სანამ გადაწყვეტილების მიღებას დავიწყებთ არითმეტიკული პროგრესირების პრობლემები, განვიხილოთ რა არის რიცხვითი მიმდევრობა, რადგან არითმეტიკული პროგრესია არის რიცხვების მიმდევრობის განსაკუთრებული შემთხვევა.

რიცხვითი თანმიმდევრობა არის რიცხვითი ნაკრები, რომლის თითოეულ ელემენტს აქვს საკუთარი სერიული ნომერი. ამ ნაკრების ელემენტებს უწოდებენ მიმდევრობის წევრებს. მიმდევრობის ელემენტის რიგითი ნომერი მითითებულია ინდექსით:

მიმდევრობის პირველი ელემენტი;

მიმდევრობის მეხუთე ელემენტი;

- თანმიმდევრობის "nth" ელემენტი, ე.ი. ელემენტი "მდგომი რიგში" ნომერზე n.

არსებობს დამოკიდებულება მიმდევრობის ელემენტის მნიშვნელობასა და მის რიგით რიცხვს შორის. ამრიგად, ჩვენ შეგვიძლია მივიჩნიოთ მიმდევრობა, როგორც ფუნქცია, რომლის არგუმენტი არის მიმდევრობის ელემენტის რიგითი რიცხვი. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, შეიძლება ითქვას თანმიმდევრობა არის ბუნებრივი არგუმენტის ფუნქცია:

თანმიმდევრობა შეიძლება განისაზღვროს სამი გზით:

1 . თანმიმდევრობა შეიძლება განისაზღვროს ცხრილის გამოყენებით.ამ შემთხვევაში, ჩვენ უბრალოდ ვაყენებთ მიმდევრობის თითოეული წევრის მნიშვნელობას.

მაგალითად, ვიღაცამ გადაწყვიტა გაეკეთებინა დროის პირადი მენეჯმენტი და, დასაწყისისთვის, გამოეთვალა რამდენ დროს ატარებს VKontakte-ზე კვირის განმავლობაში. დროის ცხრილში ჩაწერით, ის მიიღებს შვიდი ელემენტისგან შემდგარ თანმიმდევრობას:

ცხრილის პირველი სტრიქონი შეიცავს კვირის დღის რაოდენობას, მეორე - დროს წუთებში. ჩვენ ვხედავთ, რომ, ანუ ორშაბათს ვიღაცამ დახარჯა 125 წუთი VKontakte-ზე, ანუ ხუთშაბათს - 248 წუთი და, ანუ პარასკევს, მხოლოდ 15.

2 . თანმიმდევრობა შეიძლება განისაზღვროს n-ე წევრის ფორმულით.

ამ შემთხვევაში, მიმდევრობის ელემენტის მნიშვნელობის დამოკიდებულება მის რიცხვზე გამოიხატება პირდაპირ ფორმულის სახით.

მაგალითად, თუ, მაშინ

მოცემული რიცხვით მიმდევრობის ელემენტის მნიშვნელობის საპოვნელად, ელემენტის ნომერი ჩავანაცვლეთ n-ე წევრის ფორმულაში.

ჩვენ იგივეს ვაკეთებთ, თუ გვჭირდება ფუნქციის მნიშვნელობის პოვნა, თუ არგუმენტის მნიშვნელობა ცნობილია. ჩვენ ვცვლით არგუმენტის მნიშვნელობას ფუნქციის განტოლებაში:

თუ, მაგალითად, , მაშინ

კიდევ ერთხელ აღვნიშნავ, რომ თანმიმდევრობით, თვითნებური რიცხვითი ფუნქციისგან განსხვავებით, მხოლოდ ნატურალური რიცხვი შეიძლება იყოს არგუმენტი.

3 . თანმიმდევრობა შეიძლება განისაზღვროს ფორმულის გამოყენებით, რომელიც გამოხატავს n რიცხვით მიმდევრობის წევრის მნიშვნელობის დამოკიდებულებას წინა წევრების მნიშვნელობაზე. ამ შემთხვევაში ჩვენთვის საკმარისი არ არის მხოლოდ მიმდევრობის წევრის რიცხვის ცოდნა, რათა ვიპოვოთ მისი მნიშვნელობა. ჩვენ უნდა მივუთითოთ მიმდევრობის პირველი წევრი ან პირველი რამდენიმე წევრი.

მაგალითად, განიხილეთ თანმიმდევრობა ,

ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ მიმდევრობის წევრების მნიშვნელობები თანმიმდევრობითმესამედან დაწყებული:

ანუ, ყოველ ჯერზე, რათა ვიპოვოთ მიმდევრობის n-ე წევრის მნიშვნელობა, ვუბრუნდებით წინა ორს. თანმიმდევრობის ამ ხერხს ე.წ განმეორებადი, ლათინური სიტყვიდან განმეორებითი- დაბრუნდი.

ახლა ჩვენ შეგვიძლია განვსაზღვროთ არითმეტიკული პროგრესია. არითმეტიკული პროგრესია არის რიცხვითი მიმდევრობის მარტივი სპეციალური შემთხვევა.

არითმეტიკული პროგრესია ეწოდება რიცხვითი მიმდევრობა, რომლის ყოველი წევრი, მეორიდან დაწყებული, უდრის წინას, დამატებული იგივე რიცხვით.

ნომერზე იწოდება არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა. არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა შეიძლება იყოს დადებითი, უარყოფითი ან ნული.

If title="(!LANG:d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} იზრდება.

მაგალითად, 2; 5; რვა; თერთმეტი;...

თუ , მაშინ არითმეტიკული პროგრესიის ყოველი წევრი წინაზე ნაკლებია და პროგრესია არის მცირდება.

მაგალითად, 2; - ერთი; -ოთხი; -7;...

თუ , მაშინ პროგრესიის ყველა წევრი ტოლია ერთი და იგივე რიცხვისა და პროგრესია არის სტაციონარული.

მაგალითად, 2;2;2;2;...

არითმეტიკული პროგრესიის ძირითადი თვისება:

მოდით შევხედოთ სურათს.

ჩვენ ამას ვხედავთ

, და ამავე დროს

ამ ორი ტოლობის დამატება მივიღებთ:

.

გაყავით განტოლების ორივე მხარე 2-ზე:

ასე რომ, არითმეტიკული პროგრესიის თითოეული წევრი, მეორედან დაწყებული, უდრის ორი მეზობელი არითმეტიკული საშუალოს:

უფრო მეტიც, მას შემდეგ

, და ამავე დროს

, მაშინ

, და აქედან გამომდინარე

არითმეტიკული პროგრესიის თითოეული წევრი, რომელიც იწყება title="(!LANG:k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

წევრის ფორმულა.

ჩვენ ვხედავთ, რომ არითმეტიკული პროგრესიის წევრებისთვის მოქმედებს შემდეგი მიმართებები:

და ბოლოს

Მივიღეთ n-ე ტერმინის ფორმულა.

ᲛᲜᲘᲨᲕᲜᲔᲚᲝᲕᲐᲜᲘ!არითმეტიკული პროგრესიის ნებისმიერი წევრი შეიძლება გამოისახოს და. იცოდეთ პირველი წევრი და არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა, შეგიძლიათ იპოვოთ მისი რომელიმე წევრი.

არითმეტიკული პროგრესიის n წევრის ჯამი.

თვითნებური არითმეტიკული პროგრესიის დროს, უკიდურესებისგან თანაბრად დაშორებული ტერმინების ჯამები ერთმანეთის ტოლია:

განვიხილოთ არითმეტიკული პროგრესია n წევრით. მოდით ამ პროგრესიის n წევრის ჯამი იყოს ტოლი.

დაალაგეთ პროგრესიის ტერმინები ჯერ რიცხვების ზრდადი, შემდეგ კი კლების მიხედვით:

მოდით დავაწყვილოთ იგი:

თითოეულ ფრჩხილში ჯამი არის , წყვილების რაოდენობა არის n.

ჩვენ ვიღებთ:

Ისე, არითმეტიკული პროგრესიის n წევრის ჯამი შეგიძლიათ იხილოთ ფორმულების გამოყენებით:

განიხილეთ არითმეტიკული პროგრესირების ამოცანების ამოხსნა.

1 . თანმიმდევრობა მოცემულია n-ე წევრის ფორმულით: . დაამტკიცეთ, რომ ეს თანმიმდევრობა არის არითმეტიკული პროგრესია.

დავამტკიცოთ, რომ სხვაობა მიმდევრობის ორ მეზობელ წევრს შორის ერთი და იგივე რიცხვის ტოლია.

