პირველ განცხადებაში ნათქვამია, რომ ამ განტოლების ფესვების ჯამი უდრის x ცვლადის კოეფიციენტის მნიშვნელობას (ამ შემთხვევაში ეს არის b), მაგრამ საპირისპირო ნიშნით. ვიზუალურად ასე გამოიყურება: x1 + x2 = −b.
მეორე დებულება აღარ არის დაკავშირებული ჯამთან, არამედ იმავე ორი ძირის ნამრავლთან. ეს პროდუქტი უტოლდება თავისუფალ კოეფიციენტს, ე.ი. გ. ან, x1 * x2 = c. ორივე ეს მაგალითი გადაწყვეტილია სისტემაში.
ვიეტას თეორემა მნიშვნელოვნად ამარტივებს ამოხსნას, მაგრამ აქვს ერთი შეზღუდვა. კვადრატული განტოლება, რომლის ფესვების პოვნა შესაძლებელია ამ ტექნიკის გამოყენებით, უნდა შემცირდეს. a კოეფიციენტის ზემოაღნიშნულ განტოლებაში x2-ის წინა ტოლია ერთი. ნებისმიერი განტოლება შეიძლება შემცირდეს მსგავს ფორმამდე გამოხატვის პირველ კოეფიციენტზე გაყოფით, მაგრამ ეს ოპერაცია ყოველთვის არ არის რაციონალური.
თეორემის დადასტურება
დასაწყისისთვის, უნდა გვახსოვდეს, თუ როგორ, ტრადიციის თანახმად, ჩვეულებრივად არის მოძიებული კვადრატული განტოლების ფესვები. გვხვდება პირველი და მეორე ფესვები, კერძოდ: x1 = (-b-√D)/2, x2 = (-b+√D)/2. ზოგადად იყოფა 2a-ზე, მაგრამ, როგორც უკვე აღვნიშნეთ, თეორემა შეიძლება გამოყენებულ იქნას მხოლოდ მაშინ, როდესაც a=1.ვიეტას თეორემიდან ცნობილია, რომ ფესვების ჯამი უდრის მეორე კოეფიციენტს მინუს ნიშნით. ეს ნიშნავს, რომ x1 + x2 = (-b-√D)/2 + (-b+√D)/2 = −2b/2 = −b.
იგივე ეხება უცნობი ფესვების ნამრავლს: x1 * x2 = (-b-√D)/2 * (-b+√D)/2 = (b2-D)/4. თავის მხრივ, D = b2-4c (ისევ, a=1-ით). გამოდის, რომ შედეგია: x1 * x2 = (b2- b2)/4+c = c.
ზემოაღნიშნული მარტივი მტკიცებულებიდან მხოლოდ ერთი დასკვნის გამოტანა შეიძლება: ვიეტას თეორემა სრულიად დადასტურებულია.
მეორე ფორმულირება და მტკიცებულება
ვიეტას თეორემას სხვა ინტერპრეტაცია აქვს. უფრო სწორად, ეს არის არა ინტერპრეტაცია, არამედ ფორმულირება. ფაქტია, რომ თუ იგივე პირობები დაკმაყოფილებულია, როგორც პირველ შემთხვევაში: არსებობს ორი განსხვავებული რეალური ფესვი, მაშინ თეორემა შეიძლება დაიწეროს სხვა ფორმულით.ეს ტოლობა ასე გამოიყურება: x2 + bx + c = (x - x1) (x - x2). თუ ფუნქცია P(x) იკვეთება ორ წერტილში x1 და x2, მაშინ ის შეიძლება დაიწეროს როგორც P(x) = (x - x1)(x - x2) * R(x). იმ შემთხვევაში, როდესაც P-ს აქვს მეორე ხარისხი, და ზუსტად ასე გამოიყურება ორიგინალური გამოხატულება, მაშინ R არის მარტივი რიცხვი, კერძოდ 1. ეს განცხადება მართალია იმ მიზეზით, რომ წინააღმდეგ შემთხვევაში ტოლობა არ დარჩება. ფრჩხილების გახსნისას კოეფიციენტი x2 არ უნდა იყოს ერთზე მეტი, ხოლო გამოხატულება უნდა დარჩეს კვადრატული.
ვიეტას თეორემა ხშირად გამოიყენება უკვე ნაპოვნი ფესვების შესამოწმებლად. თუ იპოვეთ ფესვები, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ფორმულები \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) მნიშვნელობების გამოსათვლელად. ) და \(q\ ). და თუ ისინი აღმოჩნდებიან იგივე, რაც თავდაპირველ განტოლებაში, მაშინ ფესვები სწორად არის ნაპოვნი.
მაგალითად, გამოვიყენოთ , ამოხსნათ განტოლება \(x^2+x-56=0\) და მივიღოთ ფესვები: \(x_1=7\), \(x_2=-8\). მოდით შევამოწმოთ, დაგვიშვია თუ არა შეცდომა ამოხსნის პროცესში. ჩვენს შემთხვევაში, \(p=1\) და \(q=-56\). ვიეტას თეორემით გვაქვს:
\(\ დასაწყისი (შემთხვევები)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end (შემთხვევები)\) \(\მარცხნივ მარჯვენა ისარი\) \(\ დასაწყისი (შემთხვევები)7+(-8)=-1 \\ 7\cdot(-8)=-56\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)-1=-1\\-56=-56\end(cases)\ )
ორივე დებულება ერთმანეთს ემთხვეოდა, რაც ნიშნავს, რომ განტოლება სწორად მოვაგვარეთ.
