როგორ ამოხსნათ განტოლება x 4. წრფივი განტოლებების ამოხსნა მაგალითებით


ჩვენ გავაანალიზებთ განტოლებების ამოხსნის ორ ტიპს:

1. სისტემის ამოხსნა ჩანაცვლების მეთოდით.
2. სისტემის ამოხსნა სისტემის განტოლებათა თანმიმდევრობით შეკრებით (გამოკლებით).

განტოლებათა სისტემის ამოხსნის მიზნით ჩანაცვლების მეთოდითქვენ უნდა შეასრულოთ მარტივი ალგორითმი:
1. გამოვხატავთ. ნებისმიერი განტოლებიდან ჩვენ გამოვხატავთ ერთ ცვლადს.
2. შემცვლელი. გამოხატული ცვლადის ნაცვლად სხვა განტოლებაში ვცვლით მიღებულ მნიშვნელობას.
3. მიღებულ განტოლებას ვხსნით ერთი ცვლადით. ჩვენ ვპოულობთ სისტემის გამოსავალს.

Მოგვარება სისტემა ტერმინით შეკრებით (გამოკლებით)საჭიროა:
1. აირჩიეთ ცვლადი, რომლისთვისაც იგივე კოეფიციენტებს გავაკეთებთ.
2. ვამატებთ ან ვაკლებთ განტოლებებს, შედეგად ვიღებთ განტოლებას ერთი ცვლადით.
3. ვხსნით მიღებულ წრფივ განტოლებას. ჩვენ ვპოულობთ სისტემის გამოსავალს.

სისტემის ამოხსნა არის ფუნქციის გრაფიკების გადაკვეთის წერტილები.

მოდით დეტალურად განვიხილოთ სისტემების გადაწყვეტა მაგალითების გამოყენებით.

მაგალითი #1:

მოვაგვაროთ ჩანაცვლების მეთოდით

განტოლებათა სისტემის ამოხსნა ჩანაცვლების მეთოდით

2x+5y=1 (1 განტოლება)
x-10y=3 (მე-2 განტოლება)

1. ექსპრესი
ჩანს, რომ მეორე განტოლებაში არის x ცვლადი კოეფიციენტით 1, აქედან გამომდინარე გამოდის, რომ ყველაზე ადვილია x ცვლადის გამოხატვა მეორე განტოლებიდან.
x=3+10y

2. გამოსახვის შემდეგ პირველ განტოლებაში ვცვლით 3 + 10y-ს x ცვლადის ნაცვლად.
2(3+10y)+5y=1

3. მიღებულ განტოლებას ვხსნით ერთი ცვლადით.
2(3+10y)+5y=1 (ღია ფრჩხილები)
6+20წ+5წ=1
25წ=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0.2

განტოლებათა სისტემის ამონახსნი არის გრაფიკების გადაკვეთის წერტილები, ამიტომ უნდა ვიპოვოთ x და y, რადგან გადაკვეთის წერტილი შედგება x და y-სგან, ვიპოვოთ x, პირველ აბზაცში სადაც გამოვხატეთ, იქ ვცვლით y-ს.
x=3+10y
x=3+10*(-0.2)=1

მიღებულია პირველ რიგში ქულების ჩაწერა, ვწერთ x ცვლადს, ხოლო მეორე ადგილზე y ცვლადს.
პასუხი: (1; -0.2)

მაგალითი #2:

ამოხსნათ ვადით-გამოკლებით.

განტოლებათა სისტემის ამოხსნა შეკრების მეთოდით

3x-2y=1 (1 განტოლება)
2x-3y=-10 (მე-2 განტოლება)

1. აირჩიეთ ცვლადი, ვთქვათ ვირჩევთ x. პირველ განტოლებაში x ცვლადს აქვს კოეფიციენტი 3, მეორეში - 2. კოეფიციენტები უნდა გავხადოთ იგივე, ამისთვის გვაქვს უფლება გავამრავლოთ განტოლებები ან გავყოთ ნებისმიერ რიცხვზე. პირველ განტოლებას ვამრავლებთ 2-ზე, ხოლო მეორეს 3-ზე და მივიღებთ ჯამურ კოეფიციენტს 6-ზე.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. პირველ განტოლებას გამოაკელი მეორე, რათა მოშორდეს x ცვლადი. ამოხსენი წრფივი განტოლება.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6.4

3. იპოვე x. ჩვენ ვცვლით ნაპოვნი y-ს რომელიმე განტოლებაში, ვთქვათ პირველ განტოლებაში.
3x-2y=1
3x-2*6.4=1
3x-12.8=1
3x=1+12.8
3x=13.8 |:3
x=4.6

გადაკვეთის წერტილი იქნება x=4,6; y=6.4
პასუხი: (4.6; 6.4)

გსურთ უფასოდ მოემზადოთ გამოცდებისთვის? დამრიგებელი ონლაინ უფასოდ. Არ ვხუმრობ.

მიზნები:

  1. ცოდნისა და უნარების სისტემატიზაცია და განზოგადება თემაზე: მესამე და მეოთხე ხარისხის განტოლებათა ამონახსნები.
  2. ცოდნის გაღრმავება დავალების სერიის შესრულებით, რომელთაგან ზოგიერთი არ არის ცნობილი არც მათი ტიპისა და არც გადაჭრის მეთოდით.
  3. მათემატიკისადმი ინტერესის ჩამოყალიბება მათემატიკის ახალი თავების შესწავლით, გრაფიკული კულტურის განათლება განტოლებათა გრაფიკების აგების გზით.

გაკვეთილის ტიპი: კომბინირებული.

აღჭურვილობა:გრაფიკული პროექტორი.

ხილვადობა:ცხრილი "ვიეტას თეორემა".

გაკვეთილების დროს

1. გონებრივი ანგარიში

ა) რა არის ნარჩენი p n (x) მრავალწევრის გაყოფა \u003d a n x n + a n-1 x n-1 + ... + a 1 x 1 + a 0 ბინომიალზე x-a?

ბ) რამდენი ფესვი შეიძლება ჰქონდეს კუბურ განტოლებას?

გ) რისი დახმარებით ვხსნით მესამე და მეოთხე ხარისხის განტოლებას?

დ) თუ b არის ლუწი რიცხვი კვადრატულ განტოლებაში, მაშინ რა არის D და x 1; x 2

2. დამოუკიდებელი მუშაობა (ჯგუფურად)

შეადგინეთ განტოლება, თუ ფესვები ცნობილია (დავალებების პასუხები დაშიფრულია) გამოიყენეთ "ვიეტას თეორემა"

1 ჯგუფი

ფესვები: x 1 = 1; x 2 \u003d -2; x 3 \u003d -3; x 4 = 6

დაწერეთ განტოლება:

B=1 -2-3+6=2; b=-2

c=-2-3+6+6-12-18=-23; c= -23

d=6-12+36-18=12; d=-12

e=1(-2)(-3)6=36

x 4 -2 x 3 - 23 x 2 - 12 x + 36 = 0(ეს განტოლება იხსნება დაფაზე 2 ჯგუფის მიერ)

გადაწყვეტილება . ჩვენ ვეძებთ მთელ ფესვებს 36 რიცხვის გამყოფებს შორის.

p = ±1; ±2; ±3; ±4; ±6…

p 4 (1)=1-2-23-12+36=0 რიცხვი 1 აკმაყოფილებს განტოლებას, შესაბამისად =1 არის განტოლების ფესვი. ჰორნერის სქემა

p 3 (x) = x 3 -x 2 -24x -36

p 3 (-2) \u003d -8 -4 +48 -36 \u003d 0, x 2 \u003d -2

p 2 (x) \u003d x 2 -3x -18 \u003d 0

x 3 \u003d -3, x 4 \u003d 6

პასუხი: 1; -2; -3; 6 ფესვების ჯამი 2 (P)

2 ჯგუფი

ფესვები: x 1 \u003d -1; x 2 = x 3 =2; x 4 \u003d 5

დაწერეთ განტოლება:

B=-1+2+2+5-8; b= -8

c=2(-1)+4+10-2-5+10=15; c=15

D=-4-10+20-10=-4; d=4

e=2(-1)2*5=-20;e=-20

8 + 15 + 4x-20 \u003d 0 (ჯგუფი 3 ხსნის ამ განტოლებას დაფაზე)

p = ±1; ±2; ±4; ±5; ±10; ±20.

p 4 (1)=1-8+15+4-20=-8

p 4 (-1)=1+8+15-4-20=0

p 3 (x) \u003d x 3 -9x 2 + 24x -20

p 3 (2) \u003d 8 -36 + 48 -20 \u003d 0

p 2 (x) \u003d x 2 -7x + 10 \u003d 0 x 1 \u003d 2; x 2 \u003d 5

პასუხი: -1;2;2;5 ფესვების ჯამი 8(P)

3 ჯგუფი

ფესვები: x 1 \u003d -1; x 2 =1; x 3 \u003d -2; x 4 \u003d 3

დაწერეთ განტოლება:

B=-1+1-2+3=1;b=-1

s=-1+2-3-2+3-6=-7; s=-7

D=2+6-3-6=-1; d=1

e=-1*1*(-2)*3=6

x 4 - x 3- 7x 2 + x + 6 = 0(ეს განტოლება იხსნება მოგვიანებით დაფაზე 4 ჯგუფის მიერ)

გადაწყვეტილება. ჩვენ ვეძებთ 6 რიცხვის გამყოფებს შორის მთელ ფესვებს.

p = ±1; ±2; ±3; ±6

p 4 (1)=1-1-7+1+6=0

p 3 (x) = x 3 - 7x -6

p 3 (-1) \u003d -1 + 7-6 \u003d 0

p 2 (x) = x 2 -x -6=0; x 1 \u003d -2; x 2 \u003d 3

პასუხი: -1; 1; -2; 3 ფესვების ჯამი 1 (O)

4 ჯგუფი

ფესვები: x 1 = -2; x 2 \u003d -2; x 3 \u003d -3; x 4 = -3

დაწერეთ განტოლება:

B=-2-2-3+3=-4; b=4

c=4+6-6+6-6-9=-5; c=-5

D=-12+12+18+18=36; d=-36

e=-2*(-2)*(-3)*3=-36; e=-36

x 4+4x 3 - 5x 2 - 36x -36 = 0(ეს განტოლება იხსნება დაფაზე 5 ჯგუფის მიერ)

გადაწყვეტილება. -36 რიცხვის გამყოფებს შორის ვეძებთ მთელ ფესვებს

p = ±1; ±2; ±3…

p(1)= 1 + 4-5-36-36 = -72

p 4 (-2) \u003d 16 -32 -20 + 72 -36 \u003d 0

p 3 (x) \u003d x 3 + 2x 2 -9x-18 \u003d 0

p 3 (-2) \u003d -8 + 8 + 18-18 \u003d 0

p 2 (x) = x 2 -9 = 0; x=±3

პასუხი: -2; -2; -3; 3 ფესვების ჯამი-4 (F)

5 ჯგუფი

ფესვები: x 1 \u003d -1; x 2 \u003d -2; x 3 \u003d -3; x 4 = -4

დაწერეთ განტოლება

x 4+ 10x 3 + 35x 2 + 50x + 24 = 0(ამ განტოლებას ხსნის მე-6 ჯგუფი დაფაზე)

გადაწყვეტილება . ჩვენ ვეძებთ მთელ ფესვებს 24 რიცხვის გამყოფებს შორის.

p = ±1; ±2; ±3

p 4 (-1) = 1 -10 + 35 -50 + 24 = 0

p 3 (x) \u003d x- 3 + 9x 2 + 26x + 24 \u003d 0

p 3 (-2) \u003d -8 + 36-52 + 24 \u003d O

p 2 (x) \u003d x 2 + 7x + 12 \u003d 0

პასუხი: -1; -2; -3; -4 ჯამი-10 (I)

6 ჯგუფი

ფესვები: x 1 = 1; x 2 = 1; x 3 \u003d -3; x 4 = 8

დაწერეთ განტოლება

B=1+1-3+8=7;b=-7

c=1 -3+8-3+8-24= -13

D=-3-24+8-24=-43; d=43

x 4 - 7x 3- 13x 2 + 43x - 24 = 0 (ამ განტოლებას ხსნის 1 ჯგუფი დაფაზე)

გადაწყვეტილება . -24 რიცხვის გამყოფებს შორის ვეძებთ მთელ ფესვებს.

p 4 (1)=1-7-13+43-24=0

p 3 (1)=1-6-19+24=0

p 2 (x) \u003d x 2 -5x - 24 \u003d 0

x 3 \u003d -3, x 4 \u003d 8

პასუხი: 1; 1; -3; 8 ჯამი 7 (ლ)

3. განტოლების ამოხსნა პარამეტრით

1. ამოხსენით განტოლება x 3 + 3x 2 + mx - 15 = 0; თუ ერთ-ერთი ფესვი არის (-1)

უპასუხეთ ზრდადი თანმიმდევრობით

R=P 3 (-1)=-1+3-m-15=0

x 3 + 3x 2 -13x - 15 = 0; -1+3+13-15=0

პირობით x 1 = - 1; D=1+15=16

P 2 (x) \u003d x 2 + 2x-15 \u003d 0

x 2 \u003d -1-4 \u003d -5;

x 3 \u003d -1 + 4 \u003d 3;

პასუხი: - 1; -5; 3

ზრდადი მიმდევრობით: -5;-1;3. (ბ ნ წ)

2. იპოვეთ x 3 - 3x 2 + ცული - 2a + 6 მრავალწევრის ყველა ფესვი, თუ x-1 და x + 2 ორწევრებად მისი დაყოფის ნაშთები ტოლია.

გამოსავალი: R \u003d R 3 (1) \u003d R 3 (-2)

P 3 (1) \u003d 1-3 + a- 2a + 6 \u003d 4-a

P 3 (-2) \u003d -8-12-2a-2a + 6 \u003d -14-4a

x 3 -3x 2 -6x + 12 + 6 \u003d x 3 -3x 2 -6x + 18

x 2 (x-3) -6 (x-3) = 0

(x-3) (x 2 -6) = 0

ორი ფაქტორის ნამრავლი ნულის ტოლია, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ ამ ფაქტორებიდან ერთი მაინც ნულის ტოლია, ხოლო მეორეს აქვს აზრი.

2 ჯგუფი. ფესვები: -3; -2; ერთი; 2;

3 ჯგუფი. ფესვები: -1; 2; 6; ათი;

4 ჯგუფი. ფესვები: -3; 2; 2; 5;

5 ჯგუფი. ფესვები: -5; -2; 2; 4;

6 ჯგუფი. ფესვები: -8; -2; 6; 7.

განტოლებები

როგორ ამოხსნათ განტოლებები?

ამ განყოფილებაში ჩვენ გავიხსენებთ (ან შევისწავლით - როგორც ვინმეს მოსწონს) ყველაზე ელემენტარულ განტოლებებს. მაშ რა არის განტოლება? ადამიანური თვალსაზრისით, ეს არის ერთგვარი მათემატიკური გამოხატულება, სადაც არის ტოლობის ნიშანი და უცნობი. რაც ჩვეულებრივ ასოებით აღინიშნება "X". განტოლების ამოხსნაარის ისეთი x-მნიშვნელობების პოვნა, რომ ჩანაცვლებისას საწყისიგამოხატულება, მოგვცემს სწორ იდენტურობას. შეგახსენებთ, რომ იდენტობა არის გამოთქმა, რომელიც ეჭვს არ იწვევს თუნდაც მათემატიკური ცოდნით დატვირთული ადამიანისთვის. მაგალითად 2=2, 0=0, ab=ab და ა.შ. მაშ, როგორ ამოხსნით განტოლებებს?მოდი გავარკვიოთ.

ყველანაირი განტოლებაა (გამიკვირდა, არა?). მაგრამ მთელი მათი უსასრულო მრავალფეროვნება შეიძლება დაიყოს მხოლოდ ოთხ ტიპად.

4. სხვა.)

ყველა დანარჩენი, რა თქმა უნდა, ყველაზე მეტად, დიახ...) ეს მოიცავს კუბურს, ექსპონენციალურ, ლოგარითმულ და ტრიგონომეტრიულს და ყველა სხვას. ჩვენ მჭიდროდ ვიმუშავებთ მათთან შესაბამის განყოფილებებში.

დაუყოვნებლივ უნდა ვთქვა, რომ ზოგჯერ პირველი სამი ტიპის განტოლებები ისე იშლება, რომ მათ ვერ ცნობთ ... არაფერი. ჩვენ ვისწავლით როგორ განვტვირთოთ ისინი.

და რატომ გვჭირდება ეს ოთხი ტიპი? Და მერე რა წრფივი განტოლებებიმოგვარებულია ერთი გზით კვადრატისხვები წილადი რაციონალური - მესამე,ა დასვენებასაერთოდ არ მოგვარდება! ისე, სულაც არ წყვეტენ, ტყუილად ვაწყენინე მათემატიკა.) უბრალოდ, თავისი განსაკუთრებული ტექნიკა და მეთოდები აქვთ.

მაგრამ ნებისმიერისთვის (ვიმეორებ - ამისთვის ნებისმიერი!) განტოლებები არის ამოხსნის საიმედო და უპრობლემო საფუძველი. მუშაობს ყველგან და ყოველთვის. ეს ბაზა - საშინლად ჟღერს, მაგრამ საქმე ძალიან მარტივია. და ძალიან (ძალიან!)მნიშვნელოვანი.

სინამდვილეში, განტოლების ამონახსნი შედგება იგივე გარდაქმნებისაგან. 99%-ზე. პასუხი კითხვაზე: " როგორ ამოხსნათ განტოლებები?"ტყუილია, მხოლოდ ამ გარდაქმნებში. ნათელია თუ არა მინიშნება?)

