თუ წერტილი M (x; y) დევს სწორ ხაზზე, რომელიც გადის ორ მოცემულ წერტილს M 1 (x 1; y 1), M 2 (x 2; y 2) და თანაფარდობა λ \u003d M 1 M / MM მოცემულია 2, სადაც M წერტილი ყოფს M 1 M 2 სეგმენტს, შემდეგ M წერტილის კოორდინატებს.

განისაზღვრება ფორმულებით

x = (x 1 + λx 2)/(1 + λ), y = (y 1 + λy 2)/(1 + λ)

თუ წერტილი M არის M 1 M 2 სეგმენტის შუა წერტილი, მაშინ მისი კოორდინატები განისაზღვრება ფორმულებით

x \u003d (x 1 + x 2) / 2, y \u003d (y 1 + y 2) / 2

86. მოცემულია ერთგვაროვანი ჯოხის A(3; -5) და 6(-1; 1) ბოლოები. განსაზღვრეთ მისი სიმძიმის ცენტრის კოორდინატები.

87. ერთგვაროვანი ღეროს სიმძიმის ცენტრი არის M წერტილში (1; 4), მისი ერთ-ერთი ბოლო არის P წერტილში (-2; 2). განსაზღვრეთ ამ ღეროს მეორე ბოლოს Q წერტილის კოორდინატები

88. მოცემულია სამკუთხედის წვეროები A(1; -3), 6(3; -5) და C(-5; 7). განსაზღვრეთ მისი გვერდების შუა წერტილები.

89. მოცემულია ორი ქულა A(3; - 1) და B(2; 1). განსაზღვრეთ:

1) M წერტილის კოორდინატები, A წერტილის სიმეტრიული B წერტილის მიმართ;

2) N წერტილის კოორდინატები, B წერტილის სიმეტრიული A წერტილის მიმართ.

90. წერტილები M (2; -1), N (-1; 4) და P (-2; 2) სამკუთხედის გვერდების შუა წერტილებია. განსაზღვრეთ მისი წვეროები.

91. მოცემულია პარალელოგრამის სამი წვერო A(3; -5), B(5; -3), C(-1; 3). დაადგინეთ მეოთხე წვერო D, B-ის საპირისპიროდ.

92. მოცემულია A(-3; 5), B(1; 7) პარალელოგრამის ორი მიმდებარე წვერო და მისი M(1; 1) დიაგონალების გადაკვეთის წერტილი. განსაზღვრეთ კიდევ ორი ​​წვერო.

93. მოცემულია ABCD პარალელოგრამის სამი წვერო A(2; 3), 6(4; -1) და C(0; 5). იპოვეთ მისი მეოთხე წვერო D.

94. მოცემულია A(1; 4), B(3; -9), С(-5; 2) სამკუთხედის წვეროები. იპოვეთ B წვეროდან გამოყვანილი მისი მედიანის სიგრძე.

95. A (1;-3) და B(4; 3) წერტილებით შემოსაზღვრული სეგმენტი დაყოფილია სამ ტოლ ნაწილად. განსაზღვრეთ გაყოფის წერტილების კოორდინატები.

96. მოცემულია A(2; -5), B(1; -2), C(4; 7) სამკუთხედის წვეროები. იპოვეთ გადაკვეთის წერტილი მისი შიდა კუთხის ბისექტრის AC გვერდით B წვეროზე.

97. მოცემულია სამკუთხედის წვეროები A(3; -5), B(-3; 3) და C(-1; -2). განსაზღვრეთ მისი შიდა კუთხის ბისექტრის სიგრძე A წვეროზე.

98. მოცემულია სამკუთხედის A(-1; -1), B(3; 5), C(-4; 1) წვეროები. იპოვეთ გადაკვეთის წერტილი მისი გარე კუთხის ბისექტრის BC გვერდის გაფართოებასთან A წვეროზე.

99. მოცემულია სამკუთხედის A (3; -5), B (1; - 3), C (2; -2) წვეროები. დაადგინეთ მისი გარე კუთხის ბისექტრის სიგრძე B წვეროზე.

100. მოცემულია სამი წერტილი A(1; -1), B(3; 3) და C(4; 5), რომლებიც დევს იმავე სწორ ხაზზე. განსაზღვრეთ λ თანაფარდობა, რომელშიც თითოეული მათგანი ყოფს დანარჩენი ორით შემოსაზღვრულ სეგმენტს.

101. განვსაზღვროთ სეგმენტის A და B ბოლოების კოორდინატები, რომელიც დაყოფილია P (2; 2) და Q (1; 5) წერტილებით სამ ტოლ ნაწილად.

102. სწორი ხაზი გადის M 1 (-12; -13) და M 2 (- 2; -5) წერტილებზე. იპოვეთ წერტილი ამ წრფეზე, რომლის აბსციზა არის 3.