ეს ტესტი შეიძლება გაკეთდეს ზეპირად. დასჭირდება 5 წამი და გიხსნის სულელური შეცდომებისგან.
ინვერსი ვიეტას თეორემა
თუ \(\ დასაწყისი (შემთხვევები)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end (შემთხვევები)\), მაშინ \(x_1\) და \(x_2\) არის კვადრატული განტოლების ფესვები \ (x^ 2+px+q=0\).
ან მარტივი გზით: თუ გაქვთ \(x^2+px+q=0\) ფორმის განტოლება, მაშინ სისტემის ამოხსნით \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \ cdot x_2=q\ end(cases)\) თქვენ იპოვით მის ფესვებს.
ამ თეორემის წყალობით, თქვენ შეგიძლიათ სწრაფად იპოვოთ კვადრატული განტოლების ფესვები, განსაკუთრებით თუ ეს ფესვებია. ეს უნარი მნიშვნელოვანია, რადგან ის დაზოგავს დიდ დროს.
მაგალითი . ამოხსენით განტოლება \(x^2-5x+6=0\).
გამოსავალი
: შებრუნებული Vieta თეორემის გამოყენებით მივიღებთ, რომ ფესვები აკმაყოფილებს პირობებს: \(\begin(cases)x_1+x_2=5 \\x_1 \cdot x_2=6\end(cases)\).
შეხედეთ \(x_1 \cdot x_2=6\) სისტემის მეორე განტოლებას. რომელ ორად შეიძლება დაიშალოს რიცხვი \(6\)? \(2\) და \(3\), \(6\) და \(1\) ან \(-2\) და \(-3\), და \(-6\) და \(- ერთი \). და რომელი წყვილი აირჩიოს, სისტემის პირველი განტოლება გეტყვით: \(x_1+x_2=5\). \(2\) და \(3\) მსგავსია, რადგან \(2+3=5\).
უპასუხე
: \(x_1=2\), \(x_2=3\).
მაგალითები
. ვიეტას თეორემის ინვერსიის გამოყენებით იპოვეთ კვადრატული განტოლების ფესვები:
ა) \(x^2-15x+14=0\); ბ) \(x^2+3x-4=0\); გ) \(x^2+9x+20=0\); დ) \(x^2-88x+780=0\).
გამოსავალი
:
ა) \(x^2-15x+14=0\) - რა ფაქტორებად იშლება \(14\)? \(2\) და \(7\), \(-2\) და \(-7\), \(-1\) და \(-14\), \(1\) და \(14\ ). რა რიცხვების წყვილი ემატება \(15\)-ს? პასუხი: \(1\) და \(14\).
ბ) \(x^2+3x-4=0\) - რა ფაქტორებად იშლება \(-4\)? \(-2\) და \(2\), \(4\) და \(-1\), \(1\) და \(-4\). რა რიცხვების წყვილი ემატება \(-3\)-ს? პასუხი: \(1\) და \(-4\).
გ) \(x^2+9x+20=0\) – რა ფაქტორებად იშლება \(20\)? \(4\) და \(5\), \(-4\) და \(-5\), \(2\) და \(10\), \(-2\) და \(-10\ ), \(-20\) და \(-1\), \(20\) და \(1\). რა რიცხვების წყვილი ემატება \(-9\)-ს? პასუხი: \(-4\) და \(-5\).
დ) \(x^2-88x+780=0\) - რა ფაქტორებად იშლება \(780\)? \(390\) და \(2\). ისინი ემატებიან \(88\)-ს? არა. კიდევ რა მამრავლები აქვს \(780\)-ს? \(78\) და \(10\). ისინი ემატებიან \(88\)-ს? დიახ. პასუხი: \(78\) და \(10\).
არ არის აუცილებელი ბოლო ტერმინის დაშლა ყველა შესაძლო ფაქტორად (როგორც ბოლო მაგალითში). თქვენ შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ შეამოწმოთ არის თუ არა მათი ჯამი \(-p\).
Მნიშვნელოვანი!ვიეტას თეორემა და საპირისპირო თეორემა მუშაობს მხოლოდ , ანუ ერთთან, რომლის კოეფიციენტი \(x^2\)-ის წინ უდრის ერთს. თუ თავდაპირველად გვაქვს არაშემცირებული განტოლება, მაშინ შეგვიძლია მისი შემცირება უბრალოდ \ (x ^ 2 \"-ის წინა კოეფიციენტზე გაყოფით.
Მაგალითად, მოყვანილი იყოს განტოლება \(2x^2-4x-6=0\) და გვინდა ვიეტას ერთ-ერთი თეორემა გამოვიყენოთ. მაგრამ ჩვენ არ შეგვიძლია, რადგან კოეფიციენტი \(x^2\)-მდე უდრის \(2\). მოვიშოროთ იგი მთელი განტოლების \(2\-ზე) გაყოფით.
\(2x^2-4x-6=0\) \(|:2\)
\(x^2-2x-3=0\)
მზადაა. ახლა შეგვიძლია ორივე თეორემა გამოვიყენოთ.
პასუხები ხშირად დასმულ კითხვებზე
Კითხვა:
ვიეტას თეორემით შეგიძლიათ ამოხსნათ რომელიმე?
პასუხი:
სამწუხაროდ არა. თუ განტოლებაში არ არის მთელი რიცხვები ან განტოლებას საერთოდ არ აქვს ფესვები, მაშინ ვიეტას თეორემა არ დაეხმარება. ამ შემთხვევაში, თქვენ უნდა გამოიყენოთ დისკრიმინანტი
. საბედნიეროდ, სასკოლო მათემატიკის კურსში განტოლებების 80%-ს აქვს მთელი რიცხვები.