განტოლებათა იდენტობის გარდაქმნები.

AT ნებისმიერი განტოლებებიუცნობის საპოვნელად საჭიროა ორიგინალური მაგალითის გარდაქმნა და გამარტივება. უფრო მეტიც, ისე, რომ გარეგნობის შეცვლისას განტოლების არსი არ შეცვლილა.ასეთ გარდაქმნებს ე.წ იდენტურიან ექვივალენტი.

გაითვალისწინეთ, რომ ეს გარდაქმნები არის მხოლოდ განტოლებისთვის.მათემატიკაში ჯერ კიდევ არსებობს იდენტური გარდაქმნები გამონათქვამები.ეს სხვა თემაა.

ახლა ჩვენ გავიმეორებთ ყველა-ყველა-ყველა ძირითადს განტოლებების იდენტური გარდაქმნები.

ძირითადი, რადგან მათი გამოყენება შესაძლებელია ნებისმიერიგანტოლებები - წრფივი, კვადრატული, წილადი, ტრიგონომეტრიული, ექსპონენციალური, ლოგარითმული და ა.შ. და ა.შ.

პირველი იდენტური ტრანსფორმაცია: ნებისმიერი განტოლების ორივე მხარე შეიძლება დაემატოს (გამოკლდეს) ნებისმიერი(მაგრამ იგივე!) რიცხვი ან გამოთქმა (მათ შორის გამოთქმა უცნობით!). განტოლების არსი არ იცვლება.

სხვათა შორის, თქვენ გამუდმებით იყენებდით ამ ტრანსფორმაციას, მხოლოდ ფიქრობდით, რომ რაღაც ტერმინებს განტოლების ერთი ნაწილიდან მეორეზე ნიშნის ცვლილებით გადასცემდით. ტიპი:

საქმე ნაცნობია, დუსს გადავიტანთ მარჯვნივ და მივიღებთ:

რეალურად შენ წაართვესგანტოლების დუის ორივე მხრიდან. შედეგი იგივეა:

x+2 - 2 = 3 - 2

ტერმინების მარცხნივ-მარჯვნივ გადატანა ნიშნის ცვლილებით არის უბრალოდ პირველი იდენტური ტრანსფორმაციის შემოკლებული ვერსია. და რატომ გვჭირდება ასეთი ღრმა ცოდნა? - გეკითხებით. განტოლებებში არაფერი. გადაიტანე, ღვთის გულისათვის. უბრალოდ არ დაგავიწყდეთ ნიშნის შეცვლა. მაგრამ უთანასწორობებში გადაცემის ჩვევამ შეიძლება ჩიხამდე მიგვიყვანოს….

მეორე იდენტობის ტრანსფორმაცია: განტოლების ორივე მხარე შეიძლება გამრავლდეს (გაიყოს) ერთზე არანულოვანირიცხვი ან გამოთქმა. აქ უკვე ჩნდება გასაგები შეზღუდვა: ნულზე გამრავლება სისულელეა, მაგრამ გაყოფა საერთოდ შეუძლებელია. ეს არის ტრანსფორმაცია, რომელსაც იყენებთ, როდესაც გადაწყვეტთ რაღაც მაგარ მსგავსს

გასაგებია, X= 2. მაგრამ როგორ იპოვე? შერჩევა? ან უბრალოდ განათებული? იმისათვის, რომ არ აიღოთ და დაელოდოთ გამჭრიახობას, თქვენ უნდა გესმოდეთ, რომ თქვენ უბრალოდ ხართ გაყავით განტოლების ორივე მხარე 5-ზე. მარცხენა მხარის (5x) გაყოფისას ხუთეული შემცირდა და დარჩა სუფთა X. რაც გვჭირდებოდა. ხოლო (10)-ის მარჯვენა მხარის ხუთზე გაყოფისას, რა თქმა უნდა, დუიმი გამოვიდა.

Სულ ეს არის.

სასაცილოა, მაგრამ ეს ორი (მხოლოდ ორი!) იდენტური ტრანსფორმაცია საფუძვლად უდევს გამოსავალს მათემატიკის ყველა განტოლება.Როგორ! აზრი აქვს იმის მაგალითებს, თუ რა და როგორ, არა?)

განტოლებების იდენტური გარდაქმნების მაგალითები. ძირითადი პრობლემები.

დავიწყოთ იმით პირველიიდენტური ტრანსფორმაცია. გადაადგილეთ მარცხნივ-მარჯვნივ.

მაგალითი პატარებისთვის.)

ვთქვათ, უნდა გადავწყვიტოთ შემდეგი განტოლება:

3-2x=5-3x

გავიხსენოთ შელოცვა: "X-ით - მარცხნივ, X გარეშე - მარჯვნივ!"ეს შელოცვა არის პირველი იდენტობის ტრანსფორმაციის გამოყენების ინსტრუქცია.) რა არის გამოხატულება x-ით მარჯვნივ? 3x? პასუხი არასწორია! ჩვენს მარჯვნივ - 3x! მინუსსამი x! ამიტომ, მარცხნივ გადაადგილებისას, ნიშანი შეიცვლება პლუსზე. მიიღეთ:

3-2x+3x=5

ასე რომ, X-ები შეიკრიბა. მოდით გავაკეთოთ ნომრები. სამი მარცხნივ. რა ნიშანი? პასუხი „არცერთთან“ არ მიიღება!) სამეულის წინ მართლაც არაფერია დახატული. და ეს ნიშნავს, რომ სამეულის წინ არის პლუს.ასე რომ, მათემატიკოსები დათანხმდნენ. არაფერი წერია ისე პლუს.ამიტომ, სამეული გადაეცემა მარჯვენა მხარეს მინუსით.ჩვენ ვიღებთ:

-2x+3x=5-3

დარჩენილია ცარიელი ადგილები. მარცხნივ - მიეცით მსგავსი, მარჯვნივ - დათვალეთ. პასუხი მყისიერად არის:

ამ მაგალითში საკმარისი იყო ერთი იდენტური ტრანსფორმაცია. მეორე არ იყო საჭირო. Კარგი.)

მაგალითი უფროსებისთვის.)

თუ მოგწონთ ეს საიტი...

სხვათა შორის, მე მაქვს კიდევ რამდენიმე საინტერესო საიტი თქვენთვის.)

შეგიძლიათ ივარჯიშოთ მაგალითების ამოხსნაში და გაიგოთ თქვენი დონე. ტესტირება მყისიერი გადამოწმებით. სწავლა - ინტერესით!)

შეგიძლიათ გაეცნოთ ფუნქციებს და წარმოებულებს.

კვადრატული განტოლებები შესწავლილია მე-8 კლასში, ასე რომ, აქ არაფერია რთული. მათი გადაჭრის უნარი აუცილებელია.

კვადრატული განტოლება არის ax 2 + bx + c = 0 ფორმის განტოლება, სადაც კოეფიციენტები a , b და c არის თვითნებური რიცხვები და a ≠ 0.

კონკრეტული ამოხსნის მეთოდების შესწავლამდე აღვნიშნავთ, რომ ყველა კვადრატული განტოლება შეიძლება დაიყოს სამ კლასად:

  1. არ აქვს ფესვები;
  2. მათ აქვთ ზუსტად ერთი ფესვი;
  3. მათ ორი განსხვავებული ფესვი აქვთ.

ეს არის მნიშვნელოვანი განსხვავება კვადრატულ და წრფივ განტოლებებს შორის, სადაც ფესვი ყოველთვის არსებობს და უნიკალურია. როგორ განვსაზღვროთ რამდენი ფესვი აქვს განტოლებას? ამისთვის არის მშვენიერი რამ - დისკრიმინანტი.

დისკრიმინანტი

მოცემული იყოს კვადრატული განტოლება ax 2 + bx + c = 0. მაშინ დისკრიმინანტი არის უბრალოდ რიცხვი D = b 2 − 4ac .

ეს ფორმულა ზეპირად უნდა იყოს ცნობილი. საიდან მოდის, ახლა არ არის მნიშვნელოვანი. მნიშვნელოვანია კიდევ ერთი: დისკრიმინანტის ნიშნით შეგიძლიათ განსაზღვროთ რამდენი ფესვი აქვს კვადრატულ განტოლებას. კერძოდ:

  1. თუ დ< 0, корней нет;
  2. თუ D = 0, არის ზუსტად ერთი ფესვი;
  3. თუ D > 0, იქნება ორი ფესვი.

გთხოვთ გაითვალისწინოთ: დისკრიმინანტი მიუთითებს ფესვების რაოდენობას და არა მათ ნიშნებს, როგორც რატომღაც ბევრი ფიქრობს. გადახედე მაგალითებს და შენ თვითონ მიხვდები ყველაფერს:

დავალება. რამდენი ფესვი აქვს კვადრატულ განტოლებებს:

  1. x 2 - 8x + 12 = 0;
  2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
  3. x 2 − 6x + 9 = 0.

