(ბერძნული λόγος - "სიტყვა", "კავშირი" და ἀριθμός - "რიცხვი") რიცხვები ბმიზეზით ა(log α ბ) ასეთ რიცხვს უწოდებენ გ, და ბ= გ, ანუ log α ბ=გდა b=aგექვივალენტები არიან. ლოგარითმი აზრი აქვს, თუ a > 0, a ≠ 1, b > 0.

Სხვა სიტყვებით ლოგარითმინომრები ბმიზეზით აჩამოყალიბებულია მაჩვენებლის სახით, რომელზეც რიცხვი უნდა გაიზარდოს ანომრის მისაღებად ბ(ლოგარითმი არსებობს მხოლოდ დადებითი რიცხვებისთვის).

ამ ფორმულირებიდან გამომდინარეობს, რომ გაანგარიშება x= log α ბ, უდრის a x =b განტოლების ამოხსნის.

Მაგალითად:

ჟურნალი 2 8 = 3 რადგან 8=2 3 .

აღვნიშნავთ, რომ ლოგარითმის მითითებული ფორმულირება შესაძლებელს ხდის დაუყოვნებლივ განსაზღვროს ლოგარითმის მნიშვნელობაროდესაც რიცხვი ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ არის ფუძის გარკვეული სიმძლავრე. მართლაც, ლოგარითმის ფორმულირება იძლევა იმის დასაბუთებას, რომ თუ b=a გ, შემდეგ რიცხვის ლოგარითმი ბმიზეზით აუდრის თან. ასევე ნათელია, რომ ლოგარითმის თემა მჭიდროდ არის დაკავშირებული თემასთან რიცხვის ხარისხი.

მოხსენიებულია ლოგარითმის გაანგარიშება ლოგარითმი. ლოგარითმი არის ლოგარითმის აღების მათემატიკური ოპერაცია. ლოგარითმის აღებისას ფაქტორების ნამრავლები გარდაიქმნება ტერმინთა ჯამებად.

გაძლიერებაარის ლოგარითმის შებრუნებული მათემატიკური ოპერაცია. გაძლიერებისას მოცემული ფუძე ამაღლებულია იმ გამოხატვის ძალამდე, რომელზედაც ხდება გაძლიერება. ამ შემთხვევაში ტერმინების ჯამები გარდაიქმნება ფაქტორების ნამრავლად.

ხშირად გამოიყენება რეალური ლოგარითმები ბაზებით 2 (ორობითი), ეილერის რიცხვი e ≈ 2.718 (ბუნებრივი ლოგარითმი) და 10 (ათწილადი).

ამ ეტაპზე გასათვალისწინებელია ლოგარითმების ნიმუშებიჟურნალი 7 2 , ლნ √ 5, lg0.0001.

ხოლო ჩანაწერებს lg (-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 აზრი არ აქვს, რადგან პირველში უარყოფითი რიცხვი მოთავსებულია ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ, მეორეში - უარყოფითი რიცხვი. ფუძე, ხოლო მესამეში - და უარყოფითი რიცხვი ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ და ერთეული ფუძეში.

ლოგარითმის განსაზღვრის პირობები.

ცალკე უნდა განვიხილოთ პირობები a > 0, a ≠ 1, b > 0. ლოგარითმის განმარტება.მოდით განვიხილოთ, რატომ არის მიღებული ეს შეზღუდვები. ეს დაგვეხმარება x = log α ფორმის ტოლობაში ბ, რომელსაც ეწოდება ძირითადი ლოგარითმული იდენტობა, რომელიც პირდაპირ გამომდინარეობს ზემოთ მოცემული ლოგარითმის განმარტებიდან.

მიიღეთ პირობა a≠1. ვინაიდან ერთი უდრის ერთს ნებისმიერ ძალას, მაშინ ტოლობა x=log α ბშეიძლება არსებობდეს მხოლოდ მაშინ, როცა b=1, მაგრამ ჟურნალი 1 1 იქნება ნებისმიერი რეალური რიცხვი. ამ გაურკვევლობის აღმოსაფხვრელად, ჩვენ ვიღებთ a≠1.

დავამტკიცოთ პირობის აუცილებლობა a>0. ზე a=0ლოგარითმის ფორმულირების მიხედვით, შეიძლება არსებობდეს მხოლოდ მაშინ, როცა b=0. და შემდეგ შესაბამისად ჟურნალი 0 0შეიძლება იყოს ნებისმიერი არანულოვანი რეალური რიცხვი, ვინაიდან ნული ნებისმიერ არანულოვან ხარისხზე არის ნული. ამ გაურკვევლობის აღმოსაფხვრელად პირობა a≠0. Და როცა ა<0 ჩვენ უნდა უარვყოთ ლოგარითმის რაციონალური და ირაციონალური მნიშვნელობების ანალიზი, რადგან რაციონალური და ირაციონალური მაჩვენებლის მქონე მაჩვენებლები განისაზღვრება მხოლოდ არაუარყოფითი ბაზებისთვის. ამ მიზეზით არის მდგომარეობა a>0.

და ბოლო პირობა b>0გამომდინარეობს უთანასწორობიდან a>0, რადგან x=log α ბ, და ხარისხის მნიშვნელობა დადებითი ბაზით აყოველთვის პოზიტიური.

ლოგარითმების მახასიათებლები.

ლოგარითმებიხასიათდება გამორჩეული მახასიათებლები, რამაც გამოიწვია მათი ფართო გამოყენება, რათა მნიშვნელოვნად გაადვილებინა მტკივნეული გამოთვლები. „ლოგარითმების სამყაროში“ გადასვლისას გამრავლება გარდაიქმნება ბევრად უფრო მარტივ მიმატებად, დაყოფა გამოკლებად, ხოლო ხარისხზე აწევა და ფესვის აღება გარდაიქმნება გამრავლებად და გაყოფად, შესაბამისად, მაჩვენებლით.

ლოგარითმების ფორმულირება და მათი მნიშვნელობების ცხრილი (ტრიგონომეტრიული ფუნქციებისთვის) პირველად გამოქვეყნდა 1614 წელს შოტლანდიელმა მათემატიკოსმა ჯონ ნაპიერმა. ლოგარითმული ცხრილები, გაფართოებული და დეტალური სხვა მეცნიერების მიერ, ფართოდ გამოიყენებოდა სამეცნიერო და საინჟინრო გამოთვლებში და აქტუალური დარჩა მანამ, სანამ ელექტრონული კალკულატორებისა და კომპიუტერების გამოყენება დაიწყება.

ამ სტატიის ყურადღება გამახვილებულია ლოგარითმი. აქ მივცემთ ლოგარითმის განმარტებას, ვაჩვენებთ მიღებულ აღნიშვნას, მოვიყვანთ ლოგარითმების მაგალითებს და ვისაუბრებთ ბუნებრივ და ათობითი ლოგარითმებზე. ამის შემდეგ განიხილეთ ძირითადი ლოგარითმული იდენტობა.

გვერდის ნავიგაცია.

ლოგარითმის განმარტება

ლოგარითმის კონცეფცია წარმოიქმნება პრობლემის გადაჭრისას გარკვეული გაგებით ინვერსიულად, როდესაც თქვენ გჭირდებათ მაჩვენებლის პოვნა ხარისხის ცნობილი მნიშვნელობიდან და ცნობილი ფუძიდან.

მაგრამ საკმარისი პრეამბულა, დროა ვუპასუხოთ კითხვას "რა არის ლოგარითმი"? მოდით მივცეთ შესაბამისი განმარტება.

განმარტება.

b-ის ლოგარითმი a ფუძემდე, სადაც a>0 , a≠1 და b>0 არის მაჩვენებელი, რომელზედაც თქვენ უნდა აწიოთ რიცხვი a რომ მიიღოთ b შედეგად.

ამ ეტაპზე ჩვენ აღვნიშნავთ, რომ წარმოთქმულმა სიტყვამ „ლოგარითმი“ დაუყოვნებლივ უნდა წამოჭრას ორი შემდეგი კითხვა: „რა რიცხვი“ და „რის საფუძველზე“. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, უბრალოდ არ არსებობს ლოგარითმი, მაგრამ არის მხოლოდ რიცხვის ლოგარითმი ზოგიერთ ბაზაში.

