერეთ რეკურსიული ფორმულა, რომელიც განსაზღვრავს არითმეტიკულ პროგრესიას. მიეცით არითმეტიკული პროგრესიის მაგალითი და მიუთითეთ მისი განსხვავება.
მე-2 ვარიანტი:
ჩაწერეთ არითმეტიკული პროგრესიის n-ე წევრის ფორმულა. იპოვეთ არითმეტიკული პროგრესიის მე-100 წევრი ( a n}: 2, 5, 8 …
ამ დროს, დაფის უკანა მხარეს ორი სტუდენტი ამზადებს პასუხებს ერთსა და იმავე კითხვებზე.
მოსწავლეები აფასებენ პარტნიორის მუშაობას დაფასთან შედარებით. (ფურცლები პასუხებით გადაეცემა).
2. თამაშის მომენტი.
სავარჯიშო 1.
მასწავლებელი.რაღაც არითმეტიკული პროგრესია ჩავიფიქრე. დამისვით მხოლოდ ორი შეკითხვა, რათა პასუხების შემდეგ სწრაფად დაასახელოთ ამ პროგრესის მე-7 წევრი. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)
კითხვები სტუდენტებისგან.
- რა არის პროგრესის მეექვსე ვადა და რა განსხვავებაა?
- რა არის პროგრესის მერვე ვადა და რა განსხვავებაა?
თუ კითხვები აღარ არის, მაშინ მასწავლებელს შეუძლია მათი სტიმულირება - „აკრძალვა“ დ (განსხვავება), ანუ დაუშვებელია კითხვა, რა განსხვავებაა. შეგიძლიათ დასვათ კითხვები: რა არის პროგრესიის მე-6 და რა არის პროგრესირების მე-8 წევრი?
დავალება 2.
დაფაზე 20 რიცხვია დაწერილი: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.
მასწავლებელი დგას ზურგით დაფასთან. მოსწავლეები ამბობენ ნომრის ნომერს და მასწავლებელი მაშინვე რეკავს ნომერზე. ამიხსენი როგორ შემიძლია ამის გაკეთება?
მასწავლებელი ახსოვს n-ე ტერმინის ფორმულას a n \u003d 3n - 2და n-ის მოცემული მნიშვნელობების ჩანაცვლებით პოულობს შესაბამის მნიშვნელობებს ა ნ .
II. საგანმანათლებლო დავალების განცხადება.
მე ვთავაზობ ძველი პრობლემის გადაჭრას, რომელიც დათარიღებულია ჩვენს წელთაღრიცხვამდე II ათასწლეულით, ეგვიპტურ პაპირუსებში.
ამოცანა:„მოდით გითხრათ: 10 საზომი ქერი გაყავით 10 ადამიანზე, თითოეულ ადამიანსა და მის მეზობელს შორის სხვაობა ზომის 1/8-ია“.
- როგორ უკავშირდება ეს პრობლემა არითმეტიკული პროგრესიის თემას? (თითოეული შემდეგი ადამიანი იღებს საზომის 1/8-ით მეტს, ასე რომ, სხვაობა არის d=1/8, 10 ადამიანი, შესაბამისად n=10.)
- როგორ ფიქრობთ, რას ნიშნავს რიცხვი 10? (პროგრესიის ყველა წევრის ჯამი.)
- კიდევ რა უნდა იცოდეთ, რომ ქერის დაყოფა პრობლემის მდგომარეობის მიხედვით მარტივი და მარტივი იყოს? (პროგრესიის პირველი ტერმინი.)
გაკვეთილის მიზანი- პროგრესირების ტერმინების ჯამის დამოკიდებულების მიღება მათ რიცხვზე, პირველ წევრსა და განსხვავებაზე და შემოწმება, სწორად იყო თუ არა ამოხსნილი პრობლემა ძველ დროში.
ფორმულის გამოყვანამდე ვნახოთ, როგორ გადაჭრეს პრობლემა ძველ ეგვიპტელებმა.
და მათ გადაჭრეს ეს ასე:
1) 10 ზომა: 10 = 1 საზომი - საშუალო წილი;
2) 1 საზომი ∙ = 2 საზომი - გაორმაგდა საშუალოგაზიარება.
გაორმაგდა საშუალოწილი არის მე-5 და მე-6 პირის წილების ჯამი.
3) 2 საზომი - 1/8 ზომა = 1 7/8 საზომი - მეხუთე ადამიანის წილი ორჯერ მეტი.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - მეხუთე წილი; და ასე შემდეგ, შეგიძლიათ იპოვოთ თითოეული წინა და შემდგომი ადამიანის წილი.
ჩვენ ვიღებთ თანმიმდევრობას:
III. ამოცანის ამოხსნა.
1. ჯგუფებში მუშაობა
1 ჯგუფი:იპოვეთ 20 ზედიზედ ნატურალური რიცხვის ჯამი: S 20 \u003d (20 + 1) ∙ 10 \u003d 210.
Ზოგადად 
II ჯგუფი:იპოვეთ ნატურალური რიცხვების ჯამი 1-დან 100-მდე (ლეგენდა პატარა გაუსის შესახებ).
S 100 \u003d (1 + 100) ∙ 50 \u003d 5050
დასკვნა:
III ჯგუფი:იპოვეთ ნატურალური რიცხვების ჯამი 1-დან 21-მდე.
ამოხსნა: 1+21=2+20=3+19=4+18…
დასკვნა:
IV ჯგუფი:იპოვეთ ნატურალური რიცხვების ჯამი 1-დან 101-მდე.
დასკვნა:
განხილული პრობლემების გადაჭრის ამ მეთოდს ეწოდება "გაუსის მეთოდი".
2. თითოეული ჯგუფი დაფაზე წარმოადგენს პრობლემის გადაწყვეტას.
3. შემოთავაზებული ამონახსნების განზოგადება თვითნებური არითმეტიკული პროგრესიისთვის:
a 1, a 2, a 3,…, a n-2, a n-1, a n.
S n \u003d a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + ... + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.
ამ ჯამს ვპოულობთ მსგავსი კამათით:
4. მოვაგვარეთ ამოცანა?(დიახ.)
IV. ამოცანების ამოხსნისას მიღებული ფორმულების პირველადი გააზრება და გამოყენება.
1. ძველი პრობლემის გადაწყვეტის შემოწმება ფორმულით.
2. ფორმულის გამოყენება სხვადასხვა ამოცანების გადაჭრაში.
3. სავარჯიშოები ამოცანების ამოხსნისას ფორმულის გამოყენების უნარის ფორმირებისათვის.
ა) No613
მოცემულია :( და ნ) -არითმეტიკული პროგრესია;
(a n): 1, 2, 3, ..., 1500
Პოვნა: S 1500
გადაწყვეტილება: , და 1 = 1 და 1500 = 1500,
ბ) მოცემული: ( და ნ) -არითმეტიკული პროგრესია;
(და n): 1, 2, 3, ...