ჩვენ ვწერთ კოეფიციენტებს პირველი განტოლებისთვის და ვპოულობთ დისკრიმინანტს:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

ასე რომ, დისკრიმინანტი დადებითია, ამიტომ განტოლებას ორი განსხვავებული ფესვი აქვს. ჩვენ ვაანალიზებთ მეორე განტოლებას ანალოგიურად:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

დისკრიმინანტი უარყოფითია, ფესვები არ არსებობს. ბოლო განტოლება რჩება:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

დისკრიმინანტი ნულის ტოლია - ფესვი ერთი იქნება.

გაითვალისწინეთ, რომ კოეფიციენტები დაწერილია თითოეული განტოლებისთვის. დიახ, ეს გრძელია, დიახ, დამღლელი - მაგრამ თქვენ არ აირევთ შანსებს და არ დაუშვებთ სულელურ შეცდომებს. აირჩიეთ თქვენთვის: სიჩქარე ან ხარისხი.

სხვათა შორის, თუ „ხელს ავსებ“, გარკვეული პერიოდის შემდეგ აღარ დაგჭირდებათ ყველა კოეფიციენტის ამოწერა. ასეთ ოპერაციებს შეასრულებ შენს თავში. უმეტესობა ამის კეთებას იწყებს სადღაც 50-70 ამოხსნილი განტოლების შემდეგ - ზოგადად, არც ისე ბევრი.

კვადრატული განტოლების ფესვები

ახლა გადავიდეთ გამოსავალზე. თუ დისკრიმინანტი D > 0, ფესვები შეიძლება მოიძებნოს ფორმულების გამოყენებით:

კვადრატული განტოლების ფესვების ძირითადი ფორმულა

როდესაც D = 0, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ნებისმიერი ფორმულა - მიიღებთ იგივე რიცხვს, რომელიც იქნება პასუხი. საბოლოოდ, თუ დ< 0, корней нет — ничего считать не надо.

  1. x 2 - 2x - 3 = 0;
  2. 15 - 2x - x2 = 0;
  3. x2 + 12x + 36 = 0.

პირველი განტოლება:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ განტოლებას ორი ფესვი აქვს. მოდი ვიპოვოთ ისინი:

მეორე განტოლება:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ განტოლებას ისევ ორი ​​ფესვი აქვს. მოდი ვიპოვოთ ისინი

\[\begin(გასწორება) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \მარჯვნივ))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \მარჯვნივ))=3. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

და ბოლოს, მესამე განტოლება:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ განტოლებას აქვს ერთი ფესვი. ნებისმიერი ფორმულის გამოყენება შესაძლებელია. მაგალითად, პირველი:

როგორც მაგალითებიდან ხედავთ, ყველაფერი ძალიან მარტივია. თუ იცით ფორმულები და შეძლებთ დათვლას, პრობლემა არ იქნება. ყველაზე ხშირად, შეცდომები ხდება მაშინ, როდესაც უარყოფითი კოეფიციენტები ჩანაცვლებულია ფორმულაში. აქ, კიდევ ერთხელ, ზემოთ აღწერილი ტექნიკა დაგეხმარებათ: შეხედეთ ფორმულას სიტყვასიტყვით, დახატეთ თითოეული ნაბიჯი - და მოიცილეთ შეცდომები ძალიან მალე.

არასრული კვადრატული განტოლებები

ეს ხდება, რომ კვადრატული განტოლება გარკვეულწილად განსხვავდება იმისგან, რაც მოცემულია განმარტებაში. Მაგალითად:

  1. x2 + 9x = 0;
  2. x2 − 16 = 0.

ადვილი მისახვედრია, რომ ერთ-ერთი ტერმინი აკლია ამ განტოლებებს. ასეთი კვადრატული განტოლებები კიდევ უფრო ადვილად ამოსახსნელია, ვიდრე სტანდარტული: მათ არც კი სჭირდებათ დისკრიმინანტის გამოთვლა. მოდით შემოვიტანოთ ახალი კონცეფცია:

განტოლებას ax 2 + bx + c = 0 ეწოდება არასრული კვადრატული განტოლება, თუ b = 0 ან c = 0, ე.ი. x ცვლადის ან თავისუფალი ელემენტის კოეფიციენტი ნულის ტოლია.

რა თქმა უნდა, შესაძლებელია ძალიან რთული შემთხვევა, როდესაც ორივე ეს კოეფიციენტი ნულის ტოლია: b \u003d c \u003d 0. ამ შემთხვევაში, განტოლება იღებს ცულის 2 \u003d 0 ფორმას. ცხადია, ასეთ განტოლებას აქვს ერთიანი. ფესვი: x \u003d 0.

განვიხილოთ სხვა შემთხვევები. მოდით b \u003d 0, მაშინ მივიღებთ არასრულ კვადრატულ განტოლებას ფორმის ax 2 + c \u003d 0. მოდით ოდნავ გარდავქმნათ იგი:

ვინაიდან არითმეტიკული კვადრატული ფესვი არსებობს მხოლოდ არაუარყოფითი რიცხვიდან, ბოლო ტოლობას აქვს აზრი მხოლოდ მაშინ, როდესაც (−c / a ) ≥ 0. დასკვნა:

  1. თუ ax 2 + c = 0 ფორმის არასრული კვადრატული განტოლება აკმაყოფილებს უტოლობას (−c / a ) ≥ 0, იქნება ორი ფესვი. ფორმულა მოცემულია ზემოთ;
  2. თუ (−c/a)< 0, корней нет.

როგორც ხედავთ, დისკრიმინანტი არ იყო საჭირო - არასრულ კვადრატულ განტოლებებში საერთოდ არ არის რთული გამოთვლები. ფაქტობრივად, არც კი არის აუცილებელი გავიხსენოთ უტოლობა (−c / a ) ≥ 0. საკმარისია გამოვხატოთ x 2-ის მნიშვნელობა და ვნახოთ რა არის ტოლობის ნიშნის მეორე მხარეს. თუ არის დადებითი რიცხვი, იქნება ორი ფესვი. თუ უარყოფითია, ფესვები საერთოდ არ იქნება.

ახლა მოდით გაუმკლავდეთ ax 2 + bx = 0 ფორმის განტოლებებს, რომლებშიც თავისუფალი ელემენტი ნულის ტოლია. აქ ყველაფერი მარტივია: ყოველთვის იქნება ორი ფესვი. საკმარისია მრავალწევრის ფაქტორიზირება:

საერთო ფაქტორის ამოღება ფრჩხილიდან

პროდუქტი ნულის ტოლია, როდესაც ერთ-ერთი ფაქტორი მაინც ნულის ტოლია. აქედან მოდის ფესვები. დასასრულს, ჩვენ გავაანალიზებთ რამდენიმე ამ განტოლებას:

დავალება. ამოხსენით კვადრატული განტოლებები:

  1. x2 − 7x = 0;
  2. 5x2 + 30 = 0;
  3. 4x2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. არ არსებობს ფესვები, რადგან კვადრატი არ შეიძლება იყოს უარყოფითი რიცხვის ტოლი.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1.5.