მივიღეთ, რომ მიმდევრობის ორი მიმდებარე წევრის სხვაობა არ არის დამოკიდებული მათ რიცხვზე და არის მუდმივი. ამიტომ, განსაზღვრებით, ეს თანმიმდევრობა არის არითმეტიკული პროგრესია.

2 . მოცემულია არითმეტიკული პროგრესია -31; -27;...

ა) იპოვეთ პროგრესიის 31 წევრი.

ბ) დაადგინეთ, შედის თუ არა რიცხვი 41 ამ პროგრესიაში.

ა)ჩვენ ვხედავთ ამას;

მოდით ჩამოვწეროთ ჩვენი პროგრესირების n-ე წევრის ფორმულა.

Ზოგადად

ჩვენს შემთხვევაში , ამიტომაც

არითმეტიკული პროგრესიის ჯამი.

არითმეტიკული პროგრესიის ჯამი მარტივი რამ არის. მნიშვნელობითაც და ფორმულითაც. მაგრამ ამ თემაზე ყველანაირი დავალებაა. ელემენტარულიდან საკმაოდ მყარი.

ჯერ შევეხოთ ჯამის მნიშვნელობას და ფორმულას. და მერე გადავწყვეტთ. საკუთარი სიამოვნებისთვის.) ჯამის მნიშვნელობა დაბლავით მარტივია. არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის საპოვნელად, თქვენ უბრალოდ უნდა ყურადღებით დაამატოთ მისი ყველა წევრი. თუ ეს ტერმინები ცოტაა, შეგიძლიათ დაამატოთ ყოველგვარი ფორმულების გარეშე. მაგრამ თუ ბევრია, ან ბევრი... დამატება შემაწუხებელია.) ამ შემთხვევაში ფორმულა ზოგავს.

ჯამის ფორმულა მარტივია:

მოდით გავარკვიოთ, რა სახის ასოები შედის ფორმულაში. ეს ბევრ რამეს გაარკვევს.

S n არის არითმეტიკული პროგრესიის ჯამი. დამატების შედეგი ყველაწევრებთან ერთად პირველი on ბოლო.Ეს არის მნიშვნელოვანი. დაამატე ზუსტად ყველაწევრები ზედიზედ, ხარვეზებისა და ნახტომების გარეშე. და, ზუსტად, დაწყებული პირველი.ისეთ პრობლემებში, როგორიცაა მესამე და მერვე წევრთა ჯამის პოვნა, ან ხუთიდან მეოცემდე ტერმინების ჯამი, ფორმულის პირდაპირი გამოყენება იმედგაცრუებული იქნება.)

a 1 - პირველიპროგრესის წევრი. აქ ყველაფერი გასაგებია, მარტივია პირველირიგის ნომერი.

a n- ბოლოპროგრესის წევრი. რიგის ბოლო ნომერი. არ არის ძალიან ნაცნობი სახელი, მაგრამ, როდესაც გამოიყენება თანხა, ეს ძალიან შესაფერისია. მერე თავად ნახავ.

ნ არის ბოლო წევრის ნომერი. მნიშვნელოვანია გვესმოდეს, რომ ფორმულაში ეს რიცხვი ემთხვევა დამატებული წევრების რაოდენობას.

მოდით განვსაზღვროთ კონცეფცია ბოლოწევრი a n. შევსების კითხვა: როგორი წევრი იქნება ბოლო,თუ მიცემულია გაუთავებელიარითმეტიკული პროგრესია?

დარწმუნებული პასუხისთვის, თქვენ უნდა გესმოდეთ არითმეტიკული პროგრესიის ელემენტარული მნიშვნელობა და ... ყურადღებით წაიკითხეთ დავალება!)

არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის პოვნის ამოცანაში ყოველთვის ჩნდება ბოლო წევრი (პირდაპირ ან ირიბად), რომელიც შეზღუდული უნდა იყოს.წინააღმდეგ შემთხვევაში, სასრული, კონკრეტული თანხა უბრალოდ არ არსებობს.ამოხსნისთვის არ აქვს მნიშვნელობა რა სახის პროგრესიაა მოცემული: სასრული თუ უსასრულო. არ აქვს მნიშვნელობა როგორ არის მოცემული: რიცხვების რიგით თუ n-ე წევრის ფორმულით.

ყველაზე მნიშვნელოვანი ის არის, რომ გვესმოდეს, რომ ფორმულა მუშაობს პროგრესირების პირველი ტერმინიდან რიცხვით ტერმინამდე ნ.სინამდვილეში, ფორმულის სრული სახელი ასე გამოიყურება: არითმეტიკული პროგრესიის პირველი n წევრის ჯამი.ამ პირველივე წევრების რიცხვი, ე.ი. ნ, განისაზღვრება მხოლოდ ამოცანის მიხედვით. ამოცანაში, მთელი ეს ღირებული ინფორმაცია ხშირად დაშიფრულია, დიახ ... მაგრამ არაფერი, ქვემოთ მოცემულ მაგალითებში ჩვენ გამოვავლენთ ამ საიდუმლოებებს.)

არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის ამოცანების მაგალითები.

პირველ რიგში, სასარგებლო ინფორმაცია:

არითმეტიკული პროგრესიის ჯამისთვის ამოცანების მთავარი სირთულე არის ფორმულის ელემენტების სწორი განსაზღვრა.

დავალებების ავტორები სწორედ ამ ელემენტებს შიფრავენ უსაზღვრო ფანტაზიით.) აქ მთავარია არ შეგეშინდეთ. ელემენტების არსის გაგება, საკმარისია მხოლოდ მათი გაშიფვრა. მოდით შევხედოთ რამდენიმე მაგალითს დეტალურად. დავიწყოთ დავალებით, რომელიც დაფუძნებულია რეალურ GIA-ზე.

1. არითმეტიკული პროგრესია მოცემულია პირობით: a n = 2n-3.5. იპოვეთ პირველი 10 წევრის ჯამი.

Ყოჩაღ. მარტივია.) ფორმულის მიხედვით ოდენობის დასადგენად რა უნდა ვიცოდეთ? პირველი წევრი a 1, ბოლო სემესტრი a nდიახ, ბოლო პერიოდის ნომერი ნ.

სად მივიღოთ ბოლო წევრის ნომერი ნ? დიახ, იქ, მდგომარეობაში! ნათქვამია იპოვე თანხა პირველი 10 წევრი.აბა, რა რიცხვი იქნება ბოლო,მეათე წევრი?) არ დაიჯერებთ, მისი ნომერი მეათეა!) ამიტომ ნაცვლად a nჩავანაცვლებთ ფორმულაში ა 10, მაგრამ სამაგიეროდ ნ-ათი. ისევ და ისევ, ბოლო წევრის რაოდენობა იგივეა, რაც წევრების რაოდენობა.

რჩება გასარკვევი a 1და ა 10. ეს ადვილად გამოითვლება n-ე წევრის ფორმულით, რომელიც მოცემულია პრობლემის დებულებაში. არ იცით როგორ გააკეთოთ ეს? ეწვიეთ წინა გაკვეთილს, ამის გარეშე - არაფერი.

a 1= 2 1 - 3.5 = -1.5

ა 10\u003d 2 10 - 3.5 \u003d 16.5

S n = S 10.

ჩვენ გავარკვიეთ არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის ფორმულის ყველა ელემენტის მნიშვნელობა. რჩება მათი ჩანაცვლება და დათვლა:

სულ ეს არის. პასუხი: 75.

კიდევ ერთი დავალება, რომელიც ეფუძნება GIA-ს. ცოტა უფრო რთული:

2. მოცემულია არითმეტიკული პროგრესია (a n), რომლის სხვაობა არის 3,7; a 1 \u003d 2.3. იპოვეთ პირველი 15 წევრის ჯამი.

ჩვენ დაუყოვნებლივ ვწერთ ჯამის ფორმულას:

ეს ფორმულა საშუალებას გვაძლევს ვიპოვოთ ნებისმიერი წევრის მნიშვნელობა მისი რიცხვით. ჩვენ ვეძებთ მარტივ ჩანაცვლებას:

a 15 \u003d 2.3 + (15-1) 3.7 \u003d 54.1

რჩება ფორმულის ყველა ელემენტის ჩანაცვლება არითმეტიკული პროგრესიის ჯამისთვის და პასუხის გამოთვლა:

პასუხი: 423.