S n = 210
Პოვნა: ნ
გადაწყვეტილება:
V. დამოუკიდებელი მუშაობა ურთიერთდამოწმებით.
დენის სამუშაოდ წავიდა კურიერად. პირველ თვეში მისი ხელფასი 200 მანეთი იყო, ყოველ მომდევნო თვეში 30 რუბლით გაიზარდა. რამდენი გამოიმუშავა მან წელიწადში?
მოცემულია :( და ნ) -არითმეტიკული პროგრესია;
a 1 = 200, d = 30, n = 12
Პოვნა: S 12
გადაწყვეტილება:
პასუხი: დენისმა მიიღო 4380 მანეთი წლის განმავლობაში.
VI. საშინაო დავალების ინსტრუქცია.
- გვ 4.3 - ისწავლეთ ფორმულის წარმოშობა.
- №№ 585, 623 .
- შეადგინეთ პრობლემა, რომელიც გადაიჭრება არითმეტიკული პროგრესიის პირველი n წევრის ჯამის ფორმულის გამოყენებით.
VII. გაკვეთილის შეჯამება.
1. ქულების ფურცელი
2. განაგრძეთ წინადადებები
- დღეს გაკვეთილზე ვისწავლე...
- ნასწავლი ფორმულები...
- Მე ვფიქრობ, რომ …
3. შეგიძლიათ იპოვოთ რიცხვების ჯამი 1-დან 500-მდე? რა მეთოდს გამოიყენებთ ამ პრობლემის მოსაგვარებლად?
ბიბლიოგრაფია.
1. ალგებრა, მე-9 კლასი. სახელმძღვანელო საგანმანათლებლო დაწესებულებებისთვის. რედ. გ.ვ. დოროფეევა.მოსკოვი: განმანათლებლობა, 2009 წ.
არითმეტიკული პროგრესიის ჯამი.
არითმეტიკული პროგრესიის ჯამი მარტივი რამ არის. მნიშვნელობითაც და ფორმულითაც. მაგრამ ამ თემაზე ყველანაირი დავალებაა. ელემენტარულიდან საკმაოდ მყარი.
ჯერ შევეხოთ ჯამის მნიშვნელობას და ფორმულას. და მერე გადავწყვეტთ. საკუთარი სიამოვნებისთვის.) ჯამის მნიშვნელობა დაბლავით მარტივია. არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის საპოვნელად, თქვენ უბრალოდ უნდა ყურადღებით დაამატოთ მისი ყველა წევრი. თუ ეს ტერმინები ცოტაა, შეგიძლიათ დაამატოთ ყოველგვარი ფორმულების გარეშე. მაგრამ თუ ბევრია, ან ბევრი... დამატება შემაწუხებელია.) ამ შემთხვევაში ფორმულა ზოგავს.
ჯამის ფორმულა მარტივია:
მოდით გავარკვიოთ, რა სახის ასოები შედის ფორმულაში. ეს ბევრ რამეს გაარკვევს.
S n არის არითმეტიკული პროგრესიის ჯამი. დამატების შედეგი ყველაწევრებთან ერთად პირველი on ბოლო.Ეს არის მნიშვნელოვანი. დაამატე ზუსტად ყველაწევრები ზედიზედ, ხარვეზებისა და ნახტომების გარეშე. და, ზუსტად, დაწყებული პირველი.ისეთ პრობლემებში, როგორიცაა მესამე და მერვე წევრთა ჯამის პოვნა, ან ხუთიდან მეოცემდე ტერმინების ჯამი, ფორმულის პირდაპირი გამოყენება იმედგაცრუებული იქნება.)
a 1 - პირველიპროგრესის წევრი. აქ ყველაფერი გასაგებია, მარტივია პირველირიგის ნომერი.
a n- ბოლოპროგრესის წევრი. რიგის ბოლო ნომერი. არ არის ძალიან ნაცნობი სახელი, მაგრამ, როდესაც გამოიყენება თანხა, ეს ძალიან შესაფერისია. მერე თავად ნახავ.
ნ არის ბოლო წევრის ნომერი. მნიშვნელოვანია გვესმოდეს, რომ ფორმულაში ეს რიცხვი ემთხვევა დამატებული წევრების რაოდენობას.
მოდით განვსაზღვროთ კონცეფცია ბოლოწევრი a n. შევსების კითხვა: როგორი წევრი იქნება ბოლო,თუ მიცემულია გაუთავებელიარითმეტიკული პროგრესია?
დარწმუნებული პასუხისთვის, თქვენ უნდა გესმოდეთ არითმეტიკული პროგრესიის ელემენტარული მნიშვნელობა და ... ყურადღებით წაიკითხეთ დავალება!)
არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის პოვნის ამოცანაში ყოველთვის ჩნდება ბოლო წევრი (პირდაპირ ან ირიბად), რომელიც შეზღუდული უნდა იყოს.წინააღმდეგ შემთხვევაში, სასრული, კონკრეტული თანხა უბრალოდ არ არსებობს.ამოხსნისთვის არ აქვს მნიშვნელობა რა სახის პროგრესიაა მოცემული: სასრული თუ უსასრულო. არ აქვს მნიშვნელობა როგორ არის მოცემული: რიცხვების რიგით თუ n-ე წევრის ფორმულით.
ყველაზე მნიშვნელოვანი ის არის, რომ გვესმოდეს, რომ ფორმულა მუშაობს პროგრესირების პირველი ტერმინიდან რიცხვით ტერმინამდე ნ.სინამდვილეში, ფორმულის სრული სახელი ასე გამოიყურება: არითმეტიკული პროგრესიის პირველი n წევრის ჯამი.ამ პირველივე წევრების რიცხვი, ე.ი. ნ, განისაზღვრება მხოლოდ ამოცანის მიხედვით. ამოცანაში, მთელი ეს ღირებული ინფორმაცია ხშირად დაშიფრულია, დიახ... მაგრამ არაფერი, ქვემოთ მოცემულ მაგალითებში ჩვენ ამ საიდუმლოებებს გამოვავლენთ.)
არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის ამოცანების მაგალითები.
პირველ რიგში, სასარგებლო ინფორმაცია:
არითმეტიკული პროგრესიის ჯამისთვის ამოცანების მთავარი სირთულე არის ფორმულის ელემენტების სწორი განსაზღვრა.
დავალებების ავტორები სწორედ ამ ელემენტებს შიფრავენ უსაზღვრო ფანტაზიით.) აქ მთავარია არ შეგეშინდეთ. ელემენტების არსის გაგება, საკმარისია მხოლოდ მათი გაშიფვრა. მოდით შევხედოთ რამდენიმე მაგალითს დეტალურად. დავიწყოთ დავალებით, რომელიც დაფუძნებულია რეალურ GIA-ზე.
1. არითმეტიკული პროგრესია მოცემულია პირობით: a n = 2n-3.5. იპოვეთ პირველი 10 წევრის ჯამი.