სანამ ვიეტას თეორემაზე გადავიდოდეთ, შემოგთავაზებთ განმარტებას. ფორმის კვადრატული განტოლება x² + px + ქ= 0 ეწოდება შემცირებული. ამ განტოლებაში წამყვანი კოეფიციენტი ერთის ტოლია. მაგალითად, განტოლება x² - 3 x- 4 = 0 მცირდება. ფორმის ნებისმიერი კვადრატული განტოლება ნაჯახი² + ბ x + გ= 0 შეიძლება იყოს შემცირებული, ამისათვის ჩვენ ვყოფთ განტოლების ორივე მხარეს ა≠ 0. მაგალითად, განტოლება 4 x² + 4 x- 3 \u003d 0 გაყოფილი 4-ზე მცირდება ფორმაში: x² + x- 3/4 = 0. ჩვენ გამოვიყვანთ მოცემული კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულას, ამისთვის ვიყენებთ ზოგადი კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულას: ნაჯახი² + bx + გ = 0
შემცირებული განტოლება x² + px + ქ= 0 ემთხვევა ზოგად განტოლებას, რომელშიც ა = 1, ბ = გვ, გ = ქ.ამრიგად, მოცემული კვადრატული განტოლებისთვის, ფორმულა იღებს ფორმას: 
ბოლო გამოსახულებას ეწოდება შემცირებული კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულა, განსაკუთრებით მოსახერხებელია ამ ფორმულის გამოყენება, როდესაც რ- ლუწი რიცხვი. მაგალითად, გადავწყვიტოთ განტოლება x² - 14 x — 15 = 0
საპასუხოდ, ჩვენ ვწერთ, რომ განტოლებას აქვს ორი ფესვი.
შემცირებული კვადრატული განტოლებისთვის დადებითით, მოქმედებს შემდეგი თეორემა.
ვიეტას თეორემა
Თუ x 1 და x 2 - განტოლების ფესვები x² + px + ქ= 0, მაშინ ფორმულები მოქმედებს:
x 1 + x 2 = — რ
x 1 * x 2 \u003d q,ანუ მოცემული კვადრატული განტოლების ფესვების ჯამი უდრის მეორე კოეფიციენტს, აღებული საპირისპირო ნიშნით, ხოლო ფესვების ნამრავლი უდრის თავისუფალ წევრს.
ზემოაღნიშნული კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულის საფუძველზე გვაქვს:
ამ თანასწორობების დამატებით მივიღებთ: x 1 + x 2 = —რ.
ამ ტოლობების გამრავლებით, კვადრატების სხვაობის ფორმულის გამოყენებით, მივიღებთ:
გაითვალისწინეთ, რომ ვიეტას თეორემა ასევე მოქმედებს, როდესაც დისკრიმინანტი ნულის ტოლია, თუ დავუშვებთ, რომ ამ შემთხვევაში კვადრატულ განტოლებას ორი იდენტური ფესვი აქვს: x 1 = x 2 = — რ/2.
არ ხსნის განტოლებებს x² - 13 x+ 30 = 0 იპოვნეთ მისი ფესვების ჯამი და ნამრავლი x 1 და x 2 . ეს განტოლება დ\u003d 169 - 120 \u003d 49\u003e 0, ასე რომ თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ Vieta თეორემა: x 1 + x 2 = 13, x 1 * x 2 = 30. განვიხილოთ კიდევ რამდენიმე მაგალითი. განტოლების ერთ-ერთი ფესვი x² — px- 12 = 0 არის x 1 = 4. იპოვეთ კოეფიციენტი რდა მეორე ფესვი xამ განტოლების 2. ვიეტას თეორემის მიხედვით x 1 * x 2 =— 12, x 1 + x 2 = — რ.იმიტომ რომ x 1 = 4 შემდეგ 4 x 2 = - 12, საიდანაც x 2 = — 3, რ = — (x 1 + x 2) \u003d - (4 - 3) \u003d - 1. საპასუხოდ, ჩვენ ვწერთ მეორე ფესვს x 2 = - 3, კოეფიციენტი p = - 1.
არ ხსნის განტოლებებს x² + 2 x- 4 = 0 იპოვეთ მისი ფესვების კვადრატების ჯამი. დაე x 1 და x 2 არის განტოლების ფესვები. ვიეტას თეორემის მიხედვით x 1 + x 2 = — 2, x 1 * x 2 = - 4. იმიტომ რომ x 1²+ x 2² = ( x 1 + x 2)² - 2 x 1 x 2, მაშინ x 1²+ x 2 ² \u003d (- 2) ² -2 (- 4) \u003d 12.
იპოვეთ მე-3 განტოლების ფესვების ჯამი და ნამრავლი x² + 4 x- 5 \u003d 0. ამ განტოლებას ორი განსხვავებული ფესვი აქვს, რადგან დისკრიმინანტია დ= 16 + 4*3*5 > 0. განტოლების ამოსახსნელად ვიყენებთ ვიეტას თეორემას. ეს თეორემა დადასტურდა შემცირებული კვადრატული განტოლებისთვის. მოდით გავყოთ ეს განტოლება 3-ზე.
აქედან გამომდინარე, ფესვების ჯამი არის -4/3, ხოლო მათი ნამრავლი -5/3.
