გაკვეთილი შეიძლება დაიწყოს მასწავლებლის მოთხრობით.

ვაშჩენკო ნ.მ., გაკვეთილზე

ძველ საბერძნეთში ყველა ორატორს ასწავლიდნენ გეომეტრიას. სკოლის კარზე ეწერა: „ვინც გეომეტრია არ იცის, აქ არ შევიდეს“. რატომ? დიახ, რადგან გეომეტრია ასწავლის მტკიცებას. ადამიანის მეტყველება მხოლოდ მაშინაა დამაჯერებელი, როცა ის თავის დასკვნებს ამტკიცებს. მსჯელობისას ადამიანები ხშირად იყენებენ მტკიცების მეთოდს, რომელსაც „წინააღმდეგობით“ უწოდებენ.

მოდით მოვიყვანოთ ასეთი მტკიცებულებების მაგალითები.

მაგალითი 1სკაუტებს მიეცათ დავალება გაერკვიათ, იყო თუ არა მოცემულ სოფელში მტრის სატანკო კოლონა. დაზვერვის მეთაური იუწყება: სოფელში ტანკის კოლონა რომ ყოფილიყო, ქიაყელების კვალი დარჩებოდა, მაგრამ ვერ ვიპოვეთ.

მსჯელობის სქემა. საჭიროა დაამტკიცოს: არ არსებობს სვეტი. დავუშვათ, არის სვეტი. მაშინ კვალი უნდა იყოს. წინააღმდეგობა - კვალი არ არის. დასკვნა: ვარაუდი არასწორია, რაც ნიშნავს, რომ არ არსებობს სატანკო სვეტი.

მაგალითი 2ექიმი ავადმყოფი ბავშვის გასინჯვის შემდეგ ამბობს:

„ბავშვს წითელა არ აქვს. წითელა რომ ჰქონოდა, მაშინ სხეულზე გამონაყარი იქნებოდა, მაგრამ გამონაყარი არ არის“.

ექიმის მსჯელობაც ზემოაღნიშნული სქემით განხორციელდა.

დაისმება კითხვა: „რაში მდგომარეობს წინააღმდეგობით დამტკიცების მეთოდის არსი?“ - და განთავსებულია ცხრილი (ცხრილი 5).

წინააღმდეგობებით შესაძლებელია ადრე ცნობილი პრობლემების გადაჭრა.

1. მოცემული: a||b, წრფეები c და a იკვეთება. დაამტკიცე: c და b წრფეები იკვეთება.

მტკიცებულება.

1) დავუშვათ, რომ b||c.

2) შემდეგ გამოდის, რომ ორი განსხვავებული წრფე a და b გადის O წერტილში (a და c წრფეების გადაკვეთის წერტილი), რომლებიც ბ წრფის პარალელურია.

3) ეს ეწინააღმდეგება პარალელური წრფეების აქსიომას.

დასკვნა: ეს ნიშნავს, რომ ჩვენი ვარაუდი მცდარია, მაგრამ ის, რაც საჭირო იყო დასამტკიცებლად, მართალია, ანუ წრფეები bis იკვეთება.

2. მოცემული: A, B, C - წრფის წერტილები a, AB = 5 სმ, AC = 2 სმ, BC = 7 სმ. დაამტკიცე:

მტკიცებულება.

1) დავუშვათ, C წერტილი მდებარეობს A და B წერტილებს შორის.

2) შემდეგ სეგმენტების გაზომვის აქსიომის მიხედვით AB = AC + CBA

3) ეს ეწინააღმდეგება პირობას: AB \u003d AC + CB, ვინაიდან AB \u003d 5 სმ, AC + C5 \u003d 9 სმ.

დასკვნა:წერტილი C არ არის A და B წერტილებს შორის.

3. მოცემული: AB - ნახევარხაზი, C AB, AC< АВ. დაამტკიცე:

მტკიცებულება.

1) დავუშვათ, B წერტილი მდებარეობს A და C წერტილებს შორის.

2) შემდეგ, AB + BC = AC სეგმენტების გაზომვის აქსიომის მიხედვით, ანუ AB.

3) ეს ეწინააღმდეგება პრობლემის პირობას: AS<АВ.

დასკვნა: B წერტილი არ არის A და C წერტილებს შორის.

პრობლემის გადაჭრა იწერება რვეულებში. იმისათვის, რომ სტუდენტებმა გაიგონ წინააღმდეგობებით დამტკიცების მეთოდის არსი, ასევე იმისთვის, რომ დაზოგოთ დრო პრობლემების გადაჭრისას, შეგიძლიათ გამოიყენოთ მინიშნებული ბარათები, რომლებიც დამზადებულია სქელი ქაღალდისგან და ჩასმულია პლასტმასის ჩანთებში. მოსწავლემ უნდა შეავსოს გამოტოვებული ადგილები პლასტმასის სახვევზე. ფირზე ჩანაწერები ადვილად იშლება და, შესაბამისად, ბარათების არაერთხელ გამოყენება შესაძლებელია.

ბარათი ასე გამოიყურება:

დავუშვათ იმის საპირისპირო, რაც დასამტკიცებელია, ე.ი.

ეს გამომდინარეობს იმ დაშვებიდან, რომ (დაფუძნებული ……

ჩვენ ვიღებთ წინააღმდეგობას.

ეს ნიშნავს, რომ ჩვენი ვარაუდი მცდარია, მაგრამ ის, რაც საჭირო იყო დასამტკიცებლად, მართალია, ე.ი.

Საშინაო დავალება:

n "დამტკიცება წინააღმდეგობით" § 2 სიტყვებზე: "მოდით ავხსნათ ეს ...".