Ყოჩაღ. მარტივია.) ფორმულის მიხედვით ოდენობის დასადგენად რა უნდა ვიცოდეთ? პირველი წევრი a 1, ბოლო სემესტრი a nდიახ, ბოლო პერიოდის ნომერი ნ.
სად მივიღოთ ბოლო წევრის ნომერი ნ? დიახ, იმავე ადგილას, მდგომარეობაში! ნათქვამია იპოვე თანხა პირველი 10 წევრი.აბა, რა რიცხვი იქნება ბოლო,მეათე წევრი?) არ დაიჯერებთ, მისი ნომერი მეათეა!) ამიტომ ნაცვლად a nჩავანაცვლებთ ფორმულაში ა 10, მაგრამ სამაგიეროდ ნ-ათი. ისევ და ისევ, ბოლო წევრის რაოდენობა იგივეა, რაც წევრების რაოდენობა.
რჩება გასარკვევი a 1და ა 10. ეს ადვილად გამოითვლება n-ე წევრის ფორმულით, რომელიც მოცემულია პრობლემის დებულებაში. არ იცით როგორ გააკეთოთ ეს? ეწვიეთ წინა გაკვეთილს, ამის გარეშე - არაფერი.
a 1= 2 1 - 3.5 = -1.5
ა 10\u003d 2 10 - 3.5 \u003d 16.5
S n = S 10.
ჩვენ გავარკვიეთ არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის ფორმულის ყველა ელემენტის მნიშვნელობა. რჩება მათი ჩანაცვლება და დათვლა:
სულ ეს არის. პასუხი: 75.
კიდევ ერთი დავალება, რომელიც ეფუძნება GIA-ს. ცოტა უფრო რთული:
2. მოცემულია არითმეტიკული პროგრესია (a n), რომლის სხვაობა არის 3,7; a 1 \u003d 2.3. იპოვეთ პირველი 15 წევრის ჯამი.
ჩვენ დაუყოვნებლივ ვწერთ ჯამის ფორმულას:
ეს ფორმულა საშუალებას გვაძლევს ვიპოვოთ ნებისმიერი წევრის მნიშვნელობა მისი რიცხვით. ჩვენ ვეძებთ მარტივ ჩანაცვლებას:
a 15 \u003d 2.3 + (15-1) 3.7 \u003d 54.1
რჩება ფორმულის ყველა ელემენტის ჩანაცვლება არითმეტიკული პროგრესიის ჯამისთვის და პასუხის გამოთვლა:
პასუხი: 423.
სხვათა შორის, თუ ჯამის ფორმულაში ნაცვლად a nუბრალოდ ჩაანაცვლეთ n-ე წევრის ფორმულა, მივიღებთ:
ჩვენ ვაძლევთ მსგავსებს, ვიღებთ ახალ ფორმულას არითმეტიკული პროგრესიის წევრების ჯამისთვის:
 |
როგორც ხედავთ, n-ე ტერმინი აქ არ არის საჭირო. a n. ზოგიერთ დავალებაში ეს ფორმულა ძალიან გვეხმარება, დიახ... შეგიძლიათ დაიმახსოვროთ ეს ფორმულა. და თქვენ შეგიძლიათ უბრალოდ ამოიღოთ ის საჭირო დროს, როგორც აქ. ყოველივე ამის შემდეგ, ჯამის ფორმულა და n-ე ტერმინის ფორმულა ყველანაირად უნდა ახსოვდეს.)
ახლა დავალება მოკლე დაშიფვრის სახით):
3. იპოვნეთ ყველა დადებითი ორნიშნა რიცხვის ჯამი, რომლებიც სამის ჯერადია.
Როგორ! არც პირველი წევრი, არც უკანასკნელი, არც პროგრესი... როგორ ვიცხოვროთ!?
მოგიწევთ თავით იფიქროთ და მდგომარეობიდან ამოიღოთ არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის ყველა ელემენტი. რა არის ორნიშნა რიცხვები - ვიცით. ისინი შედგება ორი რიცხვისაგან.) რა ორნიშნა რიცხვი იქნება პირველი? 10, სავარაუდოდ.) ბოლო რამორნიშნა ნომერი? 99, რა თქმა უნდა! მას სამნიშნა რიცხვები მოჰყვება...
სამის ნამრავლები... ჰმ... ეს ის რიცხვებია, რომლებიც თანაბრად იყოფა სამზე, აი! ათი არ იყოფა სამზე, 11 არ იყოფა... 12... იყოფა! ასე რომ, რაღაც ჩნდება. თქვენ უკვე შეგიძლიათ დაწეროთ სერიები პრობლემის მდგომარეობის მიხედვით:
12, 15, 18, 21, ... 96, 99.
იქნება ეს სერია არითმეტიკული პროგრესია? Რა თქმა უნდა! თითოეული ტერმინი წინასგან მკაცრად განსხვავდება სამით. თუ ტერმინს ემატება 2, ან 4, ვთქვათ, შედეგი, ე.ი. ახალი რიცხვი აღარ გაიყოფა 3-ზე. თქვენ შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ განსაზღვროთ არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა გროვამდე: d = 3.სასარგებლო!)
ასე რომ, ჩვენ შეგვიძლია უსაფრთხოდ ჩავწეროთ პროგრესირების რამდენიმე პარამეტრი:
რა რიცხვი იქნება ნბოლო წევრი? ვინც ფიქრობს, რომ 99 სასიკვდილოდ ცდება... ნომრები - ისინი ყოველთვის მიდიან ზედიზედ და ჩვენი წევრები ხტებიან სამეულს. ისინი არ ემთხვევა.
აქ ორი გამოსავალია. ერთი გზა არის სუპერ შრომისმოყვარეებისთვის. შეგიძლიათ დახატოთ პროგრესია, რიცხვების მთელი რიგი და თითით დათვალოთ ტერმინების რაოდენობა.) მეორე გზა არის მოაზროვნეებისთვის. თქვენ უნდა გახსოვდეთ ფორმულა n-ე ტერმინისთვის. თუ ფორმულა გამოიყენება ჩვენს პრობლემაზე, მივიღებთ, რომ 99 არის პროგრესიის ოცდამეათე წევრი. იმათ. n = 30.
ჩვენ ვუყურებთ არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის ფორმულას:
ვუყურებთ და ვხარობთ.) პრობლემის მდგომარეობიდან ამოვიღეთ ყველაფერი, რაც საჭიროა თანხის გამოსათვლელად:
a 1= 12.
30= 99.
S n = S 30.
რჩება ელემენტარული არითმეტიკა. ჩაანაცვლეთ რიცხვები ფორმულაში და გამოთვალეთ:
პასუხი: 1665 წ
სხვა ტიპის პოპულარული თავსატეხები:
4. არითმეტიკული პროგრესია მოცემულია:
-21,5; -20; -18,5; -17; ...