ჩვენ დაუყოვნებლივ გავაცნობთ ლოგარითმის აღნიშვნა: b რიცხვის ლოგარითმი a ფუძემდე ჩვეულებრივ აღინიშნება როგორც log a b . b რიცხვის ლოგარითმს e ფუძეზე და ლოგარითმს 10 ფუძესთან აქვს თავისი სპეციალური აღნიშვნები, შესაბამისად, lnb და lgb, ანუ წერენ არა log e b, არამედ lnb და არა log 10 b, არამედ lgb.

ახლა თქვენ შეგიძლიათ მოიტანოთ: .
და ჩანაწერები აზრი არ აქვს, რადგან პირველში არის უარყოფითი რიცხვი ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ, მეორეში - უარყოფითი რიცხვი ფუძეში, ხოლო მესამეში - ორივე უარყოფითი რიცხვი ლოგარითმის ნიშნით და ერთეული ბაზაში.

ახლა მოდით ვისაუბროთ ლოგარითმების წაკითხვის წესები. ჩანაწერი a b იკითხება როგორც "b-ის ლოგარითმი a ფუძემდე". მაგალითად, log 2 3 არის ლოგარითმი სამიდან 2 ფუძემდე, და არის ლოგარითმი ორი მთელი რიცხვის ორი ფუძის მესამედის კვადრატული ფესვის ხუთიდან. ლოგარითმი e-ს ბაზაზე ეწოდება ბუნებრივი ლოგარითმი, ხოლო აღნიშვნა lnb იკითხება როგორც "ბ-ის ბუნებრივი ლოგარითმი". მაგალითად, ln7 არის შვიდის ბუნებრივი ლოგარითმი და ჩვენ მას წავიკითხავთ, როგორც pi-ს ბუნებრივ ლოგარითმს. 10-ე ბაზის ლოგარითმს ასევე აქვს სპეციალური სახელი - ათობითი ლოგარითმი, ხოლო აღნიშვნა lgb იკითხება როგორც "ათწილადი ლოგარითმი b". მაგალითად, lg1 არის ერთის ათობითი ლოგარითმი, ხოლო lg2.75 არის ორი წერტილის სამოცდათხუთმეტი მეასედის ათობითი ლოგარითმი.

ცალკე ღირს შეჩერება a>0, a≠1 და b>0 პირობებზე, რომლებშიც მოცემულია ლოგარითმის განმარტება. მოდით განვმარტოთ, საიდან მოდის ეს შეზღუდვები. ამაში დაგვეხმარება ფორმის ტოლობა, სახელწოდებით, რომელიც პირდაპირ გამომდინარეობს ზემოთ მოცემული ლოგარითმის განმარტებიდან.

დავიწყოთ a≠1-ით. ვინაიდან ერთი უდრის ერთს ნებისმიერ სიმძლავრეს, მაშინ ტოლობა შეიძლება იყოს ჭეშმარიტი მხოლოდ b=1-ისთვის, მაგრამ log 1 1 შეიძლება იყოს ნებისმიერი რეალური რიცხვი. ამ გაურკვევლობის თავიდან ასაცილებლად, მიღებულია a≠1.

დავამტკიცოთ a>0 პირობის მიზანშეწონილობა. a=0-ით, ლოგარითმის განმარტებით, გვექნებოდა ტოლობა, რაც შესაძლებელია მხოლოდ b=0-ით. მაგრამ მაშინ log 0 0 შეიძლება იყოს ნებისმიერი არანულოვანი რეალური რიცხვი, ვინაიდან ნული ნებისმიერ არანულოვან სიმძლავრემდე არის ნული. ამ გაურკვევლობის თავიდან აცილება შესაძლებელია a≠0 პირობით. და ამისთვის ა<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

და ბოლოს, პირობა b>0 გამომდინარეობს უტოლობიდან a>0 , ვინაიდან , და a დადებითი ფუძის მქონე ხარისხის მნიშვნელობა ყოველთვის დადებითია.

ამ პუნქტის დასასრულს, ჩვენ ვამბობთ, რომ ლოგარითმის გაჟღერებული განმარტება საშუალებას გაძლევთ დაუყოვნებლივ მიუთითოთ ლოგარითმის მნიშვნელობა, როდესაც ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ რიცხვი არის ბაზის გარკვეული ხარისხი. მართლაც, ლოგარითმის განმარტება საშუალებას გვაძლევს დავამტკიცოთ, რომ თუ b=a p, მაშინ b რიცხვის ლოგარითმი a ფუძემდე უდრის p. ანუ, ტოლობის ჟურნალი a a p =p არის ჭეშმარიტი. მაგალითად, ჩვენ ვიცით, რომ 2 3 =8, შემდეგ log 2 8=3. ამის შესახებ დაწვრილებით სტატიაში ვისაუბრებთ.

საზოგადოების განვითარებასთან, წარმოების სირთულესთან ერთად განვითარდა მათემატიკაც. მოძრაობა მარტივიდან რთულამდე. შეკრებისა და გამოკლების ჩვეულებრივი აღრიცხვის მეთოდიდან, მათი განმეორებითი გამეორებით, ისინი მივიდნენ გამრავლებისა და გაყოფის ცნებამდე. გამრავლების განმეორებითი მოქმედების შემცირება გახდა ექსპონენტაციის კონცეფცია. რიცხვების დამოკიდებულების პირველი ცხრილები ფუძეზე და გაძლიერების რიცხვზე შეადგინა ჯერ კიდევ VIII საუკუნეში ინდოელმა მათემატიკოსმა ვარასენამ. მათგან შეგიძლიათ დაითვალოთ ლოგარითმების გაჩენის დრო.

ისტორიული მონახაზი

მე-16 საუკუნეში ევროპის აღორძინებამ ასევე ხელი შეუწყო მექანიკის განვითარებას. თ მოითხოვდა დიდი რაოდენობის გამოთვლასასოცირდება მრავალნიშნა რიცხვების გამრავლებასთან და გაყოფასთან. ძველმა სუფრებმა დიდი სამსახური გასწიეს. მათ შესაძლებელი გახადეს რთული ოპერაციების ჩანაცვლება უფრო მარტივი - შეკრება და გამოკლება. დიდი წინგადადგმული ნაბიჯი იყო მათემატიკოს მაიკლ შტიფელის ნაშრომი, რომელიც გამოქვეყნდა 1544 წელს, რომელშიც მან გააცნობიერა მრავალი მათემატიკოსის იდეა. ამან შესაძლებელი გახადა ცხრილების გამოყენება არა მხოლოდ გრადუსებისთვის მარტივი რიცხვების სახით, არამედ თვითნებური რაციონალურიც.

1614 წელს შოტლანდიელმა ჯონ ნაპიერმა, ამ იდეების შემუშავებით, პირველად შემოიტანა ახალი ტერმინი „რიცხვის ლოგარითმი“. შედგენილია ახალი რთული ცხრილები სინუსების და კოსინუსების ლოგარითმების, ასევე ტანგენტების გამოსათვლელად. ამან მნიშვნელოვნად შეამცირა ასტრონომების მუშაობა.

დაიწყო ახალი ცხრილების გამოჩენა, რომლებსაც წარმატებით იყენებდნენ მეცნიერები სამი საუკუნის განმავლობაში. ბევრი დრო გავიდა, სანამ ალგებრაში ახალმა ოპერაციამ დასრულებული ფორმა შეიძინა. განისაზღვრა ლოგარითმი და შეისწავლა მისი თვისებები.

მხოლოდ მე-20 საუკუნეში, კალკულატორისა და კომპიუტერის მოსვლასთან ერთად, კაცობრიობამ მიატოვა უძველესი ცხრილები, რომლებიც წარმატებით მოქმედებდნენ მე-13 საუკუნეში.

დღეს b-ის ლოგარითმს ვუწოდებთ a-ს რიცხვს x, რომელიც არის a-ს სიმძლავრე, რომ მივიღოთ b რიცხვი. ეს იწერება ფორმულის სახით: x = log a(b).

მაგალითად, log 3(9) იქნება 2-ის ტოლი. ეს აშკარაა, თუ დაიცავთ განმარტებას. თუ 3-ს ავწევთ 2-ის ხარისხზე, მივიღებთ 9-ს.