1. დაამტკიცეთ, რომ თუ MN = 8 m, MK = 5 m, NK- 10 m, მაშინ M, N და K წერტილები არ დევს ერთ სწორ ხაზზე.

2. დაამტკიცეთ, რომ თუ<(ab) = 100°, <(be) - 120°, то луч с не проходит между сторонами угла (ab).

3. დაამტკიცეთ თეორემა 1.1 წინააღმდეგობით.

ხშირად თეორემების დადასტურებისას გამოიყენება მტკიცების მეთოდი. პირიქით. ამ მეთოდის არსი ხელს უწყობს გამოცანის გაგებას. სცადეთ მისი ამოხსნა.

წარმოიდგინეთ ქვეყანა, სადაც სიკვდილით დასჯილს სთხოვენ აირჩიონ ორი იდენტური გარეგნობის ქაღალდიდან ერთი: ერთში ნათქვამია „სიკვდილი“, მეორეში ნათქვამია „სიცოცხლე“. მტრებმა ცილი დასდეს ამ ქვეყნის ერთ მკვიდრს. და ისე, რომ მას გაქცევის შანსი არ ჰქონოდა, გააკეთეს ისე, რომ ორივე ფურცლის უკანა მხარეს, საიდანაც უნდა აირჩიოს ერთი, ეწერა "სიკვდილი". ამის შესახებ მეგობრებმა შეიტყვეს და მსჯავრდებულს შეატყობინეს. მან სთხოვა არავისთვის ეთქვა ამის შესახებ. ამოაძვრინა ერთი ფურცელი. და დარჩა საცხოვრებლად. როგორ გააკეთა მან ეს?

უპასუხე. მსჯავრდებულმა არჩეული ფურცელი გადაყლაპა. იმის დასადგენად, თუ რომელი ლოტი დაეცა მას, მოსამართლეებმა დაათვალიერეს დარჩენილი ფურცელი. მასზე ეწერა: "სიკვდილი". ამან დაადასტურა, რომ მას გაუმართლა, ამოიღო ფურცელი, რომელზეც ეწერა: „სიცოცხლე“.

როგორც იმ შემთხვევაში, რაზეც თავსატეხი მოგვითხრობს, მტკიცების დროს შესაძლებელია მხოლოდ ორი შემთხვევა: შესაძლებელია... ან შეუძლებელია... თუ შესაძლებელია დარწმუნდეთ, რომ პირველი შეუძლებელია (ქაღალდის ფურცელზე). რომ მსაჯებმა მიიღეს, წერია: „სიკვდილი“), მაშინვე შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ მეორე შესაძლებლობა მოქმედებს (მეორე ფურცელზე წერია: „სიცოცხლე“).

წინააღმდეგობებით მტკიცება ხორციელდება შემდეგნაირად.

1) დაადგინეთ რა ვარიანტებია პრინციპში შესაძლებელი პრობლემის გადაჭრისას ან თეორემის დამტკიცებისას. შეიძლება იყოს ორი ვარიანტი (მაგალითად, განხილული ხაზები პერპენდიკულარულია თუ არა); შეიძლება იყოს სამი ან მეტი პასუხის ვარიანტი (მაგალითად, რა კუთხეა მიღებული: მწვავე, სწორი ან ბლაგვი).

2) დაამტკიცეთ. რომ არცერთი ვარიანტი, რომელზეც ჩვენ უნდა უარვყოთ, არ შეიძლება შესრულდეს. (მაგალითად, თუ საჭიროა ხაზების პერპენდიკულარულის დამტკიცება, ვუყურებთ რა ხდება, თუ განვიხილავთ არაპერპენდიკულარულ ხაზებს. როგორც წესი, შესაძლებელია დადგინდეს, რომ ამ შემთხვევაში რომელიმე დასკვნა ეწინააღმდეგება მოცემულს. მდგომარეობაში და ამიტომ შეუძლებელია.

3) იქიდან გამომდინარე, რომ ყველა არასასურველი დასკვნა უგულვებელყოფილია და მხოლოდ ერთი (სასურველი) რჩება გაუთვალისწინებელი, ჩვენ ვასკვნით, რომ ის არის სწორი.

მოდით გადავჭრათ პრობლემა მტკიცებულების წინააღმდეგობის გამოყენებით.

მოცემულია: a და b წრფეები ისეთი, რომ ნებისმიერი წრფე, რომელიც კვეთს a-ს, ასევე კვეთს b.

მტკიცების მეთოდის გამოყენებით „წინააღმდეგობით“ დაამტკიცეთ, რომ a ll b.

მტკიცებულება.

შესაძლებელია მხოლოდ ორი შემთხვევა:

1) a და b წრფეები პარალელურია (სიცოცხლე);

2) a და b წრფეები არ არის პარალელური (სიკვდილი).

თუ შესაძლებელია არასასურველი შემთხვევის გამორიცხვა, მაშინ რჩება დასკვნა, რომ ორი შესაძლო შემთხვევიდან მეორე ხდება. არასასურველი შემთხვევის გასაუქმებლად, მოდით ვიფიქროთ იმაზე, თუ რა მოხდება, თუ a და b წრფეები იკვეთება:

დაშვებით, ნებისმიერი ხაზი, რომელიც კვეთს a-ს, ასევე კვეთს b. ამიტომ, თუ შესაძლებელი იქნება მინიმუმ ერთი წრფის პოვნა, რომელიც კვეთს a-ს, მაგრამ არ კვეთს b-ს, ეს შემთხვევა უნდა გაუქმდეს. შეგიძლიათ იპოვოთ იმდენი წრფე, რამდენიც გსურთ: საკმარისია A წრფის ნებისმიერი K წერტილის გავლება, გარდა M წერტილისა, წრფე KS b-ის პარალელურად:

ვინაიდან ორი შესაძლო შემთხვევიდან ერთი გაუქმებულია, დაუყოვნებლივ შეიძლება დავასკვნათრა იქნება ბ.