იპოვეთ წევრთა ჯამი მეოცედან ოცდამეოთხემდე.
ვუყურებთ ჯამის ფორმულას და ... ვნერვიულობთ.) ფორმულა, შეგახსენებთ, ითვლის ჯამს. პირველიდანწევრი. და პრობლემაში თქვენ უნდა გამოთვალოთ ჯამი მეოცე წლიდან...ფორმულა არ იმუშავებს.
თქვენ, რა თქმა უნდა, შეგიძლიათ დახატოთ მთელი პროგრესი ზედიზედ და დააყენოთ წევრები 20-დან 34-მდე. მაგრამ ... რატომღაც ეს სულელურად და დიდი ხნის განმავლობაში გამოდის, არა?)
არსებობს უფრო ელეგანტური გადაწყვეტა. მოდით დავყოთ ჩვენი სერია ორ ნაწილად. პირველი ნაწილი იქნება პირველი ტერმინიდან მეცხრამეტემდე.Მეორე ნაწილი - ოცდათოთხმეტი.გასაგებია, რომ თუ გამოვთვლით პირველი ნაწილის წევრთა ჯამს S 1-19, დავუმატოთ მეორე ნაწილის წევრთა ჯამს S 20-34, ვიღებთ პროგრესიის ჯამს პირველი წევრიდან ოცდამეოთხემდე S 1-34. Ამგვარად:
S 1-19 + S 20-34 = S 1-34
ეს გვიჩვენებს, რომ იპოვონ თანხა S 20-34შეიძლება გაკეთდეს მარტივი გამოკლებით
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19
განიხილება ორივე ჯამი მარჯვენა მხარეს პირველიდანწევრი, ე.ი. სტანდარტული ჯამის ფორმულა საკმაოდ გამოიყენება მათთვის. ვიწყებთ?
ჩვენ გამოვყოფთ პროგრესირების პარამეტრებს დავალების მდგომარეობიდან:
d = 1.5.
a 1= -21,5.
პირველი 19 და პირველი 34 წევრის ჯამების გამოსათვლელად დაგვჭირდება მე-19 და 34 წევრი. ჩვენ მათ ვითვლით n-ე წევრის ფორმულის მიხედვით, როგორც ამოცანა 2-ში:
19\u003d -21.5 + (19-1) 1.5 \u003d 5.5
a 34\u003d -21.5 + (34-1) 1.5 \u003d 28
აღარაფერი დარჩა. გამოვაკლოთ 19 წევრის ჯამი 34 წევრის ჯამს:
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110.5 - (-152) = 262.5
პასუხი: 262.5
ერთი მნიშვნელოვანი შენიშვნა! ამ პრობლემის გადაჭრაში არის ძალიან სასარგებლო ფუნქცია. პირდაპირი გაანგარიშების ნაცვლად რაც გჭირდებათ (S 20-34),ჩვენ დავთვალეთ რაც, როგორც ჩანს, არ არის საჭირო - S 1-19.და მერე გადაწყვიტეს S 20-34სრული შედეგიდან არასაჭიროს უგულებელყოფა. ასეთი "ყურებით გამონათქვამი" ხშირად ზოგავს ბოროტ თავსატეხებში.)
ამ გაკვეთილზე განვიხილეთ პრობლემები, რომლებისთვისაც საკმარისია არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის მნიშვნელობის გაგება. კარგად, თქვენ უნდა იცოდეთ რამდენიმე ფორმულა.)
პრაქტიკული რჩევა:
არითმეტიკული პროგრესიის ჯამისთვის რაიმე ამოცანის გადაჭრისას, გირჩევთ დაუყოვნებლივ ამოწეროთ ორი ძირითადი ფორმულა ამ თემიდან.
მე-n ტერმინის ფორმულა:
ეს ფორმულები დაუყოვნებლივ გეტყვით, რა უნდა მოძებნოთ, რა მიმართულებით იფიქროთ პრობლემის გადასაჭრელად. ეხმარება.
ახლა კი ამოცანები დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის.
5. იპოვეთ ყველა ორნიშნა რიცხვის ჯამი, რომელიც არ იყოფა სამზე.
მაგარია?) მინიშნება დამალულია 4 პრობლემის შენიშვნაში. კარგი, პრობლემა 3 დაგეხმარებათ.
6. არითმეტიკული პროგრესია მოცემულია პირობით: a 1 =-5.5; a n+1 = a n +0.5. იპოვეთ პირველი 24 წევრის ჯამი.
არაჩვეულებრივი?) ეს განმეორებადი ფორმულაა. ამის შესახებ შეგიძლიათ წაიკითხოთ წინა გაკვეთილზე. ნუ უგულებელყოფთ ბმულს, ასეთი თავსატეხები ხშირად გვხვდება GIA-ში.
7. ვასიამ დაზოგა ფული დღესასწაულისთვის. 4550 რუბლს შეადგენს! მე კი გადავწყვიტე, რომ ყველაზე საყვარელ ადამიანს (საკუთარ თავს) ბედნიერების რამდენიმე დღე მივცე). იცხოვრე ლამაზად, საკუთარი თავის არაფრის უარყოფის გარეშე. დახარჯეთ 500 მანეთი პირველ დღეს და დახარჯეთ 50 მანეთი მეტი ყოველი მომდევნო დღეს, ვიდრე წინა დღეს! სანამ ფული არ ამოიწურება. რამდენი დღე ჰქონდა ვასიას ბედნიერებას?
რთულია?) მე-2 დავალების დამატებითი ფორმულა დაგეხმარებათ.
პასუხები (არეულად): 7, 3240, 6.
თუ მოგწონთ ეს საიტი...
სხვათა შორის, მე მაქვს კიდევ რამდენიმე საინტერესო საიტი თქვენთვის.)
შეგიძლიათ ივარჯიშოთ მაგალითების ამოხსნაში და გაიგოთ თქვენი დონე. ტესტირება მყისიერი გადამოწმებით. სწავლა - ინტერესით!)
შეგიძლიათ გაეცნოთ ფუნქციებს და წარმოებულებს.
პირველი დონე
არითმეტიკული პროგრესია. დეტალური თეორია მაგალითებით (2019)
რიცხვითი თანმიმდევრობა
მოდით დავსხდეთ და დავიწყოთ რამდენიმე რიცხვის წერა. Მაგალითად:
თქვენ შეგიძლიათ დაწეროთ ნებისმიერი რიცხვი და შეიძლება იყოს რამდენიც გსურთ (ჩვენს შემთხვევაში, ისინი). რამდენი რიცხვიც არ უნდა დავწეროთ, ყოველთვის შეგვიძლია ვთქვათ, რომელია პირველი, რომელია მეორე და ასე შემდეგ ბოლომდე, ანუ შეგვიძლია მათი დათვლა. ეს არის რიცხვების თანმიმდევრობის მაგალითი:
რიცხვითი თანმიმდევრობა
მაგალითად, ჩვენი თანმიმდევრობისთვის:
მინიჭებული ნომერი სპეციფიკურია მხოლოდ ერთი რიგითი ნომრისთვის. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მიმდევრობაში არ არის სამი მეორე რიცხვი. მეორე რიცხვი (ისევე როგორც -ე რიცხვი) ყოველთვის იგივეა.