ამრიგად, ჩამოყალიბებული განმარტება აყენებს მხოლოდ ერთ შეზღუდვას, რიცხვები a და b უნდა იყოს რეალური.

ლოგარითმების ჯიშები

კლასიკურ განმარტებას ეწოდება რეალური ლოგარითმი და რეალურად არის ამონახსნი a x = b განტოლებისა. ვარიანტი a = 1 არის მოსაზღვრე და არ არის საინტერესო. შენიშვნა: 1 ნებისმიერი სიმძლავრის მიმართ არის 1.

ლოგარითმის რეალური მნიშვნელობაგანისაზღვრება მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ფუძე და არგუმენტი მეტია 0-ზე და ფუძე არ უნდა იყოს 1-ის ტოლი.

განსაკუთრებული ადგილი მათემატიკის დარგშიითამაშეთ ლოგარითმები, რომლებიც დასახელდება მათი ბაზის მნიშვნელობიდან გამომდინარე:

წესები და შეზღუდვები

ლოგარითმების ფუნდამენტური თვისებაა წესი: ნამრავლის ლოგარითმი ტოლია ლოგარითმული ჯამის. log abp = log a(b) + log a(p).

როგორც ამ განცხადების ვარიანტი, ეს იქნება: log c (b / p) \u003d log c (b) - log c (p), კოეფიციენტის ფუნქცია უდრის ფუნქციების სხვაობას.

წინა ორი წესიდან ადვილი შესამჩნევია, რომ: log a(b p) = p * log a(b).

სხვა თვისებები მოიცავს:

კომენტარი. არ დაუშვათ საერთო შეცდომა - ჯამის ლოგარითმი არ არის ლოგარითმების ჯამის ტოლი.

მრავალი საუკუნის განმავლობაში, ლოგარითმის პოვნის ოპერაცია საკმაოდ შრომატევადი ამოცანა იყო. მათემატიკოსებმა გამოიყენეს პოლინომად გაფართოების ლოგარითმული თეორიის ცნობილი ფორმულა:

ln (1 + x) = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 + ... + ((-1)^(n + 1))* (( x^n)/n), სადაც n არის 1-ზე მეტი ნატურალური რიცხვი, რომელიც განსაზღვრავს გამოთვლის სიზუსტეს.

სხვა საფუძვლებით ლოგარითმები გამოითვალეს ერთი ფუძიდან მეორეზე გადასვლის თეორემისა და პროდუქტის ლოგარითმის თვისების გამოყენებით.

ვინაიდან ეს მეთოდი ძალიან შრომატევადი და პრაქტიკული პრობლემების გადაჭრისასრთული განსახორციელებელი, ისინი იყენებდნენ ლოგარითმების წინასწარ შედგენილ ცხრილებს, რამაც მნიშვნელოვნად დააჩქარა მთელი სამუშაო.

ზოგიერთ შემთხვევაში გამოიყენებოდა ლოგარითმების სპეციალურად შედგენილი გრაფიკები, რომლებიც ნაკლებ სიზუსტეს აძლევდნენ, მაგრამ საგრძნობლად აჩქარებდნენ სასურველი მნიშვნელობის ძიებას. ფუნქციის y = log a(x) მრუდი, რომელიც აგებულია რამდენიმე წერტილზე, საშუალებას გაძლევთ გამოიყენოთ ჩვეულებრივი მმართველი, იპოვოთ ფუნქციის მნიშვნელობები ნებისმიერ სხვა წერტილში. დიდი ხნის განმავლობაში ინჟინრები ამ მიზნებისთვის იყენებდნენ ე.წ.

მე-17 საუკუნეში გაჩნდა პირველი დამხმარე ანალოგური გამოთვლითი პირობები, რომლებმაც მე-19 საუკუნისთვის მზა ფორმა შეიძინეს. ყველაზე წარმატებულ მოწყობილობას ეწოდა სლაიდის წესი. მიუხედავად მოწყობილობის სიმარტივისა, მისმა გარეგნობამ საგრძნობლად დააჩქარა ყველა საინჟინრო გამოთვლების პროცესი და ძნელია ამის გადაჭარბება. ამჟამად, ცოტა ადამიანი იცნობს ამ მოწყობილობას.

კალკულატორებისა და კომპიუტერების გამოჩენამ უაზრო გახადა სხვა მოწყობილობების გამოყენება.

განტოლებები და უტოლობა

შემდეგი ფორმულები გამოიყენება ლოგარითმების გამოყენებით სხვადასხვა განტოლებისა და უტოლობების ამოსახსნელად:

• ერთი ბაზიდან მეორეზე გადასვლა: log a(b) = log c(b) / log c(a);
• წინა ვერსიის შედეგად: log a(b) = 1 / log b(a).

უტოლობების გადასაჭრელად სასარგებლოა ვიცოდეთ:

• ლოგარითმის მნიშვნელობა მხოლოდ დადებითი იქნება, თუ ბაზაც და არგუმენტიც ერთზე მეტი ან ნაკლებია; თუ ერთი პირობა მაინც დაირღვა, ლოგარითმის მნიშვნელობა უარყოფითი იქნება.
• თუ ლოგარითმის ფუნქცია გამოყენებულია უტოლობის მარჯვენა და მარცხენა მხარეს, ხოლო ლოგარითმის ფუძე ერთზე მეტია, მაშინ უტოლობის ნიშანი შენარჩუნებულია; წინააღმდეგ შემთხვევაში, ის იცვლება.

დავალების მაგალითები

განვიხილოთ ლოგარითმების და მათი თვისებების გამოყენების რამდენიმე ვარიანტი. მაგალითები განტოლებების ამოხსნით:

განვიხილოთ ლოგარითმის ხარისხში განთავსების ვარიანტი:

• დავალება 3. გამოთვალეთ 25^log 5(3). ამოხსნა: პრობლემის პირობებში აღნიშვნა მსგავსია (5^2)^log5(3) ან 5^(2 * log 5(3)). მოდით სხვანაირად ჩავწეროთ: 5^log 5(3*2), ან რიცხვის კვადრატი, როგორც ფუნქციის არგუმენტი, შეიძლება დაიწეროს როგორც თავად ფუნქციის კვადრატი (5^log 5(3))^2. ლოგარითმების თვისებების გამოყენებით, ეს გამოხატულება არის 3^2. პასუხი: გაანგარიშების შედეგად ვიღებთ 9-ს.

პრაქტიკული გამოყენება

როგორც წმინდა მათემატიკური ინსტრუმენტი, როგორც ჩანს, შორს არის რეალური ცხოვრებისგან, რომ ლოგარითმა მოულოდნელად მოიპოვა დიდი მნიშვნელობა რეალურ სამყაროში ობიექტების აღწერისას. ძნელია იპოვოთ მეცნიერება, სადაც ის არ გამოიყენება. ეს სრულად ეხება არა მხოლოდ ბუნებრივ, არამედ ჰუმანიტარულ ცოდნის სფეროებსაც.

ლოგარითმული დამოკიდებულებები

აქ მოცემულია რიცხვითი დამოკიდებულების რამდენიმე მაგალითი:

მექანიკა და ფიზიკა

ისტორიულად, მექანიკა და ფიზიკა ყოველთვის ვითარდებოდა მათემატიკური კვლევის მეთოდების გამოყენებით და ამავე დროს ემსახურებოდა მათემატიკის, ლოგარითმების ჩათვლით, განვითარების სტიმულს. ფიზიკის კანონების უმეტესობის თეორია დაწერილია მათემატიკის ენაზე. ლოგარითმის გამოყენებით ფიზიკური კანონების აღწერის მხოლოდ ორ მაგალითს ვაძლევთ.

შესაძლებელია ისეთი რთული სიდიდის გამოთვლის პრობლემის გადაჭრა, როგორიც არის რაკეტის სიჩქარე ციოლკოვსკის ფორმულის გამოყენებით, რომელმაც საფუძველი ჩაუყარა კოსმოსის კვლევის თეორიას:

V = I * ln(M1/M2), სადაც

• V არის თვითმფრინავის საბოლოო სიჩქარე.
• მე ვარ ძრავის სპეციფიკური იმპულსი.
• M 1 არის რაკეტის საწყისი მასა.
• M 2 - საბოლოო მასა.