ზოგადად, განტოლების ფესვები ნაჯახი² + ბ x + გ= 0 დაკავშირებულია შემდეგი ტოლებით: x 1 + x 2 = — b/a, x 1 * x 2 = c/a,ამ ფორმულების მისაღებად საკმარისია ამ კვადრატული განტოლების ორივე მხარე გავყოთ ა ≠ 0 და გამოიყენე ვიეტას თეორემა მიღებულ შემცირებულ კვადრატულ განტოლებაზე. განვიხილოთ მაგალითი, თქვენ უნდა შეადგინოთ მოცემული კვადრატული განტოლება, რომლის ფესვები x 1 = 3, x 2 = 4. იმიტომ რომ x 1 = 3, x 2 = 4 არის კვადრატული განტოლების ფესვები x² + px + ქ= 0, შემდეგ ვიეტას თეორემით რ = — (x 1 + x 2) = — 7, ქ = x 1 x 2 = 12. საპასუხოდ, ჩვენ ვწერთ x² - 7 x+ 12 = 0. ზოგიერთი ამოცანის ამოხსნისას გამოიყენება შემდეგი თეორემა.
ვიეტას თეორემას შებრუნებული თეორემა
თუ ნომრები რ, ქ, x 1 , x 2 ისეთია, რომ x 1 + x 2 = — p, x 1 * x 2 \u003d q, მაშინ x 1და x2არის განტოლების ფესვები x² + px + ქ= 0. ჩანაცვლება მარცხენა მხარეს x² + px + ქმაგივრად რგამოთქმა - ( x 1 + x 2), მაგრამ ამის ნაცვლად ქ- სამუშაო x 1 * x 2 .ჩვენ ვიღებთ: x² + px + ქ = x² — ( x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d x² - x 1 x - x 2 x + x 1 x 2 \u003d (x - x 1) (x - x 2).ამრიგად, თუ რიცხვები რ, ქ, x 1 და x 2 დაკავშირებულია ამ ურთიერთობებით, შემდეგ ყველასთვის Xთანასწორობა x² + px + ქ = (x - x 1) (x - x 2),საიდანაც გამომდინარეობს, რომ x 1 და x 2 - განტოლების ფესვები x² + px + ქ= 0. ვიეტას თეორემის საპირისპირო თეორემის გამოყენებით, ზოგჯერ შესაძლებელია კვადრატული განტოლების ფესვების პოვნა შერჩევით. განვიხილოთ მაგალითი, x² - 5 x+ 6 = 0. აქ რ = — 5, ქ= 6. აირჩიე ორი რიცხვი x 1 და x 2 ასე რომ x 1 + x 2 = 5, x 1 * x 2 = 6. იმის გათვალისწინებით, რომ 6 = 2 * 3, და 2 + 3 = 5, ვიეტას თეორემასთან საპირისპირო თეორემით, მივიღებთ, რომ x 1 = 2, x 2 = 3 - განტოლების ფესვები x² - 5 x + 6 = 0.
კვადრატული განტოლების ფესვებსა და კოეფიციენტებს შორის, გარდა ძირეული ფორმულებისა, არსებობს სხვა სასარგებლო ურთიერთობები, რომლებიც მოცემულია ვიეტას თეორემა. ამ სტატიაში ჩვენ მივცემთ ვიეტას თეორემის ფორმულირებას და მტკიცებულებას კვადრატული განტოლებისთვის. შემდეგი, ჩვენ განვიხილავთ თეორემას, რომელიც საპირისპიროა ვიეტას თეორემაზე. ამის შემდეგ გავაანალიზებთ ყველაზე დამახასიათებელი მაგალითების ამონახსნებს. და ბოლოს, ჩვენ ვწერთ Vieta ფორმულებს, რომლებიც განსაზღვრავენ კავშირს რეალურ ფესვებს შორის ალგებრული განტოლებახარისხი n და მისი კოეფიციენტები.
გვერდის ნავიგაცია.
ვიეტას თეორემა, ფორმულირება, დადასტურება
კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულებიდან a x 2 +b x+c=0 ფორმის , სადაც D=b 2 −4 a c , მიმართებები x 1 +x 2 = −b/a, x 1 x 2 = გ/ა . ეს შედეგები დადასტურებულია ვიეტას თეორემა:
თეორემა.
Თუ x 1 და x 2 არის კვადრატული განტოლების ფესვები a x 2 +b x+c=0, მაშინ ფესვების ჯამი უდრის b და a კოეფიციენტების შეფარდებას, აღებული საპირისპირო ნიშნით და ნამრავლი ფესვები უდრის c და a კოეფიციენტების შეფარდებას, ანუ .
მტკიცებულება.
ვიეტას თეორემას დავამტკიცებთ შემდეგი სქემის მიხედვით: კვადრატული განტოლების ფესვების ჯამს და ნამრავლს შევადგენთ ფესვების ცნობილი ფორმულების გამოყენებით, შემდეგ გადავიყვანთ მიღებულ გამონათქვამებს და დავრწმუნდებით, რომ ისინი −b-ის ტოლია. /a და c/a, შესაბამისად.
დავიწყოთ ფესვების ჯამით, შევადგინოთ. ახლა ჩვენ მივყავართ წილადებს საერთო მნიშვნელთან, გვაქვს. მიღებული წილადის მრიცხველში , რის შემდეგაც : . საბოლოოდ, 2-ის შემდეგ მივიღებთ. ეს ადასტურებს ვიეტას თეორემის პირველ მიმართებას კვადრატული განტოლების ფესვების ჯამისთვის. გადავიდეთ მეორეზე.