რიცხვის მქონე რიცხვს მიმდევრობის მე-მე წევრი ეწოდება.
ჩვენ ჩვეულებრივ მთელ მიმდევრობას ვუწოდებთ რაღაც ასოს (მაგალითად,), და ამ მიმდევრობის თითოეულ წევრს - იგივე ასო, ამ წევრის რაოდენობის ტოლი ინდექსით: .
ჩვენს შემთხვევაში: 
ვთქვათ, გვაქვს რიცხვითი მიმდევრობა, რომელშიც სხვაობა მეზობელ რიცხვებს შორის არის იგივე და ტოლი.
Მაგალითად: 
და ა.შ.
ასეთ რიცხვობრივ მიმდევრობას არითმეტიკული პროგრესია ეწოდება.
ტერმინი „პროგრესია“ შემოიღო რომაელმა ავტორმა ბოეტიუსმა ჯერ კიდევ VI საუკუნეში და ფართო გაგებით გაიგო, როგორც გაუთავებელი რიცხვითი თანმიმდევრობა. სახელწოდება "არითმეტიკა" გადავიდა უწყვეტი პროპორციების თეორიიდან, რომლითაც ძველი ბერძნები იყვნენ დაკავებულნი.
ეს არის რიცხვითი თანმიმდევრობა, რომლის თითოეული წევრი უდრის წინას, დამატებული იგივე რიცხვით. ამ რიცხვს ეწოდება არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა და აღინიშნება.
შეეცადეთ დაადგინოთ, რომელი რიცხვების მიმდევრობაა არითმეტიკული პროგრესია და რომელი არა:
ა)
ბ)
გ)
დ)
Გავიგე? შეადარეთ ჩვენი პასუხები:
არისარითმეტიკული პროგრესია - b, c.
Არ არისარითმეტიკული პროგრესია - ა, დ.
დავუბრუნდეთ მოცემულ პროგრესიას () და ვეცადოთ ვიპოვოთ მისი th წევრის მნიშვნელობა. არსებობს ორიმისი პოვნის გზა.
1. მეთოდი
ჩვენ შეგვიძლია დავამატოთ პროგრესიის ნომრის წინა მნიშვნელობა, სანამ არ მივაღწევთ პროგრესიის მე-6 ტერმინს. კარგია, რომ შეჯამება ბევრი არ გვაქვს - მხოლოდ სამი მნიშვნელობა:
ასე რომ, აღწერილი არითმეტიკული პროგრესიის მე-მე წევრი უდრის.
2. მეთოდი
რა მოხდება, თუ გვჭირდებოდა პროგრესიის მე-ე ტერმინის მნიშვნელობის პოვნა? შეჯამება ერთ საათზე მეტს დაგვჭირდებოდა და ფაქტი არ არის, რომ რიცხვების შეკრებისას შეცდომას არ დავუშვებდით.
რა თქმა უნდა, მათემატიკოსებმა მოიგონეს გზა, რომლითაც არ დაგჭირდებათ არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობის დამატება წინა მნიშვნელობაზე. დააკვირდით დახატულ სურათს... რა თქმა უნდა, თქვენ უკვე შენიშნეთ გარკვეული ნიმუში, კერძოდ:
მაგალითად, ვნახოთ, რა შეადგენს ამ არითმეტიკული პროგრესიის --ე წევრის მნიშვნელობას: 
Სხვა სიტყვებით:
შეეცადეთ დამოუკიდებლად იპოვოთ ამ გზით ამ არითმეტიკული პროგრესიის წევრის მნიშვნელობა.
გამოთვლილი? შეადარეთ თქვენი ჩანაწერები პასუხთან:
მიაქციეთ ყურადღება, რომ ზუსტად იგივე რიცხვი მიიღეთ, რაც წინა მეთოდში, როდესაც ჩვენ თანმიმდევრულად ვამატებთ არითმეტიკული პროგრესიის წევრებს წინა მნიშვნელობას.
შევეცადოთ ამ ფორმულის „დეპერსონალიზაციას“ - მივიღებთ მას ზოგად ფორმაში და მივიღებთ:
|
არითმეტიკული პროგრესიის განტოლება. |
არითმეტიკული პროგრესიები იზრდება ან მცირდება.
მზარდი- პროგრესები, რომლებშიც ტერმინების ყოველი მომდევნო მნიშვნელობა წინაზე მეტია.
Მაგალითად:
Დაღმავალი- პროგრესები, რომლებშიც ტერმინების ყოველი მომდევნო მნიშვნელობა წინაზე ნაკლებია.
Მაგალითად:
მიღებული ფორმულა გამოიყენება არითმეტიკული პროგრესიის როგორც მზარდი, ისე კლებადი ტერმინების გამოთვლაში.
მოდით შევამოწმოთ პრაქტიკაში.
ჩვენ გვეძლევა არითმეტიკული პროგრესია, რომელიც შედგება შემდეგი რიცხვებისგან:
Მას შემდეგ:
ამრიგად, ჩვენ დავრწმუნდით, რომ ფორმულა მუშაობს როგორც შემცირებაში, ასევე არითმეტიკული პროგრესიის გაზრდისას.
ეცადეთ, დამოუკიდებლად იპოვოთ ამ არითმეტიკული პროგრესიის მე-მე-ე წევრები.
მოდით შევადაროთ შედეგები:
არითმეტიკული პროგრესიის თვისება
დავალება გავართულოთ – გამოვიყვანთ არითმეტიკული პროგრესიის თვისებას.
დავუშვათ, რომ გვაქვს შემდეგი პირობა:
- არითმეტიკული პროგრესია, იპოვნეთ მნიშვნელობა.
ადვილია, თქვენ ამბობთ, და დაიწყეთ დათვლა იმ ფორმულის მიხედვით, რომელიც უკვე იცით:
მოდით, ა, მაშინ:
Აბსოლუტურად სწორი. გამოდის, რომ ჯერ ვპოულობთ, შემდეგ ვამატებთ პირველ რიცხვს და ვიღებთ იმას, რასაც ვეძებთ. თუ პროგრესია წარმოდგენილია მცირე მნიშვნელობებით, მაშინ ამაში არაფერია რთული, მაგრამ რა მოხდება, თუ პირობით რიცხვებს მოგვცემენ? გეთანხმებით, არის გამოთვლებში შეცდომების დაშვების შესაძლებლობა.
ახლა დაფიქრდით, შესაძლებელია თუ არა ამ პრობლემის გადაჭრა რომელიმე ფორმულით ერთი ნაბიჯით? რა თქმა უნდა, დიახ, და ჩვენ შევეცდებით ახლავე გამოვიტანოთ.