გაქვთ რაიმე შეკითხვები? არ იცით როგორ დაამტკიცოთ თეორემა?
დამრიგებლისგან დახმარების მისაღებად -.
პირველი გაკვეთილი უფასოა!

blog.site, მასალის სრული ან ნაწილობრივი კოპირებით, საჭიროა წყაროს ბმული.

მტკიცებულება „საპირისპიროსაგან“ (ლათინურად „reductio ad absurdum“) ხასიათდება იმით, რომ თვით აზრის დამტკიცების პროცესი საპირისპირო განსჯის უარყოფით ხორციელდება. ანტითეზისი შეიძლება დადასტურდეს მცდარი იმ ფაქტის დადგენით, რომ იგი შეუთავსებელია ჭეშმარიტ წინადადებასთან.

ჩვეულებრივ, ასეთი მეთოდი ვიზუალურად არის ნაჩვენები ფორმულის გამოყენებით, სადაც A არის ანტითეზა, ხოლო B არის სიმართლე. თუ ამონახსნი აღმოჩნდება, რომ A ცვლადის არსებობა იწვევს B-სგან განსხვავებულ შედეგებს, მაშინ A მცდარია.

მტკიცება „წინააღმდეგობით“ სიმართლის გამოყენების გარეშე

არსებობს „საპირისპიროს“ სიყალბის უფრო მარტივი მტკიცებაც – ანტითეზისი. ასეთი ფორმულა-წესი ამბობს: „თუ ფორმულაში წარმოიშვა წინააღმდეგობა A ცვლადით ამოხსნისას, A მცდარია“. არ აქვს მნიშვნელობა ანტითეზა უარყოფითია თუ დადებითი. გარდა ამისა, წინააღმდეგობით დამტკიცების უფრო მარტივი გზა შეიცავს მხოლოდ ორ ფაქტს: თეზისი და ანტითეზა, სიმართლე B არ გამოიყენება. ეს მნიშვნელოვნად ამარტივებს მტკიცებულების პროცესს.

აპაგოგი

წინააღმდეგობებით მტკიცების პროცესში (რასაც ასევე უწოდებენ „აბსურდულობამდე შემცირებას“) ხშირად გამოიყენება აპაგოგია. ეს არის ლოგიკური ტექნიკა, რომლის მიზანია დაამტკიცოს ნებისმიერი განსჯის უსწორობა, რათა გამოიკვეთოს წინააღმდეგობა პირდაპირ მასში ან მისგან წარმოშობილ შედეგებში. წინააღმდეგობა შეიძლება გამოიხატოს აშკარად განსხვავებული საგნების იდენტურობაში ან დასკვნის სახით: კავშირი ან წყვილი B და არა B (ჭეშმარიტი და არა ჭეშმარიტი).

ხშირად გამოიყენება მტკიცებულებების მიღება „წინააღმდეგობით“. ხშირ შემთხვევაში სხვაგვარად შეუძლებელია გადაწყვეტილების არასწორად დამტკიცება. აპაგოგიის გარდა, არსებობს აგრეთვე წინააღმდეგობრივი მტკიცების პარადოქსული ფორმა. ეს ფორმა გამოიყენებოდა ევკლიდეს „ელემენტებში“ და წარმოადგენს შემდეგ წესს: A ითვლება დადასტურებულად, თუ შესაძლებელია A-ს „ჭეშმარიტი სიცრუის“ დემონსტრირება.

ამრიგად, მტკიცებულების პროცესი წინააღმდეგობით (მას ასევე უწოდებენ არაპირდაპირ და აპოგოგიურ მტკიცებულებებს) შემდეგია. საპირისპირო მოსაზრება არის წამოჭრილი, ამ ანტითეზისიდან გამოდის შედეგები, რომელთა შორისაც ცრუ მოიძებნება. ისინი პოულობენ მტკიცებულებებს, რომ შედეგებს შორის მართლაც არის ყალბი. აქედან გამოდის დასკვნა, რომ ანტითეზა მცდარია და რადგან ანტითეზა არასწორია, ლოგიკური დასკვნა გამომდინარეობს, რომ თეზისი შეიცავს სიმართლეს.

მათემატიკური ტერმინების განმარტებითი ლექსიკონი განსაზღვრავს მტკიცებულებას შებრუნებული თეორემის საპირისპირო თეორემის წინააღმდეგობით. „დაპირისპირებით მტკიცება არის თეორემის (წინადადების) დადასტურების მეთოდი, რომელიც შედგება არა თავად თეორემის, არამედ მისი ეკვივალენტის (ექვივალენტის), საპირისპირო შებრუნებული (საპირისპირო) თეორემის დამტკიცებაში. წინააღმდეგობრივი მტკიცება გამოიყენება მაშინ, როდესაც პირდაპირი თეორემა ძნელი დასამტკიცებელია, მაგრამ საპირისპირო ინვერსია უფრო ადვილია. წინააღმდეგობით მტკიცებისას თეორემის დასკვნა იცვლება მისი უარყოფით და მსჯელობით მიდის პირობის უარყოფამდე, ე.ი. წინააღმდეგობამდე, საპირისპიროდ (მოცემულის საპირისპირო; ეს აბსურდულობამდე დაყვანა ამტკიცებს თეორემას.