კიდევ ერთი მნიშვნელოვანი მაგალითი- ეს არის გამოყენება სხვა დიდი მეცნიერის, მაქს პლანკის ფორმულაში, რომელიც ემსახურება თერმოდინამიკაში წონასწორობის მდგომარეობის შეფასებას.

S = k * ln (Ω), სადაც

• S არის თერმოდინამიკური თვისება.
• k არის ბოლცმანის მუდმივი.
• Ω არის სხვადასხვა მდგომარეობის სტატისტიკური წონა.

Ქიმია

ნაკლებად აშკარა იქნება ფორმულების გამოყენება ქიმიაში, რომლებიც შეიცავს ლოგარითმების თანაფარდობას. აქ არის მხოლოდ ორი მაგალითი:

• ნერნსტის განტოლება, გარემოს რედოქსული პოტენციალის მდგომარეობა ნივთიერებების აქტივობასთან და წონასწორობის მუდმივთან მიმართებაში.
• ისეთი მუდმივების გამოთვლა, როგორიცაა ავტოპროლიზის ინდექსი და ხსნარის მჟავიანობა, ასევე არ არის სრულყოფილი ჩვენი ფუნქციის გარეშე.

ფსიქოლოგია და ბიოლოგია

და სრულიად გაუგებარია, რა შუაშია ფსიქოლოგია. გამოდის, რომ შეგრძნების სიძლიერე კარგად არის აღწერილი ამ ფუნქციით, როგორც სტიმულის ინტენსივობის მნიშვნელობის შებრუნებული თანაფარდობა ქვედა ინტენსივობის მნიშვნელობასთან.

ზემოთ მოყვანილი მაგალითების შემდეგ, გასაკვირი აღარ არის, რომ ლოგარითმების თემა ბიოლოგიაშიც ფართოდ გამოიყენება. მთელი ტომები შეიძლება დაიწეროს ლოგარითმული სპირალების შესაბამისი ბიოლოგიური ფორმების შესახებ.

სხვა სფეროები

როგორც ჩანს, სამყაროს არსებობა შეუძლებელია ამ ფუნქციასთან კავშირის გარეშე და ის მართავს ყველა კანონს. განსაკუთრებით მაშინ, როდესაც ბუნების კანონები დაკავშირებულია გეომეტრიულ პროგრესირებასთან. ღირს MatProfi ვებსაიტის მითითება და ასეთი მაგალითები ბევრია საქმიანობის შემდეგ სფეროებში:

სია შეიძლება იყოს უსასრულო. ამ ფუნქციის ძირითადი კანონების დაუფლების შემდეგ, შეგიძლიათ ჩაძიროთ უსასრულო სიბრძნის სამყაროში.

\(a^(b)=c\) \(\მარცხენა მარჯვენა ისარი\) \(\log_(a)(c)=b\)

მოდი უფრო მარტივად ავხსნათ. მაგალითად, \(\log_(2)(8)\) უდრის სიმძლავრის \(2\) უნდა გაიზარდოს, რომ მიიღოთ \(8\). აქედან ირკვევა, რომ \(\log_(2)(8)=3\).

მაგალითები:		\(\log_(5)(25)=2\)		რადგან \(5^(2)=25\)
		\(\log_(3)(81)=4\)		რადგან \(3^(4)=81\)
		\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)		რადგან \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

ლოგარითმის არგუმენტი და საფუძველი

ნებისმიერ ლოგარითმს აქვს შემდეგი "ანატომია":

ლოგარითმის არგუმენტი ჩვეულებრივ იწერება მის დონეზე, ხოლო ფუძე იწერება ლოგარითმის ნიშანთან უფრო ახლოს. და ეს ჩანაწერი ასე იკითხება: "ოცდახუთის ლოგარითმი ხუთის ფუძემდე".

როგორ გამოვთვალოთ ლოგარითმი?

ლოგარითმის გამოსათვლელად, თქვენ უნდა უპასუხოთ კითხვას: რა ხარისხით უნდა გაიზარდოს საფუძველი არგუმენტის მისაღებად?

მაგალითად, გამოთვალეთ ლოგარითმი: ა) \(\log_(4)(16)\) ბ) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) გ) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

ა) რა ძალაზე უნდა გაიზარდოს \(4\) რომ მიიღოთ \(16\)? ცხადია მეორე. Ისე:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

გ) რა სიმძლავრეზე უნდა გაიზარდოს \(\sqrt(5)\) რომ მიიღოთ \(1\)? და რომელი ხარისხი აქცევს ნებისმიერ რიცხვს ერთეულად? ნული, რა თქმა უნდა!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

დ) რა სიმძლავრემდე უნდა გაიზარდოს \(\sqrt(7)\) რომ მიიღოთ \(\sqrt(7)\)? პირველში - პირველი ხარისხის ნებისმიერი რიცხვი თავის ტოლია.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

ე) რა სიმძლავრეზე უნდა გაიზარდოს \(3\) რომ მიიღოთ \(\sqrt(3)\)? ჩვენ ვიცით, რომ ეს არის წილადი სიძლიერე და, შესაბამისად, კვადრატული ფესვი არის \(\frac(1)(2)\) სიძლიერე.

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

მაგალითი : გამოთვალეთ ლოგარითმი \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

გადაწყვეტილება :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		უნდა ვიპოვოთ ლოგარითმის მნიშვნელობა, ავღნიშნოთ x-დ. ახლა გამოვიყენოთ ლოგარითმის განმარტება: \(\log_(a)(c)=b\) \(\მარცხენა მარჯვენა ისარი\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		რა ბმულებია \(4\sqrt(2)\) და \(8\)? ორი, რადგან ორივე რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ორით: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2)) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		მარცხნივ ვიყენებთ ხარისხის თვისებებს: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) და \((a^(m))^(n)=a ^ (m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		საფუძვლები თანაბარია, ჩვენ ვაგრძელებთ ინდიკატორების თანასწორობას
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე \(\frac(2)(5)\)
		შედეგად მიღებული ფესვი არის ლოგარითმის მნიშვნელობა

უპასუხე : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

რატომ გამოიგონეს ლოგარითმი?

ამის გასაგებად, მოდით ამოხსნათ განტოლება: \(3^(x)=9\). უბრალოდ ემთხვევა \(x\), რათა თანასწორობა იმუშაოს. რა თქმა უნდა, \(x=2\).

ახლა ამოხსენით განტოლება: \(3^(x)=8\).რას უდრის x? Ამაშია ზუსტად ამის აზრი.

ყველაზე გენიალური იტყვის: "X არის ორზე ცოტა ნაკლები". ზუსტად როგორ უნდა ჩაიწეროს ეს რიცხვი? ამ კითხვაზე პასუხის გასაცემად მათ გამოიგონეს ლოგარითმი. მისი წყალობით აქ პასუხი შეიძლება დაიწეროს როგორც \(x=\log_(3)(8)\).

მინდა ხაზი გავუსვა იმას, რომ \(\log_(3)(8)\), ასევე ნებისმიერი ლოგარითმი მხოლოდ რიცხვია. დიახ, გამოიყურება უჩვეულო, მაგრამ მოკლეა. რადგან თუ გვინდოდა მისი ათწილადის დაწერა, ასე გამოიყურებოდა: \(1.892789260714.....\)

მაგალითი : ამოხსენით განტოლება \(4^(5x-4)=10\)

გადაწყვეტილება :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) და \(10\) არ შეიძლება შემცირდეს იმავე ბაზაზე. ასე რომ, აქ თქვენ არ შეგიძლიათ ლოგარითმის გარეშე. მოდით გამოვიყენოთ ლოგარითმის განმარტება: \(a^(b)=c\) \(\მარცხენა მარჯვენა ისარი\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		გადაატრიალეთ განტოლება ისე, რომ x იყოს მარცხნივ
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		ჩვენს წინაშე. გადაიტანეთ \(4\) მარჯვნივ. და ნუ შეგეშინდებათ ლოგარითმის, მოექეცით მას როგორც ჩვეულებრივ რიცხვს.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		გაყავით განტოლება 5-ზე
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		აქ არის ჩვენი ფესვი. დიახ, უჩვეულოდ გამოიყურება, მაგრამ პასუხი არ არის შერჩეული.