მოდით აღვნიშნოთ არითმეტიკული პროგრესიის სასურველი ტერმინი, როგორც ვიცით მისი პოვნის ფორმულა - ეს არის იგივე ფორმულა, რომელიც ჩვენ გამოვიღეთ დასაწყისში:
, შემდეგ:
- პროგრესის წინა წევრია:
- პროგრესის შემდეგი ტერმინი არის:
მოდით შევაჯამოთ პროგრესის წინა და შემდეგი წევრები:
გამოდის, რომ პროგრესიის წინა და მომდევნო წევრების ჯამი ორჯერ აღემატება მათ შორის მდებარე პროგრესიის წევრის მნიშვნელობას. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, იმისათვის, რომ იპოვოთ პროგრესიული წევრის მნიშვნელობა ცნობილი წინა და თანმიმდევრული მნიშვნელობებით, აუცილებელია მათი დამატება და გაყოფა.
მართალია, იგივე ნომერი მივიღეთ. გავასწოროთ მასალა. თავად გამოთვალეთ პროგრესის ღირებულება, რადგან ეს საერთოდ არ არის რთული.
კარგად გააკეთე! თქვენ თითქმის ყველაფერი იცით პროგრესის შესახებ! რჩება მხოლოდ ერთი ფორმულის გარკვევა, რომელიც, ლეგენდის თანახმად, ყველა დროის ერთ-ერთმა უდიდესმა მათემატიკოსმა, "მათემატიკოსთა მეფემ" - კარლ გაუსმა, თავისთვის ადვილად გამოიტანა...
როდესაც კარლ გაუსი 9 წლის იყო, მასწავლებელმა, რომელიც დაკავებული იყო სხვა კლასის მოსწავლეების მუშაობის შემოწმებით, გაკვეთილზე დაუსვა შემდეგი დავალება: „გამოთვალეთ ყველა ნატურალური რიცხვის ჯამი მდე (სხვა წყაროების მიხედვით) ჩათვლით. " რა იყო მასწავლებელს სიურპრიზი, როდესაც მისმა ერთ-ერთმა მოსწავლემ (ეს იყო კარლ გაუსმა) ერთი წუთის შემდეგ გასცა სწორი პასუხი დავალებას, მაშინ როცა გაბედულის თანაკლასელების უმეტესობამ გრძელი გამოთვლების შემდეგ არასწორი შედეგი მიიღო ...
ახალგაზრდა კარლ გაუსმა შენიშნა ნიმუში, რომელსაც ადვილად შეამჩნევთ.
ვთქვათ, გვაქვს არითმეტიკული პროგრესია, რომელიც შედგება -ti წევრებისაგან: უნდა ვიპოვოთ არითმეტიკული პროგრესიის მოცემული წევრების ჯამი. რა თქმა უნდა, ჩვენ შეგვიძლია ხელით შევაჯამოთ ყველა მნიშვნელობა, მაგრამ რა მოხდება, თუ დავალებაში უნდა ვიპოვოთ მისი ტერმინების ჯამი, როგორც ამას გაუსი ეძებდა?
მოდით გამოვსახოთ ჩვენთვის მოცემული პროგრესი. კარგად დააკვირდით მონიშნულ რიცხვებს და შეეცადეთ მათთან ერთად შეასრულოთ სხვადასხვა მათემატიკური მოქმედებები. 
სცადე? რა შეამჩნიე? სწორად! მათი ჯამები ტოლია
ახლა უპასუხეთ, რამდენი ასეთი წყვილი იქნება ჩვენთვის მოცემულ პროგრესში? რა თქმა უნდა, ყველა რიცხვის ზუსტად ნახევარი, ანუ.
იქიდან გამომდინარე, რომ არითმეტიკული პროგრესიის ორი წევრის ჯამი ტოლია და მსგავსი ტოლი წყვილი, მივიღებთ, რომ ჯამი უდრის:
.
ამრიგად, ნებისმიერი არითმეტიკული პროგრესიის პირველი წევრთა ჯამის ფორმულა იქნება:
ზოგიერთ პრობლემაში ჩვენ არ ვიცით ტერმინი, მაგრამ ვიცით პროგრესირების განსხვავება. შეეცადეთ ჯამის ფორმულაში ჩაანაცვლოთ მე-1 წევრის ფორმულა.
Რა მიიღე?
კარგად გააკეთე! ახლა დავუბრუნდეთ პრობლემას, რომელიც მიეცა კარლ გაუსს: თავად გამოთვალეთ რა არის -th-დან დაწყებული რიცხვების ჯამი და -th-დან დაწყებული რიცხვების ჯამი.
რამდენი მიიღეთ?
გაუსმა გაირკვა, რომ წევრთა ჯამი ტოლია და ტერმინთა ჯამი. ასე გადაწყვიტე?
სინამდვილეში, არითმეტიკული პროგრესიის წევრთა ჯამის ფორმულა დაამტკიცა ძველმა ბერძენმა მეცნიერმა დიოფანტმა ჯერ კიდევ მე-3 საუკუნეში და მთელი ამ ხნის განმავლობაში მახვილგონივრული ადამიანები იყენებდნენ არითმეტიკული პროგრესიის თვისებებს დიდი და მთავარი.
მაგალითად, წარმოიდგინეთ ძველი ეგვიპტე და იმ დროის უდიდესი სამშენებლო მოედანი - პირამიდის აგება... ფიგურაში ჩანს მისი ერთი მხარე. 
სად არის აქ პროგრესი შენ ამბობ? დააკვირდით და იპოვეთ ნიმუში ქვიშის ბლოკების რაოდენობაში პირამიდის კედლის თითოეულ რიგში. 
რატომ არა არითმეტიკული პროგრესია? დათვალეთ რამდენი ბლოკია საჭირო ერთი კედლის ასაშენებლად, თუ ბლოკის აგური მოთავსებულია ბაზაში. იმედია მონიტორზე თითის გადატანით არ ითვლით, გახსოვთ ბოლო ფორმულა და ყველაფერი რაც ვთქვით არითმეტიკული პროგრესიის შესახებ?
ამ შემთხვევაში, პროგრესი ასე გამოიყურება:
არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა.
არითმეტიკული პროგრესიის წევრთა რაოდენობა.
მოდით ჩავანაცვლოთ ჩვენი მონაცემები ბოლო ფორმულებში (ჩვენ ვითვლით ბლოკების რაოდენობას 2 გზით).
მეთოდი 1.
მეთოდი 2.
ახლა თქვენ ასევე შეგიძლიათ გამოთვალოთ მონიტორზე: შეადარეთ მიღებული მნიშვნელობები ჩვენს პირამიდაში არსებული ბლოკების რაოდენობასთან. დათანხმდა? კარგად გააკეთეთ, თქვენ აითვისეთ არითმეტიკული პროგრესიის მე-6 წევრთა ჯამი.
