რა არის წრფივი ინტერპოლაცია. ინტერპოლაციის ფორმულა ორ მნიშვნელობას შორის

ბევრ ჩვენგანს წააწყდა გაუგებარი ტერმინები სხვადასხვა მეცნიერებაში. მაგრამ ძალიან ცოტაა ისეთი ადამიანი, ვისაც არ ეშინია გაუგებარი სიტყვების, პირიქით, ამხნევებს და აიძულებს ჩასწვდნენ შესასწავლ საგანში. დღეს ჩვენ ვისაუბრებთ ისეთ რამეზე, როგორიცაა ინტერპოლაცია. ეს არის გრაფიკების გამოსახვის მეთოდი ცნობილი წერტილების გამოყენებით, რაც საშუალებას იძლევა წინასწარ განსაზღვროთ მისი ქცევა მრუდის კონკრეტულ მონაკვეთებზე ფუნქციის შესახებ ინფორმაციის მინიმალური რაოდენობით.

სანამ თავად განსაზღვრების არსზე გადავიდოდეთ და მის შესახებ უფრო დეტალურად ვისაუბროთ, ცოტა ჩავუღრმავდეთ ისტორიას.

ამბავი

ინტერპოლაცია ცნობილი იყო უძველესი დროიდან. თუმცა, ეს ფენომენი თავის განვითარებას ევალება წარსულის რამდენიმე ყველაზე გამოჩენილ მათემატიკოსს: ნიუტონს, ლაიბნიცს და გრიგოლს. სწორედ მათ შეიმუშავეს ეს კონცეფცია იმ დროისთვის ხელმისაწვდომი უფრო მოწინავე მათემატიკური მეთოდების გამოყენებით. მანამდე ინტერპოლაცია, რა თქმა უნდა, გამოიყენებოდა და გამოიყენებოდა გამოთვლებში, მაგრამ ისინი ამას აკეთებდნენ სრულიად არაზუსტი გზებით, მოითხოვდნენ დიდი რაოდენობით მონაცემებს რეალობასთან მეტ-ნაკლებად მიახლოებული მოდელის შესაქმნელად.

დღეს ჩვენ შეგვიძლია ავირჩიოთ კიდეც, ინტერპოლაციის მეთოდიდან რომელია უფრო შესაფერისი. ყველაფერი ითარგმნება კომპიუტერულ ენაზე, რომელსაც შეუძლია დიდი სიზუსტით იწინასწარმეტყველოს ფუნქციის ქცევა გარკვეულ არეალში, ცნობილი წერტილებით შეზღუდული.

ინტერპოლაცია საკმაოდ ვიწრო ცნებაა, ამიტომ მისი ისტორია არც ისე მდიდარია ფაქტებით. შემდეგ განყოფილებაში გავიგებთ, რა არის სინამდვილეში ინტერპოლაცია და რით განსხვავდება იგი საპირისპიროსგან - ექსტრაპოლაციისგან.

რა არის ინტერპოლაცია?

როგორც უკვე ვთქვით, ეს არის მეთოდების ზოგადი სახელწოდება, რომელიც საშუალებას გაძლევთ დახაზოთ გრაფიკი წერტილებით. სკოლაში ეს ძირითადად ცხრილის შედგენით, გრაფიკზე წერტილების ამოცნობით და მათ დამაკავშირებელი ხაზების უხეშად აგებით ხდება. ბოლო მოქმედება შესრულებულია შესწავლილი ფუნქციის სხვასთან მსგავსების გათვალისწინებით, რომლის გრაფიკის ტიპი ჩვენ ვიცით.

თუმცა, არსებობს სხვა, უფრო რთული და ზუსტი გზები, რათა შესრულდეს პუნქტი-პუნქტიანი ნაკვეთის შედგენა. ასე რომ, ინტერპოლაცია რეალურად არის ფუნქციის ქცევის „პროგნოზირება“ კონკრეტულ არეალში, რომელიც შემოიფარგლება ცნობილი წერტილებით.

არსებობს იგივე ცნება, რომელიც დაკავშირებულია იმავე სფეროსთან - ექსტრაპოლაცია. ის ასევე არის ფუნქციის გრაფიკის პროგნოზირება, მაგრამ გრაფიკის ცნობილი წერტილების მიღმა. ამ მეთოდით პროგნოზირება ხდება ფუნქციის ქცევაზე ცნობილ ინტერვალზე და შემდეგ ეს ფუნქცია გამოიყენება უცნობ ინტერვალზეც. ეს მეთოდი ძალიან მოსახერხებელია პრაქტიკული გამოყენებისთვის და აქტიურად გამოიყენება, მაგალითად, ეკონომიკაში ბაზრის აღმავლობისა და ვარდნის პროგნოზირებისთვის და ქვეყანაში დემოგრაფიული მდგომარეობის პროგნოზირებისთვის.

მაგრამ ჩვენ გადავუხვიეთ მთავარ თემას. შემდეგ ნაწილში ჩვენ გავიგებთ, რა არის ინტერპოლაცია და რა ფორმულები შეიძლება გამოვიყენოთ ამ ოპერაციის შესასრულებლად.

ინტერპოლაციის სახეები

უმარტივესი ტიპი არის უახლოესი მეზობლის ინტერპოლაცია. ამ მეთოდით ვიღებთ ძალიან სავარაუდო ნაკვეთს, რომელიც შედგება ოთხკუთხედებისგან. თუ ერთხელ მაინც გინახავთ გრაფიკზე ინტეგრალის გეომეტრიული მნიშვნელობის ახსნა, მაშინ მიხვდებით, რა გრაფიკულ ფორმაზეა საუბარი.

გარდა ამისა, არსებობს ინტერპოლაციის სხვა მეთოდები. ყველაზე ცნობილი და პოპულარული ასოცირდება მრავალწევრებთან. ისინი უფრო ზუსტია და იძლევა ფუნქციის ქცევის პროგნოზირების საშუალებას მნიშვნელობების საკმაოდ მწირი ნაკრებით. პირველი ინტერპოლაციის მეთოდი, რომელსაც ჩვენ განვიხილავთ, არის წრფივი მრავალწევრი ინტერპოლაცია. ეს არის ყველაზე მარტივი მეთოდი ამ კატეგორიიდან და რა თქმა უნდა თითოეული თქვენგანი იყენებდა მას სკოლაში. მისი არსი მდგომარეობს ცნობილ წერტილებს შორის სწორი ხაზების აგებაში. მოგეხსენებათ, ერთი სწორი ხაზი გადის სიბრტყის ორ წერტილში, რომელთა განტოლება შეიძლება ვიპოვოთ ამ წერტილების კოორდინატებზე დაყრდნობით. ამ სწორი ხაზების აგების შემდეგ, ჩვენ ვიღებთ გატეხილ გრაფიკს, რომელიც, სულ მცირე, მაგრამ ასახავს ფუნქციების სავარაუდო მნიშვნელობებს და ზოგადად ემთხვევა რეალობას. ასე მუშაობს წრფივი ინტერპოლაცია.