სხვათა შორის, თუ ჯამის ფორმულაში ნაცვლად a nუბრალოდ ჩაანაცვლეთ n-ე წევრის ფორმულა, მივიღებთ:

ჩვენ ვაძლევთ მსგავსებს, ვიღებთ ახალ ფორმულას არითმეტიკული პროგრესიის წევრების ჯამისთვის:

როგორც ხედავთ, n-ე ტერმინი აქ არ არის საჭირო. a n. ზოგიერთ დავალებაში ეს ფორმულა ძალიან გვეხმარება, დიახ... შეგიძლიათ დაიმახსოვროთ ეს ფორმულა. და თქვენ შეგიძლიათ უბრალოდ ამოიღოთ ის საჭირო დროს, როგორც აქ. ყოველივე ამის შემდეგ, ჯამის ფორმულა და n-ე ტერმინის ფორმულა ყველანაირად უნდა ახსოვდეს.)

ახლა დავალება მოკლე დაშიფვრის სახით):

3. იპოვნეთ ყველა დადებითი ორნიშნა რიცხვის ჯამი, რომლებიც სამის ჯერადია.

Როგორ! არც პირველი წევრი, არც უკანასკნელი, არც პროგრესი... როგორ ვიცხოვროთ!?

მოგიწევთ თავით იფიქროთ და მდგომარეობიდან ამოიღოთ არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის ყველა ელემენტი. რა არის ორნიშნა რიცხვები - ვიცით. ისინი შედგება ორი რიცხვისაგან.) რა ორნიშნა რიცხვი იქნება პირველი? 10, სავარაუდოდ.) ბოლო რამორნიშნა ნომერი? 99, რა თქმა უნდა! მას სამნიშნა რიცხვები მოჰყვება...

სამის ნამრავლები... ჰმ... ეს ის რიცხვებია, რომლებიც თანაბრად იყოფა სამზე, აი! ათი არ იყოფა სამზე, 11 არ იყოფა... 12... იყოფა! ასე რომ, რაღაც ჩნდება. თქვენ უკვე შეგიძლიათ დაწეროთ სერიები პრობლემის მდგომარეობის მიხედვით:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

იქნება ეს სერია არითმეტიკული პროგრესია? Რა თქმა უნდა! თითოეული ტერმინი წინასგან მკაცრად განსხვავდება სამით. თუ ტერმინს ემატება 2, ან 4, ვთქვათ, შედეგი, ე.ი. ახალი რიცხვი აღარ გაიყოფა 3-ზე. თქვენ შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ განსაზღვროთ არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა გროვამდე: d = 3.სასარგებლო!)

ასე რომ, ჩვენ შეგვიძლია უსაფრთხოდ ჩავწეროთ პროგრესირების რამდენიმე პარამეტრი:

რა რიცხვი იქნება ნბოლო წევრი? ვინც ფიქრობს, რომ 99 სასიკვდილოდ ცდება... ნომრები - ისინი ყოველთვის მიდიან ზედიზედ და ჩვენი წევრები ხტებიან სამეულს. ისინი არ ემთხვევა.

აქ ორი გამოსავალია. ერთი გზა არის სუპერ შრომისმოყვარეებისთვის. შეგიძლიათ დახატოთ პროგრესია, რიცხვების მთელი რიგი და თითით დათვალოთ ტერმინების რაოდენობა.) მეორე გზა არის მოაზროვნეებისთვის. თქვენ უნდა გახსოვდეთ ფორმულა n-ე ტერმინისთვის. თუ ფორმულა გამოიყენება ჩვენს პრობლემაზე, მივიღებთ, რომ 99 არის პროგრესიის ოცდამეათე წევრი. იმათ. n = 30.

ჩვენ ვუყურებთ არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის ფორმულას:

ვუყურებთ და ვხარობთ.) პრობლემის მდგომარეობიდან ამოიღეთ ყველაფერი, რაც საჭიროა თანხის გამოსათვლელად:

a 1= 12.

30= 99.

S n = S 30.

რჩება ელემენტარული არითმეტიკა. ჩაანაცვლეთ რიცხვები ფორმულაში და გამოთვალეთ:

პასუხი: 1665 წ

სხვა ტიპის პოპულარული თავსატეხები:

4. არითმეტიკული პროგრესია მოცემულია:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

იპოვეთ წევრთა ჯამი მეოცედან ოცდამეოთხემდე.

ვუყურებთ ჯამის ფორმულას და ... ვნერვიულობთ.) ფორმულა, შეგახსენებთ, ითვლის ჯამს. პირველიდანწევრი. და პრობლემაში თქვენ უნდა გამოთვალოთ ჯამი მეოცე წლიდან...ფორმულა არ იმუშავებს.

თქვენ, რა თქმა უნდა, შეგიძლიათ დახატოთ მთელი პროგრესი ზედიზედ და დააყენოთ ტერმინები 20-დან 34-მდე. მაგრამ ... რატომღაც სულელურად და დიდი ხნის განმავლობაში გამოდის, არა?)

არსებობს უფრო ელეგანტური გადაწყვეტა. მოდით დავყოთ ჩვენი სერია ორ ნაწილად. პირველი ნაწილი იქნება პირველი ტერმინიდან მეცხრამეტემდე.მეორე ნაწილი - ოცდათოთხმეტი.გასაგებია, რომ თუ გამოვთვლით პირველი ნაწილის წევრთა ჯამს S 1-19, დავუმატოთ მეორე ნაწილის წევრთა ჯამს S 20-34, ვიღებთ პროგრესიის ჯამს პირველი წევრიდან ოცდამეოთხემდე S 1-34. Ამგვარად:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

ეს გვიჩვენებს, რომ იპოვონ თანხა S 20-34შეიძლება გაკეთდეს მარტივი გამოკლებით

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

განიხილება ორივე ჯამი მარჯვენა მხარეს პირველიდანწევრი, ე.ი. სტანდარტული ჯამის ფორმულა საკმაოდ გამოიყენება მათთვის. ვიწყებთ?

ჩვენ გამოვყოფთ პროგრესირების პარამეტრებს დავალების მდგომარეობიდან:

d = 1.5.

a 1= -21,5.

პირველი 19 და პირველი 34 წევრის ჯამების გამოსათვლელად დაგვჭირდება მე-19 და 34 წევრი. ჩვენ მათ ვითვლით n-ე წევრის ფორმულის მიხედვით, როგორც ამოცანა 2-ში:

19\u003d -21.5 + (19-1) 1.5 \u003d 5.5

a 34\u003d -21.5 + (34-1) 1.5 \u003d 28

აღარაფერი დარჩა. გამოვაკლოთ 19 წევრის ჯამი 34 წევრის ჯამს:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110.5 - (-152) = 262.5

პასუხი: 262.5

ერთი მნიშვნელოვანი შენიშვნა! ამ პრობლემის გადაჭრაში არის ძალიან სასარგებლო ფუნქცია. პირდაპირი გაანგარიშების ნაცვლად რაც გჭირდებათ (S 20-34),ჩვენ დავთვალეთ რაც, როგორც ჩანს, არ არის საჭირო - S 1-19.და მერე გადაწყვიტეს S 20-34სრული შედეგიდან არასაჭიროს უგულებელყოფა. ასეთი "ყურებით გამონათქვამი" ხშირად ზოგავს ბოროტ თავსატეხებში.)

ამ გაკვეთილზე განვიხილეთ პრობლემები, რომელთა ამოხსნისთვის საკმარისია გავიგოთ არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის მნიშვნელობა. კარგად, თქვენ უნდა იცოდეთ რამდენიმე ფორმულა.)

პრაქტიკული რჩევა:

არითმეტიკული პროგრესიის ჯამისთვის რაიმე ამოცანის გადაჭრისას, გირჩევთ დაუყოვნებლივ ამოწეროთ ორი ძირითადი ფორმულა ამ თემიდან.

მე-n ტერმინის ფორმულა:

ეს ფორმულები დაუყოვნებლივ გეტყვით, რა უნდა მოძებნოთ, რა მიმართულებით იფიქროთ პრობლემის გადასაჭრელად. ეხმარება.

ახლა კი ამოცანები დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის.

5. იპოვეთ ყველა ორნიშნა რიცხვის ჯამი, რომელიც არ იყოფა სამზე.

მაგარია?) მინიშნება დამალულია 4 პრობლემის შენიშვნაში. კარგი, პრობლემა 3 დაგეხმარებათ.

6. არითმეტიკული პროგრესია მოცემულია პირობით: a 1 =-5.5; a n+1 = a n +0.5. იპოვეთ პირველი 24 წევრის ჯამი.

არაჩვეულებრივი?) ეს განმეორებადი ფორმულაა. ამის შესახებ შეგიძლიათ წაიკითხოთ წინა გაკვეთილზე. ნუ უგულებელყოფთ ბმულს, ასეთი თავსატეხები ხშირად გვხვდება GIA-ში.