103. სწორი ხაზი გადის M(2; -3) და N(-6; 5) წერტილებზე. ამ ხაზზე იპოვეთ წერტილი, რომლის ორდინატი არის -5.

104. სწორი ხაზი გადის A(7; -3) და B(23;. -6) წერტილებზე. იპოვეთ ამ წრფის გადაკვეთის წერტილი x ღერძთან.

105. წრფე გადის A(5; 2) და B(-4; -7) წერტილებზე. იპოვეთ ამ წრფის გადაკვეთის წერტილი y ღერძთან.

106. მოცემულია ოთხკუთხედის A(-3; 12), B(3; -4), C(5; -4) და D(5; 8) წვეროები. დაადგინეთ რა თანაფარდობით ყოფს მისი დიაგონალი AC დიაგონალს BD.

107. მოცემულია A(-2; 14), B(4; -2), C(6; -2) და D(6; 10) წვეროები. იპოვეთ მისი AC და BD დიაგონალების გადაკვეთის წერტილი.

108. მოცემულია ერთგვაროვანი სამკუთხა ფირფიტის A (x 1; y 1), B (x 2; y 2) და C (x 3; y 3) წვეროები. განსაზღვრეთ მისი სიმძიმის ცენტრის კოორდინატები,

ინსტრუქცია. სიმძიმის ცენტრი არის მედიანების გადაკვეთის წერტილში.

109. სამკუთხედის შუაგულების გადაკვეთის M წერტილი დევს აბსცისის ღერძზე, მისი ორი წვეროა წერტილები A (2; -3) და B (-5; 1), მესამე წვერო C დევს y-ზე. ღერძი. განსაზღვრეთ M და C წერტილების კოორდინატები.

110. მოცემულია ერთგვაროვანი სამკუთხა ფირფიტის A (x 1; y 1), B (x 2; y 2) და C (x 3; y 3) წვეროები. თუ დააკავშირებთ მისი გვერდების შუა წერტილებს, მაშინ წარმოიქმნება ახალი ერთგვაროვანი სამკუთხა ფირფიტა. დაამტკიცეთ, რომ ორივე ფირფიტის სიმძიმის ცენტრები ერთნაირია.

ინსტრუქცია. გამოიყენეთ დავალების შედეგი 108.

111. ერთგვაროვან ფირფიტას აქვს კვადრატის ფორმა 12-ის ტოლი გვერდით, რომელშიც კეთდება კვადრატული ჭრილი, ამოჭრილი ხაზები გადის კვადრატის ცენტრში, ცულები.

კოორდინატები მიმართულია ფირფიტის კიდეების გასწვრივ (ნახ. 4). განსაზღვრეთ ამ ფირფიტის სიმძიმის ცენტრი.

112. ერთგვაროვან ფირფიტას აქვს a და b ტოლი გვერდებით მართკუთხედის ფორმა, რომელშიც გაკეთებულია ოთხკუთხა ჭრილი; ჭრილის სწორი ხაზები გადის ცენტრში, კოორდინატთა ღერძები მიმართულია ფირფიტის კიდეების გასწვრივ (სურ. 5). განსაზღვრეთ ამ ფირფიტის სიმძიმის ცენტრი.

113. ერთგვაროვან ფირფიტას აქვს კვადრატის ფორმა, რომლის გვერდიც ტოლია 2a, საიდანაც მოწყვეტილია სამკუთხედი; მოჭრილი ხაზი აკავშირებს ორი მიმდებარე მხარის შუა წერტილებს, კოორდინატთა ღერძები მიმართულია ფირფიტის კიდეების გასწვრივ (ნახ. 6). განსაზღვრეთ ფირფიტის სიმძიმის ცენტრი.

114. შემდეგ წერტილებში A (x 1; y 1), B (x 2; y 2) და C (x 3; y 3) კონცენტრირებულია m, n და p მასები. დაადგინეთ სამი მასის ამ სისტემის სიმძიმის ცენტრის კოორდინატები.

115. A (4; 2), B (7; -2) და C (1; 6) წერტილები არის ერთგვაროვანი მავთულისგან დამზადებული სამკუთხედის წვეროები. იპოვეთ ამ სამკუთხედის სიმძიმის ცენტრი.

გარკვეული C წერტილის კოორდინატების გამოთვლა, რომელიც ყოფს მოცემულ AB სეგმენტს გარკვეული თანაფარდობით, შეიძლება შესრულდეს ფორმულების გამოყენებით:

хС = (хА + лхВ) / (1 + λ), уС = (уА + ლუВ) / (1 + λ),

სადაც (xA; yA) და (xB; yB) არის მოცემული AB სეგმენტის ბოლოების კოორდინატები; რიცხვი λ \u003d AC / CB არის თანაფარდობა, რომელშიც სეგმენტი AB იყოფა C წერტილით, რომელსაც აქვს კოორდინატები (xC; yC).

