საგანირთული რიცხვები და მრავალწევრები

ლექცია 22

§ერთი. რთული რიცხვები: ძირითადი განმარტებები

სიმბოლო შეიტანეთ თანაფარდობა
და ეწოდება წარმოსახვითი ერთეული. Სხვა სიტყვებით,
.

განმარტება. ფორმის გამოხატვა
, სად
, ეწოდება რთული რიცხვი და რიცხვი კომპლექსური რიცხვის ნამდვილ ნაწილს უწოდებენ და აღვნიშნავთ
, ნომერი - წარმოსახვითი ნაწილი და აღვნიშნავთ
.

ამ განსაზღვრებიდან გამომდინარეობს, რომ რეალური რიცხვები არის ის რთული რიცხვები, რომელთა წარმოსახვითი ნაწილი ნულის ტოლია.

მოსახერხებელია რთული რიცხვების წარმოდგენა სიბრტყის წერტილებად, რომელზედაც მოცემულია დეკარტის მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა, კერძოდ: რთული რიცხვი.
მატჩის წერტილი
და პირიქით. ღერძზე
ნაჩვენებია რეალური რიცხვები და მას ნამდვილი ღერძი ეწოდება. ფორმის რთული რიცხვები

წმინდად წარმოსახვითს უწოდებენ. ისინი გამოსახულია წერტილების სახით ღერძზე.
, რომელსაც წარმოსახვითი ღერძი ეწოდება. ამ სიბრტყეს, რომელიც რთული რიცხვების წარმოდგენას ემსახურება, რთული სიბრტყე ეწოდება. რთული რიცხვი, რომელიც არ არის რეალური, ე.ი. ისეთივე როგორც
, რომელსაც ზოგჯერ წარმოსახვითსაც უწოდებენ.

ორ კომპლექსურ რიცხვს ტოლია, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ მათ აქვთ იგივე რეალური და წარმოსახვითი ნაწილები.

რთული რიცხვების შეკრება, გამოკლება და გამრავლება ხორციელდება მრავალწევრი ალგებრის ჩვეულებრივი წესების მიხედვით, იმის გათვალისწინებით, რომ

. გაყოფის ოპერაცია შეიძლება განისაზღვროს, როგორც გამრავლების ოპერაციის ინვერსია და შეიძლება დაამტკიცოს შედეგის უნიკალურობა (თუ გამყოფი განსხვავდება ნულიდან). თუმცა, პრაქტიკაში, განსხვავებული მიდგომა გამოიყენება.

რთული რიცხვები
და
ეწოდება კონიუგატი, კომპლექსურ სიბრტყეზე ისინი წარმოდგენილია სიმეტრიული წერტილებით რეალური ღერძის მიმართ. აშკარაა, რომ:

1)

;

2)
;

3)
.

ახლა გაყოფილი ზე შეიძლება გაკეთდეს შემდეგნაირად:

.

ამის ჩვენება არ არის რთული

,

სადაც სიმბოლო ნიშნავს ნებისმიერ არითმეტიკულ ოპერაციას.

დაე იყოს
რაღაც წარმოსახვითი რიცხვი და რეალური ცვლადია. ორი ბინომის ნამრავლი

არის კვადრატული ტრინომიალი რეალური კოეფიციენტებით.

ახლა, როდესაც გვაქვს რთული რიცხვები, ჩვენ შეგვიძლია ამოხსნათ ნებისმიერი კვადრატული განტოლება
.თუ მაშინ

და განტოლებას აქვს ორი რთული კონიუგატური ფესვი

.

Თუ
, მაშინ განტოლებას ორი განსხვავებული რეალური ფესვი აქვს. Თუ
, მაშინ განტოლებას ორი იდენტური ფესვი აქვს.

§2. რთული რიცხვის ტრიგონომეტრიული ფორმა

როგორც ზემოთ აღინიშნა, რთული რიცხვი
მოსახერხებელი გამოსაყენებლად წერტილით
. ასეთი რიცხვის იდენტიფიცირება ამ წერტილის რადიუსის ვექტორთანაც შეიძლება
. ამ ინტერპრეტაციით რთული რიცხვების შეკრება და გამოკლება ხდება ვექტორების შეკრებისა და გამოკლების წესების მიხედვით. რთული რიცხვების გამრავლებისა და გაყოფისთვის უფრო მოსახერხებელია სხვა ფორმა.