ინტერპოლაციის რთული ტიპები

არსებობს ინტერპოლაციის უფრო საინტერესო, მაგრამ ამავე დროს უფრო რთული გზა. ის გამოიგონა ფრანგმა მათემატიკოსმა ჯოზეფ ლუი ლაგრანჟმა. ამიტომაც ამ მეთოდით ინტერპოლაციის გამოთვლას მისი სახელი ჰქვია: ინტერპოლაცია ლაგრანგის მეთოდით. ხრიკი აქ ასეთია: თუ წინა აბზაცში აღწერილი მეთოდი გამოსათვლელად იყენებს მხოლოდ წრფივ ფუნქციას, მაშინ ლაგრანგის გაფართოება ასევე მოიცავს უფრო მაღალი ხარისხის მრავალწევრების გამოყენებას. მაგრამ არც ისე ადვილია თავად ინტერპოლაციის ფორმულების პოვნა სხვადასხვა ფუნქციებისთვის. და რაც მეტი რაოდენობაა ცნობილი, მით უფრო ზუსტია ინტერპოლაციის ფორმულა. მაგრამ არსებობს მრავალი სხვა მეთოდიც.

ასევე არსებობს გაანგარიშების უფრო სრულყოფილი და რეალობასთან მიახლოებული მეთოდი. მასში გამოყენებული ინტერპოლაციის ფორმულა არის მრავალწევრების კრებული, რომელთაგან თითოეულის გამოყენება დამოკიდებულია ფუნქციის მონაკვეთზე. ამ მეთოდს ეწოდება spline ფუნქცია. გარდა ამისა, ასევე არსებობს ისეთი გზები, როგორიცაა ორი ცვლადის ფუნქციების ინტერპოლაცია. აქ მხოლოდ ორი მეთოდია. მათ შორისაა ბიწრფივი ან ორმაგი ინტერპოლაცია. ეს მეთოდი საშუალებას გაძლევთ მარტივად ააგოთ გრაფიკი წერტილების მიხედვით სამგანზომილებიან სივრცეში. სხვა მეთოდები არ იმოქმედებს. ზოგადად, ინტერპოლაცია უნივერსალური სახელია გრაფიკების შედგენის ყველა ამ მეთოდისთვის, მაგრამ ამ მოქმედების განხორციელების გზების მრავალფეროვნება გვაიძულებს დავყოთ ისინი ჯგუფებად, ფუნქციის ტიპის მიხედვით, რომელიც ექვემდებარება ამ მოქმედებას. ანუ ინტერპოლაცია, რომლის მაგალითიც ზემოთ განვიხილეთ, პირდაპირ მეთოდებს ეხება. ასევე არსებობს ინვერსიული ინტერპოლაცია, რომელიც განსხვავდება იმით, რომ საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ არა პირდაპირი, არამედ შებრუნებული ფუნქცია (ანუ x y-დან). ჩვენ არ განვიხილავთ ამ უკანასკნელ ვარიანტებს, რადგან ეს საკმაოდ რთულია და მოითხოვს მათემატიკური ცოდნის კარგ ბაზას.

მოდით გადავიდეთ ალბათ ერთ-ერთ ყველაზე მნიშვნელოვან განყოფილებაზე. მისგან ვიგებთ, თუ როგორ და სად გამოიყენება ცხოვრებაში განხილული მეთოდების ნაკრები.

განაცხადი

მათემატიკა, მოგეხსენებათ, მეცნიერებათა დედოფალია. ამიტომ, მაშინაც კი, თუ თავდაპირველად ვერ ხედავთ აზრს გარკვეულ ოპერაციებში, ეს არ ნიშნავს რომ ისინი უსარგებლოა. მაგალითად, როგორც ჩანს, ინტერპოლაცია უსარგებლო რამ არის, რომლის დახმარებით მხოლოდ გრაფიკების აგებაა შესაძლებელი, რაც ახლა ცოტას სჭირდება. ამასთან, ინჟინერიის, ფიზიკის და მრავალი სხვა მეცნიერების (მაგალითად, ბიოლოგია) ნებისმიერ გამოთვლებში ძალზე მნიშვნელოვანია ფენომენის საკმაოდ სრული სურათის წარმოდგენა, ღირებულებების გარკვეული ნაკრების არსებობისას. თავად მნიშვნელობები, რომლებიც მიმოფანტულია გრაფიკზე, ყოველთვის არ იძლევა ნათელ წარმოდგენას ფუნქციის ქცევაზე კონკრეტულ მხარეში, მისი წარმოებულების მნიშვნელობებზე და ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებზე. და ეს ძალიან მნიშვნელოვანია ჩვენი ცხოვრების მრავალი სფეროსთვის.

და როგორ გამოადგება ის ცხოვრებაში?

ასეთ კითხვაზე პასუხის გაცემა შეიძლება ძალიან რთული იყოს. მაგრამ პასუხი მარტივია: არავითარ შემთხვევაში. ეს ცოდნა არ გამოგადგებათ. მაგრამ თუ გესმით ეს მასალა და მეთოდები, რომლითაც ეს მოქმედებები ხორციელდება, თქვენ ავარჯიშებთ თქვენს ლოგიკას, რაც ძალიან გამოგადგებათ ცხოვრებაში. მთავარია არა თავად ცოდნა, არამედ ის უნარები, რომლებსაც ადამიანი სწავლის პროცესში იძენს. ყოველივე ამის შემდეგ, ტყუილად არ არის ნათქვამი: "იცხოვრე საუკუნე - ისწავლე საუკუნე".

დაკავშირებული ცნებები

თქვენ თავად გესმით, რამდენად მნიშვნელოვანი იყო მათემატიკის ეს სფერო (და ჯერ კიდევ არის) მასთან დაკავშირებული სხვა ცნებების მრავალფეროვნებით. ექსტრაპოლაციაზე უკვე ვისაუბრეთ, მაგრამ არის მიახლოებაც. ალბათ ეს სიტყვა ადრეც გსმენიათ. ნებისმიერ შემთხვევაში, ჩვენ ასევე გავაანალიზეთ რას ნიშნავს ეს ამ სტატიაში. მიახლოება, ისევე როგორც ინტერპოლაცია, არის ცნებები, რომლებიც დაკავშირებულია ფუნქციის გრაფიკების შედგენასთან. მაგრამ განსხვავება პირველსა და მეორეს შორის არის ის, რომ ეს არის გრაფიკის სავარაუდო კონსტრუქცია, რომელიც დაფუძნებულია მსგავს ცნობილ გრაფიკებზე. ეს ორი ცნება ძალიან ჰგავს ერთმანეთს და მით უფრო საინტერესოა თითოეული მათგანის შესწავლა.