თუ სეგმენტი AB იყოფა C წერტილით შუაზე, მაშინ რიცხვი λ \u003d 1 და xC და yC ფორმულები მიიღებს ფორმას:

xC = (xA + xB)/2, yC = (yA + yB)/2.

უნდა გავითვალისწინოთ, რომ ამოცანებში λ არის სეგმენტების სიგრძის თანაფარდობა და, შესაბამისად, ამ თანაფარდობაში შეტანილი რიცხვები არ არის თავად სეგმენტების სიგრძეები მოცემულ საზომ ერთეულში. მაგალითად, AC = 12 სმ, CB = 16 სმ: λ = AC/CB = 12 სმ / 16 სმ = 3/4.

1. მოძებნეთ გარკვეული სეგმენტის შუა ნაწილის კოორდინატები, მისი ბოლოების მოცემული კოორდინატების მიხედვით

მაგალითი 1

წერტილები A (-2; 3) და B (6; -9) არის AB სეგმენტის ბოლოები. იპოვეთ C წერტილი, რომელიც არის AB სეგმენტის შუა წერტილი.

გადაწყვეტილება.

პრობლემის პირობებში მითითებულია, რომ xA = -2; xB = 6; yA = 3 და yB = -9. საჭიროა იპოვოთ C(xC; yC).

xC = (xA + xB)/2, yC = (yA + yB)/2 ფორმულების გამოყენებით, მივიღებთ:

xC \u003d (-2 + 6) / 2 \u003d 2, yC \u003d (3 + (-9)) / 2 \u003d -3.

ამრიგად, C წერტილს, რომელიც არის AB სეგმენტის შუა წერტილი, აქვს კოორდინატები (-2; 3) (ნახ. 1).
2. გარკვეული სეგმენტის დასასრულის კოორდინატების გამოთვლა, მისი შუა და მეორე ბოლოს კოორდინატების ცოდნა.

მაგალითი 2

AB სეგმენტის ერთი ბოლო არის A წერტილი, კოორდინატებით (-3; -5), ხოლო შუა წერტილი არის C წერტილი (3; -2). გამოთვალეთ სეგმენტის მეორე ბოლო - B წერტილის კოორდინატები.

გადაწყვეტილება.

პრობლემის პირობის მიხედვით ირკვევა, რომ xA = -3; yA = -5; xC = 3 და yC = -2.

ამ მნიშვნელობების ჩანაცვლებით xC = (xA + xB)/2, yC = (yA + yB)/2 ფორმულებში, მივიღებთ:

3 = (-3 + xB)/2 და

2 \u003d (-5 + uV) / 2.

xB-სთვის პირველი განტოლების ამოხსნის შემდეგ, ხოლო yB-სთვის მეორე, ვპოულობთ: xB = 9 და yB = 1, გამოდის, რომ სასურველი წერტილი B მოცემულია კოორდინატებით (9; 1). (ნახ. 2).

3. გარკვეული სამკუთხედის წვეროების კოორდინატების გამოთვლა მისი გვერდების შუა წერტილების მოცემული კოორდინატების მიხედვით.

მაგალითი 3

ABC სამკუთხედის გვერდების შუა წერტილებია D(1; 3), E(-1; -2) და F(4; -1) წერტილები. იპოვეთ მოცემული სამკუთხედის A, B და C წვეროების კოორდინატები.

გადაწყვეტილება.

D წერტილი იყოს AB გვერდის შუა წერტილი, E წერტილი BC და F წერტილი AC გვერდის შუა წერტილი. (ნახ. 3). იპოვეთ A, B და C წერტილები.

სამკუთხედის წვეროებს აღვნიშნავთ როგორც A (xA; yA), B (xB; yB) და C (xC; yC) და ვიცით D, E და F წერტილების კოორდინატები, xC \u003d (xA) ფორმულების მიხედვით. + xB) / 2, yC \u003d (yA + uV)/2 მივიღებთ:

(1 = (xA + xB)/2,
(-1 \u003d (xB + xC) / 2,
(4 \u003d (xA + xC) / 2,

(3 \u003d (uA + uB) / 2,
(-2 \u003d (uV + us) / 2,
(-1 \u003d (yA + yC) / 2.

განტოლებებს მივყავართ მთელი რიცხვით:

(xA + xB = 2,
(xB + xC = -2,
(xA + xC = 8,

(uA + uB = 6,
(uV + yC = -4,
(uA + yC = -2.

სისტემების გადაჭრისას ვიღებთ:
xA = 6; xB = -4; xC = 2.
yA = 4; uV = 2; yC = -6.

წერტილები A (6; 4), B (-4; 2) და C (2; -6) სამკუთხედის აუცილებელი წვეროებია.

4. წერტილების კოორდინატების გამოთვლა, რომლებიც ყოფენ სეგმენტს გარკვეული თანაფარდობით, ამ სეგმენტის ბოლოების მოცემული კოორდინატების მიხედვით.