წინააღმდეგობრივი მტკიცებულება ძალიან ხშირად გამოიყენება მათემატიკაში. წინააღმდეგობრივი მტკიცებულება ეფუძნება გამორიცხული შუალედურის კანონს, რომელიც მდგომარეობს იმაში, რომ ორი დებულებიდან (განცხადებები) A და A (A-ს უარყოფა) ერთი ჭეშმარიტია, მეორე კი მცდარი./ მათემატიკური ტერმინების განმარტებითი ლექსიკონი: სახელმძღვანელო მასწავლებლებისთვის / ო. ვ. მანტუროვი [და სხვები]; რედ. ვ.ა.დიტკინა.- მ.: განმანათლებლობა, 1965.- 539გვ.: ill.-C.112/.

არ ჯობია ღიად განვაცხადოთ, რომ წინააღმდეგობით მტკიცების მეთოდი მათემატიკური მეთოდი არ არის, თუმცა მათემატიკაში გამოიყენება, რომ ის ლოგიკური მეთოდია და ეკუთვნის ლოგიკას. მართებულია თუ არა იმის თქმა, რომ წინააღმდეგობრივი მტკიცებულება „გამოიყენება მაშინ, როცა პირდაპირი თეორემა ძნელი დასამტკიცებელია“, მაშინ როცა სინამდვილეში ის გამოიყენება, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ მისი შემცვლელი არ არსებობს.

ასევე განსაკუთრებულ ყურადღებას იმსახურებს პირდაპირი და შებრუნებული თეორემების ურთიერთობის მახასიათებელი. „შებრუნებული თეორემა მოცემული თეორემისთვის (ან მოცემული თეორემისთვის) არის თეორემა, რომელშიც პირობა არის დასკვნა და დასკვნა არის მოცემული თეორემის პირობა. ამ თეორემას საპირისპირო თეორემასთან მიმართებაში პირდაპირი თეორემა (საწყისი) ეწოდება. ამავე დროს, საპირისპირო თეორემა იქნება მოცემული თეორემა; ამიტომ პირდაპირ და ინვერსიულ თეორემებს ურთიერთშებრუნებული ეწოდება. თუ პირდაპირი (მოცემული) თეორემა ჭეშმარიტია, მაშინ საპირისპირო თეორემა ყოველთვის არ არის ჭეშმარიტი. მაგალითად, თუ ოთხკუთხედი არის რომბი, მაშინ მისი დიაგონალები ორმხრივი პერპენდიკულურია (პირდაპირი თეორემა). თუ ოთხკუთხედში დიაგონალები ერთმანეთის პერპენდიკულარულია, მაშინ ოთხკუთხედი არის რომბი - ეს არ არის ჭეშმარიტი, ანუ საპირისპირო თეორემა არ არის ჭეშმარიტი./ მათემატიკური ტერმინების განმარტებითი ლექსიკონი: სახელმძღვანელო მასწავლებლებისთვის / ო. ვ. მანტუროვი [და სხვები]; რედ. ვ.ა.დიტკინა.- მ.: განმანათლებლობა, 1965.- 539 გვ.: ill.-C.261 /.

პირდაპირი და ინვერსიული თეორემების ურთიერთკავშირის ეს დახასიათება არ ითვალისწინებს იმ ფაქტს, რომ პირდაპირი თეორემის პირობა მიღებულია როგორც მოცემული, მტკიცებულების გარეშე, ისე რომ მისი სისწორე არ არის გარანტირებული. შებრუნებული თეორემის პირობა არ არის მიღებული როგორც მოცემული, რადგან ეს არის დადასტურებული პირდაპირი თეორემის დასკვნა. მის სისწორეს პირდაპირი თეორემის მტკიცებულება ადასტურებს. ეს არსებითი ლოგიკური განსხვავება პირდაპირი და შებრუნებული თეორემების პირობებს შორის გადამწყვეტი აღმოჩნდება იმ საკითხში, თუ რომელი თეორემები შეიძლება და რომელი არ შეიძლება დადასტურდეს ლოგიკური მეთოდით პირიქით.

დავუშვათ, რომ მხედველობაში არის პირდაპირი თეორემა, რომლის დამტკიცებაც ჩვეულებრივი მათემატიკური მეთოდით არის შესაძლებელი, მაგრამ რთულია. ჩვენ ვაყალიბებთ მას ზოგადი ფორმით მოკლე ფორმით შემდეგნაირად: საწყისი მაგრამუნდა ე . სიმბოლო მაგრამ აქვს თეორემის მოცემული პირობის მნიშვნელობა, მიღებული მტკიცების გარეშე. სიმბოლო ე არის დასამტკიცებელი თეორემის დასკვნა.

ჩვენ დავამტკიცებთ პირდაპირ თეორემას წინააღმდეგობით, ლოგიკურიმეთოდი. ლოგიკური მეთოდი ადასტურებს თეორემას, რომელსაც აქვს არა მათემატიკურიმდგომარეობა და ლოგიკურიმდგომარეობა. მისი მიღება შესაძლებელია თუ თეორემის მათემატიკური პირობა საწყისი მაგრამუნდა ე , დამატება საპირისპირო პირობით საწყისი მაგრამარ გააკეთო ეს ე .

შედეგად, მიღებული იქნა ახალი თეორემის ლოგიკური წინააღმდეგობრივი პირობა, რომელიც მოიცავს ორ ნაწილს: საწყისი მაგრამუნდა ე და საწყისი მაგრამარ გააკეთო ეს ე . ახალი თეორემის შედეგად მიღებული პირობა შეესაბამება გამორიცხული შუალედურის ლოგიკურ კანონს და შეესაბამება თეორემის წინააღმდეგობით დამტკიცებას.