რა თქმა უნდა, თქვენ არ შეგიძლიათ პირამიდის აშენება ბაზაზე არსებული ბლოკებიდან, მაგრამ? შეეცადეთ გამოთვალოთ რამდენი ქვიშის აგურია საჭირო ამ პირობით კედლის ასაშენებლად.
მოახერხე?
სწორი პასუხი არის ბლოკები:
Ვარჯიში
Დავალებები:
- მაშა ზაფხულისთვის ფორმაში დგება. ყოველდღე ის ზრდის ჩაჯდომების რაოდენობას. რამდენჯერ დაიძვრება მაშა კვირებში, თუ პირველ ვარჯიშზე ჯდება.
- რა არის ყველა კენტი რიცხვის ჯამი, რომელიც შეიცავს.
- მორების შენახვისას, მეტყევეები აწყობენ მათ ისე, რომ ყოველი ზედა ფენა შეიცავს წინაზე ერთით ნაკლებ მორს. რამდენი მორი არის ერთ ქვისა, თუ ქვისა ძირი არის მორები.
პასუხები:
- მოდით განვსაზღვროთ არითმეტიკული პროგრესიის პარამეტრები. Ამ შემთხვევაში
(კვირები = დღეები).პასუხი:ორ კვირაში მაშა დღეში ერთხელ უნდა იჯდეს.
- პირველი კენტი რიცხვი, ბოლო რიცხვი.
არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა.
კენტი რიცხვების რაოდენობა ნახევარში, თუმცა, შეამოწმეთ ეს ფაქტი არითმეტიკული პროგრესიის მე-მე წევრის საპოვნელად ფორმულის გამოყენებით:რიცხვები შეიცავს კენტ რიცხვებს.
ჩვენ ვცვლით არსებულ მონაცემებს ფორმულაში:პასუხი:ყველა კენტი რიცხვის ჯამი, რომელიც შეიცავს მას უდრის.
- გაიხსენეთ პრობლემა პირამიდების შესახებ. ჩვენს შემთხვევაში, a, რადგან თითოეული ზედა ფენა მცირდება ერთი ჟურნალით, არის მხოლოდ რამდენიმე ფენა, ანუ.
ჩაანაცვლეთ მონაცემები ფორმულაში:პასუხი:ქვისა არის მორები.
შეჯამება
- - რიცხვითი თანმიმდევრობა, რომელშიც სხვაობა მიმდებარე რიცხვებს შორის არის იგივე და ტოლი. ის იზრდება და მცირდება.
- ფორმულის პოვნაარითმეტიკული პროგრესიის მე-1 წევრი იწერება ფორმულით - , სადაც არის რიცხვების რაოდენობა პროგრესიაში.
- არითმეტიკული პროგრესიის წევრების თვისება- - სადაც - რიცხვების რაოდენობა პროგრესიაში.
- არითმეტიკული პროგრესიის წევრთა ჯამიშეიძლება მოიძებნოს ორი გზით:
, სადაც არის მნიშვნელობების რაოდენობა.
არითმეტიკული პროგრესია. შუა დონე
რიცხვითი თანმიმდევრობა
დავსხდეთ და დავიწყოთ რამდენიმე რიცხვის წერა. Მაგალითად:
შეგიძლიათ დაწეროთ ნებისმიერი რიცხვი და შეიძლება იყოს რამდენიც გსურთ. მაგრამ ყოველთვის შეგიძლიათ გაიგოთ, რომელი მათგანია პირველი, რომელია მეორე და ასე შემდეგ, ანუ შეგვიძლია მათი დათვლა. ეს არის რიცხვების მიმდევრობის მაგალითი.
რიცხვითი თანმიმდევრობაარის რიცხვების ნაკრები, რომელთაგან თითოეულს შეიძლება მიენიჭოს უნიკალური ნომერი.
სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თითოეული რიცხვი შეიძლება ასოცირებული იყოს გარკვეულ ნატურალურ რიცხვთან და მხოლოდ ერთთან. და ჩვენ არ მივანიჭებთ ამ ნომერს ამ ნაკრებიდან არცერთ სხვა ნომერს.
რიცხვის მქონე რიცხვს მიმდევრობის მე-მე წევრი ეწოდება.
ჩვენ ჩვეულებრივ მთელ მიმდევრობას ვუწოდებთ რაღაც ასოს (მაგალითად,), და ამ მიმდევრობის თითოეულ წევრს - იგივე ასო, ამ წევრის რაოდენობის ტოლი ინდექსით: .
ძალიან მოსახერხებელია, თუ მიმდევრობის მე-მე წევრი შეიძლება მიცემული იყოს რაიმე ფორმულით. მაგალითად, ფორმულა
ადგენს თანმიმდევრობას:
და ფორმულა არის შემდეგი თანმიმდევრობა:
მაგალითად, არითმეტიკული პროგრესია არის თანმიმდევრობა (პირველი წევრი აქ ტოლია და განსხვავება). ან (, განსხვავება).
მე-n ტერმინის ფორმულა
ჩვენ ვუწოდებთ განმეორებით ფორმულას ისეთ ფორმულას, რომელშიც, რათა გაირკვეს ტერმინი, თქვენ უნდა იცოდეთ წინა ან რამდენიმე წინა:
ასეთი ფორმულის გამოყენებით, მაგალითად, პროგრესიის მეათე წევრის საპოვნელად, უნდა გამოვთვალოთ წინა ცხრა. მაგალითად, მოდით. შემდეგ:
აბა, ახლა გასაგებია, რა ფორმულაა?
თითოეულ სტრიქონში ვამატებთ, ვამრავლებთ რაღაც რიცხვზე. Რისთვის? ძალიან მარტივია: ეს არის ამჟამინდელი წევრის რიცხვი მინუს:
ახლა ბევრად უფრო კომფორტულია, არა? ჩვენ ვამოწმებთ:
თავად გადაწყვიტე:
არითმეტიკული პროგრესიის დროს იპოვეთ n-ე წევრის ფორმულა და იპოვეთ მეასე წევრი.
გადაწყვეტილება:
პირველი წევრი თანაბარია. და რა განსხვავებაა? და აი რა:
(მას ხომ განსხვავება ჰქვია, რადგან უდრის პროგრესიის თანმიმდევრული წევრების სხვაობას).
ასე რომ, ფორმულა არის:
მაშინ მეასე წევრია:
რა არის ყველა ნატურალური რიცხვის ჯამი დან?
ლეგენდის თანახმად, დიდმა მათემატიკოსმა კარლ გაუსმა, როგორც 9 წლის ბიჭი, რამდენიმე წუთში გამოთვალა ეს თანხა. მან შეამჩნია, რომ პირველი და ბოლო რიცხვის ჯამი ტოლია, მეორე და წინა უკანასკნელის ჯამი იგივეა, ბოლოდან მესამე და მე-3-ის ჯამი იგივეა და ა.შ. რამდენი ასეთი წყვილია? მართალია, ყველა რიცხვის ზუსტად ნახევარი, ანუ. Ისე,
ნებისმიერი არითმეტიკული პროგრესიის პირველი წევრთა ჯამის ზოგადი ფორმულა იქნება:
მაგალითი:
იპოვეთ ყველა ორნიშნა ჯერადი ჯამი.