7. ვასიამ დაზოგა ფული დღესასწაულისთვის. 4550 რუბლს შეადგენს! მე კი გადავწყვიტე, რომ ყველაზე საყვარელ ადამიანს (საკუთარ თავს) ბედნიერების რამდენიმე დღე მივცე). იცხოვრე ლამაზად, საკუთარი თავის არაფრის უარყოფის გარეშე. დახარჯეთ 500 მანეთი პირველ დღეს და დახარჯეთ 50 მანეთი მეტი ყოველი მომდევნო დღეს, ვიდრე წინა დღეს! სანამ ფული ამოიწურება. რამდენი დღე ჰქონდა ვასიას ბედნიერებას?

რთულია?) მე-2 დავალების დამატებითი ფორმულა დაგეხმარებათ.

პასუხები (არეულად): 7, 3240, 6.

თუ მოგწონთ ეს საიტი...

სხვათა შორის, მე მაქვს კიდევ რამდენიმე საინტერესო საიტი თქვენთვის.)

შეგიძლიათ ივარჯიშოთ მაგალითების ამოხსნაში და გაიგოთ თქვენი დონე. ტესტირება მყისიერი გადამოწმებით. სწავლა - ინტერესით!)

შეგიძლიათ გაეცნოთ ფუნქციებს და წარმოებულებს.

არითმეტიკული პროგრესიადაასახელეთ რიცხვების თანმიმდევრობა (პროგრესიის წევრები)

რომელშიც ყოველი მომდევნო ტერმინი წინასგან განსხვავდება ფოლადის ტერმინით, რომელსაც ასევე ე.წ ნაბიჯის ან პროგრესის განსხვავება.

ამრიგად, პროგრესირების საფეხურის და მისი პირველი ტერმინის დაყენებით, შეგიძლიათ იპოვოთ მისი ნებისმიერი ელემენტი ფორმულის გამოყენებით

არითმეტიკული პროგრესიის თვისებები

1) არითმეტიკული პროგრესიის თითოეული წევრი, მეორე რიცხვიდან დაწყებული, არის პროგრესიის წინა და შემდეგი წევრის არითმეტიკული საშუალო.

პირიქითაც მართალია. თუ პროგრესიის მეზობელი კენტი (ლუწი) წევრების საშუალო არითმეტიკული ტოლია იმ წევრს, რომელიც დგას მათ შორის, მაშინ რიცხვების ეს თანმიმდევრობა არის არითმეტიკული პროგრესია. ამ მტკიცებით ძალიან ადვილია ნებისმიერი თანმიმდევრობის შემოწმება.

ასევე არითმეტიკული პროგრესიის თვისებით, ზემოაღნიშნული ფორმულა შეიძლება განზოგადდეს შემდეგზე

ამის გადამოწმება ადვილია, თუ ტერმინებს ტოლობის ნიშნის მარჯვნივ დავწერთ

ის ხშირად გამოიყენება პრაქტიკაში პრობლემების გამოთვლების გასამარტივებლად.

2) არითმეტიკული პროგრესიის პირველი n წევრის ჯამი გამოითვლება ფორმულით

კარგად დაიმახსოვრეთ არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის ფორმულა, ის შეუცვლელია გამოთვლებში და საკმაოდ გავრცელებულია მარტივ ცხოვრებისეულ სიტუაციებში.

3) თუ თქვენ გჭირდებათ არა მთლიანი ჯამის, არამედ მიმდევრობის ნაწილის პოვნა, რომელიც იწყება მისი k-ე წევრიდან, მაშინ შემდეგი ჯამის ფორმულა გამოგადგებათ.

4) პრაქტიკული ინტერესია არითმეტიკული პროგრესიის n წევრის ჯამის პოვნა kth რიცხვიდან დაწყებული. ამისათვის გამოიყენეთ ფორმულა

აქ მთავრდება თეორიული მასალა და გადავდივართ პრაქტიკაში გავრცელებული პრობლემების გადაჭრაზე.

მაგალითი 1. იპოვეთ არითმეტიკული პროგრესიის მეორმოცე წევრი 4;7;...

გამოსავალი:

პირობის მიხედვით გვაქვს

განსაზღვრეთ პროგრესის საფეხური

ცნობილი ფორმულის მიხედვით ვპოულობთ პროგრესიის ორმოცდამეათე წევრს

მაგალითი 2. არითმეტიკული პროგრესია მოცემულია მისი მესამე და მეშვიდე წევრების მიერ. იპოვეთ პროგრესიის პირველი წევრი და ათი ჯამი.

გამოსავალი:

პროგრესიის მოცემულ ელემენტებს ვწერთ ფორმულების მიხედვით

პირველ განტოლებას ვაკლებთ მეორე განტოლებას, შედეგად ვპოულობთ პროგრესირების საფეხურს

ნაპოვნი მნიშვნელობა შეიცვლება რომელიმე განტოლებაში არითმეტიკული პროგრესიის პირველი წევრის საპოვნელად

გამოთვალეთ პროგრესიის პირველი ათი წევრის ჯამი

რთული გამოთვლების გამოყენების გარეშე, ჩვენ ვიპოვეთ ყველა საჭირო მნიშვნელობა.

მაგალითი 3. არითმეტიკული პროგრესია მოცემულია მნიშვნელისა და მისი ერთ-ერთი წევრის მიერ. იპოვეთ პროგრესიის პირველი წევრი, მისი 50 წევრის ჯამი 50-დან და პირველი 100-ის ჯამი.

გამოსავალი:

მოდით დავწეროთ პროგრესიის მეასე ელემენტის ფორმულა

და იპოვე პირველი

პირველზე დაყრდნობით ვხვდებით პროგრესიის 50-ე ტერმინს

პროგრესიის ნაწილის ჯამის პოვნა

და პირველი 100-ის ჯამი

პროგრესირების ჯამია 250.

მაგალითი 4

იპოვეთ არითმეტიკული პროგრესიის წევრების რაოდენობა, თუ:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

გამოსავალი:

განტოლებებს ვწერთ პირველი წევრისა და პროგრესიის საფეხურის მიხედვით და განვსაზღვრავთ მათ

მიღებულ მნიშვნელობებს ვანაცვლებთ ჯამის ფორმულას, რათა განვსაზღვროთ ჯამში წევრების რაოდენობა.

გამარტივებების გაკეთება

და ამოხსენით კვადრატული განტოლება

ნაპოვნი ორი მნიშვნელობიდან მხოლოდ ნომერი 8 არის შესაფერისი პრობლემის მდგომარეობისთვის. ამრიგად, პროგრესის პირველი რვა წევრის ჯამი არის 111.

მაგალითი 5

განტოლების ამოხსნა

1+3+5+...+x=307.

ამოხსნა: ეს განტოლება არის არითმეტიკული პროგრესიის ჯამი. ჩვენ ვწერთ მის პირველ ტერმინს და ვპოულობთ პროგრესირების განსხვავებას

IV იაკოვლევი | მასალები მათემატიკაზე | MathUs.ru

არითმეტიკული პროგრესია

არითმეტიკული პროგრესია არის სპეციალური სახის მიმდევრობა. ამიტომ, სანამ არითმეტიკული (და შემდეგ გეომეტრიული) პროგრესია განვსაზღვროთ, მოკლედ უნდა განვიხილოთ რიცხვების მიმდევრობის მნიშვნელოვანი კონცეფცია.

ქვემიმდევრობა

წარმოიდგინეთ მოწყობილობა, რომლის ეკრანზე რამდენიმე რიცხვი გამოსახულია ერთმანეთის მიყოლებით. ვთქვათ 2; 7; 13; ერთი; 6; 0; 3; : : : რიცხვთა ასეთი ნაკრები მხოლოდ მიმდევრობის მაგალითია.

განმარტება. რიცხვითი მიმდევრობა არის რიცხვების ერთობლიობა, რომელშიც თითოეულ რიცხვს შეიძლება მიენიჭოს უნიკალური რიცხვი (ანუ შეესაბამებოდეს ერთ ნატურალურ რიცხვს)1. რიცხვს n რიცხვით ეწოდება მიმდევრობის n-ე წევრი.

ასე რომ, ზემოთ მოცემულ მაგალითში პირველ რიცხვს აქვს რიცხვი 2, რომელიც არის მიმდევრობის პირველი წევრი, რომელიც შეიძლება აღინიშნოს a1-ით; რიცხვ ხუთს აქვს რიცხვი 6, რომელიც არის რიგითობის მეხუთე წევრი, რომელიც შეიძლება აღვნიშნოთ a5. ზოგადად, მიმდევრობის n-ე წევრი აღინიშნება ან-ით (ან bn , cn და ა.შ.).