კანონის მიხედვით, ურთიერთგამომრიცხავი პირობის ერთი ნაწილი მცდარია, მეორე ნაწილი მართალია, მესამე კი გამორიცხულია. წინააღმდეგობით მტკიცებას აქვს თავისი ამოცანა და მიზანი, ზუსტად დაადგინოს თეორემის პირობის ორი ნაწილის რომელი ნაწილია მცდარი. როგორც კი პირობის მცდარი ნაწილი დადგინდება, დადგინდება, რომ მეორე ნაწილი ჭეშმარიტი ნაწილია, მესამე კი გამორიცხულია.

მათემატიკური ტერმინების განმარტებითი ლექსიკონის მიხედვით, „მტკიცებულება არის მსჯელობა, რომლის დროსაც დგინდება ნებისმიერი დებულების (განსჯა, განცხადება, თეორემა) ჭეშმარიტება ან სიცრუე“. მტკიცებულება პირიქითმიმდინარეობს დისკუსია, რომლის მსვლელობისას დგინდება სიყალბე(აბსურდულობა) დასკვნის, რომელიც გამომდინარეობს ყალბიდადასტურებული თეორემის პირობები.

მოცემული: საწყისი მაგრამუნდა ედა დან მაგრამარ გააკეთო ეს ე .

დაამტკიცე: საწყისი მაგრამუნდა ე .

მტკიცებულება: თეორემის ლოგიკური პირობა შეიცავს წინააღმდეგობას, რომელიც მოითხოვს მის გადაწყვეტას. პირობის წინააღმდეგობამ თავისი გადაწყვეტა უნდა ნახოს მტკიცებულებაში და მის შედეგში. შედეგი მცდარი აღმოჩნდება, თუ მსჯელობა უნაკლო და უტყუარია. ლოგიკურად სწორი მსჯელობით მცდარი დასკვნის მიზეზი შეიძლება იყოს მხოლოდ ურთიერთგამომრიცხავი პირობა: საწყისი მაგრამუნდა ე და საწყისი მაგრამარ გააკეთო ეს ე .

ეჭვს არ იწვევს, რომ პირობის ერთი ნაწილი მცდარია, მეორე კი ამ შემთხვევაში მართალია. პირობის ორივე ნაწილს აქვს ერთი და იგივე წარმოშობა, მიღებულია როგორც მოცემული, ვარაუდი, თანაბრად შესაძლებელია, თანაბრად დასაშვები და ა.შ. ლოგიკური მსჯელობის დროს არ იქნა ნაპოვნი არც ერთი ლოგიკური თვისება, რომელიც განასხვავებს პირობის ერთ ნაწილს. სხვა. ამიტომ, იმავე ზომით, საწყისი მაგრამუნდა ე და შესაძლოა საწყისი მაგრამარ გააკეთო ეს ე . განცხადება საწყისი მაგრამუნდა ე შესაძლოა ყალბი, შემდეგ განცხადება საწყისი მაგრამარ გააკეთო ეს ე მართალი იქნება. განცხადება საწყისი მაგრამარ გააკეთო ეს ე შეიძლება მცდარი იყოს, მაშინ განცხადება საწყისი მაგრამუნდა ე მართალი იქნება.

აქედან გამომდინარე, შეუძლებელია პირდაპირი თეორემის დამტკიცება წინააღმდეგობრივი მეთოდით.

ახლა ჩვენ დავამტკიცებთ იმავე პირდაპირ თეორემას ჩვეულებრივი მათემატიკური მეთოდით.

მოცემული: მაგრამ .

დაამტკიცე: საწყისი მაგრამუნდა ე .

მტკიცებულება.

1. დან მაგრამუნდა ბ

2. დან ბუნდა AT (ადრე დადასტურებული თეორემის მიხედვით)).

3. დან ATუნდა გ (ადრე დადასტურებული თეორემის მიხედვით).

4. დან გუნდა დ (ადრე დადასტურებული თეორემის მიხედვით).

5. დან დუნდა ე (ადრე დადასტურებული თეორემის მიხედვით).

გარდამავალ კანონზე დაყრდნობით, საწყისი მაგრამუნდა ე . პირდაპირი თეორემა მტკიცდება ჩვეულებრივი მეთოდით.

დაე, დადასტურებულ პირდაპირ თეორემას ჰქონდეს სწორი საპირისპირო თეორემა: საწყისი ეუნდა მაგრამ .

მოდით დავამტკიცოთ ეს ჩვეულებრივი მათემატიკურიმეთოდი. შებრუნებული თეორემის მტკიცებულება შეიძლება გამოიხატოს სიმბოლური ფორმით, როგორც მათემატიკური მოქმედებების ალგორითმი.

მოცემული: ე

დაამტკიცე: საწყისი ეუნდა მაგრამ .

მტკიცებულება.

!. დან ეუნდა დ

1. დან დუნდა გ (ადრე დადასტურებული შებრუნებული თეორემით).

2. დან გუნდა AT (ადრე დადასტურებული შებრუნებული თეორემით).

3. დან ATარ გააკეთო ეს ბ (საპირისპირო არ შეესაბამება სიმართლეს). Ამიტომაც საწყისი ბარ გააკეთო ეს მაგრამ .

ამ სიტუაციაში აზრი არ აქვს შებრუნებული თეორემის მათემატიკური დამტკიცების გაგრძელებას. სიტუაციის მიზეზი ლოგიკურია. არასწორი შებრუნებული თეორემის რაიმეთი ჩანაცვლება შეუძლებელია. მაშასადამე, ეს შებრუნებული თეორემა ვერ დადასტურდება ჩვეულებრივი მათემატიკური მეთოდით. მთელი იმედი არის ამ შებრუნებული თეორემის დამტკიცება წინააღმდეგობით.