უპასუხე : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

ათწილადი და ბუნებრივი ლოგარითმები

როგორც ლოგარითმის განმარტებაშია ნათქვამი, მისი საფუძველი შეიძლება იყოს ნებისმიერი დადებითი რიცხვი გარდა ერთი \((a>0, a\neq1)\). და ყველა შესაძლო საფუძველს შორის არის ორი, რომელიც ხდება ისე ხშირად, რომ მათთან ერთად გამოიგონეს სპეციალური მოკლე აღნიშვნა ლოგარითმებისთვის:

ბუნებრივი ლოგარითმი: ლოგარითმი, რომლის საფუძველია ეილერის რიცხვი \(e\) (უდრის დაახლოებით \(2.7182818…\)), ხოლო ლოგარითმი იწერება როგორც \(\ln(a)\).

ე.ი. \(\ln(a)\) იგივეა, რაც \(\log_(e)(a)\)

ათწილადი ლოგარითმი: ლოგარითმი, რომლის ფუძეა 10, იწერება \(\lg(a)\).

ე.ი. \(\lg(a)\) იგივეა, რაც \(\log_(10)(a)\), სადაც \(a\) არის რაღაც რიცხვი.

ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა

ლოგარითმს ბევრი თვისება აქვს. ერთ-ერთ მათგანს ეწოდება "ძირითადი ლოგარითმული იდენტობა" და ასე გამოიყურება:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

ეს თვისება პირდაპირ გამომდინარეობს განმარტებიდან. ვნახოთ, როგორ გაჩნდა ეს ფორმულა.

გაიხსენეთ ლოგარითმის მოკლე განმარტება:

თუ \(a^(b)=c\), მაშინ \(\log_(a)(c)=b\)

ანუ \(b\) იგივეა, რაც \(\log_(a)(c)\). მაშინ ჩვენ შეგვიძლია ჩავწეროთ \(\log_(a)(c)\) \(b\)-ის ნაცვლად ფორმულაში \(a^(b)=c\) . აღმოჩნდა \(a^(\log_(a)(c))=c\) - მთავარი ლოგარითმული იდენტობა.

თქვენ შეგიძლიათ იპოვოთ ლოგარითმების დანარჩენი თვისებები. მათი დახმარებით თქვენ შეგიძლიათ გაამარტივოთ და გამოთვალოთ გამონათქვამების მნიშვნელობები ლოგარითმებით, რომელთა პირდაპირ გამოთვლა რთულია.

მაგალითი : იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა \(36^(\log_(6)(5))\)

გადაწყვეტილება :

უპასუხე : \(25\)

როგორ დავწეროთ რიცხვი ლოგარითმის სახით?

როგორც ზემოთ აღვნიშნეთ, ნებისმიერი ლოგარითმი მხოლოდ რიცხვია. პირიქითაც მართალია: ნებისმიერი რიცხვი შეიძლება დაიწეროს ლოგარითმად. მაგალითად, ჩვენ ვიცით, რომ \(\log_(2)(4)\) უდრის ორს. შემდეგ შეგიძლიათ დაწეროთ \(\log_(2)(4)\) ორის ნაცვლად.

მაგრამ \(\log_(3)(9)\) ასევე უდრის \(2\), ასე რომ თქვენ ასევე შეგიძლიათ დაწეროთ \(2=\log_(3)(9)\) . ანალოგიურად, \(\log_(5)(25)\), და \(\log_(9)(81)\) და ა.შ. ანუ გამოდის

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

ამრიგად, თუ გვჭირდება, შეგვიძლია დავწეროთ ორივე ლოგარითმად ნებისმიერი ფუძით სადმე (განტოლებაში, თუნდაც გამოსახულებაში, თუნდაც უტოლობაში) - ჩვენ უბრალოდ ვწერთ კვადრატულ ფუძეს არგუმენტად.

იგივეა სამმაგი - ის შეიძლება დაიწეროს როგორც \(\log_(2)(8)\), ან როგორც \(\log_(3)(27)\), ან როგორც \(\log_(4)( 64) \) ... აქ არგუმენტად ვწერთ ფუძეს კუბში:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

და ოთხთან ერთად:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

და მინუს ერთით:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1) )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\)\(...\)

და ერთი მესამედით:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

ნებისმიერი რიცხვი \(a\) შეიძლება იყოს წარმოდგენილი ლოგარითმის სახით \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

მაგალითი : იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

გადაწყვეტილება :

უპასუხე : \(1\)

ძირითადი თვისებები.

1. ლოგაქსი + ლოგაი = log(x y);
2. ლოგაქსი − ლოგაი = log(x: y).

იგივე საფუძველი

log6 4 + log6 9.

ახლა ცოტა გავართულოთ დავალება.

ლოგარითმების ამოხსნის მაგალითები

რა მოხდება, თუ არის ხარისხი ლოგარითმის ფუძეში ან არგუმენტში? მაშინ ამ ხარისხის მაჩვენებლის ამოღება შესაძლებელია ლოგარითმის ნიშნიდან შემდეგი წესების მიხედვით:

რა თქმა უნდა, ყველა ამ წესს აქვს აზრი, თუ ODZ ლოგარითმია დაცული: a > 0, a ≠ 1, x >

დავალება. იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა:

ახალ საძირკველზე გადასვლა

მოდით იყოს მოცემული ლოგარითმის ლოგაქსი. მაშინ ნებისმიერი c რიცხვისთვის ისეთი, რომ c > 0 და c ≠ 1, ტოლობა მართალია:

დავალება. იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა:

Იხილეთ ასევე:

ლოგარითმის ძირითადი თვისებები

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

მაჩვენებელი არის 2.718281828…. მაჩვენებლის დასამახსოვრებლად შეგიძლიათ შეისწავლოთ წესი: მაჩვენებელი არის 2,7 და ორჯერ აღემატება ლეო ტოლსტოის დაბადების წელს.

ლოგარითმების ძირითადი თვისებები

იცოდეთ ეს წესი, თქვენ გეცოდინებათ როგორც მაჩვენებლის ზუსტი მნიშვნელობა, ასევე ლეო ტოლსტოის დაბადების თარიღი.

ლოგარითმების მაგალითები

აიღეთ გამონათქვამების ლოგარითმი

მაგალითი 1
ა). x=10ac^2 (a>0, c>0).

თვისებებით 3,5 ვიანგარიშებთ

2.

3.

4. სადაც .

მაგალითი 2 იპოვეთ x თუ

მაგალითი 3. მოყვანილი იყოს ლოგარითმების მნიშვნელობა

გამოთვალეთ log(x) თუ

ლოგარითმების ძირითადი თვისებები

ლოგარითმები, ისევე როგორც ნებისმიერი რიცხვი, შეიძლება დაემატოს, გამოკლდეს და გარდაქმნას ყველა შესაძლო გზით. მაგრამ რადგან ლოგარითმები არ არის საკმაოდ ჩვეულებრივი რიცხვები, აქ არის წესები, რომლებიც ე.წ ძირითადი თვისებები.

თქვენ უნდა იცოდეთ ეს წესები - მათ გარეშე სერიოზული ლოგარითმული პრობლემის გადაჭრა შეუძლებელია. გარდა ამისა, ისინი ძალიან ცოტაა - ყველაფრის სწავლა ერთ დღეში შეიძლება. მოდით დავიწყოთ.

ლოგარითმების შეკრება და გამოკლება

განვიხილოთ ორი ერთნაირი ფუძის მქონე ლოგარითმი: ლოგაქსი და ლოგაი. შემდეგ მათი დამატება და გამოკლება შესაძლებელია და:

1. ლოგაქსი + ლოგაი = log(x y);
2. ლოგაქსი − ლოგაი = log(x: y).

ამრიგად, ლოგარითმების ჯამი უდრის ნამრავლის ლოგარითმს, ხოლო სხვაობა არის კოეფიციენტის ლოგარითმი. გთხოვთ გაითვალისწინოთ: აქ მთავარია - იგივე საფუძველი. თუ საფუძვლები განსხვავებულია, ეს წესები არ მუშაობს!

ეს ფორმულები დაგეხმარებათ გამოთვალოთ ლოგარითმული გამოხატულება მაშინაც კი, როცა მისი ცალკეული ნაწილები არ არის გათვალისწინებული (იხილეთ გაკვეთილი „რა არის ლოგარითმი“). გადახედეთ მაგალითებს და ნახეთ:

ვინაიდან ლოგარითმების საფუძვლები იგივეა, ჩვენ ვიყენებთ ჯამის ფორმულას:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

დავალება. იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა: log2 48 − log2 3.