ძალიან მოსახერხებელი სიტუაციაა, როდესაც რიგითობის n-ე წევრი შეიძლება იყოს მითითებული რაიმე ფორმულით. მაგალითად, ფორმულა an = 2n 3 განსაზღვრავს თანმიმდევრობას: 1; ერთი; 3; 5; 7; : : : ფორმულა an = (1)n განსაზღვრავს თანმიმდევრობას: 1; ერთი; ერთი; ერთი; : ::

რიცხვების ყველა ნაკრები არ არის თანმიმდევრობა. ასე რომ, სეგმენტი არ არის თანმიმდევრობა; ის შეიცავს ¾ძალიან ბევრ¿ რიცხვს ხელახლა დანომრვისთვის. ყველა რეალური რიცხვის R სიმრავლე ასევე არ არის მიმდევრობა. ეს ფაქტები დასტურდება მათემატიკური ანალიზის დროს.

არითმეტიკული პროგრესია: ძირითადი განმარტებები

ახლა ჩვენ მზად ვართ განვსაზღვროთ არითმეტიკული პროგრესია.

განმარტება. არითმეტიკული პროგრესია არის თანმიმდევრობა, რომელშიც თითოეული წევრი (მეორედან დაწყებული) უდრის წინა წევრისა და გარკვეული ფიქსირებული რიცხვის ჯამს (ე.წ. არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობას).

მაგალითად, თანმიმდევრობა 2; 5; რვა; თერთმეტი; : : : არის არითმეტიკული პროგრესია პირველი წევრით 2 და სხვაობით 3. თანმიმდევრობა 7; 2; 3; რვა; : : : არის არითმეტიკული პროგრესია პირველი წევრით 7 და სხვაობით 5. თანმიმდევრობა 3; 3; 3; : : : არის არითმეტიკული პროგრესია ნულოვანი სხვაობით.

ეკვივალენტური განმარტება: an მიმდევრობას ეწოდება არითმეტიკული პროგრესია, თუ განსხვავება an+1 an არის მუდმივი (არ არის დამოკიდებული n-ზე).

არითმეტიკული პროგრესია ითვლება მზარდად, თუ მისი სხვაობა დადებითია და მცირდება, თუ განსხვავება უარყოფითია.

1 და აქ არის უფრო მოკლე განმარტება: მიმდევრობა არის ფუნქცია, რომელიც განსაზღვრულია ნატურალური რიცხვების სიმრავლეზე. მაგალითად, რეალური რიცხვების მიმდევრობა არის ფუნქცია f: N! რ.

ნაგულისხმევად, მიმდევრობები განიხილება უსასრულოდ, ანუ შეიცავს რიცხვების უსასრულო რაოდენობას. მაგრამ არავინ იწუხებს სასრულ მიმდევრობების განხილვას; სინამდვილეში, რიცხვების ნებისმიერ სასრულ სიმრავლეს შეიძლება ეწოდოს სასრული მიმდევრობა. მაგალითად, საბოლოო თანმიმდევრობა 1; 2; 3; ოთხი; 5 შედგება ხუთი ნომრისგან.

არითმეტიკული პროგრესიის მე-n წევრის ფორმულა

ადვილი გასაგებია, რომ არითმეტიკული პროგრესია მთლიანად განისაზღვრება ორი რიცხვით: პირველი წევრი და სხვაობა. მაშასადამე, ჩნდება კითხვა: როგორ ვიპოვოთ არითმეტიკული პროგრესიის თვითნებური ვადა პირველი წევრისა და სხვაობის ცოდნით?

არ არის რთული არითმეტიკული პროგრესიის n-ე წევრის სასურველი ფორმულის მიღება. დაე ა

არითმეტიკული პროგრესია სხვაობით დ. Ჩვენ გვაქვს:
an+1 = an + d (n = 1; 2; : ::):
კერძოდ, ჩვენ ვწერთ:
a2 = a1 + d;
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d;
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d;
და ახლა ცხადი ხდება, რომ ფორმულა არის:
an = a1 + (n 1)d:

ამოცანა 1. არითმეტიკული პროგრესია 2; 5; რვა; თერთმეტი; : : : იპოვეთ n-ე წევრის ფორმულა და გამოთვალეთ მეასე წევრი.

გამოსავალი. ფორმულის მიხედვით (1) გვაქვს:

an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

არითმეტიკული პროგრესიის თვისება და ნიშანი

არითმეტიკული პროგრესიის თვისება. არითმეტიკული პროგრესიით ან ნებისმიერისთვის

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, არითმეტიკული პროგრესიის თითოეული წევრი (მეორედან დაწყებული) არის მეზობელი წევრების საშუალო არითმეტიკული.

	მტკიცებულება. Ჩვენ გვაქვს:
	a n 1+ a n+1		(ან დ) + (ან + დ)

რაც საჭირო იყო.

უფრო ზოგადად, არითმეტიკული პროგრესია a აკმაყოფილებს თანასწორობას

a n = a n k+ a n+k

ნებისმიერი n > 2-ისთვის და ნებისმიერი ბუნებრივი k-სთვის< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

გამოდის, რომ ფორმულა (2) არა მხოლოდ აუცილებელი, არამედ საკმარისი პირობაა იმისთვის, რომ მიმდევრობა იყოს არითმეტიკული პროგრესია.

არითმეტიკული პროგრესიის ნიშანი. თუ თანასწორობა (2) მოქმედებს ყველა n > 2-ისთვის, მაშინ an მიმდევრობა არის არითმეტიკული პროგრესია.

მტკიცებულება. მოდით გადავიწეროთ ფორმულა (2) შემდეგნაირად:

a na n 1= a n+1a n:

ეს აჩვენებს, რომ განსხვავება an+1 an არ არის დამოკიდებული n-ზე და ეს უბრალოდ ნიშნავს, რომ an მიმდევრობა არის არითმეტიკული პროგრესია.

არითმეტიკული პროგრესიის თვისება და ნიშანი შეიძლება ჩამოყალიბდეს როგორც ერთი დებულება; მოხერხებულობისთვის ჩვენ ამას გავაკეთებთ სამი ნომრისთვის (ეს არის სიტუაცია, რომელიც ხშირად გვხვდება პრობლემებში).

არითმეტიკული პროგრესიის დახასიათება. სამი რიცხვი a, b, c ქმნის არითმეტიკულ პროგრესიას, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ 2b = a + c.

ამოცანა 2. (მოსკოვის სახელმწიფო უნივერსიტეტი, ეკონომიკის ფაკულტეტი, 2007 წ.) სამი რიცხვი 8x, 3 x2 და 4 მითითებული თანმიმდევრობით ქმნის კლებად არითმეტიკულ პროგრესიას. იპოვეთ x და დაწერეთ ამ პროგრესიის სხვაობა.

გამოსავალი. არითმეტიკული პროგრესიის თვისებით გვაქვს:

2(3 x2) = 8x 4, 2x2 + 8x 10 = 0, x2 + 4x 5 = 0, x = 1; x=5:

თუ x = 1, მაშინ მიიღება კლებადი პროგრესია 8, 2, 4 6-ის სხვაობით. თუ x = 5, მაშინ მიიღება მზარდი პროგრესია 40, 22, 4; ეს საქმე არ მუშაობს.

პასუხი: x = 1, სხვაობა არის 6.

არითმეტიკული პროგრესიის პირველი n წევრის ჯამი

ლეგენდა ამბობს, რომ ერთხელ მასწავლებელმა ბავშვებს უთხრა, რომ იპოვონ რიცხვების ჯამი 1-დან 100-მდე და ჩუმად დაჯდა გაზეთის წასაკითხად. თუმცა, რამდენიმე წუთში ერთმა ბიჭმა თქვა, რომ პრობლემა მოაგვარა. ეს იყო 9 წლის კარლ ფრიდრიხ გაუსი, მოგვიანებით ისტორიაში ერთ-ერთი უდიდესი მათემატიკოსი.

პატარა გაუსის იდეა ასეთი იყო. დაე

S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:

მოდით ჩავწეროთ ეს ჯამი საპირისპირო თანმიმდევრობით:

S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;

და დაამატეთ ეს ორი ფორმულა:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

ფრჩხილებში თითოეული წევრი უდრის 101-ს და სულ არის 100 ასეთი წევრი.მაშასადამე

2S = 101 100 = 10100;

ამ იდეას ვიყენებთ ჯამის ფორმულის გამოსატანად

S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)

(3) ფორმულის სასარგებლო მოდიფიკაცია მიიღება n-ე ტერმინის an = a1 + (n 1)d ფორმულის ჩანაცვლებით მასში:

		2a1 + (n 1)d

დავალება 3. იპოვეთ 13-ზე გაყოფილი ყველა დადებითი სამნიშნა რიცხვის ჯამი.