მაგალითი 4

სეგმენტი AB იყოფა C წერტილით 3: 5 თანაფარდობით (ითვლით A წერტილიდან B წერტილამდე). AB სეგმენტის ბოლოებია A(2; 3) და B(10; 11) წერტილები. იპოვეთ C წერტილი.

გადაწყვეტილება.

პრობლემის პირობა ამბობს, რომ xA = 2; xB = 10; yA = 3; uV = 11; λ = AC/CB = 3/5. იპოვეთ C(xC; yC) (ნახ. 4).

xC = (xA + λxB) / (1 + λ), yC = (yA + λyB) / (1 + λ) ფორმულების მიხედვით ვიღებთ:

xC = (2 + 3/5 10) / (1 + 3/5) = 5 და yC = (3 + 3/5 11) / (1 + 3/5) = 6. ამრიგად, გვაქვს C( 5; 6).

მოდით შევამოწმოთ: AC = 3√2, CB = 5√2, λ = AC/CB = 3√2/5√2 = 3/5.

კომენტარი. პრობლემის პირობა ამბობს, რომ სეგმენტის დაყოფა ხორციელდება მოცემული თანაფარდობით A წერტილიდან B წერტილამდე. ეს რომ არ იყოს მითითებული, მაშინ პრობლემას ორი გამოსავალი ექნებოდა. მეორე ამოხსნა: სეგმენტის დაყოფა B წერტილიდან A წერტილამდე.

მაგალითი 5

ზოგიერთი AB სეგმენტი იყოფა 2: 3: 5 თანაფარდობით (ითვლის A წერტილიდან B წერტილამდე), მისი ბოლოებია წერტილები A (-11; 1) და B (9; 11) კოორდინატებით. იპოვეთ მოცემული სეგმენტის გაყოფის წერტილები.

გადაწყვეტილება.

ავღნიშნოთ A-დან B-მდე სეგმენტის გაყოფის წერტილები C-დან და D-მდე. ამოცანის პირობებში მოცემულია, რომ
xA = -11; xB = 9; yA = 1; yB = 11. იპოვეთ C(xC; yC) და D(xD; yD) თუ AC: CD: DB = 2: 3: 5.

წერტილი C ყოფს AB სეგმენტს λ = AC/CB = 2/(3 + 5) = 2/8 = 1/4 მიმართებაში.

xC = (xA + λxB) / (1 + λ), yC = (yA + λyB) / (1 + λ) ფორმულების მიხედვით მივიღებთ:

xC = (-11 + ¼ 9) / (1 + 1/4) = -7 და yC = (1 + ¼ 11) / (1 + 1/4) = 3.

ამრიგად, C(-7; 3).

წერტილი D არის AB სეგმენტის შუა წერტილი. xD = (xA + xB)/2, yD = (yA + yB)/2 ფორმულების გამოყენებით ვხვდებით:

xD \u003d (-11 + 9) / 2 \u003d -1, yD \u003d (1 + 11) / 2 \u003d 6. აქედან გამომდინარე, D აქვს კოორდინატები (-1; 6).

5. წერტილების კოორდინატების გამოთვლა, რომლებიც ყოფენ სეგმენტს, თუ მოცემულია ამ სეგმენტის ბოლოების კოორდინატები და იმ ნაწილების რაოდენობა, რომლებზეც ეს სეგმენტი იყოფა.

მაგალითი 6

სეგმენტის ბოლოებია A(-8; -5) და B(10; 4) წერტილები. იპოვეთ C და D წერტილები, რომლებიც ყოფს ამ სეგმენტს სამ თანაბარ ნაწილად.

გადაწყვეტილება.

ამოცანის მდგომარეობიდან ცნობილია, რომ xA = -8; xB = 10; yA = -5; yB = 4 და n = 3. იპოვეთ C(xC; yC) და D(xD; yD) (ნახ. 5).

ვიპოვოთ წერტილი C. ის ყოფს AB სეგმენტს λ = 1/2-ის მიმართ. A წერტილიდან ვყოფთ B წერტილამდე xC = (xA + λxB) / (1 + λ), yC = (yA + λyB) / (1 + λ) ფორმულების მიხედვით გვაქვს:

xC = (-8 + ½ 10) / (1 + 1/2) = -2 და yC = (-5 + ½ 4) / (1 + 1/2) = -2. ასე რომ C(-2; -2).

სეგმენტის CB დაყოფა შესრულებულია 1: 1 თანაფარდობით, ამიტომ ვიყენებთ ფორმულებს

xD = (xA + xB)/2, yD = (yA + yB)/2:

xD \u003d (-2 + 10) / 2 \u003d 4, yD \u003d (-2 + 4) / 2 \u003d 1. ამრიგად, D (4; 1).