ჩვენ ვადგენთ კვადრატული განტოლების ფესვების ნამრავლს:. წილადების გამრავლების წესის მიხედვით ბოლო ნამრავლი შეიძლება დაიწეროს როგორც. ახლა ჩვენ ვამრავლებთ ფრჩხილს მრიცხველში არსებულ ფრჩხილზე, მაგრამ უფრო სწრაფია ამ პროდუქტის დაშლა კვადრატების განსხვავება ფორმულა, Ისე . შემდეგ, დამახსოვრებისას, ჩვენ ვასრულებთ შემდეგ გადასვლას. და რადგან ფორმულა D=b 2 −4 a·c შეესაბამება კვადრატული განტოლების დისკრიმინანტს, მაშინ b 2 −4·a·c შეიძლება ჩავანაცვლოთ ბოლო წილადში D-ის ნაცვლად, მივიღებთ . ფრჩხილების გახსნისა და მსგავსი ტერმინების შემცირების შემდეგ მივდივართ წილადზე და მისი შემცირება 4·a-ით იძლევა . ეს ადასტურებს ვიეტას თეორემის მეორე მიმართებას ფესვების ნამრავლისთვის.
თუ ახსნა-განმარტებებს გამოვტოვებთ, მაშინ ვიეტას თეორემის მტკიცებულება მიიღებს მოკლე ფორმას:
,
.
რჩება მხოლოდ აღნიშვნა, რომ როდესაც დისკრიმინანტი ნულის ტოლია, კვადრატულ განტოლებას აქვს ერთი ფესვი. თუმცა, თუ დავუშვებთ, რომ განტოლებას ამ შემთხვევაში ორი იდენტური ფესვი აქვს, მაშინ ვიეტას თეორემიდან მიღებული ტოლობებიც მოქმედებს. მართლაც, D=0-სთვის კვადრატული განტოლების ფესვი არის , მაშინ და , და რადგან D=0 , ანუ b 2 −4·a·c=0 , საიდანაც b 2 =4·a·c , მაშინ .
პრაქტიკაში ვიეტას თეორემა ყველაზე ხშირად გამოიყენება x 2 +p·x+q=0 ფორმის შემცირებულ კვადრატულ განტოლებასთან (უმაღლესი კოეფიციენტით 1-ის ტოლი) მიმართ. ზოგჯერ იგი ჩამოყალიბებულია მხოლოდ ამ ტიპის კვადრატული განტოლებისთვის, რაც არ ზღუდავს ზოგადობას, რადგან ნებისმიერი კვადრატული განტოლება შეიძლება შეიცვალოს ეკვივალენტური განტოლებით მისი ორივე ნაწილის გაყოფით არანულოვანი რიცხვით a. აქ არის ვიეტას თეორემის შესაბამისი ფორმულირება:
თეორემა.
შემცირებული კვადრატული განტოლების ფესვების ჯამი x 2 + p x + q \u003d 0 უდრის x კოეფიციენტს, აღებული საპირისპირო ნიშნით, ხოლო ფესვების ნამრავლი არის თავისუფალი წევრი, ანუ x 1 + x 2 \u003d −p, x 1 x 2 \u003d q .
ვიეტას თეორემას შებრუნებული თეორემა
ვიეტას თეორემის მეორე ფორმულირება, რომელიც მოცემულია წინა აბზაცში, მიუთითებს, რომ თუ x 1 და x 2 არის შემცირებული კვადრატული განტოლების ფესვები x 2 +p x+q=0, მაშინ მიმართებები x 1 +x 2 = − p , x 1 x 2 = q. მეორე მხრივ, x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q დაწერილი მიმართებებიდან გამომდინარეობს, რომ x 1 და x 2 არის კვადრატული განტოლების ფესვები x 2 +p x+q=0. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მტკიცება, რომელიც ეწინააღმდეგება ვიეტას თეორემას, მართალია. ჩვენ ვაყალიბებთ მას თეორემის სახით და ვამტკიცებთ.
თეორემა.
თუ x 1 და x 2 რიცხვები ისეთია, რომ x 1 +x 2 =−p და x 1 x 2 =q, მაშინ x 1 და x 2 არის შემცირებული კვადრატული განტოლების ფესვები x 2 +p x+q=0. .
მტკიცებულება.
p და q კოეფიციენტების ჩანაცვლების შემდეგ x 2 +p x+q=0 მათი გამოხატვის განტოლებაში x 1 და x 2, ის გარდაიქმნება ეკვივალენტურ განტოლებად.
ჩვენ ვცვლით რიცხვს x 1 ნაცვლად x-ის მიღებულ განტოლებაში, გვაქვს ტოლობა x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 =0, რომელიც ნებისმიერი x 1 და x 2 არის სწორი რიცხვითი ტოლობა 0=0, ვინაიდან x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 x 1 + x 1 x 2 =0. მაშასადამე, x 1 არის განტოლების ფესვი x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, რაც ნიშნავს, რომ x 1 არის ეკვივალენტური განტოლების ფესვი x 2 +p x+q=0.
თუ განტოლებაში x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0ჩაანაცვლეთ რიცხვი x 2 x-ის ნაცვლად, მაშინ მივიღებთ ტოლობას x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 =0. ეს არის სწორი განტოლება, რადგან x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 x 2 −x 2 2 +x 1 x 2 =0. მაშასადამე, x 2 ასევე არის განტოლების ფესვი x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, და აქედან გამომდინარე განტოლებები x 2 +p x+q=0 .
ეს ავსებს ვიეტას თეორემის საპირისპირო თეორემის დადასტურებას.
ვიეტას თეორემის გამოყენების მაგალითები
დროა ვისაუბროთ ვიეტას თეორემისა და მისი შებრუნებული თეორემის პრაქტიკულ გამოყენებაზე. ამ ქვეთავში ჩვენ გავაანალიზებთ რამდენიმე ყველაზე ტიპიური მაგალითის ამონახსნებს.