დანართი

ნებისმიერი ტიპის განტოლების გადაწყვეტა ონლაინ საიტზე, სტუდენტებისა და სკოლის მოსწავლეების მიერ შესწავლილი მასალის კონსოლიდაციის მიზნით განტოლებების ონლაინ ამოხსნა. Equations ონლაინ რეჟიმში. არსებობს ალგებრული, პარამეტრული, ტრანსცენდენტული, ფუნქციური, დიფერენციალური და სხვა სახის განტოლებები. განტოლების ზოგიერთ კლასს აქვს ანალიტიკური ამონახსნები, რომლებიც მოსახერხებელია იმით, რომ ისინი არა მხოლოდ აძლევენ ფესვის ზუსტ მნიშვნელობას, არამედ საშუალებას გაძლევთ დაწეროთ ამონახსნები ამონახსნში. ფორმულის ფორმა, რომელიც შეიძლება შეიცავდეს პარამეტრებს. ანალიტიკური გამონათქვამები საშუალებას იძლევა არა მხოლოდ გამოთვალოთ ფესვები, არამედ გავაანალიზოთ მათი არსებობა და მათი რიცხვი პარამეტრების მნიშვნელობების მიხედვით, რაც ხშირად უფრო მნიშვნელოვანია პრაქტიკული გამოყენებისთვის, ვიდრე ფესვების კონკრეტული მნიშვნელობები. განტოლების გადაწყვეტა ონლაინ Equations ონლაინ რეჟიმში. განტოლების ამოხსნა არის არგუმენტების ისეთი მნიშვნელობების პოვნა, რისთვისაც მიიღწევა ეს თანასწორობა. არგუმენტების შესაძლო მნიშვნელობებზე შეიძლება დაწესდეს დამატებითი პირობები (მთლიანი, რეალური და ა.შ.). განტოლების გადაწყვეტა ონლაინ Equations ონლაინ რეჟიმში. თქვენ შეგიძლიათ ამოხსნათ განტოლება ონლაინ მყისიერად და შედეგის მაღალი სიზუსტით. მოცემული ფუნქციების არგუმენტებს (ზოგჯერ „ცვლადებს“ უწოდებენ) განტოლების შემთხვევაში „უცნობებს“ უწოდებენ. უცნობების მნიშვნელობებს, რომლებისთვისაც მიიღწევა ეს თანასწორობა, ეწოდება მოცემული განტოლების ამონახსნები ან ფესვები. ამბობენ, რომ ფესვები აკმაყოფილებენ მოცემულ განტოლებას. განტოლების ონლაინ ამოხსნა ნიშნავს მისი ყველა ამონახსნის (ფესვების) სიმრავლის პოვნას ან ფესვების არარსებობის მტკიცებას. განტოლების გადაწყვეტა ონლაინ Equations ონლაინ რეჟიმში. ეკვივალენტს ან ეკვივალენტს უწოდებენ განტოლებებს, რომელთა ფესვების სიმრავლეები ერთმანეთს ემთხვევა. ეკვივალენტად ითვლება აგრეთვე განტოლებები, რომლებსაც არ აქვთ ფესვები. განტოლებათა ეკვივალენტობას აქვს სიმეტრიის თვისება: თუ ერთი განტოლება მეორის ეკვივალენტურია, მაშინ მეორე განტოლება პირველის ტოლია. განტოლებათა ეკვივალენტობას აქვს გარდამავალობის თვისება: თუ ერთი განტოლება მეორის ეკვივალენტურია, ხოლო მეორე მესამეს, მაშინ პირველი განტოლება მესამეს უდრის. განტოლებათა ეკვივალენტურობის თვისება შესაძლებელს ხდის მათთან ტრანსფორმაციების განხორციელებას, რაზედაც დაფუძნებულია მათი ამოხსნის მეთოდები. განტოლების გადაწყვეტა ონლაინ Equations ონლაინ რეჟიმში. საიტი საშუალებას მოგცემთ ამოხსნათ განტოლება ონლაინ. განტოლებები, რომელთა ანალიტიკური ამონახსნები ცნობილია, მოიცავს ალგებრულ განტოლებებს, არაუმეტეს მეოთხე ხარისხის: წრფივი განტოლება, კვადრატული განტოლება, კუბური განტოლება და მეოთხე ხარისხის განტოლება. უფრო მაღალი ხარისხის ალგებრულ განტოლებებს, როგორც წესი, არ გააჩნიათ ანალიტიკური ამონახსნები, თუმცა ზოგიერთი მათგანი შეიძლება შემცირდეს უფრო დაბალი ხარისხის განტოლებამდე. განტოლებებს, რომლებიც მოიცავს ტრანსცენდენტურ ფუნქციებს, ეწოდება ტრანსცენდენტული. მათ შორის ცნობილია ანალიტიკური ამონახსნები ზოგიერთი ტრიგონომეტრიული განტოლებისთვის, ვინაიდან ცნობილია ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ნულები. ზოგად შემთხვევაში, როდესაც ანალიზური ამოხსნა ვერ მოიძებნება, გამოიყენება რიცხვითი მეთოდები. რიცხვითი მეთოდები არ იძლევა ზუსტ გადაწყვეტას, მაგრამ მხოლოდ საშუალებას იძლევა შევიწროვდეს ინტერვალი, რომელშიც ფესვი დევს გარკვეულ წინასწარ განსაზღვრულ მნიშვნელობამდე. განტოლებების ონლაინ ამოხსნა.. ონლაინ განტოლებები.. ონლაინ განტოლების ნაცვლად წარმოგიდგენთ, თუ როგორ აყალიბებს ერთი და იგივე გამონათქვამი წრფივ დამოკიდებულებას და არა მხოლოდ სწორ ტანგენტის გასწვრივ, არამედ გრაფის სწორედ გადახრის წერტილში. ეს მეთოდი შეუცვლელია ნებისმიერ დროს საგნის შესწავლისას. ხშირად ხდება, რომ განტოლებების ამოხსნა უახლოვდება საბოლოო მნიშვნელობას უსასრულო რიცხვებისა და ვექტორების ჩაწერის საშუალებით. აუცილებელია საწყისი მონაცემების შემოწმება და ეს არის ამოცანის არსი. წინააღმდეგ შემთხვევაში, ადგილობრივი მდგომარეობა გარდაიქმნება ფორმულაში. მოცემული ფუნქციის სწორი ხაზის ინვერსია, რომელსაც განტოლების კალკულატორი გამოთვლის შესრულებაში დიდი შეფერხების გარეშე, კომპენსირდება სივრცის პრივილეგიით. ეს იქნება სტუდენტის მუშაობა სამეცნიერო გარემოში. თუმცა, როგორც ყოველივე ზემოთქმული, ის დაგვეხმარება პოვნის პროცესში და როცა განტოლებას მთლიანად ამოხსნით, მაშინ შეინახეთ პასუხი სწორი ხაზის მონაკვეთის ბოლოებში. სივრცეში ხაზები იკვეთება წერტილში და ამ წერტილს ხაზებით გადაკვეთას უწოდებენ. ხაზის ინტერვალი აღინიშნება როგორც ადრე. გამოქვეყნდება ყველაზე მაღალი პოსტი მათემატიკის შესწავლაზე. პარამეტრულად განსაზღვრული ზედაპირიდან არგუმენტის მნიშვნელობის მინიჭება და განტოლების ონლაინ ამოხსნა შეძლებს ფუნქციაზე პროდუქტიული გამოძახების პრინციპების მითითებას. მობიუსის ზოლი, ან როგორც მას უსასრულობას უწოდებენ, რვა ფიგურას ჰგავს. ეს არის ცალმხრივი ზედაპირი და არა ორმხრივი. ყველასთვის კარგად ცნობილი პრინციპის მიხედვით, ჩვენ ობიექტურად მივიღებთ წრფივ განტოლებებს, როგორც ძირითად აღნიშვნას, როგორც ეს არის კვლევის სფეროში. თანმიმდევრულად მოცემული არგუმენტების მხოლოდ ორ მნიშვნელობას შეუძლია გამოავლინოს ვექტორის მიმართულება. ვივარაუდოთ, რომ ონლაინ განტოლებების განსხვავებული ამოხსნა ბევრად მეტია, ვიდრე მისი ამოხსნა, ნიშნავს გამოსავალზე ინვარიანტების სრულფასოვანი ვერსიის მიღებას. ინტეგრირებული მიდგომის გარეშე სტუდენტებს უჭირთ ამ მასალის სწავლა. როგორც ადრე, თითოეული განსაკუთრებული შემთხვევისთვის, ჩვენი მოსახერხებელი და ჭკვიანი ონლაინ განტოლების კალკულატორი ყველას დაეხმარება რთულ მომენტში, რადგან თქვენ უბრალოდ უნდა მიუთითოთ შეყვანის პარამეტრები და სისტემა თავად გამოთვლის პასუხს. სანამ მონაცემთა შეყვანას დავიწყებთ, გვჭირდება შეყვანის ინსტრუმენტი, რომელიც შეიძლება გაკეთდეს დიდი სირთულის გარეშე. თითოეული პასუხის ქულის რაოდენობა იქნება კვადრატული განტოლება, რომელიც მიგვიყვანს ჩვენს დასკვნამდე, მაგრამ ამის გაკეთება არც ისე