დასკვნა

მათემატიკა არც ისე რთული მეცნიერებაა, როგორც ერთი შეხედვით ჩანს. ის საკმაოდ საინტერესოა. და ამ სტატიაში ჩვენ შევეცადეთ დაგვემტკიცებინა. ჩვენ გადავხედეთ გრაფიკების შედგენასთან დაკავშირებულ ცნებებს, ვისწავლეთ რა არის ორმაგი ინტერპოლაცია და გავაანალიზეთ მაგალითებით, სადაც ის გამოიყენება.

ამ ტერმინს სხვა მნიშვნელობა აქვს, იხილეთ ინტერპოლაცია. ფუნქციის შესახებ იხილეთ: ინტერპოლანტი.

ინტერპოლაცია, ინტერპოლაცია (დანლათ. ინტერპოლისი - « გათლილი, განახლებული, განახლებული; მოაქცია"") - გამოთვლით მათემატიკაში, ცნობილი მნიშვნელობების არსებული დისკრეტული სიმრავლიდან რაოდენობის შუალედური მნიშვნელობების პოვნის მეთოდი. ტერმინი „ინტერპოლაცია“ პირველად გამოიყენა ჯონ ვალისმა თავის ტრაქტატში „უსასრულობის არითმეტიკა“ (1656).

ფუნქციონალურ ანალიზში წრფივი ოპერატორების ინტერპოლაცია არის მონაკვეთი, რომელიც განიხილავს ბანახის სივრცეებს გარკვეული კატეგორიის ელემენტებად.

ბევრ მათგანს, ვინც ეხება სამეცნიერო და საინჟინრო გამოთვლებს, ხშირად უწევს მუშაობა ემპირიულად ან შემთხვევითი შერჩევით მიღებულ მნიშვნელობებთან. როგორც წესი, ამ კომპლექტების საფუძველზე საჭიროა ფუნქციის აგება, რომელზედაც სხვა მიღებული მნიშვნელობები შეიძლება მოხვდეს მაღალი სიზუსტით. ასეთ დავალებას მიახლოება ჰქვია. ინტერპოლაცია არის მიახლოების ტიპი, რომლის დროსაც აგებული ფუნქციის მრუდი გადის ზუსტად არსებულ მონაცემთა წერტილებში.

ასევე არსებობს ინტერპოლაციასთან მიახლოებული პრობლემა, რომელიც შედგება ზოგიერთი რთული ფუნქციის სხვა, უფრო მარტივი ფუნქციით მიახლოებაში. თუ გარკვეული ფუნქცია ძალიან რთულია პროდუქტიული გამოთვლებისთვის, შეგიძლიათ სცადოთ მისი მნიშვნელობის გამოთვლა რამდენიმე წერტილში და მათგან უფრო მარტივი ფუნქციის აშენება, ანუ ინტერპოლაცია. რა თქმა უნდა, გამარტივებული ფუნქციის გამოყენება არ გაძლევთ საშუალებას მიიღოთ იგივე ზუსტი შედეგი, რასაც ორიგინალური ფუნქცია მოგცემთ. მაგრამ პრობლემების ზოგიერთ კლასში, გამოთვლების სიმარტივისა და სიჩქარის მატებამ შეიძლება გადაწონოს შედეგის შეცდომა.

ასევე უნდა აღვნიშნოთ მათემატიკური ინტერპოლაციის სრულიად განსხვავებული სახეობა, რომელიც ცნობილია როგორც „ოპერატორის ინტერპოლაცია“. ოპერატორის ინტერპოლაციის კლასიკურ ნაშრომებში შედის რიეზ-თორინის თეორემა და მარკინკევიჩის თეორემა, რომლებიც მრავალი სხვა ნაშრომის საფუძველია.

განმარტებები

განვიხილოთ არათანხვედრი წერტილების სისტემა x i (\displaystyle x_(i)) (i ∈ 0 , 1 , … , N (\displaystyle i\in (0,1,\dots ,N))) ზოგიერთი დომენიდან D ( \ჩვენების სტილი დ) . დაე, ფუნქციის f (\displaystyle f) მნიშვნელობები იყოს ცნობილი მხოლოდ ამ წერტილებში:

Y i = f (x i) , i = 1 , … , N . (\displaystyle y_(i)=f(x_(i)),\quad i=1,\ldots ,N.)

ინტერპოლაციის პრობლემა არის F ფუნქციის პოვნა (\displaystyle F) ფუნქციების მოცემული კლასიდან ისეთი, რომ

F (x i) = y i, i = 1, …, N. (\displaystyle F(x_(i))=y_(i),\quad i=1,\ldots ,N.)

წერტილებს x i (\displaystyle x_(i)) ეწოდება ინტერპოლაციის კვანძებიდა მათი მთლიანობა არის ინტერპოლაციის ბადე.
წყვილებს (x i, y i) (\displaystyle (x_(i),y_(i))) ეწოდება მონაცემთა წერტილებიან საბაზისო წერტილები.
განსხვავება "მიმდებარე" მნიშვნელობებს შორის Δ x i = x i − x i − 1 (\displaystyle \Delta x_(i)=x_(i)-x_(i-1)) - ინტერპოლაციის ბადის ნაბიჯი. ის შეიძლება იყოს როგორც ცვლადი, ასევე მუდმივი.
ფუნქცია F (x) (\displaystyle F(x)) - ინტერპოლაციის ფუნქციაან ინტერპოლანტი.

მაგალითი

1. ვთქვათ, გვაქვს ცხრილის ფუნქცია, როგორიც ქვემოთ მოცემულია, რომ x-ის მრავალი მნიშვნელობისთვის (\displaystyle x), განსაზღვრავს f-ის (\displaystyle f) შესაბამის მნიშვნელობებს:

X (\displaystyle x) f (x) (\displaystyle f(x))


0
1	0,8415
2	0,9093
3	0,1411
4	−0,7568
5	−0,9589
6	−0,2794

ინტერპოლაცია გვეხმარება ვიცოდეთ რა მნიშვნელობა შეიძლება ჰქონდეს ასეთ ფუნქციას მითითებული წერტილების გარდა სხვა წერტილში (მაგალითად, როდესაც x = 2,5).