საფუძვლები იგივეა, ჩვენ ვიყენებთ განსხვავების ფორმულას:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

დავალება. იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა: log3 135 − log3 5.

ისევ და ისევ, საფუძვლები იგივეა, ასე რომ, ჩვენ გვაქვს:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

როგორც ხედავთ, ორიგინალური გამონათქვამები შედგება "ცუდი" ლოგარითმებისგან, რომლებიც ცალკე არ განიხილება. მაგრამ გარდაქმნების შემდეგ საკმაოდ ნორმალური რიცხვები გამოდის. ამ ფაქტს ეფუძნება მრავალი ტესტი. დიახ, კონტროლი - გამოცდაზე შემოთავაზებულია მსგავსი გამონათქვამები მთელი სერიოზულობით (ზოგჯერ - პრაქტიკულად ცვლილებების გარეშე).

მაჩვენებლის ამოღება ლოგარითმიდან

ადვილი მისახვედრია, რომ ბოლო წესი მათ პირველ ორს მიჰყვება. მაგრამ უმჯობესია დაიმახსოვროთ ის მაინც - ზოგიერთ შემთხვევაში ეს მნიშვნელოვნად შეამცირებს გამოთვლების რაოდენობას.

რა თქმა უნდა, ყველა ამ წესს აქვს აზრი, თუ ODZ ლოგარითმია დაცული: a > 0, a ≠ 1, x > 0. და კიდევ ერთი: ისწავლეთ ყველა ფორმულის გამოყენება არა მხოლოდ მარცხნიდან მარჯვნივ, არამედ პირიქით, ე.ი. თქვენ შეგიძლიათ შეიყვანოთ რიცხვები ლოგარითმის ნიშანამდე ლოგარითმში. ეს არის ის, რაც ყველაზე ხშირად საჭიროა.

დავალება. იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა: log7 496.

მოდით, თავი დავაღწიოთ ხარისხს არგუმენტში პირველი ფორმულის მიხედვით:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

დავალება. იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა:

გაითვალისწინეთ, რომ მნიშვნელი არის ლოგარითმი, რომლის საფუძველი და არგუმენტი ზუსტი ხარისხებია: 16 = 24; 49 = 72. გვაქვს:

ვფიქრობ, ბოლო მაგალითი საჭიროებს გარკვევას. სად წავიდა ლოგარითმები? ბოლო მომენტამდე ვმუშაობთ მხოლოდ მნიშვნელით.

ლოგარითმების ფორმულები. ლოგარითმები ამონახსნების მაგალითებია.

მათ იქ მდგარი ლოგარითმის საფუძველი და არგუმენტი გრადუსების სახით წარმოადგინეს და ინდიკატორები ამოიღეს - მიიღეს „სამსართულიანი“ წილადი.

ახლა გადავხედოთ ძირითად წილადს. მრიცხველსა და მნიშვნელს ერთი და იგივე რიცხვი აქვთ: log2 7. ვინაიდან log2 7 ≠ 0 შეგვიძლია შევამციროთ წილადი - 2/4 დარჩება მნიშვნელში. არითმეტიკის წესების მიხედვით, ოთხი შეიძლება გადავიდეს მრიცხველზე, რაც გაკეთდა. შედეგი არის პასუხი: 2.

ახალ საძირკველზე გადასვლა

ლოგარითმების შეკრების და გამოკლების წესებზე საუბრისას, მე კონკრეტულად ხაზგასმით აღვნიშნე, რომ ისინი მუშაობენ მხოლოდ ერთი და იგივე ფუძეებით. რა მოხდება, თუ ბაზები განსხვავებულია? რა მოხდება, თუ ისინი არ არიან იგივე რიცხვის ზუსტი სიმძლავრეები?

ახალ ბაზაზე გადასვლის ფორმულები სამაშველოში მოდის. ჩვენ ვაყალიბებთ მათ თეორემის სახით:

მოდით იყოს მოცემული ლოგარითმის ლოგაქსი. მაშინ ნებისმიერი c რიცხვისთვის ისეთი, რომ c > 0 და c ≠ 1, ტოლობა მართალია:

კერძოდ, თუ დავსვამთ c = x, მივიღებთ:

მეორე ფორმულიდან გამომდინარეობს, რომ შესაძლებელია ლოგარითმის ფუძისა და არგუმენტის გაცვლა, მაგრამ ამ შემთხვევაში მთელი გამოთქმა „გადატრიალებულია“, ე.ი. ლოგარითმი არის მნიშვნელში.

ეს ფორმულები იშვიათად გვხვდება ჩვეულებრივ ციფრულ გამონათქვამებში. მათი მოხერხებულობის შეფასება შესაძლებელია მხოლოდ ლოგარითმული განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნისას.

თუმცა არის ამოცანები, რომელთა გადაჭრაც საერთოდ შეუძლებელია, გარდა ახალ ფონდში გადასვლისა. განვიხილოთ რამდენიმე მათგანი:

დავალება. იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა: log5 16 log2 25.

გაითვალისწინეთ, რომ ორივე ლოგარითმის არგუმენტები ზუსტი მაჩვენებლებია. ამოვიღოთ ინდიკატორები: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

ახლა გადავატრიალოთ მეორე ლოგარითმი:

ვინაიდან პროდუქტი არ იცვლება ფაქტორების პერმუტაციისგან, ჩვენ მშვიდად გავამრავლეთ ოთხი და ორი და შემდეგ გავარკვიეთ ლოგარითმები.

დავალება. იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა: log9 100 lg 3.

პირველი ლოგარითმის საფუძველი და არგუმენტი ზუსტი სიმძლავრეებია. მოდით ჩამოვწეროთ და მოვიშოროთ ინდიკატორები:

ახლა მოდით დავაღწიოთ ათობითი ლოგარითმი ახალ ბაზაზე გადასვლით:

ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა

ხშირად ამოხსნის პროცესში საჭიროა რიცხვის ლოგარითმის სახით წარმოდგენა მოცემულ ფუძეზე. ამ შემთხვევაში ფორმულები დაგვეხმარება:

პირველ შემთხვევაში, რიცხვი n ხდება არგუმენტის მაჩვენებელი. რიცხვი n შეიძლება იყოს აბსოლუტურად ნებისმიერი, რადგან ეს მხოლოდ ლოგარითმის მნიშვნელობაა.

მეორე ფორმულა რეალურად არის პერიფრაზირებული განმარტება. ასე ჰქვია:

მართლაც, რა მოხდება, თუ რიცხვი b ამაღლდება ისეთ ხარისხით, რომ რიცხვი b ამ ხარისხით იძლევა რიცხვს a? მართალია: ეს არის იგივე რიცხვი a. კიდევ ერთხელ ყურადღებით წაიკითხეთ ეს აბზაცი - მასზე ბევრი ადამიანი "ჰკიდია".

ახალი ბაზის კონვერტაციის ფორმულების მსგავსად, ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა ზოგჯერ ერთადერთი შესაძლო გამოსავალია.

დავალება. იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა:

გაითვალისწინეთ, რომ log25 64 = log5 8 - უბრალოდ ამოიღო კვადრატი ფუძიდან და ლოგარითმის არგუმენტი. იმავე ფუძით ძალაუფლების გამრავლების წესების გათვალისწინებით, მივიღებთ:

თუ ვინმემ არ იცის, ეს იყო რეალური დავალება ერთიანი სახელმწიფო გამოცდიდან 🙂

ლოგარითმული ერთეული და ლოგარითმული ნული

დასასრულს, მე მივცემ ორ იდენტობას, რომლებიც ძნელია უწოდო თვისებები - უფრო მეტიც, ეს არის შედეგები ლოგარითმის განმარტებიდან. ისინი გამუდმებით პრობლემებში ხვდებიან და რა გასაკვირია, პრობლემებს უქმნიან თუნდაც „მოწინავე“ მოსწავლეებს.