ვიეტას თეორემაზე საპირისპირო თეორემის გამოყენებით ვიწყებთ. მისი გამოყენება მოსახერხებელია იმის შესამოწმებლად, არის თუ არა მოცემული ორი რიცხვი მოცემული კვადრატული განტოლების ფესვები. ამ შემთხვევაში გამოითვლება მათი ჯამი და სხვაობა, რის შემდეგაც მოწმდება ურთიერთობების მართებულობა. თუ ორივე ეს მიმართება დაკმაყოფილებულია, მაშინ ვიეტას თეორემასთან საპირისპირო თეორემის ძალით გამოდის დასკვნა, რომ ეს რიცხვები განტოლების ფესვებია. თუ ერთ-ერთი მიმართება მაინც არ არის დაკმაყოფილებული, მაშინ ეს რიცხვები არ არის კვადრატული განტოლების ფესვები. ეს მიდგომა შეიძლება გამოყენებულ იქნას კვადრატული განტოლებების ამოხსნისას ნაპოვნი ფესვების შესამოწმებლად.
მაგალითი.
1) x 1 =−5, x 2 =3, ან 2), ან 3) რიცხვებიდან რომელია 4 x 2 −16 x+9=0 კვადრატული განტოლების ფესვების წყვილი?
გამოსავალი.
მოცემული კვადრატული განტოლების 4 x 2 −16 x+9=0 კოეფიციენტებია a=4 , b=−16 , c=9 . ვიეტას თეორემის მიხედვით, კვადრატული განტოლების ფესვების ჯამი უნდა იყოს −b/a, ანუ 16/4=4, ხოლო ფესვების ნამრავლი უნდა იყოს c/a-ს, ანუ 9-ის. /4.
ახლა გამოვთვალოთ რიცხვების ჯამი და ნამრავლი სამი მოცემულ წყვილში და შევადაროთ ისინი ახლახან მიღებულ მნიშვნელობებს.
პირველ შემთხვევაში გვაქვს x 1 +x 2 =−5+3=−2 . შედეგად მიღებული მნიშვნელობა განსხვავდება 4-ისგან, შესაბამისად, შემდგომი გადამოწმება შეუძლებელია, მაგრამ თეორემით, ვიეტას თეორემის ინვერსიით, შეგვიძლია დაუყოვნებლივ დავასკვნათ, რომ რიცხვების პირველი წყვილი არ არის მოცემული კვადრატული განტოლების ფესვების წყვილი. .
გადავიდეთ მეორე შემთხვევაზე. აქ, ანუ პირველი პირობა დაკმაყოფილებულია. ჩვენ ვამოწმებთ მეორე პირობას: , მიღებული მნიშვნელობა განსხვავდება 9/4-ისგან. მაშასადამე, რიცხვების მეორე წყვილი არ არის კვადრატული განტოლების ფესვების წყვილი.
ბოლო შემთხვევა რჩება. აქ და. ორივე პირობა დაკმაყოფილებულია, ამიტომ ეს რიცხვები x 1 და x 2 არის მოცემული კვადრატული განტოლების ფესვები.
პასუხი:
თეორემა, ვიეტას თეორემის საპირისპირო, შეიძლება გამოყენებულ იქნას პრაქტიკაში კვადრატული განტოლების ფესვების შესარჩევად. ჩვეულებრივ, ირჩევა მოცემული კვადრატული განტოლებების მთელი რიცხვები კოეფიციენტებით, რადგან სხვა შემთხვევებში ამის გაკეთება საკმაოდ რთულია. ამავდროულად, ისინი იყენებენ იმ ფაქტს, რომ თუ ორი რიცხვის ჯამი უდრის კვადრატული განტოლების მეორე კოეფიციენტს, აღებული მინუს ნიშნით და ამ რიცხვების ნამრავლი უდრის თავისუფალ წევრს, მაშინ ეს რიცხვები არის ამ კვადრატული განტოლების ფესვები. მოდით გავუმკლავდეთ ამას მაგალითით.
ავიღოთ კვადრატული განტოლება x 2 −5 x+6=0 . იმისათვის, რომ რიცხვები x 1 და x 2 იყოს ამ განტოლების ფესვები, უნდა დაკმაყოფილდეს ორი ტოლობა x 1 +x 2 \u003d 5 და x 1 x 2 \u003d 6. რჩება ასეთი ნომრების არჩევა. ამ შემთხვევაში ამის გაკეთება საკმაოდ მარტივია: ასეთი რიცხვებია 2 და 3, ვინაიდან 2+3=5 და 2 3=6 . ამრიგად, 2 და 3 არის ამ კვადრატული განტოლების ფესვები.
ვიეტას თეორემასთან საპირისპირო თეორემა განსაკუთრებით მოსახერხებელია შემცირებული კვადრატული განტოლების მეორე ფესვის საპოვნელად, როდესაც ერთ-ერთი ფესვი უკვე ცნობილია ან აშკარაა. ამ შემთხვევაში, მეორე ფესვი გვხვდება რომელიმე მიმართულებიდან.
მაგალითად, ავიღოთ კვადრატული განტოლება 512 x 2 −509 x−3=0 . აქ ადვილი მისახვედრია, რომ ერთეული არის განტოლების ფესვი, ვინაიდან ამ კვადრატული განტოლების კოეფიციენტების ჯამი არის ნული. ასე რომ, x 1 = 1. მეორე ფესვი x 2 შეიძლება მოიძებნოს, მაგალითად, x 1 x 2 =c/a მიმართებიდან. გვაქვს 1 x 2 =−3/512, საიდანაც x 2 =−3/512. ასე რომ, ჩვენ განვსაზღვრეთ კვადრატული განტოლების ორივე ფესვი: 1 და −3/512.