გაყოფის წერტილები C(-2; -2) და D(4; 1).

შენიშვნა: D წერტილის პოვნა შესაძლებელია AB სეგმენტის გაყოფით 2: 1-თან მიმართებაში. ამ შემთხვევაში, საჭირო იქნება ფორმულების გამოყენება xD = (xA + λxB) / (1 + λ), yD = (yA + λyB). ) / (1 + λ).

მაგალითი 7

წერტილები A(5; -6) და B(-5; 9) არის სეგმენტის ბოლოები. იპოვეთ წერტილები, რომლებიც ყოფს მოცემულ სეგმენტს ხუთ ტოლ ნაწილად.

გადაწყვეტილება.

ზედიზედ A-დან B-მდე გაყოფის წერტილები იყოს C(xC; yC), D(xD; yD), E(xE; yE) და F(xF; yF). პრობლემის პირობები ამბობს, რომ xA = 5; xB = -5; yA = -6; yB = 9 და n = 5.

ფორმულების გამოყენებით xC = (xA + λxB) / (1 + λ), yC = (yA + λyB) / (1 + λ) წერტილი C. ის ყოფს AB სეგმენტს λ = 1/4-ის მიმართ:

xC = (5 + 1/4 (-5)) / (1 + 1/4) = 3 და yC = (-6 + 1/4 9) / (1 + 1/4) = -3, მივიღებთ რომ C წერტილს აქვს კოორდინატები (3; -3).

სეგმენტი AB იყოფა D წერტილით 2: 3 თანაფარდობით (ანუ λ = 2/3), შესაბამისად:

xD = (5 + 2/3 (-5)) / (1 + 2/3) = 1 და yD = (-6 + 2/3 9) / (1 + 2/3) = 0, ასე რომ D (ათი ).

ვიპოვოთ წერტილი E. ის ყოფს AB სეგმენტს λ = 2/3-ის მიმართ:

XE = (5 + 3/2 (-5)) / (1 + 3/2) = -1 და yE = (-6 + 3/2 9) / (1 + 3/2) = 3. ამრიგად, E(-1; 3).

წერტილი F ყოფს AB სეგმენტს λ = 4/1-ის მიმართ, შესაბამისად:

XF = (5 + 4 (-5)) / (1 + 4) = -3 და yF = (-6 + 4 9) / (1 + 4) = 6, F(-3; 6).

გაყოფის პუნქტები С(-2; -2); D(4; 1); E(-1; 3) და F(-3; 6).

გაქვთ რაიმე შეკითხვები? არ იცით როგორ გადაჭრათ სეგმენტის გაყოფის პრობლემა?
დამრიგებლის დახმარების მისაღებად - დარეგისტრირდით.
პირველი გაკვეთილი უფასოა!

საიტი, მასალის სრული ან ნაწილობრივი კოპირებით, საჭიროა წყაროს ბმული.

როდესაც არსებობს სეგმენტის გარკვეული თანაფარდობით გაყოფის პირობები, აუცილებელია შეგვეძლოს განვსაზღვროთ წერტილის კოორდინატები, რომელიც გამყოფის ფუნქციას ასრულებს. ჩვენ გამოვიყვანთ ფორმულას ამ კოორდინატების საპოვნელად სიბრტყეზე პრობლემის დაყენებით.

საწყისი მონაცემები: მოცემულია მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა O x y და მასზე მდებარე ორი არათანხვედრი წერტილი მოცემული კოორდინატებით A (x A , y A) და B (x B , y B). ასევე მოცემულია წერტილი C, რომელიც ყოფს A B სეგმენტს λ-სთან მიმართებაში (ზოგიერთი დადებითი რეალური რიცხვი). აუცილებელია C წერტილის კოორდინატების განსაზღვრა: x C და y C .

სანამ ამოცანის ამოხსნას გავაგრძელებთ, ოდნავ გამოვავლენთ მოცემული პირობის მნიშვნელობას: „C წერტილი, A B მონაკვეთის გაყოფა λ-სთან მიმართებაში“. პირველ რიგში, ეს გამოხატულება მიუთითებს, რომ წერტილი C დევს A B სეგმენტზე (ანუ A და B წერტილებს შორის). მეორეც, ცხადია, რომ მოცემული პირობის მიხედვით A C და C B სეგმენტების სიგრძის შეფარდება ტოლია λ. იმათ. თანასწორობა სწორია:

ამ შემთხვევაში წერტილი A არის სეგმენტის დასაწყისი, წერტილი B არის სეგმენტის დასასრული. თუ მიეცათ, რომ C წერტილი ყოფს B A მონაკვეთს მოცემულ თანაფარდობაში, მაშინ ტოლობა იქნება ჭეშმარიტი: .

ისე, სრულიად აშკარა ფაქტია, რომ თუ λ = 1, მაშინ წერტილი C არის A B სეგმენტის შუა წერტილი.