წარმოგიდგენთ კომპლექსურ სიბრტყეზე
პოლარული კოორდინატთა სისტემა. მერე სად
,
და კომპლექსური რიცხვი
შეიძლება დაიწეროს როგორც:

აღნიშვნის ამ ფორმას ტრიგონომეტრიული ეწოდება (ალგებრული ფორმისგან განსხვავებით
). ამ ფორმით, ნომერი მოდული ეწოდება და - რთული რიცხვის არგუმენტი . ისინი აღინიშნება:
,

. მოდულისთვის ჩვენ გვაქვს ფორმულა

რიცხვის არგუმენტი განსაზღვრულია ორაზროვნად, მაგრამ ტერმინამდე
,
. არგუმენტის მნიშვნელობა, რომელიც აკმაყოფილებს უტოლობებს
, ეწოდება ძირითადი და აღინიშნება
. შემდეგ,
. არგუმენტის ძირითადი მნიშვნელობისთვის შეგიძლიათ მიიღოთ შემდეგი გამონათქვამები:

,

რიცხვის არგუმენტი
ითვლება განუსაზღვრელად.

ტრიგონომეტრიულ ფორმაში ორი რთული რიცხვის ტოლობის პირობას აქვს ფორმა: რიცხვების მოდულები ტოლია, ხოლო არგუმენტები განსხვავდება მრავალჯერადი.
.

იპოვეთ ორი რთული რიცხვის ნამრავლი ტრიგონომეტრიული ფორმით:

ასე რომ, რიცხვების გამრავლებისას მათი მოდულები მრავლდება და არგუმენტები ემატება.

ანალოგიურად, შეიძლება დადგინდეს, რომ გაყოფისას რიცხვების მოდულები იყოფა და არგუმენტები გამოკლებულია.

იმის გაგებით, რომ გამრავლება, როგორც მრავალჯერადი გამრავლება, ჩვენ შეგვიძლია მივიღოთ რთული რიცხვის ხარისხამდე აყვანის ფორმულა:

ჩვენ გამოვიყვანთ ფორმულას
- ფესვი რთული რიცხვის ე ხარისხი (არ უნდა აგვერიოს ნამდვილი რიცხვის არითმეტიკული ფესვთან!). ფესვის ამოღების ოპერაცია არის ექსპონენტაციის ოპერაციის ინვერსია. Ისე
რთული რიცხვია ისეთივე როგორც
.

დაე იყოს
ცნობილია და
მოიძებნება საჭირო. მერე

ტრიგონომეტრიული ფორმის ორი რთული რიცხვის ტოლობიდან გამომდინარეობს, რომ

,
,
.

აქედან
(ეს არითმეტიკული ფესვია!),

,
.

ამის გადამოწმება ადვილია მხოლოდ მიღება შეუძლია არსებითად განსხვავებული მნიშვნელობები, მაგალითად, როდესაც
. საბოლოოდ გვაქვს ფორმულა:

,
.

ასე რომ, ფესვი კომპლექსური რიცხვიდან ე ხარისხი აქვს სხვადასხვა ღირებულებები. კომპლექსურ სიბრტყეზე, ეს მნიშვნელობები სწორად არის განლაგებული წვეროებზე - გონი ჩაწერილი რადიუსის წრეში
ორიენტირებული საწყისზე. "პირველ" ფესვს აქვს არგუმენტი
, ორი „მეზობელი“ ფესვის არგუმენტები განსხვავდება
.

მაგალითი. ავიღოთ წარმოსახვითი ერთეულის კუბური ფესვი:
,
,
. შემდეგ:

,

თემა „კომპლექსური რიცხვები“ ხშირად უქმნის სირთულეებს მოსწავლეებს, მაგრამ სინამდვილეში მათში არაფერია საშინელი, როგორც ეს ერთი შეხედვით შეიძლება ჩანდეს.

ასე რომ, ახლა ჩვენ გავაანალიზებთ და განვიხილავთ მარტივი მაგალითებით, რა არის რთული რიცხვი, როგორ აღინიშნება და რისგან შედგება. გამოხატულება z = a + biკომპლექსურ რიცხვს უწოდებენ. ეს არის ერთი რიცხვი და არა დამატება.

მაგალითი 1 : z = 6 + 4i

რა არის რთული რიცხვი?

კომპლექსურ რიცხვს აქვს ნამდვილი და წარმოსახვითი ნაწილი მის შემადგენლობაში.