წინააღმდეგობებით დასამტკიცებლად საჭიროა მისი მათემატიკური მდგომარეობის შეცვლა ლოგიკური წინააღმდეგობრივი პირობით, რომელიც თავისი მნიშვნელობით შეიცავს ორ ნაწილს - მცდარი და ჭეშმარიტი.

შებრუნებული თეორემაპრეტენზიები: საწყისი ეარ გააკეთო ეს მაგრამ . მისი მდგომარეობა ე , საიდანაც გამომდინარეობს დასკვნა მაგრამ , არის პირდაპირი თეორემის ჩვეულებრივი მათემატიკური მეთოდით დამტკიცების შედეგი. ეს პირობა უნდა შენარჩუნდეს და დაერთოს განცხადება საწყისი ეუნდა მაგრამ . მიმატების შედეგად მიიღება ახალი შებრუნებული თეორემის წინააღმდეგობრივი პირობა: საწყისი ეუნდა მაგრამ და საწყისი ეარ გააკეთო ეს მაგრამ . ამის საფუძველზე ლოგიკურადწინააღმდეგობრივი პირობით, საპირისპირო თეორემა შეიძლება დადასტურდეს სწორი ლოგიკურიმსჯელობა მხოლოდ და მხოლოდ, ლოგიკურისაპირისპირო მეთოდი. წინააღმდეგობრივი მტკიცებულებისას, ნებისმიერი მათემატიკური მოქმედება და მოქმედებები ექვემდებარება ლოგიკურს და, შესაბამისად, არ ითვლება.

წინააღმდეგობრივი განცხადების პირველ ნაწილში საწყისი ეუნდა მაგრამ მდგომარეობა ე დადასტურდა პირდაპირი თეორემის დადასტურებით. მეორე ნაწილში საწყისი ეარ გააკეთო ეს მაგრამ მდგომარეობა ე იყო ვარაუდი და მიღებული მტკიცებულების გარეშე. ერთი მათგანი მცდარია, მეორე კი მართალია. საჭიროა იმის მტკიცება, რომელი მათგანია მცდარი.

ჩვენ ვამტკიცებთ სისწორეს ლოგიკურიმსჯელობა და აღმოაჩენს, რომ მისი შედეგი არის მცდარი, აბსურდული დასკვნა. მცდარი ლოგიკური დასკვნის მიზეზი არის თეორემის წინააღმდეგობრივი ლოგიკური პირობა, რომელიც შეიცავს ორ ნაწილს - მცდარი და ჭეშმარიტი. ყალბი ნაწილი შეიძლება იყოს მხოლოდ განცხადება საწყისი ეარ გააკეთო ეს მაგრამ , სადაც ე მიღებულია მტკიცებულების გარეშე. ეს არის ის, რაც განასხვავებს მას ე განცხადებები საწყისი ეუნდა მაგრამ , რაც დასტურდება პირდაპირი თეორემის დადასტურებით.

მაშასადამე, განცხადება მართალია: საწყისი ეუნდა მაგრამ , რაც დასამტკიცებელი იყო.

დასკვნა: საპირისპიროდან მხოლოდ ის საპირისპირო თეორემა არის დადასტურებული ლოგიკური მეთოდით, რომელსაც აქვს მათემატიკური მეთოდით დადასტურებული პირდაპირი თეორემა და რომელიც მათემატიკური მეთოდით ვერ დადასტურდება.

მიღებული დასკვნა განსაკუთრებულ მნიშვნელობას იძენს ფერმას დიდი თეორემის წინააღმდეგობრივი მტკიცების მეთოდთან მიმართებაში. მისი დამტკიცების მცდელობების აბსოლუტური უმრავლესობა ეფუძნება არა ჩვეულებრივ მათემატიკურ მეთოდს, არამედ წინააღმდეგობებით დამტკიცების ლოგიკურ მეთოდს. გამონაკლისი არ არის ფერმატ უილზის დიდი თეორემის დადასტურება.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, გერჰარდ ფრეიმ ვარაუდობს, რომ ფერმას ბოლო თეორემის განტოლება x n + y n = z n , სად n > 2 , აქვს ამონახსნები დადებით მთელ რიცხვებში. იგივე ამონახსნები, ფრეის ვარაუდით, მისი განტოლების ამონახსნებია
y 2 + x (x - a n) (y + b n) = 0 , რომელიც მოცემულია მისი ელიფსური მრუდით.

ენდრიუ უილსმა მიიღო ფრეის ეს შესანიშნავი აღმოჩენა და მისი დახმარებით მათემატიკურიმეთოდმა დაამტკიცა, რომ ეს აღმოჩენა, ანუ ფრეის ელიფსური მრუდი, არ არსებობს. მაშასადამე, არ არსებობს განტოლება და მისი ამონახსნები, რომლებიც მოცემულია არარსებული ელიფსური მრუდით, ამიტომ უილსს უნდა დაესკვნა, რომ არ არსებობს ფერმას ბოლო თეორემისა და თავად ფერმას თეორემის განტოლება. თუმცა, ის იღებს უფრო მოკრძალებულ დასკვნას, რომ ფერმას ბოლო თეორემის განტოლებას არ აქვს ამონახსნები დადებით მთელ რიცხვებში.

შეიძლება უდაო ფაქტი იყოს, რომ უილსმა მიიღო ვარაუდი, რომელიც პირდაპირ საპირისპიროა იმ მნიშვნელობით, რაც ნათქვამია ფერმას ბოლო თეორემაში. იგი ავალდებულებს უილსს დაამტკიცოს ფერმას ბოლო თეორემა წინააღმდეგობებით. მივყვეთ მის მაგალითს და ვნახოთ, რა ხდება ამ მაგალითიდან.