გასაგებია, რომ ფესვების შერჩევა მიზანშეწონილია მხოლოდ უმარტივეს შემთხვევებში. სხვა შემთხვევებში, ფესვების მოსაძებნად, შეგიძლიათ გამოიყენოთ კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულები დისკრიმინანტის საშუალებით.
თეორემის კიდევ ერთი პრაქტიკული გამოყენება, ვიეტას თეორემის ინვერსია, არის კვადრატული განტოლებების შედგენა მოცემული ფესვებისთვის x 1 და x 2. ამისათვის საკმარისია გამოვთვალოთ ფესვების ჯამი, რომელიც იძლევა x-ის კოეფიციენტს მოცემული კვადრატული განტოლების საპირისპირო ნიშნით და ფესვების ნამრავლს, რომელიც იძლევა თავისუფალ წევრს.
მაგალითი.
დაწერეთ კვადრატული განტოლება, რომლის ფესვებია −11 და 23 რიცხვები.
გამოსავალი.
აღნიშნეთ x 1 =−11 და x 2 =23 . ჩვენ ვიანგარიშებთ ამ რიცხვების ჯამს და ნამრავლს: x 1 + x 2 \u003d 12 და x 1 x 2 \u003d −253. მაშასადამე, ეს რიცხვები არის მოცემული კვადრატული განტოლების ფესვები მეორე კოეფიციენტით -12 და თავისუფალი წევრით -253. ანუ x 2 −12·x−253=0 არის სასურველი განტოლება.
პასუხი:
x 2 −12 x−253=0 .
ვიეტას თეორემა ძალიან ხშირად გამოიყენება ამოცანების ამოხსნისას, რომლებიც დაკავშირებულია კვადრატული განტოლებების ფესვების ნიშნებთან. როგორ უკავშირდება ვიეტას თეორემა შემცირებული კვადრატული განტოლების ფესვების ნიშნებს x 2 +p x+q=0 ? აქ არის ორი შესაბამისი განცხადება:
- თუ თავისუფალი წევრი q დადებითი რიცხვია და თუ კვადრატულ განტოლებას რეალური ფესვები აქვს, მაშინ ორივე დადებითია ან ორივე უარყოფითი.
- თუ თავისუფალი წევრი q არის უარყოფითი რიცხვი და თუ კვადრატულ განტოლებას რეალური ფესვები აქვს, მაშინ მათი ნიშნები განსხვავებულია, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ერთი ფესვი დადებითია, მეორე კი უარყოფითი.
ეს განცხადებები გამომდინარეობს x 1 x 2 =q ფორმულიდან, ასევე დადებითი, უარყოფითი რიცხვების და სხვადასხვა ნიშნით რიცხვების გამრავლების წესებიდან. განვიხილოთ მათი გამოყენების მაგალითები.
მაგალითი.
R დადებითია. დისკრიმინაციული ფორმულის მიხედვით ვპოულობთ D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8, გამოხატვის r 2 მნიშვნელობა. +8 არის დადებითი ნებისმიერი რეალური r, შესაბამისად D>0 ნებისმიერი რეალური r. ამრიგად, თავდაპირველ კვადრატულ განტოლებას აქვს ორი ფესვი r პარამეტრის ნებისმიერი რეალური მნიშვნელობისთვის.
ახლა გავარკვიოთ, როდის აქვთ ფესვებს განსხვავებული ნიშნები. თუ ფესვების ნიშნები განსხვავებულია, მაშინ მათი ნამრავლი უარყოფითია, ვიეტას თეორემით კი მოცემული კვადრატული განტოლების ფესვების ნამრავლი უდრის თავისუფალ წევრს. ამიტომ, ჩვენ გვაინტერესებს r-ის ის მნიშვნელობები, რომლებისთვისაც თავისუფალი ვადა r−1 უარყოფითია. ამრიგად, იმისათვის, რომ ვიპოვოთ r-ის მნიშვნელობები, რომლებიც ჩვენთვის საინტერესოა, ჩვენ გვჭირდება წრფივი უტოლობის ამოხსნა r−1<0 , откуда находим r<1 .
პასუხი:
რ<1 .
ვიეტას ფორმულები
ზემოთ ვისაუბრეთ ვიეტას თეორემაზე კვადრატული განტოლებისთვის და გავაანალიზეთ ის მიმართებები, რომლებიც მას ამტკიცებს. მაგრამ არსებობს ფორმულები, რომლებიც აკავშირებს ნამდვილ ფესვებს და კოეფიციენტებს არა მხოლოდ კვადრატული განტოლებების, არამედ კუბური განტოლებების, ოთხმაგი განტოლებების და ზოგადად, ალგებრული განტოლებებიხარისხი n. მათ ეძახიან ვიეტას ფორმულები.
ჩვენ ვწერთ ვიეტას ფორმულებს ფორმის n ხარისხის ალგებრული განტოლებისთვის, მაშინ როცა ვივარაუდებთ, რომ მას აქვს n ნამდვილი ფესვი x 1, x 2, ..., x n (მათ შორის შეიძლება იყოს იგივე): 
მიიღეთ Vieta ფორმულები საშუალებას იძლევა მრავალწევრი ფაქტორიზაციის თეორემა, ასევე ტოლი მრავალწევრების განსაზღვრა მათი ყველა შესაბამისი კოეფიციენტის ტოლობის მეშვეობით. ასე რომ, მრავალწევრი და მისი გაფართოება ფორმის წრფივ ფაქტორებად ტოლია. ბოლო ნამრავლში ფრჩხილების გახსნით და შესაბამისი კოეფიციენტების გათანაბრებით მივიღებთ Vieta ფორმულებს.