გამოსავალი. სამნიშნა რიცხვები, რომლებიც 13-ის ჯერადი არიან, ქმნიან არითმეტიკულ პროგრესიას პირველი წევრით 104 და სხვაობით 13; ამ პროგრესის მე-n ტერმინი არის:

an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:

მოდით გავარკვიოთ რამდენ წევრს შეიცავს ჩვენი პროგრესი. ამისათვის ჩვენ ვხსნით უტოლობას:

ან 6999; 91 + 13n 6999;

n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69:

ასე რომ, ჩვენს პროგრესში 69 წევრია. ფორმულის მიხედვით (4) ვპოულობთ საჭირო რაოდენობას:

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2

რა არის ფორმულის არსი?

ეს ფორმულა საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ ნებისმიერი მისი ნომრით" n" .

რა თქმა უნდა, თქვენ უნდა იცოდეთ პირველი ტერმინი a 1და პროგრესირების განსხვავება დკარგად, ამ პარამეტრების გარეშე, თქვენ არ შეგიძლიათ ჩამოწეროთ კონკრეტული პროგრესი.

ამ ფორმულის დამახსოვრება (ან მოტყუება) საკმარისი არ არის. საჭიროა მისი არსის ათვისება და ფორმულის გამოყენება სხვადასხვა პრობლემაში. დიახ, და არ დაგავიწყდეთ საჭირო დროს, დიახ ...) როგორ არ დაივიწყო- Არ ვიცი. მაგრამ როგორ დაიმახსოვროთსაჭიროების შემთხვევაში, მინიშნებას მოგცემთ. მათთვის, ვინც ბოლომდე ითვისებს გაკვეთილს.)

მაშ ასე, მოდით გაუმკლავდეთ არითმეტიკული პროგრესიის n-ე წევრის ფორმულას.

რა არის ფორმულა ზოგადად - წარმოვიდგენთ.) რა არის არითმეტიკული პროგრესია, წევრი რიცხვი, პროგრესიის სხვაობა - ნათლად არის ნათქვამი წინა გაკვეთილზე. გადახედე თუ არ გაქვს წაკითხული. იქ ყველაფერი მარტივია. რჩება იმის გარკვევა, თუ რა მე-n წევრი.

ზოგადად პროგრესია შეიძლება დაიწეროს რიცხვების სერიით:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....

a 1- აღნიშნავს არითმეტიკული პროგრესიის პირველ წევრს, a 3- მესამე წევრი a 4- მეოთხე და ასე შემდეგ. თუ ჩვენ გვაინტერესებს მეხუთე ვადა, ვთქვათ, ვმუშაობთ a 5, თუ ას მეოცე - დან 120.

როგორ განვსაზღვროთ ზოგადად ნებისმიერიარითმეტიკული პროგრესიის წევრი, ს ნებისმიერინომერი? Ძალიან მარტივი! Ამგვარად:

a n

სწორედ ეს არის არითმეტიკული პროგრესიის n-ე წევრი. n ასოს ქვეშ ყველა წევრის რიცხვი იმალება ერთდროულად: 1, 2, 3, 4 და ა.შ.

და რას გვაძლევს ასეთი ჩანაწერი? უბრალოდ იფიქრეთ, ნომრის ნაცვლად, მათ დაწერეს წერილი ...

ეს აღნიშვნა გვაძლევს მძლავრ ინსტრუმენტს არითმეტიკული პროგრესიებით მუშაობისთვის. ნოტაციის გამოყენებით a n, ჩვენ შეგვიძლია სწრაფად ვიპოვოთ ნებისმიერიწევრი ნებისმიერიარითმეტიკული პროგრესია. და მთელი რიგი ამოცანები გადასაჭრელად პროგრესირებაში. შემდგომში ნახავთ.

არითმეტიკული პროგრესიის n-ე წევრის ფორმულაში:

a n = a 1 + (n-1)d

a 1- არითმეტიკული პროგრესიის პირველი წევრი;

ნ- წევრის ნომერი.

ფორმულა აკავშირებს ნებისმიერი პროგრესირების ძირითად პარამეტრებს: a n ; a 1; დდა ნ. ამ პარამეტრების ირგვლივ, ყველა თავსატეხი პროგრესირებს მოძრაობს.

n-ე ტერმინის ფორმულა ასევე შეიძლება გამოყენებულ იქნას კონკრეტული პროგრესიის დასაწერად. მაგალითად, პრობლემაში შეიძლება ითქვას, რომ პროგრესი მოცემულია პირობით:

a n = 5 + (n-1) 2.

ასეთმა პრობლემამ შეიძლება დააბნიოს კიდეც... არ არსებობს სერია, არანაირი განსხვავება... მაგრამ, მდგომარეობის ფორმულასთან შედარებისას, ადვილი მისახვედრია, რომ ამ პროგრესირებაში a 1 \u003d 5 და d \u003d 2.

და ეს შეიძლება იყოს კიდევ უფრო გაბრაზებული!) თუ ავიღებთ იგივე პირობას: a n = 5 + (n-1) 2,დიახ, გახსენით ფრჩხილები და მიეცით მსგავსი? ჩვენ ვიღებთ ახალ ფორმულას:

an = 3 + 2n.

ის მხოლოდ არა ზოგადი, არამედ კონკრეტული პროგრესისთვის. სწორედ აქ დევს ხაფანგი. ზოგი ფიქრობს, რომ პირველი ტერმინი არის სამი. მიუხედავად იმისა, რომ სინამდვილეში პირველი წევრი არის ხუთი... ცოტა დაბლა, ჩვენ ვიმუშავებთ ასეთი შეცვლილი ფორმულით.

პროგრესირების ამოცანებში არის კიდევ ერთი აღნიშვნა - a n+1. ეს არის, თქვენ წარმოიდგინეთ, პროგრესიის "n პლუს პირველი" ტერმინი. მისი მნიშვნელობა მარტივი და უვნებელია.) ეს არის პროგრესიის წევრი, რომლის რიცხვი აღემატება n რიცხვს ერთით. მაგალითად, თუ რაიმე პრობლემაში ვიღებთ a nმერე მეხუთე ვადა a n+1მეექვსე წევრი იქნება. და ა.შ.

ყველაზე ხშირად აღნიშვნა a n+1ხდება რეკურსიულ ფორმულებში. ნუ შეგეშინდებათ ამ საშინელი სიტყვის!) ეს მხოლოდ არითმეტიკული პროგრესიის ტერმინის გამოხატვის საშუალებაა. წინას მეშვეობით.დავუშვათ, რომ ამ ფორმით მოცემულია არითმეტიკული პროგრესია განმეორებითი ფორმულის გამოყენებით:

a n+1 = a n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11

მეოთხე - მესამემდე, მეხუთე - მეოთხემდე და ა.შ. და როგორ დავთვალოთ დაუყოვნებლივ, ვთქვათ მეოცე ტერმინი, 20? მაგრამ არავითარ შემთხვევაში!) მიუხედავად იმისა, რომ მე-19 ვადა არ არის ცნობილი, მე-20-ის დათვლა შეუძლებელია. ეს არის ფუნდამენტური განსხვავება რეკურსიულ ფორმულასა და n-ე ტერმინის ფორმულას შორის. რეკურსიული მუშაობს მხოლოდ მეშვეობით წინავადა, ხოლო n-ე ტერმინის ფორმულა - მეშვეობით პირველიდა იძლევა საშუალებას გასწვრივიპოვნეთ რომელიმე წევრი მისი ნომრით. არ ვითვლით რიცხვების მთელ სერიას თანმიმდევრობით.

არითმეტიკული პროგრესიის დროს, რეკურსიული ფორმულა ადვილად გადაიქცევა რეგულარულად. დათვალეთ თანმიმდევრული წყვილი, გამოთვალეთ განსხვავება დ,საჭიროების შემთხვევაში იპოვნეთ პირველი ტერმინი a 1დაწერეთ ფორმულა ჩვეულებრივი ფორმით და იმუშავეთ. GIA– ში ასეთი ამოცანები ხშირად გვხვდება.

არითმეტიკული პროგრესიის n-ე წევრის ფორმულის გამოყენება.