რიცხვს a ეწოდება რთული რიცხვის ნამდვილ ნაწილს და აღინიშნება a = Re(z). და აი, რა დგას წერილში მე- ე.ი. ნომერი ბეწოდება რთული რიცხვის წარმოსახვითი ნაწილის კოეფიციენტი და აღინიშნება b = Im(z). ერთად ბიშექმენით რთული რიცხვის წარმოსახვითი ნაწილი.

ადვილი მისახვედრია და ადვილი დასამახსოვრებელია, რომ შემოკლება "რე"სიტყვიდან მოდის რეალური- რეალური, რეალური ნაწილი. შესაბამისად, "მე"არის სიტყვის შემოკლება "წარმოსახვითი"წარმოსახვითი ნაწილი.

მაგალითი 2 : z = 0,5 + 9i. აქ არის რეალური ნაწილი a=Re(z)=0.5და წარმოსახვითი ნაწილი b = Im(z) = 9i

მაგალითი 3 : z = -5 + 19i. აქ არის რეალური ნაწილი a=Re(z)=-5და წარმოსახვითი ნაწილი b=Im(z)=19.

წმინდა წარმოსახვითი რთული რიცხვი

რთული რიცხვი, რომელსაც არ აქვს რეალური ნაწილი, ე.ი. Re(z) = 0, ეწოდება წმინდა წარმოსახვითი.

მაგალითი 4 : z = 2i. რეალური ნაწილი აკლია a = Re(z) = 0და წარმოსახვითი ნაწილი b = Im(z) = 2.

მაგალითი 5 . z=-8i. აქ არის წარმოსახვითი ნაწილი b=Im(z)=-8, რეალური ნაწილი a = Re(z) = 0.

რთული რიცხვების შერწყმა

კომპლექსური კონიუგატური რიცხვი აღინიშნება "ზ"ზოლით და გამოიყენება, მაგალითად, ორი რთული რიცხვის კოეფიციენტის საპოვნელად, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, რიცხვების გაყოფის განსახორციელებლად. ვინც ახლა ფიქრობს, თქვენ აქ ხართ - წაიკითხეთ რთული რიცხვების დაყოფის შესახებ.

რიცხვებს უწოდებენ კომპლექსურ კონიუგატს, მათ აქვთ იგივე რეალური ნაწილები და განსხვავდებიან მხოლოდ წარმოსახვითი ნაწილების ნიშნით. განვიხილოთ მაგალითი:

მაგალითი 6 . რიცხვის რთული კონიუგატი z = 7 + 13iარის რიცხვი.

რთული რიცხვის წარმოსახვითი ერთეული

და ბოლოს, მოდით ვისაუბროთ წერილზე მე. იგივე ასო, რომელიც ქმნის წარმოსახვით კომპონენტს კომპლექსურ რიცხვში. თუნდაც გამოთქმა გვქონდეს z=5, ეს უბრალოდ ნიშნავს, რომ მოცემული რიცხვის წარმოსახვითი ნაწილი არის ნული, ხოლო რეალური ნაწილი არის ხუთი.

ღირებულება მედაურეკა წარმოსახვითი ერთეული.

წარმოსახვითი ერთეული გამოსადეგია კვადრატული განტოლებების ამოხსნისას იმ შემთხვევაში, როდესაც დისკრიმინანტი ნულზე ნაკლებია. ჩვენ მიჩვეულები ვართ გვჯეროდეს, რომ თუ უარყოფითია, გამოსავალი არ არის, ფესვები. ეს მთლად სწორი არ არის. ფესვები არსებობს, ისინი უბრალოდ რთულია. მაგრამ ამის შესახებ მოგვიანებით. ახლა კი, გადავიდეთ შემდეგ სტატიაზე რთული რიცხვების შესწავლის შესახებ, ვისწავლით როგორ გამოვთვალოთ

გაიხსენეთ საჭირო ინფორმაცია რთული რიცხვების შესახებ.

კომპლექსური ნომერიფორმის გამოხატულებაა ა + ბი, სად ა, ბარის რეალური რიცხვები და მე- ე. წ წარმოსახვითი ერთეული, სიმბოლო, რომლის კვადრატი არის -1, ე.ი. მე 2 = -1. ნომერი ადაურეკა რეალური ნაწილიდა ნომერი ბ - წარმოსახვითი ნაწილირთული რიცხვი ზ = ა + ბი. Თუ ბ= 0, შემდეგ ნაცვლად ა + 0მედაწერე უბრალოდ ა. ჩანს, რომ რეალური რიცხვები რთული რიცხვების განსაკუთრებული შემთხვევაა.

კომპლექსურ რიცხვებზე არითმეტიკული მოქმედებები იგივეა, რაც რეალურზე: მათი დამატება, გამოკლება, გამრავლება და ერთმანეთზე გაყოფა შესაძლებელია. შეკრება და გამოკლება ხდება წესის მიხედვით ( ა + ბი) ± ( გ + დი) = (ა ± გ) + (ბ ± დ)მედა გამრავლება - წესის მიხედვით ( ა + ბი) · ( გ + დი) = (აწ – ბდ) + (რეკლამა + ძვ.წ)მე(აქ მხოლოდ ის გამოიყენება მე 2 = -1). ნომერი = ა – ბიდაურეკა რთული კონიუგატირომ ზ = ა + ბი. Თანასწორობა ზ · = ა 2 + ბ 2 საშუალებას გაძლევთ გაიგოთ როგორ გავყოთ ერთი რთული რიცხვი მეორეზე (არანულოვანი) კომპლექსური რიცხვით:

(Მაგალითად, .)

კომპლექსურ რიცხვებს აქვთ მოსახერხებელი და ვიზუალური გეომეტრიული წარმოდგენა: რიცხვი ზ = ა + ბიშეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც ვექტორი კოორდინატებით ( ა; ბ) დეკარტის სიბრტყეზე (ან, რომელიც თითქმის იგივეა, წერტილი - ვექტორის ბოლო ამ კოორდინატებით). ამ შემთხვევაში ორი რთული რიცხვის ჯამი გამოსახულია შესაბამისი ვექტორების ჯამად (რომლის პოვნა შესაძლებელია პარალელოგრამის წესით). პითაგორას თეორემით, ვექტორის სიგრძე კოორდინატებით ( ა; ბ) უდრის. ეს მნიშვნელობა ე.წ მოდულირთული რიცხვი ზ = ა + ბიდა აღინიშნება | ზ|. კუთხე, რომელსაც ეს ვექტორი ქმნის x ღერძის დადებითი მიმართულების მიმართ (ითვლება საათის ისრის საწინააღმდეგოდ) ე.წ. არგუმენტირთული რიცხვი ზდა აღინიშნება არგ ზ. არგუმენტი არ არის ცალსახად განსაზღვრული, მაგრამ მხოლოდ 2-ის ჯერადი დამატებამდე π რადიანები (ან 360°, თუ დათვლით გრადუსებში) - ბოლოს და ბოლოს, ცხადია, რომ ასეთი კუთხით შემობრუნება საწყის გარშემო არ შეცვლის ვექტორს. მაგრამ თუ სიგრძის ვექტორი რაყალიბებს კუთხეს φ x-ღერძის დადებითი მიმართულებით, მაშინ მისი კოორდინატები ტოლია ( რ cos φ ; რცოდვა φ ). აქედან გამოდის ტრიგონომეტრიული აღნიშვნართული რიცხვი: ზ = |ზ| (არგ ზ) + მეცოდვა (არგ ზ)). ხშირად მოსახერხებელია ამ ფორმით რთული რიცხვების დაწერა, რადგან ეს მნიშვნელოვნად ამარტივებს გამოთვლებს. რთული რიცხვების გამრავლება ტრიგონომეტრიულ ფორმაში ძალიან მარტივია: ზერთი · ზ 2 = |ზ 1 | · | ზ 2 | (არგ ზ 1+არგ ზ 2) + მეცოდვა (არგ ზ 1+არგ ზ 2)) (ორი რთული რიცხვის გამრავლებისას მათი მოდულები მრავლდება და არგუმენტები ემატება). აქედან მიჰყევით დე მოივრის ფორმულები: z n = |ზ|ნ(რადგან ნ(არგ ზ)) + მეცოდვა ( ნ(არგ ზ))). ამ ფორმულების დახმარებით ადვილია ისწავლო რთული რიცხვებიდან ნებისმიერი ხარისხის ფესვების ამოღება. z-ის მე-ნ ფესვიასეთი რთული რიცხვია ვ, რა w n = ზ. გასაგებია რომ , Და სად კშეუძლია მიიღოს ნებისმიერი მნიშვნელობა კომპლექტიდან (0, 1, ..., ნ- ერთი). ეს ნიშნავს, რომ ყოველთვის არის ზუსტად ნფესვები ნკომპლექსური რიცხვიდან th ხარისხი (სიბრტყეზე ისინი განლაგებულია რეგულარულის წვეროებზე ნ-გონი).