1. ლოგა = 1 არის. ერთხელ და სამუდამოდ დაიმახსოვრეთ: ლოგარითმი ნებისმიერი a ფუძის მიმართ ამ ფუძიდან ერთს უდრის.
2. ლოგა 1 = 0 არის. ფუძე a შეიძლება იყოს ნებისმიერი, მაგრამ თუ არგუმენტი ერთია, ლოგარითმი არის ნული! რადგან a0 = 1 არის განმარტების პირდაპირი შედეგი.

ეს არის ყველა თვისება. დარწმუნდით, რომ ივარჯიშეთ მათ პრაქტიკაში! ჩამოტვირთეთ მოტყუების ფურცელი გაკვეთილის დასაწყისში, ამობეჭდეთ და მოაგვარეთ პრობლემები.

Იხილეთ ასევე:

b რიცხვის ლოგარითმი a ფუძემდე აღნიშნავს გამოსახულებას. ლოგარითმის გამოთვლა ნიშნავს ისეთი სიმძლავრის x () პოვნას, რომელზედაც ტოლობა ჭეშმარიტია

ლოგარითმის ძირითადი თვისებები

ზემოაღნიშნული თვისებები უნდა იყოს ცნობილი, რადგან მათ საფუძველზე თითქმის ყველა პრობლემა და მაგალითი წყდება ლოგარითმების საფუძველზე. დარჩენილი ეგზოტიკური თვისებების მიღება შესაძლებელია ამ ფორმულებით მათემატიკური მანიპულაციებით

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

ლოგარითმების ჯამისა და სხვაობის ფორმულების გაანგარიშებისას (3.4) საკმაოდ ხშირად გვხვდება. დანარჩენი გარკვეულწილად რთულია, მაგრამ რიგ ამოცანებში ისინი შეუცვლელია რთული გამონათქვამების გასამარტივებლად და მათი მნიშვნელობების გამოსათვლელად.

ლოგარითმების გავრცელებული შემთხვევები

ზოგიერთი ჩვეულებრივი ლოგარითმებია ისეთები, რომლებშიც ფუძე ათია, ექსპონენციალური ან დეუზური.
ათი ფუძის ლოგარითმს ჩვეულებრივ უწოდებენ ათი ფუძის ლოგარითმს და უბრალოდ აღინიშნება lg(x).

ჩანაწერიდან ჩანს, რომ ჩანაწერში საფუძვლები არ წერია. Მაგალითად

ბუნებრივი ლოგარითმი არის ლოგარითმი, რომლის საფუძველია ექსპონენტი (აღნიშნულია ln(x)).

მაჩვენებელი არის 2.718281828…. მაჩვენებლის დასამახსოვრებლად შეგიძლიათ შეისწავლოთ წესი: მაჩვენებელი არის 2,7 და ორჯერ აღემატება ლეო ტოლსტოის დაბადების წელს. იცოდეთ ეს წესი, თქვენ გეცოდინებათ როგორც მაჩვენებლის ზუსტი მნიშვნელობა, ასევე ლეო ტოლსტოის დაბადების თარიღი.

და კიდევ ერთი მნიშვნელოვანი საფუძველი ორი ლოგარითმია

ფუნქციის ლოგარითმის წარმოებული ტოლია ერთი გაყოფილი ცვლადზე

ინტეგრალური ან ანტიდერივატიული ლოგარითმი განისაზღვრება დამოკიდებულებით

ზემოთ მოყვანილი მასალა საკმარისია იმისთვის, რომ გადაჭრათ ლოგარითმებთან და ლოგარითმებთან დაკავშირებული ამოცანების ფართო კლასი. მასალის გასაგებად, მხოლოდ რამდენიმე გავრცელებულ მაგალითს მოვიყვან სკოლის სასწავლო გეგმადა უნივერსიტეტები.

ლოგარითმების მაგალითები

აიღეთ გამონათქვამების ლოგარითმი

მაგალითი 1
ა). x=10ac^2 (a>0, c>0).

თვისებებით 3,5 ვიანგარიშებთ

2.
ლოგარითმების განსხვავების თვისებით გვაქვს

3.
3.5 თვისებების გამოყენებით ვპოულობთ

4. სადაც .

ერთი შეხედვით რთული გამოთქმა წესების სერიის გამოყენებით გამარტივებულია ფორმაში

ლოგარითმის მნიშვნელობების პოვნა

მაგალითი 2 იპოვეთ x თუ

გადაწყვეტილება. გაანგარიშებისთვის ჩვენ ვიყენებთ თვისებებს 5 და 13 ბოლო ტერმინამდე

ჩანაწერში ჩანაცვლება და გლოვა

ვინაიდან ფუძეები ტოლია, ჩვენ ვაიგივებთ გამონათქვამებს

ლოგარითმები. პირველი დონე.

მოდით მივცეთ ლოგარითმების მნიშვნელობა

გამოთვალეთ log(x) თუ

ამოხსნა: აიღეთ ცვლადის ლოგარითმი, რომ ჩაწეროთ ლოგარითმი ტერმინების ჯამის მეშვეობით

ეს მხოლოდ დასაწყისია ლოგარითმებისა და მათი თვისებების გაცნობისა. ივარჯიშეთ გამოთვლებით, გაამდიდრეთ პრაქტიკული უნარ-ჩვევები - მალე დაგჭირდებათ მიღებული ცოდნა ლოგარითმული განტოლებების ამოსახსნელად. ასეთი განტოლებების ამოხსნის ძირითადი მეთოდების შესწავლის შემდეგ, ჩვენ გავაფართოვებთ თქვენს ცოდნას სხვა თანაბრად მნიშვნელოვანი თემისთვის - ლოგარითმული უტოლობები ...

ლოგარითმების ძირითადი თვისებები

ლოგარითმები, ისევე როგორც ნებისმიერი რიცხვი, შეიძლება დაემატოს, გამოკლდეს და გარდაქმნას ყველა შესაძლო გზით. მაგრამ რადგან ლოგარითმები არ არის საკმაოდ ჩვეულებრივი რიცხვები, აქ არის წესები, რომლებიც ე.წ ძირითადი თვისებები.

თქვენ უნდა იცოდეთ ეს წესები - მათ გარეშე სერიოზული ლოგარითმული პრობლემის გადაჭრა შეუძლებელია. გარდა ამისა, ისინი ძალიან ცოტაა - ყველაფრის სწავლა ერთ დღეში შეიძლება. მოდით დავიწყოთ.

ლოგარითმების შეკრება და გამოკლება

განვიხილოთ ორი ერთნაირი ფუძის მქონე ლოგარითმი: ლოგაქსი და ლოგაი. შემდეგ მათი დამატება და გამოკლება შესაძლებელია და:

1. ლოგაქსი + ლოგაი = log(x y);
2. ლოგაქსი − ლოგაი = log(x: y).

ამრიგად, ლოგარითმების ჯამი უდრის ნამრავლის ლოგარითმს, ხოლო სხვაობა არის კოეფიციენტის ლოგარითმი. გთხოვთ გაითვალისწინოთ: აქ მთავარია - იგივე საფუძველი. თუ საფუძვლები განსხვავებულია, ეს წესები არ მუშაობს!

ეს ფორმულები დაგეხმარებათ გამოთვალოთ ლოგარითმული გამოხატულება მაშინაც კი, როცა მისი ცალკეული ნაწილები არ არის გათვალისწინებული (იხილეთ გაკვეთილი „რა არის ლოგარითმი“). გადახედეთ მაგალითებს და ნახეთ:

დავალება. იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა: log6 4 + log6 9.

ვინაიდან ლოგარითმების საფუძვლები იგივეა, ჩვენ ვიყენებთ ჯამის ფორმულას:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

დავალება. იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა: log2 48 − log2 3.

საფუძვლები იგივეა, ჩვენ ვიყენებთ განსხვავების ფორმულას:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

დავალება. იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა: log3 135 − log3 5.

ისევ და ისევ, საფუძვლები იგივეა, ასე რომ, ჩვენ გვაქვს:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

როგორც ხედავთ, ორიგინალური გამონათქვამები შედგება "ცუდი" ლოგარითმებისგან, რომლებიც ცალკე არ განიხილება. მაგრამ გარდაქმნების შემდეგ საკმაოდ ნორმალური რიცხვები გამოდის. ამ ფაქტს ეფუძნება მრავალი ტესტი. დიახ, კონტროლი - გამოცდაზე შემოთავაზებულია მსგავსი გამონათქვამები მთელი სერიოზულობით (ზოგჯერ - პრაქტიკულად ცვლილებების გარეშე).