პირველ რიგში, მოდით შევხედოთ ფორმულის პირდაპირ გამოყენებას. წინა გაკვეთილის ბოლოს იყო პრობლემა:

მოცემულია არითმეტიკული პროგრესია (a n). იპოვეთ 121, თუ a 1 =3 და d=1/6.

ეს პრობლემა შეიძლება გადაწყდეს ყოველგვარი ფორმულების გარეშე, უბრალოდ არითმეტიკული პროგრესიის მნიშვნელობიდან გამომდინარე. დაამატეთ, დიახ დაამატეთ ... ერთი ან ორი საათი.)

და ფორმულის მიხედვით, გამოსავალს წუთზე ნაკლები დასჭირდება. შეგიძლიათ დრო.) ჩვენ ვწყვეტთ.

პირობები იძლევა ყველა მონაცემს ფორმულის გამოყენებისთვის: a 1 \u003d 3, d \u003d 1/6.გასარკვევია რა ნ.Არაა პრობლემა! ჩვენ უნდა ვიპოვოთ 121. აქ ჩვენ ვწერთ:

Გთხოვთ მიაქციოთ ყურადღება! ინდექსის ნაცვლად ნგამოჩნდა კონკრეტული რიცხვი: 121. რაც სავსებით ლოგიკურია.) ჩვენ გვაინტერესებს არითმეტიკული პროგრესიის წევრი. ნომერი ას ოცდაერთი.ეს იქნება ჩვენი ნ.ეს არის ეს მნიშვნელობა ნ= 121 ჩვენ ჩავანაცვლებთ შემდგომ ფორმულაში, ფრჩხილებში. ჩაანაცვლეთ ყველა რიცხვი ფორმულაში და გამოთვალეთ:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

სულ ეს არის. ისევე სწრაფად შეიძლება იპოვო ხუთას მეათე წევრი და ათას მესამე, ნებისმიერი. ნაცვლად ჩვენ დავაყენებთ ნსასურველი რიცხვი ასოს ინდექსში " ა"და ფრჩხილებში და განვიხილავთ.

ნება მომეცით შეგახსენოთ არსი: ეს ფორმულა საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ ნებისმიერიარითმეტიკული პროგრესიის ვადა მისი ნომრით" n" .

მოდით, პრობლემა უფრო ჭკვიანურად მოვაგვაროთ. ვთქვათ, გვაქვს შემდეგი პრობლემა:

იპოვეთ არითმეტიკული პროგრესიის პირველი წევრი (a n), თუ a 17 =-2; d=-0.5.

თუ რაიმე სირთულე გაქვთ, მე შემოგთავაზებთ პირველ ნაბიჯს. ჩაწერეთ არითმეტიკული პროგრესიის n-ე წევრის ფორმულა!Დიახ დიახ. ჩაწერეთ ხელით, პირდაპირ თქვენს ბლოკნოტში:

a n = a 1 + (n-1)d

ახლა კი, ფორმულის ასოებს რომ ვუყურებთ, ვხვდებით, რა მონაცემები გვაქვს და რა აკლია? ხელმისაწვდომია d=-0.5,არის მეჩვიდმეტე წევრი... ყველაფერი? თუ ფიქრობთ, რომ ეს ყველაფერია, მაშინ პრობლემას ვერ გადაჭრით, დიახ...

ნომერიც გვაქვს ნ! მდგომარეობაში a 17 =-2დამალული ორი ვარიანტი.ეს არის როგორც მეჩვიდმეტე წევრის მნიშვნელობა (-2) და მისი რიცხვი (17). იმათ. n=17.ეს „პატარა“ ხშირად სრიალდება თავში და მის გარეშე, („პატარა ნივთის“ გარეშე, არა თავის!) პრობლემის გადაჭრა შეუძლებელია. მიუხედავად იმისა, რომ ... და ასევე თავის გარეშე.)

ახლა ჩვენ შეგვიძლია სულელურად ჩავანაცვლოთ ჩვენი მონაცემები ფორმულაში:

a 17 \u003d a 1 + (17-1) (-0.5)

Კი, a 17ჩვენ ვიცით, რომ ეს არის -2. კარგი, მოდი ჩავდოთ:

-2 \u003d a 1 + (17-1) (-0.5)

ეს, არსებითად, არის ყველაფერი. რჩება არითმეტიკული პროგრესიის პირველი წევრის გამოხატვა ფორმულიდან და გამოთვლა. თქვენ მიიღებთ პასუხს: a 1 = 6.

ასეთი ტექნიკა - ფორმულის დაწერა და უბრალოდ ცნობილი მონაცემების ჩანაცვლება - ბევრს ეხმარება მარტივ ამოცანებში. რა თქმა უნდა, თქვენ უნდა შეძლოთ ცვლადის გამოხატვა ფორმულიდან, მაგრამ რა უნდა გააკეთოთ!? ამ უნარის გარეშე მათემატიკის შესწავლა საერთოდ არ შეიძლება ...

კიდევ ერთი პოპულარული პრობლემა:

იპოვეთ არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა (a n), თუ a 1 =2; a 15 = 12.

Რას ვაკეთებთ? გაგიკვირდებათ, ჩვენ ვწერთ ფორმულას!)

a n = a 1 + (n-1)d

განვიხილოთ ის, რაც ჩვენ ვიცით: a 1 =2; a 15 =12; და (განსაკუთრებული მომენტი!) n=15. თავისუფლად შეგიძლიათ ჩაანაცვლოთ ფორმულაში:

12=2 + (15-1)დ

მოდით გავაკეთოთ არითმეტიკა.)

12=2 + 14დ

დ=10/14 = 5/7

ეს არის სწორი პასუხი.

ასე რომ, ამოცანები a n, a 1და დგადაწყვიტა. რჩება ვისწავლოთ როგორ მოვძებნოთ ნომერი:

რიცხვი 99 არის არითმეტიკული პროგრესიის წევრი (a n), სადაც a 1 =12; d=3. იპოვეთ ამ წევრის ნომერი.

ჩვენ ვცვლით ცნობილ რაოდენობებს n-ე წევრის ფორმულაში:

a n = 12 + (n-1) 3

ერთი შეხედვით, აქ არის ორი უცნობი რაოდენობა: a n და n.მაგრამ a nარის პროგრესის ზოგიერთი წევრი რიცხვით ნ... და პროგრესის ეს წევრი ჩვენ ვიცით! ეს არის 99. ჩვენ არ ვიცით მისი ნომერი. n,ასე რომ, ეს რიცხვიც უნდა მოიძებნოს. ჩაანაცვლეთ პროგრესირების ტერმინი 99 ფორმულაში:

99 = 12 + (n-1) 3

გამოვხატავთ ფორმულიდან ნ, ჩვენ ვფიქრობთ. ვიღებთ პასუხს: n=30.

ახლა კი პრობლემა იმავე თემაზე, მაგრამ უფრო კრეატიული):

დაადგინეთ, იქნება თუ არა რიცხვი 117 არითმეტიკული პროგრესიის წევრი (a n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

მოდი ისევ დავწეროთ ფორმულა. რა, არჩევანი არ არის? ჰმ... რატომ გვჭირდება თვალები?) ვხედავთ თუ არა პროგრესის პირველ წევრს? Ჩვენ ვხედავთ. ეს არის -3.6. შეგიძლიათ უსაფრთხოდ დაწეროთ: a 1 \u003d -3.6.განსხვავება დშეიძლება დადგინდეს სერიიდან? ადვილია, თუ იცით, რა განსხვავებაა არითმეტიკული პროგრესიის შორის:

d = -2.4 - (-3.6) = 1.2

დიახ, ჩვენ გავაკეთეთ უმარტივესი რამ. რჩება უცნობ რიცხვთან გამკლავება ნდა გაუგებარი რიცხვი 117. წინა პრობლემაში მაინც იყო ცნობილი, რომ სწორედ პროგრესიის ტერმინი იყო მოცემული. მაგრამ აქ ჩვენ არც კი ვიცით, რომ ... როგორ ვიყოთ!? აბა, როგორ ვიყოთ, როგორ ვიყოთ... ჩართეთ თქვენი შემოქმედებითი შესაძლებლობები!)