ადვილია, რადგან საპირისპიროს დამტკიცება მარტივია. თეორია, თავისი თავისებურებიდან გამომდინარე, არ არის გამყარებული პრაქტიკული ცოდნით. პასუხის გამოქვეყნების ეტაპზე წილადის კალკულატორის ნახვა არ არის ადვილი ამოცანა მათემატიკაში, რადგან რიცხვის ჩაწერის ალტერნატივა სიმრავლეზე ზრდის ფუნქციის ზრდას. თუმცა, არასწორი იქნება თუ არ ვიტყვით სტუდენტების მომზადებაზე, ამიტომ თითოეულს გამოვხატავთ იმდენს, რამდენიც საჭიროა. ადრე ნაპოვნი კუბური განტოლება სამართლიანად მიეკუთვნება განმარტების სფეროს და შეიცავს რიცხვითი მნიშვნელობების სივრცეს, ასევე სიმბოლურ ცვლადებს. თეორემა რომ ისწავლეს ან დაიმახსოვრეს, ჩვენი მოსწავლეები თავს მხოლოდ საუკეთესო მხრიდან გამოიჩენენ და ჩვენ ბედნიერები ვიქნებით მათთვის. ველების კვეთათა სიმრავლისგან განსხვავებით, ჩვენი ონლაინ განტოლებები აღწერილია მოძრაობის სიბრტყით ორი და სამი რიცხვითი კომბინირებული ხაზის გამრავლებით. კომპლექტი მათემატიკაში არ არის ცალსახად განსაზღვრული. საუკეთესო გამოსავალი, სტუდენტების აზრით, ბოლომდე შევსებული წერილობითი გამოთქმაა. როგორც მეცნიერულ ენაზე ითქვა, სიმბოლური გამონათქვამების აბსტრაქცია არ შედის ვითარებაში, მაგრამ განტოლებების ამოხსნა იძლევა ცალსახა შედეგს ყველა ცნობილ შემთხვევაში. მასწავლებლის სესიის ხანგრძლივობა ეფუძნება ამ შეთავაზების საჭიროებებს. ანალიზმა აჩვენა ყველა გამოთვლითი ტექნიკის საჭიროება მრავალ სფეროში და სრულიად ნათელია, რომ განტოლების კალკულატორი შეუცვლელი ინსტრუმენტია სტუდენტის ნიჭიერ ხელში. მათემატიკის შესწავლისადმი ლოიალური მიდგომა განსაზღვრავს სხვადასხვა მიმართულების შეხედულებების მნიშვნელობას. გსურთ დანიშნოთ ერთ-ერთი მთავარი თეორემა და ამოხსნათ განტოლება ისე, რომლის პასუხიდან გამომდინარე, შემდგომში მისი გამოყენება იქნება საჭირო. ანალიტიკა ამ სფეროში სულ უფრო და უფრო მატულობს. დავიწყოთ თავიდან და გამოვიტანოთ ფორმულა. ფუნქციის გაზრდის დონის გარღვევის შემდეგ, გადახრის წერტილში ტანგენსტური ხაზი აუცილებლად მიგვიყვანს იმ ფაქტამდე, რომ განტოლების ონლაინ ამოხსნა იქნება ერთ-ერთი მთავარი ასპექტი ფუნქციის არგუმენტიდან იგივე გრაფიკის აგებისას. სამოყვარულო მიდგომას აქვს უფლება გამოიყენოს, თუ ეს პირობა არ ეწინააღმდეგება სტუდენტების დასკვნებს. ეს არის ქვეამოცანა, რომელიც მათემატიკური პირობების ანალიზს ხაზოვანი განტოლებების სახით აყენებს ობიექტის განსაზღვრის არსებულ დომენში, რომელიც უკანა პლანზე გადადის. ოფსეტური ორთოგონალურობის მიმართულებით აუქმებს მარტოხელა აბსოლუტური მნიშვნელობის უპირატესობას. მოდული, განტოლებების ონლაინ ამოხსნა იძლევა იგივე რაოდენობის ამონახსნებს, თუ ფრჩხილებს გახსნით ჯერ პლუსის ნიშნით, შემდეგ კი მინუს ნიშნით. ამ შემთხვევაში ორჯერ მეტი გამოსავალია და შედეგი უფრო ზუსტი იქნება. სტაბილური და სწორი ონლაინ განტოლების კალკულატორი არის წარმატება მასწავლებლის მიერ დასახულ ამოცანაში დასახული მიზნის მიღწევაში. როგორც ჩანს, შესაძლებელია საჭირო მეთოდის არჩევა დიდი მეცნიერების შეხედულებებში მნიშვნელოვანი განსხვავებების გამო. მიღებული კვადრატული განტოლება აღწერს წრფეების მრუდს, ეგრეთ წოდებულ პარაბოლას და ნიშანი განსაზღვრავს მის ამოზნექილობას კვადრატულ კოორდინატულ სისტემაში. განტოლებიდან ვიღებთ როგორც დისკრიმინანტს, ასევე თავად ფესვებს ვიეტას თეორემის მიხედვით. აუცილებელია გამოსახულების სწორად ან არასწორ წილადად წარმოჩენა და პირველ ეტაპზე წილადის კალკულატორის გამოყენება. ამის მიხედვით შეიქმნება ჩვენი შემდგომი გამოთვლების გეგმა. თეორიული მიდგომით მათემატიკა სასარგებლოა ყველა ეტაპზე. შედეგს აუცილებლად წარმოვადგენთ კუბურ განტოლებად, რადგან მის ფესვებს ამ გამოთქმაში დავმალავთ, რათა სტუდენტს დავალება გავუმარტივოთ უნივერსიტეტში. ნებისმიერი მეთოდი კარგია, თუ ისინი შესაფერისია ზედაპირული ანალიზისთვის. დამატებითი არითმეტიკული ოპერაციები არ გამოიწვევს გაანგარიშების შეცდომებს. განსაზღვრეთ პასუხი მოცემული სიზუსტით. განტოლებათა ამოხსნის გამოყენებით ვაღიაროთ – მოცემული ფუნქციის დამოუკიდებელი ცვლადის პოვნა არც ისე ადვილია, განსაკუთრებით მაშინ, როცა პარალელური წრფეები უსასრულობაში სწავლობს. გამონაკლისის გათვალისწინებით, საჭიროება აშკარაა. პოლარობის განსხვავება ცალსახაა. ინსტიტუტებში სწავლების გამოცდილებიდან ჩვენმა მასწავლებელმა ისწავლა მთავარი გაკვეთილი, რომელშიც განტოლებები შეისწავლეს ონლაინ სრული მათემატიკური გაგებით. აქ საუბარი იყო თეორიის გამოყენების უმაღლეს ძალისხმევასა და განსაკუთრებულ უნარებზე. ჩვენი დასკვნების სასარგებლოდ, პრიზმაში არ უნდა შევხედოთ. ბოლო დრომდე ითვლებოდა, რომ დახურული სიმრავლე სწრაფად იზრდება მთელ ტერიტორიაზე, როგორც ეს არის და განტოლებების ამოხსნა უბრალოდ უნდა იყოს გამოკვლეული. პირველ ეტაპზე ჩვენ არ განვიხილეთ ყველა შესაძლო ვარიანტი, მაგრამ ეს მიდგომა უფრო გამართლებულია, ვიდრე ოდესმე. დამატებითი მოქმედებები ფრჩხილებით ამართლებს გარკვეულ წინსვლას ორდინატებისა და აბსცისის ღერძების გასწვრივ, რაც შეუიარაღებელი თვალით არ შეიძლება შეუმჩნეველი იყოს. არსებობს გადახრის წერტილი ფუნქციის ფართო პროპორციული ზრდის გაგებით. კიდევ ერთხელ დავამტკიცებთ, თუ როგორ იქნება გამოყენებული საჭირო პირობა ვექტორის ამა თუ იმ დაღმავალი პოზიციის შემცირების მთელ ინტერვალზე. შეზღუდულ სივრცეში ჩვენ შევარჩევთ ცვლადს ჩვენი სკრიპტის საწყისი ბლოკიდან. სამ ვექტორზე საფუძვლად აგებული სისტემა პასუხისმგებელია ძალის ძირითადი მომენტის არარსებობაზე. თუმცა, განტოლების კალკულატორმა გამოიტანა და დაეხმარა აგებული განტოლების ყველა პირობის პოვნაში, როგორც ზედაპირის ზემოთ, ასევე პარალელური ხაზების გასწვრივ. მოდით აღვწეროთ წრე საწყისი წერტილის გარშემო. ამრიგად, ჩვენ დავიწყებთ სვლას მონაკვეთის ხაზების გასწვრივ და ტანგენსი აღწერს წრეს მთელ სიგრძეზე, შედეგად მივიღებთ მრუდს, რომელსაც ინვოლუტი ეწოდება. სხვათა შორის, მოდი ცოტა ისტორია მოგიყვეთ ამ მრუდის შესახებ. ფაქტია, რომ ისტორიულად მათემატიკაში არ არსებობდა თვით მათემატიკის ცნება სუფთა გაგებით, როგორც ეს დღეს არის. ადრე ყველა მეცნიერი იყო დაკავებული ერთი საერთო საქმით, ეს არის მეცნიერება. მოგვიანებით, რამდენიმე საუკუნის შემდეგ, როდესაც სამეცნიერო სამყარო სავსე იყო ინფორმაციის უზარმაზარი რაოდენობით, კაცობრიობამ მაინც გამოყო მრავალი დისციპლინა. ისინი კვლავ უცვლელი რჩება. და მაინც, ყოველწლიურად, მეცნიერები მთელს მსოფლიოში ცდილობენ დაამტკიცონ, რომ მეცნიერება უსაზღვროა და თქვენ ვერ ამოხსნით განტოლებას, თუ არ გაქვთ ცოდნა საბუნებისმეტყველო მეცნიერებებზე. შეიძლება ბოლომდე ვერ დადგეს. ამაზე ფიქრი ისეთივე უაზროა, როგორც გარეთ ჰაერის დათბობა. ვიპოვოთ ინტერვალი, რომლის დროსაც არგუმენტი თავისი დადებითი მნიშვნელობით განსაზღვრავს მნიშვნელობის მოდულს მკვეთრად მზარდი მიმართულებით. რეაქცია ხელს შეუწყობს მინიმუმ სამი გამოსავლის პოვნას, მაგრამ საჭირო იქნება მათი შემოწმება. დავიწყოთ იმით, რომ განტოლება უნდა გადავწყვიტოთ ონლაინ ჩვენი ვებსაიტის უნიკალური სერვისის გამოყენებით. შევიყვანოთ მოცემული განტოლების ორივე ნაწილი, დავაჭიროთ ღილაკს „SOLVE“ და მივიღოთ ზუსტი პასუხი სულ რამდენიმე წამში. განსაკუთრებულ შემთხვევებში ავიღებთ მათემატიკის წიგნს და ორჯერ გადავამოწმებთ ჩვენს პასუხს, კერძოდ, მხოლოდ პასუხს გადავხედავთ და ყველაფერი გაირკვევა. იგივე პროექტი გაფრინდება ხელოვნურ ზედმეტ პარალელეპიპედზე. არსებობს პარალელოგრამი მისი პარალელური გვერდებით და ის ხსნის ბუნებრივ ფორმულებში ღრუ სივრცის დაგროვების აღმავალი პროცესის სივრცითი ურთიერთობის შესწავლის მრავალ პრინციპს და მიდგომას. ორაზროვანი წრფივი განტოლებები აჩვენებს სასურველი ცვლადის დამოკიდებულებას ჩვენს ამჟამინდელ ზოგად ამონახსნზე და აუცილებელია როგორმე გამოვყოთ და შევიყვანოთ არასწორი წილადი არატრივიალურ შემთხვევამდე. ჩვენ ვნიშნავთ ათ წერტილს სწორ ხაზზე და ვხატავთ მრუდს თითოეულ წერტილში მოცემული მიმართულებით და ამოზნექილობით ზემოთ. დიდი სირთულის გარეშე, ჩვენი განტოლების კალკულატორი წარმოგიდგენთ გამონათქვამს ისეთი ფორმით, რომ მისი შემოწმება წესების მართებულობისთვის აშკარა იქნება ჩაწერის დასაწყისშიც კი. სტაბილურობის სპეციალური წარმოდგენის სისტემა მათემატიკოსებისთვის პირველ რიგში, თუ ფორმულით სხვა რამ არ არის გათვალისწინებული. ამაზე ჩვენ ვუპასუხებთ სხეულთა პლასტიკური სისტემის იზომორფული მდგომარეობის შესახებ მოხსენების დეტალური პრეზენტაციით და განტოლებების ონლაინ ამოხსნას აღწერს ამ სისტემის თითოეული მატერიალური წერტილის მოძრაობას. სიღრმისეული შესწავლის დონეზე, საჭირო იქნება დეტალური გარკვევა სივრცის მინიმუმ ქვედა ფენის ინვერსიების შესახებ. ფუნქციის წყვეტის მონაკვეთზე აღმავალი თანმიმდევრობით გამოვიყენებთ შესანიშნავი მკვლევარის, სხვათა შორის, ჩვენი თანამემამულეების ზოგად მეთოდს და ქვემოთ მოგიყვებით თვითმფრინავის ქცევაზე. ანალიტიკურად მოცემული ფუნქციის ძლიერი მახასიათებლების გამო, ჩვენ ვიყენებთ მხოლოდ ონლაინ განტოლების კალკულატორს მისი დანიშნულებისამებრ უფლებამოსილების მიღებულ ფარგლებში. შემდგომი კამათით, ჩვენ ვწყვეტთ ჩვენს მიმოხილვას თავად განტოლების ერთგვაროვნებაზე, ანუ მისი მარჯვენა მხარე ტოლდება ნულთან. კიდევ ერთხელ, ჩვენ გადავამოწმებთ ჩვენი გადაწყვეტილების სისწორეს მათემატიკაში. ტრივიალური გადაწყვეტის თავიდან აცილების მიზნით, ჩვენ შევასწორებთ საწყის პირობებს სისტემის პირობითი სტაბილურობის პრობლემისთვის. მოდით შევადგინოთ კვადრატული განტოლება, რომლისთვისაც კარგად ცნობილი ფორმულით ვწერთ ორ ჩანაწერს და ვპოულობთ უარყოფით ფესვებს. თუ ერთი ფესვი აჭარბებს მეორე და მესამე ფესვებს ხუთი ერთეულით, მაშინ მთავარ არგუმენტში ცვლილებების შეტანით ჩვენ ამით ამახინჯებთ ქვეპრობლემის საწყის პირობებს. მათემატიკაში რაღაც უჩვეულო ყოველთვის შეიძლება აღწერილი იყოს დადებითი რიცხვის მეასედამდე. ფრაქციების კალკულატორი რამდენჯერმე აღემატება მსგავს რესურსებზე მის კოლეგებს სერვერის ჩატვირთვის საუკეთესო მომენტში. y-ღერძის გასწვრივ მზარდი სიჩქარის ვექტორის ზედაპირზე ვხატავთ შვიდ ხაზს, რომელიც ერთმანეთის საპირისპირო მიმართულებით მოხრილია. მინიჭებული ფუნქციის არგუმენტის თანაზომადობა მიჰყავს აღდგენის ბალანსის მრიცხველს. მათემატიკაში ეს ფენომენი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს კუბური განტოლებით წარმოსახვითი კოეფიციენტებით, ასევე კლებადი ხაზების ბიპოლარული პროგრესით. ტემპერატურული განსხვავების კრიტიკული წერტილები მათი მრავალი მნიშვნელობითა და პროგრესით აღწერს რთული წილადური ფუნქციის ფაქტორინგის პროცესს. თუ გეტყვიან განტოლების ამოხსნას, ნუ იჩქარებთ ამის გაკეთებას ამ წუთში, აუცილებლად ჯერ შეაფასეთ მთელი სამოქმედო გეგმა და მხოლოდ ამის შემდეგ მიიღეთ სწორი მიდგომა. სარგებელი აუცილებლად იქნება. მუშაობაში სიმარტივე აშკარაა, მათემატიკაში კი იგივეა. განტოლების ამოხსნა ონლაინ. ყველა ონლაინ განტოლება არის რიცხვების ან პარამეტრების გარკვეული ტიპის ჩანაწერი და ცვლადი, რომელიც უნდა განისაზღვროს. გამოთვალეთ ეს ცვლადი, ანუ იპოვნეთ მნიშვნელობების ნაკრების კონკრეტული მნიშვნელობები ან ინტერვალები, რომლებისთვისაც იდენტურობა დაკმაყოფილდება. საწყისი და საბოლოო პირობები პირდაპირ დამოკიდებულია. როგორც წესი, განტოლებათა ზოგადი ამონახსნები მოიცავს რამდენიმე ცვლადს და მუდმივობას, რომელთა დაყენებით ჩვენ მივიღებთ ამონახსნების მთელ ოჯახებს მოცემული პრობლემის დებულებისთვის. ზოგადად, ეს ამართლებს ძალისხმევის ინვესტიციას 100 სანტიმეტრის ტოლი სივრცული კუბის ფუნქციონირების გაზრდის მიმართულებით. თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ თეორემა ან ლემა პასუხის აგების ნებისმიერ ეტაპზე. საიტი თანდათან გამოსცემს განტოლებების კალკულატორს, საჭიროების შემთხვევაში აჩვენებს უმცირეს მნიშვნელობას პროდუქტების შეჯამების ნებისმიერ ინტერვალზე. შემთხვევების ნახევარში, ასეთი ბურთი, როგორც ღრუ, არ აკმაყოფილებს შუალედური პასუხის უფრო მეტად დაყენების მოთხოვნებს. ყოველ შემთხვევაში, y ღერძზე ვექტორული წარმოდგენის შემცირების მიმართულებით, ეს პროპორცია უდავოდ უფრო ოპტიმალური იქნება, ვიდრე წინა გამოხატულება. იმ საათში, როდესაც ხაზოვანი ფუნქციების სრული წერტილის ანალიზი ჩატარდება, ჩვენ, ფაქტობრივად, ერთად შევაგროვებთ ყველა ჩვენს კომპლექსურ რიცხვს და ბიპოლარულ სიბრტყეებს. გამოსახულებაში ცვლადის ჩანაცვლებით, თქვენ ამოხსნით განტოლებას ეტაპობრივად და გასცემთ ყველაზე დეტალურ პასუხს მაღალი სიზუსტით. კიდევ ერთხელ, მათემატიკაში თქვენი მოქმედებების შემოწმება კარგი ფორმა იქნება მოსწავლის მხრიდან. წილადების თანაფარდობის