ფერმას ბოლო თეორემა ამბობს, რომ განტოლება x n + y n = z n , სად n > 2

წინააღმდეგობებით მტკიცების ლოგიკური მეთოდის მიხედვით, ეს დებულება შენარჩუნებულია, მიიღება როგორც მოცემული მტკიცებულების გარეშე, შემდეგ კი ავსებს საპირისპირო დებულებას მნიშვნელობით: განტოლება. x n + y n = z n , სად n > 2 , აქვს ამონახსნები დადებით მთელ რიცხვებში.

ჰიპოთეზირებული განცხადება ასევე მიღებულია როგორც მოცემული, მტკიცებულების გარეშე. ორივე განცხადება, განხილული ლოგიკის ძირითადი კანონების თვალსაზრისით, თანაბრად დასაშვებია, თანაბარი უფლებებით და თანაბრად შესაძლებელია. სწორი მსჯელობით საჭიროა ზუსტად დადგინდეს რომელი მათგანია მცდარი, რათა შემდეგ დადგინდეს, რომ სხვა განცხადება არის ჭეშმარიტი.

სწორი მსჯელობა მთავრდება მცდარი, აბსურდული დასკვნით, რომლის ლოგიკური მიზეზი შეიძლება იყოს მხოლოდ დადასტურებული თეორემის წინააღმდეგობრივი პირობა, რომელიც შეიცავს პირდაპირ საპირისპირო მნიშვნელობის ორ ნაწილს. ისინი იყვნენ აბსურდული დასკვნის ლოგიკური მიზეზი, წინააღმდეგობრივი მტკიცების შედეგი.

თუმცა, ლოგიკურად სწორი მსჯელობის დროს, არ იქნა ნაპოვნი არც ერთი ნიშანი, რომლითაც შესაძლებელი იქნებოდა იმის დადგენა, თუ რომელი განცხადებაა მცდარი. ეს შეიძლება იყოს განცხადება: განტოლება x n + y n = z n , სად n > 2 , აქვს ამონახსნები დადებით მთელ რიცხვებში. ამავე საფუძველზე, ეს შეიძლება იყოს განცხადება: განტოლება x n + y n = z n , სად n > 2 , არ აქვს ამონახსნები დადებით მთელ რიცხვებში.

მსჯელობის შედეგად შეიძლება იყოს მხოლოდ ერთი დასკვნა: ფერმას ბოლო თეორემა არ შეიძლება დადასტურდეს წინააღმდეგობით.

სრულიად განსხვავებული საკითხი იქნებოდა, ფერმას ბოლო თეორემა რომ ყოფილიყო შებრუნებული თეორემა, რომელსაც აქვს ჩვეულებრივი მათემატიკური მეთოდით დადასტურებული პირდაპირი თეორემა. ამ შემთხვევაში, ეს შეიძლება დადასტურდეს წინააღმდეგობით. და რადგან ეს პირდაპირი თეორემაა, მისი დადასტურება უნდა ეფუძნებოდეს არა წინააღმდეგობით დამტკიცების ლოგიკურ მეთოდს, არამედ ჩვეულებრივ მათემატიკურ მეთოდს.

დ. აბრაროვის თქმით, აკადემიკოსი ვ.ი. არნოლდი, ყველაზე ცნობილი თანამედროვე რუსი მათემატიკოსი, უილზის მტკიცებულებას "აქტიურად სკეპტიკურად" უპასუხა. აკადემიკოსმა თქვა: ”ეს არ არის ნამდვილი მათემატიკა - ნამდვილი მათემატიკა გეომეტრიულია და აქვს ძლიერი კავშირი ფიზიკასთან”. აკადემიკოსის განცხადება გამოხატავს უილზის მიერ ფერმას ბოლო თეორემის არამათემატიკური დადასტურების არსს.

წინააღმდეგობებით შეუძლებელია იმის მტკიცება, რომ ფერმას ბოლო თეორემის განტოლებას არ აქვს ამონახსნები, ან რომ აქვს ამონახსნები. უილსის შეცდომა მათემატიკური კი არა, ლოგიკურია - მტკიცების გამოყენება წინააღმდეგობით, სადაც მის გამოყენებას აზრი არ აქვს და არ ადასტურებს ფერმას ბოლო თეორემას.

არც ფერმას ბოლო თეორემა დადასტურებულია ჩვეულებრივი მათემატიკური მეთოდით, თუ ის შეიცავს მოცემული: განტოლება x n + y n = z n , სად n > 2 , არ აქვს ამონახსნები დადებით მთელ რიცხვებში და თუ საჭიროა დასამტკიცებლად: განტოლება x n + y n = z n , სად n > 2 , არ აქვს ამონახსნები დადებით მთელ რიცხვებში. ამ ფორმით არის არა თეორემა, არამედ ტავტოლოგია აზრს მოკლებული.

გაკვეთილი გათვლილია 2 აკადემიაზე. საათები.

სამიზნე: მტკიცებულების სხვადასხვა მეთოდის შესწავლა (პირდაპირი მსჯელობა, „წინააღმდეგობით“ და საპირისპირო მსჯელობის მეთოდი), მსჯელობის მეთოდოლოგიის ილუსტრირება. განვიხილოთ მათემატიკური ინდუქციის მეთოდი.