ვექტორების დახმარებით მოვაგვაროთ პრობლემა. თვითნებურად გამოვავლინოთ A, B და C წერტილი A B სეგმენტზე გარკვეულ მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში, ავაშენოთ ამ წერტილების რადიუსის ვექტორები, ასევე A C → და C B → ვექტორები. ამოცანის პირობების მიხედვით C წერტილი ყოფს A B მონაკვეთს λ-თან მიმართებაში.

წერტილის რადიუსის ვექტორის კოორდინატები უდრის წერტილის კოორდინატებს, მაშინ ტოლობები მართალია: O A → = (x A , y A) და O B → = (x B , y B) .

განვსაზღვროთ ვექტორის კოორდინატები: ისინი ტოლი იქნება C წერტილის კოორდინატებისა, რომელთა პოვნაც საჭიროა ამოცანის პირობის მიხედვით.

ვექტორის შეკრების მოქმედების გამოყენებით ვწერთ ტოლობებს: O C → = O A → + A C → O B → = O C → + C B → ⇔ C B → = O B → - O C →

ამოცანის პირობის მიხედვით C წერტილი ყოფს A B სეგმენტს λ-ის მიმართ, ე.ი. ტოლობა A C = λ · C B მართალია.

A C → და C B → ვექტორები ერთსა და იმავე სწორ ხაზზე დევს და თანამიმართულები არიან. λ > 0 ამოცანის პირობით, მაშინ ვექტორის რიცხვზე გამრავლების მოქმედების მიხედვით მივიღებთ: A C → = λ · C B → .

გამოვხატოთ გამონათქვამი მასში ჩანაცვლებით: C B → = O B → - O C → .

A C → = λ · (O B → - O C →) .

ტოლობა O C → = O A → + A C → შეიძლება გადაიწეროს როგორც O C → = O A → + λ · (O B → - O C →) .

ვექტორებზე მოქმედებების თვისებების გამოყენებით ბოლო ტოლობა გულისხმობს: O C → = 1 1 + λ · (O A → + λ · O B →) .

ახლა ჩვენთვის რჩება პირდაპირ O C → = 1 1 + λ · O A → + λ · O B → ვექტორის კოორდინატების გამოთვლა.

შევასრულოთ საჭირო მოქმედებები ვექტორებზე O A → და O B → .

O A → = (x A , y A) და O B → = (x B , y B) , შემდეგ O A → + λ O B → = (x A + λ x B, y A + λ y B) .

ამრიგად, O C → = 1 1 + λ · (O A → + λ · O B →) = (x A + λ · x B 1 + λ, y A + λ · y B 1 + λ) .

შეჯამება: A B სეგმენტის მოცემული თანაფარდობით λ გამყოფი C წერტილის კოორდინატები განისაზღვრება ფორმულებით: x C \u003d x A + λ x B 1 + λ და y C \u003d y A + λ y B 1 + λ. .

სივრცეში მოცემული თანაფარდობით სეგმენტის გამყოფი წერტილის კოორდინატების განსაზღვრა

საწყისი მონაცემები: მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა O x y z , წერტილები მოცემული კოორდინატებით A (x A , y A , z A) და B (x B , y B , z B) .

წერტილი C ყოფს A B სეგმენტს λ-ის მიმართ. საჭიროა C წერტილის კოორდინატების განსაზღვრა.

იმავე მსჯელობის სქემის გამოყენებით, როგორც ზემოთ მოცემულ შემთხვევაში, სიბრტყეზე, მივდივართ თანასწორობამდე:

O C → = 1 1 + λ (O A → + λ O B →)

ვექტორები და არის A და B წერტილების რადიუსის ვექტორები, რაც ნიშნავს:

O A → = (x A , y A , z A) და O B → = (x B , y B , z B) , შესაბამისად

O C → = 1 1 + λ (O A → + λ O B →) = (x A + λ x B 1 + λ , y A + λ y B 1 + λ , z A + λ z B 1 + λ)

ამრიგად, C წერტილს, რომელიც ყოფს A B მონაკვეთს სივრცეში მოცემულ თანაფარდობაში λ, აქვს კოორდინატები: (x A + λ x B 1 + λ, y A + λ y B 1 + λ, z A + λ z B 1+λ. )

მოდით განვიხილოთ თეორია კონკრეტულ მაგალითებზე.

მაგალითი 1

საწყისი მონაცემები: წერტილი C ყოფს A B სეგმენტს ხუთიდან სამამდე თანაფარდობით. A და B წერტილების კოორდინატები მოცემულია A (11 , 1 , 0) , B (- 9 , 2 , - 4) .