დღემდე, ინტერპოლაციის მრავალი განსხვავებული მეთოდი არსებობს. ყველაზე შესაფერისი ალგორითმის არჩევანი დამოკიდებულია კითხვებზე პასუხებზე: რამდენად ზუსტია არჩეული მეთოდი, რა ღირს მისი გამოყენება, რამდენად გლუვია ინტერპოლაციის ფუნქცია, რამდენ მონაცემთა რაოდენობას მოითხოვს და ა.შ.

2. იპოვეთ შუალედური მნიშვნელობა (წრფივი ინტერპოლაციის გზით).

6000	15.5
6378	?
8000	19.2

15,5 + (6378 − 6000) 8000 − 6000 ∗ (19,2 − 15,5) 1 = 16,1993 (\displaystyle ?=15,5+(\frac ((6378-6000))(8000-2)*1 (8000-2)*06 15.5)) (1)) = 16.1993)

პროგრამირების ენებში

წრფივი ინტერპოლაციის მაგალითი y = 3 x + x 2 ფუნქციისთვის (\displaystyle y=3x+x^(2)) . მომხმარებელს შეუძლია შეიყვანოს რიცხვი 1-დან 10-მდე.

ფორტრანი

პროგრამის ინტერპოლის მთელი რიცხვი i რეალური x, y, xv, yv, yv2 განზომილება x(10) განზომილება y(10) მოვუწოდებთ prisv(x, i) მოვუწოდებთ func(x, y, i) ჩაწერეთ(*,*) "შეიყვანეთ ნომერი: წაიკითხეთ(*,*) xv თუ ((xv >= 1).და.(xv xv)) მაშინ yv2 = ((xv - x(i)) * (y(i+1) - y(i)) / (x(i+1) - x(i))) + y(i) end if end do end subroutine

C++

int main() ( system("COLOR 0A"); double ob, x1, x2, y1, y2, p1, p2, pi, skolko, status; system("echo Interpolate X1 - X2"); system("echo Enter რიცხვი: "); cin >> ob; სისტემა ("ექო მაგალითად 62, C1 = 60, L1 = 1.31, C2 = 80, L2 = 1.29"); cout > x1; cout > x2; cout > y1; cout > y2; p1 = y1 - x1; p2 = y2 - x2; pi = p2 / p1; skolko = ob - x1; სტატუსი = x2 + (pi * skolko); cout

ინტერპოლაციის მეთოდები

უახლოესი მეზობლის ინტერპოლაცია

ინტერპოლაციის უმარტივესი მეთოდი არის უახლოესი მეზობლის ინტერპოლაცია.

ინტერპოლაცია მრავალწევრებით

პრაქტიკაში ყველაზე ხშირად გამოიყენება მრავალწევრებით ინტერპოლაცია. ეს, უპირველეს ყოვლისა, განპირობებულია იმით, რომ მრავალწევრების გამოთვლა მარტივია, მათი წარმოებულების ანალიტიკური პოვნა ადვილია და მრავალწევრების სიმრავლე მკვრივია უწყვეტი ფუნქციების სივრცეში (ვეიერშტრასის თეორემა).

წრფივი ინტერპოლაცია
ნიუტონის ინტერპოლაციის ფორმულა
სასრული სხვაობის მეთოდი
IMN-1 და IMN-2
ლაგრანგის პოლინომი (ინტერპოლაციის პოლინომი)
აიტკენის სქემა
spline ფუნქცია
კუბური სლაინი

შებრუნებული ინტერპოლაცია (გამოთვლა x მოცემული y)

ლაგრაჟის მრავალწევრი
ინვერსიული ინტერპოლაცია ნიუტონის ფორმულით
ინვერსიული გაუსის ინტერპოლაცია

მრავალცვლადი ფუნქციის ინტერპოლაცია

ორხაზოვანი ინტერპოლაცია
ბიკუბური ინტერპოლაცია

სხვა ინტერპოლაციის მეთოდები

რაციონალური ინტერპოლაცია
ტრიგონომეტრიული ინტერპოლაცია

დაკავშირებული ცნებები

ექსტრაპოლაცია - მოცემული ინტერვალის მიღმა წერტილების პოვნის მეთოდები (მრუდის გაფართოება)
მიახლოება - მიახლოებითი მოსახვევების აგების მეთოდები

საპირისპირო ინტერპოლაცია

C2 სივრცის ფუნქციების კლასზე, რომელთა გრაფიკები გადის მასივის წერტილებში (xi, yi), i = 0, 1, . . . , მ.

გადაწყვეტილება. ყველა ფუნქციას შორის, რომელიც გადის საცნობარო წერტილებში (xi, f(xi)) და ეკუთვნის აღნიშნულ სივრცეს, სწორედ კუბური სლაინი S(x) აკმაყოფილებს სასაზღვრო პირობებს S00(a) = S00(b) = 0. რომელიც უზრუნველყოფს უკიდურეს (მინიმალურ) ფუნქციონალურ I(f).

ხშირად პრაქტიკაში ჩნდება არგუმენტის მნიშვნელობის ფუნქციის მოცემული მნიშვნელობის ძიების პრობლემა. ეს პრობლემა მოგვარებულია საპირისპირო ინტერპოლაციის მეთოდებით. თუ მოცემული ფუნქცია მონოტონურია, მაშინ უკუღმა ინტერპოლაციის შესრულების უმარტივესი გზაა ფუნქციის ჩანაცვლება არგუმენტით და პირიქით და შემდეგ ინტერპოლაცია. თუ მოცემული ფუნქცია არ არის მონოტონური, მაშინ ამ ტექნიკის გამოყენება შეუძლებელია. შემდეგ ფუნქციისა და არგუმენტის როლების შეუცვლელად ჩავწერთ ინტერპოლაციის ამა თუ იმ ფორმულას; არგუმენტის ცნობილი მნიშვნელობების გამოყენებით და, თუ ვივარაუდებთ, რომ ფუნქცია ცნობილია, ჩვენ ვხსნით მიღებულ განტოლებას არგუმენტთან მიმართებაში.

დარჩენილი ტერმინის შეფასება პირველი მეთოდის გამოყენებისას იგივე იქნება, რაც პირდაპირი ინტერპოლაციისას, მხოლოდ პირდაპირი ფუნქციის წარმოებულები უნდა შეიცვალოს შებრუნებული ფუნქციის წარმოებულებით. მოდით შევაფასოთ მეორე მეთოდის შეცდომა. თუ გვეძლევა ფუნქცია f(x) და Ln (x) არის ლაგრანგის ინტერპოლაციის პოლინომი, რომელიც აგებულია ამ ფუნქციისთვის x0, x1, x2, კვანძებზე. . . , xn, მაშინ

f (x) − Ln (x) =(n + 1)! (x − x0) . . . (x − xn) .