თეორიული მასალა მტკიცებულების მეთოდები

თეორემების დადასტურებისას გამოიყენება ლოგიკური მსჯელობა. კომპიუტერულ მეცნიერებაში მტკიცებულებები ალგორითმების სისწორის შემოწმების განუყოფელი ნაწილია. მტკიცების საჭიროება ჩნდება მაშინ, როცა გვჭირდება დავადგინოთ ფორმის (AB) დებულების ჭეშმარიტება. არსებობს რამდენიმე სტანდარტული ტიპის მტკიცებულება, მათ შორის შემდეგი:

პირდაპირი მსჯელობა (მტკიცებულება).

ჩვენ ვვარაუდობთ, რომ დებულება A არის ჭეშმარიტი და ვაჩვენებთ B-ს მართებულობას. მტკიცების ეს მეთოდი გამორიცხავს სიტუაციას, როდესაც A არის ჭეშმარიტი და B მცდარი, რადგან ამ და მხოლოდ ამ შემთხვევაში ხდება იმპლიკაცია (AB). ცრუ მნიშვნელობა (იხ. ცხრილი).

ამრიგად, პირდაპირი მტკიცებულება არგუმენტების განხილვიდან გადადის თეზისის დადასტურებამდე, ანუ თეზისის სიმართლე პირდაპირ არგუმენტებით არის დასაბუთებული. ამ მტკიცებულების სქემა ასეთია: მოცემული არგუმენტებიდან (a, b, c,...) აუცილებლად უნდა მოჰყვეს დასამტკიცებელი თეზისი ქ.

ამ ტიპის მტკიცებულებები ხორციელდება სასამართლო პრაქტიკაში, მეცნიერებაში, დაპირისპირებაში, სკოლის მოსწავლეების ნაწერებში, მასწავლებლის მიერ მასალის წარდგენისას და ა.შ.

მაგალითები:

1. მასწავლებელი გაკვეთილზე თეზისის „ხალხი არის ისტორიის შემქმნელი“ პირდაპირი დადასტურებით აჩვენებს; Პირველ რიგშირომ ხალხი არის მატერიალური სიმდიდრის შემქმნელი, მეორეც, ასაბუთებს პოპულარული მასების უზარმაზარ როლს პოლიტიკაში, განმარტავს, თუ როგორ იბრძვის თანამედროვე ეპოქაში ხალხი მშვიდობისა და დემოკრატიისთვის აქტიურად, მესამედ, ცხადყოფს მის დიდ როლს სულიერი კულტურის შექმნაში.

2. ქიმიის გაკვეთილებზე შაქრის წვადობის პირდაპირი მტკიცებულება შეიძლება წარმოდგენილი იყოს კატეგორიული სილოგიზმის სახით: ყველა ნახშირწყალი აალებადია. შაქარი არის ნახშირწყლები.შაქარი აალებადია.

თანამედროვე მოდის ჟურნალში "ბურდა" თეზისი "შური არის ყოველგვარი ბოროტების ფესვი" დადასტურებულია პირდაპირი მტკიცებულებების დახმარებით შემდეგი არგუმენტებით: "შური არა მხოლოდ წამლავს ადამიანების ყოველდღიურ ცხოვრებას, არამედ შეიძლება გამოიწვიოს უფრო სერიოზული შედეგები. მაშასადამე, ეჭვიანობასთან, ბრაზთან და სიძულვილთან ერთად, უდავოდ ერთ-ერთი ყველაზე ცუდი ხასიათის თვისებაა. შეუმჩნევლად მცოცავი, შური მტკივნეულად და ღრმად მტკივა. ადამიანს შურს სხვისი კეთილდღეობა, იტანჯება იმის შეგნებით, რომ ვიღაცას უფრო გაუმართლა.

2. საპირისპირო მსჯელობა(მტკიცებულება) . ჩვენ ვვარაუდობთ, რომ B დებულება მცდარია და ვაჩვენებთ A-ს მცდარობას. ანუ, ფაქტობრივად, ჩვენ პირდაპირ ვამოწმებთ იმპლიკამენტის ჭეშმარიტებას ((არა B)  (არა A)), რომელიც ცხრილის მიხედვით ლოგიკურად ექვივალენტურია. თავდაპირველი განცხადების ჭეშმარიტებამდე (A  B).

3. მეთოდი „წინააღმდეგობით“.

ეს მეთოდი ხშირად გამოიყენება მათემატიკაში. დაე იყოს ა- დასამტკიცებელი თეორემა ან თეორემა. ჩვენ წინააღმდეგობრივად ვვარაუდობთ, რომ აცრუ, ანუ ჭეშმარიტი არა(ან). ვარაუდიდან ჩვენ გამოვიტანთ შედეგებს, რომლებიც ეწინააღმდეგება რეალობას ან ადრე დადასტურებულ თეორემებს. Ჩვენ გვაქვს
, სადაც - მცდარი, შესაბამისად, მისი უარყოფა ჭეშმარიტია, ე.ი. , რომელიც ორფასიანი კლასიკური ლოგიკის კანონის მიხედვით ( →ა) აძლევს ა.ასე რომ, ეს მართალია ა, რაც დასამტკიცებელი იყო.

სასკოლო მათემატიკის კურსში მტკიცების უამრავი მაგალითია „წინააღმდეგობით“. მაგალითად, დადასტურდა თეორემა, რომ სწორი ხაზის მიღმა მდებარე წერტილიდან მხოლოდ ერთი პერპენდიკულარი შეიძლება ჩავარდეს ამ სწორ ხაზზე. დაპირისპირებით, ასევე დადასტურდა შემდეგი თეორემა: ”თუ ორი წრფე პერპენდიკულარულია იმავე სიბრტყეზე, მაშინ ისინი პარალელურია”. ამ თეორემის დადასტურება იწყება უშუალოდ სიტყვებით: „დავარაუდოთ, რომ პირიქით, ე.ი. ABდა CDარა პარალელურად."