კერძოდ, n=2-ისთვის ჩვენ უკვე ვიცნობთ ვიეტას ფორმულებს კვადრატული განტოლებისთვის.
კუბური განტოლებისთვის ვიეტას ფორმულებს აქვთ ფორმა 
რჩება მხოლოდ იმის აღნიშვნა, რომ ვიეტას ფორმულების მარცხენა მხარეს არის ე.წ სიმეტრიული მრავალწევრები.
ბიბლიოგრაფია.
- Ალგებრა:სახელმძღვანელო 8 უჯრედისთვის. ზოგადი განათლება დაწესებულებები / [იუ. ნ. მაკარიჩევი, ნ.გ.მინდიუკი, კ.ი.ნეშკოვი, ს.ბ.სუვოროვა]; რედ. S.A. თელიაკოვსკი. - მე-16 გამოცემა. - მ. : განათლება, 2008. - 271გვ. : ავად. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- მორდკოვიჩი ა.გ.Ალგებრა. მე-8 კლასი. 14 საათზე, ნაწილი 1. სახელმძღვანელო საგანმანათლებლო დაწესებულებების სტუდენტებისთვის / A. G. Mordkovich. - მე-11 გამოცემა, წაშლილია. - მ.: მნემოზინა, 2009. - 215გვ.: ილ. ISBN 978-5-346-01155-2.
- Ალგებრადა მათემატიკური ანალიზის დასაწყისი. მე-10 კლასი: სახელმძღვანელო. ზოგადი განათლებისთვის ინსტიტუტები: ძირითადი და პროფილი. დონეები / [იუ. მ.კოლიაგინი, მ.ვ.ტკაჩევა, ნ.ე.ფედოროვა, მ.ი.შაბუნინი]; რედ. A.B. ჟიჟჩენკო. - მე-3 გამოცემა. - მ.: განმანათლებლობა, 2010.- 368გვ. : ავად. - ISBN 978-5-09-022771-1.
კვადრატული განტოლების ამოხსნის ერთ-ერთი მეთოდია გამოყენება VIETA ფორმულები, რომელსაც ფრანსუა ვიეტეს სახელი ეწოდა.
ის იყო ცნობილი ადვოკატი და მსახურობდა მე-16 საუკუნეში საფრანგეთის მეფესთან. თავისუფალ დროს სწავლობდა ასტრონომიასა და მათემატიკას. მან დაამყარა კავშირი კვადრატული განტოლების ფესვებსა და კოეფიციენტებს შორის.
ფორმულის უპირატესობები:
1 . ფორმულის გამოყენებით, შეგიძლიათ სწრაფად იპოვოთ გამოსავალი. იმის გამო, რომ თქვენ არ გჭირდებათ მეორე კოეფიციენტის კვადრატში შეყვანა, შემდეგ მისგან გამოკლება 4ac, იპოვეთ დისკრიმინანტი, ჩაანაცვლეთ მისი მნიშვნელობა ფესვების საპოვნელ ფორმულაში.
2 . გამოსავლის გარეშე, შეგიძლიათ განსაზღვროთ ფესვების ნიშნები, აირჩიოთ ფესვების მნიშვნელობები.
3 . ორი ჩანაწერის სისტემის ამოხსნის შემდეგ, ძნელი არ არის თავად ფესვების პოვნა. ზემოთ მოყვანილ კვადრატულ განტოლებაში ფესვების ჯამი უდრის მეორე კოეფიციენტის მნიშვნელობას მინუს ნიშნით. ზემოხსენებულ კვადრატულ განტოლებაში ფესვების ნამრავლი უდრის მესამე კოეფიციენტის მნიშვნელობას.
4 . მოცემული ფესვების მიხედვით დაწერეთ კვადრატული განტოლება, ანუ ამოხსენით შებრუნებული ამოცანა. მაგალითად, ეს მეთოდი გამოიყენება თეორიულ მექანიკაში პრობლემების გადაჭრისას.
5 . მოსახერხებელია ფორმულის გამოყენება, როდესაც წამყვანი კოეფიციენტი ერთის ტოლია.
ხარვეზები:
1
. ფორმულა არ არის უნივერსალური.
ვიეტას თეორემა მე-8 კლასი
ფორმულა
თუ x 1 და x 2 არის მოცემული კვადრატული განტოლების ფესვები x 2 + px + q \u003d 0, მაშინ:
მაგალითები
x 1 \u003d -1; x 2 \u003d 3 - განტოლების ფესვები x 2 - 2x - 3 \u003d 0.
P = -2, q = -3.
X 1 + x 2 \u003d -1 + 3 \u003d 2 \u003d -p,
X 1 x 2 = -1 3 = -3 = q.
შებრუნებული თეორემა
ფორმულა
თუ x 1 , x 2 , p, q რიცხვები დაკავშირებულია პირობებით:
მაშინ x 1 და x 2 არის განტოლების ფესვები x 2 + px + q = 0.
მაგალითი
მოდით გავაკეთოთ კვადრატული განტოლება მისი ფესვებით:
X 1 \u003d 2 -? 3 და x 2 \u003d 2 +? 3 .
P \u003d x 1 + x 2 \u003d 4; p = -4; q \u003d x 1 x 2 \u003d (2 -? 3) (2 +? 3) \u003d 4 - 3 \u003d 1.
სასურველ განტოლებას აქვს ფორმა: x 2 - 4x + 1 = 0.