დავუშვათ, ჩვენ უნდა ვიპოვოთ x¯ მნიშვნელობა ისეთი, რომ f (¯x) = y¯ (y¯ მოცემულია). ჩვენ ამოვხსნით განტოლებას Ln (x) = y¯ . მოდით მივიღოთ x¯ მნიშვნელობა. წინა განტოლებაში ჩანაცვლებით მივიღებთ:

Mn+1


f (x¯) − Ln (x¯) = f (x¯) − y¯ = f (x¯) − f (¯x) =
f (x¯) − Ln (x¯) = f (x¯) − y¯ = f (x¯) − f (¯x) =
ლანგრანჟის ფორმულის გამოყენებით, მივიღებთ
(x¯ − x¯) f0 (η) =


სადაც η არის x¯ და x¯ შორის. თუ არის ინტერვალი, რომელიც შეიცავს x¯ და x¯ და min

ბოლო გამონათქვამიდან შემდეგია:

|x¯ − x¯| 6 მ1 (n + 1)! |$n (x¯)| .

ამ შემთხვევაში, რა თქმა უნდა, ვარაუდობენ, რომ ჩვენ ზუსტად გადავწყვიტეთ განტოლება Ln (x) = y¯.

ინტერპოლაციის გამოყენება ცხრილებისთვის

ინტერპოლაციის თეორიას აქვს გამოყენება ფუნქციების ცხრილების შედგენაში. ასეთი ამოცანის მიღების შემდეგ მათემატიკოსმა უნდა გადაჭრას მთელი რიგი კითხვები გამოთვლების დაწყებამდე. უნდა შეირჩეს ფორმულა, რომლითაც განხორციელდება გამოთვლები. ეს ფორმულა შეიძლება განსხვავდებოდეს საიტიდან საიტზე. ჩვეულებრივ, ფუნქციის მნიშვნელობების გამოთვლის ფორმულები რთულია და, შესაბამისად, ისინი გამოიყენება ზოგიერთი საცნობარო მნიშვნელობების მისაღებად და შემდეგ, ქვეტაბულაციის გზით, ისინი ასქელებენ ცხრილს. ფორმულა, რომელიც იძლევა ფუნქციის საცნობარო მნიშვნელობებს, უნდა უზრუნველყოს ცხრილების საჭირო სიზუსტე, შემდეგი ქვეტაბულაციის გათვალისწინებით. თუ გსურთ ცხრილების შედგენა მუდმივი ნაბიჯით, მაშინ ჯერ უნდა განსაზღვროთ მისი ნაბიჯი.

უკან პირველი წინა შემდეგი ბოლო გამოტოვების ინდექსი

ყველაზე ხშირად, ფუნქციების ცხრილები შედგენილია ისე, რომ წრფივი ინტერპოლაცია (ანუ ინტერპოლაცია ტეილორის ფორმულის პირველი ორი ტერმინის გამოყენებით) შესაძლებელია. ამ შემთხვევაში, დარჩენილი ვადა ასე გამოიყურება

R1 (x) =f00 (ξ)h2t(t − 1).

აქ ξ მიეკუთვნება არგუმენტის ორ მიმდებარე ტაბულურ მნიშვნელობას შორის ინტერვალს, რომელშიც x მდებარეობს და t არის 0-დან 1-მდე. ნამრავლი t(t − 1) იღებს უდიდეს მოდულს.

მნიშვნელობა t = 12-ზე. ეს მნიშვნელობა უდრის 14-ს. Ისე,

უნდა გვახსოვდეს, რომ ამ შეცდომის გვერდით - მეთოდის შეცდომით, შუალედური მნიშვნელობების პრაქტიკული გაანგარიშებისას, კვლავ იქნება გამოუსწორებელი შეცდომა და დამრგვალების შეცდომა. როგორც ადრე ვნახეთ, ფატალური შეცდომა წრფივ ინტერპოლაციაში ტოლი იქნება ფუნქციის ცხრილის მნიშვნელობების შეცდომას. დამრგვალების შეცდომა დამოკიდებული იქნება გამოთვლით საშუალებებზე და გაანგარიშების პროგრამაზე.

უკან პირველი წინა შემდეგი ბოლო გამოტოვების ინდექსი

საგნის ინდექსი

გაყოფილი განსხვავებები მეორე რიგის, 8 პირველი რიგის, 8

სლაინი, 15

ინტერპოლაციის კვანძები, 4

უკან პირველი წინა შემდეგი ბოლო გამოტოვების ინდექსი

/ Material_studentam_po_RGR_BZhD / როგორ გავაკეთოთ ინტერპოლაცია

ტაბულური მონაცემების ინტერპოლაციის ფორმულა

გამოიყენება მე-2 საფეხურზე, როცა NXR-ის რაოდენობა (Q, t) მდგომარეობიდან არის შუალედური შორის 100 ტ და 300 ტ.

(გამონაკლისი:თუ Q უდრის 100 ან 300 პირობით, მაშინ ინტერპოლაცია არ არის საჭირო).

წ ო- თქვენი საწყისი NHR რაოდენობა მდგომარეობიდან, ტონებში

(შეესაბამება ასო Q)

წ 1 – ნაკლები

(ცხრილებიდან 11-16, ჩვეულებრივ 100).

წ 2 – მეტი NCR ოდენობის თქვენს ღირებულებასთან ყველაზე ახლოს, ტონებში

(ცხრილებიდან 11-16, ჩვეულებრივ 300).

x 1 წ 1 (x 1 მოპირდაპირედ მდებარეობს წ 1 ), კმ.

x 2 - დაბინძურებული ჰაერის ღრუბლის გავრცელების სიღრმის ტაბულური მნიშვნელობა (G t), შესაბამისად წ 2 (x 2 მოპირდაპირედ მდებარეობს წ 2 ), კმ.

x 0 - სასურველი მნიშვნელობა გ ტშესაბამისი წ ო(ფორმულის მიხედვით).

მაგალითი.

NCR - ქლორი; Q = 120 ტ;

SVSP-ის ტიპი (ვერტიკალური ჰაერის წინააღმდეგობის ხარისხი) - ინვერსია.

Პოვნა გ ტ- დაბინძურებული ჰაერის ღრუბლის გავრცელების სიღრმის ტაბულური მნიშვნელობა.