პროპორციამ დააფიქსირა შედეგის მთლიანობა ნულოვანი ვექტორის აქტივობის ყველა მნიშვნელოვან სფეროში. ტრივიალურობა დასტურდება შესრულებული მოქმედებების ბოლოს. მარტივი ამოცანების კომპლექტით, მოსწავლეებს არ ექნებათ სირთულეები, თუ ისინი გადაჭრიან განტოლებას ონლაინ რეჟიმში უმოკლეს დროში, მაგრამ არ დაივიწყონ ყველა სახის წესი. ქვესიმრავლეების ნაკრები იკვეთება თანხვედრის აღნიშვნის არეში. სხვადასხვა შემთხვევაში, პროდუქტი შეცდომით არ ხდება ფაქტორიზაცია. თქვენ დაგეხმარებით განტოლების ონლაინ ამოხსნაში ჩვენს პირველ განყოფილებაში მათემატიკური ტექნიკის საფუძვლების შესახებ მნიშვნელოვანი სექციებისთვის უნივერსიტეტებისა და კოლეჯების სტუდენტებისთვის. მაგალითებზე პასუხის გაცემა არ გვაიძულებს დაველოდოთ რამდენიმე დღეს, რადგან ვექტორული ანალიზის საუკეთესო ურთიერთქმედების პროცესი ამონახსნების თანმიმდევრულ პოვნასთან დაპატენტებული იყო გასული საუკუნის დასაწყისში. თურმე გარემომცველ გუნდთან დაკავშირების მცდელობა უშედეგო არ ყოფილა, თავიდან აშკარად სხვა რაღაც იყო დაგვიანებული. რამდენიმე თაობის შემდეგ, მთელ მსოფლიოში მეცნიერებმა მიიჩნიეს, რომ მათემატიკა მეცნიერებათა დედოფალია. იქნება ეს მარცხენა პასუხი თუ მარჯვენა პასუხი, ამომწურავი ტერმინები მაინც სამ რიგად უნდა დაიწეროს, რადგან ჩვენს შემთხვევაში ცალსახად ვისაუბრებთ მხოლოდ მატრიცის თვისებების ვექტორულ ანალიზზე. დახურული სისტემის ყველა მატერიალური წერტილის სივრცეში მოძრაობის ტრაექტორიის გამოთვლის საუკეთესო მეთოდების შესახებ ჩვენს წიგნში არაწრფივმა და წრფივმა განტოლებებმა, ბიკვადრატულ განტოლებებთან ერთად, განსაკუთრებული ადგილი დაიკავა. სამი თანმიმდევრული ვექტორის სკალარული ნამრავლის წრფივი ანალიზი დაგვეხმარება იდეის რეალიზებაში. ყოველი პარამეტრის დასასრულს, დავალება გამარტივებულია ოპტიმიზებული რიცხვითი გამონაკლისების დანერგვით ციფრული სივრცის გადაფარვის კონტექსტში. სხვა გადაწყვეტილება არ ეწინააღმდეგება აღმოჩენილ პასუხს წრეში სამკუთხედის თვითნებური ფორმით. ორ ვექტორს შორის კუთხე შეიცავს აუცილებელ ზღვრულ პროცენტს და ონლაინ განტოლებების ამოხსნა ხშირად ავლენს განტოლების ზოგიერთ საერთო ფესვს საწყისი პირობებისგან განსხვავებით. გამონაკლისი კატალიზატორის როლს ასრულებს ფუნქციის განსაზღვრის სფეროში პოზიტიური გადაწყვეტის პოვნის მთელ გარდაუვალ პროცესში. თუ არ არის ნათქვამი, რომ თქვენ არ შეგიძლიათ გამოიყენოთ კომპიუტერი, მაშინ ონლაინ განტოლების კალკულატორი შესაფერისია თქვენი რთული ამოცანებისთვის. საკმარისია მხოლოდ თქვენი პირობითი მონაცემების სწორი ფორმატით შეყვანა და ჩვენი სერვერი უმოკლეს დროში გასცემს სრულფასოვან პასუხს. ექსპონენციალური ფუნქცია ბევრად უფრო სწრაფად იზრდება, ვიდრე წრფივი. ამას მოწმობს ჭკვიანური ბიბლიოთეკის ლიტერატურის თალმუდები. შეასრულებს გამოთვლას ზოგადი გაგებით, როგორც ამას გააკეთებდა მოცემული კვადრატული განტოლება სამი რთული კოეფიციენტით. ნახევარსიბრტყის ზედა ნაწილში პარაბოლა ახასიათებს სწორხაზოვან პარალელურ მოძრაობას წერტილის ღერძების გასწვრივ. აქ უნდა აღინიშნოს სხეულის სამუშაო სივრცეში პოტენციური განსხვავება. არაოპტიმალური შედეგის სანაცვლოდ, ჩვენი ფრაქციების კალკულატორი სამართლიანად იკავებს პირველ ადგილს ფუნქციური პროგრამების მიმოხილვის მათემატიკური რეიტინგის უკანა ბოლოში. ამ სერვისით სარგებლობის სიმარტივე დააფასებს ინტერნეტის მილიონობით მომხმარებელს. თუ თქვენ არ იცით როგორ გამოიყენოთ იგი, ჩვენ სიამოვნებით დაგეხმარებით. ჩვენ ასევე გვინდა გამოვყოთ და გამოვყოთ კუბური განტოლება დაწყებითი სკოლის მოსწავლეების მთელი რიგი ამოცანებიდან, როდესაც საჭიროა სწრაფად იპოვოთ მისი ფესვები და დახაზოთ ფუნქციის გრაფიკი სიბრტყეზე. რეპროდუქციის უმაღლესი ხარისხი ერთ-ერთი ყველაზე რთული მათემატიკური პრობლემაა ინსტიტუტში და მის შესასწავლად საკმარისი საათია გამოყოფილი. როგორც ყველა წრფივი განტოლება, ჩვენიც არ არის გამონაკლისი მრავალი ობიექტური წესისგან, გადახედეთ სხვადასხვა კუთხით და აღმოჩნდება მარტივი და საკმარისი საწყისი პირობების დასაყენებლად. გაზრდის ინტერვალი ემთხვევა ფუნქციის ამოზნექილობის ინტერვალს. განტოლებების ამოხსნა ონლაინ. თეორიის შესწავლა ეფუძნება ონლაინ განტოლებებს ძირითადი დისციპლინის შესწავლის მრავალი სექციიდან. გაურკვეველ ამოცანებში ასეთი მიდგომის შემთხვევაში, ძალიან ადვილია განტოლებათა ამოხსნის წინასწარ განსაზღვრული სახით წარმოდგენა და არა მხოლოდ დასკვნების გამოტანა, არამედ ასეთი დადებითი ამოხსნის შედეგის პროგნოზირებაც. სერვისი დაგვეხმარება შევისწავლოთ საგნობრივი სფერო მათემატიკის საუკეთესო ტრადიციებით, როგორც ეს ჩვეულია აღმოსავლეთში. დროის ინტერვალის საუკეთესო მომენტებში მსგავსი ამოცანები მრავლდებოდა საერთო მამრავლით ათჯერ. განტოლების კალკულატორში მრავალი ცვლადის გამრავლების სიმრავლით, მან დაიწყო გამრავლება ხარისხით და არა რაოდენობრივი ცვლადებით, როგორიცაა მასა ან სხეულის წონა. მატერიალური სისტემის დისბალანსის შემთხვევების თავიდან ასაცილებლად, ჩვენთვის სავსებით აშკარაა სამგანზომილებიანი გადამყვანის წარმოშობა არადეგენერაციული მათემატიკური მატრიცების ტრივიალურ კონვერგენციაზე. შეასრულეთ დავალება და ამოხსენით განტოლება მოცემულ კოორდინატებში, რადგან გამომავალი წინასწარ უცნობია, ასევე უცნობია პოსტსივრცის დროში შემავალი ყველა ცვლადი. მოკლე დროით გამოიტანეთ საერთო ფაქტორი ფრჩხილებიდან და წინასწარ გაყავით ორივე ნაწილის უდიდეს საერთო გამყოფზე. მიღებული რიცხვების დაფარული ქვეჯგუფიდან, დეტალურად ამოიღეთ ზედიზედ ოცდასამი წერტილი მოკლე პერიოდში. რამდენადაც ყველა სტუდენტს შეუძლია ონლაინ რეჟიმში საუკეთესოდ ამოხსნას განტოლება, წინსვლის ყურებით, ვთქვათ ერთი მნიშვნელოვანი, მაგრამ საკვანძო რამ, რომლის გარეშეც ჩვენ არ გვექნება ადვილი ცხოვრება მომავალში. გასულ საუკუნეში დიდმა მეცნიერმა შენიშნა არაერთი კანონზომიერება მათემატიკის თეორიაში. პრაქტიკაში, აღმოჩნდა არც ისე მოსალოდნელი შთაბეჭდილება მოვლენებზე. თუმცა, პრინციპში, ონლაინ განტოლებების სწორედ ეს გადაწყვეტა ხელს უწყობს სტუდენტების მიერ დაფარული თეორიული მასალის შესწავლისა და პრაქტიკული კონსოლიდაციის ჰოლისტიკური მიდგომის გაგებასა და აღქმას. ამის გაკეთება ბევრად უფრო ადვილია სწავლის პერიოდში.

=

ᲓᲐᲙᲐᲕᲨᲘᲠᲔᲑᲣᲚᲘ ᲡᲢᲐᲢᲘᲔᲑᲘ