ჩვენ დავუშვათრომ 117 ბოლოს და ბოლოს ჩვენი პროგრესიის წევრია. უცნობი ნომრით ნ. და, ისევე როგორც წინა პრობლემაში, ვცადოთ ამ ნომრის პოვნა. იმათ. ჩვენ ვწერთ ფორმულას (დიახ-დიახ!)) და ვცვლით ჩვენს ნომრებს:

117 = -3.6 + (n-1) 1.2

ისევ გამოვხატავთ ფორმულიდანნ, ვითვლით და ვიღებთ:

უი! ნომერი აღმოჩნდა წილადი!ასთერთნახევარი. და წილადი რიცხვები პროგრესირებაში შეუძლებელია იყოს.რა დასკვნას ვაკეთებთ? დიახ! ნომერი 117 არ არისჩვენი პროგრესის წევრი. ის არის სადღაც 101-ე და 102-ე წევრებს შორის. თუ რიცხვი ბუნებრივი აღმოჩნდა, ე.ი. დადებითი მთელი რიცხვი, მაშინ რიცხვი იქნება პროგრესიის წევრი ნაპოვნი რიცხვით. და ჩვენს შემთხვევაში, პრობლემის პასუხი იქნება: არა.

დავალება GIA-ს რეალურ ვერსიაზე დაფუძნებული:

არითმეტიკული პროგრესია მოცემულია პირობით:

a n \u003d -4 + 6.8n

იპოვეთ პროგრესიის პირველი და მეათე წევრი.

აქ პროგრესი უჩვეულო გზით არის დაყენებული. რაღაცნაირი ფორმულა... ეს ხდება.) თუმცა ეს ფორმულა (როგორც ზემოთ დავწერე) - ასევე არითმეტიკული პროგრესიის n-ე წევრის ფორმულა!ის ასევე საშუალებას აძლევს იპოვნეთ პროგრესიის რომელიმე წევრი მისი რიცხვით.

ჩვენ ვეძებთ პირველ წევრს. ვინც ფიქრობს. რომ პირველი ტერმინი არის მინუს ოთხი, სასიკვდილოდ ცდება!) რადგან პრობლემაში ფორმულა შეცვლილია. მასში არითმეტიკული პროგრესიის პირველი წევრი დამალული.არაფერი, ჩვენ ახლა ვიპოვით.)

ისევე, როგორც წინა ამოცანებში, ჩვენ ვანაცვლებთ n=1ამ ფორმულაში:

a 1 \u003d -4 + 6.8 1 \u003d 2.8

Აქ! პირველი წევრი არის 2.8 და არა -4!

ანალოგიურად, ჩვენ ვეძებთ მეათე ტერმინს:

a 10 \u003d -4 + 6.8 10 \u003d 64

სულ ეს არის.

ახლა კი მათთვის, ვინც წაიკითხა ეს სტრიქონები, დაპირებული ბონუსი.)

დავუშვათ, GIA-ს ან ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის რთულ საბრძოლო ვითარებაში დაგავიწყდათ არითმეტიკული პროგრესიის n-ე წევრის სასარგებლო ფორმულა. რაღაც მახსენდება, მაგრამ რატომღაც გაურკვეველია... თუ არა ნიქ, ან n+1, ან n-1...Როგორ უნდა იყოს!?

დამშვიდდი! ეს ფორმულა ადვილად გამოსაყვანია. არ არის ძალიან მკაცრი, მაგრამ აუცილებლად საკმარისია ნდობისთვის და სწორი გადაწყვეტილების მისაღებად!) დასკვნისთვის საკმარისია არითმეტიკული პროგრესიის ელემენტარული მნიშვნელობის გახსენება და დროის ორიოდე წუთი. თქვენ უბრალოდ უნდა დახატოთ სურათი. სიცხადისთვის.

ვხატავთ რიცხვით ღერძს და ვნიშნავთ მასზე პირველს. მეორე, მესამე და ა.შ. წევრები. და გაითვალისწინეთ განსხვავება დწევრებს შორის. Ამგვარად:

ვუყურებთ სურათს და ვფიქრობთ: რის ტოლია მეორე წევრი? მეორე ერთი დ:

ა 2 =a 1 + 1 დ

რა არის მესამე ვადა? მესამევადა უდრის პირველ ტერმინს პლუსს ორი დ.

ა 3 =a 1 + 2 დ

გესმის? მე ტყუილად არ ვსვამ ზოგიერთ სიტყვებს თამამად. კარგი, კიდევ ერთი ნაბიჯი.)

რა არის მეოთხე ტერმინი? მეოთხევადა უდრის პირველ ტერმინს პლუსს სამი დ.

ა 4 =a 1 + 3 დ

დროა გავაცნობიეროთ, რომ ხარვეზების რაოდენობა, ე.ი. დ, ყოველთვის ერთით ნაკლები იმ წევრის რაოდენობაზე, რომელსაც ეძებთ ნ. ანუ რიცხვამდე n, ხარვეზების რაოდენობაიქნება n-1.ასე რომ, ფორმულა იქნება (არჩევნები არ არის!):

a n = a 1 + (n-1)d

ზოგადად, ვიზუალური სურათები ძალიან გვეხმარება მათემატიკაში მრავალი პრობლემის გადაჭრაში. ნუ უგულებელყოფთ სურათებს. მაგრამ თუ ძნელია სურათის დახატვა, მაშინ ... მხოლოდ ფორმულა!) გარდა ამისა, n-ე ტერმინის ფორმულა საშუალებას გაძლევთ დაუკავშიროთ მათემატიკის მთელი მძლავრი არსენალი ამოხსნას - განტოლებები, უტოლობა, სისტემები და ა.შ. სურათს განტოლებაში ვერ ჩასვამ...

ამოცანები დამოუკიდებელი გადაწყვეტილების მისაღებად.

გასათბობად:

1. არითმეტიკული პროგრესიაში (a n) a 2 =3; a 5 \u003d 5.1. იპოვეთ 3.

მინიშნება: სურათის მიხედვით პრობლემა წყდება 20 წამში... ფორმულის მიხედვით უფრო რთული გამოდის. მაგრამ ფორმულის დაუფლებისთვის ის უფრო გამოდგება.) 555-ე ნაწილში ეს პრობლემა მოგვარებულია როგორც სურათით, ასევე ფორმულით. Იგრძენი განსხვავება!)

და ეს აღარ არის დათბობა.)

2. არითმეტიკული პროგრესიით (a n) a 85 \u003d 19.1; a 236 =49, 3. იპოვე 3.

რა, უხალისობა ნახატის დახატვაზე?) მაინც! ფორმულაში ჯობია, კი...

3. არითმეტიკული პროგრესია მოცემულია პირობით:a 1 \u003d -5.5; a n+1 = a n +0.5. იპოვეთ ამ პროგრესიის ას ოცდამეხუთე წევრი.

ამ ამოცანაში პროგრესი მოცემულია განმეორებითი გზით. ოღონდ ას ოცდამეხუთე ტერმინამდე დათვლა... ყველას არ შეუძლია ასეთი სიკეთის გაკეთება.) მაგრამ n-ე ტერმინის ფორმულა ყველას ძალაშია!

4. მოცემულია არითმეტიკული პროგრესია (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

იპოვეთ პროგრესიის უმცირესი დადებითი წევრის რიცხვი.

5. მე-4 დავალების პირობის მიხედვით იპოვეთ პროგრესიის უმცირესი დადებითი და უდიდესი უარყოფითი წევრთა ჯამი.

6. მზარდი არითმეტიკული პროგრესიის მეხუთე და მეთორმეტე წევრთა ნამრავლია -2,5, ხოლო მესამე და მეთერთმეტე წევრთა ჯამი ნულია. იპოვნეთ 14.

არ არის უმარტივესი ამოცანა, დიახ ...) აქ მეთოდი "თითებზე" არ იმუშავებს. თქვენ უნდა დაწეროთ ფორმულები და ამოხსნათ განტოლებები.

პასუხები (არეულად):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

მოხდა? Კარგია!)

ყველაფერი არ გამოდის? Ხდება ხოლმე. სხვათა შორის, ბოლო ამოცანაში არის ერთი დახვეწილი წერტილი. საჭიროა ყურადღება პრობლემის კითხვისას. და ლოგიკა.

ყველა ამ პრობლემის გადაწყვეტა დეტალურად არის განხილული 555-ე ნაწილში. მეოთხე ფენტეზის ელემენტი და მეექვსესთვის დახვეწილი მომენტი და ზოგადი მიდგომები ნებისმიერი ამოცანის ამოხსნისათვის მე-n ტერმინის ფორმულისთვის - ყველაფერი დახატულია. Მე გირჩევ.

თუ მოგწონთ ეს საიტი...

სხვათა შორის, მე მაქვს კიდევ რამდენიმე საინტერესო საიტი თქვენთვის.)

შეგიძლიათ ივარჯიშოთ მაგალითების ამოხსნაში და გაიგოთ თქვენი დონე. ტესტირება მყისიერი გადამოწმებით. სწავლა - ინტერესით!)

შეგიძლიათ გაეცნოთ ფუნქციებს და წარმოებულებს.