ჩვენ გადავხედავთ ცხრილებს 11-16 და ვპოულობთ მონაცემებს, რომლებიც შეესაბამება თქვენს მდგომარეობას (ქლორი, ინვერსია).

შესაფერისი მაგიდა 11.

ღირებულებების არჩევა წ 1 , წ 2, x 1 , x 2 . Მნიშვნელოვანი - ვიღებთ ქარის სიჩქარეს 1 მ/წმ, ვიღებთ ტემპერატურას - 20 ° C.

შეცვალეთ არჩეული მნიშვნელობები ფორმულაში და იპოვეთ x 0 .

Მნიშვნელოვანი - გაანგარიშება სწორია, თუ x 0 ექნება ღირებულება სადღაც შორის x 1 , x 2 .

1.4. ლაგრანგის ინტერპოლაციის ფორმულა

ლაგრანჟის მიერ შემოთავაზებული ალგორითმი ინტერპოლაციის ასაგებად

ფუნქციები ცხრილების მიხედვით (1) ითვალისწინებს ინტერპოლაციის მრავალწევრის Ln(x) ფორმირებას

ცხადია, (10) პირობების შესრულება (10) განსაზღვრავს ინტერპოლაციის პრობლემის დებულების (2) პირობების შესრულებას.

პოლინომები li(x) იწერება შემდეგნაირად

გაითვალისწინეთ, რომ არც ერთი ფაქტორი (14) ფორმულის მნიშვნელში არ არის ნულის ტოლი. ci მუდმივების მნიშვნელობების გამოთვლის შემდეგ, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ისინი მოცემულ წერტილებში ინტერპოლირებული ფუნქციის მნიშვნელობების გამოსათვლელად.

ლაგრანგის ინტერპოლაციის პოლინომიური ფორმულა (11), ფორმულების (13) და (14) გათვალისწინებით, შეიძლება დაიწეროს როგორც

qi (x − x0) (x − x1) K (x − xi −1) (x − xi +1) K (x − xn)

1.4.1. ხელით გამოთვლების ორგანიზება ლაგრანჟის ფორმულის მიხედვით

ლაგრანგის ფორმულის პირდაპირი გამოყენება იწვევს იმავე ტიპის გამოთვლების დიდ რაოდენობას. მცირე ზომის ცხრილებისთვის, ეს გამოთვლები შეიძლება შესრულდეს როგორც ხელით, ასევე პროგრამულ გარემოში.

პირველ ეტაპზე განვიხილავთ ხელით შესრულებულ გამოთვლების ალგორითმს. მომავალში იგივე გამოთვლები უნდა განმეორდეს გარემოში

Microsoft Excel ან OpenOffice.org Calc.

ნახ. 6 გვიჩვენებს ოთხი კვანძით განსაზღვრული ინტერპოლირებული ფუნქციის წყაროს ცხრილის მაგალითს.

სურ.6. ცხრილი, რომელიც შეიცავს საწყის მონაცემებს ინტერპოლირებული ფუნქციის ოთხი კვანძისთვის

ცხრილის მესამე სვეტში ვწერთ qi კოეფიციენტების მნიშვნელობებს, რომლებიც გამოითვლება ფორმულებით (14). ქვემოთ მოცემულია ამ ფორმულების ჩანაწერი n=3-ისთვის.

q0=Y0/(x0-x1)/(x0-x2)/(x0-x3)q1=Y1/(x1-x0)/(x1-x2)/(x1-x3)(16) q2=Y2/( x2-x0)/(x2-x1)/(x2-x3)q3=Y3/(x3-x0)/(x3-x1)/(x3-x2)

სახელმძღვანელო გამოთვლების განხორციელების შემდეგი ნაბიჯი არის li(x) მნიშვნელობების გაანგარიშება (j=0,1,2,3), შესრულებული ფორმულებით (13).

მოდით დავწეროთ ეს ფორმულები ცხრილის ვერსიისთვის, რომელსაც განვიხილავთ ოთხი კვანძით:

l0(x)=q0(x-x1) (x-x2) (x-x3),

l1(x)=q1(x-x0) (x-x2) (x-x3),

l2(x)=q2(x-x0)(x-x1)(x-x3),(17) l3(x)=q3(x-x0)(x-x1)(x-x2) .

გამოვთვალოთ li(xj) პოლინომების მნიშვნელობები (j=0,1,2,3) და ჩავწეროთ ცხრილის უჯრებში. Ycalc(x) ფუნქციის მნიშვნელობები (11) ფორმულის მიხედვით მიიღება li(xj) მნიშვნელობების მწკრივებში შეჯამების შედეგად.

ცხრილის ფორმატი, რომელიც მოიცავს გამოთვლილი მნიშვნელობების სვეტებს Li(xj) და მნიშვნელობების სვეტებს Ycalc(x), ნაჩვენებია ნახ.8-ში.

ბრინჯი. 8. ცხრილი სახელმძღვანელო გამოთვლების შედეგებით, შესრულებული ფორმულებით (16), (17) და (11) xi არგუმენტის ყველა მნიშვნელობისთვის

ნახატზე ნაჩვენები ცხრილის ფორმირების დასრულების შემდეგ. 8, ფორმულებით (17) და (11) შესაძლებელია გამოვთვალოთ ინტერპოლირებული ფუნქციის მნიშვნელობა X არგუმენტის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის. მაგალითად, X=1-სთვის ჩვენ ვიანგარიშებთ მნიშვნელობებს li(1) (i= 0,1,2,3):

l0(1)=0.7763; l1(1)= 3.5889; l2(1)=-1.5155;l3(1)=0.2966.

li(1)-ის მნიშვნელობების შეჯამებით მივიღებთ მნიშვნელობას Yinterp(1)=3.1463.

1.4.2. ლაგრანგის ფორმულებით ინტერპოლაციის ალგორითმის დანერგვა Microsoft Excel პროგრამის გარემოში

ინტერპოლაციის ალგორითმის განხორციელება იწყება, როგორც ხელით გამოთვლებში, qi კოეფიციენტების გამოთვლის ფორმულების დაწერით. 9 აჩვენებს ცხრილის სვეტებს არგუმენტის მოცემული მნიშვნელობებით, ინტერპოლირებული ფუნქციით და qi კოეფიციენტებით. ამ ცხრილის მარჯვნივ არის ფორმულები, რომლებიც ჩაწერილია C სვეტის უჯრედებში qi კოეფიციენტების მნიშვნელობების გამოსათვლელად.