გადაწყვეტილება

ამოცანის პირობით λ = 5 3 . გამოვიყენოთ ზემოაღნიშნული ფორმულები და მივიღოთ:

x A + λ x B 1 + λ = 11 + 5 3 (- 9) 1 + 5 3 = - 3 2

y A + λ y B 1 + λ = 1 + 5 3 2 1 + 5 3 = 13 8

z A + λ z B 1 + λ = 0 + 5 3 (- 4) 1 + 5 3 = - 5 2

პასუხი: C (- 3 2 , 13 8 , - 5 2)

მაგალითი 2

საწყისი მონაცემები: აუცილებელია A B C სამკუთხედის სიმძიმის ცენტრის კოორდინატების განსაზღვრა.

მოცემულია მისი წვეროების კოორდინატები: A (2 , 3 , 1) , B (4 , 1 , - 2) , C (- 5 , - 4 , 8)

გადაწყვეტილება

ცნობილია, რომ ნებისმიერი სამკუთხედის სიმძიმის ცენტრი არის მისი მედიანასების გადაკვეთის წერტილი (ეს იყოს წერტილი M). თითოეული მედიანა იყოფა M წერტილით 2-დან 1-ის თანაფარდობით, ზემოდან დათვლა. ამის საფუძველზე ვპოულობთ დასმულ კითხვაზე პასუხს.

დავუშვათ, რომ A D არის A B C სამკუთხედის მედიანა. წერტილი M არის მედიანების გადაკვეთის წერტილი, აქვს M კოორდინატები (x M, y M, z M) და არის სამკუთხედის სიმძიმის ცენტრი. M, როგორც მედიანების გადაკვეთის წერტილი, ყოფს A D სეგმენტს 2-დან 1-ის თანაფარდობით, ე.ი. λ = 2 .

ვიპოვოთ D წერტილის კოორდინატები. ვინაიდან A D არის მედიანა, მაშინ წერტილი D არის B C სეგმენტის შუა წერტილი. შემდეგ, სეგმენტის შუა წერტილის კოორდინატების საპოვნელად ფორმულის გამოყენებით, მივიღებთ:

x D = x B + x C 2 = 4 + (- 5) 2 = - 1 2 y D = y B + y C 2 = 1 + (- 4) 2 = - 3 2 z D = z B + z C 2 = - 2 + 8 2 = 3

გამოთვალეთ M წერტილის კოორდინატები:

x M = x A + λ x D 1 + λ = 2 + 2 (- 1 2) 1 + 2 = 1 3

y M = y A + λ y D 1 + λ = 3 + 2 (- 3 2) 1 + 2 = 0

z M = z A + λ z D 1 + λ = 1 + 2 3 1 + 2 = 7 3

პასუხი: (1 3, 0, 7 3)

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

წერტილები M 1 , M 2 , M 3 მდებარეობდეს ერთ სწორ ხაზზე. ნათქვამია, რომ წერტილი M ყოფს M 1 M 2 მონაკვეთს λ(λ≠-1) მიმართ თუ .
მოდით ცნობილი იყოს M 1 და M 2 წერტილების კოორდინატები რომელიმე კოორდინატთა სისტემის მიმართ: M 1 (x 1 , y 1 , z 1), M 2 (x 2 , y 2 , z 2), შემდეგ კოორდინატები წერტილი M(x, y, z) იმავე კოორდინატთა სისტემის მიმართ გვხვდება ფორმულებით:
თუ წერტილი M არის M 1 M 2 სეგმენტის შუაში, მაშინ , ანუ λ=1 და ფორმულები (*) მიიღებს ფორმას:

(**)

ამოსახსნელად გამოიყენეთ შემდეგი კალკულატორი:

1. ქულები მოცემულია ორი კოორდინატით: A(x 1 ,y 1), B(x 2 ,y 2).
2. ქულები მოცემულია სამი კოორდინატით: A(x 1 , y 1 ,z 1), B(x 2 ,y 2 ,z 2).

მაგალითი #1. სამკუთხედი მოცემულია მისი A(3, -2, 1), B(3, 1, 5), C(4, 0, 3) წვეროების კოორდინატებით. იპოვეთ კოორდინატები D(x, y, z) - მისი შუამავლების გადაკვეთის წერტილები.

გადაწყვეტილება. აღნიშნეთ M(x 0, y 0, z 0) BC-ის შუა წერტილი, შემდეგ ფორმულებით (**) და M(7/2, ½, 4). D წერტილი ყოფს AM მედიანას λ=2-ის მიმართ. ფორმულების (*) გამოყენებით ვპოულობთ
.

მაგალითი #2. AB სეგმენტი იყოფა C(4,1) წერტილით λ=1/4-ის მიმართ, ითვლის A წერტილიდან. იპოვეთ A-ს კოორდინატები, თუ B(8,5).
გადაწყვეტილება. ფორმულების გამოყენებით (*), ვიღებთ:
, საიდანაც ვპოულობთ x=3 , y=0 .