გადაწყვეტილება:
პირველი ასეთი რიცხვი არის ეს. ყოველი შემდეგი მიიღება წინა რიცხვის მიმატებით. ამრიგად, ჩვენთვის საინტერესო რიცხვები ქმნიან არითმეტიკულ პროგრესიას პირველი წევრით და სხვაობით.
ამ პროგრესირების ტერმინის ფორმულა არის:
რამდენი წევრია პროგრესიაში, თუ ისინი ყველა ორნიშნა უნდა იყოს?
ძალიან ადვილია:.
პროგრესირების ბოლო ვადა თანაბარი იქნება. შემდეგ ჯამი:
პასუხი:.
ახლა თავად გადაწყვიტე:
- ყოველდღე სპორტსმენი დარბის 1 მეტრით მეტს, ვიდრე წინა დღეს. რამდენ კილომეტრს გაივლის ის კვირებში, თუ პირველ დღეს კმ მ გაირბინა?
- ველოსიპედისტი ყოველდღიურად უფრო მეტ მილს ატარებს, ვიდრე წინა. პირველ დღეს მან გაიარა კმ. რამდენი დღე უნდა იაროს კილომეტრის დასაფარად? რამდენ კილომეტრს გაივლის ის მოგზაურობის ბოლო დღეს?
- მაღაზიაში მაცივრის ფასი ყოველწლიურად ამდენივე მცირდება. დაადგინეთ, რამდენად იკლებს მაცივრის ფასი ყოველწლიურად, თუ გასაყიდად რუბლებში იყო გამოტანილი, ექვსი წლის შემდეგ ის გაიყიდა რუბლებში.
პასუხები:
- აქ ყველაზე მნიშვნელოვანი არის არითმეტიკული პროგრესიის ამოცნობა და მისი პარამეტრების დადგენა. ამ შემთხვევაში, (კვირები = დღეები). თქვენ უნდა განსაზღვროთ ამ პროგრესიის პირველი პუნქტების ჯამი:
.
პასუხი: - აქ მოცემულია:, აუცილებელია იპოვოთ.
ცხადია, თქვენ უნდა გამოიყენოთ იგივე ჯამის ფორმულა, როგორც წინა პრობლემაში:
.
შეცვალეთ მნიშვნელობები:ფესვი აშკარად არ ჯდება, ამიტომ პასუხი.
გამოვთვალოთ ბოლო დღის მანძილზე გავლილი მანძილი --ე წევრის ფორმულით:
(კმ).
პასუხი: - მოცემული: . Პოვნა: .
ეს არ არის ადვილი:
(რუბში).
პასუხი:
არითმეტიკული პროგრესია. მოკლედ მთავარის შესახებ
ეს არის რიცხვითი თანმიმდევრობა, რომელშიც სხვაობა მიმდებარე რიცხვებს შორის იგივე და ტოლია.
არითმეტიკული პროგრესია იზრდება () და მცირდება ().
Მაგალითად:
არითმეტიკული პროგრესიის n-ე წევრის პოვნის ფორმულა
იწერება ფორმულის სახით, სადაც არის რიცხვების რაოდენობა პროგრესიაში.
არითმეტიკული პროგრესიის წევრების თვისება
ეს აადვილებს პროგრესიის წევრის პოვნას, თუ ცნობილია მისი მეზობელი წევრები - სად არის რიცხვების რაოდენობა პროგრესიაში.
არითმეტიკული პროგრესიის წევრთა ჯამი
ჯამის პოვნის ორი გზა არსებობს:
სად არის მნიშვნელობების რაოდენობა.
სად არის მნიშვნელობების რაოდენობა.
რიცხვითი მიმდევრობის კონცეფცია გულისხმობს, რომ თითოეული ნატურალური რიცხვი შეესაბამება გარკვეულ რეალურ მნიშვნელობას. რიცხვების ასეთი სერია შეიძლება იყოს თვითნებურიც და ჰქონდეს გარკვეული თვისებები - პროგრესია. ამ უკანასკნელ შემთხვევაში, მიმდევრობის ყოველი მომდევნო ელემენტი (წევრი) შეიძლება გამოითვალოს წინას გამოყენებით.
არითმეტიკული პროგრესია არის რიცხვითი მნიშვნელობების თანმიმდევრობა, რომელშიც მისი მეზობელი წევრები განსხვავდებიან ერთმანეთისგან ერთი და იგივე რაოდენობით (სერიის ყველა ელემენტს, მე-2-დან დაწყებული, აქვს მსგავსი თვისება). ეს რიცხვი - განსხვავება წინა და მომდევნო წევრს შორის - მუდმივია და მას პროგრესიის სხვაობა ეწოდება.
პროგრესის განსხვავება: განმარტება
განვიხილოთ j მნიშვნელობებისაგან შემდგარი თანმიმდევრობა A = a(1), a(2), a(3), a(4) … a(j), j ეკუთვნის ნატურალური რიცხვების სიმრავლეს N. არითმეტიკული პროგრესია, მისი განმარტების მიხედვით, არის თანმიმდევრობა, რომელშიც a(3) - a(2) = a(4) - a(3) = a(5) - a(4) = ... = a(j) - a(j-1) = d. d-ის მნიშვნელობა არის ამ პროგრესიის სასურველი განსხვავება.
d = a(j) - a(j-1).
გამოყოფა:
- მზარდი პროგრესია, ამ შემთხვევაში d > 0. მაგალითი: 4, 8, 12, 16, 20, ...
- პროგრესირების შემცირება, შემდეგ დ< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …
პროგრესირების განსხვავება და მისი თვითნებური ელემენტები
თუ ცნობილია პროგრესიის 2 თვითნებური წევრი (i-th, k-th), მაშინ ამ თანმიმდევრობის განსხვავება შეიძლება დადგინდეს მიმართების საფუძველზე:
a(i) = a(k) + (i - k)*d, ასე რომ d = (a(i) - a(k))/(i-k).
პროგრესირების განსხვავება და მისი პირველი ტერმინი
ეს გამოთქმა დაგეხმარებათ უცნობი მნიშვნელობის დადგენაში მხოლოდ იმ შემთხვევებში, როდესაც ცნობილია მიმდევრობის ელემენტის რაოდენობა.
პროგრესირების სხვაობა და მისი ჯამი
პროგრესიის ჯამი არის მისი წევრების ჯამი. მისი პირველი j ელემენტების ჯამური მნიშვნელობის გამოსათვლელად გამოიყენეთ შესაბამისი ფორმულა:
S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, მაგრამ მას შემდეგ a(j) = a(1) + d(j – 1), შემდეგ S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.