მაჩვენებლის ამოღება ლოგარითმიდან

ახლა ცოტა გავართულოთ დავალება. რა მოხდება, თუ არის ხარისხი ლოგარითმის ფუძეში ან არგუმენტში? მაშინ ამ ხარისხის მაჩვენებლის ამოღება შესაძლებელია ლოგარითმის ნიშნიდან შემდეგი წესების მიხედვით:

ადვილი მისახვედრია, რომ ბოლო წესი მათ პირველ ორს მიჰყვება. მაგრამ უმჯობესია დაიმახსოვროთ ის მაინც - ზოგიერთ შემთხვევაში ეს მნიშვნელოვნად შეამცირებს გამოთვლების რაოდენობას.

რა თქმა უნდა, ყველა ამ წესს აქვს აზრი, თუ ODZ ლოგარითმია დაცული: a > 0, a ≠ 1, x > 0. და კიდევ ერთი: ისწავლეთ ყველა ფორმულის გამოყენება არა მხოლოდ მარცხნიდან მარჯვნივ, არამედ პირიქით, ე.ი. თქვენ შეგიძლიათ შეიყვანოთ რიცხვები ლოგარითმის ნიშანამდე ლოგარითმში.

როგორ ამოხსნათ ლოგარითმები

ეს არის ის, რაც ყველაზე ხშირად საჭიროა.

დავალება. იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა: log7 496.

მოდით, თავი დავაღწიოთ ხარისხს არგუმენტში პირველი ფორმულის მიხედვით:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

დავალება. იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა:

გაითვალისწინეთ, რომ მნიშვნელი არის ლოგარითმი, რომლის საფუძველი და არგუმენტი ზუსტი ხარისხებია: 16 = 24; 49 = 72. გვაქვს:

ვფიქრობ, ბოლო მაგალითი საჭიროებს გარკვევას. სად წავიდა ლოგარითმები? ბოლო მომენტამდე ვმუშაობთ მხოლოდ მნიშვნელით. მათ იქ მდგარი ლოგარითმის საფუძველი და არგუმენტი გრადუსების სახით წარმოადგინეს და ინდიკატორები ამოიღეს - მიიღეს „სამსართულიანი“ წილადი.

ახლა გადავხედოთ ძირითად წილადს. მრიცხველსა და მნიშვნელს ერთი და იგივე რიცხვი აქვთ: log2 7. ვინაიდან log2 7 ≠ 0 შეგვიძლია შევამციროთ წილადი - 2/4 დარჩება მნიშვნელში. არითმეტიკის წესების მიხედვით, ოთხი შეიძლება გადავიდეს მრიცხველზე, რაც გაკეთდა. შედეგი არის პასუხი: 2.

ახალ საძირკველზე გადასვლა

ლოგარითმების შეკრების და გამოკლების წესებზე საუბრისას, მე კონკრეტულად ხაზგასმით აღვნიშნე, რომ ისინი მუშაობენ მხოლოდ ერთი და იგივე ფუძეებით. რა მოხდება, თუ ბაზები განსხვავებულია? რა მოხდება, თუ ისინი არ არიან იგივე რიცხვის ზუსტი სიმძლავრეები?

ახალ ბაზაზე გადასვლის ფორმულები სამაშველოში მოდის. ჩვენ ვაყალიბებთ მათ თეორემის სახით:

მოდით იყოს მოცემული ლოგარითმის ლოგაქსი. მაშინ ნებისმიერი c რიცხვისთვის ისეთი, რომ c > 0 და c ≠ 1, ტოლობა მართალია:

კერძოდ, თუ დავსვამთ c = x, მივიღებთ:

მეორე ფორმულიდან გამომდინარეობს, რომ შესაძლებელია ლოგარითმის ფუძისა და არგუმენტის გაცვლა, მაგრამ ამ შემთხვევაში მთელი გამოთქმა „გადატრიალებულია“, ე.ი. ლოგარითმი არის მნიშვნელში.

ეს ფორმულები იშვიათად გვხვდება ჩვეულებრივ ციფრულ გამონათქვამებში. მათი მოხერხებულობის შეფასება შესაძლებელია მხოლოდ ლოგარითმული განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნისას.

თუმცა არის ამოცანები, რომელთა გადაჭრაც საერთოდ შეუძლებელია, გარდა ახალ ფონდში გადასვლისა. განვიხილოთ რამდენიმე მათგანი:

დავალება. იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა: log5 16 log2 25.

გაითვალისწინეთ, რომ ორივე ლოგარითმის არგუმენტები ზუსტი მაჩვენებლებია. ამოვიღოთ ინდიკატორები: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

ახლა გადავატრიალოთ მეორე ლოგარითმი:

ვინაიდან პროდუქტი არ იცვლება ფაქტორების პერმუტაციისგან, ჩვენ მშვიდად გავამრავლეთ ოთხი და ორი და შემდეგ გავარკვიეთ ლოგარითმები.

დავალება. იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა: log9 100 lg 3.

პირველი ლოგარითმის საფუძველი და არგუმენტი ზუსტი სიმძლავრეებია. მოდით ჩამოვწეროთ და მოვიშოროთ ინდიკატორები:

ახლა მოდით დავაღწიოთ ათობითი ლოგარითმი ახალ ბაზაზე გადასვლით:

ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა

ხშირად ამოხსნის პროცესში საჭიროა რიცხვის ლოგარითმის სახით წარმოდგენა მოცემულ ფუძეზე. ამ შემთხვევაში ფორმულები დაგვეხმარება:

პირველ შემთხვევაში, რიცხვი n ხდება არგუმენტის მაჩვენებელი. რიცხვი n შეიძლება იყოს აბსოლუტურად ნებისმიერი, რადგან ეს მხოლოდ ლოგარითმის მნიშვნელობაა.

მეორე ფორმულა რეალურად არის პერიფრაზირებული განმარტება. ასე ჰქვია:

მართლაც, რა მოხდება, თუ რიცხვი b ამაღლდება ისეთ ხარისხით, რომ რიცხვი b ამ ხარისხით იძლევა რიცხვს a? მართალია: ეს არის იგივე რიცხვი a. კიდევ ერთხელ ყურადღებით წაიკითხეთ ეს აბზაცი - მასზე ბევრი ადამიანი "ჰკიდია".

ახალი ბაზის კონვერტაციის ფორმულების მსგავსად, ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა ზოგჯერ ერთადერთი შესაძლო გამოსავალია.

დავალება. იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა:

გაითვალისწინეთ, რომ log25 64 = log5 8 - უბრალოდ ამოიღო კვადრატი ფუძიდან და ლოგარითმის არგუმენტი. იმავე ფუძით ძალაუფლების გამრავლების წესების გათვალისწინებით, მივიღებთ:

თუ ვინმემ არ იცის, ეს იყო რეალური დავალება ერთიანი სახელმწიფო გამოცდიდან 🙂

ლოგარითმული ერთეული და ლოგარითმული ნული

დასასრულს, მე მივცემ ორ იდენტობას, რომლებიც ძნელია უწოდო თვისებები - უფრო მეტიც, ეს არის შედეგები ლოგარითმის განმარტებიდან. ისინი გამუდმებით პრობლემებში ხვდებიან და რა გასაკვირია, პრობლემებს უქმნიან თუნდაც „მოწინავე“ მოსწავლეებს.

1. ლოგა = 1 არის. ერთხელ და სამუდამოდ დაიმახსოვრეთ: ლოგარითმი ნებისმიერი a ფუძის მიმართ ამ ფუძიდან ერთს უდრის.
2. ლოგა 1 = 0 არის. ფუძე a შეიძლება იყოს ნებისმიერი, მაგრამ თუ არგუმენტი ერთია, ლოგარითმი არის ნული! რადგან a0 = 1 არის განმარტების პირდაპირი შედეგი.

ეს არის ყველა თვისება. დარწმუნდით, რომ ივარჯიშეთ მათ პრაქტიკაში! ჩამოტვირთეთ მოტყუების ფურცელი გაკვეთილის დასაწყისში, ამობეჭდეთ და მოაგვარეთ პრობლემები.