მაგალითი #3. სეგმენტი AB დაყოფილია სამ ტოლ ნაწილად C(3, -1) და D(1,4) წერტილებით. იპოვეთ სეგმენტის ბოლოების კოორდინატები.
გადაწყვეტილება. აღნიშნეთ A(x 1, y 1), B(x 2, y 2). წერტილი C არის AD სეგმენტის შუა წერტილი, ამიტომ ფორმულების გამოყენებით (**) ვპოულობთ: საიდანაც x 1 = 5, y 1 = -6. ანალოგიურად, ნაპოვნია B წერტილის კოორდინატები: x 2 \u003d -1, y 2 \u003d 9.

მიეცით მიმართული ხაზის სეგმენტი AB; თქვი წერტილი

ამ წრფის M ყოფს AB სეგმენტს X-ის ტოლი თანაფარდობით, სადაც არის თვითნებური რეალური რიცხვი, თუ

როდესაც წერტილი M მდებარეობს A და B წერტილებს შორის (ანუ სეგმენტის შიგნით

AB), მაშინ ვექტორები AM და MB მიმართულია იმავე მიმართულებით (ნახ. 2) და თანაფარდობა (1) დადებითია.

როდესაც წერტილი M დევს სეგმენტის გარეთ

AB, მაშინ ვექტორები AM და MB მიმართულია საპირისპირო მიმართულებით (ნახ. 3) და თანაფარდობა (1) უარყოფითია.

ვნახოთ, როგორ იცვლება მიმართება (1), როდესაც M წერტილი გადის მთელ წრფეზე. როდესაც M წერტილი ემთხვევა A წერტილს, მაშინ მიმართება (1) ნულის ტოლია; თუ წერტილი M გადის AB სეგმენტში A-დან B-მდე მიმართულებით, მაშინ თანაფარდობა (1) მუდმივად იზრდება და ხდება თვითნებურად დიდი, როდესაც M წერტილი უახლოვდება B-ს. როდესაც , მაშინ წილადი (1) კარგავს მნიშვნელობას, რადგან მისი მნიშვნელი იქცევა ნულოვანი ვექტორად. წერტილის შემდგომი გადაადგილებით სწორი ხაზის გასწვრივ იმავე მიმართულებით (ნახ. 3, a B-დან მარჯვნივ), თანაფარდობა (1) ხდება უარყოფითი და თუ W საკმარისად ახლოს არის B-სთან, მაშინ ამ თანაფარდობას აქვს თვითნებური დიდი აბსოლუტური მნიშვნელობა.

მას შემდეგ, რაც , მაშინ (§4 პუნქტის 8 წინადადების ძალით) გვაქვს

როდესაც წერტილი M, რომელიც მუდმივად მოძრაობს ერთი და იგივე მიმართულებით (ჩვენს ნახ. 3-ში და მარცხნიდან მარჯვნივ), მაგრამ მიდის პირდაპირ უსასრულობამდე, მაშინ წილადი მიისწრაფვის ნულისკენ (რადგან მისი მრიცხველი რჩება მუდმივი, ხოლო მნიშვნელი იზრდება განუსაზღვრელი ვადით), შესაბამისად, თანაფარდობა - მიდრეკილია -1-მდე.

ახლა მოდით M გადავიდეს ორი ნახევარწრფის „მარცხნივ“, რომლებშიც A წერტილი ყოფს წრფეს (ანუ იმ ნახევარხაზში, რომელიც არ შეიცავს AB სეგმენტს). თუ ამ შემთხვევაში M წერტილი საკმარისად შორს არის A წერტილიდან, მაშინ ისევ თვითნებურად მცირეა და, შესაბამისად, ფორმულის თანაფარდობა თვითნებურად მცირედ განსხვავდება -1-დან. როდესაც წერტილი M უახლოვდება A წერტილს მარცხნიდან (ნახ. 3, ბ), თანაფარდობა (I), რომელიც რჩება უარყოფითად, განუწყვეტლივ მცირდება აბსოლუტური სიდიდით და საბოლოოდ ხდება ნულის ტოლი, როდესაც M წერტილი A წერტილს უბრუნდება.

გაითვალისწინეთ, რომ ხაზის M წერტილის ნებისმიერი პოზიციისთვის, თანაფარდობა არ არის -1-ის ტოლი. მართლაც, შეფარდება უარყოფითია მხოლოდ მაშინ, როდესაც წერტილი M მდებარეობს AB სეგმენტის გარეთ. მაგრამ ამ შემთხვევაში სეგმენტები AM და MB არასოდეს არის ტოლი, ე.ი.

ახლა მოდით შეიქმნას კოორდინატთა სისტემა ხაზზე და O იყოს ამ სისტემის საწყისი. ჩვენ აღვნიშნავთ A წერტილის კოორდინატს B წერტილების მეშვეობით, ხოლო ცვლადი წერტილი m - მეშვეობით. შემდეგ და