ВС2: "=B2/((A2-A3)*(A2-A4)*(A2-A5))" Æ q0

c3: "=B3/((A3-A4)*(A3-A5)*(A3-A2))" Æ q1

c4: "=B4/((A4-A5)*(A4-A2)*(A4-A3))" Æ q2

vС5: "=B5/((A5-A2)*(A5-A3)*(A5-A4))" Æ q3

ბრინჯი. 9 კოეფიციენტების ცხრილი qi და გამოთვლის ფორმულები

C2 უჯრედში q0 ფორმულის შეყვანის შემდეგ, ის უჯრედებში გაიყვანება C3-დან C5-მდე. ამის შემდეგ, ამ უჯრედების ფორმულები შესწორებულია (16) შესაბამისად, ნახ. ცხრა.

Ycalc (xi),

ფორმულების (17) განხორციელებისას ჩვენ ვწერთ ფორმულებს Li(x) (i=0,1,2,3) მნიშვნელობების გამოსათვლელად D, E, F და G სვეტების უჯრედებში. D2 უჯრედში მნიშვნელობის გამოსათვლელად l0(x0), ჩვენ ვწერთ ფორმულას:

=$C$2*($A2-$A$3)*($A2-$A$4)*($A2-$A$5),

ვიღებთ მნიშვნელობებს l0 (xi) (i=0,1,2,3).

$A2 ბმულის ფორმატი საშუალებას გაძლევთ გაჭიმოთ ფორმულა E, F, G სვეტების გასწვრივ, რათა ჩამოაყალიბოთ გამოთვლითი ფორმულები li(x0) (i=1,2,3) გამოსათვლელად. ფორმულის მწკრივზე გადათრევა არ ცვლის არგუმენტების სვეტის ინდექსს. l0(x0) ფორმულის შედგენის შემდეგ li(x0) (i=1,2,3) გამოსათვლელად აუცილებელია მათი გასწორება (17) ფორმულების მიხედვით.

H სვეტში ვდებთ Excel-ის ფორმულებს ფორმულის მიხედვით li(x)-ის შეჯამებისთვის

(11) ალგორითმი.

ნახ. 10 გვიჩვენებს ცხრილს, რომელიც განხორციელებულია Microsoft Excel პროგრამის გარემოში. ცხრილის უჯრედებში ჩაწერილი ფორმულების სისწორისა და შესრულებული გამოთვლითი ოპერაციების ნიშანია მიღებული დიაგონალური მატრიცა li(xj) (i=0,1,2,3),(j=0,1,2, 3), გაიმეორეთ ნახ. 8 და მნიშვნელობების სვეტი, რომელიც შეესაბამება ინტერპოლირებული ფუნქციის მნიშვნელობებს თავდაპირველი ცხრილის კვანძებში.

ბრინჯი. 10. მნიშვნელობების ცხრილი Li(xj) (j=0,1,2,3) და Ycalc(xj)

მნიშვნელობების გამოთვლა ზოგიერთ შუალედურ წერტილში, საკმარისია

A სვეტის უჯრედებში, დაწყებული A6 უჯრედიდან, შეიყვანეთ X არგუმენტის მნიშვნელობები, რომლისთვისაც გსურთ განსაზღვროთ ინტერპოლირებული ფუნქციის მნიშვნელობები. მონიშნეთ

უჯრედების ცხრილის ბოლო (მეხუთე) სტრიქონში l0(xn)-დან Ycalc(xn)-მდე და გადაანაწილეთ არჩეულ უჯრედებში ჩაწერილი ფორმულები ბოლოს შემცველ ხაზამდე.

x არგუმენტის მოცემული მნიშვნელობა.

ნახ. 11 აჩვენებს ცხრილს, რომელშიც ფუნქციის მნიშვნელობის გამოთვლა ხდება სამ წერტილში: x=1, x=2 და x=3. ცხრილში შევიდა დამატებითი სვეტი წყაროს მონაცემების ცხრილის მწკრივების ნომრებით.

ბრინჯი. 11. ინტერპოლირებული ფუნქციების მნიშვნელობების გამოთვლა ლაგრანგის ფორმულების გამოყენებით

ინტერპოლაციის შედეგების ჩვენების უფრო მეტი სიცხადისთვის, ჩვენ ავაშენებთ ცხრილს, რომელიც მოიცავს არგუმენტის X მნიშვნელობების სვეტს, დალაგებულია ზრდის მიხედვით, Y(X) ფუნქციის საწყისი მნიშვნელობების სვეტს და სვეტს.

მითხარი, როგორ გამოვიყენო ინტერპოლაციის ფორმულა და რომელი თერმოდინამიკის ამოცანების გადაჭრაში (სითბო ინჟინერია)

ივან შესტაკოვიჩი

უმარტივესი, მაგრამ ხშირად არასაკმარისად ზუსტი ინტერპოლაცია წრფივია. როდესაც უკვე გაქვთ ორი ცნობილი წერტილი (X1 Y1) და (X2 Y2) და უნდა იპოვოთ X-ის დღის Y მნიშვნელობები, რომელიც არის X1-სა და X2-ს შორის. მაშინ ფორმულა მარტივია.
Y \u003d (Y2-Y1) * (X-X1) / (X2-X1) + Y1
სხვათა შორის, ეს ფორმულა ასევე მუშაობს X მნიშვნელობებზე X1..X2 ინტერვალის მიღმა, მაგრამ ამას უკვე ეძახიან ექსტროპოლაციას და ამ ინტერვალიდან მნიშვნელოვან მანძილზე, ძალიან დიდ შეცდომას იძლევა.
ბევრი სხვა ხალიჩა არის. ინტერპოლაციის მეთოდები - გირჩევთ, წაიკითხოთ სახელმძღვანელო ან დაათვალიეროთ ინტერნეტით.
ასევე არ არის გამორიცხული გრაფიკული ინტერპოლაციის მეთოდი - ხელით დახაზეთ გრაფიკი ცნობილ წერტილებში და იპოვეთ გრაფიკიდან Y საჭირო X-სთვის. ;)

რომანი

თქვენ გაქვთ ორი მნიშვნელობა. და დაახლოებით დამოკიდებულება (წრფივი, კვადრატული, ..)
ამ ფუნქციის გრაფიკი გადის თქვენს ორ წერტილში. თქვენ გჭირდებათ მნიშვნელობა სადღაც შორის. აბა, გამოხატე!
Მაგალითად. ცხრილში, 22 გრადუს ტემპერატურაზე, გაჯერებული ორთქლის წნევა არის 120,000 Pa, ხოლო 26, 124,000 Pa. შემდეგ 23 გრადუს ტემპერატურაზე 121000 Pa.

ინტერპოლაცია (კოორდინატები)

რუკაზე არის კოორდინატთა ბადე (სურათი).
მას აქვს რამდენიმე ცნობილი საკონტროლო წერტილი (n>3), რომლებსაც აქვთ ორი x,y მნიშვნელობა - კოორდინატები პიქსელებში და კოორდინატები მეტრებში.
აუცილებელია კოორდინატების შუალედური მნიშვნელობების პოვნა მეტრებში, კოორდინატების ცოდნა პიქსელებში.
ხაზოვანი ინტერპოლაცია არ არის შესაფერისი - ძალიან ბევრი შეცდომა ხაზის გარეთ.
ასე: (Xc - კოორდინატი მეტრებში x-ით, Xp - კოორდინატი პიქსელებში x-ით, Xc3 - სასურველი მნიშვნელობა x-ით)
Xc3= (Xc1-Xc2)/(Xp1-Xp2)*(Xp3-Xp2)+Xc2
Yc3= (Yc1-Yc2)/(Yp1-Yp2)*(Yp3-Yp2)+Yc2

როგორ მოვძებნოთ იგივე ფორმულა Xc და Yc-ს საპოვნელად, მოცემული არა ორი (როგორც აქ), არამედ N ცნობილი საცნობარო წერტილი?

ჯოკა გვიმრა დაბლა

თუ ვიმსჯელებთ დაწერილი ფორმულებით, ემთხვევა თუ არა კოორდინატთა სისტემების ღერძები პიქსელებში და მეტრებში?
ანუ Xp -> Xc დამოუკიდებლად ინტერპოლირებულია და Yp -> Yc დამოუკიდებლად ინტერპოლირებული. თუ არა, მაშინ უნდა გამოიყენოთ ორგანზომილებიანი ინტერპოლაცია Xp,Yp->Xc და Xp,Yp->Yc, რაც გარკვეულწილად ართულებს დავალებას.
გარდა ამისა, ვარაუდობენ, რომ კოორდინატები Xp და Xc დაკავშირებულია გარკვეული დამოკიდებულებით.
თუ დამოკიდებულების ბუნება ცნობილია (ან ვივარაუდოთ, მაგალითად, ვივარაუდოთ, რომ Xc=a*Xp^2+b*Xp+c), მაშინ შესაძლებელია ამ დამოკიდებულების პარამეტრების მიღება (მოცემულისთვის დამოკიდებულება a, b, c) რეგრესიული ანალიზის გამოყენებით (მეთოდის უმცირესი კვადრატები). ამ მეთოდით, თუ თქვენ მიუთითებთ გარკვეულ დამოკიდებულებას Xc(Xp), შეგიძლიათ მიიღოთ ფორმულა საცნობარო მონაცემებზე დამოკიდებულების პარამეტრებისთვის. ეს მეთოდი საშუალებას იძლევა, კერძოდ, იპოვოთ წრფივი ურთიერთობა, რომელიც საუკეთესოდ შეეფერება მოცემულ მონაცემთა ნაკრების.
მინუსი: ამ მეთოდით Xc საკონტროლო წერტილების მონაცემებიდან მიღებული Xc კოორდინატები შეიძლება განსხვავდებოდეს მოცემულისაგან. მაგალითად, ექსპერიმენტულ წერტილებში დახატული მიახლოებითი სწორი ხაზი არ გადის ზუსტად ამ წერტილებში.
თუ საჭიროა ზუსტი დამთხვევა და დამოკიდებულების ბუნება უცნობია, უნდა იქნას გამოყენებული ინტერპოლაციის მეთოდები. მათემატიკურად უმარტივესი არის ლაგრანგის ინტერპოლაციის პოლინომი, რომელიც ზუსტად გადის საცნობარო წერტილებს. თუმცა, ამ პოლინომის მაღალი ხარისხის გამო საკონტროლო წერტილების დიდი რაოდენობით და ინტერპოლაციის ცუდი ხარისხის გამო, უმჯობესია არ გამოიყენოთ იგი. უპირატესობა შედარებით მარტივი ფორმულაა.
უმჯობესია გამოიყენოთ სპლაინ ინტერპოლაცია. ამ მეთოდის არსი მდგომარეობს იმაში, რომ თითოეულ მონაკვეთში ორ მეზობელ წერტილს შორის შესწავლილი დამოკიდებულება ინტერპოლირებულია მრავალწევრით, ხოლო სიგლუვის პირობები იწერება ორი ინტერვალის შეერთების წერტილებში. ამ მეთოდის უპირატესობა არის ინტერპოლაციის ხარისხი. ნაკლოვანებები - ზოგადი ფორმულის გამოყვანა თითქმის შეუძლებელია, თითოეულ მონაკვეთში პოლინომის კოეფიციენტები ალგორითმულად უნდა მოძებნოთ. კიდევ ერთი მინუსი არის 2D ინტერპოლაციაზე განზოგადების სირთულე.

ინტერპოლაცია არის მიახლოების ტიპი, რომლის დროსაც აგებული ფუნქციის მრუდი გადის ზუსტად არსებულ მონაცემთა წერტილებში.

ასევე უნდა აღვნიშნოთ მათემატიკური ინტერპოლაციის სრულიად განსხვავებული სახეობა, რომელიც ცნობილია როგორც „ოპერატორის ინტერპოლაცია“. ოპერატორის ინტერპოლაციის კლასიკურ ნაშრომებს მიეკუთვნება რიეს-თორინის თეორემა და მარკინკევიჩის თეორემა, რომლებიც მრავალი სხვა ნაშრომის საფუძველია.

განმარტებები

განვიხილოთ არადამთხვევა წერტილების სისტემა () ზოგიერთი ტერიტორიიდან. დაე, ფუნქციის მნიშვნელობები იყოს ცნობილი მხოლოდ ამ წერტილებში:

ინტერპოლაციის პრობლემა არის ფუნქციების მოცემული კლასიდან ისეთი ფუნქციის პოვნა, რომელიც

მაგალითი

1. დავუშვათ, რომ გვაქვს ცხრილის ფუნქცია, როგორიცაა ქვემოთ აღწერილი, რომელიც რამდენიმე მნიშვნელობისთვის განსაზღვრავს შესაბამის მნიშვნელობებს:


0	0
1	0,8415
2	0,9093
3	0,1411
4	−0,7568
5	−0,9589
6	−0,2794

ინტერპოლაცია გვეხმარება იმის გარკვევაში, თუ რა მნიშვნელობა შეიძლება ჰქონდეს ასეთ ფუნქციას მითითებულის გარდა სხვა წერტილში (მაგალითად, როდესაც x = 2,5).

2. იპოვეთ შუალედური მნიშვნელობა (წრფივი ინტერპოლაციის გზით).

6000	15.5
6378	